G.Paralelismo y perpendicularidad de rectas

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GUIC3M052M311-A17V1

Paralelismo y perpendicularidad de rectas

MATEMÁTICA - programa 3º medio

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- -

Solución gráfica de sistemas de ecuaciones lineales. Paralelismo y perpendicularidad de rectas en el plano.

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CONTENIDOS

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trí

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n

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Mi

G yo sa

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¿Qué aprenderemos hoy?

Retomaremos los conceptos vistos acerca de rectas y sistemas de ecuaciones lineales para estudiar el comportamiento de dos o más rectas graficadas en un mismo plano. Con base en ello, las categorizaremos e inferiremos su comportamiento, por ejemplo, respecto a la cantidad de puntos en la que dos rectas se intersectan. Finalmente, aplicaremos estos conocimientos a la resolución de ejercicios tipo PSU.

sección 1: conceptos previos Como hemos estudiado en sesiones anteriores, la geometría analítica utiliza elementos del álgebra para estudiar la geometría tal y como la conocemos. Ya tenemos conocimientos acerca de las rectas representadas por ecuaciones del tipo y = mx + n (con m y n números reales), junto con el significado de sus parámetros. También sabemos cómo determinar las soluciones y el tipo de solución que tendrá un sistema de ecuaciones lineales. Es por estos motivos que, a modo de recordatorio, desarrollaremos los siguientes ejercicios. Si es necesario, pueden realizar un breve repaso junto a su profesor.

1

¿En cuál de las siguientes opciones se presenta una ecuación que forma un sistema que tiene infinitas soluciones 2 5 con y = x + ? 3 3 A) 6x – 9y + 15 = 0 B) 4x – 6y + 12 = 0 C)

2

– 2x – 3y + 5 = 0

guia de ejercitación

2 Dado el sistema de ecuaciones A)

tiene infinitas soluciones.

B)

no tiene solución.

C)

tiene solución única.

3 Sea el sistema de ecuaciones

3y + 7x = 5 , es correcto afirmar que 3x + 6y = 5

5x + 6y – 3 = 0 , con k un número real. Para que este sistema tenga infinitas (k – 1) x + (k – 3)y + 6 = 0

soluciones para x e y, ¿cuál debe ser el valor de k?

4

A)

7

B)

2

C)

–9

Sea L una recta en el plano de ecuación 5y – 3x + 4 = 0. Las intersecciones de L con los ejes coordenados son

( )( ) ( )( ) ( )( )

4 4 , 0 y 0, A) 3 5 B) C)

4 –4 , 0 y 0, 3 5

–4 –4 , 0 y 0, 3 5

3

MATEMÁTICA - programa 3º medio

5

¿Cuál de las siguientes rectas contiene al segmento MN de la figura adjunta? y A)

x + 5y – 8 = 0

B)

x – 5y – 8 = 0

C)

M

x – 5y + 8 = 0

2 1

–2

6

4

Respecto a una recta en el plano que pasa por los puntos (– 2, 5) y (3, – 2), es FALSO afirmar que A)

no pasa por el tercer cuadrante.

B)

corta al eje Y en su parte positiva.

C)

tiene pendiente positiva.

N 3

x

guia de ejercitación

sección 2: Rectas y sistemas de ecuaciones A continuación veremos cómo se aplican los conocimientos adquiridos en este nuevo contenido. En algunas ocasiones puede resultar laborioso, pero si se dominan los contenidos no resulta para nada complicado. La situación y las preguntas propuestas en la siguiente actividad engloban muchos tipos de preguntas PSU acerca de este contenido. Respóndanlas como curso, guiados por su profesor. y L1

Q

4

B

3

–5

–4

A

2

4

x

–1

P

1

L2

–3

Según la figura adjunta, ¿cuál es la ecuación de la recta L1?

5

MATEMÁTICA - programa 3º medio

6

2

Según la figura adjunta, ¿cuál es la ecuación de la recta L2?

3

¿Qué método analítico plantearían para determinar el punto de intersección entre las rectas L1 y L2?

4

¿En qué punto se intersectan las rectas L1 y L2?

