Clase 16-17 Electromagnetismo - Inducción electromagnética v4.1

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Física II (62.03 – 82.02) Electromagnetismo Inducción electromagnética Josefina M. Silveyra

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Repaso •

Electrostática vs Magnetostática (tabla comparativa)

•

Circuitos magnéticos:

•

Toroide en vacío vs con núcleo ferromagnético blando lineal, con devanado simétrico o asimétrico

•

Aproximación de núcleo delgado

•

Ley de Hopkinson

•

Circuito magnético con cambios de medio y/o sección (reluctancias en serie). Ej.: entrehierro

•

Circuito magnético con distintos materiales contiguos (reluctancias en paralelo)

•

Circuito magnético de núcleo con histéresis y entrehierro

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Electromagnetismo

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Electricidad

Magnetismo

Electrostática  (vq=0) Corriente continua  (vflujo de q=cte) Magnetostática (vflujo de q=cte)

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En el vacío En medios  materiales

Conductores Dieléctricos  (aislantes)

En el vacío En medios  materiales

Ferromagnéticos

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Repaso: Magnetostática en materiales ferromagnéticos • Al hacer circular corriente constante  por un bobinado, se genera un campo magnético estacionario  en todo el núcleo. Llave  cerrada Obs.: Hallamos el sentido de  por la Regla de la mano derecha.

• Si se enrolla un segundo bobinado sobre el núcleo (en presencia del campo magnético estacionario  ) y se lo conecta a un amperímetro, se observa que no circula corriente por el segundo bobinado. Llave  cerrada

A

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Inducción electromagnética •

Fenómeno descubierto por Faraday en 1831.

“Coil A was capable of being connected to a trough  and coil B was connected to a Galvanometer. When  all was ready, connected the ends of one of the  Michael Faraday (1791‐1867) pieces on A side with battery; immediately a sensible  Inglaterra effect on the needle. It oscillated and settled at last  Batería Núcleo de hierro Galvanómetro in the original position. On breaking connection of A  side with battery again a disturbance of the needle  Al cerrar y al abrir la llave, observó una  wave apparently short and sudden.” corriente transitoria por el galvanómetro. Faraday, 1831.        .

• Las corrientes eléctricas circulan debido a alguna fuerza  electromotriz. • ¡Pero en el bobinado secundario no hay ninguna pila  conectada! (Obs.: en ambos experimentos, los dos  circuitos están desconectados eléctricamente entre sí) Batería

Solenoides

Galvanómetro

Al introducir (retirar) el solenoide A en el  (fuera del) solenoide B, observó una  corriente transitoria por el galvanómetro.

• En el bobinado “secundario” apareció una  ,  llamada “ inducida”, cuando el flujo del campo  magnético B concatenado (por dicho bobinado  secundario) varió en el tiempo.

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Ley de Faraday Sobre un camino cerrado se induce una fuerza electromotriz ( proporcional a la variación en el tiempo  del flujo magnético concatenado por dicho camino.

Recordar:

·

), 

, 

es el flujo de  a través de una superficie  definida por  el camino cerrado sobre el que se genera la  inducida.

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Ley de Lenz •

Desarrollada en 1834. El sentido de la corriente eléctrica inducida en un conductor por inducción  electromagnética debido a la Ley de Faraday, es tal que creará un campo  magnético que se oponga al cambio que la produjo (es decir, que se oponga a la  variación del flujo magnético concatenado por el camino conductor).

•

Emil Lenz (1804‐1865) Rusia

Vamos a analizar el primer experimento de Faraday en función de la Ley de Lenz para conocer  el sentido de la corriente inducida en el circuito secundario: 3. Genera un campo B horario (por la regla de la mano  derecha), también creciente durante un intervalo de tiempo 1. Al cerrar la llave B original creciente i creciente

B inducido

A

4. Por el secundario, se inducirá una  corriente tal que intente mantener  el campo B original constante en el  tiempo (oponiéndose al crecimiento  de B), es decir generando un nuevo  campo B antihorario

5. Por la regla de la mano  derecha, dicha corriente  2. Circula una corriente i, que es  inducida entrará por el  creciente durante un intervalo de  i inducida borne inferior tiempo (un instante antes era nula) Obs.: Pensar qué sucede al abrir la llave, o al dar vuelta la pila y/o los bobinados

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Ley de Faraday‐Lenz ·

1 en el  Ley de Faraday:  Sistema Internacional (de unidades)

•

Si el camino que concatena la variación de flujo magnético es conductor, sobre él circulará una  corriente eléctrica. Aplicando la Ley de Kirchhoff de mallas: 0 donde  es la resistencia del camino conductor.

