9 - Matemática - Múltiplos y divisores

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APRENDIENDO

Múltiplos y divisores Regularidades y patrones de los números enteros

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Una de las nociones más básicas en matemática es, sin duda, la de número. Los números cautivaron a la humanidad desde tiempos remotos y, a pesar de que en la Antigüedad hubo épocas en las que la geometría acaparaba la atención de grandes pensadores, los matemáticos nunca perdieron su interés por los números. Preguntas muy simples de formular pueden esconder respuestas sorprendentes y muchas verdades a primera vista transparentes han requerido de esfuerzos monumentales para ser demostradas con rigor matemático. La teoría de números como una disciplina de la matemática comenzó posiblemente con Diofanto de Alejandría (ca. 200-284) y luego recibió gran impulso por parte de Fermat (1601-1665), Euler (1707-1783) y Gauss (1777-1855), quienes sentaron las bases de la teoría de números moderna. Hoy en día la computación ha hecho de la teoría de números una herramienta imprescindible, a pesar de que en el pasado era considerada la disciplina menos aplicable de la matemática. En este número introduciremos algunas nociones básicas de los números enteros, como son las de múltiplo y divisor, y veremos cómo aparecen interesantes patrones y regularidades de manera natural.

1 2 3

INICIAL

Si sumás dos números pares el resultado es un número par, y si multiplicás dos números pares… también da par. ¿Por qué?

INTERMEDIO

Entre los múltiplos de 6 están 12, 18, 24, 30… y entre los múltiplos de 10 están 20, 30… ¡El 30 apareció dos veces, es múltiplo de ambos! ¿Será el único o habrá más?

AVANZADO

Si sumás un múltiplo de 6 y un múltiplo de 15, da múltiplo de… No, no da nada, ¿o sí?

1

INICIAL

Par más par: par No hay dudas sobre cuáles son los números pares. El 10 es par, el 16 también, en cambio el 15 no lo es, ni tampoco el 23. Todos sabemos decir si un número dado es o no par, pero ¿sabemos explicar por qué?, ¿sabemos decir cuáles son todos los números pares? Tampoco dudamos sobre la siguiente verdad: la suma de dos números pares da un número par. Pero ¿sabemos explicar por qué esto es así? Estas que aceptamos como verdades sin más, se convertirán en verdades irrefutables si somos capaces de explicar el porqué de ellas. ¡Manos a la obra! .. .

¿Cuáles son los números pares? Los números pares son los múltiplos de 2 o los que son divisibles por 2, es decir que son todos los números que se obtienen multiplicando por 2 algún número dado. Esta definición nos dice cómo construir números pares: simplemente hay que elegir un número cualquiera y multiplicarlo por 2, el resultado es, por definición, un número par.

Para hacer esto debemos tomar uno a uno los números naturales y multiplicarlos por 2, como muestra el dibujo. Listo, los tenemos a todos y está claro que no todos los números son pares, por ejemplo, el 3 no está en la lista, el 3 no es par. Llamamos impares a todos los números que no son pares. ¿Por qué estamos tan seguros de que el 3 es impar? Bueno, los naturales están ordenados y a medida que crecen el resultado de multiplicarlos por 2 también crece.

02

2 10 242 2.134

0 2. ...

×2 × 2 × 2 × 2

0

n

2n

×2

Algunos números pares

1 5 121 1.067

100

9 . .. 9 4 5 1 2 3

0 1.0 ... 101

.. .

01 1.0

2. 00

0..

.2 02

20 0

198 .

.. 10

8 6 4 2

La lista ordenada de pares empieza con el 2, sigue con el 4, y los que vengan después serán todos más grandes que 4, así resulta que el 3 no aparecerá nunca en la lista de pares. De esta misma forma podemos mostrar que el 17 es impar, pues observamos que el 16 es par pues 16 = 2 × 8 y el próximo par es 2 × 9 = 18, que es más grande que 17. Luego 17 tampoco aparecerá en la lista de pares.

