Pruebas U de Mann-Whitney y K-W

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No paramétrica

PRUEBA U DE MANN-WHITNEY Y KRUSKAL- WALLIS Estas 2 pruebas no paramétricas utilizan difieren de Ji cuadrada, en que utilizan un estimador que evalúa las diferencias en los valores

de la mediana de la variable de respuesta entre muestras. Ambas pruebas se utilizan cuando la variables de respuesta es generalmente numérica discreta o continua y para la cual se tiene pocas repeticiones, es decir, pueden ser usada con pocos datos por muestra y los tamaños de muestra pueden ser desiguales, no asumen una distribución específica, es adecuada para datos que no se ajustan a la distribución normal, pueden usarse datos de conteos, proporciones o por ejemplo índices de diversidad!

PRUEBA U DE MANN WHITNEY E s ta pr ue ba es una t éc ni ca no para m é tr ica que s e a pli ca para compa rar las m e dian as d e dos m ues tras , es to e s un dis eño un ifac tor ia l en el q ue e l fa cto r t ie ne ún ic am en te dos n i vel es (m ue s tra s) y s e c uen ta con var ios datos d e la var ia bl e de r e s pue s t a p a r a c a da m ue s t r a o n i ve l . 

P ue de usa r s e con pocos da tos , has ta 4 o bs er va cion es po r m ues tra y los t amaños d e m ues tr a pue den s er de s ig ua l es de bi do a q ue los va lor e s d e las o bs er vaci on es s e c o nv i e r te n e n r a n g o s .



E s im por tan te cons i de rar q ue s e as um e in de pen de n cia en tr e las m ue s tras, es to e s q ue las va lor es d e la s o bs er va cion e s e s tán to ma dos sin s esgos , o re la ciona dos lo s va lo r e s e n t r e la s m ue s t r a s.



L a Ho cons i der a q ue los valo r es o ran gos d e una m ue s tra no exc e den los ran gos de la s eg un da m ues t ra , con tr a l a Hi q ue a s um e que los ran gos o va lor es de una d e l a s m ue s t r a s s i exc e de l o s va l o r es d e l a o t r a m ue s t r a .



La pr ue ba cons is te en el calc ulo del es ta dís t ico U , e l c ual se com para con e l va l o r e s c r í t i c o s c a l c ul a do e n t a bl a s pa r a un n i ve l d e c o n fi anz a d e 0 . 0 5 % .

ESTADÍSTICO PARA DETERMINACIÓN DEL VALOR DE U  Para muestra mayores a 8

 Donde R i = Suma de rangos asignados para n 1 o para n 2,  n 1 y n 2 son el número de datos para cada muestra

 Para muestras con n 1 y n 2 menores a 8

n1 (n1 + 1) U1 = n1n2 + − R1 2 n2 (n2 + 1) U 2 = n1n2 + − R2 2 El estadístico que utilizamos es el valor mínimo de U que fue calculado de U1 y U2

EJEMPLO (MUESTRAS DE IGUAL TAMAÑO)  Un aná li si s d e las dife ren cia s en e l ta maño d e las ho jas por dife r enc ias en la ex posic ión a la luz, hoja s co n mayor ex pos ic ión a la luz ten dr án mayor ta maño q ue ho jas con m enor ex pos ic ión a la l u z , para e sto s e m i dió el an cho d e ho jas ba jo dos c o n di c ione s : l uz y s o m br a .  L a var ia bl e de r es pues ta es el ta maño de la hoja y e l fac tor es la con dic ión d e ex posi c ión a la l uz con do s n i vel e s (l uz y som bra ), los dos n i ve le s o m ue s tras c ue n t a n c o n 8 m e di c i o n es ( a n c hos d e h o j a ) i n d e p e n d i e nte s

Factor

 H o: no hay dife re nc ias en e l an cho d e l as ho jas ent r e p lan ta s ex pue st as a la l uz y pl a n t a s ex pue s t a s a l a s o m br a  H i : hay difer en cia s en e l ta maño de las hoja s en tr e a m bas con di cione s de ex po s i c ión a l a l uz

Luz

6.0

4.8

5.1

5.5

4.1

5.3

4.5

5.1

n1 (luz) = 8

Sombra

6.5

5.5

6.3

7.2

6.8

5.5

5.9

5.5

n2 (sombra) = 8

ORDENAR VALORES Y ASIGNAR RANGOS ( R)

 Se ordenan los datos del menor al mayor para ambas muestras  Se asignan los valores consecutivos de rangos en ambas muestras a partir del valor mínimo hasta el valor máximo

