Notas 02 La Integral definida e indefinida

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LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA ANTIDERIVADA Muchas operaciones en matemáticas vienen en pares: la original y su inversa.

𝑆𝑈𝑀𝐴 ⟷ 𝑅𝐸𝑆𝑇𝐴

𝑃𝑂𝑇𝐸𝑁𝐶𝐼𝐴 ⟷ 𝑅𝐴Í𝑍

𝑀𝑈𝐿𝑇𝐼𝑃𝐿𝐼𝐶𝐴𝐶𝐼Ó𝑁 ⟷ 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐼Ó𝑁

𝐹𝑈𝑁𝐶𝐼Ó𝑁 𝐷𝐼𝑅𝐸𝐶𝑇𝐴 ⟷ 𝐹𝑈𝑁𝐶𝐼Ó𝑁 𝐼𝑁𝑉𝐸𝑅𝑆𝐴

En cada caso, la segunda operación deshace la primera, y viceversa.

La operación DERIVADA, también tiene su operación inversa, la cual llamaremos ANTIDERIVADA o INTEGRACIÓN.

Con esta idea en mente, podemos establecer la siguiente definición:

𝐹(𝑥) es una antiderivada de 𝑓(𝑥) en el intervalo 𝐼 si se verifica que 𝐷𝑥 𝐹 (𝑥 ) = 𝑓(𝑥)

Esto nos indica que en un intervalo establecido se cumple que 𝐹 ′ (𝑥 ) = 𝑓(𝑥)

¿Por qué la definición dice una antiderivada, y no simplemente la antiderivada?

La respuesta la tiene el Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial, que nos indica que si dos funciones distintas tienen derivadas iguales en un intervalo, entonces entre ellas sólo difieren de una constante de traslación. Por ejemplo, para la función 𝑓(𝑥 ) = 4𝑥 3 en el intervalo (−∞ , ∞ ) algunas de sus antiderivadas son 𝐹 (𝑥 ) = 𝑥 4

𝐹 (𝑥 ) = 𝑥 4 + 3

𝐹 (𝑥 ) = 𝑥 4 − 2

De acuerdo con lo anterior, la función 𝑓(𝑥 ) = 4𝑥 3 , tendrá una familia de antiderivadas, que se acostumbra escribir 𝐹 (𝑥 ) = 𝑥 4 + 𝐶 1

LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA NOTACIÓN PARA ANTIDERIVADAS Cuando trabajamos con la derivada, empleamos la simbología 𝐷𝑥 que es un operador, y se indica así 𝐷𝑥 𝐹 (𝑥 ) = 𝑓(𝑥) Entonces, sería correcto escribir la antiderivada con el símbolo 𝐴𝑥 lo cual se indicaría así 𝐴𝑥 𝑓 (𝑥 ) = 𝐹 (𝑥 ) + 𝐶

Sin embargo, en la mayoría de los libros de cálculo, se acostumbra utilizar la notación atribuida a Leibniz ∫ 𝑓 (𝑥 ) 𝑑𝑥 = 𝐹 (𝑥 ) + 𝐶 En cualquier caso, ambas notaciones son correctas.

Atendiendo a la definición, para comprobar la validez de una antiderivada, basta con hacer su derivada y obtener la función original. ∫ 4𝑥 3 𝑑𝑥 = 𝑥 4 + 𝐶 ⟺ 𝐷𝑥 (𝑥 4 + 𝐶 ) = 4𝑥 3

Esta es una idea sencilla, como la mayoría de las operaciones inversas, pero su obtención es un asunto diferente.

Podemos empezar por ayudarnos de todas las reglas básicas de derivación que ya conocemos y aplicarlas en sentido inverso. Esto nos brinda un catálogo de fórmulas básicas de integración.

El conocimiento y dominio de las fórmulas básicas de derivación y de integración, son un paso fundamental para resolver integrales más elaboradas.

