Quitar, retroceder, comparar,completar (para docentes)

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PROGRAMA

QUITAR,

DE

ACELERACIÓN

RETROCEDER, COMPARAR, COMPLETAR...

Propuestas para la enseñanza de la resta

MATEMÁTICA

Material para el Docente 2015

GOBIERNO

DE LA

CIUDAD AUTÓNOMA

DE

BUENOS AIRES. MINISTERIO

DE

EDUCACIÓN. SUBSECRETARÍA

DE

GESTIÓN EDUCATIVA

Y

COORDINACIÓN PEDAGÓGICA

CIUDAD AUTÓNOMA

DE

BUENOS AIRES

JEFE DE GOBIERNO Mauricio Macri MINISTERIO DE EDUCACIÓN Esteban Bullrich SUBSECRETARÍA

DE

SUBSECRETARÍA

GESTIÓN EDUCATIVA Y COORDINACIÓN PEDAGÓGICA Maximiliano Gulmanelli DE POLÍTICAS EDUCATIVAS Y CARRERA DOCENTE Alejandro Oscar Finocchiaro

SUBSECRETARÍA DE GESTIÓN ECONÓMICA FINANCIERA Y ADMINISTRACIÓN DE RECURSOS Carlos Javier Regazzoni SUBSECRETARÍA DE EQUIDAD EDUCATIVA María Soledad Acuña DIRECCIÓN GENERAL ESTRATEGIAS PARA LA EDUCABILIDAD Andrea Fernanda Bruzos Bouchet GERENCIA OPERATIVA DE INCLUSIÓN EDUCATIVA Paula Daniela Colombo

Este material fue elaborado en el marco del Programa de Aceleración Coordinadoras Generales del Programa: María Elena Cuter y Alejandra Rossano Autora: Mercedes Etchemendy Diseño gráfico y diagramación: María Victoria Bardini Ilustraciones: Diego Moscato

Etchemendy, Mercedes Quitar, retroceder, comparar, completar... : propuestas para la enseñanza de la resta / Mercedes Etchemendy ; coordinado por María Alejandra Rossano y María Elena Cuter. - 1a ed. - Ciudad Autónoma de Buenos Aires : Ministerio de Educación del Gobierno de la Ciudad Autónoma de Buenos Aires, 2015. 72 p. ; 22x28 cm. ISBN 978-987-549-601-9 1. Formación Docente. I. Rossano, María Alejandra, coord. II. Cuter, María Elena, coord. III. Título CDD 371.1

© Gobierno de la Ciudad Autónoma de Buenos Aires Ministerio de Educación Hecho el depósito que marca la Ley nº 11.723 Bolivar 191 - 6to. Piso C1035ABA - Ciudad de Buenos Aires Teléfono: 4342 2384 (int.607)

Permitida la transcripción parcial de los textos incluidos en esta obra, hasta 1.000 palabras, según Ley 11.723, art. 10º, colocando el apartado consultado entre comillas y citando la fuente;

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si éste excediera la extensión mencionada deberá solicitarse autorización. Distribución gratuita. Prohibida su venta.

Índice

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Introducción ¡Para resolver usando todo lo que sabés! (Primeros problemas referidos a “sacar”) Sobre cálculos y números… (Repaso de repertorios de suma y primeros repertorios de resta sencillos) ¡Problemas de partes! (Problemas de relación parte-todo o complemento) Más sobre los cálculos… (Cálculos de suma con incógnita y estrategias de “completamiento”. Primeras relaciones suma-resta. Sumar y restar de a 10, de a 100 y de números redondos) ¿Cuánto más…? (Problemas de comparación. Establecer “distancias o diferencias” entre cantidades) ¡Volvemos con los cálculos de resta para saber más! (Uso de la diferencia entre números como estrategia para restar. Desarmar números para restar y restar por partes) Problemas para comprar y vender (Problemas que ponen en juego el cálculo de “vueltos” con dinero) Pensando sobre los cálculos de resta... (Análisis de algunas particularidades del cálculo de resta) ¿Cuánto había antes? (Problemas que implican averiguar el estado inicial luego de una transformación) Más cálculos para practicar (Repertorio de restas de números mayores) Cuando los años son un problema (Problemas que ponen en juego cálculos de diferencia entre años) La cuenta de restar (Inicio del trabajo con el algoritmo de resta) Referencias bibliográficas

7 11 17 26 31

39 44

48 53 56 59 60 63 72

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Introducción

Este documento se elabora en el marco del Programa de Aceleración.1 Este programa atiende a niños que transitan la escuela primaria con algunos años de sobreedad con relación a la edad teórica esperada para el ingreso y tránsito por segundo ciclo. El Programa se propone brindar a estos alumnos una nueva oportunidad de escolarización que permita reorganizar su trayectoria escolar. En ese sentido, un objetivo central de la tarea es propiciar que establezcan un mejor y más rico vínculo con el conocimiento. El trabajo que se viene realizando con esos alumnos nos ha permitido detectar que existen algunos contenidos cuyo abordaje les resulta especialmente difícil, y en los que es necesario, por lo tanto, detenerse particularmente para que logren un mayor dominio de los temas tratados. Este material inaugura una serie de documentos que tienen el propósito de ayudar a los docentes acercando propuestas de enseñanza que permitan un trabajo más detenido y profundo sobre esos contenidos. Este documento presenta algunas actividades para trabajar problemas y cálculos de resta. No pretende ser una propuesta cerrada sino una presentación de alternativas que, si bien siguen cierta lógica de avance en complejidad, puede ser también -y esa es la intención central- un ejemplo para incluir otras actividades que la enriquezcan, la completen y la diversifiquen. Son solo ejemplos que intentan ayudar en la tarea del aula. Cuando encaramos la tarea de enseñanza de las operaciones, uno de los aspectos centrales a considerar son los diversos tipos de problemas en donde esa operación es la herramienta de resolución. Otro aspecto es el referido a cómo funciona esa herramienta, es decir, cómo se hace el cálculo.También hay otras cuestiones que es necesario considerar como las propiedades de la operación o las formas específicas de representación, por ejemplo. Aquí se presentan propuestas tanto de distintos tipos de problemas en los que está involucrada la resta, como otras relativas al trabajo sobre los cálculos y sobre los procedimientos de resolución. Existen diversos problemas (y muy distintos entre sí) para cuya resolución la resta es la operación más adecuada. El grado de dificultad que cada uno de esos tipos de problemas plantea a los niños es variable. Hay algunos que suelen ser más fácilmente reconocidos como “problemas de resta”; otros, no tanto. Al inicio de esta propuesta se presentan problemas que, en general, resultan para los niños más transparentes como problemas en los que “hay que restar”. Allí la resta aparece en su sentido de “sacar” o de “retroceder”. Hay una acción que produce una disminución de una cantidad, es una acción que transforma una cantidad disminuyéndola. Esos tipos de situaciones en las que “se quita” una cantidad a otra inicial son, en general, de comprensión más fácil pues en ellos existe una relación directa entre la realidad que se describe y la operación a realizar (y su escritura): a una cantidad A, se le quita una cantidad B y se debe buscar cuánto queda como cantidad final. La dificultad suele estar en cómo calcular “cuánto queda” o “a qué número se llega” y no tanto en reconocer cuál es el cálculo que sirve para resolver ese problema. Por eso, la resta como una transformación negativa en la que hay que

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A partir del año 2003, el Ministerio de Educación del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires lleva adelante el “Programa de reorganización de las trayectorias escolares para alumnos con sobreedad del nivel primario”, que promueve la creación de grados y grupos de aceleración en aquellas escuelas primarias que concentran un número importante de alumnos con sobreedad –dos años o más al iniciar el segundo ciclo. Mediante una propuesta pedagógica específica, organizados en grados o en grupos con atención en contraturno, avanzan cursando dos ciclos lectivos en uno para poder finalizar la escuela primaria en una edad cercana a la edad teórica de egreso.

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buscar cuánto queda al final es el primer sentido que en general se trabaja en la escuela. Así entonces, la suma está vinculada a una cantidad que aumenta y la resta a una cantidad que disminuye. Por supuesto, el tipo denúmeros involucrados, su tamaño, la distancia entre ellos, pueden generar menor o mayor nivel de dificultad a la hora de encontrar la respuesta, pero esa dificultad, como dijimos, está en general asociada a cómo hacer el cálculo y no a reconocer la operación como tal. Hay otras situaciones en las que la resta aparece con un sentido distinto y, en general, más difícil de atrapar para los niños. Enumeramos a continuación, con una breve descripción, de qué tipo de situaciones se trata: Situaciones en las que se establece una relación entre las partes y el todo que conforman esas partes. En estas situaciones se conoce una de las partes y el total, y hay que averiguar la otra parte involucrada (por ejemplo: En la caja hay 12 autitos rojos y verdes; si 5 son rojos, ¿cuántos verdes hay?). Comprender esos problemas resulta más complejo pues implica básicamente entender a la resta como inversa de la suma: algo se juntó, ahora las dos partes están juntas y hay que desandar ese camino para separarlas. No hay relación directa entre la realidad que se describe –una reunión de partes, en las que se conoce solo una de ellas y el total de ambas juntas- y la idea de sacar o quitar. Implica reconocer que si se conoce una sola parte y el total, se puede reconstruir cuánto es la otra parte pues es la resta la que permite volver atrás y encontrar cuál es el valor de esa parte. Si se piensa en la realidad que se describe es la suma incompleta o la suma con una incógnita (a + ¿? = b) el modelo y la escritura más cercana a lo que se relata en el problema.

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■ Situaciones en las que hay que cuantificar comparaciones (o la diferencia entre cantidades). Dadas dos cantidades, se pregunta por cuál es la diferencia o la distancia entre ellas (por ejemplo: Marisa tiene 34 puntos y Susana 89, ¿por cuánto le ganó Susana a Marisa?). Son situaciones de difícil comprensión pues no está en juego ninguna trasformación, no hay acciones, no se agrega ni se quita nada, solo se están comparando entre sí. Una de las dificultades centrales de estas situaciones es que no hay un vínculo directo entre la situación que se describe y la operación aritmética a realizar, en este caso la resta, que en general es asociada con la acción de “quitar”.

Situaciones en las que ocurre una transformación positiva (se agrega una cantidad), se conoce cuánto queda como resultado final y lo que hay que averiguar es cuál era la cantidad inicial. Allí, nuevamente, comprender que esa situación se resuelve con una resta es poder comprender la relación inversa de la resta con la suma. La resta permite deshacer lo que hace la suma. Permite invertir una transformación positiva para volver a la cantidad inicial (por ejemplo: Corina recibió de regalo $50 para agregar a sus ahorros. Ahora tiene ahorrados $75, ¿cuánto dinero tenía antes de recibir esa cantidad?). ■

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Como ya señalamos, además de proponer un conjunto de diferentes tipos de problemas, otro asunto que planteamos aquí para tratar con los niños tiene que ver con facilitar herramientas para permitir que avancen en sus posibilidades de cálculo. Como sucede con todas las otras operaciones, el objetivo es propiciar el paso de resoluciones basadas en el conteo al uso del cálculo para restar. Cuando hablamos de conteo estamos refiriéndonos a estrategias que se basan en la reconstrucción de alguna manera real (con objetos, con dibujos) o mental de las cantidades implicadas para actuar sobre ellas. Así en el caso de la resta sería usar objetos o dibujos para tachar lo que corresponde y luego contar lo que queda. O, como una técnica más compleja, apoyarse en una reconstrucción mental para descontar la cantidad indicada de uno en uno, usando “el conteo para atrás”-muchas veces con algún

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apoyo en el uso de los dedos-. En el caso del uso del cálculo, nos referimos al uso directo de números y de relaciones entre ellos que permiten encontrar la respuesta, relaciones que ponen en juego propiedades de los números y de las operaciones. El uso del cálculo implica la puesta en juego de estrategias como usar resultados ya conocidos para encontrar otros, por ejemplo, entre otras opciones; apoyarse en una suma conocida para resolver una resta (encontrar que 12-6 es 6, pues 6+6 es 12) o desarmar números para operar (45-23 como 45-20-3), entre otras. Dentro del campo del conteo, pasar del conteo sobre objetos o dibujos a poder representar mentalmente la cantidad para descontar es un progreso interesante en cuanto al esfuerzo intelectual que implica. Si bien se pone el acento en el avance hacia el cálculo, es importante señalar que el conteo es una primera herramienta valiosa con la que cuentan los niños para resolver situaciones y, en particular, el poder descontar desde una cantidad, otra cantidad, no es de manejo sencillo, requiere un buen dominio de la serie oral en su sentido descendente y, paralelamente, un control de la cantidad a descontar. Por un lado pone en juego el conteo oral hacia atrás coordinado, que es difícil en sí mismo (13, 12, 11, 10, 9,...), pero también un doble conteo, pues hay que considerar y controlar la cantidad que hay que “sacar”, al mismo tiempo que se va contando en forma descendente. Por ejemplo, si hay que restar 9 al 15, se puede ir contando hacia atrás 15, 14, 13, 12, 11,… pero controlando simultáneamente que sean 9 los números que se van descontando y reconocer a qué número se llegó. Otro avance importante en ese sentido es el paso de descontar de a uno, a poder descontar apoyándose en escalas de a 10, 50, 100, etc. Como señalamos, el objetivo de la tarea es propiciar esos avances para permitir, de a poco, que los niños puedan empezar a usar cálculos, desprendiéndose del conteo. Por esa razón es que se propone como objeto de trabajo en este documento el manejo de repertorios de sumas memorizados para efectuar cálculos de restas, la puesta en juego de la relación entre el cálculo de suma con el de resta, el manejo también de repertorios de restas memorizados y las estrategias que permiten usar un cálculo de resta para resolver otro también de resta, el manejo de escalas descendentes de 10 en 10, de 100 en 100, etcétera. También, el desarmado de números en sumas para restar de a partes y el análisis de las particularidades que presentan los cálculos de resta así como las diferentes propiedades que tienen en relación con la suma.

