Noveno. taller 4 - SEL 2X2 - método sustitución e igualación

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Institución Educativa Presbítero Antonio Baena Salazar Aprobado por Resolución N°350 de octubre 27 de 2011 Nit: 811019759-7 Dane:20563100267

GUIA TALLER NO 4 MATEMATICAS – GRUPO 9ªA Área: Matemáticas Grupo: 9ºA Docente: Joan Esteban Quintero Mesa Tema: solución de sistemas de ecuaciones lineales. Método de sustitución e igualación Estándares: - Identifico diferentes métodos para solucionar sistemas de ecuaciones lineales. - Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas. NOTA: las letras X y Y en las actividades son los penúltimo y último número diferente de cero de su documento de identidad. Fecha de entrega: 30 de junio 2020. DESARROLLO 1. TEORIA Pregunta inicial.

ϟ + ϘϘϘϘϘϘ = $27 ϟ ϟ ϟ ϟ ϟ ϟ ϟ - ϘϘϘ = $9

¿cuánto vale x=ϟ y y=Ϙ ?

x + 6y = 27 7x – 3y = 9

Muchas situaciones cotidianas se pueden expresar mediante ecuaciones lineales, pero lo realmente interesante es poder solucionar matemáticamente estas ecuaciones y lograr llegar a los valores que cumplan las condiciones del problema que se nos presente. La característica fundamental de las ecuaciones lineales es que las variables “x, y o z” de nuestras ecuaciones siempre estarán en orden lineal, o sea con exponente igual a 1. Y dichas expresiones me deben relacionar ambos lados a través de un igual. El número de ecuaciones deben ser iguales al número de incógnitas o variables de esta. Por último, las ecuaciones lineales deben conformar un sistema independiente para poder llegar a una solución. Por ejemplos

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GUIA TALLER NO 4 MATEMATICAS – GRUPO 9ªA

40X + 36Y = 32 40X -75Y = - 5

Son 2 ecuaciones independientes, con 2 incógnitas que se pueden solucionar para encontrar el valor de X y Y. En la explicación de esta guía se mostrará cómo saber si son sistemas de ecuaciones independientes y cómo se puede llegar a la solución de dichas ecuaciones empleando el método de sustitución e igualación.

2. EXPLICACIÓN - UN SISTEMA DE ECUACIONES: Es un grupo de ecuaciones que representan líneas rectas. - UNA ECUACIÓN: Es una igualdad en la que los términos pueden ser conocidos o desconocidos. - ECUACIONES SIMULTÁNEAS: Dos o más sistemas de ecuaciones con dos o más incógnitas, se pueden considerar simultáneas, cuando los valores de las incógnitas satisfacen a las ecuaciones entre sí. Las ecuaciones: x + 6y = 27 7x - 3y = 9 Son simultáneas porque x = 3, y = 4 son valores de las incógnitas que satisfacen las dos ecuaciones. Actividad #1. Reemplace la respuesta x = 3, y = 4 en ambas ecuaciones y concluya. X.x + 6.X.y = 27.X 7x - 3y = 9 - ECUACIONES EQUIVALENTES: Son las ecuaciones que se obtienen una en función de la otra, es decir, ampliando o reduciendo una ecuación, se obtiene otra ecuación equivalente a la inicial. Las ecuaciones: 3x + 6y = 12 x + 2y = 4

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GUIA TALLER NO 4 MATEMATICAS – GRUPO 9ªA Son equivalentes porque dividiendo entre 3 la primera ecuación se obtiene la segunda ecuación. Estas ecuaciones tienen una serie infinita de soluciones comunes.

