1- Exame Modelo 10 - 12º ano - junho 2020 - Francisco Cabral

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Exame Modelo X de Matem´ atica A

Dura¸ c˜ ao do Exame: 150 minutos + 30 minutos de tolerˆ ancia junho de 2020 12.º Ano de Escolaridade Utiliza apenas caneta ou esferogr´ afica de tinta azul ou preta ´ permitido o uso de calculadora E N˜ ao ´e permitido o uso de corretor. Risca o que pretendes que n˜ao seja classificado Para cada resposta identifica o item Apresenta as tuas respostas de forma leg´ıvel Apresenta apenas uma resposta para cada item A prova apresenta um formul´ ario na p´ agina 2 As cota¸c˜ oes dos itens encontram-se na p´ agina 7

Na resposta aos itens de sele¸c˜ ao (escolha m´ ultipla), seleciona a resposta correta. Escreve na folha de respostas o n´ umero do item e a letra que identifica a op¸c˜ao escolhida.

Na resposta aos restantes itens, apresenta o teu racioc´ınio de forma clara, indicando todos os c´alculos que tiveres de efetuar e todas as justifica¸c˜ oes necess´arias. Quando, para um resultado, n˜ao ´e pedida aproxima¸c˜ ao apresenta sempre o valor exato.

NOTA

> Itens cujas respostas contribuem obrigatoriamente para a classifica¸c˜ao final: 9, 11, 12.1 e 12.2 Estes itens est˜ ao assinalados no enunciado a cor azul e em it´alico > Dos restantes 14 itens da prova, apenas contribuem para a classifica¸c˜ao final os 8 itens cujas respostas obtenham melhor pontua¸c˜ ao

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Exame Modelo X

12º ano

Formul´ ario Geometria

Regras de deriva¸ c˜ ao

Comprimento de um arco de circunferˆ encia:

(u + v)0 = u0 + v 0

αr (α - amplitude, em radianos, do ˆ angulo ao centro; r - raio)

(uv)0 = u0 v + uv 0

´ area de um pol´ıgono regular: Semiper´ımetro × Ap´ otema

 u 0

´ area de um setor circular:

(un )0 = nun−1 u0

v

=

u0 v − uv 0 v2 (n ∈ R)

αr2 (α- amplitude, em radianos, do ˆ angulo ao centro, r - raio) 2

(sin u)0 = u0 cos u

´ area lateral de um cone: πrg (r - raio da base, g - geratriz)

(cos u)0 = −u0 sin u

´ area de uma superf´ıcie esf´ erica: 4πr2 (r - raio) Volume da pirˆ amide:

u0 cos2 u

(tan u)0 =

1 ×a ´rea da base × Altura 3

(eu )0 = u0 eu

1 ×a ´rea da base × Altura 3 4 Volume da esfera: πr3 (r - raio) 3

(au )0 = u0 au ln a

Volume do cone:

(ln u)0 =

u0 u

(loga u)0 =

Progress˜ oes

(a ∈ R+ \{1})

u0 u ln a

(a ∈ R+ \{1})

Soma dos n primeiros termos de uma progress˜ ao (un ):

Limites not´ aveis

u1 + un ×n Progress˜ ao aritm´ etica: 2 1 − rn Progress˜ ao geom´ etrica: u1 × ,r= 6 1 1−r

  1 n lim 1 + = e (n ∈ N) n sin x lim =1 x→0 x ex − 1 lim =1 x→0 x ln x =0 lim x→+∞ x x e lim = +∞ (p ∈ R) x→+∞ xp

Trigonometria sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b

Complexos (|z|eiθ )n = |z|n ei(nθ) √ n

z=

p n

  i θ+2kπ n

|z|e

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, k ∈ {0; 1; 2; ...; n − 1} e n ∈ N

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12º ano

1. Seja C, o conjunto dos n´ umeros complexos e seja z =

√

2−

√

2i, um n´ umero complexo

1.1. Prova que o afixo do n´ umero complexo z 8n+1 pertence ao conjunto A = {w ∈ C : Re(w) = Im(w)}, para todo o n´ umero natural n 1.2. Em qual das op¸c˜ oes est˜ ao os valores de a e b, ∈ R, para os quais, z ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ao w2 + aw + (A) (B) (C) (D)