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Por otro lado, si bien hemos hecho especial hincapié en la puesta en juego de estrategias de cálculo mental, hacia el final del documento incluimos también un apartado con propuestas para la presentación y el uso del algoritmo2 ya que el mismo resulta particularmente complejo para los niños. Una de las razones de su dificultad reside en que las estrategias en juego allí son muy diferentes de las que se suelen poner en juego a la hora de resolver cálculos mentales. El algoritmo que utilizamos para restar opera por columnas. Cuando en alguna de las columnas el minuendo es mayor que el sustraendo, su funcionamiento se apoya en el “desarmado” -con base en el valor posicional y el agrupamiento de a 10- del minuendo para poder efectuar la resta. De manera diferente, en el cálculo mental suele ser más sencillo apoyarse en el desarmado del sustraendo. Así, por ejemplo, frente a 75-48 es posible resolverlo como 75-40-8. En cambio el algoritmo se apoya en considerar al 75 como 2 Llamamos cálculo mental al conjunto de procedimientos que considerando los números involucrados particularmente, se articulan sin recurrir a un mecanismo preestablecido, apoyándose en propiedades de las operaciones y del sistema de numeración, para obtener resultados exactos o aproximados. No excluye el uso de lápiz y papel para volcar resultados parciales y apoyar procedimientos. No hay reglas fijas sino que cada procedimiento es elegido según los que mejor se adapten a los números en juego: redondeos, compensaciones, truncamientos, etc. En cambio el cálculo algorítmico -en el que se opera en columnas al trabajar con números de dos cifras o más- es el que se realiza siguiendo una serie de pasos preestablecidos, en un orden determinado, independientemente de los datos, que garantizan alcanzar un resultado en un número finito de pasos.

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60+15 y restar por cada orden: 15-8 y 60-40. El segundo desarmado que señalamos (el que está por detrás del algoritmo) no es un tipo de estrategia a la que los niños recurran al resolver el cálculo de manera no algorítmica. Por otro lado, el desarmado que se pone en juego en el cálculo convencional en columnas exige un conocimiento importante del valor posicional y un dominio de las relaciones entre el valor de las diferentes cifras para poder comprender los pasos realizados y controlar mejor los resultados obtenidos. Eso lo hace un tipo de cálculo particularmente complejo. La escritura de los procedimientos usados es otra cuestión imprescindible a considerar. Hay una distinción importante que se debe hacer: una cosa es la comprensión de la situación en juego y las formas de resolverla, y otra distinta es generar una escritura matemática que representa la solución enunciada. Las formas de resolución de una situación -como ya explicamos- pueden ir desde usar objetos para actuar sobre ellos (o usar formas gráficas con dibujos o usar contar para atrás) hasta diversas formas de cálculo mental o algorítmico. La escritura matemática apropiada para la situación -es decir, el reconocimiento de que lo que se está haciendo podría representarse escribiendo un cálculo de resta o de suma- requiere un camino gradual. La exigencia apresurada de la escritura del cálculo puede frenar estos momentos de búsqueda personal, de involucramiento con la situación que son muy importantes a la hora de comprender de qué se trata y cómo funciona el cálculo involucrado. En el camino por favorecer desde la enseñanza una relación más genuina con las situaciones, de evitar que los niños intenten adivinar siguiendo indicios más superficiales acerca de qué es lo que hay que hacer para resolver la situación, es que apostamos a no presionar por “una cuenta” como primera reacción frente al problema. La idea es que la escritura del cálculo aparezca como una forma de expresar algo que ya se sabe hacer. Es necesario tener una representación de la situación, qué es lo que se está buscando, para que se pueda dar sentido a la escritura. Como señalamos al principio de esta introducción, esta propuesta pretende ser una presentación de alternativas de trabajo para el aula que cada maestro adapte, complete, enriquezca, refuerce con otras posibles. Elegimos plantear las propuestas siguiendo una organización particular en la que se intercalan momentos de trabajo con los problemas y momentos de trabajo con los cálculos. En las propuestas para los alumnos se incluyen problemas para que sean resueltos así como textos que proponen conclusiones más generales y viñetas con preguntas que proponen reflexiones más locales sobre el trabajo realizado. Le damos especial importancia a esos momentos de reflexión y de sistematización de lo trabajado. Evocar las situaciones atravesadas, analizar sus diferencias y similitudes, hablar sobre lo que se hizo y cómo se hizo, permite tomar distancia de lo hecho y detectar “qué es lo que hay que aprender” a partir de esos problemas y cálculos resueltos. Esta actividad implica un desafío diferente que la de resolver: los niños tienen que pensar en el sentido de los problemas, tendrán que pensar por qué algunas estrategias de resolución son válidas y otras no, más que en el resultado; tendrán que generalizar qué es lo común entre las diferentes situaciones atravesadas. El proceso mental que se requiere para hablar sobre lo que se hizo es mucho más complejo que el que se requiere sólo para resolver. La intención es que los niños puedan pasar de preguntarse “qué hice” a poder sistematizar “qué aprendí”3 para que pueda ser reutilizado en otras situaciones. Seguramente muchas de las situaciones planteadas aquí para los alumnos necesitan volver a ser transitadas, reforzadas por nuevas propuestas que cada docente facilite para asegurar un mayor dominio de los temas tratados. 3

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Un desarrollo sobre el valor de estos momentos de reflexión sobre lo hecho puede encontrarse en: Sadovsky, Sessa, Napp, Novembre: “La formación de los alumnos como estudiantes”. Estudiar Matemática. Serie: Apoyo a los alumnos de primer año en los inicios del nivel medio”. (2000) Ministerio de Educación. GCBA. Disponible en: http://www.buenosaires.esc.edu.ar/areas/educacion/curricula/d2web01.pdf También en Butlen, D: “Dos ejemplos de situaciones de enseñanza de la matemática dirigida a alumnos con dificultades”. IUFM de Créteil.

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¡Para resolver usando todo lo que sabés! (Primeros problemas referidos a “sacar”)

Se presentan en primer lugar problemas en donde la resta aparece como “sacar” -una transformación negativa-. La intención es abrir a la diversidad de procedimientos posibles para reconocer cuánto queda luego de que una colección disminuye. Pueden aparecer tanto procedimientos numéricos como no numéricos -conteo sobre dibujo por ejemplo-. La idea es comenzar la discusión de cuáles podrían ser las diversas formas de restar comenzando con números sencillos. En muchos de los problemas que se presentan se agregan imágenes que puedan servir de apoyo para resolver. De todos modos, la idea es dejar que cada niño decida qué hará para encontrarla. No es un paso obligatorio, sí puede ayudar a que construyan una imagen de la realidad relatada en el enunciado y puedan avanzar en su resolución. En estas primeras actividades el trabajo está centrado en problemas, luego, en el siguiente apartado, se propone un trabajo sobre los primeros repertorios de resta que vayan apuntalando y permitiendo el paso de estrategias de conteo a estrategias de cálculo. Los problemas planteados van avanzando en el tipo de números involucrados, presentado situaciones con números más grandes (con números que permitan el uso de algunos cálculos memorizados) para propiciar estrategias de cálculo por sobre uso de conteo. Te presentamos acá varios problemas. Como pasa con los problemas en matemática, tienen muchas formas de ser resueltos. No te olvides de registrar todo lo que te sirva para encontrar la respuesta.

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1. Miguel está juntando figuritas del mundial, esta semana juntó 15 con los paquetes nuevos que compró. Le salieron 5 repetidas, entonces se las regaló a su amigo Nahuel. ¿cuántas le quedaron para poder pegar en el álbum?

En este problema anticipamos que resultará sencillo reconocer que la operación que lo resuelve es la resta, el objetivo es abrir entonces a la discusión de procedimientos de cálculo de resta. Posibles procedimientos: usar la imagen como apoyo para contar y tachar, contar hacia atrás a partir del 15, restar 15-5 usando la suma 10+5 = 15, entre otros.

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¿Te sirve usar lo que sabés del problema anterior?

2.Ysi le hubieran salido 7 repetidas, y se las regalaba a su amigo, ¿cuántas le habrían quedado en ese caso para pegar en el álbum?

También aquí hay varios procedimientos posibles, incluso volver sobre el dibujo para descontar 7. La intención es testear la posibilidad de usar el resultado anterior y restar luego dos más, o sea pensar al 7 como 5+2 -aunque no se exprese así, por supuesto-, restando primero 5 y luego 2. Esto permitiría instalar paulatinamente la posibilidad de restar “por partes”, algo que será retomado más adelante. Reconocer cuál es la escritura que representa a ese cálculo para traer el uso del signo será otra cuestión a tener en cuenta. Como se señaló, tratándose de una situación de “sacar” es probable que no genere dificultades reconocerla como representable con una cuenta de “restar”.

3. Julián llegó al recreo con sus 18 figuritas, jugando con Mariano perdió 8, a- ¿Cuántas le quedaron para jugar en el otro recreo?

¿Te sirve lo que ya averiguaste en el punto a?

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b- Y si hubiera perdido 9, ¿cuántas le habrían quedado?

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4. Sol infló 12 globos, pero al intentar colgarlos fue muy descuidada y 6 se le pincharon, ¿cuántos globos le quedaron finalmente para poder colgar?

También aquí hay varios procedimientos posibles, incluso usar el dibujo. Los números involucrados permitirían también recurrir al 6+6 como apoyo para el cálculo sin necesidad de contar.

5. Corina y Andrea están jugando a un juego de dados. En este juego, cuando se cae en algunos números hay una prenda y hay que tirar el dado y retroceder tanto como lo indica el dado. Corina están en el número 45 y tiene que retroceder 5 casilleros, ¿a qué número llegó?

De nuevo se incluye aquí el tablero que puede ser un soporte para apoyar la forma de resolver. Restar se asocia aquí a la idea de “retroceder”, el conteo hacia atrás puede apoyarse en la banda numérica del tablero.

6. Andrea también llegó al casillero 45 que tiene prenda y, cuando tiró de nuevo, sacó este puntaje en el dado, ¿a qué casillero tuvo que ir?

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7. Corina llegó al número 55 que tiene prenda, tiene que retroceder y se sacó un 4 en el dado. a- ¿A qué número llegó?

b- ¿Qué cálculo sirve para resolver este problema?

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8. Joaquín salió de su casa para la escuela…

¿Cuántas figuritas le quedaron?

No hay dibujo que sirva de apoyo para la resolución directa y han crecido los números involucrados. Probablemente, resultará sencillo reconocer la resta para representar la acción involucrada, pero puede ser ahora algo más “difícil” encontrar formas de resolver el cálculo pues, incluso si se decidiera por dibujar, es un poco alto el número involucrado lo cual podría hacerse algo engorroso. Se apunta a que tal vez se pueda poner en juego la suma 20 + 20 = 40 para pensar 40 – 20. De todos modos puede ser que los niños intenten contar (contar para atrás, incluso ir descontando de a 10 si es que tienen esa posibilidad) o dibujar y tachar. En este, como en los problemas que siguen, el campo numérico involucrado puede permitir el uso de cálculos ya memorizados. Podría plantearse luego qué tipo de cálculo se podría escribir como forma de resolución de este problema. 9. Carolina llevó $10 para usar en el kiosco, gastó $7 pues se compró un alfajor y unas pastillas. ¿Cuánto dinero le quedó? 10. Al día siguiente fue al kiosco otra vez y gastó $7 en pastillas y $10 en un paquete de galletitas, ¿cuánto dinero gastó ese día?

En los problemas que siguen se juega con la idea de “vender” o “gastar” pero en problemas que implican tanto la suma como la resta. La intención es traer un asunto habitual cuando los niños resuelven este tipo de situaciones: la palabra “vendió” suele usarse como indicio para pensar que el problema “es de restar”. La intención es “desarmar” esa generalización. 11. Martín trabaja en el kiosco de diarios, a la mañana le llegaron 30 diarios y vendió 10 durante ese día, ¿cuántos diarios le quedaron en el kiosco al final del día?

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Resultará sencillo reconocer aquí que se trata de una resta, pero ahora puede ser algo más complicado resolver cuánto es 30 – 10 si se intenta apoyar en el dibujo para contar. De todos modos el dibujo incluído podrá permitirlo. Se apunta a que tal vez se pueda poner en juego la suma 20 + 10 para pensar 30 – 10 =, o apoyarse en descontar de a 10 haciendo escalas descendentes. Tanto en este como en los

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problemas que siguen, el campo numérico involucrado puede permitir el uso de cálculos ya memorizados.

12. Cecilia vendió 30 diarios a la mañana y vendió 20 diarios a la tarde, ¿cuántos diarios vendió ese día? a- ¿Qué cálculo sirve para resolver este problema? Abajo hay varios cálculos anotados. Marcá cuál o cuáles son los que sirven para responder la pregunta de este problema. 30 – 20=

50 – 30=

30 + 20=

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Este tipo de problema implica un “cambio de contrato” en el tipo de trabajo que en general se pide a los niños. Habitualmente se trata de resolver y generar cálculos, no de decidir si sirven cálculos ya planteados y por qué. Este tipo de situación pone a los niños a reflexionar más centralmente sobre la relación cálculo–problema. Aquí en particular se pone en juego, nuevamente, el uso de la palabra “vendió” pero para un problema en “el que hay que sumar”. La tarea de marcar qué cálculo lo resuelve permite que se trabaje para relacionar los números involucrados y el tipo de cálculo, con la situación planteada. Analizar la “razonabilidad” del resultado en función de lo que el problema señala, qué significa cada número en la situación, qué vínculo se puede hacer entre la operación indicada y lo que sucede en el problema, qué se averigua cuando se suma y qué cuando se resta, son algunas herramientas de validación valiosas para instalar entre los niños: ”¿Qué es el 30 y qué es el 20 en el problema? ¿Puedo decir que vendió 10 diarios en total si ya a la mañana había vendido 30”, etc. 13. La mamá de Corina infló 60 globos para que cada nene se llevara uno luego del cumpleaños. Así lo hizo al final de la fiesta. Entregó 30. a- ¿Cuántos nenes invitados estuvieron en el cumple? b- ¿Cuántos globos le quedaron sin entregar?

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14. La abuela de Corina le regaló $50 para su cumple. Al otro día Corina gastó $30 en un libro que compró en la feria de libros usados de la escuela. ¿Cuánto dinero le quedó?

¿Qué cálculos usaste para resolver todos estos problemas anteriores? ¿En cuáles hubo que usar restas?