5

Propongan individualmente una pregunta adicional que sea acorde con las rectas de la figura. Posteriormente, discutan como curso cómo resolver alguna(s) de las preguntas que han planteado.

guia de ejercitación

sección 3: Intersecciones entre rectas Si dos rectas pertenecen a un mismo plano, ¿siempre se intersectan en algún punto de este? ¿Puede que una de ellas esté justo encima de la otra? ¿Podrían estas rectas no intersectarse? Es bastante probable que, con todo lo que hemos visto hasta ahora, ya tengan una noción acerca de algunas o todas las respuestas a estas interrogantes. A continuación, para ordenar las ideas que ya tenemos, completen junto a su profesor el siguiente mapa conceptual, y luego respondan las preguntas respecto a este tema.

RECTAS EN EL PLANO

Tienen el mismo ____________________, por lo que poseen los mismos puntos. Son rectas que tienen la misma inclinación respecto al eje X, es decir, la misma _______________________.

Tienen distinto ____________________, por lo que no poseen los mismos puntos y no se cortan en el plano.

Las rectas forman un ángulo de ____. Se cumple que el producto entre sus pendientes es igual a ____. Son rectas que tienen distinta inclinación respecto al eje X, es decir, distinta _______________________, por lo que se cortan solo en un punto del plano.

Las rectas forman un ángulo distinto de ____.

7

MATEMÁTICA - programa 3º medio

8

1

Un sistema de ecuaciones lineales puede tener una solución, infinitas soluciones o no tener solución. ¿Qué relación existe entre este tipo de soluciones y las rectas vistas en el mapa conceptual?

2

Supongan que tienen tres rectas en el plano, L1, L2 y L3. ¿Es posible que estas tres rectas sean paralelas entre sí? ¿Por qué?

3

3 4 Sea la recta L: y = x + . Propongan la ecuación de otra recta que sea perpendicular a L. ¿Es la única recta? 2 7 Justifiquen.

guia de ejercitación

4

Supongan que tienen tres rectas en el plano, L1, L2 y L3. ¿Es posible que estas tres rectas sean perpendiculares entre sí? Justifiquen.

5

3 –5 3 Dadas las rectas L1: y = x + 2, L2: y = x – 2 y L3: y = x – 2, establezcan una relación de posición entre dos de 5 3 5 ellas.

9

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Tiempo estimado

sección 4: preguntas de modelamiento

20 minutos

a continuación se presentan cinco preguntas tipo psu, las que serán desarrolladas conjuntamente por ustedes y su profesor. si tienes cualquier duda acerca de estos contenidos, consulta a tu profesor, ¡ahora es el momento!

1

2

¿Cuál de las siguientes parejas de ecuaciones de la recta está mejor representada por el gráfico de la figura adjunta? y

A) 4x + 3y = 7; x + y = 1 B) – 4x + 3y = 21; x – y = 1 C) – 3x + 4y = 12; x + y = 1 D) 3x – 4y = 1; x – y = 3 E) 4x – 3y = 1; x + y = 3

3 1 –4

x

1

El sistema de ecuaciones de la recta que tiene por solución al punto (3, – 4) es

A) x + y = – 7; x – 2y = 11 B) x + y = – 1; 3x – y = 5 C) 5x – 3y = 3; 2x + y = 10 D) 5x + 3y = 3; 2x – y = 10 E) 4x + 3y = 7; x + y = 1

3

Sean las rectas L1: 6x – 3y = 12 y L2: x + y = – 7. ¿Cuál de las siguientes figuras podría corresponder a la representación gráfica de estas rectas en el plano?

A)

y

B)

y

x

D)

y

10

x

E)

x

C)

y

x

y

x

guia de ejercitación

4

Sean las rectas L1: – x + y – 3 = 0 y L2: 5y – 2 = 5x. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?



I) II) III)

L1 ⊥ L2 L2 intersecta al eje Y en el punto (0, 2). La recta de ecuación x – y = 0 es paralela a L1.



A) B) C) D) E)

Solo I Solo III Solo I y II Solo II y III Ninguna de ellas.



5

En el plano cartesiano se ubica el cuadrilátero ADCB, tal que A(– 4, 5), B(3, 5), C(6, 1) y D(– 2, 1). Entonces,

I) AB es perpendicular con el eje X. II) AB // DC III) ADCB es un paralelógramo.

Es (son) verdadera(s)



A) B) C) D) E)

solo I. solo II. solo I y III. solo II y III. I, II y III.

11

MATEMÁTICA - programa 3º medio

Tiempo estimado

sección 5: preguntas elementales

minutos

Es momento de poner a prueba tus conocimientos y habilidades sobre estos contenidos. A continuación debes contestar cinco ejercicios de dificultad fácil, los que son útiles para medir qué tanto has entendido y aprendido durante esta sesión.