√

2b = 0

√ a = −2 2 √ a=2 2e √ a = −2 2 √ a=2 2e

√ eb=2 2 √ b = −2 2 √ e b = −2 2 √ b=2 2

2. Considera um tabuleiro com dezasseis casas (quadrado dividido em dezasseis quadrados) Pretende-se colocar nove cart˜ oes no tabuleiro, um e um s´o, em cada casa, sendo quatro vermelhos, numerados de um a quatro, e cinco azuis, numerados de cinco a nove 2.1. De quantas maneiras distintas se podem colocar os cart˜oes no tabuleiro? Numa das op¸c˜ oes est´ a a resposta a esta quest˜ao Em qual delas? (A) 4151347200 (B) 34594560 (C) 1441440 Figura 1

(D) 172972800 2.2. Determina a probabilidade de os quatro cantos do tabuleiro ficarem preenchidos s´ o com cart˜ oes vermelhos i π πh 4x cos(x) − 2 sin(x) 3. Considera a fun¸c˜ ao f , de dom´ınio − ; , definida por f (x) = 2 2 cos(x) y

No referencial cartesiano xOy, da figura 2, est˜ao representados parte do gr´ afico da fun¸c˜ ao f , e as suas ass´ıntotas verticais 3.1. Mostra, analiticamente, que o gr´ afico da fun¸c˜ao f tem duas ass´ıntotas verticais e escreve as suas equa¸c˜oes

x

O

f

3.2. Estuda a fun¸c˜ ao f quanto ` a monotonia e existˆencia de extremos relativos

Figura 2

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4. Considera a fun¸c˜ ao g, de dom´ınio R \ {0}, definida por g(x) =

 −x + ln(−x + 1)     x

se

x0 y g

No referencial cartesiano xOy, da figura 3, est´a representado parte do gr´ afico da fun¸c˜ ao g, e est˜ ao assinalados dois valores a e b, no eixo das ordenadas

a

4.1. Mostra, analiticamente, que o gr´ afico da fun¸c˜ao g tem uma ass´ıntota n˜ ao vertical quando x → −∞ e escreve a sua equa¸ca˜o

x

O

4.2. Mostra, analiticamente, que b = −a b

Figura 3 5. Na figura 4 est´ a representada a pirˆ amide [ABCDV ], quadrangular regular reta Sabe-se que: V

ˆ a base [ABCD] ´e um quadrado de lado l, com l > 0 ˆ o ponto U ´e o centro da base da pirˆ amide ˆ T ´e o ponto m´edio da aresta [BC] ˆ x ´e amplitude do ˆ angulo U T V i πh ˆ x ∈ 0; 2

A

B T

x

U C

D

Figura 4 Em qual das op¸c˜ oes est´ a a express˜ ao, em fun¸ca˜o de x e de l, da ´area da superf´ıcie da pirˆamide? l (A) l + cos(x) l2 (B) l2 + sin(x) l2 (C) l2 + cos(x) l2 (D) l2 + 4 cos(x) 6. Relativamente a uma turma de 12◦ ano da Escola Secund´aria de Arribas de Cima, sabe-se que: 2 dos alunos s˜ ao raparigas 5 4 ˆ dos alunos est˜ ao inscritos no clube de leitura da Biblioteca 5 1 ˆ das raparigas n˜ ao est˜ ao inscritos no clube de leitura da Biblioteca 5

ˆ

Determina a probabilidade de um aluno dessa turma, escolhido ao acaso, ser rapaz, sabendo que est´ a inscrito no clube de leitura da Biblioteca Apresenta o resultado na forma de fra¸c˜ ao irredut´ıvel Professor Francisco Cabral

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12º ano

7. Considera a fun¸c˜ ao h, de dom´ınio ]e; +∞[, definida por h(x) = ln(x − e) No referencial cartesiano xOy, da figura 5, est´a representado parte do gr´afico da fun¸c˜ao h, e est˜ ao assinalados dois pontos A(a; h(a)) e B(b; h(b)) no gr´afico y Sabe-se que: B h

h(b)

ˆ b>a

A

h(a)

ˆ h(b) = h(a) + ln(2) ˆ o declive da reta AB ´e mAB

√ ln( 2) = e

a

O

Mostra que a equa¸c˜ ao reduzida da reta tangente ao gr´afico de h 1 1 no ponto A ´e y = x + ln(2) − 2e 2

x

b

Figura 5

8. Seja f , uma fun¸c˜ ao real de vari´ avel de dom´ınio R+ , e seja g, a fun¸c˜ao real de vari´avel real, definida em 3 3x f (x) + e R+ por g(x) = x2 No referencial cartesiano xOy, da figura 6, est˜ao representados parte do gr´afico da fun¸c˜ao f , e da sua ass´ıntota n˜ ao vertical y f