En estos problemas se pudieron usar cálculos de suma o cálculos de resta. En las situaciones en las que tenemos una cantidad y se indica cuánto disminuye, para averiguar cuánto queda hay que restar.

ATENCIÓN: No siempre que dice “gastar” o “vender” o “perder” hay que restar. Todo depende de lo que sucede en ese problema.

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Como señalamos en la introducción, a lo largo del material se ¿Se animan a inventar un van a ir presentando estos recuadros con información que problema que se resuelva contienen conclusiones a las que puede llegarse a partir de la con 15 + 7 y otro que se reflexión sobre lo realizado. Permiten tomar un poco de resuelva con 15-7? distancia sobre lo hecho y analizar las cuestiones comunes que permitan generalizar procedimientos o establecer algunas propiedades que puedan servir para ser reutilizadas en situaciones similares. También aparecen sobre los márgenes algunas viñetas con preguntas que tienen la intención de permitir reflexiones más locales en relación con los problemas en juego. En general, esta tarea de evocar lo trabajado, de analizar las similitudes entre situaciones diferentes, permite traer a la reflexión asuntos que la sola resolución de los problemas y de los cálculos, aunque sea exitosa, no lo permite. Son los momentos de discusión y reflexión sobre lo hecho los que permiten incorporar nuevas ideas, encontrar relaciones entre procedimientos distintos, descubrir lo que tienen en común las diversas situaciones atravesadas, generalizar procedimientos de resolución. Proponemos que esas sistematizaciones sean también objeto de trabajo con los niños. En ese sentido resulta valioso no solo su lectura sino “actuar” sobre ellos, por ejemplo agregando ejemplos, agregando frases que aclaren o particularicen algo de lo señalado, etc.

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Sobre cálculos y números…

(Repaso de repertorios de suma y primeros repertorios de resta sencillos)

Como ya señalamos, la intención es facilitar el paso de estrategias de conteo hacia estrategias de cálculo. Para eso, es importante que los niños dispongan de un repertorio de cálculos memorizados en los que se apoyen para resolver otros. En el caso de la resta, los cálculos de suma serán un apoyo importante. Para avanzar en ese sentido es necesario que se trabajen repertorios de suma como: sumas de números iguales de dos y tres cifras; sumas que dan 10 / 100 / 1000; descomposiciones de números en sumas de redondos y dígitos (por ejemplo, 28 como 20+8), etc. Se proponen aquí algunas actividades en ese sentido que seguramente será necesario completar con otras. Se plantean luego algunas restas sencillas de dígitos entre sí; restas de números sucesivos; restas de 1 a distintos números y restas apoyadas en la descomposición decimal del número (23-3=). La intención es que se avance en los primeros repertorios de cálculo de resta.

1. ¡CáLCuLoS pArA AprENdEr dE MEMoriA!

Hay algunos cálculos que conviene saber de memoria porque nos van a ayudar mucho para resolver otros cálculos. Esta tabla con sumas puede ser muy útil para consultar. por ejemplo para consultar el cálculo de 5+3 se puede encontrar de estas dos maneras:

+

1

3

4

5

6

5

6

7

8

1

2

4 6

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7

2

8

3

4 5 7

4 7

5

6

6

7

7

8

9

10

11

8

13

8

9

10

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La intención de completar este cuadro es que los niños puedan tener un lugar de consulta para encontrar resultados tanto de sumas como de restas. El uso de este cuadro para encontrar términos desconocidos de una suma ( 8+ …. =15) y resultados de restas es más complejo que su uso directo para encontrar resultados de cálculos de suma. En principio las actividades presentadas se centraron en los primeros repertorios que los niños podrían ir teniendo disponibles: sumar 1, sumar 10 + dígitos y también en poner en juego la propiedad conmutativa; por supuesto, no para conceptualizarla sino para propiciar su “puesta en acción” para facilitar los cálculos. Hay muchas opciones de actividades que es posible realizar sobre el cuadro. Aquí van alguna de ellas solo favoreciendo algunos repertorios (los que señalamos) y algunas relaciones. a- Completá todos los resultados que ya sepas de memoria.

b- Completá todos los cálculos de números iguales:

1+1

2+2

3+3

4+4

5+5

6+6

7+7

8+8

9+9

10 + 10

c- ¿Cuánto es 10+5? ¿y 5+10? Buscalos en el cuadro. Si no están, completalos. d- Completá toda la fila y toda la columna del 10.

e- Completá todo lo que falta para que ya quede lleno y ¡te sirva para consultar cuando lo necesites!

2. uN JuEgo pArA uSAr LAS SuMAS dEL CuAdro: Lo mío, lo tuyo, lo nuestro

El juego propicia la búsqueda del término desconocido de una suma para avanzar luego, paulatinamente, vinculándolo con la o las restas que se pueden resolver apoyándose en el resultado de la suma. La intención es que los alumnos continúen trabajando con repertorios de sumas y encontrar uno de los términos a, b ó c en el cálculo a + b = c, cuando a y b son dígitos, y en el caso en que alguno de ellos es el número 10. Se podrá decidir si se permite o no consultar el cuadro de sumas mientras juegan. En caso de que los cálculos resultaran muy sencillos para los alumnos, o si quiere retomar la actividad en otros momentos, se puede cambiar la serie propuesta por la de múltiplos de 10 (10 al 100) y favorecer la extensión de los resultados conocidos de la suma de dígitos a la suma y resta de números redondos. Por ejemplo, si 7+6=13, entonces 70+60=130, 130–60=70, 130–70=60. n

MATERIALES: - 10 cartas con números del 1 al 10.

COMO SE JUEGA: - Dos se sientan frente a frente; el tercer compañero se coloca de manera que pueda ver las cartas que los dos le van a mostrar.

20

G.C.B.A.

■

Quitar, retroceder, comparar, completar...

- Los compañeros que están sentados frente a frente se reparten las cartas, las mezclan y las colocan una sobre otra con el número hacia abajo. - Al mismo tiempo, cada uno levanta una carta y la muestra al otro jugador; ninguno puede ver el número de su propia carta. - El tercer jugador mira ambas cartas y dice el resultado de sumar los números de ambas. - Cada uno de los otros jugadores debe averiguar cuál es el número de la carta que tiene en la mano. El primero que lo averigua correctamente se queda con las dos cartas. - El juego termina cuando se acaban las cartas, y gana quien acumule más cartas.

3. ¡pArA HACEr dESpuéS dE JugAr vAriAS vECES!

Estas son las cartas que salieron en el juego. Completa con “lo nuestro” en cada caso.

Lo nuestro

Lo nuestro

Lo nuestro

.......

.......

.......

7

8

5

5

Programa de aceleración Matemática Material para el docente

7

13 .......

.......

10

¿Cómo hiciste para averiguar el número de la carta?

4. CoMpLETá LA CArTA QuE fALTA

15

9

16 10

9 21

10 .........

7

.......

Propuestas para la enseñanza de la resta

5. CoMpLETAr SuMAS iNCoMpLETAS

A estas sumas les falta una parte; son sumas en las que hay que encontrar “qué número hay que agregar para encontrar el otro”. Completalas. podés usar el cuadro para ayudarte.

Cómo utilizar el cuadro de sumas para completar estos cálculos es uno de los aspectos que podrá ser discutido con los niños. 9 +..…….= 10

6 +..…….= 10

8 +..…….= 10

..…….+ 3 = 10

..…….+ 5 = 10

10 +..…….= 15

7 +..…….= 10

10 +..…….= 17

..…….+ 1 = 9

10 +..…….= 19

..…….+ 10 = 17

..…….+ 6 = 12

8 +..…….=

..…….+ 4 = 10

10 +..…….= 20 8 +..…….= 16

6. rEpASAMoS SuMAS dE NúMEroS iguALES

En esta tabla vas a encontrar algunas sumas. Seguro muchas de ellas ya las sabés de memoria. También es posible que algunas que vayas completando te sirvan para resolver otras. Tenelo en cuenta. SUMAS DE DIGITOS IGUALES

SUMAS CON “DIECES” IGUALES

SUMAS CON “CIENTOS” IGUALES

3+3=

30+30=

300+300=

2+2=4

20+20=40

200+200=400

5+5=

50+50=

500+500=

8+8=

80+80=

800+800=

7+7=

70+70=

7. rEpASAMoS SuMAS QuE dAN 10 o 100 o 1000

700+700=

Sabiendo que 9+9=18, ¿qué otros cálculos podés resolver?

22

G.C.B.A.

En este cuadro están escritas todas las sumas que dan 10. fijate si esas sumas te ayudan para completar las que dan 100 y las que dan 1000.

Quitar, retroceder, comparar, completar...

SUMAS QUE DAN 10

SUMAS QUE DAN 100

SUMAS QUE DAN 1000

2+8=10

20+80=100

200+800=1000

1+9=10

3+7=10

10+90=100

100+900=1000

4+6=10 5+5=10

6+4=10 7+3=10

8+2=10 9+1=10

8. CuANdo LoS NoMBrES dE LoS NúMEroS NoS AYudAN A SuMAr… El trabajo realizado sobre la comprensión del sistema de numeración, en particular, la descomposición aditiva basada en el valor posicional de las cifras, es un buen apoyo y puede alimentar el trabajo que se propone aquí con los cálculos. En ese sentido “el nombre de los números” puede resultar, también una herramienta de ayuda para los niños Si lees en voz alta los números de estos cálculos, vas a tener una pista del resultado y vas a poder resolverlos mentalmente. ¡intentá hacerlo! 10+6=

20+6=

40+6=

100+6=

200+6=

400+6=

100+60=

200+60=

La cuenta 200+40 se lee doscientos más cuarenta. Y el resultado es 240, doscientos cuarenta.

400+60=

Programa de aceleración Matemática Material para el docente

2000+35= 3000+35=

9000+35=

23

Propuestas para la enseñanza de la resta

Conocer el valor de una cifra, por el lugar en el que está dentro de un número, ayuda a resolver algunos cálculos.

Por ejemplo en el número 145, el 4 vale 40. Si decimos el nombre del número podemos escuchar el “cuarenta” (ciento cuarenta y cinco). Entonces si se resta 40 al 145, el 4 se transforma en 0 porque 40 - 40 es 0 y ya no se nombra el “cuarenta”; el resto del número no cambia. Queda el número 105 (ciento cinco). Por eso el nombre del número nos ayuda muchas veces a resolver cálculos de suma o de resta.

9. CoMpLETAr SuMAS uSANdo Lo QuE YA SABEMoS dE MEMoriA…

Estas son pirámides de números, están listas para que las completes con los números que faltan. Tené en cuenta que la suma de los cuadrados de abajo, da como resultado el número del cuadrado de arriba que está unido con una flecha.

15

6

2

1

7

.....

3

.....

.....

2

3

.....

Ahora podés inventar una pirámide vos solo…

..... .....

.....

..... 24

..... G.C.B.A.

.....

Quitar, retroceder, comparar, completar...

10. UN NUEVO JUEGO: EL PATIO DE BALDOSAS

Con este juego se comienza un primer trabajo específico sobre cálculo de resta con número pequeños. El repertorio trabajado es la resta de dígitos entre sí hasta el 6.

■

MATERIALES: - Dos dados por pareja de jugadores. - Un tablero por pareja donde cada jugador va a elegir su patio de baldosas. PATIO 1

■

PATIO 2

COMO SE JUEGA: - Se juega de a dos. Cada jugador elige un patio (el 1 o el 2) para ir avanzando. Se avanza pintando las baldosas. - Cada uno a su turno tira dos dados. Se resta el número menor al número mayor. Se pinta la cantidad de baldosas que indica ese resultado. - Gana el jugador que pinta primero su patio.

11. ¡pArA HACEr dESpuéS dE JugAr vAriAS vECES!

Programa de aceleración Matemática Material para el docente

Anotá, debajo de cada par de dados, cuántas baldosas hay que pintar en cada caso

25

Propuestas para la enseñanza de la resta

12. rESTAS dE NúMEroS MuY CHiCoS EN ESCALErA…

7–1= 7–2= 7–3= 7–4= 7–5= 7–6= 7–7=

6–1= 6–2= 6–3= 6 – 4= 6–5= 6–6=

5–1= 5–2= 5–3= 5–4= 5–5=

4–1= 4–2= 4–3= 4–4=

3–1= 3–2= 3–3=

¿Qué pasa con el resultado cada vez que voy restando un número más grande?

13. pENSANdo EN oTrAS rESTAS: restas fáciles y restas más difíciles

a- Te presentamos aquí varias restas. Miralas un rato, tené en cuenta que no hace falta que las resuelvas todas, solo resolvé las que te parezcan más fáciles.

7–5= 18 – 8 = 54 – 19 = 96 – 6 =

10 – 5= 37 – 7= 124 – 1= 78 – 59 =

58 – 8= 12 – 6 = 10 – 5 = 457 – 2=

76 – 48 = 60 – 30 = 19 – 18= 235 – 37=

Hay algunas que son más fáciles...¿Encontraste algunos trucos para hacerlas?

b. Hacé un listado abajo de qué restas resultaron más fáciles. Entre todos discutan porqué esas son más fáciles que las otras.

26

G.C.B.A.

La intención aquí es reflexionar sobre qué hace que unos cálculos sean más fáciles que otros. Se propone armar un listado de cuáles y por qué resultan más sencillos. Podrían aparecer algunas cuestiones como: “sacar uno es el número anterior”, “se puede usar una suma para pensar”, “el nombre te ayuda”, “si son seguiditos te da uno”, “puedo contar lo que falta para…”, “puedo usar la suma 5+5”, entre otras posibles. La intención es abrir a las opciones posibles de resolución de cálculos según los números involucrados.

Quitar, retroceder, comparar, completar...

14. rESoLvé ESTAS rESTAS Y fíJATE Si ENCoNTráS uN TruCo pArA HACErLAS rápido

El propósito es retomar alguna de las cuestiones que aparecieron antes y reutilizarlas. Por ejemplo: “El nombre del número ayuda a restar”, “el nombre tiene una suma”, “si restamos dos seguidos nos queda 1”, etc. 84 – 4 =

45 – 44 =

409 – 9 =

346 – 46 =

120 – 20 =

230 – 30 =

145 – 45 =

145 – 144 =

56 – 6 =

67 – 7 =

496 – 96 =

210 – 10 =

Cuando el nombre de los números nos ayuda a restar…

En el trabajo anterior hay cálculos que resultan más sencillos. Usar la suma que está presente en el nombre de los números puede ser un buen apoyo para resolver restas. Si sabemos que 20 + 5 = 25, entonces 25 – 5 = 20.

