Matemática 1. 4to año de Educación Media - Santillana-

SAVE OFFLINE

Matemática 1er año año de de Matemática 1 1 para para el el 1er Educación Educación Media Media Diversificada Diversificada yy Profesional Profesional la matemática (cuarto año presenta de Educación Media) presenta desde una perspectiva útil para la la matemática desde una perspectiva útil vida cotidiana y además muestra para la vida cotidiana y además muestra su ciencias. su aplicación aplicación en en diferentes diferentes ciencias. Comprende teórica, Comprende información información teórica, así así como como ejemplos ejemplos y y ejercicios ejercicios resueltos que contribuyen a la la resueltos que contribuyen a compresión compresión de de los los temas. temas. Este Este libro incluye herramientas pedagógicas pedagógicas orientadas al desarrollo de de las las habilidades para la solución de problemas, de problemas, el razonamiento, la la modelación, modelación, el análisis, la interpretación interpretación y la argumentación.

1

7 591524 006928

EDUCACIÓN MEDIA EDUCACIÓN MEDIA DIVERSIFICADA Y DIVERSIFICADA Y PROFESIONAL PROFESIONAL

11

Matemática 11 Matemática

Matemática 11

Matemática 1

1

EDUCACIÓN MEDIA EDUCACIÓN MEDIA DIVERSIFICADA YY DIVERSIFICADA PROFESIONAL PROFESIONAL

4 EDICIÓN DEL DOCENTE

to AÑO DE EDUCACIÓN MEDIA

El libro Matemática 1º  para 1er. año de Educación Media Diversificada y Profesional (cuarto año de Educación Media) es una obra colectiva concebida, diseñada y elaborada por el Departamento Editorial de Santillana, S.A., bajo la dirección pedagógica y editorial de la profesora Carmen Navarro. Texto Ramón Álvarez Mauricio Bautista Carlos Ramírez Andrea Chamorro Juan de Jesús Romero Wilson Torres  Miriam Morales  Anneris Joya  Diana Salgado Edición Evelyn Perozo  Andrea Perdomo Corrección de estilo Dina Selvaggi  Martha Jeanet Pulido Delgado  Manuel Chaparro

   

Coordinación de arte Rosi Milgrom

Documentación gráfica Equipo Santillana

Diseño de Unidad Gráfica Equipo Santillana

Ilustraciones e infografías Equipo Santillana

Diseño de portada Rosi Milgrom

Fotografías Fondo documental Santillana

Diagramación María Elena Becerra M.  Carillyn de Castro  Equipo Santillana

Digitalización y retoque de imágenes Rafael Guitiérrez  Equipo Santillana

© 2008 by Santillana, S. A. Editado por Santillana, S. A.  PRIMERA EDICIÓN: 2008 N° de ejemplares: 1486   Reimpresión: 2014   Av. Rómulo Gallegos, Edif. Zulia, piso 1.  Sector Montecristo, Boleíta. Caracas (1070), Venezuela.  Telfs.: 280 9400/ 280 9454 ISBN: 978-980-275-903-3  Depósito legal: lf63320085401489

Impreso en Venezuela por: Artes Gráficas Rey, C.A.

Quedan  rigurosamente  prohibidas,  sin  la  autorización  previa  de  los  titulares  del  Copyright,  bajo  las  sanciones  establecidas  en  las  leyes,  la  reproducción  total  o  parcial  de  esta  obra  por  cualquier  medio   o  procedimiento,  comprendidos  la  reprografía  y  el  tratamiento  informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler  o préstamo públicos.

CONTENIDO DE LA

Edición para el docente MATEMÁTICA 1

¿QUÉ NECESITO?

¿EN DÓNDE LO ENCUENTRO?

„ Conocer la propuesta de Matemáticas 9 y cómo está relacionada con los estándares de matemáticas.

✓ En la presentación del modelo. 4, 5

✓ En las tablas de estándares.

„ Conocer las acciones modelo en matemática.

6, 7, 8

„ Conocer las competencias generales propuestas.

✓ En las competencias del grado.

„ Conocer las respuestas de la sección “Evaluación”.

✓ Libro del estudiante.

9

10

„ Establecer los logros e indicadores de logro, los estándares y las competencias por unidades.

✓ En los Guiones didácticos.

„ Plantear preguntas y actividades para analizar los conocimientos previos de los estudiantes.

✓ En Día a día en el aula.

11, 15, 20, 23, 28, 32, 37, 42, 45

12, 16, 21, 24, 29, 33, 38, 43, 46

✓ En Día a día en el aula. 13, 17, 18, 25, 26, 30, 34, 39

„ Despertar interés por un tema. „ Ampliar información sobre un tema a partir de anécdotas o curiosidades que se han planteado en el desarrollo del pensamiento matemático de la humanidad.

✓ En Día a día en el aula. 13, 35, 40

„ Trabajar con los estudiantes la estructuración del conocimiento matemático a partir de mapas conceptuales.

✓ En Trabajo de campo. 14, 19, 22, 27, 31, 36, 41, 44, 47

„ Conocer algunas direcciones útiles en internet que faciliten la búsqueda de la información propia del área de matemáticas.

✓ En Banco de datos en la red. 48

„ Tener la plantilla de modelos de respuestas para la sección “Evaluación” que aparece en el libro del estudiante.

✓ En Hoja de respuestas Evaluación.

© SANTILLANA

48

3

Matemática 1 La nueva serie de matemática es una propuesta pedagógica para los dos grados de educación media, diversificada y profesional que ha sido desarrollada con el propósito fundamental de afianzar en los estudiantes las competencias básicas en el manejo de los conocimientos y habilidades relacionadas con los siguientes bloques contenidos: CONJUNTOS NUMÉRICOS

GEOMETRÍA

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

„

MEDIDAS ÁLGEBRA

Al comienzo de cada unidad usted encontrará.

✓ Una página de apertura en la cual se enumeran los temas que se van a tratar.

✓ La sección No es tan difícil como se piensa..., en la cual se propone una actividad que se presenta resuelta en la unidad.

✓ Título de la sección.

✓ Ubicación de la solución al problema planteado.

En cada unidad se plantea el desarrollo de un contenido teniendo en cuenta la siguiente estructura.

✓ Un desarrollo conceptual que se plantea a partir de una situación real.

✓ Un Ejercicio resuelto, en el cual se aplican los conceptos aprendidos.

4

© SANTILLANA

„

✓ Una sección de , en la cual se plantean situaciones problemáticas y se aplican diferentes estrategias.

✓ Unas actividades en las cuales se aplican los conocimientos adquiridos teniendo en cuenta cinco procesos generales. EJERCITACIÓN RAZONAMIENTO COMUNICACIÓN MODELACIÓN SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

✓ en la cual se proponen contextos reales donde se aplican los conceptos y procedimientos aprendidos.

,

„ La sección Evaluación, propone un modelo de evaluación en el cual se verifican las competencias

de los estudiantes.

© SANTILLANA

✓ Las opciones de respuesta son: • selección múltiple con única respuesta. • selección múltiple con múltiple respuesta válida.

„ Las respuestas a las actividades de numeración impar.

5

ACCIONES MODELO

Matemática PRIMER AÑO

CONJUNTOS NUMÉRICOS ACCIÓN MODELO

UNIDADES

1.

Utilizo números reales en sus diferentes representaciones y en diversos contextos.

3, 8, 9

2.

Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y las operaciones entre ellos.

8

3.

Utilizo la notación científica para representar medidas de cantidades de diferentes magnitudes.

3

4.

Identifico y utilizo la potenciación, la radicación y la logaritmación para representar situaciones matemáticas y no matemáticas y para resolver problemas.

9

Comparo y contrasto las propiedades de los números (naturales, enteros, racionales y reales) y las de sus relaciones y operaciones para construir, manejar y utilizar apropiadamente los distintos sistemas numéricos.

2

6.

Utilizo argumentos de la teoría de números para justificar relaciones que involucran números naturales.

2

7.

Establezco relaciones y diferencias entre distintas notaciones de números reales para decidir sobre su uso en una situación dada.

2, 7

5.

GEOMETRÍA

8.

9.

Identifico características de localización de objetos geométricos en sistemas de representación cartesiana y otros (polares, cilíndricos y esféricos) y en particular de las curvas y figuras cónicas.

2, 5

Uso argumentos geométricos para resolver y formular problemas en contextos matemáticos y en otras ciencias.

2, 4, 5, 6, 7 2, 5

11. Reconozco y describo curvas y lugares geométricos.

2, 5, 6, 7

© SANTILLANA

10. Describo y modelo fenómenos periódicos del mundo real usando relaciones y funciones trigonométricas.

6

ACCIONES MODELO

Matemática PRIMER AÑO

MEDIDAS UNIDADES

ACCIÓN MODELO

12. Diseño estrategias para abordar situaciones de medición que requieran grados de precisión específicos.

4, 6

13. Resuelvo y formulo problemas que involucren magnitudes cuyos valores medios se suelen definir indirectamente como razones entre valores de otras magnitudes, como la velocidad media, la aceleración media y la densidad media.

2, 4

PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

1

15. Justifico o refuto inferencias basadas en razonamiento estadístico a partir de los resultados de estudios publicados en los medios o diseñados en el ámbito escolar.

1

16. Diseño experimentos aleatorios (de las ciencias físicas, naturales o sociales) para estudiar un problema o pregunta.

1

17. Interpreto conceptos de probabilidad condicional e independencia de eventos.

1

18. Resuelvo y planteo problemas usando conceptos básicos de conteo y probabilidad (combinaciones, permutaciones, espacio muestral, muestreo aleatorio, muestreo con remplazamiento).

1

19. Propongo inferencias a partir del estudio de muestras probabilísticas.

1

© SANTILLANA

14. Interpreto y comparo resultados de estudios con información estadística provenientes de medios de comunicación.

7

ACCIONES MODELO

Matemática PRIMER AÑO

ALGEBRA UNIDADES

ACCIÓN MODELO

3, 9

21. Construyo expresiones algebraicas equivalentes a una expresión algebraica dada.

3, 8, 9

22. Uso procesos inductivos y lenguaje algebraico para formular y poner a prueba conjeturas.

3, 8, 9

23. Modelo situaciones de variación con funciones polinómicas.

8

24. Identifico y utilizo diferentes maneras de definir y medir la pendiente de una curva que representa en el plano cartesiano situaciones de variación.

3

25. Identifico la relación entre los cambios en los parámetros de la representación algebraica de una familia de funciones y los cambios en las gráficas que las representan.

3

26. Analizo en representaciones gráficas cartesianas los comportamientos de cambio de funciones específicas pertenecientes a familia de funciones polinómicas, racionales, exponenciales y logarítmicas.

3

27. Utilizo las técnicas de aproximación en procesos infinitos numéricos.

7

28. Analizo las relaciones y propiedades entre las expresiones algebraicas y las gráficas de funciones polinómicas y racionales y de sus derivadas.

2

29. Modelo situaciones de variación periódica con funciones trigonométricas e interpreto y utilizo sus derivadas.

5

© SANTILLANA

20. Identifico relaciones entre propiedades de las gráficas y propiedades de las ecuaciones algebraicas.

8

COMPETENCIAS GENERALES PROPUESTAS PARA EL

primer año INTERPRETATIVA 1. Identificar la función de las variables dentro del contexto algebraico (como número generalizado, como objeto concreto, como elemento cambiante). 2. Reconocer en situaciones concretas, el concepto de variación entre objetos matemáticos. 3. Identificar las funciones y sus características en diferentes contextos. 4. Interpretar el comportamiento de una función dada en cada una de las diferentes representaciones. 5. Identificar propiedades de los objetos matemáticos. 6. Utilizar criterios para reconocer funciones, construir su gráfica y determinar sus características principales. 7. Construir triángulos rectángulos para modelar algunas situaciones problema. 8. Reconocer las secciones cónicas en forma gráfica y algebraica.

ARGUMENTATIVA 9. Justificar el planteamiento y desarrollo de conjeturas. 10. Justificar el planteamiento y solución de situaciones que involucran funciones trigonométricas. 11. Explicar, usando elementos de variación como representaciones gráficas, tablas, diagramas, figuras y esquemas, el planteamiento de situaciones concretas. 12. Justificar el uso de una u otra estrategia en la solución de un problema ubicado en el contexto de las funciones.

PROPOSITIVA

© SANTILLANA

13. Plantear y resolver problemas que involucren los conceptos de variación relacionados con números, figuras, medidas y variables estadísticas. 14. Plantear y resolver problemas que involucren funciones trigonométricas. 15. Proponer situaciones modelo para el planteamiento y solución de un problema en cualquier tipo de pensamiento matemático.

9

RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN

Libro del estudiante Página 76 A

B

C

D

C

D

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Páginas 148, 149, 150 A

B

A

B

C

A

D

1.

9.

17.

2.

10.

18.

3.

11.

19.

4.

12.

20.

5.

13.

21.

6.

14.

22.

7.

15.

8.

16.

B

C

D 

 







23.













Páginas 234, 235, 236 A

B

C

D

A

B

C

D

A

1.

9.

16.

2.

10.

17.

3.

11.

18.

4.

12.

19.

5.

13.

20.

6.

14.

21.

7.

15.







B

C



D







 



 

 

22.



8.

Páginas 291, 292, 293 B

C

D

A

B

C

D

A

8.

15.

2.

9.

16.

3.

10.

17.

4.

11.

18.

5.

12.

19.

6.

13.

20.

7.

14.

10

B

C

D

© SANTILLANA

A 1.

Guión didáctico LOGROS

UNIDAD 1 INDICADORES DE LOGROS

ESTÁNDARES

COMPETENCIAS

1. Identifica conceptos rela- • Reconoce qué es un experimento aleatorio cionados con la probabiliy un espacio muestral. dad. • Identifica un evento como un subconjunto de un espacio muestral.

16, 19

15

2. Aplica los conceptos de • Identifica cuándo una muestra es ordenada. orden y repetición para • Identifica cuándo hay repetición en una determinar los elementos muestra. de un espacio muestral. • Determina los elementos de un espacio muestral.

17, 18, 19

15

3. Aplica técnicas de conteo • Aplica el principio de multiplicación para en experimentos aleatodeterminar el tamaño de un espacio muesrios. tral.

18, 19

15

14, 15, 17, 18, 19

15

• Aplica la técnica de permutaciones y factoriales para determinar el tamaño de un espacio muestral. • Aplica el principio de combinatoria para determinar el tamaño de un espacio muestral. 4. Determina la probabilidad de ocurrencia de un suceso.

• Usa los principios de conteo para determinar la probabilidad de un suceso. • Calcula la probabilidad a partir de la representación de un evento en un diagrama. • Calcula la probabilidad teniendo en cuenta si un evento es condición para otro.

© SANTILLANA

• Elabora conclusiones sobre una situación teniendo en cuenta las probabilidades halladas.

11

en el aula

12 G C

F

¿Cuántos números primos menores que 100 hay?

E

B

© SANTILLANA

45º



13. Hallar el valor del ángulo .

9.

D

H

A

5. Si E, F, G y H son los puntos medios de los lados del cuadrado ABCD. ¿Qué fracción del cuadrado está sombreada?

343  77

1. ¿Cierto o falso?

© SANTILLANA DÍA A DÍA

60º

60º

El promedio de cinco números naturales consecutivos es 9. ¿Cuáles son los números?

14.

Un sastre tiene una pieza de tela de 12 m de largo. Si cada día corta 1,5 m, ¿en cuántos días terminará de cortar la tela?

Encontrar tres números de tres cifras, pares, divisibles entre 9 y cuya suma digital sea 9.

10.

6.

60º

60º

2. Probar que el área sombreada 1 del área del es menor que  4 rectángulo.

FICHA 1









la corona circular y el área del círculo inscrito en el cuadrado?

8. ¿Qué relación hay entre el área de

B

A

C

E

D

15. Si el segmento BC es el triple de CD y DE  CD  30 m, ¿cuánto mide el segmento AB?

16. ¿Cuántos trapecios con dos ángulos rectos hay en la figura?

11. a, b, c, d y e son cinco dígitos 12. tales que b, c y d son el promedio de sus dos vecinos inme¿Es cierto que en todo diatos. Hallar dos soluciones cuadrilátero la suma de la para a, b, c, d y e. medida de sus diagonales es menor que su perímetro? a b c d e



=135º

7. Divida el hexágono equilátero en tres cuadriláteros equiláteros.

12, 18, 24, 31, 36

3. Dibujar el árbol sin levantar el 4. ¿Cuál de los siguientes números no se puede escribir como lápiz ni repetir línea. la suma de dos números primos?

Juegos de ingenio

UNIDAD 1

DÍA A DÍA

en el aula

FICHA 2 PARA DESPERTAR EL INTERÉS POR EL TEMA

JUEGO 1

Apostadores y mentirosos Se encontraron dos grandes apostadores en juegos de dados y antes de apostar cada uno afirmó: Te voy a ganar, hoy he tenido muy buena suerte. De las 150 veces que he lanzado el dado, 75 veces ha caído en seis.

Pues creo que quien va a ganar soy yo, porque las últimas veces que he lanzado el dado, el dos ha caído muy poco. Así que voy a apostar por el dos y seguro ganaré.

El primer apostador está mintiendo o los dados están cargados. ¿Por qué se hace esta afirmación? Es buena la técnica que tiene el segundo apostador, ¿por qué?

FICHA 3 PARA AMPLIAR INFORMACIÓN

Historia de la probabilidad

© SANTILLANA

La probabilidad surgió a partir del juego. Al hombre desde la antigüedad le ha interesado el azar, pero fue hacia el siglo XVI, que los matemáticos Cardano y Tartaglia, hicieron los primeros estudios matemáticos profundos sobre los juegos de azar y las apuestas. En 1654, el caballero de Méré propuso al matemático francés Blaise Pascal un problema sobre reparto justo, que le interesó mucho. Él y su amigo Fermat resolvieron el problema de distinta manera, lo que dio inicio a la teoría de la probabilidad. Actualmente, dicha teoría es una disciplina matemática con múltiples aplicaciones, ya que la aleatoriedad es importante en muchas ciencias y es necesario cuantificarla.

13

TRABAJO

de campo

• Los siguientes elementos forman parte de un mapa conceptual que plantea el desarrollo de la teoría relacionada con probabilidad. • Entregue a cada estudiante una copia de ellos y pídales que estructuren el mapa conceptual. • Los cuadros de color son los conceptos y los cuadros sin color son los conectores. • Para revisar el mapa conceptual tenga en cuenta que los cuadros del mismo color se deben ubicar en el mismo nivel de concepto.

Estadística inferencial

Permutaciones y factoriales

Técnicas de conteo

Combinatorias

Probabilidad

Ciencia que permite cuantificar la ocurrencia de un evento

Muestra

Población

Experimento aleatorio

que debe ser

Espacio muestral

estudiando una estudia

Representativa y aleatoria

de un y se define como

e infiere conclusiones para una para determinar el tamaño del

© SANTILLANA

para ello desarrolla que son

Principio de la multiplicación

14

Guión didáctico LOGROS

UNIDAD 2 INDICADORES DE LOGROS

ESTÁNDARES

COMPETENCIAS

1. Determina si una relación • Identifica las características de una función. 5, 6, 7, 8, 9, 3, 12 es una función. 10, 11 • Reconoce una función representada en forma sagital. • Reconoce cuándo una gráfica representa una función. • Identifica la función que relaciona un conjunto de salida con un conjunto de llegada. 2. Identifica los elementos • Identifica el dominio, codominio y el rango 6, 8, 9, 11 de una función. de una función representada gráficamente.

3, 4

• Diferencia entre la imagen y la preimagen de una función. 3. Clasifica funciones.

• Determina gráficamente si una función es 8, 9, 10, 11 4, 12 inyectiva, sobreyectiva y biyectiva. • Determina analíticamente si una función es inyectiva, sobreyectiva y biyectiva. • Restringe el dominio de una función para que sea inyectiva.

4. Representa funciones en • Establece relación entre las diferentes repre- 6, 8, 9, 10, 4, 11, 12 forma tabular, gráfica y sentaciones de una función. 11, 13 algebraica. • Determina gráficamente los intervalos en los cuales la función es creciente y decreciente. • Grafica funciones pares, impares y periódicas. • Determina la inversa de una función en forma analítica y gráfica.

© SANTILLANA

5. Identifica gráfica y analíti- • Identifica las características generales de las 8, 9, 10, 11, 3, 4, 11, 12, camente diferentes clases diferentes clases de funciones. 13, 28 15 de funciones (lineales, • Diferencia las expresiones algebraicas de cuadráticas, cúbicas, exlas funciones lineales, cuadráticas y cúbicas. ponenciales, logarítmicas y definidas a trozos). • Resuelve situaciones que presentan información que se comporta como una función. • Completa tablas de valores de funciones logarítmicas y exponenciales. • Grafica funciones definidas a trozos.

15

en el aula

Luego, lo multipliqué por 7. Si el resultado que obtuve fue 252, ¿cuál número pensé?

Pensé un número, le sumé 15.

m

l

16

5  15 4  15

© SANTILLANA

A

C

B

que representa (A  B)’  C’.

13. Sombrear en el diagrama la parte

6  15

9. Completar el cuadrado mágico.

5.

n

45º

45º

Justificar la respuesta.

25 81

6 121

2



7 6

5 3

9

2

¿Es más probable escoger un número par que uno impar?

4

1

14. ¿Cierto o falso?

¿Cuántos números de tres cifras se pueden obtener con los dígitos 3, 4 y 5, sin repetirlos?

10.

130º



6. ¿Cuánto miden los ángulos  y ?

4

9 Juan tiene el doble de la edad de Diana. Si las edades de los dos suman 84 años, ¿cuántos años tiene cada uno?

Figura 3

Figura 2

x

15. Hallar el valor de x.

FICHA 1

¿De cuántas formas distintas se puede preparar un helado de tres sabores si hay fresa, melón, chicle y mandarina?

16.

Una máquina produce 25 lápices cada 3 minutos. ¿Cuántos lápices produce en una hora?

quince de la figura, para que se formen sólo tres cuadros.

8. Borrar tres segmentos de los

levantar el lápiz y sin repetir línea?

4. ¿Se puede trazar la figura sin

11. ¿Cuántos cuadrados hay en total? 12.

Figura 1

7. ¿Cuál es la figura diferente?

3.

Juegos de ingenio

1. ¿l y m son rectas perpendiculares? 2. Descubrir el intruso.

DÍA A DÍA

UNIDAD 2

DÍA A DÍA

en el aula

FICHA 2 PARA DESPERTAR EL INTERÉS POR EL TEMA

Pasapalos

Áreas 5 cm

Daniel tiene una bandeja con pasapalos. A su hermano le da la mitad de los pasapalos. A su primo le da la mitad de los que le quedan más medio pasapalos. El que queda se lo come él. ¿Cuántos pasapalos tenía en la bandeja?

x

Al aumentar el lado en 5 cm, el área del nuevo cuadrado se cuadruplica. ¿Cuál es el lado x del cuadrado inicial?

Experimento con botellas Se toma la siguiente botella vacía y se llena de agua con un vaso. Al echar cada vaso de agua, se mide la altura que alcanza y se obtiene la siguiente gráfica. altura (cm)

1

2

3

© SANTILLANA

¿Cuáles gráficas se obtendrán repitiendo este experimento con las siguientes botellas?

17

4

vasos de agua

DÍA A DÍA

en el aula

FICHA 3 PARA DESPERTAR EL INTERÉS POR EL TEMA

La función para estudiar la variación El hombre ha estado interesado desde hace mucho tiempo en las magnitudes que varían. La función fue uno de los mejores instrumentos ideados para estudiar la variación. El tiempo es una magnitud que varía, se puede considerar que es una variable natural que está cambiando continuamente y de manera uniforme. A medida que pasa el tiempo, otras magnitudes también van variando. Por ello, cuando el hombre inventó el reloj y lo hizo lo suficientemente exacto para medir el tiempo, empezó, a su vez, a medir cómo y cuánto varían otras magnitudes como la longitud, el área y el volumen con respecto al tiempo. Los primeros fenómenos de variación que le interesaron al hombre, estuvieron asociados con el movimiento, como por ejemplo, el lanzamiento de una piedra o la caída de un objeto. Actualmente, las funciones modelan fenómenos de variación muy complejas como los movimientos de los astros, el crecimiento de poblaciones y la economía de los países, entre muchos otros.

Estudio comparativo de funciones Con frecuencia es necesario comparar dos o más funciones para ser interpretadas conjuntamente. Generalmente, son funciones del mismo tipo, que al ser comparadas arrojan información sobre el crecimiento o decrecimiento de alguna variable, por ello, se grafican sobre los mismos ejes. Por ejemplo, para hacer el estudio comparativo de los ingresos y los egresos en un concesionario durante los últimos años, se grafican las dos funciones sobre los mismos ejes coordenados con lo que es fácil comparar sus comportamientos. Escribir un párrafo para explicar el comportamiento de las funciones representadas a continuación. Egresos Ingresos Ganancias

1998

1999

2000

2001

2002

2003

18

2004

2005

2006

© SANTILLANA

Pérdidas

TRABAJO

de campo

• Los siguientes elementos forman parte de un mapa conceptual que plantea el desarrollo de la teoría relacionada con funciones. • Entregue a cada estudiante una copia de ellos y pídales que estructuren el mapa conceptual. • Los cuadros de color son los conceptos y los cuadros sin color son los conectores. • Para revisar el mapa conceptual tenga en cuenta que los cuadros del mismo color se deben ubicar en el mismo nivel de concepto.

De variable real

Par e impar

f: A → B es función si a cada elemento de A le corresponde un único elemento de B

Periódica

R: A → B

Dada R: A → B, Dom R  {x / (x, y)  R}

No funcional

Funcional

Ran R

Una relación  del conjunto A en el conjunto B

puede ser

y se define como

© SANTILLANA

cuando que se simboliza

Dom  Dominio

Dada R: A → B, Ran R  {y / (x, y)  R}

R  {(x, y) / x  A y y  B} RA B

cuando

se define como

Biyectiva

Rango

Dada f : A → B Ran f  B

Generalmente con letras minúsculas, como f, g, h, …

cuando

Sobreyectiva

Continua o definida a trozos

Logarítmica

R no es función

Inyectiva o uno a uno

Exponencial

Dada f : A → B, x  A y y  B, si x  y ⇒ f (x)  f (y)

que se simboliza cuando

se define como

siempre tiene

19

se representa

y se representa puede ser

puede ser

Dada f: A → B, f es inyectiva y sobreyectiva

y se define como

Guión didáctico

INDICADORES DE LOGROS

ESTÁNDARES

COMPETENCIAS

1. Identifica las características • Identifica las características de la función de la función exponencial exponencial. y su representación gráfica. • Construye y reconoce la tabla de valores de una función exponencial. • Grafica una función exponencial. • Determina el dominio, rango, corte con los ejes y crecimiento o decrecimiento de una función exponencial.

25, 26

6, 11, 15

2. Determina la solución de • Halla la solución de una ecuación exponenuna ecuación exponencial. cial. • Plantea y resuelve ecuaciones exponenciales.

4, 20, 22

1, 13, 15

3. Identifica las característi- • Identifica las características de la función cas de la función logarít- logarítmica. mica y su representación • Construye y reconoce la tabla de valores de gráfica. una función logarítmica. • Grafica una función logarítmica. • Determina el dominio, rango, corte con los ejes y crecimiento o decrecimiento de una función logarítmica.

25, 26

6, 11, 15

4. Determina la solución de • Maneja y aplica las propiedades de los logauna ecuación logarítmica. ritmos. • Halla la solución de una ecuación logarítmica. • Plantea y resuelve ecuaciones logarítmicas.

4, 20, 22

1, 13, 15

© SANTILLANA

LOGROS

UNIDAD 3

20

© SANTILLANA

en el aula

21

© SANTILLANA

tro piezas.

13. Formar un triángulo con las cua-

Si se duplica el lado de un cuadrado, entonces, ¿su perímetro y su área también se duplican?

cinco cuadrados se conviertan en tres.

9.

iguales, averiguar el valor de D, O, S, C y H.

14. W, Z y T son números enteros positivos.

C

B

¿Cuál de las dos expresiones siguientes es la mayor, W  (Z  T) o (W  Z)  T?

D

E

A

a B sin pasar dos veces por una misma estación?

10. ¿Cuántas formas hay para ir de A

DOS DOS DOS  DOS OCHO

6. Si letras iguales representan dígitos

do?

2. ¿Cuántos cubos hay en este sóli-

Nueve es...

O

Y

A

M

cada casilla una sola letra.

8. Completar la frase ubicando en

bos congruentes.

4. Dividir el hexágono en tres rom-

FICHA 1

V

E

O

E

U

U

O

V

E O

lápiz del papel y sin repetir la línea.

15. Dibujar la figura sin levantar el

N

N

N

el arreglo la palabra nuevo.

11

6

1

A

10

5

B

número 99?

12

7

2

C

9

4

D

13

8

3

E

16. ¿En qué columna aparecerá el

?

?

lugar del interrogante.

11. De cuántas formas se puede leer en 12. Dibujar la figura que ocupa el

representa la x?

7. ¿Qué parte del área del cuadrado

Con los dígitos 6, 6, 6, 6, 9, 9 se ha formado un número palíndromo que también es cuadrado. ¿Cuál es?

3.

Juegos de ingenio

5. Retirar tres palillos para que los

Si se ordenan de mayor a menor todos los números de cuatro dígitos diferentes que se pueden escribir con 2, 4, 6 y 8, ¿cuál ocupa el noveno lugar?

1.

DÍA A DÍA

UNIDAD 3

TRABAJO

de campo

• Los siguientes elementos forman parte de un mapa conceptual que plantea el desarrollo de la teoría relacionada con función exponencial y logarítmica. • Entregue a cada estudiante una copia de ellos y pídales que estructuren el mapa conceptual. • Los cuadros de color son los conceptos y los cuadros sin color son los conectores. • Para revisar el mapa conceptual tenga en cuenta que los cuadros del mismo color se deben ubicar en el mismo nivel de concepto.

Si 0  a  1 la función es decreciente

Si a 1, y  Loga x es creciente

Si a 1, y  ax es creciente

No tiene ejes con el corte x

La función no está definida para los números negativos

Corta el eje x en (1, 0)

Corta el eje y en (0, 1)

El eje x es una asíntota de la función

Valores de x:  Valores de y: 

y  ax, a   y a  1

y sus características son

que se define como

Función exponencial

su inversa es

y sus características son © SANTILLANA

se define como

y  Loga x, a  1, a 0

Función logarítmica

El eje y es asíntota de la curva

Valores de x:  Valores de y: 

Si 0  a  1, y  loga x es decreciente

am  bn si y sólo si m  n

22

Guión didáctico LOGROS

UNIDAD 4 INDICADORES DE LOGROS

ESTÁNDARES

COMPETENCIAS

12

15

2. Relaciona y aplica el con- • Calcula la longitud de arco. cepto de ángulo a situa• Calcula la velocidad angular. ciones reales. • Calcula la velocidad lineal.

9, 12, 13

12, 15

3. Identifica las propiedades • Clasifica triángulos de acuerdo con la de los triángulos de acuermedida de sus lados y de sus ángulos. do con su clasificación. • Aplica las propiedades de los triángulos para hallar una medida desconocida en un triángulo dado.

12

7, 10, 15

4. Determina el valor de las • Halla el valor de todas las funciones trigofunciones trigonométricas nométricas de un ángulo, a partir del valor de un ángulo dado en de una de ellas. posición normal. • Determina el cuadrante en el cual se halla un ángulo, de acuerdo con las condiciones dadas.

9, 12, 13

10, 12, 14, 15

12, 13

7, 10, 12, 14, 15

1. Diferencia ángulos de • Mide ángulos en el sistema sexagesimal. acuerdo con su amplitud. • Mide ángulos en el sistema cíclico. • Establece equivalencias entre los dos sistemas de medición de ángulos.

• Identifica el valor de las funciones trigonométricas para los ángulos notables. • Halla el valor de las funciones trigonométricas de un ángulo a partir de su equivalente en el primer cuadrante.

© SANTILLANA

5. Halla el valor de las fun- • Construye el triángulo rectángulo que saciones trigonométricas tisface una condición dada. para un ángulo dado en • Resuelve problemas que requieren el uso un triángulo rectángulo. de funciones trigonométricas para su solución.

23

en el aula

l

B

A

C

63º

60º

24

¿Cuánto mide la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 y 4 centímetros?

© SANTILLANA

1, 8, 27, 64, 125, 216,

,…

13. ¿Cuál es el siguiente término de la sucesión?

9.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 11, 21, …

5. Encontrar el intruso en la sucesión de Fibonacci.

¿El ABC es equilátero?

l m

m

1. ¿Cuánto mide el ángulo ?

DÍA A DÍA

© SANTILLANA

40º

30º

90º 60º

¿Cuántas parejas de números se pueden obtener al lanzar dos dados?

14. ¿Cierto o falso?

10.

En una finca hay gallinas y conejos. Si se cuentan en total 72 ojos y 122 patas ¿cuantas gallinas y conejos hay?

6.

50º

95º

2. ¿Cierto o falso?

FICHA 1

4 5 7 5

1 2 3 6

• •

• •

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

12

7

2

15. Completar el cuadrado mágico.

11. Trazar tres segmentos de tal manera que se formen cuatro triángulos congruentes.

•

•

•

•

7. Unir todos los puntos usando ocho líneas rectas.

6 8  9 2 4

cambiarse para que la suma sea correcta?

Un reloj digital muestra las horas y los minutos con a.m. y p.m. Si se suman los dígitos que muestra el reloj, ¿cuál es el mayor valor que se puede obtener?

16.

12. Trazar la estrella sin levantar el lápiz ni repetir líneas.

8. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?

(HE)2  SHE

3. La siguiente suma es incorrecta. 4. Qué valores deben tener las ¿Cuál es el mayor dígito que puede letras para que se verifique:

Juegos de ingenio

UNIDAD 4

DÍA A DÍA

en el aula

FICHA 2 PARA DESPERTAR EL INTERÉS POR EL TEMA

JUEGO 1

•

•

Puntos y rectas Ubicar seis puntos de tal manera que determinen: • siete rectas • ocho rectas • nueve rectas • catorce rectas ¿Cuántas rectas determinan seis puntos, si cada recta pasa por sólo un par de puntos?

•

•

•

•

JUEGO 2

Triangular el cuadrado Un cuadrado se puede dividir en triángulos de diferentes clases. Dividir el cuadrado en triángulos de manera que: • Un triángulo sea obtusángulo. • Todos los triángulos sean rectángulos. • Todos los triángulos sean acutángulos.

Los dos pájaros El siguiente problema apareció en un manuscrito de Ibn Muncin (siglos XII y XIII), descubierto en 1980 en Marruecos, en los archivos de la Biblioteca de Rabat. A ambas orillas de un río hay dos árboles, uno frente al otro. Uno de los árboles tiene una altura de 20 codos, el otro, de 30 codos. La distancia entre sus troncos es de 50 codos. En la copa de cada árbol hay un pájaro. De pronto, los dos pájaros ven un pez que aparece en la superficie del agua entre los dos árboles y se lanzan para alcanzarlo. Lo alcanzan al mismo tiempo. ¿A qué distancia del tronco de cada árbol apareció el pez? 50  x

© SANTILLANA

x pez

Tomado de Historia e historias de matemáticas. Mariano Perero.

25

DÍA A DÍA

en el aula

FICHA 3 PARA DESPERTAR EL INTERÉS POR EL TEMA

La trigonometría desarrollada por indios y árabes Fueron los indios quienes dieron el nombre técnico a la semicuerda del arco doble. Este nombre se convirtió en lo que hoy es llamado seno a través de las traducciones al árabe, y luego del árabe al latín. A finales del siglo VIII, los astrónomos árabes, que habían recibido la herencia de las tradiciones de Grecia y de la India, prefirieron trabajar con la función seno. En las últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Todos estos descubrimientos se aplicaron a la astronomía y también se utilizaron para medir el tiempo astronómico y para encontrar la dirección de La Meca, lo que era necesario para las cinco oraciones diarias requeridas por la ley islámica. Los árabes calcularon tablas precisas en división sexagesimal; entre ellos se destacó, en particular, Abu al-Wafa al-Buzadjami (940-997) por las divisiones en cuarto grado, con cuatro posiciones sexagesimales. Por otra parte, este matemático, introdujo, con otro nombre, la tangente y la secante al lado del seno.

La trigonometría en Occidente El Occidente se familiarizó con la trigonometría árabe a través de las traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue, De triangulus escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano. Durante el siguiente siglo, el también astrónomo alemán Georges Joachim, conocido como Rético, introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas.

Los primeros trabajos matemáticos del francés Français Viéte (1540-1603) se referían a la trigonometría. Su Canon matemáticas (1579) es una tabla de seis líneas trigonométricas calculadas de minuto en minuto para el radio 100 000. Esta tabla está acompañada de fórmulas para la resolución de triángulos planos y esféricos. Posteriormente, Viéte dio las nuevas expresiones de las líneas de los múltiplos de un arco dado en función de las líneas de este arco. Este matemático también mostró la analogía entre estas fórmulas y las del desarrollo en potencias del binario. Desde entonces, la trigonometría, como estudio de las líneas circulares, y el álgebra de los polinomios se prestan mucho apoyo.

En el siglo XVII, Isaac Newton (1642-1727) inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tan x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler fue el que fundó verdaderamente la trigonometría moderna y definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos. Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los números complejos. También se le debe a este matemático el uso de las minúsculas latinas a, b, c para los lados de un triángulo plano o esférico y el de las mayúsculas correspondientes A, B, C para los ángulos opuestos. Además, Euler demostró que las propiedades básicas de la trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números complejos.

26

© SANTILLANA

La trigonometría en los tiempos modernos

TRABAJO

de campo

• Los siguientes elementos forman parte de un mapa conceptual que plantea el desarrollo de la teoría relacionada con funciones trigonométricas. • Entregue a cada estudiante una copia de ellos y pídales que estructuren el mapa conceptual. • Los cuadros de color son los conceptos y los cuadros sin color son los conectores. • Para revisar el mapa conceptual tenga en cuenta que los cuadros del mismo color se deben ubicar en el mismo nivel de concepto. Ángulo

Dominio y rango

Ángulos agudos de un triángulo rectángulo

Valores para los ángulos notables 30°, 45° y 60° Cada una de las 360 partes de la rotación total

Funciones trigonométricas

Se genera por una rotación en el mismo sentido de las manecillas del reloj sen  

cateto opuesto hipotenusa

cos  

cateto adyacente hipotenusa

tan  

cateto opuesto cateto adyacente

cot  

cateto adyacente cateto opuesto

sec  

hipotenusa cateto adyacente

csc  

hipotenusa cateto opuesto

Unidades del sistema cíclico. Un radián es la medida de un ángulo central cuyo arco mide un radio

de la siguiente forma

y determinar

radianes

La rotación de una semirrecta sobre su origen

Se genera por una rotación en sentido contrario al de las manecillas del reloj y sen   r

y tan   si x  0 x

r sec   si x  0 x

x cos   r

x cot   y si y  0

r csc   y si y  0

se les puede hallar

de la siguiente forma

En posición normal

Valores para los ángulos cuadrantales: 0°, 90°, 180°, 270°, 360° y sus múltiplos

Positivo

Su vértice está sobre el origen y su lado inicial coincide con el semieje positivo de las x

© SANTILLANA

Grados sexagesimales

• Longitud de arco • Velocidad angular • Velocidad lineal

Ángulos en posición normal

Negativo

puede estar

se mide en si

se definen para

cuando

puede ser cuando

que se utilizan para calcular que son si

que son se define como

y determinan

27

Guión didáctico LOGROS

UNIDAD 5 INDICADORES DE LOGROS

1. Define las funciones trigo- • Encuentra el valor de una función circular nométricas en la circunfepara un número real. rencia unitaria. • Interpreta geométricamente las funciones circulares de números reales.

ESTÁNDARES

COMPETENCIAS

8, 9

4, 12, 15

8, 9

3, 4, 10, 12, 15

• Traza las líneas trigonométricas de un ángulo dado. 2. Analiza el comportamien- • Construye la tabla de valores de cada funto de cada una de las función trigonométrica. ciones trigonométricas. • Grafica las funciones trigonométricas. • Identifica el dominio y el rango de cada una de las funciones trigonométricas. • Identifica el período de una función trigonométrica. 3. Elabora la gráfica de una • Identifica gráfica y analíticamente la amplifunción trigonométrica tud de una función sinusoidal. dada. • Identifica gráfica y analíticamente el período de una función sinusoidal.

8, 9, 10, 11, 3, 4, 10, 11, 29 12, 14, 15

• Identifica gráfica y analíticamente el desplazamiento (horizontal o vertical) de una función sinusoidal. • Grafica funciones con distinta amplitud, período y desplazamiento de fase. • Halla la amplitud, el período y el desplazamiento de fase de una función dada.

© SANTILLANA

• Analiza el comportamiento de una función trigonométrica a partir de su gráfica.

