UC III - REGLAS ALGEBRAICAS BÁSICAS Matemáticas de los Negocios I (3 hrs)

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MATEMÁTICAS DE LOS NEGOCIOS I 1

Unidad de Competencia III: Identificar y utilizar diferentes reglas algebraicas básicas. 3.1 EXPONENTES Exponente: Se utiliza para abreviar una expresión algebraica en donde un término se multiplica en forma constante por sí mismo dos o más veces (notación exponencial).

Se lee dos al cubo, o dos a la tercera potencia, en donde 2 es la base y 3 es el exponente que indica las veces que la base aparece como factor 2 x 2 x 2 = 23 Para elevar un monomio a una potencia, se eleva su Potencia de un Monomio.coeficiente a esa potencia y se multiplica el exponente de cada letra por el exponente que indica la potencia. Así:

(3b)1 = 3b

(3b)2 = 9b2

(3b)3 = 27b3

●

Toda potencia par de una cantidad negativa, es positiva

(-2b)2 = 4b2

●

Toda potencia impar de una cantidad negativa, es negativa

(-2b)3 = -8b3

3.1.1 Exponentes enteros LEY

Ejemplo

xm . xn = xm+n

23 . 25 = 2 8

x0 = 1 si x es diferente de 0

50 =1

x-n = 1 xn 1  xn x n

2-3 = 1 1  23 8 1  23  8 2 3 212  2 4  16 8 2 57 1 57

1 xm mn   x n x m xn xm 1 xm

MATEMÁTICAS DE LOS NEGOCIOS I 2 (xm)n = xmn

(23)5 = 215

(xy)n = xnyn

(2 . 4 )3 = 23 . 43 = 8 . 64

n

3

x xn    n y  y x    y

n

 y   x

23 8 2     3 27 3 3 n

3   4

2

2

16 4    9 3

Ejercicio 3.1 Simplificar y expresar todas las respuestas en términos de exponentes positivos.

1.

2  2 3

2



   Y  X   Y   X     

6. X 12

4

11.

 3 3 2  a b    4 

12.

 2X   2    3Y 

5 10

2.

X 6X 9 

7.

2 5

5 10

3.

W 4W 8 

8.

2

3  Y 

4.

X 6X 4X 3 

5.

X 2X 6  Y 7Y 10



2

4

5



9. 2 X 2Y 3 3  10.  W 2 S 3  3    2  Y 

Asignación 3.1 Simplificar y expresar todas las respuestas en términos de exponentes positivos.



1.

4a 

2.

 5a 3 

7. 

3.

3xy 3 

8.  ab 2  3

4.

 6a b



5.

 2 x

3

2 2

2

2

6. a 2 b 3 c







m

2

x       2y      5 

2

y3  

9. 

3x 2    4y

2

   

10.  2m 3 n  5

   4  3x 

MATEMÁTICAS DE LOS NEGOCIOS I 3 3.1.2 Exponentes fraccionarios Consideraciones n

x

1

xx

1

n



1

xm  xm

x 

1 m m

xx

3

n

1 x

n

Ejemplos

x

n

3 4

1 3

1



3

x4

x3  x3

n

x   x x   x 1 3 3

x

1 3 4

x1 m  x1 m1 1 n x

2

n

x1 x1

3 2

 x1

4 3

3 -1 2

 x 1

6

1



x

1 6

Ejercicio 3.2 Escribir las expresiones sólo en términos de exponentes positivos. Evitar los radicales en la forma final.

Por ejemplo:

1 2

y 1 x  1.

x

1 1  2 2

x x  y y

7.



m



2 3

3m n 2.

x

1  1 3

8.



w5 w

3.

x 4.

3

2 3

y

y2 5.

6.

9.

5

x8

10. k 0



k 1 3

16x  x  10



6 5

y  my 3 / 5



5t 7  t



11. 2

3



5 8

 3 8

y y  1

12. 1

2

3 4

x x

MATEMÁTICAS DE LOS NEGOCIOS I 4 Asignación 3.2 Escribir las expresiones sólo en términos de exponentes positivos. Evitar todos los radicales en la forma final.

