A resolver problemas se enseñanza - Adriana González

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¿A resolver problemas se enseña? El problema como contenido a ser enseñado de 1° a 7° Adriana González

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A Luis y Gricel. A mis compañeros directivos, maestros y profesores. A mis alumnos de escuela primaria y del profesorado.

ÍNDICE

>cigdYjXX^‹c ....................................................................................................................... 11 8Ve†ijad& La resolución de problemas .......................................................................... 13 9 :agdaYZaegdWaZbVZcaVZchZŠVcoVYZaVbViZb{i^XV ....... &+ 8Ve†ijad' La heurística y la resolución de problemas ................................. 21 9 EgdWaZbVkh#Z_ZgX^X^d ....................................................................................... 21 9 :aZhi^ad]Zjg†hi^XdnaVgZhdajX^‹cYZegdWaZbVh ................... '+ 8Ve†ijad( La evaluación y la resolución de problemas ............................... (* 9 6egZcY^oV_Z"ZchZŠVcoV"ZkVajVX^‹c ............................................... (* 9 :kVajVX^‹cYZegdXZhdh ................................................................................... (+ " EgdYjXX^dcZhZhXg^iVh ................................................................................. (, " :medh^X^dcZhdgVaZh ...................................................................................... (" GZ\^higdhYZdWhZgkVX^‹c ......................................................................... (. 9 KVadgVX^‹cYZadhegd\gZhdh ........................................................................ )%

8Ve†ijad) Los problemas matemáticos y los alumnos ................................ )& 9 AVegZhZciVX^‹cYZh^ijVX^dcZhegdWaZb{i^XVh ........................ )& " ;dgbVidZmiZgcd ............................................................................................... )' " CbZgdYZdeZgVX^dcZh ............................................................................ ). " >cY^XVX^dcZhYZgZhdajX^‹c ..................................................................... *% 8Ve†ijad* Los enunciados y la resolución de problemas .......................... ** 9 AdhZcjcX^VYdhbViZb{i^Xdh .................................................................... *+ 9 GZaVX^‹cZcjcX^VYd"egZ\jciV ################################################################# *, 9 GZaVX^‹cYVid"egZ\jciV ################################################################################ *. " 9VidhcZXZhVg^dhZ^ccZXZhVg^dh #################################################### +% " 9Vidhcdcjb‚g^Xdh #################################################################################### +) 9 GZaVX^‹cZcjcX^VYd"gZhejZhiV ############################################################### +, 8Ve†ijad+ El diseño de situaciones problemáticas ######################################### ,( 9 :hXg^W^gh^ijVX^dcZh ########################################################################################## ,( 9 :megZhVgngZhdakZgh^ijVX^dcZh ############################################################# ,* " :megZhVgYZY^[ZgZciZh[dgbVh jcVb^hbVXVci^YVY ################################################################################### ,* " GZhdakZgjhVcYdh‹adcbZgdh ######################################################## ,, 8Ve†ijad, Situaciones problemáticas ########################################################################### -& 9 EgdWaZbVheVgVgZÓZm^dcVgnY^hXji^g ############################################## -' 9 GZaVX^‹cZcjcX^VYd"egZ\jciV ################################################################# -+ 9 GZaVX^‹cYVid"egZ\jciV ################################################################################ -, " 9VidhcZXZhVg^dhZ^ccZXZhVg^dh #################################################### -, " 9Vidhcdcjb‚g^Xdh #################################################################################### .% 9 GZaVX^‹cZcjcX^VYd"gZhejZhiV ############################################################### .&

9 HdajX^dcZhVaVhh^ijVX^dcZhegZhZciVYVh ################################### .( " EgdWaZbVheVgVgZÓZm^dcVgnY^hXji^g ######################################## .( " GZaVX^‹cZcjcX^VYd"egZ\jciV ########################################################### ." GZaVX^‹cYVidh"egZ\jciV ##################################################################### 100 " Datos necesarios e innecesarios ################################################ 100 " Datos no numéricos ############################################################################## 110 " GZaVX^‹cZcjcX^VYd"gZhejZhiV ####################################################### 111 7^Wa^d\gV[†V #################################################################################################################### &&*

Introducción

=dncVY^ZY^hXjiZfjZ]VnfjZZchZŠVgVresolver problemas, fjZcdWVhiVXdcXdcdXZgaVdeZgVidg^V#EdgadiVcidZaVegZcY^" oV_ZYZaVgZhdajX^‹cYZegdWaZbVhYZWZhZgXdch^YZgVYdXdbd jcXdciZc^YdYZcigdYZaVZchZŠVcoVYZaVbViZb{i^XV# :hiZa^WgdhZXZcigVZcZaenseñar a resolver problemas, Xdc" h^YZg{cYdadjcXdciZc^YdYZk^iVa^bedgiVcX^VZcaV:hXjZaV Eg^bVg^VnfjZYZWZhZgVWdgYVYdYZhYZadheg^bZgdh\gVYdh Xdcc^kZaZhYZXdbeaZ_^YVYXgZX^ZciZ# :cZaCapítulo 1 VcVa^oVbdhZagdaYZaegdWaZbVZcaVZchZ" ŠVcoVYZaVbViZb{i^XV!Xdch^YZg{cYdad^bedgiVciZiVcideVgV Y^V\cdhi^XVgXdbdeVgVZchZŠVgnZkVajVg!Y^[ZgZcX^VcYdZcigZ ZaZchZŠVgeVgV!VigVk‚hnhdWgZadhegdWaZbVh# AjZ\dgZÓZm^dcVbdhVXZgXVYZhj[jcX^‹cXdbd\ZhidgYZa hZci^YdYZadhXdcXZeidhbViZb{i^Xdh# :cZaCapítulo 2 ]VXZbdhgZ[ZgZcX^VVaVY^[ZgZcX^VZcigZegd" WaZbVnZ_ZgX^X^deVgVajZ\dVWdXVgcdhVaVc{a^h^hYZaZhi^ad]Zj" g†hi^XdYZgZhdajX^‹cYZegdWaZbVh!XdcXajnZcYdXdcaVhXVgVX" iZg†hi^XVhfjZYZWZedhZZgjcWjZcÆgZhdajidgÇYZegdWaZbVh# :aCapítulo 3 Zhi{dg^ZciVYdVaVgZÓZm^‹cVXZgXVYZX‹bd ZkVajVgaVgZhdajX^‹cYZegdWaZbVhXdch^YZgVcYdaVgZaVX^‹c aprendizaje - enseñanza - evaluación#HZegZhZciVceaVc^aaVhfjZ aZeZgb^i^g{cVaYdXZciZZkVajVgVadhVajbcdhZcigZhVheZXidh 11

Xdch^YZgVYdh^bedgiVciZh!VhVWZg/egdYjXX^dcZhZhXg^iVh! Zmedh^X^dcZhdgVaZhngZ\^higdhYZdWhZgkVX^‹c#Edgai^bd!hZ gZÓZm^dcVZcidgcdVaVkVadgVX^‹cYZadhegd\gZhdh# :cZaCapítulo 4 cdhVWdXVbdhVaVegZhZciVX^‹cYZadhegd" WaZbVhnaVhY^ÒXjaiVYZhfjZ‚hidhdXVh^dcVcZcadhVajbcdh# 6cVa^oVcYdZa[dgbVidZmiZgcd!ZacbZgdYZdeZgVX^dcZhnaVh ^cY^XVX^dcZhYZgZhdajX^‹c# :aCapítulo 5 Zhi{YZhi^cVYdVadhZcjcX^VYdhbViZb{i^Xdh gZÓZm^dcVcYdVXZgXVYZaVhgZaVX^dcZh/ZcjcX^VYd"egZ\jciV! YVidh"egZ\jciVnZcjcX^VYd"gZhejZhiV#IVbW^‚chZVcVa^oVc egdWaZbVhXdcYVidhcZXZhVg^dh!YVidh^ccZXZhVg^dhnYVidhcd cjb‚g^Xdh# :cZaCapítulo 6 ]VWaVbdhYZaY^hZŠdYZh^ijVX^dcZhegd" WaZb{i^XVhedgeVgiZYZadhc^ŠdhYVYdfjZXdch^YZgVbdhfjZ ‚hidhcdh‹adYZWZcgZhdakZgh^ijVX^dcZhh^cdfjZiVbW^‚c YZWZceaVciZVgaVh# Edgai^bdZcZaCapítulo 7 egZhZciVbdhh^ijVX^dcZheVgV ^beaZbZciVgXdcadhVajbcdhZcZaVjaV#AVhb^hbVh]VXZc gZ[ZgZcX^VVadhY^[ZgZciZhYZhVggdaadhiZ‹g^XdhYZaa^Wgd# 6aÒcVaYZaXVe†ijadhZZcXjZcigVcaVhhdajX^dcZhYZidYVh aVhh^ijVX^dcZhegZhZciVYVh# :aa^WgdegZhZciVZcXVYVXVe†ijadgZÓZm^dcZhiZ‹g^XVhZ_Zb" ea^ÒXVYVhfjZaZeZgb^i^g{cVaYdXZciZ]VXZgfjZhjhVajbcdh VaiZgcZcZaXjbea^b^ZcidYZY^[ZgZciZhgdaZh/ 9 “Resolutor”,gZhdakZgh^ijVX^dcZhegdWaZbVh# 9 “Analizador”,gZÓZm^dcVgVXZgXVYZadgZVa^oVYdZcaV gZhdajX^‹c# 9 “Verificador”,Xdch^YZgVgaVhgZhdajX^dcZheVgVXdbegd" WVghjeZgi^cZcX^V# 9 “Proponente”, egdedcZgh^ijVX^dcZhegdWaZb{i^XVh#

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Capítulo 1

La resolución de problemas

El aprendizaje matemático aparece relacionado con la capacidad de resolver problemas porque los conceptos matemáticos han surgido como respuesta a problemas tanto de la vida cotidiana como ligados a otras ciencias o a problemas internos de la ciencia matemática. Problemas que, en algunos casos, fueron resueltos parcialmente a la luz de los conocimientos preexistentes mientras que otros han provocado la construcción de nuevos recursos matemáticos. Es así que enseñar matemática es equivalente a enseñar a resolver problemas. Desde hace más de una década distintos sectores, implicados en la educación en diferentes países, reconocen la importancia que la resolución de problemas tiene en las matemáticas y el papel crucial que representan su enseñanza y su aprendizaje. Se reconoce a la resolución de problemas tanto como un contenido prioritario así como también un medio de aprendizaje de otros contenidos. Al respecto son varios los autores que expresan esta idea en sus escritos: 3 Charnay R. (1994) Aprender (por medio de) la resolución de problemas. Si leemos el título sin el paréntesis: Aprender por medio de la resolución de problemas, vemos que 13

el autor quiere expresar que aprendemos matemáticas a partir de la actividad de resolución de problemas. Los conocimientos adquieren significado y sentido en la medida en que se aprecie la utilidad que tienen como herramientas para resolver problemas. Si sacamos el texto que está entre paréntesis, el título se transforma en Aprender la resolución de problemas. En este sentido Charnay nos dice que también es necesario aprender a resolver problemas, tal como si fuera un contenido más de las matemáticas. 3 Puig, L. (1994) Aprender a resolver problemas o aprender resolviendo problemas. Este título indica que ambos son aspectos de un mismo asunto, dado que “aprender a resolver problemas” supone que hay algo que es específico de la resolución de problemas y debe ser enseñado mientras que “aprender resolviendo problemas” indica que resolviendo problemas se aprenden los distintos contenidos matemáticos. Ambos conceptos deben ser incluidos en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Desde esta perspectiva el problema puede ser usado como herramienta que posibilita la construcción de contenidos matemáticos así como contenido de enseñanza y se constituye en el centro del proceso de enseñanza y de aprendizaje; abarca al proceso en su totalidad y nos permite: 3 Diagnosticar Plantear situaciones problemáticas que, al resolverlas, permitan a los alumnos utilizar los conocimientos ya adquiridos. La forma en que resuelven los problemas planteados permite al docente conocer la calidad y el alcance de los saberes y dar direccionalidad a los procesos de enseñanza y de aprendizaje pues, partiendo de dicho conocimiento, el docente propone y selecciona problemas que permitan al alumno modificar, completar, encausar los saberes existentes así como también construir nuevos. 14

3 Enseñar - A través de la resolución de problemas Conociendo lo que sabe su grupo escolar, el docente plantea situaciones para cuya resolución el alumno debe hacer uso de sus saberes, reorganizándolos de forma tal que le permitan alcanzar nuevas construcciones. Por ejemplo, si los alumnos son capaces de resolver situaciones en las cuales está involucrada la multiplicación por una cifra se les puede plantear una situación de multiplicación por dos cifras para que, a partir de las construcciones adquiridas, amplíen sus conocimientos. - Para resolver problemas Una vez construido un conocimiento se deben plantear situaciones que les posibiliten a los alumnos resignificar lo construido y aplicarlo en diferentes contextos. Siguiendo con el ejemplo de la multiplicación, el docente deberá ofrecer situaciones relacionadas con las series proporcionales, organizaciones rectangulares y combinatoria, con el objetivo de que los alumnos comprendan “qué es multiplicar”. Así, reflexionando sobre los significados, descubrirán la variedad de problemas que admiten ser resueltos mediante esa operación. - Sobre la resolución de problemas. La palabra sobre hace referencia a que a resolver problemas se enseña; aquí la resolución de problemas es considerada como un contenido. Acerca de este aspecto reflexionaremos a lo largo del libro. 3 Evaluar Se trata de proponer problemas conocidos, similares a los trabajados durante el proceso de enseñanza, pues el objetivo es evaluar el grado de apropiación de los nuevos conocimientos. 15

Se deberá tener presente que se evalúa aquello que es considerado de vital importancia para la continuidad del proceso de aprendizaje y no todo lo que se enseña. En síntesis Lo expresado se puede sintetizar de la siguiente forma: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS permite ENSEÑAR

DIAGNOSTICAR

A través

Para

EVALUAR

Sobre

El rol del problema en la enseñanza de la matemática En la enseñanza de la matemática no existe una única concepción del problema, podemos diferenciar entre dos posiciones: A. El problema cumple una función de control y evaluación de lo aprendido: 3 Se ve a los problemas como oportunidades para que los alumnos apliquen lo aprendido. 3 Los conceptos matemáticos “se transfieren”; se los define formalmente; no se los relaciona con los problemas para los cuales son un medio de solución. 3 Aparece el “problema tipo”; los problemas son parecidos entre sí. El alumno no puede identificar la utilidad del concepto matemático en toda su amplitud porque apunta a un único sentido. B. El problema es el gestor del sentido de un concepto matemático: 3 Se utilizan a los problemas tanto en las primeras interacciones del alumno con el concepto como en las situaciones en que ya está familiarizado con él. 16

