Introduccion a los mercados de futuros y operaciones 6

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SEXTA

EDICIÓN

INTRODUCCION A LOS MERCADOS DE FUTUROS Y OPCIONES J o h n C . H u ll M a p le F inancial G roup P ro fesso r o f D eriva tives a n d R isk M a n a g em en t Joseph L . R otrnan S c h o o l o f M a n a g em en t U niversity o f Toronto

TR A D U C C IÓ N : M ig u el Á ngel S á n c h e z C a r r ió n U niversidad Iberoam ericana R E V ISIÓ N T É C N IC A A rtu ro M o ra le s C a s tro U niversidad N acional A utónom a d e M éxico

P a b lo G a lv án Instituto Tecnológico A utónom o d e M éxico

J o s é A n to n io M o ra le s C a s tro U niversidad N acional A utónom a d e M éxico

M a ría d e G u a d a lu p e A rro y o S a n tis te b a n C astillo S a ld a b a

Ig o r P. R iv e ra Tecnológico d e M onterrey, Cam pus C iudad d e M éxico

V in id o P é re z F o n se c a J o s é C ru z R am o s B áez U niversidad P anam ericana, M éxico

PEARSON I cae

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■MI

México • Argentina • Brasil • Colombia • Costa Rica • Chile • Ecuador España • Guatemala • Panamá • Perú • Puerto Rico • Uruguay •Venezuela

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_______________/

D ato s d e ca ta lo g ac ió n b ib lio g rá fic a

H U L L , J O H N C. I n t r o d u c c i ó n a lo s m e r c a d o s d e f u t u r o s y o p c io n e s

S exta ed ició n P E A R S O N E D U C A C IÓ N , M éxico, 2 0 0 9 ISB N : 9 7 8 -6 0 7 -4 4 2 -1 0 0 -2 Á rea: A d m in istra c ió n y E conom ía R>rmato: 2 0 x 2 5 .5 c m

P ág in as: 5 7 6

Authorized translation from the English language edition, entitled Fundamentals o f Futures and Options Markets by John C. Hull, 6 th edition published by Pearson Education, Inc., publishing as PRENTICE HALL, INC., Copyright © 2008. All rights reserved. ISBN 9780132242264 Traducción autorizada de la edición e n idiom a inglés. Fundamentals o f Futures and Options Markets p o r John C. H ull, 6a edición publicada por Pearson Education, Inc., publicada com o PRENTICE HALL, INC., Copyright © 2008. Todos los derechos reservados. Esta edición en español e s la única autorizada. Edición en español Editor Pablo M iguel Guerrero Rosas e-mail: [email protected] Editor de desarrollo: Bernardino G utiérrez Hernández Supervisor de producción: José D. Hernández Garduño SEXTA EDICIÓN, 2009 D.R. © 2009 por Pearson Educación de M éxico, S.A. de C.V. Atlacomulco 500-5o. piso Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Juárez, Estado de M éxico Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. núm. 1031. Prentice Hall e s una marca registrada de Pearson Educación de M éxico, S.A. de C.V. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, e n ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, m agnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso d e este ejem plar requerirá tam bién la autorización del editor o d e sus representantes.

P E A RS )2 n()go8 u 8.08% anual. E sto significa q u e, p o r un préstam o d e $1,000 se requerirían pagos d e in tere­ ses d e $20.20 c ad a trimestre. v _________________________________________________________________________________________ 7

pagos interm edios. L a ta sa d e interés cu p ó n cero a n años se denom ina en ocasiones tasa s p o t a n años, tasa cero a ti años o sólo cero a n años. Suponga q u e una ta s a c ero a cinco años con una c o m ­ posición continua se cotiza a 5% anual. E sto significa q u e si se invierten $100 durante cinco años, crecerán a 100 x e#05xS = 128.40 M uchas de las tasas d e interés que observam os directam ente en e l m ercado no son tasas cero p u ­ ras. C onsidere un bono d e l gobierno a cin co años que proporciona un c u p ó n d e 6% . El precio del bono no determ ina p o r sí mismo la ta sa cero del Tesoro a cinco años porque parte d e l rendim iento sabré e l bono se o b tiene e n fo rm a de cupones antes d e l térm ino d e l q u in to año. M ás ad elan te, en este capítulo, analizarem os cóm o se determ inan las tasas cero del Tesoro a p artir d e los precios d e bonos c o n cupón.

4.4

V A L U A C IO N D E B O N O S La m ayoría d e los bonos proporciona cupones periódicam ente. E l principal del bono (conocido tam bién com o su valor a la par o v alor nom inal) se recibe a l final de su vida. El precio teórico d e un bono se calcula com o el v alor presente d e todos los flujos de efectivo q u e recib irá el propieta­ rio d e l bono. E n ocasiones los negociantes d e bonos usan la m ism a ta sa de d escuento para todos b s flujos d e efectivo subyacentes a un bono, pero un m étodo m ás ex acto e s usar la ta sa cero a d e ­ cuada para c ad a flujo d e efectivo. P a ra ilustrar esto , considere u n a situación e n la q u e las tasas cero del T esoro, m edidas con una com posición c o n tin u a, son iguales a las q u e se presentan e n la ta b la 4.2. (E xplicarem os p o sterio r­ m ente cóm o se calculan estas tasas). Suponga q u e un bono d e l Tesoro a d o s años, c o n un p rin ci­ pal d e $ 100, proporciona sem estral m ente cupones a una ta sa de 6 % anual. Para calcular el valor pre­ sente del prim er cupón d e $3, lo d esco n tam o s a 5.0% p a ra seis m eses; para calcu lar e l v alor

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Tasas d e interés

Tabla 4.2

Tasas cero del Tesoro

Vencimiento (años)

Tasa cero (%) (com p. c o n t.)

0.5 1.0

5.0 5.8

1.5 2.0

6.4 6.8

presente d e l segundo cu p ó n d e $3, lo descontam os a 5.8% para un añ o , y a s í sucesivam ente. Por lo tanto, el precio teórico del bono es —0.05x0.5 _|_

0.058x 1.0 _j_

—0.064x 1.5

—0.068x2.0

o $98.39.

Rendim iento de bonos El rendim iento d e un b ono e s la tasa d e descuento q u e, cuando se ap lica a todos los flujos d e e fe c ­ tivo, hace q u e e l valor del bono sea igual a su precio d e m ercado. Suponga q u e e l precio teórico del bono q u e hem os estad o considerando, d e $98.39, e s tam bién su v alor d e m ercado (es decir, e l p re ­ cio d e m ercado del bono co ncuerda exactam ente con los datos presentados e n la ta b la 4.2). Si y es el rendim iento sobre e l bono, expresado c o n una com posición co n tin u a, debem os te n er 3 , , - ' * 0 -5 + 3 e - .v x i . o + 3 ^ * 1.5 +

| 0 3 ( , —v*2-0 =

9 8 .3 9

Esta ecu ació n se resuelve usando un procedim iento repetitivo (d e “ensayo y error” ) para o b ten er y = 6.76% .

Rendim iento a la par El rendim iento a la p a r para determ inado vencim iento d e un bono e s la ta sa cu p ó n que hace q u e el precio del bono sea igual a su valor a la par. (El v alor a la par e s igual q u e e l v alor del principal). Por lo general, se asum e que e l bono proporciona cupones sem estrales. Suponga q u e el c u p ó n de un bono a d o s años, e n nuestro ejem plo, e s c por año (o c!2 p o r seis m eses). Si usam os las tasas c e ­ ro d e la ta b la 4.2, e l v alor del bono e s igual a su v alor a la p a r d e 100 cuando í e- 0-05x0.5

0.058x1.0 + £ é>—0.064x1.5 + ^ j q q + £ ^ - 0 .0 6 8 x 2 .0 = , ()0

Esta ecuación puede resolverse de m anera directa para o b ten er c = 6 .8 7 . Por lo tan to , e l rendim ien­ to a la p a r para d o s años e s d e 6.87% an u al con una com posición sem estral (o 6.75% con u n a c o m ­ posición continua). E n un sentido m ás am plio, si d es el valor presente d e $1 recibido al vencim iento del b o n o , A es e l valor d e u n a anualidad que p a g a $ 1 e n c ad a fecha d e pago d e c u p ó n y m es e l núm ero de p a ­ gos d e cupón a l año, entonces, e l rendim iento a la p a r c debe ser 100 = / l - + 1 0 ( W m

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CAPÍTULO 4 efe m anera que ( 1 0 0 - 1 0 0 d)m c = ---------------------A En nuestro ejem plo, m = 2 , d = «r0068 x 2 = 0.87284 y ^

^ —0.05x0.5 _|_ ^ —0.058x1.0

^—0.064x1.5 _j_ ^—0.068x2.0

^ 70027

La fórm ula co n firm a q u e e l rendim iento a la p a r e s d e 6.87% anual. O b serv e q u e ésta e s u n a ta sa expresada con una com posició n sem estral. (C on una com posición co n tin u a sería d e 6.75% ).

D E T E R M IN A C IO N D E T A S A S C E R O D E L T E S O R O A continuación analizarem os cóm o se calculan las tasas cero del Tesoro a p a rtir de los precios d e bonos d e l Tesoro. E l m étodo m ás popular se co n o ce co m o m étodo bootstrap (de rem uestreo). Para ilustrar la naturaleza d e l m étodo, considere los datos d e la tabla 4 .3 sobre los precios d e cinco b o ­ nos. C om o los tres prim eros bonos no pagan cupones, las tasas cero correspondientes a los v en ci­ mientos d e estos bonos son fáciles de calcular. El bono a tres m eses proporciona un rendim iento d e 2.5 en tres m eses sobre u n a inversión inicial de 97.5. C on una com posición trim estral, la ta sa cero a tres m eses es de (4 X 2.5)/97.5 = 10.256% anual. La ecu ació n (4.3) m uestra q u e, cuando la ta sa se ex p resa con una com posición continua, se co n v ierte en 4 ln (l+ M

^ ) = 0 .1 0 .2 7

o 10.127% anual. El bono a seis m eses proporciona un rendim iento d e 5.1 e n seis m eses sobre una inversión inicial d e 94.9. Con una co m p o sició n sem estral, la ta s a a seis m eses e s d e (2 X 5.1)/94.9 = 10.748% an u al. La ecuación (4.3) m uestra q u e, cuando la ta sa se ex p resa con u n a com posición continua, se convierte en 2 1 n ( .+ «

Tabla 4.3

= 0 .1 0 4 6 9

D atos para e l m étodo bootstrap

P rincipal bono $

Tiem po a l d e l vencim iento (a ñ o s)

C upón a n u a l* $

Precio d e l bono $

100

0 .2 5

0

9 7 .5

100

0 .5 0

0

9 4 .9

100

1.00

0

9 0 .0

100

1.50

8

9 6 .0

100

2.00

12

101.6

* S e asum e q u e la m itad d e l cu p ó n establecido se paga c ad a seis m eses.

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Tasas d e interés

Tabla 4.4 Tasas cero continuam ente com puestas determ inadas con los datos d e la ta b la 4.3

Vencimiento {años)

Tasa cero (%) (com p. co n t.)

0.25 0.50 1.00 1.50

10.127

2.00

10.808

10.469 10.536 10.681

o 10.469% anual. Del mismo m odo, la ta sa a un ano con una co m p o sició n co n tin u a es

ln(' + é ? ) = ° 10536

o 10.536% anual. El cuarto bono d u ra 1.5 años. L os pagos son los siguientes: 6 m eses: $4 1 año: $4 1.5 años: $104 A p artir d e nuestros cálculos anteriores, sabem os que la ta sa d e descuento para e l pago a l térm ino d e seis m eses e s d e 10.469% y q u e la ta sa d e descuento para e l pago a l térm ino d e un año e s d e 10.536%. A dem ás, sabem os que el precio del bono, $96, debe ser igual a l valor presente d e todos los pagos recibidos por e l ten ed o r del bono. Suponga q u e la ta s a cero a 1.5 años se representa c o ­ mo R . Se d educe q u e 4 í, - ü . 10469x0.5

+ 4 í , —0.10536x1.0 +

1 0 4 * ,-* x l.5 = %

Esto se reduce a e“ 1,5* = 0.85196

R =

ln(0.85196) „ 1/WOI — = 0.10681

Por lo tanto, la ta sa cero a 1.5 años es de 10.681%. É sta e s la única ta sa cero consistente con la ta ­ sa a seis m eses, la ta s a a un año y los datos presentados e n la ta b la 4.3. L a ta sa cero a dos años se calcu la d e m anera sim ilar a las tasas cero a seis m eses, un año y 1.5 años, junto con la inform ación sobre e l último bono presentada e n la ta b la 4.3. Si R es la tasa cero a dos años, entonces ^ -0 .1 0 4 6 9 x 0 .5 +

6 < -0 .1 0 5 3 6 x 1 .0 +

^ - 0 . 1 0 6 8 1 x 1.5 +

, 0 6 < - * x 2 .0 =

m

¿

Esto nos d a R = 0.10808 o 10.1 Las tasas q u e hem os calculado se resum en e n la ta b la 4.4. U na gráfica q u e m uestra la ta sa cero com o una íunción del vencim iento se conoce co m o curva cero. Un supuesto com ún e s q u e la curva cero e s lineal entre los puntos determ inados con e l método bootstrap (esto significa q u e la ta sa cero

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CAPÍTULO 4

Figura 4.1

Tasas cero con e l m étodo bootstrap

a 1.25 años es d e 0.5 X 10.536 + 0 .5 X 10.681 = 10.6085%, e n nuestro ejem plo). Por lo general, tam bién se asum e q u e la cu rv a cero es horizontal antes del prim er punto y d esp u és d e l último pun­ to. La figura 4.1 m uestra la cu rv a cero de nuestros datos usando estos supuestos. Al utilizar bonos de vencim iento m ás largo la c u rv a cero se d eterm in ad a m ás exactam ente después d e dos años. E n la práctica, generalm ente no tenem os bonos con vencim ientos iguales a 1.5 años, 2 años, 2.5 años, etc. E l planteam iento de los analistas suele c o n sistir e n interpolar los datos d e precios del bono antes d e usarlos para calcular la c u rv a cero. P o r ejem plo, si saben q u e un b o n o a 2.3 años con un cupón d e 6 % se vende a 98 y q u e un bono a 2.7 años con un c u p ó n d e 6.5% se v en d e a 9 9 , p o ­ drían a su m ir q u e un bono a 2.5 años con un cu p ó n d e 6.25% se v en d ería a 98.5.

4.6

TASAS A P LA Z O Las tasas d e interés a plazo son las tasas d e interés sugeridas p o r las tasas cero actuales para p erio­ dos futuros. Con e l propósito d e ilustrar cóm o se calcu lan , supongam os q u e una serie específica d e tasas cero es com o la q u e m uestra la segunda colum na d e la tabla 4.5. S e asum e q u e las tasas se com ponen continuam ente. Así, la ta sa an u al d e 3% para un año significa que, a cam b io d e u n a in­ versión d e $100 hoy, un inversionista recibe lOOe003 x 1 = 103.05 dólares e n un año; la ta sa anual

Ta b la 4.5

C álculo d e tasas a plazo

A ño (n)

Tasa cero p a ra una inversión de n años (% a n u a l)

1 2 3 4 5

3.0 4.0 4.6 5.0 5.3

Tasa a p lazo p a ra e l n ° año (% anual) 5.0 5.8 6.2 6.5

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Tasas d e interés

de 4 % para d o s años significa q u e , a cam b io d e u n a inversión de $100 hoy, e l inversionista recibe lOQe0-04 x 2 = $108.33 dólares e n d o s años, etcétera. La ta sa d e interés a plazo d e la ta b la 4 .5 para e l año 2 e s d e 5% anual. É sta e s la ta sa d e inte­ rés im plícita por las tasas cero para e l periodo e n tre e l térm ino del p rim er año y el del segundo año. Se calcula a p a rtir de la ta s a d e interés c ero a u n año d e 3% an u al y la ta sa d e interés cero a dos años de 4 % an u al. La tasa d e interés p a ra e l año 2 e s la q u e, cuando se co m b in a con la ta sa d e in­ terés d e 3% anual p a ra e l año 1, nos d a una ta s a d e interés general d e 4 % para am b o s años. Para m ostrar q u e la respuesta correcta es 5% an u al, suponga que se invierten $100. U na ta sa d e 3% p a ­ ra e l prim er año y d e 5% para e l segundo nos d a 10(teO03xy )O5xl = $ 1 0 8 .3 3 al térm ino del segundo año. U na ta sa d e 4 % anual para d o s años nos d a

lOOe**4*2 que e s tam bién d e $ 108.33. E s te ejem plo ilustra e l resultado general de q u e, cuando las tasas d e in­ terés se com ponen continuam ente y se com binan las tasas e n periodos sucesivos, la ta sa e q u iv alen ­ te general e s sim plem ente la ta sa prom edio de todo e l periodo. (E sto se ex p lica e n e l A péndice de este capítulo). En nuestro ejem plo, 3% para e l prim er año y 5% para el segundo nos d a un p ro m e­ dio d e 4 % para los dos años. C uando las tasas no se com ponen continuam ente, e l resultado e s só­ lo aproxim adam ente cierto. La ta sa a plazo para e l año 3 e s la ta sa d e interés im plícita por u n a ta sa cero a dos años d e 4% anual y u n a tasa cero a tres años d e 4.6% anual. La ta s a a plazo e s d e 5.8% anual. L a razó n e s q u e una inversión a d o s años a 4 % anual, junto con u n a inversión a un año a 5.8% an u al nos d a un re n ­ dim iento prom edio general para los tre s años d e 4.6% anual. Las otras tasas a plazo se calculan del m ism o m odo y se m uestran en la tercera colum na de la tabla. En gen eral, si R { y R 2 son las tasas cero para los vencim ientos r, y r, respectivam ente, y R F es la ta sa d e interés a plazo para e l p e ­ riodo e n tre y T2:

(4®

h - 11 Para ilustrar e s ta fórm ula, considere e l cálculo d e la ta sa a plazo d e l año 4 o b ten id a de los datos de la ta b la 4.5: 7 , = 3, T 2 = 4 , /?, = 0.046 y R 2 = 0.05 y la fórm ula nos d a R F = 0.062. L a ecu ació n (4.5) se puede plantear a sí

R F = R2 + ( R 2 - R ]) - J l — h ~ /|

(4.6)

Esto m uestra q u e si la curva cero tiene pendiente ascendente entre T , y T2, d e tal m anera q u e R2 > /?,, entonces R F > R 2 (es decir, la tasa a plazo para un periodo q u e finaliza e n T2 es m ayor que la ta sa cero T2). Del mismo m odo, si la curva c ero tiene pendiente descendente, d e tal m anera q u e R 2 < /?,, entonces R F < R 2 (es decir, la ta sa a plazo para un periodo q u e finaliza e n T 2 es m enor q u e la ta sa cero T2). Si asum im os q u e las tasas cero de endeudam iento e inversión son iguales (lo q u e es c asi c ier­ to en el caso d e u n a im portante institución financiera), un inversionista puede asegurar la ta sa a p la ­ zo para un periodo futuro. Por ejem plo, suponga que las tasas cero son iguales a las q u e se p resen ­ tan e n la ta b la 4.5. Si un inversionista adquiere e n préstam o $100 a 3% durante un año y después

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CAPÍTULO 4

P a n o rá m ic a d e n e g o c io s 4 . 2

E s tra te g ia s d e c u rv a s d e re n d im ie n to d e l C o n d a d o de

O ran ge Un inversionista c re e q u e puede adquirir un préstam o o prestar a las tasas presentadas en la tabla 4 .5 y q u e las tasas d e interés a un año no cam biarán mucho d u ran te los próxim os cinco años. El inversionista puede ad q u irir e n préstam o fondos a un año e invertirlos d u ran te cinco años. L a a d ­ quisición del préstam o a un año se renueva en periodos de un año a l térm ino del prim ero, seg u n ­ do, tercero y cuarto años. Si las tasas d e irte ré s s e m antienen m ás o menos constantes, e sta e stra ­ tegia le g en erará una utilidad aproxim ada d e 2.3% anual porque se o b ten d rá un interés d e 5.3% y se pagará a 3%. E ste tipo d e estrateg ia d e negociación se conoce co m o estrategia de curva de rendimiento. El inversionista especula q u e , en e l futuro, las tasas serán m uy diferentes a las tasas a plazo q u e se observan en el m ercado actual. (En nuestro ejem plo, las tasas a plazo q u e se o b ­ servan en el m ercado actual para periodos futuros d e un año son 5, 5.8, 6 .2 y 6.5% ). Robert C itrón, tesorero del C ondado d e O range, usó con m ucho éxito estrategias d e curvas de rendim iento, sim ilares a la q u e acabam os d e describir, en 1992 y 1993. Las utilidades o b te ­ nidas de las transacciones del señ o r C itron se convirtieron e n una parte im portante del p resu­ puesto del C ondado de O ran g e, p o r lo q u e fu e reelecto. (N ad ie escu ch ó a su o p o n en te e n las elecciones, quien dijo q u e su estrateg ia d e negociación e ra dem asiado riesgosa). En 1994, e l señor C itron ex p an d ió sus estrategias d e curvas d e rendim iento e invirtió fu e r­ tem ente e n flo ta n tes inversos. E stos instrum entos pagan una ta sa d e interés igual a una ta s a fija menos una ta sa flotante. A dem ás, ap alan có su posición endeudándose e n e l m ercado repo. Si las tasas d e interés a corto plazo hubieran perm anecido constantes o dism inuido, h a b ría seguido te ­ niendo buenos resultados. C asualm ente, las tasas d e interés aum entaron c o n rapidez d u ran te 1994. El 1 d e diciem bre d e 1994, e l C ondado d e O range anunció q u e su cartera d e inversión h a ­ bía perdido $ 1,500 m illones y varios días d esp u és solicitó la suspensión d e pagos p o r quiebra.

invierte e l dinero a 4 % durante d o s añ o s, el resultado e s una salida d e efectivo d e lOOe003 x 1 = $103.05 a l térm ino d e l año 1 y una en trad a de efectivo d e 100¿°04 x 2 = $108.33 a l térm ino del año 2. C om o 108.33 = 103.05t?°05, se o b tien e un rendim iento igual a la ta sa a plazo (5% ) sobre $103.05 du ran te el segundo año. A hora suponga que e l inversionista adquiere un préstam o d e $100 durante cuatro años a 5% y lo invierte d u ran te tre s años a 4.6% . E l resultado e s u n a en trad a de e fe c ­ tivo d e lOO*0 046 x 3 = $114.80 a l térm ino del te rc er año y u n a salida d e efectivo d e 100^° 05 x 4 = $122.14 al térm ino del cuarto año. C om o 122.14 = 114.80e0062, se ad q u iere dinero e n préstam o durante e l cuarto año a la tasa a plazo d e 6.2% . Si un inversionista cree que las tasas futuras serán diferentes a las tasas a plazo actuales hay m uchas estrategias d e negociación que p u ed e considerar atractivas (vea la P anorám ica d e negocios 4.2). U na d e estas estrategias im plica participar e n un contrato q u e se co n o ce co m o acuerdo d e in ­ terés fu tu ro . A continuació n analizarem os cóm o funciona e s te contrato y cóm o se valúa.

A C U E R D O S D E IN T E R E S F U T U R O Un acuerdo d e interés futuro (FR A , p o r sus siglas e n inglés, fo rw a rd rate agreem ent) e s un acu er­ do O T C (o\>er-the-counter) que establece q u e se a p lic ará cierta ta sa d e interés al a d q u irir en prés­ tamo o prestar determ inado principal d u ran te un periodo futuro específico. El supuesto subyacen­ te al contrato e s que adquirir un préstam o o prestar se realiza norm alm ente a la ta sa LIBOR.

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Tasas d e interés

C onsidere un acuerdo d e interés futuro en e l q u e la em p resa X acuerda p restar dinero a la e m ­ presa Y durante el periodo e n tre T x y T 2. D efina: R k : la ta sa d e interés aco rd ad a e n e l FRA Rf:

la tasa d e interés L IB O R a plazo para e l periodo entre 7 , y 7 2, calculada hoy3

R m\ la ta sa d e interés L IB O R real q u e se o b serv a en el m ercado en la fecha 7 , para e l p erio­ do entre 7 , y T 2 L:

el principal subyacente a l contrato

Nos desviarem os de nuestro supuesto usual de co m p o sició n co n tin u a y asum irem os q u e las tasas R k, R F y R m se miden con u n a frecuencia d e co m p o sició n q u e refleja la duración del periodo al que se aplican. E sto significa q u e si T2 — 7 , = 0.5, se expresan c o n u n a co m p o sició n sem estral; si T2 — 7 , = 0.25, se expresan con una com posición trim estral, etc. (E ste supuesto co ncuerda con las prácticas d e m ercado usuales para los FRAs). N orm alm ente, la em p resa X g an aría con e l préstam o LIB O R . E l FR A significa que g a n a ­ rá R k . La ta sa d e interés adicional (que p u ed e ser negativa) que g a n a debido a su participación en el FR A e s R K - RM. L a ta sa d e interés establece e n la fe c h a 7 , y se paga en la fecha T 2. Por lo ta n ­ to, la ta sa d e interés adicional g en era un flujo d e efectivo para la em p resa X e n la fe c h a T2 d e L ( R k - R m )(T2 - T {)

(4.7)

Del mismo m odo, hay un flujo d e e se tipo para la em p resa Y e n la fecha T 2 de L ( R m - R k )(T2 - I \ )

(4.8)

Con base e n las ecuaciones (4.7) y (4.8), vem os que hay o tra interpretación d e l FR A , q u e e s un acuerdo e n e l que la em p resa X recib irá intereses sobre e l principal e n tre 7 , y T2 a la ta s a fija d e R k y Pag a r á intereses a la ta s a d e m ercado real d e L a em p resa Y p ag ará intereses sobre e l prin­ cipal e n tre 7 , y T2 a la ta sa fija d e R K y recibirá intereses a la ta s a R M. G eneralm ente, los FRA s se liquidan e n la fecha 7 , en v e z d e en la fe c h a T2. E ntonces, e l p a ­ go d e b e descontarse d e la fecha T2 a la T {. Para la em p resa X, el pago e n la fecha 7 , es H RK-RvH h-TQ i + R m (T2 - 7 ,) y, para la em p resa Y, e l pago e n la fe c h a 7 , es H R s, - R k )(T2 - T \ ) 1 + R m (T2 - 7Y) El ejem plo 4.2 ilustra e l cálculo d e los flujos d e efectivo de un FRA.

J L as ta sas a p la zo L IB O R s e ca lc u la n c o m o s e d escrib e e n la s e c c ió n 4 .6 a p a rtir d e la c u rv a c e ro L IB O R /sw ap , la cu a l s e determ ina c o m o s e d escrib e e n la se c c ió n 7.6.

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CAPÍTULO 4

E jem plo 4 .2

Flujos d e efectivo de un FRA

Suponga q u e una em p resa p articipa en un FRA que especifica q u e recibirá una ta s a fija de 4% sobre un principal d e $100 millones durante un periodo d e tres m eses q u e in icia dentro d e tres años. Si la ta sa L IB O R a tres m eses resulta ser d e 4.5% para e l periodo de tre s m eses, e l flujo de efectivo para el prestam ista será 100.000.000 x (0.040 - 0.045) x 0.25 = - S I 25.000 a los 3.25 años. E sto eq u iv ale a un flujo de efectivo d e 125.000 1 + 0.045 x 0.25

= -$ 1 2 3 .6 0 9

a los tre s años. El flujo de efectivo para la o tra parte d e la tran sacció n será d e + $ 1 2 5 ,0 0 0 a los 3.25 años o d e + $ 1 2 3 ,6 0 9 a los tre s años. (En e ste ejem plo, todas las tasas d e interés se e x p re ­ san con una com posición trim estral).

Valuación Para valuar un FR A , prim ero observam os q u e su v a lo r siem pre e s igual a cero cuando R K = R F.4 Esto se d e b e a que, com o se señaló e n la sección anterior, u n a im portante institución financiera pue­ de, sin ningún co sto , asegurar la ta sa a plazo para un periodo futuro. P o r ejem plo, puede asegurar la tasa a plazo para e l periodo e n tre los años 2 y 3, pidiendo prestada cierta cantidad p o r 2 años e inviniéndola p o r 3. D e igual m anera, puede asegurar q u e p ag u e la ta sa a plazo para el periodo del regundo y te rc er año, adquiriendo e n préstam o determ inada cantidad d e dinero durante tres años e inviniéndola durante dos años. C bm pare d o s FRAs. E l prim ero prom ete que se g a n a rá la ta sa a plazo L IB O R R f sobre un prin­ cipal d e L entre las fechas 7 , y 7 2;e l segundo prom ete q u e se g a n ará R K sobre e l m ism o principal entre las d o s m ism as fechas. Am bos contratos son iguales, excepto p o r los pagos d e intereses q u e se recibirán en la fecha 72. Por lo tanto, e l v alor adicional del segundo contrato sobre e l prim ero es d valor presente d e la diferencia entre estos pagos d e intereses, o L ( R K - R F)(T2 - T ¡ ) e - Rr t donde R 2 es la ta s a cero libre d e riesgo continuam ente co m p u esta para un vencim iento e n T2.5 C o­ mo e l valor d e l FR A en el q u e se recibe R F es d e cero , e l v alor d e l FR A e n e l que se recibe R K es W

= U R k ~ R f )(T2 - 7, )e~ R*

(4.9)

Etel m ism o m odo, e l valor d e un FRA e n e l que se p a g a R K es W

= L ( Rf- - R k )(T2 - T, )e~ R^

(4.10)

4 G e n e ra lm e n te , RK s e e stab lece igual a RF c u a n d o el F R A s e in ic ia p o r prim era vez. 5 O b serv e q u e RK, R M y RF s e ex p re sa n co n u n a fre cu e n cia d e c o m p o sic ió n c o rre sp o n d ie n te a T2 - 7*,, e n ta n to q u e R 2 se expresa co n u n a c o m p o sic ió n con tin u a.

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87

Tasas d e interés

Ejemplo 4.3

Valuación d e un FR A

Suponga que las tasas cero y a plazo L IB O R son iguales a las q u e se presentan e n la ta b la 4.5. C onsidere un FRA e n el q u e u n a em presa recib irá una ta sa d e 6 % , m edida con una com posición anual, sobre un principal d e $100 millones entre e l térm ino d e los años 1 y 2. E n este c a so , la tasa a plazo es d e 5% con una com posición continua o d e 5.127% con u n a co m p o sició n anual. Con base en la ecuación (4.9), deducim os que el valor d e l FR A es 100.000.000 x (0.06 - 0 .0 5 l2 7 )e -0,n4x2 = $805.800 V_________________________________________________________________________________________ / Si com param os las ecuaciones (4.7) y (4.9), vem os que un FRA se puede v alu ar si: 1. C alculam os e l pago e n e l supuesto d e q u e se obtienen las tasas a plazo (es decir, e n e l su ­ puesto d e q u e RM = R p) 2 . D escontam os e ste pago a la ta sa libre d e riesgo El ejem plo 4.3 ilustra la valuación d e FRAs.

4.8

T E O R ÍA S D E L A E S T R U C T U R A T E M P O R A L D E L A S T A S A S D E IN T E R É S Es natural preguntar q u é e s lo q u e determ ina la fo rm a de la cu rv a cero . ¿ R jr q u é e n ocasiones tiene una pendiente descendente, a veces m uestra una pendiente ascendente y en otras tiene una pendien­ te en parte ascendente y en parte descendente? Se han propuesto diversas teorías. La m ás sencilla es la teoría d e las expectativas, q u e sostiene q u e las tasas d e interés a largo plazo deben reflejar las ta ­ sas d e interés a corto plazo futuras esperadas. De m anera más precisa, argum enta q u e una ta sa d e in­ terés a plazo correspondiente a determ inado periodo futuro e s igual a la tasa d e interés cero futura esperada para e se periodo. O tra idea es la teoría d e segm entación d e l m ercado, según la cual no es necesario que haya una relación e n tre las tasas d e interés a co rto , mediano y largo plazos. Bajo e sta teoría, un inversionista im portante, com o un gran fondo de pensiones, invierte en bonos con d e ter­ m inado vencim iento y no c am b ia rápidam ente d e uno a otro. La tasa d e interés a corto plazo está determ inada por la o ferta y la dem anda e n el m ercado de bonos a corto plazo; la ta sa d e interés a mediano plazo e stá determ inada por la o ferta y la dem anda e n e l m ercado d e bonos a mediano p la ­ zo, etcétera. L a m ás atractiva e s la teoría d e la preferencia p o r la liq u id ez, q u e argum enta q u e las ta sa s a plazo deben ser siem pre m ayores q u e las tasas cero fiituras esperadas. El supuesto básico q u e subyace a la te o ría e s q u e los inversionistas prefieren conservar su liquidez e invertir fondos d u ran te periodos cortos. Por otro lado, los prestatarios prefieren generalm ente a d q u irir préstam os a tasas fi­ ja s durante largos periodos. La te o ría d e la p referen cia por la liquidez d a lugar a u n a situación en la que las tasas a plazo son m ayores q u e las tasas cero futuras esperadas. E sta te o ría tam b ién c o n ­ cuerda c o n el resultado em pírico d e q u e las curvas d e rendim iento tienden a ser m ás ascendentes que descendentes.

Adm inistración del ingreso neto por intereses Para en ten d er la te o ría d e la p referen cia por la liquidez, e s útil co nsiderar e l riesgo d e ta sa d e inte­ rés al q u e se enfrentan los bancos cuando reciben depósitos y hacen préstam os. El ingreso neto p o r

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CAPÍTULO 4

88

Tabla 4.6 Ejem plo d e las tasas d e interés q u e ofrece un banco a sus clientes

Vencimiento (años)

Tasa d e depósito

Tasa hipotecaria

1 5

3% 3%

6% 6%

intereses del banco e s e l interés adicional recibido sobre e l interés pagado y requiere u n a ad m in is­ tración cuidadosa. C bnsidere una situación sencilla en la que un banco ofrece a los consum idores una ta sa d e d e ­ pósito a un a ñ o y a cinco años, a s í com o una ta sa hipotecaria a un año y a cinco años. La tabla 4.6 m uestra estas tasas. H acem os el supuesto sim plificado d e q u e los participantes del m ercado esperan que la ta sa d e interés a un año para periodos futuros iguale a las tasas a un año vigentes en el m er­ cado actual. En térm inos generales, esto significa que e l mercado considera que los increm entos d e las tasas d e interés tienen la m ism a probabilidad de o cu rrir q u e las dism inuciones d e las tasas d e in­ terés. E n consecuencia, las tasas presentadas e n la tabla 4 .6 son “justas” en el sentido de que refle­ jan las expectativas del m ercado (es decir, concuerdan con la te o ría d e las expectativas). Invertir dinero durante un año y reinvertirio durante cuatro periodos adicionales de un año proporciona el mismo rendim iento general esperado que una sola inversión a cinco años. Del mismo m odo, adqui­ rir dinero e n préstam o durante un a ñ o y refinanciarlo c ad a año durante los siguientes cuatro años g e ­ nera los mismos costos d e financiam iento esperados que un solo préstam o a cinco años. Suponga q u e u sted tiene dinero para depositar y q u e e stá d e acuerdo con e l punto d e vista actual d e q u e los increm entos d e las ta sa s d e interés tienen la m ism a probabilidad d e o c u rrir q u e las dism inuciones d e las tasas d e interés. ¿D ecidiría d ep o sitar su dinero durante un año a 3% anual o du ran te cinco años a e s ta m ism a ta sa ? L o m ás probable es que usted d ecid a depositarlo durante un a ñ o porque esto le prop o rcicn a m ayor flexibilidad financiera, y a q u e inm oviliza sus fondos d u ­ rante un periodo m ás corto. A hora suponga que desea una hipoteca. N uevam ente, usted está de acuerdo con el punto d e vista actual d e q u e los incrementos de las tasas de interés tienen la m ism a probabilidad de ocurrir que las disminuciones de las tasas d e interés. ¿Elegiría una hipoteca a un año a 6% o una hipoteca a cinco años a e sta m ism a tasa? L o m ás probable es que usted elija una hipoteca a cinco años porque fija su ta sa de endeudamiento durante los próximos cinco años y lo expone a un m enor riesgo de refinanciamiento. Cuando e l banco an u n cia las tasas m ostradas e n la ta b la 4.6, e s probable que descubra que la m ayoría d e sus clientes e lig e los depósitos a un año y las hipotecas a cinco años. E sto g en era una diferencia entre activos y pasivos para e l banco y lo e x p o n e a riesgos. No hay problem a si las ta ­ sas d e interés bajan. El banco financiará los préstam os a 6 % d u ran te cinco años con depósitos q u e costarán m enos d e 3% en e l futuro, p o r lo que au m en tará e l ingreso neto p o r irtereses. Sin e m b ar­ go, si las tasas suben, los depósitos q u e financian estos préstam os a 6 % co starán m ás de 3% en el futuro, por lo q u e dism inuirá e l ingreso neto p o r intereses. Un aum ento d e 3% d e las tasas d e inte­ rés red u ciría a cero e l ingreso neto p o r intereses. ^

■

Ta b la 4.7 Las ta sa s a cinco años se increm entan e n un in­ tento d e igualar los vencim ientos de activos y pasivos

Vencimiento (años) I 5

Tasa de depósito 3% 4%

Tasa hipotecaria

6% 7% ■

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89

Tasas d e interés

P a n o r á m ic a d e n e g o c io s 4 .3

C ostosas quiebras de instituciones financieras en E U A

D urante las décadas d e 1 9 6 0 ,1 9 7 0 y 1980, las Sociedades d e A horro y Préstam o (S & L s, d e l in ­ glés, Savings a n d Loans) d e E stad o s Unidos d e A m érica no fueron capaces de ad m in istrar bien los riesgos d e las tasas d e interés, y a q u e aceptaban depósitos a corto plazo y ofrecían hipotecas a ta sa fija a largo plazo. En consecuencia, sufrieron graves daños p o r los increm entos d e las ta ­ sas d e interés e n 1966, d e 1969 a 1970, en 1974 y las tasas agresivas d e 1979 a 1982. L a s S o ­ ciedades d e A horro y Préstam o estaban protegidas por garantías gubernam entales. A lred ed o r d e 1,700 quebraron e n la d écad a de 1980. U na razón principal d e las quiebras fue la fa lta d e a d m i­ nistración d e l riesgo d e ta sa d e interés. E l co sto total d e las quiebras para el contribuyente e s ta ­ dounidense se estim ó e n tre $ 100 m il y $500 mil m illones. La qu ieb ra bancaria m ás g ran d e d e E U A , la d e C ontinental Illinois, tam b ién se atrib u y e a una m ala adm inistración d e los riesgos d e ta s a d e interés. D urante e l periodo d e 1980 a 1983, sus activos (es decir, sus préstam os) con vencim ientos m ayores a un año sum aron e n total e n tre $7 mil y $8 mil m illones, en tanto q u e sus pasivos (es decir, sus depósitos) con vencim ientos m ayores a un año fueron e n tre $ 1 .4 y $2.5 m illones. C ontinental q u eb ró e n 1984 y fue so m eti­ do a una costosa operación d e rescate.

La tarea del grupo de adm inistración d e activos y pasivos e s asegurar q u e concuerden los v e n ­ cim ientos d e los activos sobre los q u e se ganan intereses y los vencim ientos d e los pasivos sobre los que se pagan irtereses. U na m anera d e hacer esto e s aum entar la tasa a cinco años tanto sobre los depósitos com o sobre las hipotecas. Por ejem plo, podrían increm entarse a la situación presenta­ da e n la ta b la 4.7, e n la q u e las tasas d e depósito e hipotecaria a cinco años son d e 4 y 7 % , respec­ tivam ente. Esto haría relativam ente m ás atractivos los depósitos a cinco años y las hipotecas a un año. A lgunos clientes q u e eligieron depósitos a un año cuando las tasas e ra n iguales a las presenta­ das en la tabla 4.6 cam biarían a depósitos a cinco años co m o los d e la situación presentada en la tabla 4.7. A lgunos clientes q u e eligieron hipotecas a cinco años cuando las tasas e ra n iguales a las presentadas en la ta b la 4 .6 cam biarían a hipotecas a un año. Esto h a ría q u e concordaran los v en ci­ m ientos de activos y pasivos. Si aún hubiera un desequilibrio e n el q u e los depositantes tendieran a elegir vencim ientos a un año y los prestatarios vencim ientos a cinco años, las tasas de depósito e hi­ potecarias a cinco años podrían increm entarse aún m ás. A la larga, e l desequilibrio desaparecería. El resultado neto del com portam iento d e todos los bancos e n la fo rm a que acabam os de d e s ­ cribir es la te o ría d e la preferencia p o r la liquidez. Las tasas a largo plazo tienden a ser m ás altas que las que pronosticarían las tasas a corto plazo futuras esperadas. La c u rv a de rendim iento e s a s ­ cendente la m ayor parte d e l tiem po y sólo es descendente cuando e l m ercado e sp e ra u n a dism inu­ ción realm ente pronunciada d e las tasas a corto plazo. E n la actualidad , m uchos bancos tien en sistem as co m p lejo s p a ra vigilar las decisiones q u e tom an sus clien tes d e tal m an era q u e , cu an d o d etecten pequeñas diferencias e n tre los v en cim ien ­ tos d e los activos y pasivos eleg id o s, puedan ajustar las tasas q u e o frecen . E n o c asio n e s, tam bién usan d e riv a d o s, com o los sw aps d e ta sa s d e interés q u e analizarem os e n e l capítulo 7 , e incluso los usan para m an ejar su ex p o sició n . El resultado d e todo e sto e s q u e e l ingreso neto p o r in tere­ ses e s m uy estable. C o m o se indica en la P anorám ica d e negocios 4.3, e sto no siem pre h a sido así.

RESU M EN Dos tasas d e interés im portantes para los negociantes d e derivados son las tasas del Tesoro y las ta ­ sas LIBO R . Las tasas del Tesoro son las tasas q u e paga un gobierno sobre préstam os adquiridos en su p ro p ia m oneda. L as tasas L IB O R son las tasas d e préstam os a corto plazo que ofrecen los b a n ­ cos e n e l m ercado interbancario.

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CAPÍTULO 4 La frecuencia d e com p o sició n que se usa para una ta sa d e interés defin e las unidades e n las q u e ésta se mide. L a diferencia e n tre una ta sa co m p u esta an u alm en te y una ta sa co m p u esta trim estral­ mente e s sem ejante a la diferencia entre u n a d istan cia m edida e n millas y u n a m edida e n kilóm e­ tros. Con frecuencia, los negociantes usan una com posición co n tin u a cuando analizan el v alor d e derivados. L ds analistas calculan los diversos tipos d e tasas d e interés q u e se cotizan e n los m ercados fi­ nancieros. La ta s a cero a n años o la ta sa spot a n años e s la ta sa aplicable a u n a inversión q u e d u ­ ra n años cuando todo e l rendim iento se o b tie n e a l final. El rendim iento a la par sobre un bono con determ inado vencim iento e s la ta sa cu p ó n q u e hace q u e e l b ono se v en d a a su v alor a la par. Las tasas a plazo son las tasas aplicables a periodos futuros im plícitos por las tasas cero actuales. El m étodo q u e se usa c o n m ayor frecuencia para calcu lar las tasas cero se c o n o ce co m o m éto­ do bootstrap. C onsiste e n com enzar c o n instrum entos a corto plazo y cam biar progresivam ente a instrum entos d e m ayor plazo, asegurándose de que las tasas cero calculadas e n c ad a e tap a sean c o n ­ gruentes c o n los precios d e los instrum entos. Las m esas d e negociación lo usan diariam ente para calcular una c u rv a d e tasa cero d e l Tesoro. Un acuerdo d e interés futuro (FRA) e s un acuerdo O T C (o\>er-the-co lin ter) que establece q u e se ap licará cierta tasa d e interés al adquirir e n préstam o o prestar determ inado principal a la ta sa LIB O R durante un periodo futuro específico. Un FR A se v alúa asum iendo q u e se obtienen las ta ­ sas a plazo y descontando e l pago resultante. La te o ría d e la preferencia p o r la liquidez se usa para explicar las estructuras tem porales d e las tasas d e interés q u e se observan e n la práctica. La te o ría argum enta q u e c asi todos los individuos y las em presas prefieren ad q u irir préstam os a largo plazo y prestar a corto plazo. Para q u e los v en ci­ m ientos d e prestatarios y prestam istas concuerden e s necesario q u e los interm ediarios financieros aum enten las tasas a largo plazo d e m odo q u e las tasas d e interés a plazo sean m ayores q u e las ta ­ sas d e interés spot futuras esperadas.

L E C T U R A S C O M P L E M E N T A R IA S A llen, S.L. y A .D . Kleinstein. Valuing Fixed-Incom e Investm ents a n d D erivative Securities. N ueva York: N ew York Institute o f Finance, 1991. Fabozzi, F.J. Fixed-Incom e M athem atics: A nalytical a n d Statistical Techniques. N ueva York: M cG raw -H ill, 1996. G rinblatt, M. y F.A. Longstaff. ‘Financial Innovation a n d the R ole o f D erivatives Securities: An E m pirical A nalysis o f the Treasury Strips P ro g ram ”, Journal o f F inance, 5 5 , 3 (2000), pp. 1415-36. Jorion, P. Big B ets G one B ad: D erivatives a n d B a n kru p tcy in O range Coimty. N ueva York: A cade­ m ic P ress, 1995. Stigum , M . y F.L. R obinson. M oney M arkets a n d B o n d C alculations. C hicago, Irw in, 1996.

Examen (respuestas al final del libro) 4.1. Un banco le cotiza una tasa d e interés de 14% anual con una com posición trim estral ¿Cuál es la tasa equivalente c o n a ) una com posición co n tin u a y b) una co m p o sició n anual? 4.2. ¿Q ué significan L IB O R y L IB ID ? ¿C u ál e s m ás alta? 4.3. Las tasas cero a seis m eses y a un año son d e 10% anual. E n el caso d e un bono con u n a vi­ da d e 18 m eses y q u e paga un c u p ó n d e 8% an u al sem estral m ente (que acaba de realizar el pago de un cupón), e l rendim iento es de 10.4% an u al. ¿C uál e s e l precio del b o n o ? ¿C uál es la ta sa cero a 18 m eses? Todas las tasas se cotizan con una co m p o sició n sem estral.

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Tasas d e interés

4.4. Un inversionista recibe $1,100 en un año p o r invertir $1,000 ah o ra. C alcule e l rendim iento porcentual anual con una: a. C om posición anual b. C om posición sem estral c. C om posición m ensual d. C om posición continua 4.5. Suponga q u e las tasas d e interés cero con u n a com posición continua son las siguientes: Vencimiento (m eses) 3 6 9 12 15 18

Tasa (% a n u a l) 8.0 8.2 8.4 8.5 8.6 8.7

C alcule las tasas d e interés a plazo del segundo, tercero, cu arto , quinto y sexto trim estres. 4.6. Si asum im os q u e las tasas cero son iguales a las q u e se presentan e n e l problem a 4.5, ¿cuál es el valor d e un FRA que perm ite al ten ed o r g an ar 9.5% durante un periodo d e tres m eses, el cual com ienza d en tro d e un año, sobre un principal d e $1,000,000? L a ta sa d e interés se expresa con una com posición trim estral. 4.7. La estructura tem poral d e las tasas de interés m uestra una pendiente ascendente. O rdene lo siguiente d e acuerdo c o n su m agnitud: a. La tasa cero a cinco años b. El rendim iento sobre un bono c o n cu p ó n a cinco años c. La tasa a plazo correspondiente al periodo futuro e n tre 4.75 y 5 años ¿Cuál e s la respuesta a e sta pregunta cu an d o la estructura tem poral d e las tasas d e interés m uestra una pendiente descendente?

Preguntas y problem as 4.8. Los precios en efectivo d e las letras d e l Tesoro a seis m eses y a un año son 9 4 .0 y 89.0. Un bono a 1.5 años q u e p ag ará cupones d e $ 4 c ad a seis m eses se vende actu alm en te e n $94.84. Un bono a d o s años que p a g ará cupones d e $5 c ad a seis m eses se vende actualm ente en $97.12. C alcu le las tasas cero a seis m eses, un año, 1.5 años y d o s años. 4.9. ¿ Q u é ta sa d e interés c o n una com posición continua e s equivalente a 15% anual con una c o m ­ posición m ensual? 4.10. U na cuenta d e depósito paga 12% anual c o n una com posición co n tin u a, pero e n realidad el interés se paga trim estralm ente. ¿C uánto interés se p a g ará c a d a trim estre sobre un depósito d e $10 mil? 4.11. Suponga q u e las tasas cero continuam ente com puestas a 6 ,1 2 , 1 8 , 2 4 y 30 m eses son d e 4% , 4.2% , 4.4% , 4 .6 % y 4.8% anual, respectivam ente. C alcu le e l precio en efectivo de un b ono con un valor nom inal de 100, q u e v en cerá e n 30 m eses y q u e paga un cu p ó n d e 4 % anual se ­ m estralm ente.

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CAPÍTULO 4 4.12. Un bono a tre s años proporciona un cu p ó n d e 8% sem estral y tiene un precio en efectivo d e 104. ¿C uál e s e l rendim iento del bono? 4.13. Suponga q u e las tasas cero a 6 , 12, 18 y 2 4 m eses son d e 5, 6 , 6 .5 y 7 % , respectivam ente. ¿C uál es el rendim iento a la par para d o s años? 4.14. Suponga q u e las tasas d e interés cero con una co m p o sició n co n tin u a son las siguientes: Vencimiento (años) 1 2 3 4 5

Tasa (% a n u a l) 2.0 3.0 3.7 4.2 4.5

C alcule las tasas d e interés a plazo para el segundo, tercero, cu arto y quinto años. 4.15. U se las tasas del problem a 4.14 para valuar un FR A e n e l q u e p a g ará 5% (com puesto an u al­ mente) sobre $1 m illón d u ran te e l te rc er año. 4.16. Un bono a 10 años con un cu p ó n de 8% se v en d e actu alm en te e n $90. Un bono a 10 años con un cupón de 4 % se vende actu alm en te e n $80. ¿C uál es la ta sa cero a 10 años? (Sugerencia: considere tom ar una posición larga en dos bonos con un cu p ó n d e 4 % y u n a posición c o rta en un bono con un cu p ó n de 8%). 4.17. Explique detalladam ente p o r q u é la te o ría d e la p referen cia por la liquidez e s co n g ru en te con la observación d e q u e la estructura tem poral d e las tasas d e interés tien d e a ser m ás a sc e n ­ dente que descendente. 4.18. “C uando la c u rv a cero tiene pendiente ascendente, la tasa cero para un vencim iento e sp e c í­ fico es m ayor que el rendim iento a la par para e s e vencim iento. C uando la cu rv a c ero tiene pendiente descendente, ocu rre lo co n trario ” . E xplique la razó n d e esto. 4.19. ¿P or q u é las tasas d e l Tesoro d e E stados Unidos d e A m érica son significativam ente m ás b a ­ jas que otras tasas casi libres d e riesgo? 4.20. ¿P or q u é un préstam o e n e l m ercado repo im plica m uy poco riesgo d e crédito? 4.21. Explique p o r q u é un FRA e s equivalente a l intercam bio d e una ta sa d e interés flotante por una ta sa d e interés fija.

Preguntas de tarea 4.22. U na ta sa d e interés se co tiza a 5% anual con una com posición sem estral. ¿C uál es la ta sa equivalente c o n a) una co m p o sició n anual, b) una co m p o sició n m ensual y c ) una co m p o si­ ción continua? 4.23. Las tasas cero a 6 , 12, 18 y 2 4 m eses son d e 4 % , 4 .5 % , 4.75% y 5% con una com posición sem estral. a. ¿C uáles son las tasas con una com posición continua? b. ¿C uál es la ta sa a plazo para e l periodo d e seis m eses que com ienza dentro de 18 m eses? c. ¿C uál e s e l valor d e un FRA q u e prom ete pagarle 6 % (com puesto sem estral m ente) sobre un principal d e $1 m illón para e l periodo d e seis m eses que com ienza dentro d e 18 m eses?

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Tasas d e interés

4.24. ¿C uál es e l rendim iento a la par para d o s años cuando las tasas cero son iguales a las del p ro ­ blem a 4.23? ¿C uál e s e l rendim iento sobre un bono a d o s años q u e paga un c u p ó n igual al rendim iento a la par? 4.25. La ta b la siguiente proporciona los precios d e bonos: Principal del bono ($)

Tiem po a l vencim iento (años)

100 100 100

0.50 1.00

0.0 0.0

98 95

1.50 2.00

6.2 8.0

101 104

100

Ciqyón a n u a l* Precio d e l b ono ($ ) ($)

* S e a s u m e q u e la m i t a d d e l c u p ó n e s ta b l e c i d o s e p a g a c a d a s e i s m e s e s .

a. C alcule las tasas cero para vencim ientos de 6 ,1 2 , 18 y 2 4 m eses. b. ¿C uáles son las tasas a plazo para los periodos d e 6 a 12 m eses, de 12 a 18 m eses y de 18 a 24 m eses? c. ¿C uáles son los rendim ientos a la par para 6, 12, 18 y 24 m eses de bonos q u e p roporcio­ nan pagos de cu p ó n sem estrales? d. C alcule e l precio y e l rendim iento de un bono a dos años q u e proporciona un c u p ó n se ­ m estral de 7 % anual.

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CAPÍTULO 4

APÉNDICE Funciones exponencial y logarítmica La función exponencial y la función logarítm ica natural tienen un gran uso e n m atem áticas y en las fórm ulas q u e se encuentran e n e l negocio de derivados. A quí dam os un b rev e repaso d e sus p ro p ie­ dades. L a función exponencial se relaciona estrecham ente c o n la constante m atem ática e. E sta constante se define com o una serie infinita: ,

1 1 1 1 í = 1 + l! + 2! + 3! + 4! + ' - ' donde n \ = n X (n - 1) X (n - 2) X ... X 3 X 2 X 1. S e calcu la a cualquier ex actitu d deseada m ediante la evaluación d e suficientes térm inos d e la serie. Si usam os los prim eros cu atro térm inos, obtenem os e = I + 1 + ^ + | = 2.66667 2 6 Si usam os los prim eros seis térm inos, obtenem os

'=

1 + 1 + 5+ 5 + 5

+ r a r 2 -71667

Si usam os los prim eros d ie z térm inos, obtenem os e = 2.71828, lo cual e s ex acto hasta cinco d e ci­ males. La función exponencial e s e x. A veces tam bién se representa com o exp(jr). S e calcu la co m o 2.71828*. P o r ejem plo, e* = 2.718283 = 20.0855. La función exponencial tiene m uchas propieda­ des interesantes. U na d e éstas e s q u e

< •"=

lira ( l + - Y m—>oo\ 111/

En otras palabras, a m edida q u e e l v alor d e m aum enta e n la expresión del lado d erech o , nos a p ro ­ xim am os c ad a vez m ás a e R. E sta propiedad d e e d a lugar directam ente a Rn

Ae™ =

lím

m — *o c

A

\

1 + -

y m uestra por q u é la ecuación (4.1) se convierte en la ecu ació n (4.2) a m edida q u e m se v u elv e m uy grande. U na propiedad im portante de la función exponencial es eV = (Esta propiedad surge porque los exponentes se sum an cuando las expresiones se m ultiplican). S u ­ ponga q u e un inversionista invierte $100 durante cinco años. La ta sa d e interés es d e 5% para los dos prim eros años y d e 7 % para los d o s últim os años, expresando estas tasas con una com posición

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Tasas d e interés

continua. C on base en la ecu ació n (4.2), a l térm ino d e d o s años los $100 aum entaron a 100¿°05 x 2 = $ 1 1 0 .5 2 . D urante los d o s años siguientes, estos $110.52 aum entan a 110.52e0 07 x 2 = $127.13. El valor a l térm ino de cuatro años se puede representar com o 100í'°05x2í’Ü07x2 = |0 0 6, (S0 - I)erTt un arbitrajista p u ed e asegurar u n a utilidad com prando e l activo y vendien­ do en corto un contrato a plazo sobre e l activo. Si F0 < (S0 - I)e rTy un arbitrajista puede asegurar una utilidad vendiendo en corto e l activo y tom ando una posición larga en un contrato a plazo. Si no e s posible realizar ventas e n co rto , los inversionistas q u e poseen e l activo co n sid erarán rentable venderlo y tom ar una posición larga e n contratos a plazo.4

4 P ara c o n o c e r o tr a m a n era d e co m p ro b a r q u e la e c u a c ió n (5 .1 ) e s c o rre c ta , c o n sid e re la sig u ien te estra te g ia: c o m p re una unidad d el a c tiv o y to m e u n a p o sic ió n c o rta e n u n c o n tra to a p la zo p ara v e n d e rlo e n F0 e n el tie m p o T. E sto c u e sta S0 y c ie r ­ tam ente g e n e ra rá u n a e n tra d a d e efe c tiv o d e F0 en el tie m p o T, c ingresos c o n u n v a lo r p rese n te d e /. L a sa lid a inicial e s S Q. H valor p rese n te d e las e n tra d a s e s / + F(^e~rT. P o r lo ta n to , S0 = I + F ^ ~ rT, o ig u alm en te, F0 = (S0 - i y T.

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D eterm inación de precios a plazo y d e fu tu r o s

5.6

R E N D IM IE N T O C O N O C ID O A hora, considerarem os la situación e n la q u e e l activo su b y acen te a un co n trato a plazo p ro p o r­ ciona un rendim iento conocido e n v e z d e ingresos en efectivo conocidos. E sto significa q u e los in­ gresos se co n o cen cuando se expresan co m o un porcentaje del precio del activo al m om ento de pagarlos. Suponga q u e se e sp e ra q u e un activo pro p o rcio n e un rendim iento d e 5% an u al. E sto p o ­ d ría significar q u e los ii^ re so s se pagan u n a v e z al a ñ o y q u e equivalen a 5% d e l precio del a cti­ vo a l m om ento d e pagarlos. (E n to n ces, e l rendim iento sería d e 5% con u n a co m p o sició n anual). Esto p o d ría significar q u e los ingresos se pagan dos veces a l año y equivalen a 2.5% del precio del activo a l m om ento de pagarlos. (E ntonces, e l rendim iento sería d e 5% an u al c o n una com posición sem estral). E n la sección 4 .2 explicam os que p o r lo co m ú n m edirem os las ta sa s d e interés con una com posición continu a. D el mism o m odo, m edirem os los rendim ientos con una co m p o sició n c o n ­ tinua. L as fórm ulas para tra d u c ir un rendim iento m edido con una frecu en cia d e co m p o sició n a uno m edido con o tra frecu en cia d e com p o sició n , son las m ism as q u e las q u e se proporcionaron para las tasas d e interés en la sección 4.2. D efina q com o e l rendim iento prom edio anual sobre un activo durante la vida d e un contrato a plazo con u n a com posición continua. Se puede m ostrar q u e (vea el problem a 5.20) F0 =

(5 3 )

El ejem plo 5.3 proporciona una aplicación de e sta fórm ula.

5.7

V A L U A C IO N D E L O S C O N T R A T O S A P L A Z O El valor d e un contrato a plazo al m om ento d e iniciarlo e s de cero. En una e tap a posterior puede te ­ ner un valor positivo o negativo. Si usam os la notación presentada anteriorm ente, suponem os q u e F 0 es el precio a plazo actual d e un contrato q u e se negoció hace alg ú n tiem po, la fecha d e en treg a es T años a p a rtir d e hoy y r es la ta sa d e interés libre d e riesgo a T años. Tam bién definim os: K:

precio d e en treg a e n e l contrato

/:

valor d e l contrato a plazo hoy

Un resultado general, aplicable a todas las posiciones largas en contratos a plazo (tanto sobre a c ti­ vos d e inversión com o de consum o), es f = (F0 - K )e~rT E jem plo 5 .3

(5.4)

Precio a plazo d e un activo que proporciona un rendim iento conocido

C bnsidere un contrato a plazo sobre un activo q u e puede proporcionar ingresos equivalentes a 2% del precio del activo, u n a v e z durante un periodo d e seis m eses. L a ta sa d e interés libre d e riesgo con una com posición co n tin u a es d e 10% anual. E l precio del activo e s d e $25. E n e ste caso, S 0 = 25, r = 0.10 y T = 0.5. El rendim iento e s d e 4 % an u al con una co m p o sició n sem es­ tral. C on base e n la ecuación (4.3), esto equivale a 3.95% anual c o n una co m p o sició n continua. D educim os q u e q = 0.0396, por lo q u e , con base en la ecu ació n (5.3), e l precio a plazo F0 se obtiene p o r m edio d e F q = 25¿ (S0 + U)erT

(5.13)

Para aprovechar e sta o p ortunidad, un arbitrajista p u ed e im plem entar la e strate g ia siguiente: 1. A dquirir en préstam o un m onto S0 + U a la ta s a libre d e riesgo y usarlo para com prar una unidad d e l co m m o d ity y pagar los co sto s d e alm acenam iento. 2 . \fender e n corto un contrato a plazo sobre una unidad del com m odity. Si consideram os e l contrato de futuros com o un contrato a plazo, esta estrateg ia g en era una utilidad de F0 - (SQ + U)erT en e l tiem po T. El ejem plo 5.8 ilustra la estrateg ia para e l o ro . No hay ningún problem a al im plem entar la estrategia para alg ú n com m odity. Sin em bargo, a m edida que los arbitrajisias lo hacen, S 0 tendería a aum entar y F0 a dism inuir hasta q u e la ecuación (5.13) ya no íuera cierta. C oncluim os q u e la ecuación (5.13) no puede sostenerse d u ran te ningún periodo significativo. A continuación, suponga que F0 < (So + U )erT

(5.14)

En el caso d e los activos d e inversión, com o e l oro y la plata, podem os argum entar q u e m uchos in­ versionistas m antienen e l com m odity únicam ente c o n fines d e inversión. C uando o bserven la d e si­ gualdad en la ecuación (5.14), considerarán rentable: 1. \fender e l com m odity, ah o rrar los costos d e alm acenam iento e invertir e l producto a la tasa de interés libre d e riesgo. 2 . Tom ar una posición larga en un contrato a plazo. El ejem plo 5.8 ilustra e sta e strate g ia para e l oro. E l resultado e s u n a utilidad libre d e riesgo a l v e n ­ cim iento d e (50 + U )erT - F0 respecto de la posición que habrían tenido los inversionistas si 7 En e l c a so d e a lg u n o s co m m o d ities, el p re c io s p o t d e p e n d e d el lu g a r d e e n tre g a . A su m im o s q u e el lu g ar d e e n tre g a para co ntratos s p o t y d e fu tu ro s e s el m ism o.

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CAPÍTULO 5 hubieran m antenido el com m odity. Se deduce q u e la ecu ació n (5.14) no puede sostenerse durante mucho tiem po. C om o las ecu acio n es (5.13) y (5.14) no pueden sostenerse d u ran te m ucho tiem po, debem os te n er FQ = (S0 + U )erT. En el caso d e com m odities q u e no son m antenidos significativam ente c o n fines d e inversión, este argum ento no e s válido. Los individuos y las em presas q u e m antienen e n inventario un c o m ­ m odity d e e ste tipo lo hacen por su v alor de co n su m o , no por su v alor co m o una inversión. S e nie­ gan a v ender e l com m odity y a co m p rar contratos a plazo p o rq u e éstos no pueden consum irse. (P or ejem plo, ¡los futuros de petróleo no pueden usarse para abastecer a u n a refinería!) Por lo tanto, no hay nada para evitar q u e la ecuación (5.14) se sostenga. P o r lo tan to , todo lo q u e podem os afirm ar efe un com m odity de consum o es F0 « (S0 + U)erT

(5.15)

Si los costos d e alm acenam iento se expresan co m o u n a proporción u del precio spot, e l resultado equivalente es F0 €. Sae fr+“)T

(5.16)

Rendim ientos de conveniencia No tenem os necesariamente igualdad e n las ecuaciones (5.15) y (5.16) porque los usuarios de un com ­ modity d e consum o pueden considerar que la propiedad del com m odity físico proporciona beneficios que no obtienen los tenedores d e contratos d e futuros. Por ejem plo, una refinería de petróleo no consi­ dera de la m ism a m anera un contrato de íuturos sobre petróleo crudo q u e el petróleo crudo mantenido en inventario, ya q u e éste e s un insum o para el proceso d e refinam iento, en tanto que un contrato de futuros no puede utilizarse con este propósito. En general, la propiedad del activo físico perm ite a un fabricante m antener e n operación el proceso de producción y quizás beneficiarse de situaciones de es­ casez local tem poral. U n contrato de futuros no hace lo mismo. L os beneficios d e m antener el activo físico se conocen en ocasiones com o el rendimiento d e conveniencia q u e proporciona el commodity. Si se conoce el m onto e n dólares d e los costos de alm acenam iento y este m onto tiene un valor presen­ te, U, el rendimiento d e conveniencia, y, se define d e tal m anera que F0e>'r = (So + U )erT Si los costos d e alm acenam iento p o r unidad son una proporción constante, u, del precio sp o t, y se define d e ta l m anera que F0e>T = V (r+")r o F0 = V ,r+" - ’’,T

(5.17)

El rendim iento d e convenien cia sim plem ente mide e l g rad o en q u e e l lado izquierdo es m enor q u e d lado derecho d e la ecu ació n (5.15) o (5.16). En e l caso de activos d e inversión, e l rendim iento de conveniencia debe ser d e cero; d e otro m odo, h a y oportunidades de arbitraje, com o las d e l ejem ­ plo 5.8. La figura 2.2 d e l capítulo 2 m uestra que el precio de futuros d e l jugo d e naranja dism inuyó a m edida q u e e l tiem po al vencim iento d e l contrato au m en tó e l 8 de enero d e 2007. E sto indica q u e d rendim iento de conveniencia, y, e s m ayor q u e r + u para e l jugo d e n aran ja e n e s ta fecha. El rendim iento d e conveniencia refleja las expectativas del m ercado con respecto a la disponi­ bilidad futura del com m odity. C uanto m ayor sea la posibilidad d e q u e ocurran situaciones d e e sc a ­ sez, m ayor será el rendim iento d e conveniencia. Si los usuarios del com m odity tienen grandes in­ ventarios, hay pocas posibilidades de escasez en e l futuro cercano y el rendim iento d e conveniencia tiende a ser bajo. Por otro lado, los inventarios bajos dan lugar a altos rendim ientos de conveniencia.

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D eterm inación de precios a plazo y d e fu tu r o s

5.12 C O S T O D E M A N T E N I M I E N T O La relación entre los precios d e futuros y los precios spot se resum en e n térm inos d e l costo d e m a n ­ tenim iento. E ste costo m ide el co sto de alm acenam iento m ás e l interés q u e se paga p a ra financiar el activo m enos e l ingreso obtenido sobre e l activo. E n e l caso d e una acció n q u e no p a g a d iv id en ­ dos, el costo de alm acenam iento e s r, porque no h a y costos de alm acenam iento ni se obtiene un in­ greso; e n el caso d e un índice bursátil, e s r - q, porque se o b tien e un ingreso a la ta s a q sobre el activo. E n e l caso d e u n a divisa, e s r — rj, e n e l caso de un co m m o d ity que proporciona un ingre­ so a la ta s a q y requiere costos de alm acenam iento a la ta s a w, e s r — q + u, etcétera. D efina e l costo de m antenim iento co m o c. E n el caso d e un activo d e inversión, el precio de futuros es F0 =

V '

(5.18)

En e l caso de un activo d e co n su m o , es F0 = S0e ic- y )T

(5.19)

donde y es el rendim iento de conveniencia.

5.13 O P C I O N E S D E E N T R E G A En tanto q u e un contrato a plazo especifica norm alm ente q u e la entrega se realizará e n un d ía e sp e ­ cífico, un contrato de futuros suele perm itir q u e la parte con la posición corta d ecid a entregar e n cual­ quier m om ento du ran te cierto periodo. (C om únm ente, la parte d e b e avisar algunos días antes sobre su intención d e entregar.) Esta decisión com plica la determ inación d e los precios d e futuros. ¿Etebe asum irse que e l vencim iento del contrato de futuros ocurre al principio, e n m edio o a l final del p e ­ riodo d e entrega? A unque c asi todos los contratos de futuros se cierran antes d e su vencim iento, es im portante saber cuándo se llevará a cabo la entrega para calcular e l precio d e futuros teórico. Si e l precio de futuros e s una función creciente del tiem po al vencim iento, vem os q u e , con b a ­ se en la ecu ació n (5.19), c > y, de tal m anera q u e los beneficios por m antener el activ o (incluyen­ do e l rendim iento d e co n v en ien cia y los costos d e alm acenam iento netos) son m enores q u e la ta sa libre d e riesgo. En e ste c a so , lo m ejor para la parte c o n la posición c o rta e s realizar la e n tre g a lo m ás pronto posible porque e l interés obtenido sobre e l efectivo recibido su p era los beneficios d e m antener e l activo. C om o norm a, e n estas circunstancias los precios de futuros d eb en calcularse con base en q u e la en treg a se realizará a l inicio del periodo d e en treg a. S i los precios d e futuros d is­ m inuyen a m edida q u e au m en ta e l tiem po al vencim iento (c > y ) , lo co n trario es lo cierto. E n to n ­ ces, lo m ejor para la parte c o n la posición c o rta e s realizar la en treg a lo m ás ta rd e posible y los p re ­ cios de futuros deben, co m o regla, calcularse con base e n este supuesto.

5 .14 P R E C IO S D E F U T U R O S Y P R E C IO S S P O T E S P E R A D O S D enom inam os precio sp o t esperado a la opinión prom edio d e l m ercado sobre cuál será e l precio spot d e un activo e n determ in ad a fecha futura. Suponga que estam os e n ju n io y que el precio d e fu ­ turos d e m aíz d e septiem bre e s d e $2.00. E s interesante preguntar cuál e s el precio spot esperado del m aíz e n septiem bre. ¿Es m enor, m ayor o igual a $2.00? C om o se ilustró e n la figura 2.1, e l p re ­ cio de futuros converge c o n el precio spot a l vencim iento. Si e l precio spot esperado es m enor a

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CAPÍTULO 5 $2.00, e l m ercado debe e sta r esperando q u e e l precio d e futuros de sep tiem b re d ism inuya d e m odo que los negociantes con posiciones cortas ganen y los negociantes con posiciones largas pierdan. Si el precio spot esperado e s m ayor a $2.00, lo contrario debe ser lo cierto. E l m ercado debe estar esperando q u e e l precio d e futuros d e septiem bre aum ente d e tal m anera q u e los negociantes con posiciones largas ganen y los negociantes c o n posiciones co rtas pierdan.

Keynes y H icks Los econom istas John M ay n ard K eynes y John Hidcs argum entaban q u e si los coberturistas tien­ den a m antener posiciones cortas y los especuladores a m antener posiciones largas, el precio d e fu ­ turos d e un activo e sta rá p o r d e b ajo del precio spot esp erad o .8 Esto se d e b e a q u e los esp ecu lad o ­ res requieren una com pensación por los riesgos q u e asu m en . N eg o ciarán sólo si pueden ganar dinero e n prom edio. L os coberturistas perderán dinero e n prom edio, pero e stá n dispuestos a acep­ tar esto porque el contrato d e futuros reduce sus riesgos. K eynes y H icks argum entaban q u e si los coberturistas m antienen posiciones largas e n tanto q u e los especuladores posiciones co rtas, e l p re ­ cio d e futuros e sta rá por arriba del precio spot esperado por una razón similar.

Riesgo y rendimiento B actual sistem a para explicar la relación entre los precios d e futuros y los precios spot esperados se basa en la relación entre e l riesgo y el rendim iento esperado e n la econom ía. E n general, cuanto m ay o res e l riesgo d e una inversión, m ayor es e l rendim iento esperado q u e dem anda un inversionis­ ta. Los lectores q u e e stá n fam iliarizados con e l m odelo de valuación de activos d e capital saben q u e hay d o s tipos d e riesgo e n la econom ía: e l sistem ático y e l no sistem ático. El riesgo no sistem ático no debe ser im portante para un inversionista, ya que puede elim inarse c asi p o r com pleto al m ante­ ner una cartera bien diversificada. Por lo tanto, un inversionista no debe requerir un rendim iento e s ­ perado m ás alto por a su m ir e l riesgo no sistem ático. En contraste, e l riesgo sistem ático no puede diversificarse, y a q u e surge d e una correlación entre los rendim ientos de la inversión y los rendim ien­ tos de todo el mercado accionario. Por lo general, un inversionista requiere un rendim iento espera­ do m ás alto q u e la ta sa d e interés libre d e riesgo por asum ir cantidades positivas d e riesgo sistem á­ tico. Incluso, un inversionista e stá dispuesto a aceptar un rendim iento esperado m ás bajo q u e la tasa de interés libre d e riesgo cuando e l riesgo sistem ático e n una inversión es negativo.

0 riesgo en una posición de futuros Cbnsiderem os a un especulador que to m a una posición larga e n un contrato de futuros q u e d u ra T años con la esperanza d e que e l precio spot del activo e s té por arrib a del precio d e futuros a l final de la vida del contrato d e futuros. Ignoram os la liquidación d ia ria y asum im os que el contrato d e futuros puede m anejarse com o un contrato a plazo. Supongam os q u e e l especu lad o r co lo ca el v a ­ lor presente d e l precio de futuros en u n a inversión libre d e riesgo y, a l mismo tiem po, tom a una p o ­ sición larga d e hitaros. El producto de la inversión libre d e riesgo se usa para com prar e l activo en la fecha de entrega. E ntonces, e l activo se vende inm ediatam ente a su precio d e m ercado. Los flu ­ jos d e efectivo para e l especu lad o r son: Hoy: - F ae ~ ,T E n d e l contrato d e futuros: + S T

8 Ver J . M . K ey n e s, A T reatise o n M o n ey. L o n d res: M acm illan, 1930; y J. R . H icks, Value a n d C a p ita l. O x fo rd : C laren d o n P ress, 1939.

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D eterm inación de precios a plazo y d e fu tu r o s

donde FQes e l precio d e futuros hoy, S T es e l precio del activo en e l tiem po T al final del contrato de futuros y r es el rendim iento libre d e riesgo sobre fondos invertidos d u ran te e l tiem po T. ¿C óm o valuam os e sta inversión? L a tasa d e descuento que debem os usar p a ra e l flujo de e fe c ­ tivo esperado e n e l tiem po T es igual a l rendim iento requerido d e l inversionista sobre la inversión. Suponga q u e k es e l rendim iento requerido de un inversionista sobre e s ta inversión. El v alor p re ­ sente d e e s ta inversión es - F ñe - rT + E (S T)e~kT donde E representa el valor esperado. Podem os a su m ir que todas las inversiones en los m ercados d e valores están valuadas de ta l m anera q u e tengan un valor presente neto d e cero. Esto significa q u e - F 0e ~ 'T + E (S T)e~k r = 0 o F0 = E (S T)e,r- klT

(5.20)

Com o hem os analizado, los rendim ientos q u e los inversionistas requieren sobre u n a inversión d e ­ penden d e l riesgo sistem ático d e ésta. L a inversión q u e hem os considerado e s, e n esen cia, u n a in­ versión e n e l activo subyacente al contrato d e futuros. Si los rendim ientos sobre e ste activo no se correlacionan con e l m ercado accionario, la ta sa de descuento co rrecta a usar es la ta sa libre d e ries­ go, r, por lo que debem os establecer k = r. E n to n ces, la ecu ació n (5.20) nos d a F0 = E ( S t ) Esto m uestra q u e e l precio de íuturos es una estim ación objetiva d e l precio spot futuro esperado cuando el rendim iento sobre el activo subyacente no se correlaciona con e l m ercado accionario. Si e l rendim iento sobre el activo se correlaciona positivam ente con e l m ercado accionario, k > r y la ecu ació n (5.20) d a lugar a F0 < E (S T). E sto m uestra q u e, cuando el activo subyacente al contrato de futuros tiene un riesgo sistem ático positivo, debem os esp erar q u e e l precio d e futuros subestim e e l precio spot futuro esperado. Un ejem plo de un activo con riesgo sistem ático positivo es un índice accionario. El rendim iento esperado d e los inversionistas sobre las acciones subyacen­ tes a un índice e s generalm ente m ayor q u e la ta sa libre d e riesgo, r. Los dividendos proporcionan un rendim iento d e q. Por lo tan to , e l increm ento esperado d e l índice d e b e ser m ayor q u e r — q. Por consiguiente, la ecu ació n (5.8) e s congruente con la predicción d e q u e e l precio d e futuros su b es­ tim a el precio spot futuro esperado d e un índice bursátil. Si e l rendim iento sobre e l activo se correlaciona negativam ente con e l m ercado accionario, k < r y la ecu ació n (5.20) m uestra q u e F0 > E (S T). E sto d em uestra q u e cuando e l activo subyacen­ te a l contrato d e futuros tiene un riesgo sistem ático negativo, debem os esp erar q u e e l precio d e fu ­ turos sobrestim e el precio spot futuro esperado.

M ercado inverso norm al y contango C uando e l precio de íuturos e s tá por d eb ajo del precio spot futuro esperado, la situación se co n o ce com o m ercado im’erso n o rm a l; cuando e l precio d e íuturos ex ced e al precio spot futuro esperado, la situación se conoce co m o contango.

RESU M EN Para la m ay o ría d e los fines, el precio d e íuturos d e un contrato c o n determ in ad a fecha d e en treg a puede considerarse igual al precio a plazo d e un contrato con la m ism a fecha d e en treg a. Es posi-

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CAPÍTULO 5

T a b la 5 .5 R esum en d e los resultados d e un contrato c o n tiem po al vencim iento T sabre un a c ­ tivo d e inversión con un precio S0 cuando la ta sa d e interés libre d e riesgo d u ran te un periodo d e T años e s r

Precio a p la zo ! de fu tu ro s

Activo No proporciona ingresos

Milor de una p o sició n larga en un contrato a p la zo con un precio de entrega K

V "'

So - K e~ rT

R-oporciona un ingreso conocido con un valor presente I

(So - i y T

S0 - 1 - K e~ rT

R-oporciona un rendim iento co n o cid o , q

S„e',- * IT

S a i'- ''1 -

K < - ,T

ble m ostrar que, en teoría, am bos deben ser ex actam en te iguales cuando las tasas d e interés son p e r­ fectam ente previsibles. Para entender los precios d e futuros (o a plazo), e s conveniente dividir los contratos de futuros en dos categorías: aquéllos en los q u e un núm ero im portante d e inversionistas m antiene e l activo subyacente con propósitos d e inversión y aquéllos en los q u e e l activo subyacente se m antiene prin­ cipalm ente con propósitos de consum o. En e l caso d e los activos d e inversión, hem os considerado tres situaciones diferentes: 1. El activo no proporciona ingresos. 2. El activo proporciona un ingreso conocido e n dólares. 3. El activo proporciona un rendim iento conocido. Los resultados se resum en e n la ta b la 5.5, con la q u e se obtienen los precios de futuros d e c o n tra ­ tos sobre índices bursátiles, divisas, o ro y plata. Los costos d e alm acenam iento se m anejan co m o un ingreso negativo. En el caso d e los activos de consum o, no e s posible o b ten er los precios de futuros e n función del precio spot y d e otras variables observables. A q u í e s im portante e l parám etro conocido co m o rendim iento d e conveniencia d e l activo, q u e mide e l grado e n e l que los usuarios d e l co m m o d ity consideran q u e la propiedad del activ o físico proporciona beneficios q u e no obtienen los tenedores del contrato d e futuros. Estos beneficios incluyen la capacidad de beneficiarse d e situaciones de e s ­ casez local tem poral o d e m antener e n o peración un proceso d e producción. Podem os o b ten er un lím ite superior para e l precio de futuros de activos d e consum o usando argum entos d e arbitraje, p e ­ ro no podem os concretar una relación de igualdad entre los precios d e futuros y spot. En ocasiones, e l concepto de co sto d e m antenim iento e s útil. El co sto d e m antenim iento es d costo de alm acenam iento del activo subyacente m ás su costo d e financiam iento m enos e l ingre­ sa obtenido sobre e l activo. E n e l caso de los activos d e inversión, e l precio de futuros e s m ayor que e l precio spot e n un m onto que refleja el costo de m antenim iento. E n el caso d e los activos de consum o, e l precio d e futuros e s m ayor que el precio spot e n un m onto q u e re fle ja e l co sto d e m an­ tenim iento neto d e l rendim iento d e conveniencia. Si asumimos que el m odelo de valuación de activos de capital es cierto, la relación entre el precio de futuros y e l precio spot futuro esperado depende d e si el rendim iento sobre e l activo se relaciona positiva o negativam ente con el rendim iento sobre el m ercado accionario. U na correlación positiva da lugar a un precio de futuros m enor que e l precio spot futuro esperado. U na correlación

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negativa d a lugar a un precio de futuros m ayor q u e el precio spot futuro esperado. Sólo cuando la correlación e s d e cero, e l precio d e futuros teórico e s igual al precio spot futuro esperado.

