10 - Circunferência analítica - 40 questões

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01. Dada a circunferência de equação x2 + y2 – 6x – 10y + 30 = 0, seja P seu ponto de ordenada máxima. A soma das coordenadas de P e: a) 10 b) 10,5 c) 11 d) 11,5 e) 1

d) 10 e) 10 2 05. Observe, abaixo, o círculo representado no sistema de coordenadas cartesianas.

02. Dada a figura abaixo cujas medidas estão expressas em centímetros,

e as proposições: I. é uma circunferência de diâmetro 2 cm. II. é uma circunferência de área 4 π cm2 .

III. é uma circunferência de equação x 2 + y 2 = 4. Considerando as proposições apresentadas, assinale a alternativa correta: a) Apenas as proposições I e III são verdadeiras. b) Apenas as proposições I e II são verdadeiras. c) Apenas a proposição III é verdadeira. d) Apenas as proposições II e III são verdadeiras. e) Apenas a proposição II é verdadeira. 03. Os pontos de interseção do círculo de equação (x - 4)2 + (y - 3)2 = 25 com os eixos coordenados são vértices de um triângulo. A área desse triângulo é a) 22 b) 24 c) 25 d) 26 e) 28 04. Os pontos A ( −1, −3) e B (6, −2) pertencem a uma circunferência do plano cartesiano cujo centro é o

Uma das alternativas a seguir apresenta a equação desse círculo. Essa alternativa é a) (x – 2)2 + (y – 3)2 = 10 b) (x + 2)2 + (y + 3)2 = 13 c) (x – 2)2 + (y – 3)2 = 13 d) (x – 2)2 + y2 = 10 e) x2 +(y + 3)2 = 13 06. No plano cartesiano, a reta de equação 2y= x + 2 intercepta o eixo y no ponto C. A equação da circunferência que tem centro em C e raio 2 é a) x 2 + y 2 – 2x – 3 = 0 b) x 2 + y 2 – 2y – 3 = 0 c) x 2 + y 2 + 2y – 3 = 0 d) x 2 + y 2 + 2x – 3 = 0 07. O comprimento da corda determinada pela reta x−y = 2 sobre a circunferência cujo centro é (2, 3) e o raio mede 3 cm é igual a: a) 4 2 cm b) 5 3 cm c) 4 cm d) 3 2 cm

25 ponto C. Se a área do triângulo ABC é , então a 2

08. No plano cartesiano, os pontos A (1,2) e B (-2,-2) são extremidades de um diâmetro de uma circunferência; essa circunferência intercepta o eixo das abscissas em dois pontos. Um deles é:

a) 5 b) 5 2 c) 5 3

a) (4,0) b)  ,0  c) (3,0) d)  ,0  e) (2,0) 2  2 

medida do raio dessa circunferência é igual a

7



5



09. Sabe-se que M, ponto médio do segmento AB, é centro de uma circunferência que passa pela origem (0, 0). Sendo A(–1, 4) e B(5, 2), conclui-se que o raio dessa circunferência é igual a

b) x 2 − 4x + y 2 − 2y − 95 = 0 c) x 2 − 4x + y 2 − 4y − 92 = 0 d) x 2 − 4x + y 2 − 4y − 17 = 0 e) x 2 − 4x + y 2 − 2y − 20 = 0

a) 4 5. b) 3 5. c) 3 2. d) 17. e) 13.

13. O ponto da circunferência x 2 + y 2 + 2x + 6y + 1 = 0 que tem ordenada máxima é a) ( 0, −6 ) b) ( −1, −3 )

10. No plano cartesiano Oxy , a circunferência C é tangente ao eixo Ox no ponto de abscissa 5 e contém o ponto (1, 2). Nessas condições, o raio de C vale

c) ( −1,0 )

a) 5 b) 2 5 c) 5 d) 3 5 e) 10

14. Sejam duas circunferências C1 e C2, cujas equações são, respectivamente, iguais a x 2 + y 2 + 6y + 5 = 0 e

d) ( 2,3 ) e) ( 2, −3 )

x 2 + y 2 − 12x = 0. A distância entre os pontos A e B

dessas circunferências, conforme indicada na figura, é

11. Pilates é um sistema de exercícios físicos que integra o corpo e a mente como um todo, desenvolvendo a estabilidade corporal necessária para uma vida mais saudável. A figura abaixo mostra um dos exercícios trabalhado no Pilates e é observado que o corpo da professora gera um arco AB. Supondo que o arco gerado pelo corpo da professora seja um quarto de uma circunferência de equação 100x 2 + 100y 2 – 400x – 600y + 1075 = 0, o

valor

aproximado da altura da professora é:

a) 13 b) 14 c) 17 d) 19 15. Um círculo tangencia a reta r, como na figura abaixo.

