GA - Cap. 1 e 2

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Notas de aula de Geometria Analítica Prof. Jaime Velasco (IME/UERJ) E-mail: [email protected]

Ementa. Vetores no espaço. Produtos interno, vetorial e misto. Retas no espaço. Planos. Distâncias. Coordenadas Polares. Translação e rotação de eixos. Cônicas: elipse, hipérbole e parábola. Superfícies Quádricas. Referências. • Paulo Boulos, Ivan de Camargo. Geometria Analítica: um tratamento vetorial. Ed. Pearson. • Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle. Geometria Analítica. Ed. Pearson. Datas das provas. Primeira Prova: 20/04/2021

Segunda Prova: 21/05/2021

Prova de Reposição: 28/05/2021

Prova Final: 01/06/2021

Término do Semestre: 09/06/2021 Horário para dúvidas. Às terças e sextas, após nossas  aulas.    Se NF ≥ 7, 0, então Aprovado; P 1 + P2 Cálculo da Média. Nota Final: NF = .  2   Se NF < 4, 0, então Reprovado. Se 4, 0 ≤ NF < 7, 0, faz-se a ProvaFinal (PF ).    Se MF ≥ 5, 0, então Aprovado; NF + PF Média Final: MF = .  2   Se NF < 5, 0, então Reprovado. Só poderão fazer a Prova de Reposição aqueles que faltarem à P1 ou à P2 .

1

Preliminares Neste capítulo, apresentamos algumas definições básicas e notações que são utilizadas ao longo de todo o texto. Fixemos uma unidade de comprimento a ser utilizada ao longo de todo o curso. Definimos R2 como o conjunto de todos os pares ordenados de números reais, isto é,

R2 = {(x, y) | x, y ∈ R}.

Como cada par pertencente ao conjunto acima é ordenado, temos que os pares (1, 3) e (3, 1), por exemplo, são distintos. Definimos um eixo como uma reta para a qual se estabelece algum sentido de percurso.

Agora, fixemos um plano qualquer α no espaço, e tomemos dois eixos perpendiculares r e s, que se intersectam em um ponto denominado O. Temos que existe uma correspondência biunívoca (isto é, uma bijeção) entre α e R2 (relativa ao par de eixos r e s fixados) associando cada ponto P ∈ α a um único par ordenado (x, y) (e vice-versa, associando cada par ordenado (x, y) a um único ponto P em α). 2

a

Os valores x e y são denominados coordenadas de P (em relação aos eixos fixados), e dizemos que eles são a abscissa e a ordenada de P , respectivamente. Nesse caso, escrevemos P = (x, y). Mas atenção! Não lemos uma igualdade nessa expressão, e devemos interpretá-la como “O ponto P possui coordenadas x e y.”. Um ponto não é igual a um par ordenado; um ponto é representado por um par ordenado. O eixo r é denominado de eixo das abscissas, e por esse motivo, a partir de agora, será denominado de eixo x. Por sua vez, o eixo s é o eixo das ordenadas, sendo portanto denominado por eixo y. Notamos que tais eixos são caracterizados por

eixo x = {(x, 0) ∈ R2 | x ∈ R}

e

eixo y = {(0, y) ∈ R2 | y ∈ R}.

O ponto O é chamado de origem e seu par de coordenadas é (0 , 0). Façamos agora uma discussão semelhante à anterior para o espaço como um todo. Primeiramente, definimos R3 = {(x, y, z) | x, y, z ∈ R}. Consideremos três eixos r , s e t dois a dois perpendiculares, e que se intersectam em um ponto O. Temos que existe uma correspondência biunívoca entre o espaço e R3 (relativa ao terno de eixos r, s e t fixados) associando cada ponto P do espaço a um único terno ordenado (x, y, z) (e vice-versa, associando cada terno ordenado (x, y, z) a um único ponto P no espaço).

3

a

Os valores x, y e z são denominados coordenadas de P (em relação aos eixos fixados), e dizemos que eles são a abscissa, a ordenada e a cota de P , respectivamente. Nesse caso, escrevemos P = (x, y, z). Novamente, atenção! Esta expressão deve ser interpretada como “O ponto P possui coordenadas x, y e z.”. Do mesmo modo que antes, temos que o eixo r é denominado de eixo das abscissas, e por esse motivo, será simplesmente denominado de eixo x, e o eixo s é o eixo das ordenadas, sendo portanto denominado por eixo y. Por sua vez, o eixo t é denominado de eixo das cotas, sendo denominado de eixo z. Notamos que tais eixos são caracterizados por

eixo x = {(x, 0, 0) ∈ R3 | x ∈ R} ,

eixo y = {(0, y, 0) ∈ R3 | y ∈ R}

e

eixo z = {(0, 0, z) ∈ R3 | z ∈ R}. O ponto O é chamado de origem e seu terno de coordenadas é (0, 0, 0). O plano xy é o plano determinado pelos eixos x e y e é caracterizado por:

αxy = {(x, y, 0) ∈ R3 | x, y ∈ R}.

De modo análogo, os planos xz e yz são os planos determinados pelos eixos x e y, e y e z, respectivamente, e são caracterizados por:

4

αxz = {(x, 0, z) ∈ R3 | x, z ∈ R}

e αyz = {(0, y, z) ∈ R3 | y, z ∈ R}.

Esses três planos são chamados de planos coordenados. Observação 0.1. Dado qualquer ponto P = (x, y, z), o comprimento do segmento OP pode ser p calculado por x2 + y 2 + z 2 .

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Capítulo 1 Vetores no espaço Neste capítulo, apresentamos o conceito de vetor. A primeira seção é dedicada às primeiras definições e às propriedades básicas dos vetores. Na Seção 2.2, definimos a soma e o produto de um número real por um vetor, bem como suas propriedades. Por fim, na Seção 2.3, estabelecemos a noção de coordenadas de um vetor em uma base específica.

1.1

Definições

Sejam A e B dois pontos no espaço. O segmento de reta AB é dito orientado quando se estipula um sentido específico de percurso para ele, estabelecendo que A é sua origem e que B é sua extremidade final. Representamos geometricamente um segmento orientado por uma seta (ou flecha). B AB A

Convencionamos que {A} também é um segmento, nomeado por AA, e dizemos que ele é um segmento nulo. Observamos que, se A e B são distintos, então os segmentos orientados AB e BA

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são distintos, pois não têm a mesma orientação. Dois segmentos orientados são ditos equipolentes quando ambos forem nulos, ou, caso contrário, quando eles possuírem mesmos: • módulo, isto é, quando têm mesmo comprimento; • direção, isto é, quando as retas que os contêm são iguais ou paralelas distintas; • sentido, isto é, eles “apontam para o mesmo lado1 ”.

Figura 1.1: Segmentos orientados equipolentes Todos os segmentos nulos são equipolentes entre si. Notamos ainda que: • todo segmento orientado é equipolente a si mesmo; • se um segmento orientado é equipolente a um segundo, então este é equipolente ao primeiro; • se um segmento orientado é equipolente a um segundo, e este é equipolente a um terceiro, então o primeiro é equipolente ao terceiro.2 Notamos ainda que, dado qualquer segmento orientado, sempre existem infinitos segmentos orientados que são equipolentes a ele.

1

Para uma definição precisa de segmentos orientados de mesmo sentido, consultar Boulos e Camargo. Essas três características indicam que a equipolência de vetores é uma relação de equivalência definida no conjunto de todos os segmentos orientados. 2

7

Exemplo 1.1. a Os segmentos orientados ao lado têm mesmo módulo mas não são equipolentes, pois não possuem mesma direção.