3 Los conceptos “se enriquecen” al pensarlos como medio de solución de un problema. 3 En las primeras interacciones con el concepto, por lo general, los alumnos comienzan usando estrategias personales y antieconómicas a la hora de resolver problemas. Sobre estas dos posturas Douady, R. (1986) denomina a la primera como una enseñanza según el modelo “aprendidoaplico” y a la segunda “dialéctica instrumento-objeto”, diciendo al respecto “para un concepto matemático conviene distinguir su carácter de instrumento y su carácter de objeto”, considerando que “por instrumento se entiende su funcionamiento en los diversos problemas que permite resolver” y por “objeto el concepto matemático considerado como objeto cultural que tiene su lugar en el edificio más amplio que es el saber erudito reconocido socialmente en un momento dado”. Un problema pone en juego algunos sentidos de un concepto, dejando de lado a otros. Mientras que los alumnos resuelven problemas, no pueden identificar un nuevo conocimiento en esa resolución. Para ello será necesario que lo descontextualicen del problema original. Este proceso se denomina “institucionalización”. Proceso en el cual el docente debe tener en cuenta la diversidad de los procedimientos presentados por los alumnos para, a partir de ellos, establecer relaciones que hagan posible el reconocimiento del nuevo aprendizaje. De esta forma el alumno podrá retener los aspectos centrales y no superficiales del problema. Luego será necesaria la reutilización del concepto para una reflexión más profunda. Esta relación, en términos dialécticos, promueve una concepción de la enseñanza en la que se proponen sucesivas aproximaciones a un concepto con niveles crecientes de organización. También, un buen funcionamiento de la “dialéctica instrumento-objeto” exige que los alumnos tengan la oportunidad de relacionar entre sí sentidos diferentes de un mismo concepto. 17

Asimismo, no basta con resolver problemas de diferente tipo sino que, además, se los debe analizar cumpliendo, los alumnos, un doble rol: “resolvedores” y “analizadores” de problemas. Veamos un ejemplo: Marisol, docente de 4° grado, le propone a su grupo de alumnos la siguiente situación:

Los caramelos Josefina tiene 24 caramelos y le quiere dar a sus cuatro amigas la misma cantidad de caramelos. ¿Cuántos caramelos les deberá dar? Los niños, en grupos de tres alumnos, resuelven la situación planteada. Luego Marisol propone realizar una puesta en común en la que cada grupo explica lo realizado. Grupo 1 Nosotros hicimos dibujos:

Le dimos un caramelo a cada nena hasta que nos quedamos sin caramelos. Nos dimos cuenta de que cada una recibe 6 caramelos y no sobra nada. 18

Grupo 2 También hicimos dibujos:

Para nosotros cada redondel es una de las amigas de Josefina, fuimos colocando un caramelo en cada uno hasta quedarnos sin caramelos. Por lo tanto cada nena recibe 6 caramelos y no sobra ninguno. Grupo 3 Nosotros pensamos el número 4 y lo sumamos 4 veces porque 4 son las amigas de Josefina, pero como: 4 + 4 + 4 + 4 = 16 nos dimos cuenta de que teníamos que pensar un número más alto, así hicimos 5 + 5 + 5 + 5 = 20 y por último 6 + 6 + 6 + 6 = 24. Entonces cada nena recibe 6 caramelos y no sobra nada. Grupo 4 Nosotros hicimos 24 : 4 = 6 Resto 0; sabemos que Josefina le dará 6 caramelos a cada amiga y no sobrará ningún caramelo. Si bien todos los alumnos llegaron a un mismo resultado los caminos utilizados fueron diferentes pero válidos. A partir de las resoluciones presentadas, Marisol acompaña a los alumnos en el proceso de descontextualización haciendo que puedan reconocer a la división como la operación que les permite resolver la situación presentada. Luego, en otra clase, presenta la siguiente situación: 19

Los caramelos Josefina, con los 24 caramelos que le regaló su abuela, arma bolsas de 6 caramelos. ¿A cuántas de sus amigas podrá regalar una bolsa de caramelos? Los niños presentan diferentes resoluciones hasta concluir que también se resuelve mediante una división. Luego, Marisol les propone reflexionar sobre ambas situaciones con el objetivo de que los niños se den cuenta de que se resuelven con la misma operación pero: 3 En la 1° situación se divide 24 : 4 = 6 donde 24 es el total de caramelos, 4 son las amigas y 6 caramelos es lo que le corresponde a cada amiga. 3 En la 2° situación se divide 24 : 6 = 4 donde 24 es el total de caramelos, 6 son los caramelos de cada bolsa y 4 es la cantidad de amigas a las cuales se puede obsequiar bolsas de caramelos. Así, la 1° situación hace referencia al significado de repartir, mientas que la 2° al de partir. Ambos conceptos son los significados de la división de números naturales. En posteriores trabajos Marisol propone a su grupo de alumnos resolver situaciones que apunten a ambos significados así como otras que impliquen transformar una situación de partir en repartir y viceversa. En síntesis Trabajar el problema como contenido de enseñanza desde el Enfoque de la Resolución de Problemas es pensarlo como el gestor del sentido de los conceptos matemáticos. Dado que cada alumno, en su doble rol de “resolutor” y “analizador”, descontextualiza los problemas y reconoce el concepto matemático subyacente en ellos.

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Capítulo 2

La heurística y la resolución de problemas

Heurística es un término que proviene del griego y significa “hallar, inventar”. Se lo puede usar como sustantivo y como adjetivo. Como sustantivo se relaciona con el arte o la ciencia del descubrimiento, “el arte de inventar”; como adjetivo se refiere a cuestiones más concretas tales como estrategias, reglas, silogismos, conclusiones; es decir, lo relativo a la invención y/o descubrimiento. Los dos significados están íntimamente relacionados, indican estrategias heurísticas que guían el descubrimiento.

Problema versus ejercicio El vocablo actividad, usado frecuentemente en las clases de matemática, permite englobar tanto a los problemas como a los ejercicios. Entre ambos podemos establecer, entre otras, las siguientes diferencias:

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PROBLEMA

EJERCICIO

- No se sabe a primera vista cómo - De inmediato se entiende de qué se resolverlo, a veces ni siquiera queda trata y cuál es el medio de resolverlo. claro en qué consiste. - Se debe buscar entre los saberes que - Se resuelve de forma mecánica usando fórmulas y/o algoritmos fáciles de se posee para elaborar una estrategia identificar. de resolución. - Mientras es resuelto aparecen sen- - No implica sentimientos de ningún timientos de frustración, ansiedad, tipo. confianza, alegría, … - Su resolución admite, por lo general, - Su resolución admite, por lo general, multiplicidad de procedimientos. un único procedimiento.

Considerando la definición de Lester (1983) podemos decir que “problema es una situación que un individuo o grupo quiere o necesita resolver y para la cual no dispone de un camino rápido y directo que lleve a la solución”. Por lo tanto, una situación es considerada como problema en la medida en que no dispongamos de procedimientos automáticos para solucionarla de forma inmediata y que requiera de un proceso de reflexión y toma de decisiones sobre los pasos a seguir. Es así como un problema se diferencia de un ejercicio porque en el ejercicio utilizamos mecanismos que nos llevan de forma inmediata a la solución. Analicemos las situaciones presentadas por Patricia y Mabel a sus alumnos. Patricia Los chicos de la Escuela N° 15 de Bahía Blanca viajan a un campeonato intercolegial. Participan 120 alumnos acompañados por maestros y profesores de Educación Física. 1/4 de los viajeros son alumnos de 4° año, 1/3 de 5°, 1/10 son adultos y el resto alumnos de 6° año. ¿Qué cantidad de alumnos de 6° año participan del torneo?

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Mabel Resuelvan: 120 x 1/4 = 120 x 1/3 =

120 x 1/10 = 120 x 1/2 =

Nadie duda en decir que Patricia presentó a su grupo de alumnos un problema mientras que Mabel planteó un ejercicio. Las operaciones involucradas en ambas propuestas son las mismas pero: 3 En el caso de Patricia los niños deben realizar una lectura comprensiva que les permita descifrar el enunciado y la pregunta para luego decidir qué operación realizar. 3 En cambio, en la propuesta de Mabel, los niños sólo deben recordar la regla que resuelve el algoritmo de la multiplicación de un número natural por una fracción. También es posible que una misma situación constituya un problema para algunas personas y un ejercicio para otros. Supongamos la siguiente situación:

Artículos de limpieza “La burbuja loca” Daiana recibe un bidón de 12 litros de detergente. Desea trasvasarlo a botellas de ¾ litros. ¿Cuántas botellas necesitará? Esta situación para un alumno del último año de la Escuela Primaria seguramente constituye un problema. Después de arduas discusiones con su grupo de trabajo los alumnos llegan a conclusiones como las siguientes:

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Grupo 1

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

Nosotros dibujamos botellas y sumamos los ¾ que contiene cada una hasta llegar a los 12 litros. Se necesitan 16 botellas. Grupo 2

¾

¾

¾

1½

¾ 1½

3

¾

¾

¾

1½

¾ 1½

3

Nosotros sabemos que 8 botellas contienen 6 litros, como tenemos que llegar a 12 litros necesitamos el doble de botellas: 8 x 2 = 16. Se necesitarán 16 botellas.

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Grupo 3 Nosotros sabemos que ¾ + ¾ es 1 ½ Así sumamos 1 ½ hasta llegar a 12 litros. 1 ½ + 1 ½ + 1 ½ + 1 ½ + 1 ½ + 1 ½ + 1 ½ + 1 ½ = 12 Necesitamos 16 botellas de ¾ litros cada una. Grupo 4 Nosotros sabemos que 4 botellas de ¾ litros son 3 litros. Para llegar a 12 litros faltan 9 litros y dado que 9 : 3 = 3 necesitamos 3 veces esa cantidad de botellas de ¾ litros. Así 4 x 3 = 12 + 4 =16 botellas. Necesitamos 16 botellas. Los diferentes grupos, partiendo de distintos procedimientos, llegaron a un único resultado. Los procedimientos son válidos y ponen de manifiesto el desconocimiento de la división de fracciones como la operación que permite dar respuesta al interrogante planteado. Esta misma situación presentada a estudiantes del profesorado de matemática seguramente será un ejercicio dado que, es de esperar, la resuelvan mediante:

12 : ¾ = 48/3 = 16

Ellos aplicarán un algoritmo para solucionarlo, la tarea les permite ejercitar habilidades ya adquiridas. Por lo expuesto podemos decir que la distinción entre ejercicio y problema es algo relativo al contexto de la tarea y al alumno que se enfrenta a ella. Depende de los conocimientos previos de quien lo resuelve. Así, a los estudiantes del profesorado la situación planteada les permite consolidar habilidades instrumentales básicas, mientras que 25

para el alumno de la Escuela Primaria constituyó un problema, dado que debió buscar estrategias y tomar decisiones para llegar a la solución. Por lo tanto la resolución de problemas y la realización de ejercicios constituyen un continuo educativo cuyos límites no siempre son fáciles de delimitar.

El estilo heurístico y la resolución de problemas Nuestra experiencia escolar, primero como alumnos y luego como maestros, nos ha acostumbrado a que los problemas se plantean en el aula para aplicar un concepto, para mostrar un algoritmo. La tarea consiste en encontrar la solución. La idea que los alumnos se forman acerca de lo que es resolver problemas se constituye como consecuencia de su práctica cotidiana en la escuela con los problemas que el maestro les propone, el momento en que se los propone y su relación con otras tareas escolares. Así se van formando la idea de lo que es resolver un problema, considerando que problema de matemática es todo lo que se realiza en el ámbito escolar, engloban dentro de ese concepto a los ejercicios y algoritmos. Como el problema suele plantearse después de haber tratado un concepto se lo identifica con él y se piensa que sólo se puede resolver con ese contenido. La finalidad de la actividad se identifica con que el profesor reconozca que se ha sabido aplicar algo que se ha aprendido y esto se muestra con la solución correcta del problema planteado, el proceso termina cuando se ha encontrado la solución. Lo descripto nada tiene que ver con el “estilo heurístico de resolución de problemas” en el cual la finalidad no es resolver una situación sino aprender de la situación; la tarea termina cuando uno tiene la sensación de que ya no puede aprender nada nuevo de esa situación. Así, Polya (1981) expresa: “Resolver un problema es encontrar un camino allí donde no se conocía previamente camino alguno, 26

encontrar la forma de salir de una dificultad, de sortear un obstáculo, conseguir el fin deseado, que no se consigue de forma inmediata, utilizando los medios adecuados.” Hoy la Resolución de Problemas es considerada parte esencial de la educación matemática dado que mediante ella los estudiantes experimentan la potencia y utilidad de las matemáticas. Así el Informe Cockroft (1982) señala que “la enseñanza de las matemáticas debe considerar la resolución de problemas, incluyendo la aplicación de las mismas a situaciones de la vida diaria”. Pero, como ya dijimos, en los ejercicios se dispone de un algoritmo que una vez resuelto lleva a la solución, por lo tanto el “único problema” es averiguar el algoritmo que hay que plantear. Son tareas estereotipadas que, por lo general, favorecen la práctica reiterada de algoritmos y fórmulas. En cambio en un problema se debe realizar una lectura comprensiva de la situación para que, en función de los conocimientos matemáticos y heurísticos de que se dispone, se encuentre la solución. La habilidad para resolver problemas se logra resolviendo problemas y adquiriendo soltura y familiaridad con las técnicas de resolución conocidas como heurísticas. Como docentes debemos esforzarnos para que nuestros alumnos adquieran confianza para abordar y resolver problemas, no debemos interrumpir sus procesos de resolución con indicaciones que lleven a soluciones rápidas y elegantes. A continuación presentamos un esquema que servirá de guía a la hora de resolver problemas. El mismo es una simplificación de lo planteado por Polya.

Sugerencias heurísticas 1. Comprender el problema - Leer detenidamente el problema. -Extraer los datos que ofrece y la incógnita que plantea. - Buscar relaciones entre los datos y la incógnita. -De ser posible, esquematizar o dibujar la situación. 27

2. Concebir el plan - Este problema, ¿es similar a otros que ya conoces? - Si se puede plantear de otra forma, plantéalo. - ¿Utilizaste todos los datos que se te ofrecen? ¿Por qué? 3. Llevar adelante el plan - Al comenzar a ejecutar el plan trazado comprueba cada uno de los pasos que realizas. - ¿Puedes darte cuenta de que cada paso realizado es correcto? - Antes de hacer algún paso ten presente: ¿qué consigo con esto? - Al realizar una operación matemática indica por qué y para qué la realizas. - Cuando tropieces con alguna dificultad vuelve al principio, ordena tus ideas y prueba nuevamente. 4. Reflexión sobre el proceso seguido - Lee nuevamente el enunciado para comprobar que lo averiguado coincide con lo pedido. - Observa la solución hallada. ¿Es posible? ¿Se puede comprobar? - ¿Hay otra forma de resolver la situación? - Escribe al lado de la solución una explicación que informe acerca de lo que has hallado. - A partir del resultado obtenido y de los procedimientos realizados formula un nuevo problema que se relacione.