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LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN

∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶

𝑥 𝑟+1 +𝐶 𝑟+1

∫ 𝑥 𝑟 𝑑𝑥 =

∫ 𝑘 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

∫[ 𝑓 (𝑥 ) ± 𝑔(𝑥 )] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥

∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶

∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶

∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 𝐶

∫ 𝑐𝑠𝑐 2𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑐𝑜𝑡 𝑥 + 𝐶

∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 𝐶

∫ 𝑐𝑠𝑐 𝑥 𝑐𝑜𝑡 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑐𝑠𝑐 𝑥 + 𝐶

∫

𝑑𝑥 √ 1 − 𝑥2

∫

= 𝑠𝑒𝑛−1 𝑥 + 𝐶

− 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑡 −1 𝑥 + 𝐶 1 + 𝑥2

∫ 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 + 𝐶

∫ 𝑐𝑠𝑐ℎ2 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑐𝑜𝑡ℎ 𝑥 + 𝐶

∫ 𝑐𝑠𝑐ℎ 𝑥 𝑐𝑜𝑡ℎ 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑐𝑠𝑐ℎ 𝑥 + 𝐶

∫

∫

− 𝑑𝑥 √ 1 − 𝑥2

𝑑𝑥 𝑥√

𝑥2

−1

= 𝑐𝑜𝑠 −1 𝑥 + 𝐶

= 𝑠𝑒𝑐 −1𝑥 + 𝐶

∫ 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 + 𝐶

∫

∫

𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛−1 𝑥 + 𝐶 1 + 𝑥2

− 𝑑𝑥 𝑥√

𝑥2

−1

= 𝑐𝑠𝑐 −1 𝑥 + 𝐶

∫ 𝑠𝑒𝑐ℎ2 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛ℎ 𝑥 + 𝐶

∫ 𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑥 𝑡𝑎𝑛ℎ 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑥 + 𝐶

∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝐶

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∫

𝑑𝑥 = ln 𝑥 + 𝐶 𝑥

LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA REGLA DE LA CADENA Es importante mencionar que la regla de la cadena aplicada en las derivadas y sus fórmulas, también se puede utilizar al momento de hacer integrales, sólo basta con verificar la presencia de 𝐷𝑥 𝑢 en la expresión por integrar.

∫ 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢 = ∫ 𝑓(𝑢) [ 𝐷𝑥 𝑢 𝑑𝑥 ] = 𝐹 (𝑢) + 𝐶

Por ejemplo, la siguiente integral directa no nos causa ninguna complicación al emplear la fórmula básica de la potencia 𝑥3 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = +𝐶 3 2

Sin embargo, la integral podría presentarse así

∫( 𝑥 4 + 3𝑥 )2 ( 4𝑥 3 + 3 ) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 =

( 𝑥 4 + 3𝑥 )3 𝑢3 +𝐶 = +𝐶 3 3

Lo anterior es válido puesto que 𝑑𝑢 = ( 4𝑥 3 + 3 ) 𝑑𝑥

Cuando esta última igualdad se cumple, decimos que la diferencial 𝑑𝑢 se encuentra completa.

Algunas personas prefieren hacer el cambio de variable y completar la diferencial con la nueva variable. Otras personas con más experiencia podrán realizar la integral y completar su diferencial sin escribir el cambio de variable.

En cualquier caso, se trata de plantear una integral completa de forma sencilla para aplicar una fórmula básica de integración conocida.

Como ya se mencionó, conocer las derivadas es el primer paso para resolver integrales.

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LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA * Ejercicio. Obtener la antiderivada general de las siguientes funciones: 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥

𝑓 (𝑥 ) =

4⁄ 3

1 + √𝑥 𝑥2

𝑓 (𝑥 ) = 3𝑥 2 + 4𝑥

𝑓(𝑥 ) = 3𝑒 4𝑥

𝑓 (𝑥 ) = 𝑥

3⁄ 2

− 3𝑥 + 14

𝑓(𝑥 ) = 2 𝑠𝑒𝑛 5𝑥

* Ejercicio. Resuelve las siguientes integrales indefinidas ∫( 𝑥 5 + 2𝑥 ) ( 5𝑥 4 + 2 ) 𝑑𝑥

∫ 𝑠𝑒𝑛8 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥

∫( 𝑥 3 + 6𝑥 )5 ( 6𝑥 2 + 12 ) 𝑑𝑥

∫( 𝑥 2 + 4 )6 𝑥 𝑑𝑥

∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ( 1 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 )4 𝑑𝑥

∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 √ 1 + 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝑑𝑥

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LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA SUMA DE RIEMANN Consideremos una función definida en un intervalo cerrado [ 𝑎 , 𝑏 ]. La vamos a dividir en n sub-intervalos (no necesariamente de la misma magnitud), la cual recibe el nombre de partición P.