L E C T U R A S C O M P L E M E N T A R IA S C ox, J.C ., J.E. Ingersoll, y S.A. R oss. ‘T h e R elation betw een Forw ard Prices a n d Futures Prices” , Journal o f Financial E c o n o m ic s,9 (diciem bre de 1981), pp. 321-46. G hon, R .S. y R.P. C hang. “ Intra-day A rbitrage in Foreign E xchange and E u ro cu rren cy M arkets” , Journal o f Finance, 4 7 , 1 (1992), pp. 363-80. Jarrow, R.A. y G .S. O ldfield. “Forw ard C ontracts and Futures C ontracts” , Journal o f Financial Econom ics, 9 (diciem bre d e 1981), pp. 373-82. K ane, E. J. “M arket Incom pleteness a n d D ivergences betw een Forw ard a n d Futures Interest R ates” , Journal o f F inance, 35 (m ayo d e 1980), pp. 221-34. Pindyck R .S. “Inventories a n d the Short-R un D ynam ics o f C om m odity Prices” , Rand Journal o f Econom ics, 25, 1 (1994), pp. 141-59. R ichard, S. y S. Sundaresan. “ A C ontinuous-Tim e M odel o f Forw ani a n d Futures Prices in a M ultigaod E conom y”, Journal o f F inancial E conom ics, 9 (diciem bre d e 1981), pp. 347-72. R outledge, B .R ., D .J. S eppi, y C .S. Spatt. “E quilibrium Forw ard C urves fo r C om m odities” , Jour­ nal o f Finance, 55 , 3 (2000) 1297-1338.

Examen (respuestas al final del libro) 5.1. Explique lo q u e ocurre cuando un inversionista vende e n corto determ in ad a acción. 5.2. ¿C uál e s la diferen cia e n tre e l precio a plazo y el valor de un contrato a plazo? 5.3. Suponga que usted participa e n un contrato a plazo a seis m eses sobre una acció n q u e no p a ­ g a dividendos cu an d o e l precio d e la acció n e s d e $30 y la ta s a d e interés libre d e riesgo (con una com posición continua) e s d e 12% anual. ¿C uál es el precio a plazo? 5.4. El valor actual de un índice bursátil e s d e 350. La ta sa de interés libre d e riesgo e s de 8% anual (con una com posición continua) y el rendim iento d e dividendos sobre e l índice e s de 4% anual. ¿C u ál debe ser e l precio d e futuros d e un contrato a cuatro m eses? 5.5. Explique detalladam ente por q u é e l precio d e futuros del oro puede calcu larse a p a rtir d e su precio spot y d e otras variables observables e n tanto que no e s posible h acer esto con e l p re ­ c io d e futuros del cobre. 5.6. Explique con d etalle e l significado d e los térm inos rendimiento d e conveniencia y costo de m antenim iento. ¿C u ál e s la relación entre e l precio de futuros, e l precio spot, el rendim iento d e conveniencia y e l co sto d e m antenim iento? 5.7. Explique p o r q u é u n a divisa puede m anejarse com o un activo que proporciona un rendim ien­ to conocido.

Preguntas y problem as 5.8. ¿Es e l precio d e futuros d e un índice m ayor o m enor que el v alor futuro esperado d e l índice? Explique su respuesta. 5.9. Se to m a una posición larga en un contrato a plazo a un año sobre una acció n q u e no paga d i­ videndos cuando el precio d e la a c c io n e s d e $40 y la ta sa d e interés libre d e riesgo e s d e 10% anual con una com posición continua, a ) ¿C uál es el precio a plazo y el v alor inicial d e l c o n ­

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CAPÍTULO 5 trato a plazo? b) S eis m eses desp u és, e l precio d e la acció n e s d e $45 y la ta sa d e interés li­ bre d e riesgo sigue siendo d e 10%. ¿C u ál es e l precio a plazo y e l valor d e l contrato a plazo? 5.10. La tasa d e interés libre d e riesgo es d e 7 % anual c o n una com posición co n tin u a y e l rendi­ miento d e dividendos sobre un índice bursátil e s d e 3.2% anual. El v alor actu al d e l índice es de 150. ¿C uál e s e l precio d e futuros a seis m eses? 5.11. A sum a q u e la ta s a d e interés libre d e riesgo e s d e 9 % an u al con una co m p o sició n co n tin u a y que el rendim iento d e dividendos sobre un índice bursátil v a ría a lo largo del año. E n febre­ ro, m ayo, agosto y noviem bre se pagan dividendos a una ta s a d e 5% anual. E n otros m eses, se pagan dividendos a una ta sa d e 2% anual. Suponga que el v alor d e l índice e l 15 d e julio es d e 1 3 0 0 . ¿C uál es el precio d e futuros d e un contrato con fecha de en treg a el 15 d e d i­ ciem bre d e l m ism o año? 5.12. Suponga q u e la ta sa d e interés libre d e riesgo es d e 10% an u al con una com posición c o n ti­ nua y que e l rendim iento d e dividendos sobre un índice bursátil es d e 4 % anual. El v alor del índice es d e 400 y e l precio de futuros de un contrato con fecha d e en treg a e n cu atro m eses es de 4 0 5 . ¿Q ué oportunidades de arb itraje c re a esto? 5.13. C alcule la diferencia e n tre las tasas d e interés a corto plazo d e M éxico y E stados Unidos de A m érica del 8 de enero de 2007 con base en la inform ación de la tabla 5.4. 5.14. Las tasas d e interés a dos m eses d e Suiza y E stados U nidos d e A m érica son d e 2 y 5% anual, respectivam ente, con u n a com posición continua. El precio spot del franco suizo e s d e $0.8000. E l precio de futuros d e un contrato c o n fecha de en treg a e n d o s m eses es d e $0.8100. ¿Q ué oportunidades de arbitraje c re a esto? 5.15. El precio actual d e la plata e s d e $9 por o n za. L os costos d e alm acenam iento son d e $0.24 anuales por o n z a q u e se pagan trim estralm ente por adelantado. Si asum im os q u e las tasas d e interés son de 10% anual para todos los vencim ientos, calcu le el precio d e futuros d e la p la ­ ta para entrega en nueve meses. 5.16. Suponga q u e F ] y F2 » n dos contratos d e futuros sobre e l mism o com m odity con tiem pos al vencim iento, t x y t 2, d o n d e t2 > t x. D em uestre que F2

F íer','--" )

donde r es la tasa d e interés (asum ida com o constante) y no hay costos d e alm acenam iento, fó ra resolver e ste problem a, asu m a q u e un contrato d e futuros e s igual a un contrato a plazo. 5.17. C uando una em p resa c u b re una salid a de efectivo fu tu ra conocida e n u n a m oneda extranjera usando un contrato a plazo, no h a y riesgo cam biario. C uando se cu b re usando contratos d e futuros, e l proceso d e aju ste al m ercado d e ja a la em presa expuesta a cierto riesgo. E x p liq u e la naturaleza d e e s te riesgo. En particular, co n sid ere si la em p resa e s tá e n u n a m ejor situa­ ción usando un contrato de futuros o un contrato a plazo cuando: a. El valor de la m oneda extranjera b a ja rápidam ente d u ran te la vida del contrato. b. H valor d e la m oneda extranjera sube rápidam ente d u ran te la vida d e l contrato. c. El valor d e la m oneda extranjera prim ero sube y d esp u és vuelve a su v alor inicial. d. H valor de la m oneda extranjera prim ero b a ja y después vuelve a su v alor inicial. A sum a q u e e l precio a plazo e s igual al precio de futuros. 5.18. En ocasiones se argum enta que un tipo d e cam bio a plazo e s un factor de predicción o b jeti­ vo de los tipos de cam b io futuros. ¿En qué circunstancias ocurre esto? 5.19. D em uestre q u e la ta sa d e crecim iento del precio d e futuros sobre un índice e s igual a l rendi­ m iento adicional d e l índice sobre la ta s a libre d e riesgo. A sum a q u e la ta sa d e interés libre de riesgo y el rendim iento d e dividendos son constantes. 5.20. D em u estre q u e la ecu ació n (5.3) e s c ierta co n sid eran d o u n a in v ersió n e n e l activ o ju n to con u n a posició n c o rta e n un co n trato d e futuros. A su m a q u e to d o s los ingresos o b te n i­

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dos d e l a ctiv o se rein v ierten e n éste. U se un arg u m en to sim ilar al p resen tad o e n los pies d e página 2 y 4 y ex p liq u e c o n d e ta lle q u é h a ría un a rb itra jista si no se so stu v ie ra la e c u a ­ c ió n (5.3). 5.21. Explique detalladam ente lo q u e significa precio esperado de un com m odity e n una fecha fu ­ tu ra específica. Suponga q u e e l precio d e futuros d e l petróleo cru d o dism inuye con e l v en ci­ m iento del contrato a la ta sa d e 2% anual. A sum a q u e los especuladores tienden a m antener posiciones cortas e n futuros d e petróleo crudo y los coberturistas a m antener posiciones la r­ gas e n futuros d e petróleo crudo. ¿Q ué im plica el argum ento d e K eynes y Hicks sobre el p re ­ c io futuro esperado del petróleo? 5.22. E l índice V alué Line e s tá diseñado para reflejar los cam bios en e l v alor de una cartera d e más d e 1,600 acciones ponderadas equitativam ente. A ntes d e l 9 d e m arzo d e 1988 se calcu ló el cam bio d e l índice d e un d ía para e l siguiente com o e l prom edio geom étrico efe los cam bios de precios d e las acciones subyacentes a l índice. E n e sta s circunstancias, ¿relaciona c o rre c ­ tam ente la ecu ació n (5.8) e l precio d e futuros d e l índice con su precio e n efectivo? Si no es así, ¿ la ecu ació n sobrestim a o subestim a e l precio d e futuros?

Preguntas de tarea 5.23. Se e sp e ra q u e una acció n pague un dividendo d e $1 por acción e n d o s y e n cinco m eses. El precio de la acció n es d e $50 y la tasa d e interés libre d e riesgo es d e 8% anual c o n u n a c o m ­ posición continua para todos los vencim ientos. Un inversionista acab a d e to m a r una posición corta e n un contrato a plazo a seis m eses sobre la acción. a. ¿C uál e s e l precio a plazo y el v alor inicial del contrato a plazo? b. Tres m eses desp u és, e l precio d e la acció n es d e $48 y la tasa d e interés libre d e riesgo sigue siendo de 8% an u al. ¿C u ál e s e l precio a plazo y e l v alor d e la posición c o rta e n el contrato a plazo? 5.24. Un banco ofrece a un cliente corporativo una o p ció n entre adquirir efectivo en préstam o a 11% anual y ad q u irir oro en préstam o a 2% anual. (Si e l o ro se adquiere e n préstam o, e l in­ terés d e b e reem bolsarse e n o ro . Por lo tan to , 100 o n zas adquiridas e n préstam o hoy req u eri­ rían un reem bolso d e 102 onzas d en tro d e un año). La ta sa d e interés libre d e riesgo es d e 9.25% anual y los co sto s d e alm acenam iento son d e 0.5% anual. A nalice si la ta sa d e interés sobre e l préstam o d e oro es dem asiado a lta o dem asiado b a ja con relación a la ta sa d e inte­ rés sobre e l préstam o e n efectivo. Las tasas d e interés sobre am bos préstam os se expresan con una com posición anual. L a ta s a d e interés libre d e riesgo y los co sto s d e alm acenam ien­ to se expresan con una com posición continua. 5.25. U na em presa q u e no e s tá segura d e la fecha ex acta e n que p ag ará o recibirá u n a m oneda e x ­ tranjera, puede tra ta r de negociar con su banco un contrato a plazo q u e esp ecifiq u e un p erio­ do en e l que pueda realizarse la en treg a. L a em presa d e se a reservarse e l derecho a e le g ir la fecha d e entreg a ex acta para q u e c o n cu erd e con sus propios flujos d e efectivo. Póngase en la posición del banco. ¿C óm o v alu aría e l producto que la em presa desea? 5.26. Un negociante posee o ro com o parte de una cartera d e inversión a largo plazo. El negocian­ te puede co m p rar oro a $550 por onza y venderlo a $549 por onza. E l negociante puede a d ­ q u irir fondos e n préstam o a 6 % an u al e invertir los fondos a 5.5% an u al. (A m bas tasas d e in­ terés se expresan c o n una com posición anual). ¿E n q u é intervalo de precios a plazo a un año del o ro e l negociante no tiene oportunidades de arbitraje? A sum a q u e no hay un diferencial d e d em an d a y o fe rta para los precios a plazo.

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CAPÍTULO 5 5.27. U na em p resa participa e n un contrato a plazo con un banco para vender una m oneda ex tran ­ je ra a A'j en la fe c h a T {. El tipo d e cam b io e n la fe c h a T x resulta ser S , (> Áf,). La em p resa le pide al banco q u e renueve e l contrato continuam ente hasta la fe c h a T2 (> T {) en v e z d e liqui­ darlo en la fecha T y E l banco acuerda un nuevo precio d e e n treg a, K2. E x p liq u e c o n » debe calcularse K 2.

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APÉNDICE Prueba de que los precios a plazo y de futuros son iguales cuando las tasas de interés son constantes Este apéndice dem uestra que los precios a plazo y d e futuros son iguales cuando las tasas d e inte­ rés son constantes. Suponga que un contrato de fiituros d u ra n días y q u e F¡ es el precio d e futuros al final d e l día i ( 0 < i < n). D efina 8 com o la ta sa libre d e riesgo d iaria (asum ida co m o constante). Considere la estrateg ia siguiente:9 1. Tom ar una posición larga d e futuros d e e h al final del d ía 0 (es decir, a l inicio del contrato). 2 . A um entar la posición larga a e2h al final d e l d ía 1. 3 . A um entar la posición larga a e 38 al final d e l d ía 2. Y a s í sucesivam ente. Esta estrateg ia se resum e en la ta b la 5.6. A l inicio d e l d ía i, e l inversionista tiene u n a posición la r­ ga d e e ^ . La utilidad (posiblem ente negativa) o b ten id a d e la posición e n e l d ía i es (Fi ~ ^ - i ) ^ A sum a q u e la utilidad se com pone a la ta sa libre d e riesgo hasta e l final d e l d ía n. Su v alor al final del d ía n es (F , - F¡_])es‘e i"~‘)> = ( F¡ - F¡_\)e"s Por lo tanto, e l valor a l final d e l d ía n de to d a la e strate g ia d e inversión es ¿ ( F , - F j_ |)e ní 1=1 Esto es i(F„ - F „ _ ,) + (F „_ , - F„_2) + - - + < F , - F0)]e"¡ = (F„ - F0)e"‘

Ta b la 5 . 6

E strategia d e inversión para m ostrar que los precios d e futuros y a plazo son iguales 1

2

•••/?- 1

n

F\

F2

•••

F„

D ía

0

Precio d e futuros

F0

Posición d e futuros G anancia/pérdida G anancia/pérdida com puesta

e5 0

e 2s e 3s (F¡ —F0)es ( F2 — F¡)e2s

0

(F, - Fo)e"s

31 día"

F„_i

• •• e'lS ......................

(F 2 - F , ) e " s

0 (F„ — F „ -\)enS

(F„ - F „ _ ,K !

9 E s ta e stra te g ia ftic p ro p u esta p o r J.C . C o x , J E . In g erso ll, y S A . R oss, "T h e R e la tio n b e tw e e n F o rw ard P ric es a n d F u tu ­ res P ric es” , Jo u rn a l o f F in a n cia l E c o n o m ic s, 9 (d iciem b re d c 1 9 81), p p . 3 2 1 -4 6 .

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CAPÍTULO 5 Puesto q u e Fn es igual al precio spot final d e l activ o , Sf ,e l v alor final d e la estrateg ia d e inversión se puede plantear com o

(sT - F 0y s U na inversión d e F0 en un bono libre d e riesgo junto con la estrateg ia de futuros q u e acabam os d e proporcionar nos rinde F0en> + ( S T - F„)e"s = S TenS en la fecha T. No se requiere ninguna inversión para todas las posiciones largas de futuros d e sc ri­ tas. Se deduce q u e se pued e invertir un m onto F0 para o b ten er un m onto Sj€ nS en la fecha T. A continuación, suponga q u e e l precio de futuros a l final del d ía 0 e s G0. In v ertir G0 en un b o ­ no libre d e riesgo y tom ar u n a posición larga a plazo d e enh contratos a plazo tam bién g aran tiza un m onto en la fecha T. P o r co nsiguiente, hay dos estrategias d e inversión: una q u e requiere un desem bolso inicial d e F0 y la otra q u e requiere un desem bolso inicial d e G0, siendo e l rendi­ miento d e am bas S j ^ h en la fecha T. Se deduce q u e, a falta de oportunidades de arbitraje.

En otras palabras, e l precio de futuros y e l precio a plazo son idénticos. O bserve q u e e n e sta prue­ ba no hay nada especial en cu an to al periodo d e un día. E l precio de futuros basado e n un contrato con liquidaciones sem anales e s tam bién igual a l precio a plazo cuando se hacen los supuestos c o irespondientes.

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Futuros sobre tasas de interés H asta ahora hem os abordado los contratos de futuros sobre com m odities, índices bursátiles y d iv i­ sas. H em os visto cóm o funcionan, de q u é m anera se usan con fines d e cobertura y có m o se e s ta ­ blecen los precios d e futuros. A hora considerarem os los futuros sobre tasas de interés. E n este capítulo explicam os los populares contratos d e futuros sobre bonos d e l Tesoro y sobre eurodólares q u e se negocian e n Estados U nidos d e A m érica. M uchos de los d em ás contratos d e fu ­ turos sobre tasas d e interés d e todo e l m undo se han diseñado im itando estos contratos. A nalizare­ mos tam bién la m edida d e duración y m ostram os có m o se u sa para m edir la sensibilidad d e una cartera hacia las tasas de interés. D em ostram os incluso có m o se utilizan los contratos de futuros so ­ bre tasas d e interés, ju n to con la m edida de du ració n , para cu b rir la exposición de u n a e m p re sa a las variaciones d e las tasas d e interés.

6.1

C Á L C U L O D E D Í A S Y C O N V E N C I O N E S D E C O T IZ A C IÓ N Com o una introducción al material d e e ste capítulo, consideram os el cálculo d e días y las convencio­ nes d e cotización q u e se aplican a los bonos y a otros títulos q u e dependen d e las tasas de interés.

Cálculo de días El cálculo d e días defin e có m o se acum ulan las tasas d e interés con e l paso del tiem po. G en eral­ m ente conocem os e l interés ganado durante cierto periodo d e referencia (por ejem p lo , e l tiem po e n ­ tre los pagos d e cupones sobre un bono), pero nos interesa calcu lar el interés obtenido d u ran te a l­ gún otro periodo. La convención para e l cálculo de días se ex p resa usualm ente co m o X/Y. C uando calculam os el interés ganado entre d o s fech as, X define la form a d e calcu lar e l núm ero d e días e n tre am bas fechas y Y representa la form a d e m edir e l total d e días d e l periodo d e re fe re n cia E l interés ganado e n tre am bas fechas es N ú m ero d e d ía s e n tre fech as _ 4 , , . . , . r —— — —— — ;— — x In te re s g a n a d o e n e l p e rio d o d e referen cia N u m ero d e d ía s d e l p e rio d o

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CAPÍTULO 6

P a n o rá m ic a d e n e g o c io s 6 .1

E l cálculo de días puede se r engañoso

Entre e l 28 d e febrero d e 2009 y el 1 d e m arzo del m ism o añ o , usted tie n e la opción d e poseer un bono d e l gobierno estadounidense q u e paga un cupón d e 10%, a sí co m o un bono co rp o rati­ vo q u e paga un cupón d e 10%. ¿C uál preferiría? fó rec e com o si no fueran muy d iferentes. De hecho, usted debe te n er u n a fu erte preferen­ cia por e l bono corporativo. C on la convención para e l cálculo d e días 30/360 q u e se usa para bonos corporativos, hay tre s días entre e l 28 de febrero d e 2009 y e l 1 d e m arzo d e l mism o año. Cbn la convención para e l cálculo d e días real/real (en e l periodo) q u e se usa para bonos d e l g o ­ bierno hay sólo un d ía. ¡U sted g an aría aproxim adam ente e l triple d e intereses si m antuviera el bono corporativo!

En Estados U nidos d e A m érica se usan tres convenciones d e cálculo d e días: 1. Real/real (en el periodo) 2. 30/360 3. R eal/360 Real/real (en e l periodo) se usa para bonos d e l Tesoro d e E U A ; 30/360 se utiliza para bonos c o rp o ­ rativos y m unicipales d e E U A , y real/360 se em p lea para letras d e l Tesoro y otros instrum entos del mercado de dinero. E uso de la convención real/real (en el periodo) para bonos del Tesoro in d ica que e l interés g a ­ nado e n tre dos fechas se basa e n la relación e n tre los días reales transcurridos y el núm ero real d e días del periodo entre pagos d e cupones. Suponga q u e e l principal del bono e s d e $100, las fechas de pago del c u p ó n son e l 1 de m arzo y e l 1 de septiem bre, la ta sa cu p ó n e s d e 8% y que deseam os calcular e l interés ganado entre e l 1 d e m arzo y el 3 de ju lio . El periodo d e referencia es del 1 d e marzo al 1 d e septiem bre. Hay 184 días (reales) e n este periodo y se gana un interés d e $4.00 d u ­ rante e l periodo. Hay 124 días (reales) e n tre e l 1 de m arzo y e l 3 d e ju lio . Por lo tan to , el interés ganado entre e l 1 d e m arzo y el 3 d e ju lio es 124 x 4 = 2.6957 184 E uso de la convención 30/360 para bonos corporativos y m unicipales indica q u e asum im os 30 días p o r mes y 360 días por año al realizar nuestros cálculos. C on e s ta convención, e l núm ero to ­ tal d e días e n tre e l 1 d e m arzo y e l 1 d e septiem bre e s d e 180. E l núm ero total d e días e n tre e l 1 d e marzo y el 3 de ju lio e s (4 X 30) + 2 = 122. E n e l caso de un bono corporativo c o n los m ism os términos que el bono d e l Tesoro q u e acabam os de considerar, e l interés ganado entre el 1 d e m ar­ zo y e l 3 d e ju lio d ebiera ser, p o r lo tanto

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11

Cómo se m uestra en P anorám ica de negocios 6 .1 , la convención para el cálculo d e días 30/360 tie ­ ne en ocasiones consecuencias sorprendentes. E uso d e la convención real/360 para un instrum ento del m ercado d e d in ero indica q u e e l p e ­ riodo de referencia es d e 360 días. E l interés ganado d u ran te parte d e un año se calcu la dividiendo d núm ero real d e días transcurridos entre 360 y m ultiplicándolo por la tasa. El interés obtenido en 90 días e s, por lo tan to , exactam ente una cu arta parte de la ta sa co tizad a. O bserve q u e el interés g a ­ nado en todo un año de 365 días es 365/360 por la ta sa cotizada. Las convenciones varían de un país a otro y de un instrum ento a otro. P o r ejem p lo , los in stru ­ mentos del m ercado de din ero se cotizan con base en una convención real/365 e n A ustralia, C an a ­

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Futuros sobre tasas d e interés

dá y N ueva Z elanda. La ta s a L IB O R se c o tiz a sobre u n a convención real/360 para todas las m o n e­ das, excepto para la libra esterlin a, para la cual se co tiza con base e n u n a convención real/365. U sualm ente, los bonos denom inados en euros se calculan sobre una convención real/real.

Cotizaciones Los precios d e los instrum entos del m ercado d e dinero se cotizan a veces usando una tasa d e d e s ­ cuento. É sta e s el interés ganado com o un porcentaje del v alor nom inal final más q u e co m o un p o r­ centaje del precio inicial pagado por el instrum ento. Un ejem plo son las letras del Tesoro de Estados Unidos d e A m érica. Si e l precio d e una letra del Tesoro a 91 días se co tiza com o 8, esto significa que la ta sa d e interés anualizada obtenida e s 8% del valor nom inal. Suponga que e l valor nom inal es d e $ 100. Se gana un interés d e $ 2 0 2 2 2 ( = $100 X 0.08 X 91/360) d u ran te la vida d e 91 días. Esto c o ­ rresponde a una tasa de interés veiriadera de 2.0222/(100 - 2 0 2 2 2 ) = 2 0 6 4 % para el periodo de 91 días. E n general, la relación entre e l precio e n efectivo y el precio cotizado de una letra del T eso­ ro d e Estados Unidos d e A m érica es p = —

n

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donde P es e l precio c o tizad o , y es e l precio e n efectiv o , y n es la vida restante d e la letra d e l Te­ soro m edida e n días naturales.

Bonos del Tesoro de Estados U n id o s de Am érica Los precios d e los bonos del Tesoro se cotizan en dólares y treintaidosavos d e dólar. El precio c o ­ tizado es de un bono c o n un v alor nom inal de $100. Por lo tan to , una cotización de 90 -0 5 indica que e l precio cotizado de un bono con un v alor nom inal d e $100,000 es d e $90,156.25. El precio cotizado, q u e los negociantes denom inan precio lim pio, no e s igual a l precio e n e fe c ­ tivo, q u e los negociantes llam an precio sucio. P o r lo general, tenem os frec io en efectivo = precio co tizad o + interés acum ulado d e sd e la ú ltim a fecha d e cupón Para ejem plificar e sta fórm ula, suponga q u e es 5 d e m arzo de 2007 y el bono que estam o s c o n si­ derando tie n e un cup ó n d e 11% y vence el 10 d e ju lio de 2015, c o n un precio cotizado de 95 -1 6 o $95.50. C om o los cupones sobre bonos d e l gobierno se pagan sem estralm ente (y e l cupón final se paga al vencim ien to ), la fecha de c u p ó n más recien te e s e l 10 d e en ero d e 2007 y la próxim a fecha de cupón es e l 10 de ju lio de 2007. El núm ero d e d ía s entre e l 10 d e en ero de 2 007 y e l 5 de m arzo de 2007 e s 5 4 , en ta n to q u e e l núm ero de d ía s e n tre el 10 d e en ero d e 2007 y e l 10 de ju lio d e 2007 e s 181. El pago del cu p ó n sobre un bono c o n un v alor nom inal d e $100 e s d e $5.50 el 10 d e enero y e l 10 d e ju lio . E l interés acum ulado e l 5 d e m arzo de 2007 es la parte d e l cu p ó n del 10 d e ju lio q u e o b tien e e l ten ed o r d e l bono e l 5 d e m arzo d e 2007. D ebido a q u e se usa la c o n ­ vención real/real (en e l periodo) p a ra bonos d e l Tesoro de E stad o s U nidos d e A m érica (vea la sec ­ ción 6 .1 ), este interés es 54 — x $5.5 = S I .64 1o 1 Por lo tanto, e l precio en efectivo por valor nom inal d e $100 para el bono d e l 10 d e ju lio d e 2015 es $ 9 5 .5 + $ 1 .6 4 = $97.14 Por consiguiente, e l precio en efectivo d e un bono d e $100,000 e s d e $97,140.

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CAPÍTULO 6

F U T U R O S SO B R E B O N O S DEL T ESO R O La tabla 6.1 m uestra las cotizaciones d e futuros sobre tasas de interés co m o aparecen en e l Wall Street Jou rn a l del 9 d e enero d e 2007. Uno d e los contratos d e futuros sobre tasas d e interés a largo plazo m ás populares es e l contrato de futuros sobre bonos del Tesoro que se negocia e n la B olsa de C o­ mercio d e C hicago (CBOT). E n e ste contrato puede entregarse cualquier bono del gobierno que tenga más de 15 años a su vencim iento e n el prim er d ía del mes de entrega y que no sea redim ible en un p e ­ riodo de 15 años a p artir d e e se día. C om o explicarem os más adelante e n e sta sección, la C BO T ha desarrollado un procedim iento para aju star el precio q u e recibe la parte c o n la posición corta d e acuerdo con e l bono específico entregado. En E stados U nidos d e A m érica e s muy popular e l contrato d e futuros sobre notas d e l Tesoro y notas del Tesoro a cinco años. E n e l contrato de futuros sobre notas del T esoro, puede entregarse cualquier bono d e l gobierno (o nota) con un vencim iento e n tre 6 .5 y 10 años. E n el contrato d e fu ­ turos sobre notas del Tesoro a cinco a ñ o s, el bono entregado tiene una vida restante aproxim ada de cuatro o cinco años. B resto del análisis de e sta sección se c en tra e n los futuros sobre bonos d e l Tesoro q u e se n e ­ gocian e n la CBOT. Los futuros sobre notas del Tesoro d e E stados U nidos d e A m érica y m uchos círos contratos d e futuros de otras partes del m undo están diseñados de m anera sim ilar a los futu­ ros sobre bonos del Tesoro negociados e n la CBO T, por lo q u e m uchos d e los puntos q u e ab o rd a­ remos tam bién se aplican a estos contratos.

Cotizaciones Los precios d e futuros sobre bonos d e l Tesoro se co tizan en la m ism a fo rm a q u e los precios d e los m ism os bonos del Tesoro (vea la sección 6.1). La ta b la 6.1 m uestra q u e el precio d e liquidación del 8 d e enero d e 2007 para e l contrato d e m arzo d e 2007 fue d e 112-04 o 112 4/32. Un contrato im ­ plica la entrega d e un bono con un valor nom inal de $100,000. Por lo tanto, un cam bio d e $1.00 del

Ta b la 6.1 C otizaciones d e futuros sobre tasas de interés obtenidas d e l Wall S treet Jo u rn a l del 9 de enero d e 2007. (Las colum nas m uestran e l m es, los precios d e ap ertu ra, m áxim o, m ínim o, d e li­ quidación, el cam bio y e l interés abierto, respectivam ente)

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Fuente: reimpreso con permiso de Dow Jones, Inc., a través del Copyright Clearance Center, Inc. © 2007 Dow Jones & Company, Inc. Derechos reservados mundialmente.

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Futuros sobre tasas d e interés

precio d e futuros cotizado d a ñ a lugar a un cam bio d e $ 1,000 en e l valor del contrato d e futuros. La entrega puede realizarse e n cualquier m om ento durante el m es d e entrega.

Factores de conversión Com o se m encionó, e l contrato de futuros sobre bonos d e l Tesoro perm ite a la parte con la posición corta decidir entregar c u alq u ier bono que te n g a un vencim iento m ayor d e 15 anos y que no sea re ­ dim ible e n e s e periodo. C uando se en treg a un bono específico, un parám etro conocido co m o fa c ­ tor d e conversión define el precio recibido por el bono. El precio cotizado aplicable es el producto del factor d e conversión y e l precio de liquidación m ás reciente del contrato d e futuros. Si se tom a en cuenta e l interés acum ulado, co m o se describe e n la sección 6 .2 , el efectivo recibido por c ad a $100 d e valor nom inal del bono entregado es (Precio d e liquidación m ás reciente X Factor d e conversión) + Interés acum ulado C ada contrato se estip u la para la en treg a d e bonos con un v alor nom inal d e $100,000. Suponga q u e el precio de liquidación m ás reciente es d e 90-00, q u e e l facto r de conversión d e l bono entregado es d e 1.3800, y q u e e l interés acum ulado sobre e s te b ono en la fecha d e en treg a es d e $3.00 por $100 de valor nom inal. E ntonces, el efectivo que recibe la parte con la posición c o rta (y q u e paga la parte con la posición larga) es (1.3800 X 90.00) + 3.00 = $127.20 por $100 d e valor nom inal. L a parte con la posición c o rta en un contrato entregaría bonos con un valor nom inal d e $100,000 y recibiría $127,200. El factor d e conversión de un bono se establece igual al precio cotizado q u e el bono tendría por dólar de principal e l prim er d ía d e l mes d e en treg a bajo e l supuesto d e q u e la ta sa de interés para todos los vencim ientos e s igual a 6 % anual (con com posición sem estral). E l vencim iento del bono y e l tiem po a las fechas d e pago del cu p ó n se redondean a los tre s m eses m ás cercanos con fines de cálculo. E sta práctica perm ite a la C B O T producir tablas generales. S i, después d e redondear, el b o ­ no dura un núm ero exacto d e periodos d e seis m eses, se asu m e que e l prim er cupón se paga e n seis m eses. Si, después d e redondear, el bono no d u ra un núm ero exacto d e periodos d e seis m eses (es decir, hay tre s meses adicionales), se asum e q u e e l p rim er cu p ó n se paga después de tres m eses y se resta el interés acum ulado. C om o un prim er ejem plo de estas reglas, considere un bono con un cupón d e 10% y c o n 20 años y dos m eses a su vencim iento. P a ra calcu lar e l factor de conversión, se asu m e que el bono tie ­ ne exactam ente 20 años a su vencim iento y que e l prim er pago del cupón se realizará después d e seis m eses. Se asum e q u e los pagos del cu p ó n se realizarán e n intervalos de seis m eses hasta e l té r­ mino d e 20 añ o s, cuando se efectú a el pago del principal. A sum a q u e e l v alor nom inal e s d e $100. C uando la ta sa d e descuento e s d e 6% anual con una com posición sem estral (o d e 3% sem estral), el valor del bono es A

5

100

L l . 0 3 , + 1.0340

= $146.23

Si dividim os este m onto e n tre e l v alor nom inal nos d a un facto r d e conversión d e 1.4623. C om o un segundo ejem plo d e las reglas, considere un bono con un cu p ó n d e 8% y con 18 años y cuatro m eses a su vencim iento. Para calcular e l facto r de conversión, se asum e q u e e l bono tie n e exactam ente 18 a ñ o s y 3 m eses a su vencim iento. Si descontam os todos los pagos hasta la fecha

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CAPÍTULO 6 correspondiente a tre s m eses a p artir d e hoy, a 6 % anual (com puesto sem estralm ente), nos d a un valor de 36

4

100

La ta sa d e interés para un periodo d e tres m eses e s V i.0 3 - 1 o 1.4889%. De aquí q u e , si la d e s ­ contam os hasta el m om ento presente nos d a un v alor del bono de 125.83/1.014889 = $123.99. Si restam os e l interés acum ulado d e 2.0, o btenem os un m onto d e $121.99. Por co nsiguiente, e l factor de conversión e s 1.2199.

Bono cheapest-to-deliver En c u alq u ier m om ento dado d u ran te e l mes de en treg a, hay m uchos bonos que se pueden entregar en e l contrato d e futuros sobre bonos del Tesoro negociado e n la CBOT, con diversos pagos d e c u ­ pón y fechas d e vencim iento. La parte con la posición c o rta puede d ecid ir cuál d e los bonos d isp o ­ nibles es “e l más barato” d e entregar. Puesto que la parte con la posición c o rta recibe (Precio de liquidación m ás recien te X Factor d e co n v ersió n ) + Interés acum ulado y e l costo d e co m p rar un bono es Precio cotizado del bono + Interés acum ulado d bono cheapest-to-deliver es aquel cuyo Precio cotizado del bono - (Precio d e liquidación más reciente + Factor de conversión) es el más bajo. U na vez q u e la parte con la posición corta decide entregar, determ ina el bono cheap­ est-to-deliver exam inando c ad a uno de los bonos. El ejem plo 6.1 ilustra estos cálculos.

Ejemplo 6.1

Elección del b ono cheapest-to-deliver

L a parte con la posición corta ha decidido entregar y tra ta d e e leg ir uno d e los tres bonos sig u ien ­ tes. A sum a q u e e l precio d e liquidación más reciente e s d e 93 -0 8 o 93.25.

Bono I 2 3

Precio cotizado del b ono ($)

Factor de conversión

99.50 143.50 119.75

1.0382 1.5188 1.2615

El costo d e en treg ar c ad a uno d e los bonos es el siguiente: Bono 1: Bono 2:

99.50 - (93.25 x 1.0382) = $2.69 143.50 - (93.25 x 1.5188) = $1.87

Bono 3:

119.75 - (93.25 x 1.2615) = $2.12

El bono cheapest-to-deliver e s e l bono 2. v _________________________________________________________________________________________ /

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Futuros sobre tasas d e interés

P a n o r á m ica d e n e g o c io s 6 .2

E l ju e g o de com odín

L a negociación del contrato d e futuros sobre bonos d e l Tesoro e n la C B O T term ina a las 2:00 PM , hora d e C hicago. Sin em bargo, la negociación de bonos del Tesoro co n tin ú a e n e l m er­ cado spot hasta las 4:00 P M . A dem ás, un negociante c o n u n a posición c o rta en un co n trato d e futuros tiene hasta las 8:00 PM para em itir un av iso d e intención de en treg a a n te la cám ara d e com pensación. Si e l av iso se em ite, e l precio d e factu ra se calcu la con base en e l precio d e liquidación d e e s e d ía. É ste es e l precio al que se condujo la negociación ju sto antes del cierre del m ercado a las 2:00 PM . E sta práctica d a lugar a una opción co n o cid a co m o ju eg o d e com odín. S i los precios d e los bonos dism inuyen después de las 2:00 P M e l prim er d ía d e l m es d e en treg a, la parte con la posición c o rta pued e em itir un av iso d e intención d e en treg a, d ig am o s, a las 3:45 PM y p ro c e ­ d e r a co m p rar bonos para su en treg a a un precio calculado con b a se en e l precio de futuros d e las 2:00 PM . Si e l precio del bono no d ism inuye, la parte con la posición c o rta m antiene la p o ­ sición abierta y espera hasta e l d ía siguiente en q u e p u ed a usar e s ta m ism a estrategia. Al igual q u e con otras opciones disponibles para la parte con la posición co rta, e l ju e g o d e com odín no e s gratuito. Su v alor se refleja e n e l precio d e futuros, e l cual e s m enor d e lo q u e se ­ ría sin la opción.

Varios factores determ inan e l bono cheapest-to-deliver. C uando los rendim ientos de bonos e x ­ ceden a 6 % , el sistem a del facto r d e conversión favorece la en treg a d e bonos con cupones bajos y vencim ientos largos. A dem ás, cuando la curva de rendim iento es ascendente, se favorece la e n tre ­ ga de bonos con un tiem po largo a su vencim iento, en tanto q u e, cu an d o la curva e s descendente, hay una ten d en cia a en treg ar bonos c o n un tiem po corto a su vencim iento. A dem ás d e la opción del bono cheapest-to-deliver, la parte con una posición c o rta tiene una opción conocida com o ju eg o d e com odín, d escrita e n P anorám ica d e negocios 6.2.

Determ inación del precio de futuros Es difícil determ inar un precio d e futuros teórico exacto para e l contrato sobre bonos del Tesoro, porque no e s posible v alu ar c o n facilidad las opciones d e la parte con la posición corta relaciona­ das con la fecha de en treg a y la elección del bono q u e se entregará. No obstante, si asum im os q u e conocem os tanto el bono cheapest-to-deliver com o la fecha d e en treg a, e l contrato d e futuros sobre bonos d e l Tesoro e s un contrato de futuros sobre un título negociado (el bono) q u e proporciona al tenedor un ingreso c o n o c id o .1 Entonces, la ecuación (5.2) m uestra que e l precio d e futuros, se relaciona con el precio spot, S0, p o r m edio d e F0 = (So - I)e rT

(6-D

donde / es e l valor presente d e los cupones durante la vida del contrato d e futuros, T es el tiem po hasta el vencim iento d e l contrato d e futuros y r es la ta s a d e interés libre d e riesgo aplicable a un periodo con una duración d e T. E l ejem plo 6 .2 proporciona una aplicación de la ecuación (6.1).

1 En la p ráctica, c o n el p ro p ó sito d e d e te rm in a r el b o n o ch c ap e st-to -d cliv er e n e s te c á lc u lo , lo s an a listas a su m e n g e n e ra l­ m ente q u e las ta sas c e ro al v en cim ien to d el c o n tra to d e fu tu ro s serán ig u ales a las ta sas a p la zo d e hoy.

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CAPÍTULO 6

Ejemplo 6.2

Cálculo del precio d e futuros sobre bonos del Tesoro

Suponga que, e n un contrato d e futuros sobre bonos d e l Tesoro, se sabe que el bono cheapestto-deliver será un bono con un cupón d e 12% y un facto r d e conversión de 1.4000. A dem ás, a s u ­ m a que se sabe que la en treg a se realizará e n 270 días. Los cupones sobre e l bono se pagan se ­ m estralm ente. C om o se ilu stra e n el cronogram a siguiente, la últim a fecha d e pago del cupón fue hace 6 0 d ía s, la siguiente fecha d e pago del cu p ó n es e n 122 días y, después d e ésta, la si­ guiente fecha d e pago del cupón e s e n 305 días. L a estructura tem poral e s p lana y la ta s a d e in ­ terés (con una com posición continua) es de 10% anual. A sum a q u e el precio actual cotizado del bono e s d e $120. El precio en efectivo d e l bono se obtiene sum ando a e ste precio cotizado la proporción del siguiente pago del cupón q u e obtiene el tenedor. Por lo tanto, e l precio e n efectivo es 120

60

60+ 122

x 6 = 121.978

Se recibirá un cupón d e $6.00 después d e 122 d ía s ( = 0.3342 d e año). E l v alor presente de é s ­ te es ^ .> * 0 .3 3 4 2 = 5 8 0 3

El contrato d e futuros d u ra 270 días (0.7397 d e año). Por lo tan to , el precio de futuros e n e fe c ­ tivo si el contrato se ex p id iera sobre e l bono con cupón de 12% sería (121.978 - 5 .8 0 3 > # lx0-7397 = 125.094 En la entrega, hay 148 días de intereses acum ulados. E l precio d e futuros cotizado si el c o n tra ­ to se ex p id iera sobre e l bono c o n cupón de 12% se calcu la restando los intereses acum ulados

125.094 - 6 x

148 148 + 35

= 120.242

Con base en la definición del factor d e conversión, los bonos están d ar con un factor d e c o n v er­ sión d e 1.4000 se consideran equivalentes a cada bono con cu p ó n d e 12%. P o r lo tanto, el p re ­ cio de futuros cotizado debe ser

120.242 = 1.4000

Pago del cupón

T ie m p o

85.887

V e n c im ie n to d e l c o n tra to

P a g o d el cupón

p re se n te

P a g o d el cupón

d e fu tu ro s

60

122

148

35

d ía s

d ías

d ía s

d ía s

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Futuros sobre tasas d e interés

6.3

FU T U R O S SO BRE E U R O D O LA R E S El contrato d e futuros sobre tasas d e interés m ás popular e n E stados Unidos d e A m érica e s e l c o n ­ trato d e futuros sobre eurodólares a tres m eses, e l cual se negocia e n la B olsa M ercantil d e C h ic a ­ go (C M E). Un eurodólar e s un d ó la r depositado e n un banco estadounidense o extranjero ubicado fuera d e E U A . L a ta sa d e interés sobre eurodólares e s la ta sa d e interés g an ad a sobre los eurodóla­ res que un banco dep o sita en o tro banco. B ásicam ente es igual a la Tasa interbancaria de o fe rta del m ercado d e L ondres (L IB O R ) presentada e n e l capítulo 4. Los contratos de futuros trim estrales sobre eurodólares son contratos d e futuros sobre la ta sa de interés sobre eurodólares a tre s m eses (90 días). Estos contratos perm iten a un inversionista a s e ­ gurar una ta sa d e interés sobre $ 1 m illón durante un periodo futuro de tres m eses. L os contratos tie ­ nen vencim ientos e n m arzo, ju n io , septiem bre y diciem bre hasta de 10 años en e l futuro. Esto sig ­ nifica q u e e n 2007 un inversionista p u ed e usar futuros sobre eurodólares para aseg u rar una ta sa d e interés para periodos d e tre s m eses tan lejanos en e l futuro com o 2017. Los contratos c o n v en ci­ m ientos cortos se negocian para m eses distintos a m arzo, ju n io , septiem bre y diciem bre. Para en ten d er có m o funcionan los contratos de futuros sobre eurodólares, considere e l co n tra­ to de junio de 2007 presentado e n la tabla 6.1. E ste contrato tiene un precio d e liquidación de 94.79. El contrato finaliza e l tercer m iércoles d e l mes d e entrega. E n e l caso d e e ste contrato, e l tercer m iércoles d e l mes d e en treg a e s e l 20 d e ju n io de 2007. El contrato se liquida diariam ente e n la fo r­ m a usual hasta e sa fecha. Sin em bargo, el 20 d e ju n io d e 2007 el precio d e liquidación se e sta b le ­ ce igual a 100 - R , donde R es la tasa d e interés real sobre eurodólares a tres m eses d e e se d ía , e x ­ presada con una com posición trim estral y u n a convención para e l cálculo d e días real/360. (P or lo tanto, si la ta sa de interés sobre eurodólares a tre s m eses del 20 d e ju n io d e 2007 resultara ser de 4% c o n una com posición trim estral, e l precio d e liquidación final sería de 9 6 .0 0 ). H ay una liq u id a­ ción final y todos los contratos se d eclaran cerrados. El contrato está diseñado d e tal m anera que una variación d e un punto base ( = 0.01) e n la cotiza­ ción d e futuros corresponde a una ganancia o a una pérdida de $25 por contrato. Cuando una c o ­ tización de futuros sobre eurodólares aum enta un punto base, un negociante con una posición larga en un contrato gana $25 y otro con una posición corta en un contrato los pierde. Del m ism o m odo, cuan­ do la cotización dism inuye un punto base, un negociante con una posición larga e n un contrato pier­ d e $25 y otro con una posición corta en un contrato los gana. Suponga, por ejem plo, q u e un precio d e liquidación cam bia d e 97.12 a 97.23. Los negociantes con posiciones largas ganan 11 X 25 = $275 por contrato y los negociantes con posiciones cortas pierden este m ism o m onto por contrato. L a re­ gla de $25 por punto base es congruente con la observación hecha anteriorm ente d e que el contrato asegura una ta sa de interés sobre $ 1 m illón durante tres m eses. C uando una ta sa d e interés anual cam ­ bia e n un punto base, el interés ganado sobre $1 m illón durante tres meses cam bia en 1,000,000 X 0.0001 X 0.25 = 25 o $25. Puesto q u e la cotización d e futuros e s igual a 100 m enos la tasa d e interés sobre futuros, un inversionista c o n u n a posición larga g a n a cu an d o las tasas d e interés bajan y un inversionista con una posición c o rta g a n a cuando las tasas d e interés suben. El ejem plo 6 .3 ilustra el uso d e l c o n tra ­ to d e ju n io d e 2007 con fines d e cobertura. La bolsa d e fin e e l precio del contrato com o 10,000[100 - 0.25(100 - Q )]

(6.2)

donde Q es la cotización. P o r lo tan to , e l precio d e liquidación d e 94.79 para el contrato d e ju n io de 2007 presentado en la tabla 6.1 corresp o n d e a un precio d e 10,000[100 - 0.25(100 - 94.79)] = $986,975

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CAPÍTULO 6

Ejemplo 6.3

Uso del contrato de futuros sobre eurodólares de junio de 2007

El 8 de enero d e 2007 un inversionista d e se a aseg u rar la tasa d e interés q u e g a n ará so b re $5 m illones durante tre s m eses a p artir del 20 d e ju n io d e 2007. El inversionista c o m p ra cin co c o n ­ tratos d e futuros sobre eurodólares d e ju n io d e 2007 e n 9 4 .7 9 . El 20 d e ju n io d e 2007 la ta sa de interés L IB O R a tre s m eses e s d e 4 % , d e ta l m anera q u e e l precio de liquidación final re su l­ ta ser d e 96.00. E l inversionista g a n a 5 X 25 X (9600 - 9479) = $15,125 sobre la posición larga e n los contratos d e futuros. L a ta sa d e interés ganada sobre los $5 m illones d u ra n te tres m eses a 4 % es 5,000,000 X 0.25 X 0 .0 4 = 50,000 o $50,000. L a ganancia sobre e l contrato d e futuros aum enta e sta can tid ad a $65,125. É ste e s el interés q u e habría ganado si la ta sa de interés hubiera sido d e 5.21% (5,000,000 X 0.25 X 0.0521 = 65,125). Esto m uestra q u e la negociación d e futuros tie n e e l efecto de aseg u rar una tasa de interés igual a 5.21% o (100 - 94.79)% . V -/

En el ejem plo 6 .3 , e l precio final d e l contrato es 10,000[100 - 0.25(100 - 96)] = $990,000 y la diferencia entre el precio inicial y final del contrato e s d e $3,025, d e ta l m anera q u e un inver­ sionista con una posición larga en cinco contratos gana 5 X $3,025 o $15,125. E sto es co n g ru en te con la regla de la “variación d e un punto base igual a $25” usada en el ejem plo 6.3. \femos q u e e l prim er año de la estru ctu ra tem poral d e las tasas d e interés estad o u n id en ses tu ­ vo una pendiente d escen d en te e l 8 d e en ero d e 2007. La ta sa d e futuros para un periodo d e tres meses iniciando el 17 d e en ero de 2007 fu e d e 5 .3 5 7 5 % ; p a ra un periodo d e tre s m eses iniciando d 20 de ju n io d e 2007 fu e d e 5.21% ; para un periodo d e tres m eses iniciando e l 19 d e septiem bre de 2007 fue d e 5.045% , y para un periodo d e tre s m eses iniciando e l 19 d e diciem bre d e 2007 fue d e 4.91% . En otros países se negocian contratos de futuros sobre tasas de interés sim ilares a los c o n tra ­ tos d e futuros sobre eurodólares d e la CM E. L a C M E negocia contratos sobre euroyenes. L a B ol­ sa Internacional d e O pciones y Futuros Financieros d e Londres (p arte d e E uronext) negocia con­ tratos E uribor a tre s m eses (es d ecir, contratos sobre la tasa L IB O R a tre s m eses para el eu ro ) y fu ­ turos sobre eurofrancos a tres m eses.

Tasas de interés a plazo y de futuros B contrato de futuros sobre eurodólares e s sim ilar a un acuerdo d e interés futuro en q u e asegura una ta sa d e interés para un periodo futuro. (Vea la sección 4 .7 para revisar el análisis de acuerdos de interés futuro). En e l caso d e vencim ientos cortos (hasta de un año), se asum e que am bos c o n ­ tratos son iguales y q u e la tasa de interés de futuros sobre eurodólares e s igual a la ta s a d e interés a plazo correspondiente. E n e l caso d e contratos c o n vencim ientos más largos, las diferencias e n ­ tre los contratos son im portantes. C om pare un contrato de futuros sobre eurodólares sobre una ta ­ sa d e interés para un periodo e n tre las fechas T, y T2, con un acuerdo d e interés futuro para e l m is­ mo periodo. El contrato d e futuros sobre eurodólares se liquida diariam ente. L a liquidación final se realiza en la fe c h a T x y refleja la ta sa de interés o b ten id a para e l periodo entre las fechas T { y T2.

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Futuros sobre tasas d e interés

Por el contrario, el acuerdo de interés futuro no se liq u id a d iariam en te y la liquidación final que re ­ fleja la ta sa d e interés obtenida e n tre las fechas 7 , y T2 se realiza en la fecha T 2.2 Por lo tanto, h a y dos com ponentes para la diferencia e n tre un contrato d e futuros sobre e u ro dólares y un acuerdo d e interés futuro. Estos son: 1. La diferen cia entre un contrato de futuros sobre eurodólares y un contrato sim ilar e n e l q u e no h a y una liquidación diaria. É ste últim o e s un contrato a plazo en e l q u e se realiza un p a ­ go, en la fecha 7 ,, igual a la diferencia entre la tasa de interés a plazo y la ta sa d e interés obtenida. 2 . La diferen cia e n tre un contrato a plazo e n e l q u e hay u n a liquidación en la fecha 7 , y un contrato a plazo e n e l q u e la liquidación se realiza en la fecha T2. Estos dos com ponentes para la diferencia e n tre los contratos cau san c ierta confusión en la p rácti­ ca. Am bos dism inuyen la ta sa a plazo c o n relación a la ta sa d e futuros; pero, e n e l caso d e c o n tra ­ tos con vencim ientos largos, la reducción que o casio n a la segunda diferencia e s m ucho m enor que la q u e c au sa la prim era. L a razón por la q u e la prim era diferencia (liquidación diaria) d ism in u y e la tasa a plazo se deduce d e los argum entos d e la sección 5.8. Suponga que usted tiene un contrato c u ­ yo pago e s R m - R f en la fecha 7 ,, e n e l q u e R F es u n a ta sa predeterm inada para el periodo e n tre 7 , y T2 y R m es la ta sa o b ten id a para e ste periodo, y q u e usted tiene la o p ció n d e cam biar a una li­ quidación diaria. E n este caso , la liquidación d iaria g en era entradas d e efectivo cuando las tasas son altas y salidas d e efectivo cuando las tasas son bajas. Por lo tan to , usted p o d ría co nsiderar c o n v e ­ niente cam biar a una liquidación d ia ria porque ten d ría m ás dinero e n su cu en ta d e m argen si las ta ­ sas fueran altas. Por lo tan to , el m ercado estab lecería R F en un nivel más a lto para la alternativa de liquidación d ia ria (reduciendo su pago acum ulativo esperado). D icho d e otro m odo, cam b iar de la liquidación diaria a la liquidación e n la fe c h a 7 , reduce R F. P ara en ten d er por q u é la segunda d iferen cia red u ce la ta s a a plazo, a su m a q u e e l pago d e R M - R F se realiza e n la fe c h a T 2 en vez d e la fe c h a 7 , (com o ocu rre e n e l caso d e un acuerdo de interés futuro regular). Si es a lta , el pago es positivo. C o m o las tasas son a lta s, e l co sto d e recibir su pago e n la fecha T2 en v e z d e la fecha 7 , es relativam ente alto p a ra usted. Si R M es b a ­ ja , el pago es negativo. C o m o las tasas son b ajas, e l beneficio d e realizar e l pago e n la fe c h a T 2 en vez d e la fecha 7 , es relativam ente bajo para usted. E n gen eral, usted preferiría e l pago e n la fe ­ cha 7 ^ Si o c u rre e n la fe c h a T0 en v e z d e la fe c h a 7 ,, se le d e b e c o m p en sar con una reducción de R F? Los analistas realizan lo q u e se co n o ce co m o ajuste p o r convexidad para ju stificar todas las d i­ ferencias entre am bas tasas. Un ajuste popular es Tasa a plazo = Tasa de futuros — \ c r T \ T2

(6 3 )

donde, a l igual q u e arriba, 7 , es e l tiem po al vencim iento d e l contrato d e futuros y 7 2 es e l tiem po al vencim iento d e la ta sa subyacente a l contrato de futuros. La v ariab le tr e s la desviación están d ar del cam bio d e la ta sa d e interés a corto plazo e n un año. Am bas tasas se expresan con una c o m p o ­ sición continua.4 Un valor típico d e tre s 1.2% o 0.012. El ejem plo 6 .4 ilustra e ste ajuste.

2 C ó m o s e m e n cio n ó e n la se c c ió n 4 .7 , la liq u id ació n p u ed e o c u rrir e n la fec h a 7*,, p e ro en to n c e s e s igual a l v a lo r p resen ­ te d el pago n o rm al d el c o n tra to a p la zo e n la fec h a T2. 3 La cu a n tific ac ió n d el e fe c to d e este tip o d e d ife re n c ia d e tie m p o e n e l v a lo r d e u n d e riv a d o s e a n a liz a c o n m ás d e ta lle en d ca p ítu lo 2 7 d e J . C . H u ll, O ptions, F u tu re s a n d O th e r D eriv a //v e s, 6 a. e d ic ió n , 2006. 4 Esta fórm ula s e b a sa e n el m o d e lo d e H o -L ec p ara tasas d e in te rés q u e s e a n a liz a rá e n el c a p ítu lo 2 8 . Ver T. S . Y. H o y S. B. L ee, ‘T c r m S tru c tu re M o v em en ts a n d P rin c ig In tc re s t R atc C o n tin g c n t C la im s", Jo u r n a l o f F in a n ce, 41 (d iciem b re d e 1986), 1011-29.

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138

CAPÍTULO 6

Ejemplo 6.4

Cálculo del ajuste por co n v ex id ad

C onsidere u n a situación en la q u e cr = 0.012 y d eseam o s c alc u la r la ta s a a plazo cu an d o la cotización del precio d e fu tu ro s sobre e u ro d ó lares a o c h o a ñ o s e s d e 9 4 . E n e s te c a so , T x = 8, T 2 = 8.25 y e l a ju ste por c o n v ex id a d es i x 0.0122 x 8 x 8.25 = 0.00475 o 0 .4 7 5 % (47.5 puntos base). L a tasa d e futuros e s d e 6% an u al con base e n un cálcu lo d e días real/360 y una com posició n trim estral. E sto e s igual a 6 X 365/360 = 6.083% anual c o n b a ­ se e n un cálcu lo d e días real/365 y u n a co m p o sició n trim estral o a 6 .038% c o n u n a c o m p o si­ ción continua. P o r lo ta n to , la ta s a a plazo e s d e 6.038 - 0 .4 7 5 = 5.563% a n u al con u n a c o m ­ posición continua. L a ta b la 6 .2 m u estra có m o a u m en ta e l tam año d e l a ju ste con e l tie m p o al vencim iento. v _________________________________________________________________________________________ / La ta s a a plazo e s m enor que la ta sa d e futuros. C om o vem os e n la ta b la 6 .2 , el tam año del ajuste e s m ás o m enos proporcional al cuadrado del tiem po a l vencim iento del contrato d e futuros. Así, el ajuste p o r convexidad para e l contrato a ocho años e s aproxim adam ente 16 veces m ayor que d de un contrato a dos años.

6.4

D U R A C IO N La duración d e un b o n o , co m o su nom bre lo indica, es u n a m edida d e l tiem po q u e d e b e esp erar en prom edio e l tenedor d e l bono a n tes de recib ir pagos e n efectiv o . U n bono cu p ó n c ero que v e n ­ ce e n n años tiene una duración d e n años. N o o b stan te, un bono con cu p ó n que v en ce e n n años tiene u n a d u ració n m enor a n años d eb id o a q u e el te n ed o r recib e algunos de los pagos e n e fe cti­ vo antes d e l año n. Suponga q u e un bono proporciona al tenedor flujos d e efectiv o c¡ en el tiem p o t¡ (1 < i < n ). E precio, B , y el rendim iento, y (continuam ente com puesto), se relacionan por m edio de ri

B = Y . c ‘e~ y'¡ f= l

Ta b la 6 . 2 A juste por convexidad para la ta sa d e liituros del ejem plo 6.4 Vencimiento de fu tu ro s (años)

A justes p o r convexidad (puntos bas e)

2 4

3.2 12.2

6 8 10

27.0 47.5 73.8

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(6-4)

139

Futuros sobre tasas d e interés La duración, D , del bono se defin e com o V "

t r p ~ yli

I , = L ,= l ¿ '

(M )

Esto se plantea com o

El térm ino en corchetes e s la relación e n tre e l valor presente del flujo de efectivo e n el tiem po /, y e l precio del bono. El precio del bono e s el valor presente de todos los pagos. Por lo tanto, la duración e s un prom edio ponderado d e los tiem pos en q u e se realizaron los pagos, siendo la p o n d e­ ración aplicada al tiem po r, igual a la proporción del valor presente total del bono generada por el flujo d e efectivo e n el tiem po La sum a de las ponderaciones es 1.0. Con base e n la ecuación (6.4), e s aproxim adam ente cierto q u e /i

(6.6) 1=1 donde Ay es un pequeño cam bio d e y y Afí es e l pequeño cam bio correspondiente d e B. (O bserve que hay una relación negativa e n tre B y y. C uando los rendim ientos de los bonos au m en tan , sus p re ­ cios dism inuyen; cuando los rendim ientos d e los bonos dism inuyen, sus precios aum entan). Con base en las ecuaciones (6.5) y (6.6), obtenem os la principal relación d e la duración AB = -B D A y

(6.7)

~ ~ = —D A y

(6.8)

Esto se plantea

La ecuación (6.8) e s una relación ap ro x im ad a e n tre los cam bios porcentuales del precio de un b o ­ no y los cam bios d e su rendim iento. E sta ecuación es fácil de usar y e s la razón por la q u e la d u ra ­ ción, sugerida por M acaulay e n 1938, se ha vuelto u n a m edida ta n popular. C onsidere un bono con un cupón de 10% a tres años y un valor nom inal d e $100. Suponga que e l rendim iento sobre el b ono e s de 12% an u al con una com posición continua. E sto significa q u e y = 0.12. Los pagos del cupón, d e $5, se realizan c ad a seis m eses. La tabla 6 .3 m uestra los cálculos

T a b la 6 . 3 Tiempo (años)

C álculo d e la duración

F lujo d e Valor efectivo (dólares) presente

Ponderación

Tiem po X Ponderación

0 .5

5

4 .7 0 9

0 .0 5 0

0 .0 2 5

1.0

5

4 .4 3 5

0 .0 4 7

0 .0 4 7

1.5

5

4 .1 7 6

0 .0 4 4

0 .0 6 6

2.0

5

3 .9 3 3

0 .0 4 2

0 .0 8 3

2.5

5

3 .7 0 4

0 .0 3 9

0 .0 9 8

3.0

105

7 3 .2 5 6

0 .7 7 8

2 .3 3 3

T o tal

130

9 4 .2 1 3

1.000

2 .6 5 3

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CAPÍTULO 6

140

Ejemplo 6.5

fru e b a d e la relación d e la duración

En e l caso del bono presentado en la tabla 6 .3 , e l precio d e l b o n o , B , es 94.213 y la du ració n , D, es 2.653, por lo q u e la ecuación (6.7) nos d a A B = - 9 4 .2 1 3 x 2 .6 5 3 A y = - 2 4 9 . 9 5 A y

C uando el rendim iento sobre e l bono aum enta 10 puntos b a se ( = 0 .1 % ), Ay = + 0 .0 0 1 . La re ­ lación de la duración predice q u e A B = -2 4 9 .9 5 X 0.001 = - 0 .2 5 0 , d e ta l m anera que e l p re ­ cio del bono b a ja a 94.213 - 0.250 = 93.963. ¿ Q u é ta n exacto es esto? C uando el rendim iento del bono au m en ta 10 puntos base a 12.1% , el precio del bono es 5 £>- 0 . 1 2 1 x 0 .5 +

5 ^ -0 .1 2 1

x

1.0 +

^ - 0 .1 2 1 x 1 .5 +

^ - 0 .1 2 1 x 2 .0

+ 5^ . 2.x2.5 + 105e- 0..2.x 3.0 = 9 3 963

el cual es (hasta tres cifras decim ales) igual al q u e se predijo por m edio d e la relación d e la d u ­ ración.

necesarios para determ inar la duración del bono. Los valores presentes d e los flujos d e efectivo del bono, usando el rendim iento com o la tasa d e descuento, se m uestran e n la colum na 3. (P or ejem plo, d valor presente del prim er flujo d e efectivo es d e 5e~OA2 x 0 5 = 4.709). La sum a de las cifras d e la colum na 3 proporciona e l precio del bono q u e es d e 94.213. Las ponderaciones se calculan d iv i­ d e n d o las cifras de la colum na 3 entre 94.213. La sum a de las cifras d e la colum na 5 d a co m o re ­ sultado una duración de 2.653 años. El ejem plo 6 .5 prueba la exactitud de la relación de la duración con la ecuación (6.7). Los pequeños cam bios e n las tasas d e interés se m iden frecuentem ente e n pim íos b a se. C om o se m encionó anteriorm ente, un punto base e s igual a 0.01% anual.

D uración m odificada El análisis an terio r se basa e n e l supuesto d e q u e y se expresa con una com posición continua. Si y se ex p resa con una com posición an u al, es posible m ostrar q u e la relación aproxim ada e n la e cu a ­ ción (6.7) se convierte en AB =

BD Ay

l+>' En un sentido más am p lio , si y se expresa c o n u n a frecuencia d e com posición d e m veces a l añ o , entonces AB = -

BD Ay 1 + y/rn

U na variable D *, defin id a p o r m edio d e D* =

D 1 + y/m

se conoce e n ocasiones com o la d ira ció n m odificada del bono y perm ite q u e la relación de la d u ­ ración se sim plifique a &B = -B D * A y

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(6.9)

141

Futuros sobre tasas d e interés

N Ejemplo 6.6

Prueba de la relación d e la duración m odificada

B bono de la ta b la 6.3 tie n e un precio d e 94.213 y una duración d e 2.653. El rendim iento, e x ­ presado c o n u n a com posición sem estral, es d e 12.3673% . L a duración m odificada, D * , se o b tie ­ ne por m edio d e = 2 499 D * = ___________ 1 + 0 .1 2 3 6 7 3 /2

Cbn base e n la ecuación (6.9), tenem os A B = —9 4 . 2 1 3 x 2 .4 9 8 5 A y = - 2 3 5 . 3 9 A y C uando el rendim iento (com puesto sem estral m ente) aum enta e n 10 puntos base ( = 0.1% ), Ay = +0.001. La relación d e la duración predice q u e esperam os q u e A B sea d e -2 3 5 .3 9 X 0.001 = - 0 .2 3 5 , d e tal m anera que e l precio d e l bono baje a 94.213 - 0.235 = 93.978. ¿Q ué tan e x a c ­ to e s esto? C uando e l rendim iento del bono (com puesto sem estral m ente) au m en ta 10 puntos b a ­ se a 12.4673% (o a 12.0941% con una com posición co n tin u a), un cálculo ex acto sim ilar a l del ejem plo anterior m uestra q u e e l precio del bono cam b ia a 93.978. Esto m uestra que e l c á lc u ­ lo d e la duración m odificada proporciona una buena exactitud. y

I

cuando y se ex p resa con una frecuencia de com posición d e m veces al año. El ejem plo 6 .6 in v esti­ ga la ex actitu d d e la relación d e la duración m odificada. Otro térm ino q u e se u sa e n ocasiones e s la á ira ció n en dólares. É sta es el producto d e la d u ­ ración m odificada y e l precio del bono, de tal m anera q u e A B = -D * * A y , d o n d e D ** e s la d u ra ­ ción en dólares.

Carteras de bonos La duración, D ,d e u n a cartera d e bonos se define co m o un prom edio ponderado d e las duraciones de los bonos individuales incluidos e n la cartera, siendo las ponderaciones proporcionales a los p re ­ cios d e los bonos. E n to n ces, se em plean las ecuaciones (6.7) a (6.9), d o n d e B se define com o e l v a ­ lor d e la cartera de bonos. E stas ecuaciones calculan el cam bio e n el v alor d e la cartera d e bonos cuando hay un cam bio específico Ay en los rendim ientos d e todos los bonos. Es im portante d a rse cu en ta d e q u e, cuando la duración se usa para carteras d e bonos, hay un supuesto im plícito d e q u e los rendim ientos de todos los bonos cam biarán e n e l m ism o monto. C uando los bonos tien en vencim ientos m uy d iferentes, esto ocurre únicam ente cuando hay un d e s­ plazam iento paralelo d e la cu rv a d e rendim iento. Por lo tanto, debem os interpretar las ecuaciones (6.7) a (6.9) com o ecuaciones q u e proporcionan estim aciones d e l im pacto d e un desplazam iento p a ­ ralelo, Ay, de la curv a de rendim iento en e l precio d e u n a cartera d e bonos. La relación d e la duración se aplica sólo a pequeños cam bios e n los rendim ientos. E sto se ilu s­ tra en la figura 6.1, q u e m uestra la relación e n tre e l cam bio porcentual e n el v alor y e l cam bio en el rendim iento d e dos carteras d e bonos con la m ism a duración. Los gradientes d e am b as curvas son iguales en e l origen. E sto significa q u e am bas carteras d e bonos cam bian e n valor e n e l mism o porcentaje cuando hay pequeños cam bios de rendim iento y es co n g ru en te c o n la ecuación (6.8). C uando hay grandes cam bios de rendim iento, las carteras se com portan de m anera diferente. La c artera X tiene una cu rv atu ra m ayor e n su relación c o n los rendim ientos q u e la c artera Y. Un fa c ­ tor conocido com o convexidad mide e sta curvatura y se u sa para m ejorar la relación representada en la ecuación (6.8).

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CAPÍTULO 6

F ig u ra 6 .1

Dos carteras d e bonos con la m ism a duración

Cobertura de carteras de activos y pasivos Las instituciones financieras suelen tra ta r d e cubrirse a sí m ism as co n tra el riesgo d e ta sa d e inte­ rés asegurándose de que la duración prom edio de sus activos sea igual a la duración prom edio d e sus pasivos. (Los pasivos son considerados co m o posiciones cortas en bonos). E sta estrateg ia se c o ­ noce com o calce d e duraciones o inm unización d e cartera. C uando se im plem enta, asegura q u e un pequeño desplazam iento paralelo e n las tasas d e interés tenga poco efecto sobre e l v alor d e la c a r­ tera de activos y pasivos. La ganancia (pérdida) sobre los activos d e b e co m p en sar la pérdida (g a ­ nancia) sobre los pasivos. E calce d e duraciones no inm uniza una cartera co n tra desplazam ientos no paralelos d e la curva cero. É sta es una debilidad de la estrategia. E n la práctica, las tasas a corto plazo suelen ser más vo­ látiles que las tasas a largo plazo y no se correlacionan perfectam ente con ellas. En ocasiones, las ta ­ sas a corto y largo plazos se m ueven incluso en sentidos opuestos entre sí. Por lo tanto, el calce d e du­ raciones es sólo un prim er paso; por este motivo, las instituciones financieras han desarrollado otras herramientas que las ayuden a adm inistrar su exposición a las tasas d e interés (vea Panorám ica de ne­ gocios 6.3).

E S T R A T E G IA S D E C O B E R T U R A B A S A D A S EN L A D U R A C I Ó N C O N EL U S O D E F U T U R O S Cbnsidere una situación e n la q u e se c u b re una posición e n un activo dependiente d e tasas de inte­ rés, com o una cartera d e bonos o un título d e l m ercado d e dinero, utilizando un contrato de futuros sabre tasas de interés.

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143

Futuros sobre tasas d e interés

P a n o r á m ic a d e n e g o c io s 6 .3

A dm inistración de activ o s y pasivos p o r bancos

En la década d e 1960, las tasas d e interés eran bajas y no m uy volátiles. M uchos bancos a c e p ­ taban depósitos a corto plazo y realizaban préstam os a largo plazo. E n la d é ca d a d e 1970, las ta ­ sas d e interés aum entaron y algunos d e estos bancos descubrieron q u e estaban financiando p ré s­ tam os a largo plazo con intereses bajos, realizados e n la d é ca d a d e 1960, con depósitos a corto plazo relativam ente costosos. E n consecuencia, hubo algunas quiebras bancarias espectaculares (vea P anorám ica de negocios 4.3). A ctualm ente, los com ités d e adm inistración d e activos y pasivos (A L M , p o r sus siglas en inglés) d e bancos vigilan su exp o sició n a las tasas d e interés d e m anera m uy cu id ad o sa. E l c a l­ ce d e las duraciones d e activ o s y pasivos e s un p rim er paso, pero e sto no protege a un banco contra los desplazam ientos no paralelos d e la c u rv a d e rendim iento. U na estrateg ia p o p u lar es la adm inistración d e b rech a s, q u e co n siste e n d iv id ir la c u rv a d e rendim iento cu p ó n c ero en segm entos conocidos co m o p erio d o s. E l prim ero p o d ría ser d e 0 a 1 m es, e l segundo d e 1 a 3 m eses, etc. E ntonces, e l co m ité A L M investiga e l efecto q u e p ro d u ce e l cam b io de las ta sa s c e ­ ro correspondientes a un perio d o , e n tanto q u e las tasas correspondientes a todos los d em ás p e ­ riodos perm anecen iguales, sobre los valores tanto d e activos co m o d e pasivos. Si hay una discordancia, se tom an usualm ente m edidas correctivas. P o r suerte, los bancos tienen hoy m uchas m ás herram ientas para ad m in istrar sus exposiciones a las tasas d e interés q u e las q u e tenían e n la d écad a de 1960. E stas herram ientas incluyen sw aps, F R A s, futuros sobre b o ­ nos, futuros sobre eurodólares y otros derivados d e tasas d e interés.

D efina: F¿

precio del contrato d e futuros sobre tasas de interés

D F: duración d e l activo subyacente al contrato d e futuros al vencim iento d e é ste P: valor a plazo d e la c artera q u e se c u b re a l vencim iento d e la cobertura. En la práctica, g e ­ neralm ente se asu m e q u e e ste v alor e s igual al valor de la cartera actual. D p \ duración d e la c artera al vencim iento d e la cobertura. Si asum im os que e l cam bio en e l rendim iento. Ay, e s igual para todos los vencim ientos, lo que sig ­ nifica q u e únicam ente pueden ocurrir desplazam ientos paralelos d e la cu rv a de rendim iento, es aproxim adam ente cierto que A F = —P D p A v Tam bién e s aproxim adam ente cierto que A Fc = —F( D p A y Por lo tanto, e l núm ero d e contratos requeridos para cu b rir contra un Ay incierto se obtiene p o r m e­ dio d e

F 0. De otro m odo, una inversión libre d e riesgo no p roporcionaría ventajas sobre el efectiv o . (D e hecho, si r < 0 , e l efectivo sería preferible a una inversión libre d e riesgo).

9.3

L ÍM IT E S S U P E R IO R E S E IN F E R IO R E S D E L O S P R E C IO S D E O P C I O N E S En e sta sección determ inam os los límites superiores e inferiores de los precios d e las opciones. E s­ tos límites no dependen d e ningún supuesto específico sobre los factores m encionados e n la sec ­ ción 9.2 (excepto r > 0). Si e l precio de una o p ció n e stá por arriba del lím ite superior o p o r debajo del lím ite inferior, hay oportunidades rentables para los arbitrajistas.

Límites superiores U na o pción d e co m p ra am ericana o eu ro p ea o to rg a al ten ed o r e l derecho a co m p rar una acció n d e una em p resa a un precio determ inado. Sin im portar lo que suceda, la o p ció n no puede v a ler más

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214

CAPÍTULO 9 que la acción. P o r consiguiente, e l precio d e la acción e s un lím ite superior para e l precio de la o p ­ ción: c ^ S Q y C ^ S0 Si estas relaciones no fueran ciertas, un arbitrajista p o d ría o b ten er fácilm ente una utilidad libre d e riesgo a l com prar la acción y vender la o p ció n d e com pra. U na opción de venta am ericana o eu ro p ea o to rg a al ten ed o r e l derecho a vender una acción de una em p resa e n K. No im porta q u é tanto dism inuya e l precio de la acción, la o p ció n no puede valer m ás q u e K. Por consiguiente, p ^ K y P *£ K En e l caso d e las opciones eu ro p eas, sabem os q u e , a su vencim iento, la o p ció n no p u ed e v aler más que K . Se deduce q u e no puede v a ler m ás q u e el valor presente d e K al d ía d e hoy: p ^ K e~rT Si esto no fuera cierto, u n a arbitrajista p o d ría obtener u n a utilidad libre d e riesgo al suscribir la o p ­ ción e invertir el producto de la v enta a la ta s a d e interés libre d e riesgo.

Límite inferior de opciones de com pra sobre acciones que no pagan dividendos Un lím ite inferior para e l precio d e una o p ció n d e com pra eu ro p ea sobre una acción q u e no paga dividendos es s0 - K e~*

Prim ero analizam os un ejem plo num érico y d esp u és consideram os un argum ento m ás form al. E n e l ejem plo 9.1, S0 = 2 0 dó lares, K = 18 dólares, r = 10% an u al y T = 1 año, d e ta l m ane­ ra q u e S0 - K e ~ rJ = 20 -

18e- ( u = 3.71

o $3.71. E l precio d e la o p ció n d e co m p ra eu ro p ea e s d e $3.00, q u e e s m enor q u e e l m ínim o teóri­ co d e $3.71. Un arbitrajista p u ed e vender e n corto la acció n y ad q u irir la o p ció n de c o m p ra para Ejemplo 9.1

Precio d e una o p ció n d e co m p ra dem asiado bajo

U na opción de co m p ra eu ro p ea sobre una acció n q u e no p a g a dividendos con un precio d e e jer­ cicio d e $18 y una fecha d e vencim iento en un año c u esta $3. E l precio de la acción e s de $20 y la ta sa d e interés libre d e riesgo es de 10% anual. A cción a seguir ahora Cbm prar la o pción e n $3 \fender e n corto la acció n para o b ten er $20 Invertir $ 17 durante 1 año Acción a seguir e n un año Si S T > 18: Ejercer la o pción para co m p rar la acción e n $ 18 Usar la acción para cerrar la posición c o rta R ecibir $ 18.79 d e la inversión G anancia neta = $0.79

Si S T < 18: C om prar la acción para S T U sar la acción para cerrar la posición corta R ecibir $18.79 de la invereión G anancia neta = 18.79 - S T ( > $0.79)

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215

Propiedades de las opciones sobre a cciones

que le proporcione una en trad a d e efectivo d e $20.00 - $3.00 = $17.00. Si se invierten durante un año a 10% anual, los $17.00 aum entan a \ l e 0A = $18.79. Al final d e l añ o , la o p ció n vence. Si el precio d e la a c c io n e s m ayor a $18.00, el arbitrajista ejerce la opción e n $18.00, cierra la posición corta y obtiene una utilidad d e $18.79 - $18.00 = $0.79 Si e l precio d e la acció n es m enor a $18.00, la a cc ió n se com pra e n e l m ercado y se cierra la posi­ ción co rta. E ntonces, e l arbitrajista o b tien e una utilidad to d a v ía m ayor. P o r ejem plo, si e l precio d e la acción e s d e $17.00, la utilidad del arbitrajista es $18.79 - $ 1 7 . 0 0 = $1.79 Para un argum ento m ás form al, consideram os las dos carteras siguientes: Cartera A: una o p ció n d e co m p ra e u ro p e a m ás un m onto d e efectivo igual a K e ~ rT Cartera B : una acción En la cartera A , si se invierte el efectivo a la tasa d e interés libre d e riesgo au m entará a K en e l tie m ­ po T. S i S T > K, la o p ció n d e co m p ra se ejerce a l vencim iento y la c artera A vale S r Si S T < K, la opción de com pra vence sin v alor y la cartera vale K. P o r consiguiente, en e l tiem po T , el valor d e la c artera A es m áx(S7, K) La cartera B v a le S T en e l tiem po T. Por lo tan to , la cartera A vale tanto co m o la c artera B, y p u e ­ de valer m ás que ésta a l vencim iento d e la opción. Se d ed u ce q u e, al no haber oportunidades d e arbitraje, esto tam bién debe ser cierto hoy. Por consiguiente, c + K e - rT^ S 0 o c » S 0 - K e ~ ,T Com o lo peor q u e puede o cu rririe a u n a o p ció n de co m p ra es que v e n za sin valor, su valor no p u e ­ de ser negativo. E sto significa que c 2* 0 y, p o r lo tan to , c 2* raáx(SQ - K e~ rT, 0 )

(9.1)

El ejem plo 9.2 proporciona una aplicación d e e sta fórmula.

te m p lo 9.2

Lím ite inferior d e una o p ció n d e co m p ra

C bnsidere una o pció n d e co m p ra eu ro p ea sobre una acció n q u e no p a g a dividendos cu an d o el precio d e la acción es d e $51, e l precio d e ejercicio es d e $ 5 0 , e l tiem po a l vencim iento e s d e seis m eses y la ta sa d e interés libre d e riesgo es de 12% anual. E n e ste caso , S0 = 51, AT = 50, T = 0.5 y r = 0.12. Con base e n la ecu ació n (9.1), un lím ite inferior para e l precio d e la opción es S0 - K e~ rT, o 51 - 50 e ~O A 2 x ° 5 = $3.91 V

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CAPÍTULO 9

Límite inferior de opciones de venta sobre acciones que no pagan dividendos En e l caso de una o pción de v enta eu ro p ea sobre u n a acció n q u e no paga dividendos, un lím ite in­ ferior para e l precio es K e~ ,T - S0 Ete nuevo, consideram os prim ero un ejem plo num érico y d esp u és analizam os un argum ento más form al. E n e l ejem plo 9.3, S0 = $37, K = $40, r = 5% an u al y T = 0 .5 años, de tal m anera q u e K e~ rT - S0 = 40 K {). A cam bio de renunciar al potencial d e utilidades crecientes, e l inversionista obtiene e l precio de la o p ció n con un precio d e ejercicio K 2. S e distinguen tres tipos d e b ull sp re a d : 1. Ambas opciones de co m p ra están inicialm ente o u t o f th e money. 2. U na opción d e co m p ra e stá inicialm ente in th e m oney; la o tra opción d e co m p ra e stá in i­ cialm ente o u t o f the money. 3. Ambas opciones d e co m p ra están inicialm ente in the money.

