1) Análisis de datos agrupados

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PR

A EG RE SA

S DO

RAM G O

Guía Análisis de datos agrupados

Ejercicios PSU A continuación, se presentan los siguientes ejercicios, de los cuales sugerimos responder el máximo posible y luego, junto a tu profesor(a), revisar detalladamente las preguntas más representativas, correspondientes a cada grado de dificultad estimada. Solicita a tu profesor(a) que resuelva aquellos ejercicios que te hayan resultado más complejos. 1.

Un conjunto está formado por todos los números pares entre el 15 y el 75, sin que ninguno de ellos se repita. Si el conjunto se agrupa en cinco intervalos de igual amplitud, ¿cuál es la marca de clase del cuarto intervalo? A) B) C) D) E)

2.



Sea M el conjunto de todos los múltiplos positivos de 3 menores que 200, sin que ninguno de ellos se repita. Si el conjunto M se agrupa en intervalos de amplitud 6, ¿en qué intervalo queda ubicado el número 150? A) B) C) D) E)

GUICEG050EM32-A17V1

3.

45 57 36,5 62 56,5

En el noveno. En el quinto En el octavo. En el sexto En el décimo.

En la distribución de frecuencias de la tabla adjunta, el valor de x se puede expresar siempre como A) B) C) D) E)



k–p k – 100m 100m k – 100p 100(k – p)

Frecuencia relativa

Frecuencia porcentual acumulada

[16, 20]

m

x

[21, 25]

p

k

Datos [11,15]

[26,30] Cpech 1

MATEMÁTICA

4.

La tabla adjunta muestra los resultados de una prueba realizada a un grupo de conductores, en la cual se registró la rapidez máxima que alcanzó cada uno, sin decimales. Con respecto a la información de la tabla, es correcto afirmar que I)

los conductores del tercer intervalo alcanzaron en promedio una rapidez máxima de 95,5 km/h. II) en el primer intervalo, al menos dos conductores registraron la misma rapidez máxima. III) la frecuencia porcentual acumulada hasta el segundo intervalo es de 32%.

Es (son) verdadera(s) A) B) C) D) E) 5.



I)

Cpech

[71, 80]

11

[81, 90]

8

[91, 100]

6

Precio (pesos) Frecuencia

62,5° 108° 90° 135° 37,5°

[0, 2.500[

20

[2.500, 5.000[

12

[5.000, 7.500[

30

[7.500, 10.000]

18

A un grupo de personas se le consultó por la cantidad de películas que ha ido a ver al cine en el último año, y las respuestas recogidas fueron 7, 12, 17, 6, 5, 17, 19, 8, 14, 12, 16, 20, 6, 14, 8, 2, 12, 17, 16 y 10. ¿Cuál(es) de las siguientes tablas de datos agrupados representa(n) correctamente la información recogida? II)

Cantidad

Frecuencia

5

[1, 5]

[8, 14]

8

[15, 21]

7

Cantidad

Frecuencia

[1,7]

A) B) C) D) E)

2

solo I. solo II. solo III. solo I y II. solo I y III.

El dueño de una pequeña tienda realizó un inventario de los precios de sus artículos, registrando los datos en la tabla adjunta. Si quisiera mostrar los resultados en un gráfico circular, el tercer intervalo estaría representado por un sector cuyo ángulo del centro sería de A) B) C) D) E)

6.

Rapidez máxima Frecuencia (km/h)

Solo I Solo III Solo I y III Solo II y III I, II y III

III)

Cantidad

Frecuencia

2

[1, 4]

1

[6, 10]

5

[5, 8]

6

[11, 15]

6

[9, 12]

4

[16, 20]

7

[13, 16]

4

[17, 20]

5

Guía

7.

En la tabla adjunta se muestra el resultado de una prueba de habilidad aplicada a un grupo de 300 trabajadores, en la cual a cada uno le medían el tiempo que tardaba en completar una tarea. ¿Cuál es la frecuencia del intervalo [4, 6[? A) B) C) D) E)

8.

