Mallas Aprendizajes MEN grado 10-11 Matemáticas

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2016

CARTILLA ONCE: APRENDIZAJES EN MATEMÁTICAS para grados 10 Y 11

MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL DE COLOMBIA

Versión conjunta V2 2016-03-22

Equipo de integración de contenidos:

Mauricio Duque Margarita Gómez Carolina Laverde Yvonne Chipatecua

Equipo de producción en matemáticas:

Equipo de producción en Lenguaje

Margarita de Meza Nivia Yela Liliana Garrido José Ricardo Arteaga Mery Medina

Ángela Márquez de Arboleda Violetta Vega Martha Liliana Jiménez Inés Cristina Torres

Equipo del Ministerio participante en la versión final Mónica Lucía Suárez Ángela Cubillos Mauricio Niño Ana Medina Félix Antonio Gómez James Valderrama Jenny Blanco Poliana Otálora Jorge Castaño Jairo Aníbal Rey

Este trabajo se desarrolló inicialmente en el marco del convenio 834 de 2015 entre el Ministerio de Educación Nacional de Colombia, la Universidad Nacional de Colombia, la Universidad de los Andes y la Universidad Externado de Colombia. 2015. En esta versión se consolidan las observaciones y a portes realizados por los diferentes equipos del MEN.

Mallas de aprendizajes en matemáticas para grados décimo y once

1

INTRODUCCIÓN Propósito del documento En estas cartillas presentan un desarrollo por grados y unidades de los estándares nacionales de calidad en Colombia para lenguaje y matemáticas en un marco de Diseño Curricular Inverso, en el cual se busca centrar todo el desarrollo en la especificación de los aprendizajes en varias categorías, la evaluación del logro de estos aprendizajes y una posible trayectoria para lograrlos. Este trabajo no pretende responder integralmente a un currículo, pues ello implica, por ejemplo, asociar el material educativo a utilizar entre otros aspectos. Sin embargo representa un paso indispensable al presentar los aprendizajes de diferente tipo que deben lograr los estudiantes, faci litando la producción o selección de material educativo, la planeación detallada de actividades de aula y el fomento de prácticas efectivas de evaluación en las dos modalidades, tanto formativa como sumativa.

Claves para leer el documento 1

Desde la perspectiva de Diseño Curricular Inverso se utilizó la metodología propuesta por Wiggins (2011) . Esta selección 2 se sustenta en que dicha aproximación, reconoce las ventajas centrado en comprensiones y desempeños Stone (1998) detalla de forma explícita los conocimientos (SABER) y habilidades (SABER HACER) que los estudiantes requieren para ser competentes. Para cada área se presentan los siguientes elementos: 

Una visión general para el grado.



Los desempeños planteados en los estándares nacionales, las metas de transferencia y las grandes comprensiones que se deben lograr en el respectivo año.



Se presenta igualmente una gráfica que ilustra la progresión entre años de las principales temáticas abordadas con el de fin de dar una idea sobre la progresión entre grados.



Para cada unidad se detallan posteriormente las comprensiones esperadas con las preguntas esenciales, los conocimientos y las habilidades así como los desempeños con algunos ejemplos para facilitar el diseño o selección de actividades y la evaluación



Se continua con orientaciones didácticas



Finalmente se anexan los derechos Básicos de Aprendizaje del respectivo grado, los cuales se encuentran integrados en el componente de los desempeños de la unidad respectiva .

1

Wiggins, G., & McTighe, J. (2011). Understanding b y design. Guide to creating high-quality units: ASCD. Stone, M., Boix, V., Buchovecky, E., Dempsey, R., Gardner, H., Hammerness, K., . . . Gray, D. (1998). Teaching for understanding: linking research with practice: Jossey-bass publishers. 2

Mallas de aprendizajes en matemáticas para grados décimo y once

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La siguiente tabla resume la estructura de los componentes de la presentación para el año, así como la definición de los términos utilizados:

ESTÁNDARES NACIONALES DE LA DISCIPLINA Se transcriben los desempeños indicados en los estándares que se asocian al grado. Es importante recordar que los estándares nacionales se presentan por ciclos , los cuales comprenden varios grados.

METAS DE TRANSFERENCIA Los estudiantes serán capaces de utilizar de forma autónoma su conocimiento para… Se indica lo que el estudiante debe ser capaz de hacer de forma autónoma con lo que ha aprendido. Son los grandes aprendizajes perdurables que usará en su vida, dentro y fuera de la escuela . Implica poder transferir lo que se aprende a un contexto escolar a otros contextos y por ello su evaluación en el ambiente escolar es limitada. Estas metas de transferencias orientan y ayudan a dar sentido al grado.

COMPRENSIONES Lo s estudiantes comprenderán que … Presenta, en el nivel de formulación esperado, las comprensiones que debe lograr el estudiante al final de cada año escolar. Usualmente se refieren a grandes ideas y conexiones que el estudiante debe construir por si mismo , e invitan al estudiante a reflexionar, hacer conexiones y generalizaciones. No se debe caer en la tentación de enseñar estos enunciados de forma memorística sino con la intención de ayudar a los estudiantes a construir comprensiones profundas mediante la utilización de las preguntas esenciales Para cada unidad se presenta una tabla como la que se indica a continuación como encabezado del período:

COMPRENSIONES

PREGUNTAS ESENCIALES

Lo s estudiantes entenderán que … En este componente se describirán las comprensiones que se trabajan en la unidad respectiva

En este componente se plantea un conjunto de preguntas esenciales que pueden guiar al estudiante en su indagación y en lograr las comprensiones que se buscan.

CONOCIMIENTOS

HABILIDADES

Lo s estudiantes sabrán … En este componente se hace referencia al SABER de la competencia, a los conocimientos que el estudiante debe recordar como datos, conceptos, definiciones, valores y todo aquello que se debe recordar y que no queda incluido en una habilidad de forma explíci ta. Si bien este componente involucra la memoria, no implica que el estudiante deba aprenderlo en un ejercicio de memorización descontextualizado, sino en el marco del uso continuo de estos conocimientos en contextos genuinos.

Lo s estudiantes serán hábiles … En este componente se hace referencia al SABER HACER, a habilidades y a procedimientos que los estudiantes deben poder utilizar de forma eficaz y flexible.

Con este componente se busca resolver una inquietud recurrente de los docentes en relación a lo que el estudiante debe SABER y no se encuentra explícito en los estándares nacionales, lo cual lleva a menudo a programas sobrecargados o pobres en conocimientos esenciales.

Nuevamente no se trata de promover ejercicios mecánicos sin contexto claro, sino actividades genuinas y significativas que lleven al estudiante a ejercitar y lograr estas habilidades y procedimientos una y otra vez, no sólo para que no las olvide, sino para que las despliegue de forma eficaz, automática y sin gran esfuerzo cognitivo para poderse dedicar a procesos de pensamiento más complejos. A diferencia de la categoría conocimiento que implica recordar, en esta categoría implica HACER y se evalúa en el marco de una tarea que permite observar la habilidad.

Esta tabla es seguida de las evidencias de aprendizaje, ejemplos de tareas y algunas orientaciones didácticas.

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PROGRESIONES SECUNDARIA Pensamientos Grados

6 Negativos

Numérico

Números: Fracciones y decimales: los compara y sitúa significado y en la recta. Negativos: significado, usos representación y comparación. Definición π.

Operaciones

Forma

Aproxima al multiplo de 10 mas cercano, redondea. Cálculos mentales. Suma, resta, multiplica y divide cualquier par de naturales y decimales positivos. Divide fracciones. Paralelismo y perpendicularidad. Clasifica cuadrilateros. Compara y clasifica cajas. Visualiza, construye objetos a partir de vistas y moldes. Representa en 2D objetos 3D. Halla areas de triángulos, paralelogramos. Halla la longitud de la circunferencia y el área de un círculo usando π.

Geométrico

Métrico

Aleatorio

8

9

Compara, ordena y representa en la recta enteros y racionales.

Utilizar diferentes numeros según el contexto.

Conoce el significado y usa e. Representa numeros muy grandes o muy pequeños usando notación cientifica.

Realiza operaciones con negativos. Halla factores y multiplos comunes. Primos. Halla el Maximo Comun Divisor y el Minimo Comun Multiplo.

Calcula y usa operaciones entre racionales.

Comprende y usa exponentes racionales, Reconoce las relaciones entre las diferentes raices y logaritmos. Relaciona logaritmos con operaciones entre reales y algunas de sus exponentes. propiedades.

Define y usa congruencia y semejanza de Nombra y traza ángulos. Calcula areas de triángulos. Generaliza a figuras semejantes. Analiza características de piramides, figuras planas, descomponiendo en figuras Define congruencia y semejanza en términos cilindros, conos y esferas. Visualiza sólidos a conocidas. Construye triángulos y polígonos. de trasformaciones geométricas. Analiza partir de moldes, vistas o tajadas. características de prismas y cilindros.

Plano cartesiano. Situa puntos y halla coordenadas de un punto.

Trabaja con trasformaciones geométricas usando coordenadas. Homotesias, teselaciones.

Teoremas.

Justifica intuitivemente el teorema de Tales del ángulo subtendido pot un diámetro.

Teoremas de ángulos en el corte de dos rectas y ángulos entre paralelas cortadas por secante. Comprende y usa rasformaciones geométricas y simetría.

Teoremas de congruencia y semejanza. Construcciones con regla y compás. Teorema Demuestra teoremas geométricos usando de Pitágoras y teorema de Tales de geometría analítica. semejanza.

Medidas

Estima y redondea. Convierte unidades de Calcula áreas de figuras planas. Agranda y volumen, capacidad, o temperatura, usando reduce dibujos. Escalas. notación decimal.

Simplifica expresiones algebraicas. Escribe, lee, comprende y usa diferentes simbolos ≤, ≥. Recta. Plantea y resuelve ecuaciones lineales.

Identifica patrones. Halla el término n de una Identifica el patrón y el término n_ésimo en sucesión. una sucesión.

Usa distintos términos para indicar razones equivalentes. Representa razones y Razones y proporciones entablas, gráficas o diagramas. Proporciones Compara razones. Halla la tasa unitaria. Relaciona razones y porcentajes. Construye y usa diagramas circulares. Hace inferencias a partir de tablas y gráficas. Datos Formula preguntas acerca de las relaciones entre los datos. Probabilidad Usa argumentos frecuentistas para calcular probabilidades y tomar decisiones.

11 Irracionales Complejos Representa en la recta números racionales e Reconoce que no todo numero es racional y irracionales. Comprende algunas diferencias que la raiz de 2 no es racional. Reconoce la entre ellos. Comprende la relación entre los relacion entre los numeros y los púntos de la diferentes sistemas numéricos: N, Z, Q, R y C. recta. Es conciente de la necesidad de Comprende el significado y la notación de los nuevos números a partir de la solucion de complejos. Comprende la notación y diferentes tipos de ecuaciones. representación de vectores en el plano.

Racionales

COORDENADAS CARTESIANAS

Patrones y Funciones

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Racionales

Posición

Escribe, traduce expresiones. Determina el valor dando valores a variables. Determina expresiones equivalentes. Reconoce variable Expresiones dependientes e independientes. Resuelve y Algebraicas plantea ecuaciones sencillas. Represente relaciones entre cantidades. Usa fórmulas sencillas.

Variacional

7 Enteros y racionales

Reales

Usa coordenadas cartesianas para analizar relaciones geométricas.

Realiza operaciones entre complejos y entre vectores en el plano.

Repasa las nociones básicas de la geometría. Introduce la geometría del espacio. Estudia las cónicas y lugares geométricos.

Usa coordenadas polares y las relaciona con Usa la geometría cartesiana para analizar las cartesianas. Justifica relaciones Introduce coordenadas en tres dimensiones. gráficas de funciones y familas de funciones. algebráicas usando argumentos geométricos. Comprende las definiciones fundamentales y Traza figuras con regla y compas. Conoce los sigue la demostración de teoremas de Elementos de Euclides. Sustenta relaciones geometría euclidiana. Usa argumentos de la geométricas con argumentos algebraicos y geometría analítica para justificar relaciones viseversa. geométricas o algebraicas. Calcula áreas usando aproximaciones sucesivas. Mide angulos en radianes. Mide Comprende cómo medir atributos usando longitud de arco y áreas de sectores razones e índices. circulares.

Determina area exterior y volumen de prismas y cilindros.

Pasa de una unidad a otra usando razones. Reconoce relaciones entre unidades determinada por la razón entre dos cantidades como velocidad o densidad.

Interpreta y usa expresiones algebráicas. Realiza operaciones con expresiones algebraicas. Factoriza. Reconoce algunas identidades y las usa.

Usa propiedades y operaciones de Determina relaciones entre variables en una expresiones algebraicas. Comprende las función. Trabaja con intervalos y valor diferencias entre variables y parámetros en absoluto de manera algebraica y geometrica. familias de funciones. funciones trigonometricas. ps

Usa expresiones algebraicas para escribir, leer e interpretar relaciones entre variables.

Funciones: definición intuitiva. Representación de la variación entre 2 variables. Halla recta por dos puntos, pendiente, cortes, familia de rectas.

Concepto de función. Rectas en general, paralelas y perpendiculares. Funciones afines y lineales. Familia de rectas, ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones lineales y desigualdades. Funciones cuadraticas, parábolas y ecuaciones cuadráticas. Función exponencial. Razones trigonométricas.

Representa y usa funciones racionales, asintotas, funciones a trozos, función valor absoluto. Realiza operaciones entre funciones. Define la derivada como pendiente de la tangente y como medida del cambio. Calcula la derivada de funciones polinomiales. Como contenido opcional: funciones trigonometricas inversas, derivadas, uso de derivadas para calcular con maximos y minimos.

Identifica y representa relacions inversa y directamente proporcionales, las representa Analiza velocidad, el cambio en distancia o en ecuaciones, tablas, gráficas y diagramas. tiempo. Representa de diferentes maneras y Halla constante de proporcionalidad. relaciona porcentajes, fracciones, razones. Relaciona razones, porcentajes y fracciones. Interpreta y costruye tablas de frecuencias, Escoge la representación grafica más histogramas. Usa medidas estadístiacas para pertinente. Reconoce la importancia de describir e interpretar datos. Usa e escoger la muestra. interpreta diagramas de dispersión. Determina probabilidades con argumentos frecuentistas. Reconoce eventos seguros e Estima la probabilidad de un experimento. improbables.

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Comprende qué es un polinomio y realiza operaciones entre polinomios. Analiza y representa con expresiones algebráicas, gráficas en el plano cartesiano, en forma verbal o tablas, funciones polinomiales, logaritmicas y funciones trigonometricas.

Relaciona proporciones y funciones lineales. Compara y mide atributos usando razones e Compara y mide atributos usando razones e Relaciona la constante de proporcionalidad y índices. índices. la pendiente.

Reconoce variables aleatorias, cualitativas y cuatitativas. Compara conjuntos de datos usando medidas de tendencia central.

Reconoce la importancia de la muestra. Usa medidas de tendencia central para sacar conclusiones. Formula preguntas y diseña experimentos para responderlas.

Determina probabilidades con argumentos frecuentistas. Identifica eventos independientes y eventos excluyentes.

Usa la probabilidad condicional. Ilustra situaciones en diagramas de Venn.

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Representa e interpreta datos usando variables cualitativas y cuantitativas. Reconoce la importancia de la muestra. Usa la probabilidad condicional y las reglas de probabilidad. Trabaja con eventos independientes y eventos compuestos.

GRADO DÉCIMO Visión general del grado Para comprender la importancia de las ideas matemáticas que se aprenden en la educación media hagamos un poco de historia. En la segunda mitad del siglo XV dos grandes acontecimi entos convulsionaron el mundo: se descubrió América y se popularizó la imprenta y con ello se democratizó el conocimiento. Entre los principales protagonistas de los cambios sociales, políticos, religiosos, científicos y tecnológicos que acaecieron en los siglos siguientes, están las ideas matemáticas cuyo desarrollo propició otras formas de ver y comprender el universo y que son precisamente las ideas básicas de las matemáticas de la educación media. Cardano, Descartes y Fermat, entre otros, desarrollaron las ideas del álgebra e introdujeron los conceptos de la Geometría Analítica o Cartesiana, dos de los puntos centrales de las matemáticas de décimo, que terminan de formalizarse en grado once. Estas ideas permitieron el estudio de curvas diferentes a circunferencias o segmentos y sustituyeron el estudio de los números y sus operaciones por la manipulación de letras, con lo que se construyó un lenguaje abstracto que permitió describir y analizar fenómenos y le dio un impulso a la física. El estudio de ángulos y relaciones entre catetos, que había acompañado a geógrafos y astrónomos, recibió un nuevo impulso ya que los viajes entre Europa y América requerían determinar la posición y el tiempo con gran precisión, estimulando el estudio de la trigo nometría, otra de las áreas de las matemáticas de décimo. Uno de los temas centrales de las matemáticas y una herramienta poderosa para modelar situaciones de las matemáticas, las ciencias o la técnica son las funciones. La comprensión del lenguaje de las funciones es fundamental ya que modelar una situación consiste en encontrar una función que se acomode a las condiciones del contexto. Para poder elegir cuál concepto matemático se ajusta mejor a una situación particular es necesario tener presentes las características algebraicas y gráficas de diferentes tipos de funciones como: polinomiales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, etc. Por eso es necesario analizar y profundizar en la comprensión de los conceptos y no quedarse en la ejecución de algoritmos mecánicos. Otra de las ideas matemáticas que surgen en el siglo XVII y tienen hoy una gran importancia tanto dentro de las matemáticas como en sus aplicaciones es la probabilidad. A partir de un problema que le planteó un amigo a Fermat sobre el juego, él y Pascal iniciaron el estudio de la incertidumbre y el azar, que hoy forman parte también de las matemáticas de décimo.

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Aprendizajes para el grado ESTÁNDARES BÁSICOS DE COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS GRADOS 10 Y 11 PENSAMIENTO NUMÉRICO Y SISTEMAS NUMÉRICOS     

Analizo representaciones decimales de los números reales para diferenciar entre racionales e irracionales. Reconozco la incompletitud de los números racionales a través de métodos numéricos, geométricos y algebraicos. Comparo y contrasto las propiedades de los números (naturales, enteros, racionales y reales) y las de sus relaciones y operaciones para construi r, manejar y utilizar apropiadamente los distintos sistemas numéricos. Utilizo argumentos de la teoría de números para justificar relaciones que involucran números naturales. Establezco relaciones y diferencias entre diferentes notaciones de números reales para decidir sobre su uso en una situación dada.

PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMÉTRICOS   

Identifico características de localización de objetos geométricos en sistemas de representaciones cartesianas y polares y en particular de las curvas y figura s cónicas. Uso argumentos geométricos para resolver y formular problemas en contextos matemáticos y en otras ciencias. Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones trigonométricas.

PENSAMIENTO METRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS 



Resuelvo y formulo problemas que involucren magnitudes cuyos valores medios se suelen definir indirectamente como razones entre valores de otras magnitudes, como la velocidad media, la aceleración media y la densidad media. Justifico resultados obtenidos mediante procesos de aproximación sucesiva, rangos de variación y límites en situaciones de medición.

PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS  

 

Utilizo las técnicas de aproximación en procesos infinitos numéricos Interpreto la nocion de derivada como razón de cambio y como valor de la pendiente de la tangente a una curva y desarrollo métodos para hallar las derivadas de algunas funciones básicas en contextos matemáticos y no matemáticos Analizo las relaciones y propiedades entre las expresiones algebraicas y las gráficas de funciones polinomicas y racionales de sus derivadas. Modelo situaciones de variación periódica con funciones trigonométricos e interpreto y utilizo sus derivadas.

PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE DATOS         

Interpreto y comparo resultados de estudios con información estadística provenientes de medios de comunicación. Justifico o refuto inferencias basadas en razonamientos es tadísticos a partir de resultados de estudios publicados en los medios o diseñados en el ámbito escolar. Diseño experimentos aleatorios (de las ciencias físicas, naturales o sociales) para estudiar un problema o pregunta. Describo tendencias que se observan en conjuntos de variables relacionadas. Interpreto nociones básicas relacionadas con el manejo de información como población, muestra, variable aleatoria, distribución de frecuencias, parámetros y estadígrafos). Uso comprensivamente algunas medidas de centralización, localización, dispersión y correlación (percentiles, cuartiles, centralidad, distancia, rango, varianza, covarianza y normalidad). Interpreto conceptos de probabilidad condicional e independencia de eventos. Resuelvo y planteo problemas usando conceptos básicos de conteo y probabilidad (combinaciones, permutaciones, espacio muestral, muestreo aleatorio, muestreo con remplazo). Propongo inferencias a partir del estudio de muestras probabilísticas.

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METAS DE TRANSFERENCI AS Los estudiantes serán capaces de utilizar autónomamente sus aprendizajes para …        

Identificar diferencias y similitudes entre números racionales y números irracionales. Representar sobre la recta numérica de manera exacta y en algunos casos de manera aproximada números racionales y números irracionales. Usar la función logarítmica en base e y en cualquier otra base, para modelar situaciones Calcular la razón de cambio promedio y el cambio instantáneo entre ciertas variables y usarlo para medir el cambio en un contexto particular. Identificar funciones básicas, tanto su expresión algebraica como su representación geométrica: lineal, cuadrática, polinomi ales, logaritmicas y trigonométricas. Reconocer el resultado de realizar cambios en parámetros en familias de funciones. Hacer predicciones utilizando la probabilidad. Proponer inferencias a partir de observaciones y estudios estadísticos.

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Aprendizajes en pensamiento numérico y sistemas numéricos COMPRENSIONES Los estudiantes comprenderán que… 





Los naturales, los enteros, los racionales y los reales constituyen sistemas de conjuntos de números con operaciones, propiedades y características propias que los diferencias y los interconectan. Los números racionales y sus propiedades nos sirven para representar qué tan grande o qué tan pequeño puede ser un objeto o un evento. Los números racionales nos permiten acercarnos a lo infinitamente grande y a lo infinitamente pequeño.

PREGUNTAS ESENCIALES Los estudiantes guiarán la comprensión en torno a las siguientes preguntas…    

¿Cómo se diferencian los números racionales de los irracionales? ¿Cómo se establece la correspondencia entre los reales y los puntos de una recta? ¿Cómo se demuestra que a no todos los puntos de una recta les corresponden números racionales? ¿Hay muchos o hay pocos puntos en una recta a los que no les corresponden números racionales?

