Exercícios Funções Exponenciais e Logarítmicas

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d) 3 e) 4

Exercícios Funções Exponenciais e Logarítmicas

4. (Ufpr 2014) Uma pizza a 185°C foi retirada de um forno quente. Entretanto, somente quando a temperatura atingir 65°C será possível segurar um de seus pedaços com as mãos nuas, sem se queimar. Suponha que a temperatura T da pizza, em graus Celsius, possa ser descrita em função do tempo t, em

2x −5

1. (Udesc 2014) Considere a função f(x) = 2

.

Sejam (a1, a2 , a3 ,...) uma progressão aritmética de razão 3 e f(a1 ) =

1 . Analise as proposições. 8

I. a53 = 157 II. A soma dos 11 primeiros termos da progressão aritmética é 145. III. f(a5 ) = 221 IV. (f(a1 ),f(a2 ),f(a3 ),...) é uma progressão geométrica de razão 64. Assinale a alternativa correta. a) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. b) Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras. c) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. d) Somente as afirmativas III e IV são verdadeiras. e) Todas as afirmativas são verdadeiras.

5. (Unicamp 2014) A altura (em metros) de um arbusto em uma dada fase de seu desenvolvimento pode ser expressa pela função h(t) = 0,5 + log3 (t + 1), onde o tempo t ≥ 0 é dado em anos.

2. (Ufsc 2014) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01) O domínio da função f dada por f(x) =

minutos, pela expressão T = 160 × 2−0,8×t + 25. Qual o tempo necessário para que se possa segurar um pedaço dessa pizza com as mãos nuas, sem se queimar? a) 0,25 minutos. b) 0,68 minutos. c) 2,5 minutos. d) 6,63 minutos. e) 10,0 minutos.

x −1 é x+3

{x ∈ ; x ≥ 1}. 02) O único valor inteiro que pertence à solução da

a) Qual é o tempo necessário para que a altura aumente de 0,5 m para 1,5 m? b) Suponha que outro arbusto, nessa mesma fase de desenvolvimento, tem sua altura expressa pela função composta g(t) = h(3t + 2). Verifique que a diferença g(t) − h(t) é uma constante, isto é, não depende de t.

inequação x2 − 4x + 3 < 0 é 2. 04) O conjunto solução da equação modular | 3 − 2x |=| x − 2 | é S = {1}.

− x, se x < 0  08) A função R(x) =  x 2 , se 0 ≤ x ≤ 1 é crescente em 1, se x > 1  todo o seu domínio. 16) Se uma função f : → é simultaneamente par e ímpar, então f(1) = 0. 32) Os gráficos das funções f : → e g : → ,

6. (Pucrs 2014) O modelo da cobertura que está sendo colocada no Estádio Beira-Rio está representado na figura abaixo.

dadas respectivamente por f(x) = x 2 e g(x) = 2 x , para todo x real, se intersectam em exatamente um único ponto. 64)

x 2 = x para todo x real.

3. (Mackenzie 2014) Seja f :

+

→

+

uma função

tal que f ( x + y ) = f ( x ) ⋅ f ( y ) para quaisquer x ∈

y∈

+.

4 Se f (1) = 8, o valor de f   é 3

a) 16 1 b) 3 1 c) 4

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+

e

Colocada devidamente em um plano cartesiano, é possível afirmar que, na forma em que está, a linha em destaque pode ser considerada uma restrição da representação da função dada por a) y = log(x) b) y = x 2 c) y = x d) y = − x e) y = 10 x

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7. (Ufrn 2013) A pedido do seu orientador, um bolsista de um laboratório de biologia construiu o gráfico a seguir a partir dos dados obtidos no monitoramento do crescimento de uma cultura de micro-organismos.

