Inequações dos 1º e 2º graus

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Matemática Inequações dos 1º e 2º graus Objetivos Apresentar os símbolos de desigualdade e mostrar como resolver as inequações de 1º e 2º graus apresentadas nos problemas. Se liga Para essa aula, é importante que você saiba como resolver equações de 1º e 2º graus (estudar apenas as partes das equações) e, também, o estudo do sinal das funções afim e quadrática (caso não seja direcionado, pesquise por "Equações e Inequações de 1º e 2º Grau", “Função Afim” e “Função quadrática: estudo do sinal e problemas de máximo e mínimo”, respectivamente, na biblioteca). Curiosidade Você sabia que os símbolos de < e > foram criados por volta de 1580? Seu criador foi um matemático e astrônomo inglês: Thomas Harriot. Ele também foi o primeiro a tentar mapear a Lua.

Teoria Introdução Nós sabemos que muitos de vocês não sabem a diferença entre equação e função, certo? Então vamos começar aprendendo essa diferença. Equações X funções O conceito de equação é toda sentença que apresenta uma igualdade (=). Por exemplo, 3x + 2 = 5, em que x = 1 é a solução da equação, ou seja, esse é o valor que torna a sentença verdadeira. Já função é uma relação específica entre dois números x e y. Por exemplo, y = x + 1 é uma função; mas, se fixarmos um valor para x ou y , teremos uma equação. Ou seja: ● y = x + 1 é uma função. ● 2 = x + 1 é uma equação.

Inequações As inequações se destacam por possuir os sinais > (maior que), < (menor que), ≥ (maior ou igual que) e ≤ (menor ou igual que); e, diferentemente das equações, a solução é um intervalo. Em outras palavras, em geral, as inequações possuem infinitas soluções.

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Matemática Por exemplo, lembra de que falamos que 2 = x + 1 era uma equação? Agora, 2 > x + 1 é uma inequação! Quais valores de x fazem essa sentença ser verdadeira? 2 > x + 1 2– 1 > x 1 > x x < 1 Ou seja, a sentença é verdadeira desde que x seja menor do que 1. Faça o teste! Obs.: repare que a inequação nos pede somente que x + 1 seja menor que 2, ou seja, x = 1 faz com que x + 1 seja exatamente igual a 2, o que não é o caso pedido, então x = 1 não é uma resposta para a inequação. Se a inequação tive pedido que x + 1 fosse menor ou igual a 2, então x = 1 seria uma resposta. Fique ligado nisso!

Inequação do 1º grau Resolvemos inequações do primeiro grau muito parecidamente com equações do primeiro grau, como vimos no exemplo anterior. Só precisamos tomar cuidado ao multiplicarmos a inequação por -1, pois, nesse caso, invertemos o sinal da inequação, como no exemplo abaixo: −x + 1 < 0 − x < −1 x > 1

Inequações do 2º grau Para resolvermos inequações do segundo grau, precisamos fazer um esboço da função quadrática e fazer o estudo dos sinais, ou seja, analisar onde a função é positiva, negativa ou igual a 0. Na análise dos sinais da função quadrática, são as raízes que delimitam os intervalos nos quais a função é positiva ou negativa, então o primeiro passo é encontrar as raízes! A partir daí, de acordo com os sinais de ∆ e de a, escolhe-se o esquema adequado para descrever o sinal da função.

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Matemática

Só precisamos tomar cuidado ao multiplicarmos a inequação por -1, pois, nesse caso, invertemos o sinal da inequação, como no exemplo abaixo: − x² + 1 < 0 x²– 1 > 0

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Matemática Exercícios de fixação 1.

Qual o conjunto-solução da inequação x + 4 > 0? a) x > −4 b) x > 4 c) x < −4

2.

Qual o conjunto-solução de 3x + 1 ≤ 2x + 3? a) x < 2 b) x ≤ 2 c) x < −2 d) x ≤ −2

3.

Qual o conjunto-solução da inequação x² + 2x − 3 ≤ 0?

4.

Seja f(x) uma função quadrática que tem ∆ > 0 e a > 0 e raízes x1 = 1 e x2 = 2, marque a alternativa para quais valores de x, f(x) ≥ 0. a) 1 ≤ x ≤ 2 b) 0 ≤ x ≤ 1 c) x ≤ 1 ou x ≥ 2 d) x < 1 ou x > 2

5.

