Material de Apoio Aula 28-04

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Material de Apoio – Aula 28/04 MTM1019 – Cálculo A 1) Outras Notações Para a Derivada: Quando a variável independente for x, a operação de derivação também costuma ser denotada por d dy f '( x)   f ( x)   Dx  f ( x) dx dx As notações mais usadas são a primeira e a terceira, que vamos utilizá-las bastante na disciplina, a última, quase não vemos.

2) Diferenciabilidade: Dizemos que uma função f é diferenciável, ou apenas, derivável em

x0 se existir o limite

f  x0  h   f ( x0 ) . h 0 h Geometricamente, uma função é diferenciável em x0 se o gráfico de f possuir uma reta tangente em x0 . Ela não é diferenciável em pontos com bico ou pontos de tangência vertical. f '( x0 )  lim

Função 2- Tangência vertical próximo a x=4. Função 1 - Apresenta bico e x=1.

Exemplo: Mostre que y | x | , não é diferenciável em x0  0 .

 x, se x  0 Como já sabemos, a função módulo é dada pela definição | x |  .  x, se x  0 Para verificarmos se a função é diferenciável, temos que verificar se o limite lim h 0

f  x0  h   f ( x0 ) existe, ou h

seja, calcular o limites laterais em x=0. Assim, f  x0  h   f ( x0 ) ( x  h)  ( x) x  h  x h lim  lim  lim  lim  lim  1  1 h 0 h 0 h 0 h 0 h h 0 h h h Por outro lado, f  x0  h   f ( x0 ) ( x  h)  x xhx h lim  lim  lim  lim  lim 1  1 h 0 h 0 h 0 h 0 h h 0 h h h f  x0  h   f ( x0 ) Logo, os limites laterais, por um lado da 1, do outro -1, sendo assim, o limite lim não existe, h 0 h e portanto, y | x | não é derivável em x0  0 .

3) Derivada do Produto. Sejam, f e g duas funções reais, e h a função definida por h( x)  f ( x)  g ( x) . A derivada de h( x) é definida pela REGRA DO PRODUTO, que é dada por:

h '( x)  f '( x)  g ( x)  f ( x)  g '( x) Em palavras: A derivada do produto é dada pela multiplicação da derivada da primeira função vezes a segunda, MAIS a derivada da segunda função vezes a primeira. Exemplo: Encontre a derivada das funções abaixo: a) h( x)  (2 x³  1)( x 4  x²) b) h( x)  x  2 x 3 2  4  Resolução: a) Chamando de f ( x)  2 x ³  1 temos que f '( x)  6 x² . Chamando de g ( x)  x 4  x ² temos que g '( x)  4 x³  2 x . Substituindo na regra do produto, obtemos h '( x)  (6 x²)  ( x 4  x²)  (2 x³  1)(4 x³  2 x) . Fazendo as multiplicações, temos: h '( x)  (6 x 6  6 x 4 )  (8 x 6  4 x3  4 x 4  2 x) Logo, h '( x)  14 x 6  10 x 4  4 x3  2 x . Ao aplicarmos a regra do produto, nem sempre será necessário fazer as multiplicações, pois há termos que ficarão difíceis de ser calculados, sendo assim, basta saber a regra e saber aplica-la. b) Chamando de f ( x)  x temos que f '( x)  1 . Chamando de g ( x)  2 x3 2  4 temos que g '( x)  3x1 2 . Substituindo na regra do produto, obtemos h '( x)  (1)  (2 x3 2  4)  ( x)(3x1 2 ) . Logo, h '( x)  2 x3 2  4  3x x .

4) Derivada do Quociente. f ( x) , g ( x)  0. . g ( x) A derivada de h( x) é definida pela REGRA DO QUOCIENTE, que é dada por: Sejam, f e g duas funções reais, e h a função definida por h( x) 

h '( x) 

f '( x)  g ( x)  f ( x)  g '( x)

 g ( x) 

2

Em palavras: A derivada de um quociente de duas funções é a derivada da função que está no numerador vezes a função do denominador, MENOS a função que está no numerador vezes a derivada da função que está no denominador, tudo dividido pela função do denominador ao quadrado. Ou seja, a derivada da de cima vezes a de baixo, menos a de cima vezes a derivada da de baixo, sobre a de baixo ao quadrado. Exemplo: Encontre a derivada das funções abaixo: x³  2 x²  1 a) h( x)  x5

b) h( x) 

x²  1 x 1

Resolução: a) Chamando de f ( x)  x³  2 x²  1 temos que f '( x)  3x²  4 x . Chamando de g ( x)  x  5 temos que g '( x)  1 . (3x²  4 x)  ( x  5)  ( x³  2 x²  1)  (1) Substituindo na regra do quociente, obtemos h '( x)  . ( x  5)² Fazendo as multiplicações, temos: 3x³  15 x²  4 x²  20 x  x³  2 x²  1 h '( x)  x²  10 x  25 2 x³  17 x²  20 x  1 Logo, h '( x)  . x²  10 x  25 Ao aplicarmos a regra do quociente, nem sempre será necessário fazer as multiplicações, pois há termos que ficarão difíceis de ser calculados, sendo assim, basta saber a regra e saber aplica-la. b) Chamando de f ( x)  x ²  1 temos que f '( x)  2 x . Chamando de g ( x)  x  1 temos que g '( x)  1 . Substituindo na regra do quociente, obtemos h '( x) 

(2 x)  ( x  1)  ( x²  1)  (1) . ( x  1)²

Fazendo as multiplicações, temos: 2 x²  2 x  x²  1 h '( x)  x²  2 x  1 x²  2 x  1 Logo, h '( x)  . x²  2 x  1

5) Derivadas de Ordem Superior. A derivada f ' de uma função f é novamente uma função, que pode ter sua própria derivada. Se f ' for derivável, então sua derivada é denotada por f '' e é denominada derivada segunda de f . Podemos continuar esse processo de derivação para obter as derivadas terceira, quarta, quinta, e até derivada de ordens superiores de f . Essas derivadas em sucessão são denotadas por f '( x), f ''( x), f '''( x), f (4) ( x), ..., f ( n ) ( x) , ou também

dy d 2 y d 3 y dny , 2 , 3 ,..., n . dx dx dx dx Exemplo: Se f ( x)  3x 4  2 x3  x 2  4 x  2 , então: f '( x)  12 x³  6 x²  2 x  4 f ''( x)  36 x²  12 x  2 f '''( x)  72 x  12 f (4) ( x)  72 f (5) ( x)  0

f ( n ) ( x)  0; (n  5)