2 ≅ 1,4, podemos concluir que a população dessa cidade atingiu a marca dos 3600 habitantes em meados do ano: a) 2005 b) 2002 c) 2011 d) 2007 e) 2004 10. (Uem 2012) Considere a seguinte função 2

Analisando o gráfico, o bolsista informou ao orientador que a cultura crescia segundo o modelo matemático,

N = k ⋅ 2at , com t em horas e N em milhares de microorganismos. Para constatar que o modelo matemático apresentado pelo bolsista estava correto, o orientador coletou novos dados com t = 4 horas e t = 8 horas. Para que o modelo construído pelo bolsista esteja correto, nesse período, o orientador deve ter obtido um aumento na quantidade de micro-organismos de a) 80.000. b) 160.000. c) 40.000. d) 120.000. 8. (Pucrs 2013) A desintegração de uma substância radioativa é um fenômeno químico modelado pela fórmula q = 10 ⋅ 2k⋅t , onde q representa a quantidade de substância radioativa (em gramas) existente no instante t (em horas). Quando o tempo t é igual a 3,3 horas, a quantidade existente q vale 5. Então, o valor da constante k é a) − 35 5 b) − 33 10 c) − 5 33 d) − 10 33 e) − 100 33 9. (Espm 2013) Em 1997 iniciou-se a ocupação de uma fazenda improdutiva no interior do país, dando origem a uma pequena cidade. Estima-se que a população dessa cidade tenha crescido segundo a função P = 0,1 + log 2 ( x − 1996 ) , onde P é a população no ano x, em milhares de habitantes. Considerando

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f(x) = 42x − x −1 cujo domínio é conjunto dos números reais. Com relação a essa função, assinale o que for correto. 01) O mínimo da função f ocorre em x = 0. 02) O conjunto solução da inequação f (x) 8 é  1 − 21 1 + 21  S = x ∈ | x < ou x > . 4 4   16) log3 f (1) não existe. 11. (Unioeste 2012) O Saccharomyces cerevisiae é um fungo com bastante importância econômica. É utilizado como fermento para a massa de pão, produzindo dióxido de carbono e fazendo a massa crescer. É também utilizado na produção de bebidas alcoólicas fermentadas, pois converte o açúcar em álcool etílico. Sob certas condições de cultura, este fungo cresce exponencialmente de forma que a quantidade presente em um instante t dobra a cada 1,5 horas. Nestas condições, se colocarmos uma quantidade q0 deste fungo em um meio de cultura, a quantidade q(t) existente do fungo, decorridas t horas com t ∈ [0, ∞ ), pode ser calculada pela função a) q ( t ) = q0 43t . b) q ( t ) =

4 2 t q0 + q0 . 9 2

3  c) q ( t ) =  q0  . 2  2t

3 d) q ( t ) = q0   . 2 3

e) q ( t ) = 4 t q0 . 12. (Ucs 2012) Um modelo matemático para determinar o número de bactérias em determinado objeto é a função definida por N ( t ) = 500 ⋅ 2t , em que t é o tempo, em horas, a partir da observação inicial. Segundo esse modelo, o tempo, em horas, para que a quantidade de bactérias no objeto atinja 7.000, é dado por um número pertencente ao intervalo a) [99, 100]. b) [13, 14]. c) [6, 7].

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d) [3, 4]. e) [1, 2]. 13. (Ufpr 2012) Um grupo de cientistas decidiu utilizar o seguinte modelo logístico, bastante conhecido por matemáticos e biólogos, para estimar o número de pássaros, P(t), de determinada espécie numa área de 500 proteção ambiental: P(t) = , sendo t o tempo 1 + 22− t em anos e t = 0 o momento em que o estudo foi iniciado. a) Em quanto tempo a população chegará a 400 indivíduos? b) À medida que o tempo t aumenta, o número de pássaros dessa espécie se aproxima de qual valor? Justifique sua resposta. 14. (Uftm 2012) A população P de um país no ano t pode ser estimada através da função