En cada sub-intervalo seleccionamos un punto muestra llamado 𝑥̅𝑖 (que puede incluso ser un punto frontera) Para cada sub-intervalo, el valor 𝑓( 𝑥̅𝑖 ) determina el valor de la altura de un rectángulo cuya base es el ancho ∆𝑥𝑖

Entonces, la suma de Riemann es el valor resultante de la suma de áreas de todos los rectángulos de la partición. 𝑛

𝑅𝑃 = ∑ 𝑓( 𝑥̅𝑖 ) ∆𝑥𝑖 𝑖=1

En la figura podemos apreciar que los rectángulos que estamos formando, no empatan del todo con el área bajo la curva de la función 𝑓(𝑥) en el intervalo [ 𝑎 , 𝑏 ], por lo que la suma de Riemann es una aproximación del valor real de dicha área.

Revisemos el siguiente ejemplo. Para la función 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 2 + 1 en el intervalo [ −1 , 2 ] vamos a obtener la suma de Riemann utilizando una partición entre los puntos −1 < −0.5 < 0 < 0.5 < 1 < 1.5 < 2 y el punto muestra será el punto medio de cada sub-intervalo.

En este ejemplo formamos 6 sub-intervalos, por lo que la suma es 6

𝑅𝑃 = ∑ 𝑓 (𝑥̅𝑖 ) ∆𝑥𝑖 𝑛=1

𝑅𝑃 = 𝑓 (−0.75)(0.5) + 𝑓 (−0.25)(0.5) + 𝑓 (0.25)(0.5) + 𝑓 (0.75)(0.5) + 𝑓 (1.25)(0.5) + 𝑓 (1.75)(0.5) 6

LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA Como los sub-intervalos tienen la misma amplitud ∆𝑥𝑖 = 0.5 podemos escribir la suma así 𝑅𝑃 = [ 𝑓 (−0.75) + 𝑓(−0.25) + 𝑓 (0.25) + 𝑓 (0.75) + 𝑓 (1.25) + 𝑓(1.75) ] (0.5) 𝑅𝑃 = [ 1.5625 + 1.0625 + 1.0625 + 1.5625 + 2.5625 + 4.0625 ] (0.5) = 5.9375

En esta imagen podemos ver la curva en el intervalo requerido.

Las líneas discontinuas marcan la altura en cada sub-intervalo, que sirve para formar cada rectángulo con el ancho elegido.

En nuestro ejemplo se formaron 6 rectángulos que van siguiendo a la curva.

Las líneas laterales y la inferior en color morado, señalan la región real formada bajo la curva.

La suma de Riemann obtenida es una aproximación al valor real de dicha área bajo la curva.

Como práctica, realiza la suma de Riemann para la función 𝑓(𝑥 ) = 1 − 𝑥 2 en el intervalo [ −1 , 2 ] empleando una partición entre los puntos −1 < −0.4 < 0 < 1.2 < 1.6 < 2 y en la que el punto medio de cada sub-intervalo sea el punto muestra.

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LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA INTEGRAL DEFINIDA Sea 𝑓 una función que está definida en el intervalo cerrado [ 𝑎 , 𝑏 ]. Decimos que 𝑓 es integrable en [ 𝑎 , 𝑏 ] si existe el límite de la suma de Riemann cuando la Norma de la partición ‖𝑃‖ tiende a cero 𝑛

lim ∑ 𝑓( 𝑥̅𝑖 ) ∆𝑥𝑖

‖𝑃‖ → 0

𝑖=1

La norma de la partición ‖𝑃‖ es el mayor valor ∆𝑥𝑖 que exista en todos nuestros rectángulos.

Entonces, la integral definida (o integral de Riemann) de 𝑓 desde 𝑎 hasta 𝑏 está dada por 𝑛

𝑏

∫ 𝑓 (𝑥 ) 𝑑𝑥 = lim ∑ 𝑓( 𝑥̅𝑖 ) ∆𝑥𝑖 = 𝐿 𝑎

‖𝑃‖ → 0

𝑖=1

Y de acuerdo con la definición de límite, para todo 𝜀 > 0 existe un 𝛿 > 0 tal que 𝑛

| ∑ 𝑓 ( 𝑥̅𝑖 ) ∆𝑥𝑖 − 𝐿 | < 𝜀

siempre que

0 0 𝑡

Estamos calculando el área acumulada para la función 𝑓 (𝑡) = 1⁄𝑡 desde un punto cualquiera 𝑡 = 𝑎 hasta un punto indefinido 𝑡 = 𝑥 cuando 𝑥 > 0

En consecuencia, la función 𝐹 (𝑥 ) = ln 𝑥 es una función primitiva de la función 𝑓(𝑥 ) = 1⁄𝑥 y por lo tanto

∫

𝑑𝑥 = ln | 𝑥 | + 𝐶 𝑥

Que es una de las fórmulas de integración más usuales en la práctica.