6

Sean L1: px + y = –1 y L2: 8x + qy = 14 dos rectas en el plano. Entonces, se puede afirmar que

I) si p = 3 y q= 2, entonces la recta L1 se intersecta con la recta L2 en el punto (8, – 25). II) si p = – 1 y q = – 5, entonces la recta L1 se intersecta con la recta L2 en el punto (3, 2). III) si p = – 3 y q = 8, entonces la recta L1 se intersecta con la recta L2 en el punto (1, 1).

Es (son) verdadera(s)



A) B) C) D) E)

7

solo I. solo II. solo I y II. solo I y III. solo II y III.

¿Cuál de los siguientes puntos corresponde a la intersección de las rectas L: 2x – 4y + 8 = 0 y M: x – 3y + 5 = 0 en el plano cartesiano?



A) B) C) D) E)

8

12

(– 2, 1) (2, – 1) (4, 2) (1, – 2) (– 1, – 2)

Sean las rectas L1: – 4x + 2y – 8 = 0 y L2: 2y – 6 = – x. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?



I)

L1 ⊥ L2



II)

El punto (2, 2) pertenece a la recta L2.



III)

La recta cuya ecuación es 2x – y = 0, es paralela no coincidente con L1.



A) B) C) D) E)

Solo I Solo II Solo III Solo II y III I, II y III

guia de ejercitación

9

Dada la recta L: y + 11 = 0, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La pendiente de L es cero. II) L intersecta al eje Y en el punto (0, 11). III) L es paralela a la recta de ecuación y = 7.

A) B) C) D) E)

10

Solo I Solo II Solo I y III Solo II y III I, II y III

Se puede determinar que la recta L1 es perpendicular a la recta y = 12x, si: (1) (2)

–1 L1 es paralela a la recta de ecuación y = x + 2. 12 L1 pasa por el origen.

A) B) C) D) E)

(1) por sí sola. (2) por sí sola. Ambas juntas, (1) y (2). Cada una por sí sola, (1) ó (2). Se requiere información adicional.

13

MATEMÁTICA - programa 3º medio

sección 6: preguntas intermedias

Tiempo estimado minutos

Es tiempo de enfrentarse a cinco ejercicios de dificultad media, los que están presentes en mayor medida en la PSU. ¡Anímate a resolverlos!

11

¿Cuál de las siguientes parejas de ecuaciones de la recta está mejor representada por el gráfico de la figura adjunta?

A) mx – py = pm B) mx + y = p C) mx + py = pm D) px + my = pm E) px + my = pm

12

13

; px – my = 0 ; mx – py = 0 ; px – mx = 0 ; mx – py = 0 ; px – my = 0

p

m

x

Si m ≠ 3, entonces la intersección de las rectas y – mx = 3 e y – 3x = m es el punto A) (1, m – 3) B) (m, m + 3) C) (1, m + 3) D) (1, 3 – m) E) (m + 3, 1)

La recta L intersecta la parte positiva del eje Y, siendo paralela a la recta que pasa por los puntos (1, – 1) y (3, 0). ¿Cuál de las siguientes ecuaciones de la recta podría corresponder a L?

A) 2y + x = 6 B) 2y – x = 7 C) y + x = 10 D) 2y + 2x = 8 E) 4y + 2x = 5

14

y

guia de ejercitación

14

En la figura adjunta, la recta L1 es perpendicular a la recta L2. Si las rectas se intersectan en el eje Y, entonces el valor de p es A)

y

3

L2

8 B) 3

C)

4

4 –3

16 D) 3

E)

15

p

x

5

Sea la recta L: mx + ny + n = 0, con m y n números reales distintos de 0. ¿Cuál(es) de las siguiente afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) L es paralela a la recta y =

mx + 3. n

II) L es perpendicular a la recta y = III) L es coincidente a la recta y =

L1

A) B) C) D) E)

nx + 5. m

– mx + 1. n

Solo II Solo III Solo I y III Solo II y III I, II y III

15

MATEMÁTICA - programa 3º medio

Tiempo estimado

sección 7: preguntas avanzadas

minutos

Finalmente, te presentamos cinco ejercicios de dificultad alta, los que requieren que pongas a prueba todas tus capacidades y, en algunas ocasiones, otros contenidos que no son propios de la sesión pero que son claves al momento de la resolución. ¡Mucha concentración y a resolver!

