Propiedades de la adición. Sustracción de números enteros

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Números enteros Propiedades de la adición de números enteros Ley de cierre En la adición de números enteros, la suma de dos números enteros es siempre un número entero. Si a y b son números enteros, entonces se cumple que: a + b también es un número entero. Recordá que la suma es el resultado de la operación adición entre números enteros. Por ejemplo: –5 + (–2) = –7 y –7 es la suma. –5

+ (–2) =

TÉRMINOS

–7

SUMA

1. a) En cada ítem, escribí sobre la línea de puntos un número entero para que la igualdad sea verdadera. i. 35 + ….. = –5

ii. –40 + ….. = –5

iii. ….. + (–28) = 2

iv 30 + ….. = 2

v. –18 + ….. = –40

vi. ….. + (–22) = –40

Propiedad conmutativa En la adición de números enteros, no cambia la suma si se cambia el orden de los términos. Si a y b son números enteros, entonces se cumple que: a + b = b + a.

b) Obtené el resultado de los siguientes cálculos con números enteros. i. –17 + 0 =

ii. 0 + (–17) =

iii. 0 + (+30) =

iv. 30 + 0 =

Elemento neutro En la adición de números enteros, el cero es el elemento neutro, es decir que para cualquier número entero a, se cumple que: a+0=0+a=a

c) En cada ítem, escribí sobre la línea de puntos un número entero para que la igualdad sea verdadera. i. –45 + ….. = 0

ii. 28 + (–28) = …..

iii. ….. + (–75) = 0

iv. –139 + 139 = …..

v. 654 + ….. = 0

vi. 0 + ….. = 0

Elemento inverso para la suma o Elemento opuesto En la adición de números enteros, todo número entero tiene un elemento inverso para la suma o elemento opuesto, es decir que para cualquier número entero a, siempre existe un número entero que designamos con –a tal que: a + (–a) = (–a) + a = 0 Si a un número entero se le suma su opuesto, siempre se obtiene el elemento neutro de la adición de números enteros.

d) Uní con una flecha cada cálculo de la primera columna con su resultado de la segunda columna: –2 + (–28 + 12) = [–2 + (–28)] + 12 =

26 14 42

–2 + (–28) + 12 =

–42

(14 + 15) + (–3) =

–23

14 + [15 + (–3)] =

–32

[–5 + (–11)] + (–7) = –5 + [(–11) + (–7)] =

32 9 13

–5 + (–11) + (–7) =

–18

Propiedad asociativa En la adición de números enteros, la suma no cambia si se colocan paréntesis, se los cambia de lugar o se los quita. Si a, b y c son números enteros, entonces se cumple que: a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

2. Obtené el resultado de los siguientes cálculos con números enteros. a) –14 + (–18) + 14 + 25 + (–18) + (–25) = b) [–21 + (–3)] + (–17) = c) –12 + [–12 + (–3)] + (–3) =

Sustracción de números enteros El cálculo 7 – 5 es equivalente al cálculo 7 + (–5), es decir que 7 – 5 se puede expresar como la suma entre 7 y el opuesto de 5: 7 – 5 = 7 + (–5) = 2 Opuesto de 5.

El cálculo 6 – (–1) es equivalente al cálculo 6 + 1, es decir que 6 – (–1) se puede expresar como la suma entre 6 y el opuesto de –1: 6 – (–1) = 6 + 1 = 7 Opuesto de –1.

El cálculo 12 – 20 es equivalente al cálculo 12 + (–20), es decir que 12 – 20 se puede expresar como la suma entre 12 y el opuesto de 20: 12 – 20 = 12 + (–20) = –8 Opuesto de 20.

Restar a un número entero “a” otro número entero “b” es equivalente a sumarle a “a” el “opuesto de b”, o sea “–b”. Si “a” es un número entero y “b” es un número entero, entonces: a – b = a + (–b) ; a + (–b) = a – b

Por ejemplo: 

 12 – 7 = 12 + (–7) = 5

 12 – (–7) = 12 + 7 = 19

 –12 – 7 = –12 + (–7) = –19

 –12 – (–7) = –12 + 7 = –5

 7 – 12 = 7 + (–12) = –5

 7 – (–12) = 7 + 12 = 19

 –7 – 12 = –7 + (–12) = –19

 –7 – (–12) = –7 + 12 = 5

 –7 – 7 = –7 + (–7) = –14

 –7 – (–7) = –7 + 7 = 0

3. Resolvé los siguientes cálculos: a) 35 – 42 =

b) 100 – 189 =

c) 86 – 92 =

d) –8 – 25 =

e) –6 – 13 =

f) 10 – (–9) =

g) 23 – (–2) =

h) –1 – (–3) =

i) –100 – (–25) =

4. a) ¿La sustracción de números enteros cumple la propiedad conmutativa? ¿Por qué? b) ¿La sustracción de números enteros tienen elemento neutro? Justificá tu respuesta. c) ¿La sustracción de números enteros cumple la propiedad asociativa? ¿Por qué? 5. a) ¿Qué número hay que restarle a –9 para obtener –33? b) ¿Qué número se debe restar a –5 para que el resultado sea 54?

6. ¿Qué diferencia de altura hay entre la cima del Everest que tiene 8882 metros y el fondo de la fosa marina de las Islas Marianas que está a 10915 metros de profundidad?

7. Completá la siguiente tabla: Año en que nació Carlomagno Aristóteles Tito Livio Cleopatra

Año en que murió

742 –59

–322 16 –30

Años que vivió 72 62 39

Llamamos distancia entre dos números enteros a y b al valor absoluto de su diferencia: d (a, b) = |a − b| Se lee: distancia entre a y b.

8. Hallá la distancia entre: a) 8 y 10; b) 7 y –3; c) –5 y –2.

9. Resolvé: a) –2 + 5 + (–6) + (–4) + 7 = b) 12 – 12 – 17 = c) –2 – (–4) + (–6) + 8 = d) 31 – (–8) – 32 = e) 15 – 8 + 9 – 21– 3 + 42 = f) 42 – (–56) – (–87) = g) – 20 – 3 + 16 – 1 + 4 =

En los cálculos que contengan paréntesis, corchetes y llaves, se puede comenzar resolviendo los cálculos que están entre paréntesis, luego los cálculos que están entre corchetes y por últimos los cálculos que están entre llaves.

h) 12 + 4 – 12 + 7 – 3 = i) 4 + (–18 + 2 – 9) + 8 = j) –14 + 1 – (3 – 5) – 2 = k) 3a + (–5a) + (–6a)= l) –2 – {–5 + [–3 + (–1 – 4) + 5] – 2} – 9 =

10. En cada ítem, escribí sobre la línea de puntos un número entero para que la igualdad sea verdadera. a. 13 + … – 15 = 5

b. –9 + 6 – … = –11

c. … – 10 – 2 = –16

d. 12 – …. – 3 = 10