15. USANDO LA CALCULADORA… En el visor de la calculadora hay números anotados. Sin borrar, lográ que aparezca el número indicado. Anotá en el cuadro de abajo.

NúMEro EN EL viSor 45

¿Qué CáLCuLo HAY QuE HACEr?

78

40 70

120 Programa de aceleración Matemática Material para el docente

QuEdA EN EL viSor 100

234

204

689

89

27

Propuestas para la enseñanza de la resta

16. MuCHAS CuENTAS QuE dAN 1

a- Entre todas estas restas hay algunas que dan 1 de resultado, buscalas y marcalas:

7–6= 34 – 27 = 67 – 66 = 345 – 300 =

9–5= 45 – 44 = 67 – 65 = 145 – 144 =

¿Podés explicar cuándo una cuenta de restar va a dar de resultado 1?

b- Escribí algunas cuentas que dan de resultado 1:

17. Sumar y restar 1 a los números a veces es fácil pero otras veces, no tanto. Aquí aparecen muchas sumas y restas usando 1. resolvelas y después decidí cuáles te parecen un poco más difíciles y cuáles no. Marcá las más difíciles con una cruz.

La intención aquí es tematizar la relación entre sumar y restar 1 por un lado, con el anterior y el sucesor de un número. En ese plano también es interesante la reflexión sobre los cambios de decena en el caso de restar a los números terminados en 0 o de sumar 1 a los terminados en 9. 14 – 1 = 68 – 1 = 50 – 1 =

56 – 1 = 80 + 1 = 500 – 1 =

60 – 1 = 80 – 1 = 180 – 1 =

100 + 1 = 200 – 1 = 201 – 1 =

100 – 1 = 399 + 1 = 400 – 1 =

¿Cómo podés darte cuenta facilmente cuánto es cuando a un número cualquiera se le resta 1?

¡Problemas de partes!

(Problemas de relación parte-todo o complemento)

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G.C.B.A.

La intención es plantear más problemas para los cuales la resta es la operación que los resuelve pero avanzando ahora sobre otros sentidos menos sencillos. En este apartado en particular, vamos a propiciar el trabajo sobre problemas en los que la resta aparece jugando en la relación entre las partes

Quitar, retroceder, comparar, completar...

y el todo. Esa relación da lugar a otro sentido de la operación: permite encontrar una de las partes, sabiendo el total y sabiendo el valor de la otra parte. En general -muchas veces dependiendo del tipo de números involucrados- podría resolverse con una suma “incompleta” o con una resta. Como dijimos al comienzo de este documento, la suma incompleta puede resultar muchas veces más cercana a la realidad que el problema describe. La intención es que los niños logren concebir, gradualmente, a la resta como la operación que también resuelve este tipo de problemas. Sin embargo, es importante señalar que, según el tipo de números involucrados, puede resultar más sencillo usar una suma incompleta que una resta para el cálculo. Este tipo de problemas pone en juego entender a la resta como la inversa de la suma, cuestión que es cognitivamente compleja para los niños en general. La resta permite “deshacer” la unión de las partes que conforman el todo de la colección. En los problemas que se presentan, se agregan imágenes que puedan servir de apoyo, tanto para representarse la situación como para usar al resolver. El dibujo puede ser un apoyo importante para encontrar la respuesta. De todos modos, la idea es dejar que cada niño decida qué hará para encontrarla. Como ya señalamos, el uso del dibujo no es un paso obligatorio, sí puede ayudar a que los chicos construyan una imagen de la realidad relatada en el enunciado y puedan avanzar en su resolución. La intención es encontrar gradualmente qué escrituras de cálculos pueden usarse para representar la solución, por esa razón los problemas planteados avanzan en ese sentido. También podría ser una oportunidad para usar la calculadora pues, en principio, la cuestión será centrarse en qué operación permite resolver la situación planteada. 1. En la huerta, Cecilia, juntó una canasta de manzanas verdes y rojas. Consiguió 12 manzanas para llenar su canasta. Si 6 son rojas, ¿cuántas verdes juntó?

Programa de aceleración Matemática Material para el docente

El dibujo se presenta como un apoyo para quienes lo necesiten. Sin dar la respuesta, permite que los niños tomen alguna decisión sobre cómo usarlo. De todos modos, los números en juego también permiten apoyarse en un cálculo problablemente conocido (6+6). Algo interesante será trabajar que, en ese caso, la respuesta quedará “en el medio de la cuenta”. Asunto que nos va a llevar -en varios de estos problemas- a empezar a reconocer esta escritura de “suma incompleta” (6 + … = 12) como una escritura apropiada también para este tipo de situaciones.

29

Propuestas para la enseñanza de la resta

2. María está armando el festejo del cumple de Joaquín. preparó churros, algunos rellenos de dulce de leche y otros sin rellenar. Hizo 18 churros en total, si 9 son los que preparó rellenos, ¿cuántos son los churros sin rellenar?

3. Nicolás y Luciano juntaron sus bolitas para jugar en el recreo. Nicolás puso 30. Las otras las agregó Luciano. Juntaron entre los dos 40, ¿cuántas bolitas puso Luciano?

4. Julián armó para su cumpleaños un plato de alfajores de chocolate y de dulce de leche para los invitados. En el plato puso 18 alfajores. Si 8 eran los alfajores de dulce de leche, ¿cuántos había de chocolate?

30

G.C.B.A.

En este caso no se incluye un dibujo. Por supuesto, es una estrategia posible que los niños decidan dibujar y usar su dibujo de alguna manera para encontrar la solución al problema; en ese caso, se podrá discutir si es posible usar un cálculo también. En el terreno del cálculo, dado los números en juego, es probable que se plantee como una alternativa la suma 10+8, también. Resultará interesante discutir “qué parte” de ese cálculo da la respuesta al problema. Podría aparecer también el cálculo de resta 18–10. Si no surgiera, podría plantearse como opción para que sea analizado. Una vez planteados ambos es

Quitar, retroceder, comparar, completar...

interesante relacionarlos y ver cómo ambos podrían servir, aunque la “parte del cálculo” que responde la pregunta es distinta en cada caso. 5. Como Joaquín es de river, para el cumple de quince de su hermana colgó un grupo de globos rojos y otro montón de globos blancos. En total colgó 100 globos. Si 50 eran los globos blancos, ¿cuántos globos rojos colgó?

No se incluyen dibujos aquí y ha crecido el tamaño de los números involucrados. La intención es poder apelar a la suma 50+50 para resolverlo. También podría aparecer el cálculo 100–50; la discusión podría ser, en ese caso, cómo se resuelve y poder establecer que 50+50 puede ser un apoyo para eso.

6. ELEgir CáLCuLoS…

¿Qué cálculos pueden usarse para resolver estos problemas? Alguna o algunas de las cuentas planteadas pueden servir para resolver el problema pero otras, no. Marcá en cada caso cuál o cuáles sirven.

Como ya señalamos en casos anteriores, este tipo de problema implica un cambio en el tipo habitual de trabajo que se pide a los niños. En general se trata de resolver y generar cálculos, no de evaluar si sirven cálculos ya planteados y por qué. Este tipo de situación pone a los niños a reflexionar más centralmente sobre la relación cálculo–problema. Cómo se resuelve el cálculo no es ya un asunto, sino que el asunto es decidir por qué un cálculo funciona como medio de solución de una situación determinada, permitiría avanzar sobre la discusión de qué hay en el problema que me permite pensarlo como una suma o una resta, o ambas, etc. Puede dar lugar a analizar qué representan los números en el problema; discutir que, por ejemplo, el 20 del primer problema “ya está incluido” en el 40 del total, etc. a- Julian y Esteban juntaron sus figuritas para jugar. Juntaron 40. Mariano puso 20. Las otras eran las de Julián. ¿Cuántas eran las figuritas que puso Julián para jugar?

20 + …….. = 40

40 – 20 = ……..

40 + 20 = ……..

Programa de aceleración Matemática Material para el docente

b- Hernán colecciona figuritas del mundial. Compró más paquetes y logró tener 30. pero de esas 30 solo pudo pegar 15 en su álbum, pues el resto eran repetidas. ¿Cuántas repetidas tenía? 30 + 15 =

15 + …….. = 30

31

30 – 15 =

Propuestas para la enseñanza de la resta

En estos problemas se podían usar sumas “incompletas” o restas para encontrar el resultado. La suma y la resta son operaciones relacionadas, para encontrar el resultado de una resta se puede usar una suma incompleta. Por ejemplo para pensar 30 – 15 se puede pensar que 15 + …… = 30

7. Esta es la tabla que tiene la directora de la escuela dónde están anotados la cantidad de niños por grado de primer ciclo. Se borraron algunos números, completalos

Grado

1ero 2do 3ero

A

B

20 ……....... 25

25 30 …….......

Total ……....... 60 40

8. En la boletería del teatro se completó el siguiente cuadro para saber la cantidad de entradas que se vendieron cada día para cada espectáculo. Le faltan algunos datos, completalo.

“romeo y Julieta”

“drácula”

“La Momia”

SÁBADO

entradas vendidas

200

DOMINGO

TOTAL DEL FIN DE SEMANA

500

800

entradas vendidas

400

…........

400

…........

32

…........

800

G.C.B.A.

OBRA

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9. La ruta entre la ciudad de Neuquén y la ciudad de viedma es de 650 kilómetros. un auto salió de Neuquén para ir hacia viedma y ya recorrió 400 kilómetros, ¿cuántos kilómetros faltan recorrer para llegar?

Más sobre los cálculos…

(Cálculos de suma con incógnita y estrategias de “completamiento”. Primeras relaciones suma-resta. Sumar y restar de a 10, de a 100 y de números redondos) Se propone aquí un trabajo sobre cálculos para poner en juego estrategias que permitan “completar sumas”. La idea es encontrar maneras de resolver cuánto hay que agregar a un número para llegar a otro, apoyadas algunas en la composicion decimal del numero, otras en repertorio de las sumas que dan 10 / 100, o en sumas de números iguales. Se propiciará poner en juego algunas “técnicas” útiles para completar sumas; por ejemplo, haciéndolo “de a partes”, comenzando con redondeos. Se propone también sistematizar la relacion suma-resta, el repertorio de restas de 10, 100 y las restas de números redondos a otros números redondos y otros no redondos, etc.

1. ADIVINANZAS CON NÚMEROS USANDO LA CALCULADORA…

Programa de aceleración Matemática Material para el docente

a- ¿Qué número hay que agregarle a 8 para que me dé 16?

b- ¿Qué número hay que agregarle a 70 para que me dé 79? c- ¿Qué número hay que agregarle a 100 para que me dé 139?

33

Propuestas para la enseñanza de la resta

d- ¿Qué número hay que agregarle a 500 para que me dé 1000? e- ¿Qué numero hay que agregarle a 1000 para que me dé 1600? f- ¿Qué numero hay que agregarle a 2000 para que me dé 2348?

2. SuMAS “iNCoMpLETAS”

Acá van varias sumas a las que les falta uno de los números. Son sumas en las que hay que encontrar “qué número hay que agregar para encontrar el otro”, ¿te animás a completarlas? 4 +..……….= 10

40 +..……….= 100

400 +..……….= 1000

7 +..……….= 10

70 +..……….= 100

700 +..……….= 1000

5 +..……….= 10

9 +..……….= 10

50 +..……….= 100

90 +..……….= 100

500 +..……….= 1000

900 +..……….= 1000

3. UN JUEGO DE CARTAS PARA: ARMAR NÚMEROS QUE TERMINAN EN CERO (NÚMEROS “REDONDOS”) ■

MATERIALES: - Un mazo de cartas del 1 al 9 para cada jugador. - 18 tarjetas con números para el equipo que jugará junto, con los números: 16, 18, 21, 24, 32, 37, 43, 49, 51, 54, 65, 68, 72, 77, 85, 89, 93 y 96. COMO SE JUEGA: - Se juega de a 3 o 4 jugadores. - Se arma una pila con las tarjetas con números y se pone boca abajo. - Se juntan todos los mazos de cada jugador, se mezclan y se reparten tres a cada uno. Con las que sobren se arma otra pila y se pone en el centro de la mesa. - El jugador que inicia la partida da vuelta una de las tarjetas con números. Si puede armar un número con cero (un número redondo) sumando o restando una de las cartas que tiene en la mano, se queda con esa carta y con la tarjeta del número y las guarda a un costado. Si no le sirve ninguna de sus cartas para armar un número redondo, entonces roba una del mazo. Si le sirve, hace lo que se señaló antes. Si no le sirve, pasa el turno al siguiente jugador. - El jugador que sigue puede usar la tarjeta que quedó sin levantar o sacar una nueva. - Ganá el jugador que se queda primero sin cartas en la mano.

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G.C.B.A.

■

Quitar, retroceder, comparar, completar...

4. fijate en cada caso y redondeá la carta que serviría para armar un número redondo... ¿Hay más de una posible?

NÚMEROS 43 76 85 28 57 89

5 2 9 7 8 8

CARTAS 8 6 3 2 5 1

7 4 5 4 4 9

5. SuMAS pArA ArMAr NúMEroS rEdoNdoS 63 +..……….= 70

138 +..……….= 140

67 +..……….= 70

Primero pensá el número y luego probalo en la calculadora.

72 +..……….= 80

23 +..……….= 30

123 +..……….= 130

6. ¡SuMAS pArA CoMpLETAr NúMEroS rEdoNdoS MáS grANdES! 45 +..……….= 100

25 +..……….= 100

78 +..……….= 100

65 +..……….= 100 55 +..……….= 100

88 +..……….= 100

167 +..……….= 170

423 +..……….= 430

85 +..……….= 100

75 +..……….= 100

48 +..……….= 100

En el cálculo 78 + …..= 100, hay que encontrar un número que cuando lo sumo al 78 llego hasta el 100. Se puede hacer completando en varios pasos, primero redondeando el número así:

Programa de aceleración Matemática Material para el docente

A 78 le sumo 2 y llego a 80. Luego a 80 le sumo 20 para llegar al 100. Entonces 78 + 2 + 20 = 100.