a) 0,24π u.c b) 0,5π u.c c) 0,75π u.c d) 0,95π u.c e) 1,24π u.c

12. Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, os pontos A (-2,4), B (6,-2) e C (-2,-2) são os vértices do triângulo ABC. Qual a equação da circunferência circunscrita a esse triângulo?

a) x 2 − 12x + y 2 − 16y + 100 = 0

O centro do círculo é o ponto ( 7, 2 ) e a reta r é 0. definida pela equação 3x − 4y + 12 = A equação do círculo é 2 2 a) ( x − 7 ) + ( y − 2 ) = 25. 2 2 b) ( x + 7 ) + ( y + 2 ) = 25.

2 2 c) ( x − 7 ) + ( y + 2 ) = 36. 2 2 d) ( x − 7 ) + ( y − 2 ) = 36. 2 2 e) ( x + 7 ) + ( y − 2 ) = 36.

16. A área de um quadrado inscrito na circunferência de equação x 2 − 2y + y 2 = 0 é a) b) c) d) e)

20. Resolver a questão com base na regra 2 da FIFA, segundo a qual a bola oficial de futebol deve ter sua maior circunferência medindo de 68cm a 70cm. Considerando essa maior circunferência com 70cm e usando um referencial cartesiano para representá-la, como no desenho abaixo, poderíamos apresentar sua equação como

1 . 2 1. 2. 2. 2 2.

17. No plano cartesiano, uma circunferência tem centro C(5,3) e tangencia a reta de equação

35 π

3x + 4y − 12 = 0.

a) x 2 + y 2 =

A equação dessa circunferência é:

 35    70 c) x 2 + y 2 = π

0 a) x 2 + y 2 − 10x − 6y + 25 = 0 b) x 2 + y 2 − 10x − 6y + 36 = 0 c) x 2 + y 2 − 10x − 6y + 49 = 0 d) x 2 + y 2 + 10x + 6y + 16 = 2

2

0 e) x + y + 10x + 6y + 9 =

18. A equação da circunferência tangente às retas y = x e y = − x nos pontos (3, 3) e ( −3, 3) é 0 a) x 2 + y 2 − 12x + 18 = 2

2

b) x + y − 12y + 18 = 0 c) x 2 + y 2 − 6x + 9 = 0 d) x 2 + y 2 − 6y + 9 = 0 e) x 2 + y 2 − 16x + 20 = 0 19.

Sejam

dados

a circunferência 2 2 λ : x + y + 4x + 10y + 25 = 0 e o ponto P, que é simétrico de (–1, 1) em relação ao eixo das abscissas. Determine a equação da circunferência concêntrica à λ e que passa pelo ponto P.

0 a) λ : x 2 + y 2 + 4x + 10y + 16 =

b) λ : x 2 + y 2 + 4x + 10y + 12 = 0

c) λ : x 2 − y 2 + 4x − 5y + 16 = 0

d) λ : x 2 + y 2 − 4x − 5y + 12 = 0

e) λ : x 2 − y 2 − 4x − 10y − 17 = 0

b) x 2 + y 2 =  π   70   

d) x 2 + y 2 =  π 

2

2

e) x 2 + y 2 = 702

21. As coordenadas do centro e a medida do raio da 0 são, circunferência de equação x 2 − 4x + (y + 1)2 = respectivamente: a) (– 2, 1) e 4 b) (2, – 1) e 2 c) (4, – 1) e 2 d) ( −1, 2 ) e 2 e) ( 2, 2 ) e

2

22. A figura mostra uma criança brincando em um balanço no parque. A corda que prende o assento do balanço ao topo do suporte mede 2 metros. A criança toma cuidado para não sofrer um acidente, então se balança de modo que a corda não chegue a alcançar a posição horizontal.