•

Como S es una superficie abierta, el sentido de  es arbitrario. Pero una vez elegido, por la Regla  de la mano derecha, queda fijado el sentido positivo de circulación de la corriente por el camino  sobre el que se induce la  .

•

La corriente inducida en el camino conductor cerrado, generará un nuevo campo  , cuyo flujo  (sobre el camino) contrarrestará la variación del flujo de  original (ambos campos no serán  necesariamente opuestos)

Motivos por los que puede variar el flujo de campo magnético  concatenado por un camino cerrado: 1) Variación temporal del módulo del campo magnético . 2) Variación de la orientación entre el campo magnético y la superficie  delimitada por el camino  cerrado (es decir, el ángulo entre  y  ). 3) Variación del área de la superficie  delimitada por el camino cerrado (se deforma el camino). 4) Movimiento de la superficie  en una región del espacio donde el campo magnético  no es uniforme.

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Ejemplo 1: Fem inducida en espira debido a B(t) •

•

z

y

Se tiene un campo magnético uniforme, pero de  módulo variable en el tiempo, dentro de una  región cilíndrica de sección A.  Hallaremos la  inducida y el sentido de la  corriente en diversos caminos conductores en  reposo por la Ley de Faraday‐Lenz.

y

.

x

.

Caso 1: Espira circular ·

 

 

Elegimos, arbitrariamente, el  sentido de  paralelo a  .

B es uniforme dentro de la sección  de área A y es nulo afuera. 0 ⇒

•

Por la Ley de Kirchhoff de mallas:

•

Obs.: Al haber elegido  en ̂ , también fijamos el sentido positivo de circulación en la espira. Por la Regla de la mano derecha, el sentido de circulación positivo será antihorario en las figuras. Si, por ejemplo,  es creciente en el tiempo, la corriente inducida sobre la espira será negativa,  lo que significa que circulará en sentido horario en los esquemas de arriba, generando un nuevo  campo magnético que se opone al crecimiento del  original. Obs.: Cuando se pide hallar la 

, utilizar siempre el  original y no el  generado por la 

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•

Una aplicación de este ejemplo es el  transformador (que estudiaremos en detalle más  adelante). En un transformador típico, la  corriente del circuito primario es sinusoidal). 

•

En el circuito de la figura, para los intervalos de  tiempo en los que la corriente del primario es  creciente y entrante por el borne superior, en el  secundario se inducirá una corriente con el  sentido indicado.

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¿Y si la variación de 

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atraviesa superficies conductoras en lugar de espiras?

•

Corrientes de Foucault = eddy currents (corrientes torbellino): Descubiertas en 1851.

•

Caminos cerrados de corriente que se producen debido a la variación temporal del  flujo magnético a través de las superficies que encierran los caminos conductores.

Léon Foucault (1819 – 1868) Francia

•

Es complejo calcularlas analíticamente: dependen de las propiedades del material (permeabilidad  y  conductividad  ) y de su geometría. Se calculan numéricamente por el método de elementos finitos.

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Caso 2: Espira sector circular Arbitrariamente, tomamos un  paralelo a  (que tiene asociado un sentido positivo  antihorario de circulación de corriente)

y

uniforme y creciente en  el tiempo

.

x

·

2

2

Como  dio negativo, la corriente inducida circulará en sentido  horario (generando un campo  entrante –intentando compensar  el  saliente decreciente) Caso 3: Espira sector de corona circular y

uniforme y creciente en  el tiempo

.

x

·

0

0

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Ejemplo 2: Fem inducida en espira de orientación variable en el tiempo • •

•

.

Se tiene un campo  uniforme y constante, espira de sección A  1 que gira a una velocidad angular  . 2 Hallaremos la  inducida y el sentido de la corriente por la  Ley de Faraday‐Lenz. 3 Obs.: Si elegimos el sentido de  · para que sea paralelo a  en la  posición 1, el producto escalar en  Vista frontal Vista lateral la posición 1 será positivo y en las  cos Posición 1 demás dependerá del ángulo  (entre  y  ). cos Obs.: La espira gira a una velocidad angular  , entonces . cos t Para  ∈ 0, : disminuye con el tiempo (entre 0 /2 disminuye, entre  • /2 aumenta para el otro lado). sen t • La corriente inducida es positiva, por lo que el  inducido es  paralelo a  y se opone a la disminución de  . sen t Para  ∈ , 2 : aumenta con el tiempo (primero disminuye para el otro lado  • Este dispositivo es un  y después aumenta). generador de corriente alterna • la corriente inducida es negativa, por lo que el campo magnético  inducido es antiparalelo a  y se opone al aumento de  .