Exemplo 1.2. Suponhamos que os segmentos AB e CD abaixo sejam paralelos. B

C

Temos que AB e CD possuem mesmos módulo e direção, mas não são equipolentes, pois não têm mesmo sentido. A

D

Exemplo 1.3. Consideremos o seguinte paralelepípedo. H

G

E

F

C

D A

B

Os segmentos orientados AE, BF , CG e DH são equipolentes. Além disso, os segmentos orientados EB e HC também são equipolentes. Porém, AE e EB não são equipolentes, pois não têm mesma direção. H

G

E

F

C

D A

B

8

−→ Dado um segmento orientado AB qualquer, definimos o vetor AB como o seguinte conjunto: −→ AB = {XY | XY é equipolente a AB}. −→ Em outros termos, o vetor AB é definido como o conjunto constituído por todos os segmentos orientados que são equipolentes a AB. Cada um dos segmentos orientados pertencentes a esse con−→ junto é dito um representante do vetor AB. Como todo segmento orientado é equipolente a si mesmo, −→ temos que o próprio AB é um representante do vetor AB. Além disso, todo vetor possui infinitos representantes. No Exemplo 1.3, os segmentos orientados AE, BF , CG e DH são representantes do mesmo −→ vetor AE. Quando não interessar qual segmento orientado representa um dado vetor, o denotamos simples− mente por uma letra minúscula latina acrescida do suprafixo “→”. Por exemplo, → v. − O módulo de um vetor → v é definido como o módulo de qualquer um de seus representantes, e é − − denotado por |→ v | (ou k→ v k). Sendo assim, o módulo de um vetor é sempre um valor não negativo. − − Dizemos que → v é unitário quando seu módulo valer 1, isto é, quando |→ v | = 1. Dois vetores têm mesmo módulo (respectivamente, mesma direção ou mesmo sentido) quando seus representantes têm mesmo módulo (respectivamente, mesma direção ou mesmo sentido). Dois vetores são iguais quando os segmentos orientados que os representam forem equipolentes. Em outras palavras, dois vetores são iguais quando eles têm mesmos módulo, direção e sentido. No −→ −−→ −→ −−→ Exemplo 1.3, os vetores AE, BF , CG e DH são iguais. −→ O vetor AA (representado pelos segmentos nulos) é chamado de vetor nulo, e também é denotado → − por 0 . −→ −→ − − Dado um vetor → v = AB , dizemos que o vetor BA é o oposto (ou o simétrico) de → v eo

9

− denotaremos por −→ v . Ou seja: −→ −→ − −AB = −→ v = BA. Dois vetores são paralelos (também ditos colineares) quando eles têm a mesma direção. Em outras −→ − −−→ − palavras, os vetores → u = AB e → v = CD são paralelos quando as retas que contêm os segmentos − − AB e CD forem iguais ou paralelas. Nesse caso, denotamos → u //→ v . Em ambas as figuras a seguir, − − temos que → u //→ v. → − u

→ − u

→ − v

→ − v

− Observação 1.4. Dados quaisquer vetor → v e ponto C no espaço, sempre existe um representante de → − v com origem em C. → − v

→ − v

C

−→ − − − − Dizemos que três vetores → u ,→ v e → w são coplanares quando, ao escrevê-los da forma → u = AB, −→ − −−→ → − v = AC e → w = AD (isto é, ao representar os três com a mesma origem), os pontos A, B, C e D pertencerem a um mesmo plano. Notamos que dois vetores são sempre coplanares. C D

B A

Observação 1.5. Para que três vetores sejam coplanares, basta que se encontrem três representantes (um de cada vetor) que estejam contidos em um mesmo plano.

10

Exemplo 1.6. Consideremos o paralelepípedo abaixo. H

G

E

F

C

D A

B

−→ −→ −−→ Os vetores AB, AC e AD são coplanares, pois os pontos A, B, C e D são coplanares (note que esses três vetores já estão representados na mesma origem). H

G

E

F

C

D A

B

−→ −−→ −−→ −−→ −→ −→ Os vetores AC, AD e HG também são coplanares, pois HG = AB e já observamos que AB, −→ −−→ AC e AD são coplanares. Porém, cabe ressaltar que os segmentos orientados AC, AD e HG não são coplanares. H

G

E

F

C

D A

B

−→ −→ −−→ −−→ Os vetores AB, AC e DH não são coplanares. Com efeito, primeiramente notamos que DH = −→ AE. Além disso, os pontos A, B, C e E não são coplanares, pois o único plano que contém os pontos A, B e C é o plano que contém o paralelogramo ABCD, e o ponto E não pertence a esse plano.

11

H

G

E

F

C

D A

B

−→ − −→ − − − Dados dois vetores → u = AB e → v = AC , definimos o ângulo entre os vetores → u e → v como − − o menor ângulo formado pelos segmentos AB e AC. Denotemos esse ângulo por ∠(→ u ,→ v ). Vale − − sempre que 0◦ ≤ ∠(→ u ,→ v ) ≤ 180◦ .

→ − v

A

− − ∠(→ u,→ v) → − u

C

C

C

→ − v B

A

→ − v

− − ∠(→ u,→ v) → − u

B

− − ∠(→ u,→ v) A

→ − u

B

−→ −−→ Exemplo: No paralelogramo ABCD abaixo, vamos determinar ∠(AB, BC). D

C

120◦ A

B

Para determinar o ângulo entre tais vetores, devemos representá-los na mesma origem. Como −−→ −−→ −→ −−→ −→ −−→ BC = AD , temos que ∠(AB, BC) = ∠(AB, AD) = 60◦ (pois ângulos adjacentes de um paralelogramo são sempre suplementares). D

C

120◦

60◦ A

B

12

Observação 1.7. a a) Dois vetores não nulos formam ângulo de 0◦ se, e somente se, eles forem paralelos com mesmo −→ − −→ − sentido. Na figura a seguir, os vetores → u = AB e → v = AC formam um ângulo nulo. → − v A

→ − u

C

B

b) Dois vetores não nulos formam ângulo de 180◦ se, e somente se, eles forem paralelos com −→ − −→ − sentidos opostos. Na figura a seguir, os vetores → u = AB e → v = AC formam um ângulo de 180◦ . 180◦ B

→ − u

A

→ − v

C

− − c) Dois vetores → u e→ v são ortogonais quando o ângulo entre eles for 90◦ . Nesse caso, denotamos → − → − → − − − u ⊥→ v . Convencionamos que o vetor nulo 0 é ortogonal a todos os vetores, isto é, 0 ⊥ → v, − para todo vetor → v.

1.2

Operações com vetores

Nesta seção, definimos as duas operações básicas com vetores: a adição de dois vetores e a multiplicação de um escalar por um vetor.

1.2.1

Soma de dois vetores

−→ −−→ − − − − Dados dois vetores → u e → v , escrevamos → u = AB e → v = BC. Definimos o vetor soma (ou −→ −→ − − − − − − resultante) de → u e→ v (denotado por → u +→ v ) como o vetor AC. Em outras palavras, → u +→ v = AC.

