Segundo Teorema Fundamental del Calculo Integral

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Teorema Fundamental del Cálculo Integral Segunda Parte (Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Integral) Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y P una primitiva cualquiera de f en [a, b] x

entonces:

∫ f ( t ) dt

= P( x ) − P( a ) , ∀x ∈ [a , b ] .

a

Hipótesis: f es continua en [a, b] P es una primitiva cualquiera de f en [a, b] x

Tesis:

∫ f ( t ) dt

= P( x ) − P( a ) , ∀x ∈ [a , b ]

a x

∫ f ( t ) dt

Demostración: Sea G( x ) =

la función integral generada por f ∀x ∈ [a , b ]

a

•

Por el 1º Teorema Fundamental del Cálculo Integral: G es primitiva de f en [a, b]

•

Por Hipótesis: P es primitiva de f en [a, b]

Luego, y dado que dos primitivas de una misma función difieren en una constante: G(x) = P(x) + C

∀x ∈ [a , b] , siendo C un número real

x

∫ f ( t ) dt

= P( x ) + C , ∀x ∈ [a , b ]

(*)

a a

Si x = a :

∫ f ( t ) dt

= P( a ) + C

a

0 = P( a ) + C ∴ C = − P( a ) Reemplazando en (*) : x

∫ f ( t ) dt a

= P( x ) − P( a ) , ∀x ∈ [a , b ]

que es la tesis

Regla de Barrow Siendo f continua en [a, b] y P una primitiva cualquiera de f en [a, b], por el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Integral: x

∫ f ( t ) dt = P( x ) − P( a ) , ∀x ∈ [a , b] a b

si x = b :

∫ f ( t ) dt = P( b ) − P( a ) a

Esta última expresión se conoce como “Regla de Barrow” y puede enunciarse así: Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y P una primitiva cualquiera de f en [a, b] b

entonces:

∫ a

f ( x ) dx =

b

P( b ) − P( a ) = P( x ) a