Lista Complementar -Álgebra-Módulo 10 - Aula 17 - Inequações

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Lista de Exercícios (Complementar) - Álgebra - Módulo 10 (Aula 17: Inequações) 1. (UEFS)

4. (UFJF)

Parte dos gráficos de duas funções polinomiais do primeiro grau, f e g, estão representados na figura, em que f(3) = g(3).

Dadas as funções f(x) = x + 3 e g(x) =

13x − 9 , x+2 determine o maior subconjunto dos números reais tal que f(x)  g(x). a) ]5, + [ b) ] − 2, 5[ c) ] − , 3[]5, + [ d) ] − , 3[ e) ] − 2, 3[]5, + [ 5. (ESPM) Para que o domínio da função f(x) = x(x − k) + 1 seja todo o conjunto dos reais, deve-se ter: a) k  0 b) k  −1 c) −1  k  1 d) −2  k  2 e) −1  k  3

Se f(4) = 0 e g(0) = 0, o conjunto solução de f(x)g(x)  0 é a) {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 < 0} b) {𝑥 ∈ ℝ|0 < 𝑥 < 4} c) {𝑥 ∈ ℝ|3 < 𝑥 < 4} d) {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 3} e) {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 4} 2. (CFTMG) O número de soluções inteiras pertencentes ao (3 x − 9) (x + 6) conjunto solução da inequação   0, 2 3 em ℝ, é a) 4. b) 6. c) 8. d) 10. 3. (Unesp) Renata escolhe aleatoriamente um número real de −4 a 2 e diferente de zero, denotando-o por x. Na reta real, o intervalo numérico que necessariamente 2−x contém o número é x a)

6. (Unesp) No universo dos números reais, 2

2

(x − 13x + 40)(x − 13x + 42) x 2 − 12x + 35

apenas a) três números. c) um número. e) cinco números.

=0

a equação

é satisfeita por

b) dois números. d) quatro números.

7. (IME) O sistema de inequações abaixo admite k soluções inteiras.  x 2 − 2x − 14  3  x  x  12 

Pode-se afirmar que: a) 0  k  2 c) 4  k  6 e) k  8

b) 2  k  4 d) 6  k  8

b) 8. (FGV) O c)

d)

e)

domínio

da

função

real

definida

por

é

f(x) = 6 − 2x + 7 é {x  | m  x  n}. Em tal condição, a média aritmética simples entre o menor valor possível para m e o maior valor possível para n é igual a a) 5,8. b) 5,5. c) 5,0. d) −4,6. e) −4,8. waldematica.com.br

Lista de Exercícios (Complementar) - Álgebra - Módulo 10 (Aula 17: Inequações) 9. (PUC-RJ)

14. (AFA)

Considere a inequação

x +1  0, com 𝑥 ∈ ℝ. −x − 5

Qual é o conjunto solução da inequação? a) (−, 1]  [5, ) b) (−, − 5)  [−1, ) c) [0, ) d) [−5, ) e) (−1, ) 10. (CFTMG) No conjunto dos números reais, o conjunto solução 2x 5x − 3 da inequação −  1 é o intervalo 3 4 a) ] − , −3[ 3  b)  −, −  7   3  c)  − ,    7  d) ] − 3, [

Seja f uma função quadrática tal que: I. 𝑓(𝑥) > 0 ∀ 𝑥 ∈ ℝ II. tem gráfico interceptando o gráfico da função g, dada por g(x) = 2, num único ponto cuja abscissa é 2 III. seu gráfico possui o ponto Q, simétrico do ponto R (0, − 3) em relação à origem do sistema cartesiano. Seja h uma função afim cujo gráfico intercepta o gráfico de f no eixo Oy e no ponto de menor ordenada de f. Assim sendo, o conjunto solução da inequação [f(x)]3  [g (x)]10 [h (x)]15

a) 0, 8

 0 contém o conjunto

b) 1, 7

c) 2, 6

d) 3, 5

15. (CFTMG) O conjunto solução S, em ℝ, da inequação: x  −4  ( 2x − 1)   − 1  0 é 3 

11. (PUC-RJ) Quantas soluções inteiras tem a inequação abaixo: x 2 − 10x + 21  0. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 12. (PUC-RJ) A soma dos valores inteiros que satisfazem a desigualdade x 2 + 6x  −8 é: a) −9 b) −6 c) 0 d) 4 e) 9 13. (UEMA) Uma função consiste na associação de dois conjuntos A e B de números reais, por meio de uma lei f. O subconjunto dos elementos de A que corresponde a um, e somente um, elemento de B é denominado domínio da função D(f ). Considerando que a expressão f(X) =