35

Propuestas para la enseñanza de la resta

7. ¡SuMAS QuE AYudAN A rESTAr!

resolvé las restas usando la información que da la suma.

a- Si 30 + 30 = 60, ¿cuánto es 60 – 30?

b- Si 50 + 50 = 100, ¿cuánto es 100 – 50?

c- Si 800 + 800 = 1600, ¿cuánto es 1600 – 800?

d- Si 1000 + 1000 = 2000, ¿cuánto es 2000 – 1000? e- Si 40 + 60 = 100, ¿cuánto es 100 – 60?

f- Si 40 + 40 = 80, ¿Cuánto es 80 – 40 =?

RESTANDO COMO LOS EGIPCIOS…

Estuvimos viendo que la suma y la resta están relacionadas.

En el antiguo Egipto, para resolver restas usaban sumas o completamientos. Resulta una estrategia interesante para usar y que nos hace más fácil pensar algunas restas. Por ejemplo si sabemos que 30 + 20 = 50, podemos pensar a 50 – 30 como 30 + … = 50 (30 ¿más cuánto da 50?). Entonces si 30 + 20 = 50; va a resultar que 50 – 30 = 20 y también 50 – 20 = 30.

8. uN TruCo QuE AYudA A rESTAr...

Saber una suma ayuda a restar, ¿qué restas podemos saber a partir de estas sumas?

DE ESTA SUMA… 7 + 8 = 15

10 + 9 = 19

UNA RESTA

15 – 8 =..……….

OTRA RESTA 15 – 7 =..……….

7 + 9 = 16

50 + 40 = 90

36

G.C.B.A.

500 + 400 = 900

Quitar, retroceder, comparar, completar...

9. Completá este cuadro con las sumas que te pueden ayudar para esas restas…

RESTAS

SUMA QUE AYUDA PARA RESOLVER LA RESTA

100 – 50

100 – 40 100 – 20

400 – 200 800 – 400 160 – 80

10. MuCHoS CáLCuLoS uSANdo EL 10

Si en un tablero de números ya arrancás desde el casillero número 95 y vas retrocediendo de 10 en 10, ¿en qué números vas cayendo?

El apoyo en el trabajo sobre el valor posicional de las cifras, la relación entre los agrupamientos de 10 / 100 y las posiciones de las cifras, etc., es buen “alimento” para avanzar en el uso de estrategias de cálculo. En ese sentido, el análisis de cómo cambia el número al sumar o restar 10 / 100 resulta un aporte importante tanto para el trabajo con sistema de numeración como para el cálculo mental. 0

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

30

31

32

33

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60

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68

69

50 70

80

90

Programa de aceleración Matemática Material para el docente

1

51

71

81

91

52

72

82

92

53

73

83

93

54

74

84

94

55

75

85

95

56

76

86

96

57

77

87

97

58

78

88

98

59

79

89

99

100

101

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110

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37

116

117

118

119

Propuestas para la enseñanza de la resta

Escribí a continuación los números en los que fuiste cayendo.

¿Qué sucede cuando a los números les restamos 10?

¿Sabés contar de 10 en 10 para adelante (10-20 30…)? ¿Hasta qué número podés contar así?

¿Y para atrás (100-90-80-…)? ¿Y si arrancamos de otro número (32- 42- 52-…)?

Contar de 10 en 10 puede ser muy útil para usar en las sumas y en las restas.

11. van restas para resolver. Si necesitás, podés usar el cuadro de números de arriba.

40 – 10 =

46 – 10 =

60 – 10 =

100 – 10 =

76 – 10 =

26 – 10 =

20 – 10 = 87 – 10 =

70 – 10 =

99 – 10 =

12. Los siguientes cálculos son para pensar, escribir y luego verificar con la calculadora.

130 – 10 =

450 – 10 =

260 – 10 =

340 – 10 =

490 – 10 =

264 – 10 =

789 – 10 =

576 – 10 =

245 – 10 =

899 – 10 =

Y a estos números, ¿que les pasa cuando le restamos 10?

13. ideas para restar números redondos…

38

G.C.B.A.

La intención es poder utilizar lo que se trabajó sobre “restar 10” para resolver restas de otros números redondos. Así, restar 20 puede ser resuelto como restar 10 y luego 10 más. Es interesante poner esas estrategias a discusión. Resulta pertinente hacer observable qué sucede con los resultados cuando se avanza restando siempre 10: por ejemplo, si se sacan cada vez 10 más, el resultado va disminuyendo de a 10, sacar 20 es como sacar dos veces 10, sacar 30 es sacar tres veces el 10, etc.

70 – 10 =

71 – 10 =

70 – 20 =

78 – 10 =

71 – 20 =

70 – 30 =

78 – 20 =

71 – 30 =

70 – 50 =

78 – 30 =

71 – 50 =

70 – 60 =

78 – 40 =

71 – 60 =

70 – 70 =

78 – 50 =

71 – 70 =

78 – 60 =

Quitar, retroceder, comparar, completar...

¿Sirve usar la resta de 10 para pensar la resta de 20 o de 30 o de 40...?

Contar de 100 en 100 también puede ser una buena ayuda ¿Sabés contar de 100 en 100 (100, 200, 300, 400,…) para adelante, ¿hasta qué número? ¿Y contar para atrás de 100 en 100 (1000, 900, 800, 700,…)?

14. restar el 100 a cualquier número… 350 – 100 =

350 – 100 =

376 – 100 =

400 – 100 =

700 – 100 =

450 – 100 =

1000 – 100 =

750 – 100 =

478 – 100 =

1200 – 100 =

764 – 100 =

1250 – 100 =

15. JUEGO DE RESTAS CON LA CALCULADORA… NÚMERO EN EL VISOR 45

¿QUÉ HAY QUE HACER?

300

5

200

780

80

570

470

734

34

580 Programa de aceleración Matemática Material para el docente

QUEDA EN EL VISOR

80

489

189

39

Propuestas para la enseñanza de la resta

16. de la fábrica de tornillos se retiran para el reparto 100 cajas de tornillos cada día. Se inicia con 1500 cajas con tornillos. Completá el cuadro con las cantidades que irían quedando cada día.

El dominio de las escalas es un buen apoyo para resolver situaciones de resta. Aquí se propone completar algunas, primero apoyadas en contexto y luego en un trabajo solo numérico. Es deseable que los niños vayan manejando escalas de a 10, de a 50, de a 100, de a 500, etc., tanto ascendentes como descendentes, como primeros recursos para apoyar el trabajo con cálculos. DíAS

1er

CAJAS DE TORNILLOS

2do

1500

3er

….......

….......

4to

5to

….......

….......

6to

….......

7mo

….......

8vo

9no

….......

….......

........ ........ ........

500

10mo

….......

a- ¿Y si comienza con 700, ¿cuántos le quedarán luego de tres días?

17. ESCALErAS QuE AYudAN A rESTAr…

a- Completá esta escala que va subiendo de 50 en 50.

50

100

150

........ ........

300

........ ........

b- otra escala que va bajando de 50 en 50…

1000

950

........

850

800

750

........ ........

600

550

........ ........

400

18. UN JUEGO DE DADOS PARA RESTAR MATERIALES: - Un papel y un lápiz para anotar para cada jugador. - Dos dados con números en sus caras. Un dado con el 300, 700, 30, 60, 4 y 5. Otro dado con: 800, 400, 40, 70, 6 y 3.

40

G.C.B.A.

■

Quitar, retroceder, comparar, completar... ■

COMO SE JUEGA: - Se juega de a 4 o 5 jugadores. En cada vuelta uno de los participantes será el secretario. - El secretario es el encargado de tirar diez veces los dos dados juntos y escribir en una hoja el cálculo que resulta de restar el dado más chico al dado más grande. Debe escribir el cálculo y no el resultado. Esa hoja servirá luego de las diez jugadas para controlar los resultados obtenidos por todos los jugadores. - Los jugadores en sus hojas deberán ir escribiendo el resultado de la resta de cada tirada. - Al terminar las diez tiradas, revisan entre todos los resultados obtenidos. - Si todos tienen el mismo resultado, se verifica con la calculadora y, si es el correcto, cada uno se anota 10 puntos. - Si el resultado no es el mismo para todos, cada uno explica cómo lo obtuvo. Se decide entre todos cuál es el correcto y luego se verifica con la calculadora. Se anotan 10 puntos sólo aquellos jugadores que lograron el resultado correcto. - Se vuelve a jugar y se cambia de secretario. - Gana el que, al final de las vueltas, obtuvo mayor puntaje. 19. Estos son los cálculos que quedaron anotados luego del juego, completalos.

Resulta interesante discutir los procedimientos e ir analizando si es posible utilizar alguna de las estrategias trabajadas antes como: descontar, descontar apoyándose en escalas –de a 100, de a 50, de a 5-, usar sumas “incompletas”, restar 10 o 100, etc. 300 – 100 =

50 – 8 =

200 – 50 =

800 – 700 =

40 – 10 =

800 – 50 =

50 – 30 =

40 – 4 =

30 – 2 =

¿Encontraron algún truco para resolver estas restas? ¿Usaron otros cálculos como ayuda para pensar? ¿Cuáles fueron más fáciles? ¿Por qué?

¿Cuánto más…?

Programa de aceleración Matemática Material para el docente

(Problemas de comparación. Establecer “distancias o diferencias” entre cantidades)

Se avanza aquí con un nuevo tipo de problemas que implican una resta para su resolución. Son los problemas de comparación entre cantidades. En estos problemas la pregunta planteada hace referencia a encontrar la diferencia entre dos colecciones: Patricia tiene 34 puntos y Cecilia tiene 26, ¿por cuántos puntos le ganó Patricia a Cecilia? Este tipo de situaciones implican poner en juego nuevamente esta relación que estamos intentando construir entre la suma y la resta. Aquí también, como en el 41

Propuestas para la enseñanza de la resta

caso de la relación entre partes, no se está frente a ninguna “acción”, los números miden cantidades “estáticas” y se necesita cuantificar la distancia entre ellas. La relación entre la suma y la resta, que será posible establecer a lo largo del trabajo con estos problemas, va a ayudar a los niños tanto a nivel del cálculo como a nivel de la comprensión de la situación. Como sucede en el caso de los problemas de complemento, la “suma incompleta” resulta muchas veces el tipo de cálculo y de escritura más cercana a la realidad que describe el problema. Como se verá, el tipo de pregunta que plantearán estos problemas va a variar progresivamente, desde aquellas que implican igualar dos colecciones (¿Cuántos puntos tiene que conseguir Cecilia para tener la misma cantidad que Patricia?) hasta las que se centran en “cuánto más” o “cuánto menos” tiene una colección que otra con la que se la compara. Aquí también se incluyen dibujos como apoyo para ayudar a la comprensión de la situación y de lo que se pregunta y de los cálculos posibles para resolverla. Como señalamos antes, las imágenes pueden ser un apoyo importante para encontrar la respuesta. De todos modos, la idea es dejar que cada niño decida qué hará para encontrarla. No es “un paso obligatorio”, sí puede ayudar a que construyan una imagen de la realidad relatada en el enunciado y puedan avanzar en su resolución. La intención es encontrar también progresivamente qué escrituras de cálculos pueden usarse para representar la solución. Los problemas planteados avanzan en ese sentido. 1. En un juego de tablero, Corina está en el casillero 30 y Marcela en el 35. ¿Cuánto se tiene que sacar Corina en el dado para llegar al mismo casillero que Marcela?

42

G.C.B.A.

2. romina juega también y está en el casillero 60, mientras que Andrea está en el 50. ¿Cuántos casilleros tiene que avanzar Andrea para empatar con romina?

Quitar, retroceder, comparar, completar...

3. virginia tiene 30 figuritas y yo tengo 20. ¿Cuántas figuritas tengo que conseguir para tener la misma cantidad que virginia? 4. Sofía tiene 70 figuritas y Cecilia tiene 50. ¿Cuántas tiene que perder Sofía para que le quede la misma cantidad que tiene Cecilia?

5. para la fiesta de fin de año de la escuela cada nene de 4to grado tiene que llevar un banderín. Hay 25 niños en 4to y, del año pasado, quedan solo 15 banderines. ¿Cuántos hay que comprar para que cada nene pueda tener el suyo? 6. para el campeonato de tenis están guardando las pelotitas que van a usar en tubos de plástico. iván tiene 13 pelotitas y su amiga Carla tiene 8.

a- ¿Quién tiene más pelotitas?

Programa de aceleración Matemática Material para el docente

b- ¿Cuántas más?

7. patricio mide 180 cm y su amigo Marcos mide 120 cm. ¿Cuánto tiene que medir el banquito al que se suba Marcos para alcanzar a patricio?

43

Propuestas para la enseñanza de la resta

8. María tiene su set de 15 pelotitas completo. Nahuel tiene sólo 7 pelotitas.

a- ¿Quién tiene más pelotitas? b- ¿Cuántas más?

9. ¡CARRERA DE AUTOS!

El auto A salió y avanzó 200 metros, el auto B va más adelante y ya avanzó 300 metros. ¿por cuántos metros le va ganado el auto B al auto A?

10. Camilo recorrió 600 km con su auto, mientras que Joaquín hizo 400 km.

a- ¿Quién recorrió más km?

44

G.C.B.A.

b- ¿Cuántos km más?

Quitar, retroceder, comparar, completar...

Si fuera complejo comprender el problema para algunos niños, no estando ya el dibujo, puede usarse el dibujo anterior como apoyo, o armar uno nuevo. Bajar los números también es un recurso interesante y suele ayudar a los niños a formarse una representación de lo que podrían hacer para resolverlo. Así se podría plantear cómo Camilo recorrió 8 km y Joaquín 5… e ir subiendo progresivamente.

En las situaciones en las que hay que calcular la distancia entre dos números se puede usar una suma “incompleta” o una resta para resolverlos. Por ejemplo: para saber cuánto es la diferencia entre 600 y 400 se puede pensar como 600 – 400 = 200, o también como cuánto le falta a 400 para llegar a 600, o sea 400 + …. = 600.