Sumemos pares e impares Para poder decir algo interesante sobre la suma de pares e impares necesitamos abstraernos de los ejemplos particulares. Como ya dijimos, un número a es par si es el doble de otro, si se obtuvo multiplicando por 2 otro número. Es decir si a es de la forma 2p, para algún número p. En símbolos: a = 2p. Por otro lado los impares son los que no son pares, y entre dos

pares consecutivos hay un solo impar, como se ve en el dibujo de arriba. Si a un par le sumamos 1 obtenemos un impar y si a un impar le restamos 1 obtenemos un par. Es decir que los impares son los múltiplos de 2 más 1, son los b de la forma 2q + 1. En símbolos: b = 2q + 1. Para terminar, sumemos pares con pares, pares con impares e impares con impares.

PAR + PAR

a = 2p, b = 2q

a + b = 2p + 2q = 2 (p + q).

PAR + IMPAR

a = 2p, b = 2q + 1

a + b = 2p + 2q + 1 = 2 (p + q) + 1.

IMPAR + IMPAR

a = 2p + 1, b = 2q + 1

66

a + b = 2p + 1 + 2q + 1 = 2 (p + q) + 2 = 2 (p + q + 1).

+

par

impar

par

par

impar

impar impar par

La suma de dos números pares es un número par y, más generalmente, la suma de dos múltiplos de un número n es otro múltiplo de n.

Un poquito más El hecho de que la suma de números pares dé siempre par no es algo exclusivo de los pares. Si en vez de pares consideramos los múltiplos de otro número y sumamos dos de ellos, el resultado es otro de ellos. Por ejemplo, tomemos dos múltiplos de 3, a = 3p y b = 3q y sumémoslos: a + b = 3p + 3q = 3(p + q), otro múltiplo de 3. Tomemos finalmente dos múltiplos de un número n, a = np y b = nq y sumémoslos: a + b = np + nq = n(p + q), otro múltiplo de n.

Para practicar 1) Repasá las tablas de multiplicar por 3, 4, 5, 6, 7 y 8, contá cuántos pares y cuántos impares hay en cada una y completá la siguiente tabla:

Tabla del

3

4

5

6

7

8

Cantidad de pares Cantidad de impares 2) Ayudándote con la tabla que acabás de completar, contestá las siguientes preguntas. Luego intentá explicar tus respuestas haciendo algunas cuentas con letras, como las que hicimos en el texto. a) Si se multiplican dos números pares, ¿es el resultado siempre par? b) Si se multiplican dos números impares, ¿es el resultado siempre impar? c) Si se multiplican un número par y uno impar, ¿es siempre el resultado par?, ¿es siempre impar?

Para pensar y discutir en clase Los primeros múltiplos de 3 son 3, 6 y 9. Los números 4, 7 y 10 se pasan por 1 de estos múltiplos de 3, 5, 8 y 11 se pasan por 2 de estos mismos múltiplos. a) Escribí una lista con los 10 primeros múltiplos de 3, empezando con 3, 6, 9. b) Escribí una segunda lista con los 10 primeros números que se pasan por 1 de los múltiplos de 3 que escribiste, empezando con 4, 7, 10. c) Escribí una tercera lista con los 10 primeros números que se pasan por 2 de los múltiplos de 3 que escribiste, empezando con 5, 8, 11. d) Elegí 5 de los múltiplos más grandes de 3 que escribiste y expresalos como suma de dos múltiplos de 3, es decir como suma de dos números de la primera lista. Por ejemplo, 15 = 6 + 9. e) Expresá cada uno de los 5 múltiplos elegidos como suma de dos números que no sean múltiplos de 3. Por ejemplo, 15 = 7 + 8. f) ¿En cuántos de los 5 casos los dos números están en la misma lista? g) ¿Podés escribir algunos de los múltiplos de 3 como suma de dos números de la segunda lista, o como suma de dos números de la tercera lista?

