1. Números reales

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Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales

LOS NÚMEROS REALES1 Números Naturales

Los números que habitualmente usamos para contar la cantidad de elementos de una colección u ordenar los elementos de una lista constituyen el conjunto de los números naturales, simbolizado por N. N = {1, 2, 3, 4, ...}  N es un conjunto infinito.  El primer elemento de N es el 1.  Cada número natural tiene un sucesor o siguiente.  Un número natural y su siguiente se denominan consecutivos.

N0 denota el conjunto de los números naturales al que se le agrega el cero. N0 = {0, 1, 2, 3, 4, ...} = N  {0}  N0 es un conjunto infinito.  El primer elemento de N 0 es el 0.

Al representar en la recta numérica al conjunto N0:

se observa que  Entre un número de N0 y su siguiente no hay otro número natural.  Los conjuntos de números que tienen esta propiedad se llaman discretos.

Números Enteros Los números naturales, los enteros negativos y el cero constituyen el conjunto de los números enteros que simbolizamos con la letra Z. Z = N {0}  {..., -3, -2, -1} = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 , ....}

En la recta numérica los enteros negativos se ubican a la izquierda del cero:

Se observa que cada número negativo es simétrico respecto del cero de un número natural. Por ejemplo 2 y -2 son simétricos respecto del cero. Se dice que -2 es el opuesto de 2 y que 2 es el opuesto de -2.

1

Elizondo, Giuggiolini; Módulo 1 , Números y operaciones, UBA XXI, Articulación, 2007

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Conviene recordar que: El opuesto de un número a lo simbolizamos –a

 Si a = 2 el opuesto de a es –a = - 2

Si a es un número entero, su opuesto –a es un número entero.

 Si a = -2 el opuesto de a es –a = -(-2) = 2

El opuesto de 0 es 0.

La expresión –a no significa que el número

sea negativo. Sólo indica el opuesto de a.

Si a es el opuesto de b, b es el opuesto de a

-2 es un número entero. Su opuesto –(-2) = 2

es también un número entero

Y también Z es un conjunto infinito



N es un conjunto discreto

Cada número entero es el siguiente de otro.



El conjunto de los números naturales es un subconjunto de los enteros: N Z



A los números naturales también se los + llama enteros positivos: N = Z .

Entre un número entero y el siguiente no hay

otro número entero. Por poseer esta propiedad se dice que el

conjunto de discreto.

los

enteros

es

un

conjunto (El símbolo significa incluido)

Números Racionales Un sistema más amplio de números lo constituye el de los números racionales (Q) Los números racionales son aquellos que se expresan como cociente de dos números enteros, donde el p divisor es distinto de cero (es decir, con p y q enteros, q 0). q Cada número entero a puede representarse

como un número racional en la forma a 1 2 ejemplo, 2  ). 1 Todo número entero es racional:

Z Q

Además

(por Entre dos números racionales siempre hay otro

número racional. Por ello se dice que los números racionales

forman un conjunto denso.

N Z Q

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

Cualquiera que sea el número entero m  0 las expresiones

a m a y son equivalentes y b m b

representan el mismo número racional.

3 6 9 12 ; ; ; son fracciones equivalentes y representan el mismo número racional. 5 10 15 20 

De todas las fracciones equivalentes que representan el mismo número racional existe sólo una cuyo numerador y denominador son números primos entre sí. Estas fracciones se denominan irreducibles.

3 es una fracción irreducible 5 

Simplificar una fracción es hallar una fracción irreducible equivalente a ella.

Para comparar fracciones: 10 -1  3 5



Una fracción positiva es siempre mayor que una negativa. Por ejemplo:



Si las fracciones tienen el mismo denominador, es mayor la que tiene mayor numerador. Por 3 1 -1 -3 ejemplo:  ;  5 5 2 2



Si las fracciones tienen distinto denominador, conviene expresarlas en fracciones equivalentes a las que 3 1 se quiere comparar y que tengan el mismo denominador. Por ejemplo para comparar y podemos 4 7 3 21 1 4 3 1 escribirlas en forma equivalente  y  entonces  4 28 7 28 4 7

Expresión fraccionaria y decimal de los números racionales Todo número racional puede expresarse en forma de fracción o en forma decimal.

 Para obtener la expresión decimal de un número racional expresado en forma fraccionaria se divide el numerador por el denominador. Al hacerlo puede suceder: 

El cociente es un número decimal exacto porque después de varios pasos el resto de la división es cero. Decimos que es una expresión decimal finita.