11. Esta es una tabla de posiciones de un torneo de fútbol. Allí se anotan los goles que hizo un equipo y los goles que le hicieron los otros a él. Son los goles a favor (GF) y goles en contra (GC). Cuando los equipos tienen la misma cantidad de puntos, se usa la diferencia de goles para ver cuál de ellos está en mejor posición. En este campeonato Lanús, vélez y Newell’s tienen los mismos puntos, ¿pero cómo es la diferencia de goles? Completá el cuadro.

EQUIPO

GC

DG

PUNTOS

12

33

14

…....

31

24

20

…....

31

27

21

…....

31

GOLES EN CONTRA

LANúS

34

véLEz SArSfiELd

SAN LorENzo

Programa de aceleración Matemática Material para el docente

GF

GOLES A FAVOR

NEwELL'S oLd BoYS

29

17

45

DIFERENCIA DE GOLES

Propuestas para la enseñanza de la resta

12. Marisa tiene 47 años y su prima Camila tiene 67, ¿cuántos años le lleva Camila a Marisa?

13. Baltazar tiene 34 años y su hermana 20, ¿cuántos años le lleva Baltazar a su hermana? Elegí el o los cálculos que sirven para este problema y luego resolvelo: 34 + 20 =..……….

20 +..………. = 34

34 – 20 =..……….

Como ya señalamos en casos anteriores, este tipo de problema implica un cambio en el tipo habitual de trabajo que se pide a los niños. Decidir qué cálculo corresponde, pone a los niños a reflexionar más centralmente sobre la relación cálculo–problema. Cómo se resuelve el cálculo no es ya un problema, sino que la cuestión central es establer por qué un cálculo funciona como medio de solución de una situación determinada, y por qué otro no. Esto permitiría avanzar sobre la discusión de qué hay en el problema que permite pensarlo como una suma o una resta, o ambas, etc. Permite analizar qué representan los números en el problema; si la cantidad obtenida puede ser mayor que las que aparecen en el problema, que se está tratando de encontrar la distancia entre números, etc.

Cuando hay que encontrar la distancia o diferencia entre dos números, se puede resolver usando una suma incompleta o una resta .

Por ejemplo para saber cuánto hay entre el 14 y el 34 se puede hacer: 34 – 14 o también pensar en cuánto le falta al 14 para llegar al 34 o sea 14 +….. = 34.

¡Volvemos con los cálculos de resta para saber más!

(Uso de la diferencia entre números como estrategia para restar. Desarmar números para restar y restar por partes)

46

G.C.B.A.

La intención es poner en juego nuevamente -ahora a nivel del cálculo- que restar es contar diferencias y que, para resolver una resta, es posible hacerla calculando “cuánto le falta a un número para llegar a otro” y viceversa. Un objetivo importante de este trabajo es que los alumnos sean capaces de sustituir el cálculo b–c, por un cálculo del tipo “de c para llegar a b”. Esta equivalencia de cálculos es

Quitar, retroceder, comparar, completar...

interesante que también haya sido planteada a propósito de la discusión sobre los problemas de comparación o diferencia. Otro tema que será trabajado aquí es la estrategia de desarmar el sustraendo para restar, lo que llamaremos “restar por partes”. En la resta es posible descomponer el sustraendo en una suma y restar sucesivamente esos sumandos al minuendo. Así 58 – 35 puede ser pensando como 58 – (30 + 5) y entonces hacer 58 – 30 – 5. La intención es desarrollar esa estrategia con los niños.

1. rESTAS pArA SEguir pENSANdo…

¿de qué forma se podrían pensar estas restas? Buscá el resultado de cada una. 13 – 9 =

13 – 9 =

9–7=

15 – 10 =

8–5 =

18 – 11 =

9–6=

16 – 12 =

19 – 13 =

Antes vimos que los egipcios usaban sumas para restar. Restar es contar la diferencia entre números. Por eso, cuando tengo una resta puedo hacerla buscando cuánto le falta a un número para llegar al otro número . Por ejemplo, para hacer 15 – 9 puedo pensarla como “cuánto le falta a 9 para llegar a 15” . 2. ¿Cuánto le falta para…?

¿Cuánto le falta a 6 para llegar a 10? __________

¿Cuánto le falta a 7 para llegar a 10? __________

¿Cuánto le falta a 16 para llegar a 20? __________

¿Cuánto le falta a 17 para llegar a 20? __________

Programa de aceleración Matemática Material para el docente

¿Cuánto le falta a 36 para llegar a 40? __________

47

Entonces 10 – 6 = __________

Entonces 10 – 7 = __________

Entonces 20 – 6 = __________

Entonces 20 – 7 = __________

Entonces 40 – 36 = __________

Propuestas para la enseñanza de la resta

3. ideas para restar a números redondos. Estas cadenas de cálculos nos pueden ayudar a pensar algunas cosas sobre las restas a los números que terminan con cero: 10 – 1 =

20 – 1 =

30 – 1 =

40 – 1 =

10 – 4 =

20 – 4 =

30 – 4 =

40 – 4 =

10 – 2 =

20 – 2 =

10 – 3 =

30 – 2 =

20 – 3 =

10 – 5 =

30 – 3 =

20 – 5 =

10 – 6 =

30 – 5 =

20 – 6 =

30 – 6 =

40 – 2 = 40 – 3 =

40 – 5 =

40 – 6 =

Cuando a un número que termina en cero se le resta otro de una sola cifra, para encontrar el resultado sirve pensar en lo que sucede cuando le restamos números al 10.

Si 10 – 7 = 3 entonces, por ejemplo, 30 – 7 = 23; 60 – 7 = 53; 80 – 7 = 73 …

4. TUTTI FRUTI DE RESTAS…

¿Sabés jugar al Tutti fruti con palabras? Este es parecido pero con números y cálculos. ■

MATERIALES: - Dos cartones, en cada jugada se usa uno y es el mismo cartón para cada jugador. COMO SE JUEGA: - Se puede jugar entre la cantidad de chicos que se desee. - Cada jugador debe escribir en su cartón la mayor cantidad de cálculos de resta que den por resultado los números indicados arriba de cada columna. - Cada jugada dura 1 minuto. - Luego de cada jugada se anotan 10 puntos por cálculo que nadie haya usado, 5 por cálculo que esté repetido y se resta 1 punto por cada cálculo que no sea correcto.

48

G.C.B.A.

■

Quitar, retroceder, comparar, completar...

JUGADA 1

JUGADA 2

1

10

5

20

100

50

5. RESTAR POR PARTES... a- ¿Será cierto que 100 – 54 se puede resolver así? resolvé y luego probalo con la calculadora. 100

–4

– 50

............

............

b- ¿Y así? resolvé y luego probalo con la calculadora. 100

– 50

–4

............

............

c- probá restar por partes estos números, fíjate cómo te conviene hacerlo en cada caso. verificá los resultados con la calculadora. 40 – 23 = 80 – 16 =

60 – 18 = 100 – 45 =

90 – 18 = 200 – 53 =

Programa de aceleración Matemática Material para el docente

d- Buscá maneras de resolver estos cálculos desarmando el número que hay que restar y luego comprobá los resultados con la calculadora.

87 – 54 = 56 – 12 =

64 – 36 = 85 – 36 =

74 – 38 = 135 – 27 =

49

Propuestas para la enseñanza de la resta

Para restar números entre sí, es posible desarmar el número que se resta y luego restarlo por partes al primero.

Por ejemplo, para hacer 87 – 23, se puede desarmar el 23 en 20 + 3 y restar primero el 20 y luego el 3 o primero el 3 y luego el 20, como resulte más cómodo. 87 – 23 = 87 – 20 – 3 = Entonces hacemos 87- 20 = 67 y luego 67 – 3= 64.

Problemas para comprar y vender

(Problemas que ponen en juego el cálculo de “vueltos” con dinero) El cálculo de“ vueltos” es también un tipo de situación que suele traer dificultades a los niños. Muchas veces, en las situaciones cotidianas de compra y venta, los vueltos se resuelven apelando a “completar” sumas. Es interesante retomar esta estrategia que ya fue presentada varias veces en las propuestas anteriores y volver nuevamente sobre la idea de que también es la resta la operación que podría utilizarse. Algo importante a conceptualizar es calcular “cuánto le falta a un número a para llegar a un número b” es lo mismo que hacer b – a. 1. Julián fue al supermercado y compró dos productos. gastó $100. ¿Cuál puede haber sido el precio de cada producto? Escribí por lo menos cinco posibilidades.

50

G.C.B.A.

Este problema tiene varios resultados correctos posibles y eso es algo interesante para analizar con los niños. Se trata de que pongan en juego diversas descomposiciones que den 100. Puede resultar valioso comparar las distintas maneras y estrategias puestas en juego.

Quitar, retroceder, comparar, completar...

2. Marcelo entró al negoció para hacer compras con su dinero en la mano.

¿Cuánto dinero le sobró luego de su compra?

3. Sebastián tiene $400. ¿Cuánto dinero le falta para poder comprarse una mochila escolar?

4. Cecilia tiene $500…

a- ¿Le falta o le sobra dinero para comprar una agenda y una abrochadora?

Programa de aceleración Matemática Material para el docente

b- ¿Cuánto?

c- Si compra una calculadora y paga con $350, ¿cuánto dinero le sobra?

51

Propuestas para la enseñanza de la resta

5. ¿Alcanza el dinero que ves allí para comprar esos libros? ¿Cuánto sobra o cuánto falta?

6. Cecilia fue a la farmacia…

a- ¿Cuánto dinero deben darle de vuelto a Cecilia?

52

G.C.B.A.

b- ¿Qué cálculo puede servir para resolverlo?

Quitar, retroceder, comparar, completar...

7. Marisa está en la librería…

¿Cuánto dinero le deberían dar de vuelto a Marisa? Marcá el cálculo o los cálculos que te servirían para responder la pregunta: 35 + 50 =

35 +..……….= 50

50 – 35 =

8. Con Alan en el supermercado…

En el supermercado Alan debe pagar $75, le entregó a la cajera un billete de $100 y la cajera le devolvió así:

Programa de aceleración Matemática Material para el docente

primero le dio este billete: Y le dijo: “y 5 son 80…”

53

Propuestas para la enseñanza de la resta

Luego le dio este otro:

Y dijo: “y más 20, son 100. Muchas gracias”.

a- ¿Cuánto dinero le entregó de vuelto en total? b- Acá aparecen varios cálculos, marcá cuál o cuáles de ellos podrían servir para mostrar lo que pensó la cajera.

75 + 5 + 20 =

75 + 25 =

75 + 100 =

100 – 75 =

Se espera que pueda discutirse que tanto el 75 + 5 + 20 como el 75 + 25 son posibles. Lo que ocurre es que el primero es el que “más cercano” resulta al modo en que efectivamente la cajera entregó el vuelto. Con respecto al 100 — 75 también es un cálculo posible, aunque no es el modo en el que “funcionó” el procedimiento de la cajera. De todas maneras la idea es discutir la inclusión de ese cálculo como una de las formas de encontrar la distancia entre 75 y 100. En ese sentido resultará valioso hacer referencia a otros problemas de distancia o diferencia que hayan sido trabajados antes y a las conclusiones a las que se arribó en ese momento. 9. gonzalo compró un libro para la escuela que cuesta $115 y pagó con $150, ¿cuánto le debían dar de vuelto?

El cálculo de un vuelto se puede pensar como el cálculo de la distancia o la diferencia entre números.

La distancia entre números, como ya dijimos, se puede calcular como una resta o como una suma incompleta.

54

G.C.B.A.

Por ejemplo, para calcular la distancia entre 40 y 100 se puede pensar cuánto le falta al 40 para llegar al 100 y usar la suma 40 + 60 = 100; o también se puede pensar con la resta 100 – 40 =

Pensando sobre los cálculos de resta...

Quitar, retroceder, comparar, completar...

(Análisis de algunas particularidades del cálculo de resta) El cálculo de resta tiene algunas propiedades que son particulares y diferentes de la suma; esta es una de las razones que hacen que sea más complejo y menos “manejable” que el cálculo de suma. Dado que la resta como operación no cumple con las mismas propiedades que la suma, algunos procedimientos “usables” a la hora de resolver sumas no son posibles en el caso de la resta. En particular, por ejemplo, podemos señalar el uso de la propiedad conmutativa que permite “mover” los sumandos para generar cálculos más fáciles. Esto no es posible en la resta. Por ejemplo sabemos que 2 + 8 puede ser pensado más fácilmente como 8 +2. Por el contrario, en la resta, ya que minuendo y sustraendo cumplen distinto rol, no podemos pensar a 8 – 5 como 5 – 8, pues no nos daría el mismo resultado. Es habitual ver que los niños transfieren esa posibilidad que tiene la suma de invertir el orden para facilitar el cálculo, al cálculo de resta. Es usual que lo hagan cuando se encuentran en el algoritmo con situaciones como 5 – 7, al restar en columna, por ejemplo 85 – 37. Otros, al encontrarse con 5 – 7 suponen que da 0. En este apartado se proponen algunas situaciones que permitan avanzar en analizar estas peculiaridades del cálculo de resta y sus diferencias con el cálculo de suma. Por otro lado, al modificar los números de una resta también suceden “cosas distintas” si el modificado es el minunedo que si lo es el sustraendo. Esto también es una diferencia importante con respecto a la suma. La idea en este apartado es permitir alguna exploración de esas cuestiones.

1. ¡Cadenas de restas! 60 – 10 =

83 – 10 =

60 – 13 =

83 – 13 =

60 – 11 =

60 – 12 =

60 – 14 = 2. Cadenas para completar…

50 -..……….= 40

50 -..……….= 45 Programa de aceleración Matemática Material para el docente

50 -..……….= 30

50 -..……….= 35

¿Qué pasa con el resultado cada vez que se va restando un número que es uno más grande que el anterior? ¿Sube o baja? ¿Cuánto?

83 – 11 =

83 – 12 =

83 – 14 =

70 -..……….= 60

70 -..……….= 61

70 -..……….= 62

70 -..……….= 63

55

80 -..……….= 40

80 -..……….= 45

80 -..……….= 50

80 -..……….= 55

Propuestas para la enseñanza de la resta

3.usar una resta para pensar otras restas…

Podés probarlo con la calculadora

- Si 40 – 10 = 30, ¿cuánto será 40 – 11?

¿Y cuánto será 40 - 12?

- Si 150–10 = 140, ¿cuánto será 150 – 11?

