Carta de Smith y aplicaciones

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72

CAPITULO 4

AYUDAS GRAFICAS CARTA DE SMITH Y APLICACIONES Existen varios métodos de ayudas gráficas para el diseño, acople y solución de problemas en líneas de transmisión, que han ido evolucionando con el tiempo. Kernell en 1914, publicó una carta que contenía los valores de funciones hiperbólicas y trigonométricas en el rango de la variable compleja o del NeperRadian, la cual es aún usada para bajas frecuencias. Sin embargo, para pequeñas longitudes de onda y bajas pérdidas son complicadas de usar, por lo cual se recurrió a otras ayudas gráficas como la carta de Smith diseñada en 1940 por Philips Smith.

La carta de Smith se dibuja sobre el plano de coordenadas polares lineales del coeficiente de reflexión tensión ρ = |ρ| e



o sobre las coordenadas rectangulares de

la parte real e imaginaria de ρ. En las cartas comerciales se pueden encontrar diferentes escalas para determinar los parámetros involucrados en el análisis de líneas de transmisión, ver figura 4.1. En la misma se puede encontrar:

-

Una escala circular en grados que indica la fase del coeficiente de reflexión θ.

-

Una escala circular en longitudes de onda (λ), indicando los valores de la misma, en sentido hacia el generador o hacia la carga.

-

Dos escalas lineales, situadas en la parte inferior derecha, que indican la magnitud del coeficiente de reflexión de voltaje o de potencia (|ρv| ο |ρp|).y pérdidas en dB por retorno y reflexión.

73

-

Dos escalas situadas en el la parte inferior derecha, que indican pérdidas por atenuación de la línea (α) lineal y en dB, en sentido hacia la carga o hacia en generador y ROE lineal y en dB.

Figura 4.1. Carta de Smith.

74

4.1. Ecuaciones para construir la carta de Smith. La carta está construida sobre el circulo del coeficiente de reflexión ρ =1, para el análisis se considerará un impedancia cualquiera, representada como (4.1)

Z=R+jX

En la carta de Smith la impedancia está normalizada a la impedancia característica Zo.

Z = rn + jxn Zo

(4.2)

Pero además se tiene

V − eγz V V e +V e V + e − γz Z= = = Zo 1 V − e γz I (V + e −γz − V − eγz ) (1 − + −γz ) Zo V e + − γz

1+

− γz

(4.3)

Sustituyendo por la expresión del coeficiente de reflexión dada en el capítulo 3 por 3.59, se tiene

Z = Zo

1+ ρ 1− ρ

(4.4)

Y de 4.2, se tiene además

rn + jxn =

1+ ρ 1− ρ

(4.5)

Pero debido a que el coeficiente de reflexión es un número complejo, dado por

ρ = ρ1 + jρ 2 La expresión 4.5 se puede escribir como

(4.6)

75

rn + jxn =

1 + ρ1 + jρ 2 1 − ρ1 − jρ 2

(4.7)

Manipulando la expresión del lado derecho de la igualdad, se pueden separar sus partes real e imaginaria y compararlas con rn y xn, y así formar la familia de circunferencias que componen la carta de Smith.

Multiplicando por la conjugada

1 + ρ1 + jρ 2 1 − ρ1 + jρ 2 1 − ρ1 − ρ 2 + 2 jρ 2 * = 2 2 1 − ρ1 − jρ 2 1 − ρ1 + jρ 2 1 − 2 ρ1 + ρ1 + ρ 2 2

2

Operando, se tiene

1 − ρ1 − ρ 2 rn = 2 2 1 − 2 ρ1 + ρ1 + ρ 2 2

2

(4.8)

y

xn =

2 jρ 2 2 2 1 − 2 ρ1 + ρ1 + ρ 2

(4.9)

Desarrollando la ecuación 4.8, la cual corresponde a la familia de círculos de rn

rn − 2 ρ1rn + ρ1 rn + ρ 2 rn = 1 − ρ1 − ρ 2 2

2

2

2

(4.10)

Agrupando términos de 4.10

rn − 1 − 2 ρ1rn + ρ1 (rn + 1) + ρ 2 (rn + 1) = 0 2

ρ12 + ρ 2 2 − 2 ρ1

2

1 − rn rn = 1 + rn 1 + rn

(4.11)

(4.12)

Completando cuadrados y operando: 2

  1  r   ρ1 − n  + ρ 2 2 =   1 + r 1 + r n  n   

2

(4.13)

76

La ecuación 4.13 corresponde a la familia de circunferencias que forman los círculos reales rn de la carta de Smith.

 r  C :  n ,0   1 + rn 

con centro

 1   R =  1 + r n  

y radio

La tabla 4.1 muestra los valores de cada parámetro de la ecuación 4.13 para construir la familia de circunferencias de rn.

