48-PA e PG -Exercícios Resolvidos AFA

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Progressões Aritmética e Geométrica - AFA 1. (AFA 2006) São dadas uma progressão aritmética e uma progressão geométrica alternante com primeiro termo igual a 1. Multiplicando-se os termos correspondentes das duas seqüências obtém-se a seqüência ( −1,1,3,...) . A soma dos 5 primeiros termos desta seqüência é: (A) 61. (B) 97. (C) 103. (D) 111. Solução: Sejam

{an } e {bn } ( n ∈ )

a PA e a PG, respectivamente. Consideremos também r e q as razões

destas progressões.

⎧a1b1 = −1 ⎧a1 = −1 ⎧qr − q = 1 ⎪ ⎪⎪ Sabemos que ⎨ a2b2 = 1 ⇒ ⎨( a1 + r ) q = 1 ⇒ ⎨ 2 2 ⎩2rq − q = 3 ⎪a b = 3 ⎪ 2 ⎩ 3 3 ⎩⎪( a1 + 2r ) q = 3 Os pares ( r , q ) soluções seriam:

{

{( 2,1) , ( 2 3 , −3)} . Como a PG é alternante, devemos ter

}

⎧⎪r = 2 3 ⎨ ⎪⎩q = −3

⎧{a } = −1, −1 , 1 ,1, 5 ,... 5 ⎪ n 3 3 3 ⇒ {cn } = {−1,1,3, −27,135,...} ⇒ ∑ ck = 111 , onde ck = ak bk ( k ∈ ) . ⎨ k =1 ⎪⎩{bn } = {1, −3,9, −27,81,...} Opção (D)

⎧8 x − y − 2 z = 0 . Se x, y e z formam, nesta ordem, ⎩7 x + y − 3 z = 0

2. (AFA 2006) ( x, y, z ) são as soluções do sistema ⎨

uma progressão aritmética, então a razão dessa progressão aritmética é igual a:

1 3 3 (B) 2 (C) x x+ y+z (D) 3 (A)

Solução:

⎧ ⎪8 x − y − 2 z = 0 ( i ) ⎪ Podemos escrever as seguintes equações: ⎨7 x + y − 3 z = 0 ( ii ) ⎪ ⎪ y = x + z ( iii ) 2 ⎩ Somando (i) e (ii), teremos: 15 x − 5 z = 0 ⇒ z = 3x (*). Substituindo (*) em (iii): y =

x + 3x = 2 x . Logo 2

podemos observar que a razão desta PA é x . Opção (C) 3.

(AFA

2007)

Considere

a , b, c e d ∈

e

as

funções

reais

f

e

g

tais

que

f ( x ) = a + b ⋅ cos ( cx + d ) e g ( x ) = a + b ⋅ tg ( cx + d ) . Sabendo-se que a, b, c e d formam, nessa ordem, uma progressão geométrica cuja soma dos termos é − 20

(A) a função g está definida para x =

9

e o primeiro termo 1 , é correto afirmar que:

9

3(π + 2) 2

(B) o período da função f é 2π

⎡ 4 4⎤ ⎣ ⎦ ⎤ 3π + 6 5π + 6 ⎡ (D) a função g é crescente para x ∈ ⎥ , 2 ⎢⎣ ⎦ 2 (C) o conjunto imagem da função f é ⎢ − , ⎥ 9 9

Solução:

a ( q 4 − 1)

q4 −1 20 a+b+c+d = =− ⇔ = −20 ⇔ q 4 + 20q − 21 = 0 ⇔ q 3 + q 2 + q + 21 = 0 . 9 q −1 q −1 As soluções dessa equação de terceiro grau são complexas ou q = −3 . Temos, portanto, os seguintes

(

)

valores para a, b, c e d: 1 , − 1 ,1, −3 .