 Cuando hay empates se asigna el valor medio del rango de los dos valores.  Se suman los valores de los rangos para cada muestra (R i )

Luz

Rango 1

4.1

1

4.5

2

4.8

3

5.1

4.5

5.1

4.5

5.3

6

5.5

8.5

6.0

Sombra

Rango 2

Tocaría el rango 4 y rango 5, para cada dato, pero se les asigna la mediana o valor intermedio que es 4.5, 5.5

8.5

5.5

8.5

5.5

8.5

5.9

11

6.3

13

6.5

14

6.8

15

7.2

16

12

R1 = 41.5

R2 = 94.5

Lo mismo pasa con los rangos 7 al 10 en el que se asigna el la media de 8.5

NOTA SOBRE LOS RANGOS  El último rango asignado a los datos no debe exceder el número

total de datos de la prueba, para el ejemplo anterior el numero total de datos es de 16, 8 datos para cada muestra, por lo tanto el ultimo

valor de rango asignado no debe ser menor o mayo a 16, contrario los rangos no fueron asignados correctamente.

de lo

CALCULAR VALORES DE U PARA LAS DOS MUESTRAS n1 (n1 + 1) 8(8 + 1) U1 = n1n2 + − R1 = 8 * 8 + − 41.5 = 58.5 2 2

n2 (n2 + 1) 8(8 + 1) U 2 = n1n2 + − R2 = 8 * 8 + − 94.5 = 5.5 2 2  Calcular U para ambas muestras.

 La U calculada con el valor menor se compara con el valor crítico de tablas de U, el valor calculado debe ser menor que el de tablas para rechazar Ho.  Comparar valores críticos con tabla de valores del estimador U.

VALORES DE LA PRUEBA DE U DE MANNWHITNEY, al 0.05% de confi anz a para l a Hi El valor de U calculada es el valor menor calculado para U1 y U2

Si U calculada ≤ U crit., entonces se rechaza la H0

COMPARAR VALORES DE U CALCULADO CON CUADRO DE U    

U 1 = 58.5 U 2 = 5.5 n1 = 8 n2 = 8

 Se utiliza el menor valor de U.

Para este ejemplo se puede rechazar la hipótesis nula con un nivel de confianza del 5% (0.05) de error, por lo tanto las hojas tienen distinto ancho, las hojas de plantas en sombra tienden a tener hojas más anchas (ver tabla de valores). U = 5.5, g.l. = 8 y 8, p < 0.05

EJERCICIO DE U DE MANN-WHITNEY PARA MUESTRAS DESIGUALES  Un biólogo quiere comparar el número promedio de escarabajos capturados en dos sitios (interior del bosque y en un claro) con 8 trampas de suelo tipo

pitfall en cada sitio, ubicadas dentro de un bosque, pero en el sitio de claro muestreo perdió la muestra 8, por lo que solo tiene 7 datos .  ¿existen diferencias en el número de escarabajos capturados entre el interior y claro de bosque?

Factor

 La variable de respuesta es el número de escarabajos y el factor el tipo de sitio con dos niveles, interior y claro de bosque.

Sitio 1 Interior

8

12

15

21

25

44

44

Sitio 2 claro

2

4

5

9

12

17

19

60

Se ordenar los datos de ambas muestras de forma ascendente, de menor a mayor, se indican los datos subrayados del sitio de interior de bosque Observaciones

2

4

5

8

9

12

12

15 17 19 21 25 44

Rangos 1

2

3

4

5

6.5

6.5

8

9

44

10 11 12 13.5 13.5 15

 Suma de los rangos  R 1 = 4 + 6.5 + 8 + 11 + 12 + 13.5 + 13.5 + 15 = 83.5  R 2 = 1 + 2 + 3 + 5 + 6.5 + 9 + 10 = 36.5

/ 2] – R +1) / 2] – R

60

 U 1 = n 1 * n 2 + [n 1 (n 1 +1)

1

= 56 + 36 - 83.5 = 8.5

 U 2 = n 1 * n 2 + [n 2 (n 2

2

= 56 + 28 – 36.5 = 47.5

 Se compara el valor de la U de menor magnitud (U 1 = 8.5) con el valor de tablas para n 1 = 8 y n 2 = 7  Si U 1 ≤ al de tablas (U 7,8 p=0.05 ) se rechaza H 0