Algunas aclaraciones a tener en cuenta: 3 El plantear el problema de otra forma favorece su comprensión. Veamos, por ejemplo, ante la situación:

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Las gaseosas Un cajón cuadrado puede contener 36 botellas de gaseosa. Coloca 14 botellas de forma tal que en cada fila y columna haya un número par de botellas. Se puede expresar de la siguiente forma:

Las gaseosas En un cuadrado de 6 x 6 cuadraditos colocar 14 botellas de forma tal que en cada fila y columna haya un número par de botellas. 3 Antes de comenzar ten presente: ¿qué consigo con esto? Es importante esta reflexión para no realizar cálculos sin sentido, para evitar la realización de cálculos que no ayudan a encontrar la solución. 3 Al realizar una operación matemática indica por qué y para qué la realizas. Esto permite aumentar la comprensión, recorrer el camino de lo realizado desde el principio y controlar la resolución, a la vez que facilita al docente conocer las decisiones del alumno para intervenir de ser necesario. 3 Observa la solución hallada. ¿Es posible? ¿Se puede comprobar? Permite reflexionar en torno a la razonabilidad de la solución hallada. El docente, a la hora de enfrentar a los alumnos a la tarea de resolver problemas desde este enfoque, debe: 9 Proponer leer y analizar la lista de sugerencias heurísticas con el objetivo de que comprendan los alcances de cada una de ellas. 9 Organizar a los alumnos en grupos de no más de cuatro integrantes para que sea posible la discusión de estrategias y soluciones, considerar diferentes alternativas, preguntarse acerca de la situación… 29

9 Habilitar un espacio en el cual la reflexión colectiva permita conocer el abanico de estrategias utilizadas con el objetivo de que los diferentes grupos comprendan que la utilizada por ellos no es la única posible. Veamos la siguiente propuesta. Mirta, docente de 6° grado, propone a sus alumnos realizar la siguiente propuesta:

Llegar a 31 Objetivo de la propuesta - Ser el primero en llegar a 31. Desarrollo - Se juega de a dos. - Uno de los jugadores comienza el juego diciendo un número del 1 al 5. El otro le suma al número que dijo el primero un número del 1 al 5 y dice el resultado. Así sucesivamente hasta que uno de los jugadores llega a 31. - Gana el jugador que primero dice 31.

Los alumnos jugaron en reiteradas oportunidades desarrollando habilidades de juego. En otra clase les propone que armen grupos de 4 integrantes y den respuesta a este interrogante:

¿Cómo se debe jugar para ganar siempre?

Los alumnos comienzan a discutir, buscan distintas estrategias y una vez que los distintos grupos llegaron a una solución se plantea la socialización de las conclusiones alcanzadas, las mismas son: 30

Grupo 1 Nosotros descubrimos que el que dice 25 gana seguro, porque mi compañero el máximo que puede sumar es 5 y decir 30, entonces yo sumo 1, digo 31 y gané. Grupo 2 Nosotros también descubrimos que 25 nos permite ganar, pero además pensamos cómo podemos garantizar llegar a 25 y descubrimos que si nos aseguramos el 19 podemos controlar el juego y ganar. Porque supongamos que: mi compañero dice 17, yo sumo 2 y digo 19, mi compañero suma 5 y dice 24, yo sumo 1 y digo 25, mi compañero lo máximo que puede sumar es 5 y decir 30, yo sumo 1 y digo 31. Grupo 3 Nosotros descubrimos que 25 nos permite ganar porque para llegar a 31 faltan 6. Así a partir de 31 fuimos restando 6 y descubrimos las posiciones ganadoras. Hicimos este esquema: 1

7 -6

13 -6

19 -6

25 -6

31 -6

El docente se asegura que todo el grupo haya comprendido las diferentes soluciones presentadas y pregunta:

¿Hay algún jugador que tiene ventaja?

Los alumnos responden “sí, el primero porque dice 1 y luego dice un número que le permita llegar a 7” y así sucesivamente.

31

En clases posteriores puede plantear las siguientes situaciones:

Si el juego consiste en llegar a 35 ó 36 ó 50, ¿vale la misma estrategia? ¿Por qué? Si en el juego del 31 se cambia el intervalo de los números que se pueden usar; siendo del 1 al 7 ó del 1 al 9 ¿cambia la estrategia? ¿Por qué?

Como usted habrá observado se cumplieron los momentos del trabajo matemático dado que: 3 Presentación de la situación Es el momento en el cual el docente plantea el juego. Luego se repite en el momento en que plantea. ¿Cómo se debe jugar para ganar siempre? Y así ante cada nuevo planteo. 3 Momento de resolución Cuando se propone a los alumnos jugar de a dos, luego cuando se les solicita armar grupos de 4 integrantes y así en cada momento en que deben encontrar respuesta a los interrogantes planteados. 3 Presentación de los resultados o puesta en común Es el espacio destinado a que cada grupo exponga las resoluciones halladas. Así los alumnos son observadores de su propio proceso de resolución y del proceso desarrollado por sus pares. 3 Síntesis de lo realizado Cuando entre todos comparan las resoluciones, se dan cuenta de cuáles son los números claves para ganar y que el jugador que primero juega lleva la ventaja. También es importante destacar que los problemas planteados a partir de la situación lúdica Llegar a 31 son variantes que ayudan a que los niños generalicen las soluciones alcanzadas. 32

En síntesis Un buen resolutor de problemas se caracteriza por disponer de: 3 Conocimientos matemáticos acordes a los problemas que se enfrenta. 3 Conocimiento de las estrategias heurísticas. 3 Deseo de resolverlo porque lo ve asequible y le resulta interesante hacerlo.

33

Capítulo 3

La evaluación y la resolución de problemas

La evaluación ha cobrado importancia en los últimos años como parte integrante de los procesos de enseñanza y de aprendizaje. Es un tema amplio que puede ser analizado desde diferentes perspectivas; nosotros nos centraremos en la evaluación de los aprendizajes al enseñar a resolver problemas. Valoraremos los procesos y los progresos de los alumnos. Centraremos la mirada en los cambios que los estudiantes registran al resolver problemas, contemplando las formas de analizar las diversas fases que se involucran en un proceso de solución.

Aprendizaje - Enseñanza - Evaluación Desde una perspectiva constructivista en la cual el conocimiento se construye mediante un proceso en el que las ideas evolucionan por medio de situaciones problemáticas que favorecen la explicitación y la discusión de diferentes puntos de vista —ya sea de los estudiantes entre sí, de éstos con el docente o con otras fuentes de información o con la propia experiencia— la evaluación es un elemento fundamental de la dinámica del proceso de aprendizaje. Así, Aprendizaje - Enseñanza - Evaluación constituyen un trinomio en el cual los tres elementos interactúan dinámicamente. 35

Resolver un problema es un 3 Acto creativo que implica: - Preparación o familiarización con el problema. - Toma de decisiones acerca del camino que lleva a la solución. - Verificación del resultado hallado. 3 Acto cognitivo en el cual intervienen los conocimientos (formales, informales, algorítmicos, no algorítmicos, rutinarios, heurísticos…) y los afectos (creencias, actitudes, emociones). Las consideraciones realizadas nos llevan a pensar que la evaluación se debe centrar en: 3 los procesos y no sólo en los resultados. 3 los progresos de los alumnos (después de un tiempo son capaces de resolver más problemas y mejor).

Evaluación de procesos La evaluación de proceso debe suministrar al docente información acerca de las diversas actividades que el alumno realiza a la hora de resolver un problema. A continuación proponemos tres formas de evaluar los procesos de los alumnos en la resolución de problemas, ellas son: 3 Producciones escritas 3 Exposiciones orales 3 Registros de observación El uso de ellas permitirá al docente diagnosticar los saberes iniciales del grupo escolar, detectando logros y dificultades, así como también conocer el proceso seguido por los alumnos durante un período determinado de tiempo.

36

Producciones escritas Las producciones escritas son de gran utilidad, pues permiten evaluar muchos alumnos a la vez quedando registro de sus respuestas de forma tal que se puede volver sobre ellas todas las veces que se desee. Se propone a los alumnos que, en forma individual o grupal, resuelvan una situación explicando los motivos por los cuales realizan tal o cual operación así como lo que se pretende lograr con lo realizado. Este tipo de evaluación se relaciona con el Momento de resolución. El docente, al leer las producciones de los alumnos, puede completar planillas del tipo:

Situación ................................................................ Fecha ................................... Alumnos ........................................................................................................................ Comprensión del enunciado

Total

Parcial

Nulo

Búsqueda de estrategias

Varias

Una

Ninguna

Desarrollo de una estrategia

Total

Parcial

Inapropiado

Solución presentada

Total

Parcial

Incorrecta

Verificación de la solución

Sí

No

Observaciones .................................................................................................................. ...................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................

37

Exposiciones orales Esta evaluación se corresponde con el momento de Presentación de los resultados o puesta en común. Aquí cada grupo de alumnos expone a los demás las decisiones tomadas en el momento de resolución. Los alumnos deberán justificar lo realizado. El resto de los alumnos, así como el docente, pueden intervenir haciendo preguntas que apunten a una mayor comprensión de lo expuesto. El docente, en este tipo de evaluación, puede valerse de planillas del tipo:

Situación ................................................................ Fecha ................................... Alumnos ........................................................................................................................ Acerca de los procedimientos utilizados Acerca de la solución hallada Acerca de la verificación de la solución Uso de lenguaje matemático

Apropiados

Total

Se realizó en forma total Total

Inapropiados

Parcial

Incorrecta

Se realizó en forma parcial

No se realizó

Parcial

Nulo

Es preciso al describir el proceso realizado

Sí

No

Es posible seguir el procedimiento utilizado

Sí

No

Observaciones .................................................................................................................. ......................................................................................................................................................

38

Registros de observación Se relaciona con el Momento de resolución. La idea es que el docente observe, a los distintos grupos o a un grupo por vez, como observador externo, tanto la forma en que el grupo encara la resolución como la dinámica que utiliza, y registre lo observado. Este registro permitirá al docente conocer actitudes y hábitos de trabajo. Se puede valer de planillas del tipo:

Situación ................................................................ Fecha ................................... Alumnos ........................................................................................................................ Muestran gusto por resolver problemas

Sí

No

Cooperan unos con otros

Sí

No

Algunos

Uno

Son perseverantes

Sí

No

Buscan estrategias para comprender la situación

Sí

No

Usan gráficos, materiales,etc. para comprender la situación

Sí

No

Prueban las estrategias

Sí

No

Modifican la estrategia de ser necesario

Sí

No

Comprueban el resultado

Sí

No

Aportan ideas

Todos

Observaciones .................................................................................................................. ......................................................................................................................................................

39

Valoración de los progresos En esta, al igual que en las diferentes actividades que se llevan adelante en el contexto escolar, los alumnos presentan diferentes puntos de partida y los de llegada —con alta probabilidad— pueden ser diferentes. De ahí que es de vital importancia valorar los progresos después de un determinado tiempo. Progresos que se medirán en relación con la cantidad de problemas que resuelven y la forma en que lo hacen. Las planillas descriptas con anterioridad nos permiten registrar los cambios que se producen durante el proceso de aprendizaje, así como dar direccionalidad al proceso de enseñanza haciendo hincapié en los aspectos a superar. En síntesis La evaluación nos permite detectar tanto las competencias como las dificultades de los alumnos. La evaluación será un elemento constructivo en la medida en que el docente genere dentro del aula un clima que ayude a los alumnos a expresarse con libertad, a desinhibirse, a escribir en sus hojas lo que están pensando sin miedo a cometer errores o a correr el riesgo de emprender caminos que no saben si los llevarán a la solución. También se deberá tener en cuenta que los horarios y tiempos estrictos y limitados no son adecuados para este tipo de trabajo; aquí son importantes tanto los procesos de búsqueda y las respuestas aportadas así como también los aspectos afectivos y ambientales.

40

Capítulo 4

Los problemas matemáticos y los alumnos

Los especialistas en Enseñanza de la Matemática, desde hace muchos años se preocupan por conocer cómo actúa el alumno ante un problema, qué pautas sigue para resolverlo, qué estrategias utiliza, qué dificultades encuentra… Analizaremos las dificultades que se les presentan a los alumnos a la hora de resolver problemas, dificultades relacionadas con la forma en que se presentan los enunciados y no con el contenido matemático involucrado.

La presentación de situaciones problemáticas El docente, a la hora de diseñar situaciones de aprendizaje, deberá tener presente algunas cuestiones que implican, en el momento en que los alumnos se enfrentan a resolverlas, diferentes niveles de dificultades. Las cuestiones a tener en cuenta son: a. Formato externo b. Número de operaciones c. Indicaciones de resolución

41

a. Formato externo Las cuestiones que analizaremos se centran en las dificultades iniciales con las que se enfrentan los niños en su primer contacto con los problemas. Es la etapa que más dificultades presenta; de ahí que el docente debe tener una clara comprensión de ellas a la hora de diseñar problemas y utilizarlos tanto para enseñar a través como enseñar para y enseñar sobre. Dentro del formato externo analizaremos las siguientes cuestiones: 3Tamaño del problema 3Complejidad gramatical 3Datos 3Pregunta 3Secuencia del enunciado Tamaño del problema: hace referencia a la cantidad de frases del enunciado y al tamaño de las mismas. Veamos las siguientes situaciones: Situación 1

Los alumnos Los 80 alumnos de 3° grado se ponen en fila. En cada fila hay 8 niños. ¿Cuántas filas hay? Situación 2

Los alumnos Los ochenta alumnos de 3° grado se colocan en filas de a ocho. ¿Cuántas filas hay?

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Situación 3

Los alumnos ¿Qué cantidad de filas se arman si los 80 alumnos de 3° grado se colocan en filas de a ocho? Analizando las situaciones presentadas vemos que: SITUACIÓN

ANÁLISIS

1

3 frases, una con datos, otra con condiciones y una tercera con la pregunta.

2

2 frases, una con datos y condiciones y la otra con la pregunta.

3

1 frase, con datos condiciones y pregunta.

La situación 3 encierra un nivel de dificultad mayor que el de la situación 2 y ésta, a su vez, uno mayor que el de la situación 1. Esta cuestión debe tenerse en cuenta fundamentalmente en el 1° ciclo ya que los alumnos del 2° ciclo están en condiciones de enfrentarse a problemas como el de la situación 3. Complejidad gramatical hace referencia a las palabras usadas en los enunciados de los problemas; se relacionan con el contexto y son las que permiten decidir qué operación realizar. Son, por lo general, sustantivos y adjetivos que cumplen la función de palabras claves. Situación 1

Las bolitas Lucas tenía 24 bolitas. Su hermano Esteban le quitó 5. ¿Cuántas bolitas tiene ahora?

43

Situación 2

Las bolitas Lucas tenía 24 bolitas. Jugando con su hermano Esteban perdió 5. ¿Cuántas bolitas tiene ahora? Situación 3

En la biblioteca Marisol, la bibliotecaria de la escuela, recibió 45 libros. Quiere repartirlos en cantidades iguales en 5 estantes. ¿Qué cantidad de libros colocará en cada estante? Situación 4

En la biblioteca Marisol, la bibliotecaria de la escuela, recibió 45 libros. Quiere acomodarlos en 5 estantes de forma tal que todos tengan la misma cantidad de libros. ¿Cuántos libros colocará en cada estante? Analizando las situaciones presentadas vemos que:

44

SITUACIÓN

ANÁLISIS

1

Aparece la palabra “quitar” propia de la terminología matemática.

2

Aparece la palabra “perdió” propia del lenguaje usual.

3

Aparece la palabra “repartirlos” propia de la terminología matemática.

4

Aparece la palabra “acomodarlos” propia del lenguaje usual.

Las situaciones que hacen uso de la terminología matemática son más sencillas que aquellas que usan palabras del lenguaje usual. Es así como la situación 1 es más sencilla que la situación 2 y la situación 3 es más sencilla que la situación 4. Datos se relaciona con las formas en que pueden presentarse los datos de un problema, ellas son: dibujos, materiales concretos, números o letras que representan números. Situación 1

En el corral

¿Cuántos metros de alambre tejido necesita?

Situación 2

En el corral Pedro, el abuelo de Pato, quiere colocar dos vueltas de alambre tejido a su corral de 15 m de ancho y 25 m de largo. ¿Cuántos metros de alambre tejido necesita?