.

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Generador de corriente alterna

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z

Ejemplo 3: Fem inducida en espira deformable • •

Se tiene un campo  uniforme dentro de una  región cilíndrica de radio  .  Hallaremos la  inducida y el sentido de la  corriente en una espira concéntrica de radio  que se contrae en el tiempo: 

y

y

•

, el flujo de  concatenado por la espira no varía ( Desde  0 hasta que  por lo que la  inducida, y por lo tanto la corriente inducida, son nulas.

•

Desde que 

.

x

.

, el flujo de  concatenado por la espira decrece, induciéndose una  ·

 

 

Obs.: Elegimos, arbitrariamente,  en ̂ . Esto fija el sentido positivo  de circulación en la espira: por la Regla de la mano derecha, el sentido  de circulación positivo será antihorario en las figuras. 2 •

La corriente circula en sentido antihorario, puesto que 

dio positivo

Obs.: La corriente inducida antihoraria genera un nuevo campo magnético que se opone a la  disminución del flujo del  original concatenado por la espira.

),  :

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Ejemplo 4: Fem inducida en espira a velocidad constante en campo B  constante en el tiempo y variable en el espacio 0 y • • •

•

.

Se tiene un campo magnético uniforme y constante  dentro de la región celeste. Hallaremos la  inducida y el sentido de la corriente  la espira cuadrada que se mueve a velocidad  Mientras la espira está completamente en la región blanca, el  0), por lo que  flujo de  concatenado por ella no varía ( la  inducida, y por lo tanto la corriente inducida, son nulas. Cuando la espira comienza a entrar en la región celeste (en  el flujo de  concatenado por ella aumenta, induciéndose una  ·



Elegimos, arbitrariamente, el  sentido de  paralelo a  .

cte  ̂

x 0 ),  :

y

.

.

cte  ̂

B es uniforme en la región celeste  (y nulo en la blanca)

• Luego, / Obs.: A medida que la espira penetra en la zona con B no nulo: o concatenado aumenta con el tiempo. o la corriente inducida es negativa (circulación en sentido horario), por lo que el campo magnético  inducido es antiparalelo a  y se opone al aumento del  concatenado. Obs.: Pensar qué sucede cuando la espira avanza toda dentro de la región con campo y cuando sale.

x

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¿Qué efecto tiene la corriente inducida sobre la espira en movimiento? • Recordemos que, sobre un hilo de corriente en presencia de un campo magnético,  aparecerá una fuerza magnética sobre el hilo dada por (fuerza de Lorentz): • Hallaremos la fuerza magnética neta sobre la espira como  la sumatoria (vectorial) de las fuerzas sobre cada tramo: Obs.: En los tramos de la espira en la región donde B es  nulo, la fuerza magnética es también nula.

/

0

y

.

.

cte  ̂

Obs.: No ponemos el signo menos, puesto que el sentido de  circulación de la corriente ya fue tenido en cuenta al calcular 

• Observamos que la fuerza magnética se opone al movimiento de la  espira ( ), frenándola (nuevamente, la corriente inducida  genera una fuerza que se opone a la causa que la produjo). • Este fenómeno es conocido como freno magnético.

x

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Freno magnético • Este tipo de frenado desacelera el movimiento relativo entre un imán y un conductor.

Frenado por rozamiento  Frena completamente  Desgaste  Calentamiento superficial

VS

Frenado magnético  No frena completamente  Sin desgaste  Calentamiento interno

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•

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Pero en este problema, la espira no reduce su velocidad. La  espira se aleja del hilo a una velocidad  mantenida constante  por un agente externo (ej.: la mano de una persona). 

y

.

cte  ̂

• Para que  se mantenga constante, el agente externo ejerce  una fuerza sobre la espira, de igual intensidad y dirección, y  sentido contrario que la fuerza neta que actúa sobre la espira. •

x

El trabajo por unidad de tiempo, es decir, la potencia que realiza el agente externo (la fuerza  magnética NO realiza trabajo), se puede calcular a partir de la fuerza magnética neta sobre la espira,  ·





é

o bien, a partir de la potencia disipada en la espira por efecto Joule:

• La disipación de energía de las corrientes inducidas por efecto Joule, es nocivo en aplicaciones  tales como transformadores o motores eléctricos (y se llaman corrientes parásitas) y en otras,  como en el calentamiento por inducción, es el efecto buscado.

