Más casos de factorización

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DIFERENCIA DE CUADRADOS Recuerda: El producto de binomios conjugados es igual a una diferencia de cuadrados. (𝑎 + 𝑏 ). ( 𝑎 − 𝑏 ) = 𝑎 2 − 𝑏 2 Por lo tanto: Una diferencia de cuadrados se puede escribir como el producto de binomios conjugados. 𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏). (𝑎 − 𝑏) Así encontramos otra estrategia de trabajo, útil para factorizar un polinomio. Ejemplos: 1) 𝑥 2 − 25 = (𝑥 + 5). (𝑥 − 5)

√𝑥 2

√25

2) J(x) = x 4 − 9x 2 = (𝑥 2 − 3𝑥 ). (𝑥 2 + 3𝑥 )

√𝑥 4

√9𝑥 2

3) I(x) = x 4 − 36 = (𝑥 2 − 6). (𝑥 2 + 6)

√𝑥 4 4)

√36

K(x) = x 6 − 16x 2 = (𝑥 3 − 4𝑥 ). (𝑥 3 + 4𝑥 )

√𝑥 6

√16𝑥 2

Actividad 1: Factoriza como Diferencia de Cuadrados: a) 𝑥 2 − 9 d) 𝑥 4 − 36 9 b) 𝑥 2 − 81 e) 49 𝑥 2 − 1 c) 4𝑥 2 − 25 f) 𝑥 6 − 100

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Recuerda: El cuadrado de un binomio es igual a un trinomio cuadrado perfecto. (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2. 𝑎. 𝑏 + 𝑏2 Por lo tanto: Un trinomio cuadrado perfecto se puede escribir como el cuadrado de un binomio. 𝑎2 + 2. 𝑎. 𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)2

Trinomio cuadrado perfecto

Cuadrado de un binomio: expresión factorizada del trinomio cuadrado perfecto

Ejemplos: 1) 𝑃(𝑥 ) = 𝑥 2 + 10𝑥 + 25 = (𝑥 + 5)2

√𝑥 2 a

2.a.b 2. 𝑥. 5

√25 b

2) 𝑄(𝑥 ) = 𝑥 2 − 6𝑥 + 9 = (𝑥 − 3)2

√𝑥 2 a

2.a.b 2. 𝑥. (−3)

√9 b

3) 𝑅(𝑥 ) = 𝑥 2 + 12𝑥 + 16 𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝑡𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡𝑜.

√𝑥 2 a

2.a.b 2. 𝑥. 4 8.x

√16 b

Actividad 2: Factoriza como Trinomio Cuadrado Perfecto, cuando sea posible: a) 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 d) 4𝑥 2 − 4𝑥 + 1 6 3 b) 𝑥 + 8𝑥 + 16 e) 4𝑥 6 + 4𝑥 3 + 1 4 4 c) 25𝑥 2 − 20𝑥 + 4 f) 𝑥 2 − 3 𝑥 + 9

CUATRINOMIO CUBO PERFECTO Sabiendo que: El cubo de un binomio es igual a un Cuatrinomio Cubo Perfecto. (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3. 𝑎2 . 𝑏 + 3. 𝑎. 𝑏2 + 𝑏3 Por lo tanto: Un Cuatrinomio Cubo Perfecto se puede escribir como el Cubo de un Binomio. 𝑎3 + 3. 𝑎2 . 𝑏 + 3. 𝑎. 𝑏2 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)3

Cuatrinomio cubo perfecto

Cubo de un binomio: expresión factorizada del Cuatrinomio cubo perfecto

Ejemplos: 1) 𝑇(𝑥 ) = 𝑥 3 + 3𝑥 2 + 3𝑥 + 1 = (𝑥 + 1)3

3

√𝑥 3 𝑎

3. 𝑎2 . 𝑏

3. 𝑎. 𝑏2

3. 𝑥 2 . 1 3. 𝑥 2

3. 𝑥. 12 √1 3𝑥 𝑏

3

2) 𝑅(𝑥 ) = 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 12𝑥 − 8 = (𝑥 − 2)3

3

√𝑥 3 𝑎

3. 𝑎2 . 𝑏

3. 𝑎. 𝑏2

3. 𝑥 2 . (−2) − 6. 𝑥 2

3. 𝑥. (−2)2 √−8 12. 𝑥 𝑏

3

3) 𝑀(𝑥 ) = 𝑥 3 + 4𝑥 2 + 8𝑥 + 8 No es Cuatrinomio Cubo Perfecto

3

√𝑥 3 𝑎

3. 𝑎2 . 𝑏

3. 𝑎. 𝑏2

3. 𝑥 2 . 2 6. 𝑥 2

3. 𝑥. 22 12. 𝑥

3

√8 𝑏

Actividad 3: Factoriza como Cuatrinomio Cubo Perfecto, cuando sea posible: a) 𝑥 3 + 6𝑥 2 + 12𝑥 + 8 e) 𝑥 3 − 12𝑥 2 + 48𝑥 − 64 1 3 3 b) 𝑥 3 − 9𝑥 2 + 27𝑥 − 27 f) 8 𝑥 3 − 4 𝑥 2 + 2 𝑥 − 1 c) 𝑥 3 + 15𝑥 2 + 75𝑥 + 125 1

3

d) 𝑅(𝑚) = 8 + 8𝑚9 + 2 𝑚3 + 6𝑚6 =

g) 𝑥 3 +

3 2

𝑥2 +

3 4

1

𝑥+8