En al figura 4.2 aparecen las

circunferencias de rn .

j ρ2

ρ1

ρ2

rn

Radio

Centro

0

0

0

1

(0,0)

1/3

0

½

2/3

(1/3,0)

½

0

1

½

(1/2,0)

2/3

0

2

1/3

(2/3,0)

1

0



0

(1,0)

-1

Tabla 4.1 Valores para construir los círculos rn

1/2

1

Figura 4.2 Círculos rn

Análogamente se procede para xn, obteniéndose la siguiente ecuación 2

    ( ρ1 − 1) +  ρ 2 2 − 1  =  1  xn   xn  

2

2

(4.14)

La ecuación 4.14 corresponde a la familia de circunferencias que forman los círculos imaginarios xn de la carta de Smith.

con centro

 1 C : 1,   xn 

y radio

1 R =    xn 

ρ1

77

La tabla 4.2 muestra los valores de cada parámetro de la ecuación 4.14 para construir la familia de circunferencias de xn.

En al figura 4.3 aparecen las

circunferencias de xn . Xn=1 j ρ2

ρ1

ρ2

xn

Radio

Centro

1

0



0

(1,0)

1

±1/2

±2

±1/2

(1,1/2)

1

±1

±1

±1

(1,1)

1

±2

±1/2

±2

(1,2)

1



0



(1, ∞)

Xn=2

-1

1/2

1 Xn=-2

Xn=-1

Tabla 4.2 Valores para construir los círculos xn

Figura 4.3 Círculos xn

La carta de Smith se forma con la intersección de todas estas familias de circunferencias encerradas en el círculo de ρ= 1. La carta completa fue mostrada en la figura 4.1.

Otro parámetro que puede ser determinado a través de la carta de Smith, es la relación de onda estacionaria ROE, la cual está definida como

ROE =

Vmax 1 + ρ = Vmin 1 − ρ

Debido a esta relación podemos trazar en al carta círculos concéntricos con centro (1,0), los cuales serán tangentes a los círculos de rn, y justamente estos

ρ1

78

puntos de tangencia corresponderán a valores de ROE. Gráficamente en la figura 4.4, se observa esta relación.

ρ=1

Vmax=1 + |ρ|

Circulo de ROE Circulo de ROE ρ

ρ=1

0 rn = ROE Vmin=1 - |ρ|

Figura 4.4 Relación entre los círculos de ROE y los círculos de ρ.

Ejemplo 4.1. Una línea de transmisión de 50 Ω está terminada en una impedancia de carga de 30 + j 40Ω. Calcular el coeficiente de reflexión ρ en la carga, ROE y la impedancia de entrada a 0.5λ de la carga, empleando la carta de Smith. SOLUUCION:

El primer paso a realizar es la ubicación de la impedancia de carga en la carta. Comose sabe los valores sobre la carta de Smith están normalizados con respecto a la impedancia de la línea, por lo tanto; cualquier valor de impedancia que se desee ubicar en ella debe ser dividido por Zo- De esta manera

Z 30 40 = + j = 0 .6 + j 0 .8 Zo 50 50

En la figura 4.1.1 se muestra la ubicación de la carga, denotada por el punto A.

79

A

Figura 4.1.1 Ubicación del punto A para el problema 4.1.

Para determinar el coeficiente de reflexión, se traza un radio vector desde el centro de la carta hasta cortar con la circunferencia más interna, cuya escala está en grados, pasando por el punto A; aquí se denota el punto B, el cual corresponde a la fase del coeficiente de reflexión.

80

Posteriormente para hallar la magnitud del mismo, se toma la distancia desde el centro de la carta hasta el punto A, ubicando la misma en la escala inferior derecha, la cual corresponde a la magnitud del coeficiente de reflexión, de izquierda a derecha (punto C). La figura 4.1.2, ilustra la magnitud y fase del coeficiente de reflexión con los puntos B y C.