67

2

intermedio

El mínimo común múltiplo El estudio de los múltiplos de un número entero dado es parte de la aritmética de los números que todos conocemos. También todos conocemos algo sobre la teoría de conjuntos, como la unión o la intersección de conjuntos. Ahora bien, estas dos cosas tienen mucho que ver aunque a primera vista parezca que no. Es frecuente en matemática que distintas áreas interaccionen enriqueciéndose mutuamente. En este caso te mostramos cómo la intersección de conjuntos y el mínimo común múltiplo de dos enteros están íntimamente relacionados. Este hecho clarifica el concepto de mínimo común múltiplo.

¿Qué es el mínimo común múltiplo? El conjunto de los números enteros está formado por los enteros positivos: 1, 2, 3, 4, …, el 0 y los enteros negativos: -1, -2, -3, -4, …. Dado un entero cualquiera los múltiplos de a son todos los enteros que se obtienen a partir de a multiplicándolo por otro entero. Te hacemos notar que los múltiplos del 0 son todos iguales a 0, el 0 tiene un único múltiplo. CUIDADO: a no es necesariamente positivo, podría ser a = -2. -4 -3 -2 -1 0

1 2 3 4

Multiplicación por a

-4a -3a -2a -a

0 a 2a 3a 4a

4a 3a 2a a

0 -a -2a -3a -4a

Todos los múltiplos de un entero a negativo

Todos los múltiplos de un entero a positivo

Vale la pena destacar que los múltiplos de un número a y los de - a son exactamente los mismos. Por ejemplo, el 15 está entre los múltiplos de 5, ya que 15 = 5 × 3, y está entre los múltiplos de - 5, ya que 15 = (- 5) × (- 3). Dados dos enteros a y b distintos de 0 nos quedamos con los múltiplos positivos de a y con los múltiplos positivos de b, que aparecen a la derecha del 0 en el gráfico. Como ab es un múltiplo de a y es también múltiplo de b, se sigue que a y b tienen múltiplos comunes. Más aún, si ab es positivo es un múltiplo positivo común, y si ab es negativo entonces - ab = (- b)a = (- a)b es un múltiplo positivo común. Habiendo siempre un múltiplo positivo común, hay uno que es el más chico de todos, este es por definición el mínimo común múltiplo de a y b.

Los múltiplos positivos de 6 y de 10. El primer múltiplo común es el 30, el próximo es el 60.

La regularidad de los múltiplos comunes En el último gráfico vimos que el mínimo común múltiplo de 6 y 10 es 30 y también vimos que el próximo múltiplo común es 60. ¿Cuál es el que sigue? Quizás estés tentado a responder 90; antes de hacerlo continuá el gráfico de múltiplos comunes y fijate si 90 es el próximo o no. Por el momento analicemos la situación. Por un lado no hay dudas de que 90 es un múltiplo común de 6 y de 10 pues 90 = 6 × 15 y 90 = 10 × 9. Entonces la pregunta es: ¿hay otro múltiplo común entre 60 y 90? Supongamos que sí y que este múltiplo común es un número a entre 60 y 90. Como a es múltiplo de 6 y de 10, entonces a = 6 × n y a = 10 × m. Ahora calculemos a - 60 de dos maneras distintas: a - 60 = 6 × n - 6 × 10 = 6 × (n - 10) a - 60 = 10 × m - 10 × 6 = 10 × (m - 6).

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Es decir que a - 60 es un múltiplo común de 6 y 10, pero además, como a está entre 60 y 90, a - 60 es positivo y más chico que 30. Luego debería ser el mínimo común múltiplo de 6 y 10, pero no lo es. Conclusión: no existe un múltiplo común a entre 60 y 90 y, por lo tanto, el próximo múltiplo común después de 60 es 90. Podemos hacer lo mismo para mostrar que el múltiplo común que sigue a 90 es 120, y así siguiendo podemos demostrar que todos los múltiplos comunes positivos de 6 y 10 son múltiplos de 30, el mínimo común múltiplo de 6 y 10. Todo esto también vale para los múltiplos comunes negativos de 6 y 10.

