Elementos de Geometría (U.A.)- Jaime escobar

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ELEMENTOS DE GEOMETR´IA

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Jaime Escobar Acosta1

1 Profesor

Titular de la Universidad de Antioqu´ıa, Magister en Matem´ aticas de la Universidad Nacional, e-mail: [email protected]

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AGRADECIMIENTOS

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M´as que un agradecimiento, este texto es un reconocimiento a los Profesores que en el a˜ no de 1988 y posteriores, se reunieron para conformar el Seminario permanente para el Estudio y la Ense˜ nanza de la Geometr´ıa, coordinado por el Profesor Jaime Chica E.. Inicialmente fue formado por los Profesores Santiago Valencia, Ramiro Vargas Pino, Clara Mej´ıa L., Alberto Jaramillo A., Luis Garc´ıa y Carlos A. Casta˜ no. Posteriormente se conform´o un segundo grupo de Profesores que trabajaron principalmente en los fundamentos de la Geometr´ıa, entre los cuales se cuentan los Profesores Alberto Jaramillo A., Clara Mej´ıa L., Abelardo Espinal, Carlos Alberto Casta˜ no, Jaime Chica E.. M´as adelante los profesores Alberto Jaramillo y Carlos Casta˜ no se encargaron de la compilaci´on y redacci´on final del texto Notas de Geometr´ıa Euclidiana, como producto final del Seminario dirigido a la comunidad Acad´emica de la Universidad de Antioquia. As´ı mismo el Profesor Alberto Jaramillo com´ plet´o la producci´on de las Unidades de Circunferencia, Semejanza y Areas, como tambi´en los Complementos de Ejercicios que apoyaban cada Unidad. El trabajo del profesor Jaramillo se ha dirigido a la Facultad de Ingenier´ıa desde su publicaci´on en el a˜ no 1992. Mi experiencia en la ense˜ nanza del curso basado en las notas de clase realizadas por los anteriores profesores, me condujo a mejorar la presentaci´on, cambiar las demostraciones, ordenar algunas partes del curso, agregar m´as ejercicios, llenar algunos vac´ıos y agregar otros temas que no estaban en las notas realizadas por ellos. Tambi´en tengo que agradecer a los estudiantes de F´ısica y Matem´aticas, i

ii al Profesor Jairo Eloy Castellanos, que me animaron a escribir este texto, a la estudiante Eliana Mu˜ noz Sar´az quien con su paciencia y consejos me colabor´o en la escritura de gran parte del texto en LATEX.

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Prof. Jaime Escobar A. Departamento de Matem´aticas, U.deA.

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´INDICE GENERAL

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´ 1. INTRODUCCION 1.1. COMENTARIOS INICIALES . . . . . . . . . . . . . . . ´ ´ 1.2. METODOS DE DEMOSTRACION . . . . . . . . . . . . . . . .

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5 . 5 . 6 . 9 . 24

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2. AXIOMAS DE INCIDENCIA Y ORDEN ´ 2.1. ELEMENTOS GEOMETRICOS . . . 2.2. AXIOMAS DE INCIDENCIA . . . . 2.3. AXIOMAS DE ORDEN . . . . . . . . 2.4. Ejercicios y Problemas del Cap´ıt. 2. .

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25 25 25 43 48 51 68

4. AX. DE CONTINUIDAD Y PARALELISMO 4.1. AXIOMAS DE CONTINUIDAD . . . . . . ´ 4.2. MEDIDA DE ANGULOS . . . . . . . . . . . 4.3. AXIOMA DE PARALELISMO . . . . . . . . ´ 4.4. DESIGUALDADES EN EL TRIANGULO

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75 75 79 95 110

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3. AXIOMAS DE CONGRUENCIA 3.1. LA RELACION DE CONGRUENCIA 3.2. AXIOMAS DE CONGRUENCIA . . . 3.2.1. DESIGUALDADES . . . . . . . . 3.3. PERPENDICULARIDAD . . . . . . . 3.4. PUNTO MEDIO Y BISECTRIZ . . . . 3.5. Ejercicios y Problemas del Cap´ıt. 3. . .

1 1 3

iii

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. . . . . .

´INDICE GENERAL

iv

4.5. Ej. y Prob. de Paralelismo y continuidad . . . . . . . . . 118 5. POLIGONALES Y POL´IGONOS 127 ´ 5.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 ´ 5.2. CUADRILATEROS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 5.3. Ejercicios y Problemas de Pol´ıgonos . . . . . . . . . . . . 144 CIRCUNFERENCIA DEFINICIONES PRELIMINARES . . . . . . . . . . . ´ TEOREMAS BASICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . POSICIONES ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS RELACIONES ENTRE ARCOS Y CUERDAS . . . . 6.4.1. MEDIDA DE ARCOS . . . . . . . . . . . . . . . ´ ´ 6.5. ANGULO INSCRITO Y ARCO CAPAZ . . . . . . . ´ 6.6. POLIGONOS INSCRITOS EN UNA CIRCUNF. . . 6.7. Ejerc. y Problemas de la circunferencia . . . . . . . . .

151 . 151 . 155 . 163 . 169 . 169 . 176 . 182 . 191

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6. LA 6.1. 6.2. 6.3. 6.4.

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7. SEMEJANZA 201 ´ 7.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 7.2. PARALELISMO Y PROPORCIONALIDAD . . . . . . 202 7.3. SEMEJANZA DE POL´IGONOS . . . . . . . . . . . . . . 213 ´ ´ 7.4. SEMEJANZA EN EL TRIANGULO RECTANGULO 219 ´ 7.5. APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS 223 ´ 7.5.1. CONSTRUCCIONES BASICAS . . . . . . . . . . 229 7.6. APLIC. DE LA SEMEJANZA A LA CIRCUNFERENCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 7.7. EJE RADICAL Y SUS PROPIEDADES . . . . . . . . . 240 7.8. Ejercicios y Problemas de Semejanza . . . . . . . . . . . 249 8. AREAS ´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1. INTRODUCCION ´ 8.2. LONG. DE LA CIRCUNFERENCIA Y EL NUMERO π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.1. Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2. El n´ umero π y la longitud de la circunferencia 8.2.3. Area del c´ırculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.4. El Radian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.5. Longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

259 . 259 . . . . . .

270 270 273 274 275 276

´INDICE GENERAL

v

8.2.6. Area del sector circular . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.7. Area del Segmento Circular . . . . . . . . . . . . . ´ 8.3. RELAC. METRICAS EN LOS POLIG. REGULARES 8.4. Ejercicios y Problemas de Areas. . . . . . . . . . . . . . .

277 278 279 290

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A. Teor´ıa de Inversi´ on 299 A.1. Inversos de puntos en el plano . . . . . . . . . . . . . . . 299 A.2. Inverso de circunferencias y rectas . . . . . . . . . . . . . 302

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vi ´INDICE GENERAL

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COMENTARIOS INICIALES

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1.1.

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´ INTRODUCCION

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CAP´ITULO 1

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Un sistema axiom´atico es la forma acabada que toma hoy una teor´ıa deductiva. Es un sistema donde todos los t´erminos u objetos no definidos y las proposiciones no demostradas se enuncian expl´ıcitamente, siendo estas u ´ltimas, fijadas como hip´otesis a partir de las cuales pueden construirse las dem´as proposiciones del sistema, siguiendo unas reglas l´ogicas perfecta y expresamente determinadas. El encadenamiento l´ogico que se hace a partir de las hip´otesis, constituye la demostraci´on. La necesidad de t´erminos no definidos y proposiciones no demostradas se debe a que es imposible llevar la definici´on y la demostraci´on indefinidamente. Mediante la demostraci´on, se establecen nuevas proposiciones o relaciones entre los objetos a partir de las relaciones dadas como axiomas; luego se hace necesario nombrar o definir los nuevos objetos que verifican estas propiedades; es as´ı como la demostraci´on y la definici´on corren de la mano. Definici´on y demostraci´on son en consecuencia, las dos operaciones fundamentales mediante las cuales se desarrolla una teor´ıa deductiva. Dentro del desarrollo axiom´atico griego, las nociones y principios se constru´ıan con fundamentaci´on en el mundo exterior, es decir, se pretend´ıa que 1

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

2

los axiomas respondieran a la realidad y fueran as´ı mismo auto-evidentes; este tipo de axiom´aticas se han denominado gen´eticas o materiales, aqu´ı los axiomas tienen un contenido y un sentido.

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En la geometr´ıa desarrollada por Euclides, los t´erminos primitivos como son: punto, recta, relaciones de incidencia, orden y congruencia tienen un contenido “material”e intuitivo evidente, sin embargo, en el desarrollo de su fundamentaci´on se prescinde de este desarrollo material e intuitivo.

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En oposici´on a la axiom´atica material, se estructura lo que se ha denominado un sistema axiom´atico formal, en el cual los elementos primitivos carecen en absoluto de contenido y son las piezas de un puro juego sin sentido material en s´ı mismo. El sentido viene definido impl´ıcitamente por las reglas del juego constru´ıdas por los axiomas y las reglas l´ogicas de demostraci´on.

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En un sistema formal, los axiomas no tienen caracter´ısticas de autoevidentes, son simplemente premisas, puntos de partida para el desarrollo de resultados posteriores. En este sentido, de las proposiciones que se concluyen de los axiomas por medio de reglas l´ogicas, diremos que son formalmente v´alidas, es decir, que existe una filiaci´on l´ogica entre los axiomas y dichas conclusiones.

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De otra manera, podemos entender la “verdad” matem´atica como una verdad implicada, donde el antecedente est´a constitu´ıdo por los axiomas y el consecuente por las conclusiones.

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En s´ıntesis, una teor´ıa deductiva bien estructurada, debe cumplir las siguientes condiciones: 1. Enunciar expl´ıcitamente los t´erminos primeros, con ayuda de los cuales se propone definir todos los otros. 2. Enunciar expl´ıcitamente las proposiciones primeras, con ayuda de las cuales se propone demostrar todas las dem´as. Estas proposiciones se denominan axiomas, la elecci´on de estas proposiciones llamadas axiomas es en gran medida arbitraria, dependiendo en gran parte de los gustos del autor que esta desarrollando la teor´ıa, en general el autor busca que sean simples y no demasiados numerosos.

´ ´ 1.2. METODOS DE DEMOSTRACION

3

Los axiomas deben verificar a su vez tres propiedades: Consistencia: se refiere a que no hallan dos teoremas deducibles a partir de los axiomas y sean contradictorios.. Suficiencia: se refiere al hecho de que todo teorema sea deducible a partir de los axiomas y solo de ellos.

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Independencia: por razones de econom´ıa tambi´en es deseable que sean independientes, es decir, que ninguno de ellos sea deducibles de los otros.

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Las dos primeras (consistencia y suficiencia) son imprescindibles en una teor´ıa deductiva y la tercera (independencia) es deseable, es decir, la condici´on de independencia entre los axiomas, no es requisito indispensable en el desarrollo de una teor´ıa axiom´atica, simplemente asegura que la teor´ıa tenga el m´ınimo de supuestos te´oricamente necesarios (axiomas). En la pr´actica, esta condici´on no se respeta, ya que no introduce contradicciones y permite agilizar el desarrollo de la teor´ıa.

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3. Que las relaciones establecidas entre los t´erminos sean u ´nicamente relaciones l´ogicas, permaneciendo independiente del sentido concreto que pueda darse a los t´erminos.

´ ´ METODOS DE DEMOSTRACION

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1.2.

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4. Que en las demostraciones s´olo intervengan estas relaciones, lo que prohibe “tomar prestado algo”a la consideraci´on de las figuras.

Hemos dicho que en matem´aticas la verdad esta constitu´ıda como la validez de una implicaci´on de la forma H ⇒ T , donde H es el conjunto de hip´otesis y T la conclusi´on a la cual se desea llegar. Esta implicaci´on, esta regida por un principio filos´ofico que establece que: “De la verdad no se puede seguir la falsedad”. Este principio constituye la fundamentaci´on del m´etodo de demostraci´on denominado “directo”, el cual consiste en partir de unas proposiciones que se admiten como ciertas, denominadas premisas y despu´es llegar mediante una cadena de implicaciones l´ogicas, a una proposici´on final llamada conclusi´on o t´esis.

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

4

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Se puede establecer una equivalencia entre las proposiciones H ⇒ T y ¬T ⇒ ¬H llamada esta u ´ltima, el contrarrec´ıproco de la proposici´on inicial. Este hecho permite establecer un m´etodo indirecto de demostraci´on, denominado m´etodo de demostraci´on por el contrarrec´ıproco. El m´etodo consiste en demostrar ¬T ⇒ ¬H, en lugar de H ⇒ T . La demostraci´on de ¬T ⇒ ¬H generalmente se hace usando el m´etodo directo, o sea, asumiendo la negaci´on de la tesis (¬T ) para concluir la negaci´on de la hip´otesis (¬H). Se dice que dos proposiciones son contradictorias cuando una es la negaci´on de la otra. Una contradicci´on, entonces, es la conjunci´on de una proposici´on y su negaci´on (Q ∧ ¬Q), por tanto, una contradicci´on siempre ser´a una proposici´on falsa.

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Cuando en una demostraci´on se establece una implicaci´on de la forma ¬P ⇒ Q ∧ ¬Q, por el contrarrec´ıproco podemos establecer como v´alida la proposici´on Q ∨ ¬Q ⇒ P . Esta implicaci´on tiene como antecedente una proposici´on verdadera denominada tercero excluido y, por tanto, de dicha implicaci´on se puede concluir que P es verdadera. Esta situaci´on permite estructurar otro m´etodo de demostraci´on indirecto llamado “Reducci´on al absurdo”´o “M´etodo de contradicci´on”. Para la aplicaci´on del m´etodo se utilizan los siguientes pasos:

An tio

1. Introducir la negaci´on de la conclusi´on deseada como una nueva premisa (axioma).

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2. De esta nueva premisa, junto con las premisas dadas, deducir una contradicci´on.

Un

3. Establecer la conclusi´on deseada como una inferencia l´ogica deducida de las premisas originales. Este m´etodo es uno de los cl´asicos en las demostraciones matem´aticas y en particular, en la Geometr´ıa frecuentemente se usa esta forma de razonamiento en la demostraci´on de los teoremas.

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CAP´ITULO 2

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AXIOMAS DE INCIDENCIA Y ORDEN

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En este cap´ıtulo, comenzaremos dando los t´erminos y relaciones primitivas de la geometr´ıa, y su conexi´on por medio de los axiomas. A medida que se van presentando los axiomas, se deducen los teoremas que se desprenden de ellos, como tambi´en las definiciones necesarias para caracterizar los nuevos objetos.

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En la formulaci´on que adelantaremos, asumiremos el manejo de la l´ogica y de la teor´ıa de conjuntos, aunque en algunos puntos haremos hincapi´e en el proceso l´ogico de las demostraciones.

2.1.

´ ELEMENTOS GEOMETRICOS

1.1 T´erminos primitivos: punto, recta, plano, espacio. 1.2 Relaciones primitivas: estar en (pertenencia), estar entre, congruente. Estos t´erminos y relaciones primitivas, se pueden relacionar mediante enunciados tales como: El punto A est´a en la recta l. El punto B esta entre los puntos A y C en la recta l. 5

CAP´ITULO 2. AXIOMAS DE INCIDENCIA Y ORDEN

6

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AXIOMAS DE INCIDENCIA

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2.2.

s

1.3 Axiomas. Los axiomas se dividen en seis grupos a saber: Grupo I. Axiomas de incidencia. Grupo II. Axiomas de orden. Grupo III. Axiomas de congruencia. Grupo IV. Axiomas de continuidad. Grupo V. Axiomas de paralelismo. Grupo VI. Axiomas de ´area.

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I.1 Dos puntos distintos determinan una recta y solo una a la cual pertenecen. Por un punto pasa al menos una recta.

de

I.2 A toda recta pertenecen al menos dos puntos distintos.

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I.3 Dada una recta, existe al menos un punto del espacio que no est´a en la recta.

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Definici´ on 1. . Puntos colineales son aquellos que est´an en una misma recta.

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I.4 Tres puntos distintos que no est´an en una misma recta, determinan un plano y solo uno al cual pertenecen. Por dos puntos distintos pasa al menos un plano.

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I.5 A todo plano pertenecen al menos tres puntos distintos no colineales.

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I.6 Dado un plano, existe por lo menos un punto del espacio que no est´a en el plano. Definici´ on 2. . Puntos coplanares son aquellos que est´an en un mismo plano. I.7 Si dos puntos de una recta est´an en un plano, la recta est´a contenida en el plano. I.8 Si dos planos diferentes se cortan, su intersecci´on es una recta. Observaci´on: el axioma I.8 establece que si dos planos tienen un punto en com´ un, tienen un segundo punto en com´ un y en consecuencia, una recta com´ un. Notaci´on:

2.2. AXIOMAS DE INCIDENCIA

7

i) Para designar puntos, utilizaremos letras latinas may´ usculas. ←→

←→

ii) Para A, B puntos distintos, notaremos por AB ´o BA la recta a la cual pertenecen estos puntos, o tambi´en por letras min´ usculas latinas. ←→

B

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A

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As´ı, por ejemplo, nos referiremos a la recta AB ´o a la recta l , (ver Figura 1.).

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Figura 1.

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Teorema 1. Si dos rectas diferentes se intersectan, su intersecci´on es un solo punto.

Figura 2.

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Demostracion. (Figura 2.). Sean l y m dos rectas diferentes que se cortan. (Razonemos por reducci´on al absurdo). Supongamos que las rectas se cortan en dos puntos distintos A y B. Por el axioma I.1 por los puntos A y B pasa una recta u ´nica. Luego l y m son la misma recta. Contradicci´on, ya que l y m son rectas diferentes. 

8

CAP´ITULO 2. AXIOMAS DE INCIDENCIA Y ORDEN

Teorema 2. Si dos rectas diferentes se intersectan, existe un plano u ´nico que las contiene.

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Demostracion. (Figura 3.). Sean l y m dos rectas diferentes que se intersectan. Sea A el punto de intersecci´on (Teorema 1). Por el axioma I.2 existen otro punto B diferente de A en l y otro punto C diferente de A en m. Luego A, B, C son no colineales ya que B no est´a en la recta m y C no est´a en la recta l. Entonces por el axioma I.4 A, B, C determinan un plano u ´nico. Por el axioma I.7 las rectas l y m est´an contenidas en ese plano. Este es el u ´nico plano que contiene a ambas. Si existiera otro, A, B y C estar´ıan en ´el. Contradicci´on con el axioma I.4. 

B b

C b

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Figura 3.

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Teorema 3. Si l es una recta y A un punto que no pertenece a ella, existe un plano u ´nico que contiene a la recta y al punto. Demostracion. (ver Figura 4.). Por el axioma I.2 la recta l tiene al menos dos puntos diferentes B y C. Por el axioma I.4 los tres puntos no colineales A, B y C determinan un plano u ´nico. A est´a en ese plano y por el axioma I.7 la recta l est´a contenida en el plano. Este plano es u ´nico, si no, los tres puntos A, B y C estar´ıan en otro plano. Contradicci´on con el axioma I.4. 

2.3. AXIOMAS DE ORDEN

9

B

l

b

C b

b

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A

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AXIOMAS DE ORDEN

de

2.3.

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Figura 4.

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Intuitivamente en Geometr´ıa, el orden establece la forma como se relacionan tres puntos distintos pertenecientes a una misma recta, esta relaci´on es la que hemos denominado dentro de las relaciones primitivas, “estar entre”.

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II.1 Si el punto B se encuentra entre el punto A y el punto C, entonces A, B y C son puntos diferentes de una misma recta y B se encuentra as´ı mismo entre C y A, (ver Figura 5.).

de

A

B b

C b

l

Figura 5.

Un

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b

II.2 Dados dos puntos distintos A y C, existe al menos un punto B sobre ←→

AC tal que B est´a entre A y C, (ver Figura 6.). II.3 Dados dos puntos distintos A y C, existe al menos un punto D sobre ←→

AC, tal que C est´a entre A y D, (ver Figura 7.) II.4 Dados tres puntos distintos de una recta, uno y solo uno de ellos est´a entre los otros dos.

CAP´ITULO 2. AXIOMAS DE INCIDENCIA Y ORDEN

10

A

B

b

C

b

l

b

C

D

b

l

b

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A

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Figura 6.

de

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Figura 7.

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Observaci´on: el axioma II.4, establece que por ejemplo, si A est´a entre B y C, entonces B no est´a entre A y C y C no est´a entre A y B.

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Definici´ on 3 (Segmento). Sean A y B dos puntos. Al conjunto formado por A y B y todos los puntos entre A y B se le llama segmento AB y se nota AB ´o BA. A y B se llaman extremos del segmento y se dice que ellos determinan al segmento. Los puntos que est´an entre A y B se llaman puntos interiores del ←→

de

segmento AB. Los dem´as puntos de AB se llaman puntos exteriores.

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En consecuencia :

es un punto que est´ a entre A y

B}.

Un

AB = {A, B} ∪ {X/X

Los puntos interiores a AB los denotamos por IntAB; por tanto IntAB = {X/X es un punto que est´ a entre A y B}. Si A y B representan el mismo punto diremos que AB es un segmento nulo. II.5 Si X est´a entre D y C y D est´a entre A y C, entonces X est´a entre A y C, (ver Figura 8.). Observaci´on: de II.2 y II.5 se sigue que un segmento tiene infinitos puntos y lo propio para una recta.

2.3. AXIOMAS DE ORDEN

A

11

D

b

X

b

C

b

l

b

Figura 8.

s

Definici´ on 4. Un conjunto no vac´ıo de puntos se denomina figura.

M

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Definici´ on 5. Diremos que una figura es convexa si dados dos puntos cualesquiera de ella, el segmento determinado por estos puntos, est´a contenido en la figura. En caso de no cumplirse este enunciado, diremos que la figura es no convexa, (ver Figuras 9. y 10.).

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Ejercicio 1. Si A ≡ B. Es AB convexo? Ejercicio 2. Si A ≡ B. Es IntAB convexo? Ejercicio 3. Demostrar que si A 6= B entonces AB es convexo.

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An tio

A

Un

Figura 9. Figura Convexa

B

Figura 10. Figura no convexa

Teorema 4. La intersecci´on no vac´ıa de dos conjuntos convexos es un conjunto convexo. Demostraci´ on. Sean A y B conjuntos convexos. Sean X, Y ∈ A ∩ B, ya que A ∩ B 6= ∅. Probemos que XY ⊂ A ∩ B. En efecto, como X, Y ∈ A ∩ B entonces X, Y ∈ A y X, Y ∈ B. Como A es convexo por hip´otesis, entonces XY ⊂ A y similarmente, como B es  convexo, entonces XY ⊂ B, luego XY ⊂ A ∩ B.

CAP´ITULO 2. AXIOMAS DE INCIDENCIA Y ORDEN

12

Observaci´on: la uni´on de dos conjuntos convexos, no necesariamente es un conjunto convexo. Veamos un contraejemplo. A

B

b

C

b

D

b

l

b

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Figura 11.

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Sean A, B, C, D cuatro puntos distintos sobre una recta l; tales que: AB ∩ CD = φ, (ver Figura 11.). B, C ∈ AB ∪ CD y BC 6⊂ AB ∪ CD Luego, AB ∪ CD es no convexo.

de

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Definici´ on 6. Sea O un punto de la recta l, A, B otros dos puntos diferentes de la misma. Si O no est´a entre A y B, diremos que los puntos A y B est´an sobre l a un mismo lado del punto O. Si O est´a entre A y B diremos que los puntos A y B est´an sobre la recta l en lados diferentes con respecto al punto O, (ver Figura 12.).

A

B

O

B

A

O

A

O

B

b

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Un

b

b

b

b

Figura 12.

b

b

b

l l l

2.3. AXIOMAS DE ORDEN

13

II.6 Axioma de separaci´on de la recta.

i ca

s

Un punto O de una recta l divide a todos los dem´as puntos de ´esta en dos conjuntos no vac´ıos, de modo que dos puntos cualesquiera de l pertenecientes al mismo conjunto est´an a un mismo lado de O, mientras que dos puntos pertenecientes a distintos conjuntos se encuentran en lados diferentes de O.

em at

Ilustraci´on: (ver Figura 13.).

M

at

i) A, B est´an a un mismo lado de O. C, D est´an en un mismo lado de O.

ut

o

de

ii) B, C est´an en lados diferentes de O. Lo propio para: A y C; A y D; B yD

B

O

b

C

b

b

D b

l

Figura 13.

iv er si d

ad

de

b

An tio

A

qu

ia

,I

ns

tit

iii) A y B pertenecen a un conjunto distinto al conjunto que contiene a C y D.

Un

Definici´ on 7 (Semirrecta). Decimos que un punto O de una recta l, conjuntamente con alg´ un otro punto A de la misma, determina la semirrecta −→ OA, que notaremos OA; los puntos que est´an del mismo lado que A con respecto a O se llaman puntos de la semirrecta OA; el punto O, origen de la semirrecta OA, (ver Figura 14.). O b

A b

Figura 14.

l

CAP´ITULO 2. AXIOMAS DE INCIDENCIA Y ORDEN

14

En consecuencia: −→ OA = {X/X es un punto que est´a entre O y A} ∪ {A} ∪ {X/A es un punto que est´a entre O y X} Observaciones:

i ca

s

El axioma II.6 nos permite, dada una recta l, O y A puntos distintos, establecer una partici´on de la recta en tres conjuntos convexos y disjuntos as´ı: (ver Figura 15.) −→ l = {O} ∪ OA ∪ {X/O

em at

at

O

A

b

b

l

ut

,I

ns

tit

Figura 15.

o

de

b

M

X

est´ a entre A y X}

An tio

qu

ia

Si O, A, B son puntos de una recta y O est´a entre A y B diremos que −→ −−→ OA y OB son semirrectas opuestas,(ver Figura 16.). −→ S −−→ Ejercicio 1. Mostrar que si A − O − B entonces OA OB es no convexo.

ad

de

II.7 Axioma de separaci´on del plano.

π

Un

iv er si d

Cada recta l contenida en un plano , divide los puntos de este plano que no le pertenecen, en dos conjuntos no vac´ıos, de manera tal que dos puntos cualesquiera A y A′ de conjuntos diferentes determinan un segmento AA′ , que contiene alg´ un punto de la recta l, mientras que ′′ dos puntos arbitrarios A y A de un mismo conjunto determinan un un punto de l, (ver Figura segmento AA′′ , dentro del cual no hay ning´ 17.) B b

O b

Figura 16.

A b

l

2.3. AXIOMAS DE ORDEN

15 A

l A”

π

s

A’

at

em at

i ca

Figura 17.

M

Observaciones:

de

Q

b

B

An tio

A

l b

qu

ia

,I

ns

tit

ut

o

b

iv er si d

ad

de

π

←→

Un

π

π

Figura 18.

←→

i) Dados: AB⊂ , Q ∈ , Q 6∈AB, entonces el axioma II.7 nos permite definir dos conjuntos no vac´ıos que denominaremos semiplanos y que notaremos as´ı: (ver Figura 18. )

π

←→

π

←→

←→

←→

o AB /Q y que leeremos: semiplano de borde AB y que conAB: Q tiene al punto Q. ←→

←→

o AB /¬Q y que leeremos: semiplano de borde AB y que no AB:¬Q contiene al punto Q y se le llama semiplano opuesto al semiplano ←→

π

AB:Q

16

CAP´ITULO 2. AXIOMAS DE INCIDENCIA Y ORDEN ii) Con las condiciones establecidas en i), el axioma II.7 nos permite establecer una partici´on del plano en tres conjuntos convexos y disjuntos as´ı:

π

π =π

←→

π Ejercicio 1. Mostrar que π Ejercicio 2. Mostrar que π ←→

←→

AB: ¬Q ←→

AB: Q ←→

AB: Q

←→

←→

←→

π =AB /Q ∪ AB ∪ AB ¬Q

o

es convexo. ←→ ∪ es no convexo.