13

→ − v

B → − u

→ − u

→ − v

C

→ − − u +→ v

A

Esta é a chamada regra do triângulo para a soma de vetores. Podemos determinar o vetor soma − através da regra do paralelogramo, da seguinte maneira. Primeiramente, representemos os vetores → u − → − → − − − e → v com a mesma origem, digamos → u = AB e → v = AC. Consideremos o paralelogramo ABDC. − − → − − Temos que o vetor → u +→ v = AD. B → − u

→ − u

→ − v A

D −v → −u + →

C

→ − v

Independentemente da regra utilizada para se obter o vetor soma, o vetor resultante será sempre o mesmo. − − Exemplo 1.8. Em cada item a seguir, representemos graficamente o vetor soma dos vetores → u e → v dados à esquerda. → − v → − v

a)

→ − u

→ − − u +→ v ←−

→ − u

→ − − u +→ v

→ − v → − u

→ − u

b)

→ − v

→ − v → − − u +→ v

− − − − − − (Supondo que → u // → v , |→ u | = 3 e |→ v | = 2 , vemos que, neste caso, |→ u +→ v | = 5.) 14

→ − u

→ − u

→ − u → − v

c)

→ − v

→ − − u +→ v

− − − − − − (Supondo que → u // → v , |→ u | = 3 e |→ v | = 2 , vemos que, neste caso, |→ u +→ v | = 1.)

Observação 1.9. Nem sempre vale que o módulo do vetor soma equivale à soma dos módulos dos dois vetores. Basta ver o exemplo c) acima. − − − Proposição 1.10. Sejam → u ,→ v e → w três vetores em R3 . Vale sempre que: − − − − 1. → u +→ v =→ v +→ u;

(Comutatividade)

− − − − − − 2. (→ u +→ v)+→ w =→ u + (→ v +→ w );

(Associatividade)

→ − → − → − − − − 3. Existe um único vetor nulo 0 tal que → v + 0 = 0 +→ v =→ v; − − 4. Dado qualquer vetor → v , existe um único vetor oposto −→ v tal que → − → − − − − v + (−→ v ) = (−→ v)+→ v = 0.

− − − − − − Sejam → u e → v dois vetores. Definimos o vetor diferença entre → u e → v (denotado por → u −→ v) como → − − − − u −→ v =→ u + (−→ v ). − −→ v → − u

→ − v → − − u −→ v

→ − u

− −→ v

−→ − −→ −−→ − − − Observamos que, se → u = AB e → v = AC então → u −→ v = CB . Desta forma temos: 15

B

D

B → − − u −→ v ←−

→ − u A

1.2.2

− −→ v

− − u +→ v −→ →

→ − u → − v

C

A

D

→ − u → − v

C

Produto de um número real por um vetor

→ − − − − Sejam a um número real e → v um vetor. Se a = 0 ou → v = 0 , então definimos o vetor a→ v como o → − → − → − − vetor nulo. Ou seja, 0→ v = 0 e a0 = 0. → − − − Por sua vez, se a 6= 0 e → v 6= 0 , então definimos o vetor a→ v como o único vetor que satisfaz as seguintes condições: − − • |a→ v | = |a| · |→ v |; − − − − • a direção de a→ v é a mesma de → v , isto é, a→ v e → v são paralelos; − − − − • se a > 0 , então a→ v e→ v têm mesmo sentido. Caso contrário, a→ v e→ v têm sentidos opostos. 1− − − v . Exemplo 1.11. Na figura abaixo, temos representados os vetores → v (de módulo 2), 3→ v e − → 2 → − v − 3→ v 1− − → v 2

− − − Observação 1.12. Se → u e → v são vetores paralelos, com → u = 6 0 , então existe um número real a − − − − tal que → v = a→ u . Com efeito, como → u e → v são paralelos, tem-se que eles têm mesmo sentido ou sentidos opostos.

− |→ v |→ → − → − → − − Suponhamos que u e v tenham mesmo sentido. Vamos provar que v = → u. − |u| 16

− |→ v|→ − − − − Chamemos de → w = → u . Desejamos provar que → v =→ w . Para mostrar que dois vetores são − |u| iguais, basta mostrar que eles têm os mesmos módulo, direção e sentido. De fato, → → |− |− v |→ v | → → − − |w| = → u = − · |− u|= |− u | |→ u|

− |→ v| → − · |− u | = |→ v |, → − |u|

− − provando que → v e → w têm mesmo módulo. − − − Para provar que → v e → w têm mesma direção, basta observar que, pela definição de → w , temos − − − − − que ele é paralelo a → u , pois → w é um múltiplo de → u . Além disso, → u é paralelo a → v , por hipótese. − − Portanto, → w é paralelo a → v. − − − − Como → w é o produto de uma constante positiva por → u , temos que → w e → u têm mesmo sentido. − − − − Além disso, por hipótese, temos que → u e → v têm mesmo sentido. Portanto, → w e → v têm mesmo sentido, como o desejado.

− |→ v |→ − → − → − → − u. Se u e v têm sentidos opostos, então prova-se, de modo análogo, que v = − → − |u| − − Proposição 1.13. Sejam → u e → v dois vetores quaisquer no espaço, e a e b dois números reais. − − 1. a(b→ v ) = (ab)→ v

(Associatividade);

− − − 2. (a + b)→ v = a→ v + b→ v − − − − 3. a(→ u +→ v ) = a→ u + a→ v − − 4. 1→ v =→ v

1.3

e

(Distributividade em relação à soma de números reais); (Distributividade em relação à soma de vetores);

− − (−1)→ v = −→ v .

Bases e coordenadas

− − − Sejam → v1 e → v2 dois vetores no espaço não paralelos entre si, e α um plano qualquer paralelo a → v1 e a → − − − v2 . Nestas condições, dizemos que o conjunto {→ v1 , → v2 } é uma base para o plano α. Tem-se também − − que {→ v1 , → v2 } é uma base para qualquer plano paralelo a α. 17

− − Sejam a1 e a2 dois números reais quaisquer. Os vetores a1 → v1 e a2 → v2 também são paralelos ao − − − − plano α. Assim, o vetor a1 → v1 + a2 → v2 é um vetor paralelo a α. Consequentemente, os vetores → v1 , → v2 − − e a1 → v1 + a2 → v2 são coplanares. α

− a2 → v2 → − v

− + → a 1v 1

− → a 2v 2

2

− a1 → v1

→ − v1

− − − − Reciprocamente, seja → v um vetor tal que → v, → v1 e → v2 sejam coplanares. Nesse caso, temos que −→ − −→ − −−→ → − − v é paralelo a α. Representemos → v1 = AB, → v2 = AC e → v = AD. Sejam r a reta que passa por A e B, e s a reta que passa por A e C. α

s D C

−v →

→ − v2 r A

→ − v1

B

Sejam r1 e s1 as retas paralelas a r e s, respectivamente, passando por D . Chamemos de P e Q os pontos de interseção de s1 com r e de r1 com s, respectivamente. s Q C

s1

α

D

r1

−v →

→ − v2 r A

→ − v1

B

P

18

−→ −→ − − Como AP é paralelo a → v1 e AQ é paralelo a → v2 , existem números reais a1 e a2 tais que −→ −→ − − − − − AP = a1 → v1 e AQ = a2 → v2 . Além disso, tem-se que → v = a1 → v1 + a2 → v2 . s Q C → − a2 v2

s1

α

D

r1

−v →

r A

B

− a1 → v1

P

− − − v é coplanar com → v1 e → v2 se, e somente se, existem números reais a1 e Em resumo, um vetor → − − − − − a2 tais que → v = a1 → v1 + a2 → v2 . Neste caso, dizemos que → v é uma combinação linear dos vetores → v1 − − − − e → v2 , e que os números a1 e a2 são as coordenadas (ou componentes) de → v na base {→ v1 , → v2 } . De modo mais geral, com as mesmas ideias utilizadas até aqui, podemos concluir algo um pouco mais geral: Proposição 1.14. Três vetores no espaço são coplanares se, e somente se, um deles puder ser escrito como combinação linear dos outros dois. − − − Consideremos agora três vetores → v1 , → v2 e → v3 no espaço que não sejam coplanares. O conjunto −→ − −→ − −−→ − − − − {→ v1 , → v2 , → v3 } é chamado de uma base de R3 . Digamos que → v1 = AB, → v2 = AC e → v3 = AD, e −→ − denominemos por α o plano contendo A, B e C. Seja → v = AP um vetor qualquer no espaço. − Chamemos de r a reta que passa por P e que é paralela ao vetor → v3 e de M o ponto de interseção de r com α.