Todos los múltiplos comunes de dos números n y m son múltiplos del mínimo común múltiplo de n y m.

Un poquito más En la última parte demostramos que todos los múltiplos comunes de 6 y 10 son múltiplos del mínimo común múltiplo de 6 y 10. El tipo de demostración que hicimos tiene nombre y se llama “demostración por el absurdo”. Recordá que queríamos probar que no había ningún múltiplo común de 6 y 10 entre 60 y 90 y empezamos la demostración suponiendo que sí había un tal múltiplo, que llamamos a. Luego procedimos lógicamente para concluir que entonces debería haber un múltiplo común positivo y menor que 30, cosa que sabemos no es posible, pues 30 es el mínimo común múltiplo de 6 y 10. Es decir que a partir de la suposición de que existe un múltiplo común de 6 y 10 entre 60 y 90 dedujimos un absurdo, por lo tanto se sigue que nuestra suposición es falsa.

Para practicar 1) Para cada uno de los siguientes tres pares de números enteros calculá el mínimo común múltiplo y comparalo con el producto de los dos números.

a) 6 y 8

b) -8 y 10

c) 4 y 15.

2) Encontrá dos pares de números enteros positivos cuyo mínimo común múltiplo sea 6.

Para pensar y discutir en clase 1) Un cometa pasa cerca de la Tierra cada 76 años y otro se puede ver desde la Tierra una vez cada 12 años. Ambos fueron vistos juntos en 2002. ¿En qué año se verán juntos otra vez?

2) ¿Cuántos pares de números enteros positivos distintos hay cuyo mínimo común múltiplo es 10? ¿Y cuántos hay cuyo mínimo común múltiplo es 12?

Sabías que... ...Euclides era uno de los fans de las pruebas por el absurdo? Su primera demostración por el absurdo, Reductio ad absurdum en latín, apareció en sus Elementos para probar que si en un triángulo dos de sus ángulos son iguales, entonces los lados opuestos a estos son iguales.

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3

AVANZADO

El máximo común divisor La búsqueda de patrones y regularidades en la naturaleza y de leyes que la gobiernan mantiene vivas a todas las ciencias. El descubrimiento de patrones y regularidades que no son evidentes a simple vista ha cautivado al ser humano desde tiempos remotos. A continuación te mostramos una verdad de la aritmética que no es evidente y que revela parte de la riqueza oculta de los números. Veremos cómo el máximo común divisor de dos enteros se puede definir uniendo conjuntos. ¿Será posible?

¿Qué es el máximo común divisor? Los divisores de 12 son: 1, 2, 3, 4, 6, 12 y -1, -2, -3, -4, -6, -12, y estos son también los divisores de -12. En general los divisores de un número entero a, sea positivo o negativo, son todos los enteros que es posible multiplicar por otro para obtener a. Por esto es que -3 es divisor de 12, ya que (-3) × (-4) = 12. Los divisores de un entero a son un conjunto finito, salvo para el 0, ya que todos los enteros son divisores del 0; en efecto: a × 0 = 0 para cualquier a. Hay números con muchos divisores, como 12, que tiene 6 divisores positivos y 6 negativos, y hay números con muy pocos divisores, como los números primos. Los primos tienen sólo 2 divisores positivos, si p es un primo (positivo) sus divisores positivos son: 1 y p. Dados dos enteros a y b podemos considerar los divisores de a, los divisores de b y luego distinguir los que son divisores de

ambos, es decir los divisores comunes de a y b. Este es un conjunto finito y, por lo tanto, hay uno de sus elementos que es más grande que todos, este es el máximo común divisor de a y b. Para números no muy grandes calcular el máximo común divisor no es muy difícil. Por ejemplo, calculemos el máximo común divisor de 28 y 32. Como 1 es divisor de ambos y estamos buscando el más grande de los divisores comunes, no hace falta que consideremos los divisores negativos. Divisores positivos de 28:

1, 2, 4, 7, 14, 28.