1)

3 5  2

x2



7)

t 2t

2)

2 5  2

x5

3) 3 x 3

x 4)

5)

6)

1 2





1

x4 y 3  x2

8)

9)



3 4



2

t 5   ty 3

m 4n2  2m 1

10)

1

3z 4  yz

m3 n  n2

11) 7

1 8 23 x  x4  5

12)

4 3

3 5

ww 

y 4 3 y2 

MATEMÁTICAS DE LOS NEGOCIOS I 5 3.2 OPERACIONES CON POLINOMIOS 3.2.1 CONCEPTOS BÁSICOS. Literal Los símbolos usados en álgebra para representar las cantidades son los números y las letras. Los números se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas. Las letras ó literales se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sea conocidas ó desconocidas; (las conocidas se expresan con las primeras letras del abecedario: a, b, c, d,..... y las desconocidas se representan por las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z).

Expresión algebraica Es un grupo (conjunto) de números y literales combinadas entre sí, mediante una o más de las operaciones fundamentales. Ejemplo: 3x + 6y – 4, es una expresión algebraica.

Término Un número o una letra, o varios números y varias letras combinadas entre sí, mediante las operaciones de multiplicación, de división, o de ambas, Por ejemplo,

6y2 ; 3ab ; 2xy; etc. 7 Coeficiente Cualquier factor de un término, se llama coeficiente del resto de dicho término. Entonces, en el término 5xy, 5x es el coeficiente de y, 5y es el coeficiente de x, 5 es el coeficiente de xy. Coeficiente numérico Si un término es el producto de un número por una o varias letras, dicho número es el coeficiente numérico (o simplemente coeficiente) del término. Por ejemplo, en 3bn, 3 es el coeficiente de bn. Monomio Es una expresión algebraica de un solo término. Así pues, (o términos, simplemente).

7x 3y4 , 4x2y , son monomios

Binomio Es una expresión algebraica de dos términos. Por ejemplo 2x + 4xy, 3x 4 – 4xyz3 , son binomios. Trinomio Expresión algebraica que contiene exactamente tres términos, por ejemplo 3x 2 – 5x + 2 , X3 - 3 xy - 2x3z7 ; son trinomios.

z

MATEMÁTICAS DE LOS NEGOCIOS I 6 Multinomio Es una expresión algebraica de más de un término, por ejemplo 3x3 + 6y2 + 7xy + 6 , 7x - 5 x 2 3 x 3 , son multinomios.

z



7x + 6y ,

16

Polinomio Es un monomio o un multinomio, en el que cada término es entero irracional con respecto a las literales. Por ejemplo 3x 2y3 – 5x4y + 2; 2x4 - 5x3 + 3x2 ; 15x3y ; son polinomios. Sin embargo, 3x3 + 5 , no son polinomios.

x

;

4 y 3

Términos semejantes Son aquellos que sólo se diferencian en su coeficiente numérico. Es decir, dos o más términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, o sea, cuando tienen -2x y 8x; iguales letras afectadas de iguales exponentes. Por ejemplo 2b y b; -5a3b2 y 8a3b2 , xm+1 y 3xm+1 Símbolos de agrupación Son los paréntesis ( ), los corchetes [ ], o las llaves { }; se emplean para indicar que los términos encerrados en ellos se consideran como una sola cantidad. Estos símbolos se usan también para indicar que se van a efectuar ciertas agrupaciones algebraicas y el orden en el cual deben efectuarse. Algunas veces se emplea como símbolo de agrupamiento una barra encima de los términos que se desea asociar. Por ejemplo, 5 x  3 y , lo mismo que (5x+3y).

3.2.2 Operaciones fundamentales con polinomios Siendo las operaciones fundamentales la suma, la resta, la multiplicación y la división, las veremos en esta sección, condicionado a que solamente trabajaremos con polinomios (uno o más términos enteros e irracionales con respecto a las letras).

A) Suma y Resta de Polinomios Ejemplos: I)

5a + 2b - 7a - b =

II)

Sumar 5a2 - 3b +8 más 3a2 - 2b Agrupamos los términos semejantes: + Efectuamos la suma

III)

Hallar la Resta:

5a - 7a + 2b - b =

-2a + b.