r P

D

→ − v M

→ − v3

C → − v2 − v1 B A →

19

α

−−→ − − Como os vetores AM , → v1 e → v2 são coplanares, pelo que observamos na discussão anterior, exis−−→ −−→ − − − tem números reais a1 e a2 tais que AM = a1 → v1 + a2 → v2 . Além disso, como M P é paralelo a → v3 , −−→ − existe um número real a3 tal que M P = a3 → v3 . P − a3 → v3

→ − v

α

M

→ − v3

− → v2 − → + a2 v 1 a1

A

− − − − − Notamos que → v = a1 → v1 + a2 → v2 + a3 → v3 . Neste caso, dizemos que → v é uma combinação linear − − − − de → v1 , → v2 e → v3 , e que os números reais a1 , a2 e a3 são as coordenadas (ou componentes) de → v na − − − base {→ v1 , → v2 , → v3 }. Com isso, provamos que todo vetor no espaço se escreve como combinação linear dos vetores da − − − base {→ v1 , → v2 , → v3 }. Uma base é dita ortogonal quando os vetores que a compõem forem dois a dois ortogonais. Se os vetores de uma base ortogonal forem unitários, dizemos que tal base é ortonormal. Exemplo 1.15. Consideremos os pontos O = (0, 0, 0), A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) e C = (0, 0, 1), → − −−→ − −→ −ı = − e os vetores → OA, →  = OB e → κ = OC. z

1 C → − κ O A

1

→ −ı

x

20

→ −

B 1

y

−ı , → − e → − Os vetores → κ não são coplanares, pois os pontos O, A, B e C não pertencem a um −ı , → − , → − mesmo plano. Portanto, o conjunto {→ κ } é uma base de R3 . Esses vetores são dois a dois −ı , → − , → − ortogonais, devido aos eixos serem dois a dois perpendiculares. Logo, o conjunto {→ κ } é uma base ortogonal de R3 . Como, por construção, esses vetores também são unitários, temos então que essa base é ortonormal e é chamada de base canônica de R3 . − Agora, vamos determinar as coordenadas de um vetor na base canônica. Seja → v um vetor qualquer −→ − no espaço. Podemos supor que → v = OP , onde O = (0, 0, 0) e P = (x0 , y0 , z0 ). Definamos M = (x0 , y0 , 0), X0 = (x0 , 0, 0), Y0 = (0, y0 , 0) e Z0 = (0, 0, z0 ). z z0 Z 0

P → − v y0

O

y

Y0 x0 x

M

X0 z z0 Z 0

Notamos que: P

−−→ −ı ; • OX0 = x0 →

1 → − κ

−−→ − ; • OY0 = y0 →

O

−−→ −−→ − • M P = OZ0 = z0 → κ; −−→ −ı + y → − • OM = x0 → 0  .

1 x0 x

→ − v

− z0 → κ y0

1

→ − → −ı x0 → − ı + y0 → − 

Y0

M

X0

21

y

− −ı + y → − → − Em suma, temos que → v = x0 → 0  + z0 κ . − Isso significa que as coordenadas do vetor → v na base canônica coincidem precisamente com as − coordenadas da extremidade final (o ponto P ) do representante de → v que tem origem em O = (0, 0, 0). − − A fim de simplificar a notação, vamos denotar → v = (x0 , y0 , z0 ), ou seja, escrever → v = (x0 , y0 , z0 ) − −ı + y → − → − → − significa → v = x0 → 0  + z0 κ . Atenção! A expressão v = (x0 , y0 , z0 ) deve ser interpretada − como “O vetor → v possui coordenadas x0 , y0 e z0 na base canônica.”. Um vetor não é igual a um terno ordenado; um vetor é representado algebricamente por um terno ordenado. − v , se, ao representá-lo com origem em O = (0, 0, 0), tivermos que Por exemplo, dado um vetor → − a extremidade final de seu representante seja dada por P = (−3, 5, 2), então as coordenadas de → v na − −ı + 5→ − + 2→ − − base canônica são −3, 5 e 2. Isto é, → v = −3→ κ , ou seja, → v = (−3, 5, 2). → − −ı = (1, 0, 0), → − = (0, 1, 0) e → − Notemos que, em particular, 0 = (0, 0, 0), → κ = (0, 0, 1). A partir de agora, toda vez que dissermos coordenadas de um vetor (sem fazer menção à base), estaremos supondo que essas coordenadas são em relação à base canônica de R3 . Vejamos agora como a soma de vetores e o produto de um escalar por um vetor são expressos em − − termos da nova representação. Sejam → u = (x1 , y1 , z1 ) e → v = (x2 , y2 , z2 ) dois vetores, e a um número real qualquer. − − 1. → u =→ v ⇔ x1 = x2 , y1 = y2 e z1 = z2 . Em outros termos, dois vetores são iguais se, e somente se, suas respectivamente coordenadas coincidirem. Isto segue diretamente da unicidade das coordenadas de um vetor em relação a uma base. − − 2. → u +→ v = (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ). Em outras palavras, as coordenadas do vetor soma coincidem com as somas das respectivas

22

coordenadas dos dois vetores. Com efeito, → − − −ı + y → − → − → − → − → − u +→ v = (x1 → 1  + z1 κ ) + (x2 ı + y2  + z2 κ ) −ı + x → − → − → − → − → − = (x1 → 2 ı ) + (y1  + y2  ) + (z1 κ + z2 κ ) −ı + (y + y )→ − → − = (x1 + x2 )→ 1 2  + (z1 + z2 ) κ = (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ) .

Convém observar que a segunda igualdade segue da comutatividade e da associatividade da adição de dois vetores (propriedades 1 e 2, respectivamente, da Proposição 1.10), e a terceira igualdade segue da distributividade em relação à soma de números reais (propriedade 2 da Proposição 1.13). − 3. a→ u = (ax1 , ay1 , az1 ). Em outros termos, as coordenadas do produto de um escalar por um vetor coincidem com os produtos do escalar pelas respectivas coordenadas do vetor. De fato, − −ı + y → − → − a→ u = a(x1 → 1  + z1 κ ) −ı ) + a(y → − → − = a(x1 → 1  ) + a(z1 κ ) −ı + (ay )→ − → − = (ax1 ) → 1  + (az1 ) κ = (ax1 , ay1 , az1 ).

A segunda igualdade segue distributividade em relação à soma de vetores (propriedade 3 da Proposição 1.13). Já a terceira igualdade é decorrente da associatividade da multiplicação de um escalar por um vetor (propriedade 1 da Proposição 1.13).