Que luego de un número de pasos los restos comiencen a repetirse y también las cifras del cociente se repiten. Se trata de expresiones decimales periódicas. Al número o bloque de números que se repite se lo llama período.

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2 22 0,4 ; 5,5 5 4

5 1,66666... 1, 6 3 7 0,636363.. . 0, 63 11 5 0,277777.. . 0,27 18

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Los decimales exactos y periódicos pueden expresarse en forma de fracción.

 Si la expresión decimal es finita, escribimos la parte decimal como suma de fracciones decimales: 3,512 3 

5 1 2 3512    10 100 1000 1000

 Si la expresión decimal es periódica: 1. Expresión de a = 0,5ˆcomo una fracción Si a = 0,5ˆ, multiplicando por 10 a ambos miembros obtenemos 10 a = 5,5ˆ. Restando ambas igualdades (la segunda a la primera), resulta 9 a = 5 ; con lo que a = 5 9 2. Expresión de b = 0,32ˆcomo fracción Si b = = 0,32ˆ Multiplicando por 100 ambos miembros obtenemos: 100 b = 32,2ˆ(1) Si a la misma igualdad la multiplicamos por 10 es 10 b = 3,2ˆ Restando (1) y (2) se tiene que 100 b – 10 b = 29. De donde: 90 b = 29 Así b 29 90

(2)

Operaciones con números racionales

Adición de fracciones 

Si los denominadores son iguales se suman los numeradores

a c a c   b b b 

Si los numeradores no son iguales, se sustituyen las fracciones por otras equivalentes que tengan el mismo denominador. m m  a  c a c b   d b d m m donde m es el mínimo común múltiplo entre b y d

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Ejemplos 1 4 1 4 5 1.    3 3 3 3 2.

2 3 8 15    5 4 20 20 8 15  20 23  20

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Multiplicación y división de fracciones 

Para multiplicar dos fracciones se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí.

a c a c  b d b d 

1. 2.

Para dividir una fracción por otra distinta de cero, se multiplica la primera por el inverso multiplicativo de la segunda. Si c0

Ejemplos

1 3 1 5 5 :    4 5 4 3 12

5 es el inverso multiplicativo de 3 3 5

3.

a c a 1 a d a d :     b d b c b c b c d

7 -1 7  (-1) -7    3 2 3 .2 6

3 3 -1 -3 : (-2)    5 5 2 10

Los números reales Entre los números conocidos, existen aquellos que no pueden escribirse como el cociente entre dos números enteros. Son los llamados números irracionales ( I)

Los números irracionales (I), junto con los números racionales (Q) forman el conjunto de los números reales ().  = I Q

Además

= I Q

Son números irracionales: 0, 01001000100001... 0,123456789101112... 2 1,4142135623...  3,1415926535...



Estos números no pueden expresarse como cociente de dos números enteros.



Los números irracionales tienen un desarrollo decimal infinito no periódico.

e 2,718281 ...

Operaciones en los reales. Propiedades En el conjunto de los números reales están definidas dos operaciones: Adición y multiplicación. 

Por adición entendemos que a todo par de números reales a, b se le asigna un número real llamado la suma de a con b que indicamos a + b.



Por multiplicación entendemos que a todo par de números reales a, b se le asigna un número real llamado producto de a con b que indicamos a b.

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Propiedades de la adición

Propiedades de la multiplicación

Cualesquiera sean los números reales a, b y c se

Cualesquiera sean los números reales a, b y c se

verifica:

verifica:  La multiplicación es conmutativa:

 La adición es conmutativa:

a b=b a

a+b=b+a  La adición es asociativa:

 La multiplicación es asociativa:

( a + b) + c = a + (b + c)

( a b) c = a ( b c)

 a+0 = 0 + a =a

 a 1 = 1 . a = a

(0 es el elemento neutro para la adición)

(1 es el elemento neutro para el producto)

 a + (-a) = (-a) + a = 0



-1

a a = 1 (si a 1) -1

(-a es el inverso aditivo de a)

(a es el inverso multiplicativo de a)

La propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición, vincula ambas operaciones: 

Cualesquiera sean los números reales a, b y c vale que a . (b + c) = a . b + a . c

Observación 

En el conjunto de los números naturales no se verifican las propiedades de neutro e inverso aditivo para la adición, ni la de inverso multiplicativo.