Divisores positivos de 32:

1, 2, 4, 8, 16, 32.

Divisores comunes:

1, 2, 4.

Máximo común divisor:

4.

Suma de múltiplos y el máximo común divisor El máximo común divisor de dos números tiene muchas propiedades, entre ellas la que te mostramos ahora, una regularidad de los números enteros algo sorprendente. Comencemos con dos enteros como, por ejemplo, 6 y 15 y consideremos todos los múltiplos de 6 y todos los múltiplos de 15: Múltiplos de 6: …, -24, -18, -12, -6, 0, 6, 12, 18, 24,… Múltiplos de 15: …, -60, -45, -30, -15, 0, 15, 30, 45, 60,… Hagamos ahora varias sumas de un múltiplo de 6 y uno de 15. En la tabla hemos calculado muchas de estas sumas. Mirá con atención los números en la tabla a ver si descubrís algo interesante, algún patrón o regularidad, alguna propiedad que satisfagan todos ellos. Te advertimos que no son todos múltiplos de 6 ni todos múltiplos de 15. ¡Son todos múltiplos de 3! ¿Puede ser? Sí, puede ser, así es. Pero ¿por qué 3? Bueno, 3 es el máximo común divisor de 6 y 15.

70

+

-60

-45

-30

-15

0

15

30

45

60

-24

-84

-69

-54

-39

-24

-9

6

21

36

-18

-78

-63

-48

-33

-18

-3

12

27

42

-12

-72

-57

-42

-27

-12

3

18

33

48

-6

-66

-51

-36

-21

-6

9

24

39

54

0

-60

-45

-30

-15

0

15

30

45

60

6

-54

-39

-24

-9

6

21

36

51

66

12

-48

-33

-18

-3

12

27

42

57

72

18

-42

-27

-12

3

18

33

48

63

78

24

-36

-21

-6

9

24

39

54

69

84

Conclusión: si a cada múltiplo de 6 le sumamos todos los múltiplos de 15 y hacemos la unión de todos los conjuntos así obtenidos, tendremos un conjunto cuyo menor elemento positivo es 3, el máximo común divisor de 6 y 15.

La suma de un múltiplo de un número n y un múltiplo de un número m es siempre un múltiplo del máximo común divisor de n y m.

Un poquito más Demostrar que el máximo común divisor de dos números enteros siempre se puede escribir como la suma de un múltiplo del primero más un múltiplo del segundo requiere un poco de trabajo que no haremos ahora. Lo que sí haremos es el siguiente ejemplo, que muestra cómo escribir el 4, que es el máximo común divisor de 12 y 28, de varias maneras como suma de un múltiplo de 12 y otro de 28.

4 = 28 - 2 x 12,

4 = 5 x 12 - 2 x 28,

4 = 10 x 28 - 23 x 12.

Siguiendo la pista Los divisores positivos de 28, sin incluir a 28, son: 1, 2, 4, 7 y 14. La suma de todos estos divisores es 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Por esto el 28 es llamado un número perfecto. El 6 también es perfecto. ¿Son el 6 y el 28 los únicos perfectos en el reino de los números o hay otros? Podés intentar encontrar otros vos mismo y luego averiguar qué se sabe sobre estos números.

Para practicar 1) Calculá el máximo común divisor de 24 y 15 y escribilo como suma de un múltiplo de 24 y otro de 15 de dos maneras distintas. 2) Encontrá dos pares de números enteros cuyo máximo común divisor sea 6.

Para pensar y discutir en clase 1) Mostrá que el máximo común divisor de 10 y 63 es 1 y escribilo como suma de un múltiplo de 10 y otro de 63. Luego mostrá cómo se puede escribir cualquier entero, positivo o negativo, como suma de un múltiplo de 10 y otro de 63. 2) ¿Es posible escribir cualquier entero como la suma de un múltiplo de 15 y otro de 21?