Ta b la 10 .1

Beneficio d e un bull sp re a d creado con opciones d e co m p ra

0

0

0

St - K i St ~ K i

0

St - K \ K2- K \

*

S T < K\ A

Beneficio d e la posición larga en im a opción de com pra

A

Lím ite d e precio de la acción

Sr ^ K 2

| E jem p lo 1 0 .1

Beneficio d e la p o sició n corta e n una opción d e com pra

K2 - S t

Beneficio to ta l

B ull sp re a d utilizando opciones d e co m p ra i

Un inversionista adquiere una o p ció n de c o m p ra en $3 con un precio d e ejercicio de $30 y v e n ­ de una opción de co m p ra e n $1 con un precio de ejercicio d e $35. El beneficio d e e sta e strate ­ gia de bull sp re a d es de $5 si e l precio d e la acción e s m ayor a $35, y d e cero si e s m enor a $30. Si el precio d e la acción e s tá e n tre $30 y $35, e l beneficio es el m onto e n que e l precio d e la acción excede a $30. E l costo d e la estrateg ia e s d e $3 - $1 = $2. Por lo tanto, las utilidades son las siguientes: __________________________________________ Lím ite d e p recio de la acción

U tilidades

S T < 30 30 < S r < 35 ^ 35

-2 S T - 32 +3

V

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Estrategias d e negociación q u e incluyen opciones

F ig u r a 1 0 . 3

233

Utilidades d e un bull sp re a d creado utilizando opciones d e v enta

Los bull sp re a d más agresivos son los d e l tipo 1. C u esta m uy poco establecerlos y hay una p e ­ queña probabilidad d e que proporcionen un beneficio relativam ente alto ( = K 2 - K {). A m edida que pasam os del tipo 1 a l tipo 2 y del tipo 2 al tip o 3, los sp rea d se vuelven m ás conservadores. Se crean tam b ién bull sp re a d com prando u n a opción d e v enta con un precio de ejercicio bajo y vendiendo una o pció n de venta con un precio d e ejercicio alto , co m o se ilustra en la figura 10.3. A diferencia d e l bull sp re a d creado a partir d e opciones d e co m p ra, los bull sp rea d creados a p a r­ tir d e opciones de venta im plican para e l inversionista un flujo de efectivo positivo por adelantado (ignorando los requisitos d e m argen) y un pago negativo o igual a cero.

Diferencial bajista (bear spread) Un inversionista que participa en un bull spread espera q u e aum ente el precio de la acción. E n contras­ te, un inversionista q u e participa en un bear spread espera q u e el precio d e la acción disminuya. Los bear spread se crean com prando una opción d e venta con un precio de ejercicio y vendiendo una o p ­ ción d e venta con otro precio d e ejercicio. El precio de ejercicio de la opción com prada es m ayor que el precio d e ejercicio de la opción vendida. (Esto contrasta con un bull spread e n el q u e el precio de ejercicio d e la opción com prada siem pre es m enor q u e el precio d e ejercicio de la opción vendida). En

F ig u r a 1 0 .4

Utilidades d e un bear sp rea d creado con el uso d e opciones d e v enta

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234

CAPÍTULO 10

Beneficio d e un bear sp re a d creado con opciones d e v enta

ST ^ K i K\ < ST < K 2

K2- S

t

K2 - S

t

0

St ^ K 2

í Ejem plo 1 0 .2

Beneficio total

|

Límite d e precio de la acción

Beneficio d e la posición corta e n una opción de venta ¡P

Beneficio d e la posición larga e n una opción de venta

K2- K X

O O

Ta b la 1 0 .2

K2 - St

0

B ear sp re a d utilizando opciones de v enta

Ì

Un inversionista co m p ra una opción de venta en $3 con un precio de ejercicio d e $35, y v en d e una opción d e venta en $1 con un precio d e ejercicio d e $30. El beneficio d e e sta estrategia de bear sp re a d es de cero si el precio d e la acción e s m ayor a $35, y de $5 si e s m enor a $30. Si e l precio d e la acción e stá entre $30 y $35, e l beneficio e s 35 - S T L as opciones cuestan $3 - $1 = $2 por adelantado. P o r lo tan to , las utilidades son las siguientes: Límite d e precio d e la acción S , ^ 30 30 < S T < 35 ST > 35

U tilidades +3 33 - S t -2

la figura 10.4, las utilidades del spread se muestran mediante la línea continua. Un bear spread creado a partir de opciones d e venta im plica una salida d e efectivo inicial debido a q u e el precio d e la opción de venta vendida es m enor que el precio d e la opción de venta com prada. Básicam ente, el inversionis­ ta com pró una opción d e venta con cierto precio de ejercicio y decidió renunciar a parte del potencial de utilidades al vender una opción de venta con un precio de ejercicio m ás bajo. A cam bio de renun­ ciar a las utilidades, el inversionista obtiene el precio d e la opción vendida. A sum a q u e los precios d e ejercicio son K { y K 2, c o n < K2. L a tabla 10.2 m uestra el b en efi­ cio q u e se obtendrá d e un bear sp re a d en diferentes circunstancias. Si e l precio d e la acción e s mayor q u e K 2, e l beneficio e s d e cero. Si e l precio d e la acción e s m enor q u e AT,, e l beneficio es

F ig u ra 1 0 .5

U tilidades de un bear sp rea d creado utilizando opciones de co m p ra

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Estrategias d e negociación q u e incluyen opciones

T a b la 1 0 .3

Beneficio de un box sp rea d

Límite d e precio de la acción

A

ST < A

235

St > K 2

Beneficio d e l bull spread con opciones d e com pra

Beneficio d e l bear spread con opciones de venta

0

* 2 - K

St - K i K2 - K \

i

K i — ST 0

Beneficio to ta l K2 - K \ k2- k i k2- k ]

K 2 — K x. Si el precio d e la acción está entre K { y K2, el beneficio es K2 ~ S r Las utilidades se calcu­ lan restando el costo inicial al beneficio. El ejem plo 10.2 proporciona una ilustración num érica. Al igual q u e los bull sp rea d , los b ear sp rea d lim itan tanto el potencial d e utilidades crecientes com o el riesgo d e dism inución d e valor. L os bear sp re a d se crean usando opciones de co m p ra en vez de opciones de venta. E l inversionista adquiere u n a opción d e co m p ra con un precio d e e jerci­ cio alto y vende una opción d e co m p ra con un precio d e ejercicio bajo, co m o se ilu stra e n la fig u ­ ra 10.5. Los bear sp re a d creados con opciones d e co m p ra im plican una entrada d e efectivo inicial (ignorando los requisitos de m argen).

Box spread Un box spread e s una com binación de un bull spread con opciones d e com pra, con precios d e ejercicio K { y K2, y un bear spread con opciones de venta, con los mismos precios d e ejercicio. Com o muestra la tabla 10.3, e l beneficio d e un b o x spread es siempre K2 — K y Por lo tanto, el valor d e un b o x spread es siempre el valor presente d e este beneficio, o (K2 - K {)e~rT. Si tiene un valor diferente, hay una opor­ tunidad de arbitraje. Si el precio de mercado del b o x spread es dem asiado bajo, es rentable com prar el box. Esto im plica adquirir una opción de com pra con un precio d e ejercicio K {, com prar una opción de venta con un precio de ejercicio K2, vender una opción de com pra con un precio d e ejercicio K 2, y ven­ der una opción d e venta con un precio d e ejercicio K {. Si e l precio d e mercado del b o x spread e s dem a­ siado alto, es rentable vender el box. Esto im plica adquirir una opción de com pra con un precio de ejer­ cicio K2, com prar una opción de venta con un precio de ejercicio A',, vender una opción de com pra con un precio d e ejercicio K { y vender una opción de venta con un precio de ejercicio K2. Es im portante o b serv ar que un arb itraje d e box sp re a d rólo funciona c o n opciones europeas. Casi todas las opciones q u e se negocian en bolsas son am ericanas. C om o se m uestra e n la P an o rá­ m ica d e negocios 10. 1, los negociantes inexpertos q u e tratan las opciones am ericanas co m o e u ro ­ peas son propensos a perder dinero.

Diferencial m ariposa (butterfly spread) Un butterfly spread im plica posiciones en opciones con tres diferentes precios d e ejercicio. Se c re a m ediante la adquisición d e una opción de com pra con un precio de ejercicio relativam ente bajo, K {, la adquisición de una opción d e co m p ra con precio de ejercicio relativam ente a lto , K3, y la v enta d e dos opciones d e co m p ra con un precio de ejercicio, Kv e s decir, e n tre K x y Ky E n gen eral, K 2 se aproxim a al precio actual d e la acción. La figura 10.6 m uestra e l patrón de utilidades de esta e stra ­ tegia. Un butterfly sp rea d genera una utilidad si e l precio d e la acción perm anece cercano a K v p e ­ ro d a lugar a una pequeña pérdida si el precio d e la acción varía d e m anera significativa e n cualquier dirección. P o r lo tan to , es una estrategia adecuada para un inversionista que considera poco p ro b a­ ble que ocurran grandes variaciones e n e l precio d e la acción. E sta estrategia requiere u n a pequeña inversión inicial. L a ta b la 10.4 m uestra el beneficio d e un butterfly spread.

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CAPÍTULO 10

P a n o rá m ic a d e n e g o c io s 10.1

P é rd id a m o n e ta r ia c o n b o x s p r e a d s

Suponga q u e u n a acción tiene un precio d e $50 y una volatilidad d e 30% . N o se esperan d iv i­ dendos y la ta sa d e interés libre d e riesgo e s d e 8%. Un negociante le ofrece la o p o rtu n id ad d e vender e n la C B O E un box sp rea d a dos m eses, e n $5.10, e n e l q u e los precios d e ejercicio son de $55 y $60. ¿D ebe realizar la transacción? G e rta m en te , la transacción parece atractiva. E n e s te c a so , K { = 5 5 , K2 = 60 y e l pago se ­ rá d e $5 e n d o s m eses. Al vender e l b o x sp re a d en $5.10 e invertir los fondos d u ran te d o s m e­ ses, tendrá fondos m ás q u e suficientes para cu m p lir con e l pago d e $5 en d o s m eses. El v alor teórico d e l box spread el día de hoy e s d e 5 X ¿ - ° 08x 2/i 2 = $4 93 ítor desgracia, hay un inconveniente. Las opciones sobre acciones negociadas e n la C B O E son am ericanas y e l pago d e $5 d e l b o x sp re a d se calcu la bajo e l supuesto d e q u e las opciones que integran e l box son europeas. La tabla siguiente m uestra los precios d e las opciones d e e ste ejem plo (calculados con e l softw are D erivaG em ). Un bull sp re a d con opciones d e co m p ra e n el que los precios d e ejercicio son d e $55 y $60 cu esta 0 .9 6 - 0.26 = $0.70. (E ste co sto e s e l m is­ mo para las opciones europeas y am ericanas poique, co m o vim os e n el capítulo 9 , e l precio d e una opción d e co m p ra eu ro p ea es igual a l precio de una o p ció n d e co m p ra am ericana cuando no hay dividendos). Un bear sp re a d con opciones de venta, que tiene los m ism os precios de e je r­ cicio, c u esta 9 .4 6 - 5.23 = $4.23 si las opciones son eu ro p eas, y 10.00 - 5.44 = $4.56 si son am ericanas. El valor com binado d e am b o s spread si se crean con opciones europeas e s de 0.70 + 4.23 = $4.93. É ste e s el precio teórico d e l box sp re a d calculado arriba. El valor com binado d e co m p rar am bos spread si se crean c o n opciones am ericanas e s d e 0 .7 0 + 4.56 = $5.26. L a venta de un box spread creado con opciones am ericanas en $5.10 no sería una buena tra n sac ­ ción. U sted se d a ría c u en ta d e esto casi inm ediatam ente ya q u e la transacción im plica la v enta d e una opción d e v e n ta c o n un precio d e ejercicio d e $60, ¡y é s ta se ejercería co n tra usted casi tan pronto com o la vendiera! Tipo de opción O pción O pción O pción O pción

de de de de

P recio de ejercicio

co m p ra co m p ra venta venta

60 55 60 55

P recio d e una o p ció n europea

Precio d e una opción am ericana

0.26 0.96 9.46 5.23

0.26 0.96 10.00 5.44

Suponga q u e cierta acción vale actualm ente $61 y q u e un inversionista considera poco p ro b a­ ble que o c u rra u n a variación d e precio significativa e n los seis m eses siguientes. Suponga que los precios d e m ercado d e las opciones de co m p ra a seis m eses son los siguientes:

Precio d e ejercicio ($) 55 60 65

Precio d e la o p ció n d e com pra ($) 10

7 5

E inversionista podría c re ar un butterfly sp rea d al adquirir una opción de com pra con un precio de ejercicio d e $55, adquirir una opción d e com pra con un precio d e ejercicio d e $65, y vender dos o p ­ ciones d e co m p ra c o n un precio d e ejercicio d e $60. El costo de crear e l spread es d e $10 + $5 (2 X $7) = $1. Si e l precio de la acción e n seis m eses e s m ayor a $65 o m enor a $55, e l beneficio

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237

Estrategias d e negociación q u e incluyen opciones

F ig u r a 1 0 .6

Utilidades d e un butterfly sp re a d utilizando opciones d e co m p ra

total e s d e cero y e l inversionista incurre e n una pérdida neta d e $1. Si el precio d e la acción e stá entre $56 y $ 6 4 , o b tien e u n a utilidad. La utilidad m áxim a, $ 4 , ocurre cuando e l precio d e la acción en seis m eses es de $60. Un butterfly sp re a d se puede c re ar usando opciones d e venta. E l inversionista co m p ra u n a o p ­ ción de venta con un precio d e ejercicio bajo y u n a opción d e v enta c o n un precio d e ejercicio a l­ to, y vende d o s opciones de v enta con un precio d e ejercicio interm edio, co m o se m uestra en la fi­ gura 10.7. El butterfly sp rea d del ejem plo q u e acabam os d e considerar, se podría c re ar com prando una opción d e venta c o n un precio d e ejercicio d e $55, la co m p ra de una opción d e venta c o n un precio d e ejercicio d e $65 y la venta d e dos opciones de venta con un precio de ejercicio d e $60. Si todas las opciones son europeas, e l uso d e opciones d e venta d a lugar ex actam en te a l m ism o spread que e l uso de opciones de com pra. La paridad e n tre opciones d e v enta y d e co m p ra se usa para m os­ trar q u e la inversión inicial e s la m ism a e n am bos casos. Un butterfly sp re a d puede venderse o venderse e n corto siguiendo la estrategia contraria. Las opciones se venden con precios d e ejercicio d e K x y K3 y se com pran dos opciones con e l precio de ejercicio interm edio, K 2. E sta estrateg ia produce una utilidad m oderada si hay una variación signi­ ficativa en el precio d e la acción.

Diferencial calendario (C alendar spread) H asta ahora hem os considerado que todas las opciones usadas para crear un sp rea d vencen a l m is­ mo tiem po. A quí abordarem os los calendar sp rea d en los q u e las opciones tien en e l mismo precio de ejercicio, pero diferentes fechas d e vencim iento.

T a b la 1 0 . 4

B eneficio de un butterfly sp rea d

Límite de precio de la acción S T < K\ K\ < ST < K 2 K 2 < S j < K\ ST > K 3

B eneficio d e la posición larga en la prim era opción d e com pra 0 St ~ K \ St - K \ St - K i

Beneficio de la posición Beneficio d e las larga e n la segunda p osiciones co rta s en o p ció n d e com pra las opciones de com pra 0 0 0 St - K í

♦ E sto s b e n e f ic io s s e c a lc u l a n u s a n d o la r e la c ió n K 2 = 0 . 5 ( t f , + K f ) .

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0 0 - 2 ( S r - K 2) - 2 ( ST - K 2)

Beneficio to ta l * 0 S T ~ K\ K$ — S t 0

CAPÍTULO 10

238

F ig u ra 1 0 .7

U tilidades de un butterfly sp re a d utilizando opciones de venta

Un ca len d a r sp re a d se crea al v en d er u n a opción d e c o m p ra con un precio d e ejercicio d e te r­ m inado y a d q u irir u n a opción d e c o m p ra d e m ay o r v encim iento, c o n e l m ism o precio d e e je rc i­ cio. En g en eral, cuanto m ayor e s e l vencim iento d e una o p c ió n , m ás co sto sa es. P o r lo tan to , un calendar sp re a d requiere usualm ente u n a inversión inicial. Por lo co m ú n , se crean d iag ram as d e utilidades para los calendar sp re a d , d e m odo que m uestren las utilidades cu an d o vence la o p ció n de vencim iento corto bajo e l supuesto d e que e n e se m om ento se v en d e la o p ció n d e vencim iento largo. L a figura 10.8 m uestra e l patrón d e utilidades para un calendar sp re a d creado a p a rtir de opciones d e com pra. El patrón e s sim ilar a las utilidades d e l butterfly sp re a d de la fig u ra 10.6. El inversionista o b tiene una utilidad si el precio d e la acció n cuando vence la opción de v en cim ien ­ to c o rto e s cercan o a l precio d e ejercicio d e e s ta opción. Sin em b arg o , se incurre e n una p érd id a cuando el precio d e la acción e s significativam ente m ayor o m enor que e ste precio d e ejercicio.

F ig u ra 1 0 . 8

U tilidades d e un calendar sp rea d creado utilizando dos opciones d e co m p ra

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Estrategias d e negociación q u e incluyen opciones

F ig u r a 1 0 . 9

239

Utilidades d e un calendar sp re a d creado utilizando dos opciones de venta

Para en ten d er el patrón de utilidades d e un calendar sp rea d , co n sid ere antes lo q u e o c u rre si el precio d e la acción es m uy bajo cuando vence la opción d e vencim iento corto. El valor d e esta o p ­ ción e s nulo y e l d e la opción de vencim iento largo e s cercano a cero. Por lo tanto, el inversionista incurre e n una pérdida cercana a l costo del establecim iento inicial d e l spread. D espués, considere lo q u e sucede si el precio de la acción, S r e s muy alto cuando v en ce la opción d e vencim iento c o r­ to. E sta opción cuesta al inversionista S T - K , y e l v alor d e la opción de vencim iento largo e s un poco m ayor q u e S T - K, d o n d e K es el precio d e ejercicio d e las opciones. De nuevo, e l inversio­ nista tiene una pérdida n e ta que e s cercan a al costo del establecim iento inicial d e l spread. Si S T e s cercano a K , la opción d e vencim iento corto cu esta al inversionista una pequeña cantidad o a b so lu ­ tam ente nada. No obstante, la opción de vencim iento largo es a ú n m uy valiosa. E n e ste caso se o b ­ tiene u n a utilidad neta significativa. E n un neutral calendar sp re a d se elige un precio de ejercicio cercano a l precio actual de la a c ­ ción. Un bullish calendar sp re a d im plica un precio de ejercicio más alto , e n tanto que un bearish calendar spread conlleva un precio d e ejercicio m ás bajo. Los calendar sp rea d se crean tanto con opciones d e venta co m o c o n opciones de co m p ra. El inversionista co m p ra una opción de venta de vencim iento largo y vende una opción d e v enta d e v e n ­ cim iento corto. C om o m uestra la figura 10.9, e l patrón d e utilidades e s sim ilar al q u e se obtiene con el uso d e opciones d e com pra. Un reverse calendar sp rea d es lo contrario al d e las figuras 10.8 y 10.9. El inversionista c o m ­ pra una opción d e vencim iento corto y vende una opción d e vencim iento largo. S e g e n era una p e ­ queña utilidad si e l precio de la acción cuando vence la o p ció n d e vencim iento corto es m ucho más alto o m ucho m ás bajo q u e el precio de ejercicio d e la opción d e vencim iento corto. Sin em bargo, ocurre una pérdida significativa si el precio de la acción e s cercano al precio de ejercicio.

Diferencial diagonal (D ia go n al spreads) Los bully bear, y calendar spreads se crean a partir de una posición larga en una opción de com pra y una posición c o rta e n o tra opción de com pra. En e l caso de los bull y bear spreads, las opciones de com pra tienen diferentes precios de ejercicio, pero la m ism a fecha d e vencim iento. En e l caso d e los calendar spread , las opciones d e co m p ra tienen e l m ism o precio d e ejercicio y diferentes fechas de vencim iento. E n un diagonal sp rea d difieren tanto la fecha d e vencim iento com o e l precio de e jer­ cicio d e las opciones d e com pra. Esto aum enta la variedad d e los patrones de utilidades posibles.

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CAPÍTULO 10

240

Ta b la 1 0 .5

Beneficio d e un straddle

Lím ite d e precio de la acción

Beneficio d e la opción de com pra 0 ST - K

ST ^ K Sf > K

Beneficio d e la opción d e venta K - S t 0

Beneficio total K - S t Sr - K

10.3 C O M B I N A C I O N E S U na com binación es u n a estrategia de negociación de opciones q u e co n siste en to m ar una posición en opciones tanto de co m p ra com o de venta sobre la m ism a acción. C onsiderarem os los straddles, strips, straps y strangles.

C o n o (straddle) U na com binación popular e s un straddle, q u e co n siste e n adquirir una opción d e co m p ra y una o p ­ ción de venta c o n e l m ism o precio d e ejercicio y fecha d e vencim iento. L a figura 10.10 m uestra el patrón de utilidades. El precio d e ejercicio se in d ica por m edio d e K. Si e l precio d e la acción es cercano a e s te precio de ejercicio a l vencim iento d e las o p cio n es, e l straddle genera una pérdida. No obstante, si hay una variación suficientem ente g ra n d e e n c u alq u ier d irecció n , d a rá lugar a una utilidad significativa. E n la ta b la 10.5 se calcu la el beneficio d e un straddle. Un straddle es adecuado cuando un inversionista e sp e ra una variación im portante e n e l precio de una acción, pero no sabe e n q u é dirección ocurrirá. C onsidere a un inversionista q u e sien te q u e el precio d e una determ inada acció n , valuada e n ese m om ento e n e l m ercado en $ 6 9 , variará signi­ ficativam ente en los tre s m eses siguientes. E l inversionista podría c re ar un straddle al com prar una opción tanto d e venta com o de co m p ra c o n un precio d e ejercicio de $70 y u n a fecha de vencim ien­ to en tres m eses. Suponga que la opción d e co m p ra c u esta $ 4 y la o p ció n d e venta $3. Si e l precio de la acción perm anece e n $69, es fácil ver que la estrategia c u esta al inversionista $6 (se requiere una inversión por adelantado d e $ 7 , la opción d e co m p ra vence sin v alor y la opción de v enta ven­ ce con un valor d e $1). Si e l precio d e la acción au m en ta a $70, se ex p erim en ta una pérdida d e $7 (esto es lo peor que puede ocurrir). Sin em bargo, si e l precio d e la acción sube hasta $ 9 0 , se o b tie ­ ne una utilidad de $13; si el precio de la acción baja a $55, se obtiene una utilidad d e $8, etc. C o-

F ig u ra 1 0 .1 0

U tilidades d e un straddle

i . U tilid a d e s

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Estrategias d e negociación q u e incluyen opciones

P a n o rá m ica d e n e g o c io s 1 0 .2

241

C óm o ganar dinero co n la negociación de s tr a d d le s

Suponga q u e se esp era una im portante variación e n e l precio d e la acció n d e una em p resa d e b i­ do a que hay u n a o fe rta pública d e adquisición sobre la em p resa o q u e e stá a punto de a n u n cia r­ se una im portante d em an d a ju d icial q u e involucra a la em presa. ¿D eb e negociar un stra d d lel U n straddle parece ser una estrategia d e negociación natural en e ste caso. No obstante, si su punto de vista sobre la situación de la em presa es m uy sim ilar a la d e otros participantes del m er­ cado, se reflejará e n los precios d e las opciones. Las opciones sobre la acción serán m ucho más costosas q u e las opciones sobre una acción sim ilar para la q u e no se esp era un alza. El patrón d e utilidades en form a de V del straddle d e la figura 10.10 se habrá desplazado hacia abajo, de modo que se necesita una variación m ayor en el precio d e la acción para que usted obtenga una utilidad. Para q u e un straddle sea una estrategia eficaz, usted debe c re er q u e puede haber v ariacio ­ nes im portantes en e l precio d e la acción y q u e estas creencias d eb en ser diferentes d e la m ay o ­ ría d e los inversionistas. L os precios d e m ercado incorporan las creencias d e los participantes del m ercado. Para g an ar d in ero d e una estrategia d e inversión, usted d e b e adoptar un punto d e vista diferente al del resto del m ercado, ¡y d e b e e sta r e n lo correcto! mo se señala e n la Panorám ica d e negocios 10.2, un inversionista debe co nsiderar cuidadosam ente si el alza que anticipa ya se refleja en los precios de las opciones antes de negociar un straddle. E n o casiones, a l straddle de la figura 10.10 se le conoce co m o bottorn stra d d le o straddle p a r ­ chase. Un top stra d d le o straddle w rite es la posición contraria. É ste se c re a al v en d er una opción de co m p ra y u n a opción d e v enta con e l m ism o precio d e ejercicio y fecha d e vencim iento. E s una estrategia m uy riesgosa. Si e l precio d e la acción se ap ro x im a a l precio d e ejercicio e n la fecha d e vencim iento, se genera una utilidad significativa. Sin em bargo, la pérdida q u e surge por u n a varia­ ción im portante e s incalculable.

Bandas (strips) y correas (straps) Un strip consiste en u n a posición larga en u n a opción d e co m p ra y dos opciones de v enta c o n el m ism o precio de ejercicio y fecha d e vencim iento. U n strap consiste e n una posición larga en dos o p ­ ciones d e com pra y una opción de venta, con el m ism o precio de ejercicio y fecha de vencimiento.

Figu ra 10.11

Utilidades d e un strip y d e un strap

S trip

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242

CAPÍTULO 10 La figura 10.11 m uestra los patrones d e utilidades d e los strips y straps. E n un strip , el in v ersio ­ nista ap u esta q u e habrá u n a variación im portante e n e l precio d e la acción y co n sid era q u e e s más probable q u e o c u rra una dism inución q u e un increm ento e n e l precio d e la acción. E n un strap, el inversionista tam bién a p u esta a q u e h ab rá una variación im portante e n el precio de la acció n . No obstante, e n e ste caso , c o n sid e ra que e s m ás p ro b ab le q u e o c u rra un increm ento q u e una d ism in u ­ ción e n el precio d e la acción.

Cunas de las acciones (strangles) En un strangle, llam ado a v eces bottom vertical co m bination, un inversionista co m p ra una o p ció n de venta y u n a opción de co m p ra con la m ism a fecha d e vencim iento y diferentes precios de e jer­ cicio. L a figura 10.12 m uestra el patrón d e utilidades obtenido. E l precio d e ejercicio d e la opción efe co m p ra, K2, es m ás alto que el precio d e ejercicio de la o p ció n d e v en ta, K x. L a ta b la 10.6 calcula la función d e beneficio d e un strangle. Un strangle es una estrategia sim ilar a un straddle. El inversionista apuesta que habrá una im por­ tante variación d e precio, pero no e stá seguro de si será un increm ento o una dism inución. Si com pa­ ramos las figuras 10.12 y 10.10, vemos q u e el precio de la acción debe desplazarse más e n un stran­ gle q u e en un straddle, para q u e el inversionista obtenga una utilidad. Sin embargo, el riesgo d e disminución d e valor e s m enor con un strangle si e l precio d e la acción term ina e n un v alor central. El patrón de utilidades obtenido con un strangle depende de q u é tan próxim os estén los p re ­ cios de ejercicio. C uanto m ás se alejen , m enor será e l riesgo d e dism inución de valor, y m ayor cfcberá ser la variación del precio d e la acción para obtener una utilidad. La venta d e un strangle se conoce e n ocasiones co m o top vertical co m b in a tio n , adecuada p a ­ ra un inversionista q u e sien te poco probable q u e ocurran grandes variaciones e n e l precio d e la a c ­ ción. No o bstante, a l igual q u e con la v enta d e un straddle, é sta es una estrategia riesgosa que im ­ plica una pérdida potencial ilim itada para el inversionista.

U tilidades d e un strangle

F ig u ra 1 0 .1 2

T a b la 1 0 .6

Beneficio d e un strangle

Lím ite d e precio de la acción

Beneficio d e la opción de com pra

S T < K\ K\ < ST < K 2 S t > K2

0 0 St ~ K 2

Beneficio d e la opción d e venta

Beneficio to ta l

K \ — St

K ] — St

0 0

0 —

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S

t

Ki

Estrategias d e negociación q u e incluyen opciones

243

10.4 O T R O S B E N E F IC IO S Este capítulo ha m ostrado sólo algunas form as d e usar opciones para c re ar una relación interesante entre las utilidades y el precio de la acción. Si hubiera opciones europeas q u e vencen en e l tiem po T disponibles con cada precio de ejercicio posible, se p o d ría obtener, e n teoría, cualquier función de beneficio en el tiem po d e T. El ejem plo m ás sencillo d e esto incluye una serie d e biaterfly spread. Recuerde que un biaterfly sp re a d se c re a al com prar opciones con precios de ejercicio K , y K3 y v e n ­ der dos opciones con un precio d e ejercicio K2, d o n d e K¡ < K2 < K3 y K3 - K 2 = K 2 - K x. La figura 10.13 m uestra e l beneficio de un biaterfly spread. El patrón podría describ irse co m o un p i­ co. A m edida q u e K x y K 3 se aproxim an, el pico se hace más pequeño. A través de la com binación acertada d e m uchos picos m uy pequeños, se puede estim ar cualquier función d e beneficio.

RESU M EN M uchas estrategias com unes de negociación incluyen una sola opción y la acción subyacente. Por ejem plo, la suscripción de una opción d e com pra cubierta consiste en com prar la acción y vender una opción d e co m p ra sobre la acción; una opción de venta protectora consiste e n com prar tanto una opción de venta com o la acción. Lo prim ero es sem ejante a vender una opción de venta; lo segundo es igual a adquirir una opción de com pra. Los spread consisten en to m a r u n a posición e n dos o m ás opciones d e co m p ra o una posición en dos o m ás opciones d e venta. Un bull sp rea d se c re a adquiriendo una o p ció n d e co m p ra (o de venta) con un precio de ejercicio bajo y vendiendo una opción d e co m p ra (o d e venta) con un p re ­ cio d e ejercicio alto . Un bear sp rea d se c re a al co m p rar u n a opción d e venta (o d e com pra) con un precio d e ejercicio alto y vender una opción d e v enta (o d e com pra) con un precio d e ejercicio b a ­ jo . Un butterfly sp re a d consiste en adquirir opciones de co m p ra (o d e venta) c o n un precio d e e je r­ cicio bajo y alto y vender dos opciones de co m p ra (de venta) c o n algún precio d e ejercicio in te r­ m edio. Un calendar sp re a d consiste e n vender u n a o p ció n d e com pra (o d e venta) con un tiem po corto a su vencim iento, y adquirir u n a opción de co m p ra (o d e venta) con un tiem po d e v encim ien­ to m ayor. Un diagonal sp rea d consiste en una posición larga e n una opción y u n a posición corta en otra opción, siendo diferentes tanto e l precio de ejercicio com o la fecha de vencim iento. Las com binaciones consisten en to m a r u n a posición e n opciones tanto d e co m p ra co m o d e v e n ­ ta sobre la m ism a acción. U na com binación straddle consiste en to m a r una posición larga e n una opción de com pra, y una posición larga e n una opción d e v enta con el m ism o precio de ejercicio y fecha de vencim iento. Un strip consiste e n una posición larga e n u n a opción d e com pra y e n dos o p ­ ciones d e venta con el m ism o precio d e ejercicio y fecha d e vencim iento. Un strap consiste e n una posición larga e n dos opciones d e com pra y e n una opción de venta con el m ism o precio d e e jerci­ cio y fecha d e vencim iento. Un strangle consiste e n una posición larga en una opción d e co m p ra, y en una opción de venta con diferentes precios d e ejercicio, pero la m ism a fecha de vencim iento.

F ig u r a 1 0 . 1 3

B eneficio d e un butterfly spread

B e n efic io

K X

K2

K2

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244

CAPÍTULO 10 H ay m uchas otras form as de usar opciones para generar beneficios atractivos. No e s sorprendente que la popularidad d e la negociación d e opciones haya aum entado d e m anera co n stan te y siga fa s­ cinando a los inversionistas.

L E C T U R A S C O M P L E M E N T A R IA S B haradw aj, A. y J.B. W iggins. “ Box Spread and P ut-C all P arity Tests for th e S & P Index LEA PS M arkets” , Journal o f D erivatives, 8 ,4 (verano de 2001), pp. 62-71. Chaput, J.S. y L.H. E derington, “O ption Spread and C om bination T rading” , Journal o f D eriva ti­ ves, 10, 4 (verano d e 2003), pp. 70-88. M cM illan, L.G . O ptions a s a Strategic Investm ent, 4a. ed . U pper S addle River, P rentice Hall, 2001. R endlem an, R.J. “C o v ered Call W riting from a n E xpected U tility P erspective” , Journal o f D eriva ­ tives, 8, 3 (prim avera d e 2001), pp. 63-75. R onn, A.G. y E.I. Ronn. “T he B ox-Spread A rbitrage C onditions” , R eview o f F inancial Studies, 2, 1 (1989), pp. 91-108.

Examen (respuestas al final del libro) 10.1. ¿ Q u é es una opción d e v enta protectora? ¿ Q u é posición e n opciones de co m p ra e s e q u iv a ­ lente a una o pción d e v enta protectora? 10.2. Explique dos m aneras de crear un bear spread. 10.3. ¿C uándo e s adecuado para un inversionista com prar un butterfly sp rea d ? 10.4. H ay opciones d e co m p ra sobre u n a acció n c o n precios d e ejercicio d e $15, $17.5 y $ 2 0 , y fechas de vencim iento e n tres m eses. Sus precios son $ 4 , $2 y $0.5, respectivam ente. E x ­ plique cóm o pueden usarse las opciones para c re ar un butterfly spread. Elabore una tabla que m uestre cóm o varían las utilidades con el precio de la acción e n un butterfly spread. 10.5. ¿ Q u é estrateg ia d e negociación c re a un reverse ca len d a r sp re a d ? 10.6. ¿C uál e s la diferen cia e n tre un strangle y un straddle? 10.7. U na o pción de co m p ra con un precio d e ejercicio de $50 cu esta $2. U na opción d e venta con un precio d e ejercicio d e $45 cu esta $3. E x p liq u e cóm o se puede c re ar un strangle con estas d o s opciones. ¿C u ál e s e l patrón d e utilidades del stra n g le?

Preguntas y problem as 10.8. U se la paridad e n tre opciones de venta y d e co m p ra para relacionar la inversión inicial p a ­ ra un bull sp re a d creado utilizando opciones d e co m p ra y la inversión inicial para un bull spread creada m ediante opciones de venta. 10.9. Explique cóm o se p u ed e c re ar un bear sp re a d agresivo utilizando opciones de venta. 10.10. Suponga q u e las opciones d e v enta sobre u n a acción con precios d e ejercicio d e $30 y $35 cuestan $4 y $7, respectivam ente. ¿C óm o pueden u sarse las opciones para c re ar a ) un bull spread y b) un bear s p r e a d l Elabore una ta b la q u e m uestre las utilidades y el beneficio d e am bos spread. 10.11. U se la paridad e n tre opciones de v enta y d e co m p ra para m ostrar q u e e l co sto d e un butterfly sp re a d creado con opciones d e venta europeas e s idéntico a l co sto d e un butterfly spread creado con opciones de co m p ra europeas. 10.12. U na o pción de com pra con un precio d e ejercicio de $60 cu esta $6. U na opción d e venta con e l m ism o precio d e ejercicio y fecha d e vencim iento c u esta $4. E lab o re una tabla q u e

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Estrategias d e negociación q u e incluyen opciones

10.13. 10.14.

10.15. 10.16.

10.17. 10.18.

245

m uestre las utilidades d e un straddle. ¿E n q u é lím ite d e precios d e la acció n e l straddle g e ­ nerada u n a pérdida? Elabore una tabla q u e m uestre e l beneficio d e un buü sp re a d cuando se usan opciones d e venta con precios de ejercicio K x y K2 (K 2 > K {). Un inversionista c re e q u e e l precio d e u n a acción experim entará un a lza im portante, pero no e stá seguro en q u é dirección. Identifique seis estrategias distintas q u e e l inversionista pueda seguir y explique las diferencias e n tre ellas. ¿C óm o se podría c re ar un contrato a plazo sobre u n a acción, c o n un precio d e e n tre g a y fe ­ cha de vencim iento específicos, a p artir d e opciones? “ Un box sprea d incluye cuatro opciones. Dos de ellas se com binan para c re ar una posición larga a plazo y las otras d o s se com binan para c re ar una posición c o rta a p lazo ” . Explique esta afirm ación. ¿C uál e s e l resultado si el precio d e ejercicio d e la opción d e v enta es m ayor que e l precio de ejercicio de la opción de co m p ra en un stra n g lel Un dólar australiano vale actu alm en te $0.64. Un butterfly sp re a d a u n año se establece u san ­ do opciones de co m p ra europeas con precios d e ejercicio d e $ 0 .6 0 , $0.65 y $0.70. Las ta ­ sas d e interés libres d e riesgo e n Estados Unidos d e A m érica y A ustralia son de 5% y 4% , respectivam ente, y la volatilidad del tipo d e cam bio e s de 15%. U se el softw are D erivaG em para calcular e l costo d e establecer la posición e n e l butterfly spread. D em uestre q u e el c o s ­ to e s e l mism o si se usan opciones de v enta europeas en vez d e opciones d e co m p ra e u ro ­ peas.

Preguntas de tarea 10.19. Tres opciones d e venta sobre una acción tienen la m ism a fecha d e vencim iento y precios d e ejercicio d e $55, $60 y $65. Los precios d e m ercado son d e $ 3 , $5 y $ 8 , respectivam ente. Explique cóm o puede crearse un butterfly spread. Elabore una tabla q u e m uestre las u tili­ dades obtenidas d e la estrategia. ¿E n q u é lím ite d e precios d e la acción e l butterfly spread generaría una pérdida? 10.20. Un diagonal sp rea d se c re a adquiriendo una o p ció n de com pra con un precio d e ejercicio K2 y una fecha d e ejercicio T 2 y la v enta de una opción de co m p ra con un precio d e e jerci­ cio y una fecha d e ejercicio T { (T2 > T ,). D ibuje un diagram a q u e m uestre las utilidades cuando a ) K2 > K x y b) K2 < K x. 10.21. D ibuje un diagram a q u e m uestre có m o varía la utilidad y la pérdida para un inversionista con e l precio final d e la acción d e u n a cartera integrada por: a. U na acción y una posición c o rta e n una opción d e com pra. b. Dos acciones y una posición c o rta e n una o p ció n d e com pra. c. U na acción y una posición c o rta en dos opciones d e com pra. d. U na acción y una posición c o rta e n cu atro opciones d e com pra. En cada c a so , asum a q u e la o p ció n de c o m p ra tiene un precio de ejercicio igual a l precio actual de la acción. 10.22. Suponga q u e e l precio d e una acción que no paga dividendos e s d e $ 3 2 , su volatilidad e s d e 30% y la ta s a de interés libre d e riesgo para todos los vencim ientos e s d e 5% anual. U se el softw are D erivaG em para calcular el co sto de establecer las siguientes posiciones. E n c ad a caso, proporcione una ta b la q u e m uestre la relación e n tre las utilidades y e l precio final d e la acción. Ignore el efecto del descuento. a. Un bull sp rea d que use opciones de co m p ra europeas c o n precios de ejercicio d e $25 y $30, y un vencim iento d e seis m eses. b. Un bear sp rea d que use opciones d e venta europeas con precios de ejercicio d e $25 y $30, y un vencim iento d e seis m eses.

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CAPÍTULO 10 c. Un b u tte r fy sprea d que use opciones d e co m p ra europeas c o n precios d e ejercicio d e $25, $30 y $35, y un vencim iento d e un año. d. Un butterfly sprea d que use opciones d e v enta europeas con precios d e ejercicio d e $25, $30 y $35, y un vencim iento d e un año. e. Un straddle que u se opciones con un precio d e ejercicio d e $30 y un vencim iento de seis meses. f. Un strangle que use opciones c o n precios d e ejercicio d e $25 y $35 y un vencim iento d e seis m eses.

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Introducción a los árboles binomiales U na técnica útil y muy popular para valuar una opción im plica la construcción d e un árbol bin o m ial, el cual consiste e n un diagram a que representa las diversas trayectorias q u e podría seg u ir el precio d e una acción durante la vida de la opción. E n e ste capítulo harem os un análisis inicial d e los árboles binom iales y su relación con un im portante principio conocido com o valuación neutral al riesgo (risk-neutral-valuation). El planteam iento general adoptado a q u í e s sim ilar a l d e un a r­ tículo publicado por C o x , Ross y R ubinstein e n 1979. Se pretende que e l m aterial d e e ste cap ítu lo te n g a un en fo q u e intro d u cto rio . Los p ro c e d i­ m ientos num éricos relacio n ad o s c o n los árboles bin o m iales se an alizan c o n m ás d etalle e n e l c a ­ pítulo 16.

11.1 M O D E L O B I N O M I A L D E U N P A S O Iniciam os considerando una situación m uy sencilla. A ctualm ente, el precio d e u n a acció n e s de $20 y se sabe q u e al térm ino d e tres m eses será d e $22 o d e $18. N os interesa v alu ar una opción d e c o m ­ pra eu ro p ea para co m p rar la acción e n $21 e n tres m eses. E sta opción ten d rá uno de dos valores al final d e los tre s m eses. Si e l precio d e la acció n resu lta ser d e $22, e l v alor d e la opción será d e $ 1; si e l precio d e la acció n resulta ser d e $ 18, e l valor d e la opción será d e cero . La fig u ra 11.1 ilustra esta situación. E n e s te ejem plo se u sa un argum ento relativam ente sencillo para valuar la opción. El único su ­ puesto necesario e s q u e no haya oportunidades d e arb itraje. C ream os una cartera con la acció n y la opción d e m odo q u e no haya incertidum bre sobre el v alor de la c artera al térm ino de los tre s m e­ ses. Entonces argum entam os q u e debido a q u e la cartera no tie n e riesgo, e l rendim iento q u e gana debe ser igual a la tasa d e interés libre d e riesgo. E sto nos perm ite calcu lar el co sto d e la creación de la c artera y, por lo tanto, del precio d e la opción. C om o hay dos títulos (la acció n y la o p ció n so ­ bre la acción) y sólo dos resultados posibles, podem os crear una cartera libre d e riesgo. Piense e n una cartera q u e co n siste e n u n a posición larga e n A acciones y una posición corta en una opción de com pra. C alculam os e l valor d e A que hace a la cartera libre d e riesgo. Si e l precio de la acción sube d e $20 a $22, e l valor de las acciones e s d e 22A y e l valor d e la o p ció n e s igual a 1, de tal m odo que el valor total de la cartera es de 22A - 1. Si el precio d e la acción baja d e $20 a $18, e l valor d e las acciones e s d e 18A y el valor d e la opción e s d e cero , d e m odo q u e e l v alor

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CAPÍTULO 11

F ig u ra 1 1 .1

M ovim ientos del precio d e la acción e n un ejem plo num érico P re c io d e la a c c ió n = $ 2 2

total d e la cartera es d e 18A. L a cartera e stá libre d e riesgo si e l v alor d e A se elige d e ta l m anera que e l valor final de la cartera sea e l mismo para am bas alternativas. Esto significa que 22A -

1 = 18A

o A = 0.25

ftjr lo tan to , una c artera libre d e riesgo es Larga: 0.25 acciones Cbrta: 1 opción Si el precio de la acción sube a $22, el v alor d e la cartera es 2 2 x 0 .2 5 -

1 = 4.5

Si el precio d e la acción baja a $18, e l v alor d e la cartera es 18 x 0 .2 5 = 4 .5

Independientem ente d e si el precio d e la acción sube o b aja, el v alor de la cartera e s siem pre d e 4 .5 al final d e la vida de la opción. Al no haber oportunidades d e arbitraje, las carteras libres d e riesgo d eb en g an ar la ta sa d e in ­ terés libre d e riesgo. Suponga q u e , e n e ste caso , la tasa d e interés libre d e riesgo e s d e 12% anual. Se d educe q u e el valor de la cartera el d ía d e hoy d e b e ser e l v alor presente d e 4 .5 o 4 .5 ^ - ° 12x3/12 = 4 . 3 6 7

Se sabe q u e e l valor d e l precio d e la acció n e l d ía d e hoy e s de $20. Suponga q u e e l precio d e la opción se indica com o f El v alor d e la cartera el d ía de h o y es 20 x 0 .2 5 -

f = 5 - f

Se d educe que 5 - / = 4 .3 6 7

o f = 0 .6 3 3

Esto m uestra q u e, sin oportunidades de arbitraje, e l v alor actual d e la opción d e b e ser d e 0.633. Si d valor de la opción fuera m ayor q u e e sta cifra, la cartera se c re aría a un co sto m enor de 4.367 y ganaría m ás q u e la ta sa d e interés libre de riesgo. Si e l v alor d e la opción fuera m enor d e 0 .6 3 3 , la

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Introducción a los árboles binom iales

venta e n corto de la cartera sería un m odo d e ad q u irir d in ero e n préstam o a una tasa m ás baja q u e la ta s a d e interés libre de riesgo.

U na generalización Podem os g eneralizar e l argum ento que acabam os de presentar si consideram os u n a acció n cuyo precio e s S0 y una opción sobre la acción cuyo precio actual e s f Supongam os q u e la opción tie n e una vida d e T y q u e d u ran te e ste tiem po e l precio d e la acción puede subir d e 5 0 a un nuevo nivel, SQu, o bajar d e SQ a un nuevo nivel, SQd ( u > l ; d < 1). El aum ento proporcional e n e l precio d e la acción cuando hay una variación al a lza e s u - 1; la dism inución proporcional cuando h a y una v a ­ riación a la b a ja e s 1 — d. Si e l precio d e la acción sube a SQu, suponem os q u e el beneficio o b te n i­ do d e la opción e s f u\ si el precio de la acción baja a S0d , suponem os q u e e l beneficio obtenido de la o pción e s /¿. L a fig u ra 11.2 ilu stra e sta situación. Igual q u e antes, im aginem os una cartera q u e consiste en una posición larga e n A acciones y una posición c o rta en una opción. C alculam os e l v alor de A que hace a la c artera libre de riesgo. Si el precio d e la acción sube, e l valor d e la cartera al final de la vida y d e la opción es S 0u A - f , Si e l precio d e la acció n baja, el valor d e la cartera cam b ia a So d A - f , Am bos son iguales si S0u A — f , = S(f dA - f , o ¿ = /" ~ S qU — S()d

( » .i)

En este caso , la cartera e s tá libre d e riesgo y debe g an ar la ta sa d e interés libre d e riesgo. La e c u a ­ ción (11.1) m uestra que A es la relación e n tre e l cam bio e n el precio de la opción y e l cam bio e n el precio d e la acción a m edida q u e nos desplazam os e n tre los nodos e n e l tiem p o T. Si indicam os la ta sa d e interés libre d e riesgo co m o r, el valor presente d e la cartera es (S0» A - Ju)e~rT

F ig u r a 1 1 .2

R ec io s d e la acción y la opción e n un árbol general d e un paso

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CAPÍTULO 11

250

E costo de crear la cartera es S0 A - / Se deduce q u e S„A -

/ = (S o «A -

./ „ I ,“ ' 7'

o / = 5 0A(1 — ue~ rT) + f„ é ~ rT Si esto sustituye a A en la ecuación (11.1) y sim plificam os, podem os reducir e s ta ecuación a f = e - ' T[ p f „ + 0 - p ) f d]

) no es lo óptim o ejercer la opción en la fecha tnA . Del mismo m odo, para c u alq u ier i < n , si

D¡^K(\ —

'•'i+i—'■>)

(12AJ)

no e s lo óptim o ejercer la opción inm ediatam ente antes de la fecha t¡. El ejem plo 12.8 ilu stra e l uso de estos resultados. La desigualdad d e la ecuación (12A .3) e s aproxim adam ente equivalente a D¡ ^ K r(ti+] -

1¡)

Si asum im os q u e K se ap ro x im a m ucho al precio actu al de la acción, e l rendim iento d e dividendos sobre la acción debe aproxim arse o ser m ayor q u e la tasa d e interés libre d e riesgo para q u e la d e ­ sigualdad no se satisfaga. Cbn base e n este análisis podem os concluir que, e n m uchas circunstancias, la fecha m ás p ro ­ bable para e l ejercicio anticipado d e una opción d e co m p ra am ericana es la ú ltim a fecha ex-divicfcndo, tn. A dem ás, si se sostiene la d esig u ald ad d e la ecuación (12A .3) p a ra i = 1, 2,... n - 1, y tam bién se sostiene la desigualdad d e la ecuación (12A .1), entonces podem os ten er la certeza de que e l ejercicio anticipado nunca es lo óptim o.

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Opciones sobre índices bursátiles y divisas Las opciones sobre índices bursátiles y divisas se presentaron e n el capítulo 8. En e ste capítulo las analizam os con m ás detalle, explicam os cóm o funcionan y revisam os algunas form as de usadas. En la segunda m itad del capítulo, los resultados d e valuación se aplican a las opciones europeas sobre una acción que paga un rendim iento d e dividendos conocido. Se argum enta luego q u e tanto los ín ­ dices bursátiles com o las divisas son sim ilares a las acciones que pagan rendim ientos d e dividendos. Esto perm ite q u e los resultados para las opciones sobre una acción que paga un rendim iento d e dividendos tam bién se apliquen a estos tipos d e opciones.

13.1 O P C I O N E S S O B R E I N D I C E S B U R S A T IL E S Varias bolsas negocian opciones sobre índices bursátiles. A lgunos d e los índices vigilan e l m ovi­ m iento del m ercado en general. O tros se basan en e l desem peño d e un secto r específico (p o r e jem ­ plo, tecnología de có m p u to , petróleo y g as, transporte o telecom unicaciones). Entre las opciones sobre índices que se negocian e n la B olsa d e O pciones d e C hicago hay opciones am ericanas y e u ­ ropeas sobre e l índice S & P 100 (O E X y X EO ), opciones europeas sobre e l índice S & P 500 (SPX ), opciones europeas sobre e l Prom edio Industrial Dow Jones (D JX ), y opciones europeas sobre el índice N asdaq 100 (N D X ). E n el capítulo 8 explicam os q u e la C B O E negocia L E APS y opciones flexibles sobre acciones individuales. Incluso ofrece estos productos d e opciones sobre índices. Un contrato d e opción sobre un índice se establece 100 veces sobre e l índice. (O bserve q u e el índice Dow Jones q u e se usa para las opciones sobre índices es 0.01 veces e l ín d ice Dow Jo n es q u e se cotiza usualm ente). L as opciones sobre índices se establecen e n efectivo. E sto significa q u e, al ejercicio de la opción, e l ten ed o r del contrato d e una opción d e co m p ra recibe (5 - K) X 100 en efectivo y e l suscriptor de la opción paga e s te m onto e n efectivo, d o n d e 5 es e l valor d e l ín d ice al cierre d e la negociación d e l d ía d e ejercicio , y K es e l precio d e ejercicio. Del m ism o m odo, e l te ­ nedor d e un contrato d e opción d e venta recibe (K - S) X 100 en efectivo y el suscriptor d e la o p ­ ción paga e ste m onto e n efectivo.

Seguro de cartera Los adm inistradores d e cartera pueden usar opciones sobre índices para lim itar su riesgo d e d is ­ m inución d e valor. Suponga q u e e l valor d e un índice e l d ía d e hoy e s S Q. C onsidere a un ad m in is-

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CAPÍTULO 13 trador a cargo d e u n a c artera bien d iversificada c u y a beta es 1.0. U na b e ta d e 1.0 im plica que los rendim ientos d e la c artera son sim ilares a los del índice. Si asum im os q u e e l rendim iento d e d iv i­ dendos d e la cartera e s igual al rendim iento d e dividendos del índice, podem os esp erar q u e los cam bios porcentuales e n el v alor d e la c artera sean aproxim adam ente iguales a los cam bios e n el valor del índice. C ad a co n trato sobre e l ín d ice S & P 500 se establece sobre e ste índice m ultiplica­ do por 100. Se deduce que el v alor d e la c artera e stá protegida c o n tra la posibilidad d e q u e e l ín ­ dice c aig a p o r debajo d e K si, por c a d a 10050 dólares e n la cartera, e l ad m in istrad o r c o m p ra un contrato de o pción d e venta c o n un precio d e ejercicio K. Suponga que la c artera del adm inistra­ dor vale $500,000 y q u e e l v alor del ín d ice e s d e 1,000. L a c artera vale 500 veces e l índice. E l a d ­ m inistrador puede ob ten er un seguro c o n tra la c aíd a d e l valor d e la cartera por d eb ajo d e $450,000 en los tres m eses siguientes, por m edio de la co m p ra d e cin co contratos d e o p ció n d e venta a tres meses con un precio d e ejercicio d e 900. Para ilustrar cóm o funciona e l seguro, considere u n a situación e n la que e l índice c a e a 880 en tres m eses. La cartera valdrá alrededor d e $440,000. El beneficio de las opciones será de 5 X (900 - 880) X 100 = $10,000, increm entando el valor total d e la cartera hasta e l valor asegurado d e $450,000 (vea e l ejem plo 13.1).

C uando la beta de la cartera no es 1.0 Si la beta de la cartera (/3) no e s 1.0, d eb en com prarse opciones d e v enta /3 por c ad a 100SQ dólares en la cartera, d o n d e S0 es e l valor actual del índice. Suponga q u e la cartera de $500,000 q u e a ca b a ­ mos d e considerar tie n e una beta d e 2.0 en vez de 1.0. C ontinuem os asum iendo q u e e l índice S& P 500 e s d e 1,000. E l núm ero d e opciones d e venta requeridas e s de 500.000 1.000

X

100“

en lugar de las 5 anteriores. Para calcu lar e l precio d e ejercicio adecuado se usa e l m odelo d e valuación d e activos d e c ap i­ tal. Suponga que la ta sa d e interés libre d e riesgo e s de 12%, el rendim iento d e dividendos sobre el índice y la cartera e s d e 4 % y se requiere protección c o n tra una dism inución del valor de la c arte ­ ra por debajo de $450,000 e n los tres m eses siguientes. C on e l m odelo d e valuación de activos d e capital, se asum e q u e e l rendim iento adicional esperado d e u n a cartera sobre la ta sa d e interés libre

T ab la 1 3 .1 C álculo del valor esperado d e u n a cartera cuando el ín d ice e s de 1,040 e n tres meses y /3 = 2.0

\h lo r del índice e n tres meses: R endim iento d e l cam bio d e l índice: D ividendos d e l índice: R endim iento total del índice: Tasa de interés libre d e riesgo: R endim iento adicional del índice sobre la tasa de interés libre de riesgo: R endim iento adicional esperado d e la cartera sobre la tasa de interés libre d e riesgo: R endim iento esperado d e la cartera: D ividendos d e la cartera: A um ento esperado d e l valor d e la cartera: \h lo r esperado de la cartera:

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1,040 40/1,000 o 4 % trim estral 0.25 X 4 = 1% trim estral 4 + 1 = 5% trim estral 0.25 X 12 = 3% trim estral 5 — 3 = 2% trim estral 2 X 2 = 4% trim estral 3 + 4 = 7% trim estral 0.25 X 4 = 1% trim estral 7 - 1 = 6 % trim estral $500,000 X 1.06 = $530,000

297

O pciones sobre índices bursátiles y divisas

T a b la 1 3 .2 Relación entre e l valor del ín d ic e y el valor d e la cartera para u n a p = 2.0 Milor d e l índice en tres m eses

Valor de la cartera e n tres m eses ($)

1,080 1.040 1.000

570,000 530.000 490.000

960 920 880

450.000 410.000 370.000

de riesgo e s igual a beta veces e l rendim iento adicional de la cartera índice sobre la ta sa d e interés libre d e riesgo. El m odelo perm ite calcu lar e l valor esperado d e la cartera para diferentes valores del índice a l térm ino de tres m eses. La tabla 13.1 m uestra los cálculos para el caso e n q u e e l ín d i­ ce sea d e 1,040. E n este caso , el v alor esperado d e la cartera a l final d e los tres m eses e s d e $530,000. Se pueden realizar cálculos sim ilares para otros valores d e l ín d ice al térm ino d e los tres m eses. La ta b la 13.2 m uestra estos resultados. E l precio d e ejercicio de las opciones com pradas debe ser e l nivel d e l índice correspondiente al nivel de protección requerido en la cartera. E n e ste caso, e l nivel de protección es d e $450,000, por lo q u e el precio d e ejercicio correcto d e los 10 c o n ­ tratos d e opción de venta adquiridos es d e 9 6 0 .1 Para ilustrar cóm o funciona e l seguro, considere lo q u e sucede si e l valor d e l índice c ae a 880. Com o se m uestra e n la tabla 13.2, e l valor d e la cartera es aproxim adam ente d e $370,000. Las opciones de venta proporcionan un beneficio d e (960 - 880) X 10 X 100 = $80,000 y é ste es e x ac ­ tam ente e l m onto necesario para increm entar e l valor total d e la posición del adm inistrador d e c a r­ tera de $370,000 al nivel requerido d e $450,000 (vea el ejem plo 13.2).

E je m p lo 1 3 .1

fro tecció n del valor de una cartera q u e refleja el índice S & P 500

Un adm inistrador a cargo d e una cartera con un valor de $500,000 e stá preocupado porque el m er­ cado podría decaer rápidam ente durante los tres meses siguientes y desearía usar opciones sobre índices com o una cobertura contra una dism inución del valor d e la cartera por debajo d e $450,000. Se espera que la cartera refleje fielm ente el índice S & P 500, que es actualm ente d e 1,000. La estrategia E adm inistrador co m p ra cin co contratos d e opción d e venta con un precio d e ejercicio d e 900 sobre e l índice S & P 500. El resultado H índice c ae a 880. E valor d e la cartera d ism inuye a $440,000. Los cinco contratos d e opción de venta proporcionan un beneficio d e $10,000. ^

y

1 A proxim adam ente 1% d e $ 5 0 0 ,0 0 0 , o $ 5 ,0 0 0 , s e o b te n d rá n e n d iv id en d o s d u ra n te lo s tre s m eses sig u ien te s. S i d eseam o s q u e el nivel a s e g u ra d o d e $ 4 5 0 ,0 0 0 in c lu y a lo s div id en d o s, p o d em o s e le g ir u n p re c io d e e je rc ic io co rresp o n d ien te a $445,000 e n v ez d e $ 4 5 0 ,0 0 0 . E ste p re c io d e e je rc ic io e s d e 9 5 5 .

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298

CAPÍTULO 13

Ejemplo 13.2

Protección del valor de una cartera que tiene una beta de 2.0

Un adm inistrador a cargo de u n a cartera con un valor d e $500,000 e stá preocupado porque el m ercado podría decaer rápidam ente d u ran te los tres m eses siguientes y desearía usar opciones sobre índices com o u n a co b ertu ra c o n tra una dism inución del valor d e la cartera por debajo d e $450,000. L a cartera tiene una beta d e 2.0 y e l índice S & P 500 se m antiene e n 1,000. L a ta sa de interés libre d e riesgo es d e 12% an u al y e l rendim iento de dividendos sobre el índice y la cartera es de 4 % anual. La estrategia El adm inistrador co m p ra 10 contratos d e opción d e venta con un precio d e ejercicio d e 960. E l resultado El índice cae a 880. El valor de la cartera d ism in u y e a $370,000. Los cinco contratos de opción d e venta proporcionan un beneficio de $80,000. V_________________________________________________________________________________________ /

Si com param os los ejem plos 13.1 y 13.2, vem os q u e hay dos razones por las q u e el co sto d e la co b ertu ra se increm enta a m edida q u e au m en ta la beta d e u n a cartera. Se requieren más o p c io ­ nes d e venta con un precio d e ejercicio más alto.

13.2 O P C I O N E S S O B R E D IV IS A S Las opciones sobre divisas se negocian principalm ente en el m ercado over-the-counter. La ventaja de e ste m ercado es q u e se pueden realizar grandes transacciones, con precios d e ejercicio, fechas d e vencim iento y otras características “a la m edida” para satisfacer las necesidades d e los tesoreros corporativos. A unque las opciones europeas y am ericanas sobre divisas se negocian e n la B olsa de W o r e s de Filadelfia en Estados U nidos de A m érica, el m ercado d e estas opciones q u e c o tiz a en bolsa es m ucho más pequeño que e l m ercado over-the-counter. Un ejem plo de una opción de co m p ra europea es un contrato que o to rg a al ten ed o r el derecho a com prar un m illón d e euros con dólares estadounidenses a un tipo de cam bio d e 1.2000 dólares e s ­ tadounidenses p o r euro. Si e l tipo d e cam bio real a l vencim iento d e la opción e s de 1.2500, el bene­ ficio es d e 1,000,000 X (1.2500 — 1.2000) = $50,000. Del m ism o m odo, un ejem plo de una opción efe venta eu ro p ea es un contrato que otorga a l tenedor el derecho a vender 10 m illones d e dólares australianos por dólares estadounidenses a un tipo d e cam bio d e 0.7000 dólares estadounidenses por dólar australiano. Si el tipo d e cam bio real a l vencim iento d e la opción e s d e 0.6700, el beneficio es efe 10,000,000 X (0.7000 - 0.6700) = $300,000. fó ra u n a corporación q u e d esea cu b rir una exposición a un tipo d e cam bio, las opciones sobre divisas son u n a alternativa interesante para los contratos a plazo. U na em p resa q u e recibirá libras esterlinas e n una fecha futu ra conocida p u ed e cu b rir su riesgo p o r m edio d e la co m p ra d e opciones de venta sobre libras esterlinas q u e venzan en e sa fecha. L a estrategia g aran tiza q u e e l valor d e la libra esterlin a no será m enor q u e el precio d e ejercicio, e n tanto q u e perm ite a la em p resa benefi­ ciarse d e cualquier variación favorable d e l tipo d e cam bio. Del m ism o m odo, u n a em p resa que d e ­ be pagar libras esterlinas en u n a fecha fu tu ra conocida p u ed e cubrirse adquiriendo opciones de co m p ra sobre libras esterlinas q u e venzan e n e s a fecha. La estrategia garantiza q u e e l co sto de la libra esterlin a no será m ayor d e determ inado m onto, en tanto q u e perm ite a la em p resa benefi­ ciarse de las variaciones favorables del tip o d e cam bio. En tanto que un contrato a plazo garantiza d tipo d e cam bio para una transacción futura, una opción proporciona un tip o de seguro. E ste

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O pciones sobre índices bursátiles y divisas

seguro no es gratuito . No c u esta nada participar e n una transacción a plazo, pero las opciones re ­ quieren el pago d e una p rim a p o r adelantado.

Contratos range-forward Un contrato range-forw ard es una variación de un contrato a plazo están d ar para c u b rir un riesgo cam biario. C onsidere a una em p resa estadounidense q u e sabe que recibirá un m illón de libras e s ­ terlinas e n tres m eses. Suponga q u e el tip o de cam bio a plazo a tres m eses e s d e 1.9200 dólares por libra. L a em p resa po d ría garantizar este tipo de cam bio para los dólares q u e recibe, tom ando una posición corta e n un contrato a plazo para vender un m illón d e libras esterlinas en tres m eses. E s ­ to aseguraría q u e e l m onto recibido por el m illón de libras fuera de $1,920,000. U na alternativa e s co m p rar una opción d e venta eu ro p ea c o n un precio d e ejercicio d e Af, y ven­ der una opción d e co m p ra eu ro p ea c o n un precio d e ejercicio d e K 2>d o n d e K { < 1.9200 < K 2 Esto se conoce com o una posición c o rta en un contrato range-forward. El beneficio d e e s te contrato se m uestra e n la figura 13.1a. E n am bos casos, las opciones se establecen sobre un m illón de libras. Si e l tipo d e cam bio en tres m eses resulta ser m enor q u e AT,, la opción d e venta se e jerce y, en c o n ­ secuencia, la em presa puede vender e l m illón d e libras a un tip o d e cam bio d e AT,. Si e l tipo de c am ­ bio e stá e n tre K x y K2, no se ejerce opción alg u n a y la em presa o b tien e el tipo d e cam bio vigente para e l m illón de libras. Si e l tip o de cam bio es m ayor q u e K 2, la opción d e ventas se e jerce co n tra la em presa, de m odo q u e el m illón d e libras se vende a un tipo de cam bio d e K2. La figura 13.2 m uestra e l tipo d e cam bio obtenido para el m illón d e libras. Si la em p resa supiera q u e d e b e pagar e n vez d e recib ir un m illón de libras e n tres m eses, p o ­ dría vender una opción d e venta europea c o n un precio d e ejercicio d e AT1 y adquirir una opción d e com pra eu ro p ea con un precio d e ejercicio d e K2. Esto se conoce com o una posición larga en un contrato range-forward. El beneficio d e e ste contrato se m uestra e n la figura 13.1b. Si e l tipo de cam bio e n tres m eses resulta ser m enor q u e AT,, la opción de venta se ejerce co n tra la em p resa y, e n consecuencia, é sta com pra el m illón de libras q u e necesita a un tip o de cam bio de AT,. Si el tipo de cam bio e stá entre K { y K 2, ninguna opción se ejerce y la em presa com pra el m illón de libras al ti­ po d e cam bio vigente. El tipo d e cam bio es m ayor q u e K2>la o p ció n d e co m p ra se ejerce y la e m ­ presa puede com prar e l m illón d e libras a un tipo d e cam bio d e K 2. E l tipo d e cam bio pagado por

F ig u r a 1 3 .1 fo rw a rd

Beneficios de: a) una posición c o rta y b) una posición larga e n un co n trato range-

(b)

(a)

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CAPÍTULO 13

300

Figu ra 1 3 .2 Tipo d e cam bio obtenido cuando: a) se to m a una posición corta e n un co n trato m n ­ ge-forw ard para c u b rir una en trad a futura de divisas, o b) se tom a u n a posición larga en un c o n ­ trato m n g e-forw ard para cu b rir una salida futura d e divisas

d m illón d e libras e s igual al recibido p o r e l millón de libras en el ejem plo anterior; esto se m ues­ tra en la figura 13.2. En la práctica, un contrato m nge-forw ard se estab lece de ta l m anera q u e e l precio d e la o p ció n de venta sea igual a l precio de la opción d e com pra. [Esto significa que no cu esta nada establecer un contrato m nge-forw ard, del m ism o m odo q u e no c u esta nada establecer un contrato a plazo re ­ gular]. Suponga q u e am bas tasas d e interés, estadounidense y británica, son d e 5% , d e ta l form a que el tipo d e cam bio spot e s d e 1.9200 (igual que e l tipo d e cam bio a plazo). Suponga adem ás q u e la volatilidad del tipo d e cam bio es d e 14%. Podem os usar el softw are D erivaG em para m ostrar q u e una opción d e venta con un precio de ejercicio de 1.9000 para vender una libra tie n e e l mism o p re ­ cio que u n a opción de co m p ra c o n un precio d e ejercicio de 1.9413 para co m p rar una libra. Ambas opciones valen 0.04338). Si establecem os K { = 1.9000 y K2 = 1.9413, esto d a lugar a un contrato con un costo igual a cero e n nuestro ejem plo. C bnform e los precios d e ejercicio d e las opciones de co m p ra y d e ventas se aproxim an en un contrato range-forw ard, é ste se vuelve un contrato a plazo regular. U na posición c o rta e n un c o n ­ trato m n g e-forw ard se convierte e n una posición corta en un contrato a plazo y u n a posición larga en un contrato m nge-forw ard se convierte en una posición larga e n un contrato a plazo.

13.3 O P C I O N E S S O B R E A C C I O N E S Q U E P A G A N R E N D IM IE N T O S D E D I V I D E N D O S C O N O C I D O S En e s ta sección establecem os una regla sencilla que perm ite q u e los resultados de valuación gene­ rados por opciones europeas sobre u n a acción que no paga dividendos se am plíen para aplicarse a opciones europeas sobre una acción q u e paga un rendim iento d e dividendos conocido. Posterior­ m ente m ostram os cóm o esto nos perm ite generar resultados de valuación para opciones sobre índi­ ces bursátiles y divisas. Los dividendos hacen que los precios d e las acciones dism inuyan en la fecha ex-dividendo e n el monto del pago de dividendos. Por lo tanto, el pago de un rendimiento de dividendos a la tasa q hace

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301

O pciones sobre índices bursátiles y divisas

que la tasa de crecim iento del precio de la acción sea m enor en un monto q de lo q u e sería en caso con­ trario. Si, con un rendim iento d e dividendos d e q , el precio d e la acción aum enta d e SQel d ía de hoy a S 7 e n el tiem po T , entonces, al no haber dividendos aum entaría de SQel d ía d e hoy a S j é lT en el tiem ­ po T. Por otra parte, al no haber dividendos aum entaría de 50e ^ 7 e 1 d ía d e hoy a S T e n el tiem po T. E ste argum ento m uestra q u e obtenem os la m ism a distribución d e probabilidades para e l p re ­ cio d e la acción en el tiem p o T en c ad a uno de los dos casos siguientes: 1. La acción co m ien za en e l precio S Qy proporciona un rendim iento d e dividendos a la ta s a q. 2 . La acción co m ien za e n e l precio SQe ^ r y no paga dividendos. Esto d a lugar a una regla sencilla. Al valuar una opción eu ro p ea que d u ra el tiem p o T sobre una a c ­ ción q u e paga un rendim iento d e dividendos conocido a la ta s a q, reducim os e l precio actual d e la acción d e SQa S ¡ p ^ 7 y después valuam os la o p ció n co m o si la acció n no pagara dividendos.

Límites inferiores de los precios de opciones Com o una prim era aplicación de e s ta regla, consideram os e l problem a d e determ in ar los lím ites d e precio d e una opción europea sobre una acción que paga un rendim iento de dividendos a la tasa q. Si sustituim os 50 por S ^ 7 en la ecuación (9.1), vem os q u e obtenem os un lím ite inferior p a ra el precio d e la opción de com pra eu ro p ea, c , d a d a por c > V " * T - K e - rT

(13.1)

A dem ás podem os dem ostrar esto e n fo rm a d irecta al co nsiderar las dos carteras siguientes: Cartera A: una opción d e co m p ra eu ro p ea m ás un m onto de efectivo igual a Ke~rT Cartera B : e ^ 7 acciones, cuyos dividendos se reinvierten e n acciones adicionales A fin d e ob ten er un lím ite inferior para una o p ció n de venta europea, podem os reem plazar d e m o­ do sim ilar S0 por S ¡ f ^ 7 en la ecuación (9.2) para obtener p > K e~ r7 - S0e~qT

(132 )

Este resultado tam bién puede dem o strarse d irectam ente al co nsiderar las siguientes carteras: Cartera C: una opción d e venta e u ro p e a m ás e ~ qT acciones, cu yo s dividendos se reinvierten en acciones adicionales Cartera D : un m onto de efectivo igual a K e~ rT

Paridad entre opciones de venta y de com pra Si rem plazam os S0 por 5 {p~qT en la ecuación (9.3), obtenem os la paridad e n tre opciones d e venta y d e c o m p ra (put-call p a r ity ) para u n a o p ció n sobre una acción q u e paga un rendim iento d e d iv i­ dendos a la ta s a q: c + K e~rT = p + V

"

(1 3 3 )

Este resultado tam bién puede dem o strarse e n form a d irecta a l considerar las dos carteras sig u ien ­ tes: Cartera A: una opción d e co m p ra eu ro p ea m ás un m onto d e efectivo igual a K e ~ rT Cartera C: una opción d e venta eu ro p ea m ás e ~ qT acciones, cuyos dividendos se reinvierten en acciones adicionales Ambas carteras valen máxCS^ K) e n el tiem p o T. P o r lo tan to , d eb en valer lo mismo hoy y e l resul­ tado de la paridad e n tre opciones d e venta y d e co m p ra d e la ecuación (13.3) e s u n a consecuencia

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CAPÍTULO 13 lógica. En e l caso de las opciones am ericanas, la relación d e paridad e n tre opciones d e venta y d e com pra e s (vea e l problem a 13.12) Sne~'lT - K ^ C - P ^ S 0 - K e~ rT

Fórm ulas de valuación Si reem plazam os S0 p o r en las fórm ulas d e B lack-Scholes, ecuaciones (12.5) y (12.6), obtenemos el precio, c , d e una opción de co m p ra europea y e l precio, p , d e una opción d e venta e u ro ­ pea sobre una acción q u e paga un rendim iento d e dividendos a la ta s a q de la m anera siguiente c = S o e - ^ N t f i ) - K e~ rTN (d 2)

(13.4)

p = K e~ rTN ( —d 2) - S o e ^ N Í - d , )

(13.5)

Puesto q u e

se d educe q u e d { y d 2 re obtienen por m edio d e d l n ( 5 ( ,/ K ) + ( r —j , + c r / 2 ) T O s/T

1

.

In(.50/ K ) + (r — q — a 2/2 ) T o jT

= d, —a / T '

M erton obtuvo estos resultados por prim era vez.2 C om o se analizó e n e l capítulo 12, la palabra di\id e n d o debe definirse, c o n fines de evaluación d e o p cio n es, com o la reducción del precio d e la a c ­ ción e n la fecha ex-dividendo co m o consecuencia d e c u alq u ier dividendo declarado. Si se co n o ce la tasa d e rendim iento d e dividendos, pero no e s constante d u ran te la vida d e la o p ció n , las e cu a ­ ciones (13.4) y (13.5) aun son válidas, siendo q igual a l rendim iento d e dividendos prom edio an u alizado durante la vida d e la opción.

Árboles binom iales En e l caso d e las opciones am ericanas, podem os usar árboles binom iales e n la fo rm a d escrita e n el capítulo 11. C onsidere la situación m ostrada e n la figura 13.3, e n la cual e l precio d e una acción com ienza e n S0 y sube a S0u o baja a S 0d. D efinam os p com o la probabilidad de un aum ento e n un m undo neutral al riesgo. El rendim iento total que proporciona la acción en un m undo neutral al riesdebe ser la ta sa d e interés libre d e riesgo, r. L os dividendos proporcionan un rendim iento igual a q. Por lo tan to , e l rendim iento en fo rm a d e ganancias de capital d e b e ser r — q. E sto significa q u e p debe resolver p S oll

+ ( 1 - p )S 0d = V " “ *’7'

e ^ T- d p = —

(13.6)

(13.7)

Éste e s e l resultado que aparece e n la sección 11.9. 2 Vca R.C. M erto n , “T h e o ry o f R atio n al O p tio n Pricing'*, B e ll Jo u rn a l o f E co n o m ic s a n d M a n a g e m e n t S cien c e, 4 (p rim a w r a d c 1973), pp. 141-83.

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303

O pciones sobre índices bursátiles y divisas

Figura 1 3 . 3 Precio de una acción y precio d e un derivado e n un árbol binom ial d e un paso c u an ­ do la acción paga un dividendo a la ta s a q

C om o se explicó en e l capítulo 11, e l valor de un derivado e n e l tiem po cero es e l beneficio e s ­ perado en un m undo neutral al riesgo descontado a la ta sa d e interés libre de riesgo: / = e ~ " \ P Í , + (1 - P ) fA

(13>8)

Estas fórm ulas se ilustran en e l ejem plo 13.3. Podem os ig u alar la volatilidad d e l precio d e la a c ­ ción e n un árbol d e pasos m últiples al estab lecer u = e S0e ~ 'iT - K e ~ 'r p > K e ~ rT - Sae ~ 'fT La ecuación (13.3), en la q u e q se reem plaza p o r r proporciona e l resultado d e la paridad e n tre o p ­ ciones d e venta y d e co m p ra para opciones sobre divisas: c + K , - ' 1 = p + ST Por últim o, las ecuaciones (13.4) y (13.5) proporcionan las fórm ulas d e valuación para opciones so ­ bre divisas cuan d o q se reem plaza p o r ry. c = S(,e~r,T N(cl¡) - K e~rTN {d2)

(13.9)

p = K e ~ " m - d 2) - Sue - r' TN { - d t )

(13.10)

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CAPÍTULO 13

Ejemplo 1 3 .5

\blatilidad implícita para una opción sobre divisas

C bnsidere una opción de co m p ra europea a cuatro m eses sobre la libra británica. Suponga q u e el tipo de cam bio actual e s de 1.6000, e l precio d e ejercicio es d e 1.6000, la ta sa d e interés libre de riesgo en Estados U nidos d e A m érica es de 8% an u al, la ta sa d e interés libre d e riesgo en G ran B retaña e s d e 11% an u al y e l precio d e la opción e s d e $0.43. E n e ste c a so , S0 = 1.6, K = 1.6, r = 0.08, rf = 0.11, T = 0.3333 y c = 0.043. La volatilidad im plícita puede c alc u la r­ se por ensayo y error. El precio d e la opción c o n una volatilidad de 20% e s d e 0.0639, con una volatilidad d e 10% e s d e 0.0285, etc. La volatilidad im plícita es d e 14.1%.

donde \n(S0/ K ) + ( r - r f + a 2/2 ) T d ' ~ -----------------W

T ----------------

, ln(So/AT) + ( r - r / -crJ/2)T' , ^ rf2 = ------------------------= d l-a V T

B ejem plo 13.5 m uestra có m o se usan estas fórm ulas para calcular las volatilidades im plícitas d e opciones sobre divisas. Tanto la ta s a d e interés d om éstica, r, co m o la ta s a d e interés ex tranjera, /y, son las tasas para un vencim iento T. Las opciones d e venta y d e co m p ra sobre una d iv isa son sim é­ tricas en q u e una o pción de venta para vender la m oneda A por la m oneda B a un precio d e e jerci­ d o d e K es igual a una opción d e co m p ra para adquirir la m oneda B p o r la m oneda A a un precio de ejercicio de \/K . Cbn base e n la ecuación (5.9), e l tip o d e cam bio a plazo, F 0, para un vencim iento T se o b tie ­ ne por m edio de F0 = S0e ^ rf )T Esta relación perm ite sim plificar las ecuaciones (13.9) y (13.10) a f = e~rT[FnN(dt) - KN(d2)]

(13.11)

p = e~rT[KN(-d2) - FuNi-d,)]

(13.12)

donde J

\n {F „ /K ) + o 2T /2 T j T ---------

,

W

0/ K ) - a 2T / 2

d2 = ----------

,

^

= dl- a V f

O bserve q u e, para q u e las ecuaciones (13.11) y (13.12) sean las correctas para valuar una opción europea sobre e l tipo de cam bio spot, los vencim ientos d e l contrato a plazo y de la opción deben ser iguales. En algunas circunstancias lo óptim o es ejercer las opciones am ericanas sobre divisas antes d e su vencim iento. Por lo tanto, estas opciones valen más q u e sus contrapartes europeas. E n gen eral, ta m ás probable es q u e las opciones d e co m p ra sobre divisas d e interés alto y las opciones d e ven­ ta sobre divisas d e interés bajo se ejerzan antes de su vencim iento. La razón e s q u e se esp era que una divisa de interés alto se d eprecie y que una d iv isa de interés bajo se aprecie.