23

p − 4. |→ u | = x21 + y12 + z12 . Em outros termos, o módulo de um vetor equivale à raiz quadrada da soma dos quadrados de − suas respectivas coordenadas. Lembramos que o módulo de um vetor → u é definido como o − módulo de qualquer segmento orientado que o representa. Se tomarmos um representante de → u com origem em O = (0, 0, 0), sua extremidade final será em P = (x1 , y1 , z1 ). Por outro lado, p segue da Observação 0.1 que o comprimento do segmento OP é justamente x21 + y12 + z12 , provando assim a propriedade 4. Até o momento, sabemos determinar as coordenadas de um vetor somente quando ele estiver representado na origem. Neste caso, suas coordenadas coincidem com as da extremidade final desse representante. Mas, e quando esse vetor estiver representado por um segmento orientado AB, onde A −→ não seja necessariamente a origem? Quais seriam as coordenadas do vetor AB na base canônica? −→ − Seja → v = AB um vetor, com A = (a1 , a2 , a3 ) e B = (b1 , b2 , b3 ). Vamos verificar que → − v = (b1 − a1 , b2 − a2 , b3 − a3 ).

(1.1)

−→ −−→ −→ −→ −−→ Com efeito, consideremos o ponto O = (0, 0, 0) e os vetores OA e OB. Como OA+ AB = OB, −→ −−→ −→ concluímos que AB = OB − OA. A → − v B

O

−→ −−→ Por outro lado, como os vetores OA e OB já estão representados com origem em O = (0, 0, 0), temos que suas coordenadas na base canônica coincidem com as coordenadas de A e B, respectiva−→ mente. Sendo assim, AB = (b1 , b2 , b3 )−(a1 , a2 , a3 ) = (b1 −a1 , b2 −a2 , b3 −a3 ), como desejávamos 24

− provar. De modo informal, nesse caso, costuma-se escrever → v = B − A. −→ Exemplo 1.16. Dados os pontos A = (3, −5, 2) e B = (−1, −7, 3), escreva o vetor AB como − − − combinação linear dos vetores → v1 = (1, 2, 0), → v2 = (0, 0, 2) e → v3 = (−1, 2, −1). −→ Por (1.1), as coordenadas do vetor AB são dadas por −→ AB = (−1 − 3 , −7 − (−5) , 3 − 2) = (−4 , −2 , 1). −→ − − − Por outro lado, como desejamos escrever AB como combinação linear de → v1 , → v2 e → v3 , precisamos −→ − − − encontrar números reais a1 , a2 e a3 de modo que AB = a1 → v 1 + a2 → v2 + a3 → v3 . Isso equivale a dizer que:

(−4, −2, 1) = a1 (1, 2, 0) + a2 (0, 0, 2) + a3 (−1, 2, −1).

Pela propriedade 3 acima, temos:

(−4, −2, 1) = (a1 , 2a1 , 0) + (0, 0, 2a2 ) + (−a3 , 2a3 , −a3 ).

Por sua vez, pela propriedade 2 acima

(−4, −2, 1) = (a1 − a3 , 2a1 + 2a3 , 2a2 − a3 ).

Sendo assim, pela propriedade 1, esta igualdade equivale ao seguinte sistema:        

a1 − a3 = −4

2a1 + 2a3 = −2        2a2 − a3 = 1. 5 Resolvendo esse sistema linear de três equações e três incógnitas, obtemos os valores: a1 = − , 2 −→ 5 3 → − → − → − a2 = e a3 = . Com isso, escrevemos AB como combinação linear de v1 , v2 e v3 da seguinte 4 2 forma: 5 5 3 (−4, −2, 1) = − (1, 2, 0) + (0, 0, 2) + (−1, 2, −1). 2 4 2 − − − − Dado um vetor → v não nulo qualquer, dizemos que um vetor → w é o versor de → v quando → w for − − − unitário e possuir mesmos direção e sentido de → v . O versor → w de um vetor → v é único e vale sempre 25

1 → − − que → w = → v. − |v| − Exemplo 1.17. Determinar as coordenadas do versor de → v = (2, −1, 4). p √ − Primeiramente, notamos que |→ v | = 22 + (−1)2 + 42 = 21. Sendo assim, as coordenadas − − do versor → w de → v são √ √ ! √ 21 4 21 2 21 ,− , . 21 21 21

1 → − w = √ (2, −1, 4) = 21

− − Exemplo 1.18. Determinar as coordenadas do vetor → u , paralelo a → v = (2, 1, −1) e de módulo 3. √ − − − − − O módulo do vetor → v é 6. Como → u é paralelo a → v , existe um número real a tal que → u = a→ v. − − Como já conhecemos as coordenadas de → v , para determinar as de → u , basta encontrar os possíveis valores para a . Para isso, basta notar que √ − − − 3 = |→ u | = |a→ v | = |a| · |→ v | = |a| · 6. √

√

6 . √2 √ 6 6 − − Em outras palavras, os possíveis valores para a são e − . Sendo assim, como → u = a→ v, 2 2 − as possibilidades para → u são: Portanto, |a| ·

6 = 3, o que equivale a dizer que |a| =

→ − u =

√ 6 (2, 1, −1) 2

− Concluímos assim, que → u =

√

e

√ 6 → − u =− (2, 1, −1). 2

√ √ ! 6 6 − 6, ,− ou → u = 2 2

26

√ √ ! √ 6 6 − 6, − , . 2 2

Capítulo 2 Produto Interno Neste capítulo, definimos o primeiro dos três principais tipos de produtos entre vetores em R3 : o produto interno. Veremos como este produto fornece propriedades métricas relativas a pontos e vetores.

2.1

Definição

− − Dados dois vetores → u = (x1 , y1 , z1 ) e → v = (x2 , y2 , z2 ) em R3 , definimos o produto interno (ou − − − − − − produto escalar) de → u por → v (denotado por → u ·→ v ou h→ u ,→ v i) por → − − u ·→ v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 . − − − − Como as coordenadas de → u e → v são números reais e a expressão de → u ·→ v é composta por somas e produtos de números reais, temos que o produto interno entre dois vetores quaisquer também é um número real. − − − − Exemplo 2.1. Sejam → u = (2, −4, 7) e → v = (1, 2, −3). O produto interno entre → u e → v é dado por → − − u ·→ v = 2 × 1 + (−4) × 2 + 7 × (−3) = 2 − 8 − 21 = −27. 27

− − − Dado um vetor → v = (x, y, z), tem-se que → v ·→ v = x2 + y 2 + z 2 . Por outro lado, no Capítulo 1, p − vimos que |→ v | = x2 + y 2 + z 2 . Portanto, vale sempre que − |→ v|=

√ → − − v ·→ v

− − − (ou, equivalentemente, |→ v |2 = → v ·→ v ).

(2.1)

Dados dois pontos A = (a1 , a2 , a3 ) e B = (b1 , b2 , b3 ) em R3 , definimos a distância entre A e B (e denotamos por d(A, B)) como o comprimento do segmento de reta AB. Isto equivale a dizer que −→ −→ a distância entre A e B é o módulo do vetor AB. Por outro lado, as coordenadas do vetor AB são dadas por (b1 − a1 , b2 − a2 , b3 − a3 ). Sendo assim −→ p d(A, B) = AB = (b1 − a1 )2 + (b2 − a2 )2 + (b3 − a3 )2 .

(2.2)

Exemplo 2.2. Calculemos o valor de b para o qual a distância entre A = (2, b, −1) e B = (3, 3, 1) seja igual a 3. Pela expressão (2.2), temos que:

3 = d(A, B) =

Portanto, temos que 3 =

p √ (3 − 2)2 + (3 − b)2 + (1 − (−1))2 = 12 + 32 − 6 b + b2 + 22 . √ b2 − 6b + 14. Elevando ambos os membros ao quadrado:

9 = b2 − 6b + 14

⇔

b2 − 6b + 5 = 0.

