UNIDAD 5. Autovalores y Autovectores

SAVE OFFLINE

1

AUTOVALORES Y AUTOVECTORES Autovalores y autovectores. Propiedades. Definición: Sea T : V  W una transformación lineal entre espacios vectoriales. Un escalar  es un autovalor o valor característico de T si y sólo si existe un vector no nulo tal que la imagen de dicho vector es igual al producto del escalar por el vector. El vector es el autovector o vector característico correspondiente a  .

  C autovalor de T  v V / v  0  T (v)  .v , v autovector correspondiente a  .

Observación: Si V tiene dimensión finita, entonces T se puede representar por medio de una matriz. Por esta razón, definiremos autovalores de una matriz y estudiaremos sus propiedades. Definición: Sea A una matriz n x n, un escalar  es un autovalor o valor característico de A si y sólo si existe un vector no nulo tal que el producto de la matriz por dicho vector es igual al producto del escalar por el vector. El vector es el autovector o vector característico correspondiente a  .

  C autovalor de A  M nn ( R)  v  C n / v  0  A x v  .v , v autovector correspondiente a 

Ejemplo:

3 2 A  1 2

 autovalor de A  v  R 2 / v  0  A x v  .v  x  x  3 2  x1   v   1   R 2 / v  0       . 1    1 2  x2   x2   x2 

x  3x  2 x2   x1   v   1   R 2 / v  0   1    x2   x1  2 x2  x2  x  3x  2 x2  x1  v   1   R 2 / v  0   1   x2   x1  2 x2  x2

UNNOBA

Álgebra y Geometría Analítica

Lic. Silvia Graciela Capalbo

2

x  (3   ) x1  2 x2  0  v   1   R 2 / v  0     x2   x1  (2   ) x2  0



(1)

3 2  0  (3   ).(2   )  2  0  1 2

 2  5  4  0  1  4; 2  1 Autovalores: 1  4 ,

2  1

Para calcular los autovectores resolvemos el sistema de la expresión (1) para cada valor de  : Para   4

(3   ) x1  2 x2  0  x1  2 x2  0    x1  (2   ) x2  0  x1  2 x2  0

 x1  2 x2  0  x1  2 x2 con x2  0 2 x   v1   2  con x2  0  x2  Para   1

 (3   ) x1 2 x2  0 2 x  2 x2  0  1   x1  (2   ) x2  0  x1  x2  0

x1  x2  0  x1   x2 con x2  0



 x  v 2   2  con x2  0  x2 

 x 2  2 x  v1   2  ; v 2    con x2  0 .  x2   x2 

Autovectores:

Por ejemplo:

UNNOBA

 2 v1    1 

 1  1

; v2  

Álgebra y Geometría Analítica

Lic. Silvia Graciela Capalbo

3

Propiedad 1: Sea A  M

nn

(R) . Entonces:

 autovalor de A  A  .I  0

Demostración:

  C autovalor de A  v  C n / v  0  A  v  .v   v  C n / v  0  A x v  .v  0   v  C n / v  0   A  .I   v  0  A  .I  0 porque la solución del sistema homogéneo  A  .I  v no puede ser nula.

Definiciones: Sea A  M

nn

(R) y  autovalor de A .

-

A  .I  0 es la ecuación característica de A .

-

P( )  A  .I es el polinomio característico de A.

-

El espacio nulo de A  .I ( es decir el conjunto solución del sistema homogéneo

 A  .I   v  0 ), es un subespacio vectorial llamado espacio característico de

correspondiente a  :



A



E  N ( A  I )  v  C n /  A  .I   v  0

Observaciones: -

Para obtener los autovalores de una matriz A , se resuelve la ecuación característica

A  .I  0 Para cada valor  obtenido, se resuelve el sistema homogéneo  A  .I   v  0 y se obtienen los autovectores. -

Por el Teorema Fundamental del Álgebra, todo polinomio de grado n tiene n raíces reales o complejas (contando multiplicidades). Por lo tanto toda matriz n x n tiene exactamente n autovalores , contando multiplicidades.