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Resumiendo •

Si un camino cerrado conductor concatena un flujo de campo magnético variable en el tiempo  (el cual puede variar por distintas razones), sobre este camino se induce una fuerza  electromotriz ( ) proporcional a dicha variación, que provoca la circulación de una corriente  que contrarresta el cambio que la generó.

•

Esta Ley de Faraday‐Lenz, es una ley “experimental” (es decir, deducida a partir de la  observación de experimentos).

•

La clase que viene modificaremos y generalizaremos la Ley de Faraday‐Lenz para  independizarnos de la presencia de circuitos conductores mediante el estudio de campos no  conservativos (magnético y/o eléctrico). Esa Ley es conocida como Ley de Maxwell‐Faraday.

•

También veremos cómo se puede deducir teóricamente la Ley experimental de Faraday‐Lenz (a  partir de las Leyes de Maxwell y de la Ley de Lorentz).

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Física II (62.03 – 82.02) Inducción electromagnética (continuación) Josefina M. Silveyra

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¿Qué genera la fem inducida? •

Sobre un camino conductor cerrado, sin pilas, sobre el que se observa una circulación de corriente  eléctrica, se tiene que haber inducido una  .

Repaso: Fuerza electromotriz ( ̅· •

1 ̅

) [Volts]: ·

̅

Los tipos de fuerza que actúan sobre las cargas eléctricas son la eléctrica y la magnética.

Repaso: Ley de Lorentz: ̅ •

Por lo tanto, si sobre las cargas no actúan agentes electroquímicos u otros que entreguen  s (es  decir, tenemos un circuito sin ningún tipo de batería, ni electroquímica, ni de Van der Graaff, ni  nada), sino sólo actúan fuerzas eléctricas y magnéticas, la fuerza total que actúa sobre las cargas  surge de la Ley de Lorentz: ̅

•

·

̅

Re‐analicemos los problemas de la clase pasada en vistas de la expresión anterior.

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Ejemplo 4: Fem inducida en espira a velocidad constante en campo B  constante en el tiempo y variable en el espacio y • •

Cada una de las cargas del conductor cerrado, se mueve a  una velocidad  (aplicada por un agente externo) Las que se mueven en la región con campo  , experimentan  una fuerza magnética en dirección  :

.

cte  ̂

x

̂ Debido a esta fuerza, las que se encuentran en el tramo vertical dentro de la región con campo  se  mueven para abajo (obs.: pensando en cargas positivas), generando una corriente eléctrica. • Tal como ocurría en un circuito en el que había una rama con una pila entregando una  , luego de  un breve intervalo de tiempo en el que habrá una reacomodación de cargas superficiales por todo el  conductor, se alcanza una corriente constante horaria a lo largo de toda la espira cuadrada. • La clase pasada, hallamos la  inducida sobre la espira cuadrada a partir de la Ley de Faraday‐Lenz,  que era una ley “experimental”. Obs.: El signo menos  • Ahora, podemos llegar al mismo resultado a partir de la Ley de Lorentz: implica corriente  •

̅

·

̅

El campo  generado por la  distribución superficial de  cargas a lo largo del conductor,  es conservativo, por lo que es  nula su circulación cerrada. 

̅

·

̅

·

1. Elegimos recorrer el camino,  arbitrariamente, en forma antihoraria. 2. Solo en un tramo de la espira  la integral es no nula (en los otros,  ̅ 0, o bien,  ̅

inducida en sentido  contrario al elegido  arbitrariamente: horario

Obs.: Con este nuevo enfoque  nos damos cuenta que la  fue inducida a lo largo del tramo  vertical derecho de la espira.

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Ejemplo 3: Fem inducida en espira deformable •

z

y

Podemos hacer un análisis semejante en este caso, en el  que cada carga se mueve a una velocidad  ̅ al contraerse la espira circular conductora.

•

, cada carga se mueve en  Desde  0 hasta que  una región sin campo  , por lo que no experimenta fuerza  alguna (es decir, no hay  ).

•

Desde que 

y

.

̅

, todas las cargas se mueven en presencia de campo  y se induce una  ·

̅ ̅

·

·

Elegimos recorrer el  camino, arbitrariamente,  en forma antihoraria.