Determinando as raízes dessa equação do segundo grau, obtemos que os possíveis valores para b são: b = 1 ou b = 5. A seguir listamos as quatro propriedades básicas do produto interno. − − − Proposição 2.3. Sejam → u, → v e → w três vetores em R3 e a um número real. 28

− − 1. → u ·→ u ≥0

e

→ − → − − − u ·→ u = 0 se, e somente se, → u = 0;

− − − − 2. → u ·→ v =→ v ·→ u (Comutatividade); − − − − − − − 3. → u · (→ v +→ w) = → u ·→ v +→ u ·→ w

e

− − − − − − − (→ u +→ v)·→ w =→ u ·→ w +→ v ·→ w (Distributividade);

− − − − − − 4. (a→ u)·→ v = a(→ u ·→ v)=→ u · (a→ v ). A propriedade 1 nos diz que o produto interno de um vetor com ele mesmo é sempre um número real não negativo. Além disso, o produto interno de um vetor com ele mesmo é nulo se, e somente se, esse vetor for nulo. − − − Demonstração. Sejam → u = (x1 , y1 , z1 ), → v = (x2 , y2 , z2 ) e → w = (x3 , y3 , z3 ) três vetores e a um número real. − − − − Como → u ·→ u = x21 + y12 + z12 , temos que → u ·→ u ≥ 0, pois a soma de quadrados é sempre não − − negativa. Agora, dizer que → u ·→ u = 0 equivale a dizer que x21 + y12 + z12 = 0. Porém, uma soma − − de quadrados é nula se, e somente se, cada termo dessa soma for nulo. Logo, → u ·→ u = 0 equivale a − x1 = y1 = z1 = 0, isto é, que → u é o vetor nulo. Isso prova o primeiro item. Para provar o segundo item, basta utilizar a comutatividade da multiplicação de números reais: → − − u ·→ v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = x2 x1 + y2 y1 + z2 z1 − − = → v ·→ u.

A prova do terceiro item segue da distributividade, e da comutatividade e associatividade da adição

29

de números reais: → − − − u · (→ v +→ w ) = (x1 , y1 , z1 ) · (x2 + x3 , y2 + y3 , z2 + z3 ) = x1 (x2 + x3 ) + y1 (y2 + y3 ) + z1 (z2 + z3 ) = x1 x2 + x1 x3 + y1 y2 + y1 y3 + z1 z2 + z1 z3 = (x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ) + (x1 x3 + y1 y3 + z1 z3 ) − − − − = → u ·→ v +→ u ·→ w.

A prova da segunda afirmação do item 3 segue de modo análogo e deixamos como exercício. Para provar o item 4, vamos usar a associatividade da multiplicação de números reais e a distributividade: − − (a→ u)·→ v = (ax1 , ay1 , az1 ) · (x2 , y2 , z2 ) = (ax1 )x2 + (ay1 )y2 + (az1 )z2 = a(x1 x2 ) + a(y1 y2 ) + a(z1 z2 ) = a(x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ) − − = a(→ u ·→ v ).

A segunda igualdade do item 4 se prova de modo inteiramente análogo. − − − − − − Exemplo 2.4. Dados dois vetores → u e → v , calculemos (2→ v − 3→ u ) · (4→ u + 5→ v ), sabendo que − − − − |→ u | = 2, |→ v|=3 e → u ·→ v = −5.

30

Vamos usar as propriedades descritas na Proposição 2.3. 3 − − − − − − − − − − (2→ v − 3→ u ) · (4→ u + 5→ v ) = (2→ v − 3→ u ) · (4→ u ) + (2→ v − 3→ u ) · (5→ v) 3 − − − − − − − − = (2→ v ) · (4→ u ) − (3→ u ) · (4→ u ) + (2→ v ) · (5→ v ) − (3→ u ) · (5→ v) 4 − − − − = (2 × 4)(→ v ·→ u ) − (3 × 4)(→ u ·→ u)

− − − − + (2 × 5)(→ v ·→ v ) − (3 × 5)(→ u ·→ v) 2 − − − − − − − − = 8(→ u ·→ v ) − 12(→ u ·→ u ) + 10(→ v ·→ v ) − 15(→ u ·→ v)

− − − − − − = −12(→ u ·→ u ) − 7(→ u ·→ v ) + 10(→ v ·→ v ).

Usando (2.1), concluímos que − − − − − − − − (2→ v − 3→ u ) · (4→ u + 5→ v ) = −12|→ u |2 − 7(→ u ·→ v ) + 10|→ v |2 = −12 × 22 − 7 × (−5) + 10 × 32 = −48 + 35 + 90 = 77.

2.2

Cosseno do ângulo entre vetores

Nesta seção, vamos estudar a relação entre o produto interno entre dois vetores e o ângulo formado por eles. − − Sejam → u e → v dois vetores não nulos. Vamos justificar que → − − u ·→ v − − . cos (∠(→ u ,→ v )) = → − − | u | · |→ v|

(2.3)

−→ − −→ − − − Sejam → u e → v dois vetores não nulos em R3 . Digamos que → u = AB e → v = AC. A fim de 31

−−→ − → − − simplificar a notação, vamos chamar de θ = ∠ (→ u ,→ v ). Notamos que BC = → v −− u. C → − − v −→ u → − v

B → − u

θ A

Aplicando a Lei dos Cossenos ao triângulo ABC, obtemos: − − − − − − |→ v −→ u |2 = |→ u |2 + |→ v |2 − 2(|→ u | · |→ v | · cos θ).

(2.4)

Por outro lado, usando as propriedades da Proposição 2.3 e (2.1), temos: − − − − − − |→ v −→ u |2 = (→ v −→ u ) · (→ v −→ u) − − − − − − = → v ·→ v − 2(→ u ·→ v)+→ u ·→ u − − − − = |→ v |2 − 2(→ u ·→ v ) + |→ u |2 .

Substituindo esta expressão no primeiro membro da igualdade (2.4), obtemos: − − − − − − − − |→ v |2 − 2(→ u ·→ v ) + |→ u |2 = |→ u |2 + |→ v |2 − 2(|→ u | · |→ v | · cos θ).

Realizando as simplificações necessárias, obtemos a expressão → − − − − u ·→ v = |→ u | · |→ v | · cos θ,

(2.5)

− − que é equivalente (2.3) quando → u e → v são não nulos, provando assim a expressão (2.3). Aliás, (2.5)

32

− − − − também é válida quando → u ou → v for o vetor nulo. Lembrando que estamos supondo θ = ∠(→ u ,→ v ). − − Uma consequência importante de (2.5) diz respeito a vetores ortogonais. Sejam → u e → v vetores − − não nulos ortogonais entre si. Dizer que → u e → v são ortogonais equivale a dizer que o ângulo entre eles é reto. Porém, como o único ângulo entre 0◦ e 180◦ para o qual o cosseno vale zero é justamente − − − − 90◦ . Portanto, de (2.5), → u e → v são ortogonais se, e somente se, → u ·→ v = 0. Em outras palavras: → − − u ⊥→ v

⇔

→ − − u ·→ v = 0.

