Matemática 2°Medio - Guía 9 Semejanza de triangulos y criterios - 2°Semana Septiembre

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GUÍA Nº 9 – Semejanza de triángulos y criterios Profesora Curso Actividad

Fecha o periodo Aprendizaje Esperado Instrucciones

Departamento de matemática. 2° Medio A – B – C - D Resuelven ejercicios propuestos en esta guía donde aplican el concepto de semejanza de triángulos Actividad 1 Resuelven ejercicios propuestos en esta guía donde aplican criterios de semejanza Actividad 2 2°Semana de Septiembre Comprender el concepto de semejanza en figuras planas y triángulos. Aplicar criterios de semejanza en triángulos.

Para resolver los ejercicios propuestos es necesario que revise la sección de definiciones y ejemplos presentados en esta guía. Resolver la guía en tu cuaderno. SOLO las respuestas. Cualquier pregunta no dudes en plantearla a l@s profesor@s a través de Correos: [email protected] [email protected] [email protected] [email protected] [email protected] Saludos Cordiales y por favor cuídese 

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DEFINICIONES: SEMEJANZA: Para que dos polígonos sean semejantes es necesario que se cumplan dos condiciones: 1° que tengan sus ángulos respectivamente congruentes (de igual medida), y 2° que sus lados homólogos sean proporcionales.

Es decir, lado ̅̅̅̅ es homólogo a lado ̅̅̅. Lado ̅̅̅̅ es homólogo a lado ̅̅̅̅̅. Lado ̅̅̅̅ es homólogo a lado ̅ . Lado ̅̅̅̅ es homólogo a lado ̅̅̅̅, etc.

TRIANGULOS SEMEJANTES: Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes (DE IGUAL MEDIDA) y sus lados homólogos son proporcionales.

Constante Semejanza

Recordar concepto de proporcionalidad revisar https://www.youtube.com/watch?v=pbCV7_9CyEk

EJEMPLOS: 1) El triángulo ABC, isósceles en B cuya base mide 9 cm. Si AB = 9 cm. Si AC mide 5 cm. Determinar si el nuevo triángulo A’B’C’, con A’C’ = B’C’ = 15 cm y A’B’ = 27cm es semejante al triangulo ABC. RESPUESTA: Triángulo ABC

Para determinar si dos triángulos son semejantes se deben revisar las condiciones de semejanza. Condición N°1: que tengan sus ángulos respectivamente congruentes (de igual medida). Ángulo ACB = 126,8°

Ángulo CBA= 26,6°

Ángulo BAC = 26,6°

Ángulo A’C’B ’=126,8°

Ángulo C’B’A’=26,6°

Ángulo B’A’C’ =26,6°

Como se observa en la tabla superior los ángulos congruentes para ambos triángulos tiene la misma mediad. Por lo tanto se cumple la primera condición. Condición N°2: que sus lados homólogos sean proporcionales

Triángulo A’B’C’

Para comprobar esta condición calculamos la proporción de la siguiente manera.

La constante de semejanza = 3. Como los lados homólogos son proporcionales, se cumple la segunda condición. Como la condición 1 y 2 se cumple (DEBEN cumplirse ambas condiciones), se verifica que los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes.

2) Los lados de un triángulo FGH, miden 18 cm., 24 cm. y 30cm., respectivamente. Si en un triángulo semejante a éste, el lado homólogo del primero mide 6 cm., hallar los otros dos lados de este triángulo. RESPUESTA: En primer lugar se determina el valor de la constante de proporcionalidad, con los datos proporcionados:

Por lo tanto, la constante es 3. Formamos la proporciona para determinar el valor de los otros lados.

Resolvemos, X = 8

Resolvemos, Y = 10

LA medida de los lados del triángulo son: 6cm, 8 cm y 10 cm respectivamente.

ACTIVIDAD N°1: 1) Construir un triángulo semejante para cada caso: a)

Triángulo Semejante

b)

Triángulo Semejante

2) Los lados de un triángulo miden 24 m., 18m. y 36 m., respectivamente. Si los lados de otro triángulo miden 12m., 16 m. y 24 m., respectivamente. Determina si se cumple la segunda condición de semejanza.

3) Los lados de un triángulo miden 36 m., 42 m. y 54 m., respectivamente. Si en un triángulo semejante a éste, el lado homólogo del primero mide 24 m., hallar los otros dos lados de este triángulo.

4) Se tiene un triángulo MNP isósceles en N, cuya base mide 10 cm. Si MN = 8 cm, ¿cuál(es) de los siguientes triángulos es (son) semejante(s) al triángulo MNP? a) Un triángulo RST, isósceles en S, cuya base mide 5 cm. ¿Es semejante?, ¿Por qué?

b) Un triángulo FGH, con FG = GH = 2 cm y HF = 2,5 cm. ¿Es semejante?, ¿Por qué?

c) Un triángulo ABC, isósceles en B, con

(ángulos de igual medida

) ¿Es semejante?, ¿Por qué?

CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Para determinar si dos triángulos semejantes, existen 3 criterios. Si solo uno de estos criterios se cumple, se garantiza que los triángulos son semejantes. 1° Criterio AA (ángulo – ángulo) Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes.

Ejemplo: Comprobar si los siguientes triángulos son semejantes De la imagen se observa, que los triángulos son semejantes porque tiene son ángulos correspondientes (de igual medida) el ángulo 60° y 100°.

2° Criterio LLL (lado – lado – lado) Dos triángulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.

Ejemplo: Comprobar si los siguientes triángulos son semejantes

EL criterio LLL señala que los dos triángulos serán semejantes si sus lados homólogos son proporcionales. Por tal razón, se debe comprobar la proporcionalidad.

Como el valor de la razón (1,5) se mantiene. Se comprueba que los lados son proporcionales 3° Criterio LAL (Lado – Angulo – lado) Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es congruente. Ejemplo: Comprobar si los siguientes triángulos son semejantes De la imagen se observa que el ángulo comprendido entre los lados homólogos es congruente y mide 65°. A continuación se comprobará que los lados son proporcionales: 17 5 7

;

20 8

En ambos resultados dio 2,5 por lo tanto los triángulos son proporcionales.

ACTIVIDAD N°2:

1) En los siguientes ejercicios aplica el criterio AA. a) ¿ Es posible que dos triángulos sean semejantes, si el primero contiene ángulos que miden 50° y 79°, y el segundo uno de 79° y otro de 51°? ¿Por qué? b) ¿Es posible que dos triángulos rectángulos sean semejantes, si el primero contiene un ángulo que mide 26°, y el segundo uno de 64°. ¿Por qué? c) ¿Es posible que dos triángulos rectángulos sean semejantes, si el primero contiene un ángulo que mide 85°, y el segundo uno de 100°. ¿Por qué? d) ¿ Es posible que dos triángulos sean semejantes, si el primero contiene ángulos que miden 45°y 72°, y el segundo uno de 72° y otro de 85°? ¿Por qué?

2) En los siguientes ejercicios aplica el criterio LLL a) Un triángulo tiene como medidas de sus lados 27 metros, 32 metros y 40 metros y un dibujo a escala de lados 135 metros, 160 metros y 200 metros. ¿Son semejantes estos triángulos?, ¿Cuál es la constante de semejanza? b) Un triángulo tiene como medidas de sus lados 8m, 6m y 12m y otro triángulo tiene medidas 6m, 4m y 3m. ¿Son semejantes estos triángulos?, ¿Cuál es la constante de semejanza? c) Las medidas respectivas de los lados de un triángulo son 3 cm, 5 cm y 6 cm. Si el más corto de los lados de otro triángulo semejante mide 4 cm, encontrar la medida de cada uno de los otros dos lados. d) Las medidas respectivas de los lados de un triángulo son 12 cm, 14 cm y 9 cm. Si el más largo de los lados de otro triángulo semejante mide 350 cm, encontrar la medida de los otros dos lados. e)Las medidas respectivas de los lados de un triángulo son 21 cm, 18 cm y 36 cm. Si un lado mide 7 cm y no es el más largo ni el más corto de los lados de un triángulo semejante, encontrar la medida de los otros dos lados.

3) En los siguientes ejercicios aplica el criterio LAL 4) a) Un triángulo tiene dos lados de longitud 10cm y 6cm y el ángulo comprendido entre ellos de 100°. Otro triángulo tiene lados de 5cm y 3cm y el ángulo entre ellos dos es de 100°. ¿Cuál es constante de semejanza si existe? b) Un triángulo tiene dos lados de longitud 2cm y 4cm y el ángulo comprendido entre ellos de 70°. Otro triángulo tiene lados de 8cm y 3cm y el ángulo entre ellos dos es de 70°. ¿Cuál es la constante de semejanza si existe? d) Un triángulo tiene dos lados de longitud 125cm y 130cm y el ángulo comprendido entre ellos de 45°. Otro triángulo tiene lados de 26cm y 25cm y el ángulo entre ellos dos es de 45°. ¿Cuál es la constante de semejanza si existe? e) Un triángulo tiene dos lados de longitud 10cm y 25cm y el ángulo comprendido entre ellos de 94°. Otro triángulo tiene lados de 110cm y 275cm y el ángulo entre ellos dos es de 86°. Cuál es la constante de semejanza si existe?