CONOCIMIENTOS

HABILIDADES

Los estudiantes sabrán…. (C)

Los estudiantes tendrán habilidad para…. (H)







Sistemas numéricos: naturales, enteros, racionales, reales y complejos Correspondencia entre los números reales y los puntos de una recta.

 

  

Reconocer y demostrar que no todos los números son racionales. Escribir números reales usando distintos sistemas de representación y pasar de uno a otro. Representar los números reales en una recta. Situar de manera exacta números racionales y algunos irracionales como . Indicar propiedades comunes y diferencias entre números racionales e irracionales Usar las propiedades de los números para plantear y resolver problemas Justificar lo que hace, usando argumentos intuitivos y matemáticos.

Evidencias, actividades de aprendizaje y recomendaciones pedagógicas

1. Sistemas numéricos: naturales, enteros, racionales, reales y complejos. Utiliza diferentes representaciones para analizar y justificar propiedades y relaciones entre los sistemas numéricos. Reconoce que no todos los números son racionales. 1.1. Reconoce que no todos los números son Ejemplo 1: Reproduce la demostración y sitúa en racionales. Conoce y comprende una demostración la recta numérica. Ejemplo 2: Hace una demostración de que no se puede escribir como cociente de dos similar para mostrar que tampoco es racional. números enteros, es decir, no es un número Ejemplo 3: Averigua en internet acerca de quiénes, racional. cómo y cuándo mostraron ese teorema.

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1.2. Usa diferentes notaciones para escribir y Ejemplo 1: Muestra que 1 y 0.9999… representan el comparar números. Escribe un número racional mismo número real. Ejemplo 2: Ordena de mayor a usando la notación fraccionaria y la notación decimal menor los siguientes números: 1/3, 0.235, , y pasa de una a otra. , , 3/7 y 2/5, ⁄ y los sitúa en la recta real. Justifica su respuesta. ̅̅̅̅̅… 1.3. Distingue números racionales de los Ejemplo 1: 235=235,00..; 1/37=0,027027027 Ejemplo 2: irracionales por su expansión decimal: la Reconoce y da ejemplos de algunos números expansión decimal de un número racional es . Indica algunos periódica mientras la de los irracionales es irracionales: números de su expansión decimal y los sitúa infinita no periódica aproximadamente en la recta numérica Ejemplo: Averigua en internet acerca de la manera 1.4. Conoce detalles de la historia de algunos como los babilonios, los egipcios y los griegos se números irracionales. acercaron a . 1.5. Comprende la correspondencia entre los Ejemplo: Dados los números a, b, c, d, e, f, g, h números reales y los puntos de una recta, base de la situados en la recta real, indica cuál punto está más geometría analítica. Dado un número, encuentra cuál cerca de: ab, |c|, 1/f, y justifica la respuesta. punto de la recta le corresponde y dado un punto en la recta, determina qué número le corresponde (aproximadamente). 1.6. Justifica la necesidad de introducir nuevos Ejemplo: Resuelve las siguientes ecuaciones e indica sistemas numéricos a partir del problema de resolver qué tipo de número es su solución: ecuaciones. , Analiza y justifica relaciones y propiedades de los números y sus operaciones. 1.7. Expresa un número cualquiera como parte de otro más grande. Interpreta el resultado en términos porcentuales y de manera gráfica 1.8. Analiza y justifica propiedades de los números

1.9. Analiza algunas propiedades de la suma y producto de números reales.

Ejemplo: ¿Qué parte de 72 es 6? ¿Qué porcentaje de 72 es 6? Hace un gráfico de torta para visualizar la situación Ejemplo 1: Muestra que el cuadrado de un número par es par. Ejemplo 2: Muestra que la suma de dos números impares es par. Ejemplo 3: Justifica por qué la suma de los n primeros números: 1+2+3 +4+ …+ n es igual a Ejemplo 1: Muestra que la suma o el producto de dos números racionales es un número racional. Ejemplo 2: Muestra que la suma de dos números irracionales no necesariamente es un irracional. Explora las propiedades de sumar o multiplicar un irracional y un racional

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Aprendizajes en pensamiento espacial y sistemas geométricos COMPRENSIONES Los estudiantes comprenderán que… 

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

Las coordenadas cartesianas permiten analizar situaciones geométricas con herramientas algebraicas y viceversa. Las coordenadas cartesianas ofrecen una nueva estrategia para probar teoremas y analizar propiedades de objetos en el plano. La verdad de las afirmaciones de la geometría se sustenta en la validez de las deducciones.

PREGUNTAS ESENCIALES Los estudiantes guiarán la comprensión en torno a las siguientes preguntas…  



¿Cómo se puede decidir si un argumento es correcto o no? ¿Cómo se puede mostrar que una afirmación es verdadera y cómo se puede mostrar que una afirmación es falsa? ¿Cuándo es conveniente usar coordenadas cartesianas y cuándo coordenadas polares?

COMPRENSIONES

PREGUNTAS ESENCIALES

Los estudiantes sabrán…. (C)

Los estudiantes tendrán habilidad para…. (H)

 



Coordenadas cartesianas y polares Definiciones y teoremas básicos de la geometría.





  

Localizar puntos y figuras geométricas en el plano usando sistemas de coordenadas cartesianas y polares. Analizar cómo cambia una figura en el plano cuando cambia algún parámetro de la ecuación que la representa. Usar argumentos algebraicos para resolver problemas geométricos y usar argumentos geométricos para resolver problemas algebraicos. Usar propiedades geométricas para plantear y resolver problemas Juzgar la validez de un argumento geométrico o algebraico. Justificar lo que hace, usando argumentos intuitivos y matemáticos.

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Evidencias, actividades de aprendizaje y recomendaciones pedagógicas 1. Sistemas de coordenadas cartesianas y polares Usa diferentes sistemas de coordenadas para representar objetos geométricos en el plano y para identificar propiedades y relaciones geométricas. Coordenadas cartesianas 1.1 Usa coordenadas cartesianas para Ejemplo 1: Dibuja la recta que pasa por los puntos representar y analizar objetos geométricos (1,2) y (3,4) y la paralela a ésta que pasa por el punto (-1,3). Traza una gráfica. Ejemplo 2: Halla la distancia entre los puntos A(a,b) y B(-a,b). Encuentra las coordenadas del punto medio y muestra que efectivamente es el punto medio del segmento AB. Traza una gráfica. Ejemplo 3: Encuentra el perímetro y el área del polígono con vértices en (0,0),(1,1),(2,1) y (1,0). Traza una gráfica, identifica qué tipo de polígono es y justifica su respuesta. 1.2 A partir de una relación algebraica, identifica Ejemplo 1: Usando la definición de rectángulo, y las características geométricas que corresponden argumentos algebraicos, prueba o refuta si el polígono con vértices en es un rectángulo. Traza una gráfica. Ejemplo 2: Justifica si el punto (1,3) está sobre la circunferencia de centro (2,3) y radio 2. Ejemplo 3: Hace una gráfica del conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen la condición: – y justifica con argumentos algebraicos por qué esa gráfica es simétrica con respecto al eje X y al eje Y 1.3 A partir de una relación geométrica, identifica Ejemplo 1: Dadas dos rectas paralelas, indica qué la relación algebraica correspondiente relación hay entre las ecuaciones respectivas. Muestra un ejemplo que ilustre la situación. Traza una gráfica. Coordenadas polares 1.4. Comprende que para definir las coordenadas Ejemplo: Halla las coordenadas polares del polo O. polares en el plano debe escoger un punto O (el polo Ejemplo 2: Traza un sistema de coordenadas polares y u origen), trazar un semieje que inicia en O (eje polar) un punto cualquiera en el plano y encuentra las y escoger una unidad en el eje polar. A cada punto P coordenadas polares del punto. en el plano le hace corresponder un número r, la distancia dirigida de P a O y la medida del ángulo θ, el ángulo que se forma entre el eje polar y el segmento OP, en el sentido contrario a las manecillas del reloj. Usa las coordenadas polares para representar puntos en el plano

1.5 Halla las coordenadas cartesianas y polares de un punto en el plano. Identifica la relación entre ambas. Comprende las relaciones:

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Ejemplo 1: Halla las coordenadas polares correspondientes a los puntos cuyas coordenadas cartesianas son: (1,0), (3,3), (-1, 11

{

5). Ejemplo 2: Halla las coordenadas cartesianas de los puntos cuyas coordenadas polares son: (0, ) (2, - 3

y {

1.6 Halla las ecuaciones de lugares geométricos Ejemplo: Halla la ecuación de una recta que pasa por conocidos en coordenadas polares. el origen en coordenadas polares. Ejemplo 2: Traza una gráfica e indica qué representa el conjunto de todos los puntos R de coordenadas R (r,π⁄4 ). Justifica su respuesta. Ejemplo 3: Traza una gráfica e indica qué representa el conjunto de todos los puntos Q de coordenadas Q (1,θ ). Justifica su respuesta. 1.7 Analiza ventajas y desventajas de usar el sistema de coordenadas cartesianas o polares.

Ejemplo: Analiza la diferencia entre la ecuación de una recta en coordenadas cartesianas y polares y la ecuación de una circunferencia de centro en el origen y radio 1 en coordenadas cartesianas y polares.

Usa coordenadas cartesianas para probar teoremas geométricos 1.8 Usa coordenadas cartesianas para probar Ejemplo: Usando coordenadas cartesianas muestra teoremas geométricos que el segmento que une los puntos medios de dos lados en un triángulo cualquiera es paralelo al tercero. 1.9 Utiliza el plano cartesiano para representar Ejemplo: El costo de una llamada telefónica depende situaciones y resolver problemas. linealmente del tiempo de comunicación y la distancia. En la siguiente gráfica se han presentado las llamadas efectuadas por cinco personas a diferentes países. Contesta las siguientes preguntas y justifica sus respuestas: ¿Quién ha llamado más lejos y quién más cerca? ¿Qué llamadas se han demorado el mismo tiempo? ¿Qué llamadas se han realizado a una misma distancia? ¿Dónde ubicaría una llamada efectuada al mismo lugar que la llamada A pero de duración doble que ésta?

2. Nociones y teoremas básicos de la geometría.

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Usa apropiadamente el vocabulario, conoce y comprende las afirmaciones geométricas básicas y las usa para resolver problemas. 2.1 Comprende las nociones geométricas básicas Ejemplo 1: Determina la longitud L de la cerca, de punto, recta, paralelismo, perpendicularidad, incluida la división, del jardín representado en la ángulo, distancia, medida de un segmento, área y figura, si un lado mide x y el área total del jardín es volumen, triángulos, paralelogramos, círculos y de 100 . paralelepípedos, entre otras

Ejemplo 2: Describe en palabras la diferencia entre un cuadrilátero, un paralelogramo, un cuadrado y un rombo y da un ejemplo de cada uno en palabras y gráficamente. Ejemplo 3: Calcula el volumen de un juguete en forma de cohete, formado por un cilindro cuyo radio de la base mide 5cm y la altura es 20cm, y tiene en la base una semiesfera y en la otra punta un cono de altura 5cm. Si va a construir el cilindro y el cono en cartulina para armar el juguete, ¿cuáles son las dimensiones de la cartulina que debe comprar? Diseña y construye el juguete y analiza su solución con sus compañeros. 2.2 Traza diferentes figuras geométricas usando Ejemplo 1: Usando regla y compás construye la regla y compás y usando aplicaciones geométricas perpendicular en el punto medio de un segmento como Geogebra. dado. Ejemplo 2: Dado un segmento, traza un cuadrado que tiene ese segmento como lado, usando la definición de cuadrado. Traza otro cuadrado que tiene el segmento inicial como diagonal. Ejemplo 3: A partir de una hoja de papel, diseña cómo y construye un ángulo recto y un cuadrado usando origami. 2.3 Realiza con precisión diferentes mediciones Ejemplo 1: Justifica la fórmula del área de un geométricas y justifica por qué. Mide segmentos, triángulo con argumentos geométricos. Ejemplo 2: distancias, ángulos, áreas, volúmenes. Calcula aproximadamente el área de un terreno irregular, partiéndolo en áreas conocidas. Diseña una estrategia para disminuir el error. 2.4 Calcula áreas y volúmenes de sólidos como: Ejemplo: Se tiene una caja en forma de cubo de lado paralelepípedos, conos, cilindros y esferas 0,5 metros, ¿Cuáles son las dimensiones del cilindro más grande que cabe en la caja? Si se guarda ese cilindro en la caja, ¿qué espacio de la caja queda vacío? ¿Cuál es el área externa del cilindro 2.5 Analiza propiedades geométricas de objetos Ejemplo: Propone dos formas diferentes de trazar geométricos y formula conjeturas una cometa (un cuadrilátero que tiene dos pares de lados adyacentes iguales) y formula conjeturas acerca de propiedades geométricas de las cometas. 2.6 Utiliza nociones geométricas básicas para Ejemplo 1: Usa el teorema de Tales para

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resolver problemas en otras áreas de las matemáticas encontrar el punto sobre la recta real asociado al número racional 5/7. Utiliza el teorema de Pitágoras para encontrar el punto sobre la recta real asociado a los números irracionales √3 y √5. 2.7 Utiliza nociones geométricas básicas para Ejemplo 1: Una vaca está amarrada con una cuerda resolver problemas en cualquier contexto. de 5m a la mitad de la pared de un establo construido en un potrero. La pared del establo mide 8m. Traza una gráfica y calcula área y la forma del terreno por el que puede pastar la vaca. 2.8 Utiliza nociones geométricas básicas para Ejemplo 1: Usando propiedades del triángulo muestra modelar situaciones por qué se usan triángulos en la construcción de estructuras. Busca en internet imágenes de estructuras que utilicen triángulos, como la estructura de un puente. Ejemplo 2: ¿Por qué se usan trípodes para sostener cámaras de fotografía? ¿Sería mejor usar un aparato de cuatro patas? Justifique su respuesta 2.9 Utiliza de manera apropiada y pertinente Ejemplo: Usando Geogebra modela la siguiente aplicaciones de geometría dinámica para resolver situación: Se tiene una mesa de billar rectangular y problemas y modelar situaciones. dos bolas, una blanca y una roja situadas en cualquier par de puntos distintos de la mesa. Describe la trayectoria que debe seguir la bola blanca para que golpee en una banda y le pegue luego a la bola roja Conoce, comprende y usa teoremas básicos de la geometría. 2.10 Sigue una cadena de razonamientos que Ejemplo 1: Busca en Internet diferentes pruebas del llevan a la prueba de un teorema básico y es capaz de teorema de Pitágoras, las analiza, reproduce alguna y juzgar su validez y reproducirla justifica su elección. Ejemplo 2: Juzga la validez de una prueba del teorema de Pitágoras hecha por un compañero. Identifica errores si los hay y propone como repararlos 2.11 Propone una justificación intuitiva y una Ejemplo: Propone una justificación y una prueba para prueba para un teorema sencillo. Identifica en qué se el teorema: la suma de los ángulos internos de un diferencian triángulo es igual a dos rect 2.12 Comprende la diferencia entre una afirmación Ejemplo: Explica en palabras sencillas la diferencia del tipo: p implica q y una afirmación del tipo: q entre la afirmación: “Si un cuadrilátero es un implica p. Sabe cómo demostrar que una afirmación cuadrado entonces es un paralelogramo” y la del tipo p implica q es verdadera y cómo demostrar afirmación: “Si un cuadrilátero es un paralelogramo que es falsa entonces es un cuadrado”. Demuestra que la primera es verdadera y que la segunda es falsa.

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Aprendizajes en pensamiento métrico y sistemas de medidas COMPRENSIONES Los estudiantes comprenderán que… 

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La razón de cambio promedio y la razón de cambio instantánea son maneras de medir cómo cambia una variable cuando cambia otra. Es posible medir longitudes de curvas o áreas de superficies haciendo aproximaciones sucesivas de pedazos de segmentos o de rectángulos. El descubrimiento de como la relación constante entre la longitud de la circunferencia y su diámetro es una de las principales afirmaciones de las matemáticas y hace posible medir ángulos, circunferencias, círculos o sectores circulares.

PREGUNTAS ESENCIALES Los estudiantes guiarán la comprensión en torno a las siguientes preguntas…   

¿Qué es ? ¿Cómo se puede medir el área por debajo de una parábola o la longitud de una elipse? ¿En qué se diferencian la velocidad promedio y la velocidad que marca el velocímetro? ¿A cuál velocidad se refieren los letreros de: velocidad máxima 50K/H?

CONOCIMIENTOS

HABILIDADES

Los estudiantes sabrán…. (C)

Los estudiantes tendrán habilidad para…. (H)

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Medición mediante aproximaciones sucesivas. Medida de ángulos en radianes. Longitud de un arco y área de un sector circular. Razón de cambio promedio y razón de cambio instantáneo

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Hallar la medida de un ángulo cualquiera en radianes. Pasar de grados a radianes y viceversa. Aplicar la medida de ángulos en radianes a la medida de sectores circulares, a la comprensión y cálculo de funciones trigonométricas y a la solución de problemas. Calcular la razón de cambio promedio de una función en un intervalo y la razón de cambio instantáneo en un punto. Utilizar razones de cambio promedio e instantáneo como velocidad, aceleración o densidad. Justificar lo que hace, usando argumentos intuitivos y matemáticos.

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Evidencias, actividades de aprendizaje y recomendaciones pedagógicas

1. Medición mediante aproximaciones sucesivas 1.1.

Ejemplo 1: Estima el valor del área de un círculo de Realiza mediciones mediante aproximaciones radio 1 hallando el área de polígonos regulares sucesivas inscritos en ese círculo. Comienza con un cuadrado y sigue con polígonos de 8, 16, 32, …, 2n lados. ¿Qué relación hay entre el área de una circunferencia de radio 1 y el área de un polígono regular inscrito? Trata de hallar una fórmula de recurrencia para el área del polígono. ¿Cuál es el error? ¿Qué sucede a medida que aumenta el número de lados del polígono? ¿Por qué? Busca en internet cómo hicieron algunas civilizaciones para calcular aproximadamente el área de un círculo.

1.2 Traza la parábola aproxima el área entre la parábola y el intervalo [-2, 2] del eje X por la suma de áreas de rectángulos de base igual, por debajo de la parábola. Construye nuevos rectángulos cuya base es la mitad de la de los anteriores y calcula de nuevo la suma de las áreas. Repite el procedimiento un par de veces más y calcula por aproximaciones sucesivas de suma de áreas de rectángulos. Conjetura intuitivamente a qué tiende la suma de las áreas de los rectángulos, cuando el área de las bases se hace cada vez más pequeña. Averigua en internet cómo calculó Arquímedes el área por debajo de una parábola. 2. Medida de ángulos en radianes. 2.1 Comprende la definición de π, la usa para Ejemplo 1: Usando una cuerda, un lápiz y una calcular la longitud de la circunferencia tachuela halla un valor aproximado de π. Traza una circunferencia de radio 1, calcula el área y justifica por qué. 2.2 Mide ángulos en radianes, trazando el ángulo, Ejemplo1: Explica cuánto mide en radianes un ángulo luego una circunferencia, con centro en el vértice del recto y cuánto un ángulo llano y por qué. Ejemplo 2: ángulo y midiendo el arco subtendido usando como Usando una cuerda, un lápiz y una tachuela traza un unidad de longitud el radio de la circunferencia ángulo de 2 radianes, otro de 5 y otro de 8 radianes. 2.3 Dada la medida de un ángulo, convierte Ejemplo 1: Traza, con la ayuda de un transportador, radianes en grados y viceversa un ángulo de 40° y calcula aproximadamente cuántos Mallas de aprendizajes en matemáticas para grados décimo y once

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radianes mide, sin usar ningún instrumento diferente de su cabeza. Usando una cuerda, un lápiz y una tachuela determina cuántos radianes mide. Justifica por qué. Verifica su resultado con una calculadora. Ejemplo 2: Calcula (sin calculadora) cuántos grados mide un ángulo de π/3 radianes y justifica su respuesta. Ejemplo 3: Calcula (sin calculadora) cuántos radianes mide un ángulo de 30° y uno de 60° y justifica su respuesta. Longitud de un arco y área de un sector circular. 2.4 Mide la longitud de un arco de circunferencia y calcula el área de un sector circular

Ejemplo1: Calcula la longitud de un arco de circunferencia de radio 1 y ángulo radianes. Justifica la respuesta a partir de la definición de radian. Ejemplo 2: Dado el radio y el ángulo (medido en grados o radianes) de un sector circular, calcula el área y la longitud del arco correspondiente

3. Razón de cambio promedio y razón de cambio instantáneo 3.1 Calcula la razón de cambio promedio entre dos Ejemplo: La gráfica muestra la distancia recorrida por variables en un intervalo un objeto con respecto al tiempo. La razón de cambio promedio entre los minutos 2 y 8 es el cambio en la distancia recorrida sobre el cambio en el tiempo: razón de cambio promedio = 2.5m / 6seg = 0,416m/seg

3.2 Reconoce y aproxima la razón de cambio instantánea de una función en un punto como el límite de la razón de cambio promedio de la función entre un punto y el punto , cuándo el punto se acerca al punto moviéndose sobre la cueva. La razón de cambio instantánea es la pendiente de la tangente a la curva en el punto , o en

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3.3 Explica la diferencia entre razón de cambio Ejemplo 1: Analiza el movimiento de dos carros en el promedio y razón de cambio instantánea. mismo intervalo de tiempo y con velocidad promedio igual en ese intervalo, pero movimientos diferentes. Hace la descripción y la gráfica de los dos movimientos. Ejemplo 2: Describe qué significa la velocidad que marca un carro en movimiento y justifica por qué. Ejemplo 3: Explica qué significa en letrero en la carretera que dice: velocidad máxima 50km/h. Hace una gráfica que muestra el desplazamiento de un automóvil durante una hora, con una velocidad promedio inferior a 50km/h pero que no cumplió con la norma de: velocidad máxima 50km/h. Ejemplo 4: La gráfica muestra el movimiento de dos camiones que salen de A y se encuentran en B. Describe la velocidad promedio de cada uno durante el recorrido y la velocidad en por lo menos tres momentos durante recorrido, describe con palabras el movimiento de cada camión.

