wanderbarbosa-Lista 9 - Cálculo I - 2012-2

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Lista 9 de C´ alculo I

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LISTA 9 - 2012/2

UFES - Universidade Federal do Esp´ırito Santo CEUNES – Centro Universit´ ario Norte do Espir´ıto Santo DMA – Departamento de Matem´ atica Aplicada

Fun¸c˜ao impl´ıcita Taxas relacionadas

1. Determine a express˜ao de pelo menos duas fun¸c˜oes y = y(x) definidas implicitamente pela equa¸c˜ao xy 2 + x + y = 1. Explicite seus dom´ınios. 3 2. Seja y = f (x) definida implicitamente pela equa¸c˜ao sec2 (x + y) − cos2 (x + y) = . Calcule 2 (π ) (π ) f′ , sabendo que f = 0. 4 4 √ 3. Seja y = f (x) definida implicitamente pela equa¸c˜ao x2 − x xy + 2y 2 = 10. Encontre o coefciente angular da reta normal ao gr´afico da fun¸c˜ao f no ponto (4, 1). 4. Considere y = f (x) definida implicitamente por x4 − xy + y 4 = 1. Calcule f ′ (0) , sabendo que f (x) > 0, ∀x ∈ R. y

4

5. Considere a curva da figura ao lado conhecida por ciss´oide de Di´ocles cuja equa¸c˜ao ´e (2 − x)y 2 = x3 .

2

(a) Obtenha a equa¸c˜ao da reta tangente ao gr´afico da curva em (1, 1); –1

(b) Obtenha as equa¸c˜oes das retas tangentes ao gr´afico da curva nos 3 pontos em que x = . 2

0

1

2

x

–2

–4

(

1

) 2 2

6. Considere a leminiscata de equa¸c˜ao x2 + y = x2 −y 2 (figura ao lado). Determine os quatro pontos da leminiscata em que as retas tangentes s˜ao horizontais. Ache, em seguida, os dois pontos em que as tangentes s˜ao verticais.

–1

0

y

1

x

–1

7. Cascallho est´a caindo e formando uma pilha cˆonica que aumenta a uma taxa de 3 m3 /min, de modo que o raio do cone ´e sempre igual a sua altura. Encontre a taxa de varia¸c˜ao da altura da pilha quando a altura ´e de 3 m. 8. Uma cˆamara de televis˜ao no n´ıvel do solo est´a filmando a subida de um ˆonibus espacial que est´a subindo verticalmente de acordo com a equa¸c˜ao s = 15t2 , sendo s a altura e t o tempo. A cˆamara est´a a 600 m do local de lan¸camento. Encontre a taxa de varia¸c˜ao da distˆancia entre a c˜amara e a base do ˆonibus espacial, 10 seg ap´os o lan¸camento (suponha que a cˆamara e a base do ˆonibus est˜ao no mesmo n´ıvel no tempo t = 0). 9. Num determinado instante, um controlador de tr´afego a´ereo vˆe dois avi˜oes na mesma altura voando a velocidades constantes, em trajet´orias ortogonais que se cruzam num ponto P (veja figura). Neste instante, 150 um dos avi˜oes est´a a 150 milhas do ponto P e se aproxima de P `a 450 milhas por hora, enquanto o outro est´a a 200 milhas do ponto P e se P 200 movendo `a 600 milhas por hora, tamb´em em dire¸c˜ao ao ponto P . (a) Antes do ponto P , a distˆancia entre os avi˜oes est´a diminuindo? a que taxa? (b) Os avi˜oes correm risco de choque? em caso afirmativo, quanto tempo o controlador tem para fazer com que um dos avi˜oes mude a sua trajet´oria?

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10. Um ponto move-se ao longo da elipse x2 + 4y 2 = 1. A abcissa x est´a variando a uma velocidade dx dy x sen 4t d2 y sen 2 4t + 16xy 2 cos 4t = sen 4t. Mostre que (a) =− (b) 2 = − . dt dt 4y dt 16y 3 dx > 0. Determine 11. Um ponto move-se sobre a semi-circunferˆencia x2 + y 2 = 5, y ≥ 0. Suponha dt o ponto da curva em que a velocidade de y seja o dobro da velocidade de x. 12. Uma escada de 8 m est´a encostada numa parede. Se a extremidade inferior da escada for afastada do p´e da parede a uma velocidade constante de 2 m/seg, com que velocidade a extremidade superior estar´a descendo no instante em que a inferior estiver a 3 m da parede? ´ agua

13. Enche-se de ´agua um reservat´orio, cuja forma ´e de um cone circular reto (veja a figura), a uma taxa de 0, 1 m3 /seg. O v´ertice est´a a 15 m do topo e o raio do topo ´e de 10 m. Com que velocidade o n´ıvel h da ´agua est´a subindo no instante em que h = 5 m?

10 m 15 m h

14. O raio de luz de um farol, que est´a situado a 3 km de uma praia reta, faz 8 rpm (rota¸c˜oes por minuto). Considere a altura do farol desprez´ıvel em rela¸c˜ao a sua distˆancia at´e a praia. Ache a velocidade da extremidade do raio de luz, ao longo da praia, quando ele faz um ˆangulo de 45◦ com a linha da praia.

RESPOSTAS √ −1 − 1 + 4x − 4x2 1. y = f (x) = 2x √ −1 + 1 + 4x − 4x2 ; y = g(x) = ( √ )2x ( ) √ ∪ dom´ınio = 1−2 2 , 0 0, 1+2 2 2. −1 3. 0 1 4. 4

√ √ 6 2 e y=− . x=− 4 4 Tangentes verticais em: x = 1 e y = 0;

x = −1 e y = 0.

7. 10, 6 cm/min 8. 278, 54 m/seg 9. (a) est´a diminuindo `a velocidade escalar de 750 mi/h

(b) 20 min 5. (a) y = 2x − 1 √ √ √ √ (b) y = 3 3 x − 3 3 e y = −3 3 x + 3 3 11. (−2, 1) 6. Tangentes horizontais em: √ √ 6 2 x= e y= ; 4 4 √ √ 6 2 x= e y=− ; 4 4 √ √ 6 2 x=− e y= ; 4 4

6 12. velocidade escalar de √ m/seg 55 cm/seg 13.

0, 9 m/seg ∼ = 0, 2865 cm/seg 100π

14. 96π ∼ = 301, 6 km/min ∼ = 5, 03 km/h

∼ = 80, 9