π

AB: ¬Q

s

AB: Q

∪ AB ∪

em at

i ca

Teorema 5. Si P es un punto sobre una recta l y Q es un punto que no est´a en dicha −→ recta, entonces la semirrecta P Q est´a contenida en l : Q.

M

at

π

ut

o

P b

tit

l

de

Q

b

qu

b

An tio

T

ia

,I

ns

P’

ad

de

Figura 19.

iv er si d

π

Demostraci´ on. (Ver Figura 19.). Por el Teorema 3., sea el plano deter−→ minado por l y Q y sea T un punto de la semirrecta P Q distinto de Q. Claramente T es un punto del plano . Veamos que T est´a en el semiplano l : Q. Razonando por reducci´on al absurdo: supongamos que T est´a en el semiplano l : ¬Q. Por consiguiente el segmento T Q intecepta la recta l en un punto P ′ , luego P ′ est´a entre T y Q (Axioma de separaci´on del plano) y como

Un

π π

π

←→

←→

←→

adem´as T est´a en la recta P Q, entonces las rectas P Q y T Q coinciden y por lo tanto, P y P ′ son el mismo punto; de lo cual se sigue que P est´a entre T y −→ Q, o sea que T no est´a en la semirrecta P Q en contradicci´on con el supuesto inicial. Lo anterior nos permite concluir que T est´a en el semiplano l : Q como se quer´ıa demostrar. 

π

2.3. AXIOMAS DE ORDEN

17

II.8 Axioma de separaci´on del espacio.

π

Todo plano divide a los dem´as puntos del espacio que no le pertenecen en dos conjuntos no vac´ıos, de manera tal que dos puntos cualesquiera A y B de conjuntos diferentes, determinan un segmento AB dentro del cual hay alg´ un punto del plano , mientras que dos puntos ′ cualesquiera A y A de un mismo conjunto, determinan un segmento AA′ dentro del cual no hay puntos comunes con el plano .

π

em at

i ca

s

π

at

Observaciones:

M

i) Los conjuntos definidos por el axioma II.8 se denominan semiespacios.

ut

o

de

ii) El axioma II.8 establece una partici´on del espacio en tres conjuntos convexos y disjuntos.

An tio

qu

ia

,I

ns

tit

Definici´ on 8. (Angulo). El conjunto formado por dos semirrectas que tienen el mismo origen, incluyendo este punto, se llama ´angulo. Si las dos semirrectas coinciden, entonces el ´angulo que determinan se llama nulo. Si las dos semirrectas son semirrectas opuestas, el ´angulo se llama llano. [ no nulo y no llano. Es AOB [ convexo? Explique. Ejercicio 1. Sea AOB

iv er si d

ad

de

−→ −−→ Notaci´ on: si OA y OB son dos semirrectas, entonces el ´angulo que forman se denotar´a por cualquiera de los s´ımbolos, (Ver Figura 20.): B

Un

b

O A b

Figura 20.

[ AOB

[ ∡AOB o BOA; ´

−→ −−→ −−→ −→ o ∡BOA; ∡(OA, OB) ´ ´ o ∡(OB, OA)

CAP´ITULO 2. AXIOMAS DE INCIDENCIA Y ORDEN

18

−→ −−→ OA y OB se denominan lados del ´angulo. O se denomina v´ertice del ´angulo. [ es no nulo y no llano entonces los conjuntos Nota: cuando el ´angulo AOB T S [ forman una partici´on ←→ ←→ α = ←→ , β = ←→ y AOB OA: B OB: A OA: ¬B OB: ¬A [ = y α ∩ β = φ, α ∩ AOB [ = φ y del plano , es decir: α ∪ β ∪ AOB [ = φ. Veremos en la demostraci´on del teorema siguiente que α y β β ∩ AOB son no vacios. El siguiente teorema es consecuencia del Teorema 4.

π

π

π

π

π

i ca

s

π

π

π

at

π

ia

,I

ns

b

tit

B

ut

o

de

M

π

em at

Teorema 6. [ es no nulo y no llano entonces el conjunto Si el ´aT ngulo AOB S ←→ ←→ ←→ es convexo y el conjunto ←→ es c´oncavo. OA: B OB: A OA: ¬B OB: ¬A (ver Figura 21.)

D

[ Interior del ´angulo AOB

O

iv er si d

ad

de

π

An tio

qu

b

b

A

Figura 21.

Un

T ←→ Demostraci´ on: a) Veamos que ←→ es convexo, para hacer la OA: B OB: A demostraci´ T on, utilicemos el teorema 4., para ello debo demostrar que ←→ ←→ ←→ ←→ 6= φ. Sabemos que y son convexos, como OA: B OB: A OA: B OB: A [ es no nulo y no llano entonces A 6= B, luego AB es no nulo y por tanto AOB

π

π

π

π

π

π

←→

IntAB 6= φ. Sea D ∈ IntAB, luego A − D − B, por tanto D ∈ / OB (ya que si ←→

D ∈OB entonces D ≡ B, lo cual es absurdo, porque A−D−B), entonces por −→ el teorema 5. BA ⊂ ←→ y como D ∈ ←→ (ya que A−D −B)entonces OB: A OB: A −−→ ←→ ≡ ←→ (*) y como por el teorema 5.: OD ⊂ ←→ entonces por OB: A OB: D OB: D −−→ (*) OD ⊂ ←→ (1).

π

π π

π

OB: A

π

π

2.3. AXIOMAS DE ORDEN

19

Similarmente (haciendo el mismo procedimiento) se demuestra que −−→ OD ⊂ ←→ (2).

π

OA: B

T T −−→ ←→ ←→ De (1) y (2) OD ⊂ ←→ , es deluego D ∈ ←→ OB: A OB: A OA: OA: B T B T ←→ ←→ es convexo. 6= φ y por el teorema 4. ←→ cir ←→ OB: A OB: A OA: B OA: B S ←→ ←→ es c´oncavo (se deja como ejercicio).  b)

π π

OA: ¬B

π π

π

π

OB: ¬A

π

π

π

π

T ←→ del teorema anterior se le llama Definici´ on 9. Al conjunto ←→ OB: A OA: B T [ y lo denotamos as´ı:Int(AOB) [ = ←→ ←→ el interior del ´angulo AOB OA: B OB: A S [ y ←→ ←→ se le llama el exterior del ´angulo AOB y al conjunto OB: ¬A OA: ¬B S [ = ←→ ←→ lo denotamos as´ı: Ext(AOB)

s

em at

π

OA: ¬B

OB: ¬A

at

π

π

M

π

π

π

i ca

π

π

tit

ut

o

de

Corolario 1. La semirrecta que tiene su origen en el v´ertice de un ´angulo no nulo y no llano y un punto en el interior de dicho ´angulo, est´a contenida en el interior del ´angulo. (ver Figura 22.)

ia

,I

ns

−→ [ Veamos que la semirrecta − Demostraci´ on: sea D ∈ Int(AOB). OD est´a con[ tenida en Int(AOB). Est´a claro por la hip´otesis que D es un punto del semiplano ←→ y tamOA: B bi´en es un punto del semiplano ←→ . OB: A −−→ Por el Teorema 5 la semirrecta OD est´a contenida en ←→ y tambi´en en OA: B −−→ [ ←→ ; esto es OD est´a contenida en lnt(AOB). 

qu

π

An tio

π

de

iv er si d

ad

OB: A

Un

π

π

B b

D b

O

A b

Figura 22.

CAP´ITULO 2. AXIOMAS DE INCIDENCIA Y ORDEN

20

Teorema 7. [ (no-nulo y no llano), los puntos interiores del segDado un ´angulo BAC mento BC est´an en el interior de dicho ´angulo.

em at

i ca

s

[ es no-nulo y no llano Demostraci´ on. (ver Figura 23.). Como ´angulo BAC entonces B 6= C, luego BC es no nulo. Sea D un punto interior de CB. [ Vamos a demostrar que D es un punto interior al ´angulo BAC.

C b

at

D

de

B

M

b

A

o

b

ns

tit

ut

Figura 23.

ia

,I

De la hip´otesis tenemos que D est´a entre B y C; por lo tanto, estos dos puntos est´an en lados distintos respecto a D y en consecuencia C 6∈ BD. Afir←→

qu

←→

←→

←→

AC: B

de

π

An tio

mamos que BD ∩ AC= φ, en efecto, puesto que BD ⊂BC y BC ∩ AC= {C} y como C 6∈ BD, queda sustentado lo afirmado. Por tanto: BD ⊂ ←→ (1) ←→

iv er si d

ad

De la hip´otesis tambi´en se infiere que B 6∈ DC y afirmamos que DC ∩ AB= ←→

←→

←→

π

Un

φ, en efecto, puesto que DC ⊂BC y BC ∩ AB= {B}; pero B 6∈ DC. En consecuencia: DC ⊂ ←→ (2) AB: C

De (1) y (2) podemos concluir que D ∈ [ tenece al interior del ´angulo BAC.

π

←→

AB: C

∩

π

←→

AC: B

esto es: D per

Teorema 8. [ un ´angulo no nulo y no llano; D un punto interior a dicho ´angulo. Sea BAC Si F es un punto tal que A est´a entre F y C, entonces los puntos B y F ←→

est´an en el mismo semiplano determinado por la recta AD.

2.3. AXIOMAS DE ORDEN

21

B b

D b

C

F b

b

A

i ca

s

G

at

em at

Figura 24.

M

Demostraci´ on. (Ver Figura 24.). Esta consistir´a en demostrar que el seg←→

tit

ut

o

de

mento BF no tiene puntos en la recta en AD. Dividiremos la prueba en tres puntos, a saber:

,I

ns

i) Veremos que el punto A no puede estar en el segmento F B.

qu

ia

−−→ ii) Veremos que ning´ un punto de F B est´a en la semirrecta AD.

de

An tio

−→ iii) Veremos que ning´ un punto de F B est´a en la semirrecta AG, siendo G −−→ un punto en la semirrecta opuesta a AD.

iv er si d

←→

ad

La prueba de estas tres partes permite afirmar que F B no corta a la recta AD y por tanto, que los puntos F y B est´an en un mismo semiplano respecto ←→

Un

de la recta AD.

Para probar i) comencemos por afirmar que la hip´otesis del enunciado garantiza que A es un punto distinto de B y F . Razonando por reducci´on al absurdo, supongamos que A es un punto en el ←→

←→

←→

interior de F B. Puesto que F se tom´o en la recta AC, las rectas AC y F B tienen en com´ un los puntos A y F y por tanto dichas rectas coinciden (A←→

xioma I.1), de donde se concluye que el punto B est´a en la recta AC, lo cual [ es no nulo y lleva a la contradicci´on con la hip´otesis de que el ´angulo BAC no llano. En esta forma queda demostrada la parte i).

CAP´ITULO 2. AXIOMAS DE INCIDENCIA Y ORDEN

22

Para probar las partes ii) y iii) se debe tener en cuenta que la semirrecta [ (Corolario) y por tanto, AD est´a contenida en el interior del ´angulo BAC, est´a contenida en el semiplano ←→ como tambi´en en el semiplano ←→ . →

π

π

AB: C

AC: B

Para probar ii) afirmamos que los puntos F y C est´an en semiplanos o←→

puestos respecto a la recta AB, ya que A est´a entre F y C y estos puntos ←→

π

π

em at

i ca

π

s

no est´an en AB. Seg´ un lo anterior, F est´a en el semiplano ←→ y por el AB: ¬C −−→ Teorema 5, es claro que la semirrecta BF est´a en el semiplano ←→ . Por AB: ¬C −−→ otra parte, ya se afirm´o que la semirrecta AD est´a en el semiplano ←→ . AB: C Siendo disjuntos los semiplanos ←→ y ←→ y siendo B 6= A, se sigue AB: ¬C AB: C −−→ que ning´ un punto de F B est´a en la semirrecta AD.

de

M

at

π

π

tit

ns

π

AC: B

←→

,I

π

ut

o

Para demostrar la parte iii) tomamos en consideraci´on que las semirrectas ←→ −−→ −→ opuestas AD, AG est´an en semiplanos opuestos respecto a la recta AC y −−→ −→ como AD est´a en el semiplano ←→ , entonces AG est´a en el semiplano . Por otra parte, como F est´a en AC y B es un punto que no est´a en AC: ¬B ←→ −−→ AC, por el Teorema 5, se sigue que la semirrecta F B est´a en el semiplano ←→ . Siendo disjuntos los semiplanos ←→ y ←→ y siendo B 6= A, AC: B AC: ¬B AC: B −→ se concluye que el segmento F B no tiene puntos en la semirrecta AG. 

qu

ia

←→

π

π

de

An tio

π

Un

iv er si d

ad

[ un a´ngulo no nulo y no llano; D un punto en el Corolario 2. Sea BAC interior de dicho ´angulo. Si F es un punto tal que A esta entre F y C, −→ \ entonces AB ⊂ IntF AD. Teorema 9 (Teorema de la barra transversal). [ (no nulo y no llano), Si D es un punto que est´a en el interior de BAC −−→ entonces AD intersecta a BC. Demostraci´ on. (ver Figura 25.). Razonando por reducci´on al absurdo. Su−−→ −→ pongamos que AD ∩ BC = φ. Sea AG la semirrecta opuesta a la semirrecta −−→ −−→ [ (por Corolario 1.) y IntBC ⊂ IntCAB [ (por AD, como AD ⊂ IntCAB −→ [ es no Teorema 7.), entonces AG ∩ BC = φ y A ∈ / BC (ya que el CAB ←→

nulo y no llano) en consecuencia AD ∩BC = φ y por tanto B y C est´an en

2.3. AXIOMAS DE ORDEN

23

B b

D

F b

b

C b

b

i ca

G

s

A

M

at

em at

Figura 25.

←→

de

el mismo semiplano con respecto a la recta AD (Axioma de separaci´on del ←→

←→

tit

ut

o

plano). Tomemos F ∈ AC tal que A est´a entre F y C, por tanto F B ∩ AD= φ (por Teorema 8); esto es, F y B est´an en el mismo semiplano respecto a la ←→

ns

recta AD, concluy´endose por tanto que F y C est´an en el mismo semiplano

,I

←→

Un

iv er si d

ad

de

An tio

qu

ia

respecto a AD; esto es contradictorio puesto que A est´a entre F y C. −−→ Conclusi´on: AD ∩ BC 6= φ.



CAP´ITULO 2. AXIOMAS DE INCIDENCIA Y ORDEN

24

2.4.

Ejercicios y Problemas del Cap´ıt. 2.

1. Con este ejercicio se demuestra que un segmento es una figura convexa. Si los puntos C y D pertenecen al segmento AB, entonces todos los puntos del segmento CD est´an en el segmento AB ( CD ⊂ AB). 2. Si el punto C esta entre los puntos A y B, todos los puntos del segmento AC est´an en el segmento AB.

em at

i ca

s

3. Si el punto C esta entre los puntos A y B, ning´ un punto del segmento AC distinto de C esta en el segmento CB.

de

M

at

4. Si el punto C esta entre los puntos A y B, cada punto del segmento AB, esta o bien en el segmento AC o bien en el segmento CB o en ambos.

An tio

qu

ia

,I

ns

tit

ut

o

5. Si A, B, C no est´an en la misma recta y si una recta a intercepta el interior de dos de los tres segmentos AB, BC, AC, entonces la recta a no intercepta el tercero. −→ −−→ −→ 6. Si M es un punto de OA, demostrar que OM coincide con OA. Q Q 7. Si Q es un punto del semiplano , demostrar que l:P l:Q coincide con Q . l:P

iv er si d

ad

de

8. Demostrar que si un plano y una recta se cortan y el plano no contiene la recta, entonces se cortan en un solo punto. 9. Demostrar que la recta es una figura convexa.

Un

10. Demostrar que un segmento y una recta tienen un n´ umero infinito de puntos. 11. Sea α un plano cualquiera, l una recta contenida en el plano α. Demostrar que existe al menos un punto en el plano α que no est´a en la recta l. 12. Demostrar el corolario 2. [ es no nulo y no llano entonces el 13. Demostrar que si S el ´angulo AOB ←→ ←→ es c´oncavo. conjunto

π

OA: ¬B

π

OB: ¬A

i ca

s

CAP´ITULO 3

tit

LA RELACION DE CONGRUENCIA

ns

3.1.

ut

o

de

M

at

em at

AXIOMAS DE CONGRUENCIA

Un

iv er si d

ad

de

An tio

qu

ia

,I

Cuando se piensa en la forma y tama˜ no de las figuras geom´etricas, surge de un modo natural la posibilidad de que dos o m´as figuras coincidan. El paso siguiente de nuestro trabajo, consiste en establecer una relaci´on que incluye esta posibilidad en el tratamiento geom´etrico. Vamos a denominar congruencia a esta nueva relaci´on. Ser´a suficiente establecer sin definici´on dicha relaci´on para segmentos y ´angulos, y despu´es extenderla mediante definiciones para otras figuras u objetos geom´etricos. En adelante podremos hacer afirmaciones como: AB es congruente con CD, [ es congruente con DEF \. o bien, ABC La relaci´on de congruencia ser´a denotada por el signo primitivo ∼ = y as´ı las anteriores afirmaciones se podr´an escribir: [ ∼ \ AB ∼ = CD, ABC = DEF

3.2.

AXIOMAS DE CONGRUENCIA

III.1 Axioma de la construcci´on del segmento −−→ Sea AB un segmento cualquiera no nulo y CE una semirrecta de origen −−→ ´nico punto D tal que AB ∼ C. Entonces existe en CE un u = CD (ver Figura 1.).

25

CAP´ITULO 3. AXIOMAS DE CONGRUENCIA

26 A

B

//

// b

b

b

C

D

E

em at

i ca

s

Figura 1.

M

at

En t´erminos pr´acticos, este axioma afirma la posibilidad de construir o trasladar un segmento haciendo uso, por ejemplo, de regla y comp´as.

ns

tit

ut

o

de

Las construcciones geom´etricas se hacen con regla y comp´as, el comp´as sirve para trasladar la magnitud del segmento y la regla (sin numeraci´on) para trazar rectas.

qu

ia

,I

Construcci´ on b´ asica: construir con regla y comp´as un segmento en una −−→ semirrecta dada OX, dado el segmento AB.

An tio

A

b

de

b

C

X

Figura 2.

Un

iv er si d

ad

O

B

Construcci´ on. (Ver Figura 2.) Para la construcci´on, haremos los siguientes pasos consecutivos. −−→ Con centro en O y radio AB trazo arco, que corta a OX en C . El segmento OC es el segmento pedido. Justificaci´ on. Esta construcci´on es consecuencia inmediata del Axioma de construcci´on de segmento. III.2

i) Propiedad reflexiva: cada segmento es congruente consigo mismo, es decir: AB ∼ = AB para todo segmento AB.

3.2. AXIOMAS DE CONGRUENCIA

27

ii) Propiedad de simetr´ıa: si AB ∼ = CD, entonces CD ∼ = AB. iii) Propiedad transitiva: si AB ∼ = CD y CD ∼ = EF , entonces AB ∼ = EF .

i ca

at

em at

i) Si AB ∼ = A′ B ′ y BC ∼ = B ′ C ′ , entonces AC ∼ = A′ C ′ ii) Si AB ∼ = A′ B ′ y AC ∼ = A′ C ′ , entonces BC ∼ = B′C ′

s

III.3 Sean A, B, C puntos de una recta a y A′ , B ′ , C ′ puntos de a ´o de otra recta b, tales que B est´a entre A y C y B ′ entre A′ y C ′ .

tit

ut

o

de

M

(ver Figura 3.) El anterior axioma expresa que la “suma”y la “diferencia”de segmentos congruentes, producen segmentos congruentes.

A

//

b

b

B

C

a

// b

C’

B’

ad

de

b

An tio

qu

ia

///

,I

ns

/ b

/ b

A’

///

b

Un

iv er si d

Figura 3.

III.4 Axioma de la construcci´on del ´angulo −→ −−→ Sea ∡(OA, OB) un ´angulo cualquiera y O′ un punto de una recta l situada en un plano . −−→ Sea l uno cualquiera de los semiplanos en que l divide a y O′ C ′ una de las semirrectas en que O′ divide a l. Entonces existe una semi−−→ rrecta u ´nica O′ D situada en el conjunto l ∪ l tal que:

π

π

π

π

−−→ −−→ −→ −−→ ∡(OA, OB) ∼ = ∡(O′ C ′ , O′ D)

CAP´ITULO 3. AXIOMAS DE CONGRUENCIA

28

A

O’ b

C’

b

l

b

b

b

D

B

πl

s

O

at

em at

i ca

Figura 4.

de

M

(ver Figura 4.)

ia

,I

ns

tit

ut

o

Igual que en III.1, este axioma afirma la posibilidad de construir o trasladar un ´angulo haciendo uso por ejemplo, del comp´as y la regla, esta construcci´on la haremos m´as adelante.

An tio

qu

III.5 El siguiente axioma expresa que la relaci´on de congruencia entre ´angulos verifica las propiedades reflexiva, sim´etrica y transitiva, en t´erminos similares a los del axioma III.2, es decir:

iv er si d

ad

de

−→ −−→ −→ −−→ i) Reflexiva: ∡(OA, OB) ∼ = ∡(OA, OB)

Un

ii) Sim´etrica: si entonces

−−→ −−→ −→ −−→ ∡(OA, OB) ∼ = ∡(O′ X, O′ Y ), −−→ −−→ −→ −−→ ∡(O′ X, O′ Y ) ∼ = ∡(OA, OB)

iii) Transitiva: −→ −−→ −→ −−→ −→ −−→ −−→ −−→ si ∡(OA, OB) ∼ = ∡(U C, U D) y ∡(U C, U D) ∼ = ∡(W X, W Y ), entonces −→ −−→ −−→ −−→ ∡(OA, OB) ∼ = ∡(W X, W Y ) −−→ −−→ −→ III.6 Sean OH, OK, OL semirrectas con un mismo origen O y situadas en un mismo plano α.

3.2. AXIOMAS DE CONGRUENCIA

29

−−→ −−→ −−→ Sean O′ R, O′ S, O′ T semirrectas con un mismo origen O′ y situadas en α ´o en otro plano α′ . −−→ −→ −−→ −−→ Supongamos adem´as que OL est´a en el interior de ∡(OH, OK) y O′ T −−→ −−→ en el interior de ∡(O′ R, O′ S) (ver Figura 5.). Entonces: −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −→ −→ −−→ i) Si ∡(OH, OL) ∼ = ∡(O′ R, O′ T ) y ∡(OL, OK) ∼ = ∡(O′ T , O′ S), −−→ −−→ −−→ −−→ entonces ∡(OH, OK) ∼ = ∡(O′ R, O′ S)

T

tit

b

,I

ns

L b

S

O’

Figura 5.

iv er si d

ad

de

An tio

qu

ia

K

b

O

ut

o

b

R

b

de

b

H

M

at

em at

i ca

s

−−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −→ −−→ −−→ ii) Si ∡(OH, OL) ∼ = ∡(O′ R, O′ T ) y ∡(OH, OK) ∼ = ∡(O′ R, O′ S), −−→ −−→ −→ −−→ entonces ∡(OL, OK) ∼ = ∡(O′ T , O′ S)

Un

Este axioma, lo mismo que el III.3, expresa que lo “suma” y la “diferencia” de ´angulos congruentes, dan como “resultado”, ´angulos congruentes. Corolario 3. Todos los ´angulos llanos son congruentes. ′ O ′ B ′ son ´ [ y A\ Demostraci´ on. (ver Figura 6.). Supongamos que AOB angulos llanos, veamos que son congruentes. En efecto, por el axioma de cons−−→ trucci´on de ´angulo, existe una semirrecta OX contenida en el semiplano ′ ′ ′ ′ ′ ′ \∼ \ \ otesis, entonl ∪ l tal que AOX = A O B , como A O B es llano por hip´ − −→ −→ \ ces AOX tambi´en es llano y por tanto, OX y OA son semirectas opuestas,

π

CAP´ITULO 3. AXIOMAS DE CONGRUENCIA

30 X

πl B

A B’

O

A’

O’

Figura 6.

em at

i ca

s

−−→ OB son semirrec−−→ −−→ OX ≡ OB, luego 

at

→ [ es llano, entonces − pero como por hip´otesis AOB OA y tas opuestas y por el axioma de separaci´on de la recta ′ O′ B ′ [ ∼ AOB = A\

de

M

Definici´ on 10 (Tri´ angulo). Sean A, B, C, tres puntos distintos no colineales. La uni´on de los segmentos AB, BC, CA determinan el tri´angulo de △

A

,I

ns

tit

ut

o

v´ertices A, B y C que denotaremos: △ABC ´o ABC.

de

An tio

qu

ia

Angulo opuesto al lado BC

iv er si d

B

ad

Angulos adyacentes a BC

Un

b Lado opuesto al ´ angulo A

C

Figura 7.

Los segmentos AB, BC y CA se llaman lados del tri´angulo. Los ´angulos [ [ y ACB [ se llaman ´angulos interiores o simplemente ´angulos del ABC, BAC tri´angulo △ABC y tambi´en, si no hay ambiguedad, ser´an denotados por sus b B, b C. b v´ertices, o sea, A, El interior del tri´angulo esta definido por Int△ABC = ←→ ∩ ←→ ∩ ←→ AB: C AC: B BC: A b es el ´angulo opuesto al lado BC En un tri´angulo △ABC, diremos que A byC b son ´angulos adyacentes a dicho lado. Rec´ıprocamente, BC se llama yB

π

π

π

3.2. AXIOMAS DE CONGRUENCIA

31

b y el mismo lado BC se llama lado adyacente tanto lado opuesto al ´angulo A b como a C, b (ver Figura 7.). aB

Esta misma terminolog´ıa es aplicable a los otros ´angulos y lados del tri´angulo.

s

Ejercicio 1. Es △ABC una figura convexa? Ejercicio 2. Mostrar que Int△ABC es convexo.

M

at

AB ∼ = A′ B ′ , AC ∼ = A′ C ′ , BC ∼ = B′C ′

em at

i ca

Definici´ on 11 (Congruencia de tri´ angulos). (Ver Figura 8.). El tri´angulo △ABC es congruente al tri´angulo △A′ B ′ C ′ si:

tit

ut

o

de

′ B ′ C ′ , BAC ′ A′ C ′ , BCA ′ C ′ A′ [ ∼ [ ∼ [ ∼ ABC = B\ = B\ = A\

A’

An tio

qu

ia

,I

ns

A

b

C

B’

b

C’

Figura 8.

Un

iv er si d

ad

de

B

En este caso decimos que los v´ertices A y A′ , B y B ′ , C y C ′ , los lados byA b′ , B b yB c′ , C b yC c′ AB y A′ B ′ , AC y A′ C ′ , BC y B ′ C ′ y los ´angulos A son hom´ologos o correspondientes. Escritura simb´olica: △ABC ∼ = △A′ B ′ C ′ La definici´on anterior establece que dos tri´angulos son congruentes si tanto los lados como los ´angulos se presentan en pares congruentes. El siguiente axioma establece condiciones m´ınimas para la congruencia de ´ dos tri´angulos y se denomina axioma LADO-ANGULO-LADO, en s´ımbolos: L-A-L.