Actividad # 2. despeje de ambas ecuaciones la variable “y” y concluya. 2x + 4y = 8 Y.x + 2.Y.y = 4.Y COMPATIBILIDAD DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2X2 Antes de solucionar un sistema de ecuaciones lineales 2X2 se debe comprobar si son compatibles o no. La razón de esto es porque cada ecuación lineal de dos variables, puede ser representada por una recta en el plano, y si son dos ecuaciones lineales entonces tenemos a dos rectas, las cuales pueden ser: -

Dos rectas que se cortan en un solo punto Dos rectas que coinciden en una infinidad de puntos Dos rectas que son paralelas, no coinciden en algún punto

partiendo del sistema:

Se puede decir que, a partir del determinante de los coeficientes de las ecuaciones, tenemos la siguiente clasificación:

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GUIA TALLER NO 4 MATEMATICAS – GRUPO 9ªA Gráficamente se ilustra así:

Ver video: https://www.youtube.com/watch?v=eY-ZwO1ANPg

Actividad #3. Diga si el siguiente SEL 2X2 es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible. 4x+3y=32 Xx – Yy=-5

SISTEMAS DE DOS ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS: Es la reunión de varias ecuaciones que tienen soluciones comunes para los valores de las incógnitas. Para desarrollar un sistema de ecuaciones de estas características es indispensable obtener una sola ecuación con una incógnita a partir de las dos ecuaciones iniciales. Para solucionar una ecuación lineal se debe encontrar el valor de x o la variable que cumpla la igualdad, y para esto se siguen unos pasos básicos. Para explicarlo de mejor manera, supongamos una ecuación lineal como:

Problema: Un avión dispone de 3Y asientos en clase A y de 50 asientos en clase B cuya venta supone un total de 14.600€. Sin embargo, sólo se han vendido 10 asientos en clase A y 4X en clase B, obteniendo un total de 7.000€. ¿Cuál es el precio de un asiento en cada clase? x= $ asiento clase A y= $ asiento clase B

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GUIA TALLER NO 4 MATEMATICAS – GRUPO 9ªA Actividad #4: plantee las ecuaciones del problema. defina las variables del problema.

2.1. METODO DE SUSTITUCIÓN El método de sustitución es conocido también con el nombre de método de “Eliminación por sustitución” Este método consiste en despejar cualquiera de las incógnitas de una de las ecuaciones dadas y reemplazar el valor encontrado en la otra ecuación, para obtener una sola ecuación con una sola incógnita. PROCESO PARA SOLUCIONAR UN SISTEMA DE ECUACIONES 2X2 Para hallar las soluciones de este sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución debemos de aplicar los siguientes pasos:

PASO 1.

EXPLICACIÓN Es importante como primer paso conocer las ecuaciones que se desean solucionar

EJEMPLO 10x + 18y = -11 16x - 9y = - 5

2.

Enumerar las ecuaciones al inicio o al final de cada una de ellas tal como se indica en el ejemplo. El lugar para numerarlas es escogido por cada estudiante libremente, pero siempre se utiliza un paréntesis para la numeración y no confundir los numero con los coeficientes de las variables. Seleccionamos de una de las ecuaciones una de las variables a despejar. a. Copiamos la ecuación seleccionada. b. El termino +18y que se encontraba sumando a la “x” se coloca al otro lado del igual con el signo menos. c. El coeficiente 10 estaba multiplicando a la “x”. este pasa a dividir a todo el término que ya estaba al otro lado del igual a. Copiamos la ecuación (2). b. En la variable “x” de la ecuación (2) colocamos el resultado de despejar la ecuación (1), esto lo hacemos utilizando paréntesis a. Multiplicamos el 16X(-11), luego 16X(-18). Esto en la parte de arriba de la ecuación. b. Con el 10 multiplicamos el (-9) y luego el (-5) que esta después del igual.

10x + 18y = -11 (1)

3. 4.

5.

6.

7.

a. Realizamos la operación que queda indicada con las letras, teniendo en cuenta una de las siguientes dos leyes de los signos:

16x - 9y = -5 (2)

De la ecuación (1), despejaremos la variable “x”. 10x + 18y = -11 (1) 10x = -11 - 18y −11−18𝑦

x=

10

16x - 9y = -5 (2) −11−18𝑦

16(

10

−176 – 288𝑦 10

) - 9y = -5

– 9y = -5

-176 -288y – 90y= - 50 -176 -378y= - 50

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GUIA TALLER NO 4 MATEMATICAS – GRUPO 9ªA Ley de signos iguales: Si los coeficientes de las letras tienen signos iguales estos se suman y se coloca el mismo signo. Ley de signos diferentes: Si los coeficientes de las letras tienen signos diferentes estos se restan y se coloca el signo del mayor. b. Si el resultado de los coeficientes de las letras es negativo este término se debe de transponer al otro lado del igual cambiando de signo y los que no tienen variable se deben de colocar juntos al otro lado de donde coloco la variable.