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O pciones sobre índices bursátiles y divisas

307

RESU M EN La fórm ula de B lack-Scholes para valuar opciones europeas sobre una acción que no paga d iv id en ­ dos puede aplicarse a opciones europeas sobre u n a acción que paga un rendim iento de dividendos conocido. E sto e s útil porque m uchos otros activos sobre los q u e se suscriben opciones se c o n sid e ­ ran sim ilares a u n a acció n q u e paga un rendim iento d e dividendos. E n este capítulo se m anejaron los siguientes resultados: 1. Un índice bursátil e s sem ejante a una acción q u e paga un rendim iento de dividendos. É ste es el rendim iento de dividendos sobre las acciones q u e integran el índice. 2 . U na divisa e s sim ilar a u n a acción q u e paga un rendim iento de dividendos. L a ta sa d e in te ­ rés libre d e riesgo extranjera ju e g a el rol d e l rendim iento de dividendos. Por lo tan to , la am pliación del m odelo B lack-Scholes se puede utilizar para valuar opciones e u ro ­ peas sobre índices bursátiles y divisas. Las opciones sobre índices q u e cotizan e n bolsas se establecen e n efectivo. Al ejercer una o p ­ ción d e co m p ra sobre un índice, el ten ed o r recibe 100 veces e l m onto en q u e el índice excede al precio d e ejercicio. Del m ism o m odo, a l ejercer un contrato d e o p ció n d e venta sobre un índice, el tenedor recibe 100 veces el m onto e n q u e e l precio de ejercicio excede a l índice. Las opciones so ­ bre índices pueden usarse co m o seguro d e cartera. Si e l valor d e la cartera refleja e l índice, e s c o n ­ veniente co m p rar un contrato de o p ció n de venta por c ad a 100S0 dólares en la cartera, d o n d e S0 es el valor del índice. Si la cartera no refleja el índice, deben com prarse contratos d e o p ció n de venta p por c ad a 100S0 dólares en la cartera, d o n d e p es la beta de la cartera calcu lad a usando el m o d e­ lo d e valuación d e activos d e capital. E l precio de ejercicio de las opciones d e venta com pradas debe reflejar el nivel d e seguro requerido. C asi todas las opciones sobre divisas se negocian e n e l m ercado over-the-counter. Las usan los tesoreros corporativos para c u b rir una exposición a un tipo d e cam bio. Por ejem plo, un tesorero c o r­ porativo estadounidense q u e sabe q u e la em p resa recibirá libras esterlinas en c ierta fecha fu tu ra puede c u b rir m ediante la co m p ra de opciones de venta q u e venzan e n e sa fecha. De igual m anera, un tesorero corporativo estadounidense q u e sabe q u e la em p resa p ag ará libras esterlinas e n d e ter­ m inada fecha futura p u ed e cu b rir m ediante la adquisición d e opciones d e co m p ra q u e venzan en esa fecha.

L E C T U R A S C O M P L E M E N T A R IA S A m in, K. y R. A. Jarrow . “ Pricing F oreign C urrency O ptions u n d er Stochastic Interest R ates” , Jour­ nal o f International M oney a n d Finance, 10 (1991), pp. 310-29. B iger, N. y J.C. Hull. “T he V aluation o f Currency O ptions” , Financial M anagem ent, 12 (prim ave­ ra d e 1983), pp. 24-28. Bodie, Z . “O n the Risk o f Stocks in the Long Run” , Financial A nalysts Journal, 51, 3 (1995), pp. 18-22. G arm an, M.B. y S.W. K ohlhagen. “ Foreign C urrency O ption Values” , Journal o f International M o ­ ney a n d F inance, 2 (diciem bre de 1983), pp. 231-37. G iddy, I.H. y G. Dufey. “ Uses a n d Abuses o f C urrency O ptions” , Journal o f A p p lied C orporate Finance, 8 ,3 ( 1 9 9 5 ) , pp. 49-57. G rabbe, J.O . ‘T h e Pricing o f C all and P u t O ptions on Foreign E xchange” , Journal o f International M oney a n d Finance, 2 (diciem bre d e 1983), pp. 239-53. Jorion, P. “Predicting V olatility in th e Foreign E xchange M arket” , Journal o f F inance 50, 2(1995), pp. 507-28.

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CAPÍTULO 13 M erton, R.C. “T heory o f R ational O ption P rincing” , B ell Journal o f E conom ics a n d M anagem ent S cience, 4 (prim avera de 1973), pp. 141-83.

Examen (respuestas al final del libro) 13.1. U na c artera vale actualm ente $10 m illones y tiene una beta d e 1.0. E n e s te m om ento, e l ín ­ dice S & P 100 e stá e n 800. E xplique cóm o se usa una opción de venta sobre el índice S & P 100, con un precio d e ejercicio d e 7 0 0 , para q u e proporcione un seguro d e cartera. 13.2. “ U na vez q u e sabem os cóm o valuar opciones sobre u n a acción q u e paga un rendim iento d e dividendos, sabem os có m o valuar opciones sobre índices bursátiles y d iv isas” . Explique e s ­ ta afirm ación. 13.3. A ctualm ente, un índice bursátil e stá en 300, el rendim iento de dividendos sobre el ín d ice es d e 3% anual y la ta sa d e interés libre d e riesgo e s de 8% anual. ¿C uál e s un lím ite inferior para e l precio de u n a opción de co m p ra eu ro p ea a seis m eses sobre e l índice cu an d o el p re ­ cio d e ejercicio e s d e 290? 13.4. U na divisa vale actualm ente $0.80. S e esp era q u e su valor aum ente o d ism inuya 2% e n c a ­ d a uno de los d o s m eses siguientes. Las tasas d e interés libres d e riesgo, dom ésticas y e x ­ tranjeras, son d e 6 y 8% , respectivam ente. ¿C uál e s e l valor de una opción d e co m p ra e u ro ­ pea a dos m eses con un precio de ejercicio de $0.80? 13.5. Explique cóm o las corporaciones usan opciones sobre divisas para cu b rir su exposición al riesgo cam biario. 13.6. C alcule e l valor d e una opción de co m p ra eu ro p ea at-the-m oney a tre s meses sobre un índi­ ce bursátil cuan d o é s te e stá en 250, la ta sa d e interés libre d e riesgo es d e 10% anual, la vo­ latilidad del índice es d e 18% anual y el rendim iento d e dividendos sobre e l índice es d e 3% anual. 13.7. C alcule e l valor d e u n a opción de v enta eu ro p ea a ocho m eses sobre una divisa, con un p re ­ cio d e ejercicio de 0.50. El tipo de cam bio vigente e s d e 0.52, la volatilidad del tipo d e c am ­ bio es d e 12% y las tasas de interés libres d e riesgo, d om éstica y ex tranjera, son d e 4 % y 8% anual, respectivam ente.

Preguntas y problem as 13.8. Suponga q u e u n a bolsa c re a un índice bursátil q u e d a seguim iento al rendim iento, incluyen­ do los dividendos, sobre determ in ad a cartera. E x p liq u e cóm o valuaría: a ) contratos d e futu­ ros y b ) opciones europeas sobre e l índice. 13.9. U na d iv isa vale actu alm en te $1.50. Las tasas d e interés libres d e riesgo, dom ésticas y extranjeras, son d e 5 y 9 % , respectivam ente. C alcule un lím ite inferior para e l valor d e una opción d e co m p ra a seis m eses sobre la d ivisa, con un precio d e ejercicio d e $ 1.40, si esta opción e s: a ) eu ro p ea y b) am ericana. 13.10. C onsidere un índice bursátil que e s tá e n 250 e n e s te m om ento. El rendim iento d e d iv id en ­ dos sobre e l índice es de 4 % anual y la ta sa d e interés libre d e riesgo es d e 6 % anual. U na opción d e com pra eu ro p ea a tre s m eses sobre el índice, con un precio d e ejercicio de 245, vale actualm ente $10. ¿C uál e s el valor d e una opción d e venta a tres m eses sobre e l índi­ ce, con un precio de ejercicio de 245? 13.11. A ctualm ente, un índice e stá e n 696 y tie n e u n a volatilidad d e 30% anual. L a ta s a de interés libre d e riesgo e s d e 7 % an u al y el ín d ice proporciona un rendim iento d e dividendos d e 4%

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O pciones sobre índices bursátiles y divisas

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anual. C alcule el valor d e una opción d e venta eu ro p ea a tres m eses c o n un precio d e e je r­ cicio d e 700. 13.12. D em uestre que, si C es el precio de una opción de com pra am ericana con un precio de e jer­ cicio K y un vencim iento T sobre una acción que paga un rendim iento d e dividendos d e q> y P es el precio de una opción de venta am ericana sobre la m ism a acción, con el m ism o p re ­ cio de ejercicio y fecha d e vencim iento, entonces Sae~qT — K < C — P < So — K c ~ 'r . donde S0 es e l precio d e ejercicio , r e s la ta sa de interés libre d e riesgo y r > 0 . (Sugerencia: para obtener la prim era parte d e la desigualdad, considere los valores posibles de: C artera A: una opción d e co m p ra eu ro p ea m ás un m onto K invertido a la ta s a de interés li­ bre d e riesgo C artera B : una opción d e venta am ericana m ás e ~ ‘/T ( k la acción, cu y o s dividendos se reinvierten en la m ism a acció n Para ob ten er la segunda parte d e la desigualdad, considere los valores posibles de: Cartera C: una opción de co m p ra am erican a más un m onto K e ~ rT invertido a la ta sa d e in ­ terés libre d e riesgo Cartera D : una opción d e venta eu ro p ea m ás una acción, cu yo s dividendos se reinvierten en la m ism a acción 13.13. D em uestre q u e u n a o p ció n d e com pra eu ro p ea sobre una d iv isa tie n e e l m ism o precio q u e la o pción d e venta eu ro p ea correspondiente sobre la d iv isa cuando e l precio a plazo e s igual al precio de ejercicio. 13.14. ¿E speraría que la volatilidad d e un ín d ice bursátil fuera m ayor o m enor q u e la volatilidad d e una acción norm al? E x p liq u e su respuesta. 13.15. ¿A um enta o d ism inuye e l co sto del seguro d e cartera a m edida que aum enta la beta d e una cartera? Explique su respuesta. 13.16. Im agine que una c artera vale $60 m illones y q u e e l índice S& P 500 e stá e n 1,200. Si e l va­ lor d e la cartera refleja e l v alor del índice, ¿ q u é opciones se deben co m p rar para p roporcio­ nar protección co n tra una dism inución d e l valor de la cartera por debajo de $54 m illones en un periodo d e un año? 13.17. C onsidere d e nuevo la situación del problem a 13.16. Suponga que la cartera tiene una beta de 2.0, la ta sa de interés libre de riesgo es d e 5% anual y e l rendim iento de dividendos so ­ bre la c artera y e l índice es d e 3% anual. ¿ Q u é opciones deben com prarse para p roporcio­ nar protección co n tra una dism inución d e l valor d e la cartera por debajo d e $ 5 4 d e dólares en un periodo d e un año?

Preguntas de tarea 13.18. El 12 d e enero d e 2007, e l Prom edio Industrial Dow Jones estuvo e n 12,556 y e l precio de la opción de co m p ra d e m arzo, con un precio de ejercicio d e 126, fue d e $2.25. U se e l so ft­ ware D erivaG em para calcu lar la volatilidad im plícita d e e sta opción. A su m a que la ta s a d e interés libre d e riesgo fue d e 5.3% y q u e e l rendim iento d e dividendos fue d e 3%. L a o p ­ ción vence e l 20 d e m arzo d e 2007. C alcule e l precio d e una opción d e venta d e m arzo, con un precio d e ejercicio de 126. ¿C uál e s la volatilidad im plícita en el precio q u e calculó p a ­ ra e sta opción? (O bserve q u e las opciones se establecen sobre e l ín d ice Dow Jo n es d iv id i­ do entre 100). 13.19. A ctualm ente, un ín d ice bursátil e stá e n 300. S e esp era que aum ente o d ism in u y a 10% en c a ­ d a uno d e los dos trim estres siguientes. La ta sa de interés libre de riesgo e s de 8% y e l re n ­

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CAPÍTULO 13

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dim iento d e dividendos sobre el índice es d e 3%. ¿C u ál e s e l valor d e una opción d e venta a seis m eses sobre el índice, con un precio de ejercicio d e 300, si e s a) eu ro p ea y b) a m eri­ cana? 13.20. Suponga q u e el precio spot del d ó la r can ad ien se e s d e 0.85 dólares estadounidenses y q u e el tipo d e cam bio d ó la r canadiense/dólar estadounidense tiene u n a volatilidad d e 4 % anual. Las tasas d e interés libres d e riesgo e n C anadá y Estados U nidos d e A m érica son d e 4 y 5% anual, respectivam ente. C alcule e l valor d e una opción de co m p ra europea para adquirir un dólar canadiense e n $0.85 dentro d e nueve m eses. U se la paridad entre opciones d e v enta y de com pra para calcu lar e l precio d e una opción de venta eu ro p ea para vender un d ó la r c a ­ nadiense e n $0.85 dentro d e nueve m eses. ¿C uál es el precio d e una opción d e com pra p a ­ ra ad q u irir $0.85 con un dólar canadiense dentro d e nueve m eses? 13.21. Un fondo d e inversión anuncia que los salarios d e sus adm inistradores d e fondos d ep en d e­ rán d e l desem peño del fondo. Si e l fondo pierde dinero, los salarios serán d e cero. Si e l fo n ­ do o b tiene un beneficio, los salarios serán proporcionales a éste. D escriba e l salario d e un adm inistrador de fondos co m o una opción. ¿D e q u é m anera un adm inistrador d e fondos se sentirá m otivado a com p o rtarse con e s te tipo d e paquete d e rem uneración?

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Opciones sobre futuros Las opciones q u e hem os considerado hasta ah o ra otorgan a l ten ed o r el derecho a co m p rar o vender un activo e n una fecha específica. En ocasiones se denom inan opciones sobre s p o t (options o n spot) u opciones s p o t (spot o p tio n s) porque cuando se ejercen las opciones, la venta o co m p ra del activo al precio convenido ocurre inm ediatam ente. E n este capítulo consideram os las opciones sobre f u ­ turos (futures options), conocidas tam bién co m o opciones sobre contratos de fu tu ro s. En estos c o n ­ tratos, el ejercicio de la opción o to rg a al ten ed o r una posición en un contrato de futuros. La C om isión d e C om ercio e n Futuros sobre M ercancías autorizó la negociación d e opciones sobre futuros d e m anera experim ental en 1982. L a negociación perm anente se aprobó e n 1987, y desde entonces la popularidad del contrato entre los inversionistas h a crecido con m ucha rapidez. E n este capítulo analizam os có m o funcionan las opciones sobre futuros y las diferencias entre estas opciones y las opciones spot. E xam inam os có m o se valúan las opciones sobre futuros u tili­ zando tanto árboles binom iales com o fórm ulas sim ilares a las q u e crearo n Black, Scholes y M erton para las opciones sobre acciones. A dem ás, exploram os la valuación relativa d e las opciones so ­ bre futuros y las opciones spot.

14.1 N A T U R A L E Z A D E L A S O P C I O N E S S O B R E F U T U R O S U na o pción sobre futuros e s e l derecho, pero no la obligación, d e participar e n un contrato de fu tu ­ ros a cierto precio de futuros e n u n a determ inada fecha. E specíficam ente, una o p ció n d e co m p ra so ­ bre futuros e s e l derecho a to m ar una posición larga en un contrato d e futuros a un precio d eterm i­ nado; una opción d e venta sobre futuros e s el derecho a to m ar u n a posición corta e n un contrato de futuros a un precio determ inado. La m ayoría de las opciones sobre futuros son am ericanas, es decir, pueden ejercerse e n cualquier m om ento d u ran te la vida del contrato. Para ilustrar la operación d e los contratos de opciones sobre futuros, considere la posición d e un inversionista q u e adquirió u n a opción d e co m p ra d e ju lio sobre futuros d e o ro , con un precio d e ejercicio d e $600 por onza. El activo subyacente a un contrato corresponde a 100 onzas de oro. Al igual que c o n otros contratos d e opciones que cotizan e n bolsa, e l inversionista d e b e p ag ar por la o pción a l m om ento de ingresar a l contrato. Si se e jerce la opción d e co m p ra sobre futuros, e l in ­ versionista o b tiene u n a posición larga en un contrato de futuros y hay u n a liquidación en efectivo que refleja q u e e l inversionista ingresa a l contrato d e futuros a l precio d e ejercicio. Suponga q u e el precio de futuros de ju lio al m om ento d e ejercer la opción e s d e 640 y que e l precio de liquidación más reciente del contrato d e futuros d e ju lio es d e 638. El inversionista recibe un m onto e n efectivo

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CAPÍTULO 14

Ejemplo 14.1

Mecánica de las opciones de compra sobre futuros

Un inversionista adquiere un contrato de opciones de co m p ra sobre futuros de o ro de ju lio . El tam año del contrato e s d e 100 onzas. El precio d e ejercicio es de 600. La decisión d e ejercicio El inversionista ejerce las opciones cuando e l precio de futuros d e oro d e ju lio e s d e 640 y el precio de liquidación m ás reciente es de 638. El 1. 2. 3.

resultado B inversionista recibe un m onto en efectivo igual a (638 — 600) X 100 = $3,800. H inversionista recibe una posición larga en un contrato de futuros. B inversionista c ierra inm ediatam ente la posición larga en el contrato d e futuros para o b te ­ ner u n a ganancia de (640 — 638) X 100 = $200. 4 . Beneficio to ta l = $4,000.

igual al excedente del precio de liquidación más reciente sobre el precio d e ejercicio. E ste m onto, (638 - 600) X 100 = $3,800 en nuestro ejem plo, se sum a a la cuenta d e margen del invereionista. Cóm o se m uestra e n e l ejem plo 14.1, si e l inversionista cierra inm ediatam ente e l contrato d e futuros d e ju lio , la ganancia sobre e l contrato de futuros e s (640 - 638) X 100, o $200. P o r lo ta n ­ to, e l beneficio total obtenido por ejercer e l contrato de opciones sobre futuros e s de $4,000. E sto corresponde a l precio d e futuros d e ju lio en la fecha de ejercicio m enos e l precio d e ejercicio. Si el inversionista m antiene e l contrato d e futuros puede requerir un m argen adicional. H inversionista q u e vende (o suscribe) una o p ció n d e com pra sobre futuros recibe la p rim a de la opción, pero corre e l riesgo d e q u e e l contrato se ejerza. C uando e l contrato se ejerce, e ste inver­ sionista asum e una posición c o rta e n e l contrato d e futuros. Se d ed u ce un m onto igual a F - K de la cuenta d e m argen d e l inversionista, d o n d e F es e l precio de liquidación más reciente. La cám ara de com pensación de la bolsa d isp o n e que e sta sum a se transfiera a l inversionista del otro lado d e la transacción, quien decide ejercer la opción. Las opciones de venta sobre futuros funcionan de form a parecida a las opciones d e com pra. El ejemplo 14.2 considera a un inversionista q u e com pra una opción d e venta sobre futuros de m aíz de septiem bre, con un precio d e ejercicio d e $3.00 por bushel. C ada contrato se establece sobre 5,000 bushels de maíz. Si se ejerce la opción de venta sobre futuros, e l inversionista obtiene una posición corta en un contrato de futuros m ás una liquidación e n efectivo. Suponga que el contrato se ejerce cuando el precio d e futuros d e septiem bre es de $2.80 y q u e el precio de liquidación m ás reciente e s d e $2.79. B inversionista recibe un monto e n efectivo igual al excedente del precio d e ejercicio sobre el precio de liquidación m ás reciente. El m onto e n efectivo recibido, (3.00 - 2.79) X 5,000 = $1,050 en nues­ tro ejem plo, se suma a la cuenta de m argen del inversionista. Si el inversionista cierra inm ediatam en­ te el contrato de futuros, la pérdida sobre la posición corta en el contrato d e futuros es d e (2.80 - 2.79) X 5,000 = $50. Por consiguiente, el beneficio total obtenido por ejercer el contrato d e opciones sobre futuros e s d e $1,000. Esto corresponde al precio d e ejercicio menos el precio de futuros e n la fecha de ejercicio. Al igual que en el caso de las opciones d e com pra sobre futuros, el inversionista puede requerir un m argen adicional si decide m antener la posición en el contrato d e futuros. E inversionista del o tro lado de la transacción (es decir, el invereionista q u e vendió la opción de venta sobre futuros) obtiene una posición larga en un contrato d e futuros cuando la o p ció n se ejerce y e l excedente del precio d e ejercicio sobre el precio d e liquidación más reciente se d ed u ce de la cuenta d e m argen d e l inversionista.

M eses de vencim iento Las opciones sobre futuros se denom inan d e acuerdo con e l mes e n que vence e l contrato de futu­ ros subyacente, no según e l m es d e vencim iento d e la opción. Com o se m encionó anteriorm ente, la

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O pciones sobre fu turos

te m p lo 14.2

Mecánica de las opciones de venta sobre futuros

Un inversionista co m p ra un contrato d e opciones de venta sobre futuros d e m aíz de septiem bre. H tam año del contrato e s d e 5,000 bushels. El precio d e ejercicio e s d e $3.00. La decisión de ejercicio H inversionista e jerce las opciones cuando e l precio d e futuros d e m aíz d e septiem bre e s d e $2.80 y e l precio d e liquidación más reciente e s de $2.79. El 1. 2. 3.

resultado Elinversionista recibe un m onto e n efectivo d e (3.00 — 2.79) X 5,000 = $1,050. Elinversionista recibe una posición corta e n un contrato d e futuros. El inversionista cierra inm ediatam ente la posición c o rta e n e l contrato d e futuros y e x p eri­ m enta una pérdida de (2.80 - 2.79) X 5,000 = $50. 4. Beneficio total = $1,000.

m ayoría d e las opciones sobre futuros son am ericanas. L a fecha d e vencim iento d e un contrato d e opciones sobre futuros ocurre usualm ente en la fecha d e en treg a más tem prana del contrato de fu ­ turos subyacente o algunos días antes. (P or ejem plo, la o p ció n de futuros sobre bonos del Tesoro que se negocia e n la CBOT vence e l prim er viernes an terio r por lo m enos a cinco días hábiles a l fi­ nal del m es, ju sto antes d e l m es d e vencim iento del contrato d e futuros). U na excepción e s e l c o n ­ trato e n eurodólares m id-curve q u e se negocia e n la C M E , en e l cual el contrato de futuros vence uno o dos años después del contrato d e opciones. E n E stados U nidos d e A m érica, los contratos populares son los que se negocian sobre m aíz, soya, algodón, azúcar m undial, petróleo cru d o , gas natural, o ro , bonos del Tesoro, notas del T eso­ ro, notas d e l Tesoro a cinco años, fondos federales a 30 días, eurodólares, eurodólares m id-curve a uno y dos años, Euribor, Eurobunds y el índice S & P 500.

14.2 R A Z O N E S D E L A P O P U L A R ID A D DE LA S O P C IO N E S SO B R E F U T U R O S Es natural preguntar p o r q u é las personas deciden negociar opciones sobre futuros e n vez d e o p c io ­ nes sobre e l activo subyacente. L a razón principal parece ser q u e un contrato d e futuros es, e n m u­ chas circunstancias, m ás líquido y fácil d e negociar que el activo subyacente. A dem ás, un precio d e futuros se conoce inm ediatam ente a partir d e las negociaciones e n la bolsa d e futuros, e n tanto q u e el precio spot del activo subyacente no e s tá d isponible c o n ta n ta facilidad. C onsidere los bonos del Tesoro. El m ercado de futuros sobre bonos d e l Tesoro e s m ucho más activo q u e e l m ercado de cualquier bono del Tesoro específico. A dem ás, un precio d e futuros sobre bonos del Tesoro se co n o ce inm ediatam ente e n las negociaciones d e la B o lsa d e C om ercio d e C h i­ cago. P o r el contrario, e l precio d e m ercado actu al de un bono se obtiene únicam ente a l ponerse en contacto con uno o m ás agentes. No e s d e sorprender q u e los inversionistas prefieran un contrato de futuros sobre bonos del Tesoro e n vez de bonos d e l Tesoro. Con frecuencia, los futuros sobre com m odities son tam bién m ás fáciles d e negociar que los com m odities m ism os. P o r ejem plo, e s m ucho m ás fácil y conveniente entregar o recibir un c o n tra ­ to d e futuros de ganado bovino e n p ie q u e entregar o recibir e l ganado mismo. Un punto im portante a ce rc a d e una opción sobre futuros es q u e por lo com ún su ejercicio no da lugar a la entrega d e l activo subyacente, y a q u e, en la m ayoría de los caso s, e l contrato d e fu tu ­ ros subyacente se c ierra antes de la entrega. Por lo tanto, las opciones sobre futuros se liquidan

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CAPÍTULO 14

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eventual m ente en efectivo. Esto e s muy atractivo p a ra m uchos inversionistas, en particular para quienes tienen un capital lim itado y se les haría difícil c o n tar con los fondos necesarios para c o m ­ prar el activo subyacente cuando se ejerce una opción. O tra ventaja d e las opciones sobre futuros que se c ita e n ocasiones e s q u e los futuros y las opciones sobre futuros se negocian en pits c o n ti­ guos e n la m ism a bolsa. Esto facilita la cobertura, e l arb itraje y la especulación, y tie n d e a hacer que los m ercados sean m ás eficientes. U na últim a característica es q u e, en m uchas situaciones, las opciones sobre futuros im plican costos de transacción m ás bajos q u e las opciones spot.

14.3 O P C I O N E S E U R O P E A S S P O T Y S O B R E F U T U R O S E beneficio de u n a opción d e co m p ra eu ro p ea con un precio d e ejercicio K s jb re e l precio spot d e un activo es máx(Sr - K , 0) donde S T es el precio spot al vencim iento de la opción. E l beneficio d e una o p ció n de co m p ra europea con e l m ism o precio d e ejercicio sobre el precio d e futuros del activo es m áx(Fr - K , 0) donde FT es e l precio d e futuros al vencim iento de la opción. Si e l contrato d e futuros vence al m is­ mo tiem po que la o p ció n , entonces F T = S T y las d o s opciones son equivalentes. Del m ism o m o­ do, una opción d e venta eu ro p ea sobre futuros tie n e e l m ism o valor que la opción de venta spot equivalente cuando e l contrato de futuros vence al m ism o tiem po que la opción. Casi todas las opciones d e futuros que se negocian son d e estilo am ericano. Sin em bargo, c o ­ mo verem os, es útil estu d iar las opciones europeas sobre futuros debido a que los resultados o b te ­ nidos se pueden aplicar para valuar las opciones europeas spot correspondientes.

14.4 P A R ID A D E N T R E O P C I O N E S D E V E N T A Y D E C O M P R A ( P A R ID A D P U T -C A LL) En el capítulo 9 obtuvim os una relación de paridad entre opciones de venta y de com pra para opcio­ nes europeas sobre acciones (paridadpiit-call). A hora analizam os un argum ento sim ilar para obtener una relación d e paridad entre opciones de venta y de com pra para opciones europeas sobre futuros. Considere las opciones de co m p ra y de venta europeas sobre futuros, ambas con un precio de ejerci­ cio K y un tiem po al vencim iento T. Podem os crear dos carteras: Cartera A : una o pción de co m p ra eu ro p ea sobre futuros m ás un m onto d e efectivo igual a K e~ rT Cartera B : u n a o pción d e venta europea sobre futuros más una posición larga e n un contrato de futuros m ás un m onto d e efectivo igual a Ftíe ~ rT, d o n d e F0 es e l precio d e fu ­ turos En la c artera A , e l efectivo se invierte a la ta sa de interés libre d e riesgo, r, y aum enta a K en el tiempo T. D igam os q u e FT es el precio d e futuros al vencim iento de la opción. Si F T > K, se e jer­ K, la opción d e c o m p ra no ce la o pción d e co m p ra d e la cartera A y e sta cartera vale F r Si FT se ejerce y la cartera A vale K. P o r consiguiente, el valor d e la cartera A e n e l tiem po T es m á x (F p K) En la cartera B, e l efectivo p u ed e invertirse a la ta sa d e interés libre de riesgo para q u e aum ente a F0 en e l tiem po T. L a opción d e v enta proporciona un beneficio d e máx(Af - F p 0 ). E l co n trato

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O pciones sobre fu turos

de futuros proporcion a un beneficio d e F T - F0. ' Por lo tan to , e l valor d e la cartera B e n e l tie m ­ po T es + (F r - Fo) +

= máx (F r , K)

Com o am bas carteras tienen e l m ism o valor en e l tiem p o T y las opciones europeas no pueden e je r­ cerse d e m anera anticipada, se deduce que valen lo m ism o e l d ía d e hoy. Hoy, e l valor d e la c arte ­ ra A es c + K e~rT donde c es el precio de la opción d e co m p ra sobre íuturos. El proceso de ajuste al m ercado g a ra n ­ tiza q u e el contrato de futuros d e la cartera B te n g a hoy un valor cero. Por consiguiente, la cartera B vale p + Fé ~ rT donde p es e l precio d e la o p ció n d e venta sobre futuros. P o r lo tan to , c + K e~ rT = p + F0e ~ rT

(14.1)

La diferencia e n tre e sta relación d e paridad p u t- c a ll y la de la acción que no paga dividendos d e la ecuación (9.3) e s q u e el precio de la acció n , 5 0, se reem plaza con e l precio d e futuros descontado, Ftfe~rT. E n el caso d e las opciones am ericanas sobre futuros, la relación e s (v e a e l problem a 14.19) F f f ~ rI —K < C — P < F 0 — K e - rJ

(14.2)

Com o se m uestra e n la sección 14.3, cuando e l contrato d e futuros subyacente vence a l mismo tie m ­ po q u e la opción, las opciones europeas sobre futuros y spot son iguales. Por consiguiente, la e cu a ­ ción (14.1) proporciona una relación e n tre e l precio d e una opción d e co m p ra sobre e l precio spot, el precio de una opción d e venta sobre el precio spot y el precio d e futuros cuando am bas porciones vencen al m ism o tiem po que e l contrato d e futuros. El ejem plo 14.3 ilustra esto.

E jem plo 1 4 .3

fó rid ad p u t-c a ll con el uso d e precios d e futuros

Suponga q u e el precio de u n a opción de co m p ra eu ro p ea sobre la plata spot para en treg a e n seis meses e s de $0.56 por o n z a cuando el precio d e ejercicio e s de $8.50. A sum a q u e e l precio d e futuros de plata para en treg a en seis m eses es actu alm en te de $8.00 y que la ta sa d e interés libre de riesgo de una inversión q u e vence e n seis m eses e s de 10% anual. C on base en una reo rd en a­ ción de la ecuación (14.1), e l precio de una opción d e venta eu ro p ea sobre la plata spot c o n el mismo vencim iento y fecha d e ejercicio q u e la opción d e co m p ra es d e 0.56 + 8 .5 0 ¿- 0 -2 x 6/12 - 8 .0 0 ^- 0 -1 x 6/12 = 1.04 Fbdem os usar la ecuación (14.1) para opciones spot porque e l precio d e futuros considerado tie ­ ne el m ism o vencim iento q u e el precio d e la opción.

1 E s te a n á lis is a s u m e q u e u n c o n tr a to d e fu tu ro s e s c o m o u n c o n tr a to a p la z o y s e liq u id a a l fin al d e s u v id a e n v e z d e liq u i­ d a rse d ia r ia m e n te .

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CAPÍTULO 14

316

14.5 L ÍM IT E S P A R A O P C I O N E S S O B R E F U T U R O S La relación p ia -c a ll de la ecuación (14.1) proporciona lím ites para opciones europeas d e c o m p ra y de venta. Puesto q u e e l precio d e una opción d e venta, p , no puede ser negativo, se d ed u ce d e la ecuación (14.1) que F0e ~ rT o c > (F 0 - K )e~rT

(1 4 3 )

Etel m ism o m odo, com o e l precio d e una opción de co m p ra no p u ed e ser negativo, se d ed u ce de la ecuación (14.1) que K e ~ rT « F0e ~ rT + p

o p H ( K - F0)e ~ rT

(14 A )

Estos límites son sim ilares a los obtenidos para opciones sobre acciones europeas en el capítulo 9. Los precios d e las opciones europeas d e com pra y de venta están muy próxim os a sus lím ites inferiores cuando las opciones están deep in íhe money. Para ver por q u é esto es así, regresemos a la relación de paridad pía-cali de la ecuación (14.1). C uando una opción de com pra está deep in th e m oney, la opción de venta correspondiente está deep oía o f the money. Esto significa que p e stá m uy próxim o a cero. La diferencia entre c y su lím ite inferior es igual a p , de m odo q u e el precio de la opción d e com pra debe estar m uy próxim o a su lím ite inferior. Un argumento semejante se aplica a las opciones de venta. Puesto que las opciones am ericanas sobre futuros pueden ejercerse en c u alq u ier m om ento, d e ­ bemos te n er C>F0- K

y K -F 0 Por lo tanto, si las tasas de interés son positivas, e l lím ite inferior del precio d e una opción am erica­ na siem pre e s m ayor que el lím ite inferior del precio de una opción europea. Esto es así porque siem ­ pre hay alguna posibilidad d e que una opción am ericana sobre futuros se ejerza anticipadam ente.

14.6 V A L U A C IO N D E O P C I O N E S S O B R E F U T U R O S U T IL IZ A N D O Á R B O L E S B IN O M I A L E S Esta sección analiza, d e m anera m ás form al q u e e l capítulo 11, cóm o se usan los árboles binom iales para valuar opciones sobre futuros. U na diferencia clav e e n tre las opciones d e futuros y las o p ­ ciones sobre acciones e s q u e no hay co sto s iniciales cuando se ingresa a un contrato de futuros. Suponga q u e e l precio d e futuros actual es d e 30 y q u e su b irá a 33 o b ajará a 28 durante e l p ró ­ ximo m es. C onsidere una opción d e co m p ra a un m es sobre e l contrato de futuros, c o n un precio de ejercicio de 29, e ignore la liquidación diaria. La figura 14.1 indica e sta situación. Si e l precio d e futuros resulta ser de 33, e l beneficio d e la o p ció n e s d e 4 y e l valor del contrato d e futuros es de 3. Si e l precio d e futuros resulta ser de 2 8 , el beneficio de la o p ció n e s d e cero y e l valor del c o n ­ trato d e futuros e s d e - 2 ? 2 A quí h ay u n a ap ro x im ació n e n c u a n to a q u e la g a n a n c ia o la p érd id a so b re el c o n tra to d e fu tu ro s no s e o b tie n e e n e l tie m ­ po T , sin o dfc a dé* e n tre el tie m p o 0 y el tie m p o T . N o o b sta n te , a m ed id a q u e d ism in u y e la d u ra c ió n d el intervalo e n u n á r ­ bol b inom ial, la ap ro x im ació n m ejo ra y, e n el lím ite, co n fo rm e el intervalo s e ap ro x im a a cero , n o hay p érd id a d e ex a ctitu d .

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317

O pciones sobre fu turos

F ig u r a 1 4 .1

W ia c io n e s del precio d e futuros en un ejem plo num érico

Para establecer una co b ertu ra libre d e riesgo, considerem os una c artera q u e co n ste d e una p o ­ sición c o rta en un contrato d e opciones y una posición larga e n A contratos d e futuros. Si el precio de futuros sube a 33 , el v alor d e la c artera e s 3A - 4; si baja a 2 8 , e l valor de la cartera e s - 2 A . La cartera e stá libre d e riesgo cuando estas posiciones son iguales, es decir, cuando 3A — 4 = —2A o A = 0.8. Para e ste valor d e A sabemos q u e la cartera valdrá 3 X 0.8 - 4 = - 1 . 6 e n un m es. A su m a una tasa de interés libre de riesgo d e 6% . E l valor d e la cartera el d ía d e hoy d e b e ser —I.ó c-006111/12 = - 1 .5 9 2 La cartera consta d e una posición c o rta e n u n a opción y A contratos d e futuros. C om o el valor del contrato d e futuros el d ía de hoy e s d e cero , el valor de la opción e l d ía d e hoy debe ser d e 1.592.

U na generalización Podem os g eneralizar e ste análisis considerando un precio d e futuros q u e in icia e n FQ y se an ticip a que subirá a F0u o b ajará a F tfl durante el periodo T. C onsiderem os u n a opción q u e vence e n el tiem po T y suponga que su beneficio e s f u si e l precio de futuros su b e y f d si baja. L a figura 14.2 resum e e sta situación.

F ig u r a 1 4 .2

R ec io d e futuro y precio d e la o p ció n e n una situación general

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318

CAPÍTULO 14 En e ste caso , la cartera libre d e riesgo consiste e n una posición corta en una o p ció n co m b in a­ da con una posición larga e n A contratos d e fiituros, d o n d e A =

f u ~ fd F0u - F0d

Entonces, el valor d e la cartera e n e l tiem p o T siem pre es (F 0u - F0) A - f , Si designam os la tasa de interés libre d e riesgo co m o r, obtenem os e l valor d e la c artera e l d ía d e hoy d e la m anera siguiente [(F0« - F|,)A - f , ] e - ' T O tra expresión para e l valor presente d e la cartera e s —/ , d o n d e f e s e l valor de la opción el d ía d e hoy. S e deduce q u e - / = [ ( / > - F0)A - f „ \ e - " Si sustituim os A y sim plificam os la ecu ació n , é sta se reduce a f = e - rT[ p f u + ( \ - p ) f d\

(14-5)

donde I -d p

=

—

(14-6 >

d

Esto concuerda c o n e l resultado d e la sección 11.9. En el ejem plo num érico considerado anteriorm ente (vea la figura 14.1), u = 1.1, d = 0.9333, r = 0.06, T = 1 /1 2 ,/h = 4 y / rf = 0. C on b a se e n la ecuación (14.6), 1 - 0.9333 P

.

1.1 - 0 . 9 3 3 3

y, con b a se e n ecuación (14.5), / = e ^ 06xl/l2[0.4 x 4 + 0 .6 x 0] = 1.592 Este resultado concuerda con la respuesta obtenida anteriorm ente para e ste ejem plo.

14.7 P R E C IO D E F U T U R O S C O M O U N A C T IV O Q U E P R O P O R C IO N A U N R E N D IM IE N T O Hay un resultado general q u e hace q u e e l análisis de las opciones sobre futuros sea sem ejante al análisis de las opciones sobre u n a acció n que paga un rendim iento d e dividendos. E ste resultado es que los precios d e futuros se com portan de la m ism a form a q u e una acción q u e paga un rendim ien­ to de dividendos igual a la ta sa d e interés libre de riesgo d o m éstica, r. U na señal de q u e esto podría ser a sí se o b tien e com parando las ecuaciones (14.5) y (14.6) con las (13.7) y (13.8). E stas dos series de ecuaciones son idénticas cu an d o establecem os q u e q = r. O tra señal e s q u e los lím ites inferiores d e los precios de opciones sobre futuros y la relación d e p a ­ ridad e n tre opciones d e venta y de co m p ra para los precios d e opciones sobre futuros son iguales que los d e las opciones sobre una acción q u e paga un rendim iento de dividendos a la tasa q cuan­ do el precio d e la acción se reem plaza por e l precio d e futuros y q = r.

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319

O pciones sobre fu turos

Podem os entender e l resultado general teniendo presente que un contrato d e futuros requiere una inversión d e cero. E n un m undo neutral al riesgo, el beneficio esperado d e m antener una posi­ ción en una inversión cuyo establecim iento no cu esta nada debe ser de cero. Por consiguiente, el b e ­ neficio esperado de un contrato de futuros en un m undo neutral al riesgo debe ser d e cero . Se d e d u ­ ce q u e la ta sa d e crecim iento esperada del precio d e íuturos e n un m undo neutral al riesgo d e b e ser de cero. Com o se señaló e n e l capítulo 13, una acción q u e paga un dividendo a la ta sa q crece a una tasa esperada d e r - q en un m undo neutral al riesgo. Si establecem os q = r, la ta sa de crecim ien­ to esperada del precio de la acción e s d e cero, lo que la hace sem ejante a un precio de futuros.

14.8 M O D E L O D E B L A C K P A R A V A L U A R O P C I O N E S SO BRE F U T U R O S Las opciones europeas sobre futuros pueden valuarse con las ecuaciones (13.4) y (13.5), si q = r. Fischer B lack fue el prim ero en m ostrar esto e n un artículo publicado e n 1976. E l supuesto su b y a­ cente e s q u e los precios d e futuros tienen la m ism a propiedad logarítm ica norm al q u e asum im os para los precios d e las acciones en e l capítulo 12. Las ecuaciones (13.4) y (13.5) proporcionan el precio d e una opción de co m p ra eu ro p ea, c, y el precio d e una opción de venta e u ro p e a ,/? ,p a ra una opción sobre futuros, reem plazando S0 por F0 y q = r. c = e - ' T{FllN ( d l ) - K N ( d 2)\

(14.7)

p = e~rT[ K N (—d 2) - Fu N ( - d \ )]

(14.8)

donde ,

ln ( F „ /K ) + 0 y que no hay ninguna diferencia entre los contratos a plazo y de futuros. (Sugerencia: siga un m étodo análogo a l indicado e n e l problem a 13.12). 14.20. C alcule e l precio d e una o p ció n de co m p ra eu ro p ea a tre s m eses sobre e l valor sp o t d e la plata. El precio de futuros a tres m eses e s de $ 12, el precio de ejercicio e s d e $ 13, la ta s a de interés libre de riesgo e s de 4% y la volatilidad del precio d e la plata e s d e 25%.

Preguntas de tarea 14.21. Un precio d e futuros e s actualm ente de 4 0 . Se sabe q u e al térm ino de tres m eses e l precio será d e 35 o 4 5 . ¿C uál e s el valor d e una opción d e co m p ra europea a tre s m eses sobre el contrato d e futuros, con un precio de ejercicio de 4 2 , si la ta sa d e interés libre d e riesgo es de 7 % anual? 14.22. C alcu le la volatilidad im plícita d e los precios de futuros de soya con base en la siguiente in ­ form ación relacionada c o n una opción de venta eu ro p ea sobre futuros d e soya: frec io d e futuros actual

525

Precio d e ejercicio

525

Tasa d e interés libre d e riesgo

6 % anual

Tiem po a l vencim iento

5 m eses

IVecio d e la opción d e venta

20

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CAPÍTULO 14 14.23. H oy e s 4 d e febrero. Las opciones de co m p ra d e ju lio sobre futuros d e m aíz, con precios d e ejercicio d e 260, 270, 280, 290 y 300 cuestan 26.75, 21.25, 17.25, 14.00 y 11.375, resp ec­ tivam ente. Las opciones d e venta de ju lio con estos precios de ejercicio cuestan 8 .5 0 ,1 3 .5 0 , 19.00, 25.625 y 32.625, respectivam ente. Las opciones vencen el 19 d e ju n io , e l precio d e futuros actual de m aíz d e ju lio es d e 278.25 y la ta sa d e interés libre de riesgo es de 1.1%. C alcule las volatilidades im plícitas d e las opciones c o n e l softw are DerivaGem . C om ente los resultados q u e obtenga. 14.24. C alcule el precio de una o p ció n d e v enta eu ro p ea a seis m eses sobre e l valor spot del índi­ ce S & P 500. E l precio a plazo a seis m eses del índice e s d e 1,400, e l precio d e ejercicio es d e 1,450, la ta sa de interés libre d e riesgo e s d e 5% y la volatilidad d e l ín d ice e s d e 15%.

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Las letras griegas C A P Í T U L O

U na institución financiera q u e vende una opción a un c lie n te e n e l m ercado over-the-counter se e n ­ frenta a l problem a de m anejar su riesgo. Si resulta q u e la opción e s igual a u n a q u e se negocia en una bolsa, la institución financiera p u ed e neutralizar su exposición al co m p rar en la bolsa la m is­ m a opción que había vendido. Sin em bargo, cuando la opción se h a adaptado a las necesidades d e un cliente y no corresponde a los productos estandarizados q u e se negocian e n las bolsas, la c o b er­ tura a la exposición e s más difícil. E n e ste capítulo analizam os algunos d e los m étodos alternativos para resolver e ste problem a. A bordam os lo q u e se conoce com únm ente com o las “ letras griegas” o sim plem ente las “g rieg as” . C ada letra griega m ide un aspecto diferente del riesgo e n una posición en opciones y e l objetivo de un negociante e s m anejar las letras griegas d e tal m anera que todos los riesgos sean aceptables. El análisis presentado en este capítulo se aplica a los creadores de m ercado d e opciones q u e operan en una bolsa, a s í com o a los negociantes over-the-counter q u e trabajan para instituciones financieras. H acia e l final d e l capítulo considerarem os la creación sintética de opciones. Esto se relaciona de c erca c o n la co b ertu ra de opciones. L a creación sintética de u n a posición e n opciones e s básica­ m ente la m ism a tarea q u e cu b rir la posición opuesta e n opciones. Por ejem plo, c re ar sintéticam en­ te u n a posición larga e n una opción d e co m p ra e s igual a c u b rir una posición c o rta e n la opción d e com pra.

15.1 E J E M P L O En las secciones siguientes usam os com o ejem plo la posición d e u n a institución financiera q u e ven­ dió e n $300,000 una opción de co m p ra europea sobre 100,000 acciones de una acción que no p a ­ ga dividendos. A sum im os q u e el precio de la acción es d e $49, e l precio d e ejercicio e s d e $ 5 0 , la tasa d e interés libre d e riesgo es de 5% anual, la volatilidad del precio de la acció n e s de 20% anual, el tiem po al vencim iento es d e 20 sem anas (0.3846 añ o s) y el rendim iento esperado d e la acció n es de 13% an u al.1 Con nuestra notación usual, e sto significa q u e S0 = 4 9 ,

K = 50,

r = 0.05,

cr = 0.20,

7 = 0 .3 8 4 6 ,

¿ K o igual a cero en caso contrario. Al parecer, el costo total, Q , d e suscribir y cubrir la opción e s igual a l valor intrínseco de la opción: Q = máx(S0 - K, 0)

(15.1)

Esto se d e b e a q u e todas las com pras y ventas posteriores al tiem po cero se realizan a l precio K. Si esto fuera correcto, e l plan d e cobertura funcionaría perfectam ente al no haber co sto s d e tra n sac ­ ción. A dem ás, el costo d e cu b rir la opción siem pre sería m enor q u e su precio d e B lack-Scholes. Por consiguiente, un inversionista p o d ría o b ten er beneficios libres d e riesgo al suscribir opciones y c u ­ brirlas. H ay dos razones básicas por las q u e la ecuación (15.1) e s incorrecta. La prim era es que los flu ­ jo s d e efectivo para el coberturista ocurren en diferentes tiem pos y deben descontarse. La segunda es q u e las com pras y ventas no pueden realizarse exactam ente a l m ism o precio K. E ste segundo punto es decisivo. Si asum im os un m undo neutral a l riesgo con tasas d e interés d e cero , podem os justificar q u e se ignore e l valor del dinero e n el tiem po. Sin em bargo, no podem os asu m ir legítim a­ m ente que tanto las com pras com o las ventas se realicen al m ism o precio. Si los m ercados son e fi­ cientes, el coberturista no p u ed e saber si, cuando e l precio d e la acció n es igual a K, co ntinuará por arriba o p o r debajo d e K. E n la práctica, las com pras d eb en realizarse a un precio d e K + € y las ventas a un precio d e K para alguna cifra positiva pequeña, e. Por lo tanto, c ad a co m p ra y venta posterior im plica un costo (independiente de los co sto s de transacción) d e 2e. U na respuesta natural d e parte del c o ­ berturista es v igilar las variaciones d e precio de m anera más cercan a d e ta l m odo q u e e se reduzca. Si asum im os que los precios d e las acciones cam bian continuam ente, e puede reducirse arb itraria­ m ente vigilando d e cerca los precios de las acciones. No obstante, a m edida que e se reduce, las n e ­ gociaciones ocurren con m ayor frecuencia. P o r consiguiente, e l co sto m ás bajo por transacción se

F ig u r a 1 5 .1

Estrategia stop-loss

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CAPÍTULO 15

328

T a b la 1 5 .1 D esem peño d e la estrategia stop-loss. (L a m edida de desem peño es la relación entre la desviación estándar del co sto de suscribir y c u b rir la opción para e l precio teórico de la opción) A i (sem anas): D esem peño d e la c o b ertu ra

5

4

2

l

0.5

0.25

1.02

0.93

0.82

0.77

0.76

0.76

com pensa con el aum ento de la frecuencia d e las negociaciones. A m edida q u e e 0, e l núm ero esperado de transacciones tiende al infinito. U na estrategia stop-loss, au n q u e e s atractiva a sim ple vista, no funciona particularm ente bien como un plan d e cobertura. C onsidere su uso para una o p ció n ont o fth e m oney. Si e l precio de la a c ­ ción nunca llega al precio de ejercicio d e A', e l plan d e cobertura no cuesta nada. Si la trayectoria del precio d e la acción cruza e l nivel del precio de ejercicio m uchas veces, e l plan e s m uy costoso. La sim ulación M onte C ario se usa para evaluar e l desem peño general de la co b ertu ra stop-loss. Esto consiste e n realizar un m uestreo al a za r d e las trayectorias del precio de la acción y observar los re ­ sultados del uso del plan. La tabla 15.1 m uestra los resultados de la opción considerada en la sec­ ción 15.1. E sta tabla asum e que e l precio d e la acción se observa al final d e intervalos de tiem po con una duración A/.5 La m edida de desem peño de la cobertura e s la relación entre la desviación e stá n ­ dar del costo de cubrir la opción y el precio Black-Scholes d e la opción. C ada resultado se basa en 1,000 trayectorias d e m uestra del precio de la acción y tiene un error estándar aproxim ado d e 2%. A parentem ente, es im posible producir un valor para la m edida d e desem peño d e la cobertura por d e ­ bajo de 0.70, independientem ente de q u é tan pequeño sea At.

15.4 C O B E R T U R A D ELT A La m ayoría d e los negociantes u sa planes d e cobertura m ás com plejos q u e los m encionados hasta ahora. Estos planes consisten en c alc u la r m edidas com o d elta, g am m a y vega. E n e sta sección ana­ lizam os e l rol d e delta. La delta de una o p ció n . A, se presentó e n e l capítulo 11 y se define co m o la ta sa de cam bio del precio d e la opción con respecto al precio del activo subyacente. L a pendiente de la cu rv a relacio­ na e l precio d e la opción con el precio del activo subyacente. Suponga q u e la d e lta d e u n a o p ció n de co m p ra sobre una acción e s d e 0.6. E sto significa q u e cuando e l precio de la acció n cam b ia en un m onto pequeño, el precio d e la opción cam bia alrededor d e 6 0 % d e e se m onto. L a figura 15.2 m uestra la relación entre e l precio de u n a opción d e co m p ra y e l precio d e la acción subyacente. C uando el precio de la acció n corresponde al punto A, e l precio de la opción corresp o n d e al punto B y A es la pendiente d e la línea indicada. E n general, la d e lta d e u n a opción d e co m p ra equivale a Ac/AS, d o n d e AS es un pequeño cam bio en el precio d e la acción y Ac es e l cam bio resultante en d precio de la opción d e com pra. Suponga q u e, en la figura 15.2, e l precio d e la acción es d e $100 y el precio de la o p ció n e s d e $10. C onsidere a un negociante q u e trab aja para una institución financiera y q u e vende 20 co n tra-

5 La regla d e co b ertu ra p recisa q u e s e u só fu e la sig u ien te. S i el p recio d e la ac ció n su b e d e u n nivel in fe rio r a K a u n nivel superior a K en u n in terv alo d e tie m p o co n una d u ra c ió n A/, la a c c ió n s e c o m p ra al final d el intervalo. Si b aja d e u n nivel s u ­ perior a ATa u n nivel in fe rio r a K en el m ism o in terv alo d e tiem p o , la a c c ió n s e v en d e al final d el in terv alo . D e o tro m o d o , no se lleva a c a b o nin g u n a acción.

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letras griegas

Figura 15.2

C álculo d e la d e lta

tos d e opciones d e co m p ra sobre una acción, es decir, opciones para com prar 2,000 acciones. La posición del negociante podría cu b rirse m ediante la co m p ra d e 0.6 X 2,000 = 1,200 acciones. La g an an cia (péidida) sobre la posición en las opciones se co m p en saría c o n la pérdida (ganancia) sobre la posición e n la acción. Por ejem plo, si e l precio d e la acción sube $1 (produciendo u n a g a ­ nancia de $1,200 sobre las acciones com pradas), e l precio d e la opción su b irá 0 .6 X $1 = $0.60 (produciendo una pérdida de $1,200 sobre las opciones suscritas); si el precio d e la acción baja $1 (produciendo una pérdida d e $1,200 sobre las acciones com pradas), e l precio de la opción b a ­ ja rá $0.60 (produciendo una ganancia d e $1,200 sobre las opciones suscritas). E n este ejem plo, la delta d e la posición del negociante e n las opciones es d e 0.6 X ( - 2 ,0 0 0 ) = - 1 ,2 0 0 . E n otras palabras, e l negociante pierde 1,200 AS robre la posición c o rta en las opciones cuando el precio d e la acció n au m en ta AS. L a d e lta de la acción e s 1.0, de tal m anera q u e la p o si­ ción larga e n 1,200 acciones tiene u n a delta d e + 1 ,2 0 0 . Por lo tan to , la d e lta d e la posición g e n e ­ ral del inversionista e s de cero. L a delta d e la posición en la acción com pensa la delta d e la p o si­ ción en las opciones. U na posición con una d e lta d e cero se conoce co m o delta neutral. Es im portante observar que, co m o la d e lta cam b ia, la posición del inversionista perm anece con una cobertura d e lta (o d e lta neutral) sólo durante un periodo relativam ente corto. L a cobertura d e ­ be ajustarse periódicam ente, lo q u e se co n o ce co m o reequilibrio. E n nuestro ejem p lo , al final d e un día, el precio d e la acción p o d ría a u m en tar a $110. C om o se indica e n la figura 15.2, un aum ento en el precio d e la acción o casio n a un increm ento d e la delta. Suponga que la d e lta sube de 0.60 a 0.65. Entonces sería necesario co m p rar 0 .0 5 X 2,000 = 100 acciones adicionales para m antener la cobertura. E sto se ilustra en el ejem plo 15.1. El plan de co b ertu ra delta q u e acabam os de d escrib ir es un ejem plo de un plan de cobertura dinám ica. E ste plan contrasta con los planes de cobertura está tica , e n los que la cobertura se e s ta ­ blece desde un principio y n u n ca se ajusta. E n ocasiones, los planes de cobertura estática tam bién se denom inan planes d e cu b rir y olvidarse. La delta se relaciona estrecham ente c o n e l análisis d e B lack-Scholes. C om o se explicó e n e l capítulo 12, Black y Scholes m ostraron q u e e s posible e s ta ­ blecer una cartera libre d e riesgo q u e co n siste en u n a posición e n una o p ció n sobre u n a acció n y una posición e n la acción. E xpresada e n térm inos d e A, la cartera d e B lack-Scholes es I — 1 : opción I + A : unidades d e la acció n

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CAPÍTULO 15

Ejemplo 15.1

Uso de cobertura delta

Un negociante que trabaja para una institución financiera vende 20 contratos de opciones de com pra (2,000 opciones) sobre c ierta acción. E l precio de la opción e s d e $10, e l precio d e la acción e s d e $100 y la d e lta d e la opción e s d e 0.6. La d e lta d e la posición e n las opciones e s d e 0 .6 X - 2 ,0 0 0 = 1,200. Prim era cobertura El negociante co m p ra 1,200 acciones para c re ar u n a posición d e lta neutral. C am bio d e precio D urante e l d ía siguiente, e l precio d e la acción aum enta a $ 110 y la d e lta cam b ia a 0.65. L a d e l­ ta d e la posición e n las opciones cam b ia a 0.65 X - 2 ,0 0 0 = 1,300. Reequilibrio d e la cobertura El negociante co m p ra 100 acciones adicionales para m antener la neutralidad delta. V_________________________________________________________________________________________ y Si usam os nuestra nueva term inología, podem os d ecir q u e B lack y Scholes valuaron opciones e s ­ tableciendo una posición delta neutral y dem ostrando q u e e l rendim iento sobre la posición debe ser la tasa d e interés libre d e riesgo.

Delta de opciones europeas sobre acciones En e l caso de u n a opción de co m p ra eu ro p ea sobre una acción q u e no paga dividendos, se p u ed e m ostrar q u e A = N ( d ]) donde d { se define com o e n la ecuación (12.5). El ejem plo 15.2 ilustra e sta fórm ula. La fórm ula proporciona la d e lta d e u n a posición larga e n una opción d e com pra. L a d e lta de una posición c o r­ ta e n una opción d e co m p ra e s - N ( ¿ i) . El uso d e la cobertura d e lta para una posición larga e n las opciones im plica m antener u n a posición c o rta e n N ( d x) acciones por c ad a opción com prada. Del mismo m odo, e l uso d e la cobertura d e lta para una posición c o rta en las opciones im plica m ante­ ner u n a posición larga e n N ( d {) acciones p o r c ad a opción vendida. En el caso de una opción d e venta eu ro p ea sobre una acción que no paga dividendos, la delta se o b tiene por m edio d e A = N (di)- 1

Ejemplo 15 .2

D rita de una opción sobre una acción

C bnsidere u n a opción d e co m p ra sobre una acción q u e no paga dividendos, donde el precio de la acción es de $49, e l precio d e ejercicio e s de $50, la ta sa d e interés libre d e riesgo e s d e 5%, d tiem po a l vencim iento es de 20 sem anas ( = 0.3846 años) y la volatilidad e s d e 20% . En e ste caso, tenem os d ln (4 9 /5 0 ) + (0.05 + 0 .2 2) x 0.3846 Q^ 1

0.2 x < /O íi3 6

La d e lta e s N ( d x) o 0.522 . C uando e l precio d e la acción c am b ia e n AS, e l precio d e la o p ció n cam bia e n 0.522AS.

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331

letras griegas

F ig u ra 1 5 .3 Variación de la d e lta con e l precio d e la acción para a ) u n a opción de co m p ra y b) u n a opción d e venta sobre una acción q u e no paga dividendos

La d e lta es negativa, lo q u e significa q u e una posición larga e n una opción de venta debe cu b rirse con una posición larga e n la acció n subyacente, y u n a posición c o rta en una opción d e venta d e b e cubrirse con u n a posición corta en la acció n subyacente. La figura 15.3 m uestra la variación d e la delta d e u n a opción d e co m p ra y de una opción de venta con el precio d e la acción. L a figura 15.4 m uestra la variación d e la d e lta con e l tiem p o a l vencim iento d e opciones d e co m p ra in the m oney, ai th e m oney y ont o ftlte m oney.

Aspectos dinám icos de la cobertura delta Las tablas 15.2 y 15.3 proporcionan dos ejem plos de la operación d e la co b ertu ra d e lta para e l e jem ­ plo de la sección 15.1. Se a su m e que la co b ertu ra se aju sta o reequilibra sem analm ente. El valor

F ig u ra 1 5 .4 Patrones típ ico s d e la variación d e la d e lta c o n e l tiem po al vencim iento d e una o p ­ ción de co m p ra

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CAPÍTULO 15

332

inicial d e la d e lta d e la opción vendida se calcu la a p artir de los datos d e la sección 15.1 e n 0.522 (vea e l ejem plo 15.2). La d e lta de la posición c o rta d e la institución financiera en las opciones es efe 0.522 X - 1 0 0 ,0 0 0 = -5 2 ,2 0 0 . Esto significa q u e, tan pronto co m o se suscribe la opción, es necesario com prar 52,200 acciones a un co sto d e $49 X 52,200 = $2,557,800. A sum im os q u e e s ­ te dinero se ad q u iere e n préstam o a una ta sa de interés d e 5%. P o r consiguiente, se incurre e n un costo de interés d e aproxim adam ente $2,500 e n la prim era sem ana. En la tabla 15.2 e l precio d e la acción baja a l final d e la prim era sem ana a $48.12. La delta de la opción dism inuye a 0.458, d e m odo que la nueva d e lta de la posición en las opciones e s d e 0.458 X -1 0 0 ,0 0 0 = -4 5 ,8 0 0 . E sto significa que d eb en venderse 6,400 acciones com pradas e n la sem ana 0 para m antener la cobertura. L a estrategia o b tien e $308,000 e n efectivo y la d eu d a acu m u ­ lada a l térm ino d e la sem ana 1 se reduce a $2,252,300. D urante la segunda sem ana, e l precio de la acción baja a $47.37, la d e lta d ism inuye nuevam ente, etc. H acia el final d e la vida d e la opción, es evidente que é sta se ejercerá y q u e su d e lta se aproxim a a 1.0. P o r lo tan to , para la sem ana 20 el coberturista tiene u n a posición totalm ente cu b ierta. R ecibe $5 m illones p o r la acción m antenida, de modo q u e e l costo total de suscribir y cu b rir la opción es de $263,300. La tabla 15.3 presenta una secuencia alternativa d e sucesos tales que la opción c ierra o u t o fth e money. A m edida q u e se evidencia q u e la opción no se ejercerá, la d e lta se aproxim a a cero. Para la sem ana 20, e l coberturista tiene u n a posición d escu b ierta y h a incurrido e n costos q u e ascienden a $256,600.

T a b la 1 5 .2 Sim ulación d e la co b ertu ra delta. L a opción c ierra in th e m o n ey y e l co sto d e la cobertura es de $263,300

Sem ana

Precio de la acción

D elta

Costo de las acciones com pradas ($ 0 0 0 )

Costo acum ulativo incluyendo e l interés ($ 0 0 0 )

l 2

4 7 .3 7

3 4

5 0 .2 5 5 1 .7 5

5 6

5 3 .1 2 5 3 .0 0

0 .6 9 3 0 .7 7 4 0.771

7 8

5 1 .8 7 5 1 .3 8

0 .7 0 6 0 .6 7 4

(6 .5 0 0 ) (3 .2 0 0 )

9

5 3 .0 0

0 .7 8 7

10

ll

4 9 .8 8 4 8 .5 0

0 .5 5 0 0 .4 1 3

11.300 (2 3 .7 0 0 )

12 13

4 9 .8 8 5 0 .3 7

0 .5 4 2 0.591

12.900 4 .9 0 0

6 4 3 .5 2 4 6 .8

2 .8 0 6 .2 3 .0 5 5 .7

2 .7 2 .9

14

0 .7 6 8

17.700

15

5 2 .1 3 5 1 .8 8

3.8 3.8

5 2 .8 7

(9 0 0 ) 10.600

3 .9 8 1 .3 3 .9 3 8 .4

16

0 .7 5 9 0 .8 6 5

9 2 2 .7 (4 6 .7 ) 5 6 0 .4

17 18 19

5 4 .8 7 5 4 .6 2

0 .9 7 8 0 .9 9 0

11.300 1.200

4.3 4 .9

5 .1 9 7 .3

5.0

5 5 .8 7 5 7 .2 5

1.000 1.000

1.000

6 2 0 .0 65.5 5 5 .9

4 .5 0 2 .6 5 .1 2 6 .9

0

5 .2 5 8 .2 5 ,2 6 3 .3

5.1

0 .0

20

0 .4 5 8 0 .4 0 0 0 .5 9 6

5 2 ,2 0 0 (6 .4 0 0 )

2 .5 5 7 .8 ( 3 0 8 .0 )

(5 .8 0 0 ) 19.600

(2 7 4 .7 9 8 4 .9

2 .2 5 2 .3 1.979.8 2 ,9 6 6 .6

9 .7 0 0 8 .1 0 0

5 0 2 .0

3 ,4 7 1 .5

3.3

(3 0 0 )

4 3 0 .3 (1 5 .9 )

3.905.1 3 ,8 9 3 .0

3.8 3.7

( 3 3 7 .2 ) (1 6 4 .4 )

3 ,5 5 9 .5

3.4

3 .3 9 8 .5 4 .0 0 0 .7

3.3 3.8

2 .8 2 2 .3 2 .1 6 0 .6

2.7 2.1

(1 3 .7 0 0 )

5 9 8 .9 (1 ,1 8 2 .2 ) (6 6 4 .4 )

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2 ,5 5 7 .8

Costo de interés ($000)

4 9 .0 0 4 8 .1 2

0

0 .5 2 2

Acciones com pradas

2.5 2 .2 1.9 2 .9

333

Las letras griegas

T a b la 1 5 .3 Sim ulación d e la cobertura delta. La opción c ierra oiit q fth e m o n ey y e l costo d e la c o b ertu ­ ra e s = $256,600

Sem ana

Precio de la acción

D elta

Acciones com pradas

0 l 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

49.00 49.75 52.00 50.00 48.38 48.25 48.75 49.63 48.25 48.25 51.12 51.50 49.88 49.88 48.75 47.50 48.00 46.25 48.13 46.63 48.12

0.522 0.568 0.705 0.579 0.459 0.443 0.475 0.540 0.420 0.410 0.658 0.692 0.542 0.538 0.400 0.236 0.261 0.062 0.183 0.007 0.000

52.200 4.600 13.700 (12.600) (12.000) (1.600) 3.200 6.500 (12.000) (1.000) 24.800 3.400 (15.000) (400) (13.800) (16.400) 2.500 (19.900) 12.100 (17.600) (700)

Costo d e las acciones com pradas ($ 0 0 0 )

Costo acu m u la tivo incluyendo e l interés ($ 0 0 0 )

Costo de interés ($000)

2.557.8 228.9 712.4 (630.0) (580.6) (77.2) 156.0 322.6 (579.0) (48.2) 1.267.8 175.1 (748.2) (20.0) (672.7) (779.0) 120.0 (920.4) 582.4 (820.7) (33.7)

2.557.8 2.789.2 3.504.3 2.877.7 2.299.9 2.224.9 2.383.0 2.707.9 2.131.5 2.085.4 3.355.2 3.533.5 2,788.7 2,771.4 2.101.4 1,324.4 1.445.7 526.7 1.109.6 290.0 256.6

2.5 2.7 3.4 2.8 2.2 2.1 2.3 2.6 2.1 2.0 3.2 3.4 2.7 2.7 2.0 1.3 1.4 0.5 1.1 0.3

E n las tablas 15.2 y 15.3, cuando los costos de la cobertura de la opción se descuentan al in i­ cio del periodo, se aproxim an al precio d e B lack-Scholes d e $240,000, au n q u e no son del todo igua­ les a éste. Si e l plan d e cobertura íu ncionara d e m anera perfecta, e l costo d e la cobertura, después de d e sc o n ta d o , sería exactam ente igual a l precio d e B lack-Scholes para c ad a trayectoria sim ulada del precio de la acción. L a razón d e la variación del costo de la cobertura d e lta e s q u e la cobertura se reequilibra sólo una vez por sem ana. A m edida q u e e l reequilibrio se realiza c o n más frecu en ­ cia, dism inuye la variación del co sto de la cobertura. P o r supuesto, los ejem plos presentados e n las tablas 15.2 y 15.3 son poco realistas e n cuanto a que asum en q u e la volatilidad e s co n stan te y no hay costos de transacción.

T a b la 1 5 .4 D esem peño d e la cobertura delta. La m edida de desem peño e s la relación e n ­ tre la desviación estándar del co sto d e suscribir y cu b rir la opción y e l precio teó rico d e la opción Tiem po entre e l reequilibrio de la cobertura (sem anas): M edida de desem peño:

5

4

2

l

0 .5

0.25

0.43

0.39

0 .2 6

0.19

0.14

0.09

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CAPÍTULO 15 La ta b la 15.4 m uestra las estadísticas del desem peño d e la cobertura d e lta con base en 1,000 trayectorias a l azar del precio de la acción d e nuestro ejem plo. Al igual q u e en la ta b la 15.1, la m e­ cida d e desem peño e s la relación entre la desviación están d ar del co sto d e cu b rir la opción y e l p re ­ cio de B lack-Scholes de la opción. E s evidente que la cobertura delta es un gran adelanto sobre la estrategia stop-loss. A diferencia d e e sta estrategia, la estrategia d e cobertura d e lta m ejora co n stan ­ tem ente conform e la cobertura se v ig ila c o n m ás frecuencia. La cobertura delta tie n e com o objetivo m antener e l valor d e la posición d e la institución finan­ ciera ta n constante com o sea posible. Inicialm ente, e l valor d e la opción suscrita e s de $240,000. En la situación presentada e n la ta b la 15.2, e l valor d e la opción se c alc u la e n $414,500 en la se ­ mana 9. Por consiguiente, la institución financiera perdió $174,500 sobre su posición c o rta en las opciones. Su posición de caja, m edida por e l co sto acum ulativo, es peor e n $1,442,900 en la sem a­ na 9 q u e e n la sem ana 0. El valor d e las acciones m antenidas aum entó de $2,557,800 a $4,171,100. B efecto neto d e todo esto e s q u e el valor d e la posición d e la institución financiera cam bió sólo en $4,100 du ran te e l periodo d e nueve sem anas.

Procedencia del costo E procedim iento de co b ertu ra d e lta presentado e n las tablas 15.2 y 15.3 c re a sintéticam ente una posición larga e n la opción. E sto neutraliza la posición corta q u e la institución financiera creó al suscribir la opción. C om o m uestran las tablas, la cobertura d e lta d e u n a posición c o rta im plica g e ­ neralm ente vender la acción ju sto después d e q u e su precio haya dism inuido y com prarla ju sto d e s ­ pués de q u e su precio haya aum entado. ¡Esto podría denom inarse u n a estrategia d e negociación d e com prar alto y vender bajo! El co sto d e $240,000 proviene d e la diferencia prom edio e n tre e l p re ­ cio pagado por la acción y el precio obtenido p o r ella.

Delta de una cartera La d e lta d e una c artera d e opciones o d e otros derivados que d ep en d e de un solo activo cuyo p re ­ cio e s S se o b tiene por m edio d e An ~AS donde A S es un pequeño cam bio e n e l precio d e l activo y A U es el cam bio resultante e n e l valor de la cartera. La d e lta de la c artera p u ed e calcularse a p artir de las d eltas de las opciones individuales in clu i­ das en la cartera. Si una cartera co n siste en una cantidad w . de la o p ció n i(I n ), la delta d e la cartera se obtiene por m edio de n A

= ]T » ',A ,• 1=1

donde A i es la delta de la ima opción. L a fórm ula se usa para calcular la posición en el activo subya­ cente o en un contrato d e futuros sobre el activo subyacente q u e se requiere para hacer que la d e lta de la cartera sea igual a cero. C uando se ha tom ado e sta posición, la cartera se denom ina delta neutral. Suponga que u n a institución financiera tiene las tres posiciones siguientes en opciones sobre una acción: 1. U na posición larga e n 100,000 opciones d e co m p ra con un precio d e ejercicio d e $55 y una fecha d e vencim iento en tres m eses. L a d e lta d e c ad a opción e s d e 0.533. 2. U na posición corta e n 200,000 opciones d e co m p ra con un precio de ejercicio d e $56 y una fecha d e vencim iento en cinco m eses. L a delta d e cada opción e s d e 0.468.

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335

Las letras griegas

3 . U na posición c o rta e n 50,000 opciones d e venta con un precio d e ejercicio d e $56 y una fe ­ cha d e vencim iento e n dos m eses. La d e lta de cada opción e s d e -0 .5 0 8 . La d e lta d e to d a la cartera es 100,000 X 0.533 - 200,000 X 0.468 - 50,000 X ( - 0 .5 0 8 ) = -1 4 ,9 0 0 Esto significa q u e se puede lograr q u e la cartera sea d e lta neutral por m edio d e la co m p ra d e 14,900 acciones.

Costos de transacción El m antenim iento de una posición delta neutral e n una sola opción y e l activo subyacente, e n la fo r­ m a que acabam os de describir, tiende a ser excesivam ente caro debido a los co sto s d e transacción incurridos en las transacciones. L a neutralidad d e lta e s m ás factible para una c artera grande d e o p ­ ciones. Sólo se requiere u n a transacción e n el activo subyacente para h acer q u e la d e lta d e toda la cartera sea igual a cero. L o s costos d e transacción d e la co b ertu ra se absorben p o r los beneficios obtenidos e n diversas transacciones.

15.5 T H E T A La theta de una cartera d e o p cio n es, 0 , e s la ta sa d e cam bio del valor d e la cartera con respecto al paso del tiem po, siem pre q u e todo lo d em ás perm anezca constante. Específicam ente, AI1 At donde A II es e l cam bio e n e l valor de la c artera cuando transcurre u n a cantidad de tiem p o At y to ­ do lo dem ás perm anece constante. E n ocasiones, theta se d en o m in a decaim iento d e l tiem p o (tim e decay) de la cartera. E n e l caso de u n a opción d e co m p ra eu ro p ea sobre una acción que no paga d i­ videndos, se puede m ostrar con la fórm ula de B lack-Scholes q u e

2v 7 donde d { y d 2 se definen co m o e n la ecuación (12.5) y N \ x ) = 4 = < - - ' 2/2

V2 7T

(15.2)

es la función de distribución d e probabilidades para una distribución norm al estándar. E n e l caso d e una opción de venta eu ro p ea sobre la acción, e = -

' ^

^

+ r K e - 'r N ( - l h )

Puesto q u e A ^(- í^ ) = 1 th e ta d e una opción d e venta excede a la th e ta d e la opción d e com pra correspondien te e n rK e~ rJ. El ejem plo 15.3 proporciona una aplicación d e estas fórm ulas. E n estas fórm ulas el tiem po se m ide e n años. G eneralm ente, cuando se co tiza la theta, el tie m ­ po se m ide en días, d e m odo q u e la th e ta es e l cam bio en e l valor de la cartera cuando transcurre un día y todo lo dem ás perm anece constante. Tam bién podem os m edir la th e ta “ por d ía n atu ral” o “p o r d ía d e negociación”. Para obtener la theta por día natural, la fórm ula para la theta debe dividirse

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CAPÍTULO 15

Ejemplo 15.3

Theta de una opción sobre acciones

Al igual q u e en e l ejem plo 15.2, considere u n a opción d e co m p ra sobre una acción que no paga dividendos, e n la q u e e l precio d e la acció n es d e $49, e l precio d e ejercicio es d e $50, la ta s a d e interés libre de riesgo es d e 5% , e l tiem po a l vencim iento e s de 20 sem anas ( = 0.3846 añ o s) y la volatilidad e s d e 20% . E n e ste c a so , S0 = 4 9 , K = 50, r = 0.05, a = 0.2 y T = 0.3846. La theta d e la opción es S o N 'id ^ a

r K e ~ 'T N { d i) — —4.31

La theta e s d e -4 .3 1 /3 6 5 = -0 .0 1 1 8 por d ía natural o -4 .3 1 /2 5 2 = - 0 .1 7 1 por d ía d e nego­ ciación.

entre 365; para obtener la th e ta por d ía d e negociación, d e b e dividirse e n tre 252. (El software EterivaGem mide la theta por d ía natural). La th e ta e s usualm ente negativa para una o p ció n .6 Esto se d e b e a q u e co n fo rm e el tiem p o al vencim iento dism inuye y todo lo dem ás perm anece constante, e l valor d e la o p ció n tiende a d ism i­ nuir. La figura 15.5 m uestra la variación d e 0 con e l precio de la acción para una opción de c o m ­ pra sobre una acción. C uando e l precio d e la acción e s muy bajo, la th e ta se aproxim a a cero. E n el caso d e una opción de co m p ra a t the m o n ey, la th e ta es grande y negativa. A m edida q u e aum enta d precio de la acción, la theta tie n d e a - r K e ~ rT. L a figura 15.6 m uestra patrones típicos d e la va­ riación d e 0 con e l tiem po a l vencim iento para opciones d e co m p ra in the m o n ey, at th e m o n ey y o u t o f the m oney. T heta no e s el m ism o tipo d e parám etro d e cobertura q u e delta. H ay ineertidum bre sobre e l pred o futuro d e la acción, pero no la h a y en cuanto a l paso del tiem po. T iene sentido c u b rir co n tra los cambios e n e l precio del activo subyacente, pero no lo tie n e c u b rir c o n tra e l efecto del paso del tiempo sobre una cartera d e opciones. A p esar de esto , m uchos negociantes consideran que th e ta es una estadística descriptiva útil para una cartera. C om o verem os m ás adelante, esto se d e b e a q u e, en una cartera d e lta neutral, theta es un sustituto de gamm a.

F ig u ra 1 5 .5

Variación d e la th e ta d e una opción d e co m p ra europea con e l precio d e la acción

6 U n a e x c e p c ió n a esto p o d ría s e r u n a o p c ió n d e v en ta e u ro p e a in -th e -m o n e y s o b re u n a a c d ó n q u e n o p ag a d iv id en d o s, o

una o p c ió n d e c o m p ra e u ro p e a in -th e-m o n ey so b re u n a d iv isa c o n u n a ta sa d e in te rés m u y alta.

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337

Las letras griegas

F ig u ra 1 5 .6 Patrones típ ico s de la variación d e la th e ta de una opción d e com pra eu ro p ea con el tiem po e l vencim iento

15.6 G A M M A La gam m a, I \ d e una cartera d e opciones sobre un activo subyacente e s la ta sa de cam bio d e la d e l­ ta d e la cartera con respecto a l precio del activo subyacente. Si la gam m a es pequeña, la delta c am ­ bia lentam ente y los ajustes p a ra m antener una cartera delta neutral deben realizarse sólo e n o casio ­ nes. Sin em bargo, si la gam m a es grande e n térm inos absolutos, la delta e s m uy sensible al precio del activo subyacente. Entonces es un gran riesgo m antener sin cam bios una cartera delta neutral d u ­ rante cualquier cantidad de tiem po. La figura 15.7 ilustra e ste punto. C uando e l precio de la acción cam bia d e S a S \ la cobertura d e lta asum e q u e e l precio de la opción v a n a d e C a C ' , cuando d e

F ig u ra 1 5 .7

Error de cobertura introducido por la no linealidad

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CAPÍTULO 15

Ejemplo 15.4

Impacto de la gamma en el cambio del valor de una cartera delta neutral

Suponga q u e la gam m a de una cartera d e lta neutral d e opciones sobre un activo es d e -1 0 ,0 0 0 . La ecuación (15.3) m uestra q u e si un cam bio d e + 2 o - 2 e n el precio del activo ocurre d u ran te un periodo corto, hay una dism inución inesperada en e l valor d e la cartera d e aproxim adam en­ te 0.5 X 10,000 X 22 = $20,000.

hecho varía d e C a C". L a diferencia e n tre C ' y C " da lugar a un error d e cobertura. E ste error depende d e la curvatura d e la relación e n tre e l precio d e la o p ció n y e l precio d e la acción. L a gam ­ ma mide e sta curvatura.7 Suponga q u e AS es el cam b io en e l precio d e un activo subyacente e n un pequeño intervalo, A/, y q u e A ü es e l cam bio correspondiente e n e l precio d e la cartera. E n e l caso de una cartera d e l­ ta neutral, es aproxim adam ente cierto que A n = 0 Ai +

A S2

(1 5 3 )

donde 0 es la theta d e la cartera. El ejem plo 15.4 proporciona una aplicación d e e sta fórm ula. La figura 15.8 ilustra la naturaleza de e sta relación e n tre A ü y AS para una cartera d e lta neu­ tral. M uestra q u e cuando gam m a es positiva, el valor d e la cartera d ism inuye si S no cam b ia, pero su valor aum enta si S experim enta un cam bio im portante, positivo o negativo. C uando gam m a es negativo, lo contrario e s verdad: e l valor d e la cartera au m en ta si S no cam b ia, pero su valor d is ­ m inuye si S sufre un cam bio im portante, ya sea positivo o negativo. A m edida q u e au m en ta e l va­ lor absoluto d e gam m a, se increm enta la sensibilidad d e l valor d e la cartera a AS.