Na figura, considere o plano cartesiano que contém a trajetória do assento do balanço, no qual a origem está localizada no topo do suporte do balanço, o eixo X é paralelo ao chão do parque, e o eixo Y tem orientação positiva para cima. A curva determinada pela trajetória do assento do balanço é parte do gráfico da função − 2 − x2 a) f(x) = = b) f(x)

2 − x2

25. Uma antena de telefone celular rural cobre uma região circular de área igual a 900 π km2 . Essa antena está localizada no centro da região circular e sua posição no sistema cartesiano, com medidas em quilômetros, é o ponto (0,10). Assim, a equação da circunferência que delimita a região circular é a) x 2 + y 2 − 20y − 800 = 0. b) x 2 + y 2 − 20y + 70 = 0.

c) f(x) = x2 − 2

c) x 2 + y 2 − 20x − 800 = 0.

− 4 − x2 d) f(x) =

d) x 2 + y 2 − 20y − 70 = 0.

= e) f(x)

4 − x2

23. Um espelho no formato de circunferência foi pendurado em uma parede. Considerando o canto inferior esquerdo como a origem de um sistema cartesiano, o espelho pode ser representado pela equação da circunferência 2 2 x + y − 4x − 4y + 7,84 = 0. Dessa forma, constatase que o espelho está a uma altura do chão de a) 1,00 b) 1,55 c) 1,60 d) 1,74

metros. metros. metros. metros.

24. Observe a figura a seguir.

e) x 2 + y 2 = 900. 26. Há duas circunferências secantes λ1 e λ 2 , de

equações (x − 1)2 + y 2 = 5 e (x − 3)2 + (y − 2)2 = 1, respectivamente. A equação da reta que passa pelos pontos de interseção de λ1 e λ 2 é a) b) c) d) e)

x+y−4 = 0

x+y+4= 0 x−y−6 = 0 x+y+8 = 0 x−y−8 = 0

27. No plano cartesiano Oxy, a circunferência C com centro no ponto P(4, − 2) é tangente ao eixo das ordenadas. Nessa situação, a equação geral dessa circunferência corresponde a: 0 a) x 2 + y 2 + 8x + 8y + 4 = 0 b) x 2 + y 2 − 8x + 4y + 4 = 0 c) x 2 + y 2 − 8x − 8y − 4 = 0 d) x 2 + y 2 + 8x − 4y + 4 = 0 e) x 2 + y 2 − 8x − 4y − 4 =

Sabendo-se que a circunferência de maior raio passa pelo centro da circunferência de menor raio, a equação da circunferência de maior raio é a) x 2 + y 2 + 4x + 4y + 18 = 0 b) x 2 + y 2 − 4x − 4y − 14 = 0 c) x 2 + y 2 − 8x − 8y + 14 = 0 d) x 2 + y 2 + 8x + 8y + 18 = 0

28. No sistema cartesiano, sendo a circunferência C de equação x 2 + y 2 + 6x − 2y = −6. Qual a equação da circunferência C ' simétrica de C em relação à origem do sistema? a) x 2 + y 2 − 6x + 2y = 4 b) x 2 + y 2 − 6x − 2y = −4 c) x 2 + y 2 + 6x + 2y = −4 d) x 2 + y 2 − 6x + 2y = −6 e) x 2 + y 2 + 6x + 2y = −6

29. Sabendo que o ponto P(4, 1) é o ponto médio de uma corda AB da circunferência x 2 − 6x + y 2 + 4 = 0, então a equação da reta que passa por A e B é dada por: a) b) c) d)

y =− x + 5

Considerando o tamanho do barbante igual a 6 unidades de comprimento (u.c.) e o bico centrado no ponto (3,4), a equação que representa a circunferência é igual a a) x 2 + y 2 − 6x − 8y − 11 = 0

y= x + 5

b) x 2 + y 2 + 6x + 8y − 11 = 0

y =− x + 3

c) x 2 + y 2 + 6x + 8y + 11 = 0

y= x − 3 1 2

d) x 2 + y 2 − 6x − 8y + 11 = 0

e) y = − x+5

e) x 2 + y 2 − 8x − 6y − 11 = 0

30. Observando o círculo abaixo, representado no sistema de coordenadas cartesianas, identifique, entre as alternativas apresentadas, a equação que o representa.