135 195 30 270 105

Tiempo (minutos)

Frecuencia porcentual acumulada

[0, 2[

25%

[2, 4[

55%

[4, 6[

90%

[6, 8]

100%

La tabla adjunta muestra la longitud de un grupo de troncos cortados en un aserradero, agrupadas en intervalos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) La frecuencia porcentual acumulada hasta el intervalo [34, 36[ es 50%. II) Siete de los troncos miden menos de 34 cm. III) La frecuencia porcentual del intervalo [36, 38[ es 20%. A) B) C) D) E)

9.

Solo I Solo II Solo I y II Solo I y III I, II y III

Longitud (cm)

Frecuencia

[30, 32[

4

[32, 34[

7

[34, 36[

9

[36, 38[

12

[38, 40]

8

Las edades de los 24 participantes de un taller de arte se representan en la tabla adjunta. Según los datos, ¿cuál es el valor numérico de z? A) 16 B) 8 C) 18 D) 9 E) 15

Edad (años)

Frecuencia

Frecuencia acumulada

[8, 10[

x

y

[10, 12[

6

z

[12, 14]

y

w

Cpech

3

MATEMÁTICA

10. La tabla adjunta muestra la edad, en años, de los residentes de un condominio. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) II) III)

a = 30 b = 35 c = 64

A) B) C) D) E)

Solo I Solo I y II Solo I y III Solo II y III I, II y III

Edad (años)

Marca de clase (años)

Frecuencia acumulada

Frecuencia

[0, 20[ [20, 40[

6 15

a

[40, 60[

b

56

[60, 80]

8

c

11. En la tabla adjunta se muestra la distribución de frecuencias de un conjunto numérico Q dividido en cinco intervalos de igual amplitud. ¿Cuántos datos componen el conjunto Q? A) B) C) D) E)

100 80 200 50 No se puede determinar.

Edad (años) Frecuencia

Frecuencia relativa acumulada

[a, b[ [b, c[

p 2p

m

[c, d[ [d, e]

4p 3m – 20

5p

12. Una empresa realiza un cuestionario a un grupo de personas con el objetivo de medir el nivel de satisfacción por el servicio brindado. El cuestionario consiste en una lista de veinte preguntas, en las cuales el encuestado debe contestar positiva o negativamente, representándose los resultados en la tabla adjunta. Con respecto a las personas consultadas, es INCORRECTO afirmar que

A) B) C) D) E)

4

Cpech

Cantidad de respuestas positivas

Nivel de satisfacción

Mujeres

Hombres

0–6

Bajo

7

4

7 – 13

Medio

3

6

14 – 20

Alto

5

5

2 de las personas con un nivel de satisfacción medio son hombres. 3 hay más hombres con un nivel de satisfacción alto que mujeres con un nivel de satisfacción bajo. el 20% de las mujeres tiene un nivel de satisfacción medio. más del 30% del total tiene un nivel de satisfacción alto. se consultó a igual cantidad de hombres y mujeres.

Guía

13. En una tabla de distribución de frecuencias de cinco intervalos de igual amplitud, se puede determinar la frecuencia relativa acumulada hasta el tercer intervalo, si: (1) Todos los intervalos tienen igual frecuencia. (2) La frecuencia relativa acumulada hasta el segundo intervalo es 0,4.

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.

Estrategia de síntesis Completa las columnas en blanco que se adicionaron a la tabla adjunta en la pregunta 5. ¿Cuál de ellas crees que puede ser de mayor utilidad? ¿Será siempre la más útil en otro tipo de preguntas? Precio (pesos)

Frecuencia

[0, 2.500[

20

[2.500, 5.000[

12

[5.000,7.500[

30

[7.500, 10.000]

18

Frecuencia acumulada

Frecuencia relativa

Frecuencia porcentual

14. El gráfico de la figura adjunta muestra el resultado de lanzar un dado común 40 veces. ¿En qué porcentaje de los lanzamientos se obtuvo a lo más un 4?