CAP´ITULO 3. AXIOMAS DE CONGRUENCIA

32

III.7 Axioma L-A-L Si los tri´angulos △ABC y △A′ B ′ C ′ presentan las congruencias: ′ A′ C ′ , [ ∼ y BAC = B\

AB ∼ = A′ B ′ , AC ∼ = A′ C ′ entonces (ver Figura 9.)

em at

i ca

s

△ABC ∼ = △A′ B ′ C ′ .

A’

B’

,I

C

C’

qu

ia

B

ns

tit

ut

o

de

M

at

A

de

An tio

Figura 9.

Un

iv er si d

ad

Seg´ un el axioma L-A-L, dos tri´angulos son congruentes si en uno de ellos existen dos lados y el ´angulo comprendido (entre dichos lados), respectivamente congruentes a dos lados y el ´angulo comprendido (entre dichos lados), en el otro tri´angulo. Los siguientes dos teoremas establecen que la relaci´on de congruencia entre segmentos (respectivamente entre ´angulos), mantiene la disposici´on de los puntos en una recta (respectivamente, la disposici´on de las semirrectas que tienen el origen en el v´ertice de un ´angulo). Teorema 10. Sean A, B, C tres puntos de una recta a y A′ , B ′ , C ′ tres puntos de una recta b tales que, AB ∼ = A′ B ′ y AC ∼ = A′ C ′ . Si B est´a entre A y C y B ′ est´a del mismo lado que C ′ con respecto a A′ , (ver Figura 10.), entonces B ′ est´a entre A′ y C ′ .

3.2. AXIOMAS DE CONGRUENCIA

33

/

a

b

b

b

A

B

C

// /

b

A’

B’

//

b

b

C’ C”

b

s

b

at

em at

i ca

Figura 10.

de

An tio

qu

ia

,I

ns

tit

ut

o

de

M

Demostraci´ on: por el axioma de construcci´on del segmento, existe un pun′′ to C en b tal que B ′ est´a entre A′ y C ′′ y adem´as BC ∼ = B ′ C ′′ , (ver Figura 10.). El teorema quedar´a demostrado si se logra probar que C ′′ coincide con C ′. De las congruencias: AB ∼ = A′ B ′ y BC ∼ = B ′ C ′′ ′ ′′ ∼ se obtiene AC = A C (“Suma”de segmentos), y como AC ∼ = A′ C ′ (hip´otesis), se concluye A′ C ′ ∼ = A′ C ′′ (transitividad). De donde se sigue, como una consecuencia del axioma de construcci´on del segmento, que C ′ y C ′′ coinciden, pues est´an en la recta b y del mismo lado de A′ . Ya que C ′′ se tom´o de modo que B ′ est´a entre A′ y C ′′ , se concluye que B ′ est´a entre A′ y C ′ , como se quer´ıa demostrar. 

iv er si d

ad

Tiene lugar un teorema, an´alogo al anterior, para ´angulos.

Un

Teorema 11. −−→ −−→ Supongamos que en cierto plano fijo se tienen las semirrectas OH, OK y −→ OL y que en el mismo plano o en otro cualquiera, se tienen las semirrectas −−′−→′ −−′−→′ −−→ −−→ −→ O H , O K y O′ L′ . Supongamos adem´as que las semirrectas OK y OL ←→

est´an en el mismo semiplano determinado por la recta OH y que las ←→ −−−→ −−→ semirrectos O′ K ′ , O′ L′ tienen disposici´on an´aloga con respecto a O′ H ′ . −−−→ −−−→ −−→ −−→ Entonces, si ∡(OH, OK) ∼ = ∡(O′ H ′ , O′ K ′ ), −−−→ −−→ −−→ −→ ∡(OH, OL) ∼ = ∡(O′ H ′ , O′ L′ ), −−→ −−→ −→ Si la semirrecta OK est´a en el interior de ∡(OH, OL), (Ver Figura 11.), la −−−→ −−−→ −−→ semirrecta O′ K ′ estar´a tambi´en en el interior de ∡(O′ H ′ , O′ L′ ).

CAP´ITULO 3. AXIOMAS DE CONGRUENCIA

34 H

L’ K’ K L

O

O’

H’

tit

em at

de

ut

o

△ABC ∼ = △A′ B ′ C ′

M

at

Teorema 12 (Caso ´ angulo-lado-´ angulo: A-L-A). ′ ′ ′ Sean △ABC y △A B C dos tri´angulos tales que: ′ A′ C ′ , CBA ′ B ′ A′ Entonces [ ∼ [ ∼ AB ∼ = A′ B ′ , BAC = B\ = C\

i ca

s

Figura 11.

C’

de

An tio

qu

ia

,I

ns

C

B A’

B’

Figura 12.

Un

iv er si d

ad

A

Demostraci´ on. (Ver Figura 12.).Esta consistir´a en demostrar que ′ ′ ∼ AC = A C con lo cual se tiene △ABC ∼ = △A′ B ′ C ′ (por el ax. L-A-L). −→ Sea D un punto en la semirrecta AC tal que: AD ∼ = A′ C ′ (axioma de construcci´on de segmento). Por tanto, △ABD ∼ = △A′ B ′ C ′ (axioma L-A-L), (ver Figura 13.). ′ B ′ A′ y como CBA ′ B ′ A′ , (hip´ \∼ [ ∼ Luego DBA otesis), se tiene por = C\ = C\ ∼ \ [ transitividad, DBA = CBA por tanto (por el Ax. de construcci´on de ´angulo) −−→ −−→  BC ≡ BD luego (por Teorema 1.) C ≡ D; luego AC ∼ = A′ C ′

3.2. AXIOMAS DE CONGRUENCIA

35

C

C’

D

A

B A’

B’

em at

i ca

A

s

Figura 13.

tit B

base

An tio

qu

ia

,I

ns

ii) Si el tri´angulo △ABC es is´osceles con AB ∼ = AC, se llama base del tri´angulo al tercer lado BC.

ut

o

de

M

at

Definici´ on 12. i) Se llama tri´angulo is´osceles a aquel que tiene dos lados congruentes, (Ver Figura 14.).

C

Figura 14.

ad

de

Teorema 13. En todo tri´angulo is´osceles, los ´angulos adyacentes a la base son congruentes.

Un

iv er si d

Demostraci´ on: sea △ABC un tri´angulo is´osceles con AB ∼ = AC. byC b son congruentes. Veamos que los ´angulos de la base, B

Sean D y E puntos tales que B est´a entre A y D, C entre A y E y BD ∼ = CE, (ver Figura 15.). Por suma de segmentos, AE ∼ = AD. Entonces en los tri´angulos △ABE, △ACD se tiene: [ ∼ \ AB ∼ = AC, AE ∼ = AD, BAE = CAD (el ´angulo del v´ertice en A es com´ un para ambos tri´angulos). Se concluye que dichos tri´angulos son congruentes (L-A-L). De donde: [ ∼ \ \∼ \ BE ∼ BDC = CD, ABE = ACD = BEC,

CAP´ITULO 3. AXIOMAS DE CONGRUENCIA

36

A

C E

em at

D

i ca

s

B

M

at

Figura 15.

tit

ut

o

de

Consideremos ahora los tri´angulos △BDC, △CEB. En dichos tri´angulos se tiene: \∼ \ BD ∼ = CE, CD ∼ = BE, BDC = BEC

qu

ia

,I

ns

\∼ \ luego △BDC ∼ = △CEB (axioma L-A-L), de donde, EBC = DCB [ ∼ \ y por Teorema 7. y Corolario 1. y puesto que ya se ten´ıa ABE = ACD

An tio

−−→ −→ [ − \ BC ⊂ IntABE, CB ⊂ IntACD,

iv er si d

ad

de

[ ∼ [ que era lo que se quer´ıa se sigue por diferencia de ´angulos que ABC = ACB demostrar. 

Un

Definici´ on 13.

i) Dos ´angulos se llaman adyacentes si tienen el mismo v´ertice, un lado com´ un y ninguno de los lados de uno de ellos est´a en el interior del otro, (ver Figura 16.). ii) Dos ´angulos hacen un par lineal si son adyacentes y los lados no comunes forman semirrectas opuestas, (ver Figura 17.). iii) Dos ´angulos se llaman opuestos por el v´ertice si tienen el mismo v´ertice y los lados de ambos ´angulos forman semirrectas opuestas, (ver Figura 18.).

3.2. AXIOMAS DE CONGRUENCIA

37

C

D B

B

C O

A C

O

O Figura 17. Par lineal

Figura 16. Adyacentes

B

A A Figura 18. Opuestos por el v´ertice

M

at

em at

i ca

s

[ BOC \ son adyacentes. En la Figura En la Figura 16., los ´angulos AOB, [ y BOC \ hacen un par lineal. En la Figura 18., los ´angu17., los ´angulos AOB [ y BOD \ son opuestos por el v´ertice. los AOC

de

Observaciones:

ns

tit

ut

o

i) Todo ´angulo hace un par lineal con, exactamente, dos de sus ´angulos [ hace un par lineal con adyacentes. En la Figura 18., el ´angulo AOB \ y tambi´en con AOC. [ BOD

An tio

qu

ia

,I

ii) Cuando dos rectas se cortan, hacen, alrededor del punto com´ un, cuatro ´angulos que son opuestos por el v´ertice de dos en dos. En la Figura 19., [ y COD, \ as´ı como AOC [ y BOD \ son respectivamente las parejas AOB ´angulos opuestos por el v´ertice.

Un

iv er si d

A

ad

de

B

O D

C Figura 19.

Teorema 14 (Teorema del par lineal). Si uno de los ´angulos de un par lineal, es congruente a uno de los ´angulos de otro par lineal, entonces los otros dos ´angulos tambi´en son congruentes.

CAP´ITULO 3. AXIOMAS DE CONGRUENCIA

38

′ O′ B ′ , A ′ O ′ C ′ otro par [ AOC [ un par lineal y A\ \ Demostraci´ on: sean AOB, ′ O ′ B ′ (Figura 20.). Veamos que [ ∼ lineal tales que AOB = A\ ′ O′ C ′ . [ ∼ AOC = A\

Supongamos que los puntos A′ , B ′ , C ′ se tomaron de tal modo que: A

B C’

O

B’

em at

C

i ca

s

A’

O’

de

M

at

Figura 20.

ut

o

OA ∼ = O′ A′ , OB ∼ = O′ B ′ , OC ∼ = O′ C ′ , (Ver Figura 21.) A’

An tio

O

B

C’

O’

B’

Figura 21.

iv er si d

ad

de

C

qu

ia

,I

ns

tit

A

Un

Se tiene por tanto, △AOB ∼ = △A′ O′ B ′ , (L-A-L) y CB ∼ = C ′ B ′ (Suma de segmentos congruentes). ′ B ′ A′ y AB ∼ [ ∼ De donde, OBA = O\ = A′ B ′ Ahora se puede concluir que: △ABC ∼ = △A′ B ′ C ′ (L-A-L), ′ C ′ B ′ y AC ∼ [ ∼ Luego, ACB = A′ C ′ = A\ De estas dos u ´ltimas relaciones junto con OC ∼ = O′ C ′ podemos afirmar ′ ′ ′ que △AOC ∼ = △A O C (L-A-L) y por tanto concluimos que: ′ O ′ C ′ como se quer´ [ ∼ AOC ıa.  = A\ Corolario 4. Dos ´angulos opuestos por el v´ertice, son congruentes.

3.2. AXIOMAS DE CONGRUENCIA

39

[ y COD \ ´angulos opuestos por el v´ertice, luego Demostraci´ on: sean AOB −→ −−→ las semirrectas OC y OB son semirrectas opuestas, lo mismo que las semi−→ −−→ rrectas OA y OD, (ver Figura 22.) [ y COD \ son congruentes. Veamos que los ´angulos AOB C

i ca

s

A

em at

O

D

M

at

B

ut

o

de

Figura 22.

,I

ns

tit

Esto resulta como una consecuencia del teorema anterior, ya que el ´angulo [ AOC hace un par lineal con cada uno de dichos ´angulos. 

ad

de

An tio

qu

ia

Ejercicio (rec´ıproco del Corolario 4.): si A − O − D y C, B estan en ←→ → −−→ [ ∼ \ entonces − semiplanos opuestos con respecto a AD y AOB OC, OB = COD son semirrectas opuestas. El Teorema 14 permite demostrar el rec´ıproco del Teorema 13, como se ver´a a continuaci´on.

iv er si d

Teorema 15. Todo tri´angulo que tenga dos de sus ´angulos congruentes, es is´osceles.

Un

[ y Demostraci´ on: consideremos en el tri´angulo △ABC, los ´angulos ABC [ congruentes y veamos que AB ∼ ACB = AC, (Figura 23.). Para ello, sean D y E puntos tales que B est´a entre A y D, C entre A y E y BD ∼ = CE. [ ∼ [ y adem´as ABC [ y Por el Teorema 14, y en vista de que ABC = ACB \ [ \ CBD hacen un par lineal y ACB y BCE hacen otro par lineal, se tiene: \∼ \ CBD = BCE

CAP´ITULO 3. AXIOMAS DE CONGRUENCIA

40

A

C E

em at

D

i ca

s

B

M

at

Figura 23.

ut

o

de

un para los tri´angulos △CBD y △CBE, se conSiendo BC un lado com´ cluye que dichos tri´angulos son congruentes (L-A-L). De donde:

,I

ns

tit

\∼ \ EBC \∼ \ BE ∼ = CD, BDC = BEC, = DCB

de

An tio

qu

ia

[ ∼ [ y EBC \ ∼ \ se Como se tienen las congruencias, ABC = ACB = DCB, [ ∼ \ (Suma de ´angulos congruentes) y por lo tanto los sigue que ABE = ACD \∼ \ y BE ∼ tri´angulos △ABE, △ACD que tienen adem´as BEC = BDC = CD, ∼ son congruentes (A- L-A), de donde AB = AC como se quer´ıa demostrar. 

iv er si d

ad

Observaci´ on: los Teoremas 13 y 15 se pueden reunir en un solo enunciado, as´ı:

Un

Teorema 16 (Teorema del tri´ angulo is´ osceles). Un tri´angulo es is´osceles si y solo si dos de sus ´angulos son congruentes. Definici´ on 14. Un tri´angulo △ABC se llama equil´atero si sus tres lados son congruentes, es decir, AB ∼ = AC ∼ = BC. Una consecuencia del Teorema 16 es la siguiente: Corolario 5. Un tri´angulo es equil´atero si y solo si sus ´angulos interiores son congruentes. Observaci´ on: la demostraci´on del corolario anterior se propone al lector. El teorema que sigue es un tercer caso de congruencia de tri´angulos.

3.2. AXIOMAS DE CONGRUENCIA

41

Teorema 17 (Caso lado-lado-lado: L-L-L). Si un tri´angulo tiene sus tres lados respectivamente congruentes a los tres lados de otro tri´angulo, entonces estos dos tri´angulos son congruentes . Demostraci´ on: sean △ABC y △A′ B ′ C ′ dos tri´angulos que tienen: (Figura 24.), A’

C

B’

C’

,I

ns

tit

ut

o

de

P

B

M

at

em at

i ca

s

A

qu

ia

A”

An tio

Figura 24.

ad

de

AB ∼ = A′ B ′ ,

AC ∼ = A′ C ′ ,

←→

BC ∼ = B′C ′

Un

iv er si d

Consideremos en el semiplano BC /¬A el punto A′′ tal que: ′ B ′ C ′ , A′′ B ∼ \′′ ∼ CBA = A\ = A′ B ′ (Axiomas de construcci´on del segmento y el ´angulo). Seg´ un el axioma de separaci´on del plano, el segmento AA′′ tiene un punto P ←→

en la recta BC. Para dicho punto P se presentan tres opciones: 1. P est´a en el interior de BC, como en la Figura 24. 2. P coincide con uno de los extremos, como en la Figura 25. 3. P est´a en el exterior de BC, como en la Figura 26. Vamos a demostrar el caso 1. Los otros dos se dejan al lector. Los tri´angulos △A′ B ′ C ′ y △A′′ BC son congruentes por tener: A′′ B ∼ = A′ B ′ ,

BC ∼ = B′C ′,

′ B ′ A′ \′′ ∼ CBA = C\

(L-A-L).

CAP´ITULO 3. AXIOMAS DE CONGRUENCIA

42

A

A”

B

P

C

A”

Figura 26.

M

at

em at

Figura 25.

C

s

B

i ca

A

,I

ns

tit

ut

o

de

Veamos ahora que los tri´angulos △ABC y △A′′ BC son congruentes. Por una parte se tiene AB ∼ = A′′ B, luego AB ∼ = A′ B ′ y A′ B ′ ∼ = A′′ B (transiti′′ vidad), de donde el tri´angulo △ABA es is´osceles y por tanto ′′ A (Teorema 13). \′′ ∼ \ BAA = BA En la misma forma, el tri´angulo △ACA′′ es is´osceles y por tanto:

An tio

qu

ia

′′ A. \′′ ∼ \ CAA = CA

iv er si d

ad

de

Por otra parte, el segmento AA′′ pasa por P , punto entre B y C, luego (por −−→ −→ \ y por el [ y− Teorema 7 y corolario 1.), AA” ⊂ IntBAC A”A ⊂ IntBA”C ′′ C. [ ∼ \ axioma de “Suma”de ´angulos congruentes se tiene: BAC = BA

Un

Finalmente, los tri´angulos △ABC y △A′′ BC tienen: ′′ C [ ∼ \ AB ∼ = A′′ B, AC ∼ = A′′ C, BAC = BA

y por el axioma L-A-L se concluye, △ABC ∼ = △A′′ BC. Como ya se ten´ıa △A′ B ′ C ′ ∼ = △A′′ BC entonces, por transitividad, (ver la siguiente observaci´on de este teorema), △ABC ∼  = △A′ B ′ C ′ como se quer´ıa demostrar. [ dado, conociendo el lado Construci´ on b´ asica: construir un ´angulo AOB −−′→ −−→ O X del ´angulo y el semiplano determinado por el lado dado O′ X. Construcci´ on. (Ver Figura 27.) Para la construcci´on, haremos los siguientes pasos consecutivos.

3.2. AXIOMAS DE CONGRUENCIA Q

O

P

43 Q’

B

A

B’

X

P’

O’ Figura 27.

M

at

em at

i ca

s

Con centro en O y radio cualesquiera, trazo arco, que corta a los lados [ en P y Q . del ´angulo dado AOB −−→ Con centro en O′ y el mismo radio trazo arco que corta a O′ X en P ′ .

ut

tit

′ O ′ Q′ es el ´ El ´angulo P\ angulo pedido.

o

de

Con centro en P ′ y radio P Q trazo arco, que corta al anterior arco en Q′ .

,I

ns

Justificaci´ on. Como OP ∼ = O′ P ′ y OQ ∼ = O ′ Q′ y P Q ∼ = P ′ Q′ entonces

An tio

qu

ia

△P OQ ∼ = △P ′ O′ Q′ ,

de

luego

′ O ′ Q′ . P[ OQ ∼ = P\

3.2.1.

Un

iv er si d

ad

Observaci´ on: la transitividad para la congruencia entre tri´angulos es un resultado que se obtiene f´acilmente a partir de la transitividad de la congruencia tanto entre segmentos como entre ´angulos.

DESIGUALDADES

Notaci´ on: vamos a denotar a las semirrectas que un punto determina en una recta a, por a y a’ . En consecuencia, a y a’ son semirrectas opuestas de una misma recta a, (ver Figura 28.). El ´angulo formado por dos semirrectas a y b lo denotaremos: ∡(a, b) (Ver Figura 29.).

CAP´ITULO 3. AXIOMAS DE CONGRUENCIA

44

a A

a a

A A

b

i ca

Figura 29.

M

at

em at

Figura 28.

s

∡(a, b)

a′

de

Definici´ on 15.

,I

ns

tit

ut

o

i. Dados dos segmentos AB, A′ B ′ se dice que AB es mayor que A′ B ′ , o bien que A′ B ′ es menor que AB, si existe un punto C en el interior de AB tal que AC ∼ = A′ B ′ , (Figura 30.).

C

Un

A

iv er si d

ad

de

An tio

qu

ia

ii. Dados dos ´angulos: ∡(a, b), ∡(c, d) se dice que ∡(a, b) es mayor que ∡(c, d), o bien que ∡(c, d) es menor que ∡(a, b), si existe una → − semirrecta h en el interior y con origen en el v´ertice de ∡(a, b) tal que (ver Figura 31.): ∡(a, h) ∼ = ∡(c, d). B

A’

B’

Figura 30.

b h

d

a

c

Figura 31.

3.2. AXIOMAS DE CONGRUENCIA

45

Observaci´on: 1. Por definici´on el segmento nulo es menor que cualquier segmento no nulo. 2. Tambi´en por definici´on, decimos que cualquier ´angulo no nulo y no llano es mayor que el ´angulo nulo y menor que el ´angulo llano.

em at

i ca

s

3. Para expresar que un segmento es mayor que otro se emplea el s´ımbolo >. Dicho s´ımbolo tambi´en ser´a empleado para expresar que un ´angulo es mayor que otro.

M

at

4. Para la expresi´on menor que ser´a empleado el s´ımbolo CD

ia

AB < CD

ns

tit

ut

o

de

Teorema 18 (Ley de tricotom´ıa para segmentos). Dados dos segmentos cualesquiera AB y CD, siempre se cumple una de las tres relaciones siguientes: o AB ∼ = CD

An tio

qu

y cada una de ellas excluye las otras dos.

iv er si d

ad

de

Demostraci´ on: por el axioma de construcci´on del segmento, sobre la semi−→ rrecta AB existe un punto X tal que: AX ∼ = CD

Un

De acuerdo con el axioma II.4 se presentan tres posibilidades: 1. Puede ocurrir que X est´e entre A y B en cuyo caso: AB > CD. 2. Puede ocurrir que B est´e entre A y X en cuyo caso: AB < CD. 3. Puede ocurrir que X coincida con B en cuyo caso: AB ∼ = CD. Veamos ahora que cualquiera de las posibilidades que se de, excluye las otras dos. Supongamos por ejemplo AB < CD. Entonces existe un punto X en el interior de CD tal que: CX ∼ = AB. ∼ Si tambi´en fuera posible AB = CD, entonces se tendr´ıa por transitividad, CX ∼ = CD, de donde X coincidir´ıa con D (por el Ax. de construcci´on de segmento), absurdo, ya que X esta en el interior de CD .

CAP´ITULO 3. AXIOMAS DE CONGRUENCIA

46

Tampoco puede tener lugar AB > CD sim´ ultaneamente con AB < CD ya que si ambas relaciones se dieran, se tendr´ıa un punto Y entre A y B tal que: AY ∼ = CD. Puesto que ya se ten´ıa AB ∼ = CX se tiene por una aplicaci´on del Teorema 10. que D est´a entre C y X, lo cual contradice la afirmaci´on hecha antes de que X es un punto interior de CD. 

em at

i ca

s

Teorema 19 (Propiedad transitiva). Sean AB < CD y CD < EF . Entonces AB < EF .

An tio

qu

ia

,I

ns

tit

ut

o

de

M

at

Demostraci´ on: puesto que CD < EF , existe un punto Y entre E y F tal que: CD ∼ = EY De la misma manera, puesto que AB < CD, existe un punto X entre C y D tal que: AB ∼ = XC, (ver Figura 32.). Aplicando el axioma de construcci´on del segmento, sea P un punto de la −→ semirrecta EF tal que: EP ∼ = CX. Entonces por el Teorema 10, se sigue que P est´a entre E y Y . Adem´as, por transitividad se tiene AB ∼ = EP .

B

X

D

P

Y

Un

C

iv er si d

ad

de

A

E

F

Figura 32. En conclusi´on (por el Ax. II.5), se tiene un punto P entre E y F tal que: AB ∼  = EP lo cual significa que AB < EF . El siguiente teorema se deja la demostraci´on para el lector.

3.2. AXIOMAS DE CONGRUENCIA

47

Teorema 20. Si AB ∼ = CD y CD < EF , entonces AB < EF . Corolario 6. Si el segmento CD es un subconjunto propio del segmento AB, entonces CD < AB.

D

Figura 33.

B

s

C

em at

i ca

A

,I

ns

tit

ut

o

de

M

at

Demostraci´ on: (ver Figura 33.), los casos en que C coincide con A o con B o D coincide con A o con B son triviales, los otros casos que pueden suceder son A − C − D o A − D − C. Si A − C − D entonces CD < AD y como A − D − B entonces AD < AB y por la propiedad transitiva (Teorema 19.) CD < AB. Similarmente se demuestra para el caso A − D − C 

An tio

qu

ia

Observaci´ on: an´alogos a los dos u ´ltimos teoremas y a los anteriores corolarios, tienen lugar resultados relativos a ´angulos, 1os cuales se enuncian a continuaci´on.

de

Teorema 21.

iv er si d

ad

i) Dados dos ´angulos cualesquiera, ∡(a, b) y ∡(c, d), siempre se cumple una de las relaciones siguientes:

Un

∡(a, b) > ∡(c, d),

∡(a, b) < ∡(c, d),

∡(a, b) ∼ = ∡(c, d)

y cada una de ellas excluye las otras dos. ii) Propiedad transitiva: sean ∡(a, b) < ∡(c, d) y ∡(c, d) < ∡(e, f). Entonces, ∡(a, b) < ∡(e, f) iii) Si ∡(a, b) ∼ = ∡(c, d) y ∡(c, d) < ∡(e, f), entonces ∡(a, b) < ∡(e, f) iv) Si el ´angulo ∡(c, d) tiene el mismo v´ertice y est´a en el interior del ´angulo ∡(a, b), entonces ∡(c, d) < ∡(a, b)

CAP´ITULO 3. AXIOMAS DE CONGRUENCIA

48

3.3.

PERPENDICULARIDAD

de

M

at

em at

i ca

s

Definici´ on 16. Si los ´angulos de un par lineal son congruentes, cada uno de ellos se llama ´angulo recto, (Ver Figura 34.). Decimos que dos rectas que se interceptan l y m son perpendiculares cuando los ´angulos que forman son ´angulos rectos y lo denotamos as´ı: l⊥m

ns

tit

ut

o

Figura 34.

ia

,I

El siguiente teorema garantiza que existen ´angulos rectos:

iv er si d

ad

de

An tio

qu

Teorema 22 (Existencia del ´ angulo recto). Sean O y A puntos de una recta l. A partir de O se trazan segmentos congruentes OC y OD situados en semiplanos opuestos respecto a l, tales ←→ [ ∼ \ (Ver Figura 35.). Entonces las rectas l y CD se cortan que: AOC = AOD, formando ´angulo recto.

Un

C

P

O

D Figura 35.

A

l

3.3. PERPENDICULARIDAD

49

ia

,I

ns

tit

ut

o

de

M

at

em at

i ca

s

Demostraci´ on: puesto que los puntos C y D est´an en semiplanos opuestos respecto a la recta l, por el axioma de separaci´on del plano, existe un punto P ∈ l tal que {P } = l ∩ CD. Con el punto P pueden suceder tres casos: a. El punto P y el punto A est´an del mismo lado con respecto a O. −→ b. El punto P esta en la semirrecta opuesta a la semirrecta OA, es decir P − O − A, (ver Figura 35.). c. El punto P coincide con O. [ \ Veamos el caso b. Como los ´angulos OP C, OP D hacen par lineal, ya que tienen un lado com´ un OP y los otros dos lados son semirrectas opuestas, veamos que estos ´angulos son congruentes. [ y COP [ forman par lineal y AOD \ y DOP \ tambi´en forman par Como AOC [ ∼ \ entonces por el teorema del par lineal lineal y por hip´otesis AOC = AOD, [ ∼ \. COP = DOP De lo anterior concluimos que los tri´angulos △OP C y △OP D son con\ un (L-A-L). gruentes, por tener: P[ OC ∼ OD, OC ∼ = OD, OP lado com´ =P [ \ Luego los ´angulos del par lineal OP C, OP D son congruentes y de acuerdo [ \ a la definici´on 15, se sigue que tanto OP C como OP D son ´angulos rectos. Se deja como ejercicio, demostrar los casos a. y c. 