El campo  electrostático es  conservativo, por lo que su  circulación cerrada es nula 2

̅





2

Obs.: A diferencia del caso anterior, aquí se induce 

a lo largo de toda la espira.

x

:

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Ejemplo 2: Fem inducida en espira de orientación variable en el tiempo •

También podríamos hacer el mismo análisis para el generador de corriente alterna

Se puede ver un análisis más exhaustivo este dispositivo en la página 9‐11 del Apunte en el apartado 9.4.

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Ejemplo 1: Parte I ‐ Fem inducida en espira debido a B(t) •

•

En este ejemplo, para cualquiera de los casos analizados la  clase pasada (espira circular, sector circular o sector corona  circular), notamos que las espiras se encuentran en reposo.

z

Por lo tanto, la fuerza magnética no puede ser la responsable de la  inducida, puesto que es nula en todo lugar. ̅

· ̅ ̅ 0 a lo largo de toda la espira,  por estar esta en reposo

•

¡¡¡La razón es que hay un campo eléctrico  no conservativo!!!

•

¿y quién dicho campo  ?

•

Lo generó el campo  variable en el tiempo.

Obs.: no pueden ser cargas eléctricas, puesto que estas generan  un campo conservativo y su circulación cerrada es nula

y

JM Silveyra

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182

Ley de Maxwell‐Faraday, una de las leyes de Maxwell •

Modificación y generalización de la Ley de Faraday‐Lenz. Obs.: Los campos  y  pueden ser funciones  dependientes de la posición  y del tiempo  James Clerk Maxwell

•

Aplicando el Teorema del rotor (o de Stokes) ·

·

·

·

⇒

·

(1831 – 1879) Escocia

·

Obs.: La  ambigüedad en el  signo de  y  se  resuelve por la  Regla de la mano  derecha.

•

Maxwell se independiza del circuito experimental, de la  flujo concatenado (por algún camino). 

inducida (sobre algún camino) y del 

•

En vez, establece una relación entre los campos eléctrico y magnético (que pueden estar presentes  incluso en vacío, sin cargas, sin conductores con corrientes y sin imanes permanentes).

•

Establece que un campo  variable en el tiempo en una región siempre va a estar acompañado por  un campo  no conservativo variable en todo espacio.

JM Silveyra

•

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Resumiendo,

Ley de Maxwell‐Faraday Forma integral Forma diferencial (local) ·

·

• Observaciones: o El campo  puede ser generado por cargas eléctricas. o Dicho  , llamado electrostático o colombiano, es irrotacional=conservativo: su circulación cerrada  por cualquier camino y su rotor ‐en cualquier punto del espacio‐ son nulos, (se puede definir la  función escalar potencial eléctrico) o El campo  puede también ser generado por un  variable en el tiempo. o Dicho  , llamado inducido, NO es irrotacional=conservativo: su circulación cerrada y su rotor son no  nulos (no se puede definir más la función potencial escalar).

JM Silveyra

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184

Ejemplo 1: Parte II ‐ Campo E no conservativo inducido por campo B(t) •

Volviendo al ejemplo anterior, hallaremos el campo  (o más bien  su intensidad) en todo el espacio a partir de la forma integral de  Ley de Faraday‐Maxwell (de forma análoga a cómo obteníamos el  campo electrostático a partir de la forma integral de la Ley de  Gauss, y el campo magnetostático a partir de la forma integral de  la Ley de Ampère): ·

·

•

Primero debemos determinar la dirección de  .

•

Determinaremos la dirección del  generado por una región cilíndrica  con 

uniforme y creciente  en el tiempo

.

x

Sin hay cargas eléctricas  en todo el espacio

por analogía: 

conocemos la dirección de  generado por una región cilíndrica con  ), y ambos están relacionados por la misma ecuación  ( matemática:  •

y

Por lo tanto: 

·

·

JM Silveyra

•

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y

Después debemos determinar la dependencia con las coordenadas espaciales de  :  ‐

Por simetría de rotación en  y de traslación en  :  , ,

•

185

Ahora sí aplicamos la forma integral de la Ley de Maxwell‐ Faraday para una curva  concéntrica de radio  (y elegimos,  arbitrariamente, recorrerla en sentido antihorario) : ·

·

∥

∥

. uniforme y . creciente en  el tiempo

Obs.: E sale de la integral porque es uniforme a lo largo de  la curva C (no depende de la variable de integración) ‐

Calculamos el campo en las dos regiones del espacio: 2

2 2

2

x

JM Silveyra

•

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186

Finalmente, el resultado, que incluye al módulo, a la dirección y  al sentido del campo en cada región del espacio: Obs.: Incluso en ausencia de cargas eléctricas hay campo  en todo  el espacio, debido al campo  variable en el tiempo en una región. Notar que se induce campo  en todo el espacio, no solo donde hay campo  . 