Frecuencia

Frecuencia

A) 40% B) 32% C) 80% D) 20% E) No se puede determinar.

24 24

11 -- 22 33 -- 4 4

55-- 66

Resultado

Resultado

Cpech

5

MATEMÁTICA

15. En una prueba de tiro con arco cada competidor tiene 30 oportunidades para acertar a un objetivo. Si el gráfico adjunto representa la frecuencia acumulada después de la participación de varios competidores, ¿cuál es la frecuencia relativa del segundo intervalo? A) B) C) D) E)

0,333… 0,3125 0,25 0,555… 0,444…

Frecuencia acumulada 9k 5k 2k 0 10 20 30 Aciertos

16. El gráfico adjunto representa las edades de los integrantes del grupo de gimnasia de un colegio, de manera que todos los intervalos son de la forma [a, b[, excepto el último que es de la forma [c, d]. Según el gráfico, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA? Frecuencia 10 5 6 10 14 18 A) B) C) D) E)

6

Cpech

Años

El 25% de los integrantes del grupo se encuentra en el intervalo [10, 14[. El grupo de gimnasia tiene 25 integrantes. La marca de clase del tercer intervalo es 16 años. El número de integrantes que tiene menos de 10 años es igual al número de integrantes que tiene 14 años o más. Menos de la mitad de los integrantes del grupo no tiene más de 10 años.

Guía

17. El gráfico adjunto muestra el registro de las masas de los sacos guardados en una bodega, de manera que todos los intervalos son de la forma [a, b[, excepto el último que es de la forma [c, d]. Según la información del gráfico, es FALSO afirmar que Frecuencia 50 45 35 30

0 A) B) C) D) E)

5

10 15 20 25

Kilos

menos del 25% de los sacos se encuentra en el intervalo [5, 10[. 65 sacos tienen una masa mayor o igual a 15 kilos. hay 20 sacos más en el tercer intervalo que en el quinto intervalo. hay 160 sacos guardados en la bodega. 35 sacos tienen una masa menor a 5 kilos.

Cpech

7

MATEMÁTICA 18. El gráfico adjunto muestra los resultados de una prueba tomada a 120 alumnos de un colegio. ¿Cuál de los siguientes gráficos de barras representa la distribución de los datos presentados? Frecuencia porcentual acumulada

100% 75% 25% 0 A)

Frecuencia

12 18

60 30 Puntos

6 12 18 D)

Frecuencia

0

30

E)

0

6 12 18

Frecuencia 60 30

25 0

Puntos

6 12 18

100 75

Cpech

C) Frecuencia 120 90

90

25

8

Puntos

B) Frecuencia

50

0

6

6 12 18

Puntos

0

6 12 18

Puntos

Puntos

Guía 19. Un estudiante registra una distribución de frecuencias en la tabla adjunta, y luego traspasa los datos al gráfico circular adjunto, con a, b y d los ángulos de centro de los intervalos de igual amplitud F, G y H, respectivamente. Si después se agrega un dato a cada intervalo, ¿qué modificación habría que hacer al gráfico circular para adaptarlo a este cambio? Intervalo

Frecuencia

F

2

G

3

H

4

F H

d a b G

A) Aumentar a y disminuir b y d. B) Aumentar a, mantener b y disminuir d. C) Disminuir a y aumentar b y d. D) Mantener a, b y d. E) Disminuir a, mantener b y aumentar d. 20. En el gráfico de distribución de frecuencias adjunto, los intervalos J, K, L y M tienen la misma amplitud. La frecuencia relativa del intervalo L es Frecuencia 4p 3p 2p

J A) B) C) D) E)

K

L

M

Intervalos

p · 0,363636… p · 0,4 p · 0,444… p · 0,8 un valor constante que no depende de p.