B

A

C

Figura 4.1.2 Ubicación de los puntos B y C para el problema 4.1.

81

ρ = 0.5∠90°

El valor del coeficiente de reflexión es;

Para determinar el ROE, se toma la distancia desde el centro de la circunferencia hasta el punto A y se traza una circunferencia, con centro en el centro de la carta, luego el punto de tangencia entre esta circunferencia y los círculos de rn, corresponderá al valor de ROE (punto D)

B

A

D

C C

Figura 4.1.3 Ubicación del punto D para el problema 4.1.

82

El valor del ROE es;

ROE ≈ 3

Para determinar la impedancia de entrada a 0.5λ de la carga, se avanza desde el punto B hacia el generador, en la escala de las longitudes de onda (escala circular más externa) la cantidad de 0.15λ , y sobre el círculo de ROE constante estará ubicada la impedancia de entrada (punto en la figura 4.1.4) . Esta impedancia corresponde a;

Z ent = 2.6 − j 0.9 Ω ,

el cual denormalizando es;

Z ent = 130 − j 45 Ω B

A

D

C C

Figura 4.1.4 Ubicación del punto D para el problema 4.1.

83

4.2. Acopladores de Impedancia.

Para resolver el problema de reflexión y eliminar la onda estacionaria en las líneas de transmisión, se emplean elementos conectados en puntos adecuados de la línea llamados acopladores. Aquí se describirán los acopladores en serie y en paralelo.

4.1.1.- Acopladores en serie:

Los acopladores en serie corresponden a una sección de línea de transmisión colocada entre la línea y la carga, con una impedancia característica Zo, a una distancia tal, que elimine la onda reflejada, como se muestra en la figura 45. Zo´

Vg

Zl

Z(z)

Figura 4.5. Acoplador en serie con λ/4.

Para conocer el valor de la impedancia, se sustituye la longitud de la sección en la ecuación general de impedancia Z(z), asumiendo que la línea no tiene pérdidas.

de 3.89;

⇒d =

λ

Z ( z ) = Zo

Zl + jZoTanβd , Zo + jZlTanβd

con lo cual

4

⇒ Z ( z ) = Zo

Zl + jZoTan Zo + jZlTan

βd = π 2

π

2

2πλ λ π . = 4 4 2

84

Pero Zo=Zo’, y corresponde a la impedancia característica del tramo acoplador

λ/4. Luego: ⇒ Tan

π 2

→ ∞ ⇒ Z ( z ) = Zo

Zo Zo 2 ⇒ Z ( z ) = Zo Zl Zl

(4.16)

⇒ Zo´= Z ( z ).Z l

Donde: ZL:

es la impedancia de carga

ZO´: es la impedancia característica del tramo λ/4. Z(z): impedancia de entrada al acoplador

OBS: la ecuación anterior es válida para cualquier terminación, pero se aplica generalmente para ZL reales por la dificultad de construir líneas de transmisión con impedancias características complejas.

Ejemplo 4.2. Se tiene una línea de transmisión con una impedancia característica de 50Ω terminada en una carga resistiva pura de 100Ω. Diseñe un acoplador de λ/4 para eliminar la onda estacionaria. SOLUCIÓN: Zo´

V

50Ω

Luego:

⇒ Zo´= Z ( z ).Zl = 50.100 = 70,1Ω

100Ω

85

Ejemplo 4.3. Se tiene una antena cuya impedancia es Z= 150 - j75 Ω. Alimentada por una línea de transmisión de 50 Ω. Si el valor de ROE supera los límites prácticos conocidos por usted, determinar las características de un acoplador en serie para eliminar el problema de reflexión. Indique también la distancia, desde la carga, más apropiada para colocarlo. Para el cálculo analítico emplear los resultados obtenidos en el problema propuesto 3.5 del capítulo 3, en los cuales se obtiene que

ROE =

ZO R mín

y

ROE =

R máx ZO

SOLUCION:

Este problema puede ser resuelto analíticamente o por medio de la carta de Smith. Para efectos didácticos se hará de las dos maneras.

Analíticamente: Primero se calculará el ROE, para saber si supera el valor mínimo conocido en la práctica, el cual corresponde a 1.2.

