Aula 3 - Bioestatística - Medidas de Tendência Central

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AULA 3 – BIOESTATÍSTICA – MEDIDAS DE POSIÇÃO E TENDÊNCIA CENTRAL

OBJETIVOS DA UNIDADE: 

Compreender as medidas de tendência central e calculá-las para dados não agrupados e dados agrupados em classes de freqüências.

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PLANO DA UNIDADE:   

Média Aritmética Moda Mediana

1 MÉDIA ARITMÉTICA A Média Aritmética (Ẍ) é a medida de posição que possui maior estabilidade e é igual ao quociente entre a soma dos valores da variável e o número total de observações. Veja, abaixo, a fórmula:

Em que xi são os valores da variável e n o número de observações.

Exemplo de Aplicação 1: dados não agrupados Um aluno de determinada instituição de ensino tirou as seguintes notas em estatística: 7,0; 10,0 e 6,0. Sabendo-se que a nota final desse aluno é calculada através da média aritmética das três avaliações feitas no período, temos como média final do aluno:

Exemplo de Aplicação 2: dados agrupados sem intervalos de classe Consideremos a distribuição relativa a 38 crianças pacientes de uma clínica pediátrica com idades entre 0 e 4 anos:

A média aritmética, nesse caso, é a média aritmética ponderada, ou seja, em vez de somarmos o número 0 duas vezes, o número 1 seis vezes, o número 2 doze vezes e assim por diante, ponderamos os valores da variável com suas respectivas freqüências. Esta ponderação é dada pela fórmula:

Exemplo de Aplicação 3: dados agrupados com intervalos de classe Observe a seguir as notas de 50 alunos de uma turma de estatística:

Neste caso não temos como saber se os sete alunos da primeira classe tiveram notas, por exemplo, zero ou 1,9. Então, para diminuirmos o erro cometido com o agrupamento, utilizamos como valor representativo de cada intervalo o seu ponto médio (xi). Utilizamos, então, a mesma fórmula, sendo que xi agora não é mais o valor da variável e sim o ponto médio de cada classe. A média aritmética é calculada, então, da seguinte forma:

2 MODA (Mo) A Moda é o valor que mais aparece em uma série de valores. Exemplo: “O número de calçado mais vendido em uma sapataria é a moda”. Até os vendedores ambulantes, mesmo sem saber, utilizam-se da moda. De uma maneira grosseira, podemos nos lembrar daquilo que está na moda, ou seja, daquilo que mais aparece. 2.1 Moda para dados não agrupados A moda de uma distribuição para dados não agrupados é fácil de ser vista, é só procurarmos o valor que mais aparece. Uma distribuição pode ter nenhuma (amodal), uma (unimodal), duas (bimodal) ou mais modas. Exemplos:    

Na série {6, 7, 9, 11, 11, 11, 12, 12} a moda é igual a 11. A distribuição é unimodal; A série {2, 5, 7, 11,12} não possui um número que apareça mais que os outros. A série é amodal; A série {2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9} apresenta duas modas: 4 e 7. A série é bimodal; Em outros casos, pode haver três ou mais valores que mais se repetem. Nesse caso, a série tem três ou mais modas.

2.2. Moda para dados agrupados sem intervalos de classe Uma vez agrupados os dados, a moda é o valor da variável de maior freqüência. Ex.: Manequim de roupa feminina mais vendida em uma loja de departamentos:

Resposta: 38 é o manequim modal, pois é o de maior freqüência.

2.3. Moda para dados agrupados com intervalos de classe Classe modal é a classe que apresenta a maior freqüência. Nesse caso, a moda está compreendida entre os limites da classe modal. O método mais simples para o cálculo consiste em tomarmos o ponto médio da classe modal como sendo a própria moda. A este valor chamamos de moda bruta.

Em que l* é o limite inferior da classe modal e L* o limite superior da classe modal. EXEMPLO: Como podemos calcular o peso modal da tabela abaixo?

Resposta: A classe modal é 50|— 55, pois é a de maior freqüência. l2 = 50 e L2 = 55.

Não temos como saber o real valor da moda, pois não conhecemos mais os valores que estão compreendidos em um determinado intervalo. Portanto, este valor é apenas estimado.

Fórmula de CZUBER (processo mais elaborado)

3 MEDIANA (Md) A mediana de um conjunto de valores previamente ordenados (ROL) é o valor situado bem no meio do conjunto de valores de tal forma a separá-los em dois subconjuntos de mesmo número de elementos. 3.1. Mediana para dados não-agrupados 3.1.1. Quando o número de valores for ímpar: Ex.: Dada uma série de valores {7, 2, 8, 13, 11, 7, 15, 12, 1} o primeiro passo a ser dado é a construção do rol: {1, 2, 7, 7, 8, 11, 12, 13, 15}.

O valor que divide a série em duas partes iguais é o 8, logo a mediana Md = 8.

3.1.2. Quando o número de valores for par: Ex.: Calcular a mediana da série {1, 2, 0, 0, 2, 4, 4, 3, 6, 4, 5, 6}.

3.2. Mediana para dados agrupados sem intervalos de classe Neste caso, basta identificarmos a freqüência acumulada (F i) igual ou imediatamente superior à 50% da frequência total. A mediana será o valor da variável que corresponder a essa freqüência acumulada. EXEMPLO: Veja a tabela a seguir:

3.3. Mediana para dados agrupados com intervalos de classe Para esse tipo de dado é preciso determinar a classe da mediana, que será aquela que corresponder à freqüência acumulada igual ou imediatamente superior à 50% da frequência total.

IMPORTANTE: A média aritmética é a mais empregada apenas pelo fato de ser mais simples o seu cálculo e mais compreensível o seu resultado. É a medida de posição que possui a maior estabilidade; A moda será utilizada quando a medida de posição for o valor mais típico da distribuição. É uma medida de rápida obtenção; Quando desejamos obter o ponto que divide a distribuição em duas partes iguais, quando há valores extremos que afetam de maneira acentuada a média aritmética ou quando a variável em estudo é salário, usamos a mediana.