28

en el aula

 

 

29



7 cm

A 9 cm

C

D

B

© SANTILLANA

15º

40º

  30º

13. ¿Cuál es el valor de los ángulos ,  y ?

m

l

áreas de los triángulos ABC y ABD?

 

 2 1

 2  3 2

2

30º

14. ¿Se puede trazar la figura sin levantar el lápiz ni repetir línea?

Diana tiene 7 años más que Luisa. Si la suma de ambas edades es de 33 años, ¿qué edad tiene Luisa?

C

6. ¿Qué fracción del círculo está sombreada?

 3 2

1

28

3 1

12 4

36

l

m

40º

l es paralela a m.

140º

15. ¿Cierto o falso?

manera que cada una no aparezca más de una vez en cada fila, columna y diagonal.

11. Escribir las letras A, E, I, O y U, de

7. ¿Cuál estructura es más estable?

21

que la suma de los números restantes sea un número primo?

3. ¿Cuál número se debe borrar para

Juegos de ingenio 2. ¿Es cierto que la gráfica puede representar a la función seno?

9. Si l  m, ¿cuál es la diferencia entre las 10.

es un número natural?

1 1   (3 )  2 2 3   3

Hallar el número cuadrado de tres dígitos, cuya suma y producto de sus dígitos sean también números cuadrados.

5. ¿El producto

1.

DÍA A DÍA

5

? 21 7

5

12 16

7

16

9

29

14

14

?

?

17

?

17

16.

¿Hay más primos menores que 100 terminados en 3 o terminados en 7?

Andrea pensó tres números. Sumándolos de dos en dos obtiene 12, 17 y 20. ¿Cuáles números pensó?

12.

21

12

8. ¿Cuáles números faltan?

4. ¿Cuántos polígonos cóncavos hay en la figura?

FICHA 1

UNIDAD 5

DÍA A DÍA

en el aula

FICHA 2 PARA DESPERTAR EL INTERÉS POR EL TEMA

Rastro de arena Sobre una banda giratoria se deja caer arena de un recipiente como lo indica la figura. Si se hace girar dicho recipiente, ¿cómo será el rastro de arena que quede en la banda?

arena

Al subir la cuesta Luis sube una cuesta de pendiente uniforme de 300 metros en línea recta y se detiene al lado de un árbol que se encuentra a 150 metros de altura sobre el nivel de la llanura. • Construir un modelo geométrico que represente la situación. • Hallar el valor del ángulo que forma dicha cuesta con la llanura.

Mayor desgaste

© SANTILLANA

En la siguiente carreta, ¿cuál de los dos pares de llantas se gastará más rápido? ¿Por qué?

30

TRABAJO

de campo

• Los siguientes elementos forman parte de un mapa conceptual que plantea el desarrollo de la teoría relacionada con el análisis gráfico de las funciones trigonométricas. • Entregue a cada estudiante una copia de ellos y pídales que estructuren el mapa conceptual. • Los cuadros de color son los conceptos y los cuadros sin color son los conectores. • Para revisar el mapa conceptual tenga en cuenta que los cuadros del mismo color se deben ubicar en el mismo nivel de concepto. Gráfica

Funciones circulares Ecuación

Las funciones trigonométricas inversas

El dominio y el rango

La gráfica de las funciones trigonométricas

Arcoseno: arcsen o sen1 Arcocoseno: arccos o cos1 Arcotangente: arctan o tan1 Arcocotangente: arccot o cot1 Arcosecante: arcsec o sec1 Arcocosecante: arccsc o csc1

Segmentos cuya longitud coincide con el valor absoluto de las seis funciones trigonométricas de un ángulo dado.

Se alarga verticalmente Si B 1, se comprime horizontalmente Si 0  B  1, se alarga horizontalmente Si C 0, se traslada C unidades a la izquierda Si C  0, se traslada C unidades a la derecha

• Amplitud y  A sen x • Período y  sen Bx • Desplazamiento de fase y  sen (Bx  c)

se definen como

© SANTILLANA

en la

que son ya que

Variaciones de las funciones trigonométricas

Las líneas trigonométricas

x  cos t y y  sen t Siempre que t   y P(x, y) es el punto de intersección de la circunferencia unitaria con el lado final del ángulo cuya medida es t radianes. • • • • • •

Funciones periódicas

Son funciones cuyas imágenes se repiten exactamente en el mismo orden a iguales intervalos de su dominio.

se restringe para definir se utilizan para elaborar

se caracterizan por ser

se analizan en la se pueden realizar

31

se trazan que son

Guión didáctico LOGROS

UNIDAD 6 INDICADORES DE LOGROS

1. Plantea y resuelve proble- • Construye el triángulo rectángulo que mas que involucran triánmodela una situación dada. gulos rectángulos. • Identifica los ángulos de elevación y de inclinación en una situación dada.

ESTÁNDARES

COMPETENCIAS

9, 12

7, 10, 14, 15

9, 12

10, 14, 15

9, 11

10, 15

• Resuelve situaciones problemáticas que al ser representadas generan un triángulo rectángulo. 2. Plantea y resuelve proble- • Reconoce si en la solución de un triángulo mas que involucran triánes posible usar el teorema del seno. gulos oblicuángulos. • Reconoce si en la solución de un triángulo es posible usar el teorema del coseno. • Soluciona triángulos oblicuángulos. • Examina si la solución de un triángulo resulta ser ambigua y determina la respuesta correcta según el contexto dado. • Resuelve situaciones problemáticas que al ser representadas generan un triángulo oblicuángulo. • Construye el triángulo oblicuángulo que modela una situación dada. 3. Usa los criterios aprendi- • Identifica y traza vectores de velocidad y dos en la solución de profuerza. blemas relacionados con • Traza las componentes rectangulares de física. un vector. • Dibuja el diagrama de fuerzas asociado a una situación.

© SANTILLANA

• Determina si un cuerpo está en reposo o se desplaza con velocidad constante.

32

© SANTILLANA

en el aula

33

© SANTILLANA

¿Entre las letras del abecedario es más probable elegir una vocal o una consonante?

13.

El reloj marca las tres menos diez minutos. ¿Qué hora sería si el horario y el minutero cambiaran de sitio?

9.

¿Cuál es el valor de cada letra?

E F G

3

? 12

6

4

8

? ?

14. ¿Cuáles números faltan?

4

3

B 8 cm

C

7 cm



65º



Si al cuadrado de un número se le suma siete veces este número, el resultado es 44. ¿Qué número es?

12.

8. ¿Cuántos ejes de simetría tiene este polígono cóncavo?

30º

4. Hallar la medida de  y .

FICHA 1

50º

C



Quitar dos palillos para que queden sólo dos cuadrados.

15. ¿Cuál es la medida del ángulo ? 16. Se hace el siguiente arreglo con palillos.

A

E

es el área de la región sombreada? F

11. Si BCEF es un paralelogramo, ¿cuál

?

con los números de 1 a 8 sin que las casillas de dos números consecutivos se toquen ni siquiera en las esquinas.

1 x

x  2

7. Si x es un número natural mayor que 3 y menor que 9, ¿cuál es el menor valor que puede tomar la expresión

el día anterior, ¿cuántas canicas compró el tercer día?

4

3 de lo que compró los 

Pedro compra en tres días 185 canicas. Si cada día compró

3.

10. Llenar las casillas de esta figura

No se puede repetir ni letras ni números.

ATJ 723

den formar con las letras y números de esta placa?

A B  C D

6. ¿Cuántas placas diferentes se pue-

EFG es un número cuadrado y se cumple que

21 9 6

enteros diferentes. La suma de los tres horizontales es igual al producto de los tres verticales. Llenar las casillas.

2. En las casillas hay seis números

Juegos de ingenio

5. Si A, B, C y D son consecutivos,

es negativo.

(2) (1)3 (3  5)

El producto

1. ¿Cierto o falso?

DÍA A DÍA

UNIDAD 6

DÍA A DÍA

en el aula

FICHA 2 PARA DESPERTAR EL INTERÉS POR EL TEMA

Dos trenes De una estación de tren parten dos vías férreas que forman entre sí un ángulo de 53°. Dos trenes parten a mediodía, uno a 72 km/h por una de las vías y el otro a 54 km/h por la otra vía. Determinar a qué distancia se encuentran el uno del otro a la 1:00 p.m.

Estacion

53º

La isla caníbal Un excursionista está perdido en una isla de caníbales. Él posee el siguiente mapa que indica la posición de los caníbales.

x

Si el excursionista está ubicado en la x y sigue en dirección 45° desde la horizontal, ¿será devorado por los caníbales?

Triángulos

• un rectángulo.

• un trapecio isósceles.

34

© SANTILLANA

Qué clase de triángulos se forman al trazar una diagonal en:

DÍA A DÍA

en el aula

FICHA 3 PARA AMPLIAR INFORMACIÓN

EL BILLAR El billar es un juego que se practica en una mesa robusta con tablero de pizarra tapizada sin ningún desnivel. Este tapiz está limitado por cuatro bordes recubiertos, en la parte de contacto con las bolas, por almohadillas o bandas de material elástico. Los griegos jugaban, en el siglo IV a.C., un juego de bolas sobre el suelo, que algunos consideran como un precedente del billar. Los franceses e ingleses se disputan la invención del billar moderno, pero parece que corresponde a los franceses su organización actual. Se sabe que rey Luis XI (siglo XV) lo jugaba en un salón y sobre una mesa. También se cultivó en Inglaterra con el nombre de balyards. La primera sala pública de billar se abrió en París, en 1610. Luis XIII de Francia fue un gran aficionado a este deporte, pero quien verdaderamente lo puso de moda fue su hijo Luis XVI. El primer campeonato oficial de billar se celebró en Inglaterra en 1827, donde fue empleada por primera vez la pizarra como tablero, y en 1835, fueron utilizadas por primera vez las bandas de caucho. Actualmente, las bandas de la mesa son de goma para despedir con mayor fuerza a las bolas en su choque contra ellas; presentan forma biselada de modo que el choque se produzca en un punto. Las jugadas y efectos del billar están basados en la teoría físico-mecánica del choque de los cuerpos elásticos. Cuando el choque se produce contra las bandas, el ángulo de incidencia y el de reflexión de la bola contra la banda serán iguales. Adaptado de http:es.geocities.com/todobillar/teoria.htm

Una mesa de billar está puesta con la pinta (la bola que golpea primero) en la posición A y la bola contra la que debe chocar, está en la posición B, como se muestra en la imagen. Una bola que choca contra la banda rebotará de tal manera que los ángulos alfa sean iguales. ¿Hacia qué punto P de la banda debe apuntar un jugador el tiro de la pinta si quiere utilizarla para chocar con un tiro de banda contra la bola B?

D

P

C 46 cm

almohadilla

61 cm banda A bola de billar 122 cm

© SANTILLANA

B

35

TRABAJO

de campo

• Los siguientes elementos forman parte de un mapa conceptual que plantea el desarrollo de la teoría relacionada con las aplicaciones de las funciones trigonométricas. • Entregue a cada estudiante una copia de ellos y pídales que estructuren el mapa conceptual. • Los cuadros de color son los conceptos y los cuadros sin color son los conectores. • Para revisar el mapa conceptual tenga en cuenta que los cuadros del mismo color se deben ubicar en el mismo nivel de concepto.

El ángulo de depresión Resolución de triángulos

Caso 1. LAA: lado-ángulo-ángulo Caso 2. LLA: lado-lado-ángulo

Ley de los cosenos

Hallar la medida de los tres lados y la medida de los tres ángulos interiores de un triángulo

para

Triángulos rectángulos

Caso especial

Ley de los senos

El caso LLA puede presentar como solución: • Dos triángulos • Un triángulo rectángulo • Un triángulo oblicuángulo • Ningún triángulo

Si en ABC, a, b y c son las medidas de los lados y A, B y C son los ángulos que se oponen respectivamente a dichos lados, se cumple que: c a b  sen A sen B sen C

Caso 3. LAL: lado-ángulo-lado Caso 4. LLL: lado-lado-lado

y tiene un

El ángulo de elevación

Triángulos oblicuángulos

Si en ABC, a, b y c son las medidas de los lados y A, B y C son los ángulos que se oponen respectivamente a dichos lados, se cumple que a2  b2  c2  2bc cos A b2  a2  c2  2ac cos B c2  a2  b2  2ab cos C

se puede hallar

Caso 2. Se conocen dos lados

El área de un triángulo

El área A de un MNP está dada por:

MN sen P  NP sen M  PM sen N A     2 2 2

consiste en

que es

y se presentan

que se define como

y se puede hallar

y se presentan cuatro casos

que se define como

36

para

y se utiliza © SANTILLANA

Caso 1: se conocen un lado y un ángulo

Guión didáctico

© SANTILLANA

LOGROS

UNIDAD 7 INDICADORES DE LOGROS

ESTÁNDARES

COMPETENCIAS

1. Resuelve operacio- • Suma polinomios en los cuales los términos son fun- 7 nes algebraicas con ciones trigonométricas. expresiones que in- • Resta polinomios en los cuales los términos son funvolucran funciones ciones trigonométricas. trigonométricas. • Multiplica polinomios en los cuales los términos son funciones trigonométricas. • Divide polinomios en los cuales los términos son funciones trigonométricas.

11, 15

2. Factoriza expresio- • Identifica y aplica el factor común en un polinomio 7 nes con funciones tri- con funciones trigonométricas. gonométricas. • Identifica cómo se factoriza una diferencia de cuadrados perfectos en un polinomio con funciones trigonométricas. • Identifica cómo se factoriza una suma o una diferencia de cubos perfectos con funciones trigonométricas. • Factoriza un trinomio cuadrado perfecto con funciones trigonométricas. • Factoriza expresiones para simplificar fracciones con funciones trigonométricas.

11, 15

3. Demuestra identida- • Identifica las identidades trigonométricas funda- 27 des trigonométricas. mentales. • Expresa una función trigonométrica en términos de las otras funciones trigonométricas. • Escribe expresiones trigonométricas en función de senos y cosenos. • Verifica si una igualdad trigonométrica es una identidad. • Determina expresiones para la suma y diferencia de ángulos. • Identifica las fórmulas para ángulos dobles y ángulos medios. • Demuestra una identidad trigonométrica.

4, 11, 14, 15

4. Resuelve ecuaciones • Reconoce la diferencia entre una identidad trigono- 7, 9, 11, 27 11, 14, 15 métrica y una ecuación trigonométrica. trigonométricas. • Soluciona ecuaciones trigonométricas. • Determina el intervalo en el cual la solución de una ecuación trigonométrica es adecuada.

37

en el aula

38

4 cm

5 cm 7 cm 8 cm

© SANTILLANA

cos2  sen2  1 cot2  1  csc2 tan2  1  sec2 csc2  sec2  2

13. ¿Cuál igualdad no es cierta?

2 cm

9. ¿Cuántos triángulos se pueden construir con los segmentos dibujados?

3   3 3

5. Falso o verdadero.

Sin mover ni quitar palillos, hacer que la ecuación se cumpla.

1. El siguiente arreglo se hizo con palillos.

© SANTILLANA DÍA A DÍA

12 cm

F

H

C

G

B

Alejandro pensó un número, le sumó 29 y el resultado lo dividió entre 7. Si el resultado que obtuvo fue 7, ¿cuál número pensó?

11.

14. Dividir la siguiente figura en cuatro 15. ¿Cuántos triángulos hay en la partes de igual área e igual forma. figura?

D

5 cm

E

A

inscrito el cuadrado EFGH. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado EFGH?

10. Dentro del cuadrado ABCD se ha



Un hombre gana al día Bs. 50 y gasta Bs. 35. ¿Cuántos días necesita para ahorrar Bs.180?



100º

3. Hallar el valor de  y .

6. ¿A qué fracción del polígono 7. corresponde la región sombreada?

60, 52, 45, 39, 35, …

2. En la siguiente sucesión hay un número errado. Descubrir cuál es.

Juegos de ingenio

3 2 cm

F

De una estaca de 24 cm de largo se deben sacar dos estacas, de manera que una sea tres veces más larga que la otra. ¿Cuánto debe medir cada estaca?

16.

¿Cuál es el valor de cada letra?

E

A B  C D

12. Si se sabe que C es el doble de A, F es múltiplo de E y se cumple

4 2 cm

8. ¿El área del triángulo es un número irracional?

Hallar un número cuadrado de tres cifras que sea capicúa, es decir, que se lea igual de derecha a izquierda que de izquierda a derecha.

4.

FICHA 1

UNIDAD 7

DÍA A DÍA

en el aula

FICHA 2 PARA DESPERTAR EL INTERÉS POR EL TEMA

Balanzas

JUEGO 1

En una balanza se han puesto cuatro objetos diferentes A, B, C y D, combinados de distintas formas. A

C

B

D

A

Primera combinación

D

Segunda combinación

D

B

C

B

Tercera combinación

A

¿Cuál de los cuatro objetos es el más pesado?

Dominó de identidades

JUEGO 2

Formar grupos de dos, tres o cuatro compañeros. Cada grupo elabora sus fichas según el modelo. Repartir las fichas en forma equitativa. Sortear para ver en qué orden se seguirá el juego. El primero que empieza el juego debe poner una ficha sobre la mesa. El que sigue debe buscar una ficha que haga pareja con cualquiera de los extremos de las fichas que están en la mesa, si no tiene, pasa el juego al que sigue, y así sucesivamente. 7. Gana el primero que termina de colocar sus fichas.

© SANTILLANA

1. 2. 3. 4. 5. 6.

sen 

tan 

cos2   sen2 

sen(  )

1  cos 

sen2   cos2 

sen2 

cos 2 

csc2 

cos   sen 

1  cos    2

1  sen 

1  tan2 

 sen 

csc 

2 sen   cos 

sen   cos   cos   sen 

sen ()

1

1  cot2 

sen   cos 

sec 

cot 

sec2 

2

39

DÍA A DÍA

en el aula

FICHA 3 PARA AMPLIAR INFORMACIÓN

Análisis de Fourier El matemático francés Jean Baptiste Fourier (1768-1827) estudió acerca de la funciones periódicas; este estudio es conocido como análisis armónico o análisis de Fourier. Este matemático descubrió que muchas funciones periódicas pueden representarse como una suma infinita de funciones de la forma

An cos (nw0t) y Bn sen (nw0t) Una de las aplicaciones del análisis de Fourier, la hizo el físico Hermann von Helmholtz quien produjo sonidos complejos utilizando combinaciones adecuadas de diapasones eléctricos, este mismo principio es el usado por los sintetizadores eléctricos actuales. Gráficamente, el sonido de cada diapasón puede representarse en función del tiempo con una onda sinusoidal, así

Todo sonido musical se puede considerar como la variación periódica de la presión del aire, que puede representarse como la siguiente función periódica.

© SANTILLANA

De esta manera, los resultados de Fourier permiten afirmar que la función periódica anterior, puede obtenerse sumando funciones periódicas adecuadas. Por ejemplo,

40

TRABAJO

de campo

• Los siguientes elementos forman parte de un mapa conceptual que plantea el desarrollo de la teoría relacionada con identidades trigonométricas y ecuaciones trigonométricas. • Entregue a cada estudiante una copia de ellos y pídales que estructuren el mapa conceptual. • Los cuadros de color son los conceptos y los cuadros sin color son los conectores. • Para revisar el mapa conceptual tenga en cuenta que los cuadros del mismo color se deben ubicar en el mismo nivel de concepto. Forma trigonométrica para números complejos

Ecuaciones trigonométricas Transformación de productos en sumas y diferencias

z  r (cos  i sen ), donde 2 r  |z|  a  b2 y es el argumento de z

Identidades trigonométricas Identidades para ángulos dobles sen 2  2 sen  cos  cos 2  cos2   sen2  2 tan  tan 2   1  tan2  Ecuaciones en las que intervienen funciones trigonométricas de un ángulo y se satisface sólo para ciertos valores de .

Relaciones por cociente sen  cos 

tan   

cos  sen 

Relaciones recíprocas 1 cot    tan 

1 sec    cos 

Transformar uno de los miembros de la igualdad, en términos del otro miembro, empleando sustituciones e identidades trigonométricas fundamentales

Simplifican teniendo en cuenta varios casos

1 sen  cos    [sen (  )  sen (  )] 2 1 cos  sen    [sen (  )  sen (  )] 2 1 cos  cos    2 [cos (  )  sen (  )] 1 sen  sen    2 [cos (  )  cos (  )]

cot   

1 csc    sen 

Relaciones pitagóricas sen2   cos2   1 sec2   tan2   1 csc2   cot2   1

Demostración de identidades

Identidades para la suma de ángulos sen (  )  sen  cos   cos  sen  cos (  )  cos  cos   cos  sen  tan   tan  tan (  )   1  tan  tan  Identidades para la diferencia de ángulos sen (  )  sen  cos   cos  sen  cos (  )  cos  cos   cos  sen  tan   tan  tan (  )   1  tan  tan  Identidades que se deducen a través de relaciones trigonométricas básicas y por la definición de las funciones trigonométricas

Igualdades en las que se establecen relaciones entre funciones trigonométricas que se validan para cualquier ángulo

© SANTILLANA

que es se realiza

se definen como

se plantean

y se clasifican en se plantean

y se usan métodos de se relacionan con

es

41

se definen como con las fórmulas

sirven para presentar

Guión didáctico

ESTÁNDARES

COMPETENCIAS

• Escribe los primeros términos de una sucesión. • Halla el término general de una sucesión. • Halla un término de una sucesión. • Encuentra la suma de los términos de una sucesión. • Reconoce las propiedades de la sumatoria.

1, 2, 4, 22, 23

2, 5, 9, 11, 13, 14

2. Reconoce progresiones • Identifica progresiones aritméticas. aritméticas y progresiones • Identifica progresiones geométricas. geométricas. • Halla el término general de una progresión aritmética. • Halla el término general de una progresión geométrica. • Calcula los diferentes elementos de una progresión aritmética. • Encuentra la suma de los términos de una progresión aritmética. • Calcula los diferentes elementos de una progresión geométrica. • Encuentra la suma de los términos de una progresión geométrica. • Realiza interpolación de términos en una progresión geométrica.

1, 2, 4, 22, 23

2, 5, 9, 11, 13, 14

3. Comprende el concepto • Propone y resuelve problemas de aplicade sumatoria y lo aplica ción relacionados con progresiones ariten la solución de probleméticas. mas. • Propone y resuelve problemas de aplicación relacionados con progresiones geométricas.

1, 2, 4, 22, 23

2, 5, 9, 11, 13, 14

1. Reconoce una sucesión.

INDICADORES DE LOGROS

© SANTILLANA

LOGROS

UNIDAD 8

42

© SANTILLANA

2



3n  2 Si n   2n calcular

en el aula

43

B

D E F

G

© SANTILLANA

Las medidas de los ángulos de un triángulo forman la progresión aritmética MN, OP, QR, cuyos términos son múltiplos de tres y su diferencia es RR. ¿Qué clase de triángulo es?

13.

Formar con los dígitos del 1 al 9 1 la fracción  , usando los dígitos 3 una sola vez.

9.

A

C

toma como unidad de superficie el triángulo D?

5. ¿Cuál es el área del tangrama si se

1.

DÍA A DÍA

El producto de tres números consecutivos es 10 626. ¿Cuáles son los números?

13 156

4 15

5

4 5 12

2

3

132

14. Hallar el valor de x.

x

8

6

4

pueden asignar las letras W, X y Z a los puntos marcados sobre la circunferencia?

10. ¿De cuántas maneras diferentes se

6.

modo que cada línea sume siempre 15.

2. Ubicar los números del 1 al 9 de

0

23

1 2

¿Cómo se llama el revés del envés de la hoja?

ras dadas, de modo que no se repitan en la misma fila, en la misma columna o en la misma diagonal.

15. Completar el cuadrado con las figu-

11.

ra?

7. ¿Cuántos triángulos hay en la figu-

13

8

uno, son de la forma 3n  2 con n  , ¿cuál es ese número?

3. Los siguientes números, excepto

Juegos de ingenio

?

piz y sin repetir la línea.

16. Trazar la figura sin levantar el lá-

12. Colorea la figura diferente.

wwx  wxxw w? x?

cifra para que la igualdad sea correcta.

8. Remplazar cada letra por una

secuencia.

4. Dibujar la figura que continúa en la

FICHA 1

UNIDAD 8

TRABAJO

de campo

• Los siguientes elementos forman parte de un mapa conceptual que plantea el desarrollo de la teoría relacionada con sucesiones y progresiones. • Entregue a cada estudiante una copia de ellos y pídales que estructuren el mapa conceptual. • Los cuadros de color son los conceptos y los cuadros sin color son los conectores. • Para revisar el mapa conceptual tenga en cuenta que los cuadros del mismo color se deben ubicar en el mismo nivel de concepto.

Aritmética

n

Sucesión

n

Término enésimo



Primer término

k1

Series

n



k1

© SANTILLANA

que es

se puede hallar

se pueden formar

se puede hallar

cuya fórmula es

ak 

an a1   n r 1

Progresión

n



k1

bk

Primer término

El número de términos

an  a1rn  1 para n 1

Log an  Log a1  1 n   Log r

an  a1  (n  1)d

es

n

Una sucesión en la cual cada término, excepto el primero, se obtiene de sumar al término anterior una cantidad constante llamada razón

El número de términos

(ak  bk) 

Propiedades

an  a1 a1   n1

n

(ak  bk)  k  1ak  k  1bk k1

Una función que asocia números naturales con números reales

La suma de los términos de una sucesión

Una sucesión en la cual cada término, excepto el primero, se obtiene de multiplicar al término anterior una cantidad constante llamada razón

an  a1 n   1 d

n

c  ak  c k  1ak k1

Término enésimo

que son

y cumplen

cuya fórmula es

cuya fórmula es

44

que son

cuya fórmula es

cuya fórmula es

cuya fórmula es

que es

© SANTILLANA

n

Geométrica

Guión didáctico LOGROS

UNIDAD 9 INDICADORES DE LOGROS

ESTÁNDARES

COMPETENCIAS

3, 12, 14

2. Realiza operaciones con • Escribe el opuesto de un número complejo. 2, 4, 22 números complejos. • Resuelve operaciones aditivas con números complejos. • Identifica las propiedades de la adición de números complejos. • Resuelve operaciones multiplicativas con números complejos. • Identifica las propiedades de la multiplicación de números complejos. • Encuentra el inverso multiplicativo de un número complejo.

3, 12, 14

© SANTILLANA

1. Comprende las caracterís- • Identifica expresiones que corresponden a 4, 22 ticas y propiedades del números imaginarios. conjunto de los números • Escribe radicales como números imaginarios complejos. puros. • Calcula potencias de i. • Representa números complejos en su forma binomial o cartesiana. • Representa gráficamente números complejos. • Halla el conjugado de un número complejo. • Determina la norma de un número complejo

45

© SANTILLANA

—Tengo tantos hermanos como hermanas. La hermana de la persona que acaba de hablar dice: —Tengo dos veces más hermanos que hermanas. ¿Cuántos hermanos son?

13.

9. Colorear la figura diferente.

ONC E N U E V E V E I NT E

distinta para que la suma sea correcta en números.

5. Remplazar cada letra por una cifra

1 al 8, de manera que ninguno tenga al lado un número consecutivo con él ni vertical, ni horizontal ni diagonalmente.

Construir con ocho fósforos una figura de superficie máxima.

FICHA 1

E

E

 es como E es a

E

15. Completar la relación

?

llos para que estos tres cuadrados se conviertan en cinco.

secuencia.

11. Dibujar la figura que continúa en la

 6  8i

12i ❍ 6 ❍ 3i ❍ 4i ❍ 5i

para que la igualdad sea correcta.

14. Cambiar de posición cuatro pali-

Formar con los dígitos del 1 al 9 la 1 fracción  2 usando cada dígito una sola vez.

10.

círculo en cuatro regiones iguales.

1 3 5 7 9

1 3 5 7 9

5  i

4  2i

5  6i

16. Ubicar los números 3  i; 2  7i; 2  2i; 6; 6  5i; 11  6i, de tal forma que al sumar las tres horizontales y las tres verticales de 0  0i.

1 3 5 7 9

que al sumar las columnas de las seis cifras restantes se obtenga el resultado 1111.

12. Tachar nueve cifras de tal manera

condición de que en cada parte la suma de los números sea la misma.

6. Usar sólo curvas para dividir el 7. Escribir los signos , , ,  8. Dividir el reloj en seis partes con la

do?

3. ¿Cuántos cubos hay en este sóli- 4.

Juegos de ingenio

Escribir sucesivamente los números del 1 al 9 sin alterar su orden. Poner entre ellos signos más y menos, de modo que el resultado dé exactamente 100.

1. Escribir en cada casilla un número del 2.

en el aula

E

46

E

DÍA A DÍA

UNIDAD 9

TRABAJO

de campo

• Los siguientes elementos forman parte de un mapa conceptual que plantea el desarrollo de la teoría relacionada con los números complejos. • Entregue a cada estudiante una copia de ellos y pídales que estructuren el mapa conceptual. • Los cuadros de color son los conceptos y los cuadros sin color son los conectores. • Para revisar el mapa conceptual tenga en cuenta que los cuadros del mismo color se deben ubicar en el mismo nivel de concepto. Números complejos

(a  bi)  (c  di)  (a  c)  (b  d)i (a  bi)  (c  di)  (a  c)  (b  d)i

División

i   1

Forma cartesiana

(a  bi)(c  di)  (ac  bd)  (ad  bc)i Multiplicación

Resta

Potencias principales de i

Suma

Clausurativa

(a  b)  a  bi

  {a  bi / a, b  , i   1} Conmutativa

i1  i i 2  1 i 3  i i4  1

Modulativa Invertiva

Propiedades

Asociativa

son

y determina

se define

se operan con

se define

que son

se define

cumplen

© SANTILLANA

como

la unidad principal es

47

se representan en

se define

como

BANCO DE DATOS DIRECCIONES EN INTERNET ✓ http://www.juegosdelogica.com

✓ http://www.aulademate.com

Esta página cuenta con una gran selección de los acertijos más conocidos. Todos ellos traen un link que lleva directo a su solución. Además, se aceptan nuevos acertijos con cualquier grado de dificultad para incluirlos en la lista.

En esta página, se encuentran juegos, foros, programas matemáticos para descargar, herramientas online y una sección de contenidos matemáticos clasificados por unidades didácticas.

✓ http://www.mat.ucm.es

✓ http://www.xtec.es/~jcorder1/entreten.htm

En esta página, la matemática se presenta como un verdadero juego. Se enseñan reglas, se estudian jugadas, se experimenta en partidas sencillas, observando a fondo las partidas de los grandes jugadores, sus mejores teoremas, tratando de asimilar sus procedimientos para usarlos en condiciones parecidas.

Esta página cuenta con una colección de retos geométricos entretenidos, interesantes y curiosos, organizados por su grado de dificultad. Además, cuenta con juegos sencillos de calculadora, series y una sección de humor matemático.

✓ http://divulgamat.ehu.es/weborriak/RecursosInternet/ Juegos/index.asp

Esta página presenta problemas de matemáticas recreativas para el entretenimiento y posible educación de los lectores. Para resolver los diversos acertijos sólo es necesario un poco de conocimiento de aritmética, álgebra y razonamiento lógico.

HOJA DE RESPUESTAS DE LA EVALUACIÓN Nombre: Curso:

Fecha:

Rellene el

según su respuesta. A

B

C

D

1. 2. 3. 4. 5. 6.

A

B

C

D

A

7. 8. 9. 10. 11. 12.

Resultados Número de preguntas

B

C

D

13. 14. 15. 16. 17. 18.

Promedio:

Aciertos:

Errores:

HOJA DE RESPUESTAS PRUEBA ICFES Nombre: Curso:

Fecha: según su respuesta. A

B

1. 2. 3. 4. 5. 6. Resultados Número de preguntas

C

D

A

B

C

D

A

7. 8. 9. 10. 11. 12.

B

C

13. 14. 15. 16. 17. 18.

Promedio:

Aciertos:

48

Errores:

D

© SANTILLANA

Rellene el

4 SOLUCIONARIO

to AÑO DE EDUCACIÓN  MEDIA

RESPUESTAS DE EJERCICIOS IMPARES 5.

UNIDAD 1

A

1. Página 10

ACTIVIDADES

B 0,17

1. S  {(F, J, C), (F, C, J), (C, F, J), (C, J, F), (J, F, C),

0,18 0,1

(J, C, F)} 3. S  {(F, C, J), (F, J, C), (J, F, C), (J, C, F)} 5. (A1, A2), (A1, D), (A1, R), (A1, C), (A2, D), (A2, R), (A2, C) 7. (D, C) 9. S  {(6, 1), (5, 2), (3, 4), (1, 6), (2, 5), (4, 3)} 11. Todas las combinaciones de la forma (a, b) con a  b  7 o las de la forma {(a, b), (c, d)} con abycd 13. S  {(C, C, C, C), (C, C, C, S), (C, C, S, S), (C, C, S, C), (C, S, C, S), (S, C, C, C), (S, C, C, S), (C, S, C, C)} 15. S  {(C, C, 1), (C, C, 2), (C, C, 3), (C, C, 4), (C, C, 5), (C, C, 6), (C, S, 1), (C, S, 2), (C, S, 3), (C, S, 4), (C, S, 5), (C, S, 6), (S, C, 1), (S, C, 2), (S, C, 3), (S, C, 4), (S, C, 5), (S, C, 6), (S, S, 1), (S, S, 2), (S, S, 3), (S, S, 4), (S, S, 5), (S, S, 6)} 17. S  {(C, C, 2), (C, C, 3), (C, C, 5), (C, S, 2), (C, S, 3), (C, S, 5), (S, C, 2), (S, C, 3), (S, C, 5), (S, S, 2), (S, S, 3), (S, S, 5)}

0,55

35 89

7. 0,2 9. 0,48 11. 0,33 13. 0,16 15. 0,16 17.  19. 1 21. 0,23 23. 0,25 25. 0,75 27. 0,01 29. 0,36 31. 0,35

127 179

16 33

7 11

8 11

Sedán Coupe Camioneta Total 12 6 6 24 7 11 8 26 19 17 14 50

Hombre Mujer Total 15. 0,28 17. 0,62

6. Página 29

ACTIVIDADES

1 2

1. 

15 29

7. 

29 62

1 14

2 11

9. 

5 19

15. 

13. 

12 29

3 13

5. 

3. 1

11. 

T N T C T N T N N 23. 30 formas 25. Sí 27. 16 384 29. 1 326 formas

17. 

M

1 18

1 6

19. P

1 8

1 4

1 54 145

A

1 2

1 4

4 45

1.  3.  5.  7.  9.  11.  13. 

9 996

1 2

1 26

1 5

Partido 204 1 015

25. 120 resultados 27.  29.  31.  33. 

297 1 015

19 44

25. 

27. 

1

2

3

4

5

6

7

25 12 4 12 26 32 20 Probabilidad        100 98 97 102 89 105 96

1 2

Partido

35.  37. 

Probabilidad ACTIVIDADES

5 12

1 6

23. 

LA MATEMÁTICA, HERRAMIENTA PARA OTRAS CIENCIAS. PÁGINA 30 1.

33 253 15.  17.  19.  21.  23.  54 145

4

9

1 6

1 3

3 1 6

21. 

1 6

B 4

19

3. Página 19

ACTIVIDADES

© SANTILLANA

109 179

13.

1. 6 3. 82 5. 1 757 600 7. 1 581 840 9. 67 600 11. 604 800 13. 12 formas 15. De 3 formas 17. 210 formas 19. 12 formas 21.

97 179

1.  3.  5.  7.  9.  11. 

2. Página 15

ACTIVIDADES

5. Página 25

ACTIVIDADES

4. Página 22

8

9

10

11

12

13

15 4 19 5 19 32 27       98 106 100 97 105 99 106

3. 18% 5. Mayor que las probabilidades asignadas

1. 0,28 3. 0,72

3

14

RESPUESTAS DE EJERCICIOS IMPARES

UNIDAD 2 ACTIVIDADES

7.

Sí hay

1. Página 35

1. f: A → B x → 2x

19. x  0, x  1

3. y  2x  1

21. x  0

5. Sí

23. No tiene

Cubos visibles Cubos ocultos Total de cubos

1 capa 2 capas 3 capas 4 capas

1 3 6 10

0 1 4 10

Total: 220 9. Sí es una función

7. Sí

25. x  1

9. No

27. 1, 25, 

ACTIVIDADES

9 16

1 4

11. 12, 0, 

1. Sí

4 3

ACTIVIDADES

3p2

13. Sí

24

1. Biyectiva

21. Es inyectiva

3. Biyectiva

23. Es inyectiva

5. Ninguna

25. Respuesta libre

7. Sobreyectiva

27. Respuesta libre

9. Inyectiva

29. Es biyectiva

11. Respuesta libre

31. 3 ó 6

15. Es inyectiva 17. Dom: x  0

o Dom: x 0

5. No

7. No

15. Sí, con el dominio impuesto

17. No

2. Página 39

13. Respuesta libre

3. Sí

b. Do

33.  17. F

3. Página 43

f(1)  2, f(3)  3

31. r → V(r)   r3

15. F

11. No

9. a. f(0)  0,

29. l → P(l)  6l

13. F

1 4 10 20

19.

21.

y 1 3

2

23.

y 15

y 8

12

6

1

9

4

2

6

3

3

1

1

2

3 x

4

6

2 6

3

3

6

9

x

3

5

ACTIVIDADES

4

2

2

4

6 x

2 4

4. Página 45

1. Respuesta libre 3. Respuesta libre 5.

33. No

f(x) 

35. g  0 37. No

19. Es inyectiva SOLUCIÓN DE PROBLEMAS, PÁGINA 40

f(x) es

1. {(51, 29), (52, 29), (53, 30),

x  8,

7 x  5

1 14 x   3 3

5 x  2

x2 x 2

2 x  0 0 x2 x2

Creciente [7, 2)  [0, 2) Decreciente [2, 0) Constante [2, )

7. Empresa 1

(54, 30), (55, 31), (56, 31), (57, 32), (58, 32), (59, 33), (60, 33), (61, 34),

9. Empresa 2 11. La segunda empresa

(66, 36), …, (314, 153)} 3. Sobreyectiva

13. No es par ni impar

5. 20

15. Es impar

4

© SANTILLANA

(62, 34), (63, 35), (64, 35), (65, 36),

RESPUESTAS DE EJERCICIOS

ACTIVIDADES

5. Página 47

11.

y 7 6

x1 1.  2

5

13.

y

f(x)

4

3 3 2

2

1

3

3. x  3

2

1

1

1

3

2

6

x

5

3

4

2

1

1

3

2

5

4

6

8 x

7

1

1 2 3

13.

x2  2 5. 

y 1

5

15.

y

5

4

3

2

1

1

2

3

x

4

1 3

2

2

1  2x 7.  x

3

1

2

1

1

2

4

3

x

1 2

9. V

15. Puntos de corte: (2, 0), (2, 0);

Vértice: (0, 4); Eje de simetría: x  0

x  15 000 17. P1(x)  

11. V

2 000

17. Vértice: (0, 3);

Puntos de corte: (3, 0), (3, 0);

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS, PÁGINA 48 1. 5. Creciente y

Eje de simetría: x  0

6 5 4 3 2

19. Respuesta libre

7. Respuesta libre

1 6 5 4 3 2 1

1

2

3

4

6 x

5

1

21.

2

y

3

3.

1C 2

9. 50ºF  10ºC

y

x

x

ACTIVIDADES

7. Página 55

1. Creciente ACTIVIDADES

3. Decreciente

6. Página 52

1. Función cúbica, y  (x 

5. Decreciente

1)3

7. y  2x; Dom f(x): ; Rango f(x): 

3. Función afín, y  x  2

9. y  3x; Dom: ; Rango: 

5. Función cuadrática, y  x2

11. 2 13. 8 y 16

7. Función afín, y  x  1 9.

15. 0,075 (2x) 17. Dom: ; Rango:   {0}

y 6

19. Dom: ; Rango: 

© SANTILLANA

5 4

21. Dom: ; Rango: (, 3)

3 2

g(x)

1 4

3

2

1

1

2

3

4

5

6

7

23. Dom: ; Rango: [1, )

x

1

25. Nicolás

2

5

RESPUESTAS DE EJERCICIOS IMPARES

13. x  n, si n es par la ecuación tendrá solución adicional.

LA MATEMÁTICA, HERRAMIENTA PARA OTRAS CIENCIAS. PÁGINA 56

1 1 4 4 17. Hay 810 bacterias cuando han transcurrido 2 horas. 15. m  ; x  

1. Respuesta libre 3. h  1 356 m 5. Respuesta libre

ACTIVIDADES

7. yb2(SO4)3 y Ce2(SC4)3 9. 75 g

2. Página 69

1. 3

3. 4

5. 4

7. 4

11. 20 g

9. 8

11. 34  81

13. 26  64

15. 2,23  N

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS, PÁGINA 58

17. 

1

3. 79,72 m

y

5 1

x

4,03

5. Venta Venta 0 100 000 300 000 350 000 500 000 800 000 Salario 600 000 600 000 600 000 621 000 630 000 648 000

S(x) 

1 3 9 27

600 000  0,06x, x  300 000



0 x 300 000

600 000,

x4 2

9.  11. A  4x2

23.