45

En la situación 1 los datos del problema se presentan mediante un dibujo, por lo tanto encierra menor nivel de dificultad que la situación 2 en la cual no se indica de qué forma se trata, siendo los niños quienes, a partir del ancho y largo, deben darse cuenta de que el corral tiene forma de rectángulo. Situación 3 En el supermercado LUCRE, MI MAMÁ, PAGÓ LOS $525 QUE GASTÓ EN EL SUPERMERCADO CON ESTOS BILLETES

¿Le dan vuelto? ¿Cuánto?

Situación 4 En el supermercado Lucrecia, la mamá de Camila, gasta en el supermercado $525, abona con $600. ¿Le dan vuelto? ¿Cuánto?

Situación 5 En el supermercado Lucrecia, la mamá de Camila, gasta en el supermercado quinientos veinticinco pesos, abona con seiscientos pesos. ¿Le dan vuelto? ¿Cuánto?

46

Si bien en las tres situaciones los alumnos deben realizar las mismas operaciones para resolver el interrogante, al secuenciarlas en orden de dificultad creciente tenemos que: 3 Situación 3: es la de menor nivel dificultad porque los datos se presentan mediante dibujos. 3 Situación 4: le sigue en nivel dificultad, aquí los datos se presentan por medio de números. 3 Situación 5: es la de mayor nivel de dificultad porque los datos numéricos están presentados mediante letras. Pregunta: hace referencia al lugar en que se ubica la pregunta y al contenido de la misma. Veamos las siguientes situaciones: Situación 1 En la librería de Don Bartolo Pedro va a la librería y compra 3 cuadernos iguales. Abona por la compra $90. ¿Cuánto pagó cada cuaderno?

Situación 2 En la librería de Don Bartolo Pedro va a la librería y compra 3 cuadernos iguales. ¿Cuánto pagó cada cuaderno si abonó $90 por la compra?

Situación 3 En la librería de Don Bartolo ¿Cuánto paga Pedro cada cuaderno si compra 3 cuadernos iguales y abona $90 por el total de la compra?

47

Analizando las situaciones presentadas vemos que: SITUACIÓN

ANÁLISIS

1

La pregunta se encuentra al final del enunciado y no contiene datos.

2

La pregunta contiene uno de los datos necesarios y está al final.

3

La pregunta está al comienzo y contiene todos los datos necesarios.

La situación 1 encierra menor nivel de dificultad que la situación 2 y ésta, a su vez, un nivel menor que la situación 3. Secuencia del enunciado: se relaciona con el orden en el cual están presentados los datos que llevan a la solución del problema. Veamos los siguientes problemas: Situación 1 El kiosco “Rey de la golosina” Joaquín va al kiosco con $20 y regresa con $5. ¿Cuánto dinero gastó en el kiosco?

Situación 2 El kiosco “Rey de la golosina” Joaquín regresa del kiosco con $5, llevó $20 ¿Cuánto dinero gastó en el kiosco?

La situación 1 presenta menor nivel de dificultad que la situación 2 dado que en la primera las cantidades 20 y 5 están en el orden en que se deben restar. 48

Es común que ante problemas como el de la situación 2 los alumnos resuelvan sumar porque saben que no pueden restar 5 - 20.

b. Número de operaciones Este apartado hace referencia a la cantidad mínima de operaciones con que un resolutor puede resolver, en forma económica, un problema. Todos sabemos que esta cantidad puede variar según la habilidad de quien resuelve. Veamos los siguientes problemas Situación 1 El chocolate ¿Cuánto chocolate le queda a Juan Ignacio, de una barra de ¾ kg., si quiere repartir ½ kg. entre sus amigos?

Situación 2 Los kilos Lucrecia está haciendo una dieta para bajar de peso. Al comenzar pesaba 61,300 kg., durante las cuatro primeras semanas bajó 1,200 kg., 0,700 kg, 1,150 kg y 0,850 kg respectivamente. ¿Cuál es el peso de Lucrecia ahora?

Situación 3 Las vacaciones Juan Bautista, durante el año 2011, tomó una semana y 2 días de vacaciones en julio, otra semana en setiembre, 30 días y una semana en enero. ¿Cuál es la cantidad de días de vacaciones que Juan Bautista tomó durante el año 2011?

49

Como usted podrá apreciar, la situación 1, al resolverse mediante una sola operación, ¾ - ½, es más sencilla que la situación 2, que necesita de dos operaciones para llegar a la solución, a saber:

1,200 kg + 0,700 kg + 1,150 kg + 0,850 kg = 3,900 kg 61,300 kg – 3,900 kg = 57,400 kg

La situación 3 es la más compleja; para su resolución son necesarias más de dos operaciones: 3 Para averiguar la cantidad de semanas debemos hacer: 1 semana julio + 1 semana setiembre + 1 semana enero = 3 semanas 3 Para averiguar la cantidad de días debemos hacer: 2 días julio + 30 días enero = 32 días. 3 Como la respuesta solicita realizar el cálculo en días debemos pasar las semanas a días: 3 semanas x 7 días = 21 días. 3 Para calcular el total de días de vacaciones hacemos: 21 días + 32 días = 53 días.

c. Indicaciones de resolución Hace referencia a las indicaciones que, en forma escrita, se le dan al resolutor al plantear la situación que debe resolver. Veamos las siguientes situaciones problemáticas:

50

Situación 1 Supermercado “Don Jaime”

CERVEZA GASEOSA Para saber cuántas botellas de cada tipo trajo, hice:

9x3 12 x 3

9x2 6x2

DINERO

27 + 18 = 45 36 + 12 = 48

Ayuda a Mercedes para saber cuántas de las 18 botellas que entregó la señora son de cerveza y cuántas de gaseosa.

Situación 2 En la ferretería Luciano compra en la ferretería 3 metros de soga a $5 el metro y una caja de clavos a $20. ¿Qué importe debió abonar? Redondea la o las operaciones que consideres correctas 3x5+20 5+5+5+20 3x5x20 3+5+20

51

Situación 3 Escribí un problema que se resuelva mediante la siguiente operación: 32 x 6

Analizando las situaciones presentadas observamos que: 3 Situación 1 Es un problema de estimación en el cual se presentan: - Dos cantidades fijas: cantidad de botellas y dinero pagado. - Dos resoluciones. Los niños, a partir de las resoluciones presentadas, deberán encontrar una que cumpla con las condiciones establecidas. Así presentado es más sencillo que si tuviera sólo el enunciado, ya que señala un camino a seguir. 3 Situación 2 Se presentan soluciones en las cuales todos los números aparecen relacionados por una operación. Hay dos soluciones posibles; la elección del alumno por una u otra pondrá de manifiesto el nivel de construcción alcanzado. 3 Situación 3 El alumno debe crear una historia más o menos real, posible, con sentido y que admita ser resuelta por la operación indicada. Este obstáculo implica un grado de dificultad mayor que el de resolver una situación. En síntesis A continuación presentamos un cuadro que sintetiza las ideas vertidas en el capítulo. Su función es la de servir de guía al docente a la hora de diseñar situaciones problemáticas.

52

PRESENTACION DE SITUACIONES PROBLEMA cuestiones a tener en cuenta

FORMATO EXTERNO

™ Tamaño del problema ™ Complejidad gramatical ™ Datos ™ Pregunta ™ Secuenciación del enunciado

NUMERO DE OPERACIONES

™ Una operación ™ Dos operaciones ™ Más de dos operaciones

INDICACIONES DE RESOLUCION

™ Presentar alguna forma de resolución ™ Seleccionar una respuesta ™ Formular un problema

53

Capítulo 5

Los enunciados y la resolución de problemas

Desde nuestra mirada de las matemáticas es importante que destinemos buena parte de las clases a la enseñanza de la resolución de problemas. Porque las actividades relacionadas con el cálculo son un medio mientras que la resolución de problemas es un fin, pone el énfasis en la adquisición de procesos de pensamiento que llevarán al alumno a resolver problemas autónomamente, a conocer sus destrezas, vicios y dificultades. El docente, en este proceso, debe acompañar al estudiante a superar los obstáculos que se le presentan aportándole sugerencias heurísticas, preguntas…, que le ayuden a orientar su actividad. Es común que los maestros, cuando se refieren a las dificultades que encuentran los estudiantes al enfocar los problemas, expresen: “no comprenden el enunciado”, “la dificultad con los problemas no es de matemática sino de lengua”, “no saben interpretar consignas”… Muchas veces piensan que esas dificultades desaparecerán en la medida en que los alumnos se enfrenten a problemas; si bien esto es en parte real, apunta a confiar sólo en la práctica, a dejar a cargo de los alumnos el aprendizaje de contenidos esenciales tales como la resolución de problemas. Desde el actual enfoque de las matemáticas, para el cual la resolución de problemas es un contenido a ser enseñado, se deberá apuntar a plantear situaciones didácticas que se dediquen 55

específicamente al despliegue y a la reflexión de estrategias que tengan como objetivo la comprensión de enunciados por parte de los alumnos.

Los enunciados matemáticos Una situación problemática está conformada por datos que se relacionan entre sí de alguna forma y por un interrogante que se debe resolver. Existe entre datos y pregunta una compleja relación que exige de un trabajo docente intencional y específico. El enunciado es la forma en que el resolutor se acerca al problema; de ahí que la lectura comprensiva del mismo le permitirá comprender el problema para luego concebir un plan que lo lleve a encontrar la respuesta al interrogante planteado. En el capítulo II planteamos un esquema que sirve de guía a la hora de resolver problemas, ahora ampliaremos las preguntas que los alumnos se pueden hacer en relación con el enunciado. Las mismas tienen la finalidad de orientar la lectura comprensiva; el docente con su grupo de alumnos podrá ampliar o reducir el listado que se presenta a continuación.

Al leer el enunciado de un problema el alumno se puede preguntar acerca de: 9 ¿Me recuerda algún hecho, situación o problema anterior? 9 ¿De qué trata el problema? 9 ¿Comprendo el significado de todas las palabras del enunciado? 9 ¿He encontrado palabras de difícil comprensión? 9 ¿He leído varias veces el problema para comprenderlo? ¿Cuántas? ¿Por qué? 9 ¿Qué pide encontrar el problema? 9 ¿Qué datos me dan para encontrar la solución?

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9 ¿Hay datos que están relacionados? 9 ¿He analizado las distintas frases del enunciado para establecer la relación que hay entre ellas? 9 ¿He separado las relaciones que ligan los datos? 9 ¿Sabría hacer un gráfico, cuadro, esquema… con los datos del problema? 9 ¿Falta algún dato para resolverlo? ¿Cuál? 9 ¿Qué necesito saber de matemática para resolver el problema?

Analizaremos diferentes formas de trabajar con los alumnos de Escuela Primaria las relaciones “enunciado-pregunta” y “datos-pregunta”.

Relación “enunciado-pregunta” Esta relación es evidente a nivel adulto, pero no siempre a nivel de los alumnos de Escuela Primaria quienes parten del supuesto de que toda situación se resuelve con una operación y la respuesta es un número. Por ejemplo:

Las muñecas Julieta tiene 6 muñecas y Mariela, la tercera parte de las muñecas de Julieta. Es común que los alumnos, ante este texto narrativo que indica la cantidad de muñecas que tiene cada una de las niñas, si están en la hora de matemática, busquen una operación a utilizar para resolverlo sin reparar que la falta de interrogante hace que lo planteado no sea un problema.

57

Con el objetivo de que los niños comprendan que en un problema existe relación entre el enunciado-texto narrativo y la pregunta —interrogante a resolver— se les puede proponer una actividad como la que se detalla a continuación. Las preguntas Objetivo - Escribir una pregunta para cada una de las situaciones. Materiales - Situaciones problemáticas sin pregunta. - Lápiz y papel. Desarrollo - Se forman parejas. - Se entregan cinco hojas con enunciados diferentes. Una a cada pareja. - Se plantea la siguiente consigna: “Cada pareja escribe en la parte de abajo de su hoja una pregunta que se pueda resolver con la situación dada. Luego tapan lo escrito y pasan la hoja a la pareja de la derecha. Cada pareja, sin leer lo realizado por las otras, debe escribir una pregunta. Así hasta que todas las parejas escriben una pregunta para cada una de las cinco situaciones planteadas”. - Luego se les pide a los alumnos que armen grupos de cuatro integrantes. Se entrega a cada grupo una de las hojas anteriores. - Se les plantea: “Analicen las preguntas de la hoja y agrúpenlas en las que se pueden resolver con ese enunciado y las que no se pueden resolver. Justifiquen su respuesta”.

Cuando los diferentes grupos terminaron su tarea se realiza una puesta en común de las situaciones analizadas. Supongamos que una de las situaciones dadas fue Las muñecas y algunas de las preguntas formuladas por los niños fueron: 58

a. ¿Cuántas muñecas tiene Mariela? b. ¿Cuántas muñecas tiene Julieta? c. ¿Cuánto cuesta cada muñeca? d. ¿Cuánto valen las muñecas de Julieta? e. ¿Entre Mariela y Julieta tienen ocho muñecas? Ante la consigna planteada los alumnos deberían ser capaces de identificar que: 9 Las preguntas a, b y e se pueden resolver con el enunciado dado. 9 Las preguntas c y d no se pueden responder por falta de datos; en este caso, el valor de las muñecas. El docente, en la puesta en común puede plantear “¿Para resolver las preguntas del grupo “se pueden resolver” se utiliza siempre una operación?” Es de esperar que los niños sean capaces de comprender que: 9 Las preguntas a y e se resuelven por medio de una o varias operaciones. 9 La pregunta b no se resuelve con una operación; la respuesta está indicada en el texto. Si al analizar las situaciones no aparece toda la gama de preguntas descriptas será el docente quién planteará: “A mí se me ocurre esta pregunta…”. Y luego: “¿Qué les parece, se puede o no se puede resolver? ¿Por qué?” De esta forma interviene con la intención de enmarcar la reflexión en los contenidos que desea trabajar.

Relación “datos-pregunta” Dentro de esta relación existen variadas formas de presentar los datos, todas ellas importantes y a tener en cuenta a la hora de diseñar problemas. Las mismas deberán ser trabajadas intencionalmente tanto dentro de un mismo año lectivo como 59

a lo largo de toda la Escuela Primaria, dado que la variedad de situaciones que se les presenten a los alumnos contribuirá a una mayor y más amplia comprensión del contenido involucrado. A continuación analizaremos algunas relaciones posibles:

a. Datos necesarios e innecesarios Los datos que se presentan en un enunciado pueden ser necesarios o innecesarios, esta relación se determina en función del interrogante al cual se debe responder. Es importante diferenciar los datos que permiten resolver el interrogante (datos necesarios) de aquellos cuya presencia no contribuye a la resolución (datos innecesarios). Veamos por ejemplo:

La fiambrería “La feta loca” Ana compró 600 gramos de queso fontina, 1300 gramos de queso fresco, 100 gramos de aceitunas negras, 150 gramos de aceitunas verdes, 700 gramos de queso roquefort, 150 gramos de salame y 200 gramos de mortadela. ¿Qué cantidad de queso compró Ana? El interrogante planteado: ¿Qué cantidad de queso compró Ana? se resuelve teniendo en cuenta los siguientes datos necesarios: 9 600 gramos de queso fontina, 9 1300 gramos de queso fresco, 9 700 gramos de queso roquefort. El resto de los datos son innecesarios: 100 gramos de aceitunas negras, 150 gramos de aceitunas verdes, 150 gramos de salame y 200 gramos de mortadela. En el aula el docente puede proponer a su grupo de alumnos que: 60

9 Subrayen los datos necesarios. 9 Subrayen los datos innecesarios. En ambas actividades no se apunta a la resolución de la situación sino a reconocer el tipo de datos que encierra la misma. Este tipo de actividad desorienta a los alumnos, quienes consideran que a los problemas sólo hay que resolverlos; es decir encontrar una solución numérica. Otras alternativas posibles son: 9 Cambien el interrogante de forma tal que algún dato innecesario se transforme en necesario y viceversa. Siguiendo con nuestro ejemplo podemos preguntar: ¿Qué cantidad de aceitunas compró Ana? En este caso 100 gramos de aceitunas negras, 150 gramos de aceitunas verdes pasan a ser datos necesarios y el resto innecesarios. 9 Cambien el interrogante para que todos los datos sean necesarios. Un interrogante posible es: ¿Es cierto que Ana realizó una compra de 3.500 gramos? En este caso el niño deberá sumar la cantidad de gramos de cada uno de los productos comprados por Ana, todos los datos pasan a ser necesarios. 9 Cambien el interrogante para que todos los datos sean innecesarios. Un interrogante a plantear puede ser: ¿Es cierto que Ana gastó $125 en la fiambrería? En este caso nos encontramos con un problema sin solución en relación con los datos presentados porque en ningún momento nos dan datos relacionados con el importe pagado. Así como una situación con datos necesarios e innecesarios puede sufrir las transformaciones analizadas, las situaciones 61

con sólo datos necesarios o sólo datos innecesarios también se pueden transformar. Comenzaremos analizando una situación que pertenece a la categoría sólo datos necesarios.