An tio

qu

Teorema 23 (Unicidad). Todos los ´angulos rectos son congruentes entre s´ı, (ver Figura 36.)

iv er si d

ad

de

′ O ′ B ′ son rectos; por la ley de [ y A\ Demostraci´ on: supongamos que AOB tricotom´ıa para ´angulos, pueden suceder tres casos:

Un

′ O′ B ′ [ < A\ i) AOB ´o ′ ′ ′ ∼ [ \ ii) AOB = A O B ´o ′ O′ B ′ [ > A\ iii) AOB

−−→ ′ O ′ B ′ , entonces existe O ′ X ⊂ IntA ′ O ′ B ′ tal que [ < A\ \ Caso i) Si AOB − − → ′ O′ X ∼ ′ O ′ X, [ y por el Corolario 2. del Teorema 8 O′ B ′ ⊂ IntC\ A\ = AOB luego (por la definici´on de menor que), ′ O′ B ′ < C ′ O′ X \ C\

(1)

−−→ Por el Axioma de construcci´on de ´angulo, existe O′ Y ⊂ Π ←′→′ ′ tal que C O :B −−′→ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ O′ B ′ ∼ ∼ ∼ \ \ \ \ \ C O Y = A O X; como O X ⊂ IntA O B y A O X = C O Y y A\ =

CAP´ITULO 3. AXIOMAS DE CONGRUENCIA

50

b

B b

Y

b

C

O

b

b

A

C’

B’

b

b

X

b

O’

A’

em at

i ca

s

Figura 36.

at

′ O ′ B ′ (por hip´ C\ otesis) entonces por el Teorema 11,

de

(2)

,I

ns

′ O′ Y < C ′ O′ B ′ \ C\

tit

ut

o

luego (por la definici´on de menor que),

M

−−′→ ′ O′ B ′ , O Y ⊂ IntC\

ia

y de (1) y (2)

(3).

An tio

qu

′ O′ Y < C ′ O′ X \ C\

iv er si d

ad

de

′ O′ X ∼ \ ( por Teorema del par lineal) Pero C\ = COB \∼ [ ( por definici´on de ´angulo recto) y COB = AOB ′ O′ X ∼ ′ O′ Y [ ∼ y AOB = A\ = C\ luego ′ O′ X ∼ ′ O′ Y C\ (4). = C\

Un

Pero (3) y (4) es un absurdo. iii) Se hace en forma similar a i) Por el Teorema 21 i), se concluye que es cierto ii): ′ O′ B ′ [ ∼ AOB = A\

´ Definici´ on 17 (Angulo agudo y obtuso). i) Decimos que un ´angulo es agudo si es menor que un ´angulo recto. ii) Decimos que un ´angulo es obtuso si es mayor que un ´angulo recto.



3.4. PUNTO MEDIO Y BISECTRIZ

51

Definici´ on 18 (Tri´ angulo rect´ angulo). Un tri´angulo se llama rect´angulo si alguno de sus ´angulos es recto.

te

M Cateto a

o

sa u n te

tit

ns

Cateto

ut

o

de

Hi p

m at

i ca

s

Observaciones: 1) M´as adelante se podr´a demostrar que un tri´angulo no puede tener m´as de un ´angulo recto. 2) En un tri´angulo rect´angulo los lados adyacentes al ´angulo recto se llaman catetos y el lado opuesto al ´angulo recto, se le llama hipotenusa, (ver Figura 37.)

PUNTO MEDIO Y BISECTRIZ

de

3.4.

An tio

qu

ia

,I

Figura 37.

iv er si d

ad

Los siguientes dos teoremas garantizan la existencia del punto medio, es decir, todo segmento se puede dividir en dos segmentos congruentes y es u ´nico.

Un

Teorema 24 (Existencia del Punto Medio). Todo segmento no nulo tiene un punto interior que divide al segmento en dos segmentos congruentes. Demostraci´ on. (ver Figura 38.). Sea AB un segmento no nulo. Veamos que existe un punto O tal que a). O esta entre A y B y b). OA ∼ = OB ←→

π

Veamos a). Sea X 6∈AB, por el Teorema 3., existe un u ´nico plano que ←→ −−→ contiene a X y AB, por el Teorema 5, AX ⊂ ←→ . Por el Ax. de consAB: X −−→ trucci´on de ´angulo, existe en el ←→ una u ´nica semirrecta BY tal que

π

π

AB:¬X

CAP´ITULO 3. AXIOMAS DE CONGRUENCIA

52

X

O

B

M

at

Y

em at

Y’

i ca

s

A

ut

o

de

Figura 38.

ns

tit

[ ∼ \ ABY = BAX.

An tio

qu

ia

,I

−−→ Por el Ax. de construcci´on de segmento, existe en BY un punto Y ′ tal ′ B son no nulos y no llanos y \ y AY \ que BY ′ ∼ = AX, luego los ´angulos AXB ′ ′ \ y XBY \ son no nulos y no llanos; por el axioma tambi´en los ´angulos XAY ←→

←→

iv er si d

ad

de

de separaci´on del plano, existe O ∈ AB (1) tal que XY ′ ∩ AB= {O}, luego O ∈ IntXY ′ . \′ y O ∈ IntXBY \′ , luego Por el Teorema 7., O ∈ IntXAY \′ ∩ IntXBY \′ , O ∈ IntXAY

Un

′ B, luego \′ ∩ IntXBY \′ = IntAXB \ ∩ IntAY \ pero IntXAY ′ B (2) \ ∩ IntAY \ O ∈ IntAXB ′ B, luego \ y IntAB ⊂ IntAY \ y por el Teorema 7.: IntAB ⊂ IntAXB ′ B(3), por tanto de (1), (2) y (3) O ∈ IntAB, \ ∩ IntAY \ IntAB ⊂ IntAXB ←→

ya que si O ∈ / IntAB y sabiendo que O ∈AB entonces

′ B = IntXAY \ ∩ IntAY \ \′ ∩ IntXBY \′ , O∈ / IntAXB

\′ ∩IntXBY \′ luego O ∈ / IntXY ′ lo cual es absurdo, ya que IntXY ′ ⊂ IntXAY

3.4. PUNTO MEDIO Y BISECTRIZ

53

b) Veamos que OA ∼ = OB ∼ \ \′ ; AX ∼ Como AB = AB; XAB ∼ = ABY = BY ′ entonces △XAB ∼ = △ABY ′ (L-A-L)

i ca

s

\∼ \′ luego XB ∼ = AY ′ y XBA = BAY \′ ∼ \′ . y por el axioma de suma de ´angulos congruentes XAY = XBY ′ B. \∼ \ Por tanto, por el criterio L-A-L, △XAY ′ ∼ = △XBY ′ , luego AXO = OY  Por el criterio A-L-A, △AXO ∼ = OB = △BOY ′ , luego AO ∼

at

em at

Definici´ on 19 (Punto medio). Se llama punto medio de un segmento no nulo AB, al punto O ∈ IntAB tal que AO ∼ = OB.

de

M

Ahora veamos la unicidad del punto medio.

O

O” B

An tio

qu

A

ia

O’

,I

ns

tit

ut

o

Teorema 25 (Unicidad del Punto Medio). El punto medio de un segmento no nulo es u ´nico.

ad

de

Figura 39.

Un

iv er si d

Demostraci´ on. (ver Figura 39.). Sean O y O′ puntos medios de AB, veamos que O ≡ O′ , luego O′ A ∼ = O′ B y OA ∼ = OB. ′ Con OA y O A pueden suceder tres casos: i) O′ A < OA ´o ii) O′ A ∼ = OA ´o iii) O′ A > OA ′ i) Si O A < OA, entonces por definici´on de 0, existe un segmento cuya longitud es x.

An tio

qu

A continuaci´on, utilizando el axioma de Arqu´ımedes, analizaremos el proceso de medici´on que consiste en asignar un n´ umero real a un segmento dado.

Un

iv er si d

ad

de

Sea AB cualquier segmento y CD un segmento que se fija arbitrariamente como unidad, al cual asignaremos como longitud el n´ umero real uno. Sobre −→ la semirrecta AB se van superponiendo segmentos congruentes a CD de tal manera que se obtienen los puntos P1 , P2 , . . . , Pn , Pn+1 y el punto B est´a entre A y Pn+1 , (ver Figura 2.).

A

P1

C

D

P2

P3

PnB

Pn+1

Figura 2. Puesto que AP1 ∼ = CD, P1 P2 ∼ = CD, . . . , Pn Pn+1 ∼ = CD, entonces lo que se ha hecho es recubrir el segmento AB utilizando un segmento unidad .

4.1. AXIOMAS DE CONTINUIDAD

77

Puede ocurrir que Pn coincida con B. Aqu´ı el segmento unidad est´a en AB exactamente n veces, (ver Figura 3.). A

B P1

C

P2

P3

Pn+1

Pn

D

em at

i ca

s

Figura 3.

tit

ut

o

de

M

at

Entonces definimos la longitud del segmento AB como el n´ umero real n y terminamos el proceso de medici´on. Pero puede ocurrir que Pn no coincida con B. En dicho caso B estar´a entre Pn y Pn+1 y por tanto la longitud del segmento AB est´a comprendido entre n y n + 1, (ver Figura 4.).

,I

ns

B

Pn+1

An tio

qu

ia

Pn

de

Figura 4.

Un

iv er si d

ad

Si la longitud del segmento es a, entonces n < a < n + 1. Ahora bien, podemos seguir el proceso de subdivisiones para aproximarnos cada vez m´as a la medida de AB. Si q1 es el punto medio de Pn Pn+1 (sabemos que todo segmento tiene punto medio), puede ocurrir que: 1. q1 coincida con B 2. q1 est´e entre Pn y B 3. q1 est´e entre B y Pn+1 Los tres casos se ilustran en la Figura 5. En el primer caso a = n + 21 y termina el proceso de medici´on. En el segundo caso n + 12 < a < n + 1. No termina el proceso de medici´on. En el tercer caso n < a < n + 21 . No termina el proceso de medici´on.

78

CAP´ITULO 4. AX. DE CONTINUIDAD Y PARALELISMO B q1

Pn

Pn+1 B

Pn

q1

Pn+1

q1

Pn+1

em at

Pn

i ca

s

B

de

M

at

Figura 5.

ia

,I

ns

tit

ut

o

Para los casos dos y tres se puede continuar el proceso tomando los puntos medios de q1 Pn+1 ´o Pn q1 seg´ un donde se encuentre B. Puede ocurrir que B coincida con uno de estos puntos medios y en este caso a = n + 21 + 41 ´o bien a = n + 41 . En caso contrario, el proceso contin´ ua.

Un

iv er si d

ad

de

An tio

qu

Mediante este proceso se obtiene, en cada paso, un valor m´as pr´oximo a umero finito de la longitud de AB y eventualmente puede obtenerse en un n´ pasos el valor exacto de dicha longitud. Es posible demostrar que cuando el proceso se extiende indefinidamente, se obtiene el valor exacto de la longitud de AB. ´ y el El proceso que se ha descrito anteriormente se llama de MEDICION n´ umero encontrado es la medida del segmento AB o la longitud de AB que denotamos por: m (AB) ´o AB. Dicho proceso lo podemos precisar con la siguiente definici´on. Definici´ on 24 (Medida de segmentos). La medida de segmentos es una funci´on que asigna a cada segmento un n´ umero real no negativo, tal que: 1. Para un segmento CD, fijado arbitrariamente, m (CD) = CD = 1, (CD es llamado segmento unitario). 2. m (AB) = m (A1 B1 ) (o AB = A1 B1 ), si y solo si AB ∼ = A1 B1 , (dos

´ 4.2. MEDIDA DE ANGULOS

79

segmentos son congruentes si y solo si tienen la misma medida). 3. Si B est´a entre A y C, entonces: m (AC) = m (AB) + m (BC) (o AC = AB + BC), (ver Figura 6.)

A

em at

i ca

s

4. m (AB) = AB = 0 s´ıi A coincide con B.

B

C

ns

´ MEDIDA DE ANGULOS

,I

4.2.

tit

ut

o

de

M

at

Figura 6.

An tio

qu

ia

En forma an´aloga a lo dicho para la medida de segmentos, existe un proceso para la medici´on de ´angulos.

de

[ por m ABC. [ Denotaremos la medida del ´angulo ABC

iv er si d

ad

Definici´ on 25 (Medida de ´ angulos). La medida de ´angulos es una funci´on que asigna a cada ´angulo un n´ umero real no negativo tal que:

Un

1. Para un ´angulo P[ QR, fijado arbitrariamente, m (P[ QR) = 1, (P[ QR es llamado ´angulo unitario). [ = m (A\ [ ∼ \ 2. m (ABC) 1 B1 C1 ) sii ABC = A1 B1 C1 → [ y CAD \ son ´angulos adyacentes y − \ (ver Figura 3. Si BAC AC ⊂ IntBAD 7.), entonces: [ + m (CAD) \ = m (BAD) \ m (BAC) → −−→ [ = 0 si y solo si − 4. m(AOB) OA ≡ OB

80

CAP´ITULO 4. AX. DE CONTINUIDAD Y PARALELISMO

D b

C b

B

A

s

b

at

em at

i ca

Figura 7.

ns

tit

ut

o

de

M

Seg´ un el Teorema 23, todos los ´angulos rectos son congruentes y por lo tanto, utilizando la propiedad 2, tienen la misma medida. Podemos entonces, emplear como unidad de medida angular una noventava parte del ´angulo 1 recto ( 90 ). Dicha unidad de medida la llamaremos grado.

An tio

qu

ia

,I

Con esta unidad de medida, cualquier ´angulo tiene una medida entre 0 y 180 grados.

ad

de

La medida del ´angulo nulo ser´a 0 y la del ´angulo llano ser´a de 180. An´alogamente como en segmentos, es posible demostrar que dado un n´ umero real α entre 0 y 180, se puede construir un ´angulo cuya medida sea α.

Un

iv er si d

Observaciones: 1. En cada segmento existen puntos que lo dividen en n segmentos congruentes. 2. En cada ´angulo, por su v´ertice, pasan semirrectas que lo dividen en n ´angulos congruentes. 3. AB > CD, si y solo si m AB > m CD. [ > A\ [ \ 4. Si ABC 1 B1 C1 , si y solo si m (ABC) > m (A1 B1 C1 ). 5. Los puntos medios de segmentos congruentes determinan segmentos congruentes. 6. Las bisectrices de ´angulos congruentes determinan ´angulos congruentes.

´ 4.2. MEDIDA DE ANGULOS

81

7. La medida de un par lineal es constante e igual a la medida de un ´angulo llano. b y B: b Definici´ on 26. Dados los ´angulos A

b + m(B) b = 1800 , diremos que el ´angulo A b es suplemento del 1. Si m(A) b ´o que A byB b son suplementarios. ´angulo B

em at

i ca

s

b + m(B) b = 900 , diremos que los ´angulos A byB b son comple2. Si m(A) mentarios.

de

M

at

Teorema 32. a) Los suplementos de ´angulos congruentes son congruentes. b) Los complementos de ´angulos congruentes son congruentes.

(1)

An tio

qu

ia

,I

b + m(D) b = 1800 Por hip´otesis: m(A) b + m(E) b = 1800 (2) m(B) b = m(E) b (3) m(D)

ns

tit

ut

o

byB b ´angulos respectivamente suplementarios a Demostraci´ on. a) Sean A b yE b y tales que D b∼ b los ´angulos D = E.

iv er si d

ad

de

b = m(B) b y de aqu´ı se concluye que De (1), (2) y (3) se sigue que : m(A) b∼ b A = B. La parte b) de este teorema se hace en forma an´aloga a a).



Un

Observaci´ on: l. Tambi´en usaremos para la medida de un ´angulo letras griegas como α, β, γ, θ, etc. 2. Abusando de la notaci´on, y entendiendo por el contexto lo que se quiere decir, usaremos indistintamente el ´angulo o su medida. Definici´ on 27 (Rectas Paralelas). Sean l y r dos rectas dadas contenidas en un mismo plano. Decimos que l es paralela a r, y lo denotamos como l k r, si: i) l es la misma recta r ´o ii) l es diferente a r y l ∩ r = φ

82

CAP´ITULO 4. AX. DE CONTINUIDAD Y PARALELISMO

´ Definici´ on 28 (Angulos alternos internos). Dadas dos rectas distintas y coplanares cualesquiera cortadas en puntos distintos por una secante, se llaman ´angulos alternos internos aquellos que: 1. Tienen sus v´ertices en estos puntos distintos.

s

2. El segmento cuyos extremos son los puntos distintos, es com´ un a los dos ´angulos.

em at

i ca

3. Sus interiores estan en semiplanos opuestos con respecto a la recta secante.

M

at

4. No son adyacentes.

C’ b

,I

ns

B’

b

tit

D’

ut

o

de

′B′B y B ′ BC son alternos internos. \ \ En la Figura 8.: los ´angulos A

A’

An tio

qu

ia

b

de

B

b

b

C

D Figura 8.

Un

iv er si d

A

ad

b

Dadas dos rectas distintas y coplanares cortadas en puntos distintos por una secante, los ´angulos que tienen sus v´ertices en estos puntos distintos, sus interiores est´an del mismo lado respecto a la secante y uno de los lados que esta sobre la secante contiene al lado del otro ´angulo, se les llama ´ angulos correspondientes. Dadas dos rectas distintas y coplanares cortadas en puntos distintos por una secante, los ´angulos que tienen sus v´ertices en estos puntos distintos, sus interiores est´an a un mismo lado de la secante y son adyacentes al segmento

´ 4.2. MEDIDA DE ANGULOS

83

com´ un cuyos extremos son los puntos distintos, se les llaman ´ angulos interiores. ′B′C ′ y B ′ BC son correspondientes y los \ En la Figura 8.: los ´angulos D\ ′ B ′ B y CBB \′ son ´angulos interiores. ´angulos C\

at

em at

i ca

s

Teorema 33 (Teorema de ´ angulos alternos internos). Si dos rectas distintas coplanares cortadas por una secante en puntos distintos, hacen con ella una pareja de ´angulos alternos internos congruentes, entonces son paralelas.

r

,I

ns

tit

ut

o

de

M

Demostraci´ on: sean l y r las rectas coplanares dadas, l diferente de r y sea t una recta que corta a l y r en puntos B y B ′ respectivamente y de modo ′B′B ∼ \ \′ que: A = CBB

t

qu

ia

E

An tio

A’

B’ b

C’

b

A

Un

l

iv er si d

ad

de

b

b

B

C

b

D

Figura 9.

Vamos a demostrar que l k r, o lo que es lo mismo l ∩ r = φ. Razonemos por reducci´on al absurdo, esto es, supongamos que los ´angulos alternos internos son congruentes y que l no es paralela a r. Entonces se cortar´an en un punto D. Podemos suponer que se cortan en el mismo semiplano respecto a t en que est´an C y C ′ , (ver Figura 9.).

84

CAP´ITULO 4. AX. DE CONTINUIDAD Y PARALELISMO

′B′B ∼ \ \′ (hip´otesis), Consideremos el tri´angulo △BB ′ D. Como A = CBB ′D ∼ ′ BA (1). \ \ entonces, por el teorema del par lineal (Teorema 14) BB =B Ahora, por el axioma de construcci´on de segmentos, existe E en la semirrecta −−′→′ B A tal que B ′ E ∼ = BD. Unamos B con E. Los tri´angulos △BB ′ D y △BB ′ E son congruentes (L-A-L), de donde:

i ca

s

′D \′ ∼ \ EBB = BB ′ BA ′D ∼ ′ BA por (1). Luego, EBB \ \ \ \′ ∼ pero BB =B =B

at

em at

−−→ −→ Y como BE y BA est´an en el mismo semiplano respecto a t, por el axioma −−→ −→ −→ de construcci´on del ´angulo BE ≡ BA, lo que nos dice a la vez que E ∈ BA, ←→

M

es decir, E pertenece a la recta l . Pero tambi´en D ∈ l. Luego l ≡DE y como ←→

ut

o

de

la recta DE es la misma r, se tiene finalmente que r ≡ l . Contradicci´on con la hip´otesis ya que hab´ıamos supuesto que l y r eran dos rectas diferentes. 

ia

,I

ns

tit

Corolario 9. Si dos rectas distintas y coplanares, cortadas por una secante en puntos distintos, forman con ella ´angulos correspondientes congruentes, entonces son paralelas.

An tio

qu

Corolario 10. Dos rectas distintas y coplanares, perpendiculares a una tercera son paralelas entre s´ı.

Un

iv er si d

ad

de

Demostraci´ on: (ver Figura 10.), sean l ⊥ t y r ⊥ t. Demostremos que l k r. \′ es recto. Como l ⊥ t, entonces ABB ′ B ′ B es recto y por lo tanto su ´ \ Como r ⊥ t, entonces A angulo adyacente ′ ′ ′ ′ ′ ∼ \ \ \ C B B es recto. As´ı que ABB = C B B por ser ambos rectos. Se sigue entonces que la secante t hace con las rectas l y r ´angulos alternos internos congruentes, luego por el teorema de ´angulos alternos internos, l k r.  Construcci´ on b´ asica: por un punto P exterior a una recta l trazar una paralela a la recta. Datos: l, P . Construcci´ on. (Ver Figura 11.) Para la construcci´on, haremos los siguientes pasos consecutivos. Con centro en P y radio suficientemente grande trazo arco que corta a l en X. Con centro en X y el mismo radio trazo arco que corta a l en Y .

´ 4.2. MEDIDA DE ANGULOS

85

t C’

A’

B’

r

b

i ca

s

b

em at

b

B

l

at

A

M

Figura 10.

Z

An tio

qu

ia

,I

ns

tit

ut

o

de

P

Y

X

l

ad

de

Figura 11.

iv er si d

Con centro X y radio Y P trazo arco.

Un

Con centro en P y radio Y X trazo arco que corta al anterior arco en Z. ←→

Uno P con Z y P Zk l. Justificaci´ on. Como Y X ∼ = P Z, Y P ∼ = XZ y P X ∼ = P X entonces △P Y X ∼ = △P ZX luego ←→

←→

y por tanto P ZkY X.

\ \ ZP X∼ XY =P

86

CAP´ITULO 4. AX. DE CONTINUIDAD Y PARALELISMO

Definici´ on 29 (Angulo exterior a un tri´ angulo). El ´angulo que hace par lineal con un ´angulo interior de un tri´angulo se le llama ´angulo exterior del tri´angulo. Teorema 34 (Teorema del ´ angulo exterior. T. ∡ E). Todo ´angulo exterior de un tri´angulo es mayor que cualquiera de los ´angulos interiores no adyacentes.

C b

D b

qu

B

G

ia

b

,I

ns

tit

ut

o

de

M

at

em at

i ca

s

Demostraci´ on. (Ver Figura 12.). En un tri´angulo △ABC consideremos el b del tri´angulo. \ Dicho ´angulo es adyacente al ´angulo C ´angulo exterior ACD. A

M

Figura 12.

iv er si d

ad

de

An tio

b

Un

Vamos a demostrar: b \ i) A < ACD b < ACD \ ii) B

Veamos i). Basta demostrar que no puede darse que: b y ACD b \ COD, \ pero el COD \ es por hip´otesis obtuso exterior en el △COD: CDA \ es recto. Absurdo! y CDA [ es a la vez obtuso y recto, Absurdo! ii). Si D ≡ O entonces el COA Luego se produce i).: D − O − A b. Este caso se deja como ejercicio. 

´ 4.2. MEDIDA DE ANGULOS

91

Teorema 37 (Existencia de rectas paralelas). Por un punto exterior a una recta l se puede trazar una paralela a la recta. Nota: obs´ervese que la proposici´on asegura que se puede trazar al menos una paralela a la recta dada. Acerca de la unicidad, o sea que esa paralela sea u ´nica o no, la proposici´on no afirma nada.

at

em at

i ca

s

Demostraci´ on. (Ver Figura 19.). Sea P 6∈ l, entonces el punto P y la recta l determinan un plano π. Demostremos que existe una recta r ⊂ π que pasa por P y tal que r k l. t r

ns

tit

ut

o

de

M

P

l

qu

ia

,I

Q

An tio

Figura 19.

iv er si d

ad

de

Sea t la perpendicular a l bajada por P . Por P trazamos la recta r perpendicular a t. Entonces r k l ya que r y l forman con t una pareja de ´angulos A.I. congruentes (en este caso ´angulos rectos). 

Un

Teorema 38 (Caso lado-´ angulo-´ angulo: L-A-A). Sean los tri´angulos △ABC y △DEF tales que: [ ∼ \, BAC = EDF

[ ∼ \ CBA ED. =F

Si AC ∼ = DF ´o CB ∼ = F E, entonces: △ABC ∼ = △DEF. Demostraci´ on. (Ver Figura 20.). Bastar´a con demostrar que AB ∼ = DE ya ∼ que de aqu´ı se concluye que △ABC = △DEF (L-A-L).

92

CAP´ITULO 4. AX. DE CONTINUIDAD Y PARALELISMO

C

F

B

D

E

s

M

i ca

A

M

at

em at

Figura 20.

,I

ns

tit

ut

o

de

Razonemos por reducci´on al absurdo. Supongamos que AB no es congruente a DE (AB ∼ 6= DE). Entonces: i) AB > DE ´o ii) DE > AB

Un

iv er si d

ad

de

An tio

qu

ia

Veamos que en cualquiera de los casos se llega a una contradicci´on. i) Si AB > DE, entonces existe un M entre A y B de modo que AM ∼ = DE. ∼ ∼ b Pero \ Por tanto, △AM C = △DEF (por Ax. L-A-L), de donde CM A = E. b∼ b luego CM b y se tiene en el tri´angulo △CM B que \ por hip´otesis B A∼ = E, =B b donde B b es ´angulo \ el ´angulo exterior CM A es congruente con el ´angulo B, interior en contradicci´on con el Teorema del ´angulo exterior. ii) Un razonamiento similar para el caso en que DE > AB conduce de nuevo a una contradicci´on. 

´ 4.2. MEDIDA DE ANGULOS

93

Teorema 39 (Cuatro casos de congruencia de tri´ angulos rect´ angulos). i) Dos tri´angulos rect´angulos que tengan congruentes sus catetos, son congruentes. ii) Dos tri´angulos rect´angulos que tengan congruentes un cateto y un ´angulo agudo, son congruentes (el cateto puede ser adyacente o no al ´angulo agudo).

em at

i ca

s

iii) Dos tri´angulos rect´angulos que tengan congruentes la hipotenusa y un ´angulo agudo, son congruentes.

de

M

at

iv) Dos tri´angulos rect´angulos que tengan congruentes la hipotenusa y un cateto, son congruentes.

An tio

qu

ia

,I

ns

tit

ut

o

Demostraci´ on. i) (Ver Figura 21.). Sean △ABC y △DEF tal que AC ∼ = DE y AB ∼ = DF . b∼ b Como A D (por ser rectos), = △BAC ∼ = △F DE (L-A-L). F

A

Un

iv er si d

ad

de

B

C

D

E

Figura 21. ii)(Figuras 22. y 23.). En efecto, en un caso se tiene congruencia por A-L-A y en el otro caso, se tiene congruencia por L-A-A. Para el caso iii) se tiene la Figura 24.. iv)(Figura 25.). En efecto, sean los tri´angulos rect´angulos △ABC y △EDF tales que: AB ∼ = DE y AC ∼ = DF .