UNIDAD 3

 125

29. e 31. b

x y 1  1 3

21.

7.

27. f

3

19.  1,5

25. g

 27

33. En ninguno

0 1 2 3

Dom f(x):  Rango f(x):  Crece de (0, )

35. La población

inicial

x y 1  2 25 1  1 5

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS, PÁGINA 63 1. No presenta un crecimiento exponencial.

1 0 5 1 25 2

3. No presenta un crecimiento exponencial. 5. El más eficaz es el antibiótico 2; el menos eficaz el 1.

Dom f(x):  Rango:  Decrece de (0, )

7. La ganancia después de 5 años es Bs. 202 812,5. 9. La ganancia va disminuyendo.

ACTIVIDADES

11.

1. 

1 2

5 3

3. 

3. Página 71 Log y

n 7. 2 Logn(z  x)   3

5. 100

Logn (x  b) n n 9.     4 8 Log x

500 400 300

11. F

200 100

1

2

3

ACTIVIDADES

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

13. F

19. Log2[x(x 

16



17. F

2)3] n)3 

1



(m  21. Log  23. Log 5

1. Página 65

5 3

Log b

2 15. F

25. e

11 9

1. x  4 3. x   5. x  2 7. x  1 9. x  

26 3

33. 

11. La ecuación tiene tres soluciones x  2,

n

27. c

29. d

17 2

35. 

39. 89,3 decibeles

x  4 y aproximadamente x  0,766664696

6

m4

31. 17 37. 392

(y2  2y  4) 3 1

(y  2) 3 © SANTILLANA

1.

3

3

RESPUESTAS DE EJERCICIOS

ACTIVIDADES

4. Página 73

1. x  17

17. x1  7,48, x2  0,39

3. x  9

19. No

5. x  2

11 3   7. x  

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS, PÁGINA 82 1. 20 horas 3. 37 cm 5. 3,49 rad/s

21. No

7. B en el sentido de las manecillas del reloj y C en sentido contrario a las manecillas del reloj. 9. QOP  47º 36’; PQO  42º 24’ 11. 2 P Q  13. 31,42 m

23. El sistema no tiene

ACTIVIDADES

solución real

1. x  50º 3. x  70º 5. x  y  60º

2

1 2

9. x   11. x  0,215338279

7. x  60º, y  60º 9. a veces 11. nunca

25. x  5,4798, y  3,6930

13. x  0,16

50

13. algunas veces 15. 7,14 17. 6,92 19. 18 21. x   17 23. V 25. V

27. t  8,06

15. x  0,441524719

2. Página 85

LA MATEMÁTICA, HERRAMIENTA PARA OTRAS CIENCIAS, PÁGINA 74

LA MATEMÁTICA, HERRAMIENTA PARA OTRAS CIENCIAS. PÁGINA 86 1. 94,34 cm 3. 182 cm 5. Obtusángulo escaleno

1.

7. Respuesta libre 9. x  2 m 11. 1,83 m

N

ACTIVIDADES

3. Página 93

100

8 17

93,9 88,3 83 78,1

8 15

17 15

1. sen  ; tan  ; sec  ;

60 50

15 ; cot   15 ; csc  17 cos     17 8 8

40 30 20 10 1

2

3

4

5

6

7

8

9

3. sen  0; tan  0; sec  1; cos  1;

20 t

10

3. 73,3446956 mg 5. Hay 1,4856

108

cot  ind; csc  ind

2

2 ; 5. sen  ; cot  1; cos  

mg es casi cero

2

7. En el 2015 hay 7 500 mill. aprox. En el 2024 hay

8 500 mill. aprox.; y en el 2044 hay 11 000 mill. aprox.

sec  2; tan  1; csc  2

9. En el 2015: 7 074 millones; en el 2024: 7 511 millones;

2 ; cot  1; cos  2 ; 7. sen   

en el 2044: 10 018 millones.

2

ACTIVIDADES

1. Página 80

2

sec  2; tan  1; csc  2 20 9. sen  0,45; cos  0,88; tan  ; 39 39 ; sec  2,19 cot   20 11. Positivo 13. Cero 15. Negativo 17. Positivo

UNIDAD 4

rad 5.  rad 7.  rad radianes 3.  1.  6 60 45 180 1

rad 11. 0,010471975 rad 13. Respuesta libre 9. 

3 ; 3 ; tan  3; cot   19. sen  

3 15. Respuesta libre 17. Respuesta libre

3

2

23 21. cos   26 ; sec  2; csc    3 5

19. Respuesta libre 21. Respuesta libre 23. 49º 22’ 15,6” 25. 0º 28’ 44,4” 27. 45º 30’ 0”

37. 7º 2’ 8,57” 39. 97º 41’ 57” 41. 7º 42’ 38”

6 ; cot  26; sec   56 ; tan    12 12

43. e 45. b 47. 4º 13’ 30”; 12º 27’ 46,08”

csc  5

49. 47º 36’ 0”; 42º 24’ 0”

23. sen  ; tan  ; cot  ;

29. 60º 43’ 40,8” 31. 36º 33. 7º 2’ 6” 35. 20º 20’ 0” © SANTILLANA

2

3 5

7

3 4

4 3

RESPUESTAS DE EJERCICIOS IMPARES

5 ; csc  5 sec    4 3

ACTIVIDADES

2 5

25. Segundo cuadrante 27. II 29. Sí 31. Sí 33. Sí 35. 

1 2

11. cos(120º)  ; tan(120º) 

3 37. 39.  41. 0 43. c 45. f 47. a 49. d 2

23 sec(120º)  2; csc(120º)   3

55. Respuesta libre

4. Página 96

3 ; cos 240º  ; 13. sen 240º   2

28 28 53 45 45 53 1. ; ; ; ; ;  53 45 45 53 28 28 7 24

25 24

24 25

24 7

3 ; sec 240º  2; tan 240º  3; cot 240º   3

25 7

3. ; ; ; ; ; 

23 csc 240º   3

2 ;  3 ; 3 13 ;  13 2 13 ;  13  5.   ;  3 2 3 2 13 13

15. sen  90º  1; cos  90º  0; cot  90º  0;

csc  90º  1

6 y

6 x

7. sen 37º  ; tan 37º   9. Respuesta libre

2 ; 2 ; cos ( 45º)   17. sen ( 45º)   2 tan ( 45º)  1; cot  45º  1; sec ( 45º)  2; csc ( 45º)  2

11. Respuesta libre 13. Respuesta libre 15. Respuesta libre 17. Respuesta libre

h2 2

19. A  34,93 m2 21. A   23. x  41,07 cm

2

3 19. 14º 21. 260º 23. 275º 25. 0º 27. 270º 29. 

25. 3,354 m ACTIVIDADES

1 2

3

1 3 39. V 41. V 31. 2 33.  35. 1 37.  2 3

5. Página 100

1. 

25. 2 165,06 m

43. Se calcula tan y se utiliza x1

3. 

27. d  3 3

5 26 ; tan  5; cos    26 45. sen   ;

5. V

256 29. A   cm2 3 31. cos 70º 33. cot  3 35. sen  30 37. Respuesta libre

7. F 9. V 11. F 13. F

2 g  x 15. 

39. m  A  60º

2 17. e  3

41.

2

19. c  10, d  10 3 21. x  12, y  4 3,

z  83 23. 3 507,40

cm2

26

26

1 ; sec    26 cot   26; csc   5 5 1

3  1 51.  2  4 53.  47. 29,96 cm2 49.  2 2 2 LA MATEMÁTICA, HERRAMIENTA PARA OTRAS CIENCIAS. PÁGINA 106 1. d  25 548,68 km 3. d  40 218,6 km

2  23

5. 32º 7’ 3,47”

1 92 43.    2 2 45. 5 cm

7. 22º 4’ 56,69” 9. Sí

47. Respuesta libre

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS, PÁGINA 108 2, s  3, t  2, u  5, v  6, w  1. r  

49. Respuesta libre

3. El tercero 5. 4,47 m 7. 297,13 m 9. 85,2 cm

8

7

© SANTILLANA

7 25

3;

3 ; sen(120º)   3 ; cot  120º    3 2

51. Respuesta libre 53. Respuesta libre

ACTIVIDADES

6. Página 104

1. 45º 3. 60º 5. 60º 7. 70º 9. 60º

RESPUESTAS DE EJERCICIOS

UNIDAD 5 ACTIVIDADES

1. Página 113

1. Sí, II cuadrante 3. Sí, I cuadrante 5. No



 

3 4 2 5 7. ,  9. ,  5 5 3 3 4 5





9.



 

 

21 2 21

ACTIVIDADES

3. Página 124

1. y  cot x 3. y  sen x 5. x  7. x  0º, x  ,

x  2 9. decrece 11. crece 13. decrece 15.

3

34

34

5 , csc s    34 , cot s   34 sec s    3 5 3

4

csc x

sec x

co

∃ ∃ ∃ ∃

1 1 1 1

∃ ∃ ∃ ∃

0 0 0 0

2

3 4



5 4

17. y  2 sen x

3 2

7 4

2

9 4

19. 1

3 ,  41. (0, 1) 37. (0,2272; 0,9738) 39.  1 2

2

2 , 2 45.  2 , 2 43.   



2

2

 

2



3 , 2 , Período ,0  ,   Crece   2 2 2

5 34 , 34 , cos s   3 27. tan s  , sen s   5

© SANTILLANA

4

17. Dom: ; Rango [0, 1];

5  21 , sec s   5 21 cot s   , csc s   2 2 21



2]

15. Rectángulos isósceles

25. sen s  , cos s  , tan s  ,

5



2 4

21. I ó III cuadrante 23. II cuadrante

 21

 

13. El cateto adyacente

19. sen s  0, cos s  1, tan s  0, sec s  1

35.



8 7  2k , k   11.   2k y 

17. sen s  1, cos s  0, cot s  0, csc s  1

33.

(4k  1) 2

7. Dom: ; Ran: [ 2,

3 , sec s  2, csc s  23 cot s    3 3

31.

(4k  1)

4 5 , 2 5. 0,    4 4

2

1 1 1 1

2. Página 118

k ; k  ; impar 3. x  

3 , cos s  0,5, tan s  3, 15. sen s  

0 0 0 0

59. csc t

cos en ((2k  1) , 2k ) k  

25 35 3 , csc s   cot s   5 , sec s   5 2

0 2 3

51. sen t



2

sen x cos x tan x

57. sen t

1. sen en  ,  k  ; 2

5 , cos s  , tan s   5 , 13. sen s   3 3 2

x

49. cos t

ACTIVIDADES

4 3

3 5

3 , sec s  5 , csc s   5 cot s     4 3 4

29.

55. (y, x)

53. sen t

11. sen s  , cos s  , tan s  ,

2 5

47. Respuesta libre, observación

2



2

3

1



ACTIVIDADES

4. Página 127

1. y  sen x  4 3. y  cos x  2 5. y  sen x  1

9

RESPUESTAS DE EJERCICIOS IMPARES

7.

11.

y

17.

3

y 2

5 2

1 1



2

3 2

4

x

2

2

3 4



3 2

2 3

4 3

6 3

8 3



2

3

4

x

1

5

2

13. Rango [0, 2] 15. Rango [1, 1]

y

9.

1

19.

1

17. F

1 2

y

19. V

2 

3 2

x

2

21. V

1 2

23. d

1

5

x

1

25. a 27. e ACTIVIDADES

21. b 23. c 25. d 27. Sí 29. Respuesta libre

5. Página 130

1 2

31. A 1; T  

2 1. Amplitud: 2, Período: T   3

1. Amplitud: 3, Período: T  2 , Desfase: 

3. Amplitud: 4, Período: 6 , Desfase: 

2 3

5. Amplitud: 1, Período: T   7. Período: 2 9. Amplitud: 10, Período: 4 11.

6. Página 132

ACTIVIDADES

2

3. Amplitud: 2, Período: T  

2

1x 5. y  3 sen  



6

2







5 9. y  1 cos x  7. y  sen 2x    

y 4 3

18

2

2



2

3 15. Desfase 3 11. Desfase 13. Desfase  

1  6

3

6

1

2

2

x

5

1 19. y  3 sen(x) 21. y   17. Desfase  cos(2x)

2

3

4

3 4

 83

6





27. Verdadero 29. y  2 sen x  

4 2

2

20

10

40

x 5



31. y  2,5 sen x  

4 6

15.

8 9

23. y  cos x   25. y  3 cos(3x  )

y

2

2





LA MATEMÁTICA, HERRAMIENTA PARA OTRAS CIENCIAS. PÁGINA 135 1. La de amplitud 2 3. La que tiene período T  1

y 4

3 2

5. y  sen( t) 7. y   sen(2 t) 2

4



3 2

2

x

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS, PÁGINA 136 1. y  6 cos t 3. y  6 cos( t) 5. Sí 7. En 2 y en 6 9. 1,763355757 11. Respuesta libre

10

© SANTILLANA

13.

RESPUESTAS DE EJERCICIOS

ACTIVIDADES

7. Página 142

7. 9. 11. 3 3. 36º 52’ 11,63” 5.  1.     3 3 6 4 4 13. c 15. b 17. e 19. ✔ 21. ✔ 23. No 25. ✔ 27. ✔ 29. V



31. V 33. F 35. x  sen y   tan1(y)   4 37. x    2

2

 

1 39. x   tan y   4

41.

2

43.



2

3 2 2

2

1 2

2

 2x3 

47. x   cos1 

45. 2



1 2

1 2 2

ACTIVIDADES

8. Página 145

1 7. 1 9. 3 11. 0,96 5.  1. 0,470588235 3.    2 2 2 2

1

13. 0,47759225 15.  1

cos(tan

(3 8))

2 17. tan1 1  cos1  2

19. El lado izquierdo en el sistema hexagesimal

equivale a 90º 21. El lado izquierdo da 1 23. Las dos expresiones son iguales 25. Sí

 VIP 

27.  cos1  29. 87º 29’ 56,5” LA MATEMÁTICA, HERRAMIENTA PARA OTRAS CIENCIAS. PÁGINA 146 1. El segundo 3. 0,8 s aprox. 5. 75 aprox.

© SANTILLANA

7.

 89º 59’ 39,37” 89º 32’ 9,24” 88º 31’ 59,04” 82º 33’ 12,68” 76º 8’ 27,21” 70º 30’ 40,5” 65º 49’ 13,04” 0

r 0,5 1,5 2 3 3,5 3,8 4 5

  35º 39’ 32,72; TH  9,33 5. 50,19º  T; 39º 48’  0  20,06; O T   7,81 7. 10t  tan 9. h  75 600 m 11. 29º 44’ 41,57” 13. 15º 19” 28,24 15. 7,48 m 17. 89º 37’ 23,01” 19. 22,4 m 21. x  1 302,7 m 23. 35º 15º 51,8 25. 86,6 km 27. A: rumbo 20 NE; B: rumbo 40 NO; C: rumbo 75 SO; D: rumbo 25 SE SOLUCIÓN DE PROBLEMAS, PÁGINA 164 1. a  8, A  49º, B  57º, C  74º; b  8,9; c  10,2 3. B  70º, C  58º, a  84, A  52º; C  90,4;

3

1

UNIDAD 6 SOLUCIÓN DE PROBLEMAS, PÁGINA 157 1. T  70º 3. 54” 20º 27,28  L; LH  13;

b  100,17 5. El triángulo no tiene solución 7. El triángulo no tiene solución 9. El triángulo no tiene solución 11. No tiene solución 13. A  110º; a  13; c  8; C  35º 19” 44,84; B  34º 40” 15,16; b  7,87 15. 342 m 17. 1 974,75 m 19. 550,15 m 21. Respuesta libre 23. Respuesta libre 25. 26,36 cm 27. Respuesta libre 29. 4,18 km; 7,22 km 31. 112 km/h SOLUCIÓN DE PROBLEMAS, PÁGINA 168 1. a  14, b  15, c  16; A  53º 34’ 35,13;

C  66º 52’ 3,38; B  59º 33’ 21,49 3. A  40º, a  10, c  8; C  30º 56’ 45,62”; B  109º 3’ 14,38”; b  14,7 5. a  12, b  17, c  23,11; A  30º 12’ 38,91”; B  45’ 28’; C  104º 19’ 21” 7. a  21,5; b  13; C  39º 20’; c  14,10; B  35º 45’ 11,52; A  104º 54’ 48,4 9. A  73º, B  28º, c  42; C  79º; a  40,92; b  20,09 11. c  6, a  5, B  53º; b 4,99; c  73º 50’ 0,71”; A  53º 9’ 59,29” 13. A  135º, c  20,3, b  8,4; a  26,9; C  32º 14’ 43,1”; B  12º 45’ 16,9” 15. B  40º, A  122º, C  18º; b  12; a  15,83; c  5,77 17. B  81º, C  12,1, A  52º; C  47º; a  13; b  16,3 19. 504,34 m 21. 46º 35’ 51,34” 23. 93,2 cm 25. 31º 7’ 10,1” 27. 311,7 km SOLUCIÓN DE PROBLEMAS, PÁGINA 171 1. 1,2 3. 14,2 5. 6,44 7. 6 9. 1.916,18 cm2 11. 474,94 cm2 13. Bs. 73 362 594 780 15. 254,15 p2 17. Respuesta libre 19. Respuesta libre

11

RESPUESTAS DE EJERCICIOS IMPARES

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS, PÁGINA 177 1. Fr  453 153,89 N; Fy  211 309,13 N



3. 63,6 N en la dirección 84º 28’ 46,87” 5. 22,67 N 7. N  P cos 40º

sen

LA MATEMÁTICA, HERRAMIENTA PARA OTRAS CIENCIAS. PÁGINA 178

ACTIVIDADES

1. 4(cot x  2)(2 cot x  1) 3. ( co s x  2)2

d 7 920

5. (tan u  ( 3

2) sec u) (tan u  (2  3) sec u) 7. (3 sen x  4)(2 sen x  1) 9. (sen x  12)(sen x  5) 11. (cos x  8)(cos x  4) 13. Son iguales 15.  2 17. 19. , 0 21. F

5. 2 990 millas UNIDAD 7

1. Página 181

1. Respuesta libre 3. Respuesta libre 5. Respuesta libre 7. Respuesta libre 9. Respuesta libre 11. 5 cos x

 

ACTIVIDADES

sen x  3 cos x

  x 2

2 tan2 x sec x

11.  13. 4 cos2 x  10 sen x cos x  25 sen2 x

2

x  2 cot x  2 csc x 17. cos 2x  2 15. 2 cot 

2   (2 cos x  5) 17.  81s en a2 15.   2

(3 cos x  7)

19. cos2 x  cos x  sen x  1 21. sen x  1  cos2 x  cos x 23. cos2 x  cos x  sen2 x  sen x  cos 2x  1 25. cos 2x  sen2 x  cos2 x  cos x  1 27. Respuesta libre 29. Respuesta libre

6.561 sen   a 23.  4

4

9

ACTIVIDADES

6. Página 195

1. F 3. F 5. V 7. tan   0,75; sec   1,6; (

x

cot   1,5; sec   1,25 (

a4 a  sen a  sen b) 3. d o e; sen a(sen a  cos2 x  cos x  1) 5. sen a  tan x(10 sen2 a  2 sen a  tan x  5 tan2 x) 7. (tan2 x  1)(4 tan x  1) 9. (sen x  1)(sen x  cos2 x) 11. 4(2 sec x  3 csc x) 13. (sec u  3 tan u)(3 sec2 u  1) 15. sen4 x cos4 y(sen x  cos y)(sen x  cos y) 17. tan2 y sec6 y(tan y sec3 y  1)(tan y sec3 y  1) 19. (1  sec x)(1  sec x  sec2 x) 1. d o e; sen

sen3

1  81 sen 

a

3. Página 185

a(sen2

a

6.561 sen4 x 21. 81 sen2   59.049 sen4  19.   4 2

27. 1 29. tan x   3, residuo 9 tan x  9  23 31. sen2 x cos y  2 sen x cos2 y 33. 1 35. sen x  45 cos y  3 sen x cos y 37. 1 ACTIVIDADES

5. Página 188

1 1. c 3. a 5. e 7. tan x  sec x 9. 

13. 2 csc    sec 

ACTIVIDADES 2. Página 182 1. 3 cos2 x  sen x 3. cos4 x  sen4 x 5. cot7 x 7. 1  3 cos x  sen x 9. sec2 x  sec5 x  tan x  sec2 11. tan2 x  cot x  tan x  cot x 13. sec2 x 15. csc x 17. sen2 x 19. sen2 x  sen x  2 21. 2 sen x  2 23. cos x 25. sec2 x  2 sec x  4, residuo: 12

4. Página 187

 26 ; 5 26 ; cot   ; cos    9. sen    26

1 5

26

 26 csc    5

3 ; 23 ; tan    11. sen   ; sec    1 2

3

3

cot   3 13. Respuesta libre 15. Respuesta libre 64 17. Respuesta libre 19. Respuesta libre 21.  27

 15

 15 ; 15; cot u   23. sen u  ; tan u   4

15 4 sec u  4; csc u   15

12

15

© SANTILLANA

 (h 3960 3 960 

5 9



2 sen2 u cos4 u  4 cos8 u u  3 9

 25 cos8 u)

3. cos1   

y 3

4

23. (sen2 u  5 cos4 u)(sen4 u  5 sen2 u cos4 u

3 960 1. cos   (h  3 960)

ACTIVIDADES



2 3

21. sen2 u   cos4 u

RESPUESTAS DE EJERCICIOS

ACTIVIDADES

3 ; csc u  23 cot u    3 3

9. cos 31º 11.  sen 250º 13. cos 210º

1

1. 0,258819045 3. 0,70710678 5. 3,732050808 7. 2

2

3 2

 1 s enu  27.  29. sen y 31.  2 2 sen x

2

1 s enx

33. cos x 

1  sen u

 co 1 s2x

35. ( 1 co s2 

2

 1)(cos   1) 3 2

2

1 ; cos(  )  1 cos(  )   2

2

(1  cos x) cos x

1 1 39.  ,  41. 1  tan2 y 2  1 t an v

 1 co t2v

csc x sec x

1 csc x

43.    2

sec u (sec u  1) csc u 45.    (sec u  1) csc u

sec u

21. Respuesta libre 23. Respuesta libre 25. Respuesta libre 27. Respuesta libre 29. Respuesta libre 31. Respuesta libre 33. Respuesta libre 35. Respuesta libre 37. Respuesta libre 39. Respuesta libre 41.   70º 33’ 35,87” 43. Respuesta libre ACTIVIDADES

10. Página 112

2 5. 0,9659 7. 0,28 9. 0,96 1. 0,9659 3.  2

47. csc x ACTIVIDADES

11. 0,948 13. 0,71005 15. 0,9805 17. 5

7. Página 197

1. 1 3. 1 5. 1 7. sen y 9. sen v  cos x v 11. sen x 13. 1 15. tan x 17. sen2 u 19. 2 sen x 21. csc2 x  sec2 x

v0 sen  25. Sí 23. h   2

3 21. 0,258 23. 0,2679 25. F 27. F 19.  2

2

2g

ACTIVIDADES

8. Página 201

1. Respuesta libre 3. Respuesta libre 5. Respuesta libre 7. Respuesta libre 9. Respuesta libre 11.

15. sen(  )  0,11076; cos(  )  0,993846; sen(  )  0,62769; cos(  )  0,778461 17. sen(  )  0,1111; cos(  )  0,9938; sen(  )  1; cos(  )  0

3 ; sen(  )  0; 19. sen(  )  

(1  cos x)  cos x 37.  2 2

cos2

x x  csc2 x cot2 x

sen2

© SANTILLANA

9. Página 207

3 ; tan u  3; 25. cos u  ; sen u   2

13. Respuesta libre 17. Respuesta libre 21. Respuesta libre 25. Respuesta libre 29. Respuesta libre 33. Respuesta libre 37. Respuesta libre 41. Respuesta libre 45. Respuesta libre 49. Respuesta libre 53. Respuesta libre 57. Respuesta libre

x x x 2 1 cos x  cot2 x cos2 x  csc2 x sen2 x

sen2

cot2

15. Respuesta libre 19. Respuesta libre 23. Respuesta libre 27. Respuesta libre 31. Respuesta libre 35. Respuesta libre 39. Respuesta libre 43. Respuesta libre 47. Respuesta libre 51. Respuesta libre 55. Respuesta libre 59. Respuesta libre

csc2

29. Respuesta libre 31. Respuesta libre 33. Respuesta libre 35. Respuesta libre 37. Respuesta libre 39. Respuesta libre 41. 4 cos3   3 cos  43. 2,613 ACTIVIDADES

11. Página 215

1 2

3 2

1. (cos(2x)  cos 10x) 3. (sen 3x  sen x)

3 2

5. sen 12x  sen 6x 7. (cos 11x  cos 3x)

11 2



1 4

3 4



9.  sen x  sen x 11. 2 sen 5x cos 3x

11 2

 29   27 

t 2

13. 2 cos t  cos  15. 2 sen t cos t 17. 0,06698 19. 0,183 21. 0,183 23. 0,433

6 29. 1,999 25. 3 sen  4 sen3 27.  2

31. Respuesta libre 33. Respuesta libre 35. Respuesta libre 37. Respuesta libre 39. Respuesta libre 41. Respuesta libre

13

RESPUESTAS DE EJERCICIOS IMPARES

ACTIVIDADES

12. Página 216

1. d 3. b 5. a 7. Respuesta libre 9. Respuesta libre 11. Respuesta libre 13. Respuesta libre 15. Respuesta libre 17. Respuesta libre 19. Respuesta libre 21. Respuesta libre 23. Respuesta libre 25. Respuesta libre 27. Respuesta libre

25. x  22,5º, x  67,5º, x  157,5º 27. x  22,5º, x  67,5º 29. x  30º, x  150º 31. x 90º, x  270º 33. 33º 12’ 39,28” 35. 56º 47º 20,72 ACTIVIDADES

16. Página 231

5 3. No tiene solución 5. x  1 1. x   5

7. x  0,382683432 9. Respuesta libre 11. 2,267172 13. Respuesta libre 15. 0,44743595

LA MATEMÁTICA, HERRAMIENTA PARA OTRAS CIENCIAS. PÁGINAS 217 Y 178

LA MATEMÁTICA, HERRAMIENTA PARA OTRAS CIENCIAS. PÁGINAS 232 Y 233

v02 sen 2 3.  45º 5. Respuesta libre 1. 

2  x 3. 3 horas después 1. 

7. Respuesta libre

5. Un día despejado es un día claro. Las mismas horas 7. 0,91 km 9. 3,63 km 11. No es posible

32

ACTIVIDADES

13. Página 224

5

1.  54º 44’ 8,2”;  234º 44’ 8,2”

UNIDAD 8

3.  240º,  300º 5.   60º,   300º

ACTIVIDADES

7. x  135º, x  315º 9. La ecuación no tiene solución 11. x  30º, x  150º, x  180º 13. a 15. b 17. V

19. F 21. F 23. x  0, , 2 ; x   2

25. x  30º, 150º, 270º, 330º 27. x  45º, 135º, 225º, 315º

29. x  60º, 120º. 240º, 300º 31. x  300º, x  60º 33. No tiene solución 35. F (tiene 3)

3  2k 37. V 39.   k 41.  3

2

14. Página 227 1. x  30º, 150º, 210º, 330º 3. x  0º, 180º, 360º 5. x  0º, 180º, 360º; x  60º, 240º ACTIVIDADES

3 5 ,  , 7. x  135º, 315º 9. x   11. x  0º, 180º, 360º; x

6

6

2

 60º, 120º, 240º, 300º 13. x  60º, 300º, 180º 15. x  60º, x  120º, x  240º, x  300º 17. t  20º, t  40º 19. t  60º 180º 540º 7 7 23. t  22,5º, t  45º, z  30º, t  150º 25. F 1 27. V  a2 sen   L 29. 30º 31. x  330º, y  270º; 2 x  90º, y  150º 33. x  90º, y  30º 21. x  , x  , x  120º, x  240º

ACTIVIDADES

15. Página 229

1. x  30º, 150º, 210º, 330º 3. x  120º, x  240º 5. x  60º, x  300º 7. x  0º, 180º, 360º, 90º, 270º 9. x  90º, 270º 11. V 13. V 15. F 17. F 19. 0,0026 s 21. Sí 23. x  10º, x  50º

1. Página 239

4 16 25 3 3 3 5 6 ;  11. an  2n 4 5 n 1 n1 13. an  4 15. an  n  1 17. an   19. an   2 n 21. Se escribe debajo • una fila con un punto •• •• • más el 7º término es. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 23. Cuadrado de lado n • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 499 25.  27. 13, 16, 14, 22 210 1 3 3 4 5 6 3 4 7. 2; ; ; ;  9. 2; ; ; 4 9 16 25 2 3

1. 0, 1, 2, 3, 4 3. 0, 3, 8, 15, 24 5. ; ; 3; ; 

ACTIVIDADES

2. Página 243

49 5. 105 9.7.3 56 9. c 11. f 2 38 13. d 15. 45 17. 106 19. 3 21.  3 148 041 3 23.  25. 10 27. 34 29.  560 2 4 795 100 31. 44 33.  35.  3 27 37. Verdadero 39. Falso 41. Verdadero 1. 56

3. 

3. Página 247 1. Sí; d  5 3. Sí; d  2 5. No 7. No 9. Sí; d  1 11. No ACTIVIDADES

14

© SANTILLANA

43. sen x 45. cos x 49. Respuesta libre 51. Respuesta libre

RESPUESTAS DE EJERCICIOS

23 19. 15 13. 21 15. 3 17.  

ACTIVIDADES

8 21. 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28 1 3 7 11 15 19 23 27        23.  2, 2, 2, 2 , 2 , 2 , 2 , 2 ,

1 4 1 9. 4 200 000 11.  13. Geométrica; an  5(3)n  1 26 244 1 1 15. Aritmética; an  n  1 17. r   5 3 y 19. r   21. r  3x 23. Verdadero 25. Falso 2 3 27. n  10 29. n  8 31. n  6 33. r  100  10 1 35. 1 822  vasos de agua 2 1. Sí es; r  2

25. Número de lados

3 4 5 6 7 8 9 10 Cantidad de triángulos 1 2 3 4 5 6 7 8 27. Sí, para la del punto 25: an  n  2; para la del punto 26: an  180(n  2); n número de lados. 29. Para la del punto 25: 48; para la del punto 26: 8.640º. 31. 135 33. No 35. Hay 28 múltiplos de 35 entre 2 000 y 3 000 37. Hay 6 múltiplos de 3 000 que tienen cuatro cifras (3 positivos y 3 negativos) ACTIVIDADES

1. 190

55 3.  3

9. 314 11. 4, 1, 2, 5, 8, 11, 14

5. No es

7. 

6. Página 258

5 1. 1.365 3. 9 5.  7. Falso 9. Falso 11. Geometría 8 13. Sí en el decimotercero cuadrado 15.

Res. libre Res. Perímetro cm 9 0,5625 0,28125 0,140625 0,0703125 libre

Triángulo

280 7.  3

1

5

6

7

8

399 25. 5, 15 y 45 17. 400 cm 19. e 21. d 23. Es 

15. 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25

ACTIVIDADES

5

13 19 25 31 2 2 2 2 19. 2, 9, 16, 23, 30, 37 21. 3, 3, 9, 15, 21, 27 3 9 15 21 27 33 23. , , , , ,  2 2 2 2 2 2 25. 22,2; 41,2; 60,2; 79,2

7. Página 260

1. 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256; 512

1 1 1 8 4 2 8 16 32 64 128 256 5. 6; 4; ; ; ; ; ;  3 9 27 81 243 729

3. ; ; ; 1; 2; 4; 8; 16; 32

7. 31 100; 3 100 10 9. 15; 75; 375; 1 875 3

8 15

3

16 45

32 135

64 405

7 6

7 18

7 54

11. ; ; ;  13. ; ; 

27. 26, 32, 38, 44, 50, 56, 62, 68

15. 12; 24; 48; 96; 192; 384; 768 17. Falso 19. Verdadero

29. 10, 12, 14, 16, 18, 20 31. 10, 8, 6, 4, 2, 0

n1

  1 4

21. Falso 23. An  1 536 cm2 

1 4 13 23 14 11 33. , , , 3, , ,  2 3 6 6 3 2 111 1 33 59 17 ,  35. , , ,  , 5 35 35 35 7 27 137  163 , , 5 35 35 37. Verdadero 39. Verdadero 41. Verdadero 409 86

Res. libre Res. libre

La sucesión es geométrica

13. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

17. , 8, , 11, , 14, 

1 023 25.  cm2 27. 768 cm 29. No 2 SOLUCIÓN DE PROBLEMAS, PÁGINA 262 1. 6 m 3. 2 910 m 5. No, matemáticamente 7. Entre más recipientes se tomen más se cubre el volu-

men del primer recipiente pero nunca se cubre totalmente tal volumen. 9. 3 280 veces 11. 57,66 cm aprox. 13. 45196039,84 entre el año 34 y 35 15. 58,0335 aproximadamente

43 4

43.  45.  47. 1 275 49. 465 51. 210

© SANTILLANA

3. Sí es; r  2

ACTIVIDADES

4. Página 250 5. 2 500

5. Página 257

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS, PÁGINA 252 1. 88 asientos 3. 52 personas 5. Desde 1 368 m de altura 7. 110 m 9. 68 minutos 11. 77 kg de azúcar 13. La oferta de los 10 millones 15. 15 635 abejas 17. En 42 meses aprox.

LA MATEMÁTICA, HERRAMIENTA PARA OTRAS CIENCIAS, PÁGINA 263 1. Rotulando con 1, la primera dosis recomendada, que

11 mg el peso del niño es,1 mg, con 2 la segunda, que es  4 estará dada por an  11n  11 3. Si; w  22c; w: peso, c: cantidad suministrada. 25 5.  mg 7. 233 9. No 27

15

RESPUESTAS DE EJERCICIOS IMPARES 3  2i UNIDAD 9









9

✘

✘

✘

✘

✘

✘

Imaginario puro

 2

✘



✘

✘

9) (9 



983 24

65.

67.

13. 12  36i 15. 15  15i

1 i

3i

2i

2i



1

2

i

3i

i

71.

73.

2

3i  6

3

3i

i

3 17

1 3

39. i

5

2  45.  i 5

5

12 13

4

5

2. Página 273

3. 11  5i

12 17

33.   i

7.

1

77. B 1. 2  2i

43. 0,6  0,8i

1 17

49.   i 51. Respuesta libre

5.

1i 6 5 4 3 2 1

ACTIVIDADES

17 4

3

30 17

27.   i

2i 5 3i  2 2

2i

i



LA MATEMÁTICA, HERRAMIENTA PARA OTRAS CIENCIAS, PÁGINAS 279 Y 280 1. Respuesta libre 3. Respuesta libre

75. 4i

1

1

3 2

1i 1  5i 5  3i

SOLUCIÓN DE PROBLEMAS, PÁGINA 278 1. C y H 3. A y F 5. 0 7. Respuesta libre

5i

71.



5 13

47. 2

8 3 3

4i 3

3

25 20 41.   i 41 41 i

2

4  2i 2  16i 18  4i

31.   i

1 22 i 37.   

35. 2  i

69. 1

1  4i 14  5i 7i

7 4

24 29

27 29

29.   i

1 +5i 4

2

131 140

11 35

5

6i

4i

37 3

9.   i 11.   i

2

51. e 53. g 55. f 57. d 59. F 61. F 63. F

21 41

25 41

21. (9, 8) 23. (4, 6) 25. , 

✘

51. 5

3. Página 277 y 278

3  2i 2  3i 13i 19. 4  i 14  5i

✘

101  17 49.  47.

1. 23  14i 3. 5  40i 5. 10 7.   i

✘

8  3

1i

ACTIVIDADES i

17.

✘

3  7i

2

13  4i 12  7i 10  2i

5. 5  7i

7. 15  22i

150º

70º

5 49 9.   i 11. 6  7i 13. 4  8i 15. 4  9i 3 6 1 43 3i 25 17. 7  6i 19. 5  8i 21.    i 23.   12

3

17 24

1 10

2

2

9. 0

25. z  6 3  17i 27. z     i 29. (6, 3)

2

300º



, 35. 4  3i 37. 11  5i 7, 1) 33.  31. (  2

2

68 25 39. 9  7i 41. 3i 43.   i 12

0

0

15

16

© SANTILLANA

4  0i





Números

1

18  3i 5  3i 28  9i

2i 3  2i

1. Página 270

60 4 10i 1. 3i 3. 5i 5. i 7. 7i 9. 10i 11.  7 7 15. b  4i 17. a   2i 19. 1 21. i 23. i 13. m   2 25. i si k es par; i si k es impar 27. 1 29. 16 31. 6  32i 33. 4  i 35. 5i 37. 0 39. 1  i 41. 4 parte real, 7 parte imaginaria, (4, 7) 4 3 4 2, 43. (8   2, 5  3) 45. , 8 47.  3 4 5

5i

10  2i

45. 20  8i

ACTIVIDADES

49.

28  9i

MAT1 Preliminares(1-6):MAT10(1-6,334-336) 27/03/12 02:35 p.m. Página 1

MAT1 Preliminares(1-6):MAT10(1-6,334-336) 07/10/11 09:12 a.m. Página 2

MAT1 Preliminares(1-6):MAT10(1-6,334-336) 07/10/11 09:12 a.m. Página 3

Tabla de contenido UNIDAD

Puentes colgantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Relación entre solubilidad y temperatura . . . . . . . . . . . . 57

1

Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Tema 1. Experimentos aleatorios, espacios muestrales y eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1. Experimentos aleatorios y espacios muestrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. Eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Tema 2. Conteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1. Principio de multiplicación . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2. Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3. Combinatorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Tema 3. Probabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Tema 4. Probabilidad y conjuntos. . . . . . . . . . . . . . 20 4.1. Operaciones entre conjuntos y eventos . . . . 20 4.2. Algunas propiedades de la probabilidad . . . . 20 Tema 5. Probabilidad y tablas de contingencia . . 23 Tema 6. Probabilidad condicional . . . . . . . . . . . . . . 26 Tema 7. Triangulo de Tartaglia. . . . . . . . . . . . . . . . . 28 7.1. Triangulos de Tartaglia. . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 7.2. Binomio de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Tema 1. Función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1.2. Análisis gráfica de las funciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 1.3. Ecuaciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . 64 Tema 2. Función logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.1. Concepto de logaritmo. . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.2. Definición de función logarítmica. . . . . . . . . 66 2.3. Análisis gráfico de la función logarítmica. . . 66 2.4. Propiedades de los logaritmos . . . . . . . . . . . . 70 2.5. Ecuaciones logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.6. Sistemas de ecuaciones logarítmicas. . . . . . . 72

Probales resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Crecimientos y decrecimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

UNIDAD

3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

UNIDAD

2 Tema 1. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4.

© SANTILLANA

Tema 2. 2.1 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. Tema 3. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. Tema 4. 4.1. 4.2.

Función exponencial y función logarítmica . . . . . . 59

Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Función. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Concepto de función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Dominio de una función . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Rango de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Representación de funciones . . . . . . . . 41 Representación de funciones. . . . . . . . . . . . . 41 Funciones crecientes y funciones decrecientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Funciones pares y funciones impares. . . . . . 44 Funciones periódicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Función inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Función de variable real . . . . . . . . . . . . . . 49 Función lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Función afín. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Función cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Función cúbica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Función definidas a trozos . . . . . . . . . . . . 53 Función parte entera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Función valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

UNIDAD

4

Funciones trigonométricas I . . . . 77 Tema 1. Conceptos previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 1.1. Ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 1.2. Ángulos sobre el plano cartesiano. . . . . . . . . 78 1.3. Medición de ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 1.4. Longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 1.5. Velocidad angular y velocidad lineal . . . . . . . 81 1.6. Triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Tras las huellas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Comparaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Tema 2. Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . 88 2.1. Definición de las funciones trigonométricas de un ángulo en posición normal . . . . . . . . . 88 2.2. Signo de las funciones trigonométricas de un ángulo en posición normal . . . . . . . . . . . 90 2.3. Funciones trigonométricas de los ángulos cuadrantales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3

MAT1 Preliminares(1-6):MAT10(1-6,334-336) 07/10/11 09:12 a.m. Página 4

Tabla de contenido Tema 3. Relaciones trigonométricas en el triángulo rectángulo. . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.1. Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.2. Razones trigonométricas para 30º, 45º y 60º. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.3. Ángulos complementarios . . . . . . . . . . . . . . . 99 Tema 4. Reducción de ángulos al primer cuadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.1. Ángulos de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.2. Funciones trigonométricas de ángulos coterminales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.3. Valor numérico de expresiones que involucran funciones trigonométricas. . . . . 103 Tema 5. Problemas de aplicación . . . . . . . . . . . . . 105

4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8.

El corazón trigonométrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

UNIDAD

6 Distancia a la Tierra desde una nave espacial . . . . . . . . 106 Ley de Snell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Tema 1. 1.1. 1.2. Tema 2.

UNIDAD

2.1. 2.2. 2.3. Tema 3. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4.