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Aprendizajes en pensamiento variacional, sistemas algebraicos y analíticos COMPRENSIONES Los estudiantes comprenderán que…

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El concepto de función es una de las columnas vertebrales de las matemáticas, las ciencias naturales y la tecnología hoy. Las diferentes representaciones: algebraica, geométrica, verbal o numérica de una función ofrecen puntos de vista complementarios que enriquecen y facilitan la comprensión. La razón de cambio promedio e instantáneo de una función permiten cuantificar cómo cambia una variable cuando cambia otra, en diferentes contextos. Cambios en parámetros producen cambios en familias de funciones. Existe una diferencia fundamental entre las razones trigonométricas, definidas entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo y las funciones trigonométricas, definidas de los números reales en los reales.

PREGUNTAS ESENCIALES Los estudiantes guiarán la comprensión en torno a las siguientes preguntas…

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¿Si hay que modelar una situación, cuál función se debe elegir? ¿Cómo cambia la gráfica de una función si se hacen cambios a la función? ¿Si se le suma algo, o se multiplica por algo? ¿Cómo cambia la representación algebraica de la función si subo o corro la gráfica? ¿Qué diferencia hay entre las razones trigonométricas y las funciones trigonométricas?

Muchos fenómenos como los movimientos de las placas terrestres o enfermedades transmitidas por virus o bacterias, como la influenza, parecen tener un carácter periódico. CONOCIMIENTOS

HABILIDADES

Los estudiantes sabrán…. (C)

Los estudiantes tendrán habilidad para…. (H)

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Funciones. Representación verbal, algebraica, gráfica y numérica. Polinomios y funciones polinomiales. Ecuaciones y desigualdades polinomiales. Funciones logarítmicas Funciones trigonométricas

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Realizar operaciones y factorizar polinomios. Reconocer y encontrar la raíz de un polinomio utilizando diferentes procedimientos. Trazar las gráficas y reconocer las propiedades y características de las funciones polinomiales. Resolver ecuaciones y desigualdades polinomiales. Trazar la gráfica y analizar las propiedades y características de las funciones logarítmicas y utilizarlas para modelar situaciones de crecimiento de poblaciones, decaimiento radioactivo e interés compuesto entre otras. Trazar la gráfica y analiza las propiedades y características de las funciones trigonométricas y utilizarlas para modelar situaciones de variación periódica Analizar las relaciones entre las expresiones algebraicas y las gráficas de diferentes funciones. Analizar cambios en las gráficas por cambios en los parámetros en familias de funciones. Justificar sus afirmaciones y procedimientos

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usando argumentos matemáticos.

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Evidencias, actividades de aprendizaje y recomendaciones pedagógicas 1. Funciones. Representación verbal, algebraica, gráfica y numérica y relaciones entre ellas. Comprende el concepto de función y representa gráficamente funciones Analiza propiedades y relaciones entre las diferentes representaciones de una función. 1.1 Identifica cuándo una relación es una Ejemplo: A partir de las gráficas de varias relaciones en el función. Traza la gráfica plano cartesiano, identifica cuáles corresponden a funciones y cuáles no, y justifica su elección.

1.2 Reconoce e interpreta algunas características y propiedades de las funciones como el dominio, el rango, el significado de los interceptos, los intervalos donde es negativa o positiva, creciente o decreciente. 1.3 Representa una función de cuatro maneras: verbal, describiendo la manera como cambia una variable cuando cambia la otra. Numéricamente, construyendo una tabla. Visualmente, por medio de una gráfica. Algebraicamente, por medio de una fórmula que relaciona las dos variables.

Ejemplo 1: Determina si los siguientes enunciados son correctos o no, y justifica su respuesta. La función f(x)= : corta al eje X en el rango es el intervalo [2, , el máximo de la gráfica está en el punto el dominio es el intervalo . Justifica su respuesta Ejemplo: Se quiere construir una caja cuyo fondo sea un cuadrado y la altura mida la mitad del lado de la base. ¿Cómo cambia el volumen de la caja con respecto a la longitud del lado? (descripción verbal) La relación entre el volumen V y el lado x de la caja viene dada por: Área de base = y altura= Volumen=Base x altura V = , V= (algebraica) Gráfica

Numérica Como tanto la longitud del lado, x como el volumen, V sólo pueden tomar valores positivos, entonces la gráfica está en el primer cuadrante. Tanto el dominio como el rango son todos los reales positivos

LADO cm

VOLUMEN cm3

1

0,5

2

4

5

62,5

10

500

20

4000

1.4 A partir del contexto que trata de Ejemplo: Busca los datos en internet y construye una función modelar, determina las características de la que relacione la temperatura media en grados centígrados en función que mejor se ajusta a la situación su ciudad, con los días de un mes. Traza una gráfica y una Mallas de aprendizajes en matemáticas para grados décimo y once

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1.5 Reconoce los cambios y modifica la gráfica de una función a partir de cambios en su expresión algebraica como: y= af(x), y= f(bx), y=f(x)+c, y=f(x+d) Identifica cómo modifica cada parámetro a la curva original.

tabla. ¿Cuál es el dominio? ¿Cuál el codominio? ¿El rango? Ejemplo: Dada la gráfica de la función g, traza la gráfica de , realizando diferentes transformaciones de la función g: A partir de la curva en verde, ¿Cómo se modifica la curva al multiplicar a g(x) por -0.05? ¿Cómo se modifica la curva al multiplicar a por 2? ¿Cómo se modifica la curva al sumarle 2 a 2x? ¿Cómo se modifica la curva al sumar 1 a

1.6 Interpreta las características de una función que se usa para modelar una situación en términos del contexto particular. Determina qué tan pertinente es el modelo, según la situación particular

Ejemplo 1: La función se usa para modelar la trayectoria de un objeto que ha sido lanzado hacia arriba. La variable representa la altura en metros, representa el tiempo en segundos y y las condiciones iniciales. Analiza la ecuación y justifica intuitivamente la validez de la elección. Escoge unos valores para h 0 y v0 y traza una gráfica. Indica cuándo crece y cuándo decrece la función e interpreta ese comportamiento en términos del contexto. Determina la altura máxima y el tiempo que tarda el objeto desde cuándo sale hasta cuando vuelve al suelo. 1.7 Analiza las propiedades de las funciones Ejemplo 1: Analiza diferencias entre el crecimiento de una para ajustarlas al contexto que desea función lineal y una polinomial de grado 2 o 3 y busca modelar situaciones que se puedan modelar con cada una de ellas. Ejemplo 2: Analiza las curvas que forman los chorros de agua en la foto y busca una función que se acerque a ellas.

2.

Polinomios y funciones polinomiales

2.1 Reconoce las expresiones del tipo: Ejemplo1: Evalúa en los siguientes monomios: como “monomios”. Calcula la suma, la diferencia, el producto y el cociente Ejemplo 2: Calcula la suma, la diferencia, el producto y el de dos monomios. cociente de

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– 2.2

Reconoce que las expresiones del tipo: Ejemplo: Determina el grado y calcula el valor del polinomio: p(x) = en se denominan polinomios, que los números an, an-1,… a2, a1, a0 son los coeficientes de las potencias de x y que un polinomio toma un valor particular cuando se le da un valor a la variable x. Determina el grado del polinomio como el mayor exponente que aparece en la expresión con coeficiente diferente de cero. Calcula el valor de un polinomio para un valor de x particular. 2.3 Reconoce que una raíz de un polinomio Ejemplo1: Indica que el p(x) = 2x 3 +7x 2 -17x -10 es un polinomio es un número a tal que cuando x=a, p(x)=0. de grado 3, el coeficiente de x 2 en ese polinomio es 7, el valor del polinomio en x = 3 es y verifica que son raíces de Ejemplo 2: Indica que el polinomio es un polinomio de grado cero. 2.4 Calcula la suma, la diferencia, el producto Ejemplo: Si p(x)= 6x 3- 13x 2 +29x -12 y q(x) = 2x+1, calcula y el cociente de dos polinomios p(x) + q(x) =6x 3- 13x 2 +31x -11 , p(x) - q(x) = 6x 3- 13x 2 +27x 13 , p(x) * q(x) = 12x 4 - 32x 3+ 71x 2 - 53x +12 y p(x) q(x) = 3x 2 -5x +12 2.5 Factoriza polinomios. Justifica por qué.

2.6 Reconoce que un número a es raíz de un polinomio p(x) si y solamente si (x-a) divide a p(x). Factoriza polinomios. Justifica por qué

2.7

Resuelve ecuaciones polinomiales sencillas e indica qué tipo de número es su solución y por qué. Justifica la necesidad de introducir nuevos sistemas numéricos a partir del problema de resolver ecuaciones polinomiales.

Ejemplo 1: Factoriza el polinomio: x 3- 8x 2 +27x - 36 = (x 2 - 5x +12) (x-3) Ejemplo 2: Factoriza el polinomio p(x) = 2x 3+7x 2 -17x -10 = (x-2)( 2x 2 +11x +5). Ejemplo 1: Como x 3- 8x 2 +27x - 36 = (x 2 - 5x +12) (x-3) entonces 3 es raíz de p(x) = x 3- 8x 2 +27x -36 es decir, p(3) = 0. ¿Por qué? Ejemplo 2: Como 2 es raíz del polinomio. p(x) = 2x 3 +7x 2 -17x -10, es decir, como , entonces (x2) es factor de p(x), es decir, , en este 2 caso Ejemplo: Resuelve las siguientes ecuaciones e indica qué tipo de número es su solución: x+5=0, 5x-4=0, x^2-1/4=0, x^22=0, x^2+1=0

Funciones polinomiales 2.8 Dado un polinomio p(x), construye la Ejemplo: Las funciones: p(x) = 3x 2 - 5x +2, q(x) = 2, r(x) = x 7 son función f(x) = p(x), como la función que a funciones polinomiales. Mallas de aprendizajes en matemáticas para grados décimo y once

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cada número real le asigna el valor del polinomio evaluado en ese número. 2.9 Traza gráficas de funciones polinomiales Ejemplo 1: traza la gráfica de las funciones: p(x) = 3x 2 - 5x +2, de grado 0, 1 y 2, y con ayuda de una q(x) = 2, r(x) = x 7 en un mismo plano. Analiza sus semejanzas calculadora o un computador traza las y diferencias. gráficas de funciones polinomiales de mayor grado.

2.10 Compara las gráficas de funciones Ejemplo1: Compara las gráficas de y=(x+1), y=(x+1)(x+2), polinomiales de diferente grado, e identifica y=(x+1)(x+2)(x+3), y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) etc e identifica semejanzas y regularidades. Usa esas regularidades. regularidades para resolver problemas o modelar situaciones.

Ejemplo 2: Con el apoyo de una calculadora o un computador traza las gráficas de y= x, y= y identifica semejanzas y diferencias entre las gráficas de y= para exponentes pares e impares. 2.11 Resuelve ecuaciones polinomiales Ejemplo: De la gráfica de la función polinomial: sencillas en forma algebráica o gráfica. , concluye que las Identifica las rices de la ecuación: p(x) = 0 con soluciones a la ecuación: los cortes de la gráfica de p(x) con el eje X. son: , y

2.12 Usa la gráfica de una función polinomial Ejemplo 1: Considera las raíces de la función para identificar cuándo una función posee o donde es un número real. Hace la gráfica de para no raíces reales y cuándo raíces complejas. y muestra que existen raíces reales. Sin embargo, Identifica las rices de la ecuación: p(x) = 0 con para no existen raíces reales. ¿Qué propiedades debe los cortes de la gráfica de p(x) con el eje X. satisfacer la gráfica de para que tenga raíces reales? Utiliza Geogebra para hacer la exploración con diferentes valores de

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3.

Funciones Logarítmicas

3.1 Para valores positivos de a, a , calcula para un número x >1. Usa la definición de logaritmo: y= si y sólo si . 3.2 Justifica las propiedades de los logaritmos, usando la definición de logaritmo: ; = 1; logaax= x 3.3 Define la función logaritmo en base a, para un número a>0, a≠1 como una función de los reales positivos en los reales, que a todo número positivo x> 0 le hace corresponder el número log ax=y, tal que x= ay. Calcula el valor de la función para diferentes valores de y de .

Ejemplo: Para a =2, calcula Justifica su respuesta.

para = 5 porque 25=32.

Ejemplo: logaa = 1 porque a1 =a. Ejemplo: Hace una tabla para comparar 2x con log2 x, para valores enteros positivos, negativos y fraccionarios de x. Identifica algunas diferencias. Traza la gráfica de puntos correspondiente.

x

log2x -2

0.25=2 0.5=2-1 0.707=2-1/2 1=20 0.148=21/5 1.414=21/2 2=21 4=22 32=25 1024=210

-2 -1 -0,5 0 0,2 0,5 1 2 5 10

3.6 Para un valor particular de a elabora una Ejemplo 1: traza y analiza la gráfica de y= . Ejemplo 2: x tabla de y= con la ayuda de una Traza la gráfica de f(x) = log2x y de g(x) = 2 Analiza las gráficas calculadora y traza la gráfica. y describe algunas relaciones entre las dos.

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3.7 Analiza la función f(x) = log ax para un valor particular de a: traza la gráfica e indica: dominio, rango, cortes con los ejes, donde crece y donde decrece, dónde es positive y dónde negativa. Justifica intuitivamente las respuestas.

Ejemplo1: Analiza la función: f(x) = log 2x Dominio: Dominio: {x| x>0} o (0, ) Rango: R Corte con el eje X: (1,0), no corta el eje Y. Si 0< x 0 Donde crece: si x 1 < x 2 entonces log2x 1 < log2x 2 , esta función siempre crece. Analiza cuáles de estas propiedades valen para cualquier base y justifica su respuesta

3.8 Analiza el comportamiento y las gráficas Ejemplo: Traza varias gráficas de log_a⁡x , para distintos de familias de funciones logarítmicas para valores de a >1. Para a=: e; 3; 5.2; 10; traza y compara las diferentes valores de la base a

gráficas. 3.9 A partir de la gráfica de la función Ejemplo 1: Traza las gráficas de f(x) = , g(x)=3+ y logaritmica y= , traza las gráficas de h(x)= - 3 Describe cómo pasar de una gráfica a la otra y g(x) = b+ , ; h(x)= k , y r(x)= cómo se afecta la gráfica con los cambios en la ecuación.

Ejemplo 2: Traza las gráficas de f(x) = y r(x)= Describe las diferencias e indica cómo se modificó la gráfica con los cambios en la ecuación.

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3.10 Conoce la notación y trabaja con logaritmos comunes y logaritmos en base 10. log10 x =logx . Conoce el valor aproximado de la constante e. Lo usa para trabajar con funciones logarítmicas. Traza y analiza la gráfica de la función “logaritmo natural” o f(x)=logex =lnx y de la función logx= log10x.

Ejemplo 1: Averigua en internet acerca de la constante e. Cuánto vale? e es un número irracional cuyo valor aproximado es: e 2.718281… Se conoce como la “base natural”. Ejemplo 2: calcula: ln5 y log5.

3.11 Justifica las leyes de los logaritmos a partir de las leyes de los exponentes: loga(AB)=logaA + logaB; loga(A/B)= logaA logaB ; loga(AC)= C loga(A) 3.12 Deduce la fórmula para pasar del logaritmo en una base al logaritmo en otra base, usando las leyes de los algoritmos y los exponentes. Fórmula de cambio de base: logbx = logax/ logab 3.13 Deduce la fórmula de interés compuesto para calcular la cantidad A que recibe al final de un período de t años, si se coloca un capital inicial P, invertido a una tasa de interés compuesto r, acumulable n veces al año: A = P(1 + r/n) nt la usa para resolver problemas. 3.14 Usa las funciones logarítmicas para modelar distintas situaciones y resolver problemas.

Ejemplo: Simplifica log[x 2((x+1)/(x-1)) 1/2 ] usando las leyes de logaritmos.

Ejemplo: Pasa de logx a lnx. Las calculadoras permiten regularmente calcular los logaritmos naturales. La fórmula de cambio de base permite calcular el logaritmo en cualquier base a partir de los logaritmos naturales. Ejemplo: Calcula cuánto tiempo necesita para doblar una inversión de 8 millones de pesos con un interés compuesto del 5% anual y compuesto cada 3 meses.

Ejemplo 1: Determina el número de decibeles de un sonido con una intensidad I de 1watt por metro cuadrado, si la relación entre los decibeles y la intensidad del sonido I está dada por: = 10(log I/10 -12) Ejemplo 2: La escala de Richter se utiliza para medir la intensidad M de los terremotos. M=log(I/S), donde I es la intensidad que mide el sismógrafo, a 100km del sismo y S es una intensidad estándar de 10-4 cm. Muestra por qué la relación entre un grado y otro en la escala de Richter representa una intensidad 10 veces mayor. Averigua en internet sobre la intensidad de sismos recientes y los compara. Ejemplo 3: Averigua en internet cómo se usan los logaritmos para determinar la edad aproximada de fósiles antiguos, utilizando el carbono-14. 3.15 Usa las funciones logarítmicas para Ejemplo1: En un experimento, el número de individuos en una modelar situaciones de crecimiento de población de bacterias se dobla cada hora. Si al inicio había poblaciones 1000 bacterias, ¿al cabo de cuánto tiempo habrá un millón? Ejemplo 2: El crecimiento de una población de moscas en un experimento sigue el modelo: y=aebt. Si después de 1 día hay 50 moscas y después de 3 días hay 150, cuántas habrá después de 5 días? 3.16 Usa las funciones logarítmicas para modelar situaciones de decaimiento radioactivo.

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4. Funciones trigonométricas Comprende la definición de π. Mide ángulos en grados y en radianes con precisión. 4.1 Comprende qué significa un radián. Mide Ejemplo 1: Usando una cuerda y un clavo traza un ángulo de 1 ángulos en radianes. radián y uno de 0.5 radianes. Ejemplo 2: Si se construye un ángulo de 8 radianes, medido en el sentido contrario a las manecillas del reloj, con el lado inicial sobre el eje X y el vértice en el origen, ¿en qué cuadrante cae el segundo lado? Justifica su respuesta. Ejemplo 3: Traza un ángulo y da su medida aproximada en radianes, usando una cuerda y un clavo. 4.2 Dada la medida de un ángulo en radianes, Ejemplo: ¿Cuánto mide en radianes un ángulo de 30°? ¿Cuánto calcula la medida en grados y viceversa. mide en grados un ángulo de radianes? Ejemplo 2: Estima la medida en radianes de un ángulo de 40° y luego verifica la estimación usando una calculadora. 4.3 Comprende y enuncia la definición de π Ejemplo 1: Usando una cuerda y un clavo halla de forma y usa esta constante para calcular el área del aproximada, un punto en la recta numérica correspondiente a círculo y la longitud de la circunferencia. Ejemplo 2: Usando una ruedita y una cuerda, halla de forma aproximada un punto en la recta numérica correspondiente a Ejemplo 3: Calcula con una aproximación de cinco cifras decimales el área de un círculo de radio 1 y el volumen de una esfera de radio 1. Ejemplo 3: Averigua cómo calcularon algunas civilizaciones de la antigüedad un valor aproximado de . ¿Qué referencia hay en la biblia al respecto? Comprende la definición y traza las gráficas de las funciones trigonométricas. Comprende la diferencia entre las razones trigonométricas entre los lados de un triángulo rectángulo y las funciones trigonométricas, definidas para cualquier número real. 4.4 En el plano cartesiano, muestra que Ejemplo: ¿Cuál es el ángulo correspondiente al número -2? para cualquier número x real y para cada ¿Cuántos radianes mide un ángulo llano y por qué? ¿Cuál es el punto P(x,0) en el eje X, puede encontrar un ángulo correspondiente al número 2500? ¿Cuál es el ángulo ángulo que mida x radianes. Averigua qué correspondiente a √2 ? hacer cuando el número es negativo 4.5 Define las funciones f= seno: y g=coseno . Define la Ejemplo1: Indica, sin usar calculadoras ni tablas, cuáles de los función como una función siguientes números son positivos y cuáles negativos y por qué: que a cada número real le hace sen(2)? sen(314)? cos(-10)? Ejemplo 2: Usando únicamente corresponder un número entre -1 y 1, así: la definición, una cuerda y un clavo, calcula en forma Traza un sistema de coordenadas cartesianas aproximada cuánto valen: sen(1)? sen(314)? sen (-10)? de centro O y llama A al punto (1,0). Traza cos (2500)? Luego verifica con una calculadora y si se ha una circunferencia C de centro O y radio 1. equivocado en alguno explica en qué consistió el error. Traza un punto P sobre la circunferencia C, llama a las coordenadas de P y traza el segmento OP. Mide el ángulo AOP en radianes. Llama x a la medida en radianes del ángulo AOP. Define el seno de como la ordenada del punto P: . En forma similar, define coseno de como la abscisa del punto P: 4.6 Deduce algunas propiedades de las Ejemplo 1: Usando la definición, justifica por qué para todo x, funciones trigonométricas a partir de las . Ejemplo 2: Usando la definición, muestra Mallas de aprendizajes en matemáticas para grados décimo y once

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definiciones.

por qué (x)+cos2(x) . Ejemplo 3: Averigua qué significa que una función sea periódica y usando la definición, muestra por qué las funciones seno y coseno son periódicas. Identifica cuál es el período.

4.7 Traza y analiza las gráficas de las funciones f(x)=sen(x) y g(x)=cos(x), apoyándose exclusivamente en las definiciones.

Ejemplo1: A partir de la definición de la función seno, analiza el comportamiento en el intervalo [0, . ¿Donde es positiva? ¿dónde negativa? ¿dónde crece? ¿dónde decrece? ¿dónde corta en eje X? Justifica cada una de las afirmaciones anteriores con base exclusivamente en la definición.

Ejemplo 2: Usando Geogebra, traza la gráfica de la función: y la compara con la gráfica de

Ejemplo 3: Traza las gráficas de y explica las diferencias con la gráfica de y=senx.

4.8 Define, analiza las propiedades y traza las Ejemplo: Con apoyo de una calculadora o computador traza las gráficas de las funciones tangente t(x)=tan(x) gráficas de f(x) = cot(2x) y la compara con g(x)=2cot(x). y cotangente, r(x)= cot(x).