EJERCICIO PARA RESOLVER EN CLASE En una prospección de un experimento de crecimiento de plántulas, se realiza un pequeño ensayo y se toman medidas de longitud de 10 individuos germinados en dos sustratos (tratamientos) experimentales para evaluar si hay diferencias entre los tratamientos ▪ Tratamiento 1: 11, 13, 13, 12, 16, 16, 16, 19, 23, 27 ▪ Tratamiento 2: 15, 16, 18, 20, 23, 24, 26, 27, 30, 32

▪ El tamaño de muestra es pequeño, los datos son categóricos y no se asume que tengan distribución normal

PRUEBA DE KRUSKAL-WALLIS,

para c omparar diferenc ias en la mediana entre mas de dos muestras

 Para hacer la comparación de las medianas de 3 o más muestras.  Los datos pueden ser desde intervalos de escala, conteos hasta valores continuos  Se requiere de al menos 5 observaciones por muestra  Puede usarse con muestras desiguales

 El estadístico K se obtiene con la formula:

Donde R es el rango correspondiente a cada observación desde el menor valor al mayor. n = número de observaciones por muestra N = número total de observaciones

EJEMPLO

DE KRUSKAL- WALLIS

 Un biólogo hace un conteo de orquídeas en 5 cuadrantes al azar en 4 sitios de muestreo y se pregunta si hay diferencias en la cantidad e orquídeas entre los sitios. La variable de respuesta es la cantidad de orquídeas y el factor es sitio (4 niveles), cada nivel tiene 5 datos, que proceden de cada cuadrante.

Sitios (factor)

Ho: no hay diferencias en el número de orquídeas entre los sitios Hi: los sitios difieren en el número de orquídeas

A

B

C

D

Cuadrante 1

27

48

11

44

Cuadrante 2

14

18

0

72

Cuadrante 3

8

32

3

81

Cuadrante 4

18

51

15

55

Cuadrante 5

7

22

8

39

EJEMPLO

DE KRUSKAL- WALLIS

 Se calculan los rangos para cada sitio, primero se ordenan los datos del menor al mayor, y se asignan los rangos con los mismos criterios que en U de MannWhitney n

 n = numero de datos por muestra (sitio)

A

B

C

D

27

48

11

44

14

18

0

72

8

32

3

81

18

51

15

55

7

22

8

39

5

5

5

5

R R2

∑R2/n Obs.

0

3

7

8

8

11

14

15

18

18

22

27

32

39

44

48

51

55

72

81

R

1

2

3

4.5

4.5

6

7

8

9.5

9.5

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

EJEMPLO

DE KRUSKAL - WAL L I S

Sitios A

 Recordando la pregunta : ¿existen diferencias de los conteos entre los 4 sitios de muestreo?

B

D

27 (12)

48 (16)

11 (6)

44 (15)

14 (7)

18 (9.5)

0 (1)

72 (19)

8 (4.5)

32 (13)

3 (2)

81 (20)

18 (9.5)

51 (17)

15 (8)

55 (18)

7 (3)

22 (11)

8 (4.5)

39 (14)

n

5

5

5

5

R

36

66.5

21.5

86

R2 1296 R2/n 259.2 ∑(R2/n) 2715.3

(R)

C

4422.25 462.25 884.45 92.45

7396 1479.2

0

3

7

8

8

11

14

15

18

18

22

27

32

39

44

48

51

55

72

81

1

2

3

4.5

4.5

6

7

8

9.5

9.5

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

EJEMPLO DE KRUSKAL - WALLI S, c alc ulo del estadístic o k



EJEMPLO

DE KRUSKAL- WALLIS , sig nific anc ia de la prueba en tablas de ji c uadrada

Para determinar la significancia de la prueba se utiliza la tabla de distribución de X 2 , con los grados de libertad, que se calculan

como el número de muestras ( n -1) = (4 – 1) = 3 valor crítico al 0.05, K = 7.815

EJEMPLO

DE KRUSKAL- WALLIS , c onc lusión

El valor calculado de K = 14.58 es mayor al valor crítico de K= 7.8, por lo tanto ,se rechaza la Ho y se acepta la Hi, por tanto si hay diferencias en la cantidad de Valor Ho Crítico orquídeas entre los cuatro sitios al 0.05 aceptación

7.8

El resultado de la prueba como las anteriores se reporta con el estimador, los grados de libertad y el valor de probabilidad En este ejemplo: K = 14.58, g. l. = 3, p < 0.05 que es lo mismo que: K = 14.58, g. l. = 3, p = 0.002 ( va lo r ex a c to c a l c u la d o e n E x c e l)