Funciones trigonométricas II . . 109

Tema 1. La circunferencia unitaria . . . . . . . . . . . . 110 1.1. Definición de circunferencia unitaria . . . . . 110 1.2. Funciones trigonométricas definidas en la circunferencia unitaria . . . . . . . . . . . . 110 1.3. Líneas trigonométricas. . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Tema 2. Gráficas de las funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 2.1. Gráfica de la función seno (y ⫽ sen x) . . . . 115 2.2. Gráfica de la función coseno (y ⫽ cos x). . . 116 2.3. Gráfica de la función tangente (y ⫽ tan x) . 119 2.4. Gráfica de la función cotangente (y ⫽ cot x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 2.5. Gráfica de la función secante. (y ⫽ sec x). . 122 2.6. Gráfica de la función cosecante. (y ⫽ csc x) . 123 Tema 3. Análisis y elaboración de gráficas . . . . 125 3.1. Traslación de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . 125 3.2. Reflexión de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . 126 3.3. Amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 3.4. Período . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 3.5. Desfase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Aplicaciones de las funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . 151 Resolución de triángulos rectángulos . . 152 Resolución de triángulos rectángulos . . . . . 152 Ángulos de elevación y de depresión . . . . . 155 Resolución de triángulos oblicuángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Teorema o ley del seno . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Teorema o ley del coseno . . . . . . . . . . . . . . 166 Área de un triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Vectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Componentes de un vector . . . . . . . . . . . . . 172 Suma de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Vector velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Vector fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Los satélites artificiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

UNIDAD

7

Trigonometría analítica . . . 179 Tema 1. Estudio algebraico de las funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 1.1. Operaciones algebraicas con funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 1.2. Factorización de expresiones con funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 1.3. Simplificación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Tema 2. Identidades trigonométricas I. . . . . . . . . 189 2.1. Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 2.2. Identidades fundamentales . . . . . . . . . . . . . 190 2.3. Formas de expresar una función trigonométrica en términos de las otras cinco funciones . . . . . . . . . . . . . . . 193

La matemática del sonido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Tema 4. Funciones trigonométricas inversas . . . 137 4.1. Función arcoseno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.2. Función arcocoseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.3. Función arcotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

4

© SANTILLANA

5

Función arcocotangente. . . . . . . . . . . . . . . . 139 Función arcosecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Función arcosecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Uso de la calculadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Operaciones con funciones trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . 144

MAT1 Preliminares(1-6):MAT10(1-6,334-336) 07/10/11 09:12 a.m. Página 5

Tabla de contenido 2.4. Simplificación de expresiones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Tema 3. Identidades trigonométricas II . . . . . . . . 198 3.1. Demostración de una identidad . . . . . . . . . 198 3.2. Identidades para la suma y la diferencia de ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 3.3. Identidades para ángulos dobles y ángulos medios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

La automedicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Sucesión de Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

UNIDAD

9

Identidades que simplifican la ciencia . . . . . . . . . . . . . . 217 Tema 4. Ecuaciones trigonométricas. . . . . . . . . . . 219 4.1. Ideas preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 4.2. Ecuaciones trigonométricas. . . . . . . . . . . . . 221 4.3. Ecuaciones trigonométricas con identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 4.4. Ecuaciones trigonométricas con identidades para ángulos dobles y ángulos medios . . . . 228 4.5. Ecuaciones trigonométricas con funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

Tema 1. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. Tema 2. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4.

La naturaleza trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

Fractales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 Los complejos y la realidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

UNIDAD

UNIDAD

8 Tema 1. 1.1. Tema 2. 2.1. 2.2. 2.3. Tema 3. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4.

© SANTILLANA

3.5. 3.6. 3.7. 3.8.

Números complejos . . . . . . . 265 Generalidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 Potencia de i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 Representación gráfica de los números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 Conjugado y norma de un número complejo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 Operaciones con números complejos . . 272 Adición de números complejos . . . . . . . . . . 272 Sustracción de números complejos . . . . . . . 272 Multiplicación de números complejos . . . . 274 División de números complejos . . . . . . . . . 276

10

Sucesiones y progresiones . . . . . . . . . . . . . 237 Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Notación Sumatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Propiedades de la sumatoria . . . . . . . . . . . . 241 Suma de los n-términos en una sucesión . . 242 Progresiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 Progresiones aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . 244 Suma de los términos de una progresión aritmética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 Interpolación de medios aritméticos. . . . . . 249 Problemas de aplicación de progresiones geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 Progresiones geométricas . . . . . . . . . . . . . . 254 Suma de los términos de una progresión geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 Interpolación de medios geométricos . . . . . 259 Problemas de aplicación de las progresiones geométricas . . . . . . . . . . . . 261

Jugos con números y figuras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

Tema 1. Criptoaritméticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 Tema 2. Razonamiento abstracto . . . . . . . . . . . . . . 287 2.1. Razonamiento abstracto usando rotaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 2.2. Razonamiento abstracto usando traslaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 2.3. Razonamiento abstracto sobre matrices . . . 288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 Fuentes Consultadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

5

MAT1 Preliminares(1-6):MAT10(1-6,334-336) 07/10/11 09:12 a.m. Página 6

Matemática 1 El desarrollo del libro Matemática 1 para 1er año de Educación Media Diversificada y Profesional es el resultado de una reflexión pedagógica que presenta los temas relacionados con los bloques de contenidos: sistemas numéricos, geometría, medidas, probabilidad y estadística y álgebra, relacionándolos con la vida cotidiana. La metodología de trabajo se plantea de la siguiente manera: • Un desarrollo del concepto, en el cual se destacan las definiciones más relevantes y se plantean ejercicios resueltos. • Una propuesta de actividades que busca formalizar en los estudiantes el desarrollo de las habilidades de razonamiento, modelación, análisis, interpretación y argumentación. • Una selección de actividades que muestra la matemática como herramienta para otras ciencias.

• Una preparación para pruebas a nivel superior que busca fortalecer el desarrollo de competencias y practicar el manejo de las pruebas con respuesta única y con múltiple respuesta válida.

© SANTILLANA

• Un programa de solución de problemas que propone diferentes estrategias para analizar y solucionar un problema.

MAT1 U1(7-30):MAT9(143-159,295-314) 09/04/12 02:41 p.m. Página 7

UNIDAD

1

Probabilidad

TEMAS

1.E 2.C 3.P 4.P 5.P 6.P

XPERIMENTOS ALEATORIOS, ESPACIOS MUESTRALES Y EVENTOS. ONTEO. ROBABILIDAD. ROBABILIDAD Y CONJUNTOS.

ROBABILIDAD Y TABLAS DE CONTINGENCIA. ROBABILIDAD CONDICIONAL.

• PROBABLES

No es tan difícil como se piensa... RESULTADOS.

Dos equipos de béisbol tienen la misma capacidad y juegan el uno contra el otro una serie de cuatro juegos. Se registra el resultado de cada juego. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer equipo no gane ninguno de los cuatro juegos? PROBLEMA RESUELTO PÁG. 319

MAT1 U1(7-30):MAT9(143-159,295-314) 09/04/12 02:41 p.m. Página 8

UNIDAD 1 • PROBABILIDAD

1E

XPERIMENTOS ALEATORIOS, ESPACIOS MUESTRALES Y EVENTOS

En el lenguaje cotidiano se escuchan expresiones que hacen referencia a la probabilidad: “qué probabilidad hay de ganarse el premio de la rifa”, “hay una gran probabilidad que hoy no llueva en la carrera de automovilismo”, “es muy probable que apruebe el curso de matemáticas”. Se habla de probabilidad cuando en un evento intervienen procesos físicos, biológicos o sociales que generan observaciones, y cuyo resultado no es posible predecir con exactitud.

La probabilidad es la ciencia que trata de cuantificar los posibles resultados de una situación en la cual están presentes la incertidumbre o la aleatoriedad. Para llegar a una idea clara de probabilidad, es necesario definir los conceptos mostrados a continuación.

1.1. Experimentos aleatorios y espacios muestrales Un experimento aleatorio es cualquier acción o proceso del que no se tiene certeza de su resultado final, hasta tanto no se ejecute.

RECORDAR QUE El espacio muestral de un experimento aleatorio es el conjunto universal de la situación.

Por ejemplo, si se desea formar un equipo de voleibol con cinco jugadores, el nombre de los seleccionados no se sabrá con certeza hasta que no se realicen las pruebas correspondientes y se elija a los cinco deportistas. Se puede conocer la lista de todos los deportistas inscritos, pero no la lista de los escogidos. El espacio muestral de un experimento aleatorio, denotado como S, es el conjunto de todos los posibles resultados al realizar el experimento.

Ejercicio resuelto Hallar el espacio muestral de cada uno de los siguientes experimentos. a. El padre de un bebe próximo a nacer quiere que su hijo se llame Juan, Camilo o Felipe. La madre, por su parte, pretende que se llame Andrés o Pablo. Para que ambos queden felices deciden combinar los nombres propuestos, considerando que primero irá el del padre y, luego, el de la madre. ¿De cuántas formas distintas se puede proponer un nombre para el nuevo bebé? b. Los candidatos para formar la nueva junta del consejo comunal son Carlos, Josefa, Elías y Marina. Se requiere que la junta esté compuesta por un presidente y un secretario. ¿De cuántas formas se puede formar esta junta? SOLUCIÓN

b. Sean: C: Carlos, J: Josefa, E: Elías y M: Marina. En el espacio, se debe considerar el orden en que se escoja la junta. No es lo mismo ser el secretario que el presidente. Por tanto, el espacio muestral es: S  {(C, J), (J, C), (C, E), (E, C), (C, M), (M, C), (J, E), (E, J), (J, M), (M, J), (E, M), (M, E)}

8

© SANTILLANA

a. El espacio muestral serán todas las combinaciones que se puedan armar con los tres nombres que propone el padre y los dos que propone la madre; se debe tener en cuenta que primero irá el del padre y, luego, el de la madre. Por lo tanto, S  {Juan Andrés, Juan Pablo, Camilo Andrés, Camilo Pablo, Felipe Andrés, Felipe Pablo}

MAT1 U1(7-30):MAT9(143-159,295-314) 09/04/12 02:41 p.m. Página 9

1.2. Eventos Un evento es un subconjunto del espacio muestral, se nota con la letra E. Cada uno de los elementos del espacio muestral se considera un evento.

Ejercicio resuelto RECORDAR QUE • Ya que los eventos son conjuntos, se pueden considerar las operaciones, unión, intersección y complemento de uno o más eventos. • Un evento simple es un subconjunto unitario del espacio muestral.

1. Dos equipos de básquet masculino, en este caso A y B, deben jugar una serie de tres partidos para determinar el campeón del año. a. Hallar el espacio muestral de este experimento aleatorio. b. Escribir los elementos del evento que consiste en que el equipo A gane sólo los dos primeros partidos. c. Escribir los elementos del espacio muestral que consiste en que el equipo B gane los tres juegos. d. Si la serie la gana aquel equipo que venza en dos de los tres juegos, escribir los elementos del evento que consiste en que se conozca el campeón de la serie después de dos juegos. SOLUCIÓN

Espacio muestral del experimento relacionado con el juego de baloncesto. S  {AAA, AAB, ABA, BAA, ABB, BAB, BBA, BBB}

a. Los elementos del espacio muestral serán ternas en las cuales cada componente representa el equipo que ganó ese juego. Por ejemplo, el elemento AAB significa que el equipo A ganó los dos primeros juegos y el equipo B ganó el tercer juego. El espacio muestral se muestra al lado. b. Sea A el evento que consiste en que el equipo A gane sólo los dos primeros partidos, entonces, A  {AAB} c. Sea B el evento que consiste en que el equipo B gane los tres juegos. Entonces B  {BBB}. d. Para que la final dure dos juegos es necesario que alguno de los dos equipos gane los dos primeros juegos. Así, C  {AAB, BBA, AAA, BBB}. 2. Un científico tiene que probar un nuevo medicamento para determinar si generará o no una reacción alérgica en el paciente que lo consume. Les aplica a cuatro pacientes el medicamento y anota S, si presentó alergia, y N si no lo hizo. a. Escribir el espacio muestral de este experimento aleatorio. b. Escribir los elementos del evento M que consiste en que al menos 2 de los cuatro pacientes presentaron alergia al medicamento. c. Escribir los elementos del evento N que consiste en que máximo uno de los cuatro pacientes presentó alergia. SOLUCIÓN

© SANTILLANA

ALGO IMPORTANTE En muchas ocasiones es necesario asociar a cada evento un enunciado verbal, de acuerdo con el contexto del problema.

a. El espacio muestral está formado por todas las posibles combinaciones de S y N entre cuatro pacientes: S  {SSSS, SSSN, SSNS, SNSS, NSSS, SSNN, SNSN, NSNS, NNSS, SNNS, NSSN, SNNN, NSNN, NNSN, NNNS, NNNN} b. Los elementos del evento M son: M  {SSSS, SSSN, SSNS, SNSS, NSSS, SSNN, SNSN, NSNS, NNSS, SNNS, NSSN} c. Los elementos del evento N son: N  {SNNN, NSNN, NNSN, NNNS, NNNN}

9

1

EJERCITACIÓN. Para cada uno de los siguientes experimentos aleatorios escribir el espacio muestral correspondiente. 1. Carlos, Juana y Felipe compiten en la final del concurso de ortografía del liceo. ¿De cuántas formas puede finalizar este concurso? 2. La maestra de castellano dará para el primer puesto una medalla y un bono; para el segundo lugar sólo un diploma. ¿De cuántas formas pueden ocupar los dos primeros lugares? 3. Para la situación anterior del concurso de ortografía, si se da una mención al tercer lugar y se sabe que Carlos no ganó el concurso, ¿de cuántas formas se pueden asignar los premios? 4. Si se tiene un grupo de cartas formado por una reina, un rey, un caballero y dos ases, ¿de cuántas formas se pueden seleccionar dos cartas? Para el caso anterior de las cartas: 5. Escribir el evento que consiste en que, por lo menos, una de las dos cartas sea un as. 6. Escribir los elementos del evento que consiste en que alguna de las dos cartas seleccionadas sea una reina. 7. Escribir los elementos del evento que consiste en que entre las dos cartas seleccionadas no haya ni un rey ni un as. 8. Si se escogen tres cartas, ¿cuál es el nuevo espacio muestral? PROBLEMA. Martín y Ana juegan con dos dados. El juego consiste en que si al lanzar los dados el resultado es menor que 7, se vuelven a lanzar.

2

CONTEO

Si el resultado es siete, el jugador gana la apuesta. Si al lanzar nuevamente el resultado son pares, el jugador gana; de lo contrario, pierde. 9. Escribir los elementos del evento que consiste en que alguno de los dos jugadores gane con un solo lanzamiento. 10. Escribir los elementos del evento que consiste en que alguno de los dos jugadores gane con los dos lanzamientos. 11. Escribir los elementos del evento que consiste en perder la apuesta. PROBLEMA. Se lanza una moneda al aire cuatro veces y se anota el resultado cada vez. 12. Escribir el espacio muestral del experimento. 13. Determinar el evento que consiste en obtener por lo menos dos caras en los tres primeros resultados. 14. Determinar el evento que consiste en obtener dos resultados consecutivos iguales. PROBLEMA. Si se lanzan dos monedas y un dado, y se anotan los resultados, 15. Construir el espacio muestral. 16. ¿Qué resultados están incluidos en el evento M: las monedas salgan cara y el dado un número impar? 17. ¿Qué resultados están incluidos en el evento T: el resultado del dado es un número primo? 18. ¿Qué resultados están incluidos en el evento S: el resultado de las monedas es sello y el del dado es menor que 3?

En muchos experimentos aleatorios, el espacio muestral resulta numeroso y en ocasiones es muy costoso escribir cada uno de sus elementos. Además, en gran parte del estudio de la probabilidad interesa el número de elementos del espacio muestral y no específicamente los elementos. Por esta razón, es necesario determinar algunas herramientas o criterios que permitan encontrar el número de elementos del espacio, teniendo en cuenta las características del experimento. Para determinar cada uno de los criterios se usan los conceptos de población y muestra; además, se determinan dos conceptos más, que son el orden y la repetición en la muestra. Por ejemplo, a la final del torneo femenino intercolegiado de gimnasia clasificaron Martha, Lucía, Elena y Karina. Si se otorgan medallas de oro, plata y bronce, se pueden considerar dos aspectos al momento de la entrega de medallas.

10

© SANTILLANA

ACTIVIDADES

UNIDAD 1 • PROBABILIDAD

MAT1 U1(7-30):MAT9(143-159,295-314) 09/04/12 02:41 p.m. Página 11

ALGO IMPORTANTE En cada experimento aleatorio es necesario determinar si existe el orden y la repetición, para poder seleccionar la técnica correcta que se debe aplicar.

La población son las cuatro finalistas; la muestra serán las tres que obtienen medalla. Sin embargo, para la selección es posible considerar dos aspectos: • Para cada una de las cuatro gimnastas importa el orden, ya que cada una obtendrá una medalla diferente. Luego, existe el orden. En el caso que la prueba no sea la final sino una prueba clasificatoria en la cual las dos primeras gimnastas pasarán a la ronda siguiente, no se considera el orden, ya que aunque se logre el primero o el segundo lugar, las dos clasificarán. • Cada una de las atletas ganará una y sólo una medalla. Es decir, si es primera ganará la medalla de oro y ninguna otra. En este caso, no existe repetición. El manejo de estos dos criterios determina el buen uso de las herramientas que ayudan a determinar el número de elementos del espacio muestral. Una vez se han aclarado estos dos conceptos, se pueden determinar tres tipos de técnicas de contar: el principio de la multiplicación, las permutaciones y factoriales, y las combinaciones.

2.1. Principio de multiplicación En este caso se considera una población determinada, representada por N, y para la escogencia de la muestra, que se simboliza n, se tienen en cuenta el orden y la repetición. Si se toma una muestra de n elementos, en la cual para cada elemento se consideran los N elementos de la población, entonces el tamaño del espacio muestral es Nn. #(S)  Nn El principio es igualmente válido para encontrar el número de elementos de un evento en el cual se tiene en cuenta el orden y la repetición, basta con considerar de manera adecuada las condiciones propuestas.

Ejercicio resuelto Un programador de computadores está escribiendo un nuevo programa que le permite construir aleatoriamente un número para los billetes de la lotería. Este número consta de cuatro cifras y una serie de dos dígitos. ¿Cuántos posibles números tiene que considerar el programa para construir un número de la lotería?

© SANTILLANA

SOLUCIÓN Para conformar el número existe repetición, ya que este puede estar formado por cuatro dígitos iguales. Por ejemplo 2 233 es un número posible. Así mismo, existe el orden en el número, ya que 4 333 es diferente de 3 343. Para conformar el primer número se tienen 10 posibilidades, correspondientes a los dígitos, y la población es 10. Además, el número está formado por seis dígitos, luego la muestra es 6. Entonces: #(S)  106  1 000 000 Existe 1 000 000 de posibles billetes de lotería distintos.

El principio de multiplicación se puede aplicar en casos en los que se tienen poblaciones distintas y la muestra se debe tomar considerando elementos de cada una de las poblaciones.

11

UNIDAD 1 • PROBABILIDAD

Ejercicio resuelto

Una agencia de viajes ofrece un programa turístico de 3 días. Para el primer día ofrece paseo por la ciudad o una caminata por la sabana. Para el segundo día, visita a museos, tour por el centro de la ciudad o cabalgata por los alrededores del casco colonial. Para el tercer día se ofrece un tour nocturno por los bares del centro o una visita a la casa de poesía de la ciudad. El tiempo que se requiere en cada actividad hace que el viajero pueda escoger solamente una actividad por día. ¿Cuántas opciones distintas tiene un viajero para aprovechar sus días de permanencia en la ciudad? SOLUCIÓN En este caso se dispone de tres poblaciones distintas: una para el primer día con dos elementos, otra para el segundo día con tres elementos y finalmente una población con dos elementos, correspondientes al tercer día. El principio de multiplicación se aplica así: Día 1

Día 2

Día 3

2 rutas

3 rutas

2 rutas

2

3

2

12

Hay 12 posibilidades distintas de conformar un plan turístico.

Una opción alterna para aplicar el principio de multiplicación corresponde a una representación gráfica en forma de árbol en la cual cada ramificación se construye de acuerdo con un elemento de la muestra. Si la muestra contiene dos elementos, entonces, el diagrama tendrá dos ramificaciones y así sucesivamente.

Ejercicio resuelto V V

F V

F

V

F V F

F F

V F

Figura 1

ALGO IMPORTANTE El único numero natural que se excluye de esta regla es el cero (por no tener ningun natural anterior a él). En caso se esta-blece el factorial de cero así: 0! 1

En una corporación de ahorro y vivienda se toma una muestra de tres créditos hipotecarios. Cada crédito está clasificado como de tasa fija (F) o de tasa variable (V). Elaborar un diagrama de árbol para determinar el espacio muestral del experimento. SOLUCIÓN Para la primera hipoteca se tienen dos posibilidades, V o F. Para la segunda hipoteca hay dos posibilidades, por lo cual, de cada una de las anteriores se representan dos posibilidades más. Para la tercera hipoteca se sigue el proceso de forma similar. El diagrama de árbol correspondiente se muestra en la figura 1. Cada una de las ramas corresponde a uno de los elementos del espacio muestral. Por ejemplo, la primera rama corresponde a VVV, lo cual significa que las tres hipotecas son de tasa variable. La segunda rama corresponde a VVF, lo cual significa que las dos primeras hipotecas son de tasa variable y la tercera es de tasa fija.

2.2. Permutaciones Para considerar la técnica de la permutación, es necesario definir la operación factorial. El operador factorial se define sobre los números naturales incluyendo el cero. Su símbolo es “!”. El factorial de un número se define como el producto del número con todos sus naturales anteriores a él hasta 1. Es decir, n! n(n 1)(n 2) … 2 1

12

© SANTILLANA

V

MAT1 U1(7-30):MAT9(143-159,295-314) 09/04/12 02:41 p.m. Página 13

ALGO IMPORTANTE Cuando la muestra que se toma es igual al tamaño de la población, la permutación que se obtiene es el operador factorial de la muestra. N!  NPN  (N  N)! N!   0! N!  1  N!

La permutación es una operación que sirve para encontrar el número de elementos del espacio muestral, cuando al seleccionar la muestra se considera el orden pero no la repetición. Así, para escoger el primer elemento de una muestra de n elementos se tienen N posibilidades; para escoger el segundo elemento de la misma muestra se tienen N  1 posibilidades, pues no hay repetición; para escoger el tercer elemento de la muestra se tienen N  2 posibilidades, y así sucesivamente. Luego, el tamaño del espacio muestral está determinado por: N! #(S)  NPn   (N  n)! donde, N!  N(N  1)(N  2) … 2  1 y nPN es la permutación de N en n. En el caso que N  n, entonces la permutación nPN  N!.

Ejercicio resuelto ALGO IMPORTANTE Cuando la muestra que se toma es diferente al tamaño de la población, es decir, N  n a la permutación la llamamos variación.

1. Un psicólogo le pide a uno de los niños que va a evaluar, que construya un número de tres cifras, sin repetir ningún dígito. a. ¿De cuántas formas se puede construir el número? b. Si al niño se le dan fichas con los números de 1 a 6, una de cada una, y se le pide que conforme un número de tres cifras, ¿de cuántas formas lo puede hacer? SOLUCIÓN a. Para el caso en que se construya un número de 3 cifras, la población para la primera cifra es de 10 dígitos, para conformar la segunda cifra se tienen 9 disponibles y para el último dígito se tienen 8 posibilidades. La población es de 10, la muestra es de 3. No hay repetición, pero sí existe orden. 10! 10  9  8  7! Luego, #(S)  10P3      720 (10  3)! 7! Es decir, se pueden formar 720 números de 3 cifras sin que se repitan dígitos. b. Para el segundo caso, la población es 6 y la muestra 3. Es decir que: 6  5  4  3! 6! #(S)  6P3      120 3! (6  3)! Existen 120 posibilidades de conformar un número de 3 cifras con 6 dígitos sin repetir ninguno. 2. Un grupo de cinco amigos desean sentarse en una fila de cinco asientos, a observar la lluvia de estrellas en el planetario de la ciudad. ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar estas personas?

© SANTILLANA

SOLUCIÓN En esta situación se tiene en cuenta el orden en el que se cada persona se va a sentar en las sillas. Además, ninguna persona puede ocupar dos sillas; por tanto, no hay repetición. La población es de 5 amigos y la muestra será de 5 sillas. Luego, el número de elementos del espacio muestral es: 5! 5! #(S)  5P5      5  4  3  2  1  120 (5  5)! 0! Cinco personas pueden sentarse de 120 formas distintas en cinco sillas.

13

UNIDAD 1 • PROBABILIDAD

3. A la semifinal del torneo suramericano de fútbol clasificaron seis equipos: Argentina, Brasil, Ecuador, Colombia, Chile y Venezuela. a. ¿De cuántas formas se pueden obtener campeón y subcampeón? b. Encontrar el número de elementos del evento que consiste en que Argentina no es campeón. c. Encontrar el número de elementos del evento que consiste en que Colombia no queda entre los dos primeros. SOLUCIÓN a. Para encontrar el número de elementos del espacio muestral se considera que la población es de 6 equipos, y la muestra es de dos (campeón y subcampeón). Existe orden, ya que no es igual ser campeón que ser subcampeón; además, no hay repetición. Por tanto, 6 5 4! 6! #(S) 6P2 6 5 30 (6 2)! 4!

ALGO IMPORTANTE La expresión N se llama combinatoria de N en n. La combinatoria es una operación que sirve para encontrar el número de elementos del espacio muestral, cuando al seleccionar la muestra no se considera el orden ni la repetición.

b. Para que Argentina no sea campeón se tendrán 2 permutaciones: una para una población de 5 equipos y una muestra de 1, y otra para una población de 5 y una muestra de 1. Luego, 2 5! #(A) 5P1 5P1 25 (5 1)! c. Para que Colombia no quede entre los dos primeros, se toman 2 permutaciones: una para una población de 4 equipos y una muestra de 2, y la otra para una población de 4 equipos y una muestra de 0. Luego, 5 4 3! 5! #(A) 5P2 5 4 20 (5 2)! 3!

2.3. Combinatorias o combinación Si se quiere tomar una muestra de n elementos y no interesa ni el orden ni la repetición, el tamaño del espacio muestral será: #(S)

N n

N! (N

n)! n!

Ejercicio resuelto Ocho jugadores del equipo de básquet del curso cuarto A se presentan a jugar un partido del campeonato y el capitán debe conformar el equipo que iniciará jugando. Si cada uno de los jugadores tiene la capacidad de desenvolverse de la misma forma en cualquier posición que se ubique, ¿cuántos equipos distintos de 5 miembros puede conformar el capitán con los 8 jugadores? SOLUCIÓN

8

#(S)

5

8! (8

5)!5!

8 7 6 5! (3 2 1)5!

56

En conclusión, es posible formar 56 equipos distintos de 5 jugadores entre los 8 que se presentaron al partido.

14

© SANTILLANA

En este experimento aleatorio no hay repetición, ya que un jugador no puede estar en dos posiciones al mismo tiempo; además, no interesa el orden en que se seleccione el equipo. Por ello, si N 8 y n 5, entonces

MAT1 U1(7-30):MAT9(143-159,295-314) 09/04/12 02:41 p.m. Página 15

La combinatoria es una operación que se utiliza cuando se habla de desarrollos binomiales de (a  b)n. Al resolver cada una de las combinatorias se encuentra el coeficiente binomial de la n-ésima potencia de un binomio. Por ejemplo, el segundo coeficiente binomial de (a  b)3, es    3.
1    (3  1)!1! (2  1)1 3

3!

321

Las combinatorias también se utilizan para calcular el número de elementos de un evento determinado.

Ejercicio resuelto Juan, Camila, Hernando y Luisa se postularon para conformar el comité de disciplina del curso. El director de grupo debe escoger solamente a 2 de ellos. a. ¿Cuántas parejas distintas se pueden conformar con los 4 candidatos? b. ¿De cuántas maneras se puede conformar el comité si el director decide que debe haber un hombre y una mujer?

ALGO IMPORTANTE Una forma de expresar el triángulo de Pascal en términos de combinatorias es la siguiente: 0


0


10 
0


11 
1

2

...

SOLUCIÓN En el experimento no se considera ni el orden ni la repetición, ya que las dos personas elegidas son distintas y conformarán el mismo comité. 4 4! a. Se tiene que N  4 y n  2, entonces #(S)     6. 2 (4  2)!2!





2

2

2


1

b. Para que haya un hombre y una mujer, de los dos hombres se debe escoger uno, e igual para las mujeres. Luego 2 2 2!  2   4 #(E)  1 1 (2  1)!1!


2  ...

3

3

ACTIVIDADES






2

EJERCITACIÓN. Resolver cada una de las siguientes operacio-

9. Si el alcalde de la ciudad establece que las placas de una

nes.

motocicleta matriculada en Caracas deben tener como primera letra la B, ¿cuántas placas se pueden conformar? PROBLEMA. Una nueva sede del Tribunal Supremo de Justicia se va a entregar en los próximos días. El edificio cuenta con 12 oficinas para asignarlas a 9 de los magistrados de la corte. 10. ¿De cuántas formas se pueden asignar las oficinas a los nueve magistrados? 11. Si se ha destinado la oficina más grande para el presidente y la siguiente más grande para el vicepresidente, y si las demás oficinas son iguales, ¿de cuántas formas se puede efectuar la asignación? 12. Si al momento de la entrega de la nueva sede están listas solamente cinco oficinas y se decide que ocho magistrados deben compartir cuatro de ellas, ¿de cuántas formas es posible hacer la asignación?

1. 3P2

3.

5


2


2P4 

4


2 

3

2.


2

4.


63  P  3
1 3 3

PROBLEMA. Las placas de una motocicleta están conformadas

© SANTILLANA



por tres letras y dos números. 5. ¿Cuántas placas distintas se pueden conformar? 6. ¿Cuántas placas se pueden conformar si se quiere que las letras sean distintas? 7. ¿Cuántas placas se pueden conformar si se busca que los números sean distintos? 8. ¿Cuántas placas se pueden conformar si se quiere que los números y las letras sean distintas?

15

UNIDAD 1 • PROBABILIDAD

PROBLEMA. A un niño en edad preescolar se le aplica una

21. Elaborar un diagrama

prueba de aptitud que consiste en formar un número de dos cifras con cuatro fichas, numeradas de 1 a 4. 13. ¿De cuántas formas se puede conformar un número de dos cifras con cuatro números disponibles? 14. Si al niño solamente le han enseñado los números de 1 a 29, ¿de cuántas formas puede conformarlo? 15. Si el niño conoce solamente los números de 1 a 19, ¿de cuántas formas puede conformarlo? PROBLEMA. El consejo de profesores de un colegio tiene un representante de cada departamento: español, matemáticas, sociales, inglés, ciencias, artes y educación física. Se reúnen y deben elegir un presidente y un secretario. Si cada uno de los miembros del consejo está en capacidad de ocupar cualquier cargo, 16. ¿De cuántas formas se puede seleccionar presidente y secretario del consejo? 17. ¿De cuántas formas se puede seleccionar presidente, vicepresidente y secretario? 18. Si se seleccionan dos candidatos para presidente, ¿de cuántas formas pueden escogerse? 19. Si se sabe que el presidente debe ser del departamento de matemáticas o de ciencias, ¿de cuántas formas se puede seleccionar presidente y secretario? 20. Si para el cargo de presidente y secretario se debe elegir un suplente, ¿de cuántas formas es posible elegir estos dos cargos con sus suplentes? PROBLEMA. Una aerolínea tiene tres vuelos diarios de Caracas a Bogotá: mañana, tarde y noche. Ofrece además dos vuelos diarios de Caracas a Miami: tarde y noche. Si los vuelos se hacen en días separados:

de árbol para determinar cuántas formas diferentes puede ofrecer la aerolínea para ir de Caracas a Miami. 22. Si a la persona que viaja no le gusta hacerlo de noche, ¿de cuántas formas distintas la aerolínea puede ofrecerle el viaje? 23. Si la aerolínea ofrece además un viaje de Miami a Madrid en cinco horarios diferentes, ¿de cuántas formas se puede ir de Caracas a Madrid? PROBLEMA. Un agricultor quiere sembrar cuatro variedades distintas de fresas. Para tal fin, dispone de siete surcos, la única condición que tiene es que no se puede sembrar una misma variedad en dos surcos seguidos. 24. ¿De cuántas formas se puede llevar a cabo esta siembra? 25. Si la semilla de una de las variedades de fresa no llegó para la siembra, ¿es posible hacer esta asignación sin que la misma variedad quede en dos surcos seguidos? 26. Si las semillas uno y dos se siembran en los surcos uno y tres, ¿de cuántas formas se puede realizar la siembra de las demás semillas? 27. Si no es importante que se siembren seguidas o no las semillas, ¿de cuántas formas podría realizarse esta siembra? PROBLEMA. Una persona juega con una baraja de 52 cartas. Se le pide que escoja una de ellas: 28. ¿De cuántas formas puede hacerlo? 29. Si se le pide que escoja dos de ellas, ¿de cuántas formas puede hacerlo?

3P

ROBABILIDAD

Cuando se cuantifica la posibilidad de ocurrencia de un evento, teniendo en cuenta el espacio muestral, se dice que se está calculando su probabilidad. Dado un experimento aleatorio y considerado un evento E, se tiene que la probabilidad de ocurrencia de E, notada P(E) es: #(E) P(E) #(S)

En general 0 P(E) 1

A partir de esta definición es posible plantear las siguientes afirmaciones sobre la probabilidad: • El valor de P(E) siempre es menor o igual que 1. Dado que el número de elementos del espacio muestral es mayor que el número de elementos de cualquier evento, se puede afirmar que el cociente #(E) es menor o igual que 1. #(S)

16

© SANTILLANA

ALGO IMPORTANTE

MAT1 U1(7-30):MAT9(143-159,295-314) 09/04/12 02:41 p.m. Página 17

• La probabilidad puede ser expresada como la fracción, el decimal o el porcentaje correspondiente a este cociente. • Cuando el espacio muestral es igual al evento, se dice que es un evento seguro y su probabilidad es 1. • Cuando el evento es vacío, se llama evento imposible y su probabilidad es 0. • Cuando el evento es unitario, se llama evento simple y su probabilidad es 1 . #(S)

Ejercicio resuelto Se ponen siete fichas numeradas de 1 a 7 en una caja y se seleccionan dos de ellas. Calcular la probabilidad de los siguientes eventos. a. La suma de las dos fichas es 7. b. La suma de las dos fichas es menor que 14. c. El número mayor de las dos fichas seleccionadases 2. d. Las dos fichas seleccionadas tienen el mismo número. SOLUCIÓN El espacio muestral de este experimento aleatorio es: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), S (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (4, 5), (4, 6), (4 ,7), (5, 6), (5, 7), (6, 7) En este caso no se considera el orden, ya que la suma es una operación conmutativa, y no se considera la repetición, puesto que no hay dos fichas del mismo número. a. Sea A el evento que consiste en que la suma de los dos números es 7. Luego, A  {(1, 6), (2, 5), (3, 4)}, por lo tanto: 3 #A P(A)      0,1429  14,29% #S 21





la probabilidad de que al seleccionar las dos fichas, su suma sea 7, es de 14,29%. b. Sea B el evento que consiste en que la suma de las dos fichas es menor que 14. Se tiene que S  B, por tanto, B es el evento seguro. En consecuencia, la probabilidad de que la suma de las dos fichas sea menor que 14 es 1, y se dice que es seguro que este evento ocurrirá. c. Sea C el evento que consiste en que el número mayor de las dos fichas es 2. Por tanto, C  {(1, 2)}. C es un evento simple. Luego, la probabilidad es: 1 P(C)    0,0476  4,76% de 4,76%. 21

© SANTILLANA

d. Es imposible que al seleccionar las dos fichas, estas tengan el mismo número. Es decir, tal evento es imposible. Luego, la probabilidad de que salgan dos fichas del mismo número es 0.

Las técnicas de conteo resultan una herramienta bastante útil cuando se va a calcular la probabilidad de ocurrencia de un evento, ya que en ocasiones describir el espacio muestral resulta muy costoso. Para ello, basta con identificar la técnica adecuada y definir el evento al cual se le va a calcular la probabilidad de ocurrencia.

17

UNIDAD 1 • PROBABILIDAD

Ejercicio resuelto

1. Se desea conformar un comité de tres personas, para tal fin se tienen seis candidatos, dos hombres y cuatro mujeres. ¿Cuál es la probabilidad de que el comité esté conformado sólo por mujeres? SOLUCIÓN La selección de cada miembro del comité no implica orden, ya que los tres pertenecerán a él sin distinción de cargos; además, una persona no puede hacer el papel de dos miembros, por lo tanto, no hay repetición en la muestra. Así, 6 20. #(S) 3 Sea C el evento que consiste en que los tres miembros del comité son mujeres; el tama2 4 ño del evento será #(C) 4, ya que ninguno de los miembros puede ser hom0 3 bre, y de cuatro mujeres, tres de ellas deben estar en el comité. La probabilidad es 4 P(C) 0,2 20%. 20 2. En el reinado nacional de la belleza, se seleccionaron como finalistas las candidatas de Mérida, Zulia, Lara, Miranda, Aragua y Barinas. Entre ellas, se debe escoger la reina y la virreina. ¿Cuál es la probabilidad de que la reina sea Miranda? SOLUCIÓN En este caso no existe la repetición, ya que dos candidatas no pueden obtener el cetro de reina. Además, hay orden, ya que no es lo mismo ser reina que virreina. La población es de seis candidatas y la muestra es de dos, reina y virreina. Por tanto: 6! 6 5 4! #(S) 6P2 6 5 30 (6 2)! 4! Sea C el evento que consiste en que la reina es Miranda. Se tiene que #(C)

1P1

5P1

5!

1! (1

1)!

(5

1)!

1 5

5.

5 0,1666 16,67% 30 La probabilidad de que Miranda sea la reina es de 16,6%. 3. Dos equipos de béisbol tienen la misma capacidad y juegan el uno contra el otro una serie de cuatro juegos. Se registra el resultado de cada juego. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer equipo no gane ninguno de los cuatro juegos?

La probabilidad de que ocurra C es: P(C)

No es tan difícil como se piensa...

SOLUCIÓN

Sean A y B los dos equipos que se enfrentan en la serie de cuatro juegos. En este experimento aleatorio N 2, en cada partido se tienen dos opciones: que gane el equipo A o que gane el equipo B. Además, n 4, ya que la serie consta de 4 partidos. Así, #(S) Nn 24 16 Sea D el evento que consiste en que el equipo A no gana ninguno de los juegos, en este caso se tiene que B ganaría todos, es decir, N 1 y n 4. 1 Luego, #(D) Nn 14 1. Por tanto, P(D) 0,0625 6,25%. 16

18

© SANTILLANA

ALGO IMPORTANTE En un partido de béisbol no existen los empates.

MAT1 U1(7-30):MAT9(143-159,295-314) 09/04/12 03:13 p.m. Página 19

ACTIVIDADES

3

EJERCITACIÓN. En cada una de las siguientes situaciones hallar el espacio muestral, así como el evento, y calcular la probabilidad correspondiente. Se lanzan dos dados. Encontrar la probabilidad de que la suma de los dos sea 1. 3 2. Impar 3. Menor que 5 4. 7

PROBLEMA. En la final masculina de atletismo del torneo distrital se clasificaron cuatro atletas: Carlos, Leonardo, Kevin y Arnoldo. El primero en llegar ganará un viaje al exterior para prepararse, y el segundo una beca nacional para estudiar inglés.

Se lanzan tres monedas al aire, cuál es la probabilidad de que: 5. Salgan tres caras. 6. Salgan al menos dos sellos. 7. Se obtengan resultados iguales en las tres monedas. PROBLEMA. A un niño que va a presentar un examen de admisión al colegio se le entregan tres figuras de animales y tres tarjetas con sus respectivos nombres. El niño debe asignar a cada dibujo su respectivo nombre. 8. Escribir el espacio muestral del experimento que consiste en asignar a cada imagen del animal su correspondiente nombre. 9. ¿Cuál es la probabilidad de que el niño no cometa ningún error al relacionar los animales con sus nombres? 10. ¿Cuál es la probabilidad de que el niño cometa un error? 11. ¿Cuál es la probabilidad de que el niño cometa dos errores? 12. ¿Cuál es la probabilidad de que cometa tres errores?

© SANTILLANA

PROBLEMA. De una baraja de 52 cartas

se seleccionan 5 al azar. 13. ¿Cuál es la probabilidad de que se obtengan cuatro ases? 14. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan tres ases y dos reinas? 15. ¿Cuál es la probabilidad de que se obtenga un par de reyes y un par de ases? 16. ¿Cuál es la probabilidad de que todas las cartas sean de diferente número? 17. ¿Cuál es la probabilidad de que todas sean rojas? 18. ¿Cuál es la probabilidad de que las cinco sean diamantes?