(2x 2 − 8)(x 2 + x − 6) x 2 + 2x − 3

é uma função, determine o domínio de f(x). a) 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 1; 𝑥 ≤ −2 𝑒 𝑥 ≠ −3} b) 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 1; 𝑥 < −2 𝑒 𝑥 ≠ −3} c) 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 1; 𝑥 ≥ −2 𝑒 𝑥 = −3} d) 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≥ 1; 𝑥 ≤ −2 𝑒 𝑥 = 3} e) 𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ 1; 𝑥 > −2 𝑒 𝑥 ≠ 3}

a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ/1 < 𝑥 < 2}. 1 b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ/ 2 < 𝑥 < 3}. c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 < 1𝑜𝑢𝑥 > 2}. 1 d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 < 2 𝑜𝑢𝑥 > 3}. 16. (PURJ)

−x + 3  0 onde 2x − 1 x pertence ao conjunto dos números naturais é: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8 A soma das soluções da inequação

17. (UERN) Sobre a inequação-produto (−4x2 + 2x − 1)(x2 − 6x + 8)  0, em ℝ, é correto afirmar que a) não existe solução em ℝ. b) o conjunto admite infinitas soluções em ℝ. c) o conjunto solução é 𝑆 = {𝑥 ∈ ℤ/2 ≤ 𝑥 ≤ 4}. d) o conjunto solução é {𝑥 ∈ ℤ/𝑥 ≤ 2 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 4}.

18. (ESPM) O número de soluções inteiras do sistema de  2x − 3 3  inequações  −2 é igual a:  x 2 + 2x  8  a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 waldematica.com.br

Lista de Exercícios (Complementar) - Álgebra - Módulo 10 (Aula 17: Inequações) Gabarito: Resposta da questão 1: [B] Do gráfico, temos: A reta que representa a função

g( x)

pode ser representada por:

f ( x)

pode ser representada por:

y = ax, a  0 A reta que representa a função

y − 0 = b ( x − 4 ), b  0

2 − (−4) = −1,5 −4 2 − (−3) = −1,6667 −3 2 − (−2) = −2 −2 → 𝑓(𝑥) ≤ −1,5  𝑜𝑢  𝑓(𝑥) ≥ 0 2 − (−1) = −3 −1 2 − (1) =1 1 2 − (2) =0 } 2

y = bx − 4b, b  0

Resposta da questão 4 [E]

Então,

Tem-se que

f ( x )  g ( x ) = ( bx − 4b )  ax

x+3 

f ( x )  g ( x ) = abx 2 − 4abx f ( x )  g ( x ) = abx  ( x − 4 ) , ab  0 As raízes de

f ( x )  g( x ) = 0

são

x = 0 e x = 4.

Daí,

13x − 9 (x − 3)(x − 5)  0 x+2 x+2  −2  x  3 ou x  5.

Portanto, a resposta é

] − 2, 3[]5, + [.

Resposta da questão 5: [D] Calculando:

f(x) = x  (x − k) + 1 Portanto,

f ( x )  g( x )  0

para

0  x  4.

𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ: 0 < 𝑥 < 4}

Resposta da questão 2: [C] Desenvolvendo temos:

(3 x − 9) (x + 6)  0 2 3

(3 x − 9)  0  3x − 9  0  x  3 2 (x + 6) II)  0  x + 6  0  x  −6 3

x  (x − k) + 1  0  x 2 − xk + 1 = 0  = k 2 − 4  0  −2  k  2 Resposta da questão 6: [C] O conjunto de valores de reais é tal que

x para os quais a equação possui raízes

x2 − 12x + 35  0  (x − 5)(x − 7)  0  x  5 ou x  7.

I)

Soluções: I) 2, 1, 0 II)

−5, − 4, − 3, − 2, − 1

Resposta da questão 3: [A] Calculando: 2−𝑥 2 𝑓(𝑥) = → 𝑓(𝑥) = − 1 → {𝑥 ∈ ℝ*| − 4 ≤ 𝑥 ≤ 2} 𝑥 𝑥

Desse modo, temos

(x 2 − 13x + 40)(x 2 − 13x + 42) x 2 − 12x + 35

= 0  (x − 5)(x − 6)(x − 7)(x − 8) = 0  x = 8.

Portanto, a equação é satisfeita por apenas um número real.