Las cerezas En el centro de la mesa de la casa de Carlos hay una fuente con cerezas. Carlos toma 22 cerezas, Ricardo 20 y Lucas las 15 restantes. Los chicos deciden comer la misma cantidad de cerezas. ¿Cuántas cerezas comerá cada uno? Esta es una situación en la cual sólo hay datos necesarios. Por lo tanto los niños para resolverla podrán realizar los siguientes procedimientos: - Para averiguar cuantas cerezas había en el centro de la mesa hacen: 22 + 2 + 15 = 57 - Para averiguar cuántas cerezas le corresponden a cada uno realizan: 57: 3 = 19 - Para saber cuántas deberá dejar o tomar cada uno calculan: Carlos: 22 – 19 = 3, deberá dejar en la fuente 3 cerezas Ricardo: 20 – 19 = 1, deberá dejar en la fuente 1 cereza Lucas: 19 – 15 = 4, deberá tomar las 4 cerezas que los chicos dejaron en la fuente. Respuesta: Cada chico comerá 19 cerezas. Ante este tipo de situaciones se les puede pedir a los niños que: 9 Cambien el interrogante para que sólo algunos datos sean necesarios. Siguiendo la situación presentada algunos posibles interrogantes son: - ¿Qué cantidad de cerezas tomó Carlos? - ¿Es cierto que Ricardo tomó más cerezas que Lucas? ¿Cuántas más? 62

9 Cambien el interrogante para que todos los datos sean innecesarios. En la situación de Las cerezas algunos de los interrogantes posibles son: - ¿Cuánto pagaron el kilo de cerezas? - ¿Si cada chico puso $10 cuántos gramos de cerezas compraron? Ahora reflexionaremos en torno a una situación con sólo datos innecesarios. Estas situaciones producen desconcierto en los alumnos porque admiten palabras y no números como respuestas, a su solución no se llega operando sino mediante la lectura comprensiva de las relaciones que se establecen en el enunciado. Veamos un ejemplo:

Los jugos Luis, el encargado del supermercado, recibe los cajones de jugo. El jugo concentrado “Dulcinea” viene en envases de 2 ½ litros, se vende a $4,50 el envase, mientras que el jugo concentrado “Frutales” viene en envases de 1 ½ litros y se vende a $2,70 el envase. ¿Cuántos cajones de jugos concentrados recibió Luis? Esta situación no se puede responder con los datos del enunciado, por lo tanto la respuesta es: No se puede resolver dado que se desconoce la cantidad de cajones de jugo concentrado recibidos. Luego se puede pedir a los alumnos que: 9 Cambien el interrogante para que todos los datos se transformen en necesarios. Si los interrogantes son: - ¿Cuál de los dos jugos es más barato? - ¿Es cierto que conviene comprar el jugo “Frutales” porque es más barato? 63

Para resolver cualquiera de estos interrogantes los alumnos deberán usar todos los datos presentados, un procedimiento posible es el siguiente: - Averiguar el precio de medio litro de jugo. Jugo “Dulcinea”: como 2 ½ implica 5 veces ½ podemos hacer $4,50 : 5 = $0,90 Jugo “Frutales”: como 1 ½ implica 3 veces ½ podemos hacer $2,70 : 3 = $0,90 Las respuestas posibles son: - Los dos jugos son del mismo precio porque en ambos el ½ litro cuesta $0,90. - No es cierto, dado que los dos jugos son del mismo precio, en ambos el ½ litro cuesta $0,90. 9 Cambien el interrogante para que algunos datos se transformen en necesarios. Algunas posibles preguntas pueden ser: - ¿Cuál es el importe de 1 litro de jugo “Dulcinea”? En este caso los datos necesarios son: 2 ½ litros y se vende a $4,50 el envase. - ¿Cuánto cuesta ½ litro de jugo “Frutales”? Aquí los datos necesarios son: 1 ½ litros y se vende a $2,70 el envase.

b. Datos no numéricos Las situaciones de este tipo se diferencian de las anteriores por la ausencia de números, en ellas se establecen relaciones no numéricas entre los datos. A diferencia de las situaciones con datos numéricos en las que los niños, por lo general, tienden a usar todos los números y relacionarlos con alguna operación, en las situaciones con datos no numéricos suelen decir: “no se pueden resolver”, “no hay números”. Les cuesta entender que la lectura comprensiva del enunciado 64

los lleva a una solución que puede ser completar un cuadro, indicar el nombre de una operación, realizar una operación con los datos expresados en forma no numérica… Veamos los siguientes ejemplos:

En el gimnasio Ana, Beatriz, Carlos y Daniel concurren al mismo gimnasio. Cada uno de ellos va sólo un día a la semana y todos en días distintos. Ninguno va los sábados ni los domingos. Los lunes no accede ninguna chica. Beatriz va un día antes que Carlos. Carlos va tres días después del martes. Daniel va el día después del martes. Escribí el nombre de cada uno de los chicos en el casillero correspondiente y cruzá con una línea los casilleros que quedan libres, Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

Viernes

Sábado

Domingo

Los alumnos, a partir de la lectura comprensiva de las relaciones presentadas, completarán el cuadro teniendo en cuenta las siguientes frases: - Daniel va el día después del martes. Permite ubicar a Daniel. - Ninguno va los sábados ni domingos. Permite completar con líneas esos días. - Carlos va tres días después del martes. Permite ubicar a Carlos en el día viernes - Beatriz va un día antes que Carlos. Permite ubicarla el día jueves.

65

- Los lunes no accede ninguna chica. - Ninguno va los sábados ni domingos. - Cada uno de ellos va un solo día a la semana y todos en días distintos. Permite ubicar a Ana en el día martes. Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

Viernes

Sábado

Domingo

----

Ana

Daniel

Beatriz

Carlos

----

----

En el texto las palabras “después”, “antes”, “ninguno”, permiten establecer relaciones entre los cuatro personajes de la situación (Ana, Daniel, Beatriz y Carlos) y los días de la semana. En este caso la solución consiste en completar un cuadro. Veamos el siguiente ejemplo en el cual los datos numéricos no están expresados con números.

La perrita Clara, al salir de su casa, un día encuentra en la calle una linda perrita abandonada. Se apiada de ella y la lleva a su casa. Para que la perrita haga ejercicio la lleva a pasear dos veces al día. ¿Cuántas veces habrán cruzado el portón de la casa en una semana? Para dar respuesta al interrogante es necesario comprender que: - dos veces al día indica, en este caso, que hay que multiplicar los días de la semana por 2 - en una semana indica 7 días Por lo tanto 7x2 = 14 permite dar respuesta al interrogante planteado. Respuesta: Clara y su perrita en una semana habrán cruzado 14 veces el portón de la casa. 66

Por último analicemos la siguiente situación:

En el kiosco Luis compra en el kiosco de “Don Antonio” una caja de chicles, un paquete de caramelos y un alfajor. ¿Qué operación deberá realizar para saber cuánto dinero abonar? Aquí los alumnos deben comprender que la suma es la operación que les permite resolver el interrogante planteado. Respuesta: Luis deberá realizar una suma para saber cuánto dinero abonar.

Relación “enunciado-respuesta” Dentro de esta relación incluimos tanto los problemas abiertos como los problemas cerrados; los problemas abiertos son los que admiten más de una respuesta correcta mientras que los cerrados son aquellos que sólo admiten una respuesta correcta. En ambos casos hablamos de respuestas y no de procedimientos, dado que éstos, en ambos tipos de problemas, pueden ser variados. Veamos los siguientes ejemplos:

El vuelto Ignacio, el cajero de la panadería “La espiga loca”, debe dar el vuelto a Mercedes, quien realizó un gasto de $74 y pagó con un billete de $100. Ignacio cuenta con billetes de $ 100, $50, $20, $10, $5, $2 y monedas de $1, $0,50, $0,25, $0,10 y $0,05. Escribe tres opciones de vuelto.

Los alumnos deberán: 67

- Averiguar el vuelto que Ignacio debe dar a Mercedes. $100 - $74 = $26 - Determinar de qué forma dará el vuelto 1° opción Un billete de $20 y 3 billetes de $2. 2° opción 2 billetes de $10, un billete de $5 y una moneda de $1 3° opción 1 billete de $10, 2 billetes de $5, 2 billetes de $2 y 2 monedas de $1 Como respuesta presentamos tres posibles opciones, pero seguro que existen muchas más. Los alumnos podrán observar una variedad mayor cuando se realice la puesta en común y se compartan las decisiones tomadas por los diferentes grupos. A este problema abierto podemos restringirlo —en tanto sus posibles respuestas— si planteamos algunas condiciones tales como: - Ignacio para dar el vuelto sólo puede usar billetes. - Ignacio para dar el vuelto sólo puede usar billetes de valores diferentes. En este caso las opciones 2° y 3° no son válidas. Sí lo es la 1° opción. - Ignacio para dar el vuelto debe usar billetes y monedas. Ante esta condición la opción 1° no es válida. Sí lo son la 2° y 3° opción. - Ignacio para dar el vuelto sólo puede usar monedas. En cuyo caso ninguna de las tres opciones presentadas es válida. Una opción válida sería: 20 monedas de $1,00, 4 monedas de $ 0,50, 8 monedas de $ 0,25, 20 monedas de $ 0,10.

68

Se pueden presentar otras restricciones que seguro irán acompañadas de resoluciones diferentes o parecidas a las planteadas. En estos casos la situación sigue siendo abierta pero con menor cantidad de soluciones posibles. Pero si planteamos:

Ignacio para dar el vuelto debe usar la menor cantidad posible de billetes y monedas.

La única solución posible es: 1 billete de $20, 1 billete de $5 y una moneda de $1. De esta forma la situación que inicialmente fue abierta se transformó en una situación cerrada. Además de ser el docente el que va transformado, mediante restricciones, una situación abierta en cerrada pueden ser los niños quienes lo realicen. Veamos la siguiente propuesta: Se les pide a los niños que armen grupos de tres integrantes y que resuelvan la siguiente situación:

El festejo del día de la primavera Los alumnos de 3° juntaron $200 para comprar gaseosas, papas fritas y sándwiches de miga para festejar el día de la primavera. Si cada gaseosa cuesta $10, el paquete de papas fritas $18 y la docena de sándwiches de miga surtidos $46, ¿qué compras pueden hacer?

Veamos las resoluciones de algunos grupos:

69

Resolución 1 3 gaseosas

3 x 10 = $30

4 paquetes de papas fritas

4 x 18 = $72

2 docenas de sándwiches de miga

2 x 46 = $92

Gastamos $194 y compramos 3 gaseosas, 4 paquetes de papas fritas y 2 docenas de sándwiches de miga. Resolución 2 3 gaseosas

3 x 10 = $30

2 paquetes de papas fritas

2 x 18 = $36

2 ½ docenas de sándwiches de miga

2 x 46 = $92 + $23 = $115

Gastamos $181 y compramos 3 gaseosas, 2 paquetes de papas fritas y 2 ½ docenas de sándwiches de miga. Resolución 3 4 gaseosas

4 x 10 = $40

1 paquetes de papas fritas

1 x 18 = $18

3 docenas de sándwiches de miga

3 x 46 = $138

Gastamos $196 y compramos 4 gaseosas, 1 paquete de papas fritas y 3 docenas de sándwiches de miga. Una vez que todos los grupos terminaron, se realiza la puesta en común y los niños deben comprender que las soluciones presentadas son válidas porque cumplen con las restricciones establecidas: - Gastar hasta $200 - Comprar gaseosas, papas fritas y sándwiches de miga. 70

Luego se les pide que pasen su hoja al grupo de la derecha, quien debe escribir una situación para la cual la solución recibida sea la única opción válida. Los alumnos podrán escribir situaciones del tipo: Resolución 1

El festejo del día de la primavera Los alumnos de 3° juntaron dinero para comprar 3 gaseosas a $10, 4 paquetes de papas fritas a $18 y 2 docenas de sándwiches de miga surtidos a $46 la docena. ¿Cuánto dinero gastaron?

Resolución 2

El festejo del día de la primavera Los alumnos de 3° juntaron $200 para festejar el día de la primavera. Compraron 3 gaseosas a $10 cada una, 2 paquetes de papas fritas a $18 el paquete y 2 ½ docenas de sándwiches de miga surtidos a $46 la docena ¿Cuánto gastaron? ¿Les dieron vuelto? ¿Cuánto?

Resolución 3

El festejo del día de la primavera Los alumnos de 3° gastaron $196 en los festejos del día de la primavera. Compraron 4 gaseosas a $10 cada una, un paquete de papas fritas a $18 y 3 docenas de sándwiches de miga surtidos a $46 la docena. Pagaron con 2 billetes de $100. ¿Les dieron vuelto? ¿Cuánto?

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Una vez que todos los grupos terminaron su tarea se realiza la puesta en común y se analizan los enunciados producidos. De esta forma los niños transforman una situación abierta en una situación cerrada al escribir distintos enunciados, a partir de la resolución presentada, por otro grupo, a la situación abierta. En síntesis El trabajo del problema —como contenido a ser enseñado desde los primeros años de la Escuela Primaria— implica un trabajo intencional, por parte del docente, de los enunciados matemáticos. El siguiente cuadro resume el trabajo propuesto.

LOS ENUNCIADOS MATEMATICOS que se deberán trabajar RELACION ENUNCIADO - PROBLEMA

RELACION DATO – PREGUNTA

RELACION ENUNCIADO – RESPUESTA

™ Preguntas que se pueden resolver de acuerdo con el enunciado - con operación - sin operación ™ Preguntas que no se pueden resolver de acuerdo con el enunciado

™ Datos necesarios e innecesarios ™ Datos no numéricos

™ Problemas abiertos ™ Problemas cerrados

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Capítulo 6

El diseño de situaciones problemáticas

Hasta el momento hemos reflexionado en torno a propuestas de aprendizaje cuyo objetivo es hacer que los alumnos comprendan las particularidades de los enunciados matemáticos. En este capítulo analizaremos algunas estrategias que el docente podrá implementar para que sean los niños quienes diseñen, armen, escriban… enunciados matemáticos. A continuación trataremos algunas estrategias que posibilitan este trabajo.