4.9

Usa funciones trigonométricas para Ejemplo: En un parque de diversiones se tiene una rueda con

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modelar situaciones.

un radio de 8m, que tarda 12 segundos en dar una vuelta completa. En el momento de subirse el pasajero, cada coche de la rueda se encuentra a 1.20 metros de la base de la rueda. Realiza una ilustración a escala de la situación y una tabla de datos para valores del tiempo de entre 0 y 12 segundos, con intervalos de 0.5 segundos. Traslada los datos a un sistema de coordenadas, analiza la forma de la gráfica obtenida y propone una función que modele la situación. Traza una gráfica usando Geogebra. 4.10 Resuelve ecuaciones y desigualdades Ejemplo 1 : Halla todas las soluciones de la ecuación: que involucran funciones trigonométricas. sen(x) = ½. Ejemplo 2 : Halla todos los valores de x tales que 0≤ x ≤2π para los cuales 0≤ sen(x ) ≤ ½. Usando Geogebra traza una gráfica que ilustra su respuesta. Observación: No es necesario que se aprenda de memoria fórmulas sobre sumas o diferencias de ángulos ni que pierda el tiempo jugando con identidades trigonométricas. Si requiere alguna fórmula puede buscarla en un texto o en internet. ¡Es indispensable que comprenda las definiciones!

4.11 Modela fenómenos periódicos Ejemplo1: Averigua cómo y por qué se usan funciones usando funciones trigonométricas trigonométricas para modelar ondas sonoras. Averigua el significado de la amplitud y la frecuencia en ese contexto. Ejemplo 2: Pregunta al profesor de física cómo se usa las funciones trigonométricas en clase de física. 4.12 Usa funciones trigonométricas para Ejemplo: En un parque de diversiones se tiene una rueda con modelar situaciones un radio de 8m, que tarda 12 segundos en dar una vuelta completa. En el momento de subirse el pasajero, cada coche de la rueda se encuentra a 1.20 metros de la base de la rueda. Realiza una ilustración a escala de la situación y una tabla de datos para valores del tiempo de entre 0 y 12 segundos, con intervalos de 0.5 segundos. Traslada los datos a un sistema de coordenadas, analiza la forma de la gráfica obtenida y propone una función que modele la situación. Traza una gráfica usando Geogebra.

Aprendizajes en pensamiento aleatorio y sistemas de datos COMPRENSIONES Los estudiantes comprenderán que… 

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El hecho de poder inferir un resultado con base en estudios estadísticos de determinados datos es uno de los grandes logros de la humanidad Muchos fenómenos naturales tienen una

PREGUNTAS ESENCIALES Los estudiantes guiarán la comprensión en torno a las siguientes preguntas…  

¿Qué medidas estadísticas permiten resumir y entender cierta información? ¿Cómo se puede responder una pregunta utilizando

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componente estocástica alta y la probabilidad, sus leyes y propiedades, permiten modelarlos, hacer inferencias y predecir. La probabilidad es la base matemática que sirve para mostrar que muchas de las conjeturas de l as ciencias sociales y naturales tienen validez.

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información recogida por medio de una encuesta? ¿Qué medidas estadísticas y representaciones gráficas son más pertinentes en cierto caso? ¿Cuándo y cómo se puede usar la probabilidad para determinar qué tan cierta es una afirmación?

CONOCIMIENTOS

HABILIDADES

Los estudiantes sabrán…. (C)

Los estudiantes tendrán habilidad para…. (H)

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Representación e interpretación de datos Variables aleatorias, categóricas o continuas Procesos aleatorios soportados por experimentos estadísticos Inferencias a partir de encuestas, experimentos o estudios Probabilidad condi cional

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Distinguir diferentes tipos de variables: categóricas, continuas, cualitativas, cuantitativas, y determinar cuál es la representación más adecuada según el contexto Juzgar inferencias hechas a partir de estudios publicados en los medios. Hacer inferencias y justificar las conclusiones con base en estudios estadísticos Interpretar y usar conceptos de probabilidad condicional Justificar lo que hace, usando argumentos intuitivos y matemáticos.

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Evidencias, actividades de aprendizaje y recomendaciones pedagógicas 1. Representación e interpretación de datos Interpreta nociones básicas relacionadas con el manejo de información como población, muestra, variable aleatoria, distribución de frecuencias, parámetros y estadígrafos. 1.1 Estudia variables aleatorias categóricas o Ejemplo: Determina si la variable es continua o continuas mediante representaciones gráficas y discreta en los siguientes casos: estatura de los medidas estadísticas de datos correspondientes. miembros de su familia, color de ojos, colores en un Reconoce si una variable puede tomar cualquier valor conjunto de flores, nota final en el curso de en un intervalo de los reales, o sólo toma valores matemáticas. discretos 1.2 Calcula e interpreta cuantiles y percentiles Ejemplo: Para los salarios en cierta ciudad, ¿qué para una variable aleatoria cuantitativa. quiere decir que la mediana sea 2 millones? y ¿que el cuantil 0.75 sea 2.5 millones? 1.3 Representa el comportamiento de una variable Ejemplo 1: Mira la factura de luz o de agua e aleatoria mediante un diagrama de barras, de caja, interpreta el diagrama de barras. Varios alumnos tortas o histogramas. Analiza un diagrama y saca traen los recibos de sus casas, comparan los conclusiones a partir de él. diagramas de barras e interpretan las deferencias. Ejemplo 2: Cada alumno trae un diagrama de diagrama de barras, de caja, tortas o histogramas sacado de un periódico o de una revista, con la noticia o artículo correspondientes. En grupos de tres analizan los diagramas y determinan qué tanto y cómo se apoya la noticia o artículo en el diagrama. Buscan otras afirmaciones que se puedan concluir a partir de cada diagrama. 1.4 Calcula y utiliza medidas de tendencia central Ejemplo: Indica qué diferencia hay entre los y medidas de variación e interpreta los resultados. siguientes casos, y justifica por qué: el promedio del examen fue 7 y la desviación estándar 1, el promedio fue 7 y la desviación estándar 0,5. 1.5. Analiza los efectos de los puntos extremos en Ejemplo: En el conjunto de datos de cierta evaluación las medidas de tendencia central y dispersión, así de matemáticas, casi todas las calificaciones están como en el histograma de un conjunto de datos alrededor de 3.5, pero hay dos datos con una nota de 0 (tal vez por haber hecho trampa), analiza cómo afectan estos extremos los resultados de la media, la dispersión y la forma del histograma. Relaciona parejas de variables cualitativas y cuantitativas resumiendo y represe ntando los conjuntos de datos correspondientes en tablas y gráficas 1.6 Representa datos categóricos de dos Ejemplo: Representa en una tabla de doble entrada variables en tablas de doble entrada los datos de: fuma o no fuma vs enfermedad pulmonar. Describe la relación entre las dos variables a partir de los datos. 1.7 Representa gráficamente datos de dos variables Ejemplo: Analiza la información que aparece en una cuantitativas y describe la relación entre las dos revista o en internet sobre la relación entre el nivel variables. socio-económico y el embarazo temprano en diferentes lugares de Colombia o del mundo. 2. Inferencias y conclusiones soportadas en estudios estadísticos

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Justifica o refuta inferencias basadas en razonamientos estadísticos a partir de estudios publicados en los medios o diseñados en el ámbito escolar. Comprende y evalúa procesos aleatorios soportados por experimentos estadísticos. 2.1 Formula una pregunta, diseña un Ejemplo: En grupos pequeños desarrollan el siguiente experimento que le permita responderla y realiza el proyecto: Suponen que en su colegio se va a otorgar proyecto. Identifica cuál es la muestra más un premio a un estudiante escogido por los alumnos conveniente, qué estadísticos puede utilizar para de los grados 8 a 11. El resultado se conocerá al final analizar los datos y cuál es la representación gráfica del año pero estando a mitad de año ustedes quieren más pertinente. pronosticar el ganador. No sólo quieren saber esto, sino también la diferencia de criterios entre hombres y mujeres. En el diseño de la estrategia tienen en cuenta, por ejemplo: ¿Qué tipo de muestra escoger? ¿Cuántos hombres y cuántas mujeres en la muestra? ¿Cuántos de cada grado? ¿Qué criterios van a tener en cuenta: ¿sólo académicos o también otros factores como inteligencia, simpatía etc.? ¿Cómo van a cuantificar esos criterios? ¿Qué gráficas van a usar para visualizar los resultados? ¿Qué herramientas van a usar para analizarlos y hacer predicciones? ¿Qué tan válidas serán esas predicciones? Discute en el grupo la estrategia propuesta por cada uno y deciden cuál es la más pertinente. Realizan el proyecto correspondiente y analizan su desarrollo y la validez de sus resultados. 2.2 Usa la estadística para hacer inferencias acerca Ejemplo: Toma 10 estudiantes del curso y obtiene de los parámetros de una población, basándose en datos de su estatura. Calcula la media y hace una una muestra de esa población inferencia sobre la estatura de los estudiantes de su clase. Analiza el proceso y argumenta sobre la validez del resultado Hace inferencias y justifica las conclusiones con base en muestras de encuestas, experimentos y estudios observacionales. 2.3 Comprende que el tipo de muestra difiere Ejemplo: Determina la muestra que utilizaría para dependiendo del estudio poblacional que esté predecir el resultado de la elección de personero en realizando. Es consciente de la importancia de la el colegio. En grupos de tres analizan las propuestas aleatoriedad en la muestra. de cada compañero, deciden cuáles son las ventajas o desventajas de la propuesta de cada uno, escogen una y justifican por qué es la más indicada. 2.4 Utiliza medidas de tendencia central y variación, Ejemplo: Compara la estatura promedio de hombres así como diagramas de barras, tortas e histogramas, y mujeres en su clase. Realiza un diagrama de barras para comparar y hacer inferencias acerca de una o con la estatura promedio en el eje vertical y género más poblaciones. en el horizontal. A partir de esto infiere acerca de la diferencia de estatura según género, para adolescentes de esa edad. Discute la validez de las conclusiones. 2.5. Evalúa reportes basados en datos Ejemplo 1: Analiza un artículo del periódico sobre los resultados de las elecciones, basados en los datos de una encuesta. Escribe un informe sustentando su opinión. Ejemplo 2: Busca en la página del Icfes los resultados de la última prueba Saber 11 y escribe un reporte analizando las diferencias según los distintos Mallas de aprendizajes en matemáticas para grados décimo y once

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departamentos y según la población urbana y la rural. Compara los resultados de su colegio con los de su región y escribe un informe sugiriendo cómo y dónde mejorar 3. Probabilidad condicional y reglas de probabilidad Interpreta conceptos de probabilidad condicional e independencia de eventos. Maneja y reconoce el uso de los conceptos de probabilidad condicional en el devenir cotidiano. 3.1 Representa información utilizando el lenguaje Ejemplo: Se tomaron 100 muestras de cierto alimento de la teoría de conjuntos y usa esa representación que venden a la salida del colegio. 30 tenían bacterias para calcular ciertas probabilidades. tipo A, 40 tenían bacterias tipo B, 10 tenían los dos tipos de bacteria. Representa los datos y calcula la probabilidad de que una muestra tomada al azar tenga al menos un tipo de bacteria. Calcula la probabilidad de que tenga máximo un tipo de bacteria. 3.2 Usa conceptos de unión, intersección y Ejemplo: Se tomaron 100 muestras de cierto alimento complemento de la teoría de conjuntos, para hallar la que venden a la salida del colegio. 30 tenían bacterias probabilidad de la unión, intersección y tipo A, 40 tenían bacterias tipo B, 10 tenían los dos complemento, en algunos casos con ayuda de tipos de bacteria. Calcula: ¿Cuál es la probabilidad de diagramas de Venn. que tenga dos tipos de bacterias? ¿Cuál es la probabilidad de que tenga alguna bacteria? ¿Cuál es la probabilidad de que tenga exactamente una bacteria?

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Recomendaciones didácticas La matemática de los grados décimo y undécimo se construye sobre la matemática de la educación básica, profundizando y generalizando los conceptos y agregando nuevas formas de ver y hacer matemáticas. Las matemáticas son como una escalera de caracol en la que cada idea se apoya en las ideas anteriores y cada vez se visitan los mismos lugares, pero un piso más arriba y se ven de manera más general, más abstracta, más profunda o se aplican a nuevos temas. La media es el momento de solidificar, conectar, aplicar, fundamentar y expandir los conocimientos de la educación básica. La comprensión de las características propias de las formulaciones algebraicas y las representaciones gráficas de cada una de estas funciones permite usarlas para modelar diferentes situaciones y hacer predicciones. La comprensión y destreza en las operaciones entre los diferentes tipos de números, que se adquiere en la educación básica, soporta la comprensión y destreza en la manipulación de expresiones al gebraicas, que se desarrolla en 9, 10 y 11 y que es el lenguaje que usan las matemáticas y las ciencias para expresarse. Un objetivo de las matemáticas en estos grados es adquirir la destreza necesaria en el manejo de este lenguaje, indispensable para comp render las ideas matemáticas más avanzadas, para ejercitarse en los procedimientos y para hacer matemáticas. El manejo de expresiones algebraicas depende de la comprensión sólida del manejo de los números, sus operaciones y propiedades. Por ejemplo, cuando al resolver una ecuación se divide una expresión por x es necesario tener presente que esta x no puede tomar el valor cero. O si al resolver una desigualdad se multiplica algo por x, es necesario tener en cuenta si x toma valores positivos o negativos ya que el comportamiento de la situación varía en cada caso. El tema central de décimo son las funciones. La idea de función iniciada en octavo, se solidifica en décimo y once. Las representaciones verbales, gráfica, algebraica y numérica de una función con tribuyen a su comprensión, ya que permiten apreciar diferentes aspectos. Herramientas tecnológicas como calculadoras graficadoras o software geométrico como Geogebra, facilitan el trazado de gráficas, indispensable en esta área. En décimo se introducen fu nciones muy utilizadas como polinomios y logaritmos y se pasa de las relaciones trigonométricas entre los lados de triángulos rectángulos a las funciones trigonométricas que relacionan números reales cualesquiera con números en el intervalo [ -1,1]. Uno de los errores o confusiones más frecuentes de los estudiantes que inician cursos universitarios es la confusión entre estos dos conceptos: relaciones y funciones trigonométricas. De ahí nuestra propuesta de tratarlos en grados diferentes. En décimo ya las funciones se vuelven objetos con los cuales se realizan operaciones y se analizan familias de funciones observando qué pasa en la gráfica de una función cuando se hacen cambios en un parámetro. Este nuevo nivel de variable, y la distinción del rol de la x y la b en una expresión como: , es otro punto muy importante de las matemáticas de décimo. Las ideas geométricas acerca de polígonos, sólidos o localización de puntos y objetos en el espacio desembocan en la educación media en la geometría analítica donde, con la ayuda de la correspondencia entre puntos y parejas de números, se refuerzan mutuamente el álgebra y la geometría. Se tiene entonces una nueva herramienta para probar afirmaciones geométricas y la resolución de ecuaciones o desigualdades algebraicas cuenta con un nuevo recurso. El manejo y representación de algunos pocos datos, que se va construyendo a través de la educación básica y que permite inicialmente extraer información evidente con argumentos intuitivos, desemboca en herramientas cada vez más sofisticadas que permiten examinar y analizar con precisión grandes volúmenes de datos y hacer predicciones con probabilidades de éxito cada vez mayores. El uso de herramientas tecnológicas es un apoyo indispensable en esta área. El paso del pensamiento determinístico al estocástico, de un mundo en donde las afirmaciones son verdaderas o falsas a un mundo en donde las afirmaciones son verdaderas con cierta probabilidad, es otra de las grandes transformaciones que se deben lograr en el paso por la educación media.

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Para la construcción del conocimiento matemático es necesario planear actividades que permitan al estudiante relacionar lo que sabe con las nuevas ideas, así como aplicarlas en diversos contextos. Es importante mantener u n balance entre la comprensión de las ideas fundamentales, la ejercitación y el dominio de los procedimientos y algoritmos, el uso y aplicación de las ideas matemáticas a otras disciplinas y el desarrollo de competencias matemáticas como proponer y resolver problemas, razonar y comunicarse usando las matemáticas. Con el fin de interesar al estudiante en el estudio y profundización de los temas de este grado, se sugiere solicitarle que averigüe por la historia de ideas como la definición de número real o de función, el infinito, o el desarrollo de las ideas del cálculo, que soportan la ciencia y la técnica de hoy. Aprender y comprender autónomamente es un requisito indispensable en la preparación de los estudiantes para su ingreso a la educación postsecundaria, al mundo del trabajo y al ejercicio responsable de la ciudadanía. Sólo así podrá aprovechar las oportunidades que le ofrece hoy la tecnología, de aprender de manera gratuita casi cualquier cosa que desee aprender, oportunidades que seguramente serán muchísimas más, en el momento en que terminen su vida escolar. El maestro debe proveer al estudiante de oportunidades que le permitan: generar y explorar conjeturas; plantear nuevos problemas e ideas propias; trabajar colaborativamente con otros; reflexi onar sobre lo que sabe, sobre lo que comprende y sobre lo que no comprende y decidir cómo puede mejorar. Este tipo de actividades propician el desarrollo de la autonomía y el pensamiento crítico y creativo, atributos que debe tener un individuo para desemp eñarse como ciudadano en el siglo XXI. Hoy es no sólo conveniente sino indispensable integrar la utilización de herramientas tecnológicas en la clase de matemáticas. El objetivo no es evitar que los estudiantes adquieran las destrezas necesarias en el uso de procesos y procedimientos matemáticos. La tecnología permite la solución de problemas complejos, el trabajo con datos reales, permite explorar nuevos campos o profundizar en aspectos que el estudiante considere interesantes, pero entre los impactos más grandes de la tecnología hoy están el haber puesto el conocimiento al alcance de todas aquellas personas que tienen el interés por aprender y la capacidad de aprender autónomamente y el haber hecho realidad la posibilidad de ser parte de comunidades globales de aprendices. El uso de la tecnología ha tenido tres grandes impactos en la educación en los últimos años: primero democratizó el conocimiento poniendo la información al alcance de todos. Luego simplificó la comunicación y la hizo fácil, ágil y segura y recientemente facilitó la interacción entre personas de todo el mundo, con herramientas que permiten ver y hablar en tiempo real, gratuitamente o a muy bajos costos. Es imposible prever qué nos demandará el futuro, pero es responsabilidad de la escuela y el maestro mostrar, interesar y capacitar al estudiante en el uso de los desarrollos tecnológicos actuales para prepararlo para que aproveche los que con seguridad se seguirán generando. No hacerlo es como obligarlo a recorrer grandes distancias a pie y empeñarse en que no conozca las enormes ventajas y posibilidades que ofrecen hoy los diferentes medios de transporte. Recursos como software, wikis, páginas web, blogs, publicaciones de otros docentes o estudiantes en la red, proyectos globales, Moocs, etc. ofrecen tanto a estudiantes como a docentes apoyos muy importantes en su labor de aprender y apoyar el aprendizaje.

Indicaciones para la evaluación formativa La evaluación constituye un elemento fundamental en el aprendizaje. No debe ser un proceso in dependiente, es parte integral de la planeación y del desarrollo de cada clase, de cada unidad, de cada actividad. La evaluación permite conocer los avances con respecto a los objetivos de aprendizaje, logros, progresos o dificultades y las oportunidades d e mejoramiento.

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Debe ser el indicador que le dice al maestro: ¿Qué comprendieron? ¿Cómo comprendieron? ¿Qué hago para mejorar? al joven: ¿Cómo voy? ¿Qué vacíos tengo y qué debo hacer para llenarlos? y al padre de familia: ¿Cómo va mi hijo? ¿Cómo lo puedo apoyar para que mejore? La evaluación también le da información a la escuela sobre su desempeño y el desempeño de cada uno de sus miembros; y a la sociedad sobre la escuela y el futuro de sus ciudadanos, información que le permite al estado tomar decisiones fundamentadas. Para lograr lo anterior, la evaluación debe incluir comentarios explícitos acerca de las razones que llevaron a ese juicio y los criterios y resultados de la evaluación siempre deben ser conocidos prontamente por los estudiantes. Las actividades de evaluación deben ser similares a lo hecho y desarrollado en clase, ofreciendo retos y diferentes niveles de complejidad, que permitan que cada cual pueda autoevaluarse y determinar, con el apoyo del maestro, qué debe hacer para mejorar. Hay muchas formas de evaluar el desempeño del joven: observando lo que hace durante la clase, hablando con él acerca del tema que se está desarrollando, pidiéndole que lleve un diario y analizando lo que escribe allí, pidiéndole que vaya haciendo un portafolio o una carpeta donde ponga los trabajos de los que se sienta orgulloso, etc. Una de las estrategias de evaluación más idóneas para este grado es la elaboración de proyectos para desarrollar en una o varias semanas. Requieren de un alto grado de autonomía de los estudiantes y les permiten trabajar en grupo, asumiendo diferentes responsabilidades. Pueden resolver problemas de mayor complejidad que los que habitualmente se resulven en clase, en los que utilicen y conecten diferentes conocimientos de matemáticas y otras disciplinas para describir, interpretar y modelar situaciones de su contexto. El estudiante debe aprender en las evaluaciones que es tan importante el proceso y la estrategia que escoja y siga para resolver un problema, como lograr llegar a un resultado correcto. Es importante que se forme en el hábito de verificar, al finalizar una tarea, que efectivamente contestó la pregunta que le formularon, que resolvió el problema que le plantearon, y que la respuesta que obtuvo satisface las condiciones del problema. Otra competencia básica en la resolución de problemas es mantener una actitud reflexiva a lo largo del proceso de resolución, que lo mantenga enfocado en qué quiere logra y que le indique si el camino que escogió lo lleva en esa dirección . Uno de los puntos más importantes relacionados con la evaluación es la honestidad. El estudiante debe aprender a responder por sus acciones, y en la media ya está a un paso de salir al mundo de los adultos. Debe ser consciente de que su responsabilidad como estudiante es aprender, que su aprendizaje depende de su esfuerzo y que no puede evadir esa responsabilidad acudiendo al atajo de la trampa. El maestro debe ser consciente de que tiene una responsabilidad con la sociedad cuando acredita, con sus notas , la idoneidad de cierto joven como bachiller, por tanto, es su obligación no permitir que esa información sea falsa porque esté contaminada con trampas. El maestro de los grados 10 y 11 puede escoger algunas de las preguntas de las pruebas Saber 11 que aparecen en la página del Icfes, para que los estudiantes se vayan familiarizando con esta forma de preguntar. Luego de que los estudiantes contesten estas preguntas en tiempos precisos, deben analizar no sólo los resultados sino las diferentes estrategias que se pueden usar para contestar ese tipo de exámenes. Un punto muy importante de estas pruebas, que debe ejercitarse, es la lectura comprensiva de las preguntas, que es muchas veces la causa de los errores en los resultados. Al evaluar las matemáticas es importante tener en cuenta no solo el nivel de comprensión y aplicación de los conceptos sino el nivel de desarrollo de las competencias matemáticas, dentro del contexto y grado. El maestro debe plantear situaciones que permitan observar el nivel de desarrollo en cuanto a la resolución de problemas, la comunicación, el razonamiento, etc.

