Historia de la Matemática - Egipcios operaciones

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Historia y Fundamentos de la Matemática – Apuntes 3 - Egipcios

Los Egipcios El sistema de numeración adoptado por los egipcios era aditivo, decimal, y compuesto de ocho signos jeroglíficos para indicar la unidad y las primeras siete potencias de 10 que en el contexto numérico se escribían de derecha a izquierda según las potencias decrecientes.

Prof. Gustavo Iturriz

Historia y Fundamentos de la Matemática – Apuntes 3 - Egipcios

Convertir los números de nuestro sistema decimal al sistema que utilizaban en el Antiguo Egipto y viceversa no resulta nada complicado. Tan solo hay que dominar la mecánica que, por otra parte resulta muy sencilla y saber qué símbolo corresponde a cada número. Por ejemplo, probemos con el número 233. Es un número muy sencillo que será muy fácil de convertir. Lo primero que hay que hacer es separa el número según el sistema de numeración egipcio. De esta forma nos quedaría: 100 + 100 10 + 10 + 10 1+1+1 Esta “separación” del número la debes hacer porque en el sistema egipcio, como ya has visto, no existen el número 3 o el 7, como tales, sino que solo representaban el 1, 10, 100, 1.000 Para alcanzar números como el 7, el 60 o el 800 tan solo hay que repetir el símbolo adecuado el número correspondiente de veces. Es decir, deberías sustituir 2 veces el símbolo de 100, 3 veces el símbolo de 10 y otras 3 veces el símbolo de uno para formar el número 233 en numeración egipcia. Te volvemos a poner la tabla con las figuras y sus equivalencias para que te sea más fácil. Seguro que ahora ya sabes convertir tú mismo el número. El Papiro Rhind Se trataba de un manual de aritmética, probablemente destinado a la formación de los escribas oficiales que tenían su cargo el conocimiento y la práctica de los cálculos que exigía la típica organización económica en la sociedad egipcia.

Prof. Gustavo Iturriz

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Fracciones unitarias

Cuenta la historia que el dios Seth mató a Osiris, padre de Horus, y que éste, por vengar a su padre, años más tarde se enfrentó a Seth. En dicha batalla, el ojo de Horus fue seccionado por distintas partes, las cuales fueron asociadas a fracciones unitarias denominadas las fracciones del ojo de Horus . Así pues, la parte izquierda de la pupila equivalía a

1 , la 2

1 1 1 , las cejas a , la parte derecha del ojo a , la parte inferior vertical 4 8 16 1 1 bajo el ojo a y la parte inferior diagonal del ojo a inferior vertical bajo el ojo. 32 64

pupila a

De los 87 problemas, 81 son sobre fracciones. Para ellos, las matemáticas eran eminentemente prácticas, por lo que en este papiro o en otros no encontramos abstracción de conceptos. Los seis primeros problemas del papiro de Rhind explican cómo dividir ‘n’ barras de pan entre 10 personas, en concreto, resuelve para 1, 2, 6, 7, 8 y 9 barras. Los egipcios tenían una curiosa manera de representar las fracciones, de hecho solían usar fracciones unitarias y no podían escribir 3 1 1 = + directamente, por ejemplo, 3/4. En su lugar, descomponían . Es decir, las fracciones las 4 2 4 descomponían en fracciones unitarias pero sin repetir ninguna. Este tipo de fracciones se conoce como fracciones egipcias, por este mismo motivo. La imagen del ojo de Horus (izquierda) contiene los jeroglíficos que se usaban para representar fracciones unitarias. Así, los egipcios podían resolver un problema como por ejemplo dividir 5 barras de pan entre 8 5 1 1 personas. Si se escribe en forma de fracciones egipcias = + . Es decir, cada uno de los 8 8 2 8 1 trabajadores, se llevaría de barra y la quinta barra, partida en 8 partes, daría para un trozo 2 adicional. Entre los problemas, también hay ecuaciones lineales, series geométricas y trigonometría. Una fracción egipcia es una fracción unitaria y cualquier fracción es suma de fracciones unitarias distintas. (Fracciones de numerador 1 y cuyos denominadores sean enteros positivos distintos). Las 1 1 1 1 1 fracciones son fracciones egipcias o fracciones unitarias. Se puede demostrar , , , , ... 2 3 4 5 n que cualquier número racional positivo se puede escribir como suma de fracciones egipcias. Veremos que cualquier fracción unitaria se puede expandir indefinidamente y llegar a una parte de Prof. Gustavo Iturriz

Historia y Fundamentos de la Matemática – Apuntes 3 - Egipcios la serie armónica.

