Clase 4 Funciones polinomiales

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FACULTAD DE CIENCIAS PROGRAMA DE CIENCIAS BÁSICAS CÁLCULO DIFERENCIAL - CDX24 Clase # 4

Objetivo: Reconocer y establecer relaciones entre las funciones polinomiales y racionales. Saber: Identificar y utilizar adecuadamente las funciones, sus operaciones y propiedades básicas como modelos para resolver situaciones problema en distintos contextos. Medios Electrónicos: http://www.themathpage.com/aPreCalc/functions.htm

Funciones polinomiales y racionales

La forma de una función polinomial es ( ) un entero no negativo.

*

+

*

+

donde

es

Una función racional tiene la forma ( ) Donde ( ) y

( ) ( )

( ) son funciones polinomiales.

Características principales de las funciones polinomiales. Grado: es el mayor exponente de la función polinomial. Coeficiente principal: es el coeficiente de la variable con mayor grado en el polinomio. Término constante: es el término del polinomio que no tiene variable.

Ejemplo: Identificar los términos de la función polinómica. ( ) Para la función ( ) el grado es , el coeficente principal es , y el término constante es .

Las funciones polinomiales se denominan como lineales si el grado es uno, cuadráticas si el grado es dos, cúbica si el grado es tres, etc.

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Función lineal. La ecuación de función lineal es un polinomio de primer grado, de la forma ( ) Donde

se conoce como pendiente de la línea, y

La pendiente cambio en .

es el intercepto con el eje .

es la fracción entre el número de unidades que se desplaza en

debido a un

Si los ejes cartesianos tienen unidades iguales esta fracción es una proporción dado que no tendría unidades de medida. Si el eje tiene unidades diferentes esta fracción se denomina como una razón de cambio o una tasa de cambio.

La letra griega (delta) significa “cambio” en matemáticas por tanto la pendiente función lineal es el “cambio de ” entre el “cambio de ”

de una

La pendiente determina en qué sentido y cuanto esta inclinada la recta, esto es, si la recta se inclina hacia la izquierda, si entonces la recta se inclina a derecha, si la recta es paralela al eje lo que significa que es una recta horizontal, si entonces la recta es vertical. La pendiente de una recta es una constante.

Ejemplo: Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos (

) y

(

)

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Ejemplo: Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos. ( (

El intercepto de una recta es el valor de la gráfica de la función corta el eje .

)y(

).

)

en el cuál

esto significa que es el valor en el cuál

Para hallar la ecuación de una recta hay diferentes métodos dependiendo de la cantidad de datos que se tengan.

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Pendiente – Intercepto. Si se tiene el valor de la pendiente y el intercepto se puede hallar la ecuación de la recta usando la expresión.

Basta con reemplazar los valores conocidos. Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (

) y que tiene pendiente

.

Solución: Como se conocen los datos de pendiente e intercepto entonces la ecuación de la recta será.

Punto - pendiente. Si se tienen dos puntos que pertenecen a una recta se puede hallar la ecuación de la recta que pasa por estos puntos aplicando el método conocido como punto- pendiente. Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos. (

)y(

).

Solución: Como se tienen dos puntos entonces se procede de la siguiente forma. 

Hallar la pendiente.

Esto es la recta avanza una unidad verticalmente cada vez que avanza una unidad horizontalmente. (

Ahora que se tiene la pendiente se puede aplicar la expresión punto pendiente.

) conocida como

Para el ejemplo. (

)

Despejando a

Dos rectas en el plano son paralelas si sus pendientes son iguales. Dos rectas en el plano son perpendiculares si sus pendientes

y

son tales que

.

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Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto ( ecuación .

) y que es paralela a la recta de

Solución: Como la recta debe ser paralela a cuya pendiente es entonces la pendiente también debe ser , ahora se conoce un punto que pertenece a la recta ( ), se tiene entonces un punto y la pendiente de la recta, aplicamos punto – pendiente. (

)

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto ( recta de ecuación . Solución: Como las rectas deben ser perpendiculares entonces.

de donde se puede deducir que.

Luego la ecuación de la recta perpendicular será. ( Despejando se obtiene que:

Formas de la ecuación de una recta. La forma general de la ecuación de una recta es:

Caso 1. Si

entonces la ecuación de la recta será.

Es una recta horizontal.

)

) y que es perpendicular a la

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Caso 2. Si

entonces la ecuación de la recta será.

Que es una recta vertical, paralela al eje .

Ejercicio: Encuentre la pendiente y las intersecciones de

y

de la recta dada. Grafique la recta.

1. 2.

Ejercicio: Encuentre una ecuación de la recta que satisface las condiciones dadas. 1. Pasa por ( 2. Pasa por (

) y es paralela a ) y es paralela al eje

Ejercicio: Encuentre una función linela ( ) 1. 2.

( (

) )

( ) ( ) ( )

que cumpla.

( )

Ejercicio: Encuentre una ecuación de la recta roja que se muestra en la figura.