-

El espacio característico de A correspondiente a  es: E  v  C n / A  v  v



porque v  E   A  .I   v  0  A  v  v  0  A  v  v

UNNOBA

Álgebra y Geometría Analítica



Lic. Silvia Graciela Capalbo

4 Ejemplos: 1.

-

3 2 A  1 2

 autovalor de A  A  .I  0 

3 2 0 1 2

 (3   ).(2   )  2  0  2  5  4  0  1  4; 2  1 Autovalores: 1  4 ,

-

2  1

(3   ).x1  2.x2  0  x1   x   0 autovector de A   A  .I   v  0   .x  (2   ).x  0 2  1  2 Para 1  4 :

 .x1  2.x2  0  x1   x   0 autovector de A   x  2 x  0  x1  2 x2 / x2  0 2  1  2

2 x  v1   2  con x2  0  x2  Para 1  1 :

2.x1  2.x2  0  x1   x   0 autovector de A   x  x  0  x1   x2 / x2  0 2  1  2

 x  v 2   2  con x2  0  x2  2 x 2   x 2  v  x  0 con ; 2 2   x  con x2  0  x2   2 

Autovectores: v1  

 2  1 , v2    1  1

Por ejemplo: v1   

Los espacios característicos de A correspondientes a los autovalores son:

  2  E1  gen    ;  1   UNNOBA

 1  E2  gen     1  

Álgebra y Geometría Analítica

Lic. Silvia Graciela Capalbo

5

2.

-

3 0 0  A  0 1 0  0 0  1 3 0  autovalor de A  A  .I  0  0 1   0 0

0 0

0

1 

 (3   ).(1   ).(1   )  0   3  32    3  0   1  1, 2  1, 3  3 Autovalores: 1  1, 2  1, 3  3

-

 (3   ).x1  0  x1   x   0 autovector de A   A  .I   v  0   (1   ).x  0  2  2   x3  (1   ).x3  0

Para 1  1 :

 2.x1  0  x1   x   0 autovector de A   0.x  0  x  0 ; x  0 ; x  R / x  0  2 1 3 2 2  2   x3   2.x3  0

0 v1   x 2  con x2  0  0  Para

2  1 :

 4.x1  0  x1   x   0 autovector de A  2.x  0  x  0 ; x  0 ; x  R / x  0  2 1 2 3 3  2   x3   0 x3  0

0 v 2   0  con x3  0  x3 

UNNOBA

Álgebra y Geometría Analítica

Lic. Silvia Graciela Capalbo

6 Para

2  3 :

 0.x1  0  x1   x   0 autovector de A   2.x  0  x  0 ; x  0 ; x  R / x  0  2 2 3 1 1  2   x3    4 x3  0

 x1  v3   0  con x1  0  0   x1  0 0       Autovectores: v1  x 2 con x2  0 ; v 2  0 con x3  0 ; v3  0 con x1  0        0   0   x3  0    Por ejemplo: v1  1 ; 0

0  v 2  0 ; 1

1 v3  0 0

Los espacios característicos de A correspondientes a los autovalores son:

 0     E 1  gen 1  ;  0     

3.

-

E 2

 0      gen 0  ; 1    

1    E 3  gen 0   0     

1 0 I   0 1 

 autovalor de A  A  .I  0 

1  0  0  2  2  1  0  0 1 

 1  2  1 Autovalor:   1 (con multiplicidad 2)

-

UNNOBA

(1   ).x1  0.x2  0  x1   x   0 autovector de A   A  .I   v  0  0.x  (1   ).x  0  2  1  2 Álgebra y Geometría Analítica

Lic. Silvia Graciela Capalbo

7

 (1   ).x1  0  (1   ).x 2  0 Para   1 :

 0.x1  0  x1   x   0 autovector de A  0.x  0  x1 , x2  R / x1  0  x2  0  2  2

 x1   x1  con x1  0 ; v 2    con   x2   x2 

Autovectores: v1  

x2  0

1 0  , v2    0  1

Por ejemplo: v1   

El espacio característico de A correspondientes al autovalor 1 es:

1 0  E1  gen  ;    0 1 

Observaciones: -

Si A es una matriz diagonal, entonces los autovalores son los elementos de la diagonal y los autovectores son los vectores canónicos.

-

1 es el único autovalor de la matriz identidad I y cualquier vector no nulo es autovector de I .

Propiedad 2: Sea A una matriz n x n y 1 ,........., n los autovalores de A , distintos entre sí. Entonces los autovectores correspondientes son lineal mente independientes.

