4. Funciones y ecuaciones cuadráticas

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ALGEBRA – FUNCIONES Y ECUACIONES CUADRATICAS

Funciones y ecuaciones cuadráticas →

Concepto de función ←

En la unidad pasada se utilizó el concepto de función, así que ahora en este tema de ecuaciones cuadráticas vamos a seguir utilizando funciones, dominio y rango.

Antes de entrar al tema tenemos que conocer una parte fundamental de una ecuación cualquiera, el grado de una ecuación nos dirá el numero de soluciones que obtendremos, es decir, en una ecuación de grado uno, vamos a obtener una sola solución, en una ecuación de segundo grado, vamos a tener dos soluciones y así sucesivamente.

La forma general de una función cuadrática es f (x) = ax 2 + bx + c La gráfica de una función cuadrática es una parábola.

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ALGEBRA – FUNCIONES Y ECUACIONES CUADRATICAS Veamos un ejemplo claro y sencillo, grafiquemos la siguiente función: y = x 2

Identifiquemos el dominio y el rango de la función, recordemos que el dominio son todos los valores que toma en “x”, por lo tanto, el domino es de [-2 a 2]. El rango son todos los valores que van a pertenecer a “y” así que el rango es de [0 a 4].

¿Aún tienes dudas? Ve analizando junto con la imagen y da clic en el siguiente recuadro para completar la información.

Grafica de una ecuación cuadrática

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Solución para ecuaciones cuadráticas ←

Así como en las ecuaciones lineales observamos que hay distintos métodos de solución, también los hay para las ecuaciones cuadráticas, veamos a continuación sus métodos de soluciones.

Factorización ¿Cómo resolver ecuaciones de segundo grado por factorización?

Para resolver ecuaciones de segundo grado o cuadrática por factorización es necesario que el trinomio de la forma ax2 + bx + c = 0 sea factorizable por un término en común.

Debemos de seguir 3 pasos para la factorización:

･ Deberás simplificar la ecuación dada y dejarla de la forma ax2 + bx + c = 0, con el objetivo de saber identificar que “a” es el termino cuadrático, “b” es el termino lineal y “c” es el termino independiente. ･ Factorizar el trinomio del primer miembro de la ecuación, para obtener el producto de binomios. ･ Igualar a cero cada uno de los factores, sabemos que, si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos o ambos, son iguales a cero. Luego, se resuelven las ecuaciones simples que se obtienen de este modo. ･ ¿No quedo claro? No te preocupes, con el ejemplo quedara mas claro los pasos a seguir. Debes tener en cuenta que vamos a buscar dos números que multiplicados me den el termino “c” y sumados o restados el termino “b”

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ALGEBRA – FUNCIONES Y ECUACIONES CUADRATICAS Ejemplo: Resuelve por factorización la ecuación x2 - x - 6 = 0 Primero identifiquemos “a”, “b” y “c”.

a es x2 b es – x c es – 6

Entonces ya conociendo los términos, tenemos que buscar dos números que multiplicados nos den como resultado – 6 y que sumados o restados nos den como resultado – x, es decir menos 1. (porque cuando la “x” esta sola quiere decir que esta acompañada de un 1 que no se escribe)

Vamos lo que pasa en la imagen. Se busco los dos números que como resultado nos den -6, es decir (2) (-3) = -6 Esos dos números que se multiplican deben darnos como resultado al sumar o restar 1, es decir 2 – 3 = - 1

Finalmente, ya cuando se comprobó que cumplen ambos casos, se igualan a cero para obtener ecuaciones lineales sencillas de resolver en las cuales ya podemos obtener los valores de “x”. X = -2 y X = 3

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ALGEBRA – FUNCIONES Y ECUACIONES CUADRATICAS Formula General ¿Qué es la formula general?

Cómo lo dice la misma fórmula general es una fórmula que se utiliza para la resolución de ecuaciones cuadráticas sin importar su forma. Para ocupar esta fórmula general sólo se necesita identificar los términos “a”, “b” y “c”.

La fórmula general se ocupa cuando NO se encuentra una factorización a simple vista. Veamos la fórmula: x=

−b

b2 − 4ac 2a

Tiene la misma funcionalidad encontrar el valor de x1 y x 2 Ejemplo: Encontremos los valores de

x2 − x − 12 = 0

¿Cómo lo hacemos ocupando la fórmula general?

Anteriormente ya se determino quien era “a”, “b” y “c” en la ecuación cuadrática pasada, para encontrar la solución de esta nueva ecuación cuadrática, nuevamente se tiene que determinar esos valores para posteriormente sustituirlos en la fórmula general, ya que se observa que en la fórmula general se tienen los mismos términos, dónde lo único que se debe de hacer es sustituir el valor de cada letra en la fórmula general para poder llegar a la solución de la ecuación cuadrática.

x2 − x − 12 = 0

(x − 4)(x + 3) = 0  x1 = 4

y

x2 = −3

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x= ó

x=

x=

− (− 1)  1

(− 1)2 − 4(1)(− 12) 2(1)

1 + 48

Clic aquí para ver un ejercicio

2

1 7 2

x =4  1 x 2 = −3

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