En el conjunto de los números enteros, no se verifica la propiedad de inverso multiplicativo

Otras propiedades importantes 

El opuesto de la suma es la suma de los opuestos: - (a + b) = - a + (- b )  El producto de cualquier número real por (-1) es igual al opuesto del número real: a (-1) = (-1) a = (-a)  El producto de un número real por cero es cero: a 0 = 0 a = 0  

Si a b = 0 entonces a = 0 ó b = 0 Ley cancelativa: o de la suma: Si a + c = b + c entonces a = b o del producto: Si a c = b c y c 0 entonces a = b

Recordamos que: 

Restar dos números reales a y b significa sumar a con el opuesto de b. a – b = a + (- b )



Dividir dos números reales a y b (con b0) significa multiplicar a por el inverso multiplicativo de b -1 a:b=a.b

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Orden en  En  consideramos la relación “menor que”, que denotamos “ 0 a < b  -b < -a Si a < b y c < 0 entonces a c > b c a b > 0  a < 0 y b < 0 ó a > 0 y b > 0 a b < 0  a < 0 y b > 0 ó a > 0 y b < 0 a>b  a –b >0

Los números reales y la recta real Los números reales se pueden ubicar sobre la recta: a cada punto de la recta le corresponde un único número real y a cada número real un único punto en la recta.

Consideremos una recta, donde se fija un origen y la unidad de longitud. Cada número positivo está representado por un punto situado a la derecha del origen, y cada número negativo a la izquierda del mismo. Para ubicar los números enteros dibujamos consecutivamente sobre la recta el segmento unidad.

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-3 -2 -1

0

1

2 3

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Para ubicar los números racionales de la forma

1 ; q 0 dividimos el segmento de extremos 0 y 1 en q q

partes iguales.

Por ejemplo, para q = 5 A partir de 0 dibujamos una semirrecta que forme un ángulo agudo con el segmento unidad y sobre ella marcamos 5 segmentos de igual longitud. El último extremo (E) se une con 1 y se trazan paralelas por A, B, C y D, dividiendo al segmento unidad en 5 partes iguales. Cada segmento en que queda dividido el segmento unidad representa 1 5

del mismo.

En forma análoga procedemos para los p números racionales de la forma con q q 0 y menores que la unidad (p < q). Es suficiente tomar a partir del origen p 1 segmentos de longitud . q

Ejemplo: representación de

3 5

3 5

Algunos números irracionales, pueden ubicarse en la recta numérica mediante construcciones geométricas. La posibilidad de hacerlo permite ver que los puntos que han ocupado estaban vacíos de números racionales. Algunos de los infinitos huecos que dejan entre sí los números racionales son ocupados por ellos. Otros números irracionales no pueden ubicarse en la recta mediante construcciones geométricas. Por ejemplo: ; e;

3

2.

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En general para representar los números irracionales en la recta numérica usamos una aproximación decimal de los mismos. Por ejemplo: 

 3,14 representa una aproximación del número irracional .



3



4,41 representa una aproximación del número irracional 3 + 2 .



1 - 3 5 -0,71 representa una aproximación del número irracional 1 - 3 5

2 1, 25 representa una aproximación del número irracional

3

2.

Su representación aproximada es: 1- 35 0

3



2

3+ 2

Conviene recordar 

Cualquier segmento sobre la recta por pequeño que sea contiene infinitos puntos racionales (densidad de Q) y a pesar de ello contienen otros puntos, también infinitos: los números irracionales (I).



Ambos conjuntos: los irracionales (I) junto con los racionales (Q), forman el conjunto de los números reales  (es decir, tanto los racionales como los irracionales son números reales).



Los números reales llenan por completo la recta (por eso se la llama recta real).



Esta propiedad de los números reales se conoce como propiedad de completitud de los números reales.

Otras operaciones en  Potenciación y radicación de números reales. Definición Si a es un número real cualquiera, y n es un entero positivo entonces la potencia enésima de a es:

a n a a  a    a      n

factores

n



a es la potencia enésima de a



a se denomina base



n es el exponente

an base

Recordamos que:

Ejemplos: 1 51  5



a = 1 para a 0



a =a



Si n es un entero positivo y a 0, entonces a

0

1

1 1 3- 2   32 9

1



En particular:

exponente

a  1 b    a a b  b

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n



1 an

1

3    5 

2



1 5  3  3   5 

2

3  4  42 16       9 4  3  32

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Propiedades de la potenciación Si a y b son números reales y además n y m enteros valen las siguientes: Propiedades (en algunos casos a 0 y b 0)