9

3

Letra a) Se x =

3 (π + 2 ) 2

⇒ cx + d = 1⋅

3 (π + 2 ) 2

−3 =

( )

3π . E naturalmente ∃ g 3π . Incorreta assertiva! 2 2

Letra b) Como c = 1 , podemos garantir que o período da função f realmente é igual a 2π . Correta assertiva! Letra c) Como

−1 ≤ cos ( cx + d ) ≤ 1 ⇒ 1 ≥ − 1 ⋅ cos ( cx + d ) ≥ − 1 ⇒ 4 ≥ 1 − 1 ⋅ cos ( cx + d ) = f ( x ) ≥ − 2 . 3 3 3 9 9 3 9

Portanto, assertiva incorreta. Letra d) Repare que

dg = bc sec 2 ( cx + d ) ≤ 0 . Assim, g é decrescente. Incorreta assertiva! dx

Opção (B) 4. (AFA 2008) Um cão e um gato, ambos parados, observam-se a uma distância de 35 m. No mesmo instante, em que o cão inicia uma perseguição ao gato, este parte em fuga. O cão percorre 2 m no primeiro segundo, 4 m no seguinte, 6 m no terceiro segundo e assim sucessivamente. O gato, apavorado, percorre 3 m no primeiro segundo, 4 m no seguinte, 5 m no terceiro segundo e assim sucessivamente. Considerando que os dois animais se deslocam sempre sem interrupção em seu movimento e numa trajetória retilínea de mesmo sentido, assinale a alternativa INCORRETA: (A) Até o quinto segundo, o cão terá percorrido uma distância igual àquela que o separa do gato naquele instante. (B) Ao final dos três primeiros segundos, o cão ainda está 35 m distante do gato. (C) Em dez segundos, o cão alcançará o gato. (D) No oitavo segundo, o gato percorre 14 metros. Solução: Letra a) A distância percorrida pelo cão até o quinto segundo é 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30 m . O gato terá percorrido exatamente 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25 m . Portanto a distância entre eles é 35 + 25 − 30 = 30 m . Correta assertiva! Letra b) A distância percorrida pelo cão até o terceiro segundo é 2 + 4 + 6 = 12 m . O gato terá percorrido exatamente 3 + 4 + 5 = 12 m . Portanto, realmente a distância entre ambos ainda é de 35 m . Correta assertiva! Letra c) Suponhamos que no n -ésimo segundo o cão alcance o gato. Poderemos escrever a seguinte equação:

2 2 ⎣⎡ 2 + 2 + ( n − 1) ⋅ 2 ⎦⎤ ⋅ n = 35 + ⎣⎡3 + 3 + ( n − 1) ⋅1⎦⎤ ⋅ n ⇔ 2n + n 2 − n = 35 + 3n + n − n ⇔ n − n = 35 + n ⇔ 2 2 2 2 2 ⇔ n − 3n − 70 = 0 ⇔ n = 10 ∨ n = −7 . Portanto, essa assertiva também é correta.

Letra d) A distância percorrida pelo gato no oitavo segundo vale 3 + ( 8 − 1) ⋅1 = 10 m . Incorreta assertiva. Opção (D) 5. (AFA 2008) Sejam as seqüências de números reais ( −3, x, y,...) , que é uma progressão aritmética de razão r e ( x, y, 24,...) , que é uma progressão geométrica de razão q. O valor de

r pertence ao intervalo: q

⎡ 1⎡ ⎣ ⎣ ⎡1 ⎡ (B) ⎢ ,1⎢ ⎣2 ⎣ (C) [1, 2[

(A) ⎢ 0, ⎢ 2

(D) [ 2,3[

Solução:

y −3 ⎧ (i ) ⎪x = 2 Temos ⎨ ⎪ y 2 = 24 x ( ii ) ⎩ 2 2 Substituindo (ii) em (i): y = 12 ( y − 3) ⇔ y − 12 y + 36 = 0 ⇔ y = 6 . E assim: x = 3 .

2

Portanto r = x + 3 = 3 + 3 = 9

2

Opção (C)

2

∧ q= y

x

=

9 9 6 = 4 . Assim r = 2 = . q 4 8 3 2