19. ¿Cuál es la probabilidad de que Leonardo no gane nin-

guno de los dos premios? 20. ¿Cuál es la probabilidad de que Carlos y Kevin ganen el

primer y el segundo lugar, respectivamente? 21. ¿Cuál es la probabilidad de que Arnoldo gane? PROBLEMA. Diez fichas numeradas del 1 al 10 se mezclan en una caja y se sacan dos de ellas al azar. 22. Escribir el espacio muestral de este experimento. 23. ¿Cuál es la probabilidad de que su suma sea diez? 24. ¿Cuál es la probabilidad de que el número mayor de los dos elegidos sea ocho? Si se sacan tres fichas, 25. ¿Cuántos resultados posibles se tienen? 26. ¿Cuál es la probabilidad de que los números escogidos sean consecutivos? PROBLEMA. La placa de un automóvil está formada por tres letras y tres números. Si se compra al azar un vehículo usado, 27. ¿Cuál es la probabilidad de que la placa termine en un número par? 28. ¿Cuál es la probabilidad de que la placa tenga las tres letras iguales? 29. Si los autos matriculados en Caracas tienen como primera letra la C, ¿cuál es la probabilidad de que el automóvil esté registrado en Caracas? La medida de pico y placa en la capital se ha venido reestructurando, de acuerdo con el último número de la placa del carro. 30. ¿Cuál es la probabilidad de que el auto que se compra tenga restricción los días lunes? 31. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga restricción los lunes y los miércoles?

19

UNIDAD 1 • PROBABILIDAD

PROBLEMA. El profesor de matemáticas del liceo decide es-

35. ¿Cuál es la probabilidad de que asistan dos hombres y

coger a tres de sus estudiantes para enviarlos a un curso de capacitación en primeros auxilios. En el curso hay 12 hombres y 18 mujeres. Si todos los estudiantes están en capacidad de asistir al curso y cuentan con la motivación suficiente, 32. ¿Cuántos grupos distintos de tres personas puede conformar el profesor? 33. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan elegidas 3 mujeres? 34. ¿Cuál es la probabilidad de que asistan solamente hombres?

una mujer? PROBLEMA. Se han seleccionado cuatro candidatos para realizar un comercial de televisión. El productor decide escoger dos de ellos al azar y, luego, realizarles una prueba. Los candidatos son: Sebastián, Fernando, Karina y Ana. 36. ¿Cuál es la probabilidad de que Sebastián sea seleccionado? 37. ¿Cuál es la probabilidad de que Ana no sea seleccionada? 38. ¿Cuál es la probabilidad de que escojan hombres?

ROBABILIDAD Y CONJUNTOS

El espacio muestral de un experimento aleatorio ha sido considerado un conjunto; además, los eventos definidos en ese espacio muestral pueden tomarse como subconjuntos del mismo. Por tal razón, es posible definir algunas propiedades de la probabilidad, de acuerdo con las operaciones y propiedades de los conjuntos.

4.1. Operaciones entre conjuntos y eventos Las operaciones usadas con mayor frecuencia en el cálculo de probabilidades son: • La unión de dos eventos A y B, notada A B, se lee “A o B”, es el evento formado por todos los resultados que están en A o en B o en ambos eventos. • La intersección de dos eventos A y B, notada A B, se lee “A y B”, es el evento formado por los elementos que están en A y en B. • El complemento de un evento A, notado Ac, es el conjunto de todos los resultados del espacio muestral S, que no están en el evento A. Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes o disyuntos si su intersección . es vacía, A B Las operaciones unión e intersección se pueden generalizar para más eventos, de igual forma para la definición de eventos disyuntos. Para calcular las probabilidades de una operación entre conjuntos es útil la representación de los eventos en un diagrama de Venn.

4.2. Algunas propiedades de la probabilidad Existen ciertas propiedades que permiten que la probabilidad de un evento se pueda calcular más fácilmente usando las operaciones entre conjuntos. Tales propiedades son: • Dados dos eventos, A y B, mutuamente excluyentes, se tiene que P(A B) P(A) P(B) • En general, si los dos eventos no son disyuntos, entonces P(A B) P(A) P(B) P(A B) • De la propiedad anterior se puede deducir la siguiente fórmula, sabiendo que los valores de las probabilidades son números, por lo cual es posible despejar: P(A B) P(A) P(B) P(A B) • Para cualquier evento A, se tiene que: P(Ac) 1 P(A).

20

© SANTILLANA

4P

MAT1 U1(7-30):MAT9(143-159,295-314) 09/04/12 02:41 p.m. Página 21

Ejercicio resuelto

A

B 10

75

25

S

Un estudio realizado en un centro de alto rendimiento deportivo determinó que de los 157 deportistas que allí entrenan, 100 son mujeres; 85 toman suplementos vitamínicos y 75 de los que toman dichos productos son mujeres. Si un deportista nuevo llega a este centro: a. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer o tome suplementos vitamínicos? b. ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre? c. ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre y no tome suplementos vitamínicos? d. ¿Cuál es la probabilidad de sea mujer y no tome suplementos vitamínicos?

47

SOLUCIÓN Figura 2

Sean A el evento que consiste en que el deportista toma suplementos vitamínicos y B el evento que consiste en que el deportista es mujer. Para este caso la representación en diagrama de Venn se muestra en la figura 2. 85 100 Del diagrama se puede ver que P(A)    0,541, P(B)    0,637, y, 157 157 75 P(A  B)    0,478. 157 a. Para el caso A  B representa el evento que consiste en que el deportista toma suplementos vitamínicos o es mujer. Luego, 100 75 85 110 P(A  B)  P(A)  P(B)  P(A  B)          0,7. 157 157 157 157 b. Considerar que el deportista es hombre equivale a decir que el deportista no es mujer, por lo tanto equivale a Bc. Luego, 57 100 P(Bc)  1  P(B)  1      0,363. 157 157 c. El evento que consiste en que el deportista es hombre y no toma suplementos vitamínicos es equivalente, en términos de conjuntos, a Ac  Bc. Por lo tanto: P(Ac  Bc)  P(Ac)  P(Bc)  P(Ac  Bc)  (1  P(A))  (1  P(B))  P(Ac  Bc) 85 100 82  1  1  157 157 157









72 57 82 47          0,3  30% 157 157 157 157 El valor de P(Ac  Bc) se obtiene del diagrama de Venn.

© SANTILLANA

d. En este caso se debe calcular P(Ac  B). Por tanto: P(Ac  B)  P(Ac)  P(B)  P(Ac  B) 72 25 100 147          0,16  16% 157 157 157 157

En algunos casos, los valores que se utilizan en el diagrama de Venn corresponden a las probabilidades y no al número de elementos que hay en cada conjunto.

21

UNIDAD 1 • PROBABILIDAD

Ejercicio resuelto

En una ruta de una vía central de la ciudad que tiene tres semáforos se calculan las probabilidades de que un automóvil se detenga en alguno de los tres semáforos. Sean: A el evento que consiste en que el automóvil se detenga en el primer semáforo, B el evento que consiste en que lo haga en el segundo y C el evento que consiste en que se detenga en el tercero. Se tiene que P(A) 0,25, P(B) 0,30 y P(C) 0,35. Además, se tiene que P(A B C) 0,05, P(A B) 0,15, P(A C) 0,1 y P(B C) 0,15. a. Elaborar un diagrama de Venn de esta situación. b. ¿Cuál es la probabilidad de que el automóvil no se detenga en ninguno de los tres semáforos? c. ¿Cuál es la probabilidad de que el automóvil se detenga por lo menos en alguno de los tres semáforos?

B

A

0,05 0,05

0,1 0,05 0,05

0,1 0,15 0,45 C

SOLUCIÓN

Figura 3

a. Para construir el diagrama de Venn, primero se ubica la intersección de los tres. Luego, se ubican las intersecciones de cada par de conjuntos teniendo en cuenta que ya se ubicó la de los tres. Finalmente, se ubica la probabilidad de cada conjunto teniendo en cuenta los dos valores que ya se escribieron. El diagrama se muestra en la figura 3. b. El evento que consiste en que el automóvil no se detenga en ninguno de los tres semáforos es equivalente al complemento de la unión de los tres, por tanto: P(A B C)c 1 0,55 0,45 c. Si el automóvil se detiene por lo menos en uno de los semáforos, equivale a la unión de los tres; por tanto, su probabilidad es de 0,55 55%.

4

EJERCITACIÓN. Usando las fórmulas para calcular las probabilidades de una operación entre conjuntos, resolver en cada caso. Se tiene que: P(A) 0,35 P(A B) 0,45 P(A B) 0,18 Calcular el valor de: 1. P(B) 2. P(Ac) c 3. P(B ) 4. P(Ac Bc) 5. Elaborar un diagrama de Venn de la situación. Para los eventos A, B y C se tiene la siguiente información: P(A) 0,32, P(A B C) 0,12, P(A B) 0,20 P(A B C)c 0,1, P(B C) 0,17, P(C) 0,23 P(A C) 0,02 Hallar los valores de: 6. P(B) 7. P(A B) 8. P(B C) 9. P(A Bc) 10. Elaborar un diagrama de Venn de la situación.

EJERCITACIÓN. Con base en el diagrama de Venn resolver cada

uno de los siguientes numerales: A

B 0,12

0,18

0,05

0,07 0,09

0,15 0,18

C

11. P(Bc

C) 12. P(A B)c 13. P(B C) 14. P(A Bc) c 15. P(A B C) 16. P(A B) (A C) PROBLEMA. En una esquina por la cual transitan los autos en una sola dirección, se tienen tres posibilidades de seguir: girar a la derecha, girar a la izquierda o seguir derecho. Se observó durante una mañana el comportamiento de los 89 autos que pasaron por allí.

22

© SANTILLANA

ACTIVIDADES

MAT1 U1(7-30):MAT9(143-159,295-314) 09/04/12 02:41 p.m. Página 23

ACTIVIDADES Los resultados obtenidos fueron: 35 de ellos siguieron derecho, 25 giraron a la derecha y los demás giraron a la izquierda. Si un auto llega a la esquina en horas de la tarde: 17. ¿Cuál es la probabilidad de que siga derecho? 18. ¿Cuál es la probabilidad de que gire a la izquierda o a la derecha? 19. ¿Cuál es la probabilidad de que siga adelante o gire? PROBLEMA. En un gimnasio se aplicó una encuesta a las personas que asisten con una frecuencia de tres o más veces a la semana. Los resultados arrojados dicen que: 35 personas han tomado hormonas para tonificar su cuerpo, 25 consumen fibra para fortalecer su masa muscular y 45 consumen bebidas energéticas para aumentar su capacidad física. 5 de las personas toman hormonas, fibra y bebidas energéticas, 12 consumen fibra y hormonas, 18 toman hormonas y bebidas energéticas y 16 prefieren bebidas energéticas y fibra. 20. Elaborar un diagrama de Venn con la información obtenida en la encuesta. 21. Si se selecciona una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no consuma ninguna de estas tres sustancias?

5P

ROBABILIDAD Y TABLAS DE CONTINGENCIA

22. ¿Cuál es la probabilidad de que no consuma hormonas? 23. ¿Cuál es la probabilidad de que no consuma hormonas

ni bebidas energéticas? 24. ¿Cuál es la probabilidad de que haya tomado hormonas pero no fibra? 25. ¿Cuál es la probabilidad de que no consuma fibra? En una de las regiones del país se determinó que la probabilidad de que un turista visitara este sitio por placer era de 0,57, y la probabilidad de que lo visitara exclusivamente por negocios es de 0,42. Además, se pudo determinar que el 35% de los turistas que visitaron la región por negocios decidieron permanecer algunos días más por placer. 26. Elaborar un diagrama de Venn con la información dada. 27. ¿Cuál es la probabilidad de que un turista seleccionado al azar no haga la visita en plan de placer ni de negocios? 28. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona no haga la visita por placer? 29. ¿Cuál es la probabilidad de que el turista no haga la visita por negocios? 30. ¿Cuál es la probabilidad de la visita se haga exclusivamente por negocios? 31. ¿Cuál es la probabilidad de que la visita se haga exclusivamente por placer?

A partir de la información suministrada en una tabla de doble entrada o de contingencia, es posible calcular las probabilidades de algunos eventos asociados con las variables representadas. Por ejemplo, la siguiente tabla relaciona el tipo de café que consume un grupo de 50 personas que asisten a una convención internacional y la procedencia de cada una de ellas. Tipo de café Procedencia

Negro Marrón

© SANTILLANA

PARA RESPONDER Hallar las probabilidades para cada uno de los siguientes eventos: ser americano, preferir café marrón y preferir café con leche.

con leche

Total

Europa América

13 12

11 2

8 4

32 18

Total

25

13

12

50

A partir de la tabla se puede concluir, entre otras cosas, que 13 personas proceden de Europa y prefieren la café negro. Si se consideran los eventos A: la persona procede de Europa y B: la persona consume café negro, entonces se tiene que: 32 25 13 P(A)   , P(B)   , y P(A  B)   . De aquí se puede concluir que: 50 50 50 25 13 44 32 P(A  B)  P(A)  P(B)  P(A  B)          0,88  88% 50 50 50 50

23

UNIDAD 1 • PROBABILIDAD

La información de las probabilidades de las intersecciones se puede obtener de las tablas de contingencia de frecuencias relativas.

Ejercicio resuelto 1. Para una cierta población de personas con discapacidad se relacionó la siguiente información en el reporte anual de los hospitales de la ciudad. Tipo de incapacidad Hospital

Dependencia Brazos Piernas General M.S.D.S. I.V.S.S. Inager

50 35 75

82 45 90

15 25 38

Si se selecciona un paciente al azar de los que se incluyeron en el reporte: a. ¿Cuál es la probabilidad de que su incapacidad no sea en las piernas? b. ¿Cuál es la probabilidad de que provenga del hospital del M.S.D.S. o del Inager? c. ¿Cuál es la probabilidad de que provenga de un hospital del Inager y tenga discapacidad en sus brazos? SOLUCIÓN La tabla de contingencia de frecuencias relativas del tipo de incapacidad y el hospital de procedencia es: Tipo de incapacidad

Hom

120

Mujer

352

0,1802 0,0989 0,1978 0,4769

0,0330 0,0549 0,0835 0,1714

0,3231 0,2308 0,4462 1,0000

Total de la muestra 445 personas

Cien.

260

183

458

435

250

105

Tabla 1

0,1099 0,0769 0,1648 0,3516

a. Sea A el evento que consiste en que la incapacidad está en las piernas. Se debe calcular el complemento del evento A, es decir, que la persona seleccionada al azar no tenga incapacidad en las piernas. Por tanto, P(Ac) 1 P(A) 1 0,4769 0,5231 52,31% b. Sean B y C los siguientes eventos: B: la persona proviene de un hospital del M.S.D.S. C: la persona seleccionada proviene de un hospital del Inager. Se tiene que B C , es decir que los eventos B y C son disyuntos. Por lo tanto: P(B C) P(B) P(C) 0,3231 0,4462 0,7693 76,93% c. Se definen los eventos D: la persona proviene de un hospital del Inager y E: la persona tiene su discapacidad en los brazos. Para calcular la probabilidad del evento D E basta con observar la tabla. Por lo tanto: P(D E) 0,1648 16,48%

Facultad Artes Derecho Hum.

M.S.D.S. I.V.S.S. Inager Total

Total

2. En una universidad de la ciudad se reportó el consolidado de las facultades a las cuales se presentaron el mayor número de aspirantes y su género. Los resultados se muestran en la tabla 1.

24

© SANTILLANA

I.V.S.S.

Dependencia Brazos Piernas General

MAT1 U1(7-30):MAT9(143-159,295-314) 09/04/12 02:41 p.m. Página 25

Ejercicio resuelto

Artes Derecho Hum. Hom

Cien.

To t a l

0,055

0,120

0,085 0,212 0,472

Mujer 0,163

0,201

0,116 0,049 0,528

Total

0,321

0,20

0,218

0,26

Si se selecciona a un aspirante al azar, a. ¿Cuál es la probabilidad de que no se haya presentado a la facultad de artes o sea mujer? b. ¿Cuál es la probabilidad de que no se haya presentado a la facultad de ciencias o no sea mujer? SOLUCIÓN

1,000

La tabla 2, muestra las frecuencias relativas del problema. a. Sean los eventos A: el aspirante seleccionado se presentó a la facultad de artes y B: el aspirante es mujer. Se debe calcular: P(Ac  B)  P(Ac)  P(B)  P(Ac  B)  (1  0,218)  0,528  (0,201  0,116  0,049)  0,944 Para calcular P(Ac  B) se deben sumar las probabilidades de que sean mujeres y se hayan presentado a facultades distintas a la de arte. b. Al considerar los eventos, C: el aspirante seleccionado se presentó a la facultad de ciencias y D: el aspirante no es mujer, entonces: P(Cc  Dc)  P(Cc)  P(Dc)  P(Cc  Dc)  (1  0,26)  (1  0,528)  (0,055  0,120  0,085)  0,952

Tabla 2

ACTIVIDADES

5

PROBLEMA. La siguiente tabla relaciona el género de un grupo de personas con el estado de ánimo luego de ver la última película de cine nacional.

Género

Estado de ánimo Alegre Triste Normal Deprimido Hombre Mujer

15 10

45 12

35 30

4 28

Si se selecciona una persona al azar, calcular la probabilidad de que: 1. No sea mujer o se sienta deprimida. 2. Se sienta triste o deprimida. 3. Sea mujer o se sienta alegre. 4. No se sienta normal. 5. Sea hombre o se sienta alegre. PROBLEMA. La siguiente tabla muestra los equipos favoritos para ganar el próximo mundial de fútbol y el tipo de periodista que respondió a la pregunta.

6. ¿Cuál es la probabilidad de que un periodista que contestó la encuesta tenga como favorito a Brasil? 7. ¿Cuál es la probabilidad de que el periodista sea de radio o de revista? 8. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo favorito sea suramericano? 9. ¿Cuál es la probabilidad de que el equipo favorito sea europeo? 10. ¿Cuál es la probabilidad de que al seleccionar un periodista, este no trabaje en la radio? PROBLEMA. En un estudio se determinó el género de la persona que conduce y la cantidad de pasajeros en el vehículo. Los resultados fueron: 16 12

Equipo

© SANTILLANA

4 2 2 1

12 15 4 3

8 5 4 6

12

10

9

8

8 6

6

5

4 2

Periodista Radio T.V. Revista Brasil Alemania Francia Italia

Hombre Mujer

15

14

0 1

2a4

Más de 4

No. de pasajeros

11. ¿Cuál es la probabilidad de que un conductor elegido

lleve entre 1 y 4 pasajeros? 12. ¿Cuál es la probabilidad de que un conductor elegido sea

hombre o lleve más de 4 pasajeros?

25

MAT1 U1(7-30):MAT9(143-159,295-314) 09/04/12 02:41 p.m. Página 26

UNIDAD 1 • PROBABILIDAD

PROBLEMA. Se realizó una encuesta a los ejecutivos de una empresa nacional sobre el tipo de automóvil preferido,

c: cupé, s: sedán, n: camioneta. Los resultados se registraron en la siguiente tabla teniendo en cuenta el género de la persona, h: hombre, m: mujer. Persona 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Género h h h m h h h h m m m m h m h m m m m h h h h h m Auto s c s c s s s n c c n s s n c n c c c s n c c n s Persona 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Género h m m h h m m m m m h h m m m m h m h h m h h m m Auto s s n n s s c c n c s s s n c s n c n s n c c n s 13. Elaborar una tabla de doble entrada para las dos variables, género y tipo de auto preferido.

Si se selecciona al azar uno de los ejecutivos, 14. ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre? 15. ¿Cuál es la probabilidad de que prefiera las camionetas? 16. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer o prefiera un automóvil cupé? 17. ¿Cuál es la probabilidad de que no le gusten los automóviles tipo sedán? 18. ¿Cuál es la probabilidad de que no sea hombre y no le guste el auto tipo camioneta?

6P

ROBABILIDAD CONDICIONAL

En ocasiones es necesario calcular la probabilidad de un evento sujeto a alguna condición o a algún otro evento que ya ocurrió. Por ejemplo, si se considera el ejercicio en cual hay una vía principal en la que existen dos semáforos. Al pasar un vehículo por esta vía se pueden definir dos eventos: el evento A, que consiste en que el auto se detenga en el primer semáforo y B, el evento que consiste en que el auto se detenga en el segundo semáforo. Es posible considerar la probabilidad de que el vehículo se deba detener en el segundo semáforo sabiendo que se detuvo en el primero. En este caso, se establece una condición que está representada por el conjunto A. Es decir, se quiere conocer la probabilidad de que ocurra el evento B, sabiendo que ya ocurrió el evento A. La probabilidad condicional se define para dos eventos A y B, en la cual uno de ellos hace el papel de condición sobre el otro. Es decir, se debe considerar que uno de los dos eventos ya ocurrió y se quiere saber qué pasa con el otro. Dados dos eventos A y B, se llama la probabilidad condicional de A dado B (se simboliza P(A|B) y se lee “la probabilidad de A dado B”) a: P(A  B) P(A  B) P(A|B)   , o, P(B|A)   P(B) P(A) En donde el evento B ya ocurrió y se quiere calcular la probabilidad de A o el evento A ya ocurrió y se quiere calcular la probabilidad de B.

Ejercicio resuelto 1. Para conformar el comité de emergencias del liceo, se presentaron cuatro candidatos: Luisa, Marina, Carlos y Eleonora. Se decidió que se haría la primera votación entre los miembros de la comisión y quien ganara sería el presidente. Luego, se haría una nueva votación entre los tres candidatos que quedaran y el de mayor votación sería el coordinador.

26

MAT1 U1(7-30):MAT9(143-159,295-314) 09/04/12 02:41 p.m. Página 27

a. Si se sabe que el presidente fue Carlos, ¿cuál es la probabilidad de que Marina sea la coordinadora? b. Si se sabe que el coordinador fue una mujer, ¿cuál es la probabilidad de que el presidente sea una mujer también? SOLUCIÓN





(L, M), (M, L), (L, C), (C, L), S  (L, E), (E, L), (M, C), (C, M), (M, E), (E, M), (C, E), (E, C)

ALGO IMPORTANTE Cuando se utilizan diagramas de Venn o tablas de contingencia, el procedimiento es igual: basta con identificar los dos eventos relacionados y determinar cuál de los dos es la condición sobre el otro.

B

A

© SANTILLANA

0,23

0,35

0,07

0,35

El espacio muestral del experimento, que consiste en elegir presidente y coordinador de la comisión, se debe construir sabiendo que existe orden y que además no hay repeti-ción. Si se considera que L: Luisa, M: Marina, C: Carlos, y E: Eleonora, se construye el espacio muestral como se observa al lado. a. Se definen los eventos A: el presidente es Carlos y B: el coordinador es Marina. En este caso, se sabe que el presidente es Carlos, es decir, que este evento ya ocurrió. Luego, A es la condición sobre B. Del espacio muestral se tiene que: 1 3 A  B  {(C, M)}, P(A  B)   A  {(C, L), (C, M), (C, E)}, P(A)   12 12 1 1 P(A  B) 12 De la fórmula se tiene que P(B|A)        0,333  33,3% P(A) 3 3 12 La probabilidad de que Marina sea la coordinadora, si el presidente es Carlos, es de 33,3%. b. Sean los eventos A: el presidente del comité es mujer y B: el coordinador de la comisión es mujer. Del espacio muestral se tiene que: 6 A  B  {(L, M), (M, L), (L, E), (E, L), (M, E), (E, M)}, P(A  B)   12 B  {(L, M), (M, L), (C, L), (L, E), (E, L), (C, M), (M, E), (E, M), (C, E)} 9 P(B)   12 6 6 P(A  B) 12   0,666  66,6% Por tanto, P(A|B)      P(B) 9 9  12 Si ya se sabe que el coordinador fue una mujer, la probabilidad de que el presidente de la comisión sea mujer es de 66,6%. 2. En un concesionario funciona una oficina de venta de seguros para automóvi-les. Se ha determinado que la probabilidad de que un cliente compre su auto-móvil en el concesionario es de 0,58, la probabilidad de que un cliente compre una póliza de seguro contra todo riesgo de su auto es de 0,42 y la probabilidad de que el cliente compre el auto y el seguro en el concesionario es de 0,35. Si llega un cliente al concesionario y compra el auto, ¿cuál es la probabilidad de que compre el seguro allí? SOLUCIÓN La situación se muestra en el diagrama de Venn de la figura 4, donde A es el evento que consiste en que el cliente compra el automóvil en el concesionario y B el evento que consiste en que el cliente compra el seguro allí. Se sabe que el cliente compró el auto, entonces A es el evento condición. Luego, se tiene que: P(A  B) 0,35 P(B|A)      0,603 P(A) 0,58

27

Los números combinatorios son de mucha utilidad en la matemática, como se 2)6. Binomios que observa en la resolución de binomios, por ejemplo: (x Newton trabajó, por ello lo llamamos Binomios de Newton.

7.1. Triángulo de Tartaglia

7 TT

RIÁNGULO DE ARTAGLIA

El matemático italiano Tartaglia construyó un triángulo con números combinatorios, donde quedaban reflejadas las propiedades de esos números. 0

1

1

1

1 1

2

2

2

0

1

2

1 2 1

3

3

3

3

0

1

2

3

1 3 3 1

4

4

4

4

4

0

1

2

3

4

1 4 6 4 1

PARA RESPONDER

En cualquiera de estos triángulos se observa que:

¿Puedes calcular el termino k, con 0 k n, sin desarrollar el binomio (3x+1)12?

• En cada fila, los términos equidistantes de los extremos son iguales. • Cada término de una fila (excepto los dos extremos) es igual a la suma de los dos que tienen encima. • La suma de los números de la fila n es 2n.

7.2. Binomio de Newton Para desarrollar un binomio de la forma (a (a

b)n

n 0

an b0

n 1

an 1 b1

n 2

b)n se prodece así: n a1 bn 1 n 1

an 2 b2 ...

n n

a0 bn

Ejercicio resuelto Resolver los siguientes binomios: 6 6 0 6 5 1 6 4 2 a. (x 2)6 x 2 x 2 x 2 0 1 2

6 3 3 x 2 3

6 2 4 x 2 4

6 1 5 x 2 5

6 0 6 x 2 6

1 x6 1 6 x5 2 15 x4 20 x3 8 15 x2 16 6 x1 32 1 x0 64 x6 12x5 60x4 160x3 240x2 192x 32 1)5

5 (2x)5 10 0

5 (2x)4 11 1

5 (2x)3 12 2

5 (2x)2 13 3

1 32x5 5 16x4 10 8x3 10 4x2 5 2x1 1 32x5 80x4 80x3 40x2 10x 1

28

5 (2x)1 14 4

5 (2x)0 15 5

© SANTILLANA

b. (2x

MAT1 U1(7-30):MAT9(143-159,295-314) 09/04/12 02:41 p.m. Página 29

UNIDAD 1 • PROBABILIDAD

ACTIVIDADES

6

EJERCITACIÓN. Aplicando las definiciones de probabilidad

16. Si se observa que es un asistente habitual, ¿cuál es la pro-

condicional, resolver Si se tiene que: 1 1 1 P(A  B)   , P(B)   , P(A  B)   , hallar: 8 2 4

babilidad de que sea mujer? 17. Si se observa que es una mujer, ¿cuál es la probabilidad de que no sea un asistente habitual? 18. Si se observa que no es un cliente habitual, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? PROBLEMA. En un estudio realizado a un grupo de 50 adolescentes, se observó que 30 habían practicado alguna vez el paint ball, 12 de ellos habían jugado bolos y 5 de ellos habían realizado las dos actividades. Además, 30 de ellos vivían en un apartamento; 7 de ellos vivían en un apartamento y habían practicado paint ball, y 1 de ellos vivía en apartamento y había efectuado las dos actividades.

1. P(A|B)

2. P(A)

3. P(B|A)

4. Si se sabe que P(A|B)  0,25, y, P(A  B)  0,17, hallar

la probabilidad de que ocurra B. De acuerdo con el siguiente diagrama de Venn, resolver: 5. P(A|B) B A 0,05 0,1 0,12 6. P(A|C) 0,03 0,09 7. P(B|C) 0,15 8. P(C|A) 0,25 C 9. P(C|B) PROBLEMA. La tabla muestra la información suministrada por el médico del colegio para un curso en particular.

© SANTILLANA

Color de cabello

Color de ojos

Castaño Negro Rubio Rojo

Verde

Azul

12 10 4 9

6 5 12 9

Marrón Negro 1 1 5 8

2 18 1 2

Al seleccionar un estudiante de este curso al azar, 10. Si se observa que tiene los ojos negros, ¿cuál es la probabilidad de que tenga el cabello castaño? 11. Si el estudiante seleccionado tiene el cabello rubio, ¿cuál es la probabilidad de que sus ojos sean verdes? 12. Si tiene los ojos azules, ¿cuál es la probabilidad de que tenga los ojos color marrón? 13. Si el estudiante tiene el cabello rojo, ¿cuál es la probabilidad de que el color de sus ojos sea negro? PROBLEMA. De las personas que asisten regularmente a las carreras de motos en el autódromo se observó que el 38% eran mujeres. También se observó que de los asistentes a las carreras, el 57% eran visitantes asiduos. Se concluyó, además, que el 28% de los asistentes habituales eran mujeres. 14. Representar esta situación en un diagrama de Venn. 15. Si una persona llega a la carrera el domingo siguiente y es un hombre, ¿cuál es la probabilidad de que sea un asistente habitual?

19. Representar esta situación en un diagrama de Venn.

Si se selecciona al azar uno de los adolescentes de este grupo y se tiene que vive en un apartamento, 20. ¿Cuál es la probabilidad de que haya practicado el paint ball? 21. ¿Cuál es la probabilidad de que haya jugado bolos? Si se escoge una persona que haya jugado paint ball: 22. ¿Cuál es la probabilidad de que viva en un apartamento? 23. ¿Cuál es la probabilidad de que haya jugado bolos? Si la persona seleccionada ha jugado bolos: 24. ¿Cuál es la probabilidad de que haya practicado paint ball? 25. ¿Cuál es la probabilidad de que viva en un apartamento? Si la persona seleccionada no ha jugado bolos 26. ¿Cuál es la probabilidad de que no viva en un apartamento? 27. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya practicado paint ball?

29

MAT1 U1(7-30):MAT9(143-159,295-314) 09/04/12 02:41 p.m. Página 30

DEPORTES

Probables resultados Actualmente, en muchos deportes el componente matemático torna interesante los resultados. Un ejemplo, no muy sencillo, se observa en el golf y en los bolos. 1 • La probabilidad de hacer un “hoyo en uno” en golf es de 33 000 contra 1, es decir,  . 33 000 • La probabilidad de hacer un puntaje de 300, es decir 12 moñonas seguidas (para una persona de juego medio), es de 4 000 contra 1 (antes, la probabilidad de hacer este puntaje era de 89 000 contra 1).

Calcular todo esto para los bolos es mucho más fácil que para el golf, aunque tal vez dependa de datos oficiales y no oficiales (aparte de las puras matemáticas). Sin saber de dónde sale el dato de 33.000 contra 1 del golf, puede imaginarse que alguien ha cogido todos los hoyos en uno “oficiales” de un año dado, ya sea en el mundo o en su país, y los ha dividido por el número de hoyos jugados por todos los jugadores en todas las competiciones oficiales. Obviamente, la habilidad para hacer un hoyo en uno dependerá de cada jugador, y ahí sí que es muy difícil calcular más.

En los bolos se podría hacer prácticamente lo mismo: coger las tablas de resultados de la PBA (Federación Americana de Bolos), dividir las partidas de 300 puntos por el número total de partidas jugadas y obtener el dato.

En el básquet, cada uno de los jugadores de la NBA tiene asociada una probabilidad de efectividad que se relaciona con la probabilidad de acertar al realizar el siguiente lanzamiento. Este índice de efectividad se calcula sumando los puntos anotados en cada partido y dividiéndolos por los puntos anotados por el equipo en ese partido. A continuación se muestran los resultados para un jugador de la NBA en la temporada pasada:

Partido 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Puntos anotados 25 12 4 12 26 32 20 4 19 5 19 32 27 15 por el jugador Puntos anotados 100 98 97 102 89 105 96 98 106 100 97 105 99 106 por el equipo

5. Si se observa en la tabla, el partido en el que más puntos anotó fue el sexto. La probabi32 lidad de que anotara 32 puntos fue de   0,3047. 105 ¿Cuál es la probabilidad de que anote 32 puntos en los siguientes 12 partidos?

30

© SANTILLANA

1. Calcular la probabilidad de anotar en cada uno de los partidos. 2. Calcular la probabilidad de anotar en todos los partidos. Sumar la totalidad de puntos anotados y dividir por el número de puntos anotados en todos los partidos por el equipo. 3. ¿Cuál es el porcentaje de efectividad del jugador? 4. Si en el siguiente partido, al saltar en la primera jugada sufre una lesión, por lo cual es sustituido sin anotar ningún punto, ¿cuál es su nuevo promedio de efectividad?

UNIDAD

2

Funciones

TEMAS

1.F 2.R 3.F 4.F

UNCIÓN.

No es tan difícil como se piensa...

EPRESENTACIÓN DE FUNCIONES.

UNCIÓN DE VARIABLE REAL.

UNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA.

5.F

UNCIONES DEFINIDAS A TROZOS.

• PUENTES COLGANTES. • RELACIÓN ENTRE SOLUBILIDAD

Punto de altura máxima

4,9t2

La expresión h(t) 4,9t representa la relación entre la altura h (medida en metros), alcanzada por un objeto que se lanza verticalmente hacia arriba, con respecto al tiempo t (medido en segundos). Determinar: a. El tiempo que tarda en regresar al punto de lanzamiento. b. La altura máxima alcanzada.

Altura máxima

Punto de lanzamiento

Y TEMPERATURA.

PROBLEMA RESUELTO PÁG. 51

LA MATEMÁTICA EN LA HISTORIA

El concepto de función En los trabajos de Leonhard Euler (1707-1783), aparece por primera vez el concepto de función y de manera explícita la notación f(x). Euler definió la función como cualquier expresión analítica con cantidad variable, números y cantidades constantes. Sin embargo, en trabajos sobre conjuntos numéricos, Gottfried Leibniz (1646-1716) había hecho referencia a funciones, así como Johann Bernoulli (1667-1748), quien había definido el concepto de función como una cantidad formada de cualquier manera por variables y constantes. La definición del concepto de función ganó precisión a lo largo del desarrollo histórico de las matemáticas. Es así, que Peter Dirichlet (1805-1859) definió función de la siguiente manera: “Si una variable y está relacionada con otra variable x de tal manera que siempre que se atribuya un valor numérico a x, hay una regla según la cual queda determinado el valor de y. Entonces, se dice que y es una función de la variable independiente x”.

1F

En muchas situaciones de la vida cotidiana se presentan relaciones entre cantidades, en las cuales una de ellas depende de las otras. Por ejemplo, la altura que alcanza el nivel de agua en el recipiente cónico de la figura 1 depende del tiempo que transcurre y de la rapidez con la cual el grifo suministra el agua. El estudio de la dependencia de una cantidad con respecto a otras se hace a partir del concepto de función.

UNCIÓN

1.1. Concepto de función. Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X, un único elemento de un conjunto Y. Se denota f: X → Y Se lee la función f del conjunto X en el conjunto Y h

x

Imagen: y

1 2 3 4 5

4 5 6 7 8

Tabla 1

f: X → Y 1→4 2→5 3→6 4→7 5→8

es es es es es

(1 (2 (3 (4 (5

3) 3) 3) 3) 3)

En este caso, la función f está definida por la regla “sumar 3 al número”. • Al elemento y Y que corresponde a cada valor de x X se le llama la imagen de x por la función f. En la tabla 1 se muestra la imagen en Y de cada elemento del conjunto X. • Las funciones se pueden expresar mediante fórmulas algebraicas de la forma y f(x), lo cual se lee “y es igual a f de x”.

32

© SANTILLANA

Figura 1

A continuación se definirán algunos conceptos importantes dentro del manejo de las funciones. Para los conjuntos X {1, 2, 3, 4, 5} y Y {4, 5, 6, 7, 8}, se puede definir la función f del conjunto X en el conjunto Y, como

UNIDAD 2 • FUNCIONES

ALGO IMPORTANTE Imágenes de los elementos de X en Y f(x) x 3 f(1) 1 3 4 f(2) 2 3 5 f(3) 3 3 6 f(4) 4 3 7 f(5) 5 3 8

Conjunto de partida

X

Conjunto de llegada

Y

f

4

1

5

2

6 7 8

3 4

Figura 2

Por ejemplo, la fórmula algebraica de la función cuya regla es “sumar 3 al número”, se puede expresar como f(x) x 3. De esta manera, se puede determinar la imagen de cada valor de x como se muestra al lado. • En la expresión y f(x), y depende de x, por esta razón a la variable x se le llama variable independiente y a la variable y se le llama variable dependiente. • Una función se puede representar como conjunto de parejas ordenadas; a este conjunto se le llama grafo de la función. f {(x, y)/y f(x)} Así, el grafo de la función f(x) x 3 definida del conjunto X {1, 2, 3, 4, 5} en el conjunto Y {4, 5, 6, 7, 8}, es f {(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7), (5, 8)}. • Si una función se define de un conjunto X en un conjunto Y, al conjunto X se le llama conjunto de partida y al conjunto Y se le llama conjunto de llegada. • Las funciones también se pueden representar mediante un diagrama sagital, formado por un conjunto de partida, un conjunto de llegada y unas flechas que relacionan cada elemento del conjunto de partida con su correspondiente elemento (imagen) en el conjunto de llegada. En la figura 2, se presenta el diagrama sagital de la función f {(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7)} definida del conjunto de partida X {1, 2, 3, 4} en el conjunto de llegada Y {4, 5, 6, 7, 8}.

Ejercicio resuelto

PARA RESPONDER Si se define una función f: X → Y, ¿los conjuntos X y Y deben tener el mismo número de elementos?

1. Determinar en cada caso, si el conjunto de parejas ordenadas corresponde a una función del conjunto X en el conjunto Y. a. X {1, 2, 3, 4, 5}, Y {0, 1, 2, 3, 4, 5} h {(1, 0), (2, 0), (3, 0), (4, 0), (5, 0)} b. X {1, 2, 3, 4, 5}, Y {2, 4, 6, 8} g {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)} c. X {1, 2, 3, 4, 5}, Y {5, 10, 15, 20, 25} f {(1, 5), (1, 10), (2, 15), (3, 20), (4, 25), (5, 25)} SOLUCIÓN

© SANTILLANA

ALGO IMPORTANTE Las funciones se pueden representar con diferentes letras: f, g, h, entre otras.

a. h {(1, 0), (2, 0), (3, 0), (4, 0), (5, 0)} representa una función del conjunto X en el conjunto Y, porque a cada elemento del conjunto X le corresponde un único elemento del conjunto Y. b. g {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)} no representa una función porque el elemento 5 que pertenece al conjunto X no tiene imagen por g en el conjunto Y. c. f {(1, 5), (1, 10), (2, 15), (3, 20), (4, 25), (5, 25)} no representa una función porque al elemento 1 que pertenece al conjunto X le corresponden dos imágenes, 5 y 10, en el conjunto Y.

33

ALGO IMPORTANTE La expresión f: → f(x) 2x 1 Se lee como la función f del conjunto de los enteros en el conjunto de los enteros definida mediante la expresión algebraica f(x) 2x 1.

2. Dada la función f: a. f(2), f( 1)

→ , f(x) 2x 1. Determinar: b. El conjunto de imágenes de la función.

SOLUCIÓN a. f(2) 2 2 1 5 f( 1) 2 ( 1) 1 1 b. A cada número entero le corresponde un número impar. Por tanto, el conjunto de imágenes está formado por los números enteros impares. A continuación, se representa la función mediante un diagrama de flechas. Conjunto de partida 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

8 7 6 5 4

3 2 1 0 1 2

3

4 5 6 7 8

9

10

11

Conjunto de llegada

1.2. Dominio de una función El dominio de una función f: X → Y es el conjunto formado por las primeras componentes de las parejas que pertenecen al conjunto f {(x, y)/y f(x)}. Se simboliza

Dom f

{x/(x, y)

f}

El dominio de la función coincide con el conjunto de partida. Por ejemplo, el dominio de la función f {(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7), (5, 8)} definida del conjunto X {1, 2, 3, 4, 5} en el conjunto Y {4, 5, 6, 7, 8}, es Dom f {1, 2, 3, 4, 5}. Cuando una función está definida mediante una fórmula matemática, el dominio de la función está constituido por todos los números para los cuales la fórmula está definida. Por esta razón, se deben tener en cuenta algunas restricciones tales como: las divisiones entre cero, las raíces pares de números negativos, los logaritmos con argumentos negativos y las funciones exponenciales con base menor o igual que cero, entre otras.