El número irracional 𝑒 = 2.718281828 es el valor en el cual ln 𝑒 = 1

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LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA Algunas de las propiedades de la función ln 𝑥 son: ln 1 = 0

ln 𝑒 𝑥 = 𝑥

ln 𝑒 = 1

ln (

ln ( 𝑎 𝑏 ) = ln 𝑎 + ln 𝑏

𝑒 ln 𝑥 = 𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑥 > 0

𝑎 ) = ln 𝑎 − ln 𝑏 𝑏

ln 𝑎𝑥 = 𝑥 ln 𝑎

log 𝑎 𝑥 =

ln 𝑥 ln 𝑎

𝑎𝑥 = 𝑒 𝑥 ln 𝑎

Las funciones logaritmo natural ln 𝑥 y exponencial 𝑒 𝑥 = exp 𝑥 son funciones inversas, por lo tanto, cada una de ellas nulifica a la otra, ya que al hacer la composición de una sobre la otra, obtenemos la función identidad.

Esto tiene una aplicación muy útil en el cálculo de límites:

lim 𝑦 = lim exp ( ln 𝑦 ) = exp ( lim ln 𝑦 )

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

La función logaritmo natural resuelve muchos casos de integración. Por ejemplo ∫

5 𝑑𝑥 2𝑥 + 7

Si escribimos 𝑢 = 2𝑥 + 7 entonces su diferencial es 𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥

∫

5 𝑑𝑥 5 2 𝑑𝑥 5 𝑑𝑢 5 5 ∫ ∫ 𝑑𝑥 = 5 ∫ = = = ln | 𝑢 | = ln | 2𝑥 + 7 | + 𝐶 2𝑥 + 7 2𝑥 + 7 2 2𝑥 + 7 2 𝑢 2 2

Con un poco de práctica, podemos hacer estas integrales sin escribir todo el cambio de variable, y sólo concentrarnos en verificar que la diferencial de los argumentos se encuentre completa.

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LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA * Ejercicio. Resuelve las siguientes integrales. 𝑥 𝑑𝑥 10 − 𝑥 2

∫

𝑥2 − 𝑥 𝑑𝑥 𝑥+1

∫ 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥

6𝑥 + 9 𝑑𝑥 3𝑥 2 + 9𝑥

𝑥3 + 𝑥2 ∫ 𝑑𝑥 𝑥+2

∫ 𝑐𝑜𝑡 𝑥 𝑑𝑥

∫

∫

REGLA DE L’HOPITAL Si para dos funciones 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) se verifica que

lim 𝑓(𝑥) = lim 𝑔(𝑥) = 0

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

Y además existe, finito o infinito lim

𝑥→𝑎

𝑓′(𝑥) 𝑔′(𝑥)

Entonces lim

𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) 𝑓′(𝑥) = lim 𝑔(𝑥) 𝑥 → 𝑎 𝑔′(𝑥)

Este teorema tan popular entre los alumnos del bachillerato, sólo es aplicable para dos tipos de indeterminaciones 0 0

∞ ∞

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LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA Por ejemplo, se requiere determinar el siguiente límite lim

𝑥→0

𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑥 0 = 𝑥3 0

Como se presenta una de las indeterminaciones válidas para la regla de L’Hopital, podemos escribir

lim

𝑥→0

𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 1 −𝑠𝑒𝑛 𝑥 − cos 𝑥 1 = lim = lim = lim =− 3 2 𝑥→0 𝑥→0 𝑥→0 𝑥 3𝑥 6𝑥 6 6

En cada una de los nuevos límites, se ha verificado que sigue presente la indeterminación 0 0 Por lo tanto, la regla de L’Hopital se pudo aplicar de manera sucesiva hasta que ya no se presentó la indeterminación, y por tanto se pudo calcular el valor del límite requerido.

Existen otras cinco indeterminaciones a las cuales deberemos enfrentar

0∙∞

00

∞−∞

∞0

1∞

Ninguna de ellas permite el uso de la regla de L’Hopital.