32. O diâmetro de uma circunferência tem extremidades nos pontos A( −2, − 6) e B(4, 0) do plano cartesiano. A equação reduzida dessa circunferência é 18. a) (x − 1)2 + (y + 3)2 =

b) (x − 1)2 + (y + 3)2 = 72. c) (x − 1)2 + (y + 3)2 = 9. d) (x − 3)2 + (y − 3)2 = 18. e) (x − 3)2 + (y − 3)2 = 72.

10. a) x 2 + (y + 2)2 = 10. b) (x + 3)2 + y 2 =

13. c) (x + 3)2 + (y + 2)2 = 13. d) (x + 3)2 + (y − 2)2 = 13. e) (x − 3)2 + (y + 2)2 =

31. Um fabricante de brinquedos utiliza material reciclado: garrafas, latinhas e outros. Um dos brinquedos despertou a atenção de um estudante de Geometria, por ser confeccionado da seguinte forma: amarra-se um barbante em um bico de garrafa pet cortada e, na extremidade, cola-se uma bola de plástico que, ao girar em torno do bico, forma uma circunferência. O estudante representou-a no sistema por coordenadas cartesianas, conforme a figura a seguir:

33. No plano, com o sistema de coordenadas cartesianas usual, se a circunferência 2 2 x + y + 8x − 6y + 16 = 0 possui n interseções com os eixos coordenados, então, o valor de n é a) 2. b) 1. c) 3. d) 4. e) 7. 34. As retas 2x − y − 4 = 0 e 2x + 3y − 12 = 0 interceptam-se no centro de uma circunferência de raio igual a 3. Então podemos dizer que a) a circunferência possui centro no ponto (2, 3). b) a circunferência corta o eixo y em dois pontos. c) a circunferência corta o eixo x em um ponto. d) a circunferência é tangente ao eixo x. e) a circunferência é tangente ao eixo y.

35. Uma arruela, que é um disco fino com furo circular interno, tem suas dimensões projetadas sobre um sistema de coordenadas cartesianas. A equação da circunferência externa é obtida e tem a forma x 2 + y 2 − 8x − 8y + 7 = 0. A distância da circunferência interna para a externa é de 2,5 cm. O furo interno, que está no meio da arruela, tem área igual a:

38. No plano cartesiano, a equação da reta tangente ao gráfico de x 2 + y 2 = 25 pelo ponto (3, 4) é a) 4x + 3y − 25 = 0. b) 4x + 3y − 5 = 0. 0. c) 4x + 5y − 9 = d) 3x + 4y − 25 = 0. 0. e) 3x + 4y − 5 =

a) b) c) d) e)

5π cm2 . 9 9π cm2 . 4 25 π cm2 . 4 27 π cm2 . 4 36 π cm2 . 25

36. Na figura tem-se a representação de λ, circunferência de centro C e tangente aos eixos coordenados nos pontos A e B.

39. No plano cartesiano, a reta de equação 3x + 4y = 17 tangencia uma circunferência de centro no ponto (1,1). A equação dessa circunferência é a) x 2 + y 2 − 2x − 2y − 4 = 0 b) x 2 + y 2 − 2x − 2y − 2 = 0 c) x 2 + y 2 − 2x − 2y − 5 = 0 d) x 2 + y 2 − 2x − 2y − 3 = 0 e) x 2 + y 2 − 2x − 2y − 1 = 0 40. Se (p, q) são as coordenadas cartesianas do centro da circunferência x 2 + y 2 − 4x + 2y − 4 = 0, então é correto afirmar que 5p − 3q é igual a: a) 7 b) 10 c) 13 d) 16 e) 19

Se a equação de λ é x 2 + y 2 − 8x − 8y + 16 = 0, então a área da região hachurada, em unidades de superfície, é a) 8 ⋅ ( π − 2) b) 8 ⋅ ( π − 4) c) 4 ⋅ ( π − 2) d) 4 ⋅ ( π − 4)

37. A circunferência de centro (8, 4) que tangencia

externamente a circunferência x 2 + y 2 − 4x + 8y − 16 possui raio igual a a) 16 b) 10 c) 8 d) 6 e) 4

Resposta da questão 1: [A]

AB =

x2 – 6x + 9 + y2 – 10y + 25 = – 30 + 9 + 25 (x – 3)2 + (x – 5)2 = 4 Centro C(3,5) e raio R = 2. Logo, o ponto de ordenada máxima será: P(3, 5 + 2) = P(3, 7) Somando as coordenadas temos: 3 + 7 = 10. Resposta da questão 2: [D] [I] Falsa: o diâmetro é 4 cm. [II] Verdadeira: A =π ⋅ 22 =4 π cm2 .