1. am  an a mn 2.

am a

n

a

m -n

Ejemplos

Producto de potencias de igual base

(-3) 2  (-3)3 (-3) 2 3 (-3)5 - 243

Cociente de potencias de igual base

35 32

n 3. (am )n a m 

4 . (a  b) n

m

a

m

 b

2

3 9

3

3 3 3  (-2 4  (-2) 4 (8 )  64 512

Potencia de un producto

3

a  a 5.    n b  b n n

5-2

 (-5) 2    (- 5)6 15.625  

Potencia de potencia

m

3

2  2 8   3  3 27 3 

n

Potencia del cociente

3

2

2

2 16 5  4  4       4  5  5 2 25

a  b 6.    si a 0 b  an

Exponente fraccionario. 1 La expresión a n , con n entero mayor que 1, recibe el nombre de raíz n-ésima de a

1

1

Así: a 2 es la raíz cuadrada de a y a 3 es la raíz cúbica de a. 1

La expresión a n se representa también mediante

n

Índice de la raíz

a.

n

a

Radicando

Recordamos que:  

Si n es par, a debe ser mayor o igual que cero. Si n es impar, a puede tomar cualquier valor real, positivo, nulo o negativo.

Definición: Si a0 es un número real llamamos raíz cuadrada de a y lo simbolizamos 2 tal que b = a.

a al único número real b 0

Es decir que: a = b si y sólo si b 0 y b = a 2

Proposición: Si a es un número real cualquiera

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a 2 | a |

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Definición. 

Si m y n son números naturales m an

a

m.

1 n

1 m n (a )

n am

Propiedades Si a es un número real y a > 0 valen las siguientes propiedades:

1.

p m a n a q

2. (

m an

a

q

a

n q

m

3. (a

Producto de potencias de igual base

m p

p

)

m p n q

 b )n

a

Potencia de potencia

m

m

n

 bn

Distributividad respecto a la multiplicación.

Ejemplos: Calcular aplicando propiedades

6 16 1. 3 16 

Solución: Usando la notación de exponente fraccionario y propiedades de la potenciación escribimos: 1

3

1

6 16  16 163  16 6 1 1 6

16 3

1

16 2

 16 4 2. 4

Solución:

216 625

Por propiedad 3 escribimos: 4

3

3. ( 6 )

4 216 216 4   4 625 5 625

Solución: Usando la definición de exponente fraccionario y operando:

5

3

( 6)

5

1 6 3   1 5

6 3

4.

(16 )

2

5

   

5

6 3

Solución : a. Aplicando la propiedad

a2 | a | , es:

b. También podemos resolverlo así:

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(16) 2 | -16 | 16

(16) 2  256 16

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Supresión de raíces en el denominador Expresiones como:

1 2

;

1 3

1

;

3-

16

5

;

4 6 3

que contienen raíces en el denominador, pueden escribirse en forma equivalente de modo que la nueva expresión no contenga raíces en el denominador. Vemos algunos ejemplos.

Ejemplo 1.

1 2

Multiplicando numerador y denominador por

2 y aplicando propiedades de la potenciación es: 1

2

Ejemplo 2.



2

1 2 2  2



2

2  2



5

23

Multiplicando numerador y denominador por 5

2

3

2

5

(ya que 2 2 = 2 ) y aplicando propiedades de la potenciación es:

2

2 2

2 5 3

5

2

2 2 2

5

2  22  5 3 5 2 5 5 2 2 2



5

2 2 2 5   22 2 En ambos ejemplos en el denominador se tiene una expresión del tipo numerador y denominador por otra expresión con el mismo índice, m p n bases a y a sea una potencia de a . Ejemplo 3.

n

n m a . Se busca multiplicar

a p , y tal que el producto de sus

4 1 5

El denominador es en este caso una diferencia entre dos números. Multiplicando numerador y denominador por la suma de ellos, y operando es:

4 1 5

4 (1  5 )  (1  5 ) (1  5 )

4 (1  5 )  2 2 1 -( 5) 4 (1  5 )  - (1  5 ) 4

Cuando el denominador es la suma o diferencia de dos números, en donde uno de ellos o ambos es un irracional cuadrático, se multiplica el numerador y el denominador por la diferencia de los términos del denominador, en el caso de una suma, o por la suma en el caso de una diferencia. Así el denominador queda expresado en la forma: (a + b)(a – b) = a 2 – b 2

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