•

Para el caso particular en el que el campo  crece linealmente en el tiempo: es una constante positiva.

•

Por lo tanto, para este  caso particular:

•

Este problema puede ser realizado  experimentalmente con un solenoide  muy largo por el que circule una  corriente que crezca linealmente:

2

∝

 

2

∝ 1/

2



 

JM Silveyra

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187

Ejemplo 1: Parte III ‐ Fem inducida en espira debido a B(t) •

Ahora, ya conocido el campo eléctrico en todo el espacio: 2 2

podemos hallar la 

̅

inducida como:



 



 

̅

·

̅ 0 a lo largo de toda la espira,  por estar esta en reposo Arbitrariamente, tomamos  un sentido de circulación  positivo antihorario

Caso 1: Espira circular y

uniforme y creciente en  el tiempo

.

· x

2

·

2

2

Como dio negativa, la corriente inducida en la  espira conductora circula en sentido horario

JM Silveyra

2c2019

Caso 2: Espira sector circular y

uniforme y creciente en  el tiempo

.

188

Arbitrariamente, tomamos  En los tramos  un sentido de circulación  radiales  positivo antihorario x ·

·

2

2

Arbitrariamente,  tomamos un sentido  de circulación  positivo antihorario

Caso 3: Espira sector corona circular

uniforme y creciente en  el tiempo

.

En los tramos  radiales  x

·

0

·

2 2

2

Como dio negativa, la corriente inducida en la  espira conductora circula en sentido horario

2

y

2

2

2

2

2

2 2

Como dio nula, no se induce  corriente en la espira conductora

·

JM Silveyra

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189

Fem inducida sobre tramos o caminos abiertos • •

• • •

Como vimos, calcular la  a partir de la fuerza de Lorentz, nos permite conocer en qué parte del  camino se induce. Por la Ley experimental de Faraday‐Lenz, podíamos calcular la  inducida en un camino cerrado,  pero no podíamos saber a ciencia cierta si se estaba induciendo por todo el camino o solo por algún  tramo (ni cuál). Podemos ampliar la definición de  en función de la fuerza de Lorentz para tramos abiertos. Para caminos cerrados, da lo mismo tener o no en cuenta los campos conservativos, puesto que, de  todas maneras, su integral de línea cerrada es nula. Para caminos abiertos, debemos considerar únicamente a los campos no conservativos: los eléctricos  no conservativos (es decir, no coulombianos) y los magnéticos (que siempre son no conservativos). ̅

•

·

̅

Obs.: Ya sea en caminos abiertos o cerrados,  la  asociada a campos  se llama a veces  “ transformadora” (en inglés, transformer EMF)  y la asociada a campos  , “ de movimiento”  (en inglés, motional EMF).

Notar que, aunque se induzca una  en un camino conductor abierto, no se inducirá corriente en el  estado estacionario. Sí habrá una reacomodación de cargas en un breve intervalo de tiempo  transitorio, dando origen a un campo  conservativo. Se alcanzará el equilibrio cuando la resultante  ̅ de las fuerzas no conservativas ( ) y conservativa ( ) dentro del conductor sea nula. Obs.: Si el camino fuera dieléctrico en lugar de conductor, tampoco habrá flujo de cargas,  únicamente se polarizará.

JM Silveyra

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Arbitrariamente, tomamos un sentido de  circulación positivo antihorario

Ejemplo: Tramo curvo y

· uniforme y creciente en  el tiempo • • • •

.

·

2

2

2

2

x

2 Obs.: La acumulación de cargas no será solo en los extremos del  + ‐ conductor, ya que deben contrarrestar un campo  en  . También podemos aplicar la Ley de Faraday‐Lenz para resolver este problema indirectamente. sobre un camino siempre cerrado. La Ley de Faraday‐Lenz nos permitirá hallar la  Debemos entonces cerrar el tramo AB con algún camino por el que podamos asegurar que no se  inducirá ninguna  . Sabiendo que el campo  genera un campo  azimutal en todo el espacio (por Regla de la  mano derecha), sin necesidad de hallar su módulo, elegimos cerrar el tramo AB con los tramos  radiales AO y OB, puesto que son perpendiculares a  . ̅

·

̅

·

·

·

·

El camino cerrado  Aunque no sepamos cuánto es  , por la  Demostramos así que la  está en reposo regla de la mano derecha sabemos que es  que hallemos sobre el sector  circular AOB será la inducida  , es decir, perpendicular a  en  sobre el tramo AB ·

2

2

JM Silveyra

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La Ley de Faraday‐Lenz y la relatividad •

Las interacciones eléctricas y magnéticas son manifestaciones de un mismo fenómeno,  y queda en evidencia al analizar cuerpos en movimiento.