[III] Verdadeira: (x − 0)2 + (y − 0)2 = 22. Resposta da questão 3: [B]

2 (6 − ( −1))2 + ( −2 − ( −3))=

50.h 25 = ⇔ h= 2 2  50  R= h +   2    2

2

50

25 50

2

2  50   25  = R2    +   50   2  25 25 2 R= + 2 2

2

R = 25 R=5

Resposta da questão 5: [C] Como o centro possui coordenadas positivas pode-se admitir centro no ponto (2,3) e raio

(x - 4)2 + (0 – 3)2 = 25 ⇔ x = 8 ou x = 0 logo os pontos são (0,0) ou (8,0) Com o eixo y ( x = 0)

22 + 32 =

Logo, a equação da 2 2 circunferência será dada por: (x – 2) + (y – 3) = 13. R=

Com o eixo x( y = 0)

13 .

Resposta da questão 6: [B]

(0-4)2 + (y-3)2 = 25 ⇔ y = 0 ou y = 6, logo os pontos são (0,0) e (0,6) Portanto a área será A =

6.8 = 24 2

Determinando o ponto C (fazendo x = 0) : 2y =0 + 2y =1, logo C ( 0,1.)

Resposta da questão 4: [A]

Escrevendo a equação da circunferência com centro em C(0,1) e raio 2, temos: ( x – 0 )2 + ( y – 1)2 = 22   x 2 + y 2 − 2y + 1 = 4  x 2 + y 2 − 2y − 3 = 0

Resposta da questão 7: [D] A

equação

Resposta da questão 10: [C]

da

circunferência é dada por (x − 2) + (y − 3) = 9. Se a reta y= x − 2 determina uma corda na circunferência, então as abscissas das extremidades dessa corda são tais que: 2

2

(x − 2)2 + (x − 5)2 = 9 ⇔ x 2 − 4x + 4 + x 2 − 10x + 25 = 9 ⇔ x 2 − 7x + 10 = 0 ⇔ = x 2 ou = x 5.

Logo, (2, 0) e (5, 3) são as extremidades da corda e, portanto, o comprimento da mesma é (5 − 2)2 + (3 − 0)2 =

9 + 9 = 3 2 cm.

Calculando a distância de (5, R) até (1,2) temos o raio.

Resposta da questão 8: [E] Determinando

o

2

(5 − 1)2 + (R − 2 ) = R

centro

da

circunferência:

 1− 2 2 − 2   1  C=  , = − ,0 2   2   2

2

=

5 2

Determinando agora a equação da circunferência, 1





2

5

temos:  x +  + y 2 = 2 2

2

 

Fazendo y = 0, temos os pontos (2,0) e (-3,0). Portanto, a alternativa correta é a [E]. Resposta da questão 9: [E] As coordenadas do ponto M são dadas por M

 x A + xB y A + yB   −1 + 5 4 + 2  , , =   =  (2, 3).    2 2 2 2 

Portanto, o raio da circunferência é igual a r=

(2 − 0)2 + (3 − 0)2 =

16 + (R − 2)2 = R2

Desenvolvendo, temos: 4R = 20 e R = 5

( −2 − 1)2 + ( −2 − 2 )2

Determinando o raio: R =



R = raio e o ponto (5, R) é o centro.

13.

Resposta da questão 11: [C] 100x 2 + 100y 2 – 400x – 600y + 1075 = 0( ÷100) 43 = x 2 + y 2 − 4x − 6y + 0 4 43 +4+9 x 2 − 4x + 4 + y 2 − 6y + 9 =− 4 9 (x − 2)2 + (y − 3)2 = 4 9 3 = Logo, o raio será dado por: r = 4 2

Calculando o comprimento do arco (altura h da 3 2π ⋅ 2 0,75 π u.c. = h = professora): 4

Resposta [E]

da

questão

12:

Calculando a distância entre os pontos dados, temos: dAB =

( −2 − 6 )2 + ( 4 + 2 )2

= 10

dAC =

( −2 + 2 )2 + ( 4 + 2 )2

= 6

dBC =

2 ( 6 + 2 )2 + ( −2 + 2 )=

8

Logo, o triângulo é retângulo (6, 8 e 10), o diâmetro da circunferência é a hipotenusa.