Escribir situaciones Los enunciados matemáticos son textos narrativos que establecen algún tipo de relación, que preguntan acerca de algo que debe ser resuelto. Los niños, a la hora de escribir problemas, deben relacionar situaciones de la vida real, de su cotidianeidad con las particularidades de este tipo de textos. Supongamos que a un grupo de alumnos les planteamos: Escribir una situación que se resuelva con una suma.

73

En este caso los niños deberán pensar situaciones que se relacionen con las acciones de agregar, juntar, reunir… Por lo general los enunciados que escriben se relacionan con situaciones de compra en diferentes negocios tales como kiosco, panadería, supermercado… Análisis similar se puede hacer cuando les solicitamos que escriban situaciones que se resuelven con una resta o multiplicación o división. En cambio si planteamos: Escriban una situación en la cual intervengan los números 10 y 15.

Escriban una situación que dé por resultado100. son los niños quienes deben pensar qué operación utilizar. También se les puede pedir que: Escriban una situación en la cual se relacionen los caramelos y los chicos. Aquí los niños deberán pensar en los números y la operación a usar. Estas propuestas se pueden complejizar en la medida en que se les solicite: Escriban una situación que: 9 sólo tenga datos necesarios 9 sólo tenga datos innecesarios 9 tenga datos necesarios e innecesarios 9 admita más de una solución 9 se resuelva sin operar

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La propuesta apunta a que los alumnos, en la medida en que evolucionan en sus saberes relacionados con el problema como contenido, sean capaces no sólo de resolver sino también de plantear situaciones problemáticas.

Expresar y resolver una situación En este apartado nos abocaremos a dos cuestiones sustanciales dentro de la resolución de problemas: a. Expresar de diferentes formas una misma cantidad b. Resolver usando sólo números. a. Expresar de diferentes formas una misma cantidad Como hemos analizado en el capítulo IV, la forma en que se expresan los datos hace a las situaciones matemáticas más o menos complejas. De ahí que es importante trabajar con sinónimos matemáticos, es decir con diferentes formas de expresar una misma cantidad. Analicemos la siguiente propuesta:

¿Cómo lo escribo? Objetivo - Expresar de diferentes formas una misma cantidad. Materiales - Situaciones problemáticas. - Lápiz y papel. Desarrollo - Se forman parejas. - Se entregan hojas con diferentes expresiones, una a cada pareja. 75

- Se plantea la siguiente consigna: “Deben expresar de dos formas diferentes los números involucrados en la situación”. - Reflexión en torno a lo realizado por cada pareja.

Supongamos que una de las situaciones entregadas es:

Las botellas Luis compra 12 botellas de gaseosa y 6 de agua mineral sin gas. ¿Qué cantidad de botellas compró Luis? Supongamos que los niños escribieron:

Las botellas Luis compra una docena de botellas de gaseosa y la mitad de esa cantidad de agua mineral sin gas. ¿Qué cantidad de botellas compró Luis? Las botellas Luis compra media docena de botellas de agua mineral sin gas y el doble de esa cantidad de gaseosas. ¿Qué cantidad de botellas compró Luis? Las botellas Luis compra media docena de botellas de agua mineral sin gas y dos veces esa cantidad de gaseosas. ¿Qué cantidad de botellas compró Luis?

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Las botellas Para saber la cantidad de botellas de gaseosas y de agua mineral sin gas que compró Luis es necesario hacer estos productos: Gaseosas: 4 x 3 Agua mineral: 3 x 2 ¿Qué cantidad de botellas compró Luis?

Los niños, mediante este tipo de trabajo, comprenden que: 12 es equivalente a: 9 una docena 9 el doble de media docena 9 dos veces media docena 9 el resultado de 4 x 3 6 es equivalente a: 9 la mitad de 12 9 media docena 9 el resultado de 3 x 2 Este tipo de trabajo hace que el niño, al usar unos u otros sinónimos, haga evidente el nivel de construcciones adquiridas, en tanto que al docente le permite conocer el nivel de apropiación de conocimientos alcanzado por sus alumnos así como, también, intervenir para que evolucionen hacia niveles de complejidad creciente.

b. Resolver usando sólo números. Analicemos la siguiente propuesta.

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Lo resuelvo sólo con números Objetivo - Resolver la situación usando sólo números. Materiales - Situaciones problemáticas. - Lápiz y papel. Desarrollo - Se forman grupos de tres integrantes. - Se entregan hojas con diferentes situaciones, una a cada grupo. - Se plantea la siguiente consigna: “Deben resolver la situación realizando sólo los cálculos, es decir usando sólo números”. - Luego pasan su hoja al grupo de la derecha y se plantea: “Lean la situación y la resolución realizada por el otro grupo y escriban con números y palabras la respuesta de la situación”. - Nuevamente pasan la hoja al grupo de la derecha y se plantea la siguiente consigna: “Lean todo lo escrito en la hoja y establezcan si es correcto o incorrecto. Justifiquen su respuesta”. - Reflexión en torno a lo realizado por cada grupo.

Supongamos que la situación dada es:

Las figuritas Juan tiene 5 figuritas, jugando gana 4. Matías tiene el doble de figuritas que Juan, jugando pierde 8 figuritas. ¿Al terminar el juego, cuántas figuritas tienen entre Juan y Matías?

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Un grupo realiza la siguiente resolución: 5+4=9

10 – 8 = 2

9 + 2 = 11

El grupo de la derecha escribe la siguiente respuesta: Entre Juan y Matías tienen 11 figuritas Por último, el tercer grupo analiza que lo realizado es correcto porque: 5+4=9

Corresponde a la cantidad de figuritas de Juan. 10 – 8 = 2 Son las figuritas de Matías. 9 + 2 = 11 Representa la cantidad de figuritas que tienen Juan y Matías juntos. Usted coincidirá en que propuestas de este tipo le permiten al alumno comprender formas de resolución que no les son propias, interpretar cómo los pares resuelven una situación. Además su rol pasa de resolutor a verificador. Debe analizar si lo realizado por otros, sus pares, es o no correcto, expresando los motivos que lo llevan a esa afirmación. Asimismo, al docente le permitirá conocer cuáles son las formas de resolución de su grupo de alumnos. En síntesis Los alumnos, para lograr una amplia comprensión de la resolución de problemas, deben alternar el cumplimiento de diferentes roles: 9 “Resolutor”, resolver situaciones problemas. 9 “Analizador”, reflexionar acerca de lo realizado en la resolución. 9 “Verificador”, considerar las resoluciones para comprobar su pertinencia. 9 “Proponente”, proponer situaciones problemáticas. 79

Capítulo 7

Situaciones problemáticas

En este capítulo encontrará problemas que pueden ser trabajados con alumnos de Escuela Primaria. Las situaciones presentadas no se encuentran diferenciadas por ciclo ni grado ya que el docente, a partir de su lectura y de los obstáculos involucrados, es quien determinará la pertinencia o no de su utilización en su grupo escolar. Las situaciones que a continuación se presentan no tienen por finalidad trabajar un contenido matemático en particular sino reflexionar acerca de la resolución de problemas; es decir, tomar al problema como contenido analizando las estrategias y las relaciones que se establecen. Los alumnos, para resolverlas, podrán hacer uso de las sugerencias heurísticas detalladas en el capítulo II así como también las relacionadas con la lectura del enunciado que se encuentran en el capítulo V. El docente —para evaluar los procesos y progresos— podrá valerse de las planillas analizadas en el capítulo III. Es conveniente que los alumnos trabajen en grupos de dos a cuatro integrantes. Este trabajo grupal les permitirá intercambiar opiniones, discutir ideas, buscar estrategias, escuchar y ser escuchados por otros, no desalentarse ante la dificultad, tratar de llegar a una solución… 81

Una vez que todos los grupos encontraron solución al problema planteado debe existir un espacio destinado a la presentación de los procedimientos utilizados. Aquí cada grupo presenta las decisiones tomadas; entre todos valoran lo realizado por los diferentes grupos, buscan semejanzas y diferencias, establecen aciertos y errores. Este momento de puesta en común es de vital importancia porque permite a los alumnos comprender que el camino seguido no es el único válido, y al docente, evaluar los logros alcanzados. Las situaciones están numeradas sólo para identificarlas con claridad. El número no indica orden alguno. Al final del capítulo se encuentran las soluciones de los problemas presentados.

Problemas para reflexionar y discutir Situación 1

La caramelería En la caramelería “Dulcinea” se venden paquetes de caramelos de diferentes tipos.

Ana compra caramelos de miel, de chocolate y de frutas. Dispone de $30 para gastar. ¿Cuántos paquetes de caramelos de cada clase puede comprar? Escribí tres posibilidades.

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Situación 2

Lucas el jardinero Lucas, durante la primera semana del mes de junio, plantó 93 plantines. Trabajó de lunes a viernes. El lunes plantó cierta cantidad de plantines, el martes el doble del día lunes… y así cada día el doble de plantines que el día anterior. ¿Cuántos plantines plantó el lunes? Situación 3

El ladrillito Un ladrillo ordinario pesa 4 kg. ¿Cuánto pesará un ladrillito de juguete, hecho del mismo material, si todas sus dimensiones son cuatro veces menores? Situación 4

Las haches Los números del 1 al 7, sin repetir ninguno, se deben colocar en cada “H”, de forma tal que la suma de las verticales y de las horizontales dé el mismo número. Buscá más de una solución.

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Situación 5

¡Qué corrida! Luciano salió rumbo a la escuela; su mamá, al mirar la mesa del desayuno, se da cuenta de que dejó olvidada su carpeta de clase y decide correr para alcanzarlo antes de que llegue a la escuela. Luciano está a 120 m. de la puerta de la escuela y camina a una velocidad de 60 m. por minuto. Victoria, la mamá de Luciano, está a 240 m. de Luciano y corre a una velocidad de 120 m. por minuto. ¿Victoria podrá alcanzar a Luciano antes de que éste entre en la escuela? ¿Por qué?

Situación 6

El precio de la encuadernación Un libro encuadernado cuesta 2 pesos 50 centavos. La diferencia entre el libro y la encuadernación es de 2 pesos. ¿Cuánto cuesta la encuadernación?

Situación 7

El caracol Un caracol decidió subir a un árbol de 15 m. de altura. Durante cada día tenía tiempo de subir 5 m.; pero mientras dormía por la noche bajaba 4 m. ¿Al cabo de cuántos días llegó a la cima del árbol?

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Situación 8

Doña Filomena “Entre los santos milagrosos, célebre es el caso de San Tito, el tercero entrando por la segunda puerta a la derecha de aquel templo situado al 3500 de la Av. Costanera. Resulta que el santo duplica la cantidad de dinero que se le da. La única condición es que se le dejen $ 120 para realizar obras de caridad. En la oscura mañana de aquel 10/01/93 tan lluvioso, Doña Filomena, una simpática viejita de no más de metro sesenta de estatura y no menos de ochenta años de vida, fue a probar si lo que se decía de San Tito era cierto. Puso su dinero y éste se duplicó, por lo tanto pagó los $ 120. Volvió a poner el dinero y nuevamente obtuvo el doble. Doña Filomena depositó los $ 120; por tercera vez repitió las acciones y el santo cumplió pero, al depositar los $ 120 para la caridad, Doña Filomena se quedó sin un centavo.” ¿Cuánto dinero tenía Doña Filomena antes de dejar la primera limosna?

Situación 9

La bufanda tricolor Doña Maruja, abuela de Mariana, está tejiendo una bufanda a franjas alternadas de tres colores: violeta, amarillo y rosa. Mariana quiere que mida 140 cm. de largo y Doña Maruja quiere que los extremos sean de color violeta. Si cada franja mide 5 cm., ¿la bufanda tendrá la misma cantidad de franjas de cada color? ¿Por qué?

85

Relación enunciado pregunta

Situación 10

En la chacra Don Pedro, el capataz de la chacra, envasó los huevos recolectados en la semana en cajas de 30 huevos. El lunes recolectó 53 huevos, el martes 61, el miércoles 83, el jueves 45 y el viernes 76. Situación 11

Las rifas En el grado de Marité organizaron una rifa para comprar elementos que usarán en el laboratorio de Ciencias. En el grado son 25 niños y resolvieron vender 1000 rifas a $2 cada una. Situación 12

El kiosco de “Don Pancho” Francisco el empleado del kiosco, de un paquete de 240 caramelos, arma bolsas de 12 caramelos surtidos.

Situación 13

El regalo de mamá Lucas, Patricia y Jorge juntaron sus ahorros para hacerle un regalo a Mercedes, su mamá, para su cumpleaños. Lucas aportó $80; Pedro, el doble de Lucas; Patricia, la mitad de lo que aportaron Lucas y Pedro juntos.

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Relación “datos-pregunta” a. Datos necesarios e innecesarios

Situación 14

En el kiosco Laura va al kiosco de Bartolo a comprar 2 paquetes de pastillas de menta con 15 pastillas en cada paquete, 2 alfajores de mousse de chocolate y 4 caramelos masticables de fruta. Luego, de camino a su casa, se encuentra con su hermano Matías y con Micaela, Vanesa y Patricio, compañeros de natación. Cada uno come una pastilla de menta. ¿Cuántas pastillas le quedaron?

Situación 15

Los frutales Pedro es el encargado de una plantación de árboles frutales donde hay un sector con 145 hileras de 15 naranjos cada una, otro sector con 130 hileras de 20 ciruelos cada una y un tercer sector con 125 hileras de 18 limoneros cada una. ¿Qué cantidad de naranjos tiene la plantación?

Situación 16

En el ciber Lucas, Maxi y Seba van al ciber “Los juegos locos”. Pagan la hora de internet $2. Lucas y Maxi abonaron $18 y Seba $12. ¿Cuántas horas pasó Seba en el ciber?