Sin embargo, utilizando un poco de álgebra, podremos escribirlas de forma que se presenten los cocientes de la hipótesis del teorema.

En el caso de las potencia, el truco es trabajar con el logaritmo natural de la expresión original, resolver el límite y regresarlo a la función original con una función exponencial, aprovechando la propiedad

lim 𝑦 = lim exp ( ln 𝑦 ) = exp ( lim ln 𝑦 )

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

𝑥→𝑎

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LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA * Ejercicios. Con ayuda de la regla de L’Hopital, resuelve los siguientes límites. En algunos casos, habrá que reacomodar la expresión original, para poder aplicar el teorema.

lim

𝑥→0

lim

𝑥→0

𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑥

lim

𝑥→0

𝑒 −𝑥 𝑥 −1

𝑥 𝑒𝑥

lim+

ln 𝑥 𝑐𝑜𝑡 𝑥

𝑥→∞

𝑥→1

𝑥→3

𝑥2 − 9 𝑥2 − 𝑥 − 6

1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑥 2 + 3𝑥

lim

lim+ [

lim

𝑥→0

𝑥 1 ] − 𝑥 − 1 ln 𝑥

lim(−)(3𝑥 )𝑥

lim (𝑥 + 1)𝑐𝑜𝑡 𝑥

𝑥 → 0+

lim

𝑥→0

𝑡𝑎𝑛 2𝑥 ln(1 + 𝑥 )

lim+ (

𝑥→0

1 𝑥 ) 𝑥

lim𝜋 [ 𝑡𝑎𝑛 𝑥 ∙ ln(𝑠𝑒𝑛 𝑥 ) ]

𝑥→

2

lim(−)(𝑡𝑎𝑛 𝑥 )𝑐𝑜𝑠 𝑥

𝑥→

𝜋 2

2

𝑥→0

El trabajo con este tipo de límites, aunado con los conceptos de integrales, preparan el camino para lo que se conoce como integrales impropias.

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LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA INTEGRALES IMPROPIAS Se llama así a las integrales en las que alguno de sus extremos, o ambos, es un infinito. ∞

∫ 0

1

1 𝑑𝑥 1 + 𝑥2

∞

2

∫ 𝑥 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥

2

∫ 𝑥 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥

−∞

−∞

En este tipo de integrales no podemos aplicar la definición de integral definida, la cual se establece para un intervalo finito [ 𝑎 , 𝑏 ].

Sin embargo, son expresiones de uso común en física, economía y probabilidad, por lo que tenemos que darle sentido a cada una de ellas.

Esto se consigue involucrando la idea de límites infinitos. 𝑏

𝑏

∞

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 −∞

𝑏

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

𝑎 → −∞ 𝑎

𝑎

𝑏→∞ 𝑎

Si el límite existe y tiene valor finito, entonces decimos que la integral impropia converge y tiene ese valor.

Si el límite no existe, decimos que la integral impropia diverge.

Cuando los dos extremos son infinitos, la integral se separa en dos integrales con un punto intermedio o pivote, el cual generalmente es cero ∞

0

∞

∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 −∞

−∞

0

Si las dos integrales que forman la suma convergen, entonces decimos que la integral impropia completa converge.

Si alguna de las dos integrales diverge, entonces la integral completa diverge.

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LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA Revisemos la siguiente integral impropia −1

2

∫ 𝑥 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 −∞

La vamos a resolver escribiéndola así −1

2

lim ∫ 𝑥 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥

𝑎 → −∞ 𝑎

Para simplificar la notación, trabajamos primero la integral y después aplicaremos el límite −1

∫ 𝑥𝑒 𝑎

−𝑥 2

1 −1 −𝑥2 1 −𝑥2 −1 1 −1 1 −𝑎2 1 1 ( −2𝑥 𝑑𝑥 ) = − ∫ 𝑒 | =− 𝑑𝑥 = − 𝑒 𝑒 + 𝑒 = − + 𝑎2 2 𝑎 2 2 2 2𝑒 2𝑒 𝑎 −1

2

lim ∫ 𝑥 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = lim [ −

𝑎 → −∞ 𝑎

𝑎 → −∞

1 1 1 + 𝑎2 ] = − 2𝑒 2𝑒 2𝑒

Que por ser una cantidad finita, concluimos que la integral impropia converge.