Portanto: R = 5 cm e o centro é o ponto médio entre A  −2 + 6 4 + ( −2)  ,  ⇒ C ( 2,1) . 2  2 

e B, isto é: C 

Determinando o centro C e o raio R da circunferência, 2 temos: x2 − 2y + y2 = 0 ⇒ x 2 + y 2 − 2y + 1 = 0 + 1 ⇒ x 2 + ( y − 1) = 1

A equação da circunferência será:

( x − 2)

2

2

2

Logo, C(0,1) e o raio R = 1.

2

+ ( y − 1) = 25 ⇒ x + y − 4x − 2y − 20 = 0 .

Resposta da questão 13: [C] Completando os quadrados, obtemos

⇔ (x + 1)2 + (y + 3)2 = 9.

Logo, segue que o centro da circunferência é o ponto r = 9 3. O ponto de C( −1, − 3) e o seu raio é = ordenada máxima é o ponto sobre a reta xC = −1, cuja ordenada é dada por yC + r =−3 + 3 =0, ou seja, ( −1, 0).

2

2

2

x + y + 6y + 5 = 0 ⇔ (x − 0) + (y + 3) = 2

e

x 2 + y 2 − 12x = 0 ⇔ (x − 6)2 + (y − 0)2 = 62.

Desse modo, como o centro de C1 é o ponto (0, − 3) A (0, − 5). Além e seu raio é igual a 2, segue-se que = disso, sendo (6, 0) o centro de C2 e 6 o seu raio, concluímos que B = (12, 0). Portanto, o resultado é (12 − 0)2 + (0 − ( −5))2 =13. Resposta da questão 15: [A] O raio da circunferência é dado por

32 + ( −4)2

= 5.

Logo, a equação da circunferência é 2

2

(x − 7) + (y − 2) = 25.

Resposta da questão 17: [A] O raio da circunferência corresponde à distância de C(5, 3) à reta 3x + 4y − 12 = 0, isto é, | 3 ⋅ 5 + 4 ⋅ 3 − 12 | 32 + 42

= 3.

(x − 5)2 + (y − 3)2 = 32 ⇔ x 2 + y 2 − 10x − 6y + 25 = 0.

Completando os quadrados, obtemos

| 3 ⋅ 7 − 4 ⋅ 2 + 12 |

2⋅2 = 2 2

Portanto, a equação da circunferência é

Resposta da questão 14: [A]

2

Todo quadrado é um losango, portanto sua área pode ser calculada como sendo a medida do produto de suas diagonais. A diagonal d desse quadrado é o diâmetro da circunferência, portanto d = 2 e sua área será dada por:= A

x 2 + 2x + y 2 + 6y + 1 = 0 ⇔ (x + 1)2 − 1 + (y + 3)2 − 9 + 1 = 0

2

Resposta da questão 16: [D]

Resposta da questão 18: [B] As retas apresentadas são simétricas e cortam os quadrantes do plano cartesiano em 45°. Assim, traçando as respectivas retas e também retas perpendiculares (pois pontos de tangência numa circunferência são ligados ao centro por retas perpendiculares à reta tangente) pode-se concluir que o centro da circunferência está sobre o eixo y e tem coordenadas (0, 6); e raio igual a 3 2. Logo, sua equação será igual a: ( x )2 + ( y − 6 )2 = ( 3

2

)

2

→ x 2 + y 2 − 12y + 36 = 18 → x 2 + y 2 − 12y + 18 = 0

Resposta da questão 19: [B] Determinando o centro C da circunferência dada: x2 + 4x + 4 + y2 + 10y + 25 = 25 + 4 + 25 (x + 2)2 + (y + 5)2 = 4 Logo, o centro é C(–2,–5).

O ponto P simétrico do ponto (–1,1) em relação ao eixo x é P (–1, –1). Portanto, o raio R da circunferência pedida será a distância entre os pontos P e C. Temos, R2 = (–1 – (–2))2 + (–1 – (–5))2 = 17 Logo, a equação da circunferência pedida será dada por : (x + 2)2 + (y + 5)2 = 17 ⇒ x2 + y2 + 4x + 10y + 29 – 17 = 0 ⇒ x2 + y2 + 4x + 10y + 12 = 0 Resposta da questão 20: [B] 2πR = 70 ⇒ R =

Portanto, a altura h será dada por h = 2 – 0,4 = 1,60m. Resposta da questão 24: [C] Sejam C1 = (4, 4) e C2 = (1, 1), respectivamente, os centros das circunferências maior e menor. O raio da circunferência maior corresponde à distância entre os centros das circunferências, ou seja, d(C1, C2 ) =

(4 − 1)2 + (4 − 1)2 =

18.