Resolva a inequação: x+2 +x≤x+5 2 a) ∅ b) x ≥ 8 c) x≤ 5 d) x ≤ 8

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Matemática Exercícios de vestibulares

1.

O gerente de um estacionamento, próximo a um grande aeroporto, sabe que um passageiro que utiliza seu carro nos traslados casa-aeroporto-casa gasta cerca de R$ 10,00 em combustível nesse trajeto. Ele sabe, também, que um passageiro que não utiliza seu carro nos traslados casa-aeroporto-casa gasta cerca de R$ 80,00 com transporte. Suponha que os passageiros que utilizam seus próprios veículos deixem seus carros nesse estacionamento por um período de dois dias. Para tornar atrativo a esses passageiros o uso do estacionamento, o valor, em real, cobrado por dia de estacionamento deve ser, no máximo, de a) R$ 35,00. b) R$ 40,00. c) R$ 45,00. d) R$ 70,00. e) R$ 90,00.

2.

O pacote de salgadinho preferido de uma menina é vendido em embalagens com diferentes quantidades. A cada embalagem é atribuído um número de pontos na promoção: “Ao totalizar exatamente 12 pontos em embalagens e acrescentar mais R$ 10,00 ao valor da compra, você ganhará um bichinho de pelúcia”. Esse salgadinho é vendido em três embalagens com as seguintes massas, pontos e preços:

A menor quantia a ser gasta por essa menina que a possibilite levar o bichinho de pelúcia nessa promoção é a) R$ 10,80. b) R$ 12,80. c) R$ 20,80. d) R$ 22,00. e) R$ 22,80.

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Matemática 3.

Uma empresa de comunicação tem a tarefa de elaborar um material publicitário de um estaleiro para divulgar um novo navio, equipado com um guindaste de 15 m de altura e uma esteira de 90 m de comprimento. No desenho desse navio, a representação do guindaste deve ter sua altura entre 0,5 cm e 1 cm, enquanto a esteira deve apresentar comprimento superior a 4 cm. Todo o desenho deverá ser feito em uma escala 1 ∶ X. Os valores possíveis para X são, apenas, a) X > 1500. b) X < 3000. c) 1500 < X < 2250. d) 1500 < X < 3000. e) 2250 < X < 3000.

4.

O setor de recursos humanos de uma empresa pretende fazer contratações para se adequar ao artigo 93 da Lei no. 8.213/91, que dispõe: Art. 93. A empresa com 100 (cem) ou mais empregados está obrigada a preencher de 2% (dois por cento) a 5% (cinco por cento) dos seus cargos com beneficiários reabilitados ou pessoas com deficiência, habilitadas, na seguinte proporção: I. até 200 empregados . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2%; II. de 201 a 500 empregados . . . . . . . . . . . . . .3%; III. de 507 a 1 000 empregados . . . . . . . . . . . . 4%; IV. de 1 001 em diante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5%. Disponível em: www.planalto.gov.br. Acesso em: 3 fev. 2015.

Constatou-se que a empresa possui 1200 funcionários, dos quais 10 são reabilitados ou com deficiência, habilitados. Para adequar-se à referida lei, a empresa contratará apenas empregados que atendem ao perfil indicado no artigo 93. O número mínimo de empregados reabilitados ou com deficiência, habilitados, que deverá ser contratado pela empresa é: a) 74. b) 70. c) 64. d) 60. e) 53.

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Matemática 5.

A capacidade de um reservatório de água é maior que 250 litros e menor que 300 litros. O número x de litros que há nesse reservatório satisfaz à inequação: x + 1 < 127 2 Assinale a alternativa que apresenta quantos litros de água há nesse reservatório. a) 250. b) 251. c) 252. d) 253. e) 255.

6.

Um clube tem um campo de futebol com área total de 8000 m², correspondente ao gramado. Usualmente, a poda da grama desse campo é feita por duas máquinas do clube próprias para o serviço. Trabalhando no mesmo ritmo, as duas máquinas podam juntas 200 m² por hora. Por motivo de urgência na realização de uma partida de futebol, o administrador do campo precisará solicitar ao clube vizinho máquinas iguais às suas para fazer o serviço de poda em um tempo máximo de 5 h. Utilizando as duas máquinas que o clube já possui, qual o número mínimo de máquinas que o administrador do campo deverá solicitar ao clube vizinho? a) 4. b) 6. c) 8. d) 14. e) 16.

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Matemática 7.

O gráfico a seguir mostra a evolução mensal das vendas de certo produto de julho a novembro de 2011.