Ejercicio resuelto Determinar el dominio de las funciones definidas mediante las siguientes fórmulas algebraicas. a. f(x)

1 x

b. g(x)

x

1

c. h(x)

3x

PARA RESPONDER ¿El conjunto de imágenes de una función coincide con el conjunto de llegada?

a. Puesto que el denominador no puede ser igual a cero, el dominio de la función {0}. es el conjunto de los reales sin incluir el cero. Es decir, Dom f b. Puesto que no existe la raíz cuadrada de los números negativos, la expresión x 1 debe ser mayor o igual que cero; en consecuencia, los valores de x deben ser mayores o iguales que 1, por tanto, Dom g {x /x 1}. c. El producto 3x no tiene ninguna restricción, por lo tanto, Dom h .

34

© SANTILLANA

SOLUCIÓN

UNIDAD 2 • FUNCIONES

1.3. Rango de una función

RECORDAR QUE Los conjuntos codominio y rango de una función pueden ser distintos, pues el codominio es el conjunto de llegada, mientras que el rango es un subconjunto del codominio.

El rango de una función f: X → Y es el conjunto formado por las segundas componentes de las parejas ordenadas que pertenecen a la función. Se simboliza

Rg f

{y/(x, y)

f}.

De lo anterior se deduce que el rango de una función es el conjunto de imágenes de la función. Al conjunto de llegada de una función se le llama codominio de la función. Por ejemplo, para la función f {(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7)} definida del conjunto X {1, 2, 3, 4} en el conjunto Y {4, 5, 6, 7, 8}, el rango es Rg f {4, 5, 6, 7}, mientras que el conjunto de llegada o codominio es Y {4, 5, 6, 7, 8}.

Ejercicio resuelto Determinar el rango de las funciones definidas mediante las siguientes fórmulas algebraicas. 1 a. f(x) b. g(x) x 1 c. h(x) 3x x SOLUCIÓN a. Si f(x)

1 , se tiene que y x

1 . Como el denominador es diferente de cero, x {0}.

entonces y es diferente de cero, luego Rg f

b. Si g(x) x 1, se tiene que y x 1. Como x 1, es positivo o igual a cero, entonces los valores de y únicamente pueden ser positivos o cero, en consecuencia, Rg g {0}. c. Si h(x) 3x, se tiene que y 3x. Como x pertenece a los reales, entonces 3x pertenece a los reales. En consecuencia, Rg h .

1

ACTIVIDADES

MODELACIÓN. Escribir la regla que asigna a cada elemento del conjunto A un único elemento del conjunto B. 1.

f

A

2.

B 1

25

4

2

10

10

18

9

50

20

© SANTILLANA

3. 4.

f 0

A

B

1 2 3 2

0 7 28 9

EJERCITACIÓN. En cada caso hallar las imágenes pedidas.

{(0, 1), (2, 5), (1, 3), (4, 9), (3, 7)} 1

2

3

4

5

6

A h

B 0

1

2

3

4

5

6

RAZONAMIENTO. Sean M {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} y N {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}, determinar si cada conjunto corresponde a una función de M en N. 5. C {(0, 0), (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10), (6, 12)} 6. D {(0, 0), (2, 2), (4, 4), (6, 6)} 7. E {(0, 14), (1, 12), (2, 10), (3, 8), (4, 6), (5, 4), (6, 2)} 8. F {(0, 0), (1, 2), (2, 14), (0, 8), (3, 6), (4, 8)} 9. G {(3, 0), (3, 2), (3, 4), (3, 6), (3, 8), (3, 10), (3, 12), (3, 14)}

10. f(x)

x

11. f(x)

x2

12. f(x)

35

4

x

x x2

1

f( 1)

f(0)

f( 3)

f(1)

f( 2)

f(0)

f(10) 1 f 2 f(4)

ACTIVIDADES RAZONAMIENTO. Escribir un ejemplo si la afirmación dada es verdadera o un contraejemplo si es falsa. 13. El rango de una función siempre es el conjunto de llegada. 14. El rango de una función es el subconjunto del codominio. 15. Para poder definir una función, el dominio y el codominio deben tener el mismo número de elementos. 16. Una función se define de un conjunto más grande, que es el dominio, a uno más pequeño, que es el codominio. 17. El dominio y el codominio de una función representan el mismo conjunto, o por lo menos conjuntos con igual número de elementos.

EJERCITACIÓN. Hallar las imágenes pedidas en cada caso.

RAZONAMIENTO. Escribir las restricciones que se presentan para el dominio de cada función.

28. f(x)

1 x

20. f(x)

x 1

22. f(x)

x2

24. f(x)

1 x 2x

1

3 x

1

19. f(x)

x

21. f(x)

1 x2

23. f(x) 25. f(x)

x3 x2 x

27. f(x)

0

7

si x

0

x2

si x

0

1 si x x2

0

x2 x2 x2

1 si x si x 1 si x

1 2

f(0), f(1), f

f( 1), f

0 0 0

3 ,f 4

1 5

f(0), f( 3), f(7)

*

x2

PARA PENSAR. Escribir en cada caso una función que represente la situación dada. 29. El perímetro de un hexágono en función de sus lados. 30. El área de un rombo en función de su diagonal mayor. 31. El volumen de una esfera en función de su radio. 32. El perímetro de un cuadrado en función de su diagonal. 33. El área de un hexágono en función de su perímetro.

x

1 1

1.4. Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas 1.4.1. Función inyectiva Una función es inyectiva o uno a uno si a cualquier par de elementos distintos del dominio les corresponden imágenes distintas en el conjunto de llegada. Es decir, ningún elemento del conjunto de llegada es imagen de dos elementos distintos del dominio.

En el diagrama 1 se muestra una función f definida del conjunto X {1, 2, 3, 4, 5} en el conjunto Y {6, 7, 8, 9, 10, 11}. La función f es inyectiva porque cada elemento del rango es imagen, como máximo, de un solo elemento del dominio. La función g, del diagrama 2 definida del conjunto A {1, 2, 3, 4, 5} en el conjunto B {7, 9, 10, 11} no es inyectiva, puesto que 7 es imagen de dos elementos del dominio: 1 y 2. Esto es, f(1) 7 y f(2) 7. X

f

6

1

8

3

9

4

10

5

11

36

g

B

1

7

2

Diagrama 1

A

Y

2

Diagrama 2

7

3 4 5

9 10 11

© SANTILLANA

18. f(x)

26. f(x)

1 si x x

UNIDAD 2 • FUNCIONES

Ejercicio resuelto

1. Determinar si las siguientes funciones son inyectivas. a. f {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 4)} definida del conjunto X {1, 2, 3, 4} en el conjunto Y {2, 3, 4} b. g {(2, 4), (3, 5), (4, 6)} definida del conjunto A {2, 3, 4} en el conjunto B {3 ,4, 5, 6}

ALGO IMPORTANTE Una función es inyectiva si se cumple que Si x y y pertenecen al dominio de la función y x y, entonces f(x) f(y)

SOLUCIÓN a. La función f no es inyectiva porque 4 es imagen de dos elementos del dominio, es decir, f(3) f(4) 4 4 X

f

1

g

B

3 2

3 4

2

A

Y

Dominio 0

b. La función g es inyectiva puesto que cada elemento del rango es imagen a lo más de un solo elemento del dominio.

5

6

8

7

4

1 2 2 3

3 5 4

3

6

4 4

0

3 4

2

1

5

9

7 8

6

Conjunto de llegada

2. Determinar si las siguientes funciones son inyectivas. a. g(x) 2x 1 b. f(x) x2

Figura 3 Dominio 1

1

0

1

0

1

2

2

4

3

5

4

3

5

6

6

7

8

7

9

8

9

Conjunto de llegada

Figura 4

SOLUCIÓN a. En el diagrama de flechas (figura 3) se muestran algunas parejas de la función g(x) 2x 1, la cual es inyectiva porque cada elemento del conjunto de llegada es imagen de un solo elemento del dominio. b. El diagrama de flechas (figura 4) muestra que la función f(x) x2 no es inyectiva, pues cada elemento del rango es imagen de dos elementos del dominio. Por ejemplo, f(1) f( 1) 1, f(2) f( 2) 4, f(3) f( 3) 9. En general, f(x) f( x).

Dominio 0

0

1

1

2

2

3

4

Conjunto de llegada

© SANTILLANA

Figura 5

5

6

7

Para el estudio de funciones inversas, tema que se desarrollará más adelante, se hace necesario restringir el dominio de algunas funciones no inyectivas, de tal manera que la función dentro de ese dominio sea inyectiva. Por ejemplo en f(x) x2, es posible restringir el dominio de la función al con{0}, de tal manera que la función se hace inyectiva en ese domijunto nio (figura 5). 1.4.2. Función sobreyectiva Una función es sobreyectiva o sobre si el rango de la función coincide con el codominio. Es decir, todo elemento del codominio es imagen de algún elemento del dominio.

37

X

f

Y

1 4 2 5 3 6 4

Figura 6

En la figura 6, se muestra el diagrama sagital de una función sobreyectiva. En ella, todo elemento del conjunto de llegada es imagen de algún elemento del dominio. En la figura 7, se muestra el diagrama sagital de una función g que no es sobreyectiva, ya que el elemento del codominio 1 no es imagen de ningún elemento del dominio. En este caso, el codominio Y {1, 4, 5, 6} no es igual al rango de la función Rg g {4, 5, 6}.

Ejercicio resuelto X

g

Y

1 2 4 3 5

Determinar si las siguientes funciones son sobreyectivas. a. f {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 4)} definida del conjunto X {1, 2, 3, 4} en el conjunto Y {2, 3, 4, 5}. b. g: → {0} g(x) x2

4 6

Figura 7

X

f

Y

1

2

2

3

3

4

4

5

Figura 8

SOLUCIÓN a. La función f no es sobreyectiva porque 5 es elemento del codominio y no es imagen de ningún elemento del dominio (figura 8). b. La función g(x) x2 es sobreyectiva ya que todo elemento del codominio, {0}, es imagen de algún número real que pertenece al dominio. En este caso, el codominio de la función es igual al rango.

1.4.3. Función biyectiva Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

Por ejemplo, para la función f de la figura 9, se tiene: • f es inyectiva, pues cada elemento del rango es imagen de un solo elemento del dominio. • f es sobreyectiva, porque todo elemento del conjunto de llegada es imagen de algún elemento del dominio. Luego, f es biyectiva.

Ejercicio resuelto f

Y

1

2

2

3

3

4

4

5

Figura 9

Determinar si las siguientes funciones son biyectivas. a. f {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)} definida del conjunto X junto Y {2, 3, 4, 5} b. g: → {0} g(x) x2

{1, 2, 3, 4} en el con-

SOLUCIÓN a. La función f es inyectiva, pues cada elemento del conjunto de llegada es imagen de un solo elemento del dominio y f es sobreyectiva, porque el codominio es igual al rango. Luego, la función f es biyectiva. b. La función g: → {0} tal que g(x) x2, no es inyectiva, ya que f(2) f( 2) 4; luego, 4 es imagen de dos elementos del dominio. Sin embargo, la función g es sobreyectiva porque el codominio es igual al rango de la función.En conclusión, la función g es sobreyectiva pero no inyectiva, por tanto, al no cumplir las dos condiciones, la función f no es biyectiva.

38

© SANTILLANA

X

UNIDAD 2 • FUNCIONES

ACTIVIDADES

2

RAZONAMIENTO. Determinar si la función dada es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. Justificar la respuesta. 1.

A

B

f

1

1

2

3

3

5

4

7

5.

5

9

6

11

W

Y

n

1

f: f

6.

g

3.

Y

h

T

4.

M

N

l

1 10

0

0

1

11

1

2

2

12

2

4

3

13

3

6

4

8

L

m

7.

R 2

2

6

9

3

8

12

c

U

2

20

3

30

4

40

5 6

8.

E

F

p

10. g:

g

1

3

2

4

1

4

10

→ {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}

V

10

1

4

6

3

S

0

3

2

3

X

4

1

2

9.

2.

→ {(3, 3), (4, 3), (5, 2), (6, 1), (7, 0), (8,

1), (9,

1)}

RAZONAMIENTO. Representar en un diagrama sagital una función que cumpla con las condiciones dadas. 11. Que sea inyectiva pero no sobreyectiva. 12. Que sea sobreyectiva pero no inyectiva. 13. Que sea biyectiva. EJERCITACIÓN. Determinar si la función dada es inyectiva. Si no lo es, restringir el dominio para que sí lo sea. 14. f(x)

x2

3

15. y

16. f(x)

x3

1

17. y

18. g(x)

20. y 22. p(x)

x

x2 2

19. h(x)

3

21. y

x2

x

23. q(x)

x x2

8

1 x 1 x x

*

PARA PENSAR. Definir una función que cumpla con las condiciones dadas. 24. f: → que sea inyectiva. 25. g: → que sea sobreyectiva. 26. h: → que sea biyectiva. 27. q: M {1, 2, 3} → N {3, 4} que sea sobreyectiva.

© SANTILLANA

PROBLEMAS. Resolver. El largo de un rectángulo en función del ancho está dado 36 2x por la fórmula y donde 36 es el perímetro del 2 rectángulo.

39

28. Hacer el diagrama correspondiente si x y varía entre 1 y 8. 29. Determinar si la función así definida es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. El costo P, en millones de bolívares, de producir cierta cantidad de artículos q viene dado por la expresión P(q) q2 8q 15. 30. ¿Cuál es el costo de producir 20 artículos? 31. Si el costo de producir cierto número de artículos es de Bs. 3 000, ¿cuántos artículos se produjeron? 32. Busque otros valores para que se cumplan condiciones similares a las del numeral 31. 33. ¿La función planteada es biyectiva? Justificar la respuesta.

La producción de huevos de cierta granja está dada por la expresión s(g) 2g2 1 donde g es el número de aves de la granja. 34. En determinado mes del año hay 1 500 aves en la granja. ¿Cuántos huevos se producen en ese mes? 35. ¿Cuál es el dominio de la función dentro del contexto planteado? 36. ¿Cuál es el rango de la función? 37. Tiene sentido hablar de biyectividad en el contexto.

EXTRAER DATOS DE UNA TABLA Los taxistas usan una tabla para realizar el cobro, en bolívares, de una carrera. A la derecha se muestra una sección de la tabla mencionada. 1. Escribir los datos de esta sección de la tabla utilizando parejas ordenadas. 2. La relación así representada, ¿es una función? Justificar la respuesta. 3. En caso que la relación sea una función, determinar si es: • inyectiva • sobreyectiva • biyectiva Justificar la respuesta.

UNID

VALOR

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

29

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

33

30 31 32 32

34 55 36 37

7. Completar la siguiente tabla y a partir de ella determinar una expresión para conocer el número de cubos de un arreglo de 10 capas. Cubos visibles: Cubos ocultos: Total cubos:

____

Si hay 2 capas

Cubos visibles: Cubos ocultos: Total cubos:

____ ____

Si hay 3 capas

Cubos visibles: Cubos ocultos: ( Total cubos:

) ____

Si hay 1 capa

4. ¿Cuántos cubos son visibles? 5. ¿Cuántos cubos no son visibles? 6. ¿Cuántos cubos hay en total?

VALOR

Si hay 4 capas

Cubos visibles: Cubos ocultos: ( ( ) Total cubos:

____ ____

____ ) ____ ____

ANALIZAR UN RESULTADO A partir de la situación anterior responder las siguientes preguntas: 8. ¿Es posible plantear una expresión general para determinar el total de cubos de un arreglo similar al propuesto? ¿Cuál sería esta expresión? 9. ¿Se puede considerar esta expresión una función? ¿Por qué? 10. En caso de ser una función, ¿es inyectiva? 11. En caso de ser una función, ¿es sobreyectiva?

40

© SANTILLANA

INTERPRETAR UN DIAGRAMA El siguiente arreglo está formado por cinco capas de cubos; unos son visibles y otros no.

UNID

UNIDAD 2 • FUNCIONES

2R

2.1. Representación de funciones

EPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

En el tema anterior, se representaron algunas funciones mediante diagramas sagitales o mediante fórmulas algebraicas. Sin embargo, existen otras formas de representar funciones y relacionar estas representaciones.

PARA RESPONDER Una función se puede representar mediante: • Una expresión verbal • Una fórmula algebraica • Una tabla • Una gráfica

2.1.1. Representación mediante una expresión verbal La representación mediante una expresión verbal de una función hace explícita la regla que asigna a cada elemento del dominio su correspondiente imagen en el codominio. La regla que establece que “a cada número entero le corresponde el doble del número” es un ejemplo de la expresión verbal de una función. Para esta función, el dominio es el conjunto de los números enteros y el rango es el conjunto de los números pares. 2.1.2. Representación mediante fórmulas o ecuaciones La representación mediante fórmulas o ecuaciones expresa la relación entre los elementos del dominio y sus respectivas imágenes. Por ejemplo, la función que hace corresponder a cada número entero el doble del número, se puede representar mediante la expresión →

f:

ALGO IMPORTANTE La gráfica de una función se define como la representación en el plano cartesiano de todos los elementos del grafo.

y

8 6 4 2 x

8

6

4

2

2

© SANTILLANA

2 4 6 8

Figura 10

4

6

8

tal que f(x)

2x.

2.1.3. Representación en tablas de valores La representación mediante tablas de valores, es un arreglo de dos filas (o dos columnas), en el cual se escriben todos o algunos elementos del dominio en una fila (o en una columna) y sus respectivas imágenes en la otra (fila o columna). Aunque en la tabla de valores sólo se puede consignar un número finito de parejas (elementos del dominio y su correspondiente imagen por la función), puede proporcionar información sobre el comportamiento de la función. Por ejemplo, para la función f: → tal que f(x) 2x, se obtiene la siguiente tabla que muestra algunos elementos del dominio y sus respectivas imágenes. x

3

2

1

0

1

2

3

f(x)

6

4

2

0

2

4

6

2.1.4. Representación gráfica La representación gráfica de una función f se obtiene al ubicar en el plano cartesiano un número suficiente de parejas ordenadas de la función. La gráfica, también, permite analizar el comportamiento de la función. Por ejemplo, para representar gráficamente la función f(x) 2x se ubican en el plano cartesiano los puntos que corresponden a las parejas ordenadas ( 4, 8), ( 2, 4), (0, 0), (2, 4) y (4, 8). Luego, al unirlos, se observa que la gráfica corresponde a una línea recta que pasa por el origen (figura 10). Es importante tener en cuenta que el análisis del comportamiento de una función se puede hacer a partir de cualquiera de las representaciones.

41

Ejercicio resuelto y

8 6 4 2 x

8

6

4

2

2

4

6

8

SOLUCIÓN

2

a. La función cuya regla es “Elevar un número real al cuadrado y luego restar 2”, se representa mediante la fórmula algebraica f(x) x2 2 La siguiente tabla muestra algunos valores del dominio y sus respectivas imágenes.

4 6 8

Figura 11 y

1. En cada caso, a partir de la representación dada, obtener las demás representaciones de la función. a. “Elevar un número real al cuadrado y, luego, restar 2”. 1 b. f: → tal que f(x) 2x 2

x

8

f(x)

6 4 2 x 8

6

4

3

2

2

4

6

8

2 4

7

2,5

1

4,25

1

0 2

3

0,25

2

7

1 al doble de un número”. 2

La expresión verbal de la función es “restar

Figura 12

2

A partir de los valores consignados en la tabla, se representan los puntos en el plano cartesiano (figura 11). Como el dominio de la función es el conjunto de los reales, se traza la gráfica. 1 b. f: → tal que f(x) 2x 2

6 8

1,5

La siguiente tabla muestra algunos elementos del dominio y sus respectivas imágenes.

x

ALGO IMPORTANTE Una gráfica representa una función si ninguna recta vertical la intersecta más de una vez.

f(x)

3

2

1

6,5

4,5

2,5

0 0,25

1

2

3

1,5

3,5

5,5

La gráfica de la función f se muestra en la figura 12. 2. Determinar si cada curva representada en el plano corresponde a una función; en caso afirmativo, indicar si la función es inyectiva. a. b. y y 8 8

y

x 6

6

4

4

2

2 x

Una gráfica representa una función inyectiva si ninguna recta horizontal la intersecta más de una vez.

8

y

6

4

2

2

4

6

8

x 8

6

4

2

2

2

2

4

4

6

6

8

8

4

6

8

x

a. La curva representada no corresponde a una función porque a varios elementos del dominio les corresponde más de una imagen. b. La curva representada corresponde a una función porque a cada elemento del dominio le corresponde una única imagen. Sin embargo, la función no es inyectiva porque los elementos del rango son imagen de más de un elemento del dominio.

42

© SANTILLANA

SOLUCIÓN

ACTIVIDADES

UNIDAD 2 • FUNCIONES

3

RAZONAMIENTO. Determinar si las siguientes gráficas corresponden a funciones. Justificar la respuesta. 1.

10.

a. Obtener los valores de g( 2), g(0), g(2), g(3). b. Determinar Dom g y Rg g.

y

2.

g y

y

x

3

2

x

x

RAZONAMIENTO. Escribir en la tabla algunos de los valores de la función y responder las preguntas. 3.

4.

y

y 12

y

9 6

h

3 x

x 12

9

6

3

3

6

9

x

12

3 6 9

5.

6. y

x y

y

11. ¿Es h una función?

x

x

12. Hallar Dom h y Rg h.

13. ¿Es 3 imagen de algún número? 14. ¿Es h inyectiva?

15. ¿Es h sobreyectiva? y 4

7.

8. y

3 2

y

j

1

4

3

2

1

1

2

3

4

x

1 x

x 2 3

© SANTILLANA

EJERCITACIÓN. Dada la gráfica de la función: 9. a. Obtener los valores y f( 1), f(0), f(1), f(3). 3 b. Determinar el dominio de f y el rango de f. 3

3

x

x f (x) 16. ¿Está ( 3, 3) en la gráfica de la función j? 17. ¿La función es inyectiva? 18. ¿De qué número del dominio

1 es imagen?

EJERCITACIÓN. Trazar la gráfica de cada función. 19. f(x) x2 20. g(x) 8 21. h(x) (x 3)2 22. p(x) (x 3)2 23. r(x)

43

x

2

24. l(x)

16

x2

2.2. Funciones crecientes y funciones decrecientes Temperatura

En la gráfica de la figura 13 se registran las temperaturas en una ciudad durante 8 horas. En ella, se puede observar que la temperatura aumentó durante las tres primeras horas, luego permaneció constante durante dos horas y, finalmente, en las últimas tres horas la temperatura disminuyó. En tales casos, la medida de la temperatura en función del tiempo fue creciente, constante y decreciente, respectivamente.

2

1

4

3

6

5

7

8

Tiempo (horas)

Figura 13

Una función f es creciente en el intervalo I si para todo x1, x2 si x1 x2, entonces f(x1) f(x2).

ALGO IMPORTANTE Se define el intervalo I {x /a x b} como el subconjunto de los reales que son mayores que a, menores que b y que no contienen a a ni a b.

Una función f es decreciente en el intervalo I si para todo x1, x2 si x1 x2, entonces f(x1) f (x2). Una función f es constante en el intervalo I si para todo x1, x2 si x1 x2, entonces f(x1) f(x2).

I se cumple que I se cumple que I se cumple que

Ejercicio resuelto Determinar los intervalos en los cuales la gráfica de la función f de la figura 14 es creciente, decreciente y constante.

y 2

SOLUCIÓN

1

1

2

1

3

5

4

1

x

La función es creciente en los intervalos {x / 2 x 1} y en {x /2 x 4}, porque en dichos intervalos se cumple que si x1 x2, entonces f(x1) f(x2). La función es decreciente en los intervalos {x / 1 x 1} y {x /4 x 5} porque en dichos intervalos se cumple que si x1 x2, entonces f(x1) f(x2).

2

Figura 14

/1 La función es constante en el intervalo {x se cumple que si x1 x2, entonces f(x1) f(x2).

x

2} porque en tal intervalo

2.3. Funciones pares y funciones impares Una función es par, si no se modifica con la sustitución de la variable x por La función y y 4 3 2 1 x 4

3

2

1

0

1

1 2

2

3

4

f(x) es par si para todo x

Dom f se cumple que f( x)

x.

f(x).

Gráficamente, se puede observar que una función par es simétrica con respecto al eje y. Por ejemplo, para determinar si la función f(x) x2 1 (figura 15), es una función par, se remplaza x por x. Así, f( x) ( x)2 1 x2 1 Como f( x) f(x), se concluye que f es una función par. Una función es impar, si la función cambia de signo con la sustitución de la variable x por x.

3

Figura 15

La función y

f(x) es impar, si para todo x

44

Dom f se cumple que f( x)

f(x).

© SANTILLANA

2

UNIDAD 2 • FUNCIONES y 4 3 2 1 x 4

3

2

1

1

2

3

4

1 2 3 4

Por ejemplo, para determinar si la función f(x) x3 2x (figura 16) es una función impar, se remplaza x por x. Así, f( x) ( x)3 2( x) x3 2x (x3 2x) Como f( x) f(x), se concluye que f es una función impar. Una función puede no ser par ni impar. Por ejemplo, para la función x 2. f(x) x 2, se cumple que f( x) En este caso, f(x) f( x) y f( x) f(x), por lo tanto, la función no es par ni impar.

2.4. Funciones periódicas

Figura 16

Una función f(x) es periódica si existe un número real T, llamado período, tal que para todo x Dom f se cumple que f(x) f(x T).

La gráfica de una función periódica se repite con las mismas características en iguales intervalos del dominio. Por ejemplo, en la gráfica de la función de la siguiente figura el período es T 2. y 1 f(x)

4

ALGO IMPORTANTE

3

2

1

x

1. f(x)

x 5 x 12

2

x+T 3

4

4 5 12

MODELACIÓN. Escribir una expresión que represente cada parte de la gráfica. Luego, determinar entre qué intervalos es creciente, decreciente o constante. 5.

4 3 2

2. f(x)

© SANTILLANA

3. f(x)

x

1

EJERCITACIÓN. Dibujar, en cada caso, una función que cumpla las condiciones dadas. Creciente Decreciente Constante x

1 T

La gráfica de las funciones impares es simétrica con respecto al origen.

ACTIVIDADES

f(x+T)

Constante 10 x 10 Creciente 10 x 20 Decreciente 20 x

1 7

6

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

7

1

6.

Creciente 4 x 3 Decreciente 3 x 1 Creciente 1 x 1 Decreciente 1 x 3 Creciente 3 x 4

4 3 2 1 7

6

5

4

3

2

1 1

4. La función del punto 3, ¿es par o impar? Justificar la respuesta.

45

ACTIVIDADES PROBLEMAS. Tres empresas de telefonía celular presentaron el comportamiento de sus afiliaciones durante los últimos nueve meses. Empresa 2

Empresa 1

Afiliaciones x 100

Afiliaciones x 100

5 4 3 2

9. 10. 11. 12.

5

5

4 3

2

3

4

5

6

7

8

9

Meses

4 3 2 1

1 1

8.

7 6

2

1

7.

7 6 Afiliaciones x 100

7 6

Empresa 3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

Meses

2

3

4

5

6

7

8

9

Meses

¿Qué empresa presentó crecimiento durante los dos primeros meses? Determinar, para cada empresa, los intervalos de crecimiento y decrecimiento. ¿Qué empresa ha mantenido la mayor estabilidad? ¿Por qué? Si usted fuera un inversionista, ¿en cuál de las tres empresas invertiría? ¿Por qué? ¿Qué empresa tuvo el mayor número de afiliaciones durante los nueves meses? ¿Qué empresa tuvo el menor número de afiliaciones durante los nueve meses?

RAZONAMIENTO. Determinar gráfica y analíticamente si la función dada es par, impar, o ninguna de las dos. x2 x 14. g(x) x3 x 1 15. h(x) 3x

13. f(x)

X

f

2.5. Función inversa Y Rg f

Dom f 0

0

Si f es una función inyectiva, definida del conjunto X en el conjunto Y, con dominio Dom f y rango Rg f, se define la función inversa f 1 cuyo dominio es Rg f y cuyo rango es Dom f, como f 1(y) x si y sólo si y f(x), para todo y Rg f.

2 4

2

6

3 8

X

f -1

Rg f

Dom f

0

0

1

2

2

4

3

6

Figura 17

PARA RESPONDER ¿Qué condición debe cumplir una función f para ser igual a su inversa?

De la definición de función inversa se puede ver que si la imagen de x por la función f es y, entonces la imagen de y por la función f 1 es x. Además, si la función f está definida del conjunto X en el conjunto Y, la función f 1 está definida del rango de la función f en el conjunto X. En la figura 17 se muestra el diagrama sagital de una función f, que es inyectiva, con Dom f {0, 1, 2, 3}, codominio Y {0, 2, 4, 6, 8} y Rg f {0, 2, 4, 6}. Para la función f 1, el dominio es Rg f {0, 2, 4, 6} y el rango es Dom f {0, 1, 2, 3}. Imágenes de la función

f(0) f(1) f(2) f(3)

0 2 4 6

Imágenes de la función inversa

f f f f

1(0) 1(2) 1(4) 1(6)

0 1 2 3

Es importante observar que si una función f es biyectiva, el dominio de la función f 1 es el codominio de la función f.

46

© SANTILLANA

1

UNIDAD 2 • FUNCIONES

PARA RESPONDER

Para determinar la función inversa de una función inyectiva, se realizan los siguientes pasos: Paso 1. Se escribe la función de la forma y f(x). Paso 2. Se expresa x en términos de y. Paso 3. Se intercambian x y y para obtener la expresión y f 1(x).

¿Por qué la inversa de una función no inyectiva no es función?

Ejercicio resuelto x2 para x

Determinar la inversa de la función f(x) y=f(x)=x 2

y

{0}.

SOLUCIÓN

6

La función es inyectiva porque cada elemento del rango, es imagen de un solo elemento del dominio (figura 18). Así, y x2 Paso 1

y= x

5 4 1

y= f (x)= x

3

y

x, es decir, x

y

Paso 2

2

y x es decir, f 1(x) x Paso 3 En la figura 18 también se muestra la gráfica de la función f 1(x) x. 1 Se puede observar que la gráfica de la función inversa f es simétrica con la gráfica de la función f, respecto a la recta y x.

1 x 1

2

3

5

4

6

7

Figura 18

ACTIVIDADES

5 RAZONAMIENTO. Dadas f(x) y f

EJERCITACIÓN. Hallar, si es posible, la inversa de cada función, f: → 1.

f(x)

2x

1

3.

f(x)

x

3

5.

f(x)

7.

f(x)

2

5x

1 x

2

2.

f(x)

3x

4.

f(x)

x2

6.

f(x)

8.

f(x)

3

f(f rior,

1 x

9.

1(x))

x y f 1(f(x)) determinar si f 1 es

f(x)

2x

5

3

x

1

1

10. f(x)

x

4

2 x3

11. f(x)

1

1(x),

se cumple que

x. Teniendo en cuenta lo anteinversa de f. x 5 f 1(x) 2 f

1(x)

3

f

1(x)

(x

4x 1)1/3

EJERCITACIÓN. Trazar la gráfica de la función inversa de cada función dada. 12.

13.

4

4

3

2

15.

4

3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1 1

© SANTILLANA

14. 4

2

3

4

4

3

2

1

1

2

3

4

4

3

2

4

1

1 1

1

2

3

4

4

3

2

1

1 1

2

2

2

2

3

3

3

3

4

4

4

4

PROBLEMAS. Pizza “el mono” vende una pizza grande por Bs. 15 y cobra Bs. 2 por cada aderezo adicional. 16. Escribir una expresión para determinar el valor de una pizza con x aderezos. 17. Determinar f 1(x) y escribir un párrafo que explique qué representa.

47

2

3

4

MAT1 U2(31-58):MAT10-U1(7-36) 05/10/11 03:37 p.m. Página 48

COMPLETAR UNA GRÁFICA Completar la gráfica de cada función de tal manera que se cumplan las condiciones dadas. 1. 2. 3. 4. 6

26 25 24 23 22 21

6

6

5

5

5

4

4

4

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1

5

h(x)

1 2

21

3 4

5

26 25 24 23 22 21

6

g(x)

1 2

21

3 4

f(x)

3

5

6

26 25 24 23 22 21

1 2

21

3 4

3

5

26 25 24 23 22 21

6

5(x)

1 2

21

22

22

22

22

23

23

23

23

24

24

24

24

25

25

25

25

26

26

26

26

Dom h  [6, 6] h(x)  h(x)

Dom g  [4, 4] g(x)  g(x)

Dom f  [5, 5] f(x)  f(x)

COMPRENDER EL ENUNCIADO Clasificar cada una de las siguientes funciones en constante, creciente o decreciente.

5. Personas que nacen.

3 4

5

6

Dom s  [6, 6] s(x)  s(x)

TRABAJAR HACIA ATRÁS 9. La temperatura se expresa en diferentes escalas. En Estados Unidos es común escuchar que la temperatura en un día de invierno es 50ºF. ¿A qué medida en grados centígrados equivale 50ºF, si se sabe que 9 ºF  ºC  32? 5 10. Carlos planea crear una taller de bicicletas rodante para la Vuelta del Táchira. Su inversión inicial para la compra de herramienta e insumos es de Bs. 1 000. Carlos va a cobrar Bs. 50 por cada mantenimiento general. Él piensa que la función de ganancia es g(m)  50 m  1 000. Teniendo en cuenta esta función, determinar el número de mantenimientos que deberá hacer para recuperar la inversión.

6. Ozono de la atmósfera terrestre.

7. Salario de los venezo- 8. Peces en el mar. lanos.

OBSERVAR Y RAZONAR El siguiente recipiente ha sido llenado, con líquido, en forma constante. ¿Cuál es la mejor representación, sobre el plano cartesiano, de esta situación? a. b. Volumen

Volumen

Tiempo

Volumen

Tiempo

48

c.

Tiempo

© SANTILLANA

6 4

UNIDAD 2 • FUNCIONES

3F

UNCIÓN DE VARIABLE REAL

En las secciones anteriores, se han estudiado algunas funciones definidas de un subconjunto de números reales en el conjunto de números reales. Estas funciones se denominan funciones de variable real. → ,

La función f:

y

es una función de variable real.

6 5

Algunas funciones de variable real tienen nombres propios y propiedades características que se estudiarán a continuación.

4 3 2 1 6 5 4

3 2

1 2 1

1

3 4

5

6

x

2 3

3.1. Función lineal Una función lineal es una función de variable real definida por y f(x) mx donde m es un número real, conocido como la pendiente de la recta.

4 5 6

Figura 19

ALGO IMPORTANTE Si dos magnitudes x y y son directamente proporcionales, el cociente entre cada valor de y y su respectivo valor de x es siempre constante. Así, la función que relaciona dos magnitudes directamente proporcionales es una función lineal o afín. y 6 5 4 3

Una función lineal es creciente si m 0 y decreciente si m 0. La representación gráfica de la función lineal es una recta que pasa por el origen. En la figura 19 se muestra la gráfica de la función lineal y 2x. El dominio de la función lineal, al igual que su rango, es .

3.2. Función afín Una función afín es una función de variable real definida por y f(x) mx b donde m y b son números reales.

La representación gráfica de una función afín es una línea recta de pendiente m que pasa por el punto (0, b). Si m 0, la función es creciente; si m 0, la función es decreciente. En la figura 20 se muestra la gráfica de la función y 2x 4. El dominio de la función afín, al igual que su rango, es .

2 1 6 5 4

3

2

1

1 2 1

3 4

5

6

x

2 3 4 5 6

Figura 20

Ejercicio resuelto Representar gráficamente cada función y determinar si se trata de una función lineal o de una función afín. a. y 3x b. y 2x 3 SOLUCIÓN a. La función y

3x es lineal.

© SANTILLANA

ALGO IMPORTANTE Para construir la gráfica de una recta en el plano basta con determinar las coordenadas de un par de puntos.

b. La función y

2x

y

y

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1 6 5 4

3

2

1

3 es afín.

1 1 1

2 3 4

5

6

x

6 5 4

3

2

1

1 2 1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

49

3 4

5

6

x

3.3. Función cuadrática Una función cuadrática es una función de variable real definida por y f(x) ax2 bx c donde a, b y c son números reales y a 0.

La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. El dominio de la función cuadrática es el conjunto de los números reales. Un caso particular de la función cuadrática se tiene cuando a 1, b 0 y c 0, es decir y x2. A continuación se muestra la gráfica de la función. y 6

El dominio de la función y x2 es el conjunto de todos los números reales y su rango es el conjunto de los números reales no negativos.

5 4 3 2 1 6 5 4

3

2

1 2 1

1

3 4

5

6

x

2 Vértice 3 4

La parábola que representa la función y ax2 abre hacia arriba si a 0 y abre hacia abajo si a 0. La parábola que representa la función y ax2 c se obtiene al trasladar la gráfica de la función y ax2, c unidades en dirección vertical.

Ejercicio resuelto 1. Representar en el mismo plano las funciones. 1 b. y x2 c. y 2x2 x2 a. y 2

2

1

1 1

2

3

4

y=x 2 4

2 y= x 2

x x2

x

3 4

2 4

1 1

0 0

1 1

x2 es siméLa gráfica de la función y trica con la gráfica de la función y x2 con respecto al eje x.

Figura 21

Es posible hallar la coordenada en x del eje de simetría mediante la expresión b x 2a

2

1 x2 2

2

1 1 2

0

1

2

0

1 2

2

1 x2 experi2 menta un encogimiento vertical con respecto a la gráfica de la función y x2.

La gráfica de la función y

d.

c.

ALGO IMPORTANTE

x

2 4

x 2x2

2 8

1 2

0 0

1 2

2 8

La gráfica de la función y 2x2 experimenta un alargamiento vertical con respecto a la grafica de la función y x2

50

x x2

4

2 0

1 3

0 4

1 3

2 0

x2 La gráfica de la función y 4 se obtiene al trasladar 4 unidades, hacia abajo, la gráfica de la función y x2.

© SANTILLANA

y= 1 x 2 2

1

3

4

Se construye una tabla con algunos valores para cada una de las funciones. Luego, se representan los puntos en el plano para trazar la gráfica. Todas las gráficas se muestran en la figura 21. b. a.

3 2

4

x2

SOLUCIÓN

y 4 y=2x 2 y=x 2

d. y

UNIDAD 2 • FUNCIONES

ALGO IMPORTANTE Una parábola tiene un eje de simetría. El punto de corte entre la parábola y el eje de simetría se llama vértice. Para las parábolas que representan funciones, el eje de simetría es una recta vertical que pasa por el punto medio de los puntos de corte con el eje x. y

Vértice

a. Para determinar los puntos de corte con el eje x, se encuentran los valores de x para los cuales y 0. Así,

Eje de simetría

Factorizando.

b. El eje de simetría pasa por el punto medio de (0, 0) y ( 2, 0), luego la ecuación del eje de simetría es x 1. c. Puesto que el vértice queda sobre el eje de simetría, el valor de y para el vértice es f( 1) ( 1)2 2( 1) 1. Así, el vértice es de coordenadas ( 1, 1). d. En la figura 22 se muestra la gráfica de la función.

3 2 1 2

SOLUCIÓN

La parábola corta al eje x en los puntos (0, 0) y ( 2, 0).

y 4

3

2. Para la función y 2x, determinar: a. Los puntos de corte con el eje x. b. La ecuación del eje de simetría. c. Las coordenadas del vértice. d. Construir la gráfica en el plano cartesiano.

x2 2x 0 x(x 2) 0 x 0ox 2

x

4

x2

1

3

2

1

4 x

1 2

3. La expresión h(t) 4,9t 4,9t2 representa la relación entre la altura h (medida en metros) alcanzada por un objeto que se lanza verticalmente hacia arriba, con respecto al tiempo t (medido en segundos). Determinar: a. El tiempo que tarda en regresar al punto de lanzamiento. b. La altura máxima alcanzada.

Punto de altura máxima

Altura máxima

Punto de lanzamiento

3 4

No es tan difícil como se piensa... a. Cuando el objeto regresa al punto de lanzamiento, la altura es igual a 0, por tanto, h(t) 0. Así, SOLUCIÓN

Figura 22

4,9t 4,9t2 0 4,9t(1 t) 0 4,9t 0 o 1 t t 0ot 1

h

Se factoriza.

0

1,2

© SANTILLANA

Altura (metros)

1 0,8 0,6 0,4 0,2

0,2

0,4

0,6

0,8

Tiempo (segundos)

Figura 23

1

t

Luego, el objeto regresa al punto de lanzamiento 1 segundo después de haber sido lanzado. b. El tiempo que tarda el objeto subiendo es igual al tiempo que tarda bajando. Luego, el tiempo en alcanzar la altura máxima es de 0,5 segundos. Por tanto, la altura máxima es h(0,5) 4,9(0,5) 4,9(0,5)2 1,225 La altura máxima alcanzada por el objeto es 1,225 metros. La gráfica de la altura en función del tiempo es una parábola (figura 23), pues h(t) es una función cuadrática.

51

3.4. Función cúbica

y 8

Una función cúbica es una función de variable real definida por

6 4

y

2

ax3

f(x)

bx2

donde a, b, c y d son números reales con a 4

6

8

2

4

2

6

cx

d

0.

8 x

2

El dominio de la función cúbica, al igual que el rango, es el conjunto de los números reales. Un caso particular de la función cúbica se tiene cuando a 1, b 0, c 0 y d 0, es decir y x3.