Portanto, a equação da circunferência maior é 2 = (x − 4)2 + (y − 4) ( 18 )2 ⇔ x 2 + y 2 − 8x − 8y += 14 0.

70 35 . Portanto, a equação da = 2π π

 35   

2

circunferência será dada por: x 2 + y 2 =  π  . Resposta da questão 21: [B]

Completando o quadrado, vem x 2 − 4x + (y + 1)2 = 0 ⇔ (x − 2)2 + (y + 1)2 = 22.

Portanto, o centro da circunferência é o ponto (2, − 1) e seu raio é 2. Resposta da questão 22: [D] A trajetória descrita pelo assento do balanço é parte da circunferência x 2 + y 2 = 4. Logo, sabendo que − 4 − x 2 , com −2 < x < 2. y < 0, temos f(x) =

Resposta da questão 23: [C] x2 + y2 − 4x − 4y + 7,84 =⇒ 0 x2 − 4x + 4 + y2 − 4y + 4 = −7,84 + 8 ⇒ (x − 2)2 + (y − 2)2 = 0,16

O relógio será representado por uma circunferência de centro (2,2) e raio 0,4.

Resposta da questão 25: [A] Admitindo que r seja o raio da circunferência, temos: π ⋅ r 2= 900 ⋅ π ⇒ r= 30, portanto, a equação da circunferência será dada por: (x − 0)2 + (y − 10)2 = 302 ⇒ x 2 + y 2 − 20y − 800= 0

Resposta da questão 26: [A] A reta pedida é dada por (x − 1)2 + y 2 − [(x − 3)2 + (y − 2)2 ] = 5 − 1 ⇒ −2x + 1 + 6x − 9 + 4y − 4 = 4 ⇒ x+y−4 = 0.

Resposta da questão 27: [B] Se o centro da circunferência é o ponto P(4, − 2) e esta é também tangente ao eixo y, pode-se concluir que outro ponto desta mesma circunferência será o ponto tangente T(0, − 2). Ainda, pode-se deduzir que o raio da mesma circunferência é igual a 4. Logo, pela fórmula utilizada para calcular a distância entre dois pontos, pode-se deduzir a equação geral desta circunferência: (x − 4)2 + (y + 2)2= (4)2 → x 2 + y 2 − 8x + 4y + 4= 0

Resposta da questão 28: [D]

 x A + xB y A + yB   −2 + 4 −6 + 0  Pm = C= , , → C(1, − 3)  =  2 2 2     2

A equação reduzida de C é

O comprimento do raio será igual à metade da distância entre os pontos A e B. Tem-se:

x 2 + y 2 + 6x − 2y =−6 ⇔ (x + 3)2 − 9 + (y − 1)2 − 1 =−6 ⇔ (x + 3)2 + (y − 1)2 = 22.

Assim a equação reduzida dessa circunferência será

Por conseguinte, a equação de C' é

(x − 1)2 + (y + 3)2 = 18.

(x − 3)2 + (y + 1)2 = 22 ⇔ x 2 + y 2 − 6x + 2y = −6.

Resposta da questão 33: [B]

Resposta da questão 29: [A]

Completando 2

Completando os quadrados, vem

2

2

vem

( −4, 3).

Logo, o centro da circunferência é o ponto C = (3, 0). 

Sabendo que a reta CP é perpendicular à reta AB, segue que a equação pedida é 4−3 ⋅ (x − 4) ⇔ y =− x + 5. 1− 0

Resposta da questão 30: [D] É fácil ver que o centro da circunferência é um ponto do segundo quadrante. Desse modo, tem-se que a equação da circunferência só pode ser 2 2 (x + 3) + (y − 2) = 13, pois seu centro é o ponto ( −3, 2).

Resposta da questão 31: [A] Equação da circunferência de centro C ( 3, 4 ) e raio 6.