Sabe-se que o mês de julho foi o pior momento da empresa em 2011 e que o número de unidades vendidas desse produto em dezembro de 2011 foi igual à média aritmética do número de unidades vendidas nos meses de julho a novembro do mesmo ano. O gerente de vendas disse, em uma reunião da diretoria, que, se essa redução no número de unidades vendidas de novembro para dezembro de 2011 se mantivesse constante nos meses subsequentes, as vendas só voltariam a ficar piores que julho de 2011 apenas no final de 2012. O diretor financeiro rebateu imediatamente esse argumento mostrando que, mantida a tendência, isso aconteceria já em: a) janeiro; b) fevereiro; c) março; d) abril; e) maio.

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Matemática

8.

Conforme regulamento da Agência Nacional de Aviação Civil (Anac), o passageiro que embarcar em voo doméstico poderá transportar bagagem de mão, contudo a soma das dimensões da bagagem (altura + comprimento + largura) não pode ser superior a 115 cm. A figura mostra a planificação de uma caixa que tem a forma de um paralelepípedo retângulo.

O maior valor possível para x, em centímetros, para que a caixa permaneça dentro dos padrões permitidos pela Anac é a) 25. b) 33. c) 42. d) 45. e) 49.

9.

Uma padaria vende, em média, 100 pães especiais por dia e arrecada com essas vendas, em média, R$ 300,00. Constatou-se que a quantidade de pães especiais vendidos diariamente aumenta, caso o preço seja reduzido, de acordo com a equação: q = 400 – 100p Na qual q representa a quantidade de pães especiais vendidos diariamente e p, o seu preço em reais. A fim de aumentar o fluxo de clientes, o gerente da padaria decidiu fazer uma promoção. Para tanto, modificará o preço do pão especial de modo que a quantidade a ser vendida diariamente seja a maior possível, sem diminuir a média de arrecadação diária na venda desse produto. O preço p, em reais, do pão especial nessa promoção deverá estar no intervalo: a) R$ 0,50 ≤ p < R$ 1,50 b) R$ 1,50 ≤ p < R$ 2,50 c) R$ 2,50 ≤ p < R$ 3,50 d) R$ 3,50 ≤ p < R$ 4,50 e) R$ 4,50 ≤ p < R$ 5,50

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Matemática 10. O HPV é uma doença sexualmente transmissível. Uma vacina com eficácia de 98% foi criada com o objetivo de prevenir a infecção por HPV e, dessa forma, reduzir o número de pessoas que venham a desenvolver câncer de colo de útero. Uma campanha de vacinação foi lançada em 2014 pelo SUS, para um público-alvo de meninas de 11 a 13 anos de idade. Considera-se que, em uma população não vacinada, o HPV acomete 50% desse público ao longo de suas vidas. Em certo município, a equipe coordenadora da campanha decidiu vacinar meninas entre 11 e 13 anos de idade em quantidade suficiente para que a probabilidade de uma menina nessa faixa etária, escolhida ao acaso, vir a desenvolver essa doença seja, no máximo, de 5,9%. Houve cinco propostas de cobertura, de modo a atingir essa meta: Proposta I: vacinação de 90% do público-alvo; Proposta II: vacinação de 55,8% do público-alvo; Proposta III: vacinação de 88,2% do público-alvo; Proposta IV: vacinação de 49% do público-alvo; Proposta V: vacinação de 95,9% do público-alvo. Para diminuir os custos, a proposta escolhida deveria ser também aquela que vacinasse a menor quantidade possível de pessoas. Disponível em: www.virushpv.com.br. Acesso em: 30 ago. 2014 (adaptado)

A proposta implementada foi a de número a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V.

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Matemática Gabaritos Exercícios de fixação 1.

A Resolvendo a inequação, temos x+4>0 x > −4

2.

B 3x + 1 ≤ 2x + 3 3x − 2x ≤ 3 − 1 x≤2

3.

x² + 2x − 3 ≤ 0 (x + 3)(x − 1) ≤ 0 Fazendo o estudo do sinal, temos

Temos, então, para (x + 3)(x − 1) ≤ 0 −3 ≤ x ≤ 1 4.

C Temos que ∆ > 0 e a > 0, isso nos diz que é uma parábola com a concavidade voltada para cima e que corta o eixo x em dois pontos, que são x1 = 1 e x2 = 2. Portanto temos uma parábola:

Portanto, os valores de x para que f(x) ≥ 0, são x ≤ 1 ou x ≥ 2 5.