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Para preparar a los jóvenes para el siglo XXI, es indispensable ofrecerles oportunidades de aprender a reflexionar sobre sí mismo y a monitorear sus acciones. Debe aprender a autoevaluarse, a juzgar su trabajo y el de los demás de manera crítica y objetiva y a apreciar y aceptar los juicios que otros hagan de su trabajo, presentando argumentos válidos cuando no esté de acuerdo. Debe aprender a tomar decisiones autónomamente y a responder por sus actos. Estas habilidades o competencias, indispensables para la vida de un ciudadano hoy, sólo se desarrollan si el estudiante tiene oportunidad de hacerlo. El joven que sólo sigue órdenes e instrucciones y que siempre espera el juicio del maestro acerca de su trabajo, perderá muchas oportunidades que le ofrece el mundo hoy.

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Derechos básicos de aprendizaje

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GRADO ONCE Visión general del grado Para comprender la importancia de las ideas matemáticas que se aprenden en la educación media hagamos un poco de historia. En la segunda mitad del siglo XV dos grandes acontecimientos convulsionaron el mundo: se descubrió América y se popularizó la imprenta y con ello se democratizó el conocimiento. Entre los principales protagonistas de los cambios sociales, políticos, religiosos, científicos y tecnológicos que acaecieron en los siglos posteriores están las ideas matemáticas que se desarrollaron en esos s iglos, que favorecieron otras formas de ver y comprender el universo y que son precisamente las ideas básicas de las matemáticas de la educación media. Gerolamo Cardano (1501-1576), René Descartes (1596-1650) y Pierre de Fermat (1601-1665), entre otros, desarrollaron las ideas del álgebra e introdujeron los conceptos de la Geometría Analítica o Cartesiana. Estas ideas permitieron el estudio de curvas diferentes a circunferencias o segmentos y sustituyeron el estudio de las propiedades de los números por la manipulación de letras que generalizan esas propiedades, con lo que se construyó un lenguaje abstracto que permitió describir y analizar fenómenos y le dio un impulso a la física. Sobre estas ideas se construyó el concepto de función y este nuevo lenguaj e les permitió a Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Leibniz (1646-1716), en la primera mitad del siglo XVIII, desarrollar las matemáticas necesarias para reflexionar sobre el infinito y describir y manipular el movimiento. Esta nueva herramienta matemáti ca: el cálculo, permitió estudiar el movimiento de los astros, los barcos, los proyectiles, los fluidos y los gases, pero también permitió describir fenómenos como el calor, el sonido, la luz y luego la electricidad y el magnetismo, fundamentos de la ciencia y la tecnología de hoy. El estudio de las funciones y una iniciación al cálculo, son algunas de los temas que se esbozan en undécimo. Otra de las ideas matemáticas que surgen en el siglo XVII y tienen hoy una gran importancia tanto dentro de las matemáticas como en sus aplicaciones es la probabilidad. A partir de un problema que le planteó un amigo a Fermat sobre el juego, él y Blaise Pascal (1623-1662) iniciaron el estudio de la incertidumbre y el azar, que hoy forman parte también de las matemáticas de undécimo. Entre los grandes desarrollos del siglo XIX está el estudio de los distintos sistemas numéricos y sus características, en el cual sobresalen Georg Cantor (1845-1918) y Richard Dedekind (1831-1916), entre otros. En las matemáticas de undécimo se miran cuáles son algunas de estas propiedades que diferencian a los naturales, los racionales, los reales y los complejos y qué características tienen las representaciones de cada uno. Esto es tal vez lo más abstracto, matemático y avanzado que se hace en matemáticas escolares, pero su comprensión permitirá mirar por una pequeña ventana algo de la belleza que entraña el universo abstracto de las matemáticas. Finalmente, otro de los temas centrales de las matemáticas de undécimo es el estudio de cómo medir propiedades o características abstractas, a partir de la medida de razones entre cantidades, construyendo índices como el de pobreza, el IPC, el SISBEN o la aceleración. Este tema es uno de los principales aportes de las matemáticas a las ciencias sociales y su comprensión es indispensable para analizar críticamente la información que aparece todos los días en periódicos y revistas y que indudablemente soporta muchas decisiones que afectan nuestras vidas. NOTA: Al comparar la educación media en matemáticas en Colombia con otros países del mundo se observan dos grandes diferencias: en primer lugar, la educación escolar colombiana comprende once años: de primero a once, mientras en muchos otros países son doce: de primero a doce. La segunda diferencia importantes es q ue el currículo de matemáticas de los últimos grados suele ser flexible, dependiendo de las expectativas futuras de los jóvenes. Nuestros estándares son homogéneos. Estas dos consideraciones tienen implicaciones sobre las matemáticas de la educación media, pero sobre Mallas de aprendizajes en matemáticas para grados décimo y once

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todo de once, en temas como cálculo, ya que este tema es en muchos currículos un tema que se desarrolla en el grado doce y como una de las opciones recomendada a aquellos estudiantes que desean hacer carreras que tienen que ver con ciencias naturales, económicas o ingeniería. En Colombia, mientras en los estándares de décimo y once, en pensamiento variacional se habla de hallar, interpretar y utilizar la noción de derivada, en el exámen Saber 11 (icfes.gov.co) sólo se mencionan “sucesiones y límite” en contenidos no genéricos, pero en el examen de admisión de la Universidad Nacional se requieren algunos conocimientos de cálculo. A partir de la reflexión anterior hemos colocado en once algunos desempeños básicos de cálculo, pero hemos señalado con asterisco y rojo algunos de los aspectos más avanzados, que consideramos podrían ser opcionales. Es necesario cerciorarse antes, de cuáles son los conocimientos requeridos por el examen de admisión de la Universidad Nacional, para no poner en desventaja a los alumnos que no los hayan adquirido en la educación media.

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Aprendizajes para el grado ESTÁNDARES BÁSICOS DE COMPETENCIAS EN MATEMÁTICAS GRADOS 10 Y 11 PENSAMIENTO NUMÉRICO Y SISTEMAS NUMÉRICOS     

Analizo representaciones decimales de los números reales para diferenciar entre racionales e irracionales. Reconozco la incompletitud de los números racionales a través de métodos numéricos, geométricos y algebraicos. Comparo y contrasto las propiedades de los números (naturales, enteros, raciona les y reales) y las de sus relaciones y operaciones para construir, manejar y utilizar apropiadamente los distintos sistemas numéricos. Utilizo argumentos de la teoría de números para justificar relaciones que involucran números naturales. Establezco relaciones y diferencias entre diferentes notaciones de números reales para decidir sobre su uso en una situación dada.

PENSAMIENTO ESPACIAL Y SISTEMAS GEOMÉTRICOS   

Identifico características de localización de objetos geométricos en sistemas de representacio nes cartesianas y polares y en particular de las curvas y figuras cónicas. Uso argumentos geométricos para resolver y formular problemas en contextos matemáticos y en otras ciencias. Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones trigonométricas.

PENSAMIENTO METRICO Y SISTEMAS DE MEDIDAS 



Resuelvo y formulo problemas que involucren magnitudes cuyos valores medios se suelen definir indirectamente como razones entre valores de otras magnitudes, como la velocidad media, la aceleración media y la densidad media. Justifico resultados obtenidos mediante procesos de aproximación sucesiva, rangos de variación y límites en situaciones de medición.

PENSAMIENTO VARIACIONAL Y SISTEMAS ALGEBRAICOS Y ANALÍTICOS  

 

Utilizo las técnicas de aproximación en procesos infinitos numéricos Interpreto la nocion de derivada como razón de cambio y como valor de la pendiente de la tangente a una curva y desarrollo métodos para hallar las derivadas de algunas funciones básicas en contextos matemáticos y no matemáticos Analizo las relaciones y propiedades entre las expresiones algebraicas y las gráficas de funciones polinomicas y racionales de sus derivadas. Modelo situaciones de variación periódica con funciones trigonométricas e interpreto y utilizo sus derivadas.

PENSAMIENTO ALEATORIO Y SISTEMAS DE DATOS         

Interpreto y comparo resultados de estudios con información estadística provenientes de medios de comunicación. Justifico o refuto inferencias basadas en razonamientos estadísticos a partir de resultados de estudios publicados en los medios o diseñados en el ámbito escolar. Diseño experimentos aleatorios (de las ciencias físicas, naturales o sociales) para estudiar un problema o pregunta. Describo tendencias que se observan en conjuntos de variables relacionadas. Interpreto nociones básicas relacionadas con el manejo de información como población, muestra, variable aleatoria, distribución de frecuencias, parámetros y estadígrafos). Uso comprensivamente algunas medidas de centralización, localización, dispersión y correlación (percentiles, cuartiles, centralidad, distancia, rango, varianza, covarianza y normalidad). Interpreto conceptos de probabilidad condicional e independencia de eventos. Resuelvo y planteo problemas usando conceptos básicos de conteo y probabilidad (combinaciones, permutaciones, espacio muestral, muestreo aleatorio, muestreo con remplazo). Propongo inferencias a partir del estudio de muestras probabilísticas.

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METAS DE TRANSFERENCI A Los estudiantes serán capaces de utilizar autónomamente sus aprendizajes para …           

    

Reconocer y diferenciar distintos tipos de números: naturales, enteros, negativos, racionales, irracionales, reales y complejos y usarlos para resolver problemas. Identificar diferencias y semejanzas entre los números racionales y los irracionales. Comprender el uso de expresiones algebraicas en la modelación de situaciones o en la resolución de problemas. Leer, escribir e interpretar mensajes escritos en ese lenguaje. Comprender y usar el lenguaje de las funciones para representar cantidades cuya variaci ón depende de la variación de otra. Interpretar información presentada en forma de una curva, en contextos de ciencias o cuotidianos. Distinguir características de diferentes tipos de funciones. Establecer diferencias entre la manera como varían funciones: lineales, polinomiales, exponenciales, trigonométricas, etc. a fin de usarlas para modelar situaciones. Usar las propiedades de las cónicas, justificarlas con argumentos algebraicos o geométricos y usarlas para modelar situaciones. Comprender cómo se construyen los índices que se usan para medir atributos como la inteligencia o la pobreza. Describir posiciones y figuras en el espacio usando diversos sistemas de coordenadas. Analizar y juzgar la validez de noticias o estudios donde aparecen inferencias basadas en razonamientos estadísticos. Formular una pregunta y diseñar un experimento que permita responderla. Identificar cuál es la muestra más conveniente, qué estadísticos se pueden utilizar para analizar los datos y cuál es la representación gráfica más pertinente. Reconocer, comprender y utilizar conceptos de probabilidad en situaciones cuotidianas. Utilizar herramientas tecnológicas para resolver problemas complejos, trabajar con información real, explorar nuevos campos, construir nuevos conocimientos o profundizar en otros. *Utilizan la derivada para medir el cambio. *Interpretan la derivada como la razón de cambio instantánea. *Aplicar la derivada a la identificación de los valores extremos (máximo y mínimo) de una función.

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Aprendizajes en pensamiento numérico y sistemas numéricos COMPRENSIONES Los estudiantes comprenderán que… 





Cualquier número real se puede expresar por medio de una expansión decimal infinita, periódica si es racional y no periódica si es irracional. A cada punto de una recta se le puede asociar un único número real y a cada número real se le puede asociar un único punto de una recta. Hay puntos sobre la recta a los que no les corresponde ningún número racional. Hay tantos números enteros como naturales.

PREGUNTAS ESENCIALES Los estudiantes guiarán la comprensión en torno a las siguientes preguntas…     

¿Cómo se diferencian los números racionales de los irracionales? ¿Cómo se establece la correspondencia entre los reales y los puntos de una recta? ¿Cómo se demuestra que a no todos los puntos de una recta les corresponden números racionales? ¿Hay muchos o hay pocos puntos en una recta a los que no les corresponden números racionales? ¿Hay ecuaciones cuadráticas que no se pueden resolver?

CONOCIMIENTOS

HABILIDADES

Los estudiantes sabrán…. (C)

Los estudiantes tendrán habilidad para…. (H)

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 

Sistemas numéricos: naturales, enteros, racionales, reales y complejos Correspondencia entre los números reales y los puntos de una recta. Vectores

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

    

Reconocer y demostrar que no todos los números reales son racionales. Escribir los números reales usando distintos sistemas de representación. Pasar de un sistema de representación a otro. Representar los números reales en una recta. Situar en la recta de manera exacta números racionales y algunos irracionales como y . Indicar propiedades comunes y diferencias entre números racionales e irracionales Representar números complejos en el plano complejo y realizar operaciones entre complejos. Usar las propiedades de l os números para plantear y resolver problemas. Justificar lo que hace, usando argumentos intuitivos y matemáticos. *Representar vectores en el plano y realiza operaciones de suma, resta, producto por un escalar y producto punto entre vectores.

Evidencias, actividades de aprendizaje y recomendaciones pedagógicas 1. Representación de números reales: racionales e irracionales Analiza cómo distintas representaciones de los reales permiten diferenciar entre racionales e irracionales 1.1.

Reconoce que el conjunto de números Ejemplo: Representa los números -7 y 13/6 como racionales incluye los naturales, enteros números fraccionarios p/q con p y q números positivos y negativos y fracciones. Muestra enteros, de 5 formas diferentes. que todo número racional se puede escribir de diferentes maneras como un cociente de

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la forma , con y enteros, diferente de 0 o también como un entero seguido de una expansión decimal finita o periódica 1.2.

Reconoce y pasa de la representación de un Ejemplo 1: Halla la forma fraccionaria del número número racional en la forma decimal a la decimal periódico 2,23454545… Encuentra la forma forma fraccionaria: y viceversa decimal de 23/21, ¿cuál es su parte periódica? Ejemplo 2: Establece una conjetura acerca de la expansión decimal de racionales cuyo denominador tiene por factores únicamente a 2 o 5. Encuentra la representación decimal de 73/25 y justifica su conjetura. Ejemplo 3: Escribe la representación fraccionaria irreducible p/q, de 0.2 y de 0.199999... (periodo 9).

1.3.

Conoce y ejemplifica la siguiente proposición: Todo número real se puede escribir con la notación decimal. La parte decimal de todo número racional es periódica, incluyendo aquellos con periodo cero, mientras que la parte decimal de un irracional no es periódica

1.4.

Conoce y ejemplifica la siguiente proposición: Dada una recta, existe una correspondencia con los números reales tal que a cada número real le corresponde un único punto de la recta y a cada punto de la recta le corresponde un único número real.

Ejemplo: Escribe en notación decimal los números: 1/5; 10/7; ; . ¿Cuáles de esas formas decimales representan exactamente al número propuesto y cuáles no? ¿por qué? Ejemplo 1: Dada una recta L escoge arbitrariamente dos puntos diferentes O y P y les asigna los números cero y uno respectivamente. Muestra cómo puede usar el teorema de Tales para encontrar el punto correspondiente a 2/3.

Ejemplo 2: Dada una recta L, un cero y un uno. A partir de esa escogencia, describe cómo encontrar los puntos correspondientes a los números: 3, -5, 7/3 y √2, luego los sitúa en la recta L. 1.5 Usa la notación fraccionaria, la decimal o la Ejemplo: Busca en internet el tamaño del diámetro de científica para representar números según la un pelo, el tamaño promedio de un niño al nacer, la situación dada. distancia de la luna a la tierra, el ingreso anual promedio por habitante en Colombia, el tamaño de una bacteria y el diámetro medio de la vía láctea. Escribe esas cantidades usando la notación más conveniente y justifica su elección 2. Diferencias entre racionales e irracionales Muestra intuitivamente algunas de las propiedades más importantes de los números racionales como la

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densidad y la numerabilidad. Reconoce algunas diferencias entre los racionales y los irracionales. 2.1. Muestra que entre dos números racionales Ejemplo: Encuentra 10 números racionales entre 1/3 siempre se puede encontrar otro número racional. y 1/2. Propone una estrategia que siempre funcione, para encontrar un número racional entre cualquier par de racionales diferentes y . Muestra por qué su estrategia funciona. La ilustra gráficamente. 2.2. Explica de manera intuitiva por qué hay tantos Ejemplo: Dados los conjuntos enteros como naturales de los números naturales, y de los números enteros, establece una correspondencia biunívoca (uno a uno) entre y así: A los número naturales 25 y 30, ¿cuáles enteros les corresponde? El número entero 10 es el correspondiente a ¿cuál número natural? Busca una manera de expresar esta correspondencia en forma general. Muestra que esta relación permite asociar cada número natural con un único entero y cada entero con un único natural. Analiza lo hecho y escribe sus conclusiones. Busca en internet otras maneras de hacerlo. 2.3. Reconoce que los números racionales no son Ejemplo: Muestra cuáles de las siguientes ecuaciones suficientes para resolver ecuaciones cuadráticas se pueden resolver usando números racionales y sencillas. cuáles no y justifica su respuesta: , , , Halla las soluciones racionales de las que se puedan resolver. 2.4. Muestra intuitivamente algunas diferencias Ejemplo: Muestra que no es un número racional. entre los racionales y los reales. Explica de manera Ejemplo 2: Establece una conjetura acerca de bajo intuitiva por qué hay reales que no son racionales qué condiciones para n, el número es irracional. Muestra algunos ejemplos y justifica su conjetura con argumentos matemáticos. Ejemplo 3: Indica cuáles de los siguientes números son racionales y cuáles no y por qué: 2.5. Muestra que, a cada punto de una recta numérica, dotada de un sistema de coordenadas, le corresponde un número real pero no necesariamente un número racional

,

,

Ejemplo: En el plano cartesiano de origen O, traza el punto A de coordenadas (1,0), el punto B de coordenadas y los segmentos OB y AB. Con el compás traslada el punto B sobre el eje X al punto D con coordenadas . ¿Cuál es el valor de la coordenada (abscisa de D)? Muestra que al punto D, que está sobre una recta numérica, le corresponde el número que no es un número racional.

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Ejemplo 2: Indica otros irracionales diferentes de ¿Conoce alguno que no sea de la forma ?

.

2.6. Muestra algunas propiedades de la aritmética Ejemplo 1: Cuáles de las siguientes afirmaciones son de los racionales y de los irracionales. ciertas y ¿por qué?: Si y son racionales la suma y el producto son racionales. Si y son irracionales la suma y el producto son irracionales. Si es racional y irracional la suma y el producto son irracionales. Ejemplo 2: Dada una circunferencia de longitud y radio , muestra que los números y no pueden ser ambos racionales. 2.7. Dados dos números enteros cualesquiera, Ejemplo 1: Construye una serie de triángulos genera infinitos números irracionales, usando rectángulos cuyos catetos miden y , donde es un triángulos y el teorema de Pitágoras número natural . Halla la medida de la hipotenusa y muestra para cuáles la longitud de la hipotenusa es un número irracional. Interpreta ese resultado en términos de las coordenadas de los puntos de una recta. ¿Para cuáles otros valores de la longitud de la hipotenusa es un número irracional? ¿Para cualquier valor de n? Ejemplo 2: Construye un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1 y 1. Traza un segundo triángulo rectángulo cuyos catetos son la hipotenusa del primero y el otro mide 1. Traza un tercer triángulo rectángulo cuyos catetos son la hipotenusa del segundo y el otro cateto mide unos. Continúa en esa forma. ¿Cuánto mide la hipotenusa en cada caso? Si continúa así, ¿cuánto mide la hipotenusa del décimo triángulo? Reproduce esa construcción con una hoja cuadrada y origami. Ejemplo 3: Justifica por qué el punto A de la gráfica corresponde a ¿Cómo encuentra el punto correspondiente a

3.Números Complejos Comprende la definición, la representación y la aritmética básica entre números complejos 3.1. Justifica la necesidad de introducir los Ejemplo: Muestra por qué la ecuación: Mallas de aprendizajes en matemáticas para grados décimo y once

, 50

números complejos. 3.2. Indica la definición de i: un número cuyo cuadrado es -1, y de los números complejos, como los números de la forma , donde es una solución de la ecuación: . 3.3. Muestra que cualquier número real r es un número complejo de la forma r+0i. 3.4. Representa números complejos en la forma a+bi o como puntos de coordenadas (a, b) en el plano complejo.

no tiene ningún número real que la satisfaga Ejemplo 1: muestra que las soluciones de la ecuación: son: Ejemplo 2: Justifica por qué no es un número real. Ejemplo: Muestra que el real 5 se puede escribir como 5 + 0i. Ejemplo: Representa en el plano complejo los números: .

Comprende y realiza operaciones básicas con números complejos. 3.5. Calcula sumas, restas, multiplicaciones y Ejemplo: Calcula: ( – ) divisiones con números complejos. 3.6. Usa los números complejos en la resolución de Ejemplo: Resuelve las ecuaciones: ecuaciones polinomiales. y Traza las gráficas de los polinomios respectivos y , y explica cómo interpretar gráficamente las soluciones de las ecuaciones anteriores para un valor particular de . 4. Vectores Lee, escribe y representa vectores, realiza operaciones fundamentales y los usa para resolver problemas y modelar situaciones. 4.1. Lee, escribe y representa vectores de diferentes Ejemplo 1: Representa en el plano cartesiano el maneras. vector u que va del punto al punto como un vector u1 [1, -6], del punto a un punto Ejemplo 2: Representa en el plano el vector de componentes: .

4.2. Realiza operaciones fundamentales entre vectores: la suma , la diferencia , el producto de un vector por un escalar (número real), , y el producto escalar (también llamado producto punto) de dos vectores , y muestra sus propiedades

Ejemplo 1: Dados dos vectores y , halla la suma , la diferencia , el producto por un escalar y el producto escalar . Representa en el plano las operaciones y sus resultados. Ejemplo 2: Muestra que la suma de vectores en R2 es una operación conmutativa.

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4.3. Calcula la magnitud de un vector usando el teorema de Pitágoras.

Ejemplo: Calcula la magnitud del vector justifica su respuesta.

4.4. Calcula el producto escalar o producto punto Ejemplo: Calcula si entre dos vectores. Muestra que dos vectores son es perpendicular a perpendiculares si y sólo si el producto punto es cero. perpendiculares.