Teorema de Cayley – Hamilton. Toda matriz cuadrada es raíz de su polinomio característico. Es decir:

A  M nn (R) y P( ) polinomio característico de A  P( A)  0 UNNOBA

Álgebra y Geometría Analítica

Lic. Silvia Graciela Capalbo

8 Ejemplo:

3 2 A  1 2 3 1

P( )  A  .I 

2  2  5  4 2 2

3 2 3 2 1 0 P( A)  A  5 A  4 I    5.  4.    1 2 1 2 0 1 2

11 10 15 10 4 0 0 0       5 6   5 10 0 4 0 0

Aplicación: El teorema de Cayley-Hamilton se puede aplicar para calcular la inversa de una matriz. Ejemplo:

3 2 A  1 2 P( )  A  .I 

3 1

2  2  5  4 2

A es raíz de P( )  P( A)  A2  5 A  4I  0 A2  5 A  4I  0  A2  5 A  4I  A  ( A  5I )  4I   A1  [ A  ( A  5I )]  A1  (4I )  ( A1  A)  ( A  5I )  4( A1  I )  1  I  ( A  5I )  4. A 1  A  5I  4. A 1  A 1   ( A  5I ) 4

 1   3 2 1 0  2 2      2 1  1    . A 1      5.     4  1 2 4  1  3  1 0 1    4



UNNOBA

 1  A 1   2 1   4

1   2 3   4 

1   2 3   4 

Álgebra y Geometría Analítica

Lic. Silvia Graciela Capalbo

9

Matrices semejantes. Diagonalización. Definición: Sean A y B  M

nn

(R)

A y B semejantes  C  M nn (R) invertible / B  C 1  A  C Observación: A y B son semejantes  C  M

nn

(R) invertible / C  B  A  C

Ejemplo:

 2 0 A  0 0

y

1 1 B  1 1

son semejantes porque existe

1 1  C  invertible y se verifica que: 1  1

 2 2 C  B  A C    0 0 

Propiedad: Dos matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico y, por lo tanto, los mismos autovalores. Demostración: Sean A  B  M nn (R) .

A y B semejantes  C  M nn (R) invertible / B  C 1  A  C Luego: B  .I  C 1  A  C  .I  C 1  A  C  .(C 1  C ) 

 C 1  A  C  C 1  (.C )  C 1  ( A  C  .C )  C 1  ( A  I )  C   C 1 . A  I . C  C 1  C . A  I  I . A  I  A  I

Ejemplo:

 2 0 A  0 0

1 1 B  1 1

Para A : P( )  A  .I 

2 0  2  2 0 

Para B : P( )  B  .I 

1  1  2  2 1 1 

UNNOBA

Álgebra y Geometría Analítica

Lic. Silvia Graciela Capalbo

10

Definición: Sea A  M

nn

(R) .

A es diagonalizable   D matriz diagonal / A  D matrices

semejantes .

Propiedad: Sea A una matriz n x n . Entonces A es diagonalizable si y sólo si tiene n autovectores linealmente independientes. En tal caso:

-

1 0 0  2  0 . La matriz diagonal semejante a A es la matriz D   . . . .   0 0

. . .

. . .

.

.

0 0  .  donde . . .  . n  . .

1 , 2 ,......., n son los autovalores de A . -

La matriz C , cuyas columnas son los autovectores linealmente independientes de A , verifica: D  C

1

 A C

Observaciones: -

Como existen infinitos autovectores de A , y por lo tanto tendremos infinitas matrices de diagonalización C , se prefiere elegir aquellos de fácil manejo aritmético ( los que tengan en sus componentes números enteros y el mayor número de ceros y unos posible).

-

Por la propiedad anterior una matriz es diagonalizable cuando sus autovectores son linealmente independientes. Por otro lado sabemos ( Propiedad 2 pág 7) que si los autovalores de una matriz son distintos entre sí, entonces los autovectores correspondientes son lineal mente independientes. Por lo tanto, si todos los autovalores de una matriz son distintos ( raíces simples del polinomio característico), la matriz es diagonalizable.

-

Pero una matriz puede ser diagonalizable sin que todos sus autovalores sean simples.

UNNOBA

Álgebra y Geometría Analítica

Lic. Silvia Graciela Capalbo

11 Definiciones: Sea A  M -

nn

(R) y  autovalor de A .

La multiplicidad algebraica de  : ma ( ) es su multiplicidad como raíz del polinomio característico.

ma ( ) = multiplicidad de  como raíz de P( )  A  I -

La multiplicidad geométrica de  : m g ( ) es la dimensión del espacio característico de A correspondiente a  .

mg ( )  dim E

Observaciones: -

mg ( )  dim E  dim N ( A  I )   ( A  .I )  n   ( A  .I )

-

La multiplicidad geométrica nunca es 0 ya que





mg ( )  dim E  dim v  C n /  A  .I   v  0 y por definición de autovalores y

autovectores , v  0 .