4 6 8

Figura 24

Ejercicio resuelto Representar gráficamente las siguientes funciones. 1 3 1 3 a. y x b. y x 4 4

y 8 6 4

SOLUCIÓN

2 4

6

8

1

2

4

2

6

Se construye una tabla de valores para cada función. Luego, se representan los puntos en el plano para trazar la gráfica. a. b. x 3 2 0 2 3 x 3 2 0 2 3

8 x

2 4 6

1 3 27 x 4 0

8

Figura 25

ACTIVIDADES

2

0

1 3 31 x 1 4 4

27 4

2

1

23 4

1

En la figura 25 se muestra la gráfica de la función.

En la figura 24 se muestra la gráfica de la función.

6

3

MODELACIÓN. Determinar la clase de función que tiene la presentación gráfica dada. Luego, escribir la expresión alge-brai-

ca que la describe. 2.

y 4

4

3

2

3

3

3

2

2

2

1

1

1

1

1

2

3

4 x

3

2

1

1

2

2

4

3

5 x

4

3

2

1

1

2

3

4

4 x

3

2

1

1

1

2

2

2

2

3

3

3

3

4

4

4

4

6.

1

1 1

2

3

7.

y 7

4 x

3

3

5

2

2

4

1

1

3

3

2

4

5 6

1 6

5

4

3

2

1

1

2 x

1

52

3

2

1

1

2

3

4 x

2

3

4 x

1

2

3

4 x

y 4

6

2

4

8.

y 4

1 1

1

1 3

y 4

2

y 2

4

4.

y 4

3

1

5.

3.

y 4

4

3

2

1

1

1

2

2

3

3

4

4

© SANTILLANA

1.

UNIDAD 2 • FUNCIONES

RAZONAMIENTO. La siguiente gráfica representa la función

MODELACIÓN. El dibujo representa un sistema de tanques de

f(x).

agua. Uno de ellos es un tanque cúbico de lado x y el otro un tanque de altura x y base cuadrada C. 3 2

x

1

3

2

1

1

2

3

x

4

c

A partir de f(x) trazar las gráficas de cada una de las siguientes funciones. 9.

g(x)

f(x

10. h(x)

2)

f(x)

x

2

11. p(x)

2f(x)

12. q(x)

f(x)

13. y(x)

f( x)

14. m(x)

1 f(x 2

2

19. Si C 10 cm. Elaborar una tabla que muestre la variación de la longitud de la arista y el volumen total de los dos tanques.

1)

EJERCITACIÓN. Determinar para cada función los puntos de

corte con el eje x, y si los hay, la ecuación del eje de simetría y las coordenadas del vértice. 15. f(x) x2 4 16. g(x) x2 2x 3 17. h(x) x2 3 18. r(x) (2x 3)2

4F

UNCIONES DEFINIDAS A TROZOS

c

20. Escribir una expresión funcional de volumen en tér-

minos de las longitudes de las aristas. 21. Graficar la función de volumen en un plano de coor-

denadas.

Una función se puede definir mediante reglas diferentes para algunos subconjuntos de números reales. Este tipo de funciones de denominan funciones a trozos. Un ejemplo de una función definida a trozos es

y 5 4 3

f(x)

2 1

x si x 2 2 si 2 x x si x 2

2

x 5

4

3

2

1

1

2

1 2 3 4 5

4

5

En la figura 29, se muestra la gráfica de la función f(x) formada por tres trozos: la recta y x para los valores de x menores que 2 (x 2), la recta y 2, para los valores de x tales que 2 x 2 y la recta y x para los valores de x mayores que 2. El dominio de la función es el conjunto de los números reales y el rango de la función es el conjunto de los números reales mayores o iguales a 2.

© SANTILLANA

Figura 29

3

53

UNIDAD 2 • FUNCIONES

4.1. Función parte entera

y 5

La función parte entera es un ejemplo de una función a trozos. Esta función asigna a cada número real el número entero inmediatamente menor o igual a él. La función parte entera se simboliza mediante

4 3 2 1 x 5

4

3

1

2

1

2

3

4

f(x)

5

x

1

Así, f(3) 3 3, f(2,5) 2,5 2, f( 2,5) 2,5 3 La gráfica de la función parte entera se representa en la figura 30. El dominio de la función f(x) x es el conjunto de los números reales y su rango es el conjunto de los números enteros.

2 3 4 5

Figura 30

4.2. Función valor absoluto La función valor absoluto se simboliza como f(x) |x| y se define como x si x 0 f(x) |x| x si x 0 Por ejemplo, f(2) |2| 2, f( 4) | 4| 4, f(0) |0| 0 La gráfica de la función valor absoluto se representa en la figura 31. El dominio de la función f(x) |x| es el conjunto de los números reales y el rango es el conjunto de los reales no negativos.

Ejercicio resuelto Representar gráficamente las siguientes funciones. a. f(x) |x 1|

y 5 4 3 2 1 x 5

4

3

1

1

2

2

3

4

b. h(x)

5

x2 si x 2 si x x si x

0 0 0

1

SOLUCIÓN

2 3

a. A partir de la definición de la función valor absoluto se tiene que x 1 si x 1 0 f(x) |x 1| (x 1) si x 1 0

5

Figura 31

es decir y 5 4 3 2 1 x 5

4

3

2

1

1

2

1 2 3 4 5

Figura 32

3

4

5

x

1 x

si x 1 si x

1 1

Así, la gráfica de la función se obtiene a partir de las rectas y (figura 32). b. La gráfica de h(x) se obtiene a partir de la representación gráfica de la parábola y x2, para todos los x menores que cero. Para x 0, el punto (0, 2). 3 4 5 La recta y x para todos los x mayores que 0. Se puede observar que el punto (0, 0) no pertenece a la gráfica pues h(0) es igual a 2. En particular se puede observar que la función h(x) así definida no describe una gráfica continua.

54

x

1yy

x

1

y 5 4 3 2 1 x 2

1

1 1 2 3 4 5

2

3

4

5

© SANTILLANA

4

ACTIVIDADES

7

EJERCITACIÓN. Construir una tabla de valores para cada función, luego trazar su gráfica y determinar si la función es creciente o decreciente. 1. f(x) 3x 2. f(x) (1,5)x 1 x 3. y (0,4)x 4. y 3

RAZONAMIENTO. Determinar el dominio y el rango de las siguientes funciones. 21. 4 3 2 1

5.

f(x)

x

1 4

2 3

6. y

x 4

3

2

1

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

1 2

PROBLEMAS. Resolver. Una hoja de papel se corta por la mitad y uno de los pedazos se ubica sobre el otro. Luego, los papeles en el montón se cortan por la mitad y se ponen uno encima del otro. 11. ¿Cuántos papeles resultan después del primer corte? 12. ¿Cuántos papeles resultan después del segundo corte? 13. ¿Cuántos papeles resultan después del tercero y del cuarto corte? 14. Usar la regularidad encontrada en el paso anterior para escribir una expresión que relacione el número de pedazos de papel después de x cortes. 15. El grosor del papel corriente es aproximadamente 0,0075 cm. Escribir una ecuación para el grosor de una pila de pedazos de papel después de x cortes. 16. ¿Cuán gruesa será la pila de papel después de realizar 30 cortes?

3 4

22. 4 3 2 1 4

3

2

1 1 2 3 4

23. 4 3 2

EJERCITACIÓN. Trazar la gráfica de cada función. Escribir su dominio y su rango. 17. f(x)

18. f(x)

© SANTILLANA

19. f(x)

20. f(x)

5 (x

2)2

x2 x2 |x| 2x

x x x x

1 2 3

3

4

3

2

1

si x si x

2 2

1

si x si x

0 0

4

2 3

si 8 x 0 si 0 x 2 1 x 2

1

si x

24. 4 3 2

2

1

si 0 si 1 si 2 si 3

x x x x

4

1 2 3 4

3

2

1 1 2 3 4

55

INGENIERÍA

Puentes colgantes Cables principales

Tirantes

Anclaje

Torre Armadura de refuerzo

LOS PUENTES COLGANTES SON ESTRUCTURAS LIGERAS FORMADAS POR CABLES PRINCIPALES, TORRES Y ANCLAJES.

El cable en un puente es un elemento flexible, es decir, no tiene rigidez y por lo tanto resiste flexiones. Si se le aplica una fuerza formará la trayectoria de la composición de fuerzas que actúan sobre él. Una de las curvas que forma el cable es la parábola y para los cálculos se ha utilizado la función de segundo grado. El cable, elemento fundamental de la estructura, debe mantenerse entre dos torres, que son los elementos más difíciles de proyectar en la estructura de los puentes colgantes. La expresión cuya gráfica es una parábola con vértice en el eje y es y ax2 b. 1. Conociendo el valor de b, ¿cómo se puede determinar el valor para a para un diseño particular? Describir el método. 2. Dependiendo de qué tanto esté abierta la parábola, el valor de a varía. Describir ciertos valo-res posibles para a en un diseño que se considere y justificar la respuesta. 3. Encontrar la altura de las torres donde están sujetos los cables de la siguiente figura.

(60, 60) h

6m

© SANTILLANA

600 m

56

QUÍMICA La solubilidad de una sustancia indica qué tanto de esa sustancia se disuelve en un volumen de agua dado. La sustancia que se disuelve se llama soluto y la sustancia que hace que se disuelva se llama solvente. La sustancia resultante se llama so-lución. Luego, la solubilidad nos indica la cantidad de soluto que se disuelve en un solvente. La solubilidad depende de la naturaleza del solvente, la naturaleza del soluto y la temperatura de la solución.

RELACIÓN ENTRE

SOLUBILIDAD Y TEMPERATURA

4. Averiguar el nombre de cada compuesto. KNO3 KI NaNO3 KCl Ba(OH)2 NaCl Ce2(SO4)3 Yb2(SO4)3

CURVAS DE SOLUBILIDAD 150 140 KI 130 120 110 NaNO3

Solubilidad (g/100 mL de agua)

100 90 Ba(OH) 2

80 KNO3 70 60 50 KCl

NaCl

40 30 20 Ce 2(SC4 ) 3

© SANTILLANA

10

Yb 2 (SO 4 ) 3

0 10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Temperatura ºC

57

La gráfica muestra las curvas de solubilidad para diferentes solutos. Usar la gráfica para responder las preguntas. 5. ¿Qué tipo de función puede asignársele a cada gráfico de solubilidad para cada compuesto? 6. ¿Cuántos gramos de KCl se disuelven en 100 mL de agua a una temperatura de 80ºC? 7. Dos gráficas muestran funciones de solubilidad decrecientes. ¿Cuáles sustancias muestran un decrecimiento en su solubilidad a medida que aumenta la temperatura? 8. ¿A qué temperatura las solubilidades de KCl y NaCl son iguales? 9. A 80ºC, 100 gramos de Ba(OH)2 están completamente disueltos en 100 mL de agua. Si la solución se enfría hasta alcanzar una temperatura de 62ºC, ¿cuántos gramos salen de la solución? 10. ¿Qué sustancia a 10ºC muestra mayor solubilidad en 100 mL de agua? 11. Si la función de solubilidad fuera una función par, ¿cuántos gramos de Yb2(SO4)3 se disolverían a una temperatura de 30ºC en 100 mL de agua? (Explicar por qué gráficamente es posible, pero no experimentalmente).

COMPRENDER EL ENUNCIADO El salario de una persona que trabaja en ventas depende de las comisiones que recibe. Por ejemplo, Luis recibe un salario básico de Bs. 600 más 6% por cada venta superior a Bs. 300.

USAR UNA FÓRMULA Los juegos pirotécnicos se han convertido en un espectáculo propio de las celebraciones de algunas ciudades de nuestro país. Convocan a la familia a disfrutar de las figuras incandescentes que se forman y a recordar los principios de los cohetes. La expresión que describe la altura de un objeto que se lanza hacia arriba es H(t)

v0t

1 gt2 2

Venta 0 Bs. 100

Bs. 300

Bs. 350

Bs. 500

Bs. 800

Salario

5. Completar la tabla del salario de Luis. 6. Graficar la situación. 7. Escribir una ecuación que determine el salario de Luis. 8. Si Luis ha vendido $1.840.000, ¿qué salario recibirá?

h0

en donde v0 es la velocidad inicial en m/s, t es el tiempo en segundos, g es la aceleración (g 9,8 m/s2) y h0 es la altura inicial del objeto en el momento en el que es lanzado. Un cohete de juegos pirotécnicos es lanzado desde una superficie ubicada a 1,5 m del suelo, a una velocidad inicial de 39,5 m/s.

EXTRAER DATOS DE UNA GRÁFICA Escribir el área de la región sombreada en términos de x. 9. x

2,3 (x, y)

y=x 3

10. Usar la expresión hallada para encontrar el área del triángulo si: •x 1 •x 2 •x 3 11. 1. Graficar la función que representa el viaje del cohete. 2. Encontrar la altura máxima que alcanza el cohete. 3. Uno de estos cohetes está programado para explotar a los 3 segundos y medio de haber sido lanzado. ¿A qué altura explota? 4. ¿Qué distancia lo separa del suelo en ese momento?

(x, y) f(x)= y2

2,3 © SANTILLANA

12. Hallar el área del cuadrado si: •x 2 •x • x 1,5

58

MAT1 U3(59-76):MAT9(143-159,295-314) 09/04/12 03:46 p.m. Página 59

UNIDAD

3

Función exponencial y función logarítmica

TEMAS

1. F 2. F

UNCIÓN EXPONENCIAL. UNCIÓN LOGARÍTMICA.

No es tan difícil como se piensa... • CRECIMIENTOS

Y DECRECIMIENTOS.

En un laboratorio se observa que en un cultivo de bacterias, cada una de ellas se divide en dos nuevas bacterias cada cuarto de hora. Si inicialmente se cuenta con una población de 500 bacterias: a. Encontrar la expresión que permite determinar el número de bacteria después de cierto período de tiempo. b. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que el cultivo tenga una población de 16 000 bacterias? PROBLEMA RESUELTO PÁG. 65

MAT1 U3(59-76):MAT9(143-159,295-314) 09/04/12 03:46 p.m. Página 60

1F

UNCIÓN EXPONENCIAL

En esta unidad se estudiarán las propiedades de dos de las funciones más importantes en matemáticas: la función exponencial y la función logarítmica. Ambas, son empleadas para describir crecimientos o decrecimientos en ciencias puras, económicas o sociales.

1.1. Definición Una función exponencial es una función de la forma f(x)  ax, donde a es un número real positivo diferente de 1, y x es una variable. RECORDAR QUE En la expresión y  ax, ax recibe el nombre de potencia, a es la base y x es el exponente.

x1

冢 冣

3 Por ejemplo, las funciones f(x)  2x, y 

5 funciones exponenciales.

y f(x)  6x  3 son

Si a 僆  con a ⬆ 1 entonces f(x)  ax es una función exponencial.

1.2. Análisis gráfico de las funciones exponenciales En la mayoría de los casos el aumento de la población de insectos tiene un comportamiento exponencial. Por ejemplo, la expresión 2x describe el crecimiento de una población de zancudos en cierta región. Para representarla gráficamente se construye la siguiente tabla de valores. x

3

2

1

0

1

2

3

f(x)  2x

1 23 

8

1 22 

4

1 21 

2

1

2

4

8

La gráfica de la función es la siguiente. (3, 8)

7 6 5 (2, 4)

4 3

PARA RESPONDER ¿Por qué en la expresión y  ax, a debe ser diferente de uno?

(21,

2 1 ) 1 2

25 24 23 22 21

(1, 2) (0, 1) 1

2

3

4

22

5 x

Como el exponente puede tomar cualquier valor, el dominio de la función es el conjunto . Pero para el caso de la situación el dominio sólo son valores mayores o iguales a cero. A partir de la gráfica se puede observar que 2x  0, luego, el rango de f es (0, ). Es decir, la gráfica se encuentra por encima del eje x.

A partir de la gráfica y de la tabla se pueden plantear las siguientes conclusiones: • El y-intersecto está ubicado en 1. • Cuando x disminuye, el valor f(x) se acerca a cero. • Cuando x aumenta, el valor f(x) crece rápidamente. • f(x) es una función creciente. Al interpretar estas conclusiones dentro del contexto de la población de zancudos, se puede afirmar que el crecimiento de la misma es bastante alto. 60

© SANTILLANA

y 8

MAT1 U3(59-76):MAT9(143-159,295-314) 09/04/12 03:46 p.m. Página 61

UNIDAD 3 • FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARÍTMICA y

y 5 3x

8

y 5 4x

7

y 5 6x

6 5 4 3 2 1 25 24 23 22 21

1

2

22

Figura 1

3

4

5 x

En la figura 1 se muestran las gráficas de las funciones exponenciales f(x)  6x; f(x)  4x y f(x)  3x. A partir de estas representaciones se pueden mencionar algunas características de las funciones exponenciales: • Son crecientes. • Sus gráficas pasan por (0, 1). • Aumentan con rapidez cuando x aumenta. • No tienen puntos de corte con el eje x. • A medida que la base de la potencia crece, la gráfica de la función crece más rápidamente. En general: Si f(x)  ax con a  1, entonces, f(x) es una función creciente con dominio  y rango {x 僆  / x  0}, no corta al eje x y pasa por el punto (0, 1).

Es posible analizar el comportamiento de f(x)  ax cuando 0
a
1. A continuación se hace este análisis a partir de un ejemplo.

Ejercicio resuelto x

冢 冣

1 Realizar la gráfica de la función f(x) ⴝ

2 tamiento.

y analizar su compor-

SOLUCIÓN La tabla de la función es la siguiente: x

3

2

1

0

f(x)

8

4

2

1

1 1

2

2 1

4

3 1

8

La gráfica de la función se muestra a continuación: y (23, 8)

8 7 6 5 4

2

(22, 4)

3 1 25 24 23 22 21

(0, 1) 1

2

3, 1 8

2

2

2

1, 1 2

2

3

4

5 x

A partir de la gráfica y de la tabla se concluye: • El y-intersecto está ubicado en 1. • Cuando x disminuye, f(x) aumenta. • Cuando x aumenta, f(x) disminuye rápidamente. • f(x) es una función decreciente.

© SANTILLANA

22

Como el exponente puede tomar cualquier valor, el dominio de f(x) es el conjunto de los números reales (
om f: ). x 1 Como  0 el rango de f(x) es (0, )(Rg f: {x 僆  / x  0}). 2

冢 冣

61

MAT1 U3(59-76):MAT9(143-159,295-314) 09/04/12 03:46 p.m. Página 62

y5

1 3 1 4

2 x 2

2

y5

x

x

2 2

y5

1 6

x

2

冢 冣

y 8 7 6 5 4 3 2 1

25 24 23 22 21

1

2

3

4

5 x

22

Figura 2

1 La gráfica de f(x)  es ejemplo de las funciones exponenciales con 2 base mayor que cero pero menor que 1. Todas estas funciones son decrecientes, sus gráficas se encuentran sobre el eje x, pasan por el punto (0, 1) y disminuyen con rapidez cuando el valor de x aumenta. En la figura 2 se muestran las gráficas de otras funciones exponenciales con base mayor que 0 pero menor que 1. A partir de las gráficas se puede observar que la gráfica decrece más rápido cuando la base es menor. En general: Si f(x)  ax con 0
a
1, entonces, f(x) es una función decreciente con dominio  y rango (0, ), no intercepta al eje x y pasa por el punto (0, 1).

Ejercicio resuelto Tomando como referencia la gráfica de f(x) ⴝ 2x, realizar la gráfica de cada una de las siguientes funciones exponenciales. b. f(x)  (2x) c. f(x)  2x  4 a. f(x)  2x e. f(x)  2x  3 f. f(x)  2x  3 d. f(x)  2x  4 SOLUCIÓN a. Se refleja con respecto al eje y.

ALGO IMPORTANTE

8

Un caso especial de la función exponencial es f(x)  ex donde e es el irracional llamado número de Euler.

6

b. Se refleja con respecto al eje x.

y

y 4

y 5 2x 28

2

26

24

22

4

6

8 x

26

24

22

2

4

6

8 x

d. Se desplaza cuatro unidades a la izquierda.

y

8 y 5 2x 1 4

6

4

y 5 2x

2

28

26

24

22

2

4

6

8 x

28

26

24

22

22

4

6

8 x

y 8

y 5 2x

2

24

2

f. La gráfica se desplaza tres unidades a la derecha.

y 4

26

y 5 2x

2

e. La gráfica se baja tres unidades.

28

y

6 y 5 2x 1 4

4

y 5 2(2x)

24

6

y 5 2x 2 3 2

4

6

8 x

4

y 5 2x

2

y 5 2x 2 3

22 28

24

62

26

24

22

2

4

6

8 x

© SANTILLANA

28

8

¿Cómo será la gráfica de f(x)  (2x 3)?

2 22

c. Se sube cuatro unidades.

PARA RESPONDER

y 5 2x

2 4

y 5 22x

MAT1 U3(59-76):MAT9(143-159,295-314) 09/04/12 03:46 p.m. Página 63

UNIDAD 3 • FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARÍTMICA

EXTRAER DATOS DE UNA GRÁFICA En cierto cultivo de bacterias se introducen cuatro tipos de antibióticos durante cierto período de tiempo.

EXTRAER DATOS DE UNA TABLA Determinar cuáles de las siguientes situaciones presentan un crecimiento exponencial. Justificar la respuesta.

Población A, Antibiótico 1

1. Conservación de especies en vía de extinción.

Año

Total tigres

90 91 92 93 94 95 96 97 98

900 870 800 810 805 705 700 720 750

4 3 2

1

1 1 2 3 4 x

Población C, Antibiótico 3

24 23 22 21 21 22 23 24

y

2015

93

102

4

3

3

2

2

1

1 1

2

3

4 x

24 23 22 21 21

22

22

23

23

24

24

1

2

3

4 x

4. Encontrar una expresión que permita determinar el comportamiento de cada población frente al antibiótico aplicado. 5. Si se considera que el antibiótico más eficaz es aquel que logra disminuir la población de bacterias en el menor tiempo, ¿cuál es el antibiótico más eficaz?, ¿cuál es el antibiótico menos efectivo? Justificar la respuesta.

3. Proyecciones de la población de Etiopía para el año 2015, según el Banco Mundial. 2012

4

24 23 22 21 21

1 2 3 4 x

Población D, Antibiótico 4

y

Año 1 2 3 4 Número de 100 10.000 1.000.000 100.000.000 bacterias

9. ¿Cómo considera que es la situación de la compañía con el paso de los años? La cantidad de personas que adquieren un artículo después de t días de verlo en la televisión o escucharlo en la radio, está dada por la expresión: P  100  2t/s donde 100 es la cantidad inicial de personas. 10. ¿Cuántas personas adquirieron el artículo después de siete días? 11. Graficar la función p.

COMPRENDER EL ENUNCIADO La ganancia G en millones de bolívares de una compañía de telefonía celular, después de t años de ser lanzada al mercado, está dada por la expresión: t 1 G(t)  90 000  200 000 2

冢 冣

© SANTILLANA

4 3 2

24 23 22 21 21 22 23 24

2. Estudio para conocer el número de bacterias de un cultivo.

Año 2007 2009 2010 Habitantes 80 84 90 (millones)

y

y

Población de tigres de Bengala (1990-1998)

Población B, Antibiótico 2

6. Trazar la gráfica de la función ganancia. 7. ¿Cuál es la ganancia después de cinco años? 8. ¿Cuántos años deben transcurrir para obtener una ganancia de 201 406 millones?

63

MAT1 U3(59-76):MAT9(143-159,295-314) 09/04/12 03:46 p.m. Página 64

1.3. Ecuaciones exponenciales Una ecuación que contiene incógnitas en los exponentes recibe el nombre de ecuación exponencial. Por ejemplo, las expresiones 25  5x, 3x  1  8 son ecuaciones exponenciales. Resolver una ecuación exponencial, es encontrar el valor de la incógnita que hace verdadera la igualdad. Para ello, se deben tener en cuenta las propiedades de la potenciación y la siguiente propiedad. Si ax  ay entonces x  y

Ejercicio resuelto Si a, b 僆  y m, n 僆 , entonces: • am ⴢ an  am  n am  am  n •

an • (am)n  am ⴢ n 1 • an 

an • (a ⴢ b)n  an ⴢ bn n a an • 

b bn

冢 冣

• a0  1, a  0 • a1  a

ALGO IMPORTANTE Para comprobar se remplaza x por 3 en la ecuación original así, 13 1  4 de donde

2

冢 冣 2 1

冢 2 冣  4,

entonces, 4  4.

1. Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales. 1x 2 1 b.

4 c. 2x  6  32x a. 4x  1  2 2

冢 冣

SOLUCIÓN a. 4x  1  2 (22)x  1  2 22x  2  21 2x  2  1 12 1 x

 

2 2

Se descompone 4 en factores primos. Se aplica la propiedad (ax)y  axy. Se igualan los exponentes. Se despeja x.

1 en la ecuación original así, Para comprobar se remplaza x por 

2 1

1

4 2  1  2 de donde 4 2  2, entonces, 2  2. 1x

冢 冣

1 b.

2

4

(21)1  x  4

1  an. Se aplica la propiedad

an

21  x  4 21  x  22 1  x  2 x213

Se aplica la propiedad (ax)y  axy. Se descompone 4 en factores primos. Se igualan los exponentes. Se despeja x.

2 c. 2x  6  32x 2 2x  6  25x Se descompone 32 en factores primos. 2 x  6  5x Se igualan exponentes. 2 x  5x  6  0 Se iguala a cero. (x  3)(x  2)  0 Se factoriza. x  3, x  2 Se soluciona cada ecuación. Luego, las soluciones son x  2 y x  3. Se deja como ejercicio al lector verificar las soluciones.

64

© SANTILLANA

RECORDAR QUE

MAT1 U3(59-76):MAT9(143-159,295-314) 09/04/12 03:46 p.m. Página 65

UNIDAD 3 • FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARÍTMICA

2. En un laboratorio se observa que, en un cultivo de bacterias, cada una de ellas se divide en dos nuevas bacterias cada cuarto de hora. Si inicialmente se cuenta con una población de 500 bacterias: a. Encontrar la expresión que permite determinar el número de bacterias, después de cierto período de tiempo. b. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que el cultivo tenga una población de 16 000 bacterias?

PARA RESPONDER ¿La expresión 兹4苶  2 es una ecuación exponencial? x

SOLUCIÓN No es tan difícil como se piensa... a. Como cada bacteria se divide en dos cada cuarto de hora (figura 3) la expresión 24x determina el número de bacterias por hora. Así, se determina la expresión y  500(24x) donde y es el total de bacterias al final de cada hora, y x es el tiempo en horas. b. y  500(24x) 16 000  500(24x) 16 000

 24x 500

1 h 4

1 h 2

3 h 4

21

22

23

Se trasponen términos. Se resuelven las operaciones indicadas. Se descompone 32 en factores primos. Se aplica la propiedad. Se resuelve la ecuación.

Luego, para que el cultivo tenga una población de 16 000 bacterias debe transcurrir una hora y cuarto.

1

EJERCITACIÓN. Resolver las siguientes ecuaciones expo-

MODELACIÓN. Hallar el valor de x en cada caso.

nenciales. 1. 2x  16 3. 95x  1  81x  2 2 5. 42x  2  2x 5x 1 7.

 243 3

14. Si a  兹苶 5  兹苶2 y b  兹苶5  兹苶2, resolver

冢 冣

2. 32x  27 2

4. 7x  2x  493x  5 2 6. 3x  x  9

x

冢 冣 1 4

PROBLEMAS. Resolver.

 83x  1

8.

32ab  9x. 15. Si 93m  兹苶 27, resolver 42x  1  16m.

funciones dadas en el mismo plano. Luego, utilizar los gráficos de estas funciones para hallar la solución de la ecuación dada. 11. f(x)  2x y g(x)  x2. Resolver 2x  x2. 12. f(x)  3x y g(x)  x3. Resolver 3x  x3.

16. Un número de bacterias del tipo T3, aumenta en el cuerpo de un animal el triple cada media hora. Si la población inicial es de 10 bacterias, ¿cuántas habrá transcurridas 8 horas? 20. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que en el cuerpo del animal haya 810 bacterias? 21. La población p de un continente está dada por la relación t 3 p (t)  10 10 2

PARA PENSAR. * 13. ¿Cuál es la solución de la ecuación nx  xn?

Si t se mide en años, ¿cuánto tiempo transcurrió para que la población del continente se cuadruplicara?

2

9. 83x  5

1 

16

x

冢 冣 冢 冣

1 10.

5

1 

25

8

RAZONAMIENTO. En cada caso, realizar las gráficas de las

© SANTILLANA

Se sustituye y por 16 000.

32  24x 25  24x 5  4x 5 1 x   1

4 4

Figura 3

ACTIVIDADES

Ecuación para calcular el total de bacterias.

冢 冣

65

MAT1 U3(59-76):MAT9(143-159,295-314) 09/04/12 03:46 p.m. Página 66

2F

UNCIÓN LOGARÍTMICA

2.1. Concepto de logaritmo Se denomina logaritmo de un número x de base a, al número y al cual se eleva la base a para obtener la potencia x. Es decir, Loga x  y si y sólo si ay  x con a  0 y a 苷 1.

Por ejemplo, la expresión Log3 81  4 significa que cuatro es el exponente al que hay que elevar 3, para que el resultado sea 81. Se dice que Log3 81  4 es la forma logarítmica y 34  81 es la forma exponencial.

Ejercicio resuelto 1. Calcular los siguientes logaritmos. b. Log3 1 a. Log2 16

Los logaritmos más utilizados, puesto que pueden ser encontrados por medio de la calculadora, son: • Los logaritmos decimales o de base diez, notados Log10  Log. • Los logaritmos naturales o de base e, notados ln.

SOLUCIÓN a. Log2 16  4 pues 16  2 ⴢ 2 ⴢ 2 ⴢ 2  24 b. Log3 1  0 pues 30  1 1 3 1 1 1 1  3 pues

ⴢ ⴢ   43 c. Log4

4 4 4 4 64

冢 冣

2. Expresar en forma logarítmica o en forma exponencial según corresponda. 1 16  4 b. Log

a. 53  125 2

SOLUCIÓN a. 53  125 en forma logarítmica es Log5 125  3 4 1 1 16  4 en forma exponencial es

 16 b. Log

2 2

冢 冣

2.2. Definición de función logarítmica Una función f(x)  y  Loga x con a  0 y a 苷 1 recibe el nombre de función logarítmica. Por ejemplo, y  Log3 x; y  Log

1 x; y  Log 5 x son funciones loga

4 4 rítmicas.

2.3. Análisis gráfico de la función logarítmica Graficar una función logarítmica a partir de su tabla de valores puede ser una tarea muy costosa, puesto que introducir valores de x y después encontrar los correspondientes valores de y no es fácil. Por ejemplo, si x  3, entonces, y  Log2 3, lo cual no es sencillo determinar. Así, para representar gráficamente la función logarítmica es conveniente usar la forma exponencial equivalente y proceder como se hace con la función exponencial. 66

© SANTILLANA

ALGO IMPORTANTE

1 c. Log4

64

MAT1 U3(59-76):MAT9(143-159,295-314) 09/04/12 03:46 p.m. Página 67

UNIDAD 3 • FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Ejercicio resuelto x

f(x) ⴝ Log2 x

1

8 1

4 1

2 1 2 4 8

3

Representar gráficamente las siguientes funciones logarítmicas y verificar sus características. b. y  f(x)  Log

a. y  f(x)  Log2 x 1 x 2

SOLUCIÓN a. y  log2 x es equivalente a 2y  x luego, en este caso es más conveniente dar valores a y en la expresión 2y  x para hallar el valor de x (tabla 1).

2 1

y

0 1 2 3

3 2 1 23 22 21 21 22

Tabla 1

x

23

1 x f(x) ⴝ Log

2

8 4 2 1 1

2 1

4 1

8

3 2 1 0 1 2 3 Tabla 2

ALGO IMPORTANTE

© SANTILLANA

Una asíntota es una recta a la que se acerca la gráfica de una función pero nunca llega a cortarla.

(4, 2)

(8, 3)

(1, 0) (2, 1) 1

2

3

12 1

4

5

2

,21

6

7

8 x

A partir de la gráfica se observa que la curva se encuentra ubicada al lado derecho del eje y por lo tanto, el dominio de la función es el conjunto . Como el exponente puede tomar cualquier valor, el rango de la función es el conjunto .

Como lo muestra la tabla 1, el x-intercepto es 1. Además, cuando el valor de x aumenta, el valor de f(x) también aumenta, luego, y  Log2 x es una función creciente. y 1  x, de la misma manera que b. y  f(x)  Log

1 x es equivalente a

2 2

冢 冣

en el caso anterior, para elaborar la tabla se dan valores a y en la expresión y 1

 x para encontrar los valores de x (tabla 2). 2

冢 冣

A partir de la gráfica se observa que el dominio de la función es el conjunto . y Como el exponente puede tomar cualquier 3 valor, el rango de la función es el conjun2 to . 1 (1, 0) El x-intercepto es 1 según lo muestra la 23 22 21 1 2 3 4 5 6 7 8 x 21 tabla 2. Además, se observa que cuando el (2, 21) 22 valor de x aumenta el valor de f(x) dismi(4, 22) 23 (8, 23) nuye, luego, y  Log 1 x es una función

2 decreciente.

En general, para la función logarítmica y  Loga x se tiene que: • El dominio de la función es el conjunto de los reales positivos o el intervalo (0, ). • El rango de la función es el conjunto de los números reales. • El x-intercepto es el punto (1, 0). • La función es creciente si a  1 y es decreciente si 0
a
1. • La recta x  0 es una asíntota para la gráfica de la función logarítmica, pues la gráfica de la función se acerca a ella sin llegar a tocarla. • No existen logaritmos de números negativos. 67

MAT1 U3(59-76):MAT9(143-159,295-314) 09/04/12 03:46 p.m. Página 68

Ejercicio resuelto ALGO IMPORTANTE La gráfica y  Loga x es la reflexión con respecto a la recta y  x de la gráfica y  ax y 5 4 3 2 1 25 24 23 2221 21 22 23 24 25

A partir de la gráfica de la función f(x) ⴝ Log2 x, realizar la gráfica de cada una de las siguientes funciones logarítmicas. b. f(x)  Log2 x c. f(x)  Log2 x  4 a. f(x)  Log2(x) e. f(x)  Log2(x  3) f. f(x)  (Log2 x)  3 d. f(x)  Log2(x  4) SOLUCIÓN a. Se refleja con respecto al eje y.

b. Se refleja con respecto al eje x.

y

1 2 3 4 5 x

y

5 4 3 y 5 Log2 (2x) 2 1

y 5 Log2 x 1 2 3 4 5 x

2524 23 2221 22 23 24 25

22 23 24 25

d. Se traslada cuatro unidades a la izquierda.

3 y 5 Log2 x

y 5 Log2 (x 1 4) 1

y 5 Log2 x 1 2 3 4 5 x

2524 23 22 21 22 23 24 25

e. Se desplaza tres unidades a la derecha.

23 22 21

y 5 2Log2 x

y 5 Log2 x 1 4

22 23 24 25

y 5 4 3 2 1

1 2 3 4 5 x

252423 2221

y 5

1 2 3 4 5 x

252423 2221

y 5 Log2 x

22 23 24 25

c. Se sube cuatro unidades. y 5 4 3 2 1

5 4 3 2 1

f. Se baja tres unidades. y 3 2 1

y 5 Log2 x 2524 23 22 21 1 2 3 4 5 6

y 5 Log2 (x 2 3)

x

y 5 Log2 x 1 2 3 4 5 x

22 23 24 25 y 5 (Log2 x) 2 3 26 27

PARA RESPONDER

• Se sube c unidades si c  0 o se baja c unidades si c
0.

¿Cómo será la gráfica de f(x)  [Log2(x  3)]?

• Se desplaza b unidades a la derecha si b
0 o b unidades a la izquierda si b  0.

68

© SANTILLANA

En general, en la expresión y  [Loga(x  b)] c la gráfica de la función y  Loga x:

MAT1 U3(59-76):MAT9(143-159,295-314) 09/04/12 03:46 p.m. Página 69

UNIDAD 3 • FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARÍTMICA

ACTIVIDADES

2

EJERCITACIÓN. Calcular los siguientes logaritmos. 1. Log2 8

2. Log3 27

3. Log 10 000

4. Log4 1

5. Log5 625

1

6. Log

1 81 7. Log

1 3 125 8. Log

EJERCITACIÓN. Expresar los siguientes logaritmos en forma exponencial. 11. Log3 81  4 12. Log5 25  2 13. Log2 64  6 14. Log7 343  3 15. Log2,2 N  3 16. Logx e 

1 16

2

1

5

3

1 81

10. Log3

1 256 9. Log

2

17. Log

27  3 3

1 18. Log

32  5

1 125  3 19. Log

20. Log10 1  0

2

5

EJERCITACIÓN. Completar las tablas de las funciones logarítmicas respectivas. Luego, graficarlas y determinar

su dominio, rango y crecimiento. 21.

x

1

3

y

1

1

3

9

27

22.

2

x

1

5

1

y

5

0

25 125

23.

3

x

1 1



25 5

y

1

5

25

1

2

MODELACIÓN. Relacionar cada gráfica con las funciones logarítmicas dadas. 24. y  Log4 x

25. y  Log4(x)

26. y  Log4 x

27. y  Log4(x)

28. y  Log4 x  1

29. y  Log4(x  1)

30. y  Log4(1  x)

31. y  1  Log4 x

a.

4 3 2 1

y

1 2 3 4 x

24 23 22 21 21 22 23 24

e.

4 3 2 1 24 23 22 21 21 22 23 24

b.

y

1 2 3 4 x

4 3 2 1 24 23 2221 21 22 23 24

f.

4 3 2 1 24 23 22 21 21 22 23 24

y

c.

1 2 3 4 x

24 23 22 21 21

y

d.

1 2 3 4 x

y

g.

1 2 3 4 x

tes funciones. Luego, responder. y  4x; y  Log4 x 32. ¿Son simétricas respecto a la recta y  x? 33. ¿En cuántos puntos se cortan? 34. ¿En cuántos puntos se cortan las funciones y  Log8 x, y  Log2 x y y  Log4 x?

4 3 2 1 24 23 22 21 21 22 23 24

y

1 2 3 4 x

4 3 2 1 24 23 22 21 21 22 23 24

22 23 24

RAZONAMIENTO. Dibujar en el mismo plano las siguien-

© SANTILLANA

4 3 2 1

h.

4 3 2 1 24 23 22 21 21 22 23 24

y

1 2 3 4 x

y

1 2 3 4 x

PROBLEMAS. Para cierta población de células el crecimiento N en un tiempo t está dado por: N  4 Log3(1  t) 35. ¿Qué significado tiene el número 4 en dicha expresión? 36. Hacer la gráfica de la función anterior y determinar qué significado tiene al ser creciente o decreciente.

69

MAT1 U3(59-76):MAT9(143-159,295-314) 09/04/12 03:46 p.m. Página 70

2.4. Propiedades de los logaritmos Para todo a, x, y 僆  se verifican las siguientes propiedades. Log x x 3 Log x 

Loga  Loga x  Loga y a y Log a x Loga y 5 Loga 兹苶 6 Loga 1  0 para a ⬆ 0 7 Loga a  1 y

x

1

Loga x ⴢ y  Loga x  Loga y

4

Loga xy  y Loga x

2

Ejercicio resuelto 苶 aplicando la propiedad de los x2兹y 1. Simplificar la expresión Loga

z logaritmos. SOLUCIÓN x2兹苶y Loga  Loga x2兹苶y  Loga z z

Se aplica la propiedad 2.

 Loga x2  Loga 兹苶y  Loga z Se aplica la propiedad 1.  2 Loga x  Loga 兹苶y  Loga z Se aplica la propiedad 4. Loga y  2 Loga x 

 Loga z Se aplica la propiedad 5. 2 1 2. Expresar como un solo logaritmo Loga x4  Loga x2  3 Loga x. 2 SOLUCIÓN 1

Loga x4  Loga x2  3 Loga x 2  Loga(x4)1/2  Loga x2  Loga x3

Se aplica la propiedad 4.

 Loga x2 ⴢ x2  Loga x3 x4  Log x  Loga

a x3

Se aplica la propiedad 1. Se aplica la propiedad 2 y se multiplica la expresión.

3. Si Loga 2  0,43 y Loga 3  0,68, calcular el valor de Loga 6.

Corrección del ejercicio 4 Loga(xy2)  Loga x  Loga y2  Loga x  2 Loga y

Se descompone 6 como 2 ⴢ 3 Se aplica la propiedad 1 Se remplaza Loga 2 y Loga 3 y se resuelven las operaciones indicadas.

4. Indicar el error cometido en la simplificación de la siguiente expresión. Luego, corregirlo. Loga(xy2) ⴝ Loga x Loga y2 ⴝ Loga x ⴢ 2 Loga y ⴝ 2 Loga x Loga y SOLUCIÓN El error se cometió al aplicar la propiedad 1. La corrección del ejercicio se muestra a la izquierda.