4.5. Descompone un vector como la suma de una componente horizontal y una vertical

pero

y

Muestra que y no son

Ejemplo: . Traza una gráfica.

4.6. Utiliza los conocimientos de vectores para Ejemplo 1: Usa vectores y su aritmética para resolver resolver problemas. problemas de fuerzas, tomados del texto de física. Ejemplo 2: Le pregunta al profesor de física para qué se usan los vectores en esa materia.

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Aprendizajes en pensamiento espacial y sistemas geométricos COMPRENSIONES

PREGUNTS ESENCIALES

Los estudiantes comprenderán que… 





La correspondencia entre puntos de la recta y números reales se extiende a una correspondencia entre puntos en un plano y parejas de números reales y puntos en el espacio y tripletas de números reales. El edificio de la geometría euclidiana está construi do sobre unas pocas definiciones y unos pocos postulados. Las propiedades geométricas de las cónicas permiten usarlas para modelar situaciones cuotidianas.

Los estudiantes guiarán la comprensión en torno a las siguientes preguntas…     

¿Por qué se llaman cóni cas? ¿Qué relación hay entre la parábola y las antenas parabólicas? ¿Qué relación hay entre las elipses y un salón elíptico? ¿Cómo se trazan espirales? ¿Cómo se localizan puntos en el espacio?

CONOCIMIENTOS

HABILIDADES

Los estudiantes sabrán…. (C)

Los estudiantes tendrán habilidad para…. (H)

   



Nociones Geométricas Básicas Nociones básicas de geometría del espacio Cónicas Curvas y lugares geométricos











Reconocer las definiciones y demostrar teoremas básicos de la geometría euclidiana. Usar coordenadas rectangulares para situar puntos y objetos y para probar relaciones en el plano y en el espacio. Representar puntos en el espacio tri -dimensional usando coordenadas rectangulares, esféricas y cilíndricas. Pasar de un sistema de coordenadas a otro. Identificar las cónicas por sus ecuaciones, sus gráficas y sus propiedades y utilizarlas para plantear problemas, modelar situaciones y resolver problemas. Usar argumentos algebraicos para resolver problemas geométricos y usar argumentos geométricos para resolver problemas algebraicos. Justificar lo que hace, usando argumentos intuitivos y matemáticos.

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Evidencias, actividades de aprendizaje y recomendaciones pedagógicas 1. Nociones Geométricas Básicas Usa apropiadamente el vocabulario, conoce y comprende las definiciones y afirmaciones geométricas básicas y las usa para resolver problemas. Prueba teoremas básicos de la geometría. 1.1 Reconoce propiedades y relaciones Ejemplo 1: ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores geométricas en polígonos regulares o no de un polígono de n lados? ¿Cuál es la suma de los regulares de cualquier número de lados. ángulos exteriores de un polígono de n lados? ¿Por qué? Ejemplo 2: Traza un pentágono cualquiera y calcula el área a partir de la longitud de los lados y los ángulos. Ejemplo 3: En el plano cartesiano traza un triángulo cualquiera y verifica la desigualdad del triángulo usando coordenadas 1.2 Sigue una cadena de razonamientos Ejemplo 1: Busca en Internet pruebas de alguno de que llevan a la prueba de un teorema básico los teoremas de Tales, las analiza, reproduce alguna y y es capaz de reproducirla justifica su elección. Ejemplo 2: Juzga la validez de una prueba hecha por un compañero. Identifica errores si los hay. 1.3 Se interesa y comprende las raíces Ejemplo: Busca en internet una copia de los históricas de los resultados matemáticos. Elementos de Euclides, busca allí la manera como Euclides demostró el teorema de Pitágoras y trata de seguir esa demostración. 1.4 Elabora conjeturas sobre Ejemplo: Toma un cuadrado, halla los puntos medios afirmaciones geométricas y las valida o de los lados y los une en orden ¿Qué obtiene? Hace refuta la misma construcción con un rectángulo. Luego la hace con un cuadrilátero cualquiera. Propone una conjetura, prueba que es cierta o que es falsa. Ensaya con otros polígonos. Intercambia sus conjeturas y sus pruebas con las de un compañero y juzga la validez del trabajo del compañero. 1.5 Comprende la diferencia entre una Ejemplo: Explica con palabras sencillas la diferencia afirmación del tipo: p implica q y una entre la afirmación: “Dados dos triángulos, si son afirmación del tipo: q implica p. Sabe cómo congruentes, entonces todos sus ángulos demostrar que una afirmación del tipo p correspondientes son iguales” y la afirmación: implica q es verdadera y cómo demostrar “Dados dos triángulos, si todos sus ángulos que es falsa correspondientes son iguales entonces son congruentes”. Determina y prueba cuál es verdadera y cuál es falsa. 2. Nociones básicas de geometría del espacio Conoce y comprende nociones básicas de geometría en el espacio 2.1 Utiliza el sistema de coordenadas Ejemplo 1: Muestra en la gráfica cuál sería el eje X, cartesianas para situar puntos en el espacio. cuál el eje Y y cuál el eje z en un sistema de la mano

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Comprende qué significa y describe cómo derecha. trazar un sistema de coordenadas en tres dimensiones. Explica qué es un sistema que satisface la “regla de la mano derecha”.

Ejemplo 2: Traza un sistema de coordenadas en R3 y sitúa el punto A(1,2,3) Ejemplo 3: Halla la distancia entre los puntos A(1,2,3) y B(-1,2,½).

2.2 Describe y representa planos en el Ejemplo 1: La ecuación del plano es z , porque espacio. Indica que la ecuación de la forma los puntos del plano son todos los de la forma: ax+by+cz+d=0 representa un plano en el donde y son números reales espacio cualesquiera, pero la última coordenada es cero. Ejemplo 2: Halla dos puntos situados en el plano origen

Muestra que ese plano pasa por el Los puntos ¿están en ese plano? ¿Por

qué?

2.3 Representa puntos en el espacio Ejemplo1: Halla las coordenadas rectangulares usando coordenadas esféricas y cilíndricas. (cartesianas) de los puntos A y B cuyas coordenadas Pasa de una a otra cilíndricas son: A(5,π/2,3) y B(2,π/3,-3) Ejemplo 2: Halla las coordenadas cartesianas y cilíndricas del punto C cuyas coordenadas esféricas son: (2,π/3,π/2). Ejemplo 3: Halla la ecuación de una esfera de centro en el origen y radio 1 en coordenadas cartesianas y esféricas. 3. Cónicas Define las diferentes cónicas, deduce las ecuaciones y traza las curvas. Identifica de forma visual, gráfica y algebraica algunas propiedades. Resuelve problemas en los que se usan las propiedades geométricas de las cónicas. 3.1 Averigua en internet de donde viene el Ejemplo 1: Analiza las diferentes cónicas que se nombre de “cónicas”. Diseña y construye una forman al proyectar el chorro de luz de una linterna maqueta que muestre la procedencia de contra una pared. Ejemplo 2: Toma un vaso cilíndrico, elipses, parábolas e hipérbolas de cristal transparente y lo llena hasta la mitad con Mallas de aprendizajes en matemáticas para grados décimo y once

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3.2 Deduce la ecuación de la circunferencia a partir de la definición: “La circunferencia es el conjunto de puntos que equidistan de un punto fijo” y traza una gráfica.

3.3 Deduce la ecuación de la elipse a partir de la definición: Conjunto de puntos tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos es constante y traza una gráfica. 3.4 Deduce la ecuación de la parábola a partir de la definición: Conjunto de puntos Q tales que la distancia de Q a un punto fijo F es igual a la distancia de Q a una recta fija d y traza una gráfica

agua coloreada. Analiza y describe las diferentes curvas que forma la superficie del agua con el vaso, al ladearlo. Ejemplo: Halla la ecuación de la circunferencia de radio 2 y centro en el punto . Traza una gráfica. Como la distancia de un punto cualquiera de la circunferencia P al punto Q(1,2) es igual a: d(P(x,y),Q(1,2))= √ = 2, entonces esa es la ecuación de la circunferencia con centro en Q y radio 2. Ejemplo: Halla la ecuación de la elipse de puntos (x,y) tales que la suma de las distancias a los puntos (-2,0) y (2,0) sea igual a 9. Traza una gráfica. Ejemplo: Usando Geogebra traza una recta d y un punto exterior F. Construye el conjunto de puntos Q cuya distancia a d es igual a la distancia a F. Traza una gráfica. {Q | distancia de Q a d es igual a la distancia de Q a F}

3.5 Traza la gráfica de la parábola y la de la parábola las compara. Indica cuál representa una función y cuál no y justifica su respuesta.

3.6 Relaciona la ecuación y la gráfica de la Ejemplo: Traza las gráficas de las parábolas: parábola con la solución de ecuaciones y a partir de cuadráticas. las gráficas resuelve las ecuaciones:

3.7 Deduce la ecuación de la hipérbola a partir de la definición: conjunto de puntos cuya diferencia de las distancias a dos puntos fijos es constante y traza una gráfica.

Ejemplo 1: Halla la ecuación de la hipérbola de puntos (x, y) tales que la diferencia de las distancias a los puntos (-1,0) y (1,0) es 1. Traza una gráfica. Ejemplo 2: Muestra que la ecuación: corresponde a una hipérbola. Halla los ejes y los focos. Traza la gráfica usando Geogebra.

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3.8 A partir de las ecuaciones generales Ejemplo 1: Usando Geogebra, analiza cómo cambia la de las diferentes cónicas, traza las gráficas y gráfica de la parábola , cuando analiza cómo cambian las gráficas al cambiar se modifican los parámetros o algunos parámetros en la ecuación. Ejemplo 2: Usando Geogebra, analiza cómo cambia la gráfica de la hipérbola cuando cambia

o cambia

.

Ejemplo 3: Usando Geogebra, analiza cómo cambia la gráfica de la elipse cuando cambian a o b.

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3.9 Analiza las gráficas y ecuaciones cuando Ejemplo 1: Determina la ecuación y gráfica de una aplica una traslación. circunferencia de radio 1 y centro en el punto (1, -2). Ejemplo 2: Determina la ecuación de la elipse de la gráfica y justifica por qué. Ejemplo 3: Analiza la ecuación y la gráfica de la parábola si se hace una traslación de una unidad con respecto al vector [0,1], es decir, si todos los puntos se suben una unidad: el punto de coordenadas (a,b) pasa al punto de coordenadas (a,b+1). Ejemplo 4: ¿Qué sucede con la ecuación de la parábola si se traslada dos unidades a la derecha? ¿Si se traslada una unidad hacia arriba y dos unidades a la derecha? ¿Cuál es el vector de traslación correspondiente? Aplica las propiedades de las cónicas a la resolución de problemas. 3.10 Reconoce propiedades de Ejemplo 1: Identifica objetos de su entorno que circunferencias y elipses, parábolas e tengan forma de circunferencia o elipse. Justifica por hipérbolas. qué. Ejemplo 2: Busca en internet algunas propiedades de la parábola y la elipse 3.11 Aplica las propiedades de las cónicas Ejemplo 1: Averigua en qué consiste el “tiro a la resolución de problemas en ciencias. parabólico” y por qué se llama parabólico. Busca un ejemplo de tiro parabólico y analiza la gráfica. Ejemplo 2: Según las leyes de Kepler, las órbitas de los planetas son elípticas. Averigua cómo es la forma de la órbita de la tierra y cómo la de Mercurio y las representa gráficamente. Averigua cómo se enuncia la ley de Kepler mencionada. Aplica las propiedades de las cónicas a la Ejemplo 2: ¿Por qué razón se habla del "salón resolución de problemas en otros contextos. elíptico"? Justifica su respuesta. Ejemplo 2: ¿Por qué y cómo se usa la parábola para construir antenas parabólicas? ¿Cuál es la propiedad de la parábola que hace que las antenas parabólicas sean eficientes? Ejemplo 3: En un terremoto las ondas sísmicas se

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propagan en forma de círculos con centro en el epicentro. Si dos estaciones situadas a 200Km de distancia (una de otra) reportan que percibieron un terremoto, una a 300Km y otra a 200Km, de la estación, ¿son esos datos suficientes para determinar con exactitud el epicentro? En caso de que no sea posible, indica por qué y propone qué se requeriría para poder hacerlo. Ejemplo 4: Un depósito tiene una puerta en forma de arco parabólico que mide 3m de ancho en la base y 4m de alto, en el punto más alto. Identifica una parábola que satisfaga esas condiciones. Determina cuál es la caja de forma cúbica de mayor volumen que puede entrar por esa puerta y justifica su respuesta. Propone otros problemas aprovechando ese contexto. 4. Curvas y Lugares Geométricos Reconoce y describe curvas y lugares geométricos. Conoce y analiza algunos tipos de curvas. 4.1 Averigua en internet acerca de otros Ejemplo 1: Averigua acerca de la braquistocrona. tipos de curvas. Traza la curva y busca algunas de sus propiedades. Ejemplo 2: Averigua en internet por diferentes tipos de espirales, en qué objetos de la naturaleza aparecen estas curvas, por qué se les llama “la curva de la vida” y por qué son tan frecuentes en la naturaleza. Traza alguna espiral usando Geogebra. Saca una fotografía o busca una lámina que muestre una espiral en la naturaleza. Reconoce y describe lugares geométricos. 4.2 Comprende qué significa un “lugar Ejemplo 1: Describe el lugar geométrico de los puntos geométrico”, reconoce lugares geométricos, Q del plano que distan 1 del punto P de coordenadas traza la gráfica y explora la figura (1,1). Traza la gráfica. Ejemplo 2: Usando Geogebra hace la siguiente construcción: Traza una circunferencia y un punto E sobre la circunferencia. Traza la recta OE que pasa por el centro O de la circunferencia y por el punto E. Traza un punto F exterior a la recta OE y el segmento FE. Traza la mediatriz del segmento FE y el punto Q de corte de ésta con la recta OE. Explora el lugar geométrico que describe Q cuando se mueve E. Tiene en cuenta que E debe moverse exclusivamente sobre la circunferencia y la circunferencia debe permanecer fija. Reconoce la figura que forma el punto Q al moverse. Ejemplo 2: LÑos pueblos A y B distan 10 kilómetros el uno del otro. Se va a construir una antena que les sirva a ambos pueblos, pero la antena tiene un alcance de 6 kilómetros. Traza una gráfica y muestra

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en qué sitio se puede construir la antena. Hay un tercer pueblo que también quisiera poder beneficiarse de la antena. Ese pueblo está a 8 kilómetros de A y a 8 kilómetros de B. ¿Es posible, y dónde habría que poner la antena?

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Aprendizajes en pensamiento métrico y sistemas de medidas COMPRENSIONES Los estudiantes comprenderán que… 

 

Es posible medir longitudes, áreas o volúmenes cualesquiera, mediante procesos de aproximación sucesiva. Es posible asignar un valor y comparar atributos como la belleza, el conocimiento, el dolor, etc. En procesos de medición, es necesario analizar la precisión requerida y determinar el proceso, las herramientas y el sistema de medidas más apropiado.

PREGUNTS ESENCIALES Los estudiantes guiarán la comprensión en torno a las siguientes preguntas… 

 

¿Qué precisión se requiere y cuáles son el proceso, las herramientas y el sistema de medidas más apropiado? ¿Cómo se mide la pobreza? ¿Qué es el SISBEN? ¿Qué es el PIB?

CONOCIMIENTOS

HABILIDADES

Los estudiantes sabrán que…. (C)

Los estudiantes tendrán habilidad para…. (H)

  



Estrategias de medición Mediciones usando aproximaciones sucesivas Medición de atributos

 

 

Dada una situación en que es necesario efectuar una medición, analizar qué precisión requiere y diseñar cómo medir y qué unidades e instrumentos usar. Realizar mediciones usando aproximaci ones sucesivas. Analizar diversas formas de medir atributos tales como la pobreza, la belleza, el conocimiento, el dolor, etc. Plantear y resolver problemas que involucran medidas, ajustando la solución al contexto. Justificar lo que hace, usando argumentos intuitivos y matemáticos.

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Evidencias, actividades de aprendizaje y recomendaciones pedagógicas 1. Estrategias de Medición Diseña estrategias para abordar situaciones de medición que requieran grados de precisión específicos. 1.1 Elige la unidad y la notación numérica Ejemplo: Busca en internet el tamaño de un átomo, el apropiada según el contexto diámetro de un pelo, la altura de la torre Colpatria en Bogotá, la distancia entre la tierra y la luna y el ancho de nuestra galaxia. Escoge la unidad y la notación apropiada que le permita escribir las diferentes medidas y compararlas. Justifica la elección. 1.2 Elige la estrategia adecuada para Ejemplo 1: Elige una estrategia para medir el grosor realizar una medición, según el grado de de una hoja de cuaderno. Ejemplo 2: Un médico precisión requerido. receta inyectar una dosis de 1cc de cierta medicina tres veces al día. En el empaque dice que un error superior al 10% por exceso puede causar la muerte del paciente y un error superior al 10% por defecto hace que la medicina no obre. ¿Qué estrategia debe seguir la enfermera para proteger al paciente? ¿Qué tipo de jeringa debe usar? 2.

Mediciones usando aproximaciones sucesivas

Justifica los resultados obtenidos mediante procesos de aproximación sucesiva, rangos de variación y límites en situaciones de medición. 2.1 Calcula longitudes de curvas, áreas o Ejemplo: Un objeto se desplaza sobre una trayectoria volúmenes usando aproximaciones que tiene la forma de la parábola y = desde el sucesivas. punto hasta el punto Calcula, mediante aproximaciones sucesivas, la distancia recorrida por el objeto. Realiza el proceso varias veces obteniendo cada vez una mayor precisión. Traza una gráfica que ilustre la situación. ¿Cómo halla las coordenadas de los puntos A, S, T, P … y las magnitudes de los segmentos AS, ST, TP, …?

2.2 Tiene en cuenta el rango de variación Ejemplo: Un médico le prescribe a un enfermo tomar en procesos de medición. una dosis de 10 gramos de una medicina, cada 8 Mallas de aprendizajes en matemáticas para grados décimo y once

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horas por 3 días. La etiqueta del medicamento dice: “Atención. Luego de 8 horas queda 1/3 de la medicina en su organismo. Si se excede los 14 gramos acuda inmediatamente a urgencias”. ¿La dosis prescrita por el médico pone en peligro al enfermo? ¿Por qué? Hace una tabla y una gráfica que ilustren la situación. 3. Razones entre cantidades y medición de atributos. Resuelve y formula problemas que involucran magnitudes cuyos valores medios se suelen definir indirectamente como razones entre valores de otras magnitudes, tales como velocidad media, aceleración media o densidad media. 3.1 Resuelve problemas que involucran Ejemplo 1: Un ciclista en la vuelta a Colombia, razones entre magnitudes demora 2:30 horas en ir de Armenia a Cajamarca.Se imagina ´como pudo haber sido el recorrido del ciclista y hace las gráficas de la distancia recorrida con respecto al tiempo y la gráfica de la velocidad con respecto al tiempo durante ese recorrido. Compara las dos gráficas y analiza posibles incongruencias entre ellas o entre ellas y el contexto. A partir de las gráficas escribe una narración de los principales momentos de la carrera. (Imagínese que es un locutor narrando la vuelta a Colombia) Ejemplo 2: Explica qué mide el marcador de velocidad de un carro en un instante dado 3.2 Formula y resuelve problemas que Ejemplo 1: Averigua en internet cuál es la densidad involucran el valor medio de dos de dos materiales diferentes. Compara las magnitudes. densidades y explica en qué consiste la diferencia. Ejemplo 2: Hace una gráfica, coloca en el eje horizontal la edad y en el eje vertical el peso promedio de una persona desde que nace hasta los 60 años, con datos tomados de internet. A partir de la gráfica, formula y resuelve preguntas como: ¿Cuál es el peso promedio entre los 25 y los 40 años de edad? ¿Cuál es el peso promedio entre los 50 y los 60 años? ¿A qué edad el peso suele ser el máximo? 3.3 Plantea estrategias para medir y Ejemplo 1: Busca en internet qué es el IPC y diseña analizar la medida de cualidades, atributos o una estrategia para medir el IPC en su municipio. ideas abstractas. Ejemplo 2: Analiza la manera como se mide a las familias para asignarles el “Sisben”. Escribe un comentario sobre esa medición y su significado. Ejemplo 3: Averigua en internet qué es el PIB, cómo se mide y para qué se utiliza. Busca los datos del PIB de Colombia y otros cinco países en los últimos 10 años y hace un pequeño ensayo comentando los cambios, las semejanzas y las diferencias. Ejemplo 4:

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Analiza la manera como se mide la “belleza” en el concurso de Miss Universo. Ejemplo 5: Averigua cómo mide la UNESCO el nivel de analfabetismo de un país. Analiza la manera cómo ha cambiado el índice de analfabetismo en los últimos 10 años en el mundo y en Colombia. Averigua cómo son las expectativas para el mundo y para Colombia para el 2020. 3.4 Plantea y resuelve problemas que Ejemplo1: Busca en un periódico reciente alguna involucran la medida de atributos noticia que dependa de la medición de algún atributo o cualidad. Analiza la forma como se definieron e hicieron las mediciones y escribe un comentario. Ejemplo 2: Analiza la manera como se miden en el colegio sus conocimientos de matemáticas. Escribe un pequeño ensayo analizando los aciertos y desaciertos de esa práctica y propone mejoras con su justificación.

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Aprendizajes en pensamiento variacional, sistemas algebraicos y analíticos COMPRENSIONES Los estudiantes comprenderán que… 

 







Las funciones son una poderosa herramienta para modelar, manipular y predecir en situaciones en las cuales la variación de una variable está ligada a la variación de otra. Es posible acercarse al infinito y manipularlo a través de construcciones matemáticas. El álgebra es un lenguaje cuya escritura ideográfica universal le permite a las matemáticas y a las ciencias expresar de manera unívoca relaciones entre variables. Es necesario leer, escribir e interpretar mensajes escritos en ese lenguaje. Las curvas en el plano son una herramienta poderosa para presentar información acerca de la relación entre dos variables. Es necesario interpretar esta información en contextos de ciencias o cuotidianos. Identificar características propias de diferentes tipos de funciones es indispensable para decidir qué usar para modelar situaciones. El cálculo y la derivada permiten describir, medir y manipular el movimiento y el cambio.