21. El gráfico circular de la figura adjunta muestra los resultados obtenidos en una prueba de selección por los postulantes a un taller, en la cual se les asignaba un puntaje de 1 a 60 puntos, sin decimales. Entonces, es correcto afirmar que la frecuencia relativa del grupo que obtuvo I) II) III)

de 1 a 15 puntos es menor al 20%. de 31 a 60 puntos es de 40%. menos de 46 puntos es de 75%.

[1,15] puntos

solo I. solo I y II. solo I y III. solo II y III. I, II y III.

13 15

Es (son) verdadera(s) A) B) C) D) E)

[16,30] puntos

20 [46,60] puntos

32 [31,45] puntos

Cpech

9

MATEMÁTICA

22. En el gráfico circular de la figura adjunta, el ángulo de centro correspondiente al intervalo [6, 7[ es A) B) C) D) E)

[9,10]

120° 132° 216° 108° 66°

[6,7[

a [8,9[

2a 20% [7,8[

23. El gráfico circular de la figura adjunta muestra el resultado de una encuesta en que se consultó a 800 personas sobre la cantidad de veces que va al médico en un año. Con respecto a las personas consultadas, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? [1, 3] [4, 6]

[13, 15] 18% 27% [10, 12] I) II)

15% 22% [7, 9]

III)

Más de la mitad de las personas se encuentra en el intervalo [7, 12]. La cantidad de personas en el intervalo [1, 3] es igual a la cantidad de personas en el intervalo [13, 15]. 120 personas se encuentran en el intervalo [4, 6].

A) B) C) D) E)

Solo II Solo III Solo I y III Solo II y III I, II y III

24. El gráfico circular adjunto muestra los resultados de un examen rendido por un grupo de alumnos en una universidad, divididos en cinco intervalos de igual amplitud. Si el intervalo P contiene 50 alumnos, entonces es FALSO afirmar que el intervalo Q A) T contiene la doceava parte de los alumnos. B) P tiene una frecuencia porcentual de 20,8333...% C) S contiene menos alumnos que cualquier otro intervalo. D) R tiene un ángulo de centro de 93º en el gráfico. E) Q está compuesto por 60 personas.

25% P 75º 30º T

10 Cpech

R 20% S

Guía

25. En el gráfico de distribución de frecuencias adjunto, se puede determinar el valor de m, si: (1) La frecuencia del primer intervalo es 140. (2) La frecuencia porcentual del tercer intervalo es 35%.

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.

Frecuencia

m

0

20 40 60

Intervalos

Cpech 11

MATEMÁTICA

Torpedo Datos y Azar Glosario Datos •

Población: conjunto sobre el cual se • Frecuencia relativa: proporción del dato realiza el estudio estadístico. dentro del total de la muestra. • Muestra: subconjunto de la población • Frecuencia porcentual: frecuencia utilizada como datos en el estudio relativa en forma de porcentaje. estadístico. • Frecuencia acumulada: suma de • Variables cuantitativas: variables que frecuencias desde el primer valor hasta el representan una propiedad numérica. valor indicado. Pueden ser discretas (ciertos valores fijos) o continuas (ciertos valores dentro de un • Clases: intervalos donde se encuentran agrupado los datos de una variable intervalo). estadística continua. • Frecuencia absoluta (o frecuencia): número de veces que aparece un dato • Marca de clase: valor representativo de un intervalo o clase. Se obtiene calculando dentro de la muestra o cantidad de el promedio entre los extremos de un elementos que agrupa un determinado intervalo. intervalo.

Tipos de gráficos De barras Frecuencia

Polígono de frecuencia Frecuencia f4 f5 f2 f3

fi

xi

Dato

f1

x1 x2 x3 x4 x5

Circular

Dato

Histograma Frecuencia

100

200

300

400

Dato

El histograma se utiliza para datos agrupados. En el gráfico circular, la información se representa en porcentajes. 12 Cpech

Guía Tablas Dato

Frecuencia

Frecuencia acumulada

x1

f1

f1

f1

x2

f2

f1+f2

f2

.. .