Expresar la fracción 11/16 en suma de fracciones egipcias. En este caso, el denominador es un número compuesto sencillo. Los divisores de 16 son: 1, 2, 4, 8 y 16. Se eligen los mayores divisores del denominador que sumen el numerador. Se descompone en fracciones simples y se simplifica. Así de sencillo en este caso.

Procedimiento gráfico. Descomponer en fracciones egipcias 27/32 Se dibuja un polígono sencillo, se divide en 32 partes iguales y se colorean 27 de ellas. Observando el siguiente rectángulo 4 x 8 y los divisores de 32 que son: 1, 2, 4, 8, 16, 32 y que el numerador de la fracción 27 = 16 + 8 + 2 + 1, al descomponer la fracción 27 / 32 en fracciones sencillas, queda que 16/32 = 1/2, 8/32 = 1/4, 2/32 = 1/16 y 1/32 = 1/32

Multiplicación Los egipcios no tenían necesidad de saberse las tablas de multiplicar, ya que su método se basa solo en sumas, en duplicaciones. Comenzamos con un ejemplo sencillo: 36×12. Para realizar la multiplicación, escriben dos columnas. Una comienza con 36 y la otra con 1. El proceso consiste en ir doblando el número de cada columna hasta que la que comenzó con 1, supere al segundo factor: 36.......................................1 Prof. Gustavo Iturriz

Historia y Fundamentos de la Matemática – Apuntes 3 - Egipcios 72 ......................................2 144 .....................................4 288 ......................................8 No es necesario hacer más filas porque 8+8=16 ya es mayor que 12. Buscamos ahora en la segunda columna los números que, sumados, den el segundo factor. En este caso son el 8 y el 4 (8+4=12). Sumando los números correspondientes de la primera columna (140 y 280) obtenemos el resultado de la multiplicación: 144+288 = 36×12 = 432. Para 36×9, buscamos los números que suman 9, que son 8 y 1, por lo que el resultado será 288+36 = 324. Si queremos multiplicar 36×21, añadiríamos otra fila más y listo: El último ejemplo, para aclarar las ideas: 115×23= 2645 15 ............ 1 * .........1840 230 ....... .... 2 * ............460 460 .............4 * ...........230 920 ............ 8 ............+115 1840 ......... .16 * ..... —————.................................... 2645 Ecuaciones y sistemas de ecuaciones Por necesidades de reparto de víveres, salarial o de tierras, los escribas tuvieron que ser capaces de solventar distintos problemas, los cuales podrían ser reescritos en nuestros días como ecuaciones de primer grado o incluso como sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Al principio del papiro de Rhind el escriba Ahmes propone una tabla de descomposición de n/10 para n =1, 2, ,8, 9, … que facilita los cálculos de los siguientes problemas y otra en la que se expresan todas las fracciones de numerador 2 y denominador impar entre 3 y 101 como fracciones unitarias. Estas tablas son:

1 parte es igual a 19. 7 x 133 x+ =19,⇒ 7 x+ x=7.19⇒ x= 7 8

En el Papiro de Rhind, el problema 24 nos propone que un número más su En resolución actual, resolveríamos como

Prof. Gustavo Iturriz

Historia y Fundamentos de la Matemática – Apuntes 3 - Egipcios 7 7+ =8 Ahora basta con calcular un 7 número n tal que 19=8n y el valor buscado será x=7n . Dividiendo por 19/8 , obtenemos El escriba Ahmes supone un valor para x = 7, por lo que

1 1 19 Como 16+2+1=19 y n=2+ + = 4 8 8 1 1 133 1 1 x=7 2+ + = =16+ + 4 8 8 2 8

(

)

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la solución es