Conversión de una cartera en gam m a neutral U na posición e n el activo subyacente m ism o o un contrato plazo e n e l activo subyacente, tien en una gam m a igual a cero y no se pueden usar para cam b iar la g am m a d e una cartera. Lo q u e se req u ie­ re e s una posición e n un instrum ento, com o una o p ció n q u e no dependa linealm ente del activo su b ­ yacente. Suponga que una cartera d e lta neutral tiene una gam m a igual a T y q u e una opción negociada tiene u n a gam m a igual a r f . Si e l núm ero d e opciones negociadas agregadas a la c artera e s w r e n ­ tonces, la gam m a d e la cartera es w Tr T + r Por lo tanto, la posición en la opción negociada que se requiere para convertir la c artera e n gam m a neutral e s —I7 T r . L a inclusión de la o p ció n negociada es probable q u e cam b ie la d e lta d e la c arte ­ ra, por lo q u e la posición e n el activo subyacente d e b e cam biarse p a ra m antener la neutralidad d e l­ ta. O bserve q u e la c artera e s g am m a neutral sólo durante un periodo co rto . A m edida q u e el tie m ­ po pasa, la neutralidad gam m a se m antiene únicam ente si la posición e n la opción negociada se ajusta de m odo q u e siem pre sea igual a - T / T r La conversión d e una cartera d e lta neutral e n g am m a neutral se co n sid era com o u n a prim era corrección por e l hecho d e que la posición e n e l activo subyacente no puede cam biarse de m anera continua cuando se usa la cobertura delta. L a neutralidad d e lta proporciona protección c o n tra va­ riaciones relativam ente pequeñas e n e l precio d e la acción entre reequilibrios. La neutralidad gam m a proporciona protección c o n tra variaciones m ayores en el precio d e la acción e n tre reeq u i­ librios de la cobertura. Suponga q u e una cartera e s d e lta neutral y q u e tie n e una g am m a d e -3 ,0 0 0 .

7 Efe h echo, lo s p ro fe sio n a les s e refieren e n o ca sio n e s a la g am m a d e u n a o p c ió n c o m o s u cu rva tu ra .

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339

letras griegas

F ig u r a 1 5 .8 R elaciones alternativas e n tre A n y AS para una cartera delta neutral: a) ligeram en­ te gam m a positiva, b) fuertem ente g am m a positiva, c) ligeram ente g am m a negativa y d ) fu erte­ m ente gam m a negativa An

An

AS

(a )

An

An

(c )

La d e lta y la gam m a de una o p ció n d e co m p ra negociada específica son 0.62 y 1.50, respectivam en­ te. La cartera se vuelve gam m a neutral a l incluir e n e lla una posición larga de 3 .0 0 0 =

2 ,000

1.5

en la opción d e com pra. No obstante, la delta d e la cartera cam b iará entonces d e cero a 2,000 X 0.62 = 1,240. P o r consiguiente, se deben vender 1,240 unidades d e l activo subyacente de la c arte ­ ra para m antenerla d e lta neutral. V ea e l ejem plo 15.5 para conocer un resum en d e e sta estrategia de negociación. Ejemplo 15.5

C bnversión d e una c artera e n g am m a y delta neutral

La cartera d e un negociante e s d e lta neutral y tiene una g am m a d e -3 ,0 0 0 . L a delta y la g am m a de una opción d e co m p ra negDciada específica son 0 .6 2 y 1.50, respectivam ente. El negociante desea convertir la cartera e n gam m a neutral, a s í co m o e n d e lta neutral. Para ello puede: 1. C onvertir la c artera e n g am m a neutral p o r m edio d e la co m p ra de 2,000 opciones (20 contratos). 2 . Vender 1,240 unidades del activo subyacente para m antener la neutralidad delta.

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CAPÍTULO 15

340

Ejemplo 15.6

Gamma de una opción sobre acciones

Al igual q u e e n e l ejem plo 15.2, considere una o p ció n de com pra sobre u n a acción que no paga dividendos, en la q u e e l precio d e la acción e s de $49, el precio de ejercicio e s d e $50, la ta sa d e interés libre d e riesgo e s d e 5% , e l tiem p o a l vencim iento e s d e 20 sem anas ( = 0.3846 años) y la volatilidad e s de 20% . E n e ste c a so , S0 = 4 9 , K = 50, r = 0.05, a = 0 .2 y T = 0.3846. La gam m a de la opción es N\d\)

= 0.0 6 6

C uando e l precio d e la acción cam bia e n AS , la d e lta d e la opción cam b ia en 0.066AS.

Cálculo de gam m a En e l caso de una o pción eu ro p ea d e co m p ra o d e venta sobre una acción q u e no paga dividendos, la gam m a se obtiene por m edio de r =

* V i)

S0( T y /f donde d x se define com o en la ecuación (12.5) y N \ x ) se o b tien e p o r medio de la ecuación (15.2). E ejem plo 15.6 proporciona una aplicación de esta fórm ula. La gam m a de u n a posición larga e n la opción siem pre es positiva y varía con S0,c o m o se indica e n la figura 15.9. La figura 15.10 m uestra la variación d e gam m a con e l tiem po a l vencim iento para opciones oía o fth e m oney, a i the m o n e y e in the m oney. En e l caso d e una opción ce the m o n ey, la gam m a aum enta a m edida q u e e l tiem po al vencim iento dism inuye. Las opciones a t the m o n ey de vida corta tienen gam m as muy altas, lo que significa que el valor de la posición del tenedor de la opción es m uy sensible a los increm entos en d precio de la acción.

15.7 R E L A C IO N E N T R E DELTA, T H E T A Y G A M M A E análisis de Black-Scholes m uestra q u e las letras griegas para una cartera de opciones d e com pra, op­ ciones d e venta y otros instrum entos financieros que dependen de un activo q u e no paga dividendos F ig u ra 1 5 .9

Variación d e g am m a con el precio de la acción para una o p ció n

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341

Las letras griegas

F ig u r a 1 5 .1 0

C ria c ió n d e g am m a con e l tiem po a l vencim iento para una opción sobre acciones

deben satisfacer © + rS u A +

= rfl

(15.4)

donde S0 es e l precio del activo y A ü es el valor d e la cartera. E n e l caso d e una cartera delta neutral, A = 0, de m odo q u e

© + j(rSÜr = ;-n Esto m uestra q u e cuan d o 0 es grande y positiva, la gam m a de una cartera tie n d e a ser g ran d e y n e ­ gativa, y viceversa. E sto concuerda con la figura 15.8 y explica por qué theta es co n sid erad a e n o c a ­ siones com o un sustituto d e gam m a e n una cartera delta neutral.

15.8 V E G A H asta a h o ra hem os asum ido en form a im plícita q u e la volatilidad del activo subyacente a un d e ri­ vado e s constante. E n la práctica, las volatilidades cam bian con el paso del tiem po. E sto significa que el valor d e un derivado e s susceptible a cam b iar d eb id o a los cam bios e n la volatilidad, a sí c o ­ mo a los cam bios e n e l precio del activo y e l paso del tiem po. L a vega d e una cartera de derivados, V, es la tasa de cam bio del valor de la cartera con respecto a la volatilidad del activo subyacente.8 Si la vega es alta en térm inos absolutos, el valor d e la cartera es muy sensible a pequeños cam bios e n la volatilidad. Si la vega es baja en térm inos absolutos, los cambios en la volatilidad tien en un impacto relativam ente bajo en el valor de la cartera.

8 V ega e s e l nom bre d ad o a una d e las "le tra s g riegas” e n la v alu ació n d e o p cio n es, pero no e s una d e las letras d el alfab eto griego.

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CAPÍTULO 15

Ejemplo 15.7

Conversión de una cartera en delta, gamma y vega neutral

C onsidere una cartera q u e e s d e lta neutral, con una g am m a d e - 5 ,0 0 0 y una vega d e -8 ,0 0 0 . U na opción negociada tiene una gam m a d e 0.5, u n a vega d e 2.0 y u n a d e lta de 0.6. La cartera puede volverse vega neutral al incluir una posición la ig a en 4,000 opciones negociadas. E sto a u ­ m entaría la delta a 2,400 y requeriría la venta de 2,400 unidades d e l activo para m antener la n e u ­ tralidad delta. La gam m a d e la cartera cam biaría d e - 5 ,0 0 0 a - 3 0 0 0 . Para convertir la cartera e n gam m a y vega neutral, supongam os q u e hay una segunda o p ­ ción negociada con una g am m a de 0.8, u n a vega de 1.2 y una delta d e 0.5. Si w x y w 2 san las cantidades d e las d o s opciones negociadas incluidas en la cartera, requerim os

—5.000 + 0.5u>| +

0.S w 2

=0

— 8,000 + 2.0w} + 1. l w 2 = 0 La solución a estas ecuaciones e s zu] = 4 0 0 , w 2 = 6,000. Por lo tan to , la cartera puede conver­ tirse en gam m a y d e lta neutral al incluir 400 unidades d e la prim era opción negociada y 6,000 unidades de la segunda opción negociada. La delta d e la cartera después de incluir las posiciones en las dos opciones negociadas es de 400 X 0 .6 + 6,000 X 0.5 = 3,240. Por consiguiente, te n ­ drían q u e venderse 3,240 unidades del activo para m antener la neutralidad delta.

U na posición e n e l activo subyacente tiene u n a vega d e cero. Sin em bargo, la vega d e una c a r­ tera se puede cam b iar agregando una posición e n una opción negociada. Si V es la vega de la cartera y V T es la vega d e una o p ció n negociada, una posición d e —V /V r en la o p ció n negociada hace q u e la cartera sea instantáneam ente vega neutral. Por desgracia, una cartera q u e e s gam m a neu­ tral no será, en general, vega neutral y viceversa. Si un coberturista requiere q u e una cartera sea ta n ­ to gam m a com o vega neutral, por lo co m ú n se necesitaría usar al m enos dos derivados negociados que dependan del activo subyacente. E sto se ilustra e n e l ejem plo 15.7. En e l caso d e una opción eu ro p ea d e co m p ra o de venta sobre una acción q u e no paga d iv id en ­ dos, la vega se obtiene por m edio d e v

= suV t n '( t

y S* = S - D e - « T- iA'> cuando iA t ^ t donde D es e l dividendo. D efina o * co m o la volatilidad d e S * y asu m a q u e o * es co n stan te.3 Los parám etros p , u y d se calculan c o n las ecuaciones (16.4), (16.5), (16.6) y (16.7), reem plazando cr por o*, por lo que el árbol puede co n stru irse e n la form a usual para representar S*. Si sum am os el valor presente d e los dividendos futuros (si los hay) al precio de la acción e n c ad a nodo, el árbol puede convertirse e n otro árbol para representar S. Suponga q u e Sg es e l valor d e 5 * e n e l tiem po cero. E n el tiem po iA t, los nodos d e e ste árbol corresponden a los precios de la acción S ¡ u Jd ' - J + D e~r" - ¡ M

0 = 0. 1

i)

cuando iA t < r y

sSuW -J o = o, i

o

cuando i A l > r. E s te m étodo, q u e tiene la ventaja d e co ncordar con e l m étodo para las opciones e u ­ ropeas d e la sección 12.9, tiene éxito e n lograr una situación d o n d e el árbol se recom bina de ta l m o­ do q u e hay i + 1 nodos en e l tiem p o iAt. Podem os generalizar d e m anera d irecta p a ra m anejar una situación e n la que hay varios dividendos. El ejem plo 16.3 ilustra e ste m étodo.

16.4 A M P L IA C I O N E S D E L M E T O D O B A S IC O D E Á R B O L E S B IN O M I A L E S A hora explicam os dos form as e n las q u e se puede am pliar el m étodo d e árboles binom iales.

Tasas de interés dependientes del tiempo H asta ahora hem os asum ido q u e las tasas de interés son constantes. C uando la estructura tem poral tiene u n a m arcada pendiente ascendente o descen d en te y se valúan opciones am ericanas, éste p u e ­ de no ser un supuesto satisfactorio. Es m ás adecuado asu m ir q u e la tasa d e interés para un periodo con una duración A t en e l futuro e s igual a la ta sa d e interés a plazo vigente para e s e periodo. P o ­ dem os adaptar e ste supuesto estableciendo

a = em A l

(16.12)

J En te o ría , a * e s lig eram en te m ay o r q u e 1 D.E. > 2 D.E. > 3 D.E.

25.04

31.73

5.27 1.34

4.55

> 4 D.E. > 5 D.E. > 6 D.E.

0.29 0.08 0.03

0.27 0.01 0.00 0.00

2 E sta ta b la s c to m b d c J.C . H ull y A . W h ite, “V alue a t R isk W h e n D aily C h a n g es in M a rk e t V ariables A rc N o t N o rm ally

D istributed” , Jo u rn a l o f D eriva tives, 5 , n o . 3 (p rim av cra d c 1 9 98), p p . 9-19.

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CAPÍTULO 17

382

P a n o rá m ica d e n e g o c io s 1 7 .1

C óm o g an ar dinero con opciones sobre divisas

Suponga q u e casi todos los participantes del m ercado piensan que los tipos d e cam b io tienen una distribución logarítm ica norm al. S e sentirían a g usto usando la m ism a volatilidad para valuar to ­ das las opciones sobre un tipo d e cam b io específico. U sted acaba d e realizar e l an álisis d e la ta ­ bla 17.1 y sabe q u e e l supuesto logarítm ico norm al no e s bueno para los tipos d e cam bio. ¿Q ué debe hacer? La respuesta es q u e usted d e b e co m p rar opciones d e co m p ra y d e venta deep o u t o fth e m on e y sobre diversas m onedas, y esperar. E stas opciones serán relativam ente baratas y m ás d e ellas cerrarán in th e m oney d e lo q u e predice e l m odelo logarítm ico norm al. El valor presente d e sus beneficios será e n prom edio m ucho m ayor q u e e l co sto d e las opciones. A m ediados d e la década d e 1980 pocos negociantes sabían de las colas pesadas d e las distri­ buciones d e probabilidades d e los tipos d e cam bio. El resto consideraba q u e el supuesto logarítm i­ co normal d e Black-Scholes e ra razonable. Los pocos negociantes q u e estaban bien inform ados si­ guieron la estrategia q u e hemos descrito y ganaron m ucho dinero. A finales d e la m ism a década todos se dieron cuenta d e que las opciones sobre divisas deben valuarse con una sonrisa d e volati­ lidad, por lo que la oportunidad d e negociación desapareció.

Razones de la sonrisa en las opciones sobre divisas ¿Por qué los tipos d e cam b io no tienen u n a distribución logarítm ica norm al? Dos d e las co n d icio ­ nes para q u e e l precio d e un activo te n g a u n a distribución logarítm ica norm al son que: 1. La volatilidad del activo sea constante. 2. El precio del activo c am b ie suavem ente, sin variaciones súbitas. En la práctica, los tipos d e cam bio no cum plen c o n ninguna d e estas condiciones. L a volatilidad d e un tipo d e cam bio e s tá lejos d e ser constante y los tipos de cam b io presentan frecuentem ente varia­ ciones súbitas.3 R esulta q u e e l efecto tanto d e la volatilidad inconstante co m o d e las variaciones sú­ bitas e s que los resultados extrem os son m ás probables. El im pacto d e las variaciones súbitas y de la volatilidad inconstante d ep en d e d e l vencim iento de la opción. Al aum entar e l vencim iento de la opción, e l im pacto porcentual de u n a volatilidad in­ constante e n los precios se vuelve m ás pronunciado, pero e l im pacto porcentual e n la volatilidad im plícita se hace m enos pronunciado. E l im pacto porcentual d e las variaciones súbitas tanto e n los precios com o en la volatilidad im plícita se vuelve m enos pronunciado a m edida q u e au m en ta el vencim iento d e la opción.4 El resultado de todo esto e s que la sonrisa d e volatilidad se h a ce m enos pronunciada a l aum entar e l vencim iento d e la opción.

17.2 O P C I O N E S S O B R E A C C IO N E S R ubinstein (1985), R ubinstein (1994) y Jackw erth y R ubinstein (1996) han estudiado la sonrisa d e volatilidad d e opciones sobre acciones. A ntes de 1987 no h abía una sonrisa d e volatilidad m arcada. D ssde 1987, la sonrisa d e volatilidad q u e usan los negociantes para valuar opciones sobre acciones 3 C b n fre cu e n cia , las v ariaciones sú b itas s o n u n a resp u esta a las accio n es d e lo s b a n c o s cen trales. 4 C u a n d o an alizam o s o p cio n es d e p la zo su ficien tem en te largo, las v aria cio n e s sú b ita s tie n d en a “pro m ed iarse” , d e ta l m a ­

nera q u e la d istrib u c ió n d el tip o d e c a m b io c u a n d o h ay v ariacio n es sú b ita s e s c a si indistinguible d e la q u e s e o b tie n e c u a n ­ do el tip o d e c a m b io varia suav em en te.

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383

Sonrisas d e volatilidad

F ig u r a 1 7 .3

Sonrisa d e volatilidad d e acciones

V o la tilid a d im p líc ita

P re c io d e e je rc ic io

(tanto acciones individuales com o índices bursátiles) h a tenido la form a general q u e se m uestra en la figura 17.3. É sta se denom ina e n ocasiones asim etría d e volatilidad. La volatilidad dism inuye c o n ­ forme aum enta e l precio d e ejercicio. La volatilidad u sad a para valuar una o p ció n con un precio de ejercicio bajo (es decir, una o p ció n de venta deep o ía o fth e m o n ey o una opción d e co m p ra deep in the m oney) e s significativam ente m ayor q u e la usada para valuar una o p ció n con un precio d e ejer­ cicio alto (es decir, una opción d e venta deep in the m o n ey o una opción de com pra deep o ía o fth e money). La sonrisa d e volatilidad de opciones sobre acciones corresponde a la distribución im plícita re ­ presentada con la línea co n tin u a en la figura 17.4. U na distribución logarítm ica norm al con la m is-

F ig u r a 1 7 .4

D istribución im plícita y distribución logarítm ica norm al de opciones sobre acciones

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384

CAPÍTULO 17

P a n o rá m ica d e n e g o c io s 1 7 .2

F obia al desplom e bursátil

Es interesante observar q u e e l patrón para las acciones presentado e n la figura 17.3 h a existido sólo desde el desplom e del m ercado de valores e n o ctu b re d e 1987. A ntes de e sa fecha, las vo­ latilidades im plícitas dependían m ucho m enos d e l precio d e ejercicio. E sto hizo q u e M ark R u­ binstein sugiriera que una razón d e la sonrisa d e volatilidad d e las acciones po d ía ser la ‘fo b ia al desplom e bursátil” . L os negociantes e stá n preocupados p o r la posibilidad d e otro desplom e sim ilar al d e octu b re d e 1987, p o r lo q u e valúan las opciones ajustándose a dicho patrón. H ay cierto apoyo em pírico para e s ta explicación. L a s dism inuciones d e l índice S & P 500 tienden a estar acom pañadas p o r un aum ento de la asim etría. C uando e l índice S & P 500 au m en ­ ta, la asim etría se vuelve m enos pronunciada.

m a m edia y desviación estándar q u e la distribución im plícita se representa c o n la línea punteada. Vemos q u e la distribución im plícita tiene una c o la izquierda m ás pesada y una c o la d e re ch a m enos pesada q u e la distribución logarítm ica normal. Para ver que las figuras 17.3 y 17.4 sean congruentes entre sí, procedem os igual q u e con las fi­ guras 17.1 y 17.2, y consideram os opciones que estén deep o ía o f the m oney. C on base e n la figura 17.4, una opción de co m p ra deep o u t o f the m o n ey con un precio d e ejercicio d e K2 tiene un precio m ás b a jo cuando se usa la distribución im plícita q u e cuando se utiliza la distribución logarítm ica n o r­ mal. E sto se debe a que la o p ció n proporciona un beneficio únicam ente si el precio d e la acció n e x ­ cede a K2 y la probabilidad d e esto e s m enor para la distribución de probabilidades im plícita que p a ­ ra la distribución logarítm ica norm al. Por lo tanto, esperam os que la distribución im plícita p ro p o r­ cione un precio relativam ente bajo para la opción. Un precio relativam ente bajo d a lugar a una vo­ latilidad im plícita relativam ente baja, y esto es exactam ente lo q u e observam os con la opción d e la figura 17.3. A continuación, considere una o p ció n de venta deep out o ft h e m o n ey con un precio d e ejercicio d e K v E sta o pció n proporciona un beneficio únicam ente si el precio de la acció n e s tá por cfcbajo d e AT,. La figura 17.4 m uestra q u e la probabilidad d e esto e s m ayor para la distribución d e probabilidades im plícita q u e para la distribución logarítm ica norm al. Por consiguiente, esperam os que la distribución im plícita proporcione un precio relativam ente alto y una volatilidad im plícita re ­ lativam ente a lta para e sta opción. De nuevo, esto e s lo mism o que observam os en la figura 17.3.

Razón de la sonrisa en las opciones sobre acciones U na posible explicación d e la sonrisa en las opciones sobre acciones se relaciona con el apalancamiento. A m edida que el valor de la acción d e una em presa dism inuye, su apalancam iento aumenta. Esto significa que la acción se vuelve m ás riesgosa y su volatilidad se incrementa. C onform e aum en­ ta el valor d e la acción d e una em presa, su apalancam iento dism inuye. Entonces, la acción se vuelve menos riesgosa y su volatilidad dism inuye. E ste argum ento m uestra que podem os esperar q u e la vo­ latilidad de la acción esté en función decreciente de su precio, lo cual concuerda con las figuras 17.3 y 17.4. O tra explicación es la “ fobia al desplom e bursátil” (vea Panorám ica de negocios 17.2).

17.3 E S T R U C T U R A T E M P O R A L D E L A V O L A T IL ID A D Y S U P E R F IC IE S D E V O L A T IL ID A D A dem ás d e u n a sonrisa d e volatilidad, los negociantes usan u n a estructura tem poral d e la volatili­ dad a l valuar opciones. Esto significa q u e la volatilidad q u e se usa para valuar u n a opción a t the

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Sonrisas d e volatilidad

Tabla 17 .2

385

Superficie d e volatilidad

Vencimiento de la opción 1 mes 3 m eses 6 m eses 1 año 2 años 5 años

Precio d e ejercicio 0.90

0.95

1.00

1.05

1.10

14.2 14.0 14.1 14.7 15.0 14.8

13.0 13.0 13.3 14.0 14.4 14.6

12.0 12.0 12.5 13.5

13.1 13.1 13.4 14.0

14.5 14.2 14.3 14.8

14.0 14.4

14.5 14.7

15.1 15.0

m oney depende d e l vencim iento de la opción. La volatilidad tiende a ser una función creciente del vencim iento cuando las volatilidades a corto plazo son históricam ente bajas. Esto se debe a que hay una expectativa de que las volatilidades aum enten. Del mism o m odo, la volatilidad tiende a ser una función d ecreciente del vencim iento cuando las volatilidades a corto plazo son históricam ente a l­ tas. E sto se debe a q u e hay una expectativa d e q u e las volatilidades dism inuyan. Las superficies de volatilidad com binan las sonrisas d e volatilidad con la estructura tem poral de la volatilidad con e l fin d e tab u lar las volatilidades adecuadas para valuar una o p ció n con c u a l­ quier precio d e ejercicio y vencim iento. La ta b la 17.2 m uestra un ejem plo d e una superficie d e vo­ latilidad q u e podría usarse para opciones sobre divisas. E n e sta tab la, la sonrisa de volatilidad se vuelve m enos pronunciada a m edida q u e au m en ta e l vencim iento d e la opción. E sto e s lo q u e se o bserva con relación a las opciones sobre la m ay o ría d e los activos. Un aspecto de una superficie d e volatilidad e s el precio d e ejercicio; e l otro es e l tiem po a l ven­ cim iento. E l cuerpo principal d e la superficie de volatilidad m uestra volatilidades im plícitas c alc u ­ ladas c o n e l m odelo B lack-Scholes. E n c u alq u ier m om ento, algunas de las entradas d e datos d e la superficie d e volatilidad corresponden a opciones q u e tienen datos d e m ercado confiables. L as vo­ latilidades im plícitas d e estas opciones se calcu lan directam ente a p a rtir de sus precios d e m ercado y se registran e n la tab la. E l resto d e la superficie de volatilidad se determ ina con e l uso d e la inter­ polación lineal. Cuando se requiere valuar una nueva o p ció n , los ingenieros d e finanzas buscan la volatilidad adecuada e n la tabla. P o r ejem plo, a l valuar una opción a nueve m eses c o n un precio d e ejercicio de 1.05, un ingeniero d e finanzas interpolaría entre 13.4 y 14.0 para o b ten er una volatilidad d e 13.7%. É sta e s la volatilidad q u e se u saría e n la fórm ula de B lack-Scholes o e n un árbol b in o m ial Al valuar una o pción a 1.5 anos con un precio d e ejercicio d e 0.925, se u saría u n a interpolación bidim ensional para ob ten er una volatilidad im plícita de 14.525%. D efinam os T com o e l tiem po a l vencim iento y F0 com o e l precio a plazo del activo. A lgunos ingenieros d e finanzas deciden d efin ir la sonrisa de volatilidad com o la relación entre la volatilidad im plícita y

m ás que com o la relación entre la volatilidad im plícita y K . E n e ste caso , la sonrisa e s usualm ente m ucho m enos dependiente d e l tiem po al vencim iento.5

5 P ara

u n an á lisis d e e s te m é to d o , v ea S. N atc n b crg , O p tio n P ric in g a n d V olatility: A d va n c ed T ra d in g S tra te g ie s a n d Tech­

n iques, T . c d . M cG raw -H ill, 1994; R. T o m p k in s, O p tio n s A n a lysis: A S ta te o f th e A rt G u id e to O p tio n s P ric in g , B u rr R id ­ ge, IL: Irw in , 1994.

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CAPÍTULO 17

El rol del m odelo ¿Q ué tan im portante e s e l m odelo d e valuación si los negociantes e stá n dispuestos a usar una vola­ tilidad diferente para c ad a transacción? Es posible argum entar q u e e l m odelo B lack-Scholes no es m ás que una herram ienta d e interpolación co m p leja que los negociantes u tili 2a n para g arantizar q u e una o pción se valúe consistentem ente c o n los precios d e m ercado de otras opciones q u e se nego­ cian de m anera activa. Si los negociantes dejaran de usar e l m odelo B lack-Scholes y lo cam biaran por otro m odelo convincente, la superficie d e volatilidad y la fo rm a de la sonrisa cam biarían. Pero, quizá, los precios e n dólares cotizados e n e l m ercado no cam biarían d e m odo perceptible.

17.4 A N T IC IP A C IO N D E U N IN C R E M E N T O S Ú B IT O IM P O R T A N T E A hora considerem os un ejem plo d e cóm o p o d ría surgir una sonrisa d e volatilidad inusual e n los m ercados de acciones. Suponga q u e e l precio d e u n a acció n e s actu alm en te d e $50 y q u e se e sp e ­ ra que una n oticia im portante q u e se an u n ciará en algunos días aum ente o dism inuya e l precio d e la a c c io n e n $8. (E ste an u n cio p o d ría relacionarse c o n e l resultado d e un intento de ad q u isició n o con e l veredicto de un im portante proceso judicial). La distribución d e probabilidades del precio d e la acción, digam os, e n un m es, p o d ría c o n sis­ tir en una com binación d e d o s distribuciones logarítm icas norm ales, correspondiendo la prim era a noticias favorables y la segunda a noticias desfavorables. L a figura 17.5 ilustra e s ta situación. La línea co n tin u a m uestra la distribución logarítm ica norm al com binada para e l precio d e la acción en un mes; la línea punteada representa u n a distribución logarítm ica norm al c o n la m ism a m edia y d e s­ viación están d ar q u e la distribución anterior. La verdadera distribución d e probabilidades e s bim odal (ciertam ente no logarítm ica norm al). U na form a sencilla d e investigar el efecto general d e u n a distribución bim odal d e l precio d e la a c ­ ción es considerar el c aso extrem o e n e l que la distribución sea binom ial. E sto es lo que harem os ahora. Suponga q u e el precio d e la acción es actualm ente de $50 y que se sabe que d en tro d e un mes será d e $42 o d e $58. A dem ás, suponga que la ta sa d e interés libre de riesgo e s de 12% anual.

F ig u ra 1 7 .5 E fecto d e un increm ento súbito im portante. L a línea co n tin u a e s la verdadera d is­ tribución; la línea punteada e s la distribución logarítm ica norm al

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Sonrisas d e volatilidad

F ig u r a 1 7 .6

Variación en el precio d e la acció n e n un mes .^•58

50

42

La figura 17.6 ilustra e sta situación. L as opciones se valúan usando e l m odelo binom ial presenta­ do en los capítulos 11 y 1 6 .E n este caso , u = 1.16, d = 0.84, ¿/ = 1.0101 y p = 0.5314. La tabla 17.3 presenta los resultados d e la valuación de una diversa gam a d e opciones. L a prim era colum na m ues­ tra precios d e ejercicio alternativos; la segunda corresponde a los precios d e opciones d e co m p ra europeas a un m es; la tercera presenta los precios d e opciones de venta europeas a un m es, y la c u a r­ ta m uestra las volatilidades im plícitas. (E l A péndice d e e s te capítulo señala que la volatilidad im ­ plícita d e una o pción de venta eu ro p ea e s igual a la d e una o p ció n d e co m p ra eu ro p ea cuando tienen e l mismo precio d e ejercicio y vencim iento). L a figura 17.7 ilustra la sonrisa d e volatilidad de la ta b la 17.3. En realidad e s un “ceño fruncido” (lo opuesto a la q u e se observa para las divisas) con volatilidades decrecientes conform e nos m ovem os o u t o f th e m o n ey o into th e m oney. L a vo­ latilidad im plícita de u n a o p ció n con un precio d e ejercicio d e $50 sobrevaluará una o p ció n c o n un precio d e ejercicio d e $44 o $56.

RESU M EN El m odelo B lack-Scholes y sus am pliaciones asum en que la distribución d e probabilidades del a c ­ tivo subyacente en una fecha íu tu ra específica e s logarítm ica norm al. E ste supuesto no e s el q u e ha-

T a b la 1 7 .3 Volatilidades implícitas en u n a situación en q u e la distribución ver­ dadera e s binom ial Precio d e ejercicio ($)

Precio de la opción d e com pra ($)

Precio d e la opción de venta (5)

Volatilidad im plícita {%)

42

8.42

0 .0 0

0 .0

44

7.37

0 .9 3

58.8

46

6.31

1.86

66.6

48

5.26

2 .7 8

69.5

50

4.21

3.71

69.2

52

3.16

4 .6 4

66.1

54

2.10

5 .5 7

60.0

56

1.05

6 .5 0

4 9 .0

58

0 .0 0

7 .4 2

0 .0

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CAPÍTULO 17

F ig u ra 1 7 .7

Sonrisa de volatilidad d e la situación presentada en la ta b la 17.3

cen los negociantes, y a q u e ellos asum en q u e la distribución d e probabilidades del precio de una acción tiene una c o la izquierda más pesada y u n a c o la d erech a m enos pesada que la distribución lo ­ garítm ica norm al. A dem ás, suponen que la distribución de probabilidades de un tipo d e cam b io tie ­ ne una c o la derecha y una c o la izquierda m ás pesadas q u e la distribución logarítm ica norm al. Los negociantes usan las sonrisas de volatilidad para dar ocasión a distribuciones q u e no sean logarítm icas norm ales. La sonrisa d e volatilidad define la relación e n tre la volatilidad im plícita d e una opción y su precio d e ejercicio. E n el caso de las opciones sobre acciones, la sonrisa d e vola­ tilidad tiende a ser descendente. E sto significa que las opciones d e venta out o fth e m o n ey y las o p ­ ciones d e c o m p ra in th e m o n ey tienen volatilidades im plícitas altas, e n tanto q u e las opciones d e com pra ont o fth e m oney y las opciones de v enta in th e m o n ey tienen volatilidades im plícitas bajas. En e l caso d e las opciones sobre divisas, la sonrisa d e volatilidad tie n e fo rm a de U. Las opciones tanto ont o f t h e m oney com o in the m o n e y tienen volatilidades im plícitas más altas que las o p c io ­ nes a t th e m oney. Cbn frecuencia, los negociantes usan una estructura tem poral de la volatilidad. E n e ste caso , la volatilidad im plícita de una opción depende d e su vida. C uando se com binan las sonrisas y las e s ­ tructuras tem porales d e la volatilidad, producen u n a superficie d e volatilidad. É s ta defin e la volati­ lidad im plícita en función tanto del precio de ejercicio com o del tiem po al vencim iento.

L E C T U R A S C O M P L E M E N T A R IA S B akshi, G ., C. C ao y Z . C hen. “E m pirical Perform ance o f A lternative O ption Pricing M odels” , Journal o f Finance, 52, no. 5 (diciem bre de 1997), pp. 2004-49. B ates, D.S. “ Post-’87 C rash F ears in th e S & P Futures M arket” , Journal o f E conom etrics, 9 4 (enero/febrero de 2000), pp. 181-238. Eterman, E . “ R egim es o f V olatility” , R isk, abril de 1999, pp. 55-59. Ederington, L. y W. G uan. “W hy A re T h o se O ptions S m iling” , Journal o f D erivatives, 1 0 ,2 (2002), pp. 9-34.

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Sonrisas d e volatilidad

Jackw erth, J.C . y M. R ubinstein. “ Recovering Probability D istributions from O ption Prices” , Jour­ nal o f Finance, 51 (diciem bre de 1996), pp. 1611-31. Lauterbach, B. y P. Schultz. “ Pricing W arrants: An Em pirical Study o f th e B lack-Scholes M odel and Its A lternatives” , Journal o f Finance, 4, no. 4 (Septiem bre d e 1990), pp. 1181-1210. M elick, W.R. y C.P. T hom as. “ R ecovering a n A sset’s Im plied Probability D ensity Function from Q n io n Prices: An A pplication to C rude Oil during th e G u lf C risis” , Journal o f F inancial a n d Q uantitative A n a lysis, 32, no. 1 (m arzo d e 1997), pp. 91-115. R ubinstein, M. “N onparam etric Tests o f A lternative O ption Pricing M odels U sing All R eported Trades a n d Quotes o n th e 30 M ost A ctive C B O E O ption C lasses from A ugust 2 3 ,1 9 7 6 , through A ugust 31, 1978” , Journal o f Finance, 4 0 (junio d e 1985), pp. 455-80. R ubinstein, M. “ Im plied B inom ial T rees” , Journal o f Finance, 4 9 , no. 3 (julio d e 1994), pp. 7 7 1 818. X u, X. y S.J. Taylor. ‘T h e T erm Structure o f V olatility Im plied by Foreign E xchange O ptions” , Journal o f Financial a n d Q uantitative A nalysis, 29 (1994), pp. 57-74.

Examen (respuestas al final del libro) 17.1. ¿ Q u é sonrisa d e volatilidad se o b serv a cuando: a am bas colas de la distribución del precio d e la acción son m enos pesadas q u e las d e la distribución logarítm ica norm al? b. la c o la d erech a es m ás p esad a y la c o la izquierda e s m enos p esad a que las de una d istri­ bución logarítm ica norm al? 17.2. ¿C uál es la sonrisa d e volatilidad d e las acciones? 17.3. ¿ Q u é sonrisa d e volatilidad ocasionan las variaciones súbitas e n el precio d e l activo su b y a­ cente? ¿E s más pronunciado e l patrón para una o p ció n a dos años q u e para una opción a tres m eses? 17.4. U na opción d e co m p ra y u n a d e venta europeas tienen e l m ism o precio d e ejercicio y tie m ­ po al vencim iento. La volatilidad im plícita d e la opción d e com pra e s d e 30% y la d e la o p ­ ción d e venta e s d e 25% . ¿Q ué transacciones realizaría usted? 17.5. Explique detalladam ente por q u é u n a distribución con una c o la izquierda m ás pesada y una cola d erech a m enos pesada q u e la distribución logarítm ica norm al da lugar a una sonrisa d e volatilidad descendente. 17.6. El precio d e m ercado d e una opción d e co m p ra eu ro p ea es d e $3.00 y su precio, obtenido m ediante e l m odelo B lack-Scholes con una volatilidad d e 30% , e s de $3.50. E l precio o b ­ tenido con este m odelo para una opción d e venta europea con e l m ism o precio de ejercicio y tiem po al vencim iento, e s d e $1.00. ¿C uál d e b e ser el precio d e m ercado de la opción de venta? E x p liq u e las razones d e su respuesta. 17.7. Explique lo q u e significa fobia al desplom e bursátil.

Preguntas y problem as 17.8. A ctualm ente, e l precio d e u n a acción es d e $20. H oy se esp era el anuncio d e u n a noticia que aum entará o dism in u irá e l precio en $5. ¿C uáles son los problem as d e usar e l m odelo B lackScholes para valuar opciones a un m es sobre la acción? 17.9. ¿C uál e s la sonrisa d e volatilidad para opciones a seis m eses cuando la volatilidad e s in cier­ ta y se correlacio n a positivam ente con e l precio d e la acción? 17.10. ¿ Q u é problem as se encontrarían a l probar em píricam ente un m odelo de valuación de op cio ­ nes sobre acciones?

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CAPÍTULO 17 17.11. Im agine que la política d e un banco central es perm itir que un tipo d e cam bio fluctúe entre 0.97 y 1.03. ¿ Q u é patrón d e volatilidades im plícitas para opciones sobre e l tipo d e cam bio esperaría ver? 17.12. E n ocasiones, los negociantes d e opciones se refieren a las opciones deep o ía o fth e m oney com o opciones sobre volatilidad. ¿ P o r q u é cree q u e las llam en así? 17.13. U na opción d e co m p ra eu ro p ea sobre c ierta acció n tiene un precio de ejercicio d e $30, un tiempo a l vencim iento d e un año y una volatilidad im plícita d e 30% . U na opción d e venta europea sobre la m ism a acción tiene un precio d e ejercicio d e $30, un tiem po a l vencim ien­ to d e un año y u n a volatilidad im plícita de 33% . ¿C uál e s la o p o rtu n id ad de arbitraje d isp o ­ nible para un negociante? ¿Funciona el arbitraje únicam ente cuando se sostiene e l supuesto logarítm ico norm al subyacente a l m odelo B lack-Scholes? E x p liq u e las razones de su re s­ puesta d e m anera detallada. 17.14. Suponga q u e e l fallo d e un im portante proceso ju d icial q u e a fe cta a una em p resa debe anun­ ciarse m añana. A ctualm ente, e l precio d e la acció n de la em presa es d e $60. Si el fallo es favorable para la em presa, se esp era que el precio d e la acción suba a $75. Si e s desfavo­ rable, se espera que baje a $50. ¿C uál e s la probabilidad neutral a l riesgo d e un fallo favora­ ble? A sum a q u e la volatilidad d e la acción d e la em presa será de 25% d u ran te seis m eses después del fallo si é ste es favorable y de 4 0 % si e s desfavorable. U se el softw are DerivaG em para calcular la relación entre la volatilidad im plícita y el precio d e ejercicio d e o p c io ­ nes europeas a seis m eses sobre la acción de la em presa el d ía de hoy. La em presa no paga dividendos. Suponga q u e la ta sa d e interés libre d e riesgo a seis m eses es d e 6% . C onside­ re opciones d e co m p ra con precios d e ejercicio d e 3 0 , 4 0 , 50, 6 0 , 7 0 y $80. 17.15. Un tipo de cam bio e s actualm ente de 0.8000. L a volatilidad d e l tipo de cam bio se c o tiz a en 12% y las tasas d e interés son iguales en am bos países. U se e l supuesto logarítm ico norm al y calcule la probabilidad d e q u e e l tipo d e cam bio sea en tre s meses: a) m enor d e 0.7000, b) e n tre 0.7000 y 0.7 5 0 0 , c) e n tre 0.7500 y 0.8000, d ) e n tre 0.8000 y 0.8500, e ) entre 0.8500 y 0.9000 y f) m ayor de 0.9000. C on base en la so n risa d e volatilidad d e tipos d e cam bio o b ­ servada usualm ente e n e l m ercado, ¿cu ál de estas estim aciones esperaría que fuera d e m a ­ siado baja y cuál dem asiado alta? 17.16. E l precio d e una acción e s d e $40. U na opción de co m p ra eu ro p ea a seis m eses sobre la a c ­ ción, con un precio d e ejercicio d e $30, tie n e una volatilidad im plícita d e 35% . U na opción d e co m p ra europea a seis m eses sobre la acción, con un precio d e ejercicio d e 50 dólares, tiene u n a volatilidad im plícita de 28% . L a tasa de interés libre d e riesgo a seis m eses es d e 5% y no se esperan dividendos. Explique p o r q u é las dos volatilidades im plícitas son d ife ­ rentes. U se e l softw are D erivaG em para calcu lar los precios d e las dos o p cio n es. Use la p a ­ ridad entre opciones d e venta y d e co m p ra {pia-call) para calcu lar los precios d e opciones de venta europeas a seis m eses con precios d e ejercicio d e 30 y $50. U se el softw are D eri­ vaG em para calcular las volatilidades im plícitas d e estas dos opciones d e venta. 17.17. “ Los negociantes usan e l m odelo B lack-Scholes co m o una herram ienta de interpolación” . A nalice e ste punto d e vista. 17.18. U se la tabla 17.2 y calcu le la volatilidad im plícita q u e usaría un negociante para una opción a 8 m eses con un precio d e ejercicio d e 1.04.

Preguntas de tarea 17.19. L a acción de una em p resa se vende e n $4. La em p resa no tie n e deudas pendientes. Los a n a ­ listas consideran q u e e l valor de liquidación de la em p resa es por lo m enos de $300,000 y hay 100,000 acciones e n circulación. ¿ Q u é sonrisa d e volatilidad esp eraría ver?

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Sonrisas d e volatilidad

17.20. A ctualm ente, una em p resa esp era e l fallo d e un im portante proceso ju d icial q u e se c o n o ce ­ rá dentro d e un mes. En e ste m om ento, el precio d e la acción es d e $20. Si e l fallo e s favo­ rable, se espera q u e el precio d e la acció n sea d e $24 al térm ino d e un m es. Si e l fallo es desfavorable, se esp era q u e sea d e $18 e n e l m ism o tiem po. L a tasa d e interés libre d e rie s­ go a un mes es de 8% anual. a. ¿C uál e s la probabilidad neutral al riesgo de un fallo favorable? b. ¿C uáles son los valores d e opciones d e co m p ra a un m es con precios d e ejercicio d e 19, 20, 21, 22, y $23? c. Use e l softw are D erivaG em para calcu lar una sonrisa d e volatilidad para opciones d e com pra a un mes. d. C om pruebe q u e se o b ten g a la m ism a sonrisa de volatilidad para opciones d e venta a un mes. 17.21. A ctualm ente, un precio d e futuros e s de $40. La ta sa d e interés libre de riesgo e s d e 5%. Se esperan noticias para m añana q u e harán q u e la volatilidad d u ran te los tre s m eses siguientes sea d e 10% o d e 30% . Hay una probabilidad d e 6 0 % d e que ocu rra e l prim er resultado y d e 40% d e q u e se d é e l segundo. U se e l softw are D erivaG em para calcular una sonrisa d e vo­ latilidad para opciones a tres meses. 17.22. El sitio W eb del a u to r proporciona datos sobre varias divisas: h t t p : / /w w w .ro tm a n .u to ro n to .c a /" h u 1 1 /d a ta

Elija una divisa y u se los datos para elab o rar una ta b la sim ilar a la ta b la 17.1. 17.23 El sitio W eb d e l a u to r proporciona datos sobre varios índices bursátiles: h t t p : / /w w w .ro tm a n .u to ro n to . c a /" h u 1 1 /d a ta

E lija un índice y pruebe si un m ovim iento hacia abajo de tres desviaciones estándar ocu rre con m ás frecuencia q u e un m ovim iento hacia arriba d e tre s desviaciones estándar. 17.24. C onsidere una opción d e co m p ra y una opción d e venta europeas con e l m ism o precio de ejercicio y tiem p o a l vencim iento. D em uestre q u e su valor cam bia en el m ism o m onto c u an ­ do la volatilidad aum enta d e un nivel, s v a un nuevo nivel, s2 en un periodo corto. (Suge­ rencia: use la paridad put-call). 17.25. U se la ta b la 17.2 y calcu le la volatilidad im plícita q u e un negociante usaría para una opción a 11 m eses con un precio d e ejercicio d e 0.98.

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CAPÍTULO 17

APÉNDICE Por qué la sonrisa de volatilidad de una opción de venta es igual a la sonrisa de volatilidad de una opción de compra La paridad p u t-ca ll, que explicam os e n los capítulos 9 y 13, e s una relación im portante entre e l p re ­ cio, c, d e u n a opción d e co m p ra eu ro p ea y e l precio, p , d e una opción d e venta europea:

(17A.1)

p + V - " ' = c + K e~ rT

La o pción d e co m p ra y la opción d e venta tienen e l mism o precio d e ejercicio , K , y tiem p o al ven­ cim iento, T. L a variable S Qes el precio d e l activo subyacente el d ía d e hoy, r es la ta sa d e interés libre d e riesgo para e l vencim iento T, y q es e l rendim iento sobre e l activo. U na característica im portante de la relación d e paridad piit-call es q u e se basa e n un argum en­ to d e arbitraje relativam ente sencillo. No requiere ningún supuesto sobre la distribución futura d e probabilidades del precio del activo y e s válida tanto cuando la distribución del precio del activo es logarítm ica norm al com o cuando no lo es. Suponga q u e, para un valor específico d e la volatilidad, p ^ y san los valores d e opciones de venta y de co m p ra europeas calculados c o n e l m odelo B lack-Scholes. Suponga adem ás q u e p merc y c merc son los valores d e m ercado d e estas opciones. Puesto q u e la paridad p u t-c a ll se sostiene p a ­ ra el m odelo B lack-Scholes, tenem os Pbs + V “ *7 = í'bs + K e ~ 'T Al no haber oportunidades d e arbitraje tam bién se sostiene para precios de m ercado, d e tal m odo que Pmkl + V * 7 = Cmkl +

^

Si restam os la segunda de estas ecuaciones d e la prim era, obtenem os

Pbs — Pmkl =

c bs

— cmki

(17A.2)

Esto m uestra q u e e l e rro r d e valuación e n dólares cuando se usa e l m odelo B lack-Scholes para va­ luar una opción d e venta europea d e b e ser exactam ente igual al error d e valuación e n dólares cu an -

Ejemplo 17.1

\b la tilid a d e s im plícitas para opciones d e venta y d e co m p ra________________

El valor del dólar australiano e s d e $0.60 dólares estadounidenses. L a ta sa de interés libre d e riesgo e s d e 5% anual en Estados U nidos d e A m érica y d e 10% anual en A ustralia. El precio de m ercado d e una opción d e co m p ra eu ro p ea sobre e l d ó la r australiano, con un vencim iento d e un año y un precio de ejercicio d e $0.59 e s d e 0.0236. El softw are D erivaG em m uestra q u e la volatilidad im plícita d e la opción de co m p ra e s de 14.5% . Para que no haya arbitraje, la relación de paridad p u t-c a ll de la ecuación (17A .1) debe aplicarse con q igual a la ta s a de interés libre d e riesgo. Por lo tanto, e l precio, p , d e una opción d e venta eu ro p ea con un precio d e ejercicio de $0.59 y un vencim iento d e un año resuelve p + 0.60c- " 10* 1 = 0.0236 + 0.59c-ü o 5 x ' de ta l m anera q u e p = 0 .0 4 1 9 . E l softw are D erivaG em m uestra q u e , cuando la opción d e venta tiene e ste precio, su volatilidad im plícita e s tam bién d e 14.5%.

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393

Sonrisas d e volatilidad

do se usa para valuar una opción de co m p ra eu ro p ea c o n e l m ism o precio d e ejercicio y tiem po al vencim iento. Suponga que la volatilidad im plícita de la opción d e venta e s d e 22% . E sto significa q u e = Pmerc cuando se usa u n a volatilidad d e 22% e n e l m odelo B lack-Scholes. C on base e n la ecuación (17A .2), se d e d u ce q u e c5s = c TOrc cuando se usa e s ta volatilidad. Por consiguiente, la volatilidad im plícita d e la opción d e co m p ra es tam bién d e 22% . E ste argum ento m uestra q u e la volatilidad im ­ plícita d e una opción d e co m p ra eu ro p ea es siem pre igual a la volatilidad im plícita de una opción de venta eu ro p ea cuando am bas opciones tienen e l mismo precio de ejercicio y fecha d e vencim ien­ to. Si expresam os esto d e otro m odo, para determ inado precio d e ejercicio y vencim iento, la vola­ tilidad co rrecta a usar ju n to c o n e l m odelo B lack-Scholes para valuar una o p ció n d e co m p ra e u ro ­ pea d e b e ser siem pre igual a la q u e se usa para valuar una opción d e venta europea. E sto tam bién es m ás o m enos válido para las opciones am ericanas. Se d e d u ce que, cuando los negociantes se re ­ fieren a la relación e n tre la volatilidad im plícita y e l precio d e ejercicio o a la relación entre la vo­ latilidad im plícita y e l vencim iento, no necesitan m encionar si son opciones de co m p ra o d e venta, ya q u e la relación e s igual para am bas. El ejem plo 17.1 ilustra e s te resultado.

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Valor en riesgo C A P Í T U L O

E n el capítulo 15 exam inam os medidas com o delta, gam m a y vega para describir diferentes aspectos del riesgo d e una cartera que consiste e n opciones y otros activos financieros. En general, una institu­ ción financiera calcula diariam ente c ad a una de estas medidas para cada variable d e m ercado a la que está ex p u esta Con frecuencia hay cientos, o incluso m iles, d e estas variables de m ercado. Por lo ta n ­ to, un análisis de d e lta gam m a y vega produce un gran núm ero de distintas medidas d e riesgo todos los días. Estas medidas de riesgo ofrecen inform ación valiosa a los negociantes d e una institución fi­ n a n cie ra pero tienen un uso lim itado para la alta dirección. El valor en riesgo (VaR, M ilue-at-Risk) es un intento de proporcionar a los directores una sola cifra que resum a el riesgo total d e una cartera d e activos financieros. Su uso se h a extendido e n tre los tesoreros corporativos, adm inistradores de fondos e instituciones financieras. Los gobernadores de bancos tam bién usan e l VaR para determ in ar el capital q u e requiere un banco a fin de enfrentar los riesgos que asum e. E n e s te capítulo explicam os la m edida VaR y describim os los d o s m étodos principales para calcularla, los cuales se conocen com o el m étodo d e sim ulación histórica y el método de construcción de modelos.

18.1 L A M E D I D A V a R Al usar la m edida d e valor e n riesgo (VaR), a un an alista le interesa hacer u n a declaración com o ésta: E s to y X p o r c ie n to s e g u r o d e q u e n o h a b r á u n a p é r d id a m a y o r d e V d ó la r e s e n lo s p r ó x im o s N d ía s .

A quí, V es e l VaR d e la cartera y depende d e dos parám etros: e l horizonte tem p o ral, N d a s , y e l n i­ vel de confianza, X por ciento. El VaR e s nivel d e pérdida durante N días, cuya probabilidad d e ser excedido e s de sólo (100 - X ) por ciento. Los gobernadores d e bancos les exigen q u e calculen el VaR para e l riesgo d e m ercado, c o n N = 10 y X = 99 (vea la Panorám ica d e negocios 18.1). C uando N días e s e l horizonte tem p o ral y X por cien to e s e l nivel de confianza, e l VaR e s la pérdida correspondien te al (100 - JQésimo percentil d e la distribución del cam bio e n e l v alor d e la cartera durante los próxim os N días. (Al construir la distribución de probabilidades d e los cam bios, las ganancias son positivas y las pérdidas son negativas). Por ejem plo, cu an d o N = 5 y X = 9 7 ,e l

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CAPÍTULO 18

P a n o rá m ica d e n e g o c io s 1 8 .1

C óm o usan el VaR los gobernadores de bancos

B C om ité d e B asilea sobre Supervisión B ancana es un co m ité d e los gobernadores d e bancos del m undo q u e se reúne regularm ente en B asilea, Suiza. E n 1988, e ste co m ité publicó lo q u e se c o ­ noce com o E l Acuerdo d e l B IS d e 1988, o sólo El Acuerdo. Éste e s un convenio entre los g o b e r­ nadores sobre cóm o d e b e m antener un banco e l capital para calcu lar e l riesgo de crédito. Varios años después, e l C om ité d e B asilea publicó La Enm ienda de 1996, q u e se im plem ento e n 1998 y que exigía a los bancos m antener capital para enfrentar tanto e l riesgo d e mercado com o e l n e s ­ ga d e crédito. La enm ienda distingue e n tre el libro d e negociaciones de un banco y su libro de banca. El libro d e b anca co n siste principalm ente en préstam os y por lo general no se revalúa de m anera regular con fines adm inistrativos y contables. El libro de negociaciones consiste en los miles d e instrum entos diferentes q u e e l banco negocia (acciones, bonos, swaps, contratos a p la ­ za, opciones, etc.) y norm alm ente se revalúa todos los días. La enm ienda del B ank o f International Settlem ents (B IS , por sus siglas e n inglés) d e 1996 calcula el capital p a ra el libro d e negociaciones usando la m edida VaR, c o n N = 10 y X = 99. Esto significa q u e se c en tra e n la pérdida por revaluación d u ran te un periodo de 10 días q u e se espera sea excedida sólo 1% del tiem po. El capital q u e se exige q u e e l banco d e b e m antener es k veces e s ta m edida VaR (con un aju ste para lo q u e se denom ina riesgos específicos). Los g o ­ bernadores eligen el m ultiplicador k banco por banco, e l cual d e b e ser por lo m enos d e 3.0. Pa­ ra un banco con procedim ientos excelentes y probados del cálculo d e l VaR, e s probable q u e k se fije e n e l valor m ínim o d e 3.0. Para otros bancos p u ed e ser m ás alto.

VaR e s e l tercer percentil d e la distribución de cam bios en el valor de la cartera d u ran te los pró x i­ mos cinco días. E n la figura 18.1 se ilustra e l VaR para la situación en la q u e e l cam bio e n e l valor de la cartera tiene u n a distribución aproxim adam ente norm al. El VaR e s una m edida atractiva porque es fácil d e entender. E n esencia, plantea la sencilla p re ­ gunta “¿ q u é tan m al se pueden p o n er las cosas?” y de la cual todos los directores desean ten er la respuesta. Les agrada la idea d e resum ir e n una so la c ifra todas las letras griegas para todas las va­ riables de m ercado subyacentes a u n a cartera. Si aceptam os q u e es útil te n er u n a sola c ifra para d escrib ir los riesgos de una cartera, una c u es­ tión interesante e s si e l VaR e s la m ejor alternativa. A lgunos investigadores han argum entado q u e el VaR puede h acer que los negociantes caigan en la tentación d e eleg ir una c artera con u n a d istri­ bución de rendim ientos sim ilar a la de la figura 18.2. Las carteras de las figuras 18.1 y 18.2 tienen el m ism o VaR, pero la cartera d e la figura 18.2 e s m ucho más riesgosa porque las pérdidas po ten ­ ciales son mucho m ás grandes. U na m edida q u e tiene que ver con e l problem a q u e acabam os d e m encionar e s e l déficit e sp e ­ rado. ' E n tanto q u e e l VaR plantea la pregunta “¿ q u é ta n m al se pueden poner las c o s a s ? ’, el d é fi­ cit esperado cuestiona: “ si las cosas se ponen m al, ¿cuánto esp era la em p resa que puede perder?” E déficit esperado es la pérdida esperada durante un periodo d e N días c o n la condición d e q u e se obtenga un resultado de (100 - X )% d e la c o la izquierda d e la distribución. Por e jem p lo , si X = 99 y N = 10, el déficit esperado es e l m onto prom edio que la em p resa pierde durante un periodo de 10 días cuando la pérdida e s d e 1% de la c o la d e la distribución.

1 P. A rtzner, F . D elb acn , J. M . E b cr y D . H cath , su g irie ro n e s ta m e d id a, q u e s e c o n o c e ta m b ié n c o m o p érd id a en la c o la o

VaR c o n d ic io n a l (C-V aR), e n “C o h c re n t M casu res o f R isk ", M a th em a tica l F in a n c e, 9 (1 9 9 9 ), p p . 2 0 3 -2 8 . E s to s a u to re s d e ­ finen c ie rta s p ro p ied a d es q u e d e b e te n e r u n a b u en a m e d id a d e riesg o y m u e stran q u e la m e d id a \& R e stá n d a r n o las tie n e todas.

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Valor e n riesgo

Figura 18.1 C álculo d e l VaR a p artir de la distribución de probabilidades d e los cam bios e n el valor d e la cartera; e l nivel de confianza e s X por ciento. Las ganancias en e l valor d e la cartera son positivas; las pérdidas son negativas

Figura 18.2 Situación alternativa a la q u e presenta la figura 18.1; e l VaR e s e l m ism o, pero la posibilidad de pérdida es m ayor

A pesar d e sus deficiencias, e l VaR (no e l d éficit esperado) e s la m edida de riesgo m ás p opu­ lar tanto e n tre los gobernadores d e bancos co m o entre los adm inistradores d e riesgo. Por c o n si­ guiente, dedicarem os la m ayor parte del resto d e e s te capítulo a las form as de m edirla.

El horizonte temporal El VaR tie n e dos parám etros: el horizonte tem poral, N , m edido en d ías, y e l intervalo d e confianza, X . E n la práctica, los analistas establecen casi invariablem ente N = 1 e n prim er lugar. Esto se d e ­ be a q u e no hay datos suficientes para calcu lar d e form a d irecta e l com portam iento d e las varia­ bles de m ercado durante periodos m ayores a un d ía. El supuesto usual es VaR a N días = V a R a 1 d ía X VÁT Esta fórm ula es exactam ente cierta cuando los cam bios en e l valor de la c artera e n días sucesivos tienen distribuciones norm ales idénticas independientes con una m edia d e cero. E n otros caso s, es una aproxim ación. La Panorám ica de negocios 18.1 explica q u e los gobernadores exigen que e l capital para rie s­ go d e m ercado de un banco sea por lo m enos tres veces e l VaR a 9 9 % y a 10 días. D ebido a la fo r­ m a d e calcular e l VaR a 10 d ías, e ste nivel d e capital e s 3 X VTÓ~= 9.49 veces e l VaR a 9 9 % a 1 día.

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CAPÍTULO 18

18.2 S I M U L A C I O N H IS T O R IC A La sim ulación histórica es u n a form a popular de calcu lar e l VaR. C onsiste e n utilizar datos del p a ­ sado d e m anera m uy directa com o una g u ía d e lo q u e podría o c u rrir e n el futuro. Suponga q u e d e ­ be calcularse e l VaR para una em presa c u y a cartera usa un horizonte tem poral d e un d ía, un nivel de confianza d e 9 9 % y 501 días de datos. E l prim er paso co n siste e n identificar las variables d e mercado q u e afectan a la cartera. Éstas son com únm ente los tipos d e cam bio, los precios d e las a c ­ ciones, las tasas d e interés, etc. D espués se reúnen datos sobre los cam bios en estas variables d e mercado durante los últim os 501 días. E sto proporciona 500 escenarios alternativos sobre lo q u e puede o currir e n tre hoy y m añana. E l escenario 1 se d a cuando los cam bios porcentuales en los va­ lores d e todas las variables son iguales a l nivel q u e ten ían entre e l d ía 0 y e l día 1; e l escenario 2 es cuando dichos cam bios son iguales a l nivel q u e ten ían e n tre e l d ía 1 y el d ía 2, y a si sucesivam en­ te. Para c ad a escenario se calcu la el cam bio e n dólares e n e l valor d e la cartera e n tre hoy y m añana. Esto define una distribución de probabilidades d e los cam bios diarios en e l valor d e la cartera. El quinto peor cam bio diario es e l prim er percentil d e la distribución. El cálculo d e l VaR e s la p érdi­ da en e ste prim er punto percentil. Si a su m e q u e los últim os 500 días son una buena guía d e lo q u e podría ocurrir al d ía siguiente, la em presa está 99% segura de que no tendrá una pérdida m ayor que el cálculo d e l VaR. Las tablas 18.1 y 18.2 ilustran la m etodología de sim ulación histórica. L a ta b la 18.1 presenta observaciones d e las variables d e m ercado d u ran te los últim os 501 días. Las observaciones se to ­ maron e n un m om ento específico d e l d ía (usualm ente al cierre d e las operaciones). D enom inam os día 0 a l prim er d ía para e l q u e hay datos disponibles, d ía 1 al segundo d ía, etc. H oy es el d ía 500 y m añana será e l d ía 501. La ta b la 18.2 m uestra los valores de las variables d e m ercado d e m añana si sus cam bios p o r­ centuales entre hoy y m añana son iguales a l nivel q u e tenían e n tre e l d ía i — 1 y e l d ía i dado q u e 1 i «S 500. L a prim era fila d e la tabla 18.2 presenta los valores d e las variables d e m ercado d e m añana asum iendo que sus cam bios porcentuales e n tre hoy y m añana son iguales al nivel q u e te ­ nían entre e l d ía 0 y e l d ía 1; la segunda fila m uestra los valores de las variables d e m ercado d e m a­ ñana asum iendo q u e sus cam bios porcentuales ocurren entre e l d ía 1 y e l d ía 2, etc. Las 500 filas de la ta b la 18.2 son los 500 escenarios considerados.

Ta b la 1 8 . 1

Datos para el cálculo d e la sim ulación histórica d e l VaR Variable d e m ercado 1

Variable d e m ercado 2

0

2 0 .3 3

0 .1 1 3 2

6 5 .3 7

l

2 0 .7 8

0 .1 1 5 9

64.91

2

2 1 .4 4

0 .1 1 6 2

3

2 0 .9 7

0 .1 1 8 4

Día

Variable de m ercado n

• • •

6 5 .0 2 6 4 .9 0

•

4 98

2 5 .7 2

0 .1 3 1 2

• . «

6 2 .2 2

499

2 5 .7 5

0 .1 3 2 3

• • •

6 1 .9 9

500

2 5 .8 5

0 .1 3 4 3

• . •

6 2 .1 0

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Valor e n riesgo

Tabla 18 .2 Núm ero de escenario l 2 3

499 500

E scenarios generados para m añana (d ía 501) con los datos de la ta b la 18.1 Variable de m ercado 1

Variable de m ercado 2

Variable de m ercado n

Valor d e la cartera (m illones de dólares)

26.42 26.67 25.28

0.1375 0.1346 0.1368

61.66 62.21 61.99

23.71 23.12 22.94

25.88 25.95

0.1354 0.1363

61.87 62.21

23.63 22.87

D efina v. como el valor de una variable d e m ercado el d ía i e im agine q u e hoy e s el d ía m. El ¡¿sinw escenario asum e q u e el valor d e la variable d e m ercado será el d ía de m añana v¡-\ En nuestro e jem p lo , m = 500. Para la prim era variable, e l valor e l d ía de hoy, v ^ q , e s d e 25.85. A dem ás tenem os v0 = 20.33 y v, = 20.78. S e d ed u ce que el valor d e la prim era variable d e m er­ cado en e l prim er escenario e s d e

La co lu m n a final d e la ta b la 18.2 m uestra e l valor d e la cartera e l día de m añana para cada uno de los 500 escenarios. Se co n o ce e l valor d e la cartera e l d ía d e hoy. Suponga q u e e ste valor e s d e $23.50 m illones. E s posible calcular e l cam bio e n e l valor d e la cartera e n tre hoy y m añana para to ­ dos los distintos escenarios. En nuestro ejem plo, es d e + $210,000 para el escenario 1, - $380,000 para e l 2, etc. D espués se clasifican estos cam bios e n el valor. La q u in ta peor pérdida e s e l VaR a 99% y a 1 d ía. C om o se m encionó e n la sección anterior, e l VaR a N días para un nivel d e co n fian ­ za d e 9 9 % se calcula co m o veces e l VaR a un día. E n nuestro ejem plo, e l cálculo d e l VaR se actual izaría c ad a d ía usando los datos d e los 501 días más recientes. Por ejem p lo , co n sid ere lo q u e ocu rre el d ía 501. H ay nuevos valores disponibles p a ­ ra todas las variables d e m ercado q u e se usan para calcu lar un nuevo valor para la c artera.2 El p ro ­ cedim iento que hem os descrito se em p lea para calcu lar un nuevo VaR usando datos sobre las va­ riables d e m ercado del d ía 1 a l d ía 501. (E sto proporciona 501 observaciones sobre los cam bios porcentuales en las variables d e m ercado; y a no se usan los valores d e las variables d e m ercado del día 0). Del m ism o m odo, el d ía 502 se usan los datos del d ía 2 a l d ía 502 para determ in ar e l VaR, etcétera.

18.3 M É T O D O D E C O N S T R U C C I Ó N D E M O D E L O S La principal alternativa a la sim ulación histórica e s e l m étodo d e construcción d e m odelos (d en o ­ m inado e n ocasiones co m o m étodo de varianza-covarianza). A ntes de e n tra r en los detalles d e l m o­ delo, e s conveniente m encionar un asu n to relacionado con las unidades para m edir la volatilidad.

2 O b serv e q u e la c o m p o sic ió n d e la ca rte ra p u ed e h ab e r c a m b ia d o e n tre el d ía 5 0 0 y el d ía 501.

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CAPÍTULO 18

Volatilidades diarias Al valuar una opción, el tiem po se mide usualm ente e n años y la volatilidad de un activo se c ita por to general com o una “ volatilidad anual” . Al usar el m étodo d e construcción d e modelos para c alc u ­ lar e l VaR, e l tiem po se suele m edir e n días y la volatilidad d e un activo se cita por lo general com o una “ volatilidad d ia ria ” . ¿Cuál es la relación entre la volatilidad an u al q u e se usa en la valuación d e opciones y la vo­ latilidad d ia ria q u e se utiliza e n los cálculos d e l VaR? D efinam os o-año com o la volatilidad anual d e d e rto activo y c r ^ com o la volatilidad diaria equivalente del activo. Si asum im os 252 días de n e ­ gociación e n un añ o , la ecuación (12.4) proporciona la desviación están d ar del rendim iento c o n ti­ nuam ente com puesto sobre el activo en un año co m o o erdía\/252. Se d educe q u e

^año = O'dfaV252

°año ° d ía =

v/252

de tal m anera q u e la volatilidad d iaria es aproxim adam ente 6 % de la volatilidad anual. Cóm o se señaló en la sección 12.3, c r ^ es aproxim adam ente igual a la desviación estándar del cam bio porcentual e n e l precio d e l activo e n un día. A fin de calcular e l VaR, asum im os una igual­ dad exacta. D efinim os la volatilidad d ia ria del precio de un activo (o cualquier o tra variable) igual a la desviación estándar del cam bio porcentual e n un día. En las secciones siguientes nuestro a n álisis asu m e q u e h a y estim acio n es disp o n ib les d e volatilidades d ia ria s y correlacio n es. P o sterio rm en te verem os có m o se o b tien en dichas e stim a ­ ciones.

Caso de un solo activo A hora analizam os cóm o se c alc u la e l VaR usando e l m étodo d e construcción de m odelos e n una si­ tuación m uy sencilla, en la q u e la cartera consiste e n una posición e n una sola acción. La cartera que consideram os consta d e 10 millones d e acciones de M icrosoft. Suponemos que N = 10 y X = 99, efe tal m odo q u e nos interesa que e l nivel d e pérdida durante 10 días e n el que estam os 99% segu­ ros no sea superado. Inicialm ente consideram os un horizonte de tiem po d e un día. A sum im os q u e la volatilidad d e M icrosoft es d e 2% d iario (correspondiente a 32% anual). C o­ mo el tam año d e la posición es d e $10 m illones, la desviación están d ar d e los cam bios diarios en d valor d e la posición es 2% d e $10 m illones, o $200,000. En e l m étodo d e construcción d e m odelos se acostum bra suponer q u e e l cam bio esperado en una variable d e m ercado durante el periodo considerado es de cero. Esto no e s m uy cierto , pero es un supuesto razonable. El cam bio esperado e n e l precio d e una variable d e m ercado d u ran te un p e ­ riodo corto e s generalm ente pequeño a l com pararlo c o n la desviación estándar del cam bio. Por ejem plo, suponga q u e M icrosoft tie n e un rendim iento esperado d e 20% anual. D urante un periodo de un d ía, e l rendim iento esperado es de 0.20/252, o alrededor d e 0.08% , en tanto q u e la d e sv ia ­ ción estándar d e l rendim iento e s d e 2%. D urante un periodo de 10 d ías, e l rendim iento esperado es de 0.08 X 10, o alrededor de 0.8% , e n tanto q u e la desviación están d ar del rendim iento e s 2>/ÍO, o alrededor d e 6.3% . H asta ahora hem os establecido q u e e l cam b io e n el valor d e la cartera d e acciones d e M icrosaft du ran te un periodo de un d ía tiene u n a desviación están d ar de $200,000 y (p o r lo m enos apro-

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Valor e n riesgo

401

rim adam ente) u n a m edia de cero. A sum im os que e l cam bio tiene una distribución n orm al.3 Con base e n las tablas presentadas a l final d e e ste libro, N (—2.33) = 0.01. E sto significa q u e hay una probabilidad de 1% d e q u e e l valor de una variable c o n una distribución norm al d ism inuya más d e 2.33 desviaciones estándar. De m anera equivalente, esto significa q u e estam os 9 9 % seguros d e q u e el valor d e una variable c o n u n a distribución norm al no d ism in u irá más d e 2.33 desviaciones e stá n ­ dar. Por lo tanto, e l VaR a 9 9 % y a un d ía para n u estra cartera, q u e co n siste e n u n a posición d e $ 10 m illones e n M icrosoft es 2.33 x 200.000 = $466.000 Com o se analizó anterio rm en te, e l VaR a N días se calcu la co m o V Ñ veces e l VaR a un día. Por c o n ­ siguiente, e l VaR a 9 9 % a 10 días para M icrosoft es 466.0 0 0 x %/T0 = $1.473.621 A continuación, considere una cartera q u e consiste e n una posición de $5 m illones e n AT&T y su ­ ponga que la volatilidad diaria d e e sta em presa e s d e 1% (aproxim adam ente 16% anual). Un c álc u ­ lo sim ilar a l que se realizó para M icrosoft m uestra q u e la desviación estándar del cam bio en el valor d e la cartera en un d ía es 5.000.000 x 0.01 = 50.000 Si asum im os q u e e l cam bio tie n e una distribución n orm al, e l VaR a 9 9 % a un d ía es 50,000 x 2.33 = $116,500 y e l VaR a 99% a 10 días es 116.500 x v/To = $368.405

Caso de dos activos A hora considere una cartera que co n siste e n $10 m illones e n acciones d e M icrosoft y $5 m illones en acciones de AT&T. Supongam os q u e los rendim ientos sobre las dos acciones tienen una d istri­ bución norm al bivariada con una correlación de 0.3. Un resultado estándar e n estadística nos d ic e que si d o s variables X y Y tienen desviaciones están d ar iguales a a x y ay , y e l coeficiente d e c o rre ­ lación entre am bas e s igual a p , la desviación estándar d e X + Y se o b tien e por m edio de • = V °1 x + a r + 2P ° x ^ r Para aplicar e ste resultado, establecem os X igual al cam bio en el valor d e la posición e n M icrosoft durante un periodo d e un d ía y Y igual al cam bio e n e l valor d e la posición e n AT&T d u ran te un p e ­ riodo d e un d ía, d e ta l m odo q u e o x = 200.000,

o y = 50.000

Por lo tanto, la desviación estándar del cam bio e n e l valor de la cartera integrada por am b as a cc io ­ nes durante un periodo d e un d ía es v/200.0002 + 50.0002 + 2 x 0.3 x 200.000 x 50.000 = 220.227

3 P ara s e r co n g ru e n te s c o n el su p u e sto p ara la v alu ac ió n d e o p c io n e s p rese n tad o e n el ca p ítu lo 12, p o d ríam o s a s u m ir q u e

m a ñ an a el p re c io d e M ic ro so ft se rá lo g a rítm ic o n o rm al. P u e sto q u e u n d ía e s u n p erio d o m u y c o rto , e s to e s c a si in d istin g u i­ b le d el su p u e sto q u e s í hacem os: el ca m b io e n e l p re c io d e la a c c ió n en tro h o y y m a ñ an a e s n o rm al.

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CAPÍTULO 18

Ejemplo 18.1

Cálculo d e l VaR en una situación sencilla_________________________________

U na em p resa tiene una cartera q u e consiste e n $10 m illones invertidos e n M icrosoft y $5 m illo ­ nes invertidos e n AT&T. L a volatilidad d ia ria d e M icrosoft e s d e 2% , la d e AT&T e s d e 1% y el coeficiente d e correlación entre los rendim ientos de M icrosoft y AT&T e s d e 0.3. Cálculo d e l VaR 1. La desviación estándar del cam bio e n el valor de la posición en M icrosoft por d ía e s d e 10,000,000 X 0.02 = $200,000. 2 . La desviación estándar del cam bio en el valor d e la posición e n AT& T por d ía e s d e 5,000,000 X 0.01 = $50,000. 3 . Por consiguiente, la desviación estándar del cam bio e n e l valor de la cartera p o r d ía es: 7 200.000= + 50.0002 + 2 X 0.3 x 200.000 x 50.000 = 220.227 4. Por lo tan to , e l VaR a 99% a un d ía es: 220.227 x 2.33 = S 5 13.129 5. El VaR a 99% a 10 días e s VIÖ X 513,129, o $1,622,657. v _________________________________________________________________________________________ /

El cam bio tiene una distribución norm al y se asum e q u e el cam bio prom edio e s de cero. A sí, e l VaR a 99% a un d ía es 220.227 x 2.33 = $513,129 El VaR a 9 9 % a 10 días e s VIiTveces este resultado, o $1,622,657. E l ejem plo 18.1 resum e estos cálculos.

Beneficios de la diversificación En el ejem plo q u e acabam os d e analizar: 1. El VaR a 9 9 % a 10 días para la cartera d e acciones de M icrosoft es d e $1,473,621. 2. El VaR a 9 9 % a 10 días para la cartera d e acciones d e AT&T es de $368,405. 3. El VaR a 9 9 % a 10 días para la cartera d e acciones tanto d e M icrosoft co m o de AT&T e s de $1,622,657. El m onto (1.473.621 + 368.405) - 1.622,657 = $219.369 representa los beneficios de la diversificación. Si M icrosoft y AT& T estuvieran perfectam ente c o irelacionadas, e l VaR para la cartera integrada tanto por M icrosoft co m o por AT&T sería igual al VaR para la c artera d e acciones de M icrosoft, m ás e l VaR para la cartera de acciones d e AT&T. U na correlación m enos q u e perfecta hace q u e parte del riesgo se “diversifique” .4

4 H arry M ark o w itz fu e u n o d e lo s p rim ero s in v estig ad o res e n estu d ia r lo s b en e ficio s d e la d iv e rsificac ió n p ara u n a d m in is ­

trador d e c a rte ra . E n 1990 recib ió u n p rem io N o b el p o r e s ta in v estig ació n . Vea H . M ark o w itz, "P o rtfo lio S clcctio n ” , Jo u r­ nal o f F in a n ce 7, no. 1 (m a rz o d e 1 9 52), p p . 7 7 -9 1 .

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403

Valor e n riesgo

18.4 M O D E L O L IN E A L Los ejem plos q u e acabam os de analizar son m uestras sencillas del uso d e l m odelo lineal para c alc u ­ lar e l VaR. Suponga q u e una cartera con un valor P consiste e n n activos con un m onto zv¡ invertido en el activo i(l ^ i ^ n). D efinim os A*, com o el rendim iento sobre el activo i en un día. Se d ed u ce que el cam bio e n dólares en e l valor d e la inversión en el activo i en un d ía e s io¡ Ax; y AP —

(18.1)

/=! donde AP es e l cam bio e n dólares en el valor de to d a la cartera en un día. E n e l ejem plo 18.1 se invierten $10 m illones en el prim er activo (M icrosoft) y $5 m illones en el segundo activo (A T& T), de tal m anera que (en m illones d e d ó lares) w x = 10, w 2 = 5 y A P = lOA.v, + 5 A * 2 Si asum im os que las A rf. en la ecuación (18.1) son norm ales m ultivariadas, AP tiene una distribución normal. P o r consiguiente, para calcular el VaR sólo necesitam os calcular la m edia y la desviación e s­ tándar d e AP. A sum im os, com o se analizó en la sección anterior, que el valor esperado d e c ad a A r; es de cero. E sto im plica q u e la m edia de AP es cero. Para calcu lar la desviación están d ar d e A P , definim os a¡ com o la volatilidad d ia ria del lés,mo activo y p j com o e l coeficiente d e co rrelació n e n tre los rendim ientos sobre e l activo i y e l activo j . E sto significa q u e a¡ es la desv iació n e stá n d a r d e Ax¡ y p¡j es e l co eficien te d e co rrelació n e n tre Ajfy y AXj La varianza d e A P, que representarem os c o m o cP-p , se o b tie n e p o r m edio d e n

n

i - i j =i Esta ecuación tam bién se plantea d e la m anera siguiente n /V! E n el ejem plo 18.1, c , = 0.02, cr2 = 0 .0 1 y p ,2 = 0.3. C om o ya se señaló, z í ?, = 10 y iv 2 = 5, de tal m odo q u e o P = 102 x 0.022 + 5: x 0 .0 1 2 + 2 x 10 x 5 x 0 .3 x 0.02 x 0.01 = 0.0485 y a p = 0.220. É sta es la desviación están d ar del cam b io en e l v alor de la cartera p o r d ía (en m illo ­ nes de dólares). E l VaR a 9 9 % y a 10 días e s de 2.33 X 0.220 X VlO = $1.623 m illones. E sto c o n ­ cuerda con e l cálculo del ejem plo 18.1.

