Apuntes de Transferencia de Calor C6.1

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Cap´ıtulo 6

TRANSFERENCIA DE ´ CALOR POR CONVECCION 6.1.

Introducci´ on

Los fen´omenos de convecci´on t´ermica entre un fluido y una pared se deben fundamentalmente al desplazamiento del fluido con respecto a la pared. Estos desplazamientos pueden ser producto de: Las variaciones de densidad del fluido originadas por las variaciones de temperatura en el contacto entre el fluido y la pared. En este caso la convecci´on se denomina convecci´ on natural. El uso de un aparato (ventilador, bomba,etc) que provoca un desplazamiento m´as o menos r´apido del fluido con respecto a la pared. En este caso se denomina convecci´ on forzada. Adem´as de esta clasificaci´on entre convecci´on natural y forzada, la convecci´on puede clasificarse en: Convecci´on sin cambio de fase (del fluido). Convecci´on con cambio de fase. La convecci´on de Newton, natural o forzada, con sin cambio de fase, se expresa con la ecuaci´ on Q = hA((Tf − Tp ) Los valores de h tienen un gran rango de valores, por ejemplo: convecci´ on natural en aire: h = 5 W/m2 K; ebullici´on del agua con flujo forzado: h = 15000 W/m2 K. Debido a la enorme complejidad del tratamiento te´orico de la convecci´on, a´ un para modelos muy simples, se ha desarrollado su estudio en base a resultados experimentales generalizables. Para poder extender estos resultados experimentales particulares se hace uso del “An´ alisis Dimensional”.

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´ 6.1. INTRODUCCION

6.1.1.

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Espesor equivalente

Recordemos que existen dos tipos de flujo en un conducto. a) R´egimen laminar: Cuando el flujo es “ordenado” y las l´ıneas de corriente son paralelas. b) R´egimen turbulento: El flujo es “desordenado” y se producen remolinos en el fluido. Se define una pel´ıcula equivalente, de un espesor ep tal que produce igual resistencia t´ermica que la zona laminar y la de transici´on. Esta pel´ıcula equivalente es la que produce mayor resistencia al flujo de calor ya que la transferencia se realiza fundamentalmente por conducci´on. Por la ley de Fourier se puede escribir: Q = kA

Tf − T p ep

en que Q : el calor transferido por unidad de tiempo [W ] k : la conductividad t´ermica del fluido [W/m K] ep : espesor de la pel´ıcula equivalente �[m]2 � A : Area de la pared en convecci´on m Tf : Temperatura del fluido en el seno del flujo Tp : Temperatura de la pared en contacto con el fluido En t´erminos de la pel´ıcula equivalente el coeficiente de convecci´on h se puede expresar como k h= (6.1) ep pero, como es muy dif´ıcil determinar el espesor de la pel´ıcula equivalente, se utiliza un m´etodo experimental para determinar h.

6.1.2.

An´ alisis dimensional

Mediante el an´alisis dimensional es posible caracterizar el fen´omeno por medio de una ecuaci´ on entre variables adimensionales, en un n´ umero mas reducido que el de las variables f´ısicas que influyen en el mismo fen´omeno. Esta reducci´on del n´ umero de par´ametros simplifica notablemente la experimentaci´on y la expresi´on de los resultados. Las principales limitaciones de este m´etodo es que los resultados que se obtienen son in´ utiles sin datos experimentales y no entrega informaci´on acerca de la naturaleza del fen´omeno.

6.1.3.