P(t) = m ⋅ nt −2011, para n ≠ 0. Sabendo-se que a população atual desse país é de 15,3 milhões de habitantes, e que sua taxa anual de crescimento é de m 2%, então, é igual a n 6 a) 1,2 x 10 . 6 b) 1,5 x 10 . 7 c) 1,2 x 10 . 7 d) 1,5 x 10 . 8 e) 1,2 x 10 . 15. (Ufpe 2012) Em uma aula de Biologia, os alunos devem observar uma cultura de bactérias por um intervalo de tempo e informar o quociente entre a população final e a população inicial. Antônio observa a cultura de bactérias por 10 minutos e informa um valor Q. Iniciando a observação no mesmo instante que Antônio, Beatriz deve dar sua informação após 1 hora, mas, sabendo que a população de bactérias obedece à equação P ( t ) = P0 ⋅ ekt , Beatriz deduz que encontrará uma potência do valor informado por Antônio. Qual é o expoente dessa potência? 16. (Ufpr 2012) Uma quantia inicial de R$ 1.000,00 foi investida em uma aplicação financeira que rende juros de 6%, compostos anualmente. Qual é, aproximadamente, o tempo necessário para que essa quantia dobre? (Use log2 (1,06) ≈ 0,084.) 17. (Espcex (Aman) 2012) Na pesquisa e desenvolvimento de uma nova linha de defensivos agrícolas, constatou-se que a ação do produto sobre a população de insetos em uma lavoura pode ser descrita pela expressão N ( t ) = N0 ⋅ 2kt , sendo N0 a população no início do tratamento, N(t), a população após t dias de tratamento e k uma constante, que descreve a eficácia do produto. Dados de campo mostraram que, após dez dias de aplicação, a

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população havia sido reduzida à quarta parte da população inicial. Com estes dados, podemos afirmar que o valor da constante de eficácia deste produto é igual a a) 5−1 b) −5 −1 c) 10 d) 10 −1 e) −10−1

Solução Funções Exponenciais e Logarítmicas Resposta da questão 1: [B] 1 e a1 o primeiro termo da progressão 8 aritmética (a1, a2 , a3 , K) de razão igual a 3, vem

Sendo f(a1 ) =

22a1−5 =

1 ⇔ 22a1−5 = 2−3 8 ⇔ a1 = 1.

Assim, o termo de ordem n da progressão aritmética (a1, a2 , a3 , K) é

an = 1 + (n− 1) ⋅ 3 = 3n − 2. [I] Verdadeira. Tem-se

a53 = 3 ⋅ 53 − 2 = 157. [II] Falsa. De fato, sendo S11 a soma dos 11 primeiros termos da progressão aritmética (a1, a2 , a3 , K), vem

 1 + 3 ⋅ 11 − 2  S11 =   ⋅ 11 = 176. 2   [III] Verdadeira. Como a5 = 3 ⋅ 5 − 2 = 13, temos

f(a5 ) = f(13) = 22⋅13 −5 = 221. [IV] Verdadeira. Devemos mostrar que

f(an+1 ) = 64 f(an )

para todo n ≥ 1. Com efeito,

f(an+1 ) 22⋅(3⋅(n+1)−2)−5 26n−3 = = = 64. f(an ) 22⋅(3n− 2)−5 26n−9

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Resposta da questão 2: 02 + 16 = 18. [01] Incorreto. Lembrando que uma função está bem definida apenas quando se conhece o seu domínio, o contradomínio e a lei de associação, vamos supor que a proposição seja: O maior subconjunto dos números reais para o qual a função f, dada por f(x) =

x −1 , está x+3

definida é {x ∈ ; x ≥ 1}.

g apresentam pelo menos um ponto de interseção no intervalo 1   −1, − 2  (esboce os gráficos para concluir que   existe um único ponto nesse intervalo).

