TEOREMA DE LA DIMENSIÓN y un ejemplo resuelto

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TEOREMA DE LA DIMENSIÓN (y un ejemplo resuelto)

Curso 2

Teorema de la dimensión Sean ܸ‫ ܭܹ ݕ ܭ‬dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K Sea ܶ: ܸ‫ ܭܹ → ܭ‬una transformación lineal. Supóngase que ܸ‫ ܭ‬es de dimensión finita Entonces: ݀݅݉ ‫ )ܶ(݉ܫ‬+ ݀݅݉ ܰ‫( ; ܭܸ ݉݅݀ = )ܶ(ܿݑ‬1)

Demostración: Sea ‫ܤ‬ே௨௖ = ‫ݑ‬1 ; … ; ‫ ݊ݑ‬una base de ܰ‫( ; ݊ = )ܶ(ܿݑܰ ݉݅݀ ⇒ )ܶ(ܿݑ‬2) Por el teorema de extensión de una base, podemos extender esta base a una base de ܸ‫ ܭ‬: ‫ݑ = ܭܸܤ‬1 ; … ; ‫ݓ ; ݊ݑ‬1 ; … ; ‫ ݊ = ܭܸ ݉݅݀ ⇒ ݉ݓ‬+ ݉; (3) Vamos a demostrar que el conjunto: ܶ(‫ݓ‬1 ); … ; ܶ(‫) ݉ݓ‬ es una base de ‫ )ܶ(݉ܫ‬y con esto el teorema quedará demostrado Curso 2- Álgebra II

i) Demostremos que ‫ݓ ܶ ݊݁݃ = ܶ ݉ܫ‬ଵ ; … ; ܶ ‫ݓ‬௠ Sea ‫ ∃ ⇒ ܭܸ ∈ ݔ‬escalares únicos ߙ1 ; … ; ߙ݊ , ߚ1 ; … ; ߚ݉ tales que: ‫ߙ = ݔ‬1 ‫ݑ‬1 + ⋯ + ߙ݊ ‫ ݊ݑ‬+ ߚ1 ‫ ݓ‬+ ⋯ + ߚ݉ ‫( ݉ݓ‬aplicamos T a ambos miembros) 1

ܶ(‫ߙ(ܶ = )ݔ‬1 ‫ݑ‬1 + ⋯ + ߙ݊ ‫ ) ݊ݑ‬+ ߚ1 ܶ(‫ݓ‬1 ) + ⋯ + ߚ݉ ܶ(‫) ݉ݓ‬ = 0ܹ‫ ܭ‬,

‫ߙ ݏ݁ݑ݌‬1 ‫ݑ‬1 + ⋯ + ߙ݊ ‫)ܶ(ܿݑܰ ∈ ݊ݑ‬

ܶ ‫ߚ = ݔ‬1 ܶ ‫ݓ‬1 + ⋯ + ߚ݉ ܶ ‫ݓ ܶ ݊݁݃ = ܶ ݉ܫ ⇒ ݉ݓ‬1 ; … ; ܶ ‫( ; ݉ݓ‬4) ii) Demostremos que ܶ ‫ݓ‬1 ; … ; ܶ ‫ ݉ݓ‬es un conjunto linealmente independiente: Formemos la siguiente combinación lineal con escalares ܽ1 ; … ; ܽ݉ a determinar ܽ1 ܶ ‫ݓ‬1 + ⋯ + ܽ݉ ܶ ‫ = ݉ݓ‬0ܹ‫ܽ ܶ ⇒ ܭ‬1 ‫ݓ‬1 + ⋯ + ܽ݉ ‫ = ݉ݓ‬0ܹ‫⇒ ܭ‬ ܽ1 ‫ݓ‬1 + ⋯ + ܽ݉ ‫)ܶ(ܿݑܰ ∈ ݉ݓ‬, entonces se puede escribir como CL de los vectores de la base de ܰ‫ ܶ ܿݑ‬: ܽ1 ‫ݓ‬1 + ⋯ + ܽ݉ ‫ܾ = ݉ݓ‬1 ‫ݑ‬1 + ⋯ + ܾ݊ ‫⇒ ݊ݑ‬ ܽ1 ‫ݓ‬1 + ⋯ + ܽ݉ ‫ ݉ݓ‬− ܾ1 ‫ݑ‬1 − ⋯ − ܾ݊ ‫ = ݊ݑ‬0ܹ‫ܭ‬ y como el conjunto ‫ݑ‬1 ; … ; ‫ݓ ; ݊ݑ‬1 ; … ; ‫ ݉ݓ‬es una base de ܸ‫ = ܾ݅ ; ݅ܽ ⇒ ܭ‬0, ∀ ݅ ⇒ ܶ(‫ݓ‬1 ); … ; ܶ(‫ ) ݉ݓ‬es linealmente independiente en ܹ‫( ; ܭ‬5) Curso 2- Álgebra II

Teniendo en cuenta (4) y (5), resulta que el conjunto de m vectores: ܶ(‫ݓ‬1 ); … ; ܶ(‫) ݉ݓ‬ Es una base de ‫݉ = )ܶ(݉ܫ ݉݅݀ ⇒ ܶ ݉ܫ‬ ⇒