8.

9.

Realizamos la simplificación del resultado anterior aplicando las reglas de la divisibilidad, después de esto el resultado que queda es el valor de “y”. a. Copiemos la ecuación (1) ya despejada la cual se encuentra en el paso 4 como resultado.

Aplicamos la primera ley de los signos, aplicamos la ley de los signos iguales. No importa que ambos sean negativos, estos coeficientes se suman. Lo demás queda igual. -176 – 378y = -50, Transponiendo términos nos queda. -176 = -50 + 378y, el 50 se debe de colocar al otro lado del igual -176 + 50 = 378y. −126 =y 378 y=−

10.

b. Realizamos la resta de fraccionarios que queda indicada en el numerador de esta fracción.

1 3

−11−18(− )

10

10

=

1 3

−11−18(− )

x=

=

10

18 3

−11+ 10

−15

=

= 30 = y=-1/3 x=-1/2 10

En conclusión las respuestas de estas dos ecuaciones son las halladas en los pasos 8 y 10.

10

−11−18𝑦

x=

−15 3

11.

3

−11−18𝑦

x= x=

b. Reemplazamos el valor de “y” en esta ecuación utilizando paréntesis. Tal como se muestra a. Resolvemos la operación del paréntesis, multiplicando signos y coeficientes. Bien sabemos que: menos por menos es más y 1 por 18 es 18. Desaparece el paréntesis.

1

18 3

−11+ 10

−33+18 3

10

=

−1 2

otro ejemplo del método de sustitución

Tenemos que resolver el sistema:

Despejamos una de las variables en una de las ecuaciones (en este caso elegimos y en la primera ecuación):

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Y la reemplazamos en la otra ecuación:

Operamos para despejar la única variable existente ahora:

Reemplazamos el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos arbitrariamente la primera):

Hallamos la respuesta x = 4, y = 2, obviamente igual que en el caso anterior. No verificaremos, dado que ya sabemos que esta respuesta es correcta. Video:

-

https://www.youtube.com/watch?v=3FHhPLVUt9o https://www.youtube.com/watch?v=c6OahvtB-ZE

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GUIA TALLER NO 4 MATEMATICAS – GRUPO 9ªA Problema: Un avión dispone de 3X asientos en clase A y de 50 asientos en clase B cuya venta supone un total de 14.600€. Sin embargo, sólo se han vendido 10 asientos en clase A y 4Y en clase B, obteniendo un total de 7.000€. ¿Cuál es el precio de un asiento en cada clase? x= $ asiento clase A y= $ asiento clase B Actividad #4: plantee las ecuaciones del problema. defina las variables del problema. Actividad #5: Resuelva por el método de sustitución el sistema de ecuaciones 2x2 de la actividad #4. -

Resuelva por el método de sustitución los siguientes sistemas de ecuaciones:

a. 7x+4y= 1Y x-2y=X

2.2. METODO DE IGUALACIÓN ELIMINACIÓN POR IGUALACIÓN: Consiste en despejar de las ecuaciones dadas la misma variable e igualarlas para obtener una sola ecuación con una incógnita. Para resolver un sistema de ecuaciones 2x2 aplicando el método de igualación debemos de aplicar los siguientes pasos: PASO EXPLICACIÓN 1. Copiamos las ecuaciones que se desean resolver. 2.

3.

4.

Enumeramos cada una de las ecuaciones utilizando paréntesis, con el fin de no confundir estos números con los coeficientes de las ecuaciones. Esta numeración se puede hacer al inicio o al final Escogemos la variable que deseamos despejar en ambas ecuaciones, cada una de las ecuaciones las tomamos por separado. Explicación a. Copiamos cada una de las ecuaciones. b. Transponemos el término que tiene variable “y”, el cual lo debemos de hacer cambiando de lugar.