.. .

.. .

xk

Frecuencia porcentual

f1+f2+... +fk =N

fk

N

N fk N

• 100% • 100% .. .

Intervalos de pesos

Marca de clase

Frecuencia

[35 – 56[

35+56 2

17

[56 – 76]

56+76 2

8

• 100%

Medidas de tendencia central en datos no agrupados Moda: dato que más se repite dentro de la muestra (¡NO CONFUNDIR CON LA FRECUENCIA DE LA MODA!) Si todos los datos tienen la misma frecuencia, no existe moda (amodal). En una muestra puede haber más de un moda. Promedio o media aritmética: x=

x1 · f1 + x2 · f2+ x3 · f3 + ... + xk · fk

xk : Dato fk : Frecuencia del dato

Mediana: valor que ocupa la posición central de una muestra (¡OJO! Los datos deben estar ORDENADOS) Sea una muestra con una cantidad N de datos: Si N es un número impar, entonces la mediana es el dato que ocupa el lugar número

N+1 2

.

Si N es un número par, entonces la mediana es el promedio entre los datos que ocupan los N + 1. lugares N y 2

N

2

Glosario Azar •

Experimento aleatorio: actividad cuyo resultado no se puede predecir a pesar de que se manejen todas las condiciones.

•

Espacio muestral: conjunto de todos los posibles resultados distintos de un experimento.

•

Evento o suceso: subconjunto del espacio muestral que cumplen con alguna condición.

•

Suceso imposible: evento que no tiene elementos, es decir, la probabilidad de que ocurra es nula.

•

Suceso seguro: evento cuyo elementos son los mismos que los del espacio muestral, es decir, la probabilidad de que ocurra es uno, siempre ocurrirá.

•

Eventos mutuamente excluyentes: eventos que no tienen ningún elemento en común, es decir, no ocurren simultáneamente.

•

Eventos independientes: eventos cuya ocurrencia de cada uno no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro.

Sea A un evento en un determinado experimento aleatorio. 0 ≤ P(A) ≤ 1 P(A) =

número de casos favorables número de casos totales

⇒ P (no A) = 1 – P(A)

Cpech 13

MATEMÁTICA

Tabla de corrección

Ítem

14 Cpech

Alternativa

Habilidad

Nivel de dificultad

1

Comprensión

Fácil

2

Comprensión

Media

3

Comprensión

Fácil

4

Comprensión

Media

5

Aplicación

Media

6

Aplicación

Media

7

Aplicación

Media

8

Aplicación

Media

9

ASE

Difícil

10

ASE

Fácil

11

ASE

Difícil

12

ASE

Media

13

ASE

Media

14

Comprensión

Media

15

Comprensión

Difícil

16

Comprensión

Media

17

Comprensión

Media

18

Aplicación

Media

19

Aplicación

Difícil

20

Aplicación

Fácil

21

ASE

Media

22

ASE

Media

23

ASE

Media

24

ASE

Difícil

25

ASE

Media

Guía

Mis apuntes

Cpech 15

_____________________________________________________ Han colaborado en esta edición: Directora Académica Paulina Núñez Lagos Directora de Desarrollo Académico e Innovación Institucional Katherine González Terceros Equipo Editorial Rodrigo Cortés Ramírez Pablo Echeverría Silva Andrés Grandón Guzmán Equipo Gráfico y Diagramación Pamela Martínez Fuentes Vania Muñoz Díaz Elizabeth Rojas Alarcón Equipo de Corrección Idiomática Paula Santander Aguirre Imágenes Banco Archivo Cpech

El grupo Editorial Cpech ha puesto su esfuerzo en obtener los permisos correspondientes para utilizar las distintas obras con copyright que aparecen en esta publicación. En caso de presentarse alguna omisión o error, será enmendado en las siguientes ediciones a través de las inclusiones o correcciones necesarias.

Registro de propiedad intelectual de Cpech. Prohibida su reproducción total o parcial.