Resolución de ejercicios del 14 al 19-Más acerca de ángulos

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Más acerca de ángulos A continuación figuran más problemas para seguir practicando. 14. Considerá los ángulos determinados por dos rectas paralelas cortadas por una transversal y uní con una flecha los nombres de la primera columna con la propiedad de la segunda columna según corresponda. Conjugados internos Alternos externos

CONGRUENTES

Conjugados externos Alternos internos

SUPLEMENTARIOS

Correspondientes

15. En cada caso, se cumple que a // b. Encontrá las medidas de los ángulos α y β. a)

b) β

b

α β

b a

127° α t

 a

64°

a) Una manera de resolver el ejercicio es la que figura a continuación. Llamamos, por ejemplo, δ al ángulo cuya medida es 127° en la figura. Entonces: αˆ = δˆ porque los ángulos α y δ son opuestos por el vértice.

αˆ = 127° βˆ + αˆ = 180° porque los ángulos β y α son conjugados externos entre a // b y t transversal. βˆ + 127° = 180°

βˆ = 180° – 127° βˆ = 53°

b) Una manera de resolver el ejercicio es la que figura a continuación. Llamamos, por ejemplo, λ al ángulo cuya medida es 64° en la figura. Entonces: αˆ = λˆ porque los ángulos α y λ son alternos externos entre a // b y t transversal.

αˆ = 64° γˆ + αˆ = 180° porque los ángulos γ y α son adyacentes. γˆ + 64° = 180° γˆ = 180° – 64° γˆ = 116° βˆ = γˆ porque los ángulos β y γ son alternos internos entre a // b y t transversal.

βˆ = 116°

16. Hallá el valor de los ángulos nombrados en las figuras. Justificá tu razonamiento. a)

a // b

t

b)

a // b

β

a π b

α 

λ b

t a

πˆ = 5x + 10° y δˆ = 2x + 30°

αˆ = 6x + 15° y βˆ = 10x – 33°

πˆ + δˆ = 180° porque los ángulos π y δ son conjugados internos entre a // b y t transversal. 5x + 10° + 2x + 30° = 180° 7x + 40° = 180° 7x = 180° – 40° 7x = 140° x = 140° : 7 x = 20° Luego: πˆ = 5 . 20° + 10° πˆ = 110° a)

δˆ = 2 . 20° + 30° δˆ = 70°

b)

αˆ = βˆ porque los ángulos α y β son correspondientes entre a // b y t transversal. 6x + 15° = 10x – 33 15° + 33° = 10x – 6x 48° = 4x 48° : 4 = x 12° = x Luego: αˆ = 6 . 12° + 15° αˆ = 87° βˆ = 10 . 12° – 33° βˆ = 87°

λˆ = αˆ porque los ángulos λ y α son alternos internos entre a // b y t transversal. λˆ = 87°

17. Para cada ítem, las rectas a y b son paralelas. Hallá αˆ , βˆ y γˆ . Justificá tu razonamiento. b) αˆ = 3x a) α  t βˆ = 4x – 58° a

αˆ = 2x – 1° γˆ = 4x + 13°

β t

b

β

b a

α

αˆ + γˆ = 180° porque los ángulos α y γ son adyacentes. a) 2x – 1° + 4x + 13° = 180° 2x + 4x = 180° + 1° – 13° 6x = 168° x = 168° : 6 x = 28° Luego: αˆ = 2 . 28° – 1° αˆ = 55°

γˆ = 4 . 28° + 13° γˆ = 125° γˆ + βˆ = 180° porque los ángulos γ y β son conjugados externos entre a //b y t transversal. 125° + βˆ = 180° βˆ = 180° – 125° βˆ = 55°

b) Consideramos un ángulo auxiliar, por ejemplo, el ángulo opuesto por el vértice al ángulo β y lo llamamos ángulo μ. t

μ β

b a

α

Entonces: μˆ = βˆ porque los ángulos μ y β son opuestos por el vértice. Por lo tanto: μˆ = 4x – 58° Luego: μˆ + αˆ = 180º porque los ángulos μ y α son conjugados internos entre a // b y t transversal. 4x – 58° + 3x = 180º 4x + 3x = 180º + 58° 7x = 238° x = 238° : 7 x = 34º