94

CAP´ITULO 4. AX. DE CONTINUIDAD Y PARALELISMO

Figura 23.

at

em at

i ca

s

Figura 22.

A

D

C

E

An tio

qu

ia

,I

ns

tit

ut

o

de

M

Figura 24.

B

F

Figura 25.

iv er si d

ad

de

G

←→

Un

Tomemos G ∈BC de modo que B est´e entre G y C y adem´as BG ∼ = EF . Entonces △ABG ∼ = △DEF (catetos congruentes) (1). ∼ De donde DF ∼ AG pero DF = = AC (hip´otesis). Luego, AC ∼ = AG, de b∼ b y por lo tanto : △ABC ∼ aqu´ı se sigue que G =C = △ABG (L-A-A ´o caso iii)) (2). De (1) y (2) se concluye que △ABC ∼ = △DEF .



Corolario 12. : [ cualquier punto de su bisectr´ız equidista de 1. Dado un ´angulo AOB, los lados del ´angulo, e inversamente, cualquier punto en el interior del ´angulo que equidista de los lados pertenece a la bisectr´ız del ´angulo.

4.3. AXIOMA DE PARALELISMO

95

2. Dado un segmento AB, cualquier punto de la mediatr´ız del segmento equidista de los extremos del segmento y rec´ıprocamente, cualquier punto en el plano del segmento y la mediatr´ız que equidiste de los extremos del segmento pertenece a la mediatr´ız del segmento. Nota:

em at

i ca

s

1. Decimos, en el caso 1., que la bisectr´ız de un ´angulo es el lugar geom´etrico de todos los puntos que equidistan de los lados del ´angulo.

M

at

2. Decimos en el caso 2., que la mediatr´ız es el lugar geom´etrico de todos los puntos que equidistan de los extremos del segmento.

P

Figura 26.

AXIOMA DE PARALELISMO

Un

4.3.

iv er si d

ad

de

An tio

qu

ia

,I

ns

tit

ut

o

de

Demostraci´ on. (Ver Figura 26.). Basta aplicar los casos (iii) y (iv) de congruencia de tri´angulos rect´angulos. 

V POSTULADO DE EUCLIDES (V.P.E.) Si dos rectas distintas l y r, coplanares cortadas por una secante t en puntos distintos, forman con ella en el semiplano t dos ´angulos interiores, de tal manera que la suma de sus medidas sea menor que 1800 , entonces las dos rectas se cortan en alg´ un punto del semiplano t , (Figura 27.). O sea : si α + β < 1800 entonces l y r se cortan en t . El quinto postulado de Euclides (V.P.E.) tiene un enunciado equivalente, llamado el postulado de la paralela u ´nica de Playfair, el cual dice as´ı:

π π

π

96

CAP´ITULO 4. AX. DE CONTINUIDAD Y PARALELISMO r

t

πt β

i ca

em at

Q

s

α

l

de

M

at

Figura 27.

ut

o

“por un punto exterior a una recta pasa una paralela a la recta y s´olo una”.

,I

ns

tit

´ NOTA HISTORICA.

iv er si d

ad

de

An tio

qu

ia

El quinto postulado caus´o un trastorno considerable desde la ´epoca de los griegos. Muchos ge´ometras pensaron que tal vez podr´ıa deducirse como teorema a partir de los restantes axiomas o postulados. Euclides mismo trato de evitarlo mientras pudo, pues no lo utiliz´o en sus demostraciones sino hasta que lleg´o a la proposici´on 120. Durante m´as de 2.000 a˜ nos fueron ofrecidas diferentes “demostraciones”del postulado, pero cada una se basaba en una suposici´on equivalente al mismo.

Un

Los esfuerzos realizados, sin embargo, condujeron a que en la primera mitad del siglo XIX, se inventara una geometr´ıa que difer´ıa radicalmente de la de Euclides. Antes de este hecho se pensaba que exist´ıa solo una geometr´ıa posible. La independencia del postulado de las paralelas, qued´o establecida cuando fue demostrada la compatibilidad de las otras geometr´ıas donde el V Postulado se negaba o cambiaba por otro. Cualquier geometr´ıa cuyos axiomas contradicen alguno de los de Euclides, es llamada no Euclidiana. La primera de ellas que se invent´o es la llamada Geometr´ıa lobachevsquiana. Gauss (1777-1855) en Alemania, Bolyai (1802-1860) en Hungr´ıa y Lobachevsky (1793-1856) en Rusia, plantearon independientemente la forma de Playfair (1748-1819) del postulado, considerando tres posibilidades: Por un punto exterior a una recta, pueden trazarse m´as de una, u ´nicamente una,

4.3. AXIOMA DE PARALELISMO

97

em at

i ca

s

o ninguna paralela a la recta. Suponiendo la infinidad de la recta, el tercer caso fue eliminado. Estableciendo una geometr´ıa compatible con la primera hip´otesis, los tres matem´aticos realizaron extensos desarrollos geom´etricos y trigonom´etricos. Debido a la prioridad de Lobachevsky en la publicaci´on, la geometr´ıa as´ı constru´ıda recibi´o su nombre. En 1854 Riemann (1826 - 1866), demostr´o que si se descarta la infinitud de la recta, entonces, con algunas ligeras modificaciones de los postulados restantes, se podr´ıa desarrollar una geometr´ıa compatible con la tercera hip´otesis. Al trabajo de Riemann se debe una generalizaci´on considerable del concepto de espacio, que ha encontrado aplicaciones en la teor´ıa f´ısica de la relatividad.

tit

ut

o

de

M

at

El descubrimiento de las geometr´ıas no euclidianas no solo liber´o a la geometr´ıa de su molde tradicional, sino que modific´o considerablemente los conceptos de la matem´atica en general y condujo a un estudio profundo de los fundamentos de esta materia y a un desarrollo m´as amplio del m´etodo axiom´atico.

An tio

qu

ia

,I

ns

El desarrollo de la geometr´ıa euclidiana, con el quinto postulado suprimido, recibe el nombre de geometr´ıa absoluta, contiene las proposiciones que son comunes a las geometr´ıas de Euclides y de Lobachevsky.

de

Vamos, en la proposici´on que sigue, a demostrar la equivalencia del V.P.E. con el postulado de la paralela u ´nica de Playfair.

iv er si d

ad

Teorema 40. El V.P.E. es equivalente al postulado de la paralela u ´nica de Playfair.

Un

Demostraci´ on. 1. Asumamos que se cumple el postulado de la paralela u ´nica de Playfair, es decir, que para toda recta l y todo P 6∈ l, existe una u ´nica recta r tal que: P ∈ r y r k l. Sean l y m dos rectas dadas y t una secante tal que: α1 + α2 < 1800 Vamos a probar, para tener el V.P.E., que l y m se cortan en el semiplano π t , (ver Figura 28.). Es claro que α1 + α3 = 1800 , de donde, α1 = 1800 − α3 .

98

CAP´ITULO 4. AX. DE CONTINUIDAD Y PARALELISMO t πt B’

m α2

α3

l

B

at

em at

i ca

r

b

C

s

α1

α2

ut

o

de

M

Figura 28.

qu

ia

,I

ns

tit

Como α1 + α2 < 1800 , entonces 1800 − α3 + α2 < 1800 , de donde α2 < α3 . Luego por el axioma de construcci´on del ´angulo, existe una u ´nica semirrecta ←→ − − → −−→ ′ BC ∼ \ BC tal que: B c2 . Por tanto, m kBC. = ∡(B ′ B, m) ∼ =α

π

ad

de

π

An tio

Ahora B est´a en l; B ∈ r y r k m. Pero por el postulado de Playfair, por B solo pasa una paralela a m. Por tanto, toda recta distinta de r que pase por B corta a m. Como l pasa por B y es distinta a r corta a m. Veamos ahora que se cortan en t . Supongamos que se cortan en l , (ver Figura 29.).

Un

iv er si d

En el tri´angulo △ABB ′ , α2 es ´angulo exterior del tri´angulo △ABB ′ . Luego, por T .∡.E., α2 > α3 . Contradicci´on, ya que ten´ıamos que α2 < α3 . Por lo tanto l y m se cortan en el semiplano t .

π

2. Supongamos ahora que es v´alido el V.P.E. Sea l una recta dada y P 6∈ l, (ver Figura 30.). Sea t la perpendicular por P a l y r la perpendicular por P a la recta t. Por el teorema de ´angulos alternos internos, ya tenemos que r k l. Bastar´a con demostrar que toda otra recta que pase por P corta a l. Sea pues n otra recta que pasa por P y paralela a l, n distinta a r. Llamemos α1 , al ´angulo agudo que hace n con t.

4.3. AXIOMA DE PARALELISMO

99

t

m

B’ α2

α3

l

B

at

em at

i ca

πl

s

A

α1

ut

o

de

M

Figura 29. t

r

R

n

Q

l

Figura 30.

Un

iv er si d

ad

de

An tio

qu

ia

,I

α1

ns

tit

P

Como α1 < 900 entonces α1 + 900 < 900 + 900 = 1800 y por el V.P.E. n y l se cortan del lado en que se forma el ´angulo agudo. (Absurdo, porque l y n son paralelas). Vamos a estudiar ahora algunas consecuencias del V.P.E. o de su equivalente, el postulado de la paralela u ´nica de Playfair.  Teorema 41. Si dos rectas distintas y coplanares son paralelas, toda secante que corta a una de ellas corta a la otra.

100

CAP´ITULO 4. AX. DE CONTINUIDAD Y PARALELISMO

Demostraci´ on. Supongamos l k r y que s corta a la recta l en un punto A. Por tanto la recta s es distinta a la recta l. Veamos que s corta a r. En efecto, si s no cortara a r se tendr´ıa s k r, con s pasando por A. En conclusi´on tendr´ıamos dos rectas pasando por A (s y l) ambas paralelas a r. Luego, por el postulado de Playfair se tendr´a que s ≡ l. Contradicci´on, ya que s es distinta a l. 

em at

i ca

s

Teorema 42. El paralelismo de rectas es una relaci´on de equivalencia, o sea que es: reflexiva, sim´etrica y transitiva.

An tio

qu

ia

,I

ns

tit

ut

o

de

M

at

Demostraci´ on. 1. Reflexiva: es claro que l k l. 2. Sim´etrica: tambi´en es claro que si l k r, entonces r k l. 3.Transitiva: supongamos que l k r y r k s con l, r y s todas distintas. Veamos que l k s . Razonemos por reducci´on al absurdo. Si l 6k s, l y s se cortaran en A, (Figura 31.) y por A se tendr´ıan dos paralelas distintas l y s a r, lo que contradice el axioma de la paralela u ´nica. Por tanto, l k s. 

ad

Un

s

A

iv er si d

r

de

l

Figura 31.

Teorema 43. Si dos rectas distintas son paralelas, toda perpendicular a una de ellas lo es a la otra. Demostraci´ on. Supongamos l k r, l 6≡ r y sea n ⊥ l en A (A ∈ l). Es claro que n corta a l en A.

4.3. AXIOMA DE PARALELISMO

101

Luego por el Teorema 41, n corta a r. Llamemos B el punto donde n corta a r, (Figura 32.). [ es recto. Razonemos por reducci´on al absurdo, esto es, Veamos que CBA [ no es recto. supongamos que CBA

C

B

r

b

M

at

em at

b

i ca

C’

s

n

l

ns

tit

Figura 32.

ut

o

de

A

An tio

qu

ia

,I

[ es agudo, entonces r y l har´ıan con la secante n una pareja de 1. Si CBA ´angulos internos de un mismo lado cuya suma ser´ıa menor que 1800 y por el V.P.E. r y l se cortar´ıan, contradicci´on ya que por hip´otesis l k r.

iv er si d

ad

de

′ BA es agudo y las dos rectas se cortar´ [ es obtuso, entonces C \ 2. Si CBA ıan ′ [ del lado de C , lleg´andose de nuevo a una contradicci´on. Por lo tanto, CBA es recto. 

Un

Corolario 13. Las rectas perpendiculares a dos rectas que se cortan tambi´en se cortan. −−→ Demostraci´ on. Sean x, y, dos rectas que se cortan en O. Tomemos A ∈ OX −−→ y B ∈ OY . −−→ −−→ Sean n ⊥ OX por A y m ⊥ OY por B, (Figura 33.). Demostremos que m y n se cortan. Razonemos por reducci´on al absurdo. −−→ Si m y n no se cortaran, ser´ıan paralelas, es decir, m k n. Pero OX ⊥ n, −−→ entonces OX ⊥ m (por teorema anterior) (1). ←→

Ahora, por hip´otesis OY ⊥ m (2)

102

CAP´ITULO 4. AX. DE CONTINUIDAD Y PARALELISMO m y b

B

Y

n O

A

s

x

at

em at

X

i ca

b

ut

o

de

M

Figura 33.

←→

tit

En (1) y (2) se tienen dos rectas perpendiculares a una tercera, luego se ←→

concluye que OXkOY , lo que es una contradicci´on.

,I

ns



de

An tio

qu

ia

Recu´erdese que hab´ıamos demostrado en el Teorema 33 que “si dos rectas hacen con una secante una pareja de ´angulos A.I. congruentes, las rectas son paralelas”. El rec´ıproco de este enunciado lo daremos en la siguiente proposici´on.

iv er si d

ad

Teorema 44 (Alternos internos entre paralelas). Dadas dos rectas distintas y paralelas, los ´angulos alternos internos que forman con cualquier secante son congruentes.

Un

Demostraci´ on. Sean l k r y t una secante cualquiera que corta a l en B y a r en A, (Figura 34.). Sea O punto medio de AB. ←→

←→

←→

Bajemos desde O, OH⊥ l. Como OH⊥ l y l k r, entonces OH⊥ r. ←→

As´ı que si llamamos Q al punto de encuentro de OH con r se tendr´a que [ es recto. OQA [ ∼ \ Ahora: △OBH ∼ = △OQA (hipotenusa- ´angulo agudo). Luego OAQ = OBH lo que demuestra el teorema. 

4.3. AXIOMA DE PARALELISMO

103 t

Q

r

A O B

at

em at

i ca

s

l

H

de

M

Figura 34.

ut

o

B

B’ b

,I

ns

tit

b

O

qu

b

An tio

a)

ia

O’

A

A’ b

b)

ad

de

Figura35 .

Un

iv er si d

Corolario 14. Dadas dos rectas distintas y paralelas, los ´angulos correspondientes que se forman con cualquier secante son congruentes. −→

[ si tomamos el lado OA como lado inicial Definici´ on 31. Dado el AOB, −→ [ es un ´angulo y el lado OB como lado final, entonces decimos que AOB orientado, si la orientaci´on es en el sentido de las agujas del reloj, decimos que la orientaci´on es horaria, si la orientaci´on es en sentido contrario a las agujas del reloj, decimos que la orientaci´on es antihoraria. ′ O ′ B ′ tiene sen[ tiene sentido horario y en b), A\ En la Figura 35 a), AOB tido a antihorario. Incluimos ahora dos proposiciones cuya demostraci´on la dejamos al lector.

104

CAP´ITULO 4. AX. DE CONTINUIDAD Y PARALELISMO

Proposici´ on 1. i) Dos ´angulos que tengan sus lados respectivamente paralelos, si tienen el mismo sentido son congruentes y si tienen sentidos contrarios, son suplementarios. ii) Dos ´angulos que tengan sus lados respectivamente perpendiculares, si tienen el mismo sentido son congruentes y si tienen sentidos contrarios, son suplementarios.

t

M

at

s

em at

i ca

s

Proposici´ on 2. Si dos rectas paralelas son cortadas por otras dos paralelas, los segmentos opuestos que se determinan son congruentes, (Figura 36.).

B

r

qu

ia

,I

ns

tit

ut

o

de

A

de ad iv er si d

C

An tio

D

←→

l

Figura 36.

←→

←→

←→

∼ = DC y

Un

Seg´ un la figura si ABkDC y ADkBC, entonces AB ∼ AD = BC.

Corolario 15. Si l k r, entonces para todo punto P perteneciente a l, la distancia del punto P a r es constante. A la constante dada se le llama la distancia entre las paralelas l y r. Definici´ on 32 (Lugar Geom´ etrico). Se llama lugar geom´etrico a la figura cuyos puntos cumplen una o varias condiciones geom´etricas. Ejercicio: determinar el Lugar Geom´etrico de los puntos que est´an a una distancia r de una recta fija l.

4.3. AXIOMA DE PARALELISMO

105

Teorema 45 ( Suma de los ´ angulos interiores de un tri´ angulo). La suma de las medidas de los ´angulos interiores de todo tri´angulo es 1800 . ←→

Demostraci´ on. (Ver Figura 37.). Sea l kAB trazada por C. ←→

←→

←→

←→

Como l kAB y BC secante, entonces: β = β2 .

i ca

β1

M

at

β2

tit

ut

o

de

γ



em at

C

l

s

Como l kAB y AC secante, entonces: α = β1 Adem´as es claro β1 + γ + β2 = 1800 . Luego: α + β + γ = 1800 .

β

,I

ns

α

B

qu

ia

A

An tio

Figura 37.

ad

de

Corolario 16. La medida de todo ´angulo exterior de un tri´angulo es igual a la suma de las medidas de los ´angulos interiores no adyacentes.

Un

iv er si d

B

β

A

ǫ

γ

α Figura 38.

C

106

CAP´ITULO 4. AX. DE CONTINUIDAD Y PARALELISMO

Demostraci´ on. (Ver Figura 38.). (1) ǫ + γ = 1800 (2) α + β + γ = 1800 De (1) y (2) se tiene que: ǫ = α + β.



i ca

s

Corolario 17. En todo tri´angulo rect´angulo, la suma de las medidas de los ´angulos agudos es 900 .

em at

Corolario 18. Si dos tri´angulos tienen dos pares de ´angulos respectivamente congruentes, entonces los otros dos ´angulos son respectivamente congruentes.

ut

o

de

M

at

Teorema 46 (Paralela media de un tri´ angulo). i) El segmento que une los puntos medios de dos lados de un tri´angulo es paralelo al tercer lado y tiene por medida la mitad de la medida del tercer lado.

ia

,I

ns

tit

ii) Si por el punto medio de un lado de un tri´angulo se traza una paralela a un lado, dicha paralela biseca al otro lado.

ad

de

An tio

qu

Demostraci´ on. (Ver Figura 39.) i) Sean M y N puntos medios de AC y CB, respectivamente. Demostremos que: M N k AB y que M N = 21 AB. Prolonguemos M N tal que: M N ∼ = NT . Los tri´angulos △M N C y △T N B son congruentes por L-A-L.

iv er si d

Luego los ´angulos: α = α1 MC ∼ = BT (2) ←→

(1) ←→

Un

luego de (1), las rectas T B y CA son paralelas por hacer ´angulos alternos ←→

congruentes con la secante M T . \ [ Como M C ∼ AT ∼ B (´angulos alter= M A, entonces M A ∼ = BT y M = AT ∼ nos internos entre paralelas) y adem´as, AT = AT . Luego, △M AT ∼ = △AT B (L-A-L). ∼ \ Luego, M T A = T[ AB (por definici´on de congruencia de tri´angulos); luego, ←→ M T k AB (Teorema 33: Teorema de los alternos internos) y M T ∼ = AB.

4.3. AXIOMA DE PARALELISMO

107

C

γ α N

M

T

B

at

A

em at

i ca

s

α1 γ1

tit

,I

ns

N es el punto medio de M T , entonces: M N k AB y M N = 21 AB.

ut

o

de

M

Figura 39.

An tio

qu

ia

ii) (Figura 40.). Sea el tri´angulo △ABC, M punto medio de AC. M N k AB, por N tracemos una paralela a AC.

iv er si d

ad

de

Tenemos: △M N C ∼ = △T BN , ya que ∼ \ \ [ \ T (por correspondientes) y CM N = N T B, ACB ∼ = BN



Un

Entonces CN = N B.

AM = N T = M C.

Corolario 19. En todo tri´angulo rect´angulo la mediana relativa a la hipotenusa es la mitad de la hipotenusa. Demostraci´ on. (Ver Figura 41.). Sea AM mediana del tri´angulo rect´angulo △BAC. Sea D el punto medio de AB, entonces por teorema anterior M D k CA \ y por lo tanto M DB es recto. Luego el tri´angulo △AM B es is´osceles. De aqu´ı concluimos que: AM ∼ = M B y como M es punto medio de BC se tiene que: AM ∼  = BM ∼ = MC

108

CAP´ITULO 4. AX. DE CONTINUIDAD Y PARALELISMO C

N

T Figura 40.

B

M

at

A

em at

i ca

s

M

ns

tit

ut

o

de

C

de

D Figura 41.

B

iv er si d

ad

A

An tio

qu

ia

,I

M

Un

Teorema 47. Si el pie de una mediana de un tri´angulo equidista de los v´ertices del tri´angulo entonces el tri´angulo es rect´angulo. Demostraci´ on. (Ver Figura 42.). Sea AM la mediana relativa a BC y b es recto. adem´as BM ∼ = MC ∼ = AM . Demostremos que el ´angulo A Como BM ∼ = AM , △AM B es is´osceles y por lo tanto: β = α1 . Como M C ∼ = AM , △AM C es is´oceles y por lo tanto : α2 = γ. b Pero m(A) b = α1 + α2 . Luego: α1 + α2 = β + γ = 1800 − m(A). b = 1800 − m(A), b de donde 2m(A) b = 1800 y Por tanto: m(A) 0 b = 90 . m(A)



4.3. AXIOMA DE PARALELISMO

109 A

α2

α1

γ

β

s

C

i ca

M Figura 42.

at

em at

B

tit



ns

Demostraci´ on. (Se deja como ejercicio).

ut

o

de

M

Teorema 48 (Teorema del circuncentro). Las mediatrices de un tri´angulo son concurrentes en un punto. (A este punto se le llama el circuncentro).

An tio

qu

ia

,I

Teorema 49 (Teorema del incentro). Las bisectrices de un tri´angulo son concurrentes en un punto. (A este punto se le llama el incentro). Demostraci´ on. (Se deja como ejercicio).

de



Un

iv er si d

ad

Teorema 50 (Teorema del ortocentro). Las rectas que contienen las alturas en un tri´angulo son concurrentes en un punto. (A este punto se le llama el ortocentro). Demostraci´ on. (Ver Figura 43.) Por hip´otesis se tiene que AD, BE, CF ←→

←→

←→

son alturas. Veamos que AD, BE, CF son concurrentes en un punto O. Por Playfair, por A pasa m k BC, por C pasa n k AB y por B pasa l k AC. Sean {A′ } = m ∩ l; {B ′ } = m ∩ n; {C ′ } = l ∩ n; y como segmentos paralelos ←→

←→

comprendidos entre rectas paralelas son congruentes y m kBC y n kAB, entonces por la (Proposici´ on 2) AB ′ ∼ = BC. ←→ ←→ Similarmente, como BCk m y l kAC, entonces BC ∼ = A′ A, y por tanto A es punto medio de A′ B ′ . Como BC k m y AD ⊥ BC por hip´otesis, entonces AD ⊥ m y por tanto

CAP´ITULO 4. AX. DE CONTINUIDAD Y PARALELISMO

110

n A

A’

B’ E

F

m

O

D

C

em at

i ca

s

B

M

l

at

C’

tit

ut

o

de

Figura 43.

ns

←→

´ DESIGUALDADES EN EL TRIANGULO

Un

4.4.

iv er si d

ad

de

An tio

qu

ia

,I

AD es mediatr´ız de A′ B ′ . ←→ ←→ Similarmente se demuestra que BE es mediatr´ız de A′ C ′ y CF es mediatr´ız de C ′ B ′ . ←→ ←→ ←→ Por lo tanto en el △A′ B ′ C ′ se tiene que AD, BE, CF son mediatrices de los lados del △A′ B ′ C ′ y por el teorema del circuncentro, estas rectas son concurrentes en un punto O. Obs´ervese que O es el circuncentro del △A′ B ′ C ′ y O es el ortocentro del △ABC. 

Teorema 51. En un mismo tri´angulo, si dos lados no son congruentes, entonces los ´angulos opuestos a estos lados no son congruentes y al lado mayor se opone ´angulo mayor. Hip´otesis: AB ∼ 6= BC, m(AB) < m(BC)

´ 4.4. DESIGUALDADES EN EL TRIANGULO b∼ b Tesis: A 6= C,

111

b γ, luego θ > γ. −−→ Ahora, como D est´a entre B y C, entonces AD est´a en el interior del ´angulo b (Teorema 7 y Corolario 1.). Luego, θ < α y en consecuencia α > γ.  A

Teorema 52. En un mismo tri´angulo, si dos ´angulos no son congruentes, entonces los lados opuestos a ellos no son congruentes y al ´angulo mayor se opone lado mayor. De otro modo: En cualquier tri´angulo △ABC, si γ > β, entonces: m(AB) > m(AC).

Demostraci´ on. (Ver Figura 46.). Razonemos por reducci´on al absurdo. Sea γ > β y supongamos que m(AB) ≤ m(AC). Si m(AB) = m(AC), entonces, el tri´angulo △ABC es is´osceles y por tanto γ = β. Absurdo!.

112

CAP´ITULO 4. AX. DE CONTINUIDAD Y PARALELISMO B

δ

D

θ

α

γ

A

C

i ca

s

Figura 45.

tit

ut

o

de

M

at

em at

A

,I

ns

β

ia

B

C

An tio

qu

Figura 46.

γ

iv er si d

ad

de

Si m(AB) < m(AC), entonces, por el teorema anterior, γ < β Absurdo!. Luego, m(AB) > m(AC). 

Un

Observaci´ on : Los Teoremas 51 y 52 nos dicen que en un mismo tri´angulo a mayor lado se opone mayor a´ngulo y viceversa.

´ 4.4. DESIGUALDADES EN EL TRIANGULO

113

Teorema 53 (Teorema de las oblicuas). Si desde un punto exterior a una recta se trazan un segmento perpendicular y dos segmentos oblicuos, entonces: i) El segmento perpendicular es el de menor longitud.

i ca

s

ii) De los segmentos oblicuos es mayor el que se aparta m´as del pie de la perpendicular.

at

em at

iii) Si los dos segmentos oblicuos no tienen la misma longitud, el de mayor longitud se aparta m´as del pie de la perpendicular.

ut

o

de

M

Demostraci´ on. i) Sea Q el pie de la perpendicular desde el punto P a la recta l, y sea R cualquier otro punto de l, (ver Figura 47.). Veamos que: m(P Q) < m(P R).

ns

tit

En efecto, sea S un punto de l, tal que Q est´e entre S y R.

Un

iv er si d

ad

de

An tio

qu

ia

,I

P

S

β

α Q

γ Figura 47.

R

l

Entonces P[ QS es exterior a el tri´angulo △P QR, luego α > γ. Como α = β, entonces β > γ y por el Teorema 52, m(P R) > m(P Q). Los numerales ii) y iii) se dejan al lector.



Observaci´ on: el teorema anterior nos permite afirmar que la distancia de un punto a una recta es el segmento de menor medida que se puede trazar entre el punto y la recta.

114

CAP´ITULO 4. AX. DE CONTINUIDAD Y PARALELISMO

Teorema 54 (Desigualdad Triangular). La suma de las longitudes de dos lados cualesquiera de un tri´angulo es mayor que la longitud del tercer lado. D δ

at

em at

i ca

s

B

M

θ

o ut

Figura 48.