¿Y cuánto será 150 – 13?

- Si 67 – 20 = 47, ¿cuánto será 67 – 21?

¿Y cuánto será 67 – 22?

- Si 48 – 20 = 28, ¿cuánto será 48 – 19?

¿Y cuánto será 48 – 18?

4. USAMOS LA CALCULADORA PARA EXPLORAR… una resta que, sabemos, puede ayudar a resolver otras restas cercanas… SI…

¿CUÁNTO ES?

57 – 20= 37

¿57 – 21?

145 – 5= 140

¿145 – 6?

34 – 4= 30

85 – 20= 65

134 – 100= 34

¿28 – 9?

¿35 – 4?

VERIFICO CON LA CALCULADORA

¿85 – 22?

¿134 – 99?

56

G.C.B.A.

28 – 10= 18

PIENSO QUE VA A DAR…

Quitar, retroceder, comparar, completar...

5. PARA PENSAR Y PROBAR CON LA CALCULADORA… Acá hay varias afirmaciones, decidí si son verdaderas o falsas y explicá por qué. ¡Luego probalas con la calculadora!

Es lo mismo hacer 7 + 6 que 6 + 7

Es lo mismo hacer 8-5 que 5-8

3-7 da como resultado 4

89-19 se puede pensar como 89-10-9 o como 89-9-10

6-9 no se puede hacer

6-9 da 0

7-3 da como resultado 4

En los cálculos de suma es posible cambiar de lugar los números y el resultado no varía. En el cálculo de resta eso no es posible pues, al cambiar de lugar los números, da otro resultado.

Programa de aceleración Matemática Material para el docente

Por ejemplo 7 – 3 = 4, y si hacemos 3 – 7 va a dar un número más chico que el cero.

57

Propuestas para la enseñanza de la resta

¿Cuánto había antes?

(Problemas que implican averiguar el estado inicial luego de una transformación) En este apartado se presentan problemas que abordan otro sentido de la suma y de la resta. Se trata de situaciones en las que se produce una acción de agregar o de sacar que se conoce y se conoce también a qué cantidad se llega; lo que hay que averiguar es la cantidad inicial de la que se partió. Estas situaciones son complejas de comprender pues implican reconocer que se trata de realizar una acción “contraria” a la que se realizó, para volver al inicio de la situación. Presentamos problemas que juegan tanto la suma como la resta con ese sentido. En lo que se refiere en particular a la resta, como señalábamos en la introducción de este documento, son situaciones en las que ocurre una transformación positiva (se agrega una cantidad), se conoce cuánto queda como resultado final y lo que hay que averiguar es cuál era la cantidad inicial. Allí, comprender que esa situación se resuelve con una resta, es poder comprender la relación inversa de la resta con la suma. La resta permite "deshacer lo que hace” la suma. La resta permite invertir una transformación positiva para volver a la cantidad inicial. 1. Mónica salió de compras con dinero en la billetera, hizo algunos gastos.

¿Cuánto dinero tenía Mónica en su billetera ANTES de hacer las compras?

58

G.C.B.A.

Iniciamos con una situación que pone en juego la suma para “deshacer” lo que hizo la resta. Es interesante que los niños puedan representarse lo que la situación relata. Si bien en la imagen no está, el poder recuperar que al inicio de la salida de Mónica la billetera tenía esos billetes que luego fue gastando permite poder imaginar posibles formas de solución. Una cuestión compleja es que, si bien es una situación de gasto o pérdida, para volver al principio es necesario sumar. También podría averiguarse pensando “a qué número al sacarle 7 le quedan 20” y podría representarse …. – 7 = 20, lo que implica una opción compleja que puede resolverse tanteando y probando con diversos números -un tanteo que es interesante pensar cómo hacerlo más eficiente-; o se puede resolver, como señalamos antes, usando repertorios de sumas disponibles: si 20 + 7 es 27, entonces si a 27 – 7 obtengo 20.

Quitar, retroceder, comparar, completar...

2. A la semana siguiente Mónica volvió a salir de compras. Llevaba dinero en su billetera. gastó $40 en la librería. Cuando llegó de nuevo a su casa le quedaban $10. ¿Cuánto dinero tenía cuando salió de su casa? 3. DE NUEVO UN JUEGO CON EL TABLERO Y CON DADOS…

En otro contexto, se inicia ahora con situaciones en las que hay que averiguar cuánto había en el inicio luego de que “se agregó algo”. El uso del dibujo del tablero puede ser un buen apoyo. Pensar luego qué cálculo serviría para la situación podría también resultar interesante pues hay diversas posibilidades.

a- Marisa estaba jugando con el tablero y los dados. Estaba en un casillero, sacó un 6 y avanzó al número 56, ¿de qué número salió? b- Esteban estaba en otro casillero, sacó un 6 y llegó al casillero 71, ¿de qué número salió?

c- A Maribel le tocó retroceder pues cayó en un casillero con trampa. retrocedió 5 casilleros y llegó al 60, ¿de qué casillero partió?

4. María está ahorrando dinero para comprarse una campera. recibió $40 de regalo de su abuelo y ahora ya tiene $100. ¿Cuánto dinero había logrado ahorrar antes de agregar lo que le regaló su abuelo?

Programa de aceleración Matemática Material para el docente

5. ADIVINANZAS CON NÚMEROS PARA RESOLVER CON CALCULADORA…

En este caso, los números involucrados permiten movilizar repertorios de sumas ya conocidos. La intención es habilitar la posibilidad de usar resultados memorizados que sirvan de base para resolver otras situaciones de sumas incompletas. Por ejemplo, si al 30 le agrego 70 y llego a 100, ¿qué pasa si tengo 35 (y ya no 30) para llegar a 100? ¿Cómo puedo usar lo que ya sé del cálculo con 30? 59

Propuestas para la enseñanza de la resta

Discutir también la posible escritura en forma de cálculo de la adivinanza planteada puede resultar también una actividad interesante en la medida en que permite relacionar escrituras matemáticas con la situación descripta abonando así a enriquecer su sentido. a- pienso un número, le sumo 30 y me da 100, ¿qué número pensé? b- pienso un número, le sumo 35 y me da 100, ¿qué número pensé?

c- pienso un número, le sumo 100 y me da 300, ¿qué número pensé? d- pienso un número, le sumo 150 y me da 300, ¿qué número pensé?

e- pienso un número, le sumo 200 y me da 400, ¿qué número pensé? f- pienso un número, le sumo 250 y me da 400, ¿qué número pensé?

6. ¡Elegir qué cálculo o cálculos sirven para este problema!

pienso un número, le sumo 300 y me da 800, ¿qué numero pensé?

..……….+ 300 = 800

800 + 300 =..……….

800 – 300 =..……….

7. Cecilia está ahorrando dinero para comprar la remera de egresados de 7mo grado. Esta semana agregó $60 que le dio su tía y le quedaron $200. ¿Cuánto dinero tenía ahorrado hasta la semana pasada? Elegir el o los cálculos que sirve/n para resolver el problema.

..……….+ 60 = 200

200 + 60 =..……….

200 – 60 =..……….

En estos problemas fue necesario averiguar la cantidad que había al inicio después de que se agregó una cantidad o que se sacó una cantidad. Para averiguar lo que había se hizo necesario a veces sumar y otras veces restar, dependiendo de cómo era la situación. Por ejemplo, para averiguar lo que había ANTES luego de que se agregó una cantidad es posible pensar de diferentes maneras:

Una manera es restar esa cantidad que se agregó para volver a tener la misma cantidad que al inicio.

60

G.C.B.A.

También se puede pensar como una suma incompleta: qué número sumado a lo que se agregó da como resultado lo que se tiene al final.

Quitar, retroceder, comparar, completar...

Más cálculos para practicar

(Repertorio de restas de números mayores) 1. ¡restas usando el 1000! 1000 - 400=

1000 -

= 100

1000 - 600=

1000 -

= 300

1000 - 500=

1000 -

1000 - 700=

1000 -

1000 - 800=

1000 -

= 200 = 400 = 500

2. pirámides de números más grandes.

1000

..... .....

600

250

.....

400

500

.....

300

.....

3. restas de números redondos grandes. resolvé los siguientes cálculos:

1500..……….– 500 =

2000 – 1000 =..……….

Programa de aceleración Matemática Material para el docente

4. Sumas y restas relacionadas.

- Si 700 + 700 = 1400, entonces 1400 – 700 =..………. - Si 800 + 700 = 1500, entonces 1500 – 800 =..………. - Si 600 + 400 = 1000, entonces 1000 – 400 =..………. - Si 900 + 300 = 1200, entonces 1200 – 900 =..……….

61

4000 – 2000 =..……….

.....

2300 – 300 =..……….

Propuestas para la enseñanza de la resta

5. Cadenas de cálculos que nos ayudan a pensar.

250 +..……….= 300 250 +..……….= 310 250 +..……….= 320 250 +..……….= 330 250 +..……….= 400

1200 +..……….= 1300 1200 +..……….= 1400 1200 +..……….= 1500 1200 +..……….= 1550 1200 +..……….= 2000

¿Te sirve usar lo que resolviste antes para pensar el cálculo que sigue?

Cuando los años son un problema

(Problemas que ponen en juego cálculos de diferencia entre años) En este apartado se focaliza en un asunto que suele presentar algunas dificultades a los niños: el cálculo de las diferencias de años en el contexto de edades, duraciones, etc. Si bien son problemas similares a algunos ya presentados antes (problemas en los que es necesario calcular diferencias o distancias entre números), el contexto y, en particular, el tamaño de los números involucrados, suele hacer que se vean como problemas más complejos y “diferentes”. Resulta necesario entonces, vincularlos con aquellos problemas ya trabajados en los que se hayan averiguado distancias entre números y discutir la puesta en juego de estrategias posibles para esos problemas: usar sumas memorizadas, ir completando parcialmente con sumas, usar resta, etc. Algo importante a conceptualizar aquí nuevamente es que el cálculo de suma incompleta es equivalente a la resta. Es decir que calcular “cuánto le falta a un número a para llegar a un número b” es lo mismo que hacer b – a. 1. Los hechos de la vida tienen un orden. ocurrieron unos después de otros y es posible entonces ordenarlos en el tiempo. para hacerlo se puede usar una recta con números, se llama línea de tiempo. Sirve para ubicar un hecho y nos sirve también para poder “ver” más fácilmente cuántos años pasaron entre un evento y otro.

La intención con esta situación es que la recta pueda ser usada como una herramienta que apoye la resolución para el cálculo de las duraciones. El uso de escalas de a 5, de a 10, 100, etcétera, para contar es un buen apoyo en estas situaciones. La recta permite hacer “visible” qué es lo que se calcula cuando se cuenta el tiempo transcurrido entre un evento y otro. En esta línea, cada marca indica que pasaron 5 años, va desde el año 1960 hasta el 2015. 1965

1970

1975

1980

1985

1990

62

1995

2000

2005

2010

2015 G.C.B.A.

1960

Analizando la recta se pueden contestar estas preguntas:

Quitar, retroceder, comparar, completar...

- ¿Cuántos años pasaron desde el año 1960 hasta el año 2000? (Marcalo con color sobre la recta.) - Cecilia nació en 1965, ¿cuántos años cumplió en el 2010? - ¿Y cuántos años tendrá Cecilia en el 2015?

- En 1970 nació Marcelo, ¿cuántos años cumplirá en el 2015?

Sobre vos…

¿En que año naciste?

La edad de una persona son los años que pasaron desde su nacimiento. (ubicalo aproximadamente en la recta.)

¿Cuántos años pasaron desde ese momento?

¿Cuántos años tenés?

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2. La bruja Maruja dice que nació en el año 1900, ¿cuántos años tiene ahora?

3. Ana María vela rubio es una de las mujeres más ancianas del mundo. Nació en 1901, ¿cuántos años tiene ahora?

63

Propuestas para la enseñanza de la resta

4. Matías y Hernán son amigos:

a- ¿Quién de los dos es más grande, Matías o Hernán? b- ¿Cuántos años más grande? c- ¿Cuántos años tiene Matías? d- ¿Cuántos años tiene Hernán? 5. La segunda guerra mundial fue uno de los hechos más terribles de la historia de la humanidad. Se inició en el año 1939 y culminó en 1945. ¿Cuántos años duró? 6. En el año 1969 el hombre llegó a la Luna por primera vez, ¿cuántos años pasaron desde entonces? 7. Sobre escritores, biografías y cronologías. Esta es una lista de escritores famosos. Están las fechas de su nacimiento y de su muerte. Calculá cuántos años tenía cada uno de ellos en el momento de su muerte y completá el cuadro.

william Shakespeare

rudyard Kipling

Año dE NACiMiENTo

1564

1616

1865

María Elena walsh

1930

osvaldo Soriano

1943

Jorge Luis Borges

Año dE fALLECiMiENTo

EdAd QuE TENíA CuANdo Murió

1936 2011

1899

1986

1997

64

G.C.B.A.

ESCriTor

Quitar, retroceder, comparar, completar...

¿Cuál de ellos vivió más años?

Para calcular cuántos años pasaron desde una fecha determinada hasta otra, se puede pensar calculando la distancia entre los años.

Por ejemplo, para saber cuántos años pasaron entre 1950 y el 2014 se puede pensar como cuánto le falta al 1950 para llegar al 2014, o sea 1950 más cuánto da 2014. O sea 1950 + ……. = 2014.

Se puede pensar también completando por partes: 1950 + 50 = 2000 y luego pensar en que 2000 + 14 = 2014 Entonces 1950 + 64 = 2014. Pasaron 64 años.

También se puede pensar como una resta de 2014 – 1950, y así se puede averiguar en un solo paso.

La cuenta de restar

(Inicio del trabajo con el algoritmo de resta)

Abordamos aquí algunas propuestas para el trabajo con el algoritmo de la resta. La intención es que todo el trabajo anterior con cálculos mentales ayude ahora también a controlar los resultados obtenidos con las “cuentas de resta”. Se propone retomar algunas cuestiones trabajadas anteriormente como: “en la resta no se puede ‘dar vuelta’ los números”, “3-7 no es lo mismo que 7-3”, “3–7 no da 0”, “se puede estimar y aproximar el resultado para controlar”, etc.