βˆ = 4 . 34° – 58° βˆ = 78°

αˆ = 3 . 34° αˆ = 102°

18. Considerá la figura y hallá la medida de los ángulos interiores del triángulo ABC sabiendo que e // f, πˆ = 3 αˆ – 8° y ˆD. BC es la bisectriz del AB A αα e

C

D ππ β B f

Una manera de resolver el ejercicio es la que figura a continuación. βˆ = αˆ porque los ángulos β y α son correspondientes entre e // f y AB transversal. Además: ˆ A = 180° porque los ángulos β y DEA son adyacentes. βˆ + DB ˆ A = 180°, entonces: Si βˆ = αˆ y βˆ + DB ˆ A = 180° αˆ + DB

Luego: ˆD. ˆ A = 2 πˆ porque BC es la bisectriz del AB DB ˆ A = 180° y DB ˆ A = 2 πˆ , entonces: Si αˆ + DB

αˆ + 2 πˆ = 180° Además: πˆ = 3 αˆ – 8° Si αˆ + 2 πˆ = 180° y πˆ = 3 αˆ – 8°, entonces: αˆ + 2 (3 αˆ – 8°) = 180° αˆ + 6 αˆ – 16° = 180° 7 αˆ – 16° = 180° 7 αˆ = 180° + 16° 7 αˆ = 196° αˆ = 196° : 7 αˆ = 28° Luego: ˆ C = αˆ porque los ángulos α y BAC son opuestos por el vértice. BA

ˆ C = 28° BA

πˆ = 3 . 28° – 8° πˆ = 76°

ˆD. ˆ A = πˆ porque BC es la bisectriz del AB CB ˆ A = 76° CB ˆ B + CB ˆ C = 180° porque la suma de las medidas de los ángulos interiores ˆ A + BA AC de un triángulo es igual a 180°. ˆ ACB + 76° + 28° = 180°

ˆ B + 104° = 180° AC ˆ B = 180° – 104° AC ˆ B = 76° AC

C

19. En la figura, las rectas a y b son paralelas, DM ˆ S , αˆ = 3x – 9° y βˆ = 5x + 22°. es la bisectriz de TD β A T

a

B δ

b

D α S M

a) Calculá las medidas de αˆ y βˆ .

ˆ S = 180° porque los ángulos β y TDS son conjugados externos entre a // b y βˆ + TD

CS transversal. Además: ˆ S. ˆ S = 2 αˆ porque DM es la bisectriz de TD TD ˆ S = 180° y TD ˆ S = 2 αˆ , entonces: Como βˆ + TD βˆ + 2 αˆ = 180°

Considerando que αˆ = 3x – 9°, βˆ = 5x + 22° y βˆ + 2 αˆ = 180°, se obtiene que: βˆ + 2 αˆ = 180° 5x + 22° + 2 (3x – 9°) = 180° 5x + 22° + 6x – 18° = 180° 11x + 4° = 180° 11x = 180° – 4° 11x = 176° x = 176° : 11 x = 16°

Luego: αˆ = 3 . 16° – 9° αˆ = 39° βˆ = 5 . 16° + 22° βˆ = 102°

ˆ B = 32° y calculá δˆ . b) Considerá que AC

ˆ C = 180° porque los ángulos β y CAB son adyacentes. βˆ + BA ˆ C = 180° 102° + BA

ˆ C = 180° – 102° BA ˆ C = 78° BA

ˆ C + AC ˆ B + CB ˆ A = 180° BA ˆ A = 180° 78° + 32° + CB

ˆ A = 180° 110° + CB ˆ A = 180° – 110° CB

ˆ A = 70° CB

Consideramos un ángulo auxiliar, por ejemplo, el ángulo opuesto por el vértice al ángulo CBA y lo llamamos ángulo ε. C B ε

β A T

a δ

b

D α S M

Luego: ˆA εˆ = CB εˆ = 70° δˆ + εˆ = 180º porque los ángulos δ y ε son conjugados internos entre a // b y CB transversal. δˆ + 70° = 180º δˆ = 180º – 70º δˆ = 110º