Agrupación de términos

5a2 - 3b + 8 3a2 - 2b 8a2 - 5b + 8

3b3 + a3 - 3b2 menos 5a3 + 7b3

Agrupamos términos semejantes y acomodamos por grado Para restar, cambiamos signos Efectuamos la resta:

(por –1)

a 3 - 3b2 + 3b3 - 5a3

--

7b3

- 4a3 - 3b2 – 4b3

MATEMÁTICAS DE LOS NEGOCIOS I 7 Ejercicio 3.3 Hallar la suma de: 1)

2s  3l - 4m

2)

6r  5t  2 y 7r  6t  y

3s - 2l - 3m

3)

3x  5y  2z 6x - 5y  2z - 4x - 5y  4z

Hallar la resta de: menos

5) (a3 – a2b)

(a – b)

4)

(a + b)

6)

(y2 + 6y3 – 8y) menos

menos (7a2b + 9ab2)

(2y4 – 3y2 + 6y)

Asignación 3.3 Realizar las operaciones de suma y resta de polinomios 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

2 x 5x 3x 8a

2

 5 x  12   3x 2  7 x  3 

4

 8 x  24   6 x 5  5 x 4  x 3  2 x 2  10 x  20  

3

 x   2 x 2  5 x  2  

4

 a  3  a 3  a 2  a  

8 xy  2 yz   2 xy  z  6 yz   10b  5bc  6c   7bc  4b  c   2 x  3 y    4 x  7 y   2a  6b   7a  2b  

 x  2 y   2 x  2 y   a  1  a  2  2

4

2

4

B) Multiplicación y División de Polinomios Ejemplos Efectuar las siguientes multiplicaciones I) II)

2 x 3x  5  6 x 2  10 x

2 x  13x 2  3x   2 x 3x 2  3x   13x 2  3x   6 x 3  6 x 2  3x 2  3x  6 x 3  9 x 2  3x

Efectuar la división III)

4x3 y 2  2 x 31 y 2 1  2 x 2 y  2 xy

MATEMÁTICAS DE LOS NEGOCIOS I 8 Ejercicios 3.4 Efectuar las siguientes multiplicaciones y divisiones.

1.

 4a 2 b por - ab

2.

a  3a a 2 



4.



5. x 3 y 3  5 z ( x 3 y 3  xy)

3.

 m n  3m  5mn  2

2

3

6.

( x 4  y 3  3) por( 2x  1) 7.

8.

9. 6 x 6

15 x 4  25 x 8

8x 4 10.

4x3  1 4x

11. 3m 2



1 2

12. 9a 2 b 5

2

a b6  a 2b8

36a 6 b10

Asignación 3.4 Realizar las siguientes operaciones de multiplicación y división. 1.

3x

2

 x  2  por x 

2.

x

2

3.

a

2

4.

2 x 3x  4   6 x  x  2  

6.

x  18 x  14

 x  4 por - 2x 2  x  

7.

x  y 6 x  y 8

b  2b 2 c  5c 2 a  por 3a 2 b  

8.

3m 3  2 2m 2

9.





1

3m 2  1 3

m2 5.

5a 3 b 2 ab 2  b  4a  



10.

3x 2 2 z 4 y  x 2 2z2 y



MATEMÁTICAS DE LOS NEGOCIOS I 9 C)

Supresión de Signos de Agrupación

Simplificar la siguiente expresión

2x + 3 + {3x + [4x – (x – 2y) + 3y] – 4y} + 2y = Trabajamos “de adentro hacia fuera”, comenzamos primero suprimiendo los paréntesis, teniendo cuidado con los signos: 2x + 3 + {3x + [4x - x + 2y + 3y] – 4y} + 2y = Agrupamos términos semejantes 2x + 3 + {3x + [3x + 5y] – 4y} + 2y = Ahora suprimimos los corchetes: 2x + 3 + {3x + 3x + 5y – 4y} + 2y = términos semejantes: 2x + 3 + {6x + y} + 2y = Suprimimos las llaves y agrupamos los términos por orden de polinomio: 2x + 3 + 6x + y + 2y = 8x + 3y + 3 Simplificar al máximo las siguientes expresiones algebraicas Ejercicios 3.5.

1) x – [3a + 2(-x + 1)] = 2) – (a + b) – 3[2a + b(-a + 2)] = 3) – [3x – 2y + (x – 2y) – 2(x + y)] = 4) 4x2 – {–3x + 5 – [–x + x(2 – x)]} =

.