PREGUNTS ESENCIALES Los estudiantes guiarán la comprensión en torno a las siguientes preguntas…    



¿Si hay que modelar una situación, cómo saber qué función se debe elegir? ¿Cómo cambia la gráfica de una función si se hacen cambios a la función? ¿Qué se puede modelar usando funciones a trozos o funciones racionales? ¿Qué hay que hacer para interpretar la información consignada en una curva, que aparece en un periódico, una revista, internet o la TV? ¿Cómo juzgar la validez de una conclusión de un artículo, si se basa en información dada en una curva?

CONOCIMIENTOS

HABILIDADES

Los estudiantes sabrán…. (C)

Los estudiantes tendrán habilidad para…. (H)





      

Funciones racionales, a trozos y función valor absoluto. Aritmética de funciones, suma, producto, compuesta, inversa. Sucesiones Razón de cambio promedio e instantáneo. Pendiente de la recta tangente. Definición de derivada. *Derivada de un monomio, de un polinomio. *Relación entre la gráfica de una función y su derivada *Aplicaciones de la derivada: ratas de cambio, tangente a una curva, velocidad, gráfica de una curva, máximos y mínimos.

 

 

 

Traza las curvas de funciones racionales, funciones a trozos y función valor absoluto y resuelve ecuaciones y desigualdades que involucran estas funciones. Efectúa operaciones entre funciones. Halla la inversa de una función. Halla el término siguiente, el término que ocupa un sitio dado o el patrón de formación en una sucesión representada en forma gráfica o algebraica. *Calcula la derivada de una función polinómica y traza la gráfica de la derivada. *Aplica las derivadas a calcular razones de cambio, tangentes a curvas, máximos o mínimos y curvas de funciones. *Relaciona la gráfica de una curva y la de su derivada y las utiliza para modelar y analizar situaciones. Justifica lo que hace, usando argumentos intuitivos y matemáticos.

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Evidencias, actividades de aprendizaje y recomendaciones pedagógicas 1.

Definición de función. Funciones racionales.

1.1 Explica la definición de función y determina Ejemplo: Compara con . Indica cuál cuando una relación es una función y cuando no. define una función de los reales en los reales y cuál no. Hace la gráfica correspondiente

1.2 Realiza diferentes operaciones entre Ejemplo1: Factoriza la expresión: 3 x 3/2 -9 x 1/2 +6 x -1/2 y expresiones algebraicas: sumas, productos, cocientes, resuelve la ecuación 3 x 3/2 -9 x 1/2 +6 x -1/2 = 0. Ejemplo potencias. 2: Indica por qué las siguientes igualdades son falsas: y + Construye un contraejemplo en cada caso. 1.3 Define una función racional como Ejemplo: Calcula los valores de donde son dos para polinomios y Calcula el valor de una . Qué sucede si función racional para diferentes polinomios y diferentes valores de x.

?

1.4 Reconoce que el dominio de una función Ejemplo 1: Indica cuál es el dominio y cuál el rango de racional son todos los reales la función racional: excepto aquellos para los cuales . Ejemplo 2: Compara la función con la función Indica las semejanzas y diferencias. Traza una gráfica que ilustre la situación.

1.5 Analiza la función para dos polinomios particulares y . Traza la gráfica e indica: dominio, rango, cortes con los ejes, donde crece y donde decrece. Justifica intuitivamente las respuestas. Analiza en qué consiste una asíntota y cuándo una función tiene asíntotas horizontales y cuándo tiene asíntotas verticales.

Ejemplo1: Analiza la función: Traza la gráfica e indica qué pasa cuándo y qué pasa cuándo se acerca a 1 por la derecha y por la izquierda. Indica qué sucede cuando tiende a infinito y a menos infinito. Indica cuál es el dominio y cuál el rango de la función. Muestra y justifica cuáles son las asíntotas horizontales y verticales de la función.

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Ejemplo 2: Argumenta por qué la función a pesar de ser una función racional, no posee asíntotas verticales. ¿Tiene asíntotas horizontales? ¿Por qué?

Ejemplo 3: Analiza la función g(x) = Determina el dominio, el rango y las asíntotas horizontales y verticales. Ejemplo 4: Analiza la función dada por la gráfica adjunta. Propone una representación algebraica y justifica la respuesta. Hace una tabla, con por lo menos 10 puntos (aproximados) que pertenecen a la función.

Funciones a trozos. Función valor absoluto. 1.6 Define una función a trozos dividiendo el dominio Ejemplo 1. Analiza y traza la gráfica de la función: en dos o más pedazos, y definiendo los valores de la { función de forma particular para cada pedazo Indica el dominio y el rango de la función f(x).

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Ejemplo 2: Dada la siguiente gráfica definida a trozos, determinar su representación algebraica.

1.7 Reconoce la función “valor absoluto” como la función definida a trozos así: |x|=

{

Analiza la función. Determina el dominio y el rango. 1.8 Traza gráficas de funciones que involucran valor Ejemplo: Traza la gráfica de la función: absoluto f(x) = | +x| - 2 y la compara con g(x) = Indica cuál es el dominio y cual el rango de cada una.

1.9 Resuelve ecuaciones y desigualdades que Ejemplo: Resuelve la ecuación: involucran valor absoluto por medios resuelve la desigualdad: gráfica anterior algebraicos o gráficos.

y analizando la

2. Operaciones entre funciones. Función inversa. Realiza diferentes operaciones entre funciones: suma, resta, multiplicación, composición y halla la función inversa cuando existe. 2.1 Realiza operaciones aritméticas entre Ejemplo: Dadas las funciones: funciones. y , halla la función , determina 2.2

Calcula la compuesta de dos funciones Ejemplo función:

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1:

y el dominio y rango de . Dadas las funciones: y , halla la h: f compuesta con g, 68

, k: g compuesta con f y s: Determina , y el dominio y rango de y de . Qué relación hay entre Ejemplo 2: La función se puede escribir como compuesta ¿de cuáles funciones? ¿en qué orden?

2.3 Comprende que una función f es la inversa de una Ejemplo1: Muestra que la función función g si y sólo si para cualquier del es la inversa de la función dominio y calculando y *2 -3 x 2x 2x -3 *1/2 +3 Ejemplo 2: Muestra que las funciones f(x) = son la una inversa de la otra. 2.4 Determina cuándo existe la inversa de una función y la halla si existe. Determina, a partir de la gráfica de una función y de la definición de función, cuándo existe inversa y cuándo no.

,

y g(x)=

Ejemplo 1: Analiza la gráfica siguiente y determina que la función no tiene inversa y justifica por qué. Ejemplo 2: Determina cuáles de las siguientes funciones tienen inversa y cuáles no y justifica su respuesta. , = , . Ejemplo 3: Para las funciones f y g, averigua si la función tiene inversa, halla la inversa y traza las gráficas de la función y su inversa en los mismos ejes. Analiza sus relaciones geométricas. .

Funciones trigonométricas inversas 2.5 Determina cuáles funciones trigonométricas Ejemplo 1: Restringe el dominio de la función seno de tienen inversa. Halla las inversas y sus gráficas. tal manera que tenga inversa y la define. Traza la Restringe el dominio de tal manera que exista la gráfica. función inversa y traza su gráfica con ayuda de alguna aplicación tecnológica.

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2.6 Utiliza las funciones inversas para resolver Ejemplo: Resuelve la ecuación: ¿Para ecuaciones qué valores de x entre ? ¿Qué respuesta le da la calculadora para ? ¿Cuáles son todas las soluciones de la ecuación: y por qué? Analiza la gráfica de la función sen(x) y resuelve la ecuación a partir de la gráfica. Las coordenadas x de los puntos de corte de la gráfica de la función seno con la recta y=1/2 son las soluciones de la ecuación ¿Por qué?

3 Aplicaciones de funciones. Modelación. Comprende y compara las propiedades de los diferentes tipos de funciones que conoce y las usa para resolver problemas y modelar situaciones 3.1 Comprende y compara las propiedades de Ejemplo 1: traza la gráfica y analiza las funciones: funciones polinómicas, racionales, a trozos, valor y h(x) = absoluto, exponenciales, logarítmicas y . ¿Cuál es el dominio y cuál el rango de cada trigonométricas. una y por qué? ¿Hay alguna periódica? Si hay, halle el período. Estima el valor de Ejemplo 2: Usando tecnología, como la aplicación Wolfram Alpha, o Geogebra, traza las gráficas de las funciones y , analiza sus diferencias y calcula el valor de Ejemplo 3: Traza las gráficas y analiza el comportamiento de las funciones: y g(x) = Indica cuál es el dominio y cuál el rango de cada una y justifica su respuesta. ¿Qué relación hay entre las dos funciones?

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3.2 Resuelve ecuaciones sencillas que involucran Ejemplo 1: Halla las soluciones de la ecuación sen(x) = funciones polinomiales, racionales, exponenciales, Ejemplo 2: Halla todas las soluciones de la logarítmicas y trigonométricas ecuación: 3.3 Resuelve desigualdades sencillas que involucran expresiones algebraicas y trigonométricas

Ejemplo: Halla las soluciones de las desigualdades usando métodos gráficos o algebraicos: y Qué valores de x satisfacen ambas desigualdades?

Modela diferentes situaciones usando funciones. 3.4 Identifica relaciones cuantitativas en una Ejemplo: Propone una función (puede ser a trozos) situación y determina la(s) clase(s) de funciones que que modele la siguiente situación: La empresa HH podrían modelar estas relaciones inició actividades en el 2000. Los dos primeros años las ganancias fueron moderadas, pero aumentaron constantemente. Luego vinieron cuatro años excelentes, las ganancias aumentaron cada vez más y al finalizar el 2006 obtuvieron las mayores ganancias de su historia, situación que se mantuvo estable por un año, pero vinieron circunstancias difíciles en el mercado, las ventas bajaron considerablemente y las ganancias disminuyeron cada vez más hasta llegar a tener pérdidas durante los años 2010 y 2011. Pero se logró recuperar, han venido aumentando las ganancias desde entonces y al finalizar el 2014 reportan unas ganancias del 75% de las reportadas en el 2007. Justifica su escogencia. 3.5 Usa propiedades de las funciones para modelar Ejemplo 1: Analiza la diferencia en la manera como situaciones particulares crece una función lineal, una polinomial, una logarítmica y una exponencial y busca situaciones que se puedan modelar con cada una de ellas. Ejemplo 2: En un laboratorio hacen un experimento con un cultivo de bacterias. Si el experimento se inicia con 500 bacterias y el número se dobla cada media hora, ¿cuántas bacterias habrá en cuatro horas? Plantea una función que modela la situación y hace una gráfica. Si en el laboratorio pueden tener máximo 100 millones de bacterias, ¿cuánto tiempo máximo pueden continuar con el experimento? 3.6 Interpreta información presentada en forma Ejemplo: En una revista aparece la siguiente gráfica gráfica. que representa las ventas de cierta empresa durante

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sus 23 años de existencia. A partir de la gráfica escribe un reporte indicando en palabras cuál ha sido ese comportamiento 4 Sucesiones 4.1 Reconoce una sucesión como una lista infinita de números, que siguen cierto patrón. Dada una sucesión, encuentra el término siguiente a un término dado y describe el patrón general

Ejemplo 1: Dada la sucesión: 3, 6, 9, 12, 15, … indica que a1 =3, a2=6 , a3= 9 , a4= 12 , a5= 15, …, el término que sigue a , a5 es a6=18. A un término cualquiera an le sigue el término, an+1 = an+3 y un término cualquiera se puede escribir como: a n= 3n , donde la n de an sirve para indicar el puesto que ocupa ese número en la fila, o para contar el número de elementos que hay hasta an en la sucesión. El número an= 3n describe el patrón de formación de esta sucesión. El número a1 = 3x1 es el primer término, a2 = 3x2 el segundo término, a3 = 3x3 el tercer término y an = 3xn el enésimo término de la sucesión. Ejemplo 2: Halla los 6 primeros términos y el término 20 de la sucesión: an = n2 – (-1) n, y de la sucesión: a1=2 y an=1/an-1 Ejemplo 3: Encuentra el décimo término y el término general de la siguiente sucesión, y los representa en forma gráfica y numérica. Justifica su respuesta con argumentos algebraicos o geométricos:

Aplicaciones de las sucesiones 4.1 Usa las sucesiones para calcular interés Ejemplo 1: En cierta ciudad el valor de las casas compuesto aumenta el 10% anual, Si Carlos compra una casa en 50 millones, ¿cuánto costará al final de 1, 2, 3 y 4 años? ¿Después de cuánto tiempo vale el doble? Hace una tabla representando esos valores. Ejemplo 2: María recibe dos ofertas de trabajo: el sueldo inicial es en ambos casos 2 millones de pesos, pero en una le prometen un aumento anual de $100.000 mientras en la otra le ofrecen un aumento del 4.5% al final de cada año. ¿Cuál es el sueldo en cada caso, al inicio de cada uno de los 10 primeros años? Si María piensa permanecer 20 años en esa empresa, ¿cuál oferta es mejor y por qué? Si sólo piensa permanecer 5 años, porque quiere estudiar luego, ¿cuál oferta es mejor y por qué? Ejemplo 3: En una fábrica compran en un millón de pesos una máquina que pierde el 20% de su valor cada año. ¿Cuánto vale al final de los tres primeros años? Escribe una fórmula que le permite calcular rápidamente cuál sería un precio justo si

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quieren venderla después de n años de uso para comprar otra y usando la fórmula calcula en cuánto la debería vender después de diez años de uso. 4.2 Comprende y representa en forma algebraica o Ejemplo 1: Analiza la siguiente sucesión. ¿Qué gráfica sucesiones provenientes de diferentes relación hay entre los números y los dibujos de la contextos. Halla el término siguiente, el término que gráfica? Halla el término siguiente, el término que ocupa un sitio dado o el patrón de formación ocupa el lugar 10 y el término general en forma gráfica y algebraica.

Ejemplo 2: Analiza la siguiente sucesión. Halla el término siguiente, el término que ocupa el lugar 10 y el término general. Un pedazo de alambre tiene la forma de M como se muestra en la figura. Se hacen cortes paralelos a las puntas sin tocar éstas. Cuando se hace un corte se producen 5 pedazos de alambre. Cuando se hacen dos cortes se producen 9 pedazos, cuando se hacen 3 cortes se producen 13 pedazos. ¿Cuántos pedazos se producen cuando se hacen 15 cortes de este mismo tipo? ¿Cómo es la sucesión del número de pedazos según el número de cortes?

5. La Derivada Interpreta la noción de derivada como: el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función; la razón de cambio instantánea de una función en un punto. Calcula la derivada de algunas funciones básicas. Aplica la derivada al cálculo de la velocidad instantánea y al trazado y anál isis de curvas. 5.1 Dada una función “suave” (con gráfico que se Ejemplo. Con Geogebra dibuja la función puede hacer sin levantar la mano y que no tiene picos , el punto A(1,2) y un punto o quiebres), encuentra el valor de la pendiente de la movible C(1+h, f(1+h)) donde h varia de 1 hacia 0. recta secante que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, Dibuja el punto D que es la intersección de las rectas f(b)), con b = a + h, para h una cantidad positiva paralelas a los ejes que pasan por A y C. Escribe la pequeña. Luego encuentra el valor de la pendiente de pendiente de la recta secante que pasa por A y C. la recta secante manteniendo fijo el valor de a, y Varia h de tal manera que el punto C se acerque al variando h, de tal manera que h es más pequeño cada punto A. Hace una tabla de los valores de la vez. Repite el ejercicio para varios valores de h y hace pendiente de la secante cuando el punto C se mueve una tabla hacia A, es decir, con valores de h cada vez más pequeños. ¿El valor de la pendiente tiende a un valor límite? ¿Qué dicen la gráfica y la tabla?

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5.2

Usa la definición de derivada

h

(f(1+h)f(1))/h

1

1

0,8

1,2

0,6

1,4

0,4

1,6

0,2

1,8

0,1

1,9

0,01

1,99

0,001

1,999

Ejemplo 1. Usa la definición de derivada

para calcular la derivada de un monomio.

para calcular la derivada de

en

. = f´(2) = 4.

5.3 Usa la definición de la derivada para comprobar las reglas de derivación: la derivada de una constante, la derivada del producto de una constante por un monomio, la derivada de la suma de dos monomios, la derivada de un polinomio. 5.4 Interpreta la derivada de una función como otra función. Si es la expresión que define cierta función, entonces , también es una función. Relaciona la gráfica de la función y la de su derivada. Toma un punto P(a, f(a)) e indica qué información sobre la función da f´(a).

Ejemplo: Encuentra la derivada en función polinomial:

de la

Ejemplo: Si , halla la derivada . Traza y compara las dos gráficas. ¿Cómo es la gráfica de f cuando x varía entre -4 y 0? ¿Cómo son los valores de f´ en ese intervalo? ¿Cómo es la gráfica de f cuando x= 0? ¿Cómo es la gráfica de f´ en x=0? Cómo es la gráfica de f cuando x varía entre 0 y 4? ¿Cómo son los valores de f´ en ese intervalo? Para x=2, ¿qué significa f´(2)?

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5.5 Dada una función f(x), determina la ecuación de Ejemplo: Halla la ecuación de la recta tangente a la la tangente a la curva en un punto y traza la gráfica. curva, , en el punto La recta tangente a la curva en el punto es: , ya que f´(a) es la pendiente m de la recta tangente a la curva en el punto (a, f(a)).

5.6 Analiza la relación entre la derivada de una función y la gráfica de la función. Razona acerca del valor de la pendiente en , y el comportamiento de la gráfica de la función. Si el valor de la pendiente en P es un número positivo la función en ese punto es creciente, si es negativo la función decrece y si es cero ni crece ni decrece

Ejemplo: Considera la función , en los intervalos [-2,-1] y [1,2]. La derivada de f(x) es f´(x) = 0.6x, luego en el intervalo [2,-1] la variable es negativa y por tanto la derivada es negativa, pero la derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto luego las tangentes a la cueva en el intervalo [2,-1] son negativas, como en el punto E y la función decrece como se parecía en la gráfica. ¿Qué pasa entre [1,2]?

Aplicaciones de la derivada 5.7 Utiliza la derivada para modelar una situación Ejemplo 1: Una compañía fabrica pequeñas piezas de cuotidiana e interpreta y explica con palabras cuál es material quirúrgico en forma de esferas de 5 el significado de la derivada milímetros de radio y debe mantener una gran precisión en sus productos. ¿Cómo cambia el volumen de sus piezas cuando cambia la longitud del radio entre 5 y 6 milímetros? ¿Cómo es la medida del cambio instantáneo cuando el radio vale 5 milímetros? Si el error en el volumen no puede ser superior al 5%, qué error puede haber al medir el radio? Si al medir el radio se detecta un error del 2%, es necesario desechar la pieza? Mallas de aprendizajes en matemáticas para grados décimo y once

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5.8 Usa el concepto de derivada de una función para modelar situaciones en las que interviene la velocidad o la aceleración de un cuerpo en movimiento

Ejemplo: Un ciclista que participa en la Vuelta a Colombia, corre la etapa Armenia – Ibagué. Traza una gráfica de la función que representa la distancia recorrida con respecto al tiempo y otra de la velocidad con respecto al tiempo durante el recorrido de la etapa. Escribe qué hipótesis hizo para trazar las gráficas y muestra que las dos gráficas son coherentes. ¿Si f(x) es la gráfica que representa la distancia recorrida por el ciclista desde la partida hasta la llegada, cuál es la gráfica de la velocidad?

*Mínimos o máximos, gráficas de funciones. 5.9 Usa el concepto de derivada de una función Ejemplo: Según cierto modelo, la velocidad con que para modelar situaciones en las que es necesario sale el aire cuando uno tose depende del radio r en hallar mínimos o máximos que se contrae la tráquea y es igual a v(r) = k(r 0 – r) r2 donde k es una constante, r0 es el radio normal de la tráquea y r0 /2< r < r0 . ¿Cuál es el valor de r cuando la velocidad del aire es máxima? 5.10 Usa el concepto de derivada de una función para Ejemplo 1: Traza la gráfica de la función: que trazar gráficas de funciones. Dada la gráfica de la pasa por el origen, a partir de la gráfica de su función esboza la gráfica de la derivada o viceversa. derivada: . Para , ¿qué le dice sobre la gráfica de la función si conoce la gráfica de la derivada? Ejemplo 2: Indica, a partir de la gráfica de su derivada dónde tiene un máximo o un mínimo la función: y explica intuitivamente por qué.

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Aprendizajes en pensamiento aleatorio y sistemas de datos COMPRENSIONES Los estudiantes comprenderán que…  





Los estudios estadísticos permiten inferir o predecir resultados a partir del análisis de datos. Es posible soportar la validez de una conjetura basándose en argumentos provenientes de la probabilidad. La mayoría de fenómenos naturales no son determinísticos, tienen una componente estocástica alta. Es necesario analizar y juzgar la validez de noticias o estudios donde aparecen inferencias basadas en razonamientos estadísticos.

PREGUNTS ESENCIALES Los estudiantes guiarán la comprensión en torno a las siguientes preguntas…   



¿Cuál representación gráfica sirve para visualizar y entender mejor un conjunto de datos? ¿Qué medidas estadísticas permiten resumir y entender cierta información? ¿Cómo se puede responder una pregunta utilizando información recogida por medio de una encuesta? ¿Qué medidas estadísticas y representaciones gráficas es mejor usar? ¿Cuándo y cómo se puede usar la probabilidad para determinar qué tan cierta es una afirmación?

CONOCIMIENTOS Los estudiantes sabrán…. (C) 

  

HABILIDADES Los estudiantes tendrán habilidad para…. (H)

La representación e interpretación de datos:  población, muestra, variable aleatoria, distribución de frecuencias, parámetros y estadígrafos Variables aleatorias categóricas o continuas, variables cualitativas y cuantitativas. Inferencias y conclusiones : Probabilidad condicional y reglas de probabilidad











Interpretar nociones básicas relacionadas con el manejo de información como población, muestra, variable aleatoria, distribución de frecuencias, parámetros y estadígrafos. Relacionar parejas de variables cualitativas y cuantitativas. Resumir y representar los conjuntos de datos correspondientes en tablas y gráficas. Justificar o refutar inferencias basadas en razonamientos estadísticos a partir de estudios publicados en los medios o diseñados en el ámbito escolar. Evaluar procesos aleatorios soportados por experimentos estadísticos. Hacer inferencias y justificar las conclusiones con base en muestras de encuestas, experimentos y estudios observacionales. Manejar, interpretar y reconocer conceptos de probabilidad condicional e independencia en el devenir cotidiano. Usar las reglas de probabilidad para calcular probabilidades de eventos compuestos en modelos cuyos eventos simples son igualmente probables.