M anejo de tasas de interés En el m étodo de construcción d e m odelos e s im posible d efin ir una variable d e m ercado d istin ta p a ­ ra c ad a precio d e bono o ta sa de interés al q u e una em presa e stá expuesta. S e requieren algunas sim -

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CAPÍTULO 18 plificaciones. El m éto d o usual c o n siste e n e leg ir c o m o variables d e m ercado los p recio s d e bonos c u p ó n c ero c o n v en cim ien to s e stá n d a r: 1 m es, 3 m eses, 6 m eses, 1 añ o , 2 a ñ o s, 5 añ o s, 7 añ o s, 10 a ñ o s y 30 añ o s. Para c a lc u la r e l VaR, los flujos d e efectiv o d e los in stru m en to s in ­ cluidos e n la c a rte ra se tra d u c en e n flujos d e efectiv o q u e o cu rren e n las fechas d e vencim iento establecidas. C o n sid e re una p o sició n d e $1 m illó n e n un b ono del T esoro, c o n una d u ra c ió n de 1.2 añ o s, q u e p a g a un cupó n d e 6% sem estralm en te. L os cu p o n es se p ag an en 0 .2 ,0 .7 y 1.2 años y e l p rin cip al se p a g a e n 1.2 años. P o r lo tan to , e s te b ono se c o n sid e ra , e n p rim er lugar, co m o una posició n d e $30,000 e n un b ono cu p ó n c ero a 0 .2 años m ás una p o sició n d e $30,0 0 0 e n un bono cupón cero a 0.7 a ñ o s m ás una posición d e $1.03 m illones e n un b o n o c u p ó n c ero a 1.2 años. E ntonces, la posición e n e l b ono a 0 .2 a ñ o s se reem p laza por u n a p o sició n e q u iv alen te en bonos c u p ó n c ero a 1 m es y a 3 m eses; la posición e n e l bono a 0 .7 a ñ o s se reem p laza p o r una posición equivalente e n bonos cu p ó n cero a 6 m eses y a 1 año; y la posición e n e l bono a 1.2 años se reem p laza p o r una p o sició n e q u iv alen te e n bonos cu p ó n c ero a 1 año y a 2 años. E l re ­ sultado e s q u e la posició n e n e l b ono c o n cu p ó n a 1.2 años se c o n sid era, a fin de c a lc u la r e l VaR, com o una posició n e n bonos cu p ó n c ero c o n vencim ientos d e 1 m es, 3 m eses, 6 m eses, 1 a ñ o y 2 años. E ste procedim iento se conoce co m o ¡ñapeo de flu jo s de efectivo (cash flo w m a p p in g ) y una m a­ nera de realizarlo se explica en el A péndice d e este capítulo. O bserve que e l m apeo d e flujos d e efectivo no e s necesario cuando se usa el m étodo d e sim ulación histórica. Esto se d e b e a que to d a la estructura tem poral d e las tasas d e interés p u ed e calcularse usando el m étodo bootstrap para c a ­ da uno d e los escenarios considerados.

Aplicaciones del m odelo lineal La aplicación m ás sen cilla d e l m odelo lineal e s a una c artera sin derivados co n sisten tes en p o si­ ciones e n a ccio n es, bonos, d iv isa s y com m odities. E n e ste c a so , e l cam b io e n e l valor d e la c a r­ tera d e p en d e linealm ente d e los cam b io s porcentuales e n los precios d e los activos q u e integran la cartera. O b se rv e q u e , a fin de c a lc u la r e l VaR, todos los precios de los activos se m iden e n la m oneda d om éstica. P o r co n sig u ien te, e s p ro b ab le q u e las variables d e m ercado co n sid erad as por un banco im p o rtan te e n E stados U nidos d e A m é ric a incluyan e l v alor del ín d ice N ikkei 225 en d ó lares, e l precio d e un bono cu p ó n c ero e n lib ras esterlin as a 10 a ñ o s m edido e n d ó lares, etcétera. Un ejem plo d e un derivado q u e p u ed e m anejarse p o r m edio d e l m odelo lineal e s un contrato a plazo para com prar una divisa. Suponga q u e e l contrato vence e n el tiem p o T. E ste contrato puede considerarse com o el intercam bio d e un bono cu p ó n cero extranjero que vence en el tiem p o T por un bono cupón cero dom éstico q u e vence en e l tiem p o T. A fin d e calcu lar e l VaR, el contrato a p la ­ zo se tom a com o una posición larga e n e l bono extranjero co m b in ad a c o n una posición corta en el bono dom éstico. C ada bono p u ed e m anejarse con el procedim iento d e m apeo d e flujos d e efectivo antes descrito. A continuación, considere un swap de tasas d e interés. C om o se explicó en e l capítulo 7, é ste puede considerarse com o el intercam bio d e un bono d e ta sa variable por un bono de ta sa fija. El b o ­ no de ta sa fija e s un bono con cupón regular. E l bono de ta sa variable tiene un valor a la par justo después d e la fecha d e pago siguiente. S e considera com o un bono cu p ó n cero con una fecha d e vencim iento igual a la fecha d e pago siguiente. P o r lo tanto, el sw ap d e tasas de interés se red u ce a una cartera d e posiciones largas y cortas e n bonos y puede m anejarse c o n el procedim iento de m a­ peo d e flujos d e efectivo antes descrito.

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Valor e n riesgo

405

M o d e lo lineal y opciones A hora analicem os cóm o podríam os u sar e l m odelo lineal cuando hay opciones. C onsidere prim ero una cartera q u e con siste e n opciones sobre u n a sola acción, cuyo precio vigente e s S. Suponga q u e la delta d e la posición (calculada com o se describió e n e l capítulo 15) e s 8.5 C om o 8 es la ta sa d e cam bio del valor d e la cartera c o n S , e s aproxim adam ente cierto q u e 8

=

—

AS

de tal m odo q u e AP = 8 AS

(18 3 )

donde A S es e l cam bio e n dólares e n e l precio d e la acción en un d ía y AP es, co m o siem pre, el cam bio en dólares en el valor d e la cartera en un d ía. D efinim os A x com o e l cam bio porcentual en el precio d e la acción e n un día: AS A x = —

Se deduce que una relación ap ro x im ad a e n tre A P y Ax es A P = SS A x

C uando tenem os una posición e n varias variables de m ercado subyacentes q u e incluye opciones, p o ­ demos ob ten er una relación lineal aproxim ada e n tre AP y la Axi de m odo similar. Esta relación es n

A P = Y . S>S' Ax' X=|

r e je m p lo , s i h ay c u a tro fech as d e reajuste p o r a ñ o , s e c o m p o n e n trim estralm en te. A quí, la p rese n tac ió n s e sim p lific a en cuanto a q u e a su m e q u e las ta sas d e interés s e m id en u san d o u n cá lc u lo d e d ías rea l/rea l. E n E stados U nidos d e A m é ric a , la ta sa L IB O R s e c o tiz a u san d o u n c o n te o d e d ía s rca l/3 6 0 . E sto sig n ific a q u e 8k d e b e c a lc u la rs e u san d o e s te c o n tc o . P o r e je m ­ p lo , s i tk e s 1 d e m a y o y ik + , e s 1 d e ag o s to , h ay 9 2 d ías (re a le s) e n tre el 1 d e m a y o y el 1 d e ag o s to , p o r lo q u e 8k = 9 2 /3 6 0 = 0.2521.

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CAPÍTULO 19

P a n o rá m ic a d e n e g o c io s 19.1

P a rid a d p u í c a li p a ra c a p s y fl o o r s

H ay una relación d e paridad p ía c a li entre los precios d e caps y flo o rs. É sta relación es \& lor d e l cap = valor d e l flo o r + valor d e l sw ap E n e sta relación, el c a p y el flo o r tienen el m ism o precio d e ejercicio, R K. El sw ap es un contrato para recibir la ta sa LIB O R y pagar una ta sa fija de R K sin un intercam bio d e pagos en la prim era fecha d e reajuste. Los tres instrumentos tienen la m ism a vida y la m ism a frecuencia d e pagos. Para com probar q u e e l resultado sea co rrecto , considere u n a posición larga e n e l cap c o m ­ binada con una posición c o rta e n e l flo o r. E l c a p proporciona un flujo de efectivo d e la ta sa L IB O R - R k durante periodos e n los q u e la ta sa L IB O R e s m ayor q u e R K. La posición c o rta en el flo o r proporciona un flujo d e efectivo d e - ( R k - L IB O R ) = L IB O R - R K durante periodos e n los q u e la ta sa L IB O R e s m enor q u e R K. Por consiguiente, hay un flujo d e efectivo d e la ta sa L IB O R - R K en todas las circunstancias. É ste e s e l flujo d e efectivo so b re el swap. S e d educe q u e e l valor d e l cap m enos e l valor d e l flo o r debe ser igual al valor d e l swap. O bserve q u e los sw ap s se estructuran usualm ente d e tal m odo q u e la ta sa L IB O R e n e l tie m ­ po cero determ ina un pago e n la prim era fecha d e reajuste. Por lo g en eral, caps y flo o r s se su e ­ len estructurar en tal form a q u e no haya ningún pago e n la prim era fecha d e reajuste. É ste e s el motivo por e l cual e l sw ap debe d efin iise co m o un sw a p no están d ar sin ningún pago en la p ri­ m era fecha d e reajuste.

Valuación de caps y floors Un caplet que proporciona un pago en e l tiem po tk+l basado e n la ta sa e n e l tiem po tk se valúa usualm ente con e l m odelo d e Black presentado e n la sección 19.3, c o n V = R k (E sto significa que la ta sa subyacente a l c a p let se a su m e com o logarítm ica norm al). C om o e l pago se realiza en e l tiem ­ po tk+l en vez d e l tiem po tk la ecuación (19.3) proporciona e l valor d e e s te ca p let de la m an era si­ guiente L S ke - r*+'t*+'[Fk N ( d l ) - R KN (d 2)]

(19.8)

donde rk+{ es la tasa continuam ente com puesta para un vencim iento tk+ v d _ l n ( f t / / ? y ) + q ^ t /2

Fk es la ta sa a plazo para e l periodo e n tre e l tiem po tk y tk+l y a k es la volatilidad d e Fk (de ta l m a­ nera q u e crky[F¿es la desviación estándar de ln R k). El ejem plo 19.6 proporciona u n a aplicación d e la ecuación (19.8). H valor d e l flo o r le t correspondiente es, c o n base e n la ecu ació n (19.4), L 8 ke ~ r^

l R

KN { - d 2) - F kN ( —d \ ) \

(19.9)

O bserve q u e R K y Fk se expresan c o n una frecuencia d e com posición igual a la frecuencia de re a ­ justes en estas e c u a d o re s , e n tanto q u e rk+{ se expresa c o n una co m p o sició n continua.

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431

O pciones sobre tasas d e interés

Ejemplo 19.6

Valuación d e un ca p let___________________________________________________

C onsidere un contrato que establece un lím ite máximo a la ta s a d e interés sobre un préstam o de $10,000 e n 8% anual (con una com posición trim estral) d u ran te tres m eses, com enzando e n un año. Éste es un caplet y p o d ría ser un elem ento de un cap. Suponga que la cu rv a cero e s p lana en 7 % anual con una com posición trim estral y q u e la volatilidad de la ta sa a plazo a tres m eses subyacente a l c a p let es d e 20% anual. L a ta sa cero continuam ente co m p u esta para todos los ven­ cim ientos e s d e 6.9394% . E n la ecuación (19.8), Fk = 0.07, 8k = 0.25, L = 10,000, R K = 0.08, rk+i = 0.069394, / > (ÍU )

1=1 d o n d e P (0 ,

/) e s

el p re c io d e u n b o n o c u p ó n c e ro q u e v en ce e n e l tie m p o t y a¡ e s el tie m p o e n tre

co n vención d el cá lc u lo d e d ía s esp ecificad a e n el c o n tra to (/0 = 7 ). P o r e je m p lo , s i

tiem b re y el cá lc u lo d e d ía s s e esp ecifica co m o rca l/3 6 5 , en to n c e s a¡ = 184/365 = 0 .5 0 4 1 .

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y

t¡, m e d id o c o n

la

es el 1 d e m a rz o , t¡ e s e l 1 d e se p ­

CAPÍTULO 19

436

T a b la 1 9 .2 C otizaciones típicas d e interm ediarios para opciones europeas sobre sw aps en EUA (% anual d e volatilidades e n e l m ercado m ediano) D u ra ció n d e l sw a p (a ñ o s) V encim iento 1 m es 3 m eses 6 m eses 1 año 2 años 3 años 4 años 5 años

/

2

3

4

5

7

10

17.75 19.50 20.00 22.50 22.00 21.50 20.75 20.00

17.75 19.00 20.00 21.75 22.00 21.00 20.25 19.50

17.75 19.00 19.25 20.50 20.75 20.00 19.25 18.50

17.50 18.00 18.50 20.00 19.50 19.25 18.50 17.75

17.00 17.50 18.75 19.50 19.75 19.00 18.25 17.50

17.00 17.00 17.75 18.25 18.25 17.75 17.50 17.00

16.00 16.00 16.75 16.75 16.75 16.50 16.00 15.50

En la hoja d e cálculo C ap_and_Sw ap_O ptions seleccione Sw ap Option co m o e l Tipo subyacente y B lack-European com o e l M odelo de valuación. Los interm ediarios proporcionan tablas d e volatilidades im plícitas para opciones europeas so ­ bre sw aps. L os instrum entos subyacentes a las cotizaciones están g en eralm en te at the m oney. E sto significa q u e la ta s a sw ap strik e e s igual a la ta s a sw ap fo rw a rd . La tabla 19.2 m uestra las co tiza­ ciones típicas d e interm ediarios para e l m ercado e n dólares estadounidenses. El te n o r de los swaps subyacentes (es decir, la frecuencia d e reajustes d e la tasa variable) e s de seis m eses. L a vida de la opción se m uestra e n la e sc a la vertical y varía d e un m es a cinco años. L a vida d e l sw ap subyacen­ te a l vencim iento d e la o pció n se presenta e n la e sc a la horizontal y varía d e uno a 10 años. L as vo­ latilidades incluidas en la co lu m n a del extrem o izquieido de la ta b la corresponden a instrum entos sim ilares a caps y m uestran la convexidad analizada anteriorm ente. A m edida q u e avanzam os h a ­ cia las colum nas correspondientes a las opciones sobre sw a p s de m ayor duración, la convexidad persiste, pero se vuelve m enos pronunciada.

19.7 M O D E L O S D E E S T R U C T U R A T E M P O R A L B m odelo de valuación d e opciones europeas sobre bonos que hem os presentado asu m e q u e e l p re ­ cio d e un bono e n determ inada fecha fu tu ra tiene u n a distribución logarítm ica norm al; e l m odelo de valuación d e caps asum e que una ta s a d e interés e n cierta fecha fu tu ra tiene una distribución lo ­ garítm ica norm al; e l m odelo d e valuación d e opciones europeas sobre sw aps asum e q u e una ta sa sw ap en alguna fecha futura tiene u n a distribución logarítm ica norm al. Estos supuestos no concuerdan e n tre sí. E sto dificulta que los negociantes com paren la m anera en que e l m ercado valúa dife­ rentes tipos d e instrum entos. U na desventaja relacionada de los m odelos e s q u e no se am plían con facilidad para valuar ins­ trum entos distintos para los q u e fueron diseñados. P o r ejem plo, e l m odelo d e Black p a ra valuar una opción eu ro p ea sobre sw aps no puede am pliarse fácilm ente p a ra valuar opciones am ericanas sobre swaps. Un m étodo m ás com plejo para valuar derivados d e tasas d e interés co n siste e n c o n stru ir un modelo d e estructura tem p o ra l (term structure m odel). E ste m odelo describe e l com portam iento probabilístico de la estru ctu ra tem poral d e las tasas d e interés. L o s m odelos d e estructura tem poral son m ás com plejos que los q u e se usan para d e sc rib ir los cam bios e n e l precio de una acció n o d i­ visa. E sto e s a s í porque se relacionan con los desplazam ientos d e to d a la cu rv a de rendim iento c u -

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O pciones sobre tasas d e interés

F ig u r a 1 9 .3

Reversión a la m edia

T asa d e in te rés

U n a ta s a d e in te ré s a l ta tie n e u n a te n d e n c ia n e g a tiv a

N iv e l de r e v e r s ió n

U n a ta s a d e in te ré s b aja tie n e u n a te n d e n c ia p o sitiv a

T ie m p o

pon cero y no con los cam bios de una so la variable. C onform e e l tiem po pasa, no todas las tasas de interés cam bian necesariam ente e n e l mismo m onto, por lo q u e la form a d e la cu rv a d e rendim ien­ to puede llegar a variar. La explicación d e la form a co m o se construyen los m odelos d e estructura tem poral e s tá más a llá del alcance d e e ste libro. Sin em bargo, e s im portante señalar u n a propiedad de una ta sa d e in­ terés q u e la distingue del precio d e una acció n o d e un tipo d e cam bio (o , de hecho, d e l precio d e cualquier activo de inversión). U na tasa d e interés a corto plazo (por ejem plo, la tasa a tre s m eses) m uestra una propiedad conocida co m o reversión a la m ed ia (m ean reversión), q u e e s una te n d en ­ c ia a regresar a cierto nivel prom edio a largo plazo. C uando la ta sa d e interés a corto plazo e s m uy alta, tiende a bajar; cu an d o es m uy baja, tien d e a subir. P o r ejem plo, si la ta sa d e interés a tres m e­ ses llega a 15% e n E U A , e s probable q u e e l siguiente cam bio sea u n a dism inución m ás que un a u ­ m ento; si llega a 1%, e s probable q u e e l siguiente cam b io sea un aum ento m ás q u e u n a dism inu­ ción. E sto se ilustra e n la figura 19.3. Si e l precio d e una acción m ostrara reversión a la m edia, h a b ría una evidente estrateg ia d e n e ­ gociación: com prar la acció n cuando su precio e s tá en un nivel histórico bajo; vender la acción cuando su precio e s tá e n un nivel histórico alto . L as tasas d e interés a tres m eses c o n reversión a la m edia no proporcionan una estrateg ia d e negociación similar. E sto se d e b e a que una ta s a d e inte­ rés no e s el precio d e un título que pueda negociarse. No existe un instrum ento negociado cuyo p re ­ cio sea siem pre igual a la ta sa a tre s m eses.

RESU M EN Las opciones sobre tasas d e interés surgen e n la práctica e n form as m uy diversas. Por ejem plo, las opciones d e futuros sobre bonos del T esoro, d e futuros sobre notas d e l Tesoro y de futuros sobre eurodólares se negocian activam ente e n bolsas. M uchos bonos negociados incluyen cláusulas q u e son opciones. Los préstam os y los instrum entos de depósito q u e ofrecen las instituciones financie­ ras contienen frecuentem ente opciones intercaladas. Tres instrum entos populares over the c o u n ter son las opciones sobre bonos, los caps y flo o rs de tasas d e interés y las opciones sobre sw aps. U na o p ció n sobre bono e s una o p ció n para co m p rar

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CAPÍTULO 19 o vender un bono específico . U n c a p sobre ta sa d e interés (Jloor) proporciona un pago cuando una tasa d e interés variable exced e a (dism inuye por d eb ajo de) la ta s a strike. U n a o p c ió n sobre sw ap es u n a o pción para participar e n un sw ap e n e l que u n a ta s a variable se in tercam b ia por una ta sa fija esp ecífica e n determ in ad a fecha futura. E l m odelo d e B lack e s e l q u e usa e l m ercado para va­ luar e sto s instrum entos. En e l caso d e las opciones sobre bonos, se asu m e q u e la distribución d e probabilidades del bono su b y acen te es lo g arítm ica norm al. E n e l caso d e los caps y flo o r s , se a s u ­ me q u e las tasas d e interés subyacentes tienen u n a distribución logarítm ica norm al. E n e l c aso d e las opciones so b re sw aps, se a su m e q u e la ta s a sw ap subyacente tiene u n a distribución logarítm i­ ca norm al.

L E C T U R A S C O M P L E M E N T A R IA S B lack, F. “The Pricing o f C om m odity C o n tracts”, Journal o f F inancial E conom ics, 3 (1976), pp. 167-79. Black, F., E. D erm an y W. Toy. “A O ne-Factor M odel o f In terest Rates and Its A pplication to T rea­ sury B ond O ptions” Financial A nalysts Journal, (enero/febrero de 1990), pp. 33-39. B lack, F. y P. K arasinski. “ Bond a n d Option Pricing W hen S hort R ates Are L o g n o rm al”, Financial A nalysts Journal, (julio/agosto d e 1991), pp. 52-59. B race A ., D. G atarek y M . M usiela. “T he M arket M odel o f Interest R ate D ynam ics” , M athem ati­ c a l F in a n c e ,!, 2 (1997), pp. 127-55. Cbx, J.C ., J.E . Ingersoll y S.A . R oss. "A T h eo ry o f the Term Structure o f In terest R ates” , Econom etrica, 53 (1985), pp. 385-407. H eath, D., R. Jarrow y A. M orton. “ Bond Pricing and th e T erm Structure o f Interest R ates: A N ew M ethodology” , Econom etrica, 6 0 (1992), pp. 77-105. Ho, T.S.Y. y S.B. Lee. ‘T erm Structure M ovem ents and Pricing Interest R ate C ontingent C laim s” , Journal o f F inance, 41 (d ic ie m b re d e 1986), pp. 1011-29. H ull, J.C . Options, Futures, a n d O ther D erivatives. 6 a. ed . U pper Saddle River, N J, Prentice-H all, 2006. H ull, J.C. y A. W hite. “ Pricing Interest R ate Derivative Securities” , Review o f F inancial S tu d ies, 3, 4 (1 9 9 0 ), pp. 573-92. H ull, J.C . y A. W hite. “U sing H ull-W hite Interest Rate T rees” , Journal o f D erivatives, (prim avera de 1996), pp. 26-36. Jam es, J. y N. W ebber. Interest Rate M odeling. C hichester, UK, W iley, 2000. Jam shidian, F. “ L IB O R a n d Swap M arket M odels a n d M easures” , Finance a n d Stochastics, 1 (1997), pp. 293-330. M iltersen, K ., K. Sandm ann y D. S onderm ann, “C losed F orm Solutions for T erm Structure D eriva­ tives with L ognorm al Interest R ates” , Journal o f F inance, 52, 1 (m arzo d e 1997), pp. 409-30. R ebonato, R. Interest R ate O ption M odels. 2a. ed . N ueva York: Wiley, 1998. Vasicek, O. A. “An E quilibrium C haracterization o f th e T erm Structure” , Journal o f F inancial E c o ­ nom ics, 5(1977), pp. 177-88.

Examen (respuestas al final del libro) 19.1. U na em p resa estab lece un lím ite m áxim o a la ta sa L IB O R a tre s m eses e n 10% anual. El m onto d e l principal e s d e $20 m illones. E n una fecha d e reajuste, la tasa L IB O R a tre s m e­ ses e s d e 12% anual. ¿Q ué pago p roporcionaría e ste lím ite m áxim o? ¿C uándo se realizaríá el pago? 19.2. Explique las cláusulas de: a) los bonos rescatables y b) los bonos con opción de venta.

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O pciones sobre tasas d e interés 19.3. Explique por q u é un sw aption se considera un tipo d e o p ció n sobre bono.

19.4. U se el m odelo d e B lack para valuar una opción de venta europea a 1 año sobre un bono a 10 años. A sum a q u e el valor actual del bono es de $125, el precio d e ejercicio es de $110, la ta ­ sa d e interés a 1 año es d e 10% anual, la volatilidad del precio a plazo del bono es d e 8% anual y el valor presente de los cupones que se pagarán durante la vida de la opción es de $ 10. 19.5. Suponga que usted adquiere u n a opción d e co m p ra de futuros sobre eurodólares con un p re ­ cio d e ejercicio d e $97.25 y ejerce la o p ció n cuando e l precio del contrato d e futuros sobre eurodólares subyacente e s d e $98.12. ¿C u ál e s e l beneficio? 19.6. C alcule el precio de una o p ció n q u e establece e l lím ite máximo de la ta sa a 3 m eses, inician­ do e n 18 m eses, e n 13% (cotizada con una com posición trimestral) sobre un principal con un monto d e $ 1,000. La tasa d e interés a plazo para el periodo e n cuestión e s d e 12% anual (c o ­ tizada con una com posición trim estral), la ta sa d e interés libre d e riesgo a 21 m eses (con una com posición continua) e s d e 11.5% anual y la volatilidad de la tasa forw ard e s d e 12% anual. 19.7. ¿C uáles son las ventajas d e los m odelos de estructura tem poral sobre e l m odelo de Black para valuar derivados d e tasas d e interés?

Preguntas y problem as 19.8. Un banco usa e l m odelo d e B lack p a ra valuar opciones europeas sobre bonos. Suponga q u e una volatilidad de precio im plícita para una o p ció n a 5 años sobre un bono que vence e n 10 años se usa para valuar u n a o p ció n a 9 años sobre e l bono. ¿E speraría q u e e l precio resul­ tante fuera dem asiado a lto o bajo? E x p liq u e su respuesta. 19.9. C onsidere una opción d e co m p ra eu ro p ea a 4 años sobre un bono q u e vencerá e n 5 años. El precio d e l bono a 5 años e s de $ 105, e l precio d e un bono a 4 años con e l m ism o cu p ó n que el bono a 5 años es d e $ 102, el precio d e ejercicio d e la o p ció n e s d e $ 100, la tasa d e inte­ rés libre d e riesgo a 4 años es d e 10% an u al (con una com posición continua) y la volatili­ dad del precio a plazo del bono subyacente a la o p ció n es d e 2% an u al. ¿C u ál e s e l valor presente del principal del bono a 4 años? ¿C uál es el valor presente de los cupones del b o ­ no a 4 años? ¿C uál e s e l precio a plazo del bono subyacente a la o p ció n ? ¿C u ál e s e l valor de la opción? 19.10. Si la volatilidad d e rendim ientos para u n a o p ció n d e venta a 5 años sobre un bono q u e ven­ ce e n 10 años se especifica en 22% , ¿cóm o d e b e valuarse e n la o p ció n ? A sum a q u e, con base e n las tasas d e interés vigentes, la duración m odificada del bono al vencim iento d e la opción será d e 4 .2 años y q u e e l rendim iento a plazo sobre el bono e s d e 7%. 19.11. U na corporació n sabe que e n tres m eses te n d rá $5 m illones para invertirlos durante 9 0 días a la ta sa L IB O R m enos 50 puntos base y d esea asegurarse de q u e la ta sa o b ten id a sea por lo m enos de 6.5% . ¿Q ue posición e n opciones sobre tasas d e interés cotizadas e n bolsa d e ­ be tom ar la corporación? 19.12. Explique con d etalle co m o usaría: a) volatilidades sp o t y b) volatilidades fla t para valuar un cap a 5 años. 19.13. ¿ Q u é o tro instrum ento e s igual a un co lla r d e co sto cero a 5 años e n e l q u e el precio d e e jer­ cicio d e l cap iguala a l precio d e ejercicio d e l f lo o r l ¿A q u é e s igual e l precio d e ejercicio com ún? 19.14. Suponga q u e las tasas cero a 1, 2, 3 , 4 y 5 años son d e 6 , 6.4, 6.7, 6 .9 y 7 % . El precio d e un cap sem estral a cinco años, c o n un principal d e $100, a una ta s a m áxim a de 8% e s d e $3. U se e l softw are D erivaG em para determ inan a. La volatilidad fla t a 5 años para caps y floors. b. La ta s a m ínim a e n un c o lla r de co sto cero a 5 años cuando la ta sa m áxim a es de

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CAPÍTULO 19 19.15. D em uestre q u e V ] + f = V 2, d o n d e V, es e l valor d e una opción so b re sw a p para p ag ar una ta sa fija d e R K y re c ib irla ta sa L IB O R entre las fechas T { y T2, f e s el valor d e un sw ap a plazo para recibir una ta sa fija d e R K y p ag ar la ta sa L IB O R entre las fechas 7", y T 2 y V2 es el valor d e una o pció n sobre sw ap para recibir una ta sa fija d e R K entre las fechas T l y T2. C oncluya q u e V, = V2 cuando R K e s igual a la ta s a sw ap f o rw ard vigente. 19.16. Explique p o r q u é hay una o p o rtu n id ad d e arbitraje si la volatilidad (flat) im plícita d e Black para un ca p e s diferente de la de un flo o r. ¿R epresentan una oportunidad d e arb itraje las c o ­ tizaciones d e interm ediarios m ostradas e n la tabla 19.1? 19.17. Suponga que las tasas cero son iguales a las presentadas e n e l problem a 19.14. Use el soft­ w are DerivaGem para determ in ar e l valor de una o p ció n q u e p ag ará una ta s a fija d e 6 % y recibirá la ta sa L IB O R sobre un sw ap a cin co años, iniciando en un año. A sum a que e l prin­ cipal es d e $100 m illones, los pagos se intercam bian sem estral m ente y la volatilidad d e la ta sa sw ap es d e 21 %.

Preguntas de tarea 19.18. Suponga que la c u rv a d e rendim iento L IB O R e s plana y d e 8% c o n u n a co m p o sició n anual. Un sw aption otorga a l tenedor e l derecho a recib ir 7.6% e n un sw a p a 5 años q u e inicia en 4 años. Los pagos se realizan anualm ente. L a volatilidad de la ta sa sw ap f o rw ard es d e 25% anual y el principal es d e $1 m illón. U se e l m odelo de Black para valuar e l swaption. 19.19. C onsidere u n a o pció n d e venta eu ro p ea a ocho m eses sobre un bono d e l Tesoro q u e tiene actualm ente 14.25 años al vencim iento. E l principal d e l bono e s de $1,000. E l precio actual del bono e n efectivo e s de $910, e l precio d e ejercicio e s d e $900 y la volatilidad del precio a plazo d e l bono e s de 10% anual. Un cu p ó n d e $35 se p ag ará por e l bono e n tres m eses. La tasa d e interés libre d e riesgo es d e 8% para todos los vencim ientos hasta un año. U se e l m o­ delo d e B lack para determ inar e l precio d e la opción. C onsidere tanto e l caso en e l q u e p re ­ c io d e ejercicio corresponde al precio e n efectivo del bono co m o e l caso e n el q u e co rre s­ ponde al precio cotizado. 19.20. U se e l softw are D erivaG em para valuar un co lla r a cinco años q u e garantice q u e las tasas d e interés m áxim a y m ínim a sobre un préstam o basado e n la ta sa LIB O R (con ajustes tri­ m estrales) será d e 5% y 7 % , respectivam ente. La cu rv a cero L IB O R (con una com posición continua) e s actualm ente p lana y d e 6% . U se u n a volatilidad fla t efe 20% . A sum a que el principal e s d e $100. 19.21. Suponga q u e la curv a d e rendim iento L IB O R es p lana y de 8% c o n u n a co m p o sició n anual. Un sw aption otorga a l tenedor e l derecho a recib ir 7.6% e n un sw ap a 5 años q u e inicia en 4 años. L os pagos se realizan anualm ente. La volatilidad de la ta sa sw a p fo rw a rd es d e 25% anual y e l principal e s d e $1 m illón. U se e l m odelo d e B lack p a ra valuar e l s>vaption. C om ­ pare su respuesta c o n la q u e proporciona el softw are DerivaGem . 19.22. C alcule e l precio d e un cap robre la ta sa L IB O R a tres m eses e n un tiem po d e 9 m eses p a ­ ra un principal con un m onto d e $1,000. U se e l m odelo d e B lack y la siguiente inform ación: Precio cotizado d e futuros sobre eurodólares a 9 m eses = $ 92 V olatilidad d e la ta sa d e interés im plícita por u n a o p ció n sobre eurodólares a 9 m eses = 15% anual Tasa d e interés vigente a 12 m eses con una co m p o sició n co n tin u a = 7.5% anual Tasa m áxim a = 8% an u al 19.23. U se el softw are D erivaG em para valuar una o p ció n eu ro p ea sobre un sw ap que le o to rg a el derecho a participar d en tro de 2 años e n un sw ap a 5 años en el que usted paga una tasa fi­ j a de 6 % y recibe una ta s a variable. L o s flujos d e efectivo sobre e l sw a p se intercam bian se-

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O pciones sobre tasas d e interés

m estralm ente. Las tasas d e interés cu p ó n cero a 1 ,2 ,5 y 10 años (con una co m p o sició n c o n ­ tinua) son de 5, 6 , 6.5 y 7 % , respectivam ente. A sum a un principal d e $100 y u n a volatili­ dad d e 15% an u al. D é un ejem plo d e cóm o u n a corporación p o d ría usar la o p c ió n sobre un swap. ¿ Q u é o p ció n sobre un bono e s equivalente a la o p ció n sobre un s w a p l

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Opciones exóticas y otros productos no estándar Los derivados que hem os abordado e n los prim eros 19 capítulos d e e s te libro son lo q u e se co n o ce com o productos p la in vanilla. Tienen propiedades están d ar bien definidas y se negocian activam en­ te. Sus precios o volatilidades im plícitas se cotizan de m anera regular en bolsas d e valores o por corredores. U na de las características estim ulantes d e l m ercado d e derivados over th e co u n ter es el núm ero de productos no estándar (o exóticos) que h a cread o la ingeniería financiera. A unque su e ­ len form ar u n a parte relativam ente p eq u eñ a d e su cartera, esos productos exóticos son im portantes para un agente d e derivados, com o un banco d e inversión, pues e n general son m ucho m ás renta­ bles que los productos p lain vanilla. Los productos exóticos se desarrollan p o r diversas razones. A veces satisfacen una g en u in a n e ­ cesidad de co b ertu ra en el m ercado; e n ocasiones hay razones fiscales, contables, legales o reg u la­ doras, por las q u e los tesoreros corporativos o los adm inistradores de fondos los encuentran a tra c ­ tivos; incluso, pueden e sta r diseñados para reflejar e l punto d e vista d e un tesorero corporativo o adm inistrador de fondos sobre los posibles cam bios fijturos e n variables d e m ercado específicas; ocasionalm ente, un banco d e inversión d iseñ a un producto exótico para que p arezca m ás atractivo de lo q u e e s a un tesorero corporativo o adm inistrador d e fondos desprevenido. C om enzam os analizando las variaciones de las opciones d e co m p ra y venta están d ar que h e ­ mos abordado en los capítulos 8 a 18. Luego exam inam os los títulos respaldados p o r hipotecas, q u e se han convertido en un elem ento im portante d e l m ercado d e derivados sobre tasas d e interés de E s ­ tados U nidos d e A m é ric a P o r últim o, describim os algunos productos sw ap no estándar. El o b je ti­ vo de este capítulo e s d a r u n a idea de la gam a d e instrum entos que se han desarrollado, por lo q u e cubre soto un pequeño grupo d e los productos q u e se negocian.

20.1 O P C I O N E S E X Ó T IC A S En e sta sección describim os diferentes tipos d e opciones exóticas q u e se ofrecen sobre activos su b ­ yacentes com o acciones, índices bursátiles y divisas. U sam os una clasificación sim ilar a la que se presenta en una excelente serie d e artículos que escribieron E ric R einer y M ark R ubinstein para la revista R IS K en 1991 y 1992. L as opciones asiáticas, con barrera, b in arias, ch o o ser, com puestas y retroactivas pueden valuarse con e l softw are D erivaG em .1 1 L os p ro ced im ien to s q u e usa el m e rc ad o para v a lu a r to d a s las o p cio n es d escritas e n e s ta se c c ió n s e a b o rd a n e n J.C . H ull,

O ptions, Futures, a n d O th e r D eriva tives, 6 a. c d . (U p p er S a d d le River, N J, P re n tic e H all, 2 0 0 6 ), c a p . 2 2 .

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CAPÍTULO 20

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Paquetes Un p aq u ete es una cartera integrada por opciones d e co m p ra europeas estándar, opciones de venta europeas estándar, contratos a plazo, efectivo y e l activo subyacente m ism o. A nalizam os diversos tipos d e paquetes e n e l capitulo 10: bull sp rea d s, bear sp rea d s, butterfly sp rea d s, calendar sp rea d s), straddles, strangles, etcétera. C on frecuencia, la ingeniería financiera estructura un paquete d e m odo q u e tenga un co sto ini­ cial de cero. Un ejem plo e s un contrato range fo rw a rd , q u e se an alizó en el capítulo 13 y co n siste en una posición larga en u n a o p ció n d e co m p ra y una posición c o rta e n una o p ció n d e venta, o una posición c o rta e n u n a o pció n d e co m p ra y una posición larga en u n a o p ció n d e venta. El precio d e ejercicio d e la o pción d e co m p ra e s m ayor que e l precio d e ejercicio d e la o p ció n d e venta.

O p cion e s am ericanas no estándar E n una opción am ericana estándar, e l ejercicio puede o c u rrir en cualquier m om ento durante la v i­ d a de la o pción y e l precio d e ejercicio siem pre es e l mismo. Las opciones am ericanas q u e se n e ­ gocian en el m ercado o\>erthe co u n ter no siem pre tienen estas características. Por ejem plo: 1. El ejercicio anticipado p u ed e lim itarse a ciertas fechas. E n e ste caso , e l instrum ento se c o ­ noce com o opción b erm u d a , ¡ya q u e B erm uda se encuentra e n tre E uropa y América! 2. El ejercicio anticipado se p erm ite únicam ente d u ran te parte de la vida d e la opción. 3 . El precio d e ejercicio p u ed e cam b iar durante la vida d e la opción. Los w arrants que em iten las corporaciones sobre su p ro p ia acció n tienen c o n frecu en cia algunas d e estas características. P o r ejem plo, e n un w arrant a siete años, e l ejercicio p o d ría realizarse e n fe ­ chas específicas du ran te los años 3 a 7 ; con e l precio d e ejercicio d e $30 durante los años 3 y 4; d e $32 durante los dos años siguientes, y de $33 d u ran te e l últim o año. Por lo com ún, las opciones am ericanas no estándar pueden valuarse utilizando un áibol binom ial. E n cada nodo, la prueba (si la hay) para e l ejercicio anticipado se ajusta de tal m odo q u e re ­ fleje los térm inos d e la opción.

O p cio n e s forw ard start Las opciones forw a rd sta rt son aquellas q u e iniciarán e n alg ú n m om ento e n e l futuro. Las o p c io ­ nes sobre acciones para directivos, q u e se analizaron en las Panorám icas de negocios 8.3 y 12.3, a sí com o e n las secciones 8.11 y 12.10, se consideran com o un tipo d e o p ció n fo rw a rd sta rt. E n un plan típico d e opciones sobre acciones, una em p resa prom ete q u e o to rg ará opciones a the m oney a sus directivos e n ciertas fechas e n e l futuro. C uando e l activo subyacente no pro p o rcio n a ingresos, una o p ció n fo rw a rd sta rt a t th e m oney tiene e l mismo valor (usando los supuestos subyacentes al m odelo de B lack-Seholes) q u e una o p ­ ción regular at the m oney con la m ism a vida. P o r ejem plo, una opción a t the m o n ey que co m en za­ rá e n tre s años y v en cerá e n cinco, vale lo mism o que una o p ció n a t th e m o n ey a d o s años q u e ini­ c ia hoy (vea e l problem a 20.13).

O p cion e s com puestas Las opciones com puestas son opciones sobre opciones. H ay cuatro tipos principales de opciones com puestas: una opción d e co m p ra sobre una o p ció n d e com pra; una o p ció n d e venta sobre una o p ­ ción d e co m p ra; una o pción d e com pra sobre una o p ció n d e venta, y una o p ció n de venta sobre una opción de venta. Las opciones com puestas tienen dos precios d e ejercicio y dos fechas d e ejercicio. P or ejem plo, considere una o p ció n de co m p ra sobre una o p ció n d e co m p ra. E n la prim era fecha d e ejercicio, 7 ,, el ten ed o r d e la o p ció n co m p u esta tiene derecho a p ag ar e l prim er precio d e ejercicio.

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O pciones exóticas y otros productos no está n d a r

445

K [y y recibir una opción d e co m p ra. L a o p ció n de co m p ra otorga al tenedor e l derecho a com prar el activo subyacente al segundo precio d e ejercicio, tf2,e n la segunda fecha d e ejercicio, T 2. L a o p ­ ción com puesta se ejercerá e n la prim era fecha d e ejercicio únicam ente si el valor de la segunda o p ­ ción e n e sa fecha es m ayor q u e el prim er precio d e ejercicio. Por lo general, u n a o p ció n co m p u es­ ta e s m ucho m ás sensible a la volatilidad q u e una o p ció n pican vanilla.

O p cio n e s chooser U na o pción chooser (denom inada a veces o p ció n as y o u like it u o p ció n a la m edida) tiene la c a ­ racterística d e q u e, d esp u és de un periodo específico, el ten ed o r puede d e cid ir si la opción e s una opción d e co m p ra o d e venta. Suponga q u e cuando se to m a la decisión e s e l tiem po T y E l v alor de la o pción chooser en e s te m om ento es m áx (c, p) donde c es e l valor d e la o p ció n d e co m p ra subyacente a la opción y p es e l valor d e la o p ció n d e venta subyacente a la opción. Si am bas opciones subyacentes a la o p ció n ch o o ser son europeas y tienen e l mism o precio d e ejercicio, es posible usar la paridad p u t c a li para o b ten er una fórm ula d e valuación. Suponga q u e S, es e l precio del activo subyacente en e l tiem po T {, K es el precio d e ejercicio, T2 es e l vencim ien­ to d e las o pciones, r es la ta sa d e interés libre d e riesgo y q es el rendim iento d e dividendos sobre d activo. L a parid ad p u t c a li im plica q u e m áx( “ ‘/,/2 _ /|)) = c + ivencia 0.9800 0.9604 0.9412 0.9224 0.9039

4 E l ín d ic e e s l o r a m e n t e m e n o r q u e e l p ro m ed io d e lo s sp re a d s d e sw a p s d e in cu m p lim ien to d e cred ilo p ara las em p resas

in c lu id a s e n la c a rte ra . P ara e n te n d e r la raz ó n d e esto , c o n sid e re d o s e m p re sa s, u n a c o n u n sp re a d d e 1,000 p u n to s b a s e y la « r a c o n u n sp re a d d e 10 p u n to s b ase. L a c o m p ra d e p ro te c c ió n so b re a m b a s e m p re sa s c o s ta ría un p o co m en o s d e 505 p u n ­ to s b a se p o r em p re sa. E sto s e d e b e a q u e n o s e e sp e ra q u e lo s 1 ,0 0 0 p u n to s b a s e s e p ag u e n d u ra n te el m ism o tiem p o q u e los 10 p u n to s b a se y, p o r lo ta n to , im p lican m en o s peso. 5 L as p ro b ab ilid ad e s co n d ic io n a le s d e in cu m p lim ien to s e c o n o c e n c o m o ta sas d e riesg o . A quí, la ta s a d e riesgo s e e x p re sa

con u n a c o m p o sic ió n anual.

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CAPÍTULO 21

466

Tabla 2 1 . 3 C álculo del valor presente d e los pagos esperados R igo = s anual

Tiempo (años)

Probabilidad d e supervivencia

Pago esperado

1 2 3 4 5

0.9800 0.9604 0.9412 0.9224 0.9039

0.9800.? 0.96045 0 .9 4 12.v 0.9224? 0.9039.?

Factor d e descuento

Valor presente d e l p ago esperado

0.9512 0.9048 0.8607 0.8187 0.7788

0.9322.? 0.8690.? 0.8101.? 0.7552? 0.7040.?

T o ta l

4.0704?

La ta b la 2 1 .4 m uestra e l cálculo d e l valor presente esperado d e l beneficio, asum iendo un prin­ cipal nocional de $1. C om o se m encionó anteriorm ente, asum im os q u e los incum plim ientos siem ­ pre ocurren a mitad d e año. P o r ejem plo, hay una probabilidad d e 0.0192 d e obtener un beneficio a la m itad del te rc er año. Puesto q u e la ta s a d e recuperación e s d e 4 0 % , el beneficio esperado en este m om ento es de 0.0192 X 0 .6 X 1 = 0.0115. El valor presente del beneficio esperado e s d e 0.0115^-005x2.5 _ 0.0102. El valor presente total d e los beneficios esperados e s de $0.0511. Cóm o paso final, e n la ta b la 21.5 evaluam os e l pago acum ulado realizado en caso d e incum ­ plim iento. P o r ejem plo, hay u n a probabilidad d e 0.0192 d e q u e se realice un pago acum ulado final a la m itad d e l te rc er año. El pago acum ulado e s d e 0.55. Por consiguiente, en este m om ento e l p a ­ go acum ulado esperado e s d e 0.0192 X 0.55 = 0.00965. Su valor presente e s d e 0.00965 í?_ 005x2-5 = 0.00855. El valor presente total de los pagos acum ulados esperados e s d e 0.04265. Cbn base e n las tablas 21.3 y 21.5, e l valor presente d e los pagos esperados e s d e 4.07045 + 0.04265 = 4.11305 Cbn base e n la tabla 21.4, el valor presente del beneficio esperado es d e 0.0511. Si igualam os los dos resultados, e l spread CDS para un nuevo C D S se obtiene p o r m edio d e 4.1130.? = 0.0511 o .? = 0.0124. El spread del m ercado m edio d e b e ser 0.0124 veces e l principal o 124 puntos base por año. E ste ejem plo e s tá diseñado p a ra ilustrar e l m étodo d e cálculo. E n la práctica podem os e n co n ­ trar q u e los cálculos son m ás am plios q u e los de las tab las 21.3 a 21.5, porque: a) los pagos se rea-

Tabla 2 1 . 4 Cálculo del valor presente d e l beneficio esperado Principal nocional = $1

Tiempo (años)

P robabilidad de incum plim iento

Tasa de recuperación

0.5 1.5 2.5 3.5 4.5

0.0200 0.0196 0.0192 0.0188 0.0184

0.4 0.4 0.4 0.4 0.4

Beneficio esperado ($) 0.0120 0.0118 0.0115 0.0113 0.0111

Total

Factor de descuento 0.9753 0.9277 0.8825 0.8395 0.7985

Valor presente d e l beneficio esperado ($) 0.0117 0.0109 0.0102 0.0095 0.0088

0.0511

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D erivados d e crédito

T a b la 2 1 .5 Tiempo (años) 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5

C álculo del valor presente del pago acum ulado P robabilidad d e incum plim iento

Pago acum ulado esperado

0.0200 0.0196 0.0192 0.0188 0.0184

0.0100.9 0.0098.9 0.0096.5 0.0094.9 0.00925

T o ta l

Factor d e descuento 0.9753 0.9277 0.8825 0.8395 0.7985

Valor presente d e l p ago acum ulado esperado 0.0097.9 0.00915 0.00855 0.0079.9 0.0074.9 0.0426.9

lizan c o n m ás frecuencia que una vez a l año, y b) podríam os a su m ir q u e los incum plim ientos o c u ­ rren con m ás frecuencia q u e una vez a l año.

Valuación de un C D S Si el sw ap d e incum plim iento d e crédito de nuestro ejem plo se hubiera negociado hace algún tiempo a un spread de 150 puntos base, el valor presente de los pagos realizados por el com prador sería de 4.1130 X 0.0150 = 0.0617 y el valor presente del beneficio sería de 0.0511, igual q u e antes. Por lo tanto, el valor del sw ap para el vendedor sería de 0.0617 - 0.0511, o 0.0106 veces el principal. Del m ism o modo, el valor del sw ap para el com prador d e protección sería - 0.0106 veces el principal.

Probabilidades de incum plim iento Los principales parám etros que se requieren para valuar sw aps de incum plim iento d e crédito son las probabilidades d e incum plim iento. E n la práctica, éstas se deducen de los precios d e CDSs a c ­ tivam ente negociados y después se usan para valuar CD Ss q u e se negocian en fo rm a m enos activa. A dem ás, a veces se deducen de los precios d e bonos. Suponga que cam biam os e l ejem plo d e las tablas 21.3, 2 1 .4 y 21.5, d e m anera que no co n o zca­ mos las probabilidades d e incum plim iento. E n su lugar, sabem os que e l spread C D S del m ercado m edio para un C D S a cinco años recién em itido e s de 100 puntos base p o r año. Podem os invertir el planteam iento d e nuestros cálculos para co n clu ir que la probabilidad d e incum plim iento im plícita por año (con la condición d e q u e no haya ningún incum plim iento previo) e s d e 1.61% anual.6 El uso d e spreads C D S cotizados o precios de bonos cotizados para calcular las probabilidades de incum plim iento im plícitas, requiere la estim ación d e la tasa d e recuperación. P o r lo general se usa la m ism a ta sa de recuperación para: a) calcu lar las probabilidades d e incum plim iento implícitas y b) valuar w a p s de incum plim iento d e crédito. El resultado neto d e esto e s que el valor d e un C D S (o el cálculo de un spread CDS) no e s m uy sensible a la ta sa d e recuperación. Esto se d e b e a que las probabilidades d e incum plim iento im plícitas son aproxim adam ente proporcionales a 1/(1 - R ) y los beneficios obtenidos de un C D S son proporcionales a l - R , d e ta l m odo q u e e l beneficio esperado es c asi independiente d e R. Las probabilidades d e incum plim iento im plícitas d e spreads C D S o de precios d e bonos son probabilidades de incum plim iento neutrales a l riesgo. Éstas son las probabilidades d e incum pli-

6 En form a ideal, preferiríam os c alc u lar una probabilidad d e incum plim iento diferente para ca d a añ o e n lu g ar d e una so la ta ­ sa d e incum plim iento. Podríam os h acer esto s i tu viéram o s spreads para swaps CD S o precios d e bonos a 1, 2, 3 , 4 y 5 años.

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CAPÍTULO 21 miento correctas q u e deben usarse al valuar un derivado de créd ito .7 Es ten tad o r calcular probabi­ lidades d e incum plim iento a p a rtir d e datos históricos sobre incum plim ientos proporcionados por agencias d e calificación. A ún a sí, éstas son probabilidades d e incum plim iento históricas d e l m un­ do real y no son adecuadas para valuar derivados. Las probabilidades d e incum plim iento neutrales al riesgo son m ucho m ás altas q u e las probabilidades d e incum plim iento del m undo real. Las e m ­ presas que usan datos históricos d e incum plim iento para valuar sw a p s de incum plim iento d e crédi­ to pueden considerar atractiva la venta de protección. ¿P or qué las probabilidades d e incum plim iento del m undo real son inadecuadas para valuar d e ­ rivados d e crédito? U na institución financiera q u e vende protección de crédito se expone a sí m is­ ma a cierto riesgo sistem ático (no d iv e rsific a re ). C uando la eco n o m ía se d eterio ra, m ás em presas incum plen y aum entan los beneficios sobre CDSs. L a institución financiera necesita basar sus pri­ mas e n m ás q u e probabilidades d e incum plim iento d e l m undo real para recib ir una com pensación adecuada p o r a su m ir e ste riesgo sistem ático.

Sw aps de incum plim iento de crédito binarios Un sw a p de incum plim iento d e crédito binario se estructura d e fo rm a sem ejante a un sw ap de in­ cum plim iento d e crédito regular, excepto que e l beneficio e s un m onto fijo en dólares. Suponga q u e, en e l ejem plo presentado en las tablas 21.2 a 21.5, e l beneficio e s de $ 1 , en vez d e 1 — R dólares, y q u e e l spread del sw ap e s s. Las tablas 21.2, 21.3 y 21.5 son iguales. La ta b la 2 1 .4 se reem plaza con la tabla 21.6. E l spread C D S para un nuevo CDS binario se obtiene p o r m edio de 4.1130? = 0.0852 de m odo q u e e l spread C D S , s, e s d e 0.0207 o 207 puntos base. En e l caso d e un C D S regular señalam os q u e hay m uy poca sensibilidad a la ta sa d e recupera­ ción siem pre q u e se usa la m ism a ta sa d e recuperación para calcular las probabilidades d e incum ­ plim iento y valuar e l C D S. E sto no ocu rre en el caso d e un CDS binario.

Sw aps de incum plim iento de crédito de canasta En un basket credit d efault sw ap o sw ap d e incum plim iento d e crédito d e ca n a sta hay varias e n ti­ dades d e referencia. Un add up b a ske t C D S proporciona un beneficio cu an d o incum ple cu alquiera

T a b la 2 1 . 6 Cálculo del v alor presente d e l beneficio esperado d e un sw ap d e incum pli­ m iento d e crédito binario. Principal = $1 Tiempo (años)

P robabilidad de incum plim iento

0.5 1.5 2.5 3.5 4.5

0.0200 0.0196 0.0192 0.0188 0.0184

B eneficio esperado ($) 0.0200 0.0196 0.0192 0.0188 0.0184

Factor de d escuento

Valor presente d e l beneficio esperado ($)

0.9753 0.9277 0.8825 0.8395 0.7985

T o tal

0.0195 0.0182 0.0170 0.0158 0.0147 0.0852

7 Esto s e d eb e a q u e usam os una valuació n neutral a l riesgo p ara v a lu ar e l C D S . C alcu lam o s lo s flujo s d e efectiv o e sp e ra ­ dos e n un m undo neutral a l riesgo y lo s descontam os a la ta sa d e interés libre d e riesgo .

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D erivados d e crédito

P a n o rá m ica d e n e g o c io s 2 1 .2

¿E s el m ercado C D S un ju eg o lim pio?

H ay u n a diferencia im portante entre los sw a p s d e incum plim iento d e crédito y los d em ás derivactos o v erth e coim ter que hem os abordado en e ste libro. Los dem ás derivados o v erth e co im ter d e ­ penden d e tasas d e interés, tipos d e cam bio, índices d e acciones, precios d e com m odities,e tc . N o hay razón para asum ir q u e algún participante de mercado tenga m ejor inform ación sobre estas va­ riables q u e los dem ás participantes. Los spreads de sw a p s de incum plim iento d e crédito dependen de la probabilidad de que una em presa esp ecífica incum pla sus pagos d u ran te determ inado periodo. E s discutible q u e algunos participantes d e m ercado tengan m ás inform ación que otros para calcu lar e sta probabilidad. U na institución financiera que tra b a ja de c erca con una em presa particular proporcionándole a se s o ­ ría, realizando préstam os y m anejando nuevas em isiones d e títulos, puede te n er m ás inform a­ ción sobre la solvencia de la em p resa que o tra institución financiera q u e no tiene tratos con ella. Los econom istas se refieren a esto com o un problem a d e inform ación asim étrica. Aún e s tá por verse si la inform ación asim étrica restringirá la expansión del m ercado d e sw aps d e incum plim iento d e crédito. Las instituciones financieras destacan q u e la decisión de co m p rar protección c o n tra e l riesgo d e incum plim iento d e parte de una em p resa la to m a n o r­ m alm ente un adm inistrador d e riesgo, y no se basa e n ninguna inform ación especial sobre la e m ­ presa que pueda existir e n a lg u n a parte d e la institución financiera.

d e las entidades d e referencia. Un CDS fir s t to d e fa u lt (prim ero e n incum plim iento) proporciona un beneficio únicam ente cuando ocu rre e l prim er incum plim iento. Un C D S second to d efa u lt (segun­ do e n incum plim iento) proporciona un beneficio sólo cuando ocurre e l segundo incum plim iento. En términos generales, un CDS nth to d e fa u lt proporciona un beneficio soto cuando ocurre el enésim o incum plim iento. Los beneficios se calculan en la m ism a form a que los d e un CDS regular. D espués de q u e ocurre e l incum plim iento relevante, hay una liquidación. E n e ste caso , e l sw ap finaliza y nin­ guna d e las partes realiza m ás pagos. La correlación d e incum plim iento entre am bas em presas e s u n a m edida d e su ten d en cia a in­ cum plir aproxim adam ente al m ism o tiem po. Un sw ap n th to d e fa u lt e s m ás difícil d e valuar q u e un sw ap de incum plim iento de crédito regular, porque depende d e la co rrelació n d e incum plim iento entre las entidades de referen cia incluidas e n la can asta. Por ejem plo, cuanto m ayor sea la c o rre la ­ ción d e incum plim iento, m enor será e l spread CDS sobre un sw ap fir s t to default.

Futuro del m ercado de C D S El mercado d e sw aps de incum plim iento d e crédito creció con rapidez a finales d e la década de 1990 y principios d e la década d e 2000. Los sw aps de incum plim iento d e crédito representan c asi todas las transacciones de derivados d e crédito y han llegado a ser herram ientas im portantes para adm inis­ trar el riesgo de crédito. U na institución financiera p u ed e reducir su exposición de crédito a e m p re ­ sas específicas m ediante la co m p ra d e protección. A dem ás, puede usar C D Ss para diversificar el ries­ go d e crédito. Por ejem plo, si u n a institución financiera tiene dem asiada exposición d e crédito a d e ­ term inado sector d e negocios, puede com prar protección co n tra el incum plim iento de em presas del sector y, al mismo tiem po, vender protección co n tra el incum plim iento d e em presas de otros sectores no relacionados. A lgunas personas creen que e l crecim iento del m ercado CDS co n tin u ará y q u e para 2010 será tan grande com o e l m ercado d e sw aps d e tasas d e interés. O tras son m enos optim istas. C om o se se ­ ñaló en la Panorám ica de negocios 21.2, hay un posible problem a d e inform ación asim étrica e n el m ercado de CDS q u e no e s tá presente e n los d em ás m ercados de derivados over the counter. A continuación, analizarem os otros derivados de crédito.

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CAPÍTULO 21

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21.4 S W A P S D E R E N D I M I E N T O T O T A L Un total return sw a p o sw ap d e rendim iento (o retorno) to ta l es un acuerdo p a ra intercam biar el rendim iento total sobre un bono (o cualquier cartera d e activos) por la ta s a LIB O R m ás un m argen. El rendim iento total incluye cu p o n es, e l interés y la g a n an c ia o la pérdida sobre e l activo d u ran te la vida d e l swap. Un ejem plo de un sw ap de rendim iento total es un contrato a cinco años c o n un principal n o ­ cional d e $100 m illones para intercam biar el rendim iento total sobre un bono corporativo por la ta ­ sa L IB O R m ás 25 puntos base. E sto se ilustra e n la figura 21.2. E n las fechas de pago de cupón, el pagador paga los cupones obtenicbs sobre u n a inversión d e $100 m illones e n el bono. El receptor paga un interés a la ta sa L IB O R m ás 25 puntos base sobre un principal de $100 m illones. (L a tasa LIB O R se establece en una fecha cu p ó n y se paga e n la siguiente, co m o e n un swap p la in vanilla de tasas d e interés). Al final de la vida d e l sw ap hay un pago q u e refleja el cam b io en e l valor del bono. P o r ejem plo, si el valor d e l bono au m en ta 10% durante la vida d e l sw a p ,e 1 pagador debe pag3r $10 m illones ( = 10% d e $100 m illones) a l térm ino d e los cinco años. Del mismo m odo, si el valor del bono dism inuye 15%, e l receptor d e b e pagar $15 millones al final d e los cinco años. Si hay un incum plim iento sobre e l bono, usualm ente e l sw ap term ina y e l receptor realiza un pago fi­ nal que equivale a l excedente d e $100 millones sobre el valor d e m ercado d e l bono. Si sum am os e l principal nocional a am bas partes a l final de la vida d e l sw ap, describim os el sw ap de rendim iento total d e la m an era siguiente. El pagador paga los flujos d e efectivo sobre una inversión d e $100 m illones e n e l bono corporativo a 5% . El receptor p a g a los flujos d e efectivo s)b re un bono d e $ 100 m illones q u e paga la ta sa L IB O R m ás 25 puntos base. Si e l pagador e s p ro ­ pietario d e l bono, e l sw ap de rendim iento to ta l le perm ite tra n sfe rir e l riesgo d e crédito sobre el bono a l receptor. Si no e s p ro p ietario d e l bono, e l sw ap de rendim iento total le perm ite to m ar una posición c o rta e n e l bono. Los sw aps de rendim iento total se usan con frecu en cia co m o una h erram ien ta financiera. Un escenario q u e p o d ría d a r lu g a r a l sw ap presentado e n la figura 21.2 e s e l siguiente. E l recep to r d e ­ sea financiam iento p a ra invertir $ 100 m illones e n e l bono d e referencia. A cude al pagador (q u e es probablem ente u n a institución financiera) y acu erd a participar e n e l swap. E ntonces, e l pagador invierte $100 m illones e n e l bono. E sto d e ja a l recep to r e n la m ism a posición q u e hab ría ten id o si hubiera adquirido dinero e n préstam o a la ta sa L IB O R m ás 25 puntos base para co m p rar e l bono. El p ag ad o r m antiene la propiedad d e l bono d u ra n te la vida d e l sw ap y e n fre n ta m enos riesgo d e crédito del q u e h a b ría asu m id o si hubiera prestado dinero al receptor para financiar la c o m p ra del bono, usando e l bono com o g a ra n tía d e l préstam o. Si el recep to r incum ple, e l pagador no tiene el problem a legal d e tratar d e recuperar su garan tía. L os sw a p s de rendim iento total son sim ilares a repos (acuerdos d e recom pra) (vea la sección 4.1) e n cu an to a que e stá n estructurados p a ra m ini­ m izar e l riesgo d e crédito a l financiar títulos. El m argen sobre la ta sa L IB O R q u e recib e el pagador e s una com pensación p o r a su m ir e l ries­ go d e que el recep to r incum pla. E l pagador p e id erá dinero si el recep to r incum ple cu an d o dism inu-

F ig u ra 2 1 . 2 P ag ad o r del ren d im ien to to ta l

Sw aps d e rendim iento total R en d im ien to to ta l e n e l bono

LIB O R + 2 5 puntos b ásico s

R ecep to r d el ren dim ien to total

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ye el precio del bono d e referencia. P o r co nsiguiente, el m argen d ep en d e d e la calidad cred iticia del receptor, la calid ad cred iticia d e l em isor del bono y la co rrelació n e n tre am bas. H ay algunas variaciones d e l acuerdo estándar q u e hem os descrito. A veces, e n lugar de que h a ­ ya un pago e n efectivo por el cam bio e n e l valor del b o n o , hay una liquidación física e n la q u e el pagador intercam bia e l activo subyacente por e l principal nocional cuando term in a la vida del swap. En ocasiones, los pagos por el cam b io en el valor del bono se realizan periódicam ente, no todos al final. En e ste caso , e l sw ap es sem ejante a un sw ap de acciones (vea la sección 20.3).

21.5 C D S F O R W A R D S Y O P C I O N E S S O B R E C D S U n sw ap de incum plim iento d e créd ito fo rw a rd es la o b ligación para c o m p ra r o vender un sw ap d e incum plim iento d e crédito específico sobre cierta entidad de referen cia e n determ in ad a fecha futura T. Si la entidad d e referen cia incum ple a n tes de la fe c h a T , e l contrato d e fu tu ro s d e ja d e existir. Por consiguiente, un banco p o d ría participar e n un contrato de futuros p a ra vender p ro te c ­ ción a cinco años sobre una em p resa p o r 280 puntos base, la c u al em p ieza e n un año. Si la e m p re ­ sa incum ple d u ra n te e l siguiente año, la o b lig ació n d e l banco bajo e l contrato d e futuros d e ja de existir. U na opción d e sw ap de incum plim iento d e crédito e s una o p ció n para com prar o vender un sw ap d e incum plim iento d e crédito e n particular sobre u n a entidad de referencia e n particular en un tiem po T futuro e n particular. P o r ejem plo, un inversionista p o d ría negociar e l derecho a c o m ­ prar protección a cinco años sobre una em presa por 280 puntos base, q u e com ienza e n un año. É s ­ ta e s una o pción d e co m p ra. Si e l sp rea d C D S a cinco años para la em p resa resulta ser m ayor d e 280 puntos base dentro de un año, la o p ció n se ejercerá; d e lo contrario, no se ejercerá. El co sto de la o pción se p agaría p o r adelantado. Del m ism o m odo, un inversionista p o d ría negociar el d e re ­ cho a vender protección a cinco años sobre u n a em p resa por 280 puntos base, q u e com ienza en un año. É sta e s una o pció n de venta. Si e l spread C D S a cinco años para la em p resa resulta ser m enor de 280 puntos base dentro d e un año, la o p ció n se ejercerá; de lo contrario, no se ejercerá. D e n u e ­ vo, e l costo d e la o p ció n se p ag aría por adelantado. Al igual que los CDS fo rw a rd s, las opciones sobre C D S se suelen estru ctu rar de ta l m odo q u e d ejarán d e ex istir si la en tid ad d e referen cia in­ cum ple antes del vencim iento d e la opción. Un contrato d e o p ció n q u e se negocia e n ocasiones e n e l m ercado d e derivados d e crédito es una o pción de co m p ra sobre una can asta de entidades d e referencia. Si hay m entidades d e referen ­ c ia e n la canasta q u e no hayan incum plido para el vencim iento d e la o p ció n , ésta o to rg a a l ten ed o r el derecho a com prar una c artera d e CD Ss sobre los nom bres p o r m K puntos base, d o n d e K es el precio de ejercicio. A dem ás, e l tenedor o b tien e el beneficio C D S usual sobre cualquier entidad de referencia que sí incum pla d u ran te la vida del contrato.

21.6 O B L IG A C I O N E S D E D E U D A G A R A N T IZ A D A S Las obligaciones de d eu d a garantizadas (C D O s, p o r sus siglas e n inglés) han aum entado en p opu­ laridad e n los últim os años. U na CDO e s una m anera d e crear títulos c o n diversas características d e riesgo a p artir d e una c artera de instrum entos d e deuda. L a figura 21.3 ilustra un ejem plo e n e l q u e se crean cuatro tipos d e títulos (o tram os) a p a rtir de u n a cartera de bonos. E l prim er tram o tiene 5% d e l principal total del bono y ab so rb e todas las pérdidas d e crédito d e la cartera d u ran te la vi­ da d e la CDO hasta q u e éstas lleguen a 5% del principal total del bono. El segundo tram o tiene 10% del principal y ab sorb e todas las pérdidas d u ran te la vida d e la C D O q u e excedan a 5% del princi-

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CAPÍTULO 21

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F ig u ra 2 1 . 3 O bligación de d eu d a garantizada T ra m o 1 B ono 1

P rim e r 5 % d e p é rd id a

B ono 2

R e n d im ie n to 5 3 5 %

B ono 3 T ra m o 2 i i • i i i

Y

S e g u n d o 1 0 % d e p é rd id a F id e ic o ­

R e n d im ie n to 5 15%

m iso T ra m o 3 T e rc e r 1 0 % d e p é rd id a

Bono n R e n d im ie n to p ro m e d io 8 .5 %

R e n d im ie n to 5 7 .5 % T ra m o 4 P é rd id a re sid u a l R e n d im ie n to 5 6 %

pal, hasta un m áxim o de 15% d e éste. El tercer tram o tiene 10% del principal y absorbe todas las pér­ didas q u e excedan a 15% del principal hasta un máximo d e 25% d e éste. El cuarto tram o tiene 75% del principal y absorbe todas las pérdidas q u e excedan al 25% del principal. Los rendim ientos presen­ tados e n la figura 21.3 son las tasas de interés pagadas a los tenedores d e tram os. Estas tasas se pagan sobre el saldo del principal restante en el tram o después d e pagar las pérdidas. Consicfcre el tram o 1. Inicialmente, el rendim iento de 35% se paga sobre el m onto total que invirtieron los tenedores del tra ­ mo 1. No obstante, después de experim entar pérdidas equivalentes a 1% del principal total del bono, los tenedores del tram o 1 han perdido 20% d e su inversión y sólo se paga el rendim iento sobre 80% del m onto original invertido. En ocasiones, ¡al tram o 1 se le denom ina basura tóxica! U na pérdida por incum plim iento d e 2.5% sobre la cartera de bonos se traduce e n una pérdida de 50% del principal del tram o. En contraste, el tram o 4 recibe generalm ente una calificación AAA. Los incum plimientos so­ bre la cartera de bonos deben exceder a 25% antes d e que los tenedores de e ste tram o sean responsa­ bles d e cu alesq u ier pérdidas d e crédito. N orm alm ente, el cread o r de la C D O m antiene e l tram o 1 y vende e n e l m ercado los tram os re s­ tantes. U na C D O proporciona u n a m anera d e crear una d eu d a d e a lta calid ad a p a rtir d e una d e u d a de calidad prom edio (o incluso d e baja calid ad ). E l riesgo para e l co m p rad o r d e los tram os 2, 3 o 4 depende d e la co rrelación d e incum plim iento e n tre los em isores d e los instrum entos d e d e u d a q u e integran la cartera. C uanto m enor sea la correlación, m ayor será la calificación otorgada a los tra ­ mos 2, 3 y 4.

C D O s sintéticas La CDO d e la figura 21.3 se co n o ce co m o C D O en efectivo. U na estructura alternativa es u n a C D O sintética en la que e l cread o r de la CDO vende una cartera d e sw aps de incum plim iento d e crédito a terceras partes y después tran sfiere e l riesgo d e incum plim iento a los tenedores d e tram os d e la

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D erivados d e crédito

C D O sintética. C om o e n la figura 21.3, e l prim er tram o p o d ría ser responsable d e los beneficios so ­ bre los sw aps de incum plim iento d e crédito hasta alcanzar 5% d e l principal nocional total, e l segun­ do tram o podría ser responsable d e los beneficios entre 5% y 15% del principal nocional to tal, etc. El ingreso d e los sw aps d e incum plim iento d e crédito se distribuye entre los tram os d e m anera q u e refleje e l riesgo que asum en. Por ejem plo, el prim er tram o p o d ría obtener 3,000 puntos base, el se ­ gundo tram o 1,000 puntos base, y a s í sucesivam ente. A l igual que en una CDO e n efectivo, éste se pagaría sobre un principal q u e dism inuye a m edida q u e ocurren los incum plim ientos q u e son re s­ ponsabilidad del tram o.

N egociación de un solo tramo En la sección 21.2 analizam os las carteras de 125 em presas q u e se usan para g en erar los índices C D X e iTraxx. El m ercado utiliza estas carteras p a ra d efin ir tram o s CDO estándar. L a negociación de estos tram os están d ar se c o n o ce co m o single tronche tra d in g o negociación d e un solo tram o. U na negociación d e un solo tram o e s un contrato e n el que u n a d e las partes acu erd a vender p ro ­ tección contra péididas sobre un tram o y la o tra parte acuerda com prarla. El tram o no form a parte de u n a C D O sintética, pero los flujos d e efectivo se calculan cóm o si lo fuera. El tram o se d e n o m i­ n a “ no financiado” porque no se creó p o r m edio de la venta d e sw aps d e incum plim iento de c ré d i­ to o de la co m p ra d e bonos. E n e l caso d e l índice CDX NA IG , e l tram o subordinado (eq u ity tranché) cu b re pérdidas e n tre 0 y 3% d e l principal. E l segundo tram o, conocido co m o tram o m ezzanine o m ezzanine tronche, cubre pérdidas entre 3 y 7% . L os tram os restantes cubren pérdidas d e 7 a 10, 10 a 15 y 15 a 30%. En el caso d e l índice iTraxx E uropa, e l tram o subordinado c u b re pérdidas e n tre 0 y 3% . El tram o m ezzanine cubre pérdidas entre 3 y 6% ; los tram os restantes cu b ren pérdidas d e 6 a 9 , 9 a 12 y 12 a 22% . La tabla 21.7 m uestra las cotizaciones d e l m ercado m edio para tram o s C D X e iTraxx a cinco años correspondientes al 30 de agosto d e 2005. E n e s a fecha, e l nivel del índice CDX fue de 50 puntos base y e l del índice iTraxx fue d e 36.375 puntos base. P o r ejem plo, e l precio d e m ercado m edio de la protección m ezzanine para e l índice C D X IG NA fue d e 127 puntos base p o r año, en tanto q u e p a ra e l índice iTraxx E u ro p a fu e d e 8 1 puntos base p o r año. O bserve q u e el tram o su b o r­ dinado se cotiza d e m anera diferente a los dem ás. L a cotización d e m ercado de 40% para e l índice C D X significa que e l vendedor de la protección recibe un pago inicial d e 4 0 % d e l principal m ás un m argen de 500 puntos base p o r año. Del m ism o m odo, la cotización d e m ercado d e 24% para e l ín­ dice iTraxx significa q u e el vendedor d e la protección recibe un pago inicial d e 24% del principal m ás un m argen de 500 puntos base p o r año.

Tabla 2 1 .7 Tram os C D X IG NA e iTraxx E uropa a cinco años e l 30 d e a g o s­ to de 2005. Las cotizaciones se indican e n puntos base, excepto e l tram o 0-3% (F uente: Reuters) C D X I G NA Tramo C otización

0 -3 % 40%

3 -7 % 127

7 -1 0 % 35.5

1 0 -1 5 % 20.5

1 5 -3 0 % 9.5

0 -3 % 24%

3 -6 % 81

6 -9 % 26.5

9 -1 2 % 15

1 2 -2 2 % 9

iT raxx E u ro p e Tramo C otización

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CAPÍTULO 21

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RESU M EN Los derivados d e crédito perm iten q u e los bancos y otras instituciones financieras adm inistren a c ­ tivamente sus riesgos d e crédito. S e usan para tran sferir e l riesgo de crédito d e u n a em p resa a o tra y diversificarlo a l cam biar un tipo de exposición por otro. El derivado d e crédito m ás com ún e s e l sw ap de incum plim iento d e crédito. É ste e s un c o n tra ­ to e n e l q u e una em p resa co m p ra un seguro c o n tra e l incum plim iento d e las obligaciones d e o tra em presa. Por lo general, el beneficio e s la d iferen cia entre e l valor nom inal d e un bono em itido por la segunda em presa y su v alor inm ediato d esp u és de un incum plim iento. L o s sw a p s de incum pli­ miento d e crédito se analizan calculando e l valor presente d e los pagos esperados y e l valor p resen ­ te del beneficio esperado. Un sw ap de rendim iento total e s un instrum ento q u e in te rc a m b ia d rendim iento total sobre una cartera d e activos crediticios por la ta sa LIB O R m ás un margen. Los sw aps d e rendim iento total se usan con frecuencia com o instrum entos d e financiam iento. U na em presa que d e se a co m p rar un a c ­ tivo financiero puede recurrir a una institución financiera para co m p rar el activo a su nom bre. E n ­ tonces, la institución financiera p articipa junto con la em p resa e n un sw a p d e rendim iento to ta l en d q u e paga a la em p resa e l rendim iento sobre e l activo y recibe la tasa L IB O R m ás un m argen. La ventaja de e ste tipo d e acuerdo e s q u e la institución financiera reduce su exposición a incum pli­ mientos de parte d e la em presa. Un sw ap d e incum plim iento d e crédito fo rw a rd es una o b ligación para participar e n un sw ap de incum plim iento d e crédito específico e n la fecha d e vencim iento. U na o pció n sobre un sw a p de incum plim iento de crédito e s el derecho a participar en un sw ap de incum plim iento d e crédito e s ­ pecífico a su vencim iento. A m bos instrum entos dejan d e ex istir si la entidad d e referencia incum ­ ple antes d e la fecha de vencim iento. En las obligaciones de d e u d a garantizadas se c re an diferentes títulos a p a rtir de una c artera d e bonos corporativos o préstam os com erciales. H ay reglas q u e determ in an la fo rm a d e asignar las pérdidas d e crédito a los títulos. El resultado d e las reglas es q u e, a p a rtir d e la c artera se crean títulos c o n calificaciones d e crédito tanto m uy altas co m o m uy bajas. U na o b lig ació n d e d eu d a garantizada sintética c re a u n a serie sim ilar d e títulos a p artir d e sw aps d e incum plim iento d e crédito.

L E C T U R A S C O M P L E M E N T A R IA S A ndersen, L ., J. Sidenius y S. B asu, “All Your H edges in One B asket” , R isk , noviem bre d e 2003. A ndereen, L. y J. Sidenius, “E xtensions to the G aussian C opula: R andom Recovery and R andom Factor Loadings” , Journal o f C redit R isk , 1, no. 1 (invierno d e 2004), pp. 29-70. D as, S., C redit D erivatives: Trading & M anagem ent o f C redit & D efault R isk. Singapur: Wiley, 1998. H ull, J.C . y A. W hite, “Valuation o f a C D O a n d nth to D efault Sw ap w ithout M onte C arlo Sim ula­ tion” , Journal o f D erivatives, 12, No. 2 (invierno d e 2004), pp. 8-23. H ull, J.C. y A. W hite, “T he Perfect C o p u la” , docum ento d e trab ajo . U niversidad d e Toronto. L aurent, J.P. y J. G regory, “ B asket D efault Sw aps, CD O s a n d Factor C opulas” ,d o cu m en to d e tra b a ­ jo , ISFA A ctuarial S chool, U niversidad d e Lyon, 2003. L i, D. X ., “On D efault C orrelation: A C o p u la A pproach” , Journal o f F ixed In co m e, m arzo d e 2000, pp. 43-54. Tavakoli, J.M ., C redit D erivatives: A G uide to Instrum ents a n d A pplications. N ueva York: Wiley, 1998. Schónbucher, P.J., Credit D erivatives P rincing M odels. W iley, 2003.

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D erivados d e crédito

Examen (respuestas al final del libro) 21.1. E xplique la diferencia e n tre un sw ap de incum plim iento d e crédito regular y un sw ap de in­ cum plim iento d e crédito binario. 21.2. Un sw ap de incum plim iento d e crédito requiere un pago sem estral a la ta sa d e 60 puntos b a ­ se por año. El principal e s d e $300 millones y e l sw ap de incum plim iento d e crédito se liqui­ d a en efectivo. O curre un incum plim iento d esp u és d e cuatro años y dos m eses, y el ag en te d e cálculo estim a q u e e l precio del bono disponible m ás barato equivale a 4 0 % d e su valor nominal poco tiempo después d e l incum plim iento. Enum ere los flujos d e efectivo y sus tiem ­ pos para e l vendedor d e l sw a p de incum plim iento d e crédito. 21.3. Explique las dos m aneras d e liquidar un sw a p de incum plim iento d e crédito. 21.4. E xplique cóm o se crean una C D O e n efectivo y u n a C D O sintética. 21.5. Explique qué es un sw ap d e incum plim iento d e crédito fir s t to default. ¿A um enta o dism i­ nuye su valor a m edida que se increm enta la co rrelació n d e incum plim iento e n tre las e m ­ presas? E xplique por qué. 21.6. Explique la diferencia e n tre las probabilidades d e incum plim iento neutral al riesgo y del m undo real. 21.7. Explique por q u é un sw ap de rendim iento total puede ser útil com o una herram ienta d e financiam iento.

Preguntas y problem as 21.8. Suponga q u e la cu rv a c ero libre d e riesgo e s p lana e n 7 % an u al con una co m p o sició n c o n ­ tinua y q u e es posible que o cu rran incum plim ientos a m itad de c ad a a ñ o e n un nuevo sw ap d e incum plim iento d e crédito a cinco años. A dem ás, suponga q u e la ta sa d e recuperación es d e 30% y q u e la probabilidad d e incum plim iento c ad a año e s d e 3% con la condición d e que no haya ningún incum plim iento previo. C alcu le e l sp rea d del sw ap d e incum plim iento de crédito. A sum a que los pagos se realizan anualm ente. 21.9. ¿C uál e s el valor d e l sw ap del problem a 21.8 p o r d ólar d e principal nocional para e l c o m ­ prador d e protección si e l sp rea d del sw ap de incum plim iento d e crédito e s de 150 puntos base? 21.10. ¿C uál es e l sp rea d del sw ap de incum plim iento d e crédito d e l problem a 21.8 si e s un C D S binario? 21.11. ¿C óm o funciona un sw ap d e incum plim iento d e crédito nth to d e fa u lt a cin co añ o s? C o n si­ dere una canasta d e 100 entidades d e referencia e n la q u e c ad a una tiene una probabilidad de incum plim iento d e 1% anual. A m edida q u e au m en ta la co rrelació n d e incum plim iento entre las entidades de referencia, ¿qué esp eraría que o cu rriera c o n e l valor d e l sw ap cuan­ do a ) n = 1 y b) n = 25? E x p liq u e su respuesta. 21.12. ¿C óm o se define generalm ente la ta sa de recuperación d e un bono? 21.13. D em uestre q u e e l sp rea d de un C D S p lain vanilla debe ser 1 — R veces e l sp rea d de un n u e ­ vo C D S binario similar, d o n d e R es la ta sa d e recuperación. 21.14. C bm pruebe q u e si e l sp rea d CDS d e l ejem plo presentado e n las tab las 21.2 a 21.5 e s de 100 puntos base, la probabilidad d e incum plim iento en un año (con la condición d e que no h a ­ ya ningún incum plim iento previo) sea d e 1.61%. ¿C óm o c am b ia la probabilidad d e incum ­ plim iento cuando la ta sa de recuperación e s de 20% e n vez de 4 0 % ? A segúrese d e q u e su

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CAPÍTULO 21 respuesta concuerde con q u e la probabilidad d e incum plim iento im plícita sea ap ro x im ad a­ m ente proporcional a 1/(1 - R ), d o n d e R es la ta sa de recuperación. 21.15. U na em presa participa en un sw ap efe rendim iento total en el q u e recibe e l rendim iento so ­ bre un bono corporativo con un cu p ó n d e 5% y paga la ta sa LIB O R . Explique la diferencia entre e s te sw a p y uno regular q u e intercam bia 5% por la ta sa LIBOR. 21.16. E xplique cóm o se estructuran los contratos a plazo y las opciones sobre sw a p s de incum pli­ m iento d e crédito. 21.17. “ La posición d e un com prador d e un sw ap d e incum plim iento d e crédito e s sim ilar a la d e alguien q u e tiene una posición larga e n un bono libre d e riesgo y u n a posición c o rta e n un bono corporativo” . Explique e s ta afirm ación. 21.18. ¿ B )r q u é hay un posible problem a d e inform ación asim étrica e n los sw a p s de incum plim ien­ to d e crédito? 21.19. La valuación d e un C D S c o n e l uso de probabilidades d e incum plim iento del m undo real en vez d e probabilidades d e incum plim iento neutrales a l riesgo, ¿sobreestim a o subestim a su valor? E xplique su respuesta.