C

ia

,I

ns

tit

A

de

α

←→

de

An tio

qu

Demostraci´ on. (Ver Figura 48.). Tomemos un punto D sobre la recta BC, tal que B est´e entre D y C y DB ∼ = AB. Como m(DC) = m(DB) + m(BC), entonces:

ad

m(DC) = m(AB) + m(BC) (1).

iv er si d

\ Adem´as, θ < α (2), (ya que B est´a en el interior de DAC).

Un

Como △DAB es is´osceles, entonces θ = δ

(3).

Por (2) y (3) δ < α y en consecuencia, en △ADC, m(AC) < m(DC) (4) y por (Teorema 52). De (1) y (4) se deduce que: m(AC) < m(AB) + m(BC)



Corolario 20. La longitud de un lado cualquiera de un tri´angulo es mayor que la diferencia de las longitudes de los otros dos lados.

´ 4.4. DESIGUALDADES EN EL TRIANGULO

115

B

A

C

at

em at

i ca

Figura 49.

s

M

de

M

Demostraci´ on. En efecto, como m(AC) < m(AB) + m(BC), entonces, 

ut

o

m(BC) > m(AC) − m(AB).

,I

ns

tit

El contra-rec´ıproco del teorema de la desigualdad triangular nos da un criterio para puntos colineales.

An tio

qu

ia

Corolario 21. Si dados tres puntos A, B y C, tales que AB + BC = AC entonces los puntos A, B y C son colineales.

ad

de

Corolario 22. Sea M un punto interior del tri´angulo △ABC. Entonces, m(AM ) + m(M C) < m(AB) + m(BC), (ver Figura 49.).

Un

iv er si d

Teorema 55 (Criterio L-A-L en desigualdades). Si dos lados de un tri´angulo son congruentes respectivamente con dos lados de un segundo tri´angulo, y el a´ngulo comprendido en el primer tri´angulo es mayor que el ´angulo comprendido en el segundo, entonces el lado opuesto del primer tri´angulo es mayor que el lado opuesto del segundo. Hip´otesis: (ver Figura 50.) AB ∼ = DE, AC ∼ = DF , α > δ

116

CAP´ITULO 4. AX. DE CONTINUIDAD Y PARALELISMO B

E

α

δ

A

C

D

F

Figura 50.

em at

i ca

s

B M

at

b

ns

tit

ut

o

de

K

M

Q

,I

A

C

An tio

qu

ia

Figura 51.

Tesis: m(BC) > m(EF )

iv er si d

ad

de

−→ Demostraci´ on. (Ver Figura 51.). Como α > δ, existe una semirrecta AQ [ ∼ \ interior a α b tal que CAQ = EDF

Un

−→ Sobre AQ tomemos un punto K tal que AK ∼ = DE. ∼ El tri´angulo △AKC = △DEF (L-A-L), Por tanto: CK ∼ = EF

(1).

\ sea M el punto donde la bisectr´ız corta Tracemos la bisectr´ız de BAK, al lado BC. Ya que AB ∼ = DE y AK ∼ = DE, entonces AB ∼ = AK. Luego ∼ ∼ △ABM = △AKM (L-A-L) y en consecuencia, BM = M K (2). Con el punto K pueden suceder dos casos: a) el punto K es colineal con B y C, en este caso por el Teorema de la barra trasversal, B − K − C y por tanto BC > CK y como CK ∼ = EF , entonces BC > EF . b) el punto K no es colineal con B y C y por tanto el △CKM existe. En

´ 4.4. DESIGUALDADES EN EL TRIANGULO

117

el △CKM, m(CK) < m(M K) + m(M C). (Teorema 54: desigualdad triangular). De (1) y (2), m(EF ) < m(BM ) + m(M C). Pero, m(BM ) + m(M C) = m(BC) ya que B − M − C, entonces m(EF ) < m(BC).



at

em at

i ca

s

Teorema 56 (Criterio L-L-L para desigualdades). Si dos lados de un tri´angulo son congruentes respectivamente con dos lados de un segundo tri´angulo, y el tercer lado del primer tri´angulo es mayor que el tercer lado del segundo tri´angulo, entonces el ´angulo comprendido en el primer tri´angulo es mayor que el ´angulo comprendido en el segundo.

de

M

Hip´otesis: AC ∼ = DF , AB ∼ = DE, m(BC) > m(EF )

ns

tit

ut

o

Tesis: α > δ

Un

iv er si d

B

ad

de

An tio

qu

ia

,I

Demostraci´ on. (Ver Figura 52.). Razonemos por reducci´on al absurdo. Supongamos que α ≤ δ. Si α = δ, entonces △ABC ∼ = △DEF (L-A-L) y en consecuencia BC ∼ = EF . Absurdo!. Si α < δ, entonces m(BC) < m(EF ). Absurdo!. Luego, α > δ 

A

E

α

δ C

D

Figura 52.

F

CAP´ITULO 4. AX. DE CONTINUIDAD Y PARALELISMO

118

4.5.

Ejercicios y Problemas de Paralelismo y Continuidad

1. Dado el △ABC y la mediana AD relativa al lado BC; sea E el punto −−→ medio de AD, se traza la semirecta BE, la cual corta al lado AC en F . Demostrar que AF = 31 AC.

i ca

s

2. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de un tri´angulo, determinan cuatro tri´angulos congruentes.

M

at

em at

3. Demostrar que en cualquier tri´angulo rect´angulo, la mediana relativa a la hipotenusa es congruente con el segmento que une los puntos medios de los catetos.

ns

tit

ut

o

de

4. Demostrar que en un tri´angulo is´osceles: a) Las bisectrices de los a´ngulos de la base son congruentes. b) Las alturas relativas a los lados congruentes son congruentes. c) Las medianas relativas a los lados congruentes son congruentes.

An tio

qu

ia

,I

5. a) Demostrar que si un tri´angulo tiene dos alturas congruentes entonces el tri´angulo es is´osceles. b) Demostrar que si un tri´angulo tiene dos medianas congruentes entonces el tri´angulo es is´osceles.

Un

iv er si d

ad

de

6. Sean los puntos A, B, C, D colineales tal que B esta entre A y C, C esta entre B y D, los puntos M y N son los puntos medios de AB y CD respectivamente. Probar que 1 mM N = (mAC + mBD) 2 ←→

7. Por un punto O de una recta XY , tal que O esta entre X e Y , se trazan ←→ −→ −−→ las semirrectas OA y OB en un mismo semiplano respecto a XY . La ←→

bisectriz de ∡AOB es perpendicular a XY y las bisectrices de ∡XOA y ∡BOY forman un ´angulo de 1000 . Cuanto miden ∡XOA, ∡AOB y ∡BOY (Rta.: ∡XOA = 80o , ∡AOB = 20o y ∡BOY = 80o ) 8. Demostrar que la recta que une un v´ertice de un tri´angulo con el punto medio del lado opuesto, equidista de los extremos de dicho lado.

4.5. EJ. Y PROB. DE PARALELISMO Y CONTINUIDAD

119

9. Desde un punto D en la bisectriz de un ´angulo ∡A se trazan segmentos DB y DC perpendiculares a los lados de ∡A con B y C a cada lado, ←→

demostrar que AD es la mediatriz de ∆ABC

i ca

s

10. Demostrar que el ´angulo formado por la bisectriz de un ´angulo y una semirrecta cualquiera exterior al ´angulo y con origen en el mismo v´ertice, tiene por medida la semisuma de las medidas de los ´angulos que forma la semirrecta con cada uno de los lados del ´angulo original.

at

em at

11. Demostrar que en tri´angulos congruentes, las medianas hom´ologas son congruentes.

o

de

M

12. Sean los puntos O, A, B, C colineales con A entre O y C, C entre A y B. Si mAC = 12 mCB, probar que:

tit

ut

2mOA + mOB 3

,I

ns

mOC =

An tio

qu

ia

13. Sean los puntos O, A, B colineales con X punto medio de AB. Demuestre que: a) mOX = 12 (mOA + mOB) si O ∈ / AB

de

b) mOX = 21 (mOB − mOA) si O ∈ intAB, con O entre A y X

iv er si d

ad

c) mOX = 21 (mOA − mOB) si O ∈ intAB, con O entre B y X

Un

14. Sean los puntos B, C ∈ intAD con O punto medio de AD y de BC. Demostrar que: AB ∼ = CD y AC ∼ = BD −→ −−→ −−→ 15. Sean OA y OB que forman con la semirrecta OX ´angulos ∡XOA y −−→ −→ ∡XOB. Si OC es la bisectriz de ∡AOB, con OX ⊂ int∡AOB, probar que: −→ m∡XOC = 21 (m∡XOA − m∡XOB), si OC ⊂ int∡XOA −→ m∡XOC = 21 (m∡XOB − m∡XOA), si OC ⊂ int∡XOB −−→ Si OX ⊂ Ext∡AOB, probar que m∡XOC = 21 (m∡XOA + m∡XOB)

120

CAP´ITULO 4. AX. DE CONTINUIDAD Y PARALELISMO

−−→ −→ 16. Sean las semirrectas OB, OC ⊂ int∡AOD, tales que ∡AOC ∼ = ∡BOD. −−→ ∼ Si OX es la bisectriz de ∡AOD, demostrar que ∡AOB = ∡COD y −−→ tambi´en que OX es bisectriz de ∡BOC. −→ −−→ −→ −−→ 17. Cuatro semirrectas OA, OB, OC y OD forman ´angulos consecutivos alrededor del punto O, tales que: m∡DOA = m∡COB = 2m∡AOB y m∡COD = 3m∡AOB.

i ca

s

Hallar m∡AOB, m∡DOA, m∡COD.

em at

18. Demostrar que las bisectrices de dos ´angulos opuestos por el v´ertice son semirrectas opuestas.

de

M

at

19. Las bisectrices de dos ´angulos consecutivos ∡AOB y ∡BOC se cortan perpendicularmente. Demuestre que A, O, C son colineales.

ns

tit

ut

o

20. Se unen los lados de un ´angulo ∡A con un segmento arbitrario M N , las bisectrices de los ´angulos ∡AM N y ∡AN M , se cortan en B, demostrar que B es un punto en la bisectriz de ∡A.

An tio

qu

ia

,I

21. En los tri´angulos ∆ABC y ∆A′ B ′ C ′ , AD y A′ D′ son bisectrices, de ∡BAC y ∡B ′ A′ C ′ respectivamente. AD ∼ = A′ D′ , ∡BAC ∼ = ∡B ′ A′ C ′ , AB ∼ = A′ B ′ . Demostrar que ∆ABC ∼ = ∆A′ B ′ C ′ .

ad

de

22. Sea el tri´angulo ∆ABC, con AC ∼ = CB, sea F ∈ AB, DF ⊥ AC, EF ⊥ BC. Demostrar que ∡AF D ∼ = ∡BF E.

Un

iv er si d

23. En los tri´angulos ∆ABC y ∆A′ B ′ C ′ , AD y A′ D′ son medianas, de BC y B ′ C ′ respectivamente. AD ∼ = A′ D′ , BC ∼ = B ′ C ′ , AB ∼ = A′ B ′ . ′ ′ ′ Demostrar que ∆ABC ∼ = ∆A B C . −→ −−→ −−→ −−→ −−→ 24. Sean BA y BE semirrectas opuestas. BG, BK, BD incluidas en el ←→ mismo semiplano determinado por AE. ∡ABG ∼ = ∡KBG y ∡KBD ∼ = ∡DBE. Determinar m∡GBD. −→ −−→ −→ −−→ −−→ 25. Sean las semirrectas OA opuesta a OB, OC opuesta a OD y OE opues−→ −−→ ta a OF ; con OD en el Int(∡AOF ), si m∡DOF = 850 y m∡AOE = 300 . Determinar las medidas de los ´angulos ∡AOD, ∡BOF , ∡BOC, ∡COE. ←→ ←→ −→ 26. Sea ABkCD, F entre A y B, E entre C y D, F G biseca al ∡BF E, −−→ EG biseca al ∡DEF . Probar que EG ⊥ F G.

4.5. EJ. Y PROB. DE PARALELISMO Y CONTINUIDAD

121

27. En los tri´angulos ∆ABC y ∆A′ B ′ C ′ , AD y A′ D′ son alturas que parten de los ´angulos ∡BAC y ∡B ′ A′ C ′ respectivamente. AD ∼ = A′ D′ , BC ∼ = ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∼ ∼ B C , AB = A B . Demostrar que ∆ABC = ∆A B C . 28. Sea el tri´angulo ∆ABC, E ∈ intBC, unimos A con E, D ∈ intAE, unimos D con B. Mostrar que: ∡ADB > ∡ACB

i ca

s

29. Sean AE y CD dos segmentos que se cortan en M , con M punto medio de ambos segmentos, probar que AC k DE.

em at

30. Los tri´angulos ∆LT N y ∆LN M tienen en com´ un el lado LN , con ∼ ∼ LM = N T ; LT = N M , probar que T N k LM .

de

M

at

31. Sea el ∆ABC y sean BD y EC alturas, con D entre A y C, E entre A y B. Probar que ∡DCE ∼ = ∡EBD.

ns

tit

ut

o

32. Sea ∆ABC rect´angulo en A, sea D ∈ AC, E ∈ AB y F ∈ BC tales \ que CD ∼ E) = 45o . = CF y BF ∼ = BE. Demostrar que m(DF

An tio

qu

ia

,I

33. Sea el tri´angulo ∆ABC rect´angulo con ∡ACB recto y sea CD la altura relativa a la hipotenusa. Probar que ∡CAB ∼ = ∡DCB, ∡ACD ∼ = ∡ABC.

de

34. Calcular en funci´on de los ´angulos agudos de un tri´angulo rect´angulo, el ´angulo formado por la altura y la mediana que caen sobre la hipotenusa.

iv er si d

ad

35. En un tri´angulo rect´angulo, la bisectriz del ´angulo recto es bisectriz del ´angulo formado por la mediana y la altura relativos a la hipotenusa.

Un

36. En un tri´angulo rect´angulo, la altura y la mediana trazadas desde el v´ertice del ´angulo recto a la hipotenusa, forman un ´angulo de 24 grados. Hallar los ´angulos agudos del tri´angulo. 37. Sea D ∈ int∆ABC con ∡DAB ∼ = ∡CAD, ∡DBA ∼ = ∡CBD; m∡ADB = 1300 . Calcular m∡ACB. 38. Demostrar que la recta paralela y que pasa por el v´ertice opuesto a la base de un tri´angulo is´osceles, biseca los ´angulos exteriores en dicho v´ertice.

122

CAP´ITULO 4. AX. DE CONTINUIDAD Y PARALELISMO

−−→ −→ 39. Dado un tri´angulo ∆ABC y las bisectrices BO, CO de los ´angulos b C. b Se traza por O el segmento DE||BC, D entre A y B, E entre B, A y C. Demostrar que DE = DB + CE. −−→ 40. Dado el tri´angulo ∆ABC se traza la bisectriz CD (D entre A y B), luego por D se traza DR||CB (R entre A y C). Demostrar que DR ∼ = RC.

M

at

em at

i ca

s

41. En un tri´angulo ∆ABC, AM es la mediana correspondiente a BC y AH es la altura correspondiente a BC. Si C esta entre M y H, demostrar que: a)AM < AB; b)AM > AC; c)AB > AC; d) ∡AM B > ∡AM C.

tit

ut

o

de

42. En un tri´angulo ∆ABC, las bisectrices del ∡B y del ∡C se intersectan en D. AB > AC y DH es perpendicular a BC en H. Demostrar que: a) BD > CD; b) BH > CH.

qu

ia

,I

ns

43. En un tri´angulo ∆ABC, D ∈ intBC con BD ∼ = AD ∼ = AC. Demuestre: a) ∡ADB > ∡BAD; b) ∡ADB > ∡ADC ; c)∡ABC < ∡ACB. d)AB > AC

An tio

44. Demostrar que si un punto no pertenece a la mediatriz de un segmento, entonces dicho punto no equidista de los extremos del segmento.

iv er si d

ad

de

45. Demostrar que si un punto del interior de un ´angulo no pertenece a la bisectriz del ´angulo, dicho punto no equidista de los lados del ´angulo.

Un

46. Demostrar que la suma de las medidas de las alturas de un tri´angulo, esta comprendida entre el semiper´ımetro y el per´ımetro del tri´angulo. (Observaci´on: El per´ımetro de un tri´angulo es la suma de las medidas de los lados del tri´angulo). 47. Demostrar que la suma de las medidas de las medianas de un tri´angulo, esta comprendida entre el semiper´ımetro y el per´ımetro del tri´angulo. 48. Si A, B, C, D son cuatro puntos coplanares tales que AD ∼ = AB; ∼ DC = BC; AD < DC. Demostrar que ∡DCB < ∡BAD. 49. Sea M un punto en el interior de un tri´angulo ∆ABC, probar que: mBM + mM C < mAB + mAC.

4.5. EJ. Y PROB. DE PARALELISMO Y CONTINUIDAD

123

50. Si AM es mediana del △ABC entonces: 1 (m(AB) + m(AC)). 2

1 (m(AB) − m(AC)) < m(AM ) < 2 −−→ Sugerencia: en AM existe D tal que M D

∼ = AM y A − M − D.

s

51. En el △ABC se tienen: A − F − C y A − D − B, F C ∼ = DB, AB > AC, entonces se cumple que F B > CD.

em at

i ca

52. Demuestre que en un tri´angulo rect´angulo la altura relativa a la hipotenusa es menor o igual que la mitad de la hipotenusa. Bajo que condici´on se cumple que la altura sea igual a la mitad de la hipotenusa?.

at

π

ut

o

de

M

53. Si B ∈ l:A , localizar con regla y comp´as un punto C sobre la recta l, tal que la medida AC + CB sea m´ınima. Justificar el procedimiento seguido en la construcci´on.

An tio

qu

ia

,I

ns

tit

\ , localizar con regla y comp´as 54. Dados dos puntos A y B en el IntXOY −−→ −−→ dos puntos P y Q sobre OX y OY respectivamente, de tal manera que AP + P Q + QB sea m´ınima. Justificar el procedimiento seguido en la construcci´on.

iv er si d

ad

de

D

B

Un

A

C

C 56. H: AD ∼ = BD, A − D − C, AB < AD. b b T: C < A

D

A

55. H: DC ∼ = BC, A − B − C. b AD > BD; AC > DC; \ T: ADC > A; b \ > A. CDB

B

124

CAP´ITULO 4. AX. DE CONTINUIDAD Y PARALELISMO C 57. H: △ABC; A − D − E; B − E − C. b \>C T: ADB

E

D

A

B

i ca

s

C

de

D

M

at

em at

58. H: △ACD is´osceles con CD ∼ = AD; ←→ AC < DC; B ∈CD tal que C − D − B T: △CAB escaleno.

ut

o

A

tit

B

ns

D

ia

,I

59. Si en la figura AC ∩ DH = {E} y C esta entre D y B, H ∈ AB, AC ∼ = CB, ∼ DC = CE, entonces DH ⊥ AB.

An tio

qu

C

de

E

ad

H

B

iv er si d

A

Un

60. Se prolonga la mediana AM de un tri´angulo ABC, una longitud M D = AM . Se traza BD. Mostrar que BD k AC. 61. Demostrar que la medida del ´angulo formado por dos bisectrices interiores de un tri´angulo es igual a la medida del ´angulo recto m´as la mitad de la medida del a´ngulo en el tercer v´ertice. b = 60o . Demostrar 62. En el △ABC se tiene que BC = 2a, AB = a y m(B) b = 90o . que m(A)

63. Demostrar que si las mediatrices de dos lados de un tri´angulo se interceptan en un punto que pertenece al tercer lado, entonces el tri´angulo es rect´angulo.

4.5. EJ. Y PROB. DE PARALELISMO Y CONTINUIDAD

125

\ y XOZ \ y sus bi64. Sean dos ´angulos adyacentes suplementarios XOY −−→ −−→ −−→ sectrices respectivas OM y ON . De un punto A de OX se baja una −−→ −−→ perpendicular sobre OM y otra perpendicular sobre ON que cortan a ←→

Y OZ en B y en C:

em at

c) Deducir que el punto O es el punto medio de BC.

i ca

b) Mostrar que los tri´angulos OAB y OAC son is´osceles.

s

\ [ deducir que el tri´angulo ABC es rect´angua) Comparar M ON y BAC; lo.

de

M

at

65. Sea △ABC is´osceles tal que AB ∼ = AC. Sean BH la altura relativa al lado AC y P un punto cualquiera sobre BC. Se trazan las perpendiculares P M y P N a los lados AB y AC.Pruebe que P M + P N = BH.

ns

tit

ut

o

66. En el ∆ABC, se tiene que BB ′ ⊥AC, B ′ C ′′ ⊥AB, CC ′ ⊥AB y C ′ B ′′ ⊥AC entonces C ′′ B ′′ || BC.

An tio

qu

ia

,I

67. La suma de las distancias de un punto interior de un tri´angulo a los v´ertices es menor que el per´ımetro (per´ımetro es la suma de los lados del tri´angulo ) y mayor que el semi-per´ımetro (es la mitad del per´ımetro).

ad

de

68. En un tri´angulo ABC is´osceles de base BC, se toman sobre los lados dos segmentos congruentes BM , CN : entonces M N k BC.

iv er si d

69. Sea M el punto medio del lado AB en el △ABC y sean AH2 y BH1 alturas. Mostrar que △H1 M H2 es is´osceles.(Ver figura) y ∼ [ \ ∼ [ H\ 1 H2 C = BAC y H2 H1 C = ABC

Un

B

M H2

A

H1

C

126

CAP´ITULO 4. AX. DE CONTINUIDAD Y PARALELISMO

70. Identificar el lugar geom´etrico en el plano, de los v´ertices A de los △ABC con el lado BC fijo y tal que la mediana AM relativa al lado BC, sea congruente con AC. Justificar la respuesta. 71. Identificar el lugar geom´etrico en el plano, de los puntos medios de todos los segmentos cuyos extremos estan sobre dos rectas paralelas dadas. Justificar la respuesta.

em at

i ca

s

72. Si un tri´angulo rect´angulo tiene un ´angulo de 300 , la mediana y la altura relativas a la hipotenusa dividen el ´angulo recto en tres ´angulos iguales.

ut

o

de

M

at

73. Las bisectrices de los ´angulos de la base de un tri´angulo is´osceles forman al interceptarsen un ´angulo cuya medida es tres veces la medida del ´angulo en el v´ertice. Hallar la medida de los ´angulos del tri´angulo. (Rta.: ´angulo en el v´ertice mide 36o , ´angulos de la base miden 72o )

ia

,I

ns

tit

74. En un tri´angulo rect´angulo, la mediana y la altura que parten del ´angulo recto forman un ´angulo de 24o . Hallar las medidas de los ´angulos agudos de dicho tri´angulo.

An tio

qu

75. Construir un tri´angulo dados los puntos medios de los tres lados.

Un

iv er si d

ad

de

76. En el tri´angulo ∆ABC, ha es la altura desde el v´ertice A, ma es la mediana desde el v´ertice A y va es la bisectriz desde el v´ertice A, a es la medida del lado BC, b es la medida del lado AC, c es la medida del lado AB, α es la medida del ´angulo en el v´ertice A, β es la medida del ´angulo en el v´ertice B, γ es la medida del ´angulo en el v´ertice C. Construir un tri´angulo ∆ABC dados: (a) ha , a, b; (b)ha , b, c; (c)ha , b, β; (d) ha , β, γ; (e) ha , a, β; (f)ha , b, α; (g)ma , a, b; (h) ma , b, γ; (i) ma , a, β; (j) va , α, β; (k) va , b, α; (l) va , b, γ; (m) a, ha , ma ; (n) c, ha , ma .

ia

,I

´ INTRODUCCION

qu

5.1.

ns

tit

ut

o

de

M

at

em at

POLIGONALES Y POL´IGONOS

i ca

s

CAP´ITULO 5

An tio

Definici´ on 33. Sean en el plano los puntos A1 , A2 , . . . , An con n ≥ 3, con la condici´on de que tres puntos consecutivos no son colineales.

iv er si d

ad

de

La uni´on de los segmentos A1 A2 , A2 A3 , . . . , An−1 An , se llama POLIGONAL, (Figura 1.a).

Un

´ Los puntos A1 , A2 , . . . , An se llaman VERTICES DE LA POLIGONAL. Los segmentos A1 A2 , A2 A3 , . . . , An−1 An se llaman LADOS DE LA POLIGONAL. Si se une An con A1 se obtiene una poligonal cerrada llamada POL´IGONO, (Figura 1.b,...,1.g). Los lados del pol´ıgono constituyen EL CONTORNO O LA FRONTERA DEL POL´IGONO. La suma de las medidas de los lados del pol´ıgono se llama PER´IMETRO DEL POL´IGONO.

127

CAP´ITULO 5. POLIGONALES Y POL´IGONOS

128 A3

A4

A3

A1

A2

A5

A4

A4

A2

(b)

A1

A2

A5

A1 A3

A1

(a)

A2 A2

A5

A6

A4

A7

A1

A6

(c)

A3

(d)

A3

A2

A1

A2

(f)

i ca

A1

A4

A5

em at

(e)

A3

(g)

M

at

A4

s

A3

ut

o

de

Figura 1.

ns

tit

Definici´ on 34 (Pol´ıgono simple). Un pol´ıgono se llama SIMPLE si:

ia

,I

i) Todos los v´ertices son distintos. (la Figura 1.d no lo es).

An tio

qu

ii) Los lados se intersectan solamente en los v´ertices. (la Figura 1.c no lo es).

de

iii) Ning´ un v´ertice est´a en el interior de un lado. (la Figura 1.b no lo es).

iv er si d

ad

Nota: en el conjunto de todos los pol´ıgonos simples nos interesa un subconjunto, que le daremos el nombre de pol´ıgonos C-simples.

Un

Definici´ on 35. i) Un pol´ıgono simple se denomina C-simple si para todo lado del pol´ıgono se cumple que la recta l que contiene al lado determina un semiplano que contiene a los dem´as v´ertices del pol´ıgono. (Figura 2.a). La intersecci´on de todos estos semiplanos (que es una figura convexa) se le llama el interior del pol´ıgono C-simple. Un punto perteneciente al interior del pol´ıgono C-simple se le llama punto interior del pol´ıgono. Como el interior de los pol´ıgonos C-simples es convexo, convendremos en llamar, de aqu´ı en adelante, a estos pol´ıgonos C-simples como pol´ıgonos CONVEXOS ´ ii) Un pol´ıgono no C-simple, se llama CONCAVO (Figura 2.b).

´ 5.1. INTRODUCCION

129

D

l

D

b

C

Q C

b

P

P A

B

i ca

A B

em at

l

b

s

b

Q

(b) Concavo

M

at

(a) Convexo o C-simple

ut

o

de

Figura 2.

de

An tio

qu

ia

,I

ns

tit

iii) Un pol´ıgono convexo que tiene sus ´angulos y lados congruentes se llama REGULAR (Figura 3.a).

b

Un

iv er si d

ad

b

(a) Regular

(b) Irregular

(c) Irregular

Figura 3. Si no cumple alguna de estas condiciones es IRREGULAR, (Figura 3.b y 3.c). iv) Un punto Q se denomina PUNTO EXTERIOR de un pol´ıgono convexo, si no es punto frontera y si no es punto interior.

CAP´ITULO 5. POLIGONALES Y POL´IGONOS

130

v) El conjunto de puntos exteriores se llama EXTERIOR del pol´ıgono.

i ca

s

Ejercicio: demostrar que el interior de un pol´ıgono C-simple es un conjunto no vac´ıo. Ejercicio: para todo P, Q en el interior de un pol´ıgono C-simple se cumple que P Q es subconjunto del interior del pol´ıgono.(Ver Figura 2. (a)) Ejercicio: para todo X, Y pertenecientes al pol´ıgono C-simple se cumple que Int{XY } intersectado con el pol´ıgono es el conjunto vac´ıo.

em at

Definici´ on 36.

de

M

at

i) El segmento que une dos v´ertices no consecutivos de un pol´ıgono se le llama DIAGONAL DEL POL´IGONO.