Ecuaci´ on general

Consideremos sistemas geom´etricamente semejantes (tubos, placas, haces de tubo) caracterizados por una longitud caracter´ıstica, que puede ser el di´ametro de los tubos, la longitud de la placa, etc. La experiencia muestra que, en el caso que la rugosidad de las paredes pueden ser despreciada, el coeficiente de convecci´on h depende de : Apuntes: Curso Transferencia de Calor

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Lc : La longitud caracter´ıstica v : La velocidad del fluido. C : El calor especifico del fluido. k : La conductividad t´ermica del fluido. ρ : La densidad del fluido. µ : La viscosidad del fluido. As´ı, se puede escribir h = f (lc , v, C, k, ρ, µ)

(6.2)

Con este planteamiento la experimentaci´on deber´ıa hacerse midiendo h para varios valores de v y manteniendo los dem´as factores constantes. Luego variar lc con los dem´as constantes, y luego con C, etc. dando lugar a una gran cantidad de correlaciones experimentales. La cantidad de experimentaciones necesarias (y la sistematizaci´on de los resultados tambi´en) ser´ıa muy alta. Con el an´alisis dimensional se puede reducir dr´asticamente el n´ umero de variables en una medici´on experimental. Al combinar variables de modo que resulten grupos adimensionales se puede expresar la ecuaci´ on 6.2 como una relaci´ on de estos grupos adimensionales. Π1 = F (Π2 , Π3 , ...)

(6.3)

donde Πi son los n´ umeros adimensionales que agrupan a las variables f´ısicas involucradas. El Teorema Π de Buckingham establece que: Si un fen´ omeno f´ısico relaciona N variables f´ısicas, las cuales se expresan con M dimensiones b´ asicas (unidades de medida), entonces es posible expresar la relaci´ on con N − M ecuaciones adimensionales. Las dimensiones b´asicas de las variables f´ısicas son: Variable lc

Unidades (m)

Dimensiones b´asicas [L] � � L T

v

�m�

C

J N ·m kg · m · m = = 2 kg · K kg · K s · kg · K

k

W J N ·m kg · m · m = = = 2 m·K s·m·K s·m·K s ·s·m·K

ρ

kg m3

µ

kg · m · s N ·s = m2 s · m2

h

J N ·m W = = m2 · K s · m2 · K s · m2 · K

s

�

�

ML T 3θ

�

�

�

�

L2 T 2θ

M L3

�

�

M LT

M T 3θ

�

�

Las 7 variables se expresan con 4 dimensiones b´asicas: Longitud, Masa, Tiempo y Temperatura. Entonces en lugar de una funci´on experimental entre 7 variables se tiene una funci´on experimental entre 3 par´ametros adimensionales. Φ(Π1 , Π2 , Π3 ) = 0 Apuntes: Curso Transferencia de Calor

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donde Π1 , Π2 Π3 son los n´ umeros adimensionales que agrupan a 7 variables f´ısicas. C´ alculo de los grupos adimensionales asociados al teorema Π de Buckingham: Primer n´ umero Π.- Usando la variables lc , v, k y µ como variables repetitivas se busca el primer n´ umero Π al combinarlos con la variable h. La combinaci´on debe ser adimensional. Π1 = lca · v b · k c · µd · h

(6.4)

La multiplicaci´on debe ser adimensional, por lo tanto deben cancelarse cada una de las dimensiones en que se expresan las variables. Entonces [

a

] = [L] ·

�d � �c � � � �b � L ML M M · · · T T 3θ LT T 3θ

Para que cada una de las dimensiones se cancelen, los exponentes de cada una debe sumar cero θ: M: T : L:

−c − 1 = 0 c+d+1=0 −b − 3c − d − 3 = 0 a+b+c−d=0

=⇒ =⇒ =⇒ =⇒

c = −1 d=0 b=0 a=1

Entonces, con estos valores de los exponentes, el primer n´ umero Π es Π1 = lc1 · v 0 · k −1 · µ0 · h =

lc h k

Este n´ umero adimensional se denomina N´ umero de Nusselt, N u. Nu =

lc h k

(6.5)

El numero de Nusselt caracteriza la relaci´on de las transferencias de calor por convecci´on y por conducci´on. Segundo n´ umero Π.- Usando la variables lc , v, k y µ, mas la densidad ρ: Π2 = lca · v b · k c · µd · ρ [ θ: M: T : L:

(6.6)

� �b � �c � �d � � L ML M M · · · ] = [L] · T T 3θ LT L3 a

−c = 0 c+d+1=0 −b − 3c − d = 0 a+b+c−d−3=0 Π2 =

=⇒ =⇒ =⇒ =⇒

lc vρ = Re µ

c=0 d = −1 b=1 a=1 N´ umero de Reynolds

(6.7)

El n´ umero de Reynodls caracteriza la relaci´on entre las fuerzas de inercia y las de viscosidad, lo que determina el tipo de flujo, laminar o turbulento.

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Tercer n´ umero Π.- Con lc , v, k y µ mas C: Π3 = lca · v b · k c · µd · C

[ θ: M: T : L:

a

] = [L] ·

−c − 1 = 0 c+d=0 −b − 3c − d − 2 = 0 a+b+c−d+2=0 Π3 =

(6.8)

�c � �d � 2 � � �b � L ML M L · · · 3 T T θ LT T 2θ

=⇒ =⇒ =⇒ =⇒

c = −1 d=1 b=0 a=0

µC = Pr k

N´ umero de Prandtl

(6.9)

El numero de Prandlt caracteriza al fluido por sus propiedades. Con estos tres n´ umeros adimensionales, la ecuaci´on experimental queda Φ(N u, Re, P r) = 0 o despejando Nusselt N u = Ψ(Re, P r)

(6.10)

Esta funci´ on Ψ se encuentra a trav´es de experimentaciones y procesamiento de los datos, de modo de encontrar la expresi´on matem´atica mas apropiada a esos resultados experimentales. Otros n´ umeros adimensionales son : gβΔT L3c ρ2 Gr = N´ umero de Grashoff µ2 Gz = ReP r

d lc

P e = ReP r =

N´ umero de Graetz ρ v C lc k

St = N u/P e =

h ρvC

N´ umero de Peclet N´ umero de Stanton

Estos n´ umeros adimensionales se utilizan en aspectos espec´ıficos de la convecci´on. Por ejemplo, el N´ umero de Grashoff caracteriza la convecci´on natural. La transmisi´on de calor sin cambio de fase, en general puede expresarse como Φ(N u, Re, P r, Gr,

L1 L2 , , ...) = 0 lc l c

La tarea consiste en determinar la funci´on Φ para los tipos de flujos (laminar o turbulentos), en tubos o multitubos, en pared vertical u horizontal, etc. Esta funci´on Φ puede obtenerse mediante experimentaci´on.

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6.1.4.

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Obtenci´ on de las ecuaciones emp´ıricas

Antes de expresar los resultados experimentales mediante las relaciones obtenidas por investigaci´on, es bueno ver como se obtienen estas ecuaciones. Supongamos que para un cierto sistema geom´etrico los n´ umeros adimensionales involucrados son Nu, Re y Pr. Por lo tanto es posible establecer una relaci´on entre ellos. N u = Ψ(Re, P r)

(6.11)

Los valores de Re, Pr y Nu no se obtienen de manera anal´ıtica sino que se calculan con los resultados de las mediciones experimentales. Se obtienen as´ı conjuntos de valores experimentales (Nu, Re, Pr). Generalmente los n´ umeros adimensionales se relacionan entre si mediante funciones del tipo N u = A · Ren P rm

(6.12)

donde A, n y m son constantes adimensionales.