Programa de aceleración Matemática Material para el docente

En el inicio del trabajo se propone analizar posibles desarmados de números para realizar restas. Un de las cuestiones que complejiza mucho el trabajo con el algoritmo de resta es que no se apoya en las estrategias de cálculo mental que habitualmente se podrían poner en juego. El algoritmo que utilizamos para restar opera por columnas. Cuando en alguna de las columnas el minuendo es mayor que el sustraendo, su funcionamiento se apoya en el“desarmado” (con base en el valor posicional y el agrupamiento de a 10) del minuendo para poder efectuar la resta. (40) (10 + 4) 54 38 16 65

Propuestas para la enseñanza de la resta

Así, frente a 54 – 38, el 50, en lugar de ser pensado como 50 + 4, pasa a ser pensado como 40 + 14, para posibilitar la resta de las unidades. Este “desarmado” resulta en general muy “oscuro” para los niños y no es el “desarmado” que más habitualmente se pone en juego en el cálculo mental, en el que resulta más sencillo descomponer el sustraendo y pensar el 54 – 38 como 54 – 30 – 8, por ejemplo. Por eso, con la intención de hacer más transparente lo que en el algoritmo se juega, se propone en las primeras actividades analizar diferentes desarmados de números. 1. un cajero automático solo entrega billetes de 10, 20 y 50. a- Cecilia tiene que retirar $80. El cajero le entrega así:

¿Es correcto?

¿por qué?

b- Y si le hubiera entregado así:

¿Es correcto también?

66

G.C.B.A.

c- ¿Hay otra manera posible de armar $80 con esos billetes? Escribí todas las que encuentres. podés escribir los números directamente. podés también escribirlas en forma de cálculo.

Quitar, retroceder, comparar, completar...

La idea es poder vincular los diversos cálculos que dan 80. Por ejemplo: 50 +20 +10 = 80 y también es posible 50 +10 +10 +10. En el primer cálculo, el 20 está “reemplazando” el 10 +10 del posterior, esa relación entre cálculos permitiría “explicar” que el resultado no varíe. 2. Escribí en forma de cálculo diferentes maneras de armar $65 usando estos billetes (de 5, de 10, de 20 y de 50).

$ 65: 3. Escribí por lo menos cuatro sumas de dos números que den 45.

4. Calculá cuánto dan estos cálculos… Luego verificalo con la calculadora. 70 + 8 =..………. 60 + 18 =..………. 50 + 28 =..………. 40 + 38 =..………. 30 + 48 =..………. 20 + 58 =..……….

¿Por qué será que siempre da el mismo resultado?

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5. JUEGO DE TUTIFRUTTI

En este juego hay que desarmar números con sumas pero, atención que uno de ellos debe ser un número redondo. por ejemplo: el 57 puede ser 50 + 7 o 30 + 27 o 20 + 37…

67

Propuestas para la enseñanza de la resta

■

MATERIALES: - Tres cartones como estos para cada jugador. En cada jugada se usa uno. COMO SE JUEGA: - Hay que escribir la mayor cantidad de cálculos de suma que den por resultado el número indicado en cada columna y una condición es que uno de ellos tiene que ser un número redondo. - Cada jugada dura 1 minuto. - Se anotan 10 puntos por cálculo que nadie haya usado, 5 por cálculo que esté repetido (atención que, por ejemplo, 20 + 35 y 35 + 20 se considera el mismo cálculo para este juego) y se resta 1 punto por cada cálculo que no sea correcto (no da el número de la columna o no se usó un número redondo).

JUGADA 1

JUGADA 2

JUGADA 3

36

89

78

45

123

165

238

137

103

108

218

309

6. Buscá una manera de resolver este cálculo. verificalo luego con la calculadora.

Recordá que podés desarmar números y restar por partes.

75 – 27 = 68

G.C.B.A.

■

Quitar, retroceder, comparar, completar...

Es posible que, al intentar resolver este cálculo, algunos de los niños que decidan desarmar ambos números produzcan el error de considerar a 5 - 7 como 7 - 5 = 2, extendiendo a la resta aquella propiedad que sí es aplicable en la suma; o también como 5 - 7 = 0. Por eso resulta interesante someterlo a discusión y analizar qué sucedió. Este problema ya fue tratado antes en este documento a propósito del análisis de las “particularidades” del cálculo de resta y su diferencia con el cálculo de suma. Resultará por eso importante retomarlo ahora. En los problemas siguientes se volverá nuevamente sobre este aspecto.

7. Acá aparecen dos maneras de resolver el cálculo 74 – 28, pero una es correcta y otra no. Analizalas y discutí cuál es correcta y cuál no lo es y por qué… JoAQuíN Hizo:

EMiLiANo Hizo:

8. resolvé estas restas y marcá las que te resulten más difíciles. Las difíciles son para discutir entre todos.

Programa de aceleración Matemática Material para el docente

63 – 18 =

42 – 12 =

71 – 17 =

Como ya hemos dicho, es posible que aparezcan diversas maneras de desarmar los números para el cálculo. Es probable que aparezcan formas correctas y otras no. Es importante someter a discusión estos procedimientos y analizar formas posibles. La calculadora puede ser una buena herramienta de validación de los resultados. Nuevamente, como ya señalamos, es posible que surjan errores como 60 – 10 y luego 3 – 8 pensado como 8 - 3 = 5 ; o 3 – 8 = 0. Es necesario entonces volver a retomar las discusiones anteriores sobre “aquello que es posible con la suma y no es posible con la resta”, “en una resta no se pueden dar vuelta los números”, no de lo mismo 3 - 8 que 8 - 3”, etc. 69

Propuestas para la enseñanza de la resta

Una forma de resolver 63 – 18 es desarmar el 18 como 10 + 8 y restar primero 10 y luego el 8. O sea: 63 – 10 – 8 =

Otra manera de desarmar es pensando el 63 como 60 + 3 y restar el 60 – 10 y el 3 - 8 ¡¡pero nos encontramos con el problema de que 3 - 8 nos da menos que cero…!!

Por eso una alternativa es desarmar al 63 como 50 + 13 y así restar al 50 – 10 y al 13 el 8 50 – 10 = 40 y 13 – 8 = 5; por lo tanto 63 – 18 = 45.

9. probá resolver abajo el cálculo 71 – 17 -que está presentado en el punto 8- usando la manera de desarmar el número indicada en el recuadro. 10. Te presentamos una vieja y conocida manera de restar para que analicemos cómo funciona. Como en el caso de la suma, para restar es posible armar la cuenta colocando los números en columnas. 5

6 1

4

1

3

¿Cómo funciona esta forma de restar? ¿Cómo se desarmó el 63? ¿Por qué se tachó el 6 y hay un 5 en su lugar?

8

5

11. Estas son dos maneras de resolver la cuenta 185 – 58:

1

8

5

1

2

7

1

5

8

7

1

8

5

2

7

5

¿En qué se parecen y en qué son distintas estas dos formas de cuentas?

8

70

G.C.B.A.

1

70 15

Quitar, retroceder, comparar, completar...

12. Estas son dos cuentas de resta, miralas y analizalas un poco. después resolvelas... ¿Cuál te parece que resulta más fácil de hacer? 6

8

7

2

2

1

5

¿Por qué una resulta más fácil que la otra? ¿Cuál es la diferencia entre ellas?

7

Se propone aquí hacer explícita la dificultad que tiene el algoritmo de resta cuando una de las cifras del minuendo es mayor a la correspondiente en el sustraendo. La idea, por supuesto, no es que los niños lo señalen con esos términos sino que se explicite qué es lo que “hace difícil” a las cuentas de resta y se sistematice esa idea armando alguna conclusión que puede incluir también cuál es el procedimiento a utilizar en esos casos. Por ejemplo: “Cuando al restar el número de arriba es más pequeño que el de abajo es necesario transformar la cuenta, desarmar el número y pasar un diez a los unos…” 13. resolvé estos cálculos. 8

2

7

9 4

5

5 7

14. Aparecen aquí varias cuentas de restar. Elegí la manera en que preferís resolver cada una de ellas. podés hacerlas mentalmente usando cálculos que ya sabés de memoria, podés hacerlas poniendo los números en columna. decidí cómo te conviene y completá el cuadro que está debajo. 300 – 100 =

69 – 10 =

2100 – 100 =

3000 – 1000 =

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MENTALMENTE

93 – 45 = 945 – 900 =

745 – 40 = 230 – 9 =

HACiENdo LA CuENTA EN CoLuMNAS

71

345 – 186 =

Propuestas para la enseñanza de la resta

Un objetivo del trabajo con el cálculo es que los niños puedan adecuar el recurso disponible al tipo de cálculo que se les presenta. La discusión sobre este tema resultará importante también para que los mismos niños tomen conciencia de que es posible hacer cálculos mentalmente incluso en el caso de que se trate de números grandes. 15. un truco para restas difíciles…

a- resolvé el siguiente cálculo. decidí cómo te conviene hacerlo.

Se presentan acá algunas propuestas que dan una “vuelta de tuerca más” a lo que se viene planteando sobre los cálculos. Apuntan a abrir a nuevas estrategias posibles que permitan resolver unos cálculos usando otros, transformando los números para que resulten “más fáciles de manejar”.

200 – 36

b- Marisa decidió resolverlo así, usando la cuenta en columnas: 1

9

9

1

6

3

3

6

¿Entendés cómo lo pensó? ¿De dónde sacó el 199? ¿Por qué hizo +1 al final?

Y luego hizo 163 + 1 = 164 Escribió luego que 200 – 36 = 164 c- resolvé el siguiente cálculo. Elegí la manera que te resulte más conveniente. ¿Se podría usar el cálculo 254-100 como ayuda? ¿Cómo sería?¿Qué habría que hacer luego con el 1? ¿Sumarlo o restarlo?

254 – 99

72

G.C.B.A.

Señalaremos ahora algunas cuestiones más sobre el algoritmo de la resta. Una mención especial merece el problema que se presenta en este cálculo cuando la “dificultad” aparece en la cifra de las decenas. Si bien “el método” empleado sigue la misma lógica, desarmando el minuendo con apoyo en las propiedades de nuestro sistema de numeración escrita, adquiere aquí una particularidad al poner de relieve la recursividad en los agrupamientos de 10. El desarmado que se necesita se apoya en que 10 decenas conforman una centena, así frente al cálculo 234 – 73 la descomposición necesaria del

Quitar, retroceder, comparar, completar...

minuendo para funcionar en el algoritmo es 100 + (100 + 30) + 4; de esa manera para restar, el 30 se transforma en 130, y en el cálculo se expresa como 13 en el lugar de las decenas.

1

2

(100+30) 130 ó 13 de 10 1

3

4

6

1

7

3

Esto requerirá nuevamente de un trabajo específico que retome lo analizado antes y haga visible que, en este caso, también es necesario hacer lo mismo que se había hecho con la cifra de las unidades pero ahora con la cifra de las decenas. En ese trabajo con número mayores, aparecen diversas situaciones que suelen ser complejas para los niños como cuando la cifra de la decenas es 0 y las unidades del minuendo son menores a las del sustraendo y es necesario “desarmar y pedir”, por ejemplo, en 304 – 37. En esos casos es muy importante que los niños pongan en juego estrategias de cálculo mental que les permitan anticipar el resultado utilizando otros cálculos “más sencillos” en los que apoyarse y controlar luego el resultado obtenido con el algoritmo. Así podrían pensar en ese caso en 300 – 30 – 7 y luego agregar 4; o 304 – 30 – 7. Otra opción podrían ser modificar el minuendo usando un número más sencillo para usarlo en la cuenta en columnas, por ejemplo 299 y hacer 299 – 37 y luego agregar los 5 que fueron restados. En el trabajo sobre el algoritmo cuando se encuentran con un 0 en las cifras de las decenas (por ejemplo al hacer 305 - 48), los niños suelen "saltearla" y pasar directamente a las unidades“los 10 que necesitan" desde la cifra de la centena , obviando la necesidad de "pasar primero" por las decenas. En esos casos se requiere nuevamente, como señalamos antes, poner en juego los agrupamientos recursivos de a 10 (1 centena son 10 decenas, así como 1 decena son 10 unidades) y trabajar sobre la necesidad de “pasar” por la cifra de las decenas primero para luego hacer el desarme. Así por ejemplo el 305 debería transformarse en 200 + 100 + 5, y luego en 200 + 90 + 15, o sea 2915. En esos casos jugará un rol muy importante la anticipación y control de resultados que los niños puedan hacer antes de efectuar el cálculo, por ejemplo en ese caso pensando en 300 - 50 y sobre esa base aproximar el resultado que sirva como control luego de lo obtenido en el algoritmo.

Programa de aceleración Matemática Material para el docente

Una cuestión importante para destacar es que el trabajo sobre el algoritmo es una oportunidad para reutilizar todo lo que se ha venido trabajando sobre estrategias de cálculo mental. Esas estrategias podrán ser puestas en juego, tanto para controlar el resultado obtenido como para resolver las restas “más pequeñas” involucradas en el algoritmo. En cuanto a la forma de control, es un buen ejercicio que, antes de realizar el algoritmo, los niños puedan anticipar aproximadamente cuánto podría ser el resultado. También resulta muy importante que, si los números lo permiten, puedan ponerse en juego estrategias como redondeos y compensaciones que reemplacen el uso del algoritmo. Con esto queremos subrayar que un objetivo es que los niños sigan teniendo múltiples opciones de cálculo y puedan decidir cuál es la que les conviene usar según los números en juego. Para cerrar esta propuesta de trabajo, un tema que queremos analizar es el rol que el algoritmo de la resta tiene en otros cálculos; en particular, nos referimos a su uso en el algoritmo de la división. Allí tiene un rol importante y errores en su uso provocan luego errores en la obtención de resultados de la división. Sugerimos que, en esos casos, en tanto se está concentrando el trabajo en el mecanismo de la división y su lógica, pueda usarse la calculadora para resolver “la parte de los cálculos de resta” implicados. La intención es “aflojar” las dificultades que hay que enfrentar y que se pueda dedicar el tiempo para concentrarse en el tema central de estudio: el funcionamiento de la cuenta de dividir. Por supuesto, si es necesario, en otro momento habrá que retomar el cálculo de resta como asunto específico. 73

Propuestas para la enseñanza de la resta

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G.C.B.A.

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