De 3.64, se puede obtener una expresión del coeficiente de reflexión, para posteriormente con su magnitud, calcular el valor de ROE, a través de 3.75, así;

ρL =

Z L − Z O 150 − j 75 − 50 100 − j 75 = = Z L + Z O 150 − j 75 + 50 200 − j 75

⇒ ρ L = 0.58∠ − 18.12° Luego;

ROE =

(1 + ρ ) (1 − ρ )

=

1 + 0.58 = 3.76 1 − 0.58

Debido a que ROE supera a 1.2, se debe calcular el tramo acoplador que eliminará la reflexión.

86

Una de las características del tramo acoplador λ/4, es que invierte totalmente el valor de la energía de la entrada o la salida, es decir; si en la entrada hay un máximo, en la saluda existirá un mínimo y viceversa. Aprovechando esta característica se conectará el tramo entre un máximo y un mínimo de tensión, haciendo que la salida coincida con el mínimo de tensión más próximo a la carga, como se puede ver en la figura 4.3.1. d

V

100Ω

Ζο=50Ω

ZL Vmáx

Vmín

Figura 4..3.1. Ejemplo 4.3.1 para acoplador λ/4. Luego, se debe calcular la distancia (d) a la cual se colocará el acoplador, y la impedancia caracteística del tramo λ/4. De acuerdo a 4.16, la impedancia del tramo acoplador será

Zo´= Zent ( z ).Z l ' La impedancia de entrada corresponde a Zo=50 Ω y la impedancia de carga ZL’’, se debe calcular asumiendo que en la salida del tramo existe un mínimo de tensión. Luego;

ROE =

ZO R mín



R mín =

ZO 50 = = 13.29 ROE 3.76



Por lo tanto;

Zo´= 50 × 13.29 = 25.78 Ω Zo' = 26 Ω Para conocer la posición del tramo, se debe ubicar el mínimo de tensión, esto es; buscar el punto el vector de la tensión incidente y el vector reflejado formen 180°. Luego 180°-18.2°=161.8°,

87

lo cual corresponde a la longitud que deben recorrer los dos vectores, de esta manera cada vector recorrerá 80.9° lo que es equivalente en longitudes de onda a

d=

80.9°

β

=

80.9° = 0.224 λ 2π λ



d = 0.224 λ

Solución empleando la carta de Smith: Primero se normaliza la impedancia de carga.

Zn =

Z 150 75 = − j = 3 − j1.5 Ω Zo 50 50

Ubicando esta impedancia en la carta de Smith,(punto A), en la figura 4.3.2 y trazando la circunferencia con centro (0,1) y con radio OA, se lee ROE en el punto B.

ROE = 3.8 Luego avanzando desde el punto A hacia los Vmín, en dirección hacia el generador y sobre la escala de las longitudes de onda, se puede obtener la distancia, en longitudes de onda, donde será colocado el acoplador. Esta distancia, ubicada en la figura 4.3.3, es

d = 0.227 λ Para obtener el valor de la impedancia ZL’, se lee, sobre el círculo de ROE constante el valor correspondiente de Rmín, el cual corresponde al punto de tangencia entre este círculo y los círculos de rn (punto C). Este valor es:

R mín = 0.26 Ω

Desnormalizando este valor; R mín = 13 Ω Lo cual da un valor de Zo’;

Zo' = 25.49 Ω ≈ 26 Ω

88

B C

Figura 4.3.2 Ubicación del punto A y B para el problema 4.2.

89

4.1.2.- Acopladores en paralelo (stub):

Los acopladores en paralelo corresponden a una sección de línea de transmisión colocada en un punto de la línea de transmisión principal en paralelo, con una impedancia característica Zo, una longitud y una distancia tal, que elimine la onda reflejada. Estos tramos se colocan con terminaciones en corto circuito o circuito abierto. La figura 4.6 ilustra lo anterior:

p

Zl

YP=Yo+jB (sin stub) TERMINACION EN CORTOCIRCUITO O EN CIRCUITO ABIERTO

YP=Y+Ys=Yo (con stub)

Figura 4..6. Acoplador en paralelo simple o Stub simple.

Como se va a conectar en paralelo es mejor trabajar con admitancias.

De acuerdo a la ecuación de impedancia en cualquier punto de la línea y para

α=0, se tiene:  Zl + jZoTanβd  Z ( z ) = Zo    Zo + jZlTanβd 

Si ZL corresponde a un cortocircuito ZL=0,

Zcc( z ) = jZotanβd

Para d
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