Las relaciones de este tipo son puramente emp´ıricas y solo son aplicables en el intervalo experimental para el que han sido obtenidas. En rigor es inadmisible extrapolar la aplicaci´on fuera del intervalo permitido. Si se hace experimentalmente que el numero de Prandlt sea constante, se tendr´a N u = C · Ren

(C = A · cte)

(6.13)

Tomando logaritmo ln N u = ln C + n ln Re

(6.14)

Y =B+n·X

(6.15)

y haciendo Y = ln N u, X = ln Re B = ln C, se tiene que es la ecuaci´on de una recta con pendiente n. Con una serie de experimentos es posible construir un gr´afico emp´ırico de Nu en funci´on de Re, donde n es la pendiente de la recta de m´ınimos cuadrados. Cuando con diferentes n´ umeros de Prandlt se obtienen rectas paralelas y es posible es posible calcular el valor de m mediante Nu = P rm C Ren ln

Nu = m ln P r C Ren

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Al tener una serie de valores experimentales, se construNu en funci´ on de P r.El exponente m es la ye un gr´ afico C · Re pendiente de la recta experimental. El factor C se obtiene mediante C=

Nu Ren P rm

(6.16)

De una forma similar se pueden establecer relaciones mas complejas.

6.1.5.

Temperatura de referencia

Los par´ametros adimensionales contienen propiedades f´ısicas del fluido, pero durante el proceso de transmisi´on de calor la temperatura del fluido cambia y por lo tanto tambi´en cambian las propiedades f´ısicas. La temperatura a que deben calcularse las magnitudes f´ısicas para introducirlas en los par´ametros adimensionales normalmente es indeterminada, por lo tanto se requerir´a estimar la temperatura media a la que encontrara el fluido en la zona de convecci´on. Esta temperatura estimada servir´a para evaluar las propiedades f´ısicas del fluido y deber´a ser comprobada por medio del calor transferido. Esta variaci´ on de la temperatura a lo lago del flujo hace necesario escoger una temperatura de referencia para expresar los resultados experimentales. Durante el desarrollo de la teor´ıa de la convecci´on de calor hubo muchas opiniones contradictorias sobre esta cuesti´on. Muchos investigadores han intentado elaborar formulas de mayor generalidad mediante la elecci´on apropiada de la temperatura de referencia, tales como la temperatura de la pared, la temperatura promedio del fluido, la temperatura de entrada al intercambiador y muchas combinaciones de ellas. Una de las temperaturas de referencia de mayor uso es la Temperatura Media de Fluido, (o temperatura media ent´alpica) que corresponde a la temperatura que alcanza el fluido cuando se mezcla completamente. Esta temperatura media es de f´acil medici´on pero de dif´ıcil c´alculo, ya que se requiere saber la distribuci´on de temperatura y la distribuci´on de velocidad. Sin embargo una buena aproximaci´on se tiene con la temperatura promedio del fluido (media aritm´etica). T =

Tp + Tf 2

(6.17)

donde Tp es la temperatura de la pared y Tf es la temperatura del n´ ucleo de la corriente. Esta temperatura media cambia a lo largo del fluido, as´ı que habr´a que tener en cuenta esta variaci´ on. Hay varios m´etodos para ello, pero requieren de un an´alisis mas detallado. El considerar la temperatura media aritm´etica entre la entrada y la salida es suficientemente bueno en la mayor´ıa de los casos. T fm =

Te + Ts 2

(6.18)

donde T e es la temperatura media a la entrada y T s es la temperatura media a la salida de la zona de intercambio de calor. Apuntes: Curso Transferencia de Calor

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6.1.6.

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Notaci´ on

Debido a la gran cantidad de especificaciones de las variables en las relaciones experimentales, se emplea la siguiente notaci´on: Nf d en que N es un n´ umero adimensional o un par´ametro f´ısico y los sub´ındice son: f: “a la temperatura del fluido”. w: “a la temperatura de la pared”. m: “a la temperatura media”. d: “con el di´ametro como longitud caracter´ıstica”. l: “con el largo como longitud caracter´ıstica”. (x): “en la posici´ on x”. Por ejemplo: Ref (x),d significa ”Numero de Reynodls , con las propiedades evaluadas a la temperatura del fluido en la posici´on x, con el di´ametro como longitud caracter´ıstica”.

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