16

Si la recta L1: mx + y = 2m pasa por el punto (1, – 5), entonces la recta L2: 10x + my + m = 0 intersecta a la recta L1 en el punto A) B) C) D) E)

17

(5, 3) (– 3, 5) (3, – 5) (– 5, 3) (3, 5)

Sean L1: px + y = q y L2: rx + y = s dos rectas en el plano cartesiano, tales que p, q, r y s son números reales distintos de cero. Es posible afirmar que

I) si p = 2r y q = s, entonces L1 y L2 se intersectan en (0, s). II) si p = r y q ≠ s, entonces L1 y L2 se intersectan en (q, s).

( )

s III) si p = 2r y q = 2s, entonces L1 y L2 se intersectan en ,0 . r Es (son) siempre verdadera(s)

A) B) C) D) E)

18

16

solo I. solo II. solo I y III. solo II y III. I, II y III.

La ecuación 3x + (k – 4)y + 5 = 0 representa una recta perpendicular a la recta de ecuación (k + 10)x + 3y – 10 = 0. ¿Cuál es el valor numérico de k? A) B) C) D) E)

– 14 –6 –3 3 Ninguno de los valores anteriores.

guia de ejercitación

19

Sean las rectas L1: 8x + 2y = 14 y L2: 3x – 12y = 6. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) L1 // L2

II)

La recta de ecuación 4x + y = 7 es perpendicular a L2.



III)

La recta de ecuación 4x + y = 8 es coincidente a L1.



A) B) C) D) E)

Solo I Solo II Solo III Solo I y II Solo II y III

20

En la figura adjunta, las rectas M y L son paralelas entre sí, y perpendiculares a la recta N. Si las rectas L y N se intersectan en el eje Y, ¿cuál es el área de la figura encerrada por las rectas L, M, N y el eje X?

27 A) 2

y

9 B) 4

3

L

M

27 C) 4 D) 9 E) 18

x

–3 N

17

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Compruebo lo aprendido A continuación encontrarás una lista con los conocimientos y habilidades que se han medido con la ejercitación de esta sesión, indicando las preguntas que tienen relación con dicho punto. Marca aquellos aspectos en los que hayas logrado progresar y refuerza en casa los que aún no has podido desarrollar. Relaciono sistemas de ecuaciones lineales con rectas en el plano cartesiano y determino el punto donde se intersectan (preguntas 1, 2, 3, 6, 7, 11, 12, 16 y 17). Determino cuando dos rectas son paralelas, perpendiculares u oblicuas, con base en sus parámetros (preguntas 4, 5, 8, 9, 10, 13, 14, 15, 18, 19 y 20).

18

guia de ejercitación

tabla de corrección

Ítem

Alternativa

Habilidad

Dificultad estimada

1

Aplicación

Media

2

Comprensión

Fácil

3

Comprensión

Media

4

ASE

Media

5

ASE

Difícil

6

ASE

Fácil

7

Aplicación

Fácil

8

Aplicación

Fácil

9

Comprensión

Fácil

10

ASE

Fácil

11

Aplicación

Media

12

Comprensión

Media

13

Comprensión

Media

14

Aplicación

Media

15

ASE

Media

16

Aplicación

Difícil

17

ASE

Difícil

18

Comprensión

Difícil

19

ASE

Difícil

20

ASE

Difícil

19

_____________________________________________________ Han colaborado en esta edición: Directora Académica Paulina Núñez Lagos Directora de Desarrollo Académico e Innovación Institucional Katherine González Terceros Coordinadora PSU Francisca Carrasco Fuenzalida Equipo Editorial Rodrigo Cortés Ramírez Pablo Echeverría Silva Marcelo Gajardo Vargas Andrés Grandón Guzmán Equipo Gráfico y Diagramación Cynthia Ahumada Pérez Daniel Henríquez Fuentes Vania Muñoz Díaz Tania Muñoz Romero Elizabeth Rojas Alarcón Equipo de Corrección Idiomática Paula Santander Aguirre Imágenes Banco Archivo Cpech El grupo Editorial Cpech ha puesto su esfuerzo en obtener los permisos correspondientes para utilizar las distintas obras con copyright que aparecen en esta publicación. En caso de presentarse alguna omisión o error, será enmendado en las siguientes ediciones a través de las inclusiones o correcciones necesarias.

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