Simplificar al máximo las siguientes expresiones algebraicas Asignación 3.5

1) 3x – {2x + [3x–2y–(5x – 4y)-2x] –5y} = 2) 5j – {2a + 3g – [-2a + (3a - j)] – g} + t = 3) 2x – (3x – y) + (2x + y) = 4) 2a – {2a – [2a – (2a – b) – b] – b} – b =

MATEMÁTICAS DE LOS NEGOCIOS I 10 3.3 PRODUCTOS NOTABLES Se llama PRODUCTOS NOTABLES, a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación. PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES a)

Binomio al Cuadrado

-

Suma Resta

a2 + 2ab + b2 a2 – 2ab + b2

(a + b)2 (a – b)2

b) Binomios Conjugados

(a + b )(a – b)

a2 – b2

c) Binomio al Cubo -

Suma

(a + b)3

a3+3a2b + 3ab2 + b3

-

Resta

(a – b)3

a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

Cuadrado de la suma de dos cantidades:

(a+b)(a+b) = (a+b)2 =

a2 + 2ab + b2

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades: (a-b)(a-b)= (a-b)2 = a2 – 2ab + b2 El BINOMIO AL CUADRADO, es igual al cuadrado del primer término más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término. Si es una DIFERENCIA, será igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término.

Ejercicio 3.6 Desarrollar los siguientes binomios al cuadrado 1.

m  32



2.

6a  b 2



3.

7x  112

4. 5.



1  3x   a x  by   2 2

2

2 2

10.

6.

a  32



7.

 x  7 2



8.

2a  3b 2

9.

a

x

5

3



 b3   2

 3ay 2   2

MATEMÁTICAS DE LOS NEGOCIOS I 11 Asignación 3.6 Desarrollar los siguientes binomios al cuadrado 1.

5  x 2

2.

9  4m 2

3.

 x  y 2

4.

2 x  3 y 2

5.



3a  b 





9  a 2

7.

4ax  12

8.



9. 10.



4 2

6.

x a

2

7

 

 1  2

 b7

2m  3n 2



2





BINOMIOS CONJUGADOS.- La suma de dos cantidades, multiplicadas por su diferencia, es igual al cuadrado del primer término, menos el cuadrado del segundo. (a+b)(a-b) = a2 – b2 (Binomios Conjugados)

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades

Ejercicio 3.7 (Binomios Conjugados) Escribir por simple inspección, el resultado de: 1.

a  1a  1 

2.

x

3.

2a  22a  2 

4.

x

5.

x  y x  y  

3

3





 y x3  y 





 8 x3  8 

Asignación 3.7 (Binomios Conjugados) Escribir por simple inspección, el resultado de: 1.

a  b a  b  

2.

5 x  55 x  5 

3.

2a  112a  11 

4.

5.

2

2

 x2  x 2    5   5    4  4 

n

4





 10 n 4  10 

MATEMÁTICAS DE LOS NEGOCIOS I 12 BINOMIO AL CUBO. ●

La suma de dos términos elevada al cubo, es igual al cubo del primer término, más el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo término, más el cubo del segundo término. (a+b)(a+b)(a+b) = (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 La diferencia de dos términos elevada al cubo, es igual al cubo del primer término, ● menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo término.

(a-b)(a-b)(a-b) = (a-b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 – b3

Ejercicio 3.8 (Binomio al cubo) Escribir por simple inspección, el resultado de: 1.

a  2 3 

2.

2x  13 

3.

2m  33 

4.

7x  12 3 

5.

x  13 

Asignación 3.8 (Binomio al Cubo) Escribir por simple inspección, el resultado de: 1.

1  3 y 3 

2.

5  x 3 

3.

x  4 y 3 

4.

m  33 

5.

2  y 

2 3



MATEMÁTICAS DE LOS NEGOCIOS I 13 3.4 FACTORIZACIÓN. CONCEPTO. La factorización se considera como uno de los temas más importantes del álgebra, ya que es la base de la simplificación de las expresiones algebraicas. Por lo anterior, si queremos aprender álgebra, es absolutamente necesario que sepamos simplificar. Es por eso, la importancia de este tema. Factorizar consiste, como su nombre lo indica, en obtener factores y, como los elementos de una multiplicación son factores, entonces FACTORIZAR ES CONVERTIR UNA SUMA, EN UNA MULTIPLICACIÓN INDICADA POR SUS FACTORES. De acuerdo con lo anterior, el resultado de una factorización siempre será un producto. Los coeficientes numéricos siempre se deben descomponer en sus factores primos. Recuerden que los números primos son aquellos que sólo son divisibles entre sí mismos y la unidad, por ejemplo[ 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, etc.