EJEMPLO 3x - 2y = - 2 5x + 8y = - 60 3x - 2y = - 2 (1) 5x + 8y = - 60 (2)

Despejamos en ambas ecuaciones la variable “x”. Ecuación 1 3x - 2y = - 2 3x=-2+2y

Ecuación 2 5x + 8y = - 60 5x=-60-8y

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5.

6. 7.

8.

c. Transponemos en término numérico que multiplica la variable “x”, al otro lado del igual dividiendo todo el otro término. Tomamos las partes de cada una de las ecuaciones que hay después de igual en cada una de ellas Igualamos los resultados del paso anterior Multiplicamos de forma cruzada los denominadores de cada una de las partes de las ecuaciones, con los numeradores de la otra. De tal forma como se indica en el ejemplo utilizando paréntesis. a. Realizamos las multiplicaciones que quedaron indicadas en el paso anterior. b. Transponemos las letras a la izquierda (antes del igual) y los números a la derecha (después del igual). No olvides el cambio de signo para los términos que cambiaron de lugar. c. Realicemos las operaciones que quedaron indicadas antes y después del igual. Tenga en cuenta que las letras se suman por tener sus coeficientes signos iguales y los números se restan por tener signos contrarios y en ambos casos se coloca el signo del mayor

9.

−2+2𝑦

x=

−60−8𝑦

x=

3

−2 + 2𝑦 3 −2+2𝑦

−60 − 8𝑦 5

−60−8𝑦

= 5 5(-2+2y) = 3(-60-8y) 3

-10+10y=-180-24y

+10y+24y=-180+10 +34y = -170

−170

y= +34 = - 5

d. Despejamos la variable, el 34 está multiplicando y pasa a dividir al -170, lo que quedaría así como se muestra en el ejemplo La respuesta de y=-5, para saber el otro valor realizamos: −2+2𝑦

x=

3

a. Copiamos una de las dos ecuaciones que despejaste en el paso 4 numeral c.

x=

b. Reemplazamos el valor de la variable que ya se halló utilizando paréntesis.

x=

c. Resolvemos las operaciones de los paréntesis, para ello solo se necesita multiplicar signos y números.

x=

d. Realizamos las operaciones de los numeradores, según sea el caso y aplicando una de las siguientes dos leyes:

x=−4

−2+2(−5) 3

−2−10 3

−12 3

5

−60−8𝑦

x=

5 −60−8(−5)

x=

5

−60+40

x=

5

−20

x=

5

x=−4

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GUIA TALLER NO 4 MATEMATICAS – GRUPO 9ªA Si los signos son iguales: Estos se suman y se coloca el signo del mayor. Si los signos son diferentes: Estos se restan y se coloca el signo del mayor. e. Realizamos la simplificación para hallar el valor de la variable “x”. Video. - https://www.youtube.com/watch?v=OPWFjMG17D4 - https://www.youtube.com/watch?v=lTRANviJWEY

Otro ejemplo de solución por el método de igualación

Tenemos que resolver el sistema:

Esto significa, encontrar el punto de intersección entre las rectas dadas, de las cuales se conoce su ecuación. Despejamos una de las dos variables en las dos ecuaciones, con lo cual tenemos un sistema equivalente (en este caso elegimos y):

Recordamos que, al tener dos ecuaciones, si los primeros miembros son iguales los segundos también lo son, por lo tanto:

Luego:

Reemplazamos el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos la segunda):

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Operamos para hallar el valor de y:

y=2 Verificamos, en ambas ecuaciones, para saber si realmente (x ; y) = (4;2):

Ahora sí, podemos asegurar que x= 4 e y = 2 Realice este mismo ejemplo despejando x al comienzo y reemplazando en las dos ecuaciones.

Actividad # 5. 1. Resuelva por el método de igualación los siguientes sistemas de ecuaciones: a.

5x+Xy=20 4x-3y=-23

b.

7x-4y=Y 9x+8y=13

Tener una buena actitud y una gran disposición es vital en este momento para continuar de manera exitosa con nuestro proceso de formación. EXITOS.