62 ( x − 3 )2 + ( y − 3 )2 = x 2 + y 2 − 6x − 8y + 25 − 36 = 0 2

quadrados,

Logo, o raio da circunferência mede 3 e seu centro é

⇔ (x − 3)2 + (y − 0)2 = 5.

y − 1 =−

os

2

x + y + 8x − 6y + 16 =0 ⇔ (x + 4) + (y − 3) =9.

x 2 − 6x + y 2 + 4 = 0 ⇔ (x − 3)2 − 9 + (y − 0)2 + 4 = 0



R2 = (xB − x A )2 + (yB − y A )2 = (1 + 2)2 + ( −3 + 6)2 → R2 = 18

2

x + y − 6x − 8y − 11 = 0

Resposta da questão 32: [A] O ponto médio entre os pontos A e B será o centro da circunferência. Assim, pode-se escrever:

A resposta é 1, pois a circunferência é tangente ao eixo das abscissas no ponto ( −4, 0). Resposta da questão 34: [E] Calculando as coordenadas circunferência, tem-se:

do

centro

da

y + 4 =−3y + 12 → 4y = 8→y= 2 → Centro Circunferência ( 3,2 ) 2x − 2 − 4 = 0 → 2x = 6 → x = 3

Sabendo-se as coordenadas do centro e o raio, é possível desenhar a circunferência no plano cartesiano. Esta tangencia o eixo y e corta o eixo x em dois pontos. Logo, a alternativa correta é a letra [E]. Resposta da questão 35: [C] Determinando o raio de medida R da circunferência externa, temos: x 2 + y 2 − 8x − 8y + 7 =⇒ 0 x 2 − 8x + 16 + y 2 − 8y + 16 = −7 + 16 + 16 ⇒ (x − 4)2 + (y − 4)2 = 25

Portanto, o raio da circunferência externa é = 25 5. Logo, o raio da circunferência interna é

= R

5 − 2,5 = 2,5 =

5 . 2

A área do furo interno será dada por: 2

25 ⋅ π 5 π⋅  = A= cm2 4 2

Resposta da questão 36: [C]

Resposta da questão 38: [D]

Determinando o centro e o raio da circunferência.

x 2 + y 2 = 25 ⇒ circunferência ⇒ C ( 0,0 ) e R = 5

x2 + y2 − 8x − 8y + 16 =0 ⇒ x2 − 8x + 16 + y2 − 8y + 16 =16 ⇒ (x − 4)2 + (y − 4)2 =42

O centro é o ponto (4, 4) e o raio mede 4. Calculando a área do setor de 90° do círculo determinado por esta circunferência, temos: π ⋅ 42 = AS = 4π 4

Calculando, agora, a área do triângulo ABC. A ΔABC =

tangência ⇒ T(3, 4) 4−0 4 3 − mCT = =⇒ reta tangente r ⊥ CT ⇒ mr = 3−0 3 4 3 reta r ⇒ y − 4 =− ⋅ ( x − 3 ) ⇒ 3x + 4y − 25 = 0 4

Resposta da questão 39: [B] Do enunciado, temos:

4⋅4 = 8 2

Portanto, a área do segmento circular pedida é: A =A S − A ΔABC ⇒ A =4 π − 8 ⇒ A =4 ⋅ ( π − 2 )

Resposta da questão 37: [E]

Desenvolvendo a equação: x2 + y2 − 4x + 8y − 16 =0 ⇒ x2 − 4x + 4 + y2 + 8y + 16 =16 + 16 + 4 ⇒ (x − 2)2 + (x + 4)2 =36,

temos então uma circunferência de centro C(2, − 4) e raio R = 6. O raio r será a diferença entre a distância entre os centros P(8, 4) e C(2, − 4) e o raio R = 6.

r= r=

3 ⋅ 1 + 4 ⋅ 1 − 17 32 + 42 −10

25 10 r= 5 r=2

Assim, a equação da circunferência acima é: 22 ( x − 1)2 + ( y − 1)2 = x 2 − 2x + 1 + y 2 − 2y + 1 = 4 x 2 + y 2 − 2x − 2y − 2 = 0

Resposta da questão 40: [C] 2

2

x 2 + y 2 − 4x + 2y − 4 = 0 ⇒ ( x − 2 ) + ( y + 1) = 32

Portanto, = r d(PC) − R = r r=4

(8 − 2)2 + (4 − ( −4))2 − 6

p=2 q = −1 5p − 3q = 10 + 3 = 13