CASOS DE FACTORIZACION Factor Común a2 + 2a = a(a + 2) Factor común por agrupación de término:

a(x+1) + b(x+1) = (x+1)(a+b) Trinomio Cuadrado Perfecto b 2 + 2bx + x2 = (b+x)2 Diferencia de Cuadrados 9x2 – y4 = (3x+y2)(3x-y2) Trinomio Cuadrado No Perfecto

forma x2 + bx + c forma ax2 + bx + c

Ejemplos de factorización por factor común Descomponer en factores a2 + 2a

● ...... ● ......

a2 + 2a = a.a + 2.a = a(a+2) Factorizar 10a2 – 5a + 15a3 10a2 – 5a + 15a3 = 5.2.a.a - 5.a + 5.3.a.a.a = 5a(2a - 1 + 3a2)

Por simple inspección: El coeficiente numérico que se repite es el 5 Literales: para que una letra sea factor común, ésta debe de estar presente en absolutamente todos los sumandos y salen con el menor exponente.

MATEMÁTICAS DE LOS NEGOCIOS I 14 Ejercicio 3.9 Factorizar o descomponer en dos factores (factor común). 1.

a 2  ab 

2.

ab  bc 

3.

2a 2 x  6ax 2 

4.

2a 2 x  2ax 2  3ax 

5.

15c 3 d 2  60d 2 c 3 

Asignación 3.9 Factorizar o descomponer en factores (Factor común). 1.

a 3  a 2b 

2.

4 x 2  8x  2 

3.

9ax 3 x 2  18ax 3 

4.

34ax 2  51ax 2 y  68ay 2 

5.

96  48mn 2  144n 3 

Ejemplos de Factorización por agrupación de términos

4(x + 2) + y(x + 2) = (x + 2)(4 + y) En este caso, se repite en ambos términos el binomio (x+2), por lo que pasa a ser el factor común; y el segundo factor está compuesto por la suma algebraica (+ ó – según los signos) de los otros dos coeficientes. a3(b-x+y) – b2(b-x+y) = (b-x+y)(a3 – b2) el

Aquí, el trinomio (b-x+y) está en todos los términos, por lo que es el factor común, segundo factor está compuesto por la suma algebraica de los otros dos coeficientes

Ejercicio 3.10 Factorizar por agrupación 1.

a(x+1) + b(x+1) =

2.

m( a  b)  ( a  b) n 

3.

1  x  2a (1  x) 

4.

a 3 (a  b  1)  b 2 (a  b  1) 

5)

5 x(a 2  1)  ( x  1)(a 2  1) 

MATEMÁTICAS DE LOS NEGOCIOS I 15 Asignación 3.10 Factorizar por agrupación 1.

x(a  1)  3(a  1) 

2.

2 x(n  1)  3 y (n  1) 

3.

a ( n  2)  n  2 

4.

4m(a 2  x  1)  3n( x  1  a 2 ) 

5.

8 x 2  x  1  4 x  x  1  2 x  1 

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Un trinomio ordenado, con relación a los exponentes de una letra, es cuadrado perfecto cuando:

El primero y el tercer término tienen raíz cuadrada exacta, El segundo término, es el doble producto de las raíces cuadradas de esos términos -

Ejemplo: Descomponer en factores 4x 2 – 4xy + y2 = Primer término 4x2 tiene raíz cuadrada exacta 2

4x 2  2x

Segundo término y también tiene raíz cuadrada exacta

y2  y

Al multiplicar las raíces cuadradas entre sí y por 2, nos queda: 2.2x.y = 4xy 4xy corresponde al segundo término de la ecuación dada. En virtud de que cumple con los requisitos, estamos trabajando con un trinomio cuadrado perfecto. Una vez que confirmamos que es un trinomio cuadrado perfecto, factorizamos. La factorización está formada por 2 binomios idénticos. 4x2 – 4xy + y2 = (2x-y)(2x-y) = (2x – y)2

los binomios están formados por las raíces correspondientes del primero y segundo términos separados por el signo del segundo término.