Ejemplo: Se tiene un imán y una espira. El fenómeno observado es que se  induce una corriente en la espira, que depende del movimiento relativo  entre el imán y el conductor.

‐ Si se mueve el imán, con la espira en reposo, se genera  un campo  alrededor del imán debido a la variación  temporal de  (Ley de Maxwell‐Faraday), el cual ejerce  una fuerza eléctrica sobre las cargas del conductor,  generando una corriente.

‐ Si se mueve el la espira, con el imán en reposo, no se  genera ningún campo  alrededor del imán. Pero aparece  una fuerza magnética en las cargas del conductor debido a  su movimiento en presencia de un campo  (Ley de Lorentz),  generando una corriente (la misma que en el caso anterior).

G

G

JM Silveyra

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Resumiendo •

Un campo magnético variable en el tiempo genera un campo eléctrico no conservativo.

•

Los campos no conservativos (magnético y/o eléctrico no coulombiano) son los que inducen una  fuerza electromotriz sobre un camino.

•

La integral de línea de la fuerza de Lorentz, por unidad de carga, permite hallar la  identificando su localización y el origen del fenómeno. También permite hallar la  no conductores y/o abiertos, en los cuales no habrá circulación de corriente.

•

La Ley de Faraday‐Lenz permite hallar la  inducida sobre caminos cerrados, sin localizar la  ni identificar el fenómeno subyacente (magnético o eléctrico) pero, muchas veces, simplifica los  cálculos. Se puede utilizar para hallar indirectamente la  sobre caminos abiertos solo si se  cumplen algunas consideraciones especiales.

inducida  sobre caminos 

JM Silveyra

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Física II (62.03 – 82.02) Inducción electromagnética (optativo) Demostración teórica de  la Ley de Faraday‐Lenz 10 ejemplos extra Josefina M. Silveyra

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JM Silveyra

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194

Demostración teórica de la Ley experimental de Faraday‐Lenz • •

•

Las cuatro Leyes de Maxwell, junto con la Ley de Lorentz, son suficientes para explicar todos los  comportamientos electromagnéticos clásicos. Por lo tanto, demostraremos la Ley de Faraday‐Lenz, obtenida experimentalmente, a partir de la  Ley de Maxwell‐Faraday, la Ley de Gauss para magnetismo, y un poco de cálculo vectorial. Partimos de la definición de derivada en el tiempo del flujo magnético a través de una superficie  arbitraria en el espacio (que puede estar moviéndose y/o deformándose con el tiempo): ·

•

La integral puede variar en el tiempo por dos razones: porque varía el integrando o porque varía la  región de integración. Por lo tanto, para un instante de tiempo fijo  : ·

·

Obs.: La  inducida puede pensarse como la suma de dos  , asociadas a los dos términos del  miembro derecho, respectivamente: ‐ debida a la variación temporal del campo  que induce la creación de un campo  no conservativo  (en inglés, transformer EMF) ‐ debida al movimiento (con o sin deformación) del camino (en inglés, motional EMF)

JM Silveyra

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·

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·

•

Podemos reescribir el primer término del miembro  derecho utilizando la Ley de Maxwell‐Faraday:

•

Analizamos el segundo término del miembro derecho (la parte más difícil de la demostración –existen  demostraciones alternativas de esta parte, como en la página 9‐22 del Apunte en el apartado 9.10):

·

A medida que la curva cerrada  avanza y/o deforma,  barre una superficie (ver figura): un diferencial de longitud  de la curva  se mueve con velocidad  durante un diferencial  de tiempo  , barriendo una superficie  . El flujo del campo  a través de esta superficie barrida es  a través de la superficie  igual a la variación del flujo de 

·

.