[64] Incorreto. Suponhamos por absurdo que x 2 = x, para todo x real. Nesse caso, teríamos

x = x2 = ( − x)2 = − x, o que obviamente vale apenas para x = 0. Na verdade, x real.

x 2 = | x |, para todo

Desse modo,

Resposta da questão 3: [A]

x −1 ≥ 0 ⇔ x < −3 ou x ≥ 1 x+3

Se f(x + y) = f(x) ⋅ f(y) para quaisquer x ∈

e, portanto, o maior subconjunto dos números reais para o qual a função f está definida é {x ∈ ; x < −3 ou x ≥ 1}. [02] Correto. Tem-se

x2 − 4x + 3 < 0 ⇔ (x − 1) ⋅ (x − 3) < 0 ⇔ 1 < x < 3. Portanto, a única solução inteira da inequação x 2 − 4x + 3 < 0 é x = 2.

| 3 − 2x | = | x − 2 | ⇒ 3 − 2x = ±(x − 2) 5 . 3

 5 Por conseguinte, S = 1,  .  3

e

(a > 0). Assim, f(1) = 8 4

4 implica em a = 8 e, portanto, f   = 8 3 = 24 = 16. 3 Resposta da questão 4: [C]

T = 160 ⋅ 2−0,8⋅t + 25 65 = 160 ⋅ 2−0,8⋅t + 25 2−0,8t = 1 4 2−0,8t = 2−2 −0,8 ⋅ t = −2 t = 2,5 minutos Resposta da questão 5: a) O valor de t para o qual se tem h(t) = 0,5 é

[08] Incorreto. A função f é decrescente para x < 0.

0,5 = 0,5 + log3 (t + 1) ⇔ t = 0.

[16] Correto. Se f é simultaneamente par e ímpar, então f( − x) = f(x) e f( −x) = −f(x), para todo x

Para h(t) = 1,5, obtemos

real. Daí, segue-se que f(x) = f( − x) = 0 para todo x real. [32] Incorreto. Como f(2) = g(2) = 4, segue-se que o ponto (2, 4) é comum aos gráficos de f e de g. Além disso, há pelo menos mais um ponto de 1  interseção no intervalo  −1, −  . Com efeito, note 2  que f é decrescente e g é crescente para

1,5 = 0,5 + log3 (t + 1) ⇔ t + 1 = 3 ⇔ t = 2. Portanto, serão necessários 2 anos para que a altura aumente de 0,5 m para 1,5 m. b) A lei da função g pode ser escrita sob a forma g(t) = h(3t + 2) = 0,5 + log3 (3t + 2 + 1)

x ∈ ] − ∞, 0[. Logo, sendo f( −1) > g( −1) e

= 0,5 + log3 3 ⋅ (t + 1)

 1  1 f  −  < g  −  , segue que os gráficos de f e de  2  2

= 1 + h(t).

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+

40 = 160 ⋅ 2−0,8⋅t

[04] Incorreto. Sabendo que | a | = | b | ⇒ a = ±b, vem

⇒ x = 1 ou x =

y ∈ + , então f(x) = a

x

= 0,5 + log3 3 + log3 (t + 1)

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Por conseguinte,

Resposta da questão 9: [D]

g(t) − h(t) = 1 + h(t) − h(t) = 1, Queremos calcular o valor de x para o qual se tem P = 3,6. Assim,

para todo t ≥ 0.

3,6 = 0,1 + log2 (x − 1996) ⇔ x − 1996 = 23,5 Resposta da questão 6: [A]

⇔ x = 23 ⋅ 2 + 1996 ⇒ x ≅ 2007,2, ou seja, a cidade atingiu a marca dos 3600 habitantes em meados de 2007.

Resposta da questão 10: 02 + 04 + 08 = 14. (01) Falso.

f(x) = 42x

2

x vértice = − O gráfico da função y = log(x) é o que mais se aproxima da curva considerada.

Resposta da questão 7: [D] Do gráfico, temos

(0, 10) ⇔ 10 = k ⋅ 2a⋅0 ⇔ k = 10

− x −1

, o mínimo da função ocorre para

b ( −1) 1 ⇒ x vértice = − ⇒ x vértice = . 2a 2(2) 4

(02) Verdadeiro. 2

f(x) < 1 ⇒ 42x − x −1 < 1 ⇒ 2x 2 − x − 1 < 0 Calculando as raízes, obtemos: 1  x = − 2x 2 − x − 1 = 0 ⇒  1 2. x = 1  2 Estudando os sinais da função, temos:

e

(2, 20) ⇔ 20 = 10 ⋅ 2a⋅2 ⇔ 2 = 22a ⇔a=

1 . 2 t

Logo, N(t) = 10 ⋅ 2 2 e, portanto, se o modelo estiver correto, o aumento na quantidade de microorganismos entre t = 4 e t = 8 horas deve ter sido de