Preguntas de tarea 21.20. Suponga q u e la curv a cero libre de riesgo es p lana en 6% anual con una com posición c o n ti­ nua y que es posible que ocurran incum plim ientos e n 0 .2 5 ,0 .7 5 ,1 .2 5 y 1.75 años e n un sw ap d e incum plim iento d e crédito plain vanilla a d o s años con pagos sem estrales. A dem ás, su ­ ponga que la tasa de recuperación e s de 20% y q u e las probabilidades incondicionales d e in­ cum plim iento (observadas en e l tiempo cero) son d e 1% e n 0.25 años y 0.75 años y d e 1.5% en 1.25 años y 1.75 años. ¿C uál e s e l spread del sw ap de incum plim iento d e crédito? ¿Cuál seria e l spread si e l instrum ento fuera un sw ap de incum plim iento d e crédito binario? 21.21. A sum a que la probabilidad d e incum plim iento para una em presa e n un año, siem pre q u e no haya ningún incum plim iento previo, e s 1 y q u e la tasa de recuperación e s R . L a tasa d e in­ terés libre d e riesgo es d e 5% anual. El incum plim iento siem pre o c u rre a m itad d e l año. El spread p a ra un CDS plain vanilla a cin co años en e l q u e los pagos se realizan anualm ente es d e 120 puntos base y e l spread para un CDS binario a cinco años e n e l q u e los pagos se realizan anualm ente es de 160 puntos base. C alcu le R y A. 21.22. Explique cóm o esp eraría q u e cam biaran los rendim ientos ofrecidos sobre los diversos tra ­ mos de una C D O si aum entara la co rrelació n e n tre los bonos incluidos en la cartera. 21.23. Suponga que: a) e l rendim iento sobre un bono libre d e riesgo a cinco años e s de 7% ; b) el rendim iento sobre un bono corporativo a cin co años em itido por la em p resa X es d e 9.5% , y c ) un sw ap d e incum plim iento d e créd ito a cinco años que proporciona seguro c o n tra el incum plim iento d e la em presa X cu esta 150 puntos base p o r año. ¿Q ué oportunidad de a r­ bitraje hay en e s ta situación? ¿Q ué o p o rtu n id ad d e arbitraje h a b ría si e l sp rea d de incum ­ plim iento d e crédito fuera de 300 puntos base en vez d e 150? O frezca dos razones q u e e x ­ pliquen por q u é las oportunidades co m o las q u e identificó no son perfectas.

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Derivados del clima, energía y seguros En e ste capítulo exam inam os algunas innovaciones recientes en los m ercados de derivados. E x p li­ cam os los productos q u e se han desarrollado para adm inistrar los riesgos clim áticos, del precio d e la energía y los q u e enfrentan las em presas d e seguros. A lgunos d e los m ercados q u e analizarem os están en las etapas iniciales d e su desarrollo. A m edida q u e m aduren, podríam os ver cam bios sig ­ nificativos tanto en los productos que se ofrecen co m o e n la form a de usarlos.

22.1 D E R IV A D O S D E L C L I M A M uchas em presas están e n una situación e n la que su desem peño e s susceptible a los efectos nega­ tivos del c lim a .1 Para ellas tie n e sentido co nsiderar la cobertura d e su riesgo clim ático d e m anera muy parecida a la cobertura de los riesgos cam biarios o d e tasas de interés. Los prim eros derivados del c lim a over the c o u n ter se introdujeron e n 1997. Para com prender cóm o funcionan, explicam os dos variables: HD D : grados al d ía d e calentam iento C D D : grados al d ía de enfriam iento El H D D d e un d ía se defin e com o H D D = m áx(0, 6 5 - A) y e l CDD de un d ía se define co m o C D D = m áx(0, A - 65) donde A es el prom edio de la tem peratura más a lta y más baja durante el d ía en una estación especí­ fica, m edida en grados Fahrenheit. Por ejem plo, si la tem peratura m áxim a durante un d ía (de m edia­ noche a m edianoche) es d e 68° Fahrenheit y la tem peratura m ínim a es d e 44° Fahrenheit, A = 56. En este caso, el HDD diario es de 9 y el CDD diario es d e 0.

1 El D epartam ento d e E nergía d e EUA ha estim ado q u e la séptim a p arte de la eco n o m ía estado un iden se está s u je ta a l ries­ go c lim ático .

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CAPÍTULO 22

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Un producto típico a rer the c o u n ter es un contrato a plazo o de opciones que proporciona un beneficio q u e d ep en d e d e l HDD o C D D acum ulativo d u ran te un m es. Por ejem p lo , un negociante de derivados podría vender a un cliente, e n enero de 2008, una o p ció n de co m p ra sobre e l HDD acumulativo observado durante febrero d e 2009 en la estación m eteorológica del A eropuerto O ’Hare de C hicago, con un precio de ejercicio d e $700 y una ta sa d e pago d e $10,000 por grado al día. Si e l H D D activo real e s d e 820, e l beneficio e s d e $1.2 m illones. Con frecuencia, los contratos in ­ cluyen un pago m áxim o. Si e l pago m áxim o d e nuestro ejem plo es d e $1.5 m illones, el contrato equivale a un bull spread. E l clien te tiene una posición larga en una opción de com pra sobre e l HDD acum ulativo, c o n un precio d e ejercicio d e $700, y una posición c o rta e n una o p ció n d e co m p ra con un precio d e ejercicio d e $850. El H D D d e un día e s una m edida d e l volumen d e energía requerido para calentam iento durante d d ía. El CDD d e un d ía es una m edida del volum en de energía requerido para enfriam iento d u ran ­ te el día. Los productores y consum idores d e energía son quienes participan en la m ayoría de los con­ tratos de derivados del clim a. Sin em bargo, las tiendas al detalle, las cadenas de superm ercados, los productores de alim entos y bebidas; em presas co m o las de servicios de la salud, las agrícolas y las de la industria d e la recreación, tam bién son usuarios potenciales d e derivados del clim a. La Weather Risk M anagem ent A ssociation (w w w . w r m a . o r g ) se fundó para servir a los intereses de la in ­ dustria de la adm inistración del riesgo clim ático. En septiem bre d e 1999, la B olsa M ercantil de C hicago com enzó a negociar futuros del clim a y opciones europeas sobre futuros del clim a. Los contratos se basan e n los HDD y C D D acu m u la­ tivos durante un m es, observados en una estación m eteorológica.2 Los contratos se liquidan en e fe c ­ tivo ju sto después d e q u e finaliza e l m es, e n cuanto se conocen los HDD y CDD. Un contrato d e íiituros se establece sobre $100 p o r e l H D D o CDD acum ulativo. L a em presa E arth S atellite C or­ poration calcula e l H D D y e l C D D con eq u ip o autom atizado d e recolección d e datos. En la sección 21.1 señalam os q u e los beneficios d e los derivados d e crédito tien en riesgo sis­ tem ático y q u e las probabilidades d e incum plim iento calculadas a partir d e datos históricos no d e ­ ben usarse con fines d e valuación. No h a y n in g ú n riesgo sistem ático relacionado con los beneficios de los derivados d e l clim a. Por lo tan to , éstos pueden valuarse usando datos históricos. Por e jem ­ plo, considere la opción de co m p ra sobre e l HDD observado d u ran te febrero d e 2008 en la estación m eteorológica del A eropuerto O ’H aré d e C hicago, q u e se m encionó anteriorm ente. Podríam os re ­ colectar 50 años de datos y estim ar una distribución d e probabilidades d e l HDD. A su vez, é sta p o ­ dría utilizarse para ob ten er una distribución d e probabilidades del beneficio de la opción. N uestro cálculo del valor d e la opción sería la m edia d e e sta distribución desco n tad a a la ta sa libre de ries­ go. Podríam os ajustar la distribución de probabilidades d e las tendencias de la tem peratura. Por ejem plo, una regresión lineal podría m ostrar q u e e l HDD acum ulativo de febrero d ism inuye a una tasa d e 10 por año e n prom edio. A sí, el resultado de la regresión se u saría para estim ar una d istri­ bución de probabilidades ajustada a la ten d en cia para e l HDD d e febrero d e 2008.

22.2 D E R IV A D O S D E E N E R G IA Las com pañías d e energía están e n tre los usuarios d e derivados más activos y com plejos. M uchos productos d e energía se negocian tanto e n el m ercado (v e r the c o im ter com o e n bolsas. En e sta sec ­ ción exam inarem os la negociación d e derivados d e petróleo cru d o , gas natural y electricidad.

2 L a C M E ha introducido co n trato s p ara 10 estacio n es m eteo ro ló gicas d iferen tes (A tlan ta, C h ic ag o , C in cin n ati, D allas, Des M o incs, L a s V egas, N ueva York, R la d e lfia , Portland y T ucson).

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Petróleo crudo El petróleo crudo es uno de los co m m o d ities más im portantes del m undo c o n una dem anda global que asciende aproxim adam ente a 80 m illones d e barriles diarios. Los contratos d e sum inistro d e precio fijo a 10 años han sido com unes e n e l m ercado over the c o u n ter durante m uchos años. E s ­ tos contratos son sw a p s que intercam bian petróleo a precio fijo por petróleo a precio variable. E n la década d e 1970, e l precio del petróleo íu e altam ente volátil. La gu erra d e 1973 e n e l M e ­ dio O riente triplicó los precios del petróleo. L a caída del Sha d e Irán a finales d e la d écad a d e 1970 increm entó nuevam ente los precios. Estos acontecim ientos hicieron q u e los productores y usuarios de petróleo reconocieran la necesidad d e herram ientas m ás com plejas para adm inistrar e l riesgo del precio del petróleo. En la d écad a d e 1980, tanto e l m ercado over th e c o u n ter com o e l que c o tiz a en bolsa desarrollaron productos para satisfacer e sta necesidad. E n e l m ercado over th e co u n ter, casi cualquier derivado que e stá d isponible sobre acciones o r ­ dinarias o índices bursátiles lo e stá ah o ra sobre e l petróleo com o el activo subyacente. L os sw aps, los contratos a plazo y las opciones son populares. A lgunas veces, los contratos requieren u n a li­ quidación e n efectivo y otras u n a liquidación p o r m edio d e la entrega física (es decir, la en treg a del petróleo). Tam bién son populares los contratos cotizados e n bolsa. La B olsa M ercantil d e N ueva York (N Y M EX ) y la Bolsa Internacional del Petróleo (IPE) negocian varios contratos de futuros de p etró­ leo y contratos de opciones sobre futuros d e petróleo. A lgunos d e los contratos d e futuros se liqui­ dan e n efectivo; otros m ediante entrega física. Por ejem plo, los futuros d e petróleo crudo de B rent que se negocian en IP E tienen una liquidación en efectivo basada en el precio del índice Brent; los fiituros d e crudo light sw e e t que se negocian e n N Y M EX requieren una entrega física. En am bos c a ­ sos, la cantidad de petróleo subyacente a un contrato es de 1,000 barriles. A dem ás, N YM EX nego­ cia contratos populares sobre dos productos refinados: gasóleo d e calefacción y gasolina. En am bos casos, un contrato entrega 42,000 galones.

G as natural En todo el m undo, la industria del gas natural h a experim entado un periodo d e desregulación y de elim inación d e m onopolios gubernam entales. A ctualm ente, el proveedor de gas natural no e s nece­ sariam ente la m ism a em p resa que el productor del gas. L os proveedores se enfrentan a l problem a de satisfacer la dem anda diaria. Un contrato over the c o u n ter típico en treg a una cantidad específica de gas natural a una ta sa más o menos uniform e du ran te un periodo d e un mes. H ay contratos a plazo, opciones y sw aps disponi­ bles e n e l m ercado over the counter. Por lo general, e l vendedor d e gas es responsable de transpor­ tarlo a través d e gasoductos hasta el sitio específico. N Y M E X negocia un contrato para la en treg a d e 10,000 m illones d e unidades térm icas b ritán i­ cas d e gas natural. Si no se liquida, e l contrato requiere que se realice la en treg a física d u ran te el mes d e entrega a u n a ta sa m ás o m enos uniform e a un cen tro específico de Louisiana. IP E negocia un contrato sim ilar en Londres.

Electricidad La electricidad e s un co m m o d ity poco usual porque no p u ed e alm acenarse fácilm ente.3 En c u a l­ quier m om ento, el sum inistro m áxim o de electricidad en una región lo determ ina la capacidad 3 Los productores d e electricidad co n capacidad excesiva la usan a veces para bom bear agua hasta lo m ás alto d e sus plan­ tas hidroeléctricas para q u e se pueda utilizar y producir electricidad e n un tiem po posterior. Esto e s lo m ás parecido a alm a­ cenar este commodity.

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CAPÍTULO 22 m áxim a d e todas las plantas productoras de electricidad d e la región. En Estados Unidos d e A m é­ rica hay 140 regiones conocidas co m o áreas de control. Prim ero, la dem anda y la o fe rta se igualan dentro de un área de control y c u alq u ier excedente d e electricidad se vende a otras áreas de control. Esta electricidad excedente e s la q u e constituye e l m ercado m ayorista d e electricidad. La c ap a c i­ dad d e un área d e control para vender electricid ad a o tra área d e control depende d e la capacidad de transm isión d e las líneas eléctricas e n tre am bas áreas. L a transm isión de un área a o tra im plica un costo d e transm isión que c o b ra e l propietario d e la lín ea; por lo general hay algunas pérdidas d e transm isión o d e energía. Un uso im portante d e la electricidad es para e l funcionam iento d e sistem as d e aire acondicio­ nado. E n consecuencia, la dem anda d e electricidad, y p o r lo tanto su precio, es m ucho m ayor en los meses d e verano q u e en los d e invierno. La dificultad para alm acenar la electricid ad o casio n a a ve­ ces grandes variaciones e n e l precio spot. S e sabe q u e las ondas cálidas aum entan el precio spot hasta 1000% du ran te periodos cortos. Al igual que el gas natural, la electricidad h a experim entado un periodo d e desregulación y d e elim inación d e m onopolios gubernam entales. Esto ha estad o acom pañado por e l desarrollo d e un mercado de derivados d e electricidad. E n la actu alid ad , N Y M EX negocia un contrato d e futuros so ­ bre e l precio de la electricidad, y adem ás hay un activo m ercado over the c o u n ter de contratos a plazo, opciones y sw aps. Un contrato norm al (cotizado e n bolsa y over the co im ter) perm ite a una parte recibir un núm ero específico de horas m egaw att a cierto precio en un lugar determ inado d u ­ rante un m es específico. En un contrato 5 X 8, se recibe la electricidad cinco días a la sem ana (de lunes a viernes), e n las horas de m enor consum o (de 11 P.M. a 7 A.M .), d u ran te e l m es específico. En un contrato 5 X 16, se recib e la electricidad cin co días a la sem ana, e n las horas d e m ayor c o n ­ sumo (d e 7 A.M . a 11 P.M.), d u ran te e l mes específico. E n un contrato 7 X 24, se recib e durante todo el d ía, todos los días del mes. Los contratos de opciones tienen un ejercicio diario o m ensual. En el caso del ejercicio diario, e l ten ed o r d e la o p ció n puede eleg ir recibir c ad a d ía d e l mes (noti­ ficando con un d ía d e anticipación) la cantidad d e electricid ad específica a l precio d e ejercicio determ inado. C uando e l ejercicio e s m ensual, se tom a la d ecisió n , a l inicio d e l m es, de recib ir la electricidad d e todo e l m es al precio d e ejercicio determ inado. Un contrato interesante de los m ercados d e electricid ad y g a s natural e s lo que se c o n o ce c o ­ mo opción sw ing (opción oscilante) u opción take a n d p a y . E n e ste co n trato , la can tid ad m ínim a y m áxim a d e electricidad q u e d e b e co m p rar el ten ed o r de la opción a determ inado precio se e sp e c i­ fica para c ad a d ía d e un m es y para todo el m es. El ten ed o r d e la opción puede cam b iar (h acer o s ­ cilar) la ta sa a la que se co m p ra la electricidad durante e l m es, aunque generalm ente hay un lím ite en e l núm ero total d e cam bios q u e pueden realizarse.

Características de los precios de la energía Al igual que los precios d e las acciones, los precios d e la e n erg ía m uestran volatilidad. A d ife re n ­ cia d e los precios de las a ccio n es, m uestran e s ta d o nal idad y reversión a la m edia (vea la sección 19.7 para un análisis d e la reversión a la m edia). L a estacional id a d se d e b e a la d em an d a te m p o ­ ral d e energía y a las d ificu ltad es para alm acenarla. L a reversión a la m ed ia surge d eb id o a q u e los desequilibrios e n tre la o fe rta y la d em an d a a corto plazo hacen q u e los precios se alejen de su p ro ­ m edio d e tem porada, pero u n a vez q u e se restablecen las co n d icio n es d e m ercado norm ales, los precios tienden a regresar a l prom edio d e tem porada. E n e l caso d e l petróleo cru d o , la volatilidad, la estacional idad y la reversión a la m edia son relativam ente bajas. En e l caso del gas natural son un poco altas, y e n e l caso de la electricid ad son m ucho m ayores. U na volatilid ad típ ica para el petróleo e s de 20% a n u al; p a ra e l g a s natural e s d e 4 0 % anual, y para la electricidad e stá c o n fre ­ cuencia e n tre 100 y 200% anual.

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D erivados d e l clim a, energía y seguros

Cobertura de riesgos por un productor de energía Los riesgos q u e en fren ta un productor de en erg ía tien en dos com ponentes. U no e s el riesgo relacio ­ nado con el precio d e m ercado d e la en erg ía (el riesgo d e precio); e l o tro e s el riesgo relacionado con la cantidad d e en erg ía que se com prará (el riesgo d e volum en). A unque los precios se ajustan para reflejar los volúm enes, hay u n a relación m enos q u e perfecta entre am b o s y los productores de energía deben tom arlos e n c u en ta a l d esarro llar una estrategia de cobertura. El riesgo de precio puede cubrirse usando los contratos d e derivados d e energía analizados e n e sta sección. L os rie s­ gos d e volum en pueden cubrirse utilizando los derivados del c lim a analizados e n la sección a n te ­ rior. D efina: Y: utilidad d e un mes P: precios de energía prom edio d e l mes T: tem peratura relevante variable (H D D o CD D ) del mes Un productor de energ ía puede usar datos históricos para obtener la relación d e regresión lineal más adecuada d e la fórm ula Y = a + bP + c T + € donde 6 es el térm ino d e error. E n este caso , e l p roductor de en erg ía puede c u b rir los riesgos del mes tom ando una posición d e —b en contratos a plazo o de futuros d e en erg ía y una posición de —c en contratos a plazo o d e futuros del clim a. L a relación tam bién se u sa para an alizar la eficacia de estrategias alternativas de opciones.

22.3 D E R I V A D O S D E S E G U R O S C uando se usan con fines d e cobertura, los contratos d e derivados tienen m uchas d e las caracterís­ ticas d e los contratos d e seguros. Am bos tipos de contratos están diseñados para proporcionar p ro ­ tección contra acontecim ientos adversos. No e s sorprendente q u e m uchas com pañías d e seguros tengan subsidiarias q u e negocien derivados ni que m uchas de las actividades de estas com pañías se estén volviendo m uy parecidas a las de los bancos d e inversión. Por tradición, la industria d e seguros h a cubierto su exposición a riesgos catastróficos (CAT), com o huracanes y terrem otos, usando una práctica conocida com o reaseguro. Los contratos d e re a ­ seguro adquieren m uchas formas. Suponga q u e una com pañía d e seguros tiene una exposición d e $100 m illones a terrem otos en C alifornia y d esea lim itar e sta exposición a $30 millones. U na alter­ nativa es participar e n contratos anuales d e reaseguro q u e cubran en form a proporcional 70% d e su exposición. Si un terrem oto e n C alifornia reclam a $50 millones e n un año específico, los costos p a ­ ra la em presa serían únicam ente d e $15 millones. O tra alternativa m ás popular, q u e requiere prim as de reaseguro m ás bajas, consiste en com prar una serie d e contratos de reaseguro que cubran lo que se conoce com o capas d e exceso de costo. La prim era capa podría proporcionar indem nización por pérdidas e n tre $30 y $40 m illones, la siguiente capa podría cu b rir pérdidas entre $40 y $50 m illo ­ nes, etc. C ada contrato d e reaseguro se co n o ce com o contrato d e reaseguro d e exceso de pérdida. La reaseguradora expide un bull sp re a d sobre las pérdidas totales; m antiene una posición larga e n una opción de co m p ra con un precio de ejercicio igual a l extrem o inferior d e la c ap a y una posición c o r­ ta e n una opción d e com pra con un precio de ejercicio igual a l extrem o superior d e la capa.4

4 Incluso e n ocasiones el reaseguro se ofrece e n form a d e sum a global si se llega a cierto nivel d e perdida. En este caso, la reaseguradora expide una opción d e com pra binaria cash o r nothing sobre las pérdidas.

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CAPÍTULO 22 T radicionalm ente, los principales proveedores d e reaseguro CAT han sido em p resas re a se ­ guradoras y consorcios de L loyds (que son con so rcio s d e resp o n sab ilid ad lim itad a d e g ente a d i­ nerada). E n los últim os añ o s, la in d u stria ha llegado a la c o n clu sió n d e q u e sus n ecesid ad es d e reaseguro han sobrepasado lo que proporcionan estas fuentes tra d ic io n a les, por lo q u e h a b u sca ­ do nuevas form as d e o b te n er reaseguro d e los m ercados d e c ap ital. U no d e los aco n tecim ien to s que hizo que la in d u stria reco n sid erara sus prácticas fue e l huracán A ndrew e n 1992, que g e n e ­ ró a lred ed o r d e $15,000 m illones e n co sto s d e seguros e n F lo rid a. E sto ex ced ió a l total de p ri­ mas d e seguros relevantes recibidas en F lo rid a d u ra n te los siete años an terio res. Si e l huracán A n ­ drew hu b iera afectad o a M iam i, se e stim a q u e las pérdidas aseg u rad as habrían ex ced id o los $40,000 m illones. El huracán A ndrew y otras catástro fes han dado lugar a increm entos d e las p ri­ mas d e seguro y reaseguro. La C B O T desarrolló los co n trato s de futuros d e seguros q u e co tizan en bolsa, pero no han te ­ nido m ucho éx ito . E l m ercado over rhe c o u n ter ha diseñado varios productos alternativos a l re a ­ seguro trad icio n al. E l m ás popular e s e l b ono CAT. Éste e s un bono em itid o por u n a subsidiaria de u n a em p resa de seguros q u e paga u n a ta sa d e interés m ás a lta d e lo norm al. A cam b io d e l in ­ terés adicional, e l te n ed o r del bono acep ta participar en un contrato d e reaseguro d e exceso de p é r­ dida. D ependiendo de los térm inos del bono CAT, se pueden u tilizar los in tereses, el p rin cip al, o am bos, para satisfacer las reclam aciones. E n el ejem plo arrib a co nsiderado, e n e l q u e u n a e m p re ­ sa d e seguros d e se a protección c o n tra pérdidas e n tre $30 y $40 m illones por terrem o to s e n C a li­ fornia, la e m p re sa d e seguros p o d ría e m itir bonos CAT c o n un principal to ta l d e $10 m illones. E n caso d e q u e sus pérdidas por terrem otos e n C alifo rn ia excedieran los $30 m illones, los tenedores de bonos perderían parte o to d o su principal. C o m o u n a alternativa, la em p resa d e seguros cubrin a e sta c ap a d e exceso de co sto realizando u n a em isión de bonos m ucho m ay o r e n la q u e única­ mente estén en riesgo los in tereses d e los tenedores d e bonos. En general, los bonos CAT proporcionan una probabilidad alta de una ta sa d e interés por a rri­ ba d e lo norm al y u n a probabilidad baja d e una pérdida elevada. ¿ P o r q u é se interesarían los inver­ sionistas en estos instrum entos? L a respuesta es q u e no hay correlaciones estad ísticam en te signifi­ cativas entre los riesgos CAT y los rendim ientos d e m ercado.5 Ifor co nsiguiente, los bonos CAT son un com plem ento atractivo para la cartera de un inversionista. No tien en riesgo sistem ático, por lo que su riesgo total se puede diversificar totalm ente e n una cartera grande. Si e l rendim iento e sp e ­ rado de un bono CAT e s m ayor q u e la ta sa d e interés libre d e riesgo (y com únm ente lo es), tie n e la posibilidad d e m ejorar la relación riesgo/rendim iento.

RESU M EN Este capítulo h a m ostrado que cuando es necesario ad m in istrar riesgos, los m ercados d e derivados han sido m uy innovadores a l d esarro llar productos para satisfacer las necesidades del m ercado. En e l m ercado d e derivados del clim a se esrrollaron d o s m edidas, H D D y C D D , para describir la tem peratura durante un m es. Estas m edidas se usan para d efin ir los beneficios sobre derivados tanto cotizados e n bolsa co m o over the counter. Sin duda, a m edida que se desarrolle e l m ercado efe derivados del clim a, verem os que los contratos sobre lluvia, nieve y variables sim ilares se harán más com unes. En los m ercados d e en erg ía, los derivados d e petróleo han sido im portantes d u ran te alg ú n tiem ­ po y juegan un rol clave ayudando a los productores y consum idores de petróleo a ad m in istrar su riesgo de precio. Los derivados de gas natural y electricidad son relativam ente nuevos. Se volvie­

5 V ca R J 1 L itzcnbcrgcr, D .R . B e ag leh o le y C .E . R ey n o ld s. “A sse ssin g C a ta stro p h e R ein su ran ce-L in k ed S ecu rities a s a N ew A sset C lass” , Jo u rn a l o f P o rtfo lio M a n a g e m e n t (in v iem o d c 1 9 96). p p . 7 6 -8 6 .

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D erivados d e l clim a, energía y seguros

ron im portantes para la adm inistración d e riesgos con la desregulación de estos m ercados y la e li­ m inación d e los m onopolios gubernam entales. E n la actualidad , los derivados de seguros co m ien zan a ser una alternativa al reaseguro tra d i­ cional com o u n a estrateg ia para que las em presas d e seguros adm inistren los riesgos de un a c o n ­ tecim iento catastrófico, co m o un huracán o terrem oto. P ro b ab lem en te verem os q u e otros tipos d e seguros (por ejem plo , seguros d e v id a y seguros autom otrices) se estabilizarán a m edida q u e se desarrolle e ste m ercado.

L E C T U R A S C O M P L E M E N T A R IA S Sobre derivados d el clim a A rditti, F.L. C ai, M. Cao y R. M cD onald. “ W hether to H edge” , R ISK : Supplem ent o n Weather R isk (agosto d e 1999), pp. 9-12. C ao, M. y J. W ei. “ W eather D erivatives V aluation and th e M arket Price o f W eather R isk” , Journal o f Futures M a rkets, 24, 11 (noviem bre d e 2004), pp. 1065-89. H unter, R. “ M anaging M other N ature” , D erivatives S tra teg y (febrero d e 1999).

Sobre derivados de energia Clewlow, L. y C. Strickland. Energy D erivatives: P ricing a n d R isk M anagem ent. L acim a G roup, 2000.

E ydeland, A. y H. G em an. “ Pricing Pow er D erivatives” , R isk (octubre d e 1998), pp. 71-73. Joskow, P. “ E lectricity Sectors in T ransition” , The E nergy Jo u rn a l, 19 (1998), pp. 25-52. K endall, R. “ C rude Oil: Price Shocking” , R isk Supplem ent o n C om m odity R isk (m ayo d e 1999).

Sobre derivados de seguros C anter, M .S., J.B . C ole y R.L. Sandor. “ Insurance D erivatives: A N ew A sset C lass for the C apital M arkets a n d a N ew H edging Tool fo r th e Insurance Industry” , Journal o f A p p lied C orporate Finance (otono d e 1997), pp. 69-83. K.A. Froot. “T h e M arket for C atastrophe Risk: A Clinical E x am in atio n ” , Journal o f F inancial E c o ­ nom ics, 60 (2001), pp. 529-71. K.A. Froot. The Financing o f Catastrophe R isk. C hicago: U niversity o f C hicago Press, 1999. G em an, H. “ CAT C alls” , R isk (septiem bre de 1994), pp. 86-89. H anley, M. “A C atastrophe Too Far” , “R isk S u p p lem en t o n Insurance (julio de 1998). Litzenberger, R .H ., D.R. Beaglehole y C.E. Reynolds. “A ssessing C atastrophe Reinsurance-Linked Securities as a New A sset C lass” , Journal o f Portfolio M anagem ent (invierno d e 1996), pp. 76-86.

Exam en (respuestas al final del libro) 22.1. ¿ Q u é significan H D D y CDD? 22.2. Suponga q u e cada d ía de ju lio la tem peratura m ínim a es d e 68° Fahrenheit y la tem p eratu ­ ra m áxim a e s d e 82° Fahrenheit. ¿C uál es el beneficio d e una opción d e co m p ra sobre el C D D acum ulativo d u ran te ju lio c o n un precio de ejercicio d e $250 y u n a ta sa d e pago d e $5,000 por grado al día?

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CAPÍTULO 22 22.3. ¿C óm o se estructura un contrato a plazo típico de gas natural? 22.4. ¿ P o r q u é e l precio d e la electricidad e s más volátil que el de otras fuentes d e energía? 22.5. ¿ P o r q u é es posible basar la valuación de un contrato d e derivados del clim a y d e un bono CAT en probabilidades calculadas a p artir d e datos históricos? 22.6. ¿C óm o puede un productor d e en erg ía usar los m ercados de derivados para cu b rir riesgos? 22.7. E xplique cóm o funcionan los bonos CAT.

Preguntas y problem as 22.8. “ El H D D y e l C D D se pueden co nsiderar com o beneficios obtenidos d e opciones sobre la tem peratura” . E xplique e sta afirm ación. 22.9. Suponga que tiene a su disposición datos sobre la tem peratura de 50 años. Explique el análi­ sis que llevaría a cabo para calcular el C D D acumulativo fo rw a rd del próxim o mes de julio. 22.10. ¿ E sp erad a q u e la reversión a la m edia ocasio n ara que la volatilidad del precio fo rw a rd a tres m eses de una fuente d e energía fuera m ayor o m enor q u e la volatilidad d e l precio sp o tl E x ­ plique su respuesta. 22.11. E xplique cóm o funciona un contrato d e o p ció n 5 X 8 para m ayo d e 2008 sobre electricidad con un ejercicio diario. E xplique cóm o funciona un contrato d e opción 5 X 8 p a ra m ayo de 2008 sobre electricid ad c o n un ejercicio m ensual. ¿C u ál vale más? 22.12. C onsidere d o s bonos q u e tienen e l m ism o cupón, tiem po al vencim iento y precio. U no es un bono corporativo c o n calificación B. El otro e s un bono CAT. Un análisis basado e n d a ­ tos históricos m uestra q u e las pérdidas esperadas sobre los d o s bonos e n c ad a año d e su v i­ d a son iguales. ¿Q ué bono aconsejaría co m p rar a un adm inistrador de cartera y p o r qué?

Pregunta de tarea 22.13. Las pérdidas de un tipo específico de una em p resa d e seguros tien en , con una aproxim ación razonable, una distribución norm al, con u n a m edia de $150 m illones y una desviación e s ­ tándar de $50 m illones. (A sum a q u e no hay ninguna diferencia entre las pérdidas e n un mundo neutral al riesgo y las pérdidas e n e l m undo real). L a ta sa libre de riesgo a un año es de 5%. C alcule el costo de lo siguiente: a. Un contrato q u e p ag ará e n un año 60% d e los co sto s d e la em presa de seguros e n form a proporcional. b. Un contrato q u e paga $100 m illones en un a ñ o si las pérdidas exceden a $200 m illones.

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Errores en el uso de derivados y lo que nos enseñan D esde m ediados d e la d écad a d e 1980 h a habido algunas p é rfid a s espectaculares en los m ercados de derivados. L as Panorám icas d e negocios 23.1 y 23.2 enum eran algunas d e las pérdidas q u e han experim entado instituciones financieras y organizaciones no financieras. L o sorprendente d e estas listas e s la cantidad d e situaciones e n q u e las actividades d e un solo em pleado han generado p érdi­ das enorm es. E n 1995, las negociaciones d e Nick L eeson ocasionaron la caíd a d e B arings, un b a n ­ co británico con 200 años d e antigüedad; e n 1994, las negociaciones d e R obert C itrón hicieron q u e el C ondado d e O range, un m unicipio d e C alifornia, perdiera alrededor d e $2,000 m illones. Las n e ­ gociaciones de Joseph Jett para K idder Peabody perdieron $350 m illones. E n 2002 salieron a la luz las pérdidas por $700 m illones q u e Jo h n Rusnak generó a l A llied Irish B ank. E n 2006, e l fondo d e cobertura A m aranth perdió $6,000 m illones, debido a los riesgos com erciales que asum ió Brian Hunter. Las cuantiosas pérdidas de D aiw a, Shell y Sum itom o fueron tam b ién , e n c ad a caso , e l re ­ sultado de las actividades d e una sola persona. Estas pérdidas no d eb en ser vistas co m o una crítica a to d a la industria d e derivados. E l m erca­ do de derivados es un m ercado d e m uchos billones d e dólares q u e, de acuerdo con la m ayoría d e las m edidas, h a sido sorprendentem ente exitoso y h a satisfecho ad ecuadam ente las necesidades de sus usuarios. C itam os a A lan G reenspan (m ayo d e 2003): E l u s o d e u n a g a m a c a d a v e z m a y o r d e d e riv a d o s y la a p lic a c ió n re la c io n a d a d e m é to d o s m á s c o m p le jo s p a r a m e d ir y a d m in is tr a r e l rie s g o , s o n fa c to re s c la v e q u e re s p a ld a n la m e jo r c a p a c id a d d e r e c u p e r a c ió n d e n u e s tr o s m a y o re s in te rm e d ia rio s fin a n c ie ro s.

Los acontecim ientos enum erados en las Panorám icas d e negocios 23.1 y 23.2 representan una p e ­ queña proporción del total d e negociaciones (tanto e n can tid ad com o en valor). Sin em b arg o , vale la pena analizar cuidadosam ente las lecciones q u e podem os aprender d e ellos. E sto e s lo que h a re ­ mos en e ste capítulo final.

23.1 L E C C IO N E S P A R A T O D O S L O S U S U A R IO S D E D E R IV A D O S En prim er lugar, analizam os las lecciones adecuadas para todos los usuarios d e derivados, y a sean em presas financieras o no financieras.

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CAPÍTULO 23

P a n o rá m ica d e n e g o c io s 2 3 .1

G randes pérdidas de instituciones financieras

A llied Irish B a n k E ste banco pendió a lred ed o r d e $700 m illones debido a las actividades especulativas d e uno d e sus negociantes d e divisas, Jo h n R usnak, las cu ales duraron varios anos. R usnak ocultó sus p é r­ didas m ediante la creación d e negociaciones d e opciones ficticias. Am aranth E ste fondo de cobertura perdió $6,000 m illones al ap o star en la dirección fu tu ra d e los precios del gas natural. Barings (vea p á g in a 17) E ste banco británico, c o n 200 años de antigüedad, desapareció e n 1995 debido a las actividades de un negociante, N ick L eeson, e n Singapur. E l negociante te n ía la orden d e realizar o p eracio ­ nes d e arbitraje e n tre cotizaciones d e futuros sobre e l índice N ikkei 225 en Singapur y O saka. En vez d e ello hizo apuestas fuertes sobre la dirección futura de e ste índice usando futuros y o p ­ ciones. La pérdida total fu e d e aproxim adam ente $1,000 m illones. D aiw a B a n k Un negociante q u e trabajaba en N ueva York para e s te banco jap o n és perdió m ás d e $ 1,000 m i­ llones en la década d e 1990. K idder Peabody (vea página 102) Las actividades d e un solo negociante, Joseph Jett, ocasionaron q u e e ste agente d e inversiones d e N ueva York perdiera $350 m illones con la negociación d e títu lo s d e l gobierno d e E stados Unidos d e A m érica y sus strips. (Los strip s se crean cuando c ad a uno d e los flujos d e efectivo subyacentes a un bono se vende co m o un títu lo separado). La pérdida se debió a un error e n la form a en q u e e l sistem a de cóm puto de la em presa calculó las utilidades. Long-Term C apital M anagem ent (vea página 30) E ste fondo d e cobertura perdió alrededor d e $4,000 m illones en 1998. La estrategia que siguió el fondo fue e l arbitraje d e convergencia, la cual consistió en tratar de identificar d o s títulos c a ­ si idénticos cuyos precios estuvieran tem poralm ente desalineados entre sí. La em p resa c o m p ra ­ ría el título más barato y vendería en corto e l más costo so , cubriendo cualquier riesgo residual. A m ediados d e 1998, la em p resa se vio seriam ente perjudicada p o r la am pliación d e los spreads de crédito com o resultado d e incum plim ientos sobre bonos rusos. E l fondo d e cobertura se c o n ­ sideraba dem asiado grande co m o para quebrar. L a R eserva Federal de N ueva York organizó una operación d e rescate d e $3,500 m illones anim ando a 14 bancos a invertir e n e l fondo. M idland B a n k E ste banco británico perdió $500 m illones a principios d e la d écad a d e 1990, debido principal­ m ente a una ap u esta equivocada sobre la dirección d e las tasas d e interés. M ás ta rd e fue ad q u i­ rido p o r e l H ong K ong a n d Shangai Bank. N ational W estm inster B a n k En 1997, e ste banco británico perdió alrededor d e $130 m illones por usar un m odelo inadecua­ do para valuar opciones so b re swaps.

Defina los límites de riesgo Es fundam ental que todas las em presas definan en fo rm a c lara e inequívoca los lím ites d e los ries­ gos financieros que se pueden asum ir, y establecer procedim ientos para garantizar q u e se respeten. Idealm ente, los lím ites de riesgo generales se deben establecer a nivel d e l consejo adm inistrativo.

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P a n o r á m ica d e n e g o c io s 2 3 .2

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G randes pérdidas de organizaciones no financieras

A llied Lyons El departam ento d e teso rería d e e sta em p resa d e alim entos y bebidas perdió $150 m illones en 1991, con la venta d e opciones d e co m p ra sobre e l tip o d e cam bio e n tre e l d ó la r estad o u n id en ­ se y la libra esterlina. G ibson G reetings El departam ento d e tesorería d e e sta fábrica d e tarjetas de felicitación d e C ineinnati perdió a lre ­ dedor d e $20 m illones e n 1994, a l negociar c o n Bankers T ru st contratos d e derivados d e tasas d e interés excesivam ente exóticos. Posteriorm ente dem andó a Bankers T ru st y resolvió la d isp u ­ ta de m anera extrajudicial. H am m ersm ith a n d F u lh a m (vea p á g in a 178) E sta autoridad local b ritánica perdió alrededor de $600 m illones con la negociación d e opciones y sw aps de tasas de interés en libras esterlinas e n 1988.Las cortes británicas anularon p o sterio r­ mente toctos sus contratos, para disgusto d e los bancos q u e participaron e n las transacciones. M etallgesellschaft ( vea p á g in a 67) Esta em presa alem ana participó en contratos a largo plazo para sum inistrar petróleo y gasolina, y los cubrió renovando contratos d e futuros a corto plazo. Perdió $1,800 m illones cuando fu e obligada a interrum pir e sta actividad. Condado d e O range (vea p á g in a 84) Las actividades del teso rero , R obert C itrón, ocasionaron q u e e ste m unicipio d e C alifornia p e r­ d e rá alrededor d e $2,000 m illones en 1994. El tesorero usaba derivados para especular q u e las tasas d e interés no subirían. Procter & G am ble (vea p á g in a 456) E departam ento d e tesorería d e e sta im portante em presa estadounidense perdió a lred ed o r d e $90 m illones e n 1994 a l negociar con Bankers T ru st contratos d e derivados de tasas d e interés dem asiado exóticos. Posteriorm ente dem andó a Bankers T ru st y resolvió la d isp u ta fuera d e la corte. Shell Un em pleado q u e trab ajab a e n la subsidiaria jap o n esa d e e sta em presa p erd ió $1,000 m illones en la negociación no au torizada d e futuros sobre divisas. Sum itom o Un negociante q u e trabajaba para e sta em p resa ja p o n esa perdió alrededor d e $2,000 m illones en d m ercado spot, d e futuros y d e opciones d e co b re en la d écad a d e 1990.

Estos lím ites, luego, debieran ser aplicables a los responsables d e la adm inistración de riesgos e s ­ pecíficos. Los inform es diarios d eb en indicar la g an an cia o la pérdida q u e se experim entará al re a ­ lizar cam bios específicos e n las variables de m ercado. E stas ganancias o pérdidas deben cotejarse con las ganancias y pérdidas reales obtenidas para aseg u rar q u e los procedim ientos de valuación en que se basan los inform es sean exactos. Es muy im portante que las em presas vigilen detalladam ente los riesgos cuando usen derivados. Esto se d e b e a q u e, co m o vim os en e l capítulo 1, los derivados se utilizan con fines d e cobertura, especulación o arbitraje. Sin una vigilancia cercana, e s im posible sab er si un negociante d e deriv a­ dos h a dejado de ser co b ertu rista o arbitrajista para convertirse en especulador. B arings es un e jem ­ plo clásico d e cóm o e s posible desviarse. L a orden p a ra N ick L eeson e ra realizar operaciones d e arbitraje d e bajo riesgo e n tre los m ercados d e Singapur y O sak a d e futuros sobre e l índice

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CAPÍTULO 23 Nikkei 225. Sin saberlo sus superiores en Londres, Leeson dejó de actuar com o arbitrajista para h a ­ cer grandes apuestas sobre la dirección futura del índice N ikkei 225. Los sistem as de Barings eran tan inadecuados q u e nadie estab a al tanto d e lo q u e L eeson hacía. En e ste caso e l argum ento no e s q u e no se deban asum ir riesgos. Un tesorero q u e trab aja para una corporación, un negociante d e una institución financiera o un adm inistrador de fondos, deben estar autorizados para tom ar posiciones sobre la dirección fu tu ra d e variables de m ercado relevan­ tes. No o bstante, e s necesario lim itar los tam años d e las posiciones que pueden to m arse y los sis­ temas locales deben inform ar con exactitud los riesgos q u e se han d e asum ir.

Tome co n seriedad los límites de riesgo ¿Qué ocurre si un individuo excede los límites d e riesgo y g a n a una utilidad? É ste es un asunto c o m ­ plicado para la a lta dirección. Es tentador ignorar las violaciones de los lím ites d e riesgo cuando se obtienen utilidades. Sin em bargo, é sta no e s una actitud con poca visión d e futuro, ya que g en era una cultura q u e no tom a en serio los lím ites d e riesgo y prepara el cam ino para un desastre. E n m uchas de las situaciones enum eradas e n las Panorám icas d e negocios 23.1 y 23.2, las em presas se volvie­ ron com placientes con relación a los riesgos q u e asum ían porque e n años anteriores habían asum i­ do riesgos sim ilares y ganaron utilidades. Aquí, e l ejem plo clásico e s e l C ondado d e O range. Las actividades de R obert C itrón e n 1991 1993 habían sido m uy rentables para el condado y e l m unicipio había llegado a confiar e n sus ne­ gociaciones para obtener financiam iento adicional. La gente prefirió ignorar los riesgos que tom ó Robert debido a q u e estaban produciendo beneficios. Por desgracia, las pérdidas generadas en 1994 excedieron con mucho las utilidades d e años anteriores. Las sanciones por exceder los lím ites de riesgo deben ser iguales tanto al obtener utilidades c o ­ mo a l sufrir pérdidas. De otro m odo, los negociantes que experim entan pérdidas siguen aum entan­ do sus apuestas c o n la esperanza de q u e a la larga o btendrán una utilidad y serán perdonados.

No asum a que es posible anticiparse al m ercado R isiblem ente algunos negociantes sean m ejores que o tro s, pero no todos obtienen buenos resulta­ dos todo e l tiem po. Un negociante q u e predice correctam ente la dirección e n q u e cam biarán las va­ riables d e m ercado 6 0 % d e las veces e stá teniendo un buen desem peño. Si un negociante tiene una trayectoria sorprendente (com o ocurrió con R obert C itrón a principios d e la d écad a d e 1990), es probable q u e esto sea resultado d e la suerte, más q u e d e habilidades d e negociación superiores. Suponga q u e una institución financiera e m p le a a 16 negociantes y uno de e llo s o b tien e u ti­ lidades c ad a trim estre d e un año. ¿D eb e recib ir e l n eg o cian te un buen bono? ¿ D eb e a u m en tar la institución financiera los lím ites d e riesgo del negociante? La resp u esta a la p rim era p reg u n ta es que, inevitablem ente, e l n eg o cian te recib irá un buen bono. La resp u esta a la segunda pregunta debe ser no. La probabilidad d e o b te n er una utilidad e n cu atro trim estres co n secu tiv o s de n e g o ­ ciaciones a l azar e s d e 0.54, o 1 e n 16. E sto sig n ifica q u e únicam ente por a za r uno d e los 16 n e ­ gociantes o b ten d rá buenos resultados c a d a trim estre d e l año. N o se debe asu m ir q u e la su erte del negociante co n tin u ará ni d eb em o s a u m en tar sus lím ites d e riesgo.

No subestime los beneficios de la diversificación C uando un negociante parece ser bueno para predecir una variable de m ercado específica, hay una tendencia a aum entar sus lím ites. H em os argum entado q u e é sta e s una m ala idea porque es m uy probable q u e e l negociante haya sido m ás afortunado q u e astuto. No obstante, supongam os que e s ­ tamos realm ente convencidos d e q u e e l negociante tie n e talentos especiales. ¿Q ué tan no diversifi-

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cados debem os volvernos para aprovechar las habilidades especiales del negociante? La respuesta es q u e los beneficios d e la diversificación son enorm es y e s poco probable q u e alg ú n negociante sea tan bueno q u e valga la pena ignorar estos beneficios para especular fuertem ente sólo e n u n a va­ riable d e m ercado. Un ejem plo ilustrará e sta cuestión. Suponga que hay 20 acciones y cada una ellas tiene un re n ­ dim iento esperado de 10% anual y una desviación estándar d e rendim ientos d e 30% . La correlación entre los rendim ientos d e cualquier par de acciones e s d e 0.2. Al d iv id ir equitativam ente una inver­ sión e n tre las 20 acciones, un inversionista tiene un rendim iento esperado de 10% anual y una d e s ­ viación estándar d e rendim ientos d e 14.7%. La diversificación perm ite al inversionista reducir los riesgos en m ás d e la m itad. O tra m anera d e expresar esto e s q u e tam bién le perm ite a un inversionis­ ta duplicar e l rendim iento esperado por unidad de riesgo asum ido. El inversionista ten d ría que ser extrem adam ente bueno a l esco g er acciones para obtener una m ejor relación riesgo/rendim iento in ­ viniendo e n una sola acción.

Realice análisis de escenarios y pruebas de estrés El cálculo de m edidas d e riesgo, co m o el VaR, debe acom pañarse siem pre d e análisis d e escenarios y pruebas d e estrés para llegar a entender q u é puede fallar. E sto se m encionó e n el capítulo 18. Los análisis de escenarios y las pruebas de estrés son muy im portantes. P o r desgracia, los seres hu m a­ nos tendem os a aferram os a uno o d o s escenarios al evaluar decisiones. P o r ejem p lo , en 1993 y 1994, Procter & G am ble y G ibson G reetings estaban tan convencidas d e q u e las tasas d e interés perm anecerían bajas que ignoraron la posibilidad d e un aum ento d e 100 puntos base en su tom a d e decisiones. Es im portante ser creativos e n la form a d e generar escenarios. U na estrategia consiste en o b ser­ var los datos d e 10 o 20 años y eleg ir com o escenarios los acontecim ientos m ás extrem os. En o c a ­ siones hay una escasez de datos sobre una variable clave. Entonces lo práctico e s eleg ir u n a variable parecida y para la q u e haya m ás datos disponibles, adem ás de usar cam bios porcentuales diarios h is­ tóricos de e sa variable com o un sustituto d e posibles cam bios porcentuales diarios de la variable c la ­ ve. Por ejem plo, si hay pocos datos sobre los precios d e bonos em itidos por un país específico, p o ­ demos buscar datos históricos sobre precios d e bonos em itidos por países e n igualdad d e circunstan­ cias para desarrollar posibles escenarios.

23.2 L E C C IO N E S P A R A L A S IN S T IT U C IO N E S F IN A N C IE R A S A hora analizarem os las lecciones relevantes sobre todo para las instituciones financieras.

Vigile cuidadosam ente a los negociantes En las salas d e negociación ex iste la tendencia a co nsiderar a los negociantes d e alto desem peño com o “ intocables” y no som eter sus actividades al m ism o escrutinio q u e a los dem ás. A parentem en­ te, Joseph Jett, e l negociante estrella d e instrum entos d e la tesorería d e K idder Peabody, estab a siem ­ pre “dem asiado ocupado” para responder preguntas y an alizar sus posiciones con los ad m in istra­ dores d e riesgo d e la em presa. Es im portante que todos los negociantes rindan cuentas, sobre todo los q u e obtienen grandes utilidades. E s fundam ental para la institución financiera saber si las grandes utilidades se obtienen asum iendo riesgos irracionalm ente altos. A dem ás, es conveniente verificar q u e los sistem as d e cóm puto y los m odelos de valuación d e la institución financiera sean correctos y no puedan ser m a­ nipulados d e a lg ú n modo.

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CAPÍTULO 23

Separe el front, m iddle y back office El fr o n t office de una institución financiera co n siste e n los negociantes q u e realizan tran saccio n es, toman posiciones, etc. El m iddle o ffice e stá integrado p o r adm inistradores de riesgo q u e vigilan los riesgos que se asum en. E l back o ffice es d o n d e se realizan la contabilidad y la gestión d e re ­ gistros. A lgunos d e los peores d esastres relacionados con derivados han ocurrido d eb id o a q u e e s ­ tas funciones no se m antuvieron separadas. N ic k Leeson co ntrolaba tanto e l fr o n t com o e l back cffice d e B arings en Singapur y, e n co n secu en cia, pudo o cu ltar d u ra n te alg ú n tiem po a sus su p e ­ riores e n L ondres la naturaleza d esastro sa de sus negociaciones.

No confíe ciegamente en los m odelos Algunas d e las grandes pérdidas e n las que han incurrido las instituciones financieras surgieron debi­ do a los modelos y sistem as de cóm puto que utilizaron. En la Panorám ica de negocios 5.1 analizamos cóm o K idder Peabody fue mal inform ado por sus propios sistem as. O tro ejem plo de un m odelo inco­ rrecto que generó pérdidas es el del National W estm inster Bank. Este banco tenía un m odelo incorrec­ to para valuar opciones sobre sw aps, lo cual ocasionó pérdidas significativas. Si se reportan grandes utilidades a l seguir estrategias d e negociación relativam ente sencillas, hay una buena posibilidad d e q u e los m odelos usados para e l cálculo d e las utilidades sean incoirectos. Del m ism o m odo, si una institución financiera parece ser particularm ente com petitiva en sus cotizaciones d e un tipo específico de acuerdo, hay u n a buena posibilidad d e usar un m odelo d i­ ferente obtenido de otros participantes d e l m ercado, por lo q u e la institución financiera d e b e a n ali­ zar con gran cuidado lo q u e ocurre. Para el je f e d e u n a sala d e negociaciones, lo g rar dem asiados negocios d e cierto tipo puede ser ta n preocupante com o ten er m uy pocos.

Sea conservador al reconocer las ganancias al inicio Cuando una institución financiera vende un instrum ento altam ente exótico a una corporación no fi­ nanciera, la valuación puede depender m ucho del m odelo subyacente. Por ejem plo, las opciones so ­ bre tasas d e interés intercaladas con vencim iento a largo plazo pueden depender mucho del m odelo de tasas d e interés utilizado. En estas circunstancias, una frase que se usa para describir e l ajuste al mercado diario del acuerdo e s m arking to m o d el o ajuste a l m odelo. Esto se d e b e a q u e no hay pre­ cios de m ercado para acuerdos sim ilares que puedan utilizarse com o referencia. Suponga q u e u n a institución financiera logra vender un instrum ento a un cliente e n $10 m illo ­ nes más d e lo que vale, o por lo menos en $10 m illones m ás d e lo q u e su m odelo d ic e que vale. El monto d e $10 m illones se co n o ce co m o inception p ro fit o ganancias a l inicio. ¿C uándo se d e b e re ­ conocer? A l parecer hay una gran variación en lo que hacen distintos bancos d e inversión. A lgunos reconocen inm ediatam ente los $10 m illones, e n tanto q u e otros son m ucho más conservadores y tos reconocen de m anera gradual durante la vida d e l acuerdo. E reconocim iento inm ediato d e las ganancias a l inicio e s m uy peligroso, y a que anim a a los negociantes a usar m odelos agresivos, recib ir sus bo n o s e irse antes de analizar m inuciosam ente el m odelo y el valor del acuerdo. E s m ucho m ejor reconocer d e m anera gradual las ganancias a l in i­ cio, d e tal m anera q u e los negociantes tengan la m otivación de investigar e l im pacto d e diversos modelos y series d e supuestos antes d e com prom eterse c o n un acuerdo.

No venda a los clientes productos inadecuados Es tentador vender a los clientes corporativos productos inadecuados, sobre todo cuando parecen te ­ ner interés e n los riesgos subyacentes. Sin em bargo, é sta e s una actitud con poca visión d e futuro.

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El ejem plo m ás dram ático de esto son las actividades d e Bankers T ru st (BT) e n e l periodo anterior a la prim avera d e 1994. A m uchos de los clientes se les persuadió a co m p rar productos de alto rie s­ go y com pletam ente inadecuados. Un producto típ ico (por ejem p lo , e l sw ap 5/30 analizado e n el Panoram a d e negocios 20.4) proporcionaría a l clien te u n a buena oportunidad de ah o rrar algunos puntos base sobre sus endeudam ientos y una escasa posibilidad d e gastar un m onto im portante de dinero. L os productos fiincionaron bien para los clientes d e BT en 1992 y 1993, pero explotaron en 1994 cuando las tasas de interés aum entaron abruptam ente. La m ala publicidad resultante p erju d i­ có e n gran m anera a BT. L o s años q u e dedicó a fom entar la confianza entre clientes corporativos y a d esarrollar una envidiable reputación e n la innovación d e derivados, se perdieron casi p o r c o m ­ pleto com o consecuencia d e las actividades d e algunos vendedores excesivam ente agresivos. BT se vio obligado a pagar enorm es cantidades de dinero a sus clientes para resolver las dem andas d e m a­ nera extrajudicial. E n 1999 fu e adquirido por D eutsche Bank.

N o ignore el riesgo de liquidez G eneralm ente, la ingeniería financiera basa la valuación de instrum entos exóticos e instrum entos que se negocian relativam ente c o n poca frecuencia e n los precios de instrum entos negociados en form a activa. P o r ejem plo: 1. Un ingeniero d e finanzas suele calcular una cu rv a cero con base en bonos del gobierno q u e se negocian activam ente (conocidos com o bonos on the run) y la usa para valuar bonos que se negocian con menos frecuencia (bonos o ff the run). 2. Un ingeniero de finanzas deduce frecuentem ente la volatilidad de un activo a p artir de o p ­ ciones q u e se negocian de m anera activa y la usa para valuar opciones q u e se negocian en form a m enos activa. 3 . Cbn frecuencia, un ingeniero de finanzas d ed u ce inform ación sobre e l com portam iento d e las tasas d e interés a p artir d e caps de tasas de interés y opciones so b re sw aps que se nego­ cian d e m anera activa, y la u sa para valuar productos altam ente estructurados. Estas prácticas no son irracionales. A ún a sí, e s peligroso asu m ir q u e los instrum entos q u e se n e ­ gocian d e m anera m enos activ a pueden neg o ciarse siem pre a un precio cercan o a su precio te ó ­ rico. C u an d o los m ercados financieros sufren un im pacto d e c u alq u ier tip o , se d a con frecuencia una “h u id a h a cia la c alid ad ” . L a liq u id ez se vuelve m uy im p o rtan te para los inversionistas y los instrum entos ilíquidos se venden frecuentem ente c o n grandes d escu en to s respecto d e sus valores teóricos. L as estrateg ias de negociación q u e asu m en que se pueden v en d er g ran d es volúm enes d e instrum entos relativam ente ilíquidos a c o rto plazo a un precio cercan o a sus valores teó rico s, son peligrosas. Un ejem plo d e riesgo de liquidez es e l de Long-T erm C apital M anagem ent (LTCM ), q u e a n a ­ lizam os e n la sección 2.4. E ste fondo de cobertura siguió u n a estrategia conocida co m o arbitraje de convergencia, con la que intentó identificar dos títulos (o carteras de títulos) q u e, e n teo ría, d e ­ bían venderse a l m ism o precio. Si e l precio d e m ercado d e un títu lo e ra m enor que el del o tro , c o m ­ praría e se título y vendería el o tro . La estrateg ia se basa e n la idea d e que si dos títu lo s tien en el m ism o precio teórico, e n algún m om ento sus precios d e m ercado deben ser iguales. E n e l verano d e 1998, LTCM experim entó una en o rm e pérdida a c au sa principalm ente d e q u e el incum plim iento d e R usia sobre su d e u d a ocasionó una hu id a h acia la calidad. LTCM te n d ía a m antener una posición larga e n instrum entos ilíquidos y u n a posición c o rta e n los instrum entos lí­ quidos correspondientes (por ejem p lo , m antenía una posición larga en bonos o f f th e run y una p o ­ sición corta e n bonos on the run). L os m árgenes d e precios e n tre los instrum entos ilíquidos y los instrum entos líquidos correspondientes se am pliaron en gran m anera después d e l incum plim iento ruso. LTCM estaba altam ente apalancada, por lo que tuvo ta n grandes pérdidas y tantas dem andas de garan tía adicional sobre sus posiciones, q u e fue incapaz d e cum plir.

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CAPÍTULO 23 La h isto ria d e LTCM reafirm a la im portancia d e llevar a cabo análisis de escenarios y pruebas de estrés para considerar lo que podría o cu rrir e n la peor d e las situaciones. LTCM p o d ría h ab er tra ­ tado d e exam inar otras épocas pasadas en las q u e h a habido grandes huidas h acia la calid ad , para cuantificar los riesgos de liquidez a q u e se enfrentaba.

Tenga cuidado cuando todos siguen la m ism a estrategia de negociación En ocasiones sucede q u e m uchos participantes d e m ercado siguen básicam ente la m ism a estrategia de negociación. E sto c re a un am biente peligroso e n e l q u e puede haber grandes m ovim ientos del m ercado, m ercados inestables y enorm es pérdidas para los participantes d e m ercado. En e l capítulo 15 presentam os un ejem plo d e esto cuando analizam os e l seguro d e cartera y el desplom e d e l m ercado d e o ctu b re d e 1987. En los m eses anteriores a la caída, un núm ero c a d a vez m ayor de adm inistradores de cartera tratab a d e aseg u rar sus carteras creando opciones d e venta sin ­ téticas. C om praban acciones o futuros sobre índices bursátiles después d e un a lza e n e l m ercado y tos vendían después d e una baja. Esto creó un m ercado inestable. U na dism inución relativam ente pequeña en los precios d e las acciones generaba una o la d e ventas por los aseguradores d e cartera. Esto último ocasionó una dism inución todavía m ayor e n e l m ercado, q u e d io lugar a o tra o la d e ventas, y a sí sucesivam ente. Q ueda la d u d a d e que sin el seguro d e cartera el desplom e de o ctu b re efe 1987 habría sido m ucho m enos grave. Otro ejem plo e s el de LTCM e n 1998. Su posición se hizo más difícil por e l hecho de que m u­ chos otros fondos de cobertura seguían estrategias d e arbitraje d e convergencia sim ilares. Después del incum plim iento ruso y la huida h acia la calidad, LTCM trató de liquidar parte d e su cartera p a ­ ra satisfacer las dem andas d e garantía adicional. Por desgracia, otros fondos d e cobertura enfrenta­ ban problem as sem ejantes al de LTCM e intentaron realizar negociaciones sim ilares. Esto em peoró la situación, ocasionando que los m árgenes de liquidez fueran aún mayores d e lo q u e habrían sido de otro m odo, y reforzando la hu id a h acia la calidad. Por ejem plo, considere la posición d e LTCM en bonos del Tesoro d e EUA. M antenía una posición larga e n bonos q ffth e run ilíquidos y una p o ­ sición c o rta en bonos on the run líquidos. C uando una huida hacia la calid ad am plió los m árgenes entre rendim ientos sobre am bos tipos d e bonos, LTCM tuvo que liquidar sus posiciones vendiendo tos bonos c ff the run y com prando los bonos on the run. O tros fondos de cobertura im portantes h a ­ rían lo m ism o. En consecuencia, el precio d e los bonos on the run aumentó con relación a l de los bonos o ffth e run y e l m argen entre am bos rendim ientos se ha am p lió aún m ás de lo q u e y a lo había hecho. Un ejem p lo m ás e s e l de las actividades de algunas co m p añ ías británicas d e seguros a finales de la d é ca d a d e 1990. D ichas com pañías participaron e n m uchos contratos q u e prom etían q u e la tasa de interés aplicable a u n a anualidad q u e recibiría u n a p erso n a al ju b ila rse sería la m ayor del m ercado y e sta ría garantizada. A l m ism o tiem po, todas las com pañías d e seguros decid iero n c u ­ brir parte de sus riesgos sobre estos contratos com prando a instituciones financieras opciones sobre sw aps con vencim iento a largo plazo. Las instituciones financieras con que negociaron c u ­ brieron sus riesgos com prando una gran can tid ad d e bonos en libras esterlinas con vencim iento a largo plazo. E n consecuencia, los precios d e los bo n o s subieron y las tasas a largo plazo e n libras esterlinas dism inuyeron. F u e necesario co m p rar m ás bonos para m antener la co b ertu ra d in ám ica, las tasas a largo plazo en libras esterlinas d ism in u y ero n aún m ás, y a sí u n a y o tra vez. Las in sti­ tuciones financieras perdieron d in ero y, d eb id o a la d ism in u ció n d e las tasas a largo plazo, las e m ­ presas d e seguros se encontraron e n una peor posición con relación a los riesgos que habían elegido no cubrir. La lección principal que debem os ap ren d er d e estas historias e s q u e debem os ver e l panoram a com pleto d e lo q u e ocurre e n los m ercados financieros, y en ten d er los riesgos inherentes a situa­ ciones e n las que m uchos participantes de m ercado siguen la m ism a estrategia d e negociación.

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23.3 L E C C IO N E S P A R A L A S C O R P O R A C IO N E S N O F IN A N C IE R A S A hora analizarem os las lecciones q u e se aplican principalm ente a las corporaciones no financieras.

Asegúrese de que entiende perfectamente las negociaciones que está realizando Las corporaciones nunca d eb en realizar una transacción o estrategia d e negociación que no e n tie n ­ dan cabalm ente. Éste e s un punto bastante obvio, au n q u e e s sorprendente la frecuencia con q u e un negociante q u e trabaja para una corporación no financiera adm itirá, después de una gran pérdida, que no sabía lo q u e o cu n í a realm ente, y argum entará que e sta b a m al inform ado por los banqueros de inversión. R obert C itrón, e l tesorero del C ondado d e O range hizo esto , a l igual q u e los negocian­ tes q u e trabajaban para H am m ersm ith a n d F u lh am , quienes a pesar d e sus enorm es posiciones e s ­ taban sorprendentem ente desinform ados sobre e l funcionam iento real de los sw a p s y otros deriv a­ dos d e tasas d e interés con que negociaban. Si un directo r d e una corporación no en tien d e una negociación propuesta por un subordinado, la negociación no debe aprobarse. U na sencilla regla general e s q u e si u n a negociación y e l argu­ m ento para participar en e lla son tan com plicados q u e e l gerente no los puede entender, e s p rácti­ cam ente inadecuada para la corporación. De seguir e ste criterio , las negociaciones e n tre Procter & G am ble y G ibson G reetings habrían sido vetadas. U na m anera d e asegurarse q u e entiende totalm ente un instrum ento financiero e s valuarlo. Si la corporación no tiene la capacidad interna para valuar un instrum ento, no debe negociarlo. E n la prác­ tica, las corporaciones suelen depender d e sus agentes d e derivados para recibir asesoría e n valua­ ción. Esto e s peligroso, co m o se dieron cu en ta Procter & G am b le y G ibson G reetings. C uando q u i­ sieron cancelar sus acuerdos descubrieron q u e se enfrentaban a precios producidos por m odelos d e propiedad exclusiva d e Bankers T ru st y no tenían form a d e verificarlos.

Asegúrese de que un coberturista no se convierta en especulador Uno de los hechos desafortunados de la vida e s q u e la co b ertu ra e s relativam ente tediosa, e n tanto que la especulación es em ocionante. C uando una em p resa co n trata a un negociante para q u e adm i­ nistre e l riesgo cam biario, d e precios d e com m odities o d e tasas d e interés, ex iste el peligro d e que ocurra lo siguiente. A l principio, el negociante realiza el trabajo con gran diligencia y se g a n a la confianza d e la a lta dirección. E v alú a las exposiciones d e la em p resa y las cubre. C onform e pasa el tiem po, e l negociante se convence d e q u e puede an ticip arse al m ercado, y poco a poco se co n v ier­ te en especulador. Al principio las cosas salen bien, pero entonces se g en era una pérdida. Para re ­ cuperarla, e l negociante d u p lica las apuestas. A sí se generan m ás pérdidas, y v u elta a l principio. El resultado es, probablem ente, un desastre. C om o se m encionó anteriorm ente, la alta dirección debe estab lecer lím ites claros a los riesgos que pueden asum irse e im plantar controles para g arantizar q u e los lím ites se respeten. La e strate ­ gia de negociación d e una corporación d e b e iniciar con un análisis d e los riesgos q u e é sta en fren ta en los m ercados cam biarlos, de tasas d e interés y d e com m odities te. D espués d e b e d ecid ir cóm o se reducirán los riesgos a niveles aceptables. Si la estrategia d e negociación no surge d e m anera d i­ recta d e las exposiciones d e la em presa, é ste e s un signo claro de q u e algo anda mal en u n a c o rp o ­ ración.

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CAPÍTULO 23

Evite que el departamento de tesorería se convierta en un centro de beneficios En los últim os 20 años h a habido u n a tendencia a co n v ertir e l departam ento d e teso rería d e una corporación e n un centro de beneficios. A l parecer, e sto e s m uy recom endable. El tesorero tiene com o tarea reducir los costo s d e financiam iento y ad m in istrar los riesgos d e la m an era m ás renta­ ble posible. El problem a es q u e tie n e una cap acid ad lim itada para o b ten er beneficios. A l recaudar fondos e invertir e l excedente d e caja, e l teso rero se en fren ta a un m ercado eficien te y, p o r lo g e ­ neral, tie n e la posibilidad d e m ejorar e l b alan ce final a su m ien d o únicam ente riesgos adicionales. B program a d e co b ertu ra d e la em p resa proporciona a l teso rero c ierta o p o rtu n id ad para to m a r d e ­ cisiones inteligentes q u e aum enten los beneficios. N o o b stan te, e s necesario recordar q u e la m eta efe un program a d e co b ertu ra e s reducir los riesgos, no aum entar los beneficios esperados. C om o se señaló en e l cap ítu lo 3, la decisión d e c u b rir d a rá un peor resultado aproxim adam ente 50% de las veces q u e la d e no cubrir. El peligro d e convertir al departam ento de teso rería e n un centro de beneficios e s q u e e l teso rero se sen tirá m otivado a co n v ertirse e n especulador. E sto tiende a p ro ­ ducir e l tipo d e resultado q u e experim entaron e l C ondado d e O range, P ro cte r & G am b le, o G ibson G reetings.

RESU M EN Las enorm es pérdidas experim entadas con e l uso d e derivados han v u elto muy cau telo so s a m u­ chos tesoreros. D esde la o lead a d e descalabros d e 1994 y 1995, alg u n as corporaciones no finan­ cieras han anunciado planes para reducir, o incluso elim inar, su uso d e derivados. Esto e s d e sa fo r­ tunado porque los derivados proporcionan a los tesoreros form as m uy eficientes para ad m in istrar los riesgos. Las historias d etrás d e las pérdidas d estacan e l punto, señalado e n e l capítulo 1, d e q u e los d e ­ rivados pueden u tilizarse con fines de co b ertu ra o esp ecu lació n ; e s d ecir, se usan para reducir o asum ir riesgos. C asi todas las pérdidas o cu rrieron debido al uso inadecuado de derivados. L os e m ­ pleados q u e tenían la orden im plícita o ex plícita d e cu b rir los riesgos d e su em presa, e n vez d e eso decidieron especular. La lección clave q u e debem os ap ren d er d e las pérdidas e s la im portancia d e los controles in ­ ternos. L a a lta dirección d e u n a em p resa d e b e publicar una d eclaració n d e p o lítica c lara e in eq u í­ voca sobre la m anera d e usar los derivados y la m edida e n q u e se perm itirá a los em p lead o s to m ar posiciones con relación a los cam bios en las variables d e m ercado. L a g e re n cia d e b e establecer controles p a ra garantizar q u e la política se lleve a cabo. U n a receta para el desastre es d a r a u to ri­ dad a los individuos para q u e negocien derivados sin u n a vigilancia estrech a de los riesgos q u e se asum en.

L E C T U R A S C O M P L E M E N T A R IA S Dunbar, N. Inventing M oney: The S to ry o f Long-Term C apital M anagem ent a n d the Legends B e ­ hind It. C hichester, Reino U nido: W iley, 2000. Jorion, P. Big B e ts Gone B ad: D erivatives a n d B ankruptcy in O range County. N ueva York: A cade­ mic Press, 1995. Jorion, P. "H ow Long-Term Lost Its C apital” , R IS K (septiem bre d e 1999). Ju, X., y N. Pearson. “ U sing V alue a t Risk to Control Risk Taking: How W rong Can You B e l” Jour­ n a l o f R isk , \ (\9 9 9 ), pp. 5-36.

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T hom son, R. Apocalypse Roulette: The Lethal World o f D erivatives. Londres: M acm illan, 1998. Z hang, P. G. Barings B ankruptcy a n d Financial D erivatives. S in g a p u r W orld Scientific Publishing, 1995.

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Respuestas a las preguntas de examen CAPÍTULO 1 1.1 Un negociante q u e to m a una posición larga en un contrato d e futuros acuerda com prar el activo su b y a­ cente a cierto precio en una fecha futura específica. Un negociante que tom a una posición c o rta e n un contrato d e futuros acu erd a vender el activo subyacente a cierto precio e n una fe c h a futura específica. 1 2 U na em presa realiza una cobertura cuando tiene una exposición al precio de un activo y to m a una posi­ ción en mercados de futuros o d e opciones para reducir la exposición. E n una especulación, la em presa no tiene una exposición que reducir, sino que apuesta sobre los cam bios futuros e n el precio d e un acti­ vo. El arbitraje im plica tom ar una posición en dos o más m ercados diferentes para asegurar una utilidad.

1 3 En a), e l inversionista e s tá obligado a co m p rar e l activo e n $50 y no tiene opción. En b ), e l inversio­ nista tiene la o pción d e co m p rar e l activo e n $50, pero no requiere ejercer la opción.

1.4 a. El inversionista e s tá obligado a vender las libras a 1.9000 cuando valen 1.8900. L a g a n an c ia e s d e (1.9000 - 1.8900) X 100,000 = $1,000. b. El inversionista e s tá obligado a vender las libras a 1.9000 cu an d o valen 1.9200. L a pérdida e s d e (1.9200 - 1.9000) X 100,000 = $2,000.

1.5 Usted vendió u n a o pción de venta. A cordó co m p rar 100 acciones a $40 por acció n si la o tra parte del contrato decide ejercer e l derecho a vender a e s te precio. L a o p ció n se ejercerá sólo si el precio d e la acción es m enor a $40. P o r ejem plo, suponga que la o p ció n se ejerce cuando e l precio e s d e $30. U s­ ted tiene que com prar, a $40, acciones que valen $30; por lo q u e pierde $10 por acción, o $1,000 en total. Si la o pción se ejerce cuando e l precio e s de $20, usted pierde $20 p o r acción, o $2,000 e n total. Lo peor q u e puede o c u rrir e s que e l precio de la acció n d ism inuya casi a cero durante e l periodo d e tres m eses. Este acontecim iento poco probable le c o sta ría $4,000. A cam b io d e las posibles pérdidas futuras, usted recibe el precio d e la o p ció n d e parte d e l com prador.

1.6 U na estrateg ia con siste e n co m p rar 200 acciones. O tra e s com prar 2,000 opciones (20 contratos). Si el precio d e la acción sube, la segunda estrateg ia producirá m ayores ganancias. P o r ejem p lo , si el precio de la acción sube a $40, usted gana [2,000 X ($40 - $30)] - $5,800 = $14,200 c o n la segunda e stra ­ te g ia y s ó b 200 X ($40 - $29) = $2,200 con la prim era estrategia. Sin em bargo, si el precio de la a c ­ ción baja, la segunda estrateg ia g en era m ayores pérdidas. Por ejem p lo , si el precio d e la acció n b a ja a $25, la prim era estrategia d a lugar a u n a pérdida de 200 X ($29 - $25) = $800, en tanto que la se ­ gunda estrateg ia o casio n a u n a pérdida d e to d a la inversión d e $5,800. 497

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Respuestas a las preguntas d e exam en

1.7 E l m ercado over th e co unte r e s una red d e instituciones financieras, adm inistradores de fondos y tesore­ ros corporativos, relacionados por teléfono y com putadora, en la q u e dos participantes pueden establecer cualquier contrato m utuam ente aceptable. Un mercado negociado e n bolsa es un m ercado organizado por una bolsa en la que los negociantes se reúnen físicam ente o se com unican por vía electrónica y la bolsa define los contratos q u e se pueden negociar. C uando un creador de mercado cotiza una dem anda y una oferta, la dem anda es el precio al que el creador d e m ercado e stá dispuesto a com prar, y la o ferta es el precio al que e l creador de m ercado e s tá dispuesto a vender.

C A P ÍT U L O 2 2.1 E l interés a bierto d e un contrato d e futuros e n una fecha específica es e l total d e posiciones largas pen­ dientes. (D e igual m anera, e s e l total d e posiciones co rtas pendientes). E l volum en d e transacciones durante cierto periodo e s e l núm ero d e contratos negociados durante d id io periodo. 2 2 Un corredor a co m isió n negocia a nom bre de su cliente y co b ra una com isión. Un local negocia por su propia cuenta. 2 3 H abrá una dem anda d e g a ra n tía adicional cuando se hayan perdido $ 1,000 d e la cu en ta d e m argen. E s ­ to o c u rrirá cuando e l precio d e la plata aum ente 1,000/5,000 = $0.20. Por lo tanto, e l precio d e la p la ­ ta debe a u m en tar a $10.40 por onza para q u e haya u n a dem anda d e g a ra n tía adicional. Si no se c u m ­ ple la d em an d a d e garan tía adicional, su co rred o r cierra su posición. 2.4 La utilidad total e s d e ($70.50 - $68.30) X 1,000 = $2,200. De esto , ($69.10 - $68.30) X 1,000 = $800 que se obtienen diariam ente e n tre septiem bre y el 31 d e diciem bre d e 2007. S e obtienen ($70.50 - $69.10) X 1,000 = $1,400 adicionales diariam ente entre e l 1 de enero y m arzo de 2008. S e gravañ a a un coberturista sobre la utilidad total d e $2,200 dólares e n 2008. A un esp ecu lad o r se gravaría so ­ bre $800 e n 2007, y sobre $1,400 e n 2008. 2.5 U na orden con precio to p e para vender a $2 e s u n a o rd en para vender a l m ejor precio disponible una vez que se alcan za un precio d e $2 o m enos. P o d ría u sarse para lim itar las pérdidas d e una posición larga existente. U na orden lim itada para vender a $2 e s una orden para vender a un precio d e $2 o más. H ídría usarse para d a r instrucciones a un interm ediario d e que tom e una posición co rta, a condición d e que se haga a un precio m ás favorable q u e $ 2. 2 .6 La cuenta d e m argen q u e adm inistra la cám ara d e com pensación se ajusta a l m ercado diariam ente y el m iem bro d e la cám ara de com pensación d e b e increm entar la cu en ta de nuevo a l nivel establecido c a ­ da día. L a cuenta d e m argen que adm inistra e l interm ediario tam b ién se ajusta a l m ercado todos los días. A ún así, la c u en ta no tiene q u e increm entarse a l nivel del m argen inicial diariam ente, sino sólo cuando e l saldo d e la cuenta cae p o r d eb ajo d e l nivel d e l m argen d e m antenim iento. E n general, e l margsn d e m antenim iento e s alrededor de 75% del m argen inicial. 2 .7 En los m ercados d e futuros, los precios se cotizan co m o e l núm ero d e dólares estadounidenses por unidad d e m oneda extranjera. L as ta sa s sp o t y a plazo se co tizan d e e s ta m anera e n e l caso d e la libra e sterlin a, el eu ro , e l dólar australiano y e l d ólar neozelandés. En e l caso de otras divisas im p o r­ tantes, las ta sa s s p o t y a plazo se cotizan co m o el núm ero d e unidades d e m oneda extranjera p o r d ó ­ lar estadounidense.

C A P ÍT U L O 3 3 .1 U na cobertura c o rta es adecuada cuando una em presa posee un activo y esp era venderlo en el futuro. T am bién se usa cuando la em presa no posee el activo en ese m om ento, sino que esp era hacerlo e n a l­ guna fecha futura. U na cobertura larga es apropiada cuando una em presa sabe q u e d e b erá co m p rar un activo e n e l futuro. Tam bién se utiliza para contrarrestar e l riesgo de una posición c o rta existente.

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3.2 El riesgo b a se surge debido a la incertidum bre del co b ertu rista e n cuanto a la d iferen cia entre el p re ­ cio sp o t y el precio d e futuros al vencim iento de la cobertura. 3 3 U na cobertura p e rfe c ta es aq u ella que elim in a por com pleto e l riesgo del coberturista. U na cobertura perfecta no siem pre produce un m ejor resultado que una co b ertu ra im perfecta, sino q u e sólo d a lugar a un resultado m ás seguro. C onsidere una em p resa q u e cubre su exposición al precio d e un activo. Suponga q u e los cam bios de precio d e l activo resultan ser favorables para la em p resa. U na cobertura perfecta can cela totalm ente la g an an cia q u e la em presa p o d ría o b ten er d e estos cam bios d e precio fa ­ vorables. U na co b ertu ra im perfecta, q u e can cela las ganancias s ó b parcialm ente, p o d ría d a r un m ejor resultado. 3.4 U na cobertura de varianza m ínim a no d a lugar a ninguna cobertura cuando e l coeficiente d e correlación entre los cam bios del precio de futuros y los cam bios del precio del activo q u e se cubre es de cero. 3 3 a. Si los com petidores de la em p resa no están cubriendo, el tesorero p o d ría co nsiderar que la e m p re ­ sa c o rre rá m enos riesgo si no c u b re (vea la ta b la 3.1). b. Q uizá los accionistas no quieran q u e la em p resa cubra. c. Si se genera u n a pérdida con la co b ertu ra y una g a n an c ia c o n la exposición de la em presa al activo subyacente, e l tesorero p o d ría co nsiderar q u e te n d rá dificultades p a ra justificar la cobertura a n te otros ejecutivos de la organización. 3 .6 La razón d e co b ertu ra óptim a es

0,8 x í d í t = 0 642

E sto significa q u e el tam añ o d e la posición en los contratos d e futuros d e b e ser igual a 64.2% del ta ­ m año d e la exposición d e la em p resa e n u n a cobertura de tres meses. 3.7 La fórm ula del núm ero d e contratos q u e deben venderse e n corto d a co m o resultado ,

2 0 . 0 0 0 .0 0 0

_

1080 x 250 Si redondeam os a l núm ero en tero m ás cercan o , deben venderse en corto 89 contratos. Para red u cir la beta a 0.6, se requiere la m itad de e sta posición, e s decir, una posición c o rta e n 4 4 contratos.