87

Situación 17

Las latas de pintura Lorena, para pintar las puertas de su casa, compra latas de pintura de 1 litro de colores verde, marrón y blanco. Las latas verdes representan la mitad y las marrones un cuarto. De color blanco compra 2 latas, que representan un cuarto. ¿Cuántas latas de pintura de color verde compró Lorena? Situación 18

Los caramelos Filomena, la abuela de Sol, Tato y Julián reparte caramelos de la siguiente forma: a Sol le da 20, a Tato la mitad que a Sol y a Julián, por ser el más chiquito, el doble que a Tato. ¿Qué cantidad de caramelos repartió Filomena? Situación 19

Las bolitas Gerardo jugó a las bolitas con Mauricio. Al comienzo sacaron las 100 bolitas que había en un frasco y repartieron la misma cantidad a cada uno. En la primera jugada Gerardo perdió 12 bolitas y en la segunda ganó 8. ¿Con cuántas bolitas se quedó cada uno de los chicos después de las dos jugadas? Situación 20

El libro Luis, el abuelo de Julieta, le regalo un libro de aventuras de 126 páginas. El primer día leyó las dos primeras páginas. La lectura la entusiasmó tanto que cada día leyó el doble de páginas del día anterior. ¿Cuál es el título del libro? 88

Situación 21

El acuario Vivag Lucila y su mamá llegaron al acuario “Vivag” a las 10.00 hs y se retiraron a las 15:30. Al entrar recibieron el siguiente folleto informativo:

DELFINES 11 hs., 15 hs. y 18 hs. ™9jgVX^‹c'*b^cjidh#

ESQUI ACUATICO &'/*%]h#!&+/'%]h#n&./%*]h# ™9jgVX^‹c'*b^cjidh#

LOBOS MARINOS &%/**]h#!&+/'%]h#! &,/&*]h#n'%]h# ™9jgVX^‹c'*b^cjidh#

¿Cuánto pagaron la entrada al Acuario? Situación 22

El tanque australiano Javier y Patricio recorren el campo. Se detienen frente al tanque australiano. Javier le cuenta a Patricio que la capacidad del tanque es de 12.500 litros y que en este momento está exactamente hasta la mitad. Además le muestra la nueva bomba y le dice: “Esta bomba arroja 735 litros por hora, la dejaré encendida 5 horas así los animales tendrán agua suficiente para algunos días. ¿Cuánto pagó Javier la nueva bomba? 89

Situación 23

Los libros de historietas Darío compró 3 libros de historietas para él y 2 para su hermano Víctor. Pagó $15 cada libro. ¿Le dieron vuelto por su compra? b. Datos no numéricos Situación 24

Los cuatrillizos Para conocer a los cuatrillizos Cabrera debes tener en cuenta las siguientes pistas. Los cuatrillizos Cabrera ya cumplieron 40 años. Todos, felizmente casados, viven en distintos departamentos de un mismo edificio, con aficiones y profesiones bien definidas. IZaVhXdciVbdh/

9 El que se casó con María no es militar ni abogado. 9 En el departamento “D” no viven ni José ni Ricardo, aunque sí vive el aficionado a la pesca. 9 El aficionado al fútbol es Alfredo. 9 El que vive en el departamento “C” es Ricardo. 9 El ingeniero no se casó con Elisa, pero es un enamorado de la pesca. 9 Patricia conoció a José cuando él estudiaba física. 9 A Manolo le gusta la pesca. 9 El que vive en el departamento “C” se casó con Juana. 9 El aficionado al cine se quedó a vivir en el departamento “A” y el abogado fue al departamento “B”. 9 A Elisa, igual que a su cuñado, le gustan los discos compactos.

NOMBRE

90

ESPOSA

PROFESIÓN

DEPARTAMENTO

GUSTOS

Situación 25

El regalo Aurora, la abuela de Julián, le regala todos los domingos la misma cantidad de dinero. ¿Qué operación deberá hacer Julián para saber cuánto dinero recibirá en un mes? Situación 26

Los chocolates Federico, el hermano mayor de Joaquín, intenta que éste le dé unos cuantos chocolates de una gran caja que le regalaron para su cumpleaños. Federico le dice:”Tengo media docena de bolsillos entre el pantalón y la chaqueta, comienza con un chocolate y duplica la cantidad en cada bolsillo”. ¿Cuántos chocolates espera recibir Federico? Relación “enunciado-respuesta” Situación 27

El sapo Coni y Flopi juegan en parejas a “El sapo”. El juego consiste en tirar pelotitas que deben ser embocadas en la boca del sapo. Entre las dos acumularon 100 puntos embocando una pelota en cada sapo.

5

25

10

15

30

20

35

¿En qué sapos embocaron pelotitas Coni y Flopi? 91

Situación 28

Los números Busca un número par comprendido entre 999 y 1300 en el cual: 9 la suma de sus cifras sea 3 9 la decena y centena sean ceros Situación 29

Las estampillas Los chicos de 4° tienen que enviar una carta a una escuela que queda en un lugar muy alejado. El franqueo cuesta $75. Pueden usar estampillas de:

$10

$5

$20 $15

$50 $25

¿Qué estampillas elegirán?

Situación 30

Los vasos Lucrecia va a comprar 48 vasos de colores. Claudio, el encargado del bazar, le dice que esos vasos vienen en paquetes de 4, 6, 8, 10 y 12 unidades. Lucrecia decide llevar la menor cantidad de paquetes posibles. ¿Cuáles habrá elegido?

92

Soluciones a las situaciones presentadas Problemas para reflexionar y discutir SITUACIÓN 1: La caramelería IgZhedh^WaZhhdajX^dcZhhdc/ *WdahVhYZXVgVbZadhYZ[gjiVh*m'2&% )WdahVhYZXVgVbZadhYZb^Za)m(2&'(% 'WdahVhYZXVgVbZadhYZX]dXdaViZ'm)2-

&WdahVhYZXVgVbZadhYZ[gjiVh&m'2' )WdahVhYZXVgVbZadhYZb^Za)m(2&'(% )WdahVhYZXVgVbZadhYZX]dXdaViZ)m)2&+ +WdahVhYZXVgVbZadhYZ[gjiVh+m'2&' 'WdahVhYZXVgVbZadhYZb^Za'm(2+(% (WdahVhYZXVgVbZadhYZX]dXdaViZ(m)2&' SITUACIÓN 2: Lucas el jardinero Se puede resolver siguiendo distintos procedimientos, Zab{hZXdc‹b^XdZh/ Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

x plantines x#' x.2#' x.2.2#' x.2.2.2#'

EdgadiVcid/m m#' m#'#' m#'#'#' m#'#'#'#'2.( m 'm )m -m &+m2.(   (&m2.(   m2.(/(& m2(

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El día lunes Lucas plantó 3 plantines. SITUACIÓN 3: El ladrillito H^YVbdhXdbdgZhejZhiV/el ladrillito de juguete pesa 1 kg, es un error ya que este ladrillito de juguete es cuatro veces más corto, cuatro veces más estrecho y cuatro veces más bajo!edgadiVcidhjkdajbZcnhjeZhdhZg{c/ )M)M)2+)kZXZhbZcdgZh AVgZhejZhiVXdggZXiVhZg{/ Si el ladrillo ordinario pesa 4 kg, es decir 4000 g, el ladrillito YZ_j\jZiZeZhV+)kZXZhbZcdh!edgadiVcidiZcZbdh que hacer )%%%\/+)2+'!*\

El ladrillito de juguete pesa 62,5 g SITUACIÓN 4: Las haches Las soluciones posibles son 7 (siete). Las sumas dan 11, 12 y 13. En el medio se debe ubicar un número par porque el intervalo es impar, del 1 al 7. Si el intervalo seleccionado hubiese sido par, por ejemeadYZa'Va-!adhcbZgdhYZabZY^dYZWZg†VchZgimpares, para que la suma de las horizontales y verticales dé el mismo número. Dos “H” son diferentes cuando cambia, al menos, un número de las horizontales y/o verticales. Las soluciones hdc/

94

SUMA 13

3 2

4 +

5

1

7

5

1

7

4 2

+ 3

SUMA 12

7 4

3 '

1

3

5

'

+

7

4

5

5

+

1

1

+

3 4

7 '

SUMA 11

5 4 '

6

3

7

1

3

7

1

4 6

' 5

95

SITUACIÓN 5: ¡Qué corrida! No, Victoria no puede alcanzarle la carpeta a Luciano antes de que éste entre en la escuela, pues Luciano llegará a la ZhXjZaVZc'b^cjidhnK^Xidg^ViVgYVg{ZcaaZ\VgVaVejZgiV de la escuela 3 minutos. EdgfjZ/ 9 AjX^VcdZhi{V&'%b#YZaVZhXjZaVnXVb^cVV+%b#edg b^cjid!YZV]†fjZ&'%/+%2'!edgadiVcidZc'b^cjidh estará en la escuela. 9 K^Xidg^VZhi{V')%b#YZAjX^Vcdn‚hiZV&'%b#YZaVZhXjZaV nXdggZV&'%b#edgb^cjid!YZV]†fjZ')% &'%2(+%! ajZ\d(+%/&'%2(b^cjidh#IVgYVg{ZcaaZ\VgVaVZhXjZaV 3 minutos. SITUACIÓN 6: El precio de la encuadernación :aegZX^didiVaYZaa^WgdZhYZ'!*%naVY^[ZgZcX^VZcigZZa a^WgdnaVZcXjVYZgcVX^‹cZhYZ'0VbWVhXdcY^X^dcZhhZ YZWZcXjbea^gZc[dgbVh^bjai{cZV!edgadiVcid/ 9 Si decimos que la encuadernación cuesta $ 0,50 y el a^Wgd'!aVY^[ZgZcX^VZcigZVbWdhZh/'"%!*%2&!*%0 por lo tanto no se cumple una de las condiciones establecidas. 9 EVgVfjZaVY^[ZgZcX^VhZVYZ'aVZcXjVYZgcVX^‹c YZWZhZgYZ%!'*nZaegZX^dYZaa^WgdYZ'!'*!YVYd fjZ/'!'*"%!'*2'0YZZhiV[dgbVhZXjbeaZcaVhYdh condiciones. GZhejZhiV/El precio de la encuadernación es de $0,25. SITUACIÓN 7: El caracol Si cada día sube 5 m. mientras está despierto y baja 4 m. cuando duerme, al cabo de 10 días subió 10 metros. Al día h^\j^ZciZhjWZadh*bZigdhgZhiVciZh#EdgadiVcid/tarda en llegar a la cima del árbol 11 días.

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SITUACIÓN 8: Doña Filomena Doña Filomena realizó las siguientes acciones tres veces XdchZXji^kVh/ 9 depositó una cierta suma de dinero (a, b, c) 9 fjZaZ[jZYjea^XVYVm' 9 ijkdfjZYdcVgeVgVdWgVhYZXVg^YVY&'%"&'% La tercera vez se queda con cero pesos. Matemáticamente edYZbdhZmegZhVgadYZaVh^\j^ZciZ[dgbV/ &°kZo/YZedh^iVV!dWi^ZcZ/Vm'"&'%2W '°kZo/YZedh^iVW!dWi^ZcZ/Wm'"&'%2X (°kZo/YZedh^iVX!dWi^ZcZ/Xm'"&'%2% H^gZhdakZbdhYZVig{heVgVVYZaVciZiZcZbdhfjZ/ 3° Vez Xm'"&'%2%^bea^XVX2+%edgfjZ+%m'Ä&'%2      &'%Ä&'%2% '•KZo Wm'"&'%2X^bea^XVW2.%edgfjZ.%m'Ä&'%2     &-%Ä&'%2+% 1° Vez Vm'"&'%2W^bea^XVV2&%*edgfjZ&%*m'Ä&'%2      '&%Ä&'%2.% Doña Filomena comenzó depositando $ 105. Además podemos afirmar que nunca ganó porque en todos los casos obtuvo una cantidad de dinero menor a la depositada aVeg^bZgVkZo.%!+%n%# La situación también se puede resolver mediante ecuaciones, procedimiento complejo para niños de Escuela Primaria.

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SITUACIÓN 9: La bufanda tricolor La bufanda no tendrá la misma cantidad de franjas de cada XdadgejZh/ &)%Xb/*Xb2'-Xb '-Xb/(XdadgZh2.!(([gVc_Vh# Como la primera y la última franja serán de color violeta la bufanda tendrá 9 franjas rosas, 9 franjas amarillas y 10 franjas violetas.

Relación “enunciado-pregunta” SITUACIÓN 10: En la chacra :hiVhhdcVa\jcVhYZaVhedh^WaZhegZ\jciVh/ 9 Que se pueden resolver -¿Qué cantidad de huevos se recolectaron en la semana? - ¿Cuántos huevos se recolectaron entre lunes y miércoles? -¿Qué cantidad de huevos se recolectaron el día viernes? 9 Que no se pueden resolver - ¿Cuánto cuesta una caja de huevos? - ¿Es cierto que la caja de 30 huevos cuesta $30? - ¿Es cierto que esta semana se recolectaron menos huevos que la semana pasada? SITUACIÓN 11: Las rifas 6a\jcVhedh^WaZhegZ\jciVhhdc/ 9 Que se pueden resolver -¿Cuántas rifas debe vender cada chico si todos venden la misma cantidad? - ¿Cuánto cuesta cada rifa? - ¿Qué cantidad de dinero recaudarán si venden todas las rifas? 98

:hXdbcfjZadhVajbcdhZmegZhZc/¿Cuántas rifas debe vender cada chico? o ¿Qué cantidad de dinero recaudarán?, pero las condiciones “si todos venden la misma cantidad” y “si se venden todas las rifas” dan precisión a las preguntas. 9 Que no se pueden resolver - ¿Qué elementos compraron para el laboratorio de Ciencias? - ´:hX^ZgidfjZfjZYVgdch^ckZcYZg'%g^[Vh4 -¿Es cierto que hubo alumnos que no vendieron rifas? SITUACIÓN 12: El kiosco de “Don Pancho” HZedYg{c[dgbjaVg!ZcigZdigVh!aVhh^\j^ZciZhegZ\jciVh/ 9 Que se pueden resolver - ¿Cuántas bolsas de caramelos armó Francisco? - ¿Qué cantidad de caramelos tiene cada bolsa? - ¿Quedaron caramelos sin embolsar? 9 Que no se pueden resolver -´8j{cidY^cZgdgZXVjY‹edgaVkZciVYZaVh&'WdahVh de caramelos? - ¿Es cierto que cada bolsa de caramelo vale $5? - ´8j{cidY^cZgdeV\‹edgaVWdahVYZ')%XVgVbZadh4 SITUACIÓN 13: El regalo de mamá :hiVhhdcVa\jcVhYZaVhedh^WaZhegZ\jciVh/ 9 Que se pueden resolver - ¿Cuánto dinero aportó Lucas? - ¿Quién aportó más dinero? - ¿Cuánta plata juntaron? 9 Que no se pueden resolver - ¿Qué regalo le compraron a Mercedes? - ´:hX^ZgidfjZXdbegVgdcjcgZ\VadYZ'%%4 -¿Cuánto dinero les quedó después de comprar el regalo?

99

Relación “datos-pregunta” ™9VidhcZXZhVg^dhZ^ccZXZhVg^dh SITUACIÓN 14: En el kiosco AdhYVidhcZXZhVg^dh/ - 'eVfjZiZhYZeVhi^aaVhXdc&*eVhi^aaVhZcXVYVeVfjZiZ# - Laura. - Su hermano Matías, Micaela, Vanesa y Patricio. - Cada uno come una pastilla de menta. GZhejZhiV/A Laura le quedaron 25 pastillas de menta. 9 Cambien el interrogante de forma tal que algún dato innecesario se transforme en necesario y viceversa. 6a\jcVhedh^WaZhegZ\jciVhhdc/ - ¿Qué cantidad de alfajores compró Laura en el kiosco? - ¿Qué tipo de caramelos compró Laura en el kiosco? 9 Cambien el interrogante para que todos los datos sean necesarios. -¿Qué cantidad de golosinas compró Laura en el kiosco? 9 Cambien el interrogante para que todos los datos sean innecesarios. - ´:hX^ZgidfjZAVjgVgZX^W^‹&'YZkjZaid4 SITUACIÓN 15: Los frutales AdhYVidhcZXZhVg^dh/ - 145 hileras de 15 naranjos cada una GZhejZhiV/En la plantación hay 2.175 naranjos.