Ejercicio 3.11 Descomponer en factores (Trinomio cuadrado perfecto) 1) a 2  2ab  b 2  2) 16  40 x 2  25 x 4  3) 4 x 2  12 xy  9 y 2  4) 1  2a 3  a 6  5) 49m 6  70am 3 n 2  25a 2 n 4 

MATEMÁTICAS DE LOS NEGOCIOS I 16 Asignación 3.11 Descomponer en factores (Trinomio Cuadrado Perfecto) 1)

8

100 x 10  60a 4 x 5 y 6  9a y 12 

2) 1  14a  49a 2  3) 9  6 x  x 2  4)

1

5) n 2

9

2b b 2   3 9  2mn  9m 2 

DIFERENCIA DE CUADRADOS En Productos Notables vimos que, el resultado de multiplicar la suma de dos cantidades por su diferencia (binomios conjugados), nos da la diferencia de dos cuadrados, es decir (a+b)(a-b) = a2 – b2 , recíprocamente, podemos decir que la diferencia de cuadrados proviene de multiplicar Binomios Conjugados. De acuerdo con lo anterior, para factorizar una Diferencia de Cuadrados: Se extrae la raíz cuadrada del primer término y se le suma la raíz cuadrada del segundo El resultado se multiplica por la diferencia de las mismas raíces. Por ejemplo:

1 – a2 = (1+a)(1-a) 16x2 – 25y4 = (4x+5y2)(4x-5y2)

a2 b4   4 9 a 2 n  9b 4 m

 a b 2  a b 4        2 3  2 3   (a n  3b 2 m )(a n  3b 2 m )

Ejercicio 3.12 Factorizar (Diferencia de Cuadrados)

Asignación 3.12 Factorizar (Diferencia de cuadrados)

1.

x2 – y2 =

2,

a2 – 4 =

2.

1 – 4m2 =

3,

25 – 36x4

3.

16 – n2 =

4,

¼ - 9a2 =

4.

1 4x 2   16 49

5.

49x2a – 64y4b =

1,

5.

a2 – 1 =

100m 2 n 4 

1 8 x  16

MATEMÁTICAS DE LOS NEGOCIOS I 17 TRINOMIO CUADRADO NO PERFECTO DE LA FORMA x 2 + bx + c Son trinomios como: x2 + 3x – 4; siguientes:

a2 – 4a – 5, etc. Que cumplen con las condiciones

1. El coeficiente del primer término es 1 2. El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado 3. El segundo término tiene la misma letra que el primero, con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualesquiera, positiva ó negativa. 4. El tercer término es independiente de la letra que aparece en el 1° y 2° términos, y es una cantidad cualesquiera, positiva ó negativa.

Para factorizar un trinomio que cumpla con las condiciones anteriores, tomemos al trinomio tipo x2 + bx + c y sigamos los siguientes pasos: 1) Tomando como ejemplo x2 + 3x – 4. Lo descomponemos en dos factores binomios, cuyo primer término es la raíz cuadrada del primer término del trinomio, es decir, x (x 2) del

)(x

En el primer binomio, después de x,

) se escribe el signo del segundo término

trinomio , y en el segundo binomio, después de x, se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del 2° término del trinomio por el signo del tercer término del trinomio.

(x +

)(x - )

3) Si los dos binomios tienen en el medio signos iguales, se buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al valor absoluto del tercer término del trinomio. Estos números son los segundos términos de los binomios. 4) Si los dos binomios tienen en el medio signos distintos , se buscan dos números cuya diferencia sea igual al valor absoluto del coeficiente del 2° término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos números es el segundo término del primer binomio, y el menor, el segundo término del segundo binomio. En este ejemplo, los binomios tienen signos diferentes y sabiendo que: 4*1=1 y 4–1=3 tenemos que los números buscados son 4 y 1 el 4 es mayor, por lo que va en el primer binomio y, en el segundo va 1. Factorización de

x2 + 3x – 4 = (x + 4)(X-1)

MATEMÁTICAS DE LOS NEGOCIOS I 18 TRINOMIO CUADRADO NO PERFECTO Descomponer en factores (El trinomio de la forma Ejercicio 3.13 Asignación 3.13

)

1.

x 2  7 x  10 

2.

y 2  9 y  20 

2.

y2  4y  3

3.

x 2  10 x  21 

3.

a 2  7a  18 

4.

20  a 2  21a 

4.

y 2  y  30 

5.

x 2  5 x  36 

5,

a 2  2a  35 

x 2  3x  10 

1.