C A P IT U L O 4 4.1 a.L a ta sa c o n una com posición co n tin u a es 4 ln ( I +

0 .1 4 \

I = 0 .1 3 7 6

o 13.76% anual. b. La tasa c o n una com p o sició n anual es

(

I + « a 4 -1 = 0 .1 4 7 5

o 14.75% anual. 4.2 La ta sa L IB O R e s la ta s a interbancaria d e o ferta del m ercado d e Londres. Es la tasa a la q u e un banco cotiza los depósitos q u e e stá dispuesto a realizar e n otros bancos. La ta sa LIBID es la tasa d e dem anda interbancaria del m ercado de Londres. Es la tasa a la que un banco co tiza los depósitos de otros bancos. La ta sa LIB O R e s m ayor q u e la ta sa LIBID.

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500

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4 3 Suponga q u e el bono tiene un valor nom inal de $100. Su precio se o b tien e descontando los flujos d e efectivo a 10.4%. El precio es 4 1.052

4 1.0522

104 = 9 6 .7 4 1.0523

Si la ta sa cero a 18 m eses e s R , obtenem os 4

4

104

1.05

1.052

( l + t f / 2 )3

= 96.74

b q u e nos d a R = 10.42%. 4 .4

a. Con una com posición anual, e l rendim iento es

o 10% anual. b. Con una com posición sem estral, e l rendim iento e s R , d o n d e 10001 1 + ^ 1

=1100

< -f) -

es decir. 1 + ^ = V T J = 1.0488 de m odo q u e R = 0.0976. Por consiguiente, e l rendim iento porcentual es d e 9.76% anual, c. Con una com posición m ensual, e l rendim iento e s R , donde /

D \ 12

1000Í1+ — j

=1100

es decir, \ =

= 1.00797

de m odo q u e R = 0.0957. Por lo tan to , el rendim iento porcentual e s d e 9.57% anual, d. Con una com posición continua, e l rendim iento e s R , d o n d e lOOOe* = 1 1 0 0 es decir, eR = 1.1 de m odo q u e R = 0.0953. Por consiguiente, e l rendim iento porcentual es d e 9.53% anual. 43

Las tasas a plazo con una com posición co n tin u a son las siguientes: Trim estre Trim estre Trim estre Trim estre Trim estre

2: 3: 4: 5: 6:

8.4% 8.! 8.: 9.< 9.2%

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501

4 .6 La ta sa a plazo e s d e 9.0% c o n una com posición co n tin u a o d e 9.102% c o n una com posición trim es­ tral. Por lo tanto, con base e n la ecu ació n (4.9), e l valor del FR A es [1,000,000 X 0.25 X (0.095 - O.O91O2)]e” a0B6 x 125 = 893.56 es decir, $893.56. 4.7 C uando la estru ctu ra tem poral e s ascendente, c > a > b . C uando e s d escendente, b > a > c.

C A P ÍT U L O 5 5.1 El co rred o r d e l inversionista adquiere e n préstam o las acciones d e la cu en ta d e otro cliente y las ven­ de e n la form a usual. Para cerrar la posición, e l inversionista debe co m p rar las acciones. E ntonces, el corredor las reem plaza e n la cu en ta d e l cliente d e qu ien se adquirieron e n préstam o. La parte c o n la posición c o rta d e b e rem itir a l interm ediario los dividendos y o tro s ingresos pagados sobre las a cc io ­ nes. E l co rred o r transfiere estos fondos a la cu en ta del clien te d e quien se adquirieron las acciones en préstam o. O casionalm ente, a l interm ediario se le ag o tan las acciones prestadas. E ntonces, e l inversio­ nista e stá restringido e n su o peración en corto y debe c errar la posición inm ediatam ente. 5.2 El precio a plazo d e un activo hoy es e l precio al que usted a co rd aría co m p rar o vender e l activo en una fecha futura. El valor d e un contrato a plazo e s d e cero cuando usted p articipa e n él p o r prim era vez. A m edida q u e e l tiempo pasa, el precio d e l activo subyacente c am b ia y e l valor del contrato p u ed e vol­ verse positivo o negativo.

5 3 El precio a plazo es 3 0 ^ 0 .1 2 X 0 .5 =

$ 3 , 86

5.4 El precio de futuros es 350^(0.08- o .° 4) x 0333 = 5 354 7 5.5 El oro e s un activo d e inversión. Si el precio de futuros es dem asiado alto, los inversionistas en co n tra­ rán rentable aum entar sus tenencias d e oro y vender e n corto contratos de futuros. Si el precio de futu­ ros es dem asiado bajo, verán rentable dism inuir sus tenencias d e oro y to m ar una posición larga e n el mercado d e futuros. El co b re e s un activo d e consum o. Si e l precio d e futuros e s dem asiado alto, fu n ­ ciona la estrategia d e com prar co b re y vender futuros e n corto. Sin em bargo, com o los inversionistas g e ­ neralm ente no m antienen el activo, la estrategia de vender cobre y com prar futuros no e s tá disponible para ellos. Por consiguiente, hay un lím ite superior, pero no uno inferior, para e l precio d e futuros. 5.6 El rendim iento de conveniencia m ide e l grado en q u e se obtienen beneficios d e la propiedad del a cti­ vo físico que no obtienen los propietarios d e posiciones largas e n contratos de futuros. El costo d e m a n ­ tenim iento es e l costo d e los intereses m ás e l co sto d e alm acenam iento, m enos e l ingreso o b ten id o . El precio de futuros, y el precio spot, S Qt se relacionan por F„ = V

c ~ y ,r

donde c es e l costo d e m antenim iento; y es el rendim iento de conveniencia, y T es e l tiem po a l venci­ m iento del contrato d e futuros. 5.7 U na divisa proporciona una ta sa d e interés conocida, pero e l interés se recibe en la m oneda ex tran je­ ra. Por consiguiente, e l valor e n m oneda dom éstica del ingreso proporcionado por la m oneda ex tran ­ je ra se conoce com o un p o rcentaje del valor d e la m oneda extranjera. E sto significa q u e e l ingreso tie ­ ne las propiedades de un rendim iento conocido.

C A P ÍT U L O 6 6.1 H ay 33 días naturales entre e l 7 d e ju lio y e l 9 d e ag o sto d e 2008. H ay 184 días naturales entre el 7 d e ju lio de 2008 y el 7 de en ero d e 2009. Por lo ta n to , e l interés obtenido por $100 d e principal es

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Respuestas a las preguntas d e exam en de 3.5 X 33/184 = $0.6277. Para un bono corporativo, asum im os 32 días e n tre e l 7 d e ju lio y e l 9 d e agosto d e 2008, y 180 días entre e l 7 d e ju lio d e 2008 y e l 7 de en ero d e 2009. El interés obtenida es de 3.5 X 32/180 = $0.6222 dólares.

6 2 H ay 89 días e n tre el 12 de octu b re de 2008 y e l 9 de en ero d e 2009. Hay 182 días e n tre e l 12 d e octu­ bre d e 2008 y el 12 d e a b ril de 2009. El precio en efectivo del bono se obtiene sum ando e l interés acum ulado a l precio cotizado. El precio cotizado es de 102 ^ o 102.21875. Por consiguiente, e l p re ­ cio e n efectivo es d e 102.21875 + ^ - x 6 = $105.15 182

6 3 El factor de conversión de un bono e s igual al precio cotizado q u e el bono te n d ría p o r dólar d e princi­ pal e l prim er d ía del m es d e en treg a en el supuesto d e q u e la ta sa d e interés para todos los vencim ien­ tos sea igual a 6 % anual (con una com posición sem estral). El vencim iento del bono y e l tiem po a las fechas de pago del cupón se redondean a los tres m eses m ás cercanos con fines d e cálculo. El factor de conversión define cuánto recib e un inversionista c o n u n a posición c o rta e n un contrato de futuros sobre bonos cuando se entregan los bonos. Si e l factor de conversión e s d e 1.2345, e l m onto q u e e l in­ versionista recibe se calcula m ultiplicando e sta cifra por el precio de futuros m ás reciente y sum ando el interés acum ulado. 6.4 El precio d e futuros sobre eurodólares au m en tó 6 puntos base. E l inversionista obtiene una g an an cia por contrato d e 25 X 6 = $150 o $300 e n total. 6.5 Suponga que la cotización d e un contrato de futuros sobre eurodólares es de $95.00. Esto proporciona una ta sa d e futuros de 5% para e l periodo de tres m eses cubierto por e l contrato. El ajuste por convexi­ dad e s e l m onto e n q u e se debe reducir la ta sa d e futuros para proporcionar una estim ación de la ta sa a plazo para el periodo. El ajuste por convexidad es necesario porque: a) los contratos d e futuros se liqui­ dan diariam ente, en tanto q u e esto no ocurre con los contratos a plazo, y b) los contratos de futuros se liquidan a l final de su vida, e n tanto q u e los contratos a plazo se liquidan cuando se vence e l interés. 6.6 La d u ració n proporciona inform ación sobre el efecto d e un pequeño desplazam iento paralelo de la cur­ va d e rendim iento en el valor de una cartera d e bonos. La dism inución porcentual e n el valor d e la carte­ ra es igual a la duración de la cartera m ultiplicada por la cantidad e n q u e aumentan las tasas d e interés en d pequeño desplazam iento paralelo. La m edida d e duración tiene la siguiente lim itación: se aplica úni­ cam ente a desplazam ientos paralelos e n la cu rv a de rendim iento que sean pequeños. 6 .7 H valor d e un contrato es de 1 0 8 ^ X 1,000 = $108,468.75. E l núm ero d e contratos que se d eb en vender en corto es 6.000.000 8.2 cn _ __________ x = SQ 7 108,468.75 7 .6 ‘ '

Si redondeam os e sta cifra a l núm ero en tero m ás cercano, se d eb en vender en corto 6 0 contratos. La posición se debe cerrar a fines d e julio. C A P ÍT U L O 7 7.1 A tiene u n a ventaja com parativa ap aren te e n los m ercados de ta s a fija, pero d e se a adquirir un présta­ mo d e ta s a variable. B tiene u n a ventaja com parativa ap aren te e n los m ercados d e ta s a variable, pero

Swap de la pregunta de examen 7. 1

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503

desea a d q u irir un préstam o d e ta s a fija. E sto proporciona la base para e l sw ap. H ay un diferencial d e 1.4% anual entre las ta sa s fijas ofrecidas a am bas em presas, y un diferencial d e 0.5% anual entre las ta ­ sas variables q u e se les ofrecieron. Por lo tanto, la ganancia total obtenida del sw a p para todas las p a r­ tes e s d e 1.4 - 0.5 = 0.9% anual. Puesto q u e e l banco o b tien e 0.1% anual d e e sta ganancia, e l sw ap de­ be beneficiar tanto a A co m o a B con 0.4% anual. E sto significa q u e e l sw ap hace q u e A adquiera un préstam o a la ta sa LIB O R d e - 0 .3 % y q u e B adquiera un préstam o a 6% . Por consiguiente, e l acu er­ do adecuado se m uestra e n e l diagram a. 7.2 E n cuatro m eses se recibirán $3.5 m illones ( = 0 .5 X 0.07 X $100 m illones) y se pagarán $2.3 m illo­ nes ( = 0.5 X 0.046 X $100 m illones). (Ignoram os e l cálculo d e días). E n 10 m eses se recibirán $3.5 m illones y se pagará la ta sa L IB O R vigente e n cuatro m eses. El valor del bono d e ta sa fija s u b ­ yacente a l sw ap es d e 3 .5 ¿-ao 5 x 4 /,2 + m ,5 e -o .o s x im 2 = $102.718 millones El valor del bono de ta sa variable subyacente a l sw ap es d e (100 + 2.3) íT 0 05x4/12 = $100.609 millones El valor d e l sw ap para la parte q u e paga la ta sa variable e s de $102.718 - $100.609 = $2.109 m illo ­ nes. E l valor del sw ap para la parte q u e paga la ta s a fija e s d e —$2.109 m illones. Estos resultados tam bién se obtienen descom poniendo e l sw ap en co n trato s a plazo. C onsidere la parte que p a g a la ta ­ sa variable. E l prim er contrato a p lazo im plica p ag ar $2.3 m illones y recib ir $3.5 m illones e n cu atro m eses. E ste co n trato tiene un v alor d e i.2 e “ °-05x4/I2 = $1.180 m illones. Para v alu ar e l segundo c o n ­ trato a plazo, observam os q u e la ta s a d e interés a plazo e s d e 5% anual c o n una co m p o sició n c o n ti­ nua o d e 5.063% anual con una co m p o sició n sem estral. El valor del contrato a plazo e s d e 100 X (0.07 X 0.5 - 0.05063 X 0 .5 )< r005x,(VI2 = $0.929 millones Por lo tanto, e l valor total d e los contratos a plazo e s d e $1.180 + $0.929 dólares = $2.109 millones. 1 3 X tiene una ventaja com parativa e n los mercados d e yenes, pero desea adquirir un préstam o e n dólares. Y tiene una ventaja com parativa en los mercados de dólares, pero desea adquirir un préstam o en yenes. Esto proporciona la base para el swap. H ay un diferencial de 1.5% anual entre las tasas en yenes y un diferen­ cial de 0.4% anual entre las tasas en dólares. Por consiguiente, la ganancia total obtenida del swap para todas las partes e s de 1.5 - 0 .4 = 1.1% anual. El banco requiere 0.5% anual, dejando 0.3% anual ta n ­ to para X com o para Y. El sw ap hace q u e X adquiera un préstamo en dólares a 9.6 - 0.3 = 9.3% anual y que Y adquiera un préstam o en yenes a 6 .5 - 0.3 = 6.2% anual. Por lo tanto, el acuerdo adecuado se mues­ tra en el diagram a siguiente. Todo el riesgo cam biario lo asume el banco.

5% en yenes 5% en yenes

Empresa X

9.3% en dólares

6.2% en yenes Institución financiera

10% en dólares

Empresa Y

10% en dólares

Swap de la pregunta de examen 7.3

7.4 U na ta s a sw ap para un vencim iento específico e s e l prom edio d e las tasas fijas d e d em an d a y o ferta que un cread o r d e m ercado e s tá dispuesto a intercam biar por la ta sa L IB O R en un sw ap p la in vanilla estándar con e s e vencim iento. Las frecuencias d e los pagos y las convenciones d e l cálculo d e días en el sw ap estándar considerado varían d e un país a o tro . E n E stados U nidos d e A m érica, los pagos sobre un sw ap estándar son sem estrales y la convención del cálculo de días para co tizar la tasa L IB O R es real/360. La convención del cálculo d e días para co tizar la ta sa fija es usualm ente real/365. La ta sa sw ap para un vencim iento específico e s e l rendim iento a la par L IB O R /jw ap para e se vencim iento.

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1JS E l sw ap im plica intercam biar e l interés e n libras esterlinas d e 20 X 0.10 = 2.0 m illones por e l interés e n dólares d e 30 X 0.06 = $1.8 m illones. L os montos d e l principal tam b ién se intercam bian a l final de la vida d e l swap. El valor del bono e n libras esterlinas subyacente a l sw ap es d e ——T—r H . = £22.182 millones (1.07) ^ (1.07) ^ El valor del bono e n dólares subyacente a l sw ap es d e — — —r-H = $32.061 m illones (1 .0 4 )1/4 (1.04) ^ Por consiguiente, e l valor d e l sw ap para la parte q u e paga e n libras esterlinas es d e 32.061 - (22.182 X 1.85) = - $ 8 .9 7 6 millones El valor d e l sw ap para la parte que paga e n dólares es d e + $ 8 .9 7 6 m illones. L os resultados tam bién se obtienen considerando e l sw ap com o una cartera d e contratos a plazo. L a s tasas d e interés co n tin u a­ m ente com puestas e n libras esterlinas y e n dólares son d e 6 .766% y 3.922% anual, respectivam ente. Los tipos d e cam bio a plazo a 3 y 15 m eses son de 1.85e(0 03922 _006766)xa25 = 1.8369 y i ^ V 0-® ^ 2" 006766) * 1-25 = 1.7854. Por lo tan to , los valores d e los dos contratos a plazo correspondientes al intercam bio d e l interés para la parte q u e paga e n libras esterlinas son (1.8 - 2 X 1 .8369)e"a03922 x 0-25 = -$ 1 .8 5 5 m illones (1.8 - 2 X 1.7854)e_0 03922x 1 25 = -$ 1 .6 8 6 m illones El valor del contrato a plazo corresp o n d ien te a l intercam bio del principal es (30 - 20 X 1.7854)^ _0 03922x 1 25 = -$ 5 .4 3 5 m illones El valor total d e l sw ap es d e - $ 1 .8 5 5 -$ 1 .6 8 6 - $ 5 .4 3 5 = -$ 8 .9 7 6 millones. 7 .6 El riesgo d e crédito surge p o r la posibilidad d e incum plim iento d e la contraparte. E l riesgo d e m erca­ do surge debido a los cam bios en las variables d e m ercado, co m o las tasas d e interés y los tipos d e cam bio. U na com plicación e s q u e e l riesgo d e crédito e n un sw ap depende de los valores d e las varia­ bles d e m ercado. L a posición d e u n a em p resa e n un sw a p tiene riesgo d e crédito sólo cuando e l valor del sw ap es positivo para la em presa. 7.7 La ta s a no e s verdaderam ente fija p o rq u e si la calificació n d e créd ito d e la e m p re sa d ism inuye, no p o d rá renovar sus préstam os d e ta s a variable a la ta s a L IB O R m ás 150 p u n to s base. E n to n ces, aum enta la tasa d e en d eu d am ien to fija eficaz. P o r ejem p lo , su p o n g a q u e e l d iferen cial del teso rero sobre la ta s a L IB O R au m en ta d e 150 a 200 p u n to s b ase. L a ta sa d e en deudam iento a u m en ta d e 5.2% a 5.'

CAPÍTULO 8 8.1 E l inversionista o b tiene una utilidad si e l precio de la acción en la fecha d e vencim iento e s m enor a $37. En e sta s circunstancias, la ganancia o b ten id a p o r ejercer la o p ció n e s m ayor a $3. L a o p ció n se ejercerá si e l precio de la acció n es m enor a $40 a l vencim iento d e la opción. L a variación d e la u tili­ dad del inversionista c o n e l precio d e la acció n se m uestra e n e l diagram a siguiente.

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8 2 El inversionista obtiene una utilidad si e l precio d e la acció n e s m enor a $ 5 4 e n la fecha d e vencim ien­ to. Si e l precio d e la acció n e s m enor a $50, la o p ció n no se ejercerá y e l inversionista o b tien e una u ti­ lidad d e $4. Si e l precio d e la acción e s tá e n tre $50 y $54, la o p ció n se ejerce y e l inversionista o b tie ­ ne u n a utilidad entre $0 y $4. L a variación d e la utilidad del inversionista con e l precio de la acció n se m uestra e n e l diagram a siguiente.

8 3 El beneficio para e l inversionista es —m á x (S j - K, 0 ) + máx(Af - S r 0) É ste e s K - S T en c u alq u ier circunstancia. L a posición d e l inversionista e s igual a u n a posición c o rta en un contrato a plazo c o n un precio de entrega d e K. 8.4 C uando un inversionista co m p ra una opción, debe p ag ar en efectivo por adelantado. No hay posibili­ dad de pasivos futuros y, por consiguiente, no hay necesidad de una cu en ta de m argen. C uando un in­ versionista vende una opción, hay pasivos futuros potenciales, p o r lo q u e se requieren m árgenes com o protección c o n tra e l riesgo d e incum plim iento. 8 3 El 1 de abril se negocian opciones con m eses d e vencim iento en ab ril, m ayo, agosto y noviem bre. El 30 d e m ayo se negocian opciones c o n m eses de vencim iento e n ju n io , julio, ag o sto y noviem bre. 8 .6 El precio d e ejercicio dism inuye a $30 y la o p ció n o to rg a a l ten ed o r el derecho a co m p rar e l doble d e acciones.

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8.7 Las opciones sobre acciones para directivos duran m ucho tiem po (con frecuencia 10 años o más). H ay un periodo d e adquisición de derechos durante el cual las opciones no pueden ejercerse. Si el directivo deja la em presa durante el periodo d e adquisición d e derechos, las opciones se pierden. Si el directivo d e ­ ja la em presa después de q u e term ina e ste periodo, se ejercen inm ediatam ente las opciones in the m oney, en tanto q u e se pierden las opciones oía o fth e m oney. El directivo no puede vender las opciones a otros.

CAPÍTULO 9 9.1 Los seis factores q u e afectan los precios d e las opciones sobre acciones son e l precio de la acción, el precio d e ejercicio, la ta sa d e interés libre d e riesgo, la volatilidad, tiem po a l vencim iento y dividendos. 9 2 El lím ite inferior es 28 - 2 5 e-°-08 x 0 3333 = $3.66 9 3 El lím ite inferior es 15e-0 06 x 008333 -

12 = $2.93

9.4 H retraso del ejercicio retarda el pago del precio de ejercicio. Esto significa que el tenedor de la opción puede ganar intereses sobre el precio d e ejercicio durante un periodo más largo. El retraso del ejercicio también proporciona seguro contra la dism inución del precio de la acción por debajo del precio de ejer­ cicio para la fecha d e vencim iento. A sum a que el tenedor de la opción tiene un m onto d e efectivo K y que las tasas de interés son d e cero. El ejercicio anticipado significa que la posición del tenedor de la opción valdrá S T al vencim iento. El retraso del ejercicio significa que valdrá máx(A', S T) al vencimiento.

9 3 C uando u n a o pción d e venta am ericana se m antiene junto c o n la acción subyacente proporciona segu­ ro. G arantiza q u e la acción pued a venderse a l precio d e ejercicio, K. Si la o p ció n d e venta se ejerce d e m anera anticipada, e l seguro term ina. No o b stan te, el ten ed o r d e la o p ció n recibe e l precio d e ejerci­ cio inm ediatam ente y puede g an ar intereses sobre la o p ció n entre la fecha d e ejercicio anticipado y la fecha d e vencim iento.

9.6 U na o pción d e co m p ra am ericana se ejerce en cualquier m om ento. Si se ejerce, su ten ed o r obtiene el valor intrínseco. Se deduce que una o p ció n d e co m p ra am ericana d e b e valer por lo menos su valor in­ trínseco. U na o pción de co m p ra eu ro p ea puede v aler m enos q u e su valor intrínseco. P o r ejem plo, c o n ­ sidere u n a situación e n la q u e se esp era q u e una acción proporcione un dividendo m uy alto d u ran te la vida d e la opción. El precio de la acción dism in u irá com o co n secu en cia d e l dividendo. C om o la o p ­ ción eu ro p ea puede ejercerse sólo después d e q u e e l dividendo se haya pagado, su valor puede ser m e­ nor q u e su valor intrínseco e l d ía de hoy.

9.7 En e ste caso , c = 1, T = 0.25, S Q = 19, K = 20 y r = 0.04. Con base e n la p a rid a d p u t ca li, p = c + K e - fT - S Q o p = 1 + 2 0 e “ 004 x °-25— 19 = 1.80 efe ta l m odo q u e e l precio de la opción d e venta eu ro p ea e s d e $ 1.80.

CAPÍTULO 10 10.1 U na o pción d e venta protectora co n siste e n una posición larga e n una o p c ió n de venta co m b in ad a con una posición larga e n las acciones subyacentes. E quivale a una posición larga e n una o p ció n de c o m ­ pra m ás cierto m onto d e efectivo. E sto se d ed u ce d e la paridad p ía c a li: p + S Q = c + K e~ rT + D

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102 Un b e a rsp re a d se c re a usando dos opciones de co m p ra con e l mism o vencim iento, pero diferentes p re ­ cios d e ejercicio. E l inversionista vende e n corto la o p c ió n d e co m p ra con e l precio d e ejercicio más bajo y adquiere la o p c ió n d e co m p ra con e l precio d e ejercicio m ás alto. Un bear sp re a d tam bién se crea usando d o s opciones d e venta c o n e l mism o vencim iento, pero diferentes precios d e ejercicio. E n este c a so , e l inversionista vende e n corto la o p ció n de venta con e l precio d e ejercicio m ás bajo y c o m ­ pra la o pción d e venta con el precio d e ejercicio m ás alto. 1 0 3 Un bntterfly sp re a d consiste en una posición e n opciones con tre s diferentes precios d e ejercicio (Áf,, K 2 y K f). Un inversionista d e b e co m p rar un bntterfly sp re a d cuando considere q u e e l precio d e l activo subyacente perm anecerá cerca del precio d e ejercicio c en tral, K2. 10.4 Un inversionista puede crear un b utterfly sp rea d al a d q u irir opciones d e co m p ra con precios d e ejerci­ cio d e $ 15 y $20, y vender dos opciones de co m p ra c o n precios d e ejercicio de $ 17 2 • L a inversión ini­ cial e s d e (4 +

- (2 X 2) = $ \ . L a tabla siguiente m uestra la variación d e las utilidades c o n el

precio final d e la acción: Precio de la acció n , S T S T < 15

U tilidades 1 2

15 < S T < 1 7 i

(S T — 15) — j

\ 1 \ < S T < 20

(2 0 - S T) - I

1

S T > 20

2

1 0 3 Un spread calendario inverso se c re a al co m p rar una o p ció n d e vencim iento a corto plazo y vender una opción de vencim iento a largo plazo, am bas con e l mismo precio d e ejercicio. 1 0 .6 Tanto un straddle com o un strangle se crean por la com binación d e una posición larga e n una opción de co m p ra con una posición larga e n una o p ció n d e venta. E n un straddle, am b as opciones tienen el mismo precio d e ejercicio y fecha d e vencim iento. E n un strangle, las d o s tienen diferentes precios d e ejercicio, pero la m ism a fecha d e vencim iento. 10.7 Un strangle se c re a m ediante la co m p ra d e am b as opciones. E l p atró n d e utilidades es e l siguiente:

Precio d e la acción, S T

U tilidades

S r < 45 4 5 < S T < 50

(4 5 — S r ) — 5

S T > 50

(S r — 5 0 ) — 5

-5

C A P ÍT U L O 11 11.1 C onsidere una cartera q u e consiste en: - 1 : opción d e co m p ra + A : acciones Si e l precio d e la acción sube a $42, la cartera vale 42A - 3. Si e l precio d e la acción baja a $ 3 8 , va­ le 3 8A. É stos son iguales cuando

42A — 3 = 38A

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508

Respuestas a las preguntas d e exam en o A = 0.75. El valor d e la c artera e n un mes e s d e 28.5 para am bos precios d e la acción. Su valor el d ía d e hoy debe ser el valor presente d e 28.5 o 2 8 .5 e“ 0 08>, de un aum ento e n un m undo neutral a l riesgo. Esto d e b e resolver: 42p

+ 38(1 - p ) = 40^08x0.08333

de ta l m anera q u e 4 p = 4 0 e 0 08x0 08333 - 38

o p = 0.5669. E ntonces, e l valor d e la o p ció n e s su beneficio esperado descontado a la ta sa d e interés libre d e riesgo: [3 x 0 .5 6 6 9 + 0 x 0 .4 3 3 1]*- 0 '08“ 0 08333 = 1.69

o $ 1.69. E sto concuerda c o n e l cálculo anterior. 112 En la estrateg ia d e no arbitraje, establecem os u n a c artera libre d e riesgo q u e co n siste e n una posición en la o pción y u n a posición e n la acción. A l establecer e l rendim iento sobre la c artera igual a la ta sa de interés libre d e riesgo, podem os valuar la opción. C uando usam os la valuación neutral al riesgo, pri­ mero elegim os las probabilidades para las ram as d e l árbol, d e m odo que e l rendim iento esperado so ­ bre la acción sea igual a la ta sa d e interés libre d e riesgo. D espués valuam os la o p ció n calculando su beneficio esperado y descontando e ste beneficio esperado a la tasa d e interés libre d e riesgo. 1 1 3 La d e lta d e una o pción sobre una acción mide la sensibilidad d e l precio de la o p ció n al precio d e la a c ­ ción cuando se consideran pequeños cam bios. En fo rm a específica, es la relación entre e l cam b io d e precio d e la o pción sobre una acció n y e l cam b io de precio de la acció n subyacente. 11.4 C onsidere una c artera que consiste en: - 1 : opción d e venta + A: acciones Si el precio d e la acción sube a $55, vale 55A. S i el precio d e la acció n b a ja a $45 dólares, la cartera vale 45A - 5. É stos son iguales cuando 45A - 5 = 55A

o A = - 0 .5 0 . E l valor de la cartera e n un mes e s d e - 2 7 . 5 para los precios d e am bas acciones. Su va­ lor e l d ía d e hoy debe ser el valor presente d e - 2 7 . 5 o - 2 7 . 5 e - a , x a 5 = - 2 6 .1 6 . E sto significa q u e - / + 50 A = - 2 6 .1 6

donde / e s e l precio de la o pció n d e venta. C om o A = - 0 .5 0 , e l precio de la o p ció n de venta e s d e $1.16. C om o estrateg ia alternativa, podem os calcu lar la probabilidad, p , de un aum ento e n un m undo neutral a l riesgo. E sto debe resolver 5 5 / ; + 45(1 - p ) = 50é*°-,x0-5

de m odo q u e 10p = 50eOAxos - 45 o p = 0.7564. E n e ste caso, e l valor d e la o p ció n e s su beneficio esperado descontado a la ta sa d e in­ terés libre de riesgo: [0 X 0 .7 5 6 4 + 5 X 0 .2 4 3 6 ]e _ 0 lx 0 -5 = 1 . 1 6

o $ 1.16. Esto concuerda c o n e l cálculo anterior.

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509

Respuestas a las preguntas d e exam en 11.5 En este c a so , u = 1.10, d = 0.90, A t = 0 .5 y r = 0.08, d e tal m odo q u e. 0.08x0.5 _ Q 9 ()

p = — ~ ----- — 1 .1 0 - 0 .9 0

= 0.7041

El diagram a siguiente m uestra e l áibol correspondiente a las variaciones en el precio de la acción. 121

Á rb o l d e la pregunta d e exam en 11.5

Podem os retroceder desd e e l final hasta e l inicio d e l árbol, co m o se indica e n e l diagram a, para o b te ­ ner el valor de la o pción en $9.61. El valor d e la o p ció n tam bién se c alc u la directam ente con la e c u a ­ ción (11.10): [0 .7 0 4 1 2 x 21 + 2 x 0 .7 0 4 1 x 0 .2 9 5 9 x 0 + 0 .2 9 5 9 2 x O ] X, y X2 = 0.5(X , + X 3). C alce d e d u racion es (D uration m atching) Procedim iento para asegurar e l calce d e las d u racio ­ nes d e activos y pasivos e n u n a institución financiera. Cálculo de d ías (D ay coun t)

C onvención para co tizar tasas d e interés.

C alendar spread (S pread calendario) Posición creada tom ando una posición larga en una opción de com pra q u e vence e n una fecha, y una posición corta en una opción de com pra sim ilar que vence en una fecha diferente. (U n calendar spread tam bién puede crearse usando opciones d e venta). C alendario de festivid ad es C alendario que define los días festivos c o n e l propósito de d eterm i­ nar las fechas de pago e n un swap. C alibración M étodo q u e sugiere los parám etros d e un m odelo a p a rtir de los precios de o p c io ­ nes activam ente negociadas. C alificación de crédito

M edida d e la solvencia d e u n a em isión d e bonos.

C ám ara d e com pensación (C learinghouse) Em presa q u e garantiza e l desem p eñ o de las partes en u n a transacción d e derivados que cotizan e n bolsa. S e conoce tam b ién co m o corporación de com pensación.

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G losario de térm inos

523

Cap de tasa de in terés O pción q u e proporciona un pago cuando una ta sa d e interés específica e s ­ tá por arriba d e cierto nivel. La ta sa d e interés es una ta s a variable q u e se reajusta periódica­ mente. C aplet

C om ponente d e un cap de ta sa d e interés.

C artera d elta n eutral C artera con una delta de cero d e m anera q u e no haya sensibilidad a las p e ­ queñas variaciones d e precio del activo subyacente. C artera gam m a n eu tra l C artera vega n eutral

C artera con un gam m a d e cero.

C artera c o n un vega d e cero.

C D D (Cooling D egree-D ays) G rados a l d ía d e enfriam iento. Valor máximo d e cero y la cantidad por la cual la tem peratura prom edio d iaria e s m ayor a 6 5 ° Fahrenheit. La tem peratura prom edio es e l término m edio entre la tem peratura m áxim a y la m ínim a (de m edianoche a medianoche). C D O (C olíateralized D e b t O bligation)

Vea O bligación d e d e u d a garantizada.

C D O cread a por la venta d e sw a p s de incum plim iento d e crédito.

C D O sin té tic a

C D S (C redit D efault S w a p ) C lase d e opción pecífica.

Vea S w a p d e incum plim iento d e crédito.

Todas las opciones d e l mismo tipo (d e co m p ra o d e venta) sobre una acció n e s ­ Vea Q a s e d e opciones.

C lase d e op cion es

C M O {Co líate ralized M ortgage O blig a tio n) C obertura

Vea O bligación g aran tizad a c o n hipoteca.

Transacción d iseñada para red u cir e l riesgo.

C obertura c o rta

C bbertura e n la q u e se to m a una posición c o rta sobre futuros.

C obertura cru zad a otro activo.

C bbertura de una exposición al precio d e un activo con un contrato sobre

C obertura d elta {Delta hedging) Esquem a de cobertura diseñado para hacer que el precio de una cartera d e derivados sea insensible a las pequeñas variaciones de precio del activo subyacente. C obertura d in ám ica Procedim iento para c u b rir la posición de u n a o p ció n cam biando periódica­ m ente la posición m antenida en los activos subyacentes. P o r lo general, e l objetivo es m an te­ ner una posición delta neutral. C obertura e stá tic a C obertura larga C oberturista

Cobertura que no c am b ia una vez q u e se inicia. C bbertura q u e im plica una posición de futuros a largo plazo.

Persona q u e participa en transacciones d e cobertura.

C ollar de tasa d e in terés

C om binación de un c a p y un flo o r de ta s a d e interés.

C om binación Posición que incluye opciones tanto d e co m p ra com o d e venta sobre e l mismo a c ­ tivo subyacente. C om isión d e C om ercio e n F u tu ros so b re M ercan cías {Com modity Futures Trading C om m ission) O rganism o que regula la negociación d e contratos d e futuros e n E stados Unidos d e América. C om isionistas Individuos q u e ejecutan transacciones para otras personas y cobran u n a com isión por hacerlo. C om posición con tin u a R jrm a de co tizar las tasas d e interés. Es e l lím ite a m edida q u e e l inter­ valo d e com posició n asum ido se vuelve c ad a vez menor. C onfirm ación C ontrato que confirm a el contrato verbal entre dos partes d e u n a tran sacció n e n el m ercado over th e counter.

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Glosario d e térm inos C ontango

Situación e n la q u e e l precio d e los luturos ex ced e al precio sp o t futuro esperado. Lado contrario en una transacción financiera.

C ontraparte

C ontrato a p lazo {Forward contract) C ontrato q u e o b lig a al ten ed o r a co m p rar o vender un a c ­ tivo a un precio d e entreg a predeterm inado e n una fecha futura predefinida. C ontrato d e flo o r y c eilin g

Vea C o lla r de ta sa d e interés.

C ontrato d e fu tu ros C bntrato q u e oblig3 a l ten ed o r a co m p rar o vender un activo a un precio de entrega predeterm inado d u ran te un periodo futuro específico. El contrato se ajusta diariam en­ te al m ercado. C ontrato de futuros sob re eurodólares rodólares.

C ontrato de futuros expedido sobre un depósito e n eu-

C ontrato range fo r w a r d C om binación d e u n a o p ció n d e co m p ra larga y una opción d e venta c o r­ ta, o la com binación d e una o p ció n d e co m p ra corta y una o p ció n d e venta larga. C onvexidad nos.

M edida d e la curvatura en la relación entre los precios y los rendim ientos d e los b o ­

C orredor a com isión Persona que m aneja las órdenes lim itadas en algunas bolsas de valores. P o ­ ne a disposición d e otros negociantes la inform ación sobre las órdenes lim itadas pendientes. C orrelación en tre in cu m p lim ien tos dam ente a l mismo tiempo.

Mide la ten d en cia de dos em presas a incum plir ap ro x im a­

Costo d e m antenim iento Costos d e alm acenam iento, m ás e l co sto d e financiam iento d e un a cti­ vo, m enos e l ingreso ganado sobre e l activo. C ostos d e alm acenam iento

C bstos d e guardado d e u n com m odity.

C ostos d e tran sacción C ostos de llevar a cabo u n a transacción (com isiones, m ás la diferencia e n ­ tre el precio obtenido, y e l punto m edio d e l diferencial de com praventa). C otización m ayor

A um ento d e precio.

C ovarianza M edida d e la relación lineal entre d o s variables (igual a la correlación entre las va­ riables por e l producto d e sus desviaciones estándar). C reador d e m ercado C om erciante dispuesto a co tizar los precios tanto d e dem anda co m o d e oferta de un activo. C upón

fógo d e intereses realizados sobre un bono.

C urva c er o

Vea C urva d e rendim iento c u p ó n cero.

C urva d e rendim iento cu p ó n cero vencim iento. C urva de ren dim ien to C urva L IB O R

Registro de la ta sa d e interés cu p ó n cero frente a l tiem po al

Vea Estructura tem poral d e las tasas d e interés.

Tasas d e interés cu p ó n cero L IB O R e n función d e l vencim iento.

D ecaim iento del tiem p o

Vea Theta.

Déficit esp erad o P érdida esp erad a durante N días, condicionada a que e s té e n la c o la (100 - X)% de la distribución d e ganancias y péiriidas. L a variable N días es e l horizonte tem poral y X % es e l nivel d e confianza. D elta

Tasa d e cam bio d e l precio de un derivado con respecto a l precio del activo subyacente.

D em anda de garantía ad icion al (M argin c a li) Solicitud d e m argen adicional cuando e l sald o de la cuenta d e m argen c a e por d eb ajo d e l nivel del m argen de m antenim iento.

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G losario de térm inos

525

D ensidad d e la probabilidad d e incum plim ien to plim iento e n un periodo corto futuro. D erivado

M ide la probabilidad incondicional d e incum ­

Instrum ento cuyo precio depende o se deriv a del precio de otro activo. Derivado cuyo pago depende de la solvencia d e una o m ás entidades.

D erivado de crédito D erivado del c lim a

Derivado cuyo pago d ep en d e del clim a.

D erivado sob re tasa d e in terés D erivaG em

D erivado cu y o s pagos dependen de las tasas d e interés futuras.

Software q u e a co m p a ñ a a e s te libro.

D esplazam iento paralelo M ovim iento de la cu rv a de rendim iento e n e l q u e cada uno d e sus p u n ­ tos c am b ia e n la m ism a cantidad. D iferencial ajustado a la opción D iferencial d e la c u rv a d e l Tesoro q u e iguala e l precio teórico de un derivado d e tasas d e interés con e l precio d e m ercado. D iferencial d e com praventa (B id a sk sp rea d )

Vea D iferencial d e d em an d a y o ferta.

D iferencial d e dem an da y oferta (B id o fe r spread) al precio d e dem anda. D istribución im p lícita ciones.

M onto en e l q u e e l precio de o fe rta excede

D istribución del precio futuro de un activo im plícito de los precios de o p ­

D istribución logarítm ica n orm al U na variable tiene u n a distribución logarítm ica norm al c u an ­ do e l logaritm o d e la variable tiene u n a distribución norm al. D istribución n orm al D ividendo

D istribución estadística están d ar e n form a de cam pana.

Pago en efectivo realizado al propietario de una acción.

D ividendo en a ccio n es

Dividendo pagado e n form a de acciones adicionales.

D uración M edida de la vida prom edio d e un bono. Tam bién e s u n a aproxim ación a la razón e n ­ tre e l cam bio proporcional d e l precio del bono y e l cam bio absoluto de su rendim iento. D uración m od ificad a M odificación d e la m edida d e d u ració n estándar, d e m anera que d escrib a con m ayor exactitud la relación e n tre los cam bios proporcionales del precio d e un bono y los cam bios absolutos d e su rendim iento. L a m odificación to m a e n c u en ta la frecuencia d e c o m ­ posición c o n q u e se co tiza e l rendim iento. Ejercicio anticipado

E jercicio realizado antes d e la fecha d e vencim iento.

E m isión con derechos de su scrip ció n E m isión de un título para los accionistas existentes, que les otorga e l derecho a co m p rar nuevas acciones a cierto precio. E ntidad de referen cia Em presa por la que se obtiene protección c o n tra e l incum plim iento de p a ­ go p o r m edio de un CDS. E sp ecialista Persona responsable d e gestionar las ó id en es lim itadas en algunas bolsas d e valores. El especialista no pone a disposición d e otros negociantes la inform ación sobre las órdenes li­ m itadas pendientes. E sp eculad or

C om erciante que m antiene posiciones d u ran te un periodo m uy corto.

E sp eculad or Persona q u e to m a una posición e n e l m ercado. Por lo gen eral, ap u esta a q u e e l p re ­ c io d e un activo su b irá o bajará. E structura tem p oral d e la volatilidad cim iento.

Variación d e la volatilidad im plícita en e l tiem po a l ven­

E structura temporal d e la s tasas d e interés

Relación entre las tasas de interés y sus vencimientos.

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Glosario d e térm inos

52 6

E urodivisa em isor.

D ivisa q u e e s tá fuera d e l co n tro l form al d e las au to rid ad es m o n etarias d e l país D ólar q u e se conserva e n un banco ubicado fuera d e Estados Unidos d e América.

E urodólar

E W M A (E xp onentially W eighted M o vin g A vera g e) Expedición de un a opción E xposición

M ed ia m óvil p o nderada exp o n en cialm en te.

Venta d e una opción.

Pérdida m áxim a por e l incum plim iento d e una contraparte.

Factor d e conversión le c to r que se usa para determ in ar e l núm ero de bonos que se deben e n tre ­ gar e n e l contrato de futuros sobre bonos de la B olsa d e C om ercio d e C hicago. FAS (Financial A ccounting Standard)

N orm as d e co n tab ilid ad financiera.

FASB (F inancial A c co u n tin g Standards B oard)

C o n se jo d e norm as d e co n tab ilid ad financiera.

Fecha d e reaju ste Rscha en un sw a p , cap o flo o r , e n la q u e se establece la ta s a variable para el siguiente periodo. Fecha d e vencim iento

Fin de la vida d e un contrato.

Fecha ex-dividendo C uando se d eclara un dividendo, se especifica una fecha ex-dividendo. Los inversionistas que poseen acciones inm ediatam ente antes d e la fecha ex-dividendo reciben el dividendo. F lo o r de tasa de in terés O pción q u e proporciona un pago cuando una tasa d e interés e s tá por d e ­ bajo d e cierto nivel. La ta sa d e interés es una ta s a variable q u e se reajusta periódicam ente. F lo o rlet

C om ponente d e un floor.

Frecuencia d e com p osició n

D efine cóm o se m ide una ta sa d e interés.

Fbnción d e distribución acu m u lativa ción d e x.

fro b ab ilid ad de q u e u n a variable sea m enor q u e x en fun­

Función d e prepago Función q u e calcu la e l prepago del principal sobre una cartera d e hipotecas en térm inos de otras variables. Funcionario del libro de órd en es Fhturos so b r e bonos del T esoro Fhturos so b r e índice bursátil Fbturos so b r e ín d ices

C bntrato d e futuros sobre bonos d e l Tesoro. Futuros sobre un índice accionario.

C bntrato de futuros sobre un índice bursátil o sobre o tro índice.

Fhturos so b r e n otas del T esoro G am m a

Vea C orredor a com isión.

C ontrato d e futuros sobre notas del Tesoro.

Tasa d e cam bio d e d e lta con respecto a l precio del activo.

G anancias al inicio lor teórico.

G an an cia generada por la v enta de un derivado e n un precio m ayor a su va­

H D D (Heating D egree-D ays) G rados a l d ía de calentam iento. V alor m áxim o d e cero y la c an ti­ dad por la cual la tem peratura prom edio d ia ria e s m enor a 6 5 ° Fahrenheit. La tem p eratu ra p ro ­ m edio e s e l térm ino m edio e n tre la tem p eratu ra m áxim a y la m ínim a (d e m edianoche a m ed ia­ noche). H ipótesis de lo s m ercados eficien tes la inform ación relevante. ín d ice accion ario

H ipótesis según la cual los precios d e los activos reflejan

índice que d a seguim iento al valor de una cartera de acciones.

Inducción h a c ia atrás Procedim iento e n e l que se tra b a ja a p artir del final y h a cia e l principio a lo largo de un árbol, para valuar una opción.

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527

G losario de térm inos

Inm unización de c a rter a H ace que una cartera sea relativam ente insensible a las tasas d e inte­ rés. (Tam bién se co n o ce co m o calce d e dura cio n es). Instrum ento de descu en to

Instrum ento, co m o una letra del Tesoro, q u e no proporciona cupones.

Interés abierto Total d e posiciones largas abiertas e n un contrato d e futuros (igual al total d e p o ­ siciones cortas). Interés acum ulado

Interés ganado sobre un b ono d e sd e la últim a fecha d e pago d e cupón.

Interm ediario fin anciero Banco u o tra institución financiera que facilita e l flujo d e fondos e n ­ tre diferentes entidades d e la econom ía. Investigación em p írica

Investigación basada en datos de m ercado históricos.

IO (Interest O nly) Título respaldado p o r hipotecas e n el q u e e l ten ed o r recibe únicam ente los flu ­ jo s d e efectivo d e los intereses sobre e l fondo d e hipotecas subyacente. Juego d e com odín (W ild c a r d p la y ) D erecho a entregar un contrato de futuros a l precio d e cierre du ran te cierto periodo d esp u és d e l cierre de la negociación. K urtosis

M edida de la densidad de las colas de una distribución.

L E A P S (Long-term E q u ity A nticipation Securities) Valores d e an ticip ació n d e capital a largo p la ­ zo. O pciones d e plazo relativam ente largo sobre acciones individuales o índices accionarios. L etra del T esoro Instrum ento a corto plazo sin cu p ó n que em ite e l gobierno d e Estados Unidos d e A m érica p a ra financiar su deuda. L etras griegas

Parám etros d e co b ertu ra com o d elta, gam m a, vega, th e ta y rho.

L IB ID (London Interbank B id rate) Tasa d em an d ad a p o r los bancos sobre depósitos en eu ro d ivisas (es decir, tasa a la q u e un b an co e stá dispuesto a p edir prestado a otros bancos). L IB O R (London Interbank O ffered R a te ) Tasa o frecid a p o r los bancos sobre depósitos e n e u ro divisas (es decir, ta sa a la q u e un banco e stá dispuesto a prestar a otros bancos). L ím ite d e ejercicio N úm ero máximo d e opciones q u e pueden ejercitarse en una bolsa d e valores en un periodo de cinco días. L ím ite d e p osición Posición m áxim a que un co m ercian te (o grupo d e com erciantes q u e actúan ju ntos) tiene perm itido m antener. L iquidación en efectivo Procedim iento para liquidar un contrato de futuros e n efectivo, en vez d e en treg ar e l activo subyacente. L ocales O peradores d e piro d e una bolsa d e valores q u e negocian p o r su p ro p ia cu en ta en vez d e hacerlo para alguien más. M apeo d e flu jos d e efectivo R o ced im ien to para representar un instrum ento com o una cartera d e bonos c u p ó n cero , con e l propósito d e calcu lar e l v alor e n riesgo. M argen

Saldo d e c aja (o depósito de garantía) requerido a un co m ercian te de futuros u opciones.

M argen de com pensación

M argen anunciado p o r un m iem bro de u n a cám ara d e com pensación.

M argen d e m antenim iento C uando e l saldo de la c u en ta d e m argen d e un com erciante cae por d ebajo d e l nivel d e l m argen de m antenim iento, el co m ercian te recibe u n a d em an d a d e g aran ­ tía adicional que requiere q u e la c u en ta se increm ente al nivel d e l m argen inicial. M argen d e variación M argen adicional requerido para que el saldo de una cu en ta de m argen se increm ente a l nivel del m argen inicial cuando haya una dem anda de g aran tía adicional. M argen inicial

Efectivo q u e un co m ercian te d e futuros requiere al m om ento d e la transacción.

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Glosario d e térm inos

Raíz enésima del producto de n números.

M edia g eo m étric a

M ercado inverso norm al {Norm al backw ardation) Situación e n la que e l precio de futuros está por d e b ajo del precio sp o t futuro esperado. M ercado en e l que los precios de los futuros dism inuyen con su vencim iento.

M ercado invertido M ercado n orm al

M ercado en el q u e los precios de futuros aum entan con su vencim iento.

M ercado over th e c o u n te r (M ercado no inscrito en la bolsa) M ercado e n q u e los com erciantes negocian por teléfono. P o r lo com ún, los com erciantes son instituciones financieras, co rp o ra­ ciones y adm inistradores d e fondos. M étodo bootstrap (m étodo d e rem uestreo) Procedim iento para calcu lar la cu rv a de rendim iento cupón cero a p a rtir d e datos d e m ercado. M étodo d e varianza covarian za variables d e m ercado.

M étodo que m uestra las varianzas y covarianzas e n tre diversas

M odelo binom ial M odelo e n el q u e se vigila e l precio de un activo durante c o ito s periodos su ­ cesivos. En c ad a periodo corto se asum e q u e únicam ente pueden o c u rrir d o s variaciones d e precio. M odelo B lack-Scholes M odelo para valuar opciones europeas sobre acciones, desarrollado por Fischer B lack, M yron Scholes y R obert M erton. M odelo d e B lack A m pliación del m odelo B lack-Scholes para valuar opciones europeas sobre contratos d e futuros. M odelo d e m edia m óvil p on derad a exponencialm en te M odelo que u sa la ponderación expo­ nencial para proporcionar pronósticos de u n a variable a p a rtir de d a to s históricos. E n o c asio ­ nes se aplica a la varianza d ia ria e n los cálculos del valor e n riesgo. M odelo de m ercado

M odelo usado com únm ente p o r los com erciantes.

M odelo d e valuación d e activos de ca p ita l un activo con su beta. M ovim iento lím ite de negociación.

M odelo que relaciona e l rendim iento esperado sobre

C am bio d e precio m áxim o q u e perm ite la bolsa d e valores e n u n a sola sesión

M undo n eutral al riesgo M undo en e l q u e se supone que los inversionistas no requieren un re n ­ dim iento adicional e n prom edio para acep tar riesgos. N egociación electrón ica Sistem a d e negociación e n el que se usa u n a com putadora para relacio­ nar a com pradores y vendedores. N ivel d e reversión Nivel al q u e e l valor d e u n a variable d e m ercado (p o r ejem plo, una tasa d e in­ terés) tiende a revertirse. Nota del T esoro Vea Bono del T esoro. años).

(Las notas d e l T esoro tienen vencim ientos m enores a 10

O bligación d e d eu d a gara n tiza d a R jrm a d e em paquetar e l riesgo d e crédito. Se crean varias d a se s d e títulos a p artir d e una c artera de bonos y h a y reglas q u e determ inan cóm o se asignan los incum plim ientos a las clases. O bligación garantizada con h ip oteca (C M O ) T ítulo respaldado por una hipoteca e n el cual los inversionistas se divicfen en clases; existen reglas para d eterm in ar cóm o se canalizan los pagos del principal a las clases. O C C (O ptions Clearing C orporation)

Vea C ám ara de com pensación.

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G losario de térm inos O pción

529

Eterecho a co m p rar o vender un activo. O pción q u e se ejecuta en cualquier m om ento d e la vida de la opción.

O pción am erican a

O pción arco iris ( Rainbow option) O pción as y o u l ik e i t

Opción cuyo pago depende d e dos o m ás variables subyacentes.

Vea O pción chooser (opción d e elección).

O pción asiá tica O pción cuyo pago d ep en d e del precio prom edio del activo subyacente d u ran te un periodo específico. O pción at th e n io n e y cente. O pción berm uda

O pción en la q u e e l precio d e ejercicio e s igual al precio d e l activo su b y a­

O pción que puede ejercitarse e n fechas específicas durante la vida de la opción.

O pción b in aria O pción con un pago discontinuo; p o r ejem plo, u n a o p ció n cash o r n o th in g o asset o r nothing. O pción c h o o s e r O pción en la q u e e l tenedor tiene e l derecho a e leg ir si es u n a o p ció n d e co m p ra o de venta, en algún m om ento d u ran te la vida d e la opción. O pción com pu esta

O pción sobre u n a opción.

O pción con b arrera O pción cuyo pago depende d e si la tray ecto ria d e l activo subyacente ha a l­ canzado cierto valor (es decir, un nivel predeterm inado). O pción d e can asta tivos.

O pción q u e proporciona un pago que depende d e l valor de una cartera d e a c ­

O pción de co m p ra

O pción para com prar un activo a cierto precio en una fecha específica.

O pción de com p ra a s s e t o r n o t h i n g O pción q u e proporciona un pago igual a l precio del activo si é ste excede a l precio d e ejercicio; de lo contrario, e l pago e s igual a cero. O pción d e co m p ra c a s h o r n o t h i n g O pción que proporciona un pago fijo predeterm inado si el precio final del activo ex ced e e l precio d e ejercicio; d e lo contrario, el pago e s igual a cero. O pción d e com p ra cu b ierta Posición c o rta e n una opción d e co m p ra sobre un activo, junto con una posición larga en el activo. O pción d e com pra de precio prom edio O pción que proporciona un pago igual a cero, o al monto en el que el precio prom edio del activo exceda al precio de ejercicio; cualquiera que sea mayor. O pción de divisas

O pción sobre un tipo d e cam bio.

O pción d e precio d e ejercicio prom edio O pción que proporciona un beneficio, e l cual depende d e la diferen cia entre e l precio final del activo y e l precio prom edio del mismo. O pción de ven ta

O pción para vender un activo a cierto precio en una fecha específica.

O pción de ven ta c s s e t o r n o t h i n g O pción q u e proporciona un pago igual a l precio del activo si éste e s tá por debajo del precio d e ejercicio; de lo contrario, e l pago e s igual a cero. O pción de venta c a s h o r n o t h in g O pción que proporciona un pago fijo predeterminado si el precio final del activo está por debajo del precio de ejercicio; de lo contrario, el pago es igual a cero. O pción d e venta de precio prom edio O pción q u e proporciona un pago igual a cero , o al m onto en el q u e e l precio d e ejercicio ex ced a al precio prom edio del activo; cu alquiera q u e sea m a­ yor. O pción de venta d e p rotección subyacente.

O pción d e venta com binada con una posición larga e n e l activo

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Glosario d e térm inos O p d ón down a n d in O pción q u e se c re a cuando e l precio del activo subyacente dism inuye a un nivel predefinido. O pción down a n d o u t O pción q u e d e ja d e ex istir cuando e l precio del activo subyacente dism i­ nuye a un nivel predefinido. O pción eu rop ea O pción ex ó tica

O pción q u e p u ed e ejercitarse únicam ente a l final d e la vida d e la opción. O pción q u e no es estándar.

O pción flexib le O pción q u e se negocia e n una bolsa d e valores e n térm inos diferentes a los de las opciones estándar negociadas e n e s a bolsa. O pción jb rw a rd s ta r t íiituro.

O pción d iseñada de ta l m anera q u e e sté a¡ th e m o n e y en alg ú n m om ento

O pción in the m on ey a) O pción de co m p ra e n la q u e el precio del activo e s m ayor q u e e l precio de ejercicio o b) O pción d e venta e n la q u e e l precio d e l activo e s m enor q u e el precio d e ejer­ cicio. O pción q u e e s una parte inseparable de otro instrum ento.

O pción in tercalad a

O pción lookback (R etroactiva) O pción cuyo pago depende del precio m áxim o o m ínim o d e l a c ­ tivo q u e se logró durante cierto periodo. O pción oscilan te (Swing o p tio n ) O pción de en erg ía e n la q u e la ta sa de consum o debe e sta r e n ­ tre un nivel m ínim o y m áxim o. P o r lo general hay un límite e n las veces q u e e l ten ed o r d e la opción puede cam b iar la ta sa de consum o de la energía. O pción out o f th e m on ey a) O pción de co m p ra e n la q u e e l precio d e l activo es m enor q u e e l p re ­ cio d e ejercicio o b) O pción d e venta en la que e l precio d e l activo e s m ayor q u e e l precio d e ejercicio. O pción path depen den t O pción cuyo pago depende d e to d a la evolución d e la variable subyacen­ te, no sólo d e su valor final. O pción real O pción que involucra bienes inm uebles (en contraposición a activos financieros). Los bienes inm uebles incluyen la tieiTa, la planta y la m aquinaria. O pción sh ou t O pción e n la q u e e l te n ed o r tiene e l derecho de asegurar un valor m ínim o del pag3 en algún m om ento d e su vida. O pción sin tética

O pción cread a por la negociación del activo subyacente.

O pción sob re a cción

O pción sobre una acción ordinaria. O pción e n la q u e un bono e s e l activo subyacente.

O pción sob re b on o O pción sob re fu tu ros

O pción sobre un contrato d e futuros.

O pción sob re ín d ice b u rsátil O pción sob re ín d ices

O pción sobre un índice accionario.

C ontrato d e opciones sobre un índice bursátil o sobre o tro índice.

O pción so b r e spread de crédito O pción cuyo pago depende d e la diferencia e n tre los rendim ien­ tos ganados sobre d o s activos. O pción sob re tasas de interés O pción take a n d p a y O pción up a n d in predefinido.

O pción e n la que el pago depende del nivel de las tasas de interés.

Vea O pción oscilante.

O pción que se c re a cuando e l precio d e l activo subyacente au m en ta a un nivel

O pción up a n d o u t O pción q u e d e ja de ex istir cuando el precio d e l activo subyacente aum enta a un nivel predefinido.

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G losario de térm inos

531

O pciones so b r e acciones p ara directivos O pción sobre acciones q u e em ite una em presa sobre su p ro p ia acción y q u e proporciona a sus directivos co m o parte d e su rem uneración. O rden lim ita d a Orden q u e se ejecu ta únicam ente a un precio específico o a uno m ás favorable para e l inversionista. Pago (B eneficio) d a d e éste.

E fectivo que recibe e l tenedor d e u n a o p ció n o de otro derivado a l final d e la vi­

P aq u ete Derivado q u e e s una c artera d e opciones están d ar de co m p ra y d e venta, co m b in ad a p o ­ siblem ente con una posición en contratos a plazo y e l activo mismo. Paridad p u t - c a l l R elación entre e l precio de u n a o p ció n d e co m p ra eu ro p ea y e l precio d e una opción de venta europea cuando tienen e l mismo precio d e ejercicio y fecha de vencim iento. P érdida e n la c o la P iso

Vea D éficit esperado.

Vea F loor de ta sa d e interés. Térm ino q u e se usa para d escrib ir una negociación estándar.

Plain van illa

P O (P rincipal O nly) Título respaldado p o r hipotecas e n q u e e l ten ed o r recib e sólo los flujos d e efectivo del principal sobre la c artera d e hipotecas subyacente. Ponderación exponencial M odelo d e ponderación e n e l que e l peso dado a una o b serv ació n d e ­ pende d e q u é tan reciente sea ésta. El peso dado a una observación hace i periodos e s A veces el peso dado a una observación h a ce i -1 periodos, d o n d e A < 1. Posición corta

P osición q u e im plica la venta d e un activo.

Posición d escu b ierta Posición c o rta e n u n a o p ció n de co m p ra q u e no se co m b in a con una posi­ ción larga e n e l activo subyacente. Posición larga

Posición q u e im plica la co m p ra de un activo.

Precio a p lazo d e cero.

Precio de entrega e n un contrato a plazo q u e hace q u e e l contrato tenga un valor

Precio d e dem anda (precio d e com pra)

Precio q u e un agente e stá dispuesto a pagar por un activo.

Precio d e ejercicio Precio al que e l activo subyacente p u ed e com prarse o venderse e n un c o n tra ­ to d e opciones. Tam bién se d en o m in a precio strike. Precio de en treg a plazo.

Precio acordado (posiblem ente e n algún m om ento pasado) e n un contrato a

Precio de fu turos

Precio de entrega aplicable actu alm en te a un contrato de futuros.

Precio d e liq u id ació n Prom edio de los precios e n que se negocia un contrato d e futuros inm e­ diatam ente antes de que la cam p an a indique e l cierre d e las negociaciones d e un día. Se u sa en los cálculos d e ajuste al m ercado. Precio de o fe r ta

Precio q u e un agente ofrece para vender un activo.

Precio de ven ta (A sk price, A sk ed p rice )

Vea Precio d e oferta.

Precio lim pio del b on o Precio cotizado d e un bono. El precio e n efectivo q u e se paga p o r el b o ­ no (o precio sucio) se calcu la sum ando e l interés acum ulado a l precio limpio. Precio spot

Precio para e n tre g a in m ed iata

Precio strike Precio al q u e se co m p ra o vende e l activo en un contrato d e opciones. Se co n o ce tam bién com o precio d e ejercicio. Precio s u d o del b on o

Precio en efectivo d e un bono.

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Glosario d e térm inos P rim a

Precio de una opción.

Prim a d e liq u id ez M onto en que las tasas d e interés a plazo exceden a las tasas d e interés d e c o n ­ tado futuras esperadas. Prin cip al

\fclor a la p a r o nom inal d e un instrum ento d e deuda.

Principal nocional (Principal ficticio) Principal q u e se u sa para calcu lar los pagos e n un sw ap de tasas d e interés. El principal es “nocional” (ficticio) porque no se paga n i se recibe. Procedim iento num érico

M étodo para valuar una o p ció n cuando no hay una fórm ula disponible.

Pruebas d e l im pacto d e los m ovim ientos extrem os del m ercado en el valor de

Pruebas d e e stré s un cartera.

Punto b a se C uando se usa para d escrib ir una ta s a d e interés, un punto base e s la centésim a p a r­ te d e un punto porcentual ( = 0.01 por ciento). Q uanto D erivado cuyo pago lo definen las variables relacionadas con u n a divisa, pero q u e se re a ­ liza e n o tra divisa. Razón d e cobertura R azón e n tre e l tam año de u n a posición e n un instrum ento d e co b ertu ra y el tam año d e la posición q u e se e s tá cubriendo. R eequilibrio fro ceso que co n siste e n aju star u n a posición d e negociación periódicam ente. Por lo general, e l propósito e s m antener la neutralidad delta. R endim iento

G an an cia que proporciona un instrum ento.

R endim iento a la p a r

C u p ó n d e un bono q u e iguala su precio c o n e l principal.

R endim iento de con ven ien cia M edida d e los beneficios d e la propiedad de un activo q u e no o b ­ tiene el ten ed o r d e un contrato d e futuros largo sobre e l activo. R endim iento d e d ividendos

El dividendo, com o un p o rcentaje del precio de u n a acción.

Rendim iento del bono Tasa de descuento que, cuando se aplica a todos los flujos de efectivo de un bono, hace que el valor presente de los flujos de efectivo sea igual al precio d e mercado del bono. R epo (A cuerdo d e recom pra) Procedim iento para a d q u irir dinero e n préstam o p o r m edio d e la venta d e títulos a una contraparte, acordando readquiririos después a un precio ligeram ente m ás alto. Resultado cuya respuesta tiene la fo rm a d e una ecuación.

R esultado analítico R etroceso

Vea Inducción h a cia atrás.

R eversión a la m edia (M ean reversión) T endencia d e u n a variable d e m ercado (com o una ta sa d e interés) a regresar a cierto nivel prom edio a largo plazo. R ho (letra griega)

Tasa d e cam bio del precio d e un derivado con respecto a la tasa d e interés. Vea Riesgo no sistem ático.

R iesgo asistem ático

R iesgo d e b a se R iesgo para un co b ertu rista q u e surge d e la incertidum bre a ce rc a d e la base en un m om ento futuro. R iesgo d e crédito Riesgo d e su frir u n a pérdida debido al incum plim iento d e la contraparte e n una transacción de derivados. R iesgo d e liq u id ez Riesgo d e q u e no sea posible vender una te n en c ia d e un instrum ento e sp e c í­ fico a su precio teórico. R iesgo no sistem ático R iesgo sistem ático

R iesgo q u e puede diversificarse.

Riesgo q u e no puede diversificase.

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G losario de térm inos

533

SE C (Securities a n d Exchange C om m ission)

C om isión d e Valores y Bolsa.

Seguro de ca rtera R ealización d e transacciones para asegurar q u e e l valor d e u n a c artera no d is­ m inuya por d ebajo d e cierto nivel. Serie de o p cio n es cim iento. Sim ulación

Todas las opciones d e cierta c lase c o n igual precio d e ejercicio y fecha d e ven­

Vea Sim ulación M onte Cario.

Sim ulación h istó rica

Sim ulación basada e n datos históricos.

Sim ulación M onte C ario Procedim iento para realizar un m uestreo aleato rio d e los cam bios d e las variables de m ercado c o n e l propósito d e valuar un derivado. Sonrisa d e volatilidad S p lit

Variación de la volatilidad im plícita en e l precio d e ejercicio.

C onversión d e c ad a acció n o rd in aria existente e n m ás de una nueva acción.

S p rea d diagonal Posición en dos opciones de co m p ra e n las q u e tanto los precios d e ejercicio c o ­ mo los tiem pos al vencim iento son diferentes (Tam bién p u ed e crearse un sp rea d diagonal con opciones d e venta). S tra d d le Posición larga en una o p ció n d e co m p ra y una o p ció n d e venta con e l mismo precio d e ejercicio. S tra n g le Posición larga e n una o p ció n de co m p ra y u n a o p ció n d e venta c o n diferentes precios d e ejercicio. S tra p Posición larga en d o s opciones de co m p ra y u n a o p ció n d e venta c o n e l mismo precio d e ejercicio. S trip Posición larga e n u n a o p ció n d e co m p ra y dos opciones de venta con e l mismo precio de ejercicio. Subasta a viva voz Sistem a de negociación en e l que los com erciantes se reúnen e n e l piso d e la bolsa d e valores. Superficie d e volatilidad Tabla q u e m uestra la variación d e la volatilidad im plícita e n e l precio de ejercicio y e l tiem po a l vencim iento. Supuesto de no arb itraje m ercado.

Supuesto d e q u e no hay oportunidades d e arb itraje en los precios d e

S w a p Cbntrato para intercam biar flujos de efectivo en e l futuro de acuerdo c o n u n a fórm ula preestablecida. S w a p a p lazo

Vea S w ap diferido.

S w a p acum ulado (.A c c m a l sw ap) S w ap de tasas d e interés en e l q u e e l interés se acum ula en un lado sólo si se c u m p le cierta condición. S w a p am ortizable Sw ap cuyo principal n ocicnal (ficticio) dism inuye d e m anera predeterm inada con e l paso d e l tiem po. S w a p am ortizable indexado S w a p cancelab le

Vea S w ap efe principal indexado.

S w ap que p u ed e ser cancelado por una de las partes e n fechas predefinidas.

S w ap de accion es (eq u ity sw a p ) Sw ap en e l q u e el retorno sobre una cartera d e acciones se inter­ cam bia por u n a ta sa d e interés fija o variable. S w a p de b a se Sw ap en e l q u e los flujos de efectivo determ inados por una tasa d e referen cia flo ­ tante se intercam bian por flujos d e efectivo determ inados p o r otra ta sa d e referencia flotante.

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Glosario d e térm inos S w ap en el q u e los flujos de efectivo dependen d e l precio d e un com m odity.

Sw ap d e com m odity Sw ap d e c o m p o sic ió n

S w ap en e l que e l interés se com pone en vez d e pagarlo.

Sw ap de d iv is a s Sw ap en e l q u e e l interés y e l principal e n u n a divisa se intercam bian por e l in­ terés y e l principal e n o tra d iv isa Sw ap d e in c u m p lim ie n to d e c ré d ito Instrum ento que d a al ten ed o r e l derecho a vender un bono a su valor nom inal, e n caso d e incum plim iento d e parte d e l emisor. Sw ap d e in c u m p lim ie n to d e c ré d ito b in a rio Instrum ento q u e tiene un pago fijo e n dólares en caso d e incum plim iento de una em p resa específica. Sw ap d e in c u m p lim ie n to d e c ré d ito d e c a n a s ta hay varias entidades d e referencia.

Sw ap d e incum plim iento d e crédito e n e l que

Sw ap de p rin c ip a l in d e x a d o S w ap en e l que e l principal dism inuye c o n e l paso del tiem po. La dism inución d e l principal e n una fecha de pago depende d e l nivel d e las tasas d e interés. Sw ap d e re n d im ie n to to ta l Sw ap en el q u e el rendim iento sobre un activo, co m o un bono, se in­ tercam bia p o r la ta sa L IB O R m ás un spread. El rendim iento sobre e l activo incluye ingresos, com o cupones y e l cam b io en el valor d e l activo. Sw ap de ta s a s d e in te ré s Intercam bio d e una ta sa d e interés fija sobre cierto principal nocional (ficticio) por una ta s a d e interés variable sobre e l m ism o principal nocional (ficticio). Sw ap d e v encim iento c o n s ta n te (C M S, Constara M a tu rity S w a p ) Sw ap en el q u e se intercam bia una ta s a sw ap por u n a ta sa fija o una ta sa variable e n c ad a fecha de pago. Sw ap d e v o la tilid a d S w a p en e l que la volatilidad p roducida durante un periodo d e acum ulación se intercam bia p o r una volatilidad fija. Ambas volatilidades porcentuales se aplican a un prin­ cipal nocional (ficticio). Sw ap d ife re n c ia l Sw ap en el que u n a tasa variable e n u n a divisa se intercam bia por una ta sa va­ riable en o tra divisa, y am bas tasas se aplican al m ism o principal. Sw ap d ife rid o C bntrato p a ra ingresar e n un sw ap en algún m om ento futuro. Tam bién se le deno­ m ina forw a rd swap. Sw ap L IB O R in arrea rs S w ap en e l q u e la ta sa L IB O R o bservada en una fecha se paga en e sa fecha, e n vez d e hacerlo en un periodo de acum ulación posterior. Sw ap p ro rro g a b le

Sw ap cuya vida puede prolongarse a elección de una de las partes del contrato.

Sw ap re d im ib le (Puttable sw a p ) antes d e su vencim iento. Swap step u p tiempo.

Sw ap en e l q u e una de las partes tiene e l derecho d e concluirlo

Sw ap en e l q u e e l principal au m en ta d e m anera predeterm inada con e l paso del

Sw aption O pción para e n tra r e n un sw ap efe tasas d e interés e n e l q u e se intercam bia u n a ta sa fi­ ja específica por una ta sa variable. Tíisa a c o rto p la z o

Tasa d e interés que se ap lica a un periodo m uy corto.

Tasa a p la z o {Forward rate) sas cero de hoy. Tasa c e ro

Tasa d e interés para un periodo futuro q u e e stá im plícita e n las ta ­

Vea Tasa d e interés cu p ó n cero.

Tasa d e d e sc u e n to R endim iento anualizado e n dólares sobre u n a letra d e l Tesoro o un instrum en­ to similar, expresado co m o un p o rcentaje d e l valor nom inal final.

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G losario de térm inos

535

Tása d e interés a plazo (Forward interest rate) Tasa d e interés para un periodo futuro q u e e stá im plícita e n las tasas d e m ercado vigentes e l d ía d e hoy. ■Risa d e interés cupón cero pones.

Tasa d e interés que se g an aría sobre un bono que no proporciona c u ­ Tasa de interés sobre un depósito en eurodólares.

■Risa d e interés sob re eurodólares Tása d e interés sp o t

Vea Tasa d e interés cu p ó n cero.

Tása d e riesgo (Hazard rate) M ide la probabilidad d e incum plim iento e n un periodo corto con la condición de q u e no haya un incum plim iento anterior. H cuadrado de la volatilidad.

Tása de varian za Tása fija

Tasa que perm anece constante con e l paso del tiem po. Vea Tasa a corto plazo.

Tása lib re de riesgo a corto p la zo Tása libre de riesgo

Tasa de riesgo q u e se g a n a sin a su m ir ningún riesgo.

Tása m áxim a

Tasa q u e determ ina los pagos en un cap de tasa d e interés.

Tása m ín im a

Tasa d e un contrato flo o r de ta s a d e interés.

Tása sw ap

Tasa fija e n un sw a p de tasas d e interés que hace q u e e l sw ap tenga un valor d e cero.

Tása variab le

Tasa q u e cam b ia con e l paso d e l tiempo.

T écnica d e la variable d e control un procedim iento num érico.

T écnica q u e se usa en ocasiones p a ra m ejorar la exactitud d e

Téoría d e la preferencia por la liq u id ez T eoría q u e lleva a la con clu sió n d e q u e las tasas d e in­ terés a plazo exceden a las tasas d e interés d e contado futuras esperadas. Téoría d e la segm en tación del m ercado T eoría q u e establece q u e e l m ercado determ ina las ta ­ sas d e interés a c o ito plazo d e m anera independiente respecto d e las tasas d e interés a largo plazo. Tfeoría d e la s exp ectativas T eoría según la cual las tasas d e interés a plazo equivalen a las tasas de interés d e contado futuras esperadas. T h eta (letra griega) tiem po.

Tasa d e cam b io del precio d e u n a o p ció n o d e otro derivado con e l paso del

Tipo d e cam bio a plazo {Forward exchange rate)

Precio a plazo d e una unidad d e divisa.

T ítulo respaldado por h ip o te ca s T ítulo que d a derecho a l propietario d e participar e n los flujos de efectivo obtenidos d e una cartera d e hipotecas. Tram o Uno d e varios títulos q u e tienen diferentes características d e riesgo. C om o ejem plos e s ­ tá n los tram os d e u n a CDO o d e u n a CM O. T ran sa cc ió n d e sp re a d

Posición e n d o s o m ás opciones del m ism o tipo.

Transacción en e l m ism o d ía {D ay tradé)

T ransacción q u e se in icia y se cierra e n e l m ism o día.

Transacción por com p u tad ora ITocedim iento e n e l que las transacciones se generan au to m áti­ cam ente p o r m edio d e u n a co m p u tad o ra, y se transm iten a l pisa d e operaciones de una bolsa de valores. Valor a la p a r

M anto principal d e un bono.

Valor condicional e n riesg o (C-VaR) Valor en riesgo

Vea D éficit esperado.

Pérdida q u e no ex ced erá a cierto nivel de confianza específico.

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Glosario d e térm inos Valor esperado d e un a v ariab le Valor prom edio d e la variable que se o b tien e ponderando los valores alternativos por sus probabilidades. V ílor intrínseco En e l caso de una opción de com pra, e l valor que sea m ayor entre e l excedente del precio del activo sobre e l precio d e ejercicio y cero. E n e l caso d e una o p ció n d e venta, el valor q u e sea m ayor e n tre el excedente del precio d e ejercicio sobre e l precio del activo y cero. Valor tem p oral W o r d e una opción q u e se origina del tiem po que le resta a l vencim iento (igual al precio de u n a o pció n m enos su v alor intrínseco). Valor term inal

Valor a l vencim iento.

Valuación neutral a l riesgo Valuación de una o p ció n o de otro derivado, asum iendo q u e e l m un­ do e s neutral al riesgo. La valuación neutral al riesgo proporciona e l precio correcto de un d e ­ rivado e n todos los m undos, no sólo e n un m undo neutral al riesgo. Variable determ inística

Variable cuyo valor futuro se conoce.

Variable esto cá stica

Variable cuyo valor futuro e s incierto.

Variable su b yacen te

Variable d e la q u e d ep en d e e l precio d e una o p ció n o d e otro derivado.

Vega

Tasa d e cam bio del precio d e una o p ció n o d e o tro derivado con volatilidad.

Vfenta en corto

\fenta e n el m ercado d e accicnes tom adas e n préstam o de otro inversionista.

Vblatilidad ./Tal N om bre dado a la volatilidad que se usa para valuar un cap cuando se utiliza la m ism a volatilidad para c ad a caplet. Volatilidad h istó rica

Vblatilidad estim ad a a p a rtir d e datos históricos.

Vblatilidad im p lícita V olatilidad im plícita del precio d e una o p ció n usando e l m odelo BlackScholes o uno sem ejante. Vblatilidad

M edida de la incertidum bre del rendim iento obtenido sobre un activo.

Vblatilidades sp o t Vblatilidades q u e se usan para valuar un cap cuando se utiliza u n a volatilidad diferente para c ad a caplet. W hrrant O pción em itid a por una em p resa o u n a institución financiera. C on frecuencia, las e m ­ presas em iten w arrants de co m p ra sobre su p ro p ia acción.

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Software DerivaGem

El softw are q u e aco m p añ a a este libro e s D erivaG em para Excel, versión 1.51.01. R equiere M icro­ soft W indows 9 8 ,2 ,0 0 0 , W indows NT 4 , W indow s M E , W indow s X P o versiones posteriores, y E x ­ cel 2000, 2002, 2003 o versiones m ás recientes. El softw are contiene tre s archivos: D G 151.dll, D G 1 5 1.01.xls y DG151.01 functions.xls. Para instalarlo, c re e una carpeta con e l nom bre D eriva­ G em (o algún otro nom bre de su elección) y guarde en e lla los archivos D G 1 5 1.01.xls y D G 151.01 iunctions.xls. G uarde e l archivo D G 151.dll e n la c arp eta W indow s\System s, W IN N T \S ystem 32, o W indow s\System 32.1 Los usuarios d e E xcel 2000 d eb en asegurarse q u e e l nivel d e Seguridad d e macros e s té insta­ lado e n M edio o B ajo. En E x cel, haga click e n Tools (H erram ientas), d esp u és e n M acros y poste­ riorm ente e n Secu rity (Seguridad) para cam b iar e l nivel. Al usar el softw are, p u ed e te n er la opción de habilitar m acros. H aga clic e n Enable M acros (H abilitar m acros). Las actualizaciones del softw are se pueden descargar d e l sitio W eb del autor: h t t p : / / w w w . r o t m a n . u t o r o n t o .c a / _ h u l l

El softw are consta de dos partes: la C alculadora d e opciones (D G 1 5 1.01 .xls) y e l C reador de a p li­ caciones (DG151.01 functions.xls). Ambas partes requieren q u e D G 151.dll se cargue e n e l direc­ torio W indow s\System s, W IN N T \System 32 o W indow s\System 32. A los nuevos usuarios se les aco n seja inciar con la C alculadora de O pciones.

C A L C U L A D O R A D E O P C IO N E S D G 1 5 1.0 l.xls es una calculadora d e opciones fácil d e usar q u e co n sta d e tres hojas d e cálculo. La pri­ m era se usa para realizar cálculos de opciones sobre acciones, opciones sobre divisas, opciones sobre índices y opciones sobre futuros; la segunda se utiliza para opciones europeas y americanas sobre bo­ nos, y la tercera se em plea para opciones europeas sobre ca p s,flo o rs y swaps.

1 O b serv e q u e n o e s ra ro q u e W indow s E x p lo re r s e in stale s in q u e s e m u e stren lo s arc h iv o s *.