(2.6)

− − Exemplo 2.5. Em cada item a seguir, determinar o ângulo entre os vetores → u e → v. − − a) → u = (3, −5, 3) e → v = (1, 3, 4) − − − − Por (2.3), precisamos calcular inicialmente o valor de → u ·→ v . Note que → u ·→ v = 3 × 1 + (−5) × − − 3 + 3 × 4 = 0. Consequentemente, por (2.6), concluímos que → u e → v são ortogonais, isto é, − − que ∠(→ u ,→ v ) = 90◦ . − − b) → u = (1, 2, 1) e → v = (2, 1, −1) − − − − Como → u ·→ v = 1 × 2 + 2 × 1 + 1 × (−1) = 2 + 2 − 1 = 3 6= 0, obtemos que → u e→ v não são p √ √ − − v | = 22 + 12 + (−1)2 = vetores ortogonais. Por sua vez, |→ u | = 12 + 22 + 12 = 6 e |→ √ 6. Consequentemente, por (2.3), temos que → − − u ·→ v 3 3 1 − − cos (∠(→ u ,→ v )) = → =√ √ = = . − → − 6 2 |u|·|v| 6· 6

O único ângulo de 0◦ a 180◦ cujo cosseno vale

1 − − é 60◦ . Logo, ∠(→ u ,→ v ) = 60◦ . 2

− − c) → u = (1, 1, 4) e → v = (1, −2, −2) − − − Como → u ·→ v = 1 × 1 + 1 × (−2) + 4 × (−2) = −9 6= 0, concluímos que → u e √ √ √ − são ortogonais. Por outro lado, como |→ u | = 12 + 12 + 42 = 18 = 3 2 e 33

→ − v não − |→ v| =

p √ 12 + (−2)2 + (−2)2 = 9 = 3, obtemos que √ −9 2 → − → − cos(∠( u , v )) = √ . =− 2 3 2×3 √ ◦

◦

Por sua vez, o único ângulo de 0 a 180 cujo cosseno vale − − − que ∠(→ u ,→ v ) = 135◦ .

2 é 135◦ . Portanto, concluímos 2

− − d) → u = (1, 0, −2) e → v = (−1, 1, −1) → − − − − u ·→ v = 1 × (−1) + 0 × 1 + (−2) × (−1) = 1 6= 0, obtemos que → u e → v p √ − − não são ortogonais. Por outro lado, temos que |→ u| = 12 + 02 + (−2)2 = 5 e |→ v| = p √ (−1)2 + 12 + (−1)2 = 3. Consequentemente,

Como

√ 1 15 → − → − √ = cos(∠( u , v )) = √ . 15 5× 3 √ − − Portanto, temos que ∠(→ u ,→ v ) = arccos

2.3

! 15 . 15

Projeção Ortogonal

− − − Sejam → u e → v vetores quaisquer em R3 , sendo → u não nulo. Nosso objetivo agora é determinar dois − − − − − − vetores → x e → y (expressos em função de → u e → v ) para os quais → v se escreva como a soma de → x − − − − − com → y , de modo que → x seja paralelo a → u e → y seja ortogonal a → u . Em outros termos, queremos − − encontrar dois vetores → x e → y tais que:

34

   → − − −  v =→ x +→ y     → − − x // → u       − −  → y ⊥ → u.

(2.7)

→ − v

→ − v

→ − u

→ − x

→ − u

→ − v

→ − y → − u

→ − y

→ − v → − u

→ − x → − − − − → O vetor → x é chamado de projeção ortogonal de → v sobre → u e é denotado por proj − u v . Vamos − − − agora determinar a expressão de → x em função de → u e → v . − − De (2.7), obtemos que o vetor → x precisa ser paralelo a → u . Portanto, existe um número real a de − − − − − modo que → x = a→ u . Se precisamos escrever → x em função de → u e → v , basta determinar o valor de − − u e → v . Para isso, usando as expressões em (2.7), notamos que: a em função de → → − − − − − v ·→ u = (→ x +→ y)·→ u − − − − = → x ·→ u +→ y ·→ u.

35

− − − − Como → y é ortogonal a → u , temos que → y ·→ u = 0. Portanto: → − − − − v ·→ u = → x ·→ u − − = (a→ u)·→ u − − = a(→ u ·→ u ). − − − Já que → u é não nulo, tem-se que → u ·→ u 6= 0. Portanto, obtemos a expressão do número real a: → − − → − − v ·→ u v ·→ u a= → = . − → − → − 2 u · u |u| − Sendo assim, obtemos a seguinte expressão para o vetor → x: → − − → − − v ·→ u→ v ·→ u→ − − → − → − → u = → u. x = proj− − → − − u v = → 2 u · u |u|

(2.8)

− − − − Como → y =→ v −→ x , temos que o vetor → y é dado por: → − − v ·→ u→ → − → − → − → − − − → y = v − proj− u =→ v − − → − u v = v − → u · u

→ − − v ·→ u→ − u. → − 2 |u|

(2.9)

− − − Em suma, dados quaisquer dois vetores → u e → v , sendo → u não nulo, existe um vetor, denotado → − → por proj− u v , tal que → − → − → − → − → → v = (proj− u v ) + ( v − proj− u v ), onde

→ − → − → proj− u v // u

e

− → − → − → − → − → (→ v − proj− u v ) ⊥ u . Notamos que, se u e v são ortogonais, então

→ − − → − → u ·→ v = 0. Portanto, neste caso, o vetor proj− u v é nulo. − − − Exemplo 2.6. Dados os vetores → u = (1, −3, 2) e → v = (2, 1, 4), decomponha o vetor → v como a − − soma de dois vetores, sendo um paralelo a → u e outro ortogonal a → u. 36

− − Queremos encontrar dois vetores → x e → y de modo que:    → − − −  v =→ x +→ y     → − − x // → u       − −  → y ⊥→ u.

(2.10)

− − Estas são justamente as condições em (2.7) que caracterizam o vetor projeção de → v sobre → u. − → − → − → − → − → → Sendo assim, → x = proj− u v e y = v − proj− u v . Daí, por (2.8): → − − v ·→ u→ − → − → − − → u x = proj u v = → − → − u · u (2, 1, 4) · (1, −3, 2) (1, −3, 2) = (1, −3, 2) · (1, −3, 2) 2−3+8 = (1, −3, 2) 1+9+4 1 = (1, −3, 2) 2   1 3 = ,− ,1 . 2 2 − Basta agora determinar as coordenadas de → y utilizando (2.9): → − − − y = → v −→ x  = (2, 1, 4) −   3 5 = , ,3 . 2 2

Em suma, escrevemos

→ − v =

 1 3 ,− ,1 2 2



   1 3 3 5 ,− ,1 + , ,3 . 2 2 2 2 | {z } | {z } → paralelo a − u

→ ortogonal a − u

37

− − |→ v ·→ u| → − → . Exercício 2.7. Prove que o módulo do vetor projeção ortogonal é dado por |proj− v | = → − u |u|

2.4

Outras propriedades do produto interno

Nesta seção, apresentamos algumas propriedades clássicas relativas ao produto interno. A primeira delas é uma versão vetorial de um importante teorema da Geometria Euclidiana: − − Proposição 2.8 (Teorema de Pitágoras). Se → u e → v são dois vetores ortogonais, então − − − − |→ u +→ v |2 = |→ u |2 + |→ v |2 . − − − − Demonstração. Sejam → u e → v dois vetores ortogonais, isto é, vetores tais que → u ·→ v = 0. Assim: − − − − − − − − − − − − |→ u +→ v |2 = (→ u +→ v ) · (→ u +→ v ) = |→ u |2 + 2(→ ·→ v}) + |→ v |2 = |→ u |2 + |→ v |2 , |u {z =0

como desejávamos provar. Lembramos que, dados quaisquer números reais a e b, vale sempre |a · b| = |a| · |b|. Embora uma igualdade análoga para vetores, em geral, não seja verdadeira, uma desigualdade pode ser sempre verificada. − − Proposição 2.9 (Desigualdade de Schwarz). Dados quaisquer vetores → u e → v , vale que − − − − |→ u ·→ v | ≤ |→ u | · |→ v |.