Otro ejemplo es la siguiente integral impropia

∞

∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 0

Y se resuelve al escribir ∞

𝑏

∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = lim ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = lim (− 𝑐𝑜𝑠 𝑥)|𝑏0 = lim [ − 𝑐𝑜𝑠 𝑏 + 𝑐𝑜𝑠 0 ] = lim [ − 𝑐𝑜𝑠 𝑏 + 1 ] 0

𝑏→∞ 0

𝑏→∞

𝑏→∞

Como este último límite no existe, concluimos que la integral impropia diverge.

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𝑏→∞

LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA Ahora tenemos la siguiente integral impropia ∞

1 𝑑𝑥 2 −∞ 1 + 𝑥

∫ Que separamos en dos integrales impropias 0

∫ −∞

∞ 1 1 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 2 2 1+𝑥 0 1+𝑥

Cada una la resolvemos por separado 0

0 1 1 𝜋 𝜋 ∫ 𝑑𝑥 = lim 𝑑𝑥 = lim (𝑡𝑎𝑛−1 𝑥 )|0𝑎 = lim [ 𝑡𝑎𝑛−1 0 − 𝑡𝑎𝑛−1 𝑎 ] = 0 + = 2 2 𝑎 → −∞ 𝑎 1 + 𝑥 𝑎 → −∞ 𝑎 → −∞ 1+𝑥 2 2

∫ −∞

∞

∫ 0

𝑏 1 1 𝜋 𝜋 −1 )|𝑏 −1 −1 ] ( [ ∫ 𝑑𝑥 = lim 𝑑𝑥 = lim 𝑡𝑎𝑛 𝑥 = lim 𝑡𝑎𝑛 𝑏 − 𝑡𝑎𝑛 0 = − 0 = 0 𝑏 → ∞ 0 1 + 𝑥2 𝑏→∞ 𝑏→∞ 1 + 𝑥2 2 2

Entonces, nuestra integral impropia resulta ∞

0 ∞ 1 1 1 𝜋 𝜋 ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 = + = 𝜋 2 2 2 2 2 −∞ 1 + 𝑥 −∞ 1 + 𝑥 0 1+𝑥

Que por ser una cantidad finita, concluimos que la integral impropia converge.

Cuando en una integral, un extremo es infinito, sabemos que se trata de una integral impropia. Sin embargo, existen otras integrales impropias que debemos reconocer primero.

Esto ocurre cuando en el intervalo de integración requerido, se presenta una asíntota vertical.

En términos estrictos, la función no es integrable. Pero podemos sortear la situación con el uso de integrales impropias. Basta con resolver la integral y después aplicar el límite en el valor de la asíntota vertical.

Si existe el límite, la integral existe y converge a dicho valor. En caso contrario, diverge la integral. 23

LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA Revisemos el siguiente ejemplo: 2

∫ 0

1 √ 4 − 𝑥2

𝑑𝑥

En el dominio de esta función, 𝑥 ≠ −2 , 2 porque ahí se presentan asíntotas verticales.

Para poder resolver la integral, planteamos la integral impropia 2

∫ 0

1 √ 4 − 𝑥2

𝑏

𝑑𝑥 = lim− ∫ 𝑏→2

0

1 √ 4 − 𝑥2

𝑥 𝑏 𝑏 0 𝑑𝑥 = lim− 𝑠𝑒𝑛−1 ( ) | = lim− [ 𝑠𝑒𝑛−1 ( ) − 𝑠𝑒𝑛−1 ( ) ] 𝑏→2 2 0 𝑏→2 2 2

2

∫ 0

1 √4−

𝑥2

𝑑𝑥 =

𝜋 𝜋 −0= 2 2

Que por ser una cantidad finita, concluimos que la integral impropia converge.

Aún con la asíntota vertical, se pudo calcular el área comprendida dentro de la región formada con la curva, la asíntota vertical y el eje de las abscisas, en el intervalo [ 0 , 2 )

Si la asíntota vertical se presenta en un valor intermedio de un intervalo [ 𝑎 , 𝑏 ], tendremos que separar la integral completa en dos integrales impropias, en las cuales habrá que aplicar el límite en el valor de la asíntota vertical.

Si las dos integrales que forman la suma convergen, entonces decimos que la integral impropia completa converge.

Si alguna de las dos integrales diverge, entonces la integral completa diverge.

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