D Resolvendo a inequação, temos x+2 +x≤x+5 2 x+2 +x−x≤5 2 x+2 ≤5 2 x + 2 ≤ 10 x ≤ 10 − 2 x≤8

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Matemática Exercícios de vestibulares 1.

A Seja v o valor cobrado por dia no estacionamento, para que o usuário prefira deixar seu carro no estacionamento pode dias, deve-se ter 2v + 10 ≤ 80 → v ≤ R$ 35,00 Portanto, o valor deve ser no máximo R$ 35,00.

2.

C Sejam x, y e z, respectivamente, o número de embalagens de 50 g, o número de embalagens de 100 g e o número de 200 g que serão compradas. Queremos encontrar a terna (x, y, z) tal que a soma S = 2x + 3,6y + 6,4z + 10 seja mínima e 2x + 4y + 6z = 12. Por inspeção, concluímos que, dentre as ternas: (6, 0, 0), (0, 3, 0), (0, 0, 2), (4, 1, 0), (3, 0, 1), (2, 2, 0) e (1,1,1), a que satisfaz simultaneamente as duas condições é a (0, 3, 0), com S = 3 ∙ 3,6 + 10 = R$ 20,80.

3.

C Primeiro, passaremos de metros para centímetros, então, sendo 15 m = 1500 cm e 90 m = 9000 cm, temos 1 ∙ 9000 > 4 → X < 2250 X E a outra condição é que 1 1 < ∙ 1500 < 1 → 1500 < X < 3000 2 X Analisando as duas condições, como X < 2250, então teremos que X estará entre 1500 < X < 2250

4.

E Seja n o número de empregados reabilitados ou com deficiência, habilitados, que será contratado. Logo, deve-se ter n + 10 ≥ 0,05 ∙ (n + 1200) ⬄ 0,95 ∙ n ≥ 50 ⬄ n ≥ 52,6 Portanto, a resposta é 53.

5.

B Resolvendo a inequação temos: x x 2 254 + 1 < 127 → + < → x + 2 < 254 2 2 2 2 x < 252 Como a capacidade está 250 < c < 300 e achamos x < 252, então podemos concluir que: x = 251 litros

6.

D Seja n o número de máquinas que o administrador do campo deverá solicitar ao clube vizinho, se duas máquinas juntas podam 200 m², então cada máquina poda 100 m² sozinha. Assim, deve-se ter (n + 2) ∙ 100 ∙ 5 ≥ 8000 ⬄ n ≥ 14 Portanto, como queremos o valor mínimo de n, segue que a resposta é 14.

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Matemática 7.

D A média de julho a novembro é igual a 700 + 2500 + 2500 + 2800 + 2700 11200 = = 2240 5 5 A redução verificada de novembro para dezembro de 2011 foi de 2700 – 2240 = 460 unidades. Logo o número de unidades vendidas n meses após novembro é dado por Q(n) = − 460n + 2700 Queremos calcular o menor número inteiro n para o qual se tem Q(n) < 700. Assim, temos −460n + 2700 < 700 ⬄ n > 4,34 Portanto, segue que n = 5, e a resposta é abril de 2012.

8.

E De acordo com a figura, tem-se que a altura da caixa mede 24 cm. Além disso, a largura mede 90 – 2 ∙ 24 = 42 cm. Daí, o comprimento x, em centímetros, deve ser tal que 0 < x + 42 + 24 ≤ 115 ↔ 0 < x ≤ 49 Portanto, o maior valor possível para x, em centímetros, é 49.

9.

A A receita r obtida com a venda dos pães é dada por r = p(400 – 100p). Logo queremos calcular o valor de p tal que r ≥ R$ 300,00 e a quantidade q seja máxima. Assim, temos p(400 – 100p) ≥ 300 p2 − 4p + 3 ≤ 0 Fazendo o estudo do sinal, temos que: 1 ≤ p ≤ 3 A quantidade q é máxima quando p é mínimo, portanto segue que p = 1. Portanto, o intervalo será R$ 0,50 ≤ p < R$ 1,50.

10. A Seja p o percentual da população vacina, e supondo que para os 2% em que a vacina é ineficaz ainda há 50% de probabilidade de infecção, temos 0,2 ∙ 0,5 ∙ p + 0,5 ∙ (1 − p) ≤ 0,059 ↔ 0,49p ≥ 0,441 ↔ p ≥ 0,9 Portanto, a proposta implementada foi a I.

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