N(8) − N(4) = 160 − 40 = 120.000. Resposta da questão 8: [D] Para t = 3,3 h sabe-se que q = 5 g. Logo,

5 = 10 ⋅ 2k⋅3,3 ⇔ 23,3k = 2−1 ⇔ 3,3k = −1 ⇔k=−

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10 . 33

 Logo, S =  x ∈ 

|−

1  < x < 1 2 

(04) Verdadeiro. Para x = 0, tem-se

log2 f(x) = log2 42x

2

− x −1

= log2 4 −1 = −2 .

(08) Verdadeiro. f(x) > 8 ⇒ 42x

2

− x −1

> 8 ⇒ 4x 2 − 2x − 2 > 3 ⇒ 4x 2 − 2x − 5 > 0

Calculando as raízes, obtemos:  1 + 21  x1 =  4 4x 2 − 2x − 5 = 0 ⇒  . 1 − 21   x 2 = 4 Estudando os sinais da função, temos:

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decimal. Desse modo, m = 15,3 ⋅ 106 e n = 1 + 0,02 = 1,02. Portanto, o resultado pedido é:

15,3 ⋅ 106 = 15 ⋅ 106 = 1,5 ⋅ 107. 1,02 Resposta da questão 15: 06.

 Logo, S =  x ∈ 

|x<

1 − 21 1 + 21  ou x >  4 4 

(16) Falso. 2

log3 f(1) = log3 42(1)

−(1)−1

q(t) = q0

⇒ 2 ⋅ q0 = q0 ⋅ q(t) = q0

3 ⋅k2

⇒2

P(10) = e10k = Q. P0 por P(60) = P0 ⋅ ek ⋅60 . Portanto,

3 = k2

P(60) = e60k = (e10k )6 = Q6 . P(0)

⇒k =34

3

Logo, q(t) = 4 t q0 .

Resposta da questão 12: [D] Queremos calcular o valor de t para o qual N(t) = 7000. Logo, t

P(10) = P0 ⋅ ek ⋅10 , supondo t em minutos. Logo,

Após 60 minutos, a população de bactérias é dada

= log3 40 = 0

Resposta da questão 11: [E] 3 ⋅k2

A população de bactérias após 10 minutos é dada por

Resposta da questão 16: Cálculo de Juros Compostos M → mon tan te C → capital  M = C(1 + i)t onde   i → taxa  t → tempo Portanto: 2000 = 1000(1 + 0,06)t ⇒ 1,06t = 2 ⇒ log2 1,06t = log2 2 ⇒ t(0,084) = 1 ⇒ t ≈ 11,9 anos

t

500 ⋅ 2 = 7000 ⇔ 2 = 14. Portanto, como 8 < 14 < 16 ⇔ 23 < 2t < 24 , segue que t ∈ ]3, 4[.

Resposta da questão 13: a) Para t = ? temos P(t) = 400 Portanto: 500 1 + 22− t

= 400 ⇒ 1 + 22− t =

Resposta da questão 17: [B] De acordo com as informações, vem N0 = N0 ⋅ 2k⋅10 ⇔ 210k = 2−2 ⇔ k = −5 −1. 4

500 5 1 ⇒ 22− t = − 1 ⇒ 22− t = ⇒ t = 4 400 4 4

b) Para t muito grande, o valor 22−t tende a ser 0; 500 logo, P(t) será dado por P(t) = = 500 . Portanto, 1+ 0 o número de pássaros dessa espécie se aproxima a 500.

Resposta da questão 14: [D] Na lei P(t) = m ⋅ nt −2011, temos que m é a população inicial (para t = 2011) e n = 1 + i é o fator de crescimento, sendo i a taxa de crescimento na forma

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