Propiedad Sea A  M

nn

matriz A es

(R) . Entonces A es diagonalizable si y sólo si para cada autovalor  de la ma ( )  mg ( )

Observaciones: -

Si para cada autovalor  de la matriz A es





ma ( )  mg ( )  ma ( )  dim E 

 ma ( )  dim v  C n / A  v  v

Por lo tanto, cada autovalor tiene asociados tantos autovectores linealmente independientes como sea su multiplicidad algebraica. -

UNNOBA

Para determinar si una matriz A es diagonalizable calculamos sus autovalores: o

Si sus autovalores son todos distintos, son linealmente independientes y por lo tanto la matriz A es diagonalizable.

o

Si existen autovalores múltiples, para cada uno calculamos su multiplicidad geométrica y debe coincidir con su multiplicidad algebraica para que la matriz sea diagonalizable. Álgebra y Geometría Analítica

Lic. Silvia Graciela Capalbo

12

A  M nn (R) tiene n autovectores linealmente independientes: la matriz diagonal D tiene en su diagonal los autovalores de A y se verifica que D  C 1  A  C , donde cada columna de C es un autovector asociado a un autovalor de A . En ambos casos,

la matriz

Ejemplos: 1.

-

3 2 A  1 2

Calculamos los autovalores de A :

1  4 , 2  1 (ver ejemplo 1 pág. 4)

Son distintos; por lo tanto, por propiedad 2, los autovectores son linealmente independientes y la matriz es diagonalizable.

 2  1 , v 2    (ver ejemplo 1 pág. 4) 1  1

-

Calculamos los autovectores de A : v1   

-

La matriz C se forma con los autovectores de A dispuestos en sus columnas:

2  1 C  1 1   1  D  C 1  A  C   3 1   3

1 3   3 2  2  1  4 0 es la matriz diagonal. 2  1 2 1 1  0 1  3

1 0 1   2. A  0 1 1 0 0 3 -

Calculamos los autovalores de A :

1  0 A  .I  0 1  0

0

1 1

 (1   ) 2 .(3   )  0 

3

 1  1, 2  1, 3  3

ma (1)  2

UNNOBA

,

ma (3)  1

Álgebra y Geometría Analítica

Lic. Silvia Graciela Capalbo

13 -

Como 1 es una raíz múltiple, calculamos su multiplicidad geométrica:

mg ( )  n   ( A  .I )  0 0 1     m g (1)  3    0 0 1   3  1  2  0 0 2     Como ma (1)  mg (1)  2 , la matriz A es diagonalizable. -

Calculamos los autovectores de A : Para 1, 2  1

 x1   0.x1  x3  0   v   x 2   0  0.x 2  x3  0  x3  0, x1  R, x2  R / x1  0  x 2  0  2.x  0  x3  3   x1  v   x 2  con x1  0  x2  0  0  1  v1  0 , 0

Por ejemplo:

0  v 2  1 0

Para 3  3

 x1    2.x1  x3  0 1   v   x 2   0   2.x 2  x3  0  x1  x3 , 2  0.x  0  x3  3 

x2 

1 x3 , x3  R / x3  0 2

1   2 x3  1  v   x3  con x3  0 2   x3    Por ejemplo:

UNNOBA

1  v3  1  2

Álgebra y Geometría Analítica

Lic. Silvia Graciela Capalbo

14

1    Autovalores de A : v1  0 , 0 -

0  v 2  1 , 0

1  v3  1  2

La matriz C se forma con los autovectores de A dispuestos en sus columnas:

1 0 1 C  0 1 1 0 0 2 1  1 0  2  1 0 1   1 0 1 1 0 0  1  1 D  C  A  C  0 1    0 1 1  0 1 1  0 1 0 2  0 0 1  0 0 3 0 0 2 0 0 3  2 

3 0 0    3. A  0 2 0 0 1 2 -

Calculamos los autovalores de A :

3 A  .I  0

0 2

0 0

1

2

0

 (3   ).(2   ) 2  0 

 1  3 , 2  2, 3  2 ma (3)  1 -

,

ma (2)  2

Como 2 es una raíz múltiple, calculamos su multiplicidad geométrica.

mg ( )  n   ( A  .I )  1 0 0    m g (2)  3    0 0 0   3  2  1  0 1 0     Como ma (2)  mg (2) , la matriz A no es diagonalizable.

UNNOBA

Álgebra y Geometría Analítica

Lic. Silvia Graciela Capalbo