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Evidencias, actividades de aprendizaje y recomendaciones pedagógicas

1. Representación e interpretación de datos Interpreta nociones básicas relacionadas con el manejo de información como población, muestra, variable aleatoria, distribución de frecuencias, parámetros y estadígrafos. Estudia variables aleatorias categóricas o continuas mediante representaciones gráficas y medidas estadísticas de datos. 1.1 Reconoce si una variable puede tomar Ejemplo: Clasifica si la variable es continua o cualquier valor en un intervalo de los reales, o discreta en los siguientes casos: estatura de los toma valores discretos. miembros de su familia, color de ojos, colores en un conjunto de flores, nota final en el curso de matemáticas. 1.2 Reconoce si los datos provienen de una Ejemplo: Se tienen los datos de las calificaciones distribución normal y usa tablas y hojas de de un grupo de 40 estudiantes. Realiza el cálculo para calcular áreas bajo la curva normal y histograma y superpone una curva normal con la porcentajes poblacionales. media y la desviación de las calificaciones. Suponiendo que los datos provienen de una población normal, el profesor decide que le coloca excelente al 15% más alto, ¿cuál es la mínima calificación para obtener excelente en la evaluación? Si el profesor decide que reprueban con una calificación de 2,8, ¿qué porcentaje del grupo pierde el examen? Relaciona parejas de variables cualitativas y cuantitativ as. Resume y representa los conjuntos de datos correspondientes en tablas y gráficas. 1.3 Usa una hoja de cálculo o un software Ejemplo: Ajusta los datos de la cantidad de agua como Excel o Geogebra para hacer la función de que se le suministra a una planta y su ajuste a un grupo de datos crecimiento en determinado periodo de tiempo. Interpreta modelos lineales. 1.4 Interpreta la pendiente y el intercepto de Ejemplo: Realiza un experimento con un resorte: un modelo lineal en términos de los datos. toma un resorte, mantiene una punta fija y coloca distintos pesos en la otra, mide la elongación con respecto al peso aplicado por lo menos para 10 pesos diferentes y hace una tabla y una gráfica. Determina la recta que mejor se ajusta a los datos con respecto a la elongación y la fuerza aplicada. Interpreta la pendiente y el intercepto de la recta. Averigua en internet acerca de la ley de Hook para resortes. 1.5 Calcula, usando tecnología, el coeficiente de Ejemplo 1: Calcula la correlación entre la correlación en un ajuste lineal e interpreta el elongación y la fuerza aplicada, en el ejemplo del resultado. resorte (1.4). Averigua si se acerca a uno en valor absoluto. ¿Qué quiere decir esto con respecto a la relación lineal entre las dos Mallas de aprendizajes en matemáticas para grados décimo y once

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variables? ¿Qué tiene que ver el signo de la correlación con la pendiente de la recta, en caso de una relación lineal? Ejemplo 2: Obtiene datos en Internet del PIB y el porcentaje de analfabetismo de varios países de todos los continentes. Halla el coeficiente de correlación entre estas dos variables. ¿Se acerca a uno en valor absoluto? ¿Qué información puede concluir de la magnitud y signo de esta correlación, con respecto a una posible relación lineal entre las dos variables? Interpreta los resultados y escribe un reporte sobre el tema: “Relación entre el PIB y el analfabetismo”. 2. Inferencias y conclusiones Justifica o refuta inferencias basadas en razonamientos estadísticos a partir de estudios publicados en los medios o diseñados en el ámbito escolar. Comprende y evalúa procesos aleatorios soportados por experimentos estadísticos. 2.1 Formula una pregunta y diseña un Ejemplo: Suponga que usted quiere saber cuáles experimento que le permita responderla. son las mejores condiciones para el crecimiento Identifica cuál es la muestra más conveniente, del fríjol que se da en su región, evitando una qué estadísticos puede utilizar para analizar los plaga típica de ese fríjol. Desea analizar la datos y cuál es la representación gráfica más cantidad de agua, de luz, de determinado pertinente. Realiza el proyecto correspondiente y fertilizante, de plaguicida, etc. Para poder sacar analiza su desarrollo y la validez de sus conclusiones hace distintas combinaciones de los resultados factores: agua, iluminación, fertilizante, plaguicida. Decide si estas variables van a ser cuantitativas, como medición de la cantidad de agua suministrada diariamente en centímetros cúbicos o cantidad de fertilizante diario también en centímetros cúbicos o si va a considerar variables cualitativas, como: se le suministra fertilizante o no, se le suministra plaguicida o no, o cuál de distintos tipos de plaguicida usa, etc. Decide cuántas combinaciones de estos factores va a usar y cuántas plantas de fríjoles va a sembrar, para cada una de las combinaciones de estos factores. Decide cómo va a medir la variable de respuesta: podría ser el crecimiento del tallo o el número de fríjoles por planta, después de cierto período de tiempo. Analiza qué estadísticos va a usar: promedio de crecimiento o de número de fríjoles por planta en cada combinación de factores, variabilidad en cada combinación, etc. Indica cómo va a ilustrar gráficamente los resultados: podría hacer Mallas de aprendizajes en matemáticas para grados décimo y once

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diagramas de caja para cada combinación y ponerlas todas en una misma gráfica u otras que se le ocurran. Piensa cuál es la más apropiada y por qué. Discute con sus compañeros las estrategias propuestas por cada uno y deciden cuál es la más pertinente y por qué. Realizan en grupos pequeños el proyecto correspondiente y analizan su desarrollo y la validez de sus resultados. 2.2 Usa la estadística para hacer inferencias Ejemplo: Toma 10 estudiantes del curso, obtiene acerca de los parámetros de una población, datos de su estatura, calcula la media y hace una basándose en una muestra de esa población. inferencia sobre la estatura de los estudiantes de su clase. Analiza el proceso y argumenta sobre la validez del resultado. ¿Si generaliza las conclusiones de su estudio a los estudiantes de undécimo de Colombia, qué tan válidas es? ¿Por qué? Hace inferencias y justifica las conclusiones con base en muestras de encuestas, experimentos y estudios observacionales. 2.4 Es consciente de que el tipo de muestra Ejemplo: Determina el método que utilizaría para que debe escoger depende del estudio predecir el resultado de la elección de alcalde en poblacional que esté realizando. Entiende la su municipio. Discute con sus compañeros los importancia de la aleatoriedad en la muestra. métodos propuestos por cada uno y deciden cuál es el más conveniente y por qué. 2.5 Utiliza medidas de tendencia central y Ejemplo: Compara la estatura promedio de variación, así como diagramas de barras, tortas e hombres y mujeres en su clase. Realiza un histogramas, para comparar y hacer inferencias diagrama de barras con la estatura promedio en acerca de una o más poblaciones. el eje vertical y género en el horizontal. A partir de esto infiere acerca de la diferencia de estatura según el género, para adolescentes de esa edad. Justifica la validez de su respuesta. 3. Probabilidad condicional y reglas de probabilidad Interpreta conceptos de probabilidad condicional e independencia de eventos. Maneja y reconoce el uso de los conceptos de probabilidad condicional e independencia en el devenir cotidiano. 3.1 Dados dos eventos A y B, determina el Ejemplo: Se tomaron 100 muestras de cierto significado de la probabilidad condicional de A alimento que venden a la salida del colegio. 30 dado B y la calcula en casos sencillos tenían bacterias tipo A, 40 tenían bacterias tipo B, 10 tenían los dos tipos de bacterias. Dado que tiene bacterias, calcula la probabilidad de que sean bacterias tipo A. 3.2 Comprende la noción de eventos Ejemplo: Se tomaron 100 muestras de cierto independientes y determina si dos eventos son alimento que venden a la salida del colegio. 30 independientes usando que la probabilidad muestras tenían bacterias tipo A, 40 tenían condicional de A dado B es la misma probabilidad bacterias tipo B, 10 tenían los dos tipos de

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de A.

bacterias. ¿Tener bacterias tipo A es independiente de tener bacterias tipo B? 3.3 Reconoce y explica los conceptos de Ejemplo: Analiza la siguiente situación: Está probabilidad condicional e independencia en conduciendo embragado, cuál es la probabilidad contextos cotidianos. de que tenga un accidente. Usa las reglas de probabilidad para calcular probabilidades de eventos compuestos en modelos cuyos eventos simples son igualmente probables. 3.4 Conoce la diferencia entre permutaciones y Ejemplo: Se escogen dos alumnos combinaciones. Usa estas técnicas de conteo aleatoriamente para representante y secretario para calcular probabilidades de eventos del representante en una actividad del colegio. compuestos y resolver problemas. ¿Cuál es la probabilidad de que queden Pepito Pérez y Juanita González respectivamente? Se escogen dos alumnos aleatoriamente para representantes en una actividad del colegio, ¿cuál es la probabilidad de que queden Pepito Pérez y Juanita González como representantes? 3.5 Aplica la regla de la adición Ejemplo: De los 40 niños de grado décimo, 22 , para calcular la niños juegan fútbol, 20 juegan basquetbol y 12 probabilidad de la unión de dos eventos, así juegan ajedrez. Diez niños juegan fútbol y como la regla del complemento basquetbol, 5 juegan fútbol y ajedrez, ocho niños . juegan basquetbol y ajedrez y tres practican los tres deportes, ¿cuál es la probabilidad de que un niño juegue fútbol o basquetbol? ¿Cuál es la probabilidad de que solamente realice una de estas tres actividades? ¿Cuál es la probabilidad de que practique ajedrez dado que juega basquetbol? ¿Cuál es la probabilidad de que no practique ninguna de estas tres actividades?

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Recomendaciones didácticas La educación media es el puente entre la escuela y el trabajo o la educación postsecundaria, pero el enlace entre una y otros es la prueba Saber 11. Una de las primeras recomendaciones al maestro es que sea consiente de los conocimientos que traen los alumnos de los años anteriores, pues muchos de estos serán evaluados en la prueba Saber 11. Esta prueba es la llave que abre o cierra oportunidades claves para los estudiantes: becas, préstamos, admisión a instituciones de educación postsecundaria, oportunidades de empleo, etc. Por tanto, es responsabilidad de la escuela y el maestro suministrar al estudiante todos los elementos a su alcance para que llegue al examen con la mejor preparación posible, sin desconocer que es el esfuerzo del estudiante, lo que él ha aprendido y su interés por conocer, los que determinan su resultado en la prueba. Temas de undécimo como el estudio de funciones y sus gráficas ofrecen espacios para repasar y profundizar en los conocimientos básicos de años anteriores. La matemática de los grados décimo y undécimo se construye sobre la matemática de la educación básica, profundizando y generalizando los conceptos y agregando nuevas formas de ver y hacer matemáticas. Las matemáticas son como una escalera de caracol en la que cada idea s e apoya en las ideas anteriores y cada vez se visitan los mismos lugares, pero un piso más arriba y se ven de manera más general, más abstracta, más profunda o se aplican a nuevos temas. La media es el momento de solidificar, conectar, aplicar, fundamentar y expandir los conocimientos de la educación básica. La comprensión de las características propias de las formulaciones algebraicas y las representaciones gráficas de cada una de estas funciones, permite usarlas para modelar diferentes situaciones y hacer predicciones. La comprensión y destreza en las operaciones entre los diferentes tipos de números, que se adquiere en la educación básica, soporta la comprensión y destreza en la manipulación de expresiones algebraicas, que se desarrolla en 9, 10 y 11 y que es el lenguaje que usan las matemáticas y las ciencias para expresarse. Un objetivo de las matemáticas en estos grados es adquirir la destreza necesaria en el manejo de este lenguaje, indispensable para comprender las ideas matemáticas más avanzadas, para ejercitarse en los procedimientos y para hacer matemáticas. El manejo de expresiones algebraicas depende de la comprensión sólida del manejo de los números, sus operaciones y propiedades. Por ejemplo, cuando al resolver una ecuación se divide una expr esión por x es necesario tener presente que esta x no puede tomar el valor cero. O si al resolver una desigualdad se multiplica algo por x, es necesario tener en cuenta si x toma valores positivos o negativos ya que el comportamiento de la situación varía en cada caso. El tema central de once son las funciones. En primer lugar, se cuenta con un número interesante de funciones, con diferencias algebraicas y las gráficas que hay que tener presentes para poder usarlas para modelar situaciones y hacer predicciones. Esa visión de las funciones sustenta la comprensión de la noción de derivada y sus aplicaciones para medir el cambio, hallar la tangente a una curva o trazar la gráfica de una función. La importancia de la derivada radica en comprender su significado, no en aprender fórmulas acerca del cálculo de derivadas de diferentes funciones. Las ideas geométricas acerca de polígonos, sólidos o localización de puntos y objetos en el espacio desembocan en la educación media en la geometría analítica donde, con l a ayuda de la correspondencia entre puntos y parejas de números, se refuerzan mutuamente el álgebra y la geometría. Se tiene entonces una nueva herramienta para probar afirmaciones geométricas y la resolución de ecuaciones o desigualdades algebraicas cuenta con un nuevo recurso. El estudio de las rectas y su relación con la proporcionalidad directa lleva al estudio de la pendiente que soporta la noción de derivada. El manejo y representación de algunos pocos datos, que se va construyendo a través de la edu cación básica y que permite inicialmente extraer información evidente con argumentos intuitivos, desemboca en herramientas cada vez más sofisticadas que permiten examinar y analizar con precisión grandes volúmenes de datos y hacer predicciones con

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probabilidades de éxito cada vez mayores. El uso de herramientas tecnológicas es un apoyo indispensable en esta área. El paso del pensamiento determinístico al estocástico, de un mundo en donde las afirmaciones son verdaderas o falsas a un mundo en donde las afirmaciones son verdaderas con cierta probabilidad, es otra de las grandes transformaciones que se deben lograr en el paso por la educación media. Para la construcción del conocimiento matemático es necesario planear actividades que permitan al estudiante relacionar lo que sabe con las nuevas ideas, así como aplicarlas en diversos contextos. Es importante mantener un balance entre la comprensión de las ideas fundamentales, la ejercitación y el dominio de los procedimientos y algoritmos, el uso y aplicación de las ideas matemáticas a otras disciplinas y el desarrollo de competencias matemáticas como proponer y resolver problemas, razonar y comunicarse usando las matemáticas. Con el fin de interesar al estudiante en el estudio y profundización de los temas de este grado, se sugiere solicitarle que averigüe por la historia de ideas como la definición de número real o de función, el infinito, o el desarrollo de las ideas d el cálculo, que soportan la ciencia y la técnica de hoy. Aprender y comprender autónomamente es un requisito indispensable en la preparación de los estudiantes para su ingreso a la educación postsecundaria, al mundo del trabajo y al ejercicio responsable de la ciudadanía. Sólo así podrá aprovechar las oportunidades que le ofrece hoy la tecnología, de aprender de manera gratuita casi cualquier cosa que desee aprender, oportunidades que seguramente serán muchísimas más en el momento en que terminen su vida escolar. El maestro debe proveer al estudiante de oportunidades que le permitan: generar y explorar conjeturas, nuevos problemas e ideas propias; trabajar colaborativamente con otros; reflexionar sobre lo que sabe, sobre lo que comprende y sobre lo que no comprende y decidir cómo puede mejorar. Este tipo de actividades propician el desarrollo de la autonomía y el pensamiento crítico y creativo, atributos que debe tener un individuo para desempeñarse como ciudadano en el siglo XXI. Hoy es no sólo conveniente sino indispensable integrar la utilización de herramientas tecnológicas en la clase de matemáticas. El objetivo no es evitar que los estudiantes adquieran las destrezas necesarias en el uso de procesos y procedimientos matemáticos. La tecnología permite la solución de problemas complejos, el trabajo con datos reales, permite explorar nuevos campos o profundizar en aspectos que el estudiante considere interesantes, pero entre los impactos más grandes de la tecnología hoy están el haber puesto el conocimiento al alcance de todas aquellas personas que tienen el interés por aprender y la capacida d de aprender autónomamente y el haber hecho realidad la posibilidad de ser parte de comunidades globales de aprendices. El uso de la tecnología ha tenido tres grandes impactos en la educación en los últimos años: primero democratizó el conocimiento poniendo la información al alcance de todos. Luego simplificó la comunicación y la hizo fácil, ágil y segura y recientemente facilitó la interacción entre personas de todo el mundo, con herramientas que permiten ver y hablar en tiempo real, gratuitamente o a muy bajos costos. Es imposible prever qué nos demandará el futuro, pero es responsabilidad de la escuela y el maestro mostrar, interesar y capacitar al estudiante en el uso de los desarrollos tecnológicos actuales para prepararlo para que aproveche los que c on seguridad se seguirán generando. No hacerlo es como obligarlo a recorrer grandes distancias a pie y empeñarse en que no conozca las enormes ventajas y ni use las posibilidades que ofrecen hoy los diferentes medios de transporte. Recursos como software, wikis, páginas web, blogs, publicaciones de otros docentes o estudiantes en la red, proyectos globales, Moocs, etc. ofrecen tanto a estudiantes como a docentes apoyos muy importantes en su labor de a prender y apoyar el aprendizaje.

Indicaciones para la evaluación formativa La evaluación constituye un elemento fundamental en el aprendizaje. No debe ser un proceso independiente, es parte integral de la planeación y del desarrollo de cada clase, de cada unidad, de cada actividad. La evaluación permite conocer

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los avances con respecto a los objetivos de aprendizaje, logros, progresos o dificultades y las oportunidades de mejoramiento. Debe ser el indicador que le dice al maestro: ¿Qué comprendieron? ¿Cómo comprendieron? ¿Qué hago para mejorar? al joven: ¿Cómo voy? ¿Qué vacíos tengo y qué debo hacer para llenarlos? y al padre de familia: ¿Cómo va mi hijo? ¿Cómo lo puedo apoyar para que mejore? La evaluación también le da información a la escuela sobre su desempeño y el desempeño de cada uno de sus miembros; y a la sociedad sobre la escuela y el futuro de sus ciudadanos, información que le permite al estado tomar decisiones fundamentadas. Para lograr lo anterior, la evaluación debe incluir comentarios explícitos acerca de las razones que llevaron a ese juicio y los criterios y resultados de la evaluación siempre deben ser conocidos prontamente por los estudiantes. Las actividades de evaluación deben ser similares a lo hecho y desarrollado en clase, ofreciendo retos y diferentes niveles de complejidad, que permitan que cada cual pueda autoevaluarse y determinar, con el apoyo del maestro, qué debe hacer para mejorar. Hay muchas formas de evaluar el desempeño del joven: observando lo que hace durante la clase, hablando con él acerca del tema que se está desarrol lando, pidiéndole que lleve un diario y analizando lo que escribe allí, pidiéndole que vaya haciendo un portafolio o una carpeta donde ponga los trabajos de los que se sienta orgulloso, etc. Una de las estrategias de evaluación más idóneas para este grado es la elaboración de proyectos para desarrollar en una o varias semanas. Requieren de un alto grado de autonomía de los estudiantes y les permiten trabajar en grupo, asumiendo diferentes responsabilidades. Pueden resolver problemas de mayor complejidad que los que habitualmente se resulven en clase, en los que utilicen y conecten diferentes conocimientos de matemáticas y otras disciplinas para describir, interpretar y modelar situaciones de su contexto. El estudiante debe aprender en las evaluaciones que es tan importante el proceso y la estrategia que escoja y siga para resolver un problema, como lograr llegar a un resultado correcto. Es importante que se forme en el hábito de verificar, al finalizar una tarea, que efectivamente contestó la pregunta que l e formularon, que resolvió el problema que le plantearon, y que la respuesta que obtuvo satisface las condiciones del problema. Otra competencia básica en la resolución de problemas es mantener una actitud reflexiva a lo largo del proceso de resolución, qu e lo mantenga enfocado en qué quiere logra y que le indique si el camino que escogió lo lleva en esa dirección o es necesario mejorar el rumbo. Uno de los puntos más importantes relacionados con la evaluación es la honestidad. El estudiante debe aprender a responder por sus acciones, y en la media ya está a un paso de salir al mundo de los adultos. Debe ser consciente de que su responsabilidad como estudiante es aprender, que su aprendizaje depende de su esfuerzo y que no puede evadir esa responsabilidad acudiendo al atajo de la trampa. El maestro debe ser consciente de que tiene una responsabilidad con la sociedad cuando acredita, con sus notas, la idoneidad de cierto joven como bachiller, por tanto, es su obligación no permitir que esa información sea fal sa porque esté contaminada con trampas. El maestro de los grados 10 y 11 puede escoger algunas de las preguntas de las pruebas Saber 11 que aparecen en la página del Icfes, para que los estudiantes se vayan familiarizando con esta forma de preguntar. Lu ego de que los estudiantes contesten estas preguntas en tiempos precisos, deben analizar no sólo los resultados sino las diferentes estrategias que se pueden usar para contestar ese tipo de exámenes. Un punto muy importante de estas pruebas, que debe ejercitarse, es la lectura comprensiva de las preguntas, que es muchas veces la causa de los errores en los resultados. En este punto es indispensable ejercitarse el leer la información presentada en tablas y diferentes tipos de gráficos ya que hoy es esa una forma muy común de presentar información en periódicos y revistas así como en la prueba Saber 11.

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Al evaluar las matemáticas es importante tener en cuenta no solo el nivel de comprensión y aplicación de los conceptos sino el nivel de desarrollo de las competencias matemáticas, dentro del contexto y grado. El maestro debe plantear situaciones que permitan observar el nivel de desarrollo en cuanto a la resolución de problemas, la comunicación, el razonamiento, etc. Para preparar a los jóvenes para el siglo XXI, es indispensable ofrecerles oportunidades de aprender a reflexionar sobre sí mismos y a monitorear sus acciones. Debe aprender a autoevaluarse, a juzgar su trabajo y el de los demás de manera crítica y objetiva y a apreciar y aceptar los juicios que otros hagan de su trabajo, presentando argumentos válidos cuando no esté de acuerdo. Debe aprender a tomar decisiones autónomamente y a responder por sus actos. Estas habilidades o competencias, indispensables para la vida de un ciudadano hoy, sólo se desarr ollan si el estudiante tiene oportunidad de hacerlo. El joven que sólo sigue órdenes e instrucciones y que siempre espera el juicio del maestro acerca de su trabajo, perderá muchas oportunidades que le ofrece el mundo hoy.

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Derechos básicos de aprendizaje

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