,I

ns

tit

ut

o

ii) El ´angulo formado por dos lados consecutivos de un pol´ıgono convexo ´ se le llama ANGULO DEL POL´IGONO.

An tio

qu

ia

iii) Los ´angulos que forman un par lineal con los ´angulos de un pol´ıgono ´ convexo se llaman ANGULOS EXTERIORES DEL POL´IGONO.

ad

de

[ HCB, \ GDC, \ AE, IBA, As´ı, en la Figura 4., AC y BD son diagonales; F[ etc. son ´angulos exteriores del pol´ıgono.

Un

iv er si d

I

B

H C

A F

E

D Figura 4.

G

´ 5.1. INTRODUCCION

i ca em at at

M

Nombres de algunos pol´ıgonos Nombre N´umero de lados Tri´angulo 3 lados Cuadril´atero 4 lados Pent´agono 5 lados Hex´agono 6 lados Hept´agono 7 lados Oct´agono 8 lados Non´agono 9 lados Dec´agono 10 lados Endodec´agono 11 lados Dodec´agono 12 lados

s

131

ns

tit

n(n − 3) 2

ia

,I

d=

ut

o

de

Teorema 57. El n´ umero de diagonales de un pol´ıgono de n lados es:

de

An tio

qu

Demostraci´ on. Por cada v´ertice P de un pol´ıgono de n v´ertices se pueden trazar (n − 3) diagonales. Como hay n v´ertices se obtienen en total n(n − 3) diagonales. Por el m´etodo de conteo que adoptamos, cada diagonal se cuenta dos veces, por lo tanto se tiene: n(n−3) . 2 n(n−3) 2



ad

iv er si d

Luego: d =

5(5−3) 2

= 5, (ver Figura 5.).

n=7 ⇒d=

7(7−3) 2

= 14, (ver Figura 5.).

Un

Ejemplos: n=5 ⇒d=

Teorema 58. La suma de las medidas de los ´angulos interiores de un pol´ıgono convexo, es igual a tantas veces dos rectos como lados tiene el pol´ıgono menos dos. Es decir, si n es el n´ umero de lados del pol´ıgono, entonces: s = 180(n − 2)

s

CAP´ITULO 5. POLIGONALES Y POL´IGONOS

132

em at

i ca

Figura 5. P1

de

M

P3

at

P2

P4

Pn−2

An tio

qu

Pn−1

ia

,I

ns

tit

ut

o

P0

iv er si d

ad

de

Figura 6.

Un

Demostraci´ on. (Ver Figura 6.).

N´ umero de tri´angulos de v´ertice P0

Total: (n − 2) tri´angulos.

            

△P0 P1 P2 △P0 P2 P3 △P0 P3 P4 .. . △P0 Pn−2 Pn−1

Luego, suma de los ´angulos interiores del pol´ıgono: P0 P1 P2 . . . Pn−2 Pn−1 = 180(n − 2)



Corolario 23. Si un pol´ıgono es equi´angulo, entonces el valor de un ´angulo

´ 5.2. CUADRILATEROS interior es:

133

1800 (n − 2) n

Corolario 24. En un pol´ıgono convexo, la suma de los ´angulos exteriores tomados en un mismo sentido es dos llanos. ´ DE TRIANGULOS ´ CLASIFICACION

M

at

em at

i ca

s

1. Seg´ un sus lados: ´ a) ISOSCELES: tiene dos lados congruentes. ´ b) EQUILATERO : tiene tres lados congruentes. c) ESCALENO : no tiene lados congruentes.

5.2.

An tio

qu

ia

,I

ns

tit

ut

o

de

2. Seg´ un sus ´angulos: ´ a) EQUIANGULO: sus tres ´angulos son congruentes. ´ b) RECTANGULO: tiene un a´ngulo recto. ´ c) ACUTANGULO: tiene sus tres ´angulos agudos. ´ d) OBTUSANGULO: uno de sus ´angulos es obtuso.

´ CUADRILATEROS

ad

de

Definici´ on 37. .

iv er si d

a) TRAPECIO : es un cuadril´atero convexo con un par de lados paralelos (Figura 7.a).

Un

b) PARALELOGRAMO : es un cuadril´atero convexo con dos pares de lados paralelos (Figura 7.b). c) RECTANGULO : cuadril´atero convexo que tiene sus cuatro ´angulos congruentes (Figura 7.c). d) ROMBO : cuadril´atero convexo que tiene sus lados congruentes (Figura 7.d). e) CUADRADO: cuadril´atero convexo que es equi´angulo y equil´atero a la vez (Figura 7.e).

CAP´ITULO 5. POLIGONALES Y POL´IGONOS

134

d a

e

em at

c

i ca

s

b

o

de

M

at

Figura 7.

qu

ia

,I

ns

tit

ut

El significado de la Figura 7. es el siguiente: las propiedades del cuadril´atero las hereda el trapecio; las propiedades del trapecio las hereda el paralelogramo y as´ı sucesivamente.

de

An tio

ateros Cuadril´ Trapecios Paralelogramos Rombos

Cuadrados

Un

iv er si d

ad

angulos Rect´

Figura 8. El significado de la Figura 8. es el siguiente: el cuadrado tiene las propiedades del rect´angulo y del rombo. El rombo y el rect´angulo tienen las

´ 5.2. CUADRILATEROS

135

propiedades del paralelogramo y as´ı sucesivamente. Teorema 59. Todo rect´angulo y todo rombo es paralelogramo.

B

M

at

em at

D

i ca

s

A

de

C

ns

tit

ut

o

Figura 9.

An tio

qu

ia

,I

Demostraci´ on. (Ver Figura 9.). Demostraremos que todo rombo es paralelogramo. Se deja al lector la demostraci´on de que todo rect´angulo es paralelogramo.

de

Sea ABCD un rombo, luego:

Un

iv er si d

ad

AB ∼ = BC ∼ = CD ∼ = DA por definici´on. Tracemos la diagonal DB, entonces: △ADB ∼ = △CBD,

\∼ \ De donde: ADB = CBD \∼ \ (2) CDB = ABD

(L − L − L)

(1)

un (2), AB k DC, luego el rombo es un Seg´ un (1), AD k BC y seg´ paralelogramo.  Corolario 25. i) El rect´angulo es un paralelogramo equi´angulo. ii) El rombo es un paralelogramo equil´atero. iii) El cuadrado es rect´angulo y rombo a la vez.

CAP´ITULO 5. POLIGONALES Y POL´IGONOS

136

Teorema 60 (Propiedades del paralelogramo). Los siguientes enunciados son equivalentes: 1. Un cuadril´atero convexo es un paralelogramo. 2. Un par de lados opuestos del cuadril´atero son paralelos y congruentes. 3. Los lados opuestos del cuadril´atero son congruentes.

em at

5. Los ´angulos opuestos del cuadril´atero son congruentes.

i ca

s

4. Las diagonales del cuadril´atero se bisecan.

de

M

at

6. Un par de lados del cuadril´atero son paralelos y un par de ´angulos opuestos son congruentes.

tit

ut

o

7. Si para cada lado los ´angulos adyacentes son suplementarios.

de

b

An tio

qu

ia

,I

ns

NOTA: (ver Figura 10.). Identifique cada caso.

Figura 10.

Un

iv er si d

ad

b

Demostraci´ on. La demostraci´on de este teorema consiste en probar la siguiente cadena de implicaciones, as´ı: 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ ... ⇒ 7 ⇒ 1 Haremos aqu´ı la prueba de la primera y la u ´ltima implicaciones. i) 1 ⇒ 2. (Figura 11.). Sea ABCD un paralelogramo con AD k BC y AB k CD. Se traza la diagonal AC y se obtienen dos tri´angulos congruentes △ABC y

´ 5.2. CUADRILATEROS

137

A

B

D

C

em at

i ca

s

Figura 11.

B

,I

A

de

An tio

qu

ia

X

ns

tit

ut

o

de

M

at

\∼ [ (alternos internos), DCA \∼ [ (alternos △DCA por tener: CAD = ACB = CAB internos), AC (lado com´ un). ∼ Luego AD = BC y AD k BC (por hip´otesis). De la misma congruencia de tri´angulos se concluye tambi´en que: AB ∼ = CD y AB k CD (por hip´otesis). ii) 7 ⇒ 1, (ver Figura 12.).

ad

C

Un

iv er si d

D

Y Figura 12.

Supongamos que en el cuadril´atero convexo ABCD los ´angulos adyacen\ y ADC \ son suplementarios, es decir: tes DAB \ + m(ADC) \ = 2 rectos m(DAB)

(1)

−→ Sea X un punto en BA, con A entre X y B, por tanto: \ + m(DAB) \ = 2 rectos m(DAX)

(2)

CAP´ITULO 5. POLIGONALES Y POL´IGONOS

138

\ + m(ADC) \ = m(DAX) \ + m(DAB) \ , de donde: De (1) y (2): m(DAB) \∼ \ y por ser alternos internos se concluye que AB k DC. ADC = DAX −−→ En la misma forma se toma Y en la semirrecta BC, tal que C est´a entre B \∼ \ y Y y se llega a la conclusi´on de que ADC CD y por la misma raz´on se =Y  concluye que AD k BC, luego la figura es un paralelogramo.

at

em at

i ca

s

Teorema 61 (Teorema del baricentro). Las medianas en un tri´angulo son concurrentes en un punto, que est´a a un tercio de cada lado y a dos tercios del v´ertice sobre cada mediana. (A este punto se le llama el baricentro).

ut

L

R b

V

An tio

qu

b

,I

V’

ia

N

ns

tit

b

o

de

M

A

M

S C

Figura 13.

Un

iv er si d

ad

de

B

b

Demostraci´ on. (Ver Figura 13.). La estrategia de la demostraci´on ser´a: i) Mostrar que dos medianas se cortan en un punto V , el cual est´a a un tercio de la base y a dos tercios del v´ertice en cada mediana. ii) Tomar la mediana que no se tuvo en cuenta en i) y una de las medianas que si se tomo en cuenta en i) y suponer que se cortan en V ′ , para finalmente concluir que V ≡ V ′ . −−→ b y por el Veamos i). Por el Teorema 7. y el corolario 1.: CN ⊂ IntC, −−→ Teorema de la barra transversal, existe {V } = AM ∩ CN ; similarmente, por el Teorema 7., corolario 1., teorema de la barra transversal y Teorema 1.

´ 5.2. CUADRILATEROS

139

tit

ut

o

de

1 1 AM = ma 3 3 2 2 V A = AM = ma , 3 3

VM =

M

at

em at

i ca

s

−−→ {V } = CN ∩ AM luego {V } = AM ∩ CN . Sea R el punto medio de AV y S el punto medio de CV ; M el punto medio de BC y N el punto medio de AB. Por el teorema de la paralela media en el △AV C: RS k AC. Por el teorema de la paralela media en el △ABC: N M k AC. Luego, RS k N M . Por el teorema de la paralela media en el △BV C: SM k BV . Por el teorema de la paralela media en el △BV A: N R k BV . Luego, SM k N R. De lo anterior se concluye que N RSM es un paralelogramo y como en un paralelogramo las diagonales se bisecan, entonces V S ∼ = VN y VR ∼ = VM y ∼ ∼ como R es punto medio de AV , entonces AR = RV = V M , por tanto:

de

An tio

qu

ia

,I

ns

Tambi´en, como S es punto medio de V C, entonces CS ∼ = SV ∼ = VN y por tanto 1 1 V N = CN = mc 3 3 2 2 V C = CN = mc 3 3

Un

iv er si d

ad

Veamos ii): Supongamos que la mediana AM se intercepta con la nueva mediana BL en V ′ . Como el resultado de la parte i) es valedero para estas dos medianas que se cortan en V ′ , entonces AV ′ = 32 ma y por la parte i) AV = 23 ma , entonces AV ′ = AV , o sea que AV ′ ∼ = AV y como V y V ′ est´an −−→ en la semirrecta AM , entonces por el Axioma de construcci´on de segmento V ≡ V ′. 

CAP´ITULO 5. POLIGONALES Y POL´IGONOS

140

Teorema 62 (Propiedades del rect´ angulo). Los siguientes enunciados son equivalentes: 1. Un cuadril´atero convexo es un rect´angulo. 2. Todos sus ´angulos son rectos.

M de

tit

ut

o

γ β

δ α

at

em at

Demostraci´ on. Demostraremos que 1 ⇒ 2 y que 3 ⇒ 1. i) 1 ⇒ 2, (ver Figura 14.). D C

i ca

s

3. Las diagonales son congruentes y se bisecan.

ns

A

B

An tio

qu

ia

,I

Figura 14.

ad

de

Por hip´otesis tenemos que α = β = γ = δ. Como α + β + γ + δ = 3600 , resulta entonces que: α = β = γ = δ = 900 .

Un

iv er si d

ii) 3 ⇒ 1, (ver Figura 15.). D

C 1

2

2

1

2

1

O 1

2

A

B Figura 15.

´ 5.2. CUADRILATEROS

141

Tenemos por hip´otesis que: OA ∼ = OB ∼ = OC ∼ = OD. c2 ∼ c2 y B c2 ∼ c2 . Si △AOB ∼ = △COD (L-A-L), resulta que A =C =D

c1 ∼ c1 y A c1 ∼ c1 . Si △AOD ∼ =B =C = △COB (L-A-L), resulta que D

at

em at

i ca

s

c2 ) + m(A c1 ) = m(C c2 ) + m(C c1 ) y Sumando: m(A c1 ) + m(D c2 ) = m(B c1 ) + m(B c2 ), m(D b∼ byD b ∼ b pero como D c9 ∼ c1 y B c2 ∼ c2 , se resulta entonces que A =C = B, =A =A ∼ ∼ b=C byD b = B. b concluye que A

tit

ut

o

de

M

c1 ∼ c1 y B c2 ∼ c2 , se concluye que A b∼ b∼ b∼ b pues Pero como D =A =A =B =C = D, ∼ ∼ ∼ ∼ c c c c c c D1 = A1 = B1 y B2 = A2 = D2 . Se deja al lector la prueba de que 2 ⇒ 3. 

ia

,I

ns

Teorema 63 (Propiedades del rombo). Los siguientes enunciados son equivalentes:

An tio

qu

1. Un paralelogramo es un rombo.

2. Las diagonales del paralelogramo bisecan los ´angulos opuestos.

ad

de

3. Las diagonales del paralelogramo son perpendiculares.

iv er si d

4. Dos lados adyacentes del paralelogramo son congruentes.

Un

Demostraci´ on. Demostraremos que 1 ⇒ 2 y que 4 ⇒ 1. i) 1 ⇒ 2, (ver Figura 16.). Por hip´otesis tenemos que ABCD es paralelogramo con AB ∼ = BC ∼ = CD ∼ = DA. Como △DCB ∼ = △DBA por (L-L-L) y △CDA ∼ = △CBA por (L-L-L), resulta: \∼ \ CBO \∼ [ DCO \∼ \ BAO [ ∼ \ (Porque ?) CDO = ODA, = ABO, = BCO, = DAO. ii) 4 ⇒ 1. Tenemos por hip´otesis que ABCD es paralelogramo y que AD ∼ = AB.

CAP´ITULO 5. POLIGONALES Y POL´IGONOS

142

C

D

B

i ca

s

O

at

em at

A Figura 16.

o

de

M

Entonces, por ser ABCD paralelogramo se tiene: AD ∼ = BC y AB ∼ = DC, ∼ pero como AD = AB, resulta: 

ns

tit

ut

AB ∼ = BC ∼ = CD ∼ = DA.

An tio

qu

ia

,I

Teorema 64 (Propiedades del trapecio). i) La base media de un trapecio (segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio), es paralela a las bases y su medida es la semisuma de las medidas de las bases.

iv er si d

ad

de

ii). El segmento que une los puntos medios de las diagonales de un trapecio es paralelo a las bases, su medida es la semidiferencia de las medidas de las bases y esta contenido en la base media (Demostrarlo).

Un

iii) En un trapecio is´osceles, el cual tiene los lados no paralelos congruentes, las diagonales son congruentes, los ´angulos de la base mayor son congruentes, los ´angulos de la base menor son congruentes. El punto de intersecci´on de las diagonales, los puntos medios de las bases y el punto de intersecci´on de las rectas que contienen los lados no paralelos, estan alineados. Las mediatrices de las bases coinciden. (Demostrarlo). Demostraci´ on. (Ver Figura 17.). Por hip´otesis, DC k AB, DK ∼ = KA y ∼ CE = EB. Demostremos que:

´ 5.2. CUADRILATEROS

143

D

C

E

A

i ca

s

K

B

F

M

at

em at

Figura 17.

de

1 (DC + AB). 2 Si unimos D con E y prolongamos hasta encontrar la prolongaci´on de AB, tal que B est´a entre A y F , resulta que △DCE ∼ = △F BE por (A-L-A), entonces DE ∼ = EF y DC ∼ = BF . En △DAF se tiene KD ∼ = KA y DE ∼ = EF , por lo tanto KE k AF y

An tio

qu

ia

,I

ns

tit

ut

o

KE =

ad

de

KE =

1 1 (AF ) = (AB + DC). 2 2

Un

iv er si d

ii) y iii) se dejan como ejercicio.



CAP´ITULO 5. POLIGONALES Y POL´IGONOS

144

5.3.

Ejercicios y Problemas de Pol´ıgonos

1. Dado el cuadrado ABCD, se construye en el interior del cuadrado el tri´angulo equil´atero △ABF y en el exterior del cuadrado, el tri´angulo equil´atero △ADE. Demostrar que C, F y E son colineales.

i ca

s

2. En un paralelogramo ABCD, se prolonga AB hasta E tal que BE ∼ = BC y se prolonga AD hasta F tal que DF ∼ DC. Demostrar que = \∼ \ y F , C y E son colineales. DCF = BCE

M

at

em at

−−→ 3. Si ABCE es un rect´angulo y AF ⊥ BE con F ∈ BE y AD es bisectriz −→ [ hallar m(ADE). \ [ . Mostrar que − AD es bisectriz de BAE, de CAF o (Rta.: 45 )

ut

o

de

4. Demostrar que el per´ımetro de un cuadril´atero es mayor que la suma de las diagonales.

,I

ns

tit

5. Sea ABCD un cuadrado tal que E esta entre B y C, E esta entre D y F , B esta entre A y F . Demostrar que AC < DF .

An tio

qu

ia

6. Probar que los puntos medios de los lados de un cuadril´atero, son los v´ertices de un paralelogramo.

iv er si d

ad

de

7. Probar que los puntos medios de dos lados opuestos de un cuadril´atero y los puntos medios de las diagonales, son los v´ertices de un paralelogramo.

Un

8. Probar que los puntos medios de los lados de un rombo, son los v´ertices de un rect´angulo. 9. Probar que los puntos medios de los lados de un rect´angulo, son los v´ertices de un rombo. 10. Probar que las bisectrices de los ´angulos interiores de un paralelogramo, al intersectarse forman un rect´angulo. 11. Probar que las bisectrices de los ´angulos interiores de un rect´angulo, al intersectarse forman un cuadrado. 12. Demostrar que si por el punto de intersecci´on de las diagonales de un rombo se trazan perpendiculares a los lados del rombo, entonces

5.3. EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE POL´IGONOS

145

los puntos de intersecci´on de dichas perpendiculares con los lados del rombo son los v´ertices de un rect´angulo. 13. Demostrar que las bisectrices de los ´angulos que forman las diagonales de un rombo, intersectan los lados del rombo en cuatro puntos que son los v´ertices de un cuadrado.

s

14. Demostrar que la base media de un trapecio biseca las diagonales.

em at

i ca

15. Demostrar que las diagonales de un pent´agono regular son congruentes y al intersectarsen forman un pent´agono regular.

de

M

at

−−→ −−→ 16. Sea ABCD un paralelogramo. AN bisectriz de ∡BAD y DM bisectriz de ∡CDA. M ∈ AB N ∈ CD. Demostrar que ADN M es un rombo.

ia

,I

ns

tit

ut

o

17. Si sobre los lados de un paralelogramo tomados como hipotenusas se dibujan tri´angulos rect´angulos is´osceles y los tri´angulos rect´angulos son exteriores al paralelogramo. Probar que los cuatro v´ertices de los ´angulos rectos forman un cuadrado.

An tio

qu

18. Mostrar que en un paralelogramo, el segmento que une los puntos medios de dos lados opuestos es partida en parte congruentes por el punto de intersecci´on de las diagonales.

iv er si d

ad

de

19. En un cuadrado ABCD se toman sobre los lados AD y DC segmentos congruentes AM y DN ; se unen B con M y A con N . Mostrar que AN ⊥ BM

Un

20. En un cuadril´atero ABCD, AC ∼ = BD y ∡DAB ∼ = ∡CBA y no rectos. Demostrar que ABCD es un trapecio is´osceles. 21. Demostrar que si se trisecan los tres lados de un tri´angulo equil´atero, entonces estos puntos son los v´ertices de un hex´agono regular. 22. El pol´ıgono ABCDEF GH es un oct´agono regular. Demostrar que las diagonales AD, HE, BG y CF forman un cuadrado al intersectarse. 23. En el cuadril´atero ABF E la diagonal AF es mediatriz de BE. Las prolongaciones de AB y EF se cortan en C y las prolongaciones de AE y BF se cortan en D. Demostrar que CD y BE son paralelas.

CAP´ITULO 5. POLIGONALES Y POL´IGONOS

146

24. Sea ABF H un paralelogramo, D un punto exterior al paralelogramo, E punto medio de DF , C punto medio de DB, K punto medio de AH. Si {O} = EK ∩ CH, demostrar que O es punto medio de EK y CH. 25. En un paralelogramo ABDE, mBD = 2mAB y C es el punto medio de BD. Demostrar que el ´angulo ∡ACE es recto.

s

26. Demuestre que cualquier segmento que pase por el punto de intersecci´on de las diagonales de un paralelogramo queda bisecado por dicho punto.

em at

i ca

27. Sea ∆ABC , D ∈ intAC, tal que AD ∼ = DB; AB < AD. Demostrar que ∆ABC es escaleno.

tit

ut

o

de

M

at

28. Sea ABCD un paralelogramo, donde la bisectriz de ∡DAB corta a CD en Q y a la prolongaci´on de BC en N ; la bisectriz de ∡BCD corta a AB en P y a la prolongaci´on de DA en M . Demuestre que AM CN es un paralelogramo.

qu

ia

,I

ns

29. ABCD es un rect´angulo. AX y DX son las bisectrices de A y D respectivamente. BY y CY son las bisectrices de B y C respectivamente. Demuestre que ABY X ∼ = CDXY .

An tio

30. En un cuadril´atero convexo ABCD, AC ∩ BD = {O}. Adem´as AO ∼ = ∼ OB y CO = OD. Demostrar que ABCD es un trapecio is´osceles.

iv er si d

ad

de

31. Por el punto de intersecci´on de las diagonales de un cuadrado, se trazan dos rectas perpendiculares que intersectan dos a dos los lados del cuadrado. Demostrar que estos puntos de intersecci´on son los v´ertices de un cuadrado.

Un

32. Sea ABCD un paralelogramo, l una recta cualquiera que pasa por D y no cruza el interior del paralelogramo, AN ⊥ l, BM ⊥ l y CP ⊥ l en los puntos N , M y P respectivamente. Demostrar que mBM = mAN + mCP . Analice el caso cuando la recta l cruza el interior del paralelogramo. 33. En un rombo ABCD se trazan BN ⊥ AD, BM ⊥ CD, DR ⊥ AB, DQ ⊥ BC. Estas perpendiculares se cortan en E y F . Demostrar que BEDF es un rombo y que sus ´angulos son congruentes a los ´angulos del rombo dado.

5.3. EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE POL´IGONOS

147

34. En un cuadrado ABCD se prolongan los lados en un mismo sentido y sobre dichas prolongaciones se toman BM ∼ = AB, DN ∼ = CD, CF ∼ = ∼ ∼ BC y AQ = AD. Demostrar que M N = F Q y que M N ⊥ P Q. 35. En un tri´angulo ∆ABC, se trazan las medianas AM y BN . Por N , se traza una paralela a BC y por C, una paralela a BN . Estas dos rectas se cortan en P . Si D es el punto medio de P N , demostrar que CD k AB k M N .

M

at

em at

i ca

s

36. Por los v´ertices de un cuadrado se trazan paralelas a las diagonales. Demostrar que los puntos de intersecci´on de estas rectas son los v´ertices de un cuadrado cuyas diagonales se cortan en el punto de intersecci´on de las diagonales del cuadrado dado.

ut

o

de

37. Demostrar que en un pol´ıgono convexo, la suma de los ´angulos exteriores tomados en un mismo sentido es 3600

qu

ia

,I

ns

tit

38. Demostrar que la base media de un trapecio (segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio) es paralela a la bases y su medida es la semisuma de las medidas de las bases.

de

An tio

39. Demostrar que el segmento que une los puntos medios de las diagonales de un trapecio es paralelo a las bases y su medida es la semidiferencia de las medidas de las bases

Un

iv er si d

ad

40. En un trapecio is´osceles (tiene los lados no paralelos congruentes), las diagonales son congruentes, los ´angulos de la base mayor son congruentes, los ´angulos de la base menor son congruentes. El punto de intersecc´on de las diagonales, los puntos medios de las bases y el punto de intersecci´on de las rectas que contienen los lados no paralelos, est´an alineados. Las mediatrices de las bases coinciden. 41. A partir de dos v´ertices opuestos de un cuadrado, se toma sobre cada lado una longitud dada. La figura formada uniendo estos cuatro puntos de dos en dos es un rect´angulo de per´ımetro constante. 42. Se da un tri´angulo ABC is´osceles, de base BC. Sobre la prolongaci´on ←→ de BC se toma D de forma que AC ∼ = CD. Se traza la recta AD y se ←→

prolonga AB hasta E de forma que BE =

BC . 2

Si E, F, H son puntos

CAP´ITULO 5. POLIGONALES Y POL´IGONOS

148

colineales tales que H es el punto medio BC y F pertenece a AD. Demostrar: [ ii) EA ∼ \ = 1 ABC, i) ADB = HD, iii) F A ∼ = FD ∼ = F H, 2 0 [ \ \ iv) Si m(BAC) = 58 calcular ´angulo AF H y ADB.

em at

i ca

s

43. Mostrar que: a) Dos paralelogramos son congruentes si tienen dos lados contiguos respectivamente congruentes e igual el ´angulo que ellos forman. b) Dos rect´angulos son congruentes si tienen dos lados contiguos respectivamente congruentes.

M

at

b corta a DC en 44. En un paralelogramo ABCD, la bisectriz del ´angulo A, M y la bisectriz del ´angulo C, corta a AB en N .

ns

tit

ut

o

de

a) Mostrar que el cuadril´atero AM CN es un paralelogramo. b)Mostrar que DB pasa por el punto medio O de M N . c) Concluir que BM DN es un paralelogramo.

An tio

qu

ia

,I

45. Por el punto O donde se cortan las diagonales de un cuadrado, trazamos dos segmentos de recta EF y HG perpendiculares entre ellos y limitados por los lados del cuadrado. Demostrar que EHGF es un cuadrado.

iv er si d

ad

de

46. En un paralelogramo ABCD se une el v´ertice B con los puntos medios de AD y DC. Probar que la diagonal AC queda dividida en tres segmentos congruentes.

