Area entre funciones 6to 3ra

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Escuela de Educación Secundaria Técnica (E.E.S.T.) N°6 Ingeniero Juan V. Passalacqua 6to 6to3ra 3ra MATERIA: Matemática Aplicada AÑO: 6º1º ALUMNO: Celeste Brandan DOCENTE: Sotelo Sandra CORREO ELECTRÓNICO: [email protected] TEMA: Integrales definidas. Regle de Barrow CLASE: 5/10 TIEMPO ESTIMATIVO DE ELABORACION: 3 hs. FECHA PROBABLE DE ENTREGA: 16/10 CONTENIDOS: Integrales definidas- Regla de Barrow. SABERES PREVIOS: integrales inmediatas. COMPETENCIAS ADQUIRIDAS: (EJEMPLOS: Definir, resumir, justificar, fundamentar, comparar, relacionar.) Resolver cálculo de áreas aplicando el concepto de integración. OBJETIVO GENERAL: utilizar conceptos generales para aplicarlos en diversas situaciones.

Integrales definidas- Regla de Barrow 𝒃

𝑨 = ∫𝒂 [(𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙))] 𝒅𝒙 = 𝑹𝒆𝒈𝒍𝒂 𝒅𝒆 𝑩𝒂𝒓𝒓𝒐𝒘

Área entre dos funciones

Calcular el área limitada por la curva y = x² -5x + 6 y la recta y = 2x. En primer lugar, hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración.

𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 2𝑥

igualo las dos funciones

𝑥 2 − 5𝑥 + 6 − 2𝑥 = 0 igualo a 0 𝑥 2 − 7𝑥 + 6 = 0 𝑥=

−(−7)±√(−7)2 −4.1.6 2.1

Resuelvo la ec. Cuadrática =

7±5 2

→

𝒙𝟏 = 𝟏 𝒚 𝒙𝟐 = 𝟔

Luego graficamos las funciones a) Graficamos la recta teniendo en cuenta pendiente y ordenada al origen o con tabla de valores. b) Graficamos la parábola teniendo en cuenta por lo menos el vértice, la ordenada al origen y lo puntos de corte entre las funciones. Parábola: 𝑦 = 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 𝑥𝑣 =

−𝑏 −(−5) 5 = = = 2,5 2⋅𝑎 2.1 2

𝑦𝑣 = 2,52 − 5.2,5 + 6 = −0,25

𝑣(2,5; −0,25)

ordenada al origen 𝑐 = 6 Puntos de corte entre las funciones → 𝒙𝟏 = 𝟏 , 𝒙𝟐 = 𝟔

−𝑏 2 −(−5) = 25 𝑥𝑣𝑓(1) = = 1 =− 5.1 + 6 = = 2,5 2 ⋅ 𝑎2 2.1 2 𝑓(6) = 6 − 5.6 + 6 = 12

𝑎(1; 2) 𝑏(6; 12)

De x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de la parábola. Entones es la recta quien se escribe primero

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𝐴 = ∫ [2𝑥 − (𝑥 2 − 5𝑥 + 6)]𝑑𝑥 = 1

Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones

3y = x²

e

y = −x² + 4x.

Hallamos los puntos de corte de las funciones, que nos darán los límites de integración. 𝑎 >0, cóncava hacia arriba 𝑎 < 0, cóncava hacia abajo 𝑥2 = −𝑥 2 + 4𝑥 3 𝑥2 + 𝑥 2 − 4𝑥 = 0 3 4 2 𝑥 3

− 4𝑥 = 0

→

𝒙𝟏 = 𝟎 𝒚 𝒙𝟐 = 𝟑

Representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte

ordenada al origen 𝑐 = 0 Puntos de corte entre las funciones → 𝒙𝟏 = 𝟎

𝒚

2

𝒙𝟐 = 𝟑

0 =0 𝑎(0; 0) 3 32 𝑓(3) = =3 𝑏(3; 3) 3 -----------------------------------------------------------------------------------𝑓(0) =

ordenada al origen 𝑐 = 0 Puntos de corte entre las funciones → 𝒙𝟏 = 𝟎

𝑓(0) = −02 + 4.0 = 0 𝑓(3) = −32 + 4.3 = 3

𝑎(0; 0) 𝑏(3; 3)

𝒚

𝒙𝟐 = 𝟑

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De x = 0 a x = 3 , la parábola 𝑦 = −𝑥 2 + 4𝑥 queda por encima de la otra parábola. Entones es quien se escribe primero. 3

𝐴 = ∫ [(−𝑥 2 + 4𝑥) − 0

𝑥2 ] 𝑑𝑥 = 3

Hallar el área de la región limitada por las funciones: y = sen x, y = cos x, x = 0. En primer lugar hallamos el punto de intersección de las funciones:

La gráfica del coseno queda por encima de la gráfica del seno en el intervalo de integración.

Calcula el área de la región limitada por las gráficas de las funciones: a) b) c) d)

𝑦 = 𝑥2 𝑒 𝑦 = 𝑥 + 2 𝑦 = −𝑥 2 + 4𝑥 + 8 𝑒 𝑦 = 𝑥 2 − 2𝑥 𝑦 = −𝑥 2 + 2𝑥 + 7 𝑒 𝑦 = 3𝑥 + 1 𝑦 = −𝑥 2 + 5𝑥 𝑒 𝑦 = 𝑥 2 − 𝑥