(Este paso utiliza implícitamente la Ley de Gauss para magnetismo:  como las líneas de campo  son cerradas, solo pueden entrar al camino  si atraviesan la superficie barrida). Por lo tanto, la variación del flujo de  ·

a través de la superficie 

es:

·

· ·

·

donde  es la  velocidad del elemento  de la curva 

JM Silveyra

•

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Reemplazando las equivalencias halladas: ·

·

·

·

·

·

Variación temporal del flujo del campo  a través de  una superficie  cualquiera definida por la curva  cerrada  , donde  es la velocidad de cada elemento  de la curva  .

JM Silveyra

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197

•

Si sobre las cargas no actúan agentes electroquímicos u otros (es decir, tenemos un circuito sin  ningún tipo de batería, ni electroquímica, ni de Van der Graaff, ni nada), sino sólo actúan fuerzas  eléctricas y magnéticas, la fuerza total que actúa sobre las cargas surge de la Ley de Lorentz:

•

Por lo tanto: 1

·

1

·

·

• A esta 

Obs.: Si usamos la definición de  para caminos abiertos, entonces  el campo eléctrico es únicamente el no conservativo (el originado por  campos magnéticos variables en el tiempo y no el originado por cargas  eléctricas): 1 1 · ·

·

Obs.: Si usamos la definición de  para  caminos cerrados, da igual si el campo  es  o el total  + porque la  circulación cerrada de  es nula

, originada por fuerzas no conservativas eléctricas y/o magnéticas, la llamamos “

• Por lo tanto, por la igualdad hallada una diapositivas atrás: y queda demostrada la ley experimental de Faraday y Lenz.

·

inducida”

JM Silveyra

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198

y

Ejemplo 1: Tramo recto ·

·

2

uniforme y creciente en  el tiempo

Obs.: No es tan trivial hacer este producto escalar ni la integral:  hay que pasar el versor a cartesianas.  ‐ Por Faraday‐Lenz podemos hallar la  ·

sobre el camino cerrado OAB: 2

2

‐ Además, sabemos que: ·

·

·

·

·

El camino cerrado  Aunque no sepamos cuánto es  , por la regla  de la mano derecha sabemos que es en  está en reposo ‐ Por lo tanto:

·

2

.

x

JM Silveyra

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199

Ejemplo 2: Fem inducida en espira a velocidad constante en campo B const. z en el tiempo y variable en el espacio •

•

constante

Calcularemos la  en la espira tomando  un sistema de referencia en el hilo.

Por la Ley de Ampère:

.

constante y Que, sobre la espira de corriente, equivale a:

•

2

2



̂

Obs.: Como no hay variación en el tiempo de  en ningún punto del espacio, no hay  inducido. •

·

2 •

̂ ):

Por la Ley de Faraday‐Lenz (eligiendo  2





2

Obs.: La corriente inducida en la  espira circula en sentido horario.

Queda demostrar el mismo resultado para el cálculo por: = 0 pues no hay campo 

·

·

JM Silveyra

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200

Ejemplo 3: Ejemplo 2 con el sistema de referencia en la espira •

¿Qué sucedería si el sistema de referencia (O’) estuviera en la espira? z' ′ , variable

′ ,

̂

2

y'

•

Obs.: Ahora el campo  ′ varía en el tiempo, por lo que hay campo  ′ inducido (el primado indica  que se refiere a los campos observados desde el sistema de referencia O’ que se mueve a una  velocidad  respecto del anterior O, fijo en el hilo de corriente). Queda calcular por ambos métodos (que en este caso de la espira en reposo resultan iguales): ′·

′·

′

′·

= 0 pues la espira  por la Ley de  está en reposo Faraday‐Maxwell

′

·

′· por ser espira  rígida en reposo

•

Se obtiene la misma  que para el sistema de referencia anterior, puesto que son sistemas  inerciales y debe observarse el mismo fenómeno. En O es “ de movimiento” y en O’ “ transformadora”.

•

La equivalencia entre ambos resultados está dada por la Transformación de Galileo o Transformación  de Lorentz para  ≪ (ver clase 11, en donde observamos que “¡Los campos vistos por O son  distintos que los vistos por O’!”). Excede los contenidos de Física II.

JM Silveyra

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201

Ejemplo 4: Barra a velocidad constante sobre rieles •

•

Calcularemos la  en la espira ABCD por ambos  métodos (Nota: solo la barra CD se mueve a velocidad  ,  el resto del circuito está en reposo). Tomamos como sistema de referencia a un observador  en la barra AB ·

•

uniforme y constante z

.

y

·

· Obs.: Elegimos circular en sentido horario; indicando el  = 0 pues no hay  sentido en el diferencial (y por lo tanto, lím. inf.