70

© SANTILLANA

SOLUCIÓN Loga 6  Loga(2 ⴢ 3)  Loga 2  Loga 3  0,43  0,68  1,11

MAT1 U3(59-76):MAT9(143-159,295-314) 09/04/12 03:46 p.m. Página 71

UNIDAD 3 • FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARÍTMICA

ACTIVIDADES

3

EJERCITACIÓN. Simplificar cada expresión aplicando las

EJERCITACIÓN. Escribir cada expresión como un solo

propiedades de los logaritmos. 1. Log2 兹苶 2 2. Log3 兹苶 27

logaritmo. 19. Log2 x  3 Log2(x  2)

3. Log2

20. Log5 a  1  3 Log5(a2  1)

1

冣莦 冪冢莦莦 32

4. Log4

3

5. e2ln10

5

21. 3 Log(m  n)  4 Log m  5 Log n

6. 25 Log2 3

(z  x)2 兹苶y

7. Logn

3

9. Logn

1

冪莦 16

8. Logm

x(x  b) 冪

莦 兹苶b 2

4

zⴢx 冪莦

y

冢

22. Loga 8  8 Loga 2  4 Loga 4

3

5

4

1 3

23. [Log7(y3  8)  2 Log7(y  2)]

xy3 2 兹苶 z

10. Logm

3

冣

1 2

24. [Loga(x2  4x  4)  Loga(x  2)  Loga(x  2)]

RAZONAMIENTO. Escribir V, si la afirmación es verdade-

RAZONAMIENTO. Unir las expresiones equivalentes.

ra, o F, si es falsa. Justificar la respuesta. 11. Loga(n  m)  Loga n  Loga m 12. Loga(n  m) 苷 Loga n  Loga m 13. Loga an  a Loga n 14. Loga an ⴢ bn  n(1  Loga b) m 15. Logn 兹x苶  Logn x  Logn m 16. Logx y ⴢ Logy x  1 a 17. Loga am  Log兹 b 苶b 2 2 18. Logn(x  y )  Logn x2  Logn y2

冢 27 冣 1

25. Log3

a. Log兹5苶 625

26. Log兹5苶 54

b. 2

1 36

27. Log2

c. Log2 62

28. Log

1 d. Log3

125

1

7

49

29. Log3 53

冢

冣

e. 3

EJERCITACIÓN. Si Logb 4  2, Logb 5  10, Logb 6  18 y Logb 7  14, calcular.

冢 冣 28 34. Logb 冪莦

120 30 35

30. Logb

4

31. Logb 20兹苶 5 35. Log

兹苶 兹苶 16 苶苶8苶 2

2

PROBLEMAS. El volumen de un sonido es definido por

los físicos como intensidad. La intensidad es la cantidad de energía que transmite una onda sonora a través de un área dada. El volumen D, medido en decibeles (en honor a Alexander Graham Bell), está dado por la expresión:

33. Logb 兹苶 14苶0

36. Logb Logb 256

37. Logb 7Logb 30

3

Io: sonido menos intenso que puede detectar el oído humano, 1012 W/m2. 38. Si una conversación normal tiene una intensidad

de 3,2  106 W/m2. Calcular el número de decibeles de la conversación.

39. Calcular la cantidad de decibeles en una congestión vehicular, si se percibe con una intensidad de 8,5  104 W/m2.

冢 冣

I D  10 Log

Io donde © SANTILLANA

32. Logb 兹苶 42

D: cantidad de decibeles. I: intensidad del sonido, medida en vatios por metro cuadrado (W/m2).

71

40. Si el umbral de dolor del oído humano se experi-

menta por encima de los 120 decibeles, ¿es posible que un ruido de construcción a 3 m de 101 W/m2 produzca esta sensación? Justificar la respuesta.

MAT1 U3(59-76):MAT9(143-159,295-314) 09/04/12 03:46 p.m. Página 72

2.5. Ecuaciones logarítmicas Una ecuación que contiene una incógnita en un logaritmo recibe el nombre de ecuación logarítmica. Por ejemplo, Log2 3x  5 es una ecuación logarítmica. Para resolver una ecuación logarítmica es necesario expresar la ecuación dada en forma exponencial. Luego, se resuelve aplicando los procesos algebraicos conocidos.

Ejercicio resuelto 1. Resolver la siguiente ecuación Log2 8x  4  Log2(x  1).

MATEMÁTICOS DEL SIGLO XVII…

SOLUCIÓN Se expresa como un solo logaritmo la ecuación dada. Así, Log2 8x  4  Log2(x  1) Se transponen términos. Log2 8x  Log2(x  1)  4 Log2 8x(x  1)  4 Se aplica la propiedad 1. 4 2  8x(x  1) Se expresa en forma exponencial. 2 8x  8x  16  0 Se resuelven las operaciones indicadas. (4x  4)(2x  4)  0 Se factoriza. x  1 y x  2 Se solucionan las ecuaciones. Al verificar las soluciones en la ecuación dada se descarta la solución x  2, pues Log2(16) y Log2(3) no existen, luego, la única solución válida es x  1. Para comprobar la solución se remplaza en la ecuación original. Así, Log2 8 ⴢ (1)  4  Log2(1  1) 341 33 2. Resolver la siguiente ecuación exponencial 3x  2  6. SOLUCIÓN 3x  2  6 Log 3x  2  Log 6 (x  2) Log 3  Log 6 Log 6 x 2 Log 3

Ecuación dada. Se aplica logaritmo en ambos miembros. Se aplica la propiedad 4. Se despeja x.

Al remplazar x en la ecuación original se verifica que el valor hallado sí es una solución de la ecuación.

2.6. Sistemas de ecuaciones logarítmicas Un conjunto formado por dos ecuaciones logarítmicas recibe el nombre de sistema de ecuaciones logarítmicas. Para solucionar un sistema de ecuaciones logarítmicas se expresa cada ecuación en forma exponencial y se procede de manera similar a los sistemas de ecuaciones lineales estudiadas en la unidad 4. 72

© SANTILLANA

JOHN NAPIER (1550-1618) Barón de Merchiston en Escocia. Dio a conocer los logaritmos en su libro titulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, a los cuales llamó números artificiales. Con estos números contribuyó al avance de la ciencia, especialmente en la astronomía, pues simplificó el cálculo manual de las matemáticas, ya que las multiplicaciones se convirtieron en sumas, los cocientes, en restas, las potencias, en productos y las raíces, en divisiones.

MAT1 U3(59-76):MAT9(143-159,295-314) 09/04/12 03:46 p.m. Página 73

UNIDAD 3 • FUNCIÓN EXPONENCIAL Y FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Ejercicio resuelto Resolver el siguiente sistema 2 Log2 x ⴙ Log2 y ⴝ 4 Log2 x ⴙ 2 Log2 y ⴝ 5

冦

SOLUCIÓN El sistema 2 Log2 x  Log2 y  4 Log2 x  2 Log2 y  5 2 Log2 x ⴢ y  4 Log2 xy2  5 x2 ⴢ y  24 xy2  25 Luego, x  2 y y  4

冦

冦 冦

ACTIVIDADES

rítmicas. 1. Log12(x  5)  Log12(x  5)  2 2. Log3 x  Log3(2x  51)  4 3. Log5(3x  2)  1  Log5(x  4) 4. Log6(x  1)  Log6(x  4)  2 5. Log10 x  Log10(x  3)  1 6. 1  Log10(x  2)  Log10(3x  1) 7. Log3 兹苶 x 苶苶3  Log3 兹x苶  Log3 兹苶2

Se expresan en forma exponencial. Se soluciona el sistema.

19 14

20.  Log2(2x  3)  Log2(x  1)  4; x 

21.  Log3(8x3  1)  1  Log3(4x2  2x  1); x  0 EJERCITACIÓN. Resolver los siguientes sistemas de ecua-

ciones. 22.

Log6 y  5 冦 2LogLog6 x64xLog 5 6y 3

23.

Log10 x  Log10(y  3)  log10 6 冦 Log 10 (x  7)  Log10(x  2)  1

24.

冦

Log3 x4  Log3 y5  19 Log3 x3  Log3 y3  6

25.

冦

Log x6  Log y  5 7 Log6 x  5 Log6 y  3

26.

y5 冦 7LogLog2 xx5  34 Log Log2 y  11

8. Log2 x ⴢ Log2 4  Log7 49 9. Log2 Log2 16  1  Log2 x EJERCITACIÓN. Resolver las siguientes ecuaciones si Log

2  0,3; Log 3  0,47; Log 5  0,69. 10. 25x  1  32x 11. 54x  4 12. 35x  4  2x  1 13. 2x  4  510x 14. 9x  4  82x  1 15. 252x  3  275x  6 3x  6 x  5 2 1 1 16.



17. 3x  2x  54x  2 2 3

冢 冣

* PARA PENSAR. Marcar con (V) si la solución dada verifica la ecuación.

© SANTILLANA

Se aplican las propiedades de los logaritmos.

4

EJERCITACIÓN. Resolver las siguientes ecuaciones loga-

冢 冣

Se transforma en

10x  11

18.  Log10 x2  Log10

 1; x  2 10 19.  Log10(x  3)  1  Log10  x; x  2

PROBLEMAS. Resolver.

Una sustancia radiactiva decrece de acuerdo con la expresión N  27,273e0,41t donde N es el número de miligramos por hora. 27. Determinar el número de horas que se requieren para que sólo quede un miligramo.

73

MAT1 U3(59-76):MAT9(143-159,295-314) 09/04/12 03:46 p.m. Página 74

CIENCIAS SOCIALES

Crecimientos y decrecimientos La base

e

Muchos problemas de la naturaleza necesitan de una función exponencial cuya base es un número irracional, simbolizado por la letra e, en honor del matemático suizo Leonardo Euler (1707-1783). e es aproximadamente igual a 2,71828… La función exponencial f(x)  ex, aparece con tal frecuencia en las aplicaciones, que se conoce, por lo general, como la función exponencial. A continuación, se muestra la tabla de valores (aproximada) de ex y de e2x y sus gráficas respectivas. La gráfica de y  ex está entre las gráficas de y  2x y y  3x. y

x 23 22 21 0 1 2 3

ex 0,05 0,13 0,37 1 2,72 7,39 20,1

10

e2x 20,1 7,39 2,72 1 0,37 0,13 0,05

9 8 f(x) 5 e2x

f(x) 5 ex

7 6 5 4 3 2 1

24

23

22

21

1

2

3

4 x

1. 2. 3. 4. 5.

Hacer un bosquejo de la gráfica de la función anterior. ¿Cuántos miligramos había inicialmente? ¿Cuántos miligramos hay después de cinco días? ¿Cuántos días se requieren, aproximadamente, para obtener 53,8 mg? Después de un año, ¿qué pasa con el elemento radiactivo? 74

© SANTILLANA

La función exponencial se presenta con gran frecuencia en el análisis económico y en problemas que implican crecimiento o decrecimiento, como en estudios de población, interés compuesto y desintegración radiactiva. Un elemento radiactivo decrece de manera que, después de t días, el número de miligramos N presentes, está dado por N  100e0,062t

MAT1 U3(59-76):MAT9(143-159,295-314) 09/04/12 03:46 p.m. Página 75

EL CRECIMIENTO DE LA POBLACIÓN HUMANA

Un problema ecológico La velocidad con la que consume el hombre los recursos naturales supera, en la mayoría de los casos, la velocidad con que se genera el recurso. El mismo comportamiento poblacional del hombre es un factor de cambio. Cada hora nacen más de 11 000 personas y la población se incrementa alrededor de 1 000 millones. Hace 10.000 años existían en el mundo entre cinco y diez millones de personas. A partir de entonces, el crecimiento de la población fue gradual, pero relativamente lento, hasta llegar al siglo XX, donde el crecimiento se aceleró.

Según los especialistas, la población humana tenderá a estabilizarse a principios del próximo siglo, y esta cifra se aproximará a 10 600 millones.

Crecimiento de la población mundial Número de personas (millones)

Año

1 000 2 000 3 000 4 000 5 000 6 000

1804 1927 1960 1974 1987 1999

Dentro de 100 años, la Tierra habrá superado los 10 000 millones de habitantes. Tal vez, los recursos para alimentarlos puedan cubrir sus necesidades mínimas. Pero es imposible predecir el costo para el ambiente.

© SANTILLANA

6. Hacer una gráfica que represente el crecimiento de la población mundial. 7. A partir de la gráfica, estimar la población mundial para los años 2015, 2024 y 2044. 8. ¿Qué se puede concluir con base en los resultados anteriores? Una expresión que permite calcular la población mundial a corto tiempo, es: P(t)  Poekt donde, Po: es la población inicial k: es la constante de crecimiento, de acuerdo con el puntaje anual.

Si se tiene que Po  6 350 millones (población en el año 2006) y k  0,012. 9. Calcular la población mundial para los años 2015, 2024 y 2044. 10. Comparar los resultados obtenidos en los numerales 2 y 4. ¿Existe alguna diferencia? Justificar. 75

MAT1 U3(59-76):MAT9(143-159,295-314) 09/04/12 03:46 p.m. Página 76

Identifica la respuesta adecuada. TIPO: SELECCIÓN MÚLTIPLE, RESPUESTA ÚNICA. Las siguientes preguntas están formadas por un enunciado y cuatro posibles respuestas de las cuales una es correcta. RESPONDE LAS PREGUNTAS 1 A 4 A PARTIR DE LAS SIGUIENTES GRÁFICAS.

función. Esta afirmación es A. verdadera, porque cada una de ellas es la gráfica de una función exponencial. B. verdadera, porque no hay ningún punto en el dominio con dos imágenes distintas. C. falsa, porque no todas las funciones son exponenciales. D. falsa porque al trazar una línea paralela al eje x esta toca a la gráfica en más de dos puntos.

C.

t

B.

t

D.

t

t

1. “La temperatura de una ciudad disminuye cons-

tantemente”. Este enunciado representa el comportamiento de la gráfica C. Esta afirmación es A. verdadera, porque muestra el cambio a través del tiempo. B. falsa, porque la gráfica C representa una función creciente. C. verdadera, porque muestra que decrece en función del tiempo. D. falsa, porque no muestra el cambio en la temperatura. 2. Un enunciado que describe el comportamiento de la gráfica D es A. un avión que sobrevuela varias veces un aeropuerto antes que se permita su aterrizaje. B. la temperatura aumentó durante las horas de la mañana, pero nunca sobrepasó los 20° grados. C. luego de suministrar un medicamento a un paciente sus pulsaciones disminuyen hasta ser constantes. D. las ventas en función del precio del producto. 3. La temperatura aumentó en la mañana. Hacia el mediodía descendió pues hubo un gran aguacero. La gráfica que representa mejor el enunciado anterior es A. la gráfica A. C. la gráfica C. B. la gráfica B. D. la gráfica D.

RESPONDE LAS PREGUNTAS 5 A 6 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN. Un proyectil que es disparado por un cañón describe una trayectoria parabólica.

y x La ecuación de dicha trayectoria está dada por. y(x)  x2  10x  2 donde x y y se miden en metros y x representa la distancia horizontal entre la bala y el cañón. 5. Cuando se dispara la bala, esta se encuentra a una altura de A. 1 metro. C. 5 metros. B. 2 metros. D. 7 metros. 6. Cuando la bala alcance una altura de 23 metros cayendo, la distancia horizontal entre la bala y el cañón será A. 3 metros. C. 7 metros. B. 5 metros. D. 9 metros.

76

© SANTILLANA

A.

4. Cada una de las gráficas puede representar una

MAT1 U4-1(77-96):MAT10-U2(37-56) 18/04/12 10:54 a.m. Página 77

UNIDAD

4

Funciones trigonométricas I

TEMAS

1.C 2.F 3.R

ONCEPTOS PREVIOS

UNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. ELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO.

4.R

No es tan difícil como se piensa... C

EDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL

PRIMER CUADRANTE.

5.P

• • • •

ROBLEMAS DE APLICACIÓN.

TRAS LAS HUELLAS. COMPARACIONES. DISTANCIA A LA TIERRA. LEY DE SNELL.

Para determinar la altura de un edificio, Sebastián se ubica a 8 m del pie de este y mide el ángulo de 60º como se muestra en la figura. Si la estatura de Sebastián es 1,47 m, determinar la altura del edificio.

h

60º A B

PROBLEMA RESUELTO PÁG. 105

8m

1C

ONCEPTOS PREVIOS

Un ángulo es la unión de dos rayos o semirrectas con el mismo origen. A las semirrectas se les denomina lados y al origen común se le llama vértice. En la figura 1 se muestra el ángulo ABC. Según esta definición, el orden en que se nombran los lados del ángulo es indiferente. Sin embargo, en el estudio de la trigonometría es importante tener en cuenta el lado del ángulo que se nombra primero. Es decir, hay diferencia entre ABC y CBA. En ABC, BA es el lado inicial y BC es el lado final (figura 2). En CBA, BC es el lado inicial y BA es el lado final (figura 3). Considerados así, los ángulos se llaman orientados. Los ángulos también se pueden notar por las letras griegas , , , , entre otras.

A

B

C

Figura 1

lado final

1.1. Ángulos

1.2. Ángulos sobre el plano cartesiano Un ángulo se considera en posición canónica o normal cuando, en un sistema de coordenadas, el vértice de coincide con el origen y su lado inicial coincide con el semieje positivo x.

A

ABC

Cuando un ángulo se encuentra en posición normal, la ubicación del lado final permite determinar el cuadrante al cual pertenece. En los siguientes diagramas se presentan ángulos en posición normal, ubicados en cada uno de los cuadrantes.

B lado inicial

C

Figura 2

y

y I

lado inicial

II

A x

x

CBA B lado final

C

Figura 3

y

y

PARA RESPONDER

Un ángulo es negativo cuando se genera a partir de una rotación que tiene el mismo sentido de las manecillas del reloj.

x

x

III

Dos ángulos en posición normal pueden tener el mismo lado final, en este caso se dice que los ángulos son coterminales. Por ejemplo, en la siguiente figura, los ángulos , y son coterminales. ángulo positivo ángulo positivo ángulo negativo Se puede observar que en el ángulo el lado final da más de una vuelta.

78

IV

y

x

© SANTILLANA

Un ángulo es positivo cuando se genera a partir de una rotación que tiene sentido contrario a las manecillas del reloj.

UNIDAD 4 • FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS I

1.3. Medición de ángulos Los ángulos se miden en grados y en radianes. El grado es la unidad de medida de los ángulos en el sistema sexagesimal y el radián es la medida de los ángulos en el sistema cíclico. 1.3.1. Medida de ángulos en el sistema sexagesimal

Un ángulo generado por la rotación del lado final en una vuelta mide 360 grados y se denota 360º. 1 El grado sexagesimal (1º) se define como de una vuelta. 360

PARA RESPONDER ¿A cuántos segundos equivale un grado?

60’).

Un grado sexagesimal equivale a 60 minutos (1º Un minuto equivale a 60 segundos (1’ 60”).

Ejercicio resuelto Expresar el ángulo de 35,225º en grados, minutos y segundos. B

SOLUCIÓN

r

(

AB

A

(

medida AB = r

Figura 4

Primero se determinan los minutos a los que equivale la parte decimal. 0,225 60 13,5’ Se multiplica por 60. Luego, se determinan los segundos a los que equivale la parte decimal. 0,5 60 30” Se multiplica por 60. Así, 35,225º 35º 13’ 30’’. 1.3.2. Medida de ángulos en el sistema cíclico

(

(

Sobre una circunferencia, un ángulo central, , determina un arco AB (figura 4). Se dice que la medida de un ángulo es 1 radián (1 rad) si la longitud del arco AB que le corresponde, es igual al radio de la circunferencia.

90º 135º

2

3 4

Un radián es la medida de un ángulo central de una circunferencia cuyo arco mide igual que un radio.

45º 4

180º 2

5 4 225º

7 4

3 2 270º

Figura 5

315º

0º 360º

1.3.3. Equivalencia entre el sistema sexagesimal y el cíclico

Puesto que la longitud de la circunferencia es 2 r, se tiene que la longitud del arco correspondiente a un ángulo de 360º es igual a 2 arcos cuya medida es r, 180 º por tanto, 360º 2 rad, ⇒ 1º rad ⇒ 1 rad. 180 En la figura 5 se muestran algunas medidas en grados y en radianes.

Ejercicio resuelto Expresar: a. 225º en radianes. b.

3 4

rad en grados.

© SANTILLANA

SOLUCIÓN a. Como 1º b. Como 1 rad

180 rad, entonces, 225º 180

º, entonces

79

3 4

225

180

rad

3 4

rad

5 4

180 º

rad. 135º

MAT1 U4-1(77-96):MAT10-U2(37-56) 18/04/12 10:54 a.m. Página 80

ACTIVIDADES

1

EJERCITACIÓN. Ubicar aproximadamente el lado terminal del ángulo dado en posición normal. Luego determinar su medida en radianes. 1. 1º 2. 1,8º 3. 4º 4. 13,6º 5. 30º 6. 8º 7. 3º 8. 10º 9. 60º 10. 90º 11. 0,6º 12. 2,09º

RAZONAMIENTO. Realizar la operación indicada. 38. 15,89º  12º 25’ 14” 39. 214º 35’ 21’’  116,89º 40. 60º  27º 21’ 37” 41. 0,89º  2,37º  4º 27’ 2”

EJERCITACIÓN. Encontrar un ángulo positivo y uno negativo que sea coterminal con cada ángulo dado. 9 13. 120 14.  15. 310º 4

RAZONAMIENTO. Unir con líneas las medidas equivalentes. 42. 23º a. 157º 30’ 43. 140º 35’ 15” b. 150º  44.  c. 22º 59’ 60” 4

8 3

16.  

19. 3

17. 900º

18. 5

 20.  4

3 21.   5

EJERCITACIÓN. Expresar las medidas de cada ángulo en grados, minutos y segundos. 22. 38,20º 23. 49,371º 24. 10,38º 25. 0,479º 26. 2,489º 27. 45,5º 28. 30,7º 29. 60,728º 30. 1,276º RAZONAMIENTO. Determinar en cada caso la fracción del ángulo dado. 2 de un ángulo en posición normal que mide  . 31. Los   5 2 32. La mitad de un ángulo con medida 31º (expresar la res-

puesta en grados, minutos y segundos).

5 6

d. 45º

7 8

e. 140,5875º

45. 

46. 

MODELACIÓN. Los cartógrafos usan una cuadrícula que contiene círculos que van de polo a polo, llamados meridianos o líneas de longitud. Existen otros, paralelos al círculo ecuatorial, que reciben el nombre de paralelas o líneas de latitud. Ambas líneas, meridianos y paralelos, determinan la posición geográfica de una región.

Círculo de latitud

Ecuador

Línea de longitud

47. Si la posición geográfica de Veneezuela en términos de

1 de 70º 21’ 33. 

su latitud es: 4,225º latitud sur y 12,4628º latitud norte, expresar cada dato en términos de grados, minutos y segundos.

10 1 34.  de 70,35º 5

* PARA PENSAR. Hallar las medidas de los ángulos internos

del triángulo ABC.

2 3

35.  de 30,50º

48.

49.

B

A

B

3 4

36.  de 12º 43’ 45’’ 120,8º

1 7

42,4º

37.  de 49º 15’ A

C

C

Ángulo medido en grados Ángulo medido en radianes

45º

30º   rad 3

180º   rad 2

80

135º 0 rad

15º 2  rad 3

270º 5   rad 6

© SANTILLANA

50. Completar la siguiente tabla.

MAT1 U4-1(77-96):MAT10-U2(37-56) 18/04/12 10:54 a.m. Página 81

A r

UNIDAD 4 • FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS I

1.4. Longitud de arco

s

u O

B

r

Figura 6

Es posible determinar la medida de un arco s descrito sobre una circunferencia, a partir del siguiente razonamiento. Como un ángulo de 2 radianes determina la medida de cualquier circunferencia sin importar qué radio tenga, a partir de la figura 6 se puede plantear la 2 r s siguiente proporción    , por tanto, s  r 2

Ejercicio resuelto Determinar la longitud del arco que describe una persona situada en el Ecuador terrestre en 1 hora, debido al movimiento de rotación de la Tierra. t P Q

u O

Q

P

t=0

SOLUCIÓN Se sabe que el radio de la Tierra es de 6.375 km y que si el arco descrito se va a deter1 minar en 1 hora, se tiene que la Tierra realiza  de vuelta. Así, 24 1 vuelta → 2  1  vuelta → ⇒   radianes 12 24

Figura 7

 Luego, la longitud de arco está dada por s  r  6.375 ⴢ   1.668,9 km 12

1.5. Velocidad angular y velocidad lineal

ALGO IMPORTANTE La velocidad angular es igual para todos los puntos del cuerpo que gira. En el ejemplo del disco, la velocidad angular en el punto Q es igual a la velocidad angular en el punto P.

1.5.1. Velocidad angular Cuando un objeto gira, su rapidez depende del ángulo que barre y del tiempo empleado en barrer dicho ángulo. Por ejemplo, si el disco de la figura 7 gira un ángulo en un tiempo t, todos sus radios barren el mismo ángulo en dicho tiempo. Si un objeto gira ángulos iguales en tiempos iguales, se define la velocidad angular , como   t La velocidad angular se mide en radianes por segundo (rad/s) o en radianes por hora (rad/h).

El número de vueltas que realiza un objeto en una unidad de tiempo se denomina frecuencia. Si el ángulo se mide en vueltas y el tiempo se mide en minutos, la frecuencia se expresa en revoluciones por minuto (r.p.m.).

Ejercicio resuelto Determinar la velocidad angular de la polea de un motor que gira a 1 000 r.p.m.

© SANTILLANA

SOLUCIÓN Como el disco realiza 1 000 vueltas por minuto, el ángulo que gira en un minuto es 1 000 ⴢ 2  2.000 rad 2 000 100 Por tanto, la velocidad angular es        rad/s t 60 3

81

MAT1 U4-1(77-96):MAT10-U2(37-56) 18/04/12 10:54 a.m. Página 82

P

s r

u

t=0 r

P

Figura 8

1.5.2. Velocidad lineal Si un objeto gira ángulos iguales en tiempos iguales y un punto P del objeto describe un arco de longitud s en un tiempo t (figura 8), se define la velocidad s lineal como v   . t La velocidad lineal se expresa en metros por segundo (m/s) o en kilómetros por hora (km/h). s r Puesto que s  r y   , se tiene que v      r   r t t t t Luego, v  r

Ejercicio resuelto Con respecto al movimiento de la Tierra alrededor de su propio eje, para un punto del Ecuador terrestre, determinar: a. La velocidad angular. b. La velocidad lineal. SOLUCIÓN

ALGO IMPORTANTE • Para el mismo punto se cumple que a mayor velocidad angular, mayor velocidad lineal. • Si se comparan dos puntos que se encuentran a diferente distancia del centro, la velocidad angular es igual y la velocidad lineal es diferente.

a. Puesto que la Tierra gira 2 rad en 24 horas, su velocidad angular es 2 1

       rad/h. 24 t 12 1  rad/h. La velocidad angular de un punto de la Tierra es  12 1 b. Puesto que la velocidad angular es   rad/h y el radio de la Tierra es 6 375 km, 12 2 125  se tiene v  r  6 375 ⴢ     km/h. 12 4 La velocidad lineal es aproximadamente 1 669 km/h.

COMPRENDER EL ENUNCIADO La Tierra efectúa un giro completo sobre su eje en 24 horas. 1. ¿Cuánto tiempo le toma realizar un giro de 300º? 2 2. ¿Cuánto tiempo le toma realizar uno de  radia3 nes?

Un LP (long player) o disco de acetato que fue remplazado por el CD (compact disc) podía sonar durante 24 minutos a 1 r.p.m. 33  3

3. Si el ancho de la puerta es 74 cm, calcular la longitud de la trayectoria que describe el extremo de la puerta cuando se abre. 4. Calcular la velocidad angular de la puerta si demora dos segundos en abrirse completamente.

5. Hallar la velocidad angular del disco LP. 6. Determinar la velocidad angular de un disco compacto. Consultar los datos requeridos para esto.

82

© SANTILLANA

Una puerta se abre tal y como se muestra en el dibujo.

UNIDAD 4 • FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS I

INFERIR A PARTIR DE UN DIBUJO La figura representa una vista lateral de 3 rodillos que son tangentes uno con el otro.

10. ¿Qué clase de triángulo es QPO? 11. ¿Cuál es la longitud de la circunferencia que pasa por la línea de latitud 42,4º? 12. Si se supone que el avión describe una circunferencia, ¿cuál ha de ser su velocidad, si describe la circunferencia a lo largo del Ecuador en un día?

4.8 cm

C

3 cm

USAR UNA EXPRESIÓN La rueda de Chicago, como la conocemos en los parques de atracciones, fue creada por George W. Ferris y presentada al público en una exposición en 1893 en la ciudad de Chicago (EE. UU.). Esta se diseñó como un rival de la torre Eiffel en París (Francia). 13. Si el radio de la rueda que se muestra es de aproximadamente 10 metros, calcular la longitud del arco que recorre un pasajero en una canastilla desde el momento en que se sube hasta alcanzar el punto más alto. 14. Calcular la velocidad angular que experimenta el pasajero en este trayecto, si el tiempo que emplea es 8 segundos.

A

B 2 cm

7. Si el rodillo A gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj, ¿cómo giran los rodillos B y C? 8. Si A gira con una velocidad de 120 revoluciones por minuto, ¿con qué velocidad angular giran los rodillos B y C? Un avión vuela alrededor de la Tierra a una altitud de 42,4º. El círculo pequeño muestra la trayectoria seguida por el avión. 9. Encontrar la medida de los ángulos POQ y PQO.

Q

P

42.4º O

R

1.6. Triángulos

A

Si A, B y C son puntos no colineales, entonces el triángulo ABC es la unión de los segmentos AB, BC y CA. Los puntos A, B y C son los vértices del triángulo; AB, BC y CA son los lados; BAC, ABC y BCA son los ángulos interiores.

B

C

De acuerdo con la longitud de sus lados, los triángulos se clasifican en: Triángulo equilátero: un triángulo es equilátero si sus lados son congruentes. Triángulo isósceles: un triángulo es isósceles si dos de sus lados son congruentes. Triángulo escaleno: un triángulo es escaleno si las medidas de sus lados son distintas.

© SANTILLANA

RECORDAR QUE Dos segmentos son congruentes si tienen la misma longitud. Dos ángulos son congruentes si tienen la misma amplitud.

Triángulo equilátero

83

Triángulo isósceles

Triángulo escaleno

MAT1 U4-1(77-96):MAT10-U2(37-56) 18/04/12 10:54 a.m. Página 84

A

B

C

Figura 9 C

D

E

Figura 10

De acuerdo con la medida de sus ángulos, los triángulos cumplen las siguientes propiedades: • Todo triángulo equilátero es equiángulo, es decir que las medidas de los ángulos de un triángulo son iguales. En la figura 9, los ángulos interiores del triángulo son de igual medida. • Si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces los ángulos opuestos a estos lados son congruentes (figura 10). • Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, entonces los lados opuestos a estos ángulos son congruentes (figura 10). 1.6.1. Teorema de Pitágoras Para el caso de los triángulos rectángulos se cumple una propiedad relacionada con las áreas de los cuadrados que se pueden construir sobre sus catetos y su hipotenusa. El cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo tiene un área equivalente a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos (figura 11).

c2

c2  a 2  b2

hipotenusa catetos

c a b

a2

b2 c2 = a 2 + b 2

Figura 11

Teorema de Pitágoras: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Es posible clasificar un triángulo a partir de una relación sencilla que se plantea con base en el teorema de Pitágoras. Así, c2  a2  b2 el triángulo es obtusángulo. c2  a2  b2 el triángulo es acutángulo.

Ejercicio resuelto 1. En un triángulo rectángulo ABC, c es la hipotenusa y a y b son las longitudes de los catetos. a. Si a  1 y b  2, determinar la medida de c. b. Si a  1 y c  2, determinar la medida de b. SOLUCIÓN

ALGO IMPORTANTE La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

a. Puesto que el 䉭ABC es rectángulo, se tiene que c2  a2  b2; por tanto, c2  12  22  5, de donde c  5. b. Puesto que el 䉭ABC es rectángulo, se tiene que c2  a2  b2; por tanto, 22  12  b2, de donde b2  3, luego b  3. 2. El triángulo de la figura 12 es isósceles, con EF  DF. Si DF  4 y DE  2, determinar la longitud de GF.

F

D

G

Figura 12

E

Como 䉭DEF es isósceles, la altura FG cae sobre el punto medio de DE. Así DG  GE  1. 䉭DGF es rectángulo, pues FG es altura de 䉭DEF. DF2  DG2  GF2 Teorema de Pitágoras. 2 2 2 4  1  GF ⇒ 15  GF2 ⇒ GF   15

84

© SANTILLANA

SOLUCIÓN

MAT1 U4-1(77-96):MAT10-U2(37-56) 18/04/12 10:54 a.m. Página 85

UNIDAD 4 • FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS I

2

ACTIVIDADES

RAZONAMIENTO. Hallar la medida de los ángulos x y y en cada caso.

EJERCITACIÓN. Escribir una ecuación que permita hallar el valor de x. Luego, resolverla.

1.

15.

2.

B

M

y

16.

y x 4 10 7

x

50º A

x

47º

C

N

L

3.

4.

D y

x

5 cm

x

17.

E

40º

30º

18. 12

V

x

x

6

y

x

2x

L

F

5.

6

O

6.

G x

9

19.

R

B 3

y S

20. 1

12

x

4

C

5

x

X=AB

y I

H

60º

7.

M

8. 48

PARA PENSAR. Calcular la longitud de x. * 21. 22. 5 cm

cm

y

x

y

RAZONAMIENTO. Completar cada espacio con las palabras siempre, algunas veces o nunca. 9. Si un triángulo es isósceles, entonces ________ es equilátero. 10. Si un triángulo es equilátero entonces ________ es isósceles. 11. Si un triángulo es escaleno, entonces ________ es isósceles. 12. Si un triángulo tiene dos ángulos que suman 90º, entonces ________ es rectángulo. 13. Un triángulo isósceles ________ es equilátero.

© SANTILLANA

14. ¿Es posible reconstruirlo?

2 cm

x

3 cm 50 cm

x

8 cm

PARA PENSAR. Determinar el valor de verdad de los * siguientes enunciados, si se sabe que dos lados del triángulo escaleno son congruentes con dos lados del triángulo rectángulo. En cada caso justificar la respuesta.

PROBLEMAS. Algunos de los elementos del siguiente triángulo se borraron.

Justificar la respuesta.

1

85 cm

x y

0

A

d

c a

a

b 70º

hipotenusa

b

23. d  c

24. d2  c2

25. c2  a2  b2

26. d2  a2  b2

85

MAT1 U4-1(77-96):MAT10-U2(37-56) 18/04/12 10:54 a.m. Página 86

PALEONTOLOGÍA

TRAS LAS

HUELLAS Todos hemos sido atrapados en algún momento de nuestras vidas por el mundo de los dinosaurios y la interpretación que los paleontólogos han hecho en torno a los registros fósiles que ha dejado la presencia de su paso por nuestro planeta.

G

zancada 1

D

u

© SANTILLANA

pa

so

F

A

zancada 2

E

C

E ad d

La figura muestra las huellas de algún animal sobre la superficie de la tierra. Un paso es la distancia que existe entre la huella izquierda y la huella derecha. Una zancada es la distancia que existe desde una huella izquierda hasta la siguiente huella izquierda. Si AB  50 cm BC  80 cm 1. ¿Cuál es el valor en centímetros del paso del punto A al punto C? 2. Si AB  FC y CG  102 cm, calcular el paso del punto C al punto D. 3. ¿Qué medida tiene la zancada 1? 4. ¿Qué medida tiene la zancada 2? 5. ¿Qué clase de triángulo es 䉭ACD? 6. Si ⱔCAB mide 58º y el ⱔGCD mide 38º, hallar la medida del ángulo . 7. Un caminante eficiente forma un ángulo que se acerca a 180º. ¿Qué se puede decir del movimiento del animal que dejó las huellas?

86

C p d m

BIOLOGÍA

Comparaciones Los gigantes más antiguos eran los dinosaurios herbívoros, ya que no tenían competidores. En la actualidad la jirafa ocupa su lugar, con una altura de aproximadamente 5,8 metros. Esta dobla la altura de un elefante africano y triplica la de un hombre normal. La longitud de las patas y del cuello de la jirafa le permite alimentarse de las hojas más altas de los árboles, mejor que lo hace un elefante con ayuda de su trompa.

El elefante africano macho adulto llega a crecer más de 3 metros.

Utilizando el teorema de Pitágoras y la semejanza de triángulos, calcular.

4m

8. Altura del dinosaurio.

10 m

9. Altura promedio de una persona.

4m

10 m

10. Altura del avestruz.

5,8 m 4

2,

11. Altura del gorila. 45º

2,7 m

87

45º

© SANTILLANA

59

m

m

Cuando se para sobre sus patas traseras, el oso pardo puede llegar a medir 3 metros.

LA MATEMÁTICA EN LA HISTORIA La palabra trigonometría se deriva de dos raíces griegas: trigon, que significa triángulo, y metra, que significa medida. La trigonometría se originó como el estudio de las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos y se empleó para resolver inicialmente problemas de navegación y realizar cálculos astronómicos. Los babilonios y los egipcios fueron los primeros en utilizar las razones trigonométricas para tomar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. En Grecia se destacan los trabajos de Hiparco de Nicea y de Claudio Tolomeo (siglo II a.C.), quienes construyeron las primeras tablas de las funciones trigonométricas. A finales del siglo VIII los astrónomos árabes emplearon la función seno y a finales del siglo X ya se utilizaban las otras cinco funciones. La trigonometría árabe se difundió por medio de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. En la actualidad, la trigonometría se usa en muchos campos del conocimiento, tanto teóricos como prácticos, e interviene en gran cantidad de investigaciones geométricas y algebraicas, razón por la cual su aplicación hoy no se limita a las relaciones entre los ángulos de un triángulo y sus lados.

2

FUNCIONES

2.1. Definición de las razones trigonométricas de un ángulo en posición normal

TRIGONOMÉTRICAS

Si es un ángulo en posición normal y P(x, y) es cualquier punto contenido en el lado final, diferente de O(0, 0), se cumple que OP r x2 y2. Se definen las funciones trigonométricas para el ángulo de la siguiente manera: seno

ALGO IMPORTANTE Puesto que |y| r, se tiene que 1 sen 1 Puesto que |x| r, se tiene que 1 cos 1

y r

sen

coseno

x r

cos

tangente

y P(x,y)

y x ,x

tan

0 r y

cotangente sec

secante

x y ,y

cot

cosecante

r x ,x

0

0

r y ,y

csc

0 x

x

0

P(x 1,y 1)

Q(x 2 ,y 2) r2

0

csc R

Figura 13

S

1 sen

sec

1 cos

cot

1 tan

El valor de las funciones trigonométricas de un ángulo es independiente del punto que se ubique sobre su lado final. En la figura 13 se plantea una sencilla gráfica que demuestra esta afirmación.

88

© SANTILLANA

Como consecuencia de las definiciones anteriores, se obtienen las siguientes relaciones recíprocas.

r1

UNIDAD 4 • FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS I

Los triángulos ORQ y OSP de la figura 13 son semejantes, pues son rectángulos y tienen al ángulo en común; por tanto, sen

PARA RESPONDER ¿Para qué valores del ángulo no están definidas las funciones sen y cos ?

y2 r2

y1 r1

x2 r2

cos

x1 r1

y2 x2

tan

y1 ,x ,x x1 1 2

0

Cabe notar que las funciones tan y sec no están definidas para los ángulos 3 y de . De la misma manera, las funciones cot y csc no están 2 2 y 2 . definidas para los ángulos de 0,

Ejercicio resuelto

1. Si es un ángulo en posición normal cuyo lado final contiene al punto A(4, 2) (figura 14), determinar los valores de las funciones sen , cos y tan .

y

SOLUCIÓN x

Como x

4yy 2

A(4, 2)

sen

5 5

2 5

Figura 14

42

2, el valor de r es: r

( 2)2

4 , cos

20

5

2 4

2 5 , tan 5

2 5

2

1 2

2. A partir de los valores encontrados en el ejercicio anterior, determinar el valor de las funciones csc , sec y cot . SOLUCIÓN Puesto que csc

1 sen

1

, se tiene csc

5

5 5

5 5

Puesto que sec

1 cos

5

1

, se tiene sec 2

2 5

5

5 2

5 1

Puesto que cot

1 1 2

, se tiene cot

tan 1 y cos 2

3. Si sen

2

3 , determinar el valor de las demás funcio2

nes trigonométricas. SOLUCIÓN Puesto que cos

3 2

,⇒x

3yr

2. Además, sen

Por tanto,

PARA RESPONDER ¿En qué cuadrante está el lado final del ángulo del ejercicio resuelto?

tan

cot

1

3

3

3

3 1

3

89

sec

2

3

3 csc

3

2

2 1

2

1 ⇒y 2

1

2.2. Signo de las funciones trigonométricas de un ángulo en posición normal

y I

P(x,y)

r x0

y>0

y>0

x

0 x0

y