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9 Cambien el interrogante de forma tal que algún dato innecesario se transforme en necesario y viceversa. 6a\jcVhedh^WaZhegZ\jciVhhdc/ - ¿Qué cantidad de ciruelos tiene la plantación? - ¿Qué cantidad de limoneros tiene la plantación? 9 Cambien el interrogante para que todos los datos sean necesarios. - ¿Qué cantidad de árboles frutales hay en la plantación? 9 Cambien el interrogante para que todos los datos sean innecesarios. - ¿Es cierto que la plantación ocupa un campo de forma gZXiVc\jaVgYZ'#-*%b'? SITUACIÓN 16: En el ciber AdhYVidhcZXZhVg^dh/ - aV]dgVYZ^ciZgcZi/' - HZWV/&' GZhejZhiV/Seba pasó 6 horas en el ciber. 9 Cambien el interrogante de forma tal que algún dato innecesario se transforme en necesario y viceversa. 6a\jcVhedh^WaZhegZ\jciVhhdc/ - ¿Cuántas horas pasaron Lucas y Maxi en el ciber? - ¿Cuál es el nombre del ciber al que fueron Lucas, Maxi y Seba? 9 Cambien el interrogante para que todos los datos sean necesarios. - ¿Es cierto que Lucas y Maxi se quedaron 4 horas más que Seba en el ciber? ¿Por qué? 101

9 Cambien el interrogante para que todos los datos sean innecesarios. - ¿Es cierto que en el ciber hay 18 máquinas? SITUACIÓN 17: Las latas de pintura AdhYVidhcZXZhVg^dh/ - latas verdes representan la mitad - 'aViVhYZWaVcXdgZegZhZciVcjcXjVgid GZhejZhiV/Lorena compró 4 latas de pintura de color verde. 9 Cambien el interrogante de forma tal que algún dato innecesario se transforme en necesario y viceversa. 6a\jcVhedh^WaZhegZ\jciVhhdc/ - ¿Cuántas latas de pintura de color blanco compró Lorena? - ¿Cuántas latas de pintura de color marrón compró Lorena? 9 Cambien el interrogante para que todos los datos sean necesarios. - ¿Cuántas latas de pintura compró Lorena en total y cuántas de cada color? 9 Cambien el interrogante para que todos los datos sean innecesarios. - ´:hX^ZgidfjZedgaVXdbegVVWdc‹*+*4 SITUACIÓN 18: Los caramelos Uno de los procedimientos que los niños pueden usar para gZhdakZgaVh^ijVX^‹cZh/

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- EVgVVkZg^\jVgaVXVci^YVYYZXVgVbZadhfjZgZX^W^‹IVid/ '%/'2&%XVgVbZadh - EVgVVkZg^\jVgaVXVci^YVYYZXVgVbZadhfjZgZX^W^‹?ja^{c/ &%m'2'%XVgVbZadh# - Para averiguar la cantidad de caramelos que repartió ;^adbZcV/ '%Hda &%IVid '%?ja^{c2*%XVgVbZadh GZhejZhiV/Filomena repartió 50 caramelos. 9 Cambien el interrogante para que sólo algunos datos sean necesarios. 6a\jcdhedh^WaZh^ciZggd\VciZhhdc/ - ¿Qué cantidad de caramelos recibió Julián? - ¿Cuántos caramelos recibió Tato? 9 Cambien el interrogante para que todos los datos sean innecesarios. >ciZggd\VciZhedh^WaZhhdc/ - ¿Es cierto que Filomena gastó $50 en caramelos? - ¿Es cierto que Filomena compró una bolsa con 100 caramelos? SITUACIÓN 19: Las bolitas AVh^ijVX^‹cegdejZhiVhZejZYZgZhdakZgYZaVh^\j^ZciZ[dgbV/ - Para averiguar la cantidad de bolitas que tiene Gerardo YZhej‚hYZaVhYdh_j\VYVh/

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*%XVci^YVY^c^X^VaYZWda^iVhÄ&'eZgY^‹2(    (- -\Vc‹2)+ - Para averiguar la cantidad de bolitas que tiene Mauricio después de las dos jugadas. En este caso sabemos que lo que perdió un chico lo ganó el otro y viceversa. *%XVci^YVY^c^X^VaYZWda^iVh &'\Vc‹2+'      +'"-eZgY^‹2*) GZhejZhiV/Después de las dos jugadas Gerardo se quedó con 46 bolitas y Mauricio con 54. 9 Cambien el interrogante para que sólo algunos datos sean necesarios. 6a\jcdhedh^WaZh^ciZggd\VciZhhdc/ - ¿Con qué cantidad de bolitas se quedó Gerardo después de la primera jugada? :cZhiZXVhdh‹adhdccZXZhVg^dhadhh^\j^ZciZhYVidh/ - Sacaron las 100 bolitas que había en un frasco y repartieron la misma cantidad a cada uno. - En la primera jugada Gerardo perdió 12 bolitas. - ¿Qué cantidad de bolitas había en el frasco? :aYVidcZXZhVg^dZh/Sacaron las 100 bolitas que había en un frasco. - ¿Cuál fue la cantidad inicial de bolitas con que los chicos comenzaron a jugar? Para dar respuesta al interrogante es necesario XdbegZcYZgfjZ/Sacaron las 100 bolitas que había en un frasco y repartieron la misma cantidad a cada uno.

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9 Cambien el interrogante para que todos los datos sean innecesarios. >ciZggd\VciZhedh^WaZhhdc/ - ¿Es cierto que Gerardo y Mauricio gastaron $50 en bolitas? SITUACIÓN 20: El libro AVgZhejZhiVYZZhiVh^ijVX^‹cZh/Se desconoce el nombre del libro que Luis le regalo a Julieta. 9 Cambien el interrogante para que todos los datos se transformen en necesarios. HZejZYZeaVciZVg/ - ¿Cuántos días tardó Julieta en leer el libro? En este caso se podrá resolver la situación de la siguiente [dgbV/ DÍAS

PÁGINAS

1 ' 3 4 5 +

' 4 8 &+ (' +)

' ) - &+ (' +)2&'+ GZhejZhiV/Julieta leyó el libro en 6 días 9 Cambien el interrogante para que algunos datos se transformen en necesarios.

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6a\jcVhedh^WaZhegZ\jciVhejZYZchZg/ - ¿Cuántas páginas leyó Julieta el primer día? :cZhiZXVhdadhYVidhcZXZhVg^dhhdc/El primer día leyó las dos primeras páginas. - ¿Qué cantidad de páginas tiene el libro que le regalaron a Julieta? 6fj†adhYVidhcZXZhVg^dhhdc/ le regaló un libro de aventuras de 126 páginas. SITUACIÓN 21: El acuario Vivag Adhc^ŠdhedYg{cgZhedcYZg/Se desconoce el precio de la entrada al acuario Vivag. 9 Cambien el interrogante para que todos los datos se transformen en necesarios. HZedYg{eaVciZVgXdbd^ciZggd\VciZ/ - ¿Lucila y su mamá habrán podido asistir a todos los espectáculos? ¿En qué orden? AVh^ijVX^‹chZejZYZgZhdakZgYZaVh^\j^ZciZ[dgbV/ :cigVcYdVaVh&%/%%]hejY^ZgdcVh^hi^gVadhZheZXi{XjadhZcZah^\j^ZciZdgYZc/ &%/**]h &'/*%]h &*/%%]h

AdWdhbVg^cdh :hfj†VXj{i^Xd 9ZaÒcZh

GZhejZhiV/Lucila y su mamá pudieron asistir a todos los espectáculos, pasando primero por el sector de los lobos marinos, luego por el de esquí acuático y por último por el de los delfines.

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9 Cambien el interrogante para que algunos datos se transformen en necesarios. 6a\jcVhedh^WaZhegZ\jciVhejZYZchZg/ - ¿Cuál es la duración de cada espectáculo? :cZhiZXVhdadhYVidhcZXZhVg^dhhdc/ ™9ZaÄcZh9jgVX^‹c'*b^cjidh# ™:hfj†6Xj{i^Xd9jgVX^‹c'*b^cjidh# ™AdWdhbVg^cdh9jgVX^‹c'*b^cjidh# - ¿Qué espectáculos ofrece el acuario? 6fj†adhYVidhcZXZhVg^dhhdc/ ™9ZaÄcZh# ™:hfj†6Xj{i^Xd# ™AdWdhbVg^cdh# SITUACIÓN 22: El tanque australiano AVgZhejZhiVVa^ciZggd\VciZeaVciZVYdedYg{hZg/Se desconoce el precio de la nueva bomba que compró Javier. 9 Cambien el interrogante para que todos los datos se transformen en necesarios. 6a\jcdh^ciZggd\VciZhedh^WaZhhdc/ - ¿Después de las 5 horas de carga de agua el tanque llegó a su capacidad máxima? ¿Por qué? JcVgZhdajX^‹cedh^WaZZh/ -Para averiguar qué cantidad de litros representa la b^iVYYZaiVcfjZVjhigVa^Vcd/ &'#*%%/'2+#'*%a^igdh

107

- Para averiguar cuántos litros arroja la bomba en *]dgVh/ 1 hora 735 litros *]dgVh ,(*m*2(#+,*a^igdh# - Para averiguar cuál es el contenido del tanque ausigVa^VcdYZhej‚hYZaVh*]dgVhYZXVg\V/ +#'*%a^igdhVciZh (#+,*YZhej‚hYZaVh*]dgVh2 .#.'*a^igdh# - Para averiguar cuántos litros faltan para que llegue a su capacidad máxima. &'#*%%XVeVX^YVYb{m^bVÄ.#.'*a^igdhfjZedhZZ2 '#*,*a^igdh GZhejZhiV/Después de las 5 horas de carga el tanque australiano no llegó a su capacidad máxima, le faltan 2.575 litros. 9 Cambien el interrogante para que algunos datos se transformen en necesarios. Adhh^\j^ZciZhhdcedh^WaZh^ciZggd\VciZhVeaVciZVg/ - ¿Cuántos litros arroja por hora la nueva bomba? :cZhiZXVhdZaYVidcZXZhVg^dZh/ - esta bomba arroja 735 litros por hora. - ¿Cuántas horas dejó Javier encendida a la nueva bomba? 6fj†ZaYVidcZXZhVg^dZh/ - la dejaré encendida 5 horas.

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SITUACIÓN 23: Los libros de historietas El interrogante planteado se puede responder de la siguiente [dgbV/Se desconoce el valor de los billetes con los que pagó Darío su compra, por lo tanto no se puede establecer si recibió o no recibió vuelto. 9 Cambien el interrogante para que todos los datos se transformen en necesarios. Adh^ciZggd\VciZhedh^WaZhhdc/ - ¿Cuál fue el importe de la compra de Darío? JcVgZhdajX^‹cedh^WaZZh/ ™EVgVVkZg^\jVgZa\VhidgZVa^oVYd/ *a^Wgdhm&*2,*

GZhejZhiV/Darío gastó en su compra $75.

- ¿Cuánto dinero le dieron de vuelto si abonó con un billete de $100? AVgZhdajX^‹cVciZg^dghZbVci^ZcZ!eZgdhZV\gZ\V/ ™ Para averiguar la cantidad de dinero que le dieron YZkjZaid/ &%%",*2'*

GZhejZhiV/Le dieron $25 de vuelto. 9 C ambien el interrogante para que algunos datos se transformen en necesarios. 109

Adhedh^WaZh^ciZggd\VciZhVeaVciZVghdc/ - ¿Cuántos libros de historietas le compró a su hermano Víctor? :cZhiZXVhdZaYVidcZXZhVg^dZh/ ™ 2 para su hermano Víctor. - ¿Cuánto abonó cada libro de historietas? 6fj†ZaYVidcZXZhVg^dZh/ ™ Pagó $15 cada libro.

™Datos no numéricos SITUACIÓN 24: Los cuatrillizos Valiéndose de las pistas dadas en la situación los alumnos edYg{cXdbeaZiVgZaXjVYgdYZaVh^\j^ZciZ[dgbV/ NOMBRE

ESPOSA

PROFESIÓN

DEPARTAMENTO

GUSTOS

José

Patricia

físico

A

cine

Manolo

María

ingeniero

D

pesca

Alfredo

Elisa

abogado

B

fútbol

Ricardo

Juana

militar

C

discos compactos

SITUACIÓN 25: El regalo Julián, para saber cuánto recibirá en un mes, deberá multiplicar. Si los alumnos responden “sumar” el docente les pre\jciVg{/´Edgfj‚4´Fj‚XVci^YVYhjbVg{c4½

110

SITUACIÓN 26: Los chocolates Los niños, para poder resolver la situación, deberán comegZcYZgfjZ/ 9 Media docena^cY^XV+Wdah^aadh# 9 Duplica ^bea^XV/m' 9 AjZ\dhZhjbVcadhX]dXdaViZhYZXVYVWdah^aad/ & ' ) - &+ ('2+* EdgadiVcidaVgZhejZhiVZh/ Federico espera recibir 65 chocolates.

Relación “enunciado-respuesta” SITUACIÓN 27: El sapo La situación tal como está planteada es abierta pues VYb^iZb{hYZjcVhdajX^‹c0Va\jcVhedh^WaZhhdc/ - Coni y Flopi embocaron pelotitas en los sapos con ejciV_Z/ ‡&*Ä'*Ä(%Ä'%Ä&% ‡(*Ä(%Ä'*Ä&% ‡'*Ä'%Ä&*Ä(%Ä&% ‡(*Ä&*"'*Ä*"'% ‡(*"(%Ä'%Ä&* H^ajZ\dXdci^cjVbdheaVciZVcYd/ En el tiro siguiente Coni y Flopi embocaron 2 pelotitas en distintos sapos y obtuvieron 65 puntos. ¿En qué sapos habrán caído las pelotitas? En este caso existe una sola respuesta posible y el problema se transforma en cerrado.

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GZhejZhiV/Coni y Flopi embocaron la pelotitas en los sapos 30 y 35. SITUACIÓN 28: Los números Es una solución cerrada, el único número que cumple con las condiciones establecidas es 1002. EZgdh^eaVciZVbdh/ Busca un número par comprendido entre 999 y 1300 en el cual la suma de sus cifras sea 3. se transforma en una situación abierta pues admite cuatro hdajX^dcZhedh^WaZh/1200 – 1002 – 1020 – 1110 SITUACIÓN 29: Las estampillas Tal como está planteada es una situación abierta que VYb^iZb{hYZjcVhdajX^‹c0Va\jcVhYZZaaVhhdc/ ™ *%!'* ™ 50, 10, 10, 5 ™ '%!'*!&*!&%!* ™ *%!'%!* ™ 50, 15, 10 H^bdY^ÒXVbdhZa^ciZggd\VciZedg/ Si sólo pueden usar dos estampillas, ¿qué estampillas podrán usar? se transforma en una situación cerrada que sólo admite XdbdhdajX^‹c/50 y 25. SITUACIÓN 30: Los vasos :hiZZhjcegdWaZbVXZggVYd!aVgZhejZhiVedh^WaZZh/ Lucrecia optó por llevar 4 paquetes de 12 vasos cada uno. :cXVbW^d!h^eaVciZVbdhZaegdWaZbVYZZhiV[dgbV/

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Lucrecia va a comprar 48 vasos de colores. Claudio, el encargado del bazar le dice que esos vasos vienen en paquetes de 4, 6, 8, 10 y 12. ¿Si fueras Lucrecia qué paquetes llevarías? es una situación abierta ya que admite más de una solución; Va\jcVhYZZaaVhhdc/ ™ 4 paquetes de 10 vasos y 1 paquete de 8 vasos ™ +eVfjZiZhYZ-kVhdh# ™ -eVfjZiZhYZ+kVhdh ™ &'eVfjZiZhYZ)kVhdh# ™ 'eVfjZiZhYZ&%kVhdh!'eVfjZiZhYZ&'kVhdh y 1 paquete de 4 vasos.

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