TRINOMIO CUADRADO NO PEFECTO, DE LA FORMA

ax 2 + bx + c

Este trinomio se diferencia del anterior, debido a que el coeficiente numérico del primer término, es mayor que 1, aquí formamos parejas de términos como los explicaremos en el siguiente ejemplo: Factorizar 2x2 + 3x -2. Descomponemos en dos binomios. El primer término de cada binomio, está formado por dos números cuyo producto sea 2x2 ( 2x )(x ) Los números de los segundos términos de los binomios, deberán ser aquellos que multiplicados entre si, nos den el tercer término del trinomio (2) y que multiplicados en forma cruzada por el primer término, su suma algebraica nos den el término intermedio del trinomio (3x) 2x .............. - 1 =

x ...............

2 =

- x

+ 4x + 3x es correcto el 2° término

Deducimos entonces que la factorización de 2x 2 + 3x -2 es (2x-1)(x+2) Factorizar los siguientes trinomios de la forma ax 2  bx  c  0 Ejercicio 3.14 Asignación 3.14 1.

2 x 2  3x  2 

1.

3x 2  5 x  2 

2.

5 x 2  13x  6 

2.

6 x 2  5x  6 

3.

4a 2  15a  9 

3.

3  11a  10a 2 

4.

20 y 2  y  1 

4.

8a 2  14a  15 

5.

2a 2  5a  2 

5.

9a 2  10a  1 

MATEMÁTICAS DE LOS NEGOCIOS I 19 3.5 OPERACIONES CON EXPRESIONES RACIONALES. Fracciones Algebraicas Concepto: Fracción algebraica es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas. Así, a/b es una fracción algebraica porque es el cociente indicado de la expresión a (dividendo) entre la expresión b (divisor). El dividendo se llama numerador de la fracción algebraica y el divisor b, denominador. El numerador y el denominador son términos de la fracción. Expresión Algebraica ENTERA es la que no tiene denominador literal:

a,

x+y,

m-n+y,

1 2 a b 2 3

Una expresión entera puede considerarse como una fracción de denominador igual a 1

a

a 1

xy

xy 1

Expresión algebraica MIXTA es la que consta de parte entera y parte fraccionaria:

a

b c

x-

3 x -a

Para reducir al máximo una expresión algebraica, utilizamos la factorización, en caso de que no podamos reducir directamente el cociente. Por ejemplo: Reducir al máximo

Reducir al máximo

5 x = 1 como es monomio entre monomio, reducimos 10 x 2 y 2 xy 4mx  8nx 3my  6ny

aquí ya no podemos hacer la reducción directa,

factorizamos

factorización del numerador 4 x(m  2n) = 4 x  3y factorización del denominador 3 y (m  2n) el binomio (m+2n) está como factor tanto en el numerador como en el denominador, por lo que podemos reducir la fracción. Recuerda que solo eliminamos factores completos, nunca un término al que le anteceda un signo + ó -, aislado.

MATEMÁTICAS DE LOS NEGOCIOS I 20 Ejercicio 3.15 Reduce al máximo las siguientes fracciones 1.

2a  8a 2 b

Suma y resta 11. 1 2

t



3t



2.

2ax  4bx  3ay  6by

12.

4 1   x2 x

3.

x 3  3xy 2  x 4  6x 2 y 2  9 y 4

13.

4 s s4

4.

a 4b2  a 2b4  a 4  b4

5.

x2  4  x 2  2x

Multiplicación 6.

y2 1   y3 y2

7.

t2  4 t2   t 2  2t t  2

División 8.

2x  2 x2 1   x 2  2x  8 x 2  5x  4

9.

4x3 9x  x 18

10.

cd c  cd 2c

MATEMÁTICAS DE LOS NEGOCIOS I 21 Asignación 3.15

Reduce al máximo, las siguientes fracciones Suma y Resta 1.

75a 7 m 5  100a 3 m 12 n 3

10.

2 x   x2 x2

2.

3x 2  4 x  15  x 2  5x  6

11.

x2 5x  6   x3 x3

12.

cd cd   c 2c

x2  y2  x 2  2 xy  y 2

3.

Multiplicación 4.

z2  4 z2   z 2  2z z  2

5.

9ax 2 18 xy 2   10by 15ab

6.

x 2  y 2 x 2  2 xy  y 2   x y x y

División 7.

4x3 9x  x 18

8.

 x  2 2 3x  2

9.



10 x 3 x2 1  5x x 1

9 x 2  18  4  9x 2