݀݅݉ ‫ )ܶ(݉ܫ‬+ ݀݅݉ ܰ‫ܭܸ ݉݅݀ = )ܶ(ܿݑ‬

Observaciones: al número ݉ = ݀݅݉ ‫ )ܶ(݃ݎ = )ܶ(݉ܫ‬se lo suele llamar rango de la TL al número ݊ = ݀݅݉ ܰ‫ )ܶ(݈݀ܽ݀݅ݑ݊ = )ܶ(ܿݑ‬se lo suele llamar nulidad de la TL

Veamos la resolución de un ejemplo

Curso 2- Álgebra II

1 −݅ ∈ ℂ2×2 y sea la transformación lineal: 1 − ݅ −1 − ݅ ‫ݖ‬1 ‫ݖ‬1 ‫ݖ‬1 ܶ: ℂ2 → ℂ2 tal que ∀ ܼ = ‫ ∈ ݖ‬ℂ2 : ܶ ‫ ݖ ܣ = ݖ‬. 2 2 2 1 1 1 0 Sean ‫= ܧ‬ ; ; dos bases ordenadas de ℂ2 y‫=ܤ‬ 0 ݅ −݅ 1 a) Hallar bases de ܰ‫ )ܶ(ܿݑ‬e ‫ )ܶ(݉ܫ‬y verificar que se cumple el teorema de la dimensión. b) Hallar la matriz asociada a T respecto de las bases E y B, es decir, hallar ܶ ‫ܧܤ ܶ = ܤܧ‬

Sea ‫= ܣ‬

Resolución: a)

‫ݖ‬1 ‫ݖ‬1 0 i) Hallamos ܰ‫ ∈ ݖ = ܶ ܿݑ‬ℂ2 | ‫= ݖ ܣ‬ 0 2 2 ‫ݖ‬ 1 −݅ 0 1 ‫ݖ‬1 − ݅‫ݖ‬2 = 0 = ⇒ 1 − ݅ −1 − ݅ ‫ݖ‬2 0 (1 − ݅)‫ݖ‬1 +(−1 − ݅)‫ݖ‬2 = 0 ܼ ∈ ܰ‫ ܶ ܿݑ‬: ܼ =

݅‫ݖ‬2 ݅ = ‫ݖ‬2 ; ‫ݖ‬2 ∈ ℂ ⇒ ܰ‫݊݁݃ = ܶ ܿݑ‬ ‫ݖ‬2 1

⇒

ࢠ૚ = ࢏ࢠ૛

݅ 1

݅ es un vector linealmente independiente (por ser distinto de 0ℂ2 ), entonces, una 1 base de ܰ‫ ܶ ܿݑ‬es:

Como

‫ܿݑܰܤ‬

ܶ

=

݅ 1

⇒ ݀݅݉ ܰ‫ = )ܶ(ܿݑ‬1

Curso 2- Álgebra II

Como se tiene que cumplir el teorema de la dimensión: ݀݅݉ ‫ )ܶ(݉ܫ‬+ ݀݅݉ ܰ‫ ݉݅݀ = )ܶ(ܿݑ‬ℂ2 Entonces, se tiene que: ݀݅݉ ‫ = )ܶ(݉ܫ‬1 ii) Calculamos ‫)ܶ(݉ܫ‬ Sabemos que si tenemos una base de ℂ2 , los transformados por T de los vectores de dicha base generan al subespacio ‫)ܶ(݉ܫ‬ Usemos la base E para hallar ‫)ܶ(݉ܫ‬: 1 1 −݅ = 0 1 − ݅ −1 − ݅ 1 −݅ 0 ܶ = 1 − ݅ −1 − ݅ 1 ܶ

1 1 = 0 1−݅ −݅ 0 = −1 − ݅ 1

⇒ ‫݊݁݃ = ܶ ݉ܫ‬

−݅ 1 ; −1 − ݅ 1−݅

Sin embargo, el sistema de generadores de ‫ ܶ ݉ܫ‬NO es un conjunto linealmente −݅ 1 =݅ independiente (pues: ) −1 − ݅ 1−݅ 1 Entonces, una base de ‫ ܶ ݉ܫ‬es: ‫= ܶ ݉ܫܤ‬ ⇒ ݀݅݉ ‫ = )ܶ(݉ܫ‬1 1−݅ Por lo tanto, se verifica el teorema de la dimensión

Curso 2- Álgebra II

b) Hallar la matriz asociada a T respecto de las bases E y B, es decir, hallar ܶ

ா஻

= ܶ

஻ ா

Para hallar la matriz pedida, debemos expresar a los vectores transformados por T de la base E como combinación lineal de los vectores de la base B 1 1 = = ܽ 0 1−݅ −݅ 0 ܶ = =ܿ −1 − ݅ 1

ܶ

1 1 +ܾ ݅ −݅ 1 1 +݀ ݅ −݅

Debemos resolver los sistemas: ܽ+ܾ=1 (I) ݅ܽ − ܾ݅ = 1 − ݅ Resolviendo el sistema (I) se obtiene: −݅ 2+݅ ܽ= ; ܾ= 2 2

⇒ ܶ

‫= ܤܧ‬

FIN

ܶ

‫ܤ‬ ‫ܧ‬

=

−݅ 2 2+݅ 2

⇒ ܶ

‫ܶ = ܤܧ‬

‫ܤ‬ ‫ܧ‬

=

ܿ + ݀ = −݅ ݅ܿ − ݅݀ = −1 − ݅

ܽ ܿ ܾ ݀

(II)

Resolviendo el sistema (II) se obtiene: −1 1 − 2݅ ܿ= ; ݀= 2 2

−1 2 1 − 2݅ 2 Curso 2- Álgebra II