Sabe-se que a ass´ıntota ao gr´ afico de f interseta o eixo Ox no ponto 1 de abcissa , e interseta o eixo Oy, no ponto de ordenada −1 2 g(x) Em qual das op¸c˜ oes est´ a o valor de lim ? x→+∞ x (A) 8 (B) −8

x

O

(C) 0 (D) +∞

Figura 6 9. Na figura 7 est´ a representado, em referencial cartesiano xOy, parte do gr´ afico de uma fun¸c˜ ao f , real de vari´ avel real, de dom´ınio R Seja (xn ), uma sucess˜ ao de valores do dom´ınio da fun¸c˜ao f Sabe-se que:

y

• a, b, c, d s˜ ao n´ umeros reais,tais que a > b > c > d

a

• lim f (xn ) = a Em qual das op¸c˜ oes pode estar a sucess˜ ao (xn )? (A) xn = e − p (B) xn = 1 − √

1

b

ln(n + 1) + 1

c

2

O

1

x

e+1

en

+1 √ n (C) xn = e + ln(e) − n n (D) xn = e + 1 + n e

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f

d

Figura 7

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10. Considera, num referencial o.n., Oxyz, o s´olido que pode ser decomposto em duas pirˆamides quadrangulares regulares retas, [ABCDV ] e [EF GHV ], que se encontra representado na figura 8 Sabe-se que: z • o ponto A pertence ao eixo Ox

H

E • o ponto D pertence ao eixo Oy • os pontos A, B, C e D, s˜ ao as proje¸c˜ oes ortogonais dos pontos E, F, G e H, respetivamente, sobre o plano xOy

G

F

• a base da pirˆ amide [ABCDV ] est´ a contida no plano xOy V • a base da pirˆ amide [EF GHV ] est´ a contida num plano paralelo ao plano xOy • a abcissa do ponto A ´e igual ` a ordenada do ponto D A

O

D

• as duas pirˆ amides tˆem a mesma altura

y x

• uma equa¸c˜ ao vetorial da reta AG ´e

C

B Figura 8

(x; y; z) = (3; −6; −9) + k(0; 2; 3), k ∈ R 10.1. Determina o volume do s´ olido 10.2. Sabe-se que uma equa¸c˜ ao cartesiana do plano ABV ´e −3x + 3y − 2z + 9 = 0

Escreve uma equa¸c˜ ao cartesiana de um plano α, perpendicular ao plano ABV e que cont´em o ponto V Escreve a equa¸c˜ ao na forma ax + by + cz + d = 0 , com a, b, c, d ∈ R

2 a e 512e10 , com a ∈ R, s˜ ao trˆes termos consecutivos de uma progress˜ ao geom´etrica , e−2 16 (an ) de raz˜ ao positiva

11. Sabe-se que

Determina o valor de a, e calcula o produto dos termos, a5 , a6 e a7 , da progress˜ ao geom´etrica (an ), e−14 sabendo que a1 = 32768  ln(−2x + 2) − ln(−x) − 1     x     2 12. Seja f , a fun¸c˜ ao real de vari´ avel real, definida por, f (x) =        x3 e−2x + ax  2x com a ∈ R

se

x0

,

12.1. Determina os zeros da fun¸c˜ ao f no intervalo ] − ∞; 0[ 12.2. Determina o valor de a, de modo que lim f (x) = −1 x→+∞

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˜ COTAC ¸ OES As pontua¸c˜ oes obtidas nas respostas a estes 4 itens da prova contribuem obrigatoriamente para a classifica¸c˜ao final Itens 9. 11. 12.1 12.2 Subtotal Cota¸c˜ ao (Pontos) 16 20 20 16 72 Destes 14 itens da prova, contribuem para a classifica¸c˜ao final da prova os 8 itens cujas respostas obtenham melhor pontua¸c˜ao Itens 1.1 1.2 2.1 2.2 3.1 3.2 4.1 4.2 5 6 7 8 10.1 10.2 Subtotal Cota¸c˜ ao (Pontos) 8 × 16 Pontos 128

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