Resposta da questão 7: [D]

 x 2 − 2x − 14  x 2 − 5x − 14   3 0 →  x x  x  12  x  12   Resolvendo

e

fazendo

os

diagramas

de sinais,

temos:

x  7  −2  x  0

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Lista de Exercícios (Complementar) - Álgebra - Módulo 10 (Aula 17: Inequações) Logo,

7  x  12 Inteiros → S = −1, 8, 9, 10, 11, 12 → k = 6  −2  x  0

Resposta da questão 12: [A]

x 2 + 6x  −8  x 2 + 6x + 8  0 Estudando o sinal da função

Resposta da questão 8: [B]

f(x) = x2 + 6x + 8,

temos:

2x + 7  36 −7 29 6 − 2x + 7  0  2x + 7  6  domínio f(x)      x −7 2 2 x  2 2x + 7  0 2x  −7  −7 29 + 2 = 22 = 5,5 média = 2 2 4

A soma S dos valores inteiros do intervalo considerado será dada por:

Resposta da questão 9: [B]

−4 + (−3) + (−2) = −9

Tem-se que

x +1 x +1 0  0  x  −5 ou x  −1. −x − 5 x+5 Portanto, vem

S = (−, − 5)  [−1, ).

Resposta da questão 13: [A]

(2x

2

)(

− 8  x2 + x − 6 x + 2x − 3 2

Resposta da questão 10: [B]

Condição de existência: 2

x + 2x − 3  0  x  −3 ou x  1

2x 5x − 3 − 1 3 4

Raízes:

2x2 − 8 = 0  x = 2 ou x = −2

Multiplicando os dois membros por

12,

temos:

x2 + x − 6 = 0  x = −3 ou x = 2

8x − 15x + 9  12 −7x  3 7 x− 3 Portanto,

)0

Estudo do sinal de

(2x2 − 8)  ( x2 + x − 6) . x2 + 2x − 3

3  S =  −, −  . 7  𝐷 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 1; 𝑥 ≤ −2 𝑒 𝑥 ≠ −3}

Resposta da questão 11: [C] As raízes da equação

x 2 − 10x + 21 = 0 são 3 e 7.

Analisando, agora, o sinal da inequação, temos:

Portanto, os valores inteiros de

3, 4, 5, 6

e

7

x que verificam a inequação são

(cinco números inteiros).

Resposta da questão 14: [D] Do enunciado sabe-se que se o gráfico

f(x)

intercepta a função

g(x) = 2, em um único ponto e de abscissa 2, conclui-se que o ponto V (2,2) é o vértice da parábola. Também se sabe que se f(x)  0, a função não possui raízes reais. Ainda, o simétrico de R (0, − 3) em relação à origem é o ponto Q (0, 3) . Portanto, h(x) passa por Q e pelo vértice V. Pode-se escrever:

h(x) = − 1 x + 3. 2 expressão

Como f(x) e g(x) são positivas, o sinal da

[f(x)]3  [g (x)]10 [h (x)]15

é o mesmo de h(x). Assim sendo,

o conjunto solução da inequação dada contém o conjunto

3, 5.

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Lista de Exercícios (Complementar) - Álgebra - Módulo 10 (Aula 17: Inequações) Resposta da questão 15: [B] Tem-se que

8  1 x  −4  (2x − 1)   − 1  0    x −   (x − 3)  0 3 3 2     1   x  3. 2 Portanto, 1

𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ| < 𝑥 < 3}. 2

Resposta da questão 16: [A] Tem-se que

−x + 3 x−3 0 0 1 2x − 1  2 x −   2 1   x  3. 2 Logo, as soluções naturais da inequação são x = 1 e x consequência, o resultado pedido é igual a 1 + 2 = 3.

= 2. Em

Resposta da questão 17: [C] Reescrevendo a inequação, obtemos

( −4x 2 + 2x − 1)(x 2 − 6x + 8)  0  (4x 2 − 2x + 1)(x 2 − 6x + 8)  0 2

1   4  x −  (x − 2)(x − 4)  0 2  1  x = ou 2  x  4. 2 Portanto, o conjunto solução da inequação, em ℤ, é 𝑆 = {𝑥 ∈ ℤ;  2 ≤ 𝑥 ≤ 4}.

Resposta da questão 18: [D] Temos 2𝑥 − 3 2𝑥 > −3 { −2 < 3 ⇔ { (𝑥 + 1)2 ≤ 9 𝑥 2 + 2𝑥 ≤ 8 3 ⇔ {𝑥 > − 2 −3 ≤ 𝑥 + 1 ≤ 3 3 ⇔ {𝑥 > − 2 −4 ≤ 𝑥 ≤ 2 3 ⇔ − < 𝑥 ≤ 2. 2 Portanto, como as soluções inteiras do sistema são segue que o resultado pedido é

−1, 0,1 e 2,

4.

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