Sabías que... …Euclides inventó un algoritmo para calcular el máximo común divisor de dos números hace unos 2.300 años? Este algortimo es usado hoy en día por uno de los sistemas de encriptación informáticos modernos más conocidos, llamado RSA.

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matelocos

Julián en la estación Julián va a empezar a trabajar hoy en una estación de trenes ayudando a descargar los vagones que llegan cargados de mercadería. A la estación llega un tren desde el norte cada 24 horas, y uno desde el sur, cada 18. Julián sólo debe ir a trabajar los días en que, como hoy, llegan ambos trenes. ¿Cada cuántos días trabaja Julián?

Julián trabaja cada tres días.

Las esferas de oro del rey Tadeon Un rey llamado Tadeon tenía como su más preciado tesoro 24 esferitas de oro heredadas de su tatarabuelo. Para lucirlas las acomodó en uno de los platillos de una balanza y en el otro platillo puso 36 esferitas de otro metal más liviano de modo que la balanza quedó equilibrada. Un bufón se dio cuenta de que podía robar esferitas de la balanza sin hacerle perder el equilibrio para que el rey no lo descubriera. ¿Cuál es la menor cantidad de esferitas de cada clase que puede robarse el bufón?

Puede robarse dos esferitas de oro y tres de las otras.

La cervecería de don Jacinto Don Jacinto es distribuidor de cerveza en su barrio. Recibe la cerveza rubia en barriles de 60 litros, la negra en barriles de 42 litros y la sin alcohol en barriles de 36 litros. Quiere comprar barriles más pequeños, todos con igual capacidad, para almacenar la cerveza en su bodega sin desperdiciar nada. Le ofrecieron barriles de 2 litros pero no los compró, ya que busca los barriles más grandes posibles para su propósito. ¿Qué capacidad deben tener los barriles más grandes que le servirían a don Jacinto?

Rubia 60 ltrs.

Negra 42 ltrs.

s/alcohol 36 ltrs.

Los barriles más grandes que le servirían a don Jacinto son de 6 litros. 1) Los divisores positivos de 10 son: 1, 2, 5 y 10. Los divisores positivos de 63 son: 1, 3, 7 y 9. Luego el máximo común divisor es 1. Además 1 = 19 × 10 - 3 × 63 y luego cualquier entero a se puede escribir como: a = (19 × a) × 10 - (3 × a) × 63. 2) No es posible, pues el máximo común divisor de 15 y 21 es 3 y luego todas las sumas de un múltiplo de 15 mas uno de 21, será un múltiplo de 3. 1) Se verán juntos nuevamente en el año 2230. 2) Para el 10 hay 4 pares: 1 y 10; 2 y 10; 5 y 10; 2 y 5. Para el 12 hay 7 pares: 1 y 12; 2 y 12; 3 y 12; 4 y 12; 6 y 12; 3 y 4; 4 y 6. f) En ninguno. g) No se puede.

1 2 3

1) El mínimo común múltiplo de 6 y 8 es 24 y su producto es 48. El mínimo común múltiplo de -8 y 10 es 40 y su producto es -80. El mínimo común múltiplo de 4 y 15 es 60 y su producto es 60. 2) Dos pares de números positivos con mínimo común múltiplo igual a 6 son: 2 y 3; 1 y 6. 1) En la tabla del 3 hay 5 pares y 5 impares y en la del 4 son todos pares. 2) a) Sí. b) Sí. c) Es siempre par. 1) El máximo común divisor de 24 y 15 es 3. Además 3 = 2 × 24 - 3 × 15 y 3 = 5 × 15 - 3 × 24. 2) Algunos posibles pares son: 12 y 18; 18 y 24.

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Solu cio nes Solu cio nes