(2.11)

− − Além disso, vale a igualdade se, e somente se, → u e → v são vetores paralelos. Em outros termos: − − − − |→ u ·→ v | = |→ u | · |→ v| 38

⇔

→ − − u // → v.

(2.12)

− − Demonstração. Primeiramente, vamos provar a desigualdade (2.11). Sejam → u e → v vetores quais→ − → − − − quer. Se → u = 0 ou → v = 0 , então a desigualdade (2.11) é claramente válida (na verdade, vale − − inclusive a igualdade). Suponhamos então que → u e → v , sejam vetores não nulos e denotemos por θ o − − ângulo entre → u e → v . Independentemente do valor de θ, tem-se | cos θ| ≤ 1. Portanto, de (2.5): − − − − |→ u ·→ v | = | |→ u | · |→ v | · cos θ | − − = |→ u | · |→ v | · | cos θ| | {z } ≤1

− − ≤ |→ u | · |→ v |,

o que prova (2.11). Agora, precisamos provar (2.12). Para isso, temos que verificar duas afirmações: − − − − − − − − Afirmação 1: Se → u e→ v são dois vetores tais que |→ u ·→ v | = |→ u | · |→ v |, então → u e→ v são paralelos. − − − − − − Afirmação 2: Se → u e → v são dois vetores paralelos, então |→ u ·→ v | = |→ u | · |→ v |. − − Prova da Afirmação 1: Dados dois vetores → u e → v (que podemos supor não nulos), suponhamos que − − − − |→ u ·→ v | = |→ u | · |→ v |. Pelo Exercício 2.7 e por hipótese, temos que − − − − − − |→ u ·→ v| |→ u | · |→ v| |→ v ·→ u| − → − → = = = |→ v |. |proj− → − → − → − u v | = |u| |u| |u| → − → − → − → − → − → − → → Em resumo, temos que |proj− u v e y = v − u v | = | v |. Por outro lado, sendo x = proj− → − → − → − → − → − → − → proj− u v , sabemos que v = x + y e x ⊥ y . Assim, pelo Teorema de Pitágoras, segue que: − − − − − |→ v |2 = |→ x |2 + |→ y |2 = |→ v |2 + |→ y |2 . → − − − − − Consequentemente, concluímos que |→ y | = 0, ou seja, → y = 0 . Daí, temos que → v =→ x , e como → − − − x é o vetor projeção ortogonal, tem-se que → v é paralelo a → u , o que prova a Afirmação 1. 39

− − Prova da Afirmação 2: Sejam → u e → v dois vetores paralelos. Logo, existe uma constante real a tal − − que → v = a→ u . Assim: − − − − − − − − − |→ u ·→ v | = |→ u · (a→ u )| = |a · (→ u ·→ u )| = |a| · |→ u ·→ u | = |a| · |→ u |2 .

(2.13)

Por outro lado, temos que: − − − − − − − |→ u | · |→ v | = |→ u | · |a→ u | = |→ u | · |a| · |→ u | = |a| · |→ u |2 .

(2.14)

Assim, de (2.13) e (2.14), provamos a Afirmação 2, o que conclui a prova da Proposição 2.9. Por fim, provamos mais uma importante desigualdade envolvendo vetores. − − Proposição 2.10 (Desigualdade Triangular). Dados quaisquer vetores → u e → v , vale que − − − − |→ u +→ v | ≤ |→ u | + |→ v |.

(2.15)

Além disso, a igualdade vale se, e somente se, um deles é o vetor nulo ou ambos são paralelos de mesmo sentido. Em outros termos: − − − − |→ u +→ v | = |→ u | + |→ v|

⇔

→ − → − − − − − (→ u = 0 ou → v = 0 ) ou (→ v = a→ u , a > 0).

(2.16)

Demonstração. Primeiramente, vamos provar a desigualdade (2.15). Para isso, vamos usar a Desigual-

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dade de Schwarz (Proposição 2.9). − − − − − − |→ u +→ v |2 = (→ u +→ v ) · (→ u +→ v) − − ·→ − − = |→ u |2 + 2(→ v}) + |→ v |2 |u {z → → ≤|− u ·− v|

− − − − ≤ |→ u |2 + 2 |→ u ·→ v | +|→ v |2 | {z } → → ≤|− u |·|− v|

− − − − ≤ |→ u |2 + 2(|→ u | · |→ v |) + |→ v |2 − − = (|→ u | + |→ v |)2 . − − − − − − − − Em suma, tem-se |→ u +→ v |2 ≤ (|→ u | + |→ v |)2 . Como |→ u +→ v | e |→ u | + |→ v | são não negativos, − − − − concluímos que |→ u +→ v | ≤ |→ u | + |→ v |, o que prova (2.15). Precisamos agora provar (2.16). Para isso, devemos mostrar as duas afirmações a seguir: − − − − − − − − Afirmação 1: Se → u e→ v são vetores tais que |→ u +→ v | = |→ u | + |→ v |, então → u é nulo ou → v é nulo, − − ou existe uma constante real a > 0 tal que → v = a→ u. → − → − − − − − Afirmação 2: Se → u = 0 ou → v = 0 , ou existe uma constate real a > 0 tal que → v = a→ u , então − − − − |→ u +→ v | = |→ u | + |→ v |. − − − − − − Prova da Afirmação 1: Sejam → u e → v dois vetores tais que |→ u +→ v | = |→ u | + |→ v |, e suponhamos que ambos sejam não nulos. Elevando ao quadrado em ambos os membros, obtemos: − − − − − − − − − − − − |→ u +→ v |2 = (|→ u | + |→ v |)2 ⇔ |→ u |2 + 2(→ u ·→ v ) + |→ v |2 = |→ u |2 + 2(|→ u | · |→ v |) + |→ v |2 − − − − ⇔ → u ·→ v = |→ u | · |→ v |. − − Notamos que é possível obter duas informações a respeito dessa última expressão: → u ·→ v >0 e − − − − |→ u ·→ v | = |→ u | · |→ v |. Esta última sentença nos afirma que vale a igualdade na desigualdade de Schwarz − − (Proposição 2.9). Portanto, por (2.12), concluímos que → u e → v são paralelos. Assim, existe uma

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− − − − constante real a > 0 tal que → v = a→ u . Além disso, como → u ·→ v > 0, temos que: − − − − − 0 0 e |→ u |2 > 0, concluímos que a > 0, provando a Afirmação 1. → − → − − − − − − − Prova da Afirmação 2: Se → u = 0 ou → v = 0 , então a igualdade |→ u +→ v | = |→ u |+|→ v | é claramente verdadeira, pois: → − − → − → − → − − − − |0 +→ v | = | 0 | + |→ v | e |→ u + 0 | = |→ u | + | 0 |. − − − − u e → v são não nulos e tais que → v = a→ u , para algum a > 0. Por um Suponhamos então que → lado, como a > 0, temos que: − − − − − − − |→ u +→ v | = |→ u + a→ u | = |(1 + a)→ u | = | 1| {z + a} | · |→ u | = (1 + a)|→ u |.

(2.18)

>0

Por outro lado, novamente por a ser positivo, segue que: − − − − − − − − − |→ u | + |→ v | = |→ u | + |a→ v | = |→ u | + |a| · |→ u | = |→ u | + a|→ u | = (1 + a)|→ u |.

(2.19)

− − − − Assim, por (2.18) e (2.19), segue que |→ u +→ v | = |→ u | + |→ v |, o que conclui a prova da Afirmação 2 e, consequentemente, da Proposição 2.10.

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