Un

47. En un paralelogramo ABCD, M es el punto medio AB y N es el punto medio de CD. Demostrar que DM y BN trisecan la diagonal AC. 48. El △ABC esta inscrito en la circunferencia de centro O, AD es la altura correspondiente al lado BC y H es el ortocentro. N , Q y P son los puntos medios de AH, AB y AC respectivamente. Demostrar que OP N Q es un paralelogramo. 49. Sea un rombo ABCD. Se trazan BM ⊥ AD y DN ⊥ BC. Demostrar que el cuadril´atero BM DN es un rect´angulo. 50. Sea un trapecio ABCD. Se prolongan los lados no paralelos AD y BC hasta cortarse en el punto E. Sean M, N, P, Q puntos medios de

5.3. EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE POL´IGONOS

149

AE, BE, AC y BD respectivamente. Demostrar que M N QP es un trapecio. ←→

←→

←→

←→

−→

−→

\ AC 51. Sea HH ′ || RR′ , A ∈HH ′ , B ∈RR′ , si AD es bisectriz de HAB, −→ −→ ′ AB, BD es bisectriz de RBA \ [ y BC es bisectriz de es bisectriz de H ′ BA. Demostrar que ACBD es un rect´ \ R angulo.

em at

i ca

s

52. En un trapecio cualquiera la diferencia de la base mayor menos la menor es menor que la suma de los otros dos lados del trapecio.

M

at

53. Demostrar que si un tri´angulo tiene dos medianas congruentes, entonces el tri´angulo es is´osceles.

tit

ut

o

de

54. Sea ∆ABC, rect´angulo en A y sea AH altura. Desde H se trazan HE⊥AB y HD⊥AC, demostrar que a)DE ∼ = AH, b) AM ⊥DE, donde M es el punto medio de BC.

An tio

qu

ia

,I

ns

55. En el △ABC, N es punto medio de BC y M ∈ AB tal que AM = 13 AB, si {O} ∈ AN ∩ CM y OM = 5x, ON = 2x − 1, OA = 3x − 11. Hallar CM . (Rta.: CM = 200)

de

Construcciones con Regla y Comp´ as.

iv er si d

ad

56. Construir un cuadrado dada la suma de su diagonal y el lado.

Un

57. Construir un trapecio conociendo las diagonales, un ´angulo del trapecio y uno de los lados no paralelos adyacente al ´angulo. 58. Trazar una paralela a la base BC de un tri´angulo ∆ABC, que corte a los lados AC y AB en D y E respectivamente, de manera que se tenga: DE = CD + EB. 59. Construir una tri´angulo rect´angulo conociendo los puntos medios M y M ′ de los catetos y el punto H en que la recta que une estos puntos, encuentra la altura relativa a la hipotenusa. 60. Construir un rect´angulo conociendo un lado y el ´angulo entre las diagonales, opuesto al lado.

CAP´ITULO 5. POLIGONALES Y POL´IGONOS

150

Un

iv er si d

ad

de

An tio

qu

ia

,I

ns

tit

ut

o

de

M

at

em at

i ca

s

61. En el tri´angulo ∆ABC, ha es la altura desde el v´ertice A, ma es la mediana desde el v´ertice A y va es la bisectriz desde el v´ertice A, a es la medida del lado BC, b es la medida del lado AC, c es la medida del lado AB, α es la medida del ´angulo en el v´ertice A, β es la medida del ´angulo en el v´ertice B, γ es la medida del ´angulo en el v´ertice C. Construir un tri´angulo ∆ABC, dados: (a) a, hb , vc . (b) a, hb , mc . (c)a, α, hb . (d) ma , b, c. (e) ma , b, α. (f) ha , ma , β. (g) a, b, b + c. (h) a, b, b − c. (i)a + b, b − c, c. (j) a + b, c, γ. (k)β, γ, p = a + b + c. (l) a, α, c − b. (m) a, α, b + c. (n) a, β, c − b

i ca

s

CAP´ITULO 6

tit

DEFINICIONES PRELIMINARES

ns

6.1.

ut

o

de

M

at

em at

LA CIRCUNFERENCIA

An tio

qu

ia

,I

Definici´ on 38 (La circunferencia). Es el conjunto de puntos (o lugar geom´etrico de los puntos) del plano que equidistan de un punto fijo en el mismo plano, al punto fijo se le llama el centro de la circunferencia y a la distancia de cada punto al centro se le llama radio de la circunferencia.

ad

de

Notaci´ on: la circunferencia en el plano π y de centro en O ∈ π y de radio r (ver Figura 1.), se denota por C(O, r), en la notaci´on de conjuntos es

iv er si d

C(O, r) = {X ∈ π/OX = r, O, X ∈ π}

Un

Como sucedi´o con la recta en el plano, que dividi´o el plano en dos regiones disjuntas, lo mismo sucede con la circunferencia, la cual nos divide el plano en dos regiones, una de ellas la llamamos el interior y la otra el exterior de la circunferencia. Definici´ on 39 (Interior de la Circunferencia). Al conjunto de puntos del plano de la circunferencia, tales que su distancia al centro es menor que el radio, se le llama el interior de la circunferencia. Notaci´ on: el interior de la circunferencia de centro O y radio r se denota por IntC(O, r), por lo tanto IntC(O, r) = {X ∈ π/OX < r, X, O ∈ π} 151

CAP´ITULO 6. LA CIRCUNFERENCIA

O

r

b

X

s

152

at

em at

i ca

Figura 1.

ut

o

de

M

Definici´ on 40 (Exterior de la Circunferencia). Al conjunto de puntos del plano de la circunferencia, tales que su distancia al centro es mayor que el radio, se le llama el exterior de la circunferencia.

,I

ns

tit

Notaci´ on: el exterior de la circunferencia de centro O y radio r se denota por ExtC(O, r), por lo tanto

X3 b

X1 b

O b

b

X2

Un

iv er si d

ad

de

An tio

qu

ia

ExtC(O, r) = {X ∈ π/OX > r, X, O ∈ π}

Figura 2. En la Figura 2. los puntos X1 , X2 , X3 est´an en el mismos plano de la C(O, r). Como OX1 < r entonces X1 ∈ IntC(O, r). Como OX3 > r entonces X1 ∈ ExtC(O, r). Como OX2 = r entonces X1 ∈ C(O, r).

6.1. DEFINICIONES PRELIMINARES

153

Definici´ on 41 (C´ırculo). La uni´on de la circunferencia y su interior la llamamos c´ırculo. Notaci´ on: el c´ırculo de centro O y radio r se denota por C(O, r), por lo tanto C(O, r) = C(O, r) ∪ IntC(O, r)

em at

i ca

s

Definici´ on 42 (Cuerda). Es un segmento cuyos extremos son dos puntos diferentes de la circunferencia. Cuando el centro de la circunferencia es un punto interior de la cuerda, entonces a la cuerda la llamamos cuerda diametral y a su medida la llamamos di´ametro.

de

M

at

Por la definici´on de circunferencia, podemos concluir que el di´ametro es dos veces el radio. Ejercicio: demostrar que si AB es una cuerda entonces IntAB ⊂ IntC(O, r)

ns

tit

ut

o

Definici´ on 43 (Secante). La recta que intercepta la circunferencia en al menos dos puntos distintos se le llama secante.

qu

ia

,I

M´as adelante veremos que si una recta intercepta una circunferencia, lo hace a lo sumo en dos puntos diferentes.

ad

de

An tio

Definici´ on 44 (Tangente). Si una recta en el plano de la circunferencia la intercepta en un u ´nico punto, entonces decimos que la recta es tangente a la circunferencia; al punto de contacto entre la recta y la circunferencia se le llama punto de tangencia.

Un

iv er si d

Nota: en tres dimensiones puede ocurrir que la recta intercepta la circunferencia en un u ´nico punto y la recta no ser tangente a la circunferencia. En la Figura 3. se puede ver que: l es tangente a la circunferencia C(O, r) en A. La cuerda←→ BC es di´ametro. La recta DE es secante al circunferencia. Definici´ on 45 (Arco). Dados dos puntos distintos de una circunferencia entonces la circunferencia queda dividida en dos conjuntos a los cuales llamaremos arcos. Notaci´ on: si los puntos son A y B (ver Figura 4.), los arcos son arco ⌢

⌢

AM B y arco AN B, los cuales denotamos por AM B y AN B y como la cuerda AB esta asociada a cada uno de ´estos arcos entonces decimos que

CAP´ITULO 6. LA CIRCUNFERENCIA

154

E D O

C

b

B

l

i ca l

B

M

at

b

em at

M

s

A Figura 3.

de

A

o

O

b

N

qu

ia

,I

ns

tit

ut

b

de

An tio

Figura 4.

⌢

⌢

ad

el arco AM B (o el arco AN B) est´a sub-tendido por la cuerda AB o que la ⌢

⌢

Un

iv er si d

cuerda AB sub-tiende al arco AM B (o al arco AN B). A los puntos A, B se les llama los extremos del arco. Si al arco le quitamos los extremos, a este nuevo conjunto lo llamamos el ⌢ Interior del arco y lo denotamos por Int(AM B) Definici´ on 46. a.) Arco Principal: si el centro de la circunferencia y el Interior del arco est´an en semiplanos opuestos con respecto a la recta que pasa por los extremos del arco, a ´este arco lo llamamos arco principal b.) Arco no Principal: si el centro de la circunferencia y el Interior del arco est´an en el mismo semiplano con respecto a la recta que pasa por los extremos del arco, a ´este arco lo llamamos arco no principal. c.) Si la recta que pasa por los extremos del arco, tambi´en pasa por el centro

´ 6.2. TEOREMAS BASICOS

155

de la circunferencia entonces decimos que los dos arcos que se forman son arcos principales (las semicircunferencias son arcos principales).

s

En la Figura 4. la recta l que pasa por A y B divide la circunferencia en ⌢ ⌢ dos arcos, el AM B que es arco principal y el AN B que es arco no principal. Nota: obs´ervese que para cada arco principal corresponde uno y solo un arco no principal y rec´ıprocamente, tambi´en obs´ervese que la uni´on del arco principal y el no principal es la circunferencia.

em at

i ca

´ Definici´ on 47 (Angulo Central o ´ angulo al centro). Es un ´angulo cuyo v´ertice es el centro de la circunferencia y es coplanar con la circunferencia.

ns

tit

ut

o

de

M

at

[ es un ´angulo al centro; en este caso decimos En la Figura 5. el ´angulo AOB ⌢ ⌢ [ intercepta al arco principal AB y el arco principal AB sub-tiende que AOB [ al ´angulo AOB. ⌢ Obs´ervese que al arco no principal AM B no se le asocia ´angulo central, ya que los ´angulos est´an definidos entre 00 y 1800 .

,I

b

An tio

qu

ia

M O

Un

iv er si d

ad

de

A

6.2.

B Figura 5.

´ TEOREMAS BASICOS

Teorema 65 (Existencia y unicidad de la circunferencia). Por tres puntos distintos, no colineales pasa una y solo una circunferencia. Demostraci´ on. Existencia. Sean A, B, C tres puntos distintos y no colineales (ver Figura 6.); sean m y m′ las mediatrices de los segmentos AC y AB respectivamente y

CAP´ITULO 6. LA CIRCUNFERENCIA

156

C m O A B

em at

i ca

s

m’

de

M

at

Figura 6.

ns

tit

ut

o

por el Corolario 13. existe un u ´nico punto {O} = m∩m′ . Por las propiedades de la mediatriz se tiene que, como O ∈ m entonces OA = OC y similarmente, como O ∈ m′ entonces OA = OB, por lo tanto

ia

,I

OA = OB = OC

Un

iv er si d

ad

de

An tio

qu

luego, O es el centro de una circunferencia que pasa por los puntos A, B, C, llam´emosla C(O, r) . Unicidad. Supongamos que por los puntos A, B, C pasa otra circunferencia C(O′ , r′ ); como O′ A = O′ B entonces por las propiedades de la mediatriz O′ ∈ m′ y como O′ A = O′ C entonces O′ ∈ m, luego {O′ } = m ∩ m′ y como {O} = m ∩ m′ entonces por el Teorema 1. O′ ≡ O y por tanto r′ = r. De esta manera hemos concluido que C(O, r) ≡ C(O′ , r′ )



Construcci´ on b´ asica: por tres puntos dados, distintos y no colineales trazar con regla y comp´as, una circunferencia. Construcci´ on. (Ver Figura 7.) Para la construcci´on, haremos los siguientes pasos consecutivos. Trazo mediatriz l de AB . Trazo mediatriz m de AC, la cual corta a l en O. Con centro en O y radio OA trazo circunferencia, esta es la circunferencia pedida.

´ 6.2. TEOREMAS BASICOS

157 C

m O A B

em at

i ca

s

l

de

M

at

Figura 7.

ut

o

Justificaci´ on. Como O pertenece a las mediatrices l y m, entonces

ns

tit

OA = OB = OC

iv er si d

ad

de

An tio

qu

ia

,I

Teorema 66. Si una recta y una circunferencia son coplanares, la recta intercepta a la circunferencia a lo sumo en dos puntos.

O

Un

b

l

A

M

C

B

D

Figura 8.

Demostraci´ on. Sean l la recta y C(O, r) la circunferencia; veamos que existen a lo sumo dos puntos distintos A y B tales que {A, B} = C(O, r) ∩ l (ver Figura 8.).

CAP´ITULO 6. LA CIRCUNFERENCIA

158

M

at

em at

i ca

s

Neguemos la t´esis, supongamos que existen tres puntos distintos que pertenecen a C(O, r) ∩ l, con el tercer punto pueden suceder dos casos: a.) que est´e en el IntAB, b.) que est´e en el ExtAB. ←→ Caso a.) sea C ∈ IntAB y sea OM ⊥l, como OA ∼ = OB entonces OM es mediatriz de AB y por tanto A − M − B. Con el punto C pueden suceder tres casos: 1.) M − C − B, 2.) C ≡ M , 3.) A − C − M . caso 1.) Si M − C − B entonces M C < M B y por el teorema de las oblicuas, OC < OB y como OB es radio, entonces OC < r, luego C ∈ IntC(O, r). Absurdo! caso 2.) Si C ≡ M entonces por el teorema de las oblicuas, OM < OB, luego OM = OC < r, es decir, C ∈ IntC(O, r). Absurdo! caso 3.) Se hace en forma similar al caso 1.)

ns

tit

ut

o

de

Caso b.) Sea D ∈ ExtAB, por lo tanto, M B < M D y por el teorema de las oblicuas OB < ODy por tanto r < OD, es decir que, D ∈ ExtC(O, r). Absurdo! Afirmo t´esis: existen a los sumo dos puntos distintos A, B tales que {A, B} = C(O, r) ∩ l.

ia

,I



m

Un

iv er si d

ad

de

An tio

qu

Nota: de acuerdo al teorema anterior, entre una recta y una circunferencia coplanares, pueden d´arsen tres posibilidades (ver Figura 9.).

b

b

b

n l

Figura 9. 1. Que la recta sea exterior a la circunferencia; en ´este caso la distancia del centro a la recta es mayor que el radio.

´ 6.2. TEOREMAS BASICOS

159

2. Que la recta sea tangente a la circunferencia; en ´este caso la distancia del centro a la recta es igual al radio. 3. Que la recta sea secante a la circunferencia; en ´este caso la distancia del centro a la recta es menor que el radio. Teorema 67 (Propiedad de la tangente). Toda recta coplanar con una circunferencia y tangente a ella es perpendicular al radio trazado al punto de tangencia.

de

O

l

B

C

qu

ia

,I

A

ns

tit

ut

o

b

M

at

em at

i ca

s

Demostraci´ on. (Ver la Figura 10.)

An tio

Figura 10.

Un

iv er si d

ad

de

Sea l tangente a la C(O, r) en A. Veamos que OA⊥l. Neguemos esta t´esis: supongamos que OA no es perpendicular a l, entonces por el teorema de la perpendicular por un punto exterior a una recta, existe una recta m que pasa por O tal que m⊥l, sea {B} = l ∩ m. Por el Axioma de construcci´on segmento existe un punto C tal que A−B −C y BC ∼ = AB. En el △OAC se tiene que OB es altura y tambi´en es mediana y por el teorema de las propiedades del tri´angulo is´osceles, concluimos que el △OAC es is´osceles y por tanto OA ∼ = OC, luego C ∈ C(O, r) y como A es distinto de C, ya que A − B − C, entonces l es secante a la circunferencia. Absurdo!  Afirmo t´esis: OA⊥l. Teorema 68 (Rec´ıproco del anterior). Si una recta coplanar con una circunferencia es perpendicular a un radio, en el extremo del radio distinto del centro, entonces la recta es tangente a la circunferencia en dicho extremo.

CAP´ITULO 6. LA CIRCUNFERENCIA

O b

l

A

B

s

160

at

em at

i ca

Figura 11.

qu

ia

,I

ns

tit

ut

o

de

M

Demostraci´ on. (Ver la Figura 11.) Sea OA radio y A ∈ l y OA⊥l. Veamos que l es tangente a la circunferencia en A, para ello veamos que todo punto B ∈ l y B distinto de A es exterior a la circunferencia. En efecto, como OB es una oblicua con respecto a O entonces por el teorema de las oblicuas, OA < OB, es decir r < OB y por tanto, para todo punto B distinto de A, se cumple que B ∈ ExtC(O, r), de aqu´ı que l es tangente a la circunferencia en A. 

b

O

Un

iv er si d

ad

de

An tio

Construcci´ on b´ asica: por un punto A dado en una circunferencia, trazar una recta tangente a la circunferencia.

l

A

Figura 12.

Construcci´ on. (Ver Figura 12.) Para la construcci´on, haremos los siguientes pasos consecutivos. Uno O con A .

´ 6.2. TEOREMAS BASICOS

161

Por A trazo l ⊥ OA, entonces l es tangente a la circunferencia por A. Justificaci´ on. Como OA ⊥ l y OA es radio, entonces l es tangente a la circunferencia. El siguiente teorema se deja como ejercicio.

em at

i ca

s

Teorema 69. a.) La mediatriz de toda cuerda, pasa por el centro. b.) La recta que pasa por el centro y es perpendicular a una cuerda, es mediatriz de la cuerda.

de

M

at

Teorema 70. Si dos circunferencias distintas y coplanares se interceptan entonces su intersecci´on tiene a los sumo dos puntos distintos.

ns

tit

ut

o

Demostraci´ on. Sean C(O, r) y C(O′ , r′ ) dos circunferencias distintas. Veamos que C(O, r) ∩ C(O′ , r′ )

qu

ia

,I

tiene a lo sumo dos puntos distintos. Neguemos lo anterior, es decir, supongamos que

An tio

C(O, r) ∩ C(O′ , r′ ) = {A, B, C},

Un

iv er si d

ad

de

donde A, B, C son tres puntos distintos. Con los puntos A, B, C pueden suceder dos casos: a.) Los puntos A, B, C son colineales, por tanto la recta que pasa por A, B, C intercepta las circunferencias en tres puntos distintos. Absurdo! (contradice el Teorema 66.) b.) Los puntos A, B, C no son colineales y como son distintos, entonces por el Teorema 65., por A, B, C pasa una u ´nica circunferencia, pero C(O, r) ∩ C(O′ , r′ ) = {A, B, C}, entonces, nuevamente por el Teorema 65., C(O, r) ≡ C(O′ , r′ ). Absurdo!  Definici´ on 48. Decimos que dos puntos son sim´etricos con respecto a una recta, si la recta es mediatriz del segmento que une los dos puntos. En la Figura 13. los puntos A, B son sim´etricos con respecto a la recta l, o tambi´en el punto B es sim´etrico de A con respecto a la recta l

CAP´ITULO 6. LA CIRCUNFERENCIA

162

b

A

b

B

l

i ca

s

Figura 13.

Un

iv er si d

ad

de

An tio

qu

ia

,I

ns

tit

ut

o

de

M

at

em at

Teorema 71. a.) Si dos circunferencias coplanares y distintas se cortan en un punto que no pertenece a la recta que pasa por los centros, entonces el sim´etrico de este punto con respecto a ´esta recta tambi´en pertenece a las dos circunferencias. b.) Si dos circunferencias coplanares y distintas se cortan, entonces la distancia entre los centros es mayor que la diferencia entre los radios y menor que su suma. c.) Si dos circunferencias coplanares y distintas se cortan, la recta que pasa por los centros es mediatriz de la cuerda com´ un. d.) Si dos circunferencias coplanares son tangentes, entonces el punto de tangencia esta sobre la recta de los centros. e.) Si dos circunferencias coplanares son tangentes entonces la recta perpendicular a la recta que pasa por los centros en el punto de tangencia, es tangente a ambas circunferencias (se le llama la tangentes com´ un).

O b

b

O b

A

b

O’

l

b

b

O’

A

l

Figura 14.

6.3. POSICIONES ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS

163

Demostraci´ on. d.) (Ver Figura 14.) Si el punto de tangencia no est´a sobre la recta que pasa por los centros, entonces por la parte a.) su sim´etrico con respecto a la recta que pasa por los centros, est´a sobre la circunferencia y por tanto las dos circunferencias son secantes. Absurdo! e.) este resultado es consecuencia de la parte d.) y del teorema 68. 

POSICIONES ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS

em at

i ca

s

6.3.

b

b

ia

O

,I

ns

tit

ut

o

de

M

at

Por el Teorema 70., entre dos circunferencias coplanares se presentan las siguientes situaciones: 1.) Exteriores.(ver Figura 15.) Cuando su intersecci´on es vac´ıa y el interior de una de ellas esta en el exterior de la otra. Si la distancia entre los

b

B

iv er si d

ad

de

An tio

qu

A

O’ b

Figura 15.

Un

centros la llamamos d = OO′ , entonces las circunferencias son exteriores si y solo si d = OA + AB + BO′ = r + AB + r′ > r + r′ 2.) Tangentes.(ver Figura 14.) Cuando su intersecci´on es un u ´nico punto. Se presentan dos casos: a.) Tangentes exteriormente: cuando el interior de una de ellas esta en el exterior de la otra. Si la distancia entre los centros la llamamos d = OO′ , entonces las circunferencias son tangentes exteriormente si y solo si d = OA + BO = r + r′

CAP´ITULO 6. LA CIRCUNFERENCIA

164

b.) Tangentes interiormente: cuando el interior de una de ellas esta en el interior de la otra. Si la distancia entre los centros la llamamos d = OO′ , entonces las circunferencias son tangentes interiormente si y solo si d = OA − BO = r − r′

em at

i ca

s

3.) Secantes: (ver Figura 16.) cuando se intersectan en dos puntos distintos. Si la distancia entre los centros la llamamos d = OO′ , entonces (por el Teorema de la desigualdad tri´angular y su corolario) las circunferencias son secantes si y solo si r − r′ < d < r + r′ ⌢

de

M

at

obs´ervese que cuando dos circunferencias son secantes el IntAM B esta en el ⌢ ⌢ ExtC(O, r) y el IntAN B esta en el IntC(O, r) y tambi´en, IntALB esta en ⌢

tit

ut

o

el ExtC(O′ , r′ ) y el IntARB esta en el IntC(O′ , r′ )

M

An tio

qu

ia

,I

ns

A

L

b

N

b

O’ R

B

Figura 16.

Un

iv er si d

ad

de

O

4.) Interiores: (ver Figura 17.) cuando su intersecci´on es vac´ıa y el interior de una de ellas esta en el interior de la otra. Si la distancia entre los centros la llamamos d = OO′ , entonces las circunferencias son interiores si y solo si d = OA − AB − BO′ < r − r′ 5.)Conc´ entricas: dos circunferencias son conc´entricas, cuando sus centros coinciden, es decir, si y solo si d = OO′ = 0

6.3. POSICIONES ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS

b

O b

b

B

b

A

em at

i ca

s

O’

165

de

M

at

Figura 17.

An tio

qu

ia

,I

ns

tit

ut

o

Teorema 72 (De las tangentes por punto exterior). En un mismo plano, por un punto exterior a una circunferencia existen dos rectas tangentes y solo dos. Los segmentos entre el punto exterior y los puntos de tangencia son congruentes. La semirrecta con origen en el punto exterior y que pasa por el centro es bisectriz del ´angulo entre las tangentes.

de

C

A

Un

iv er si d

ad

D

Q

O

b

b

P

M

B

Figura 18.

Demostraci´ on. (Ver Figura 18.) (Existencia de dos rectas tangentes). Sea M el punto medio de OP y sea la C(O, M O), luego existen dos puntos y solo

CAP´ITULO 6. LA CIRCUNFERENCIA

166

dos A, B tales que {A, B} = C(O, r) ∩ C(M, M O); por tanto MO ∼ = MP ∼ = MA y por el Teorema 47, el △AP O es rect´angulo en A, es decir, OA⊥AP y por ←→

el Teorema 68 AP es tangente a la C(O, r) en A. Similarmente se demuestra ←→

i ca

OA ∼ = OB

em at

OP ∼ = OP ,

s

que BP es tangente a la C(O, r) en B. En los tri´angulos rect´angulos △OAP y △OBP se tiene que:

[ \ AP O∼ O = BP

de

AP ∼ = BP ,

M

at

entonces por el criterio H-C, △OAP ∼ = △OBP y por tanto

←→

ut

o

(Existen exactamente dos tangentes) Supongamos que existen tres rectas ←→

An tio

qu

ia

,I

ns

tit

tangentes distintas: AP , BP y otra ; con esta otra, pueden suceder dos [ casos: a.) que est´e en el IntAP B y sea tangente en D, b.) que est´e en el [ ExtAP B y sea tangente en C. −−→ [ a.) Sea P D ⊂ IntAP B, entonces por el teorema de la barra trasversal, −−→ existe un punto {Q} = AB ∩ P D, por lo tanto Q ∈ AB, lo cual implica ←→

iv er si d

ad

de

que Q ∈ IntC(O, r), Absurdo! porque la recta DP es tangente en D a la circunferencia. −→ −→ [ b.) Sea P C ⊂ ExtAP B, entonces pueden suceder dos casos: 1). que P C y ←→ −→ −→ −−→ P A est´an en el mismo semiplano de borde OP o 2). que P C y P B est´an en ←→

Un

el mismo semiplano de borde OP . En cualquiera de ´estos dos casos, se tiene, por lo que demostramos en la [ [ \ [ parte de existencia que OP A ∼ C (o OP B ∼ C) y por el axioma = OP = OP −→ −→ −−→ −→ de construcci´on de ´angulo se tiene que P A ≡ P C (o P B ≡ P C) lo cual es Absurdo! porque tomamos tres rectas tangentes distintas.  Construcci´ on b´ asica: por un punto P dado, exterior a una circunferencia, trazar las rectas tangentes a una circunferencia dada. Construcci´ on. (Ver Figura 19.) Para la construcci´on, haremos los siguientes pasos consecutivos. Uno O con P .

6.3. POSICIONES ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS

167

A

O

b

b

P

i ca

s

M

em at

B

de

M

at

Figura 19.

ut

o

Hallo M punto medio de OP .

ia

,I

ns

tit

Trazo circunferencia de centro M y radio M O (o M P ), la cual corta la circunferencia dada en A y B. ←→

←→

An tio

qu

Uno A con P y B con P , las rectas AP y BP son tangentes a la circunferencia dada. Justificaci´ on. Como OP es di´ametro entonces el △AOP es rect´angulo en

de

←→

←→

ad

A y por lo tanto OA ⊥AP y como OA es radio, entonces AP es tangente a ←→

iv er si d

la circunferencia en A. Similarmente se demuestra que BP es tangente a la circunferencia.

Un

El siguiente Teorema es similar al Teorema de las oblicuas, solo que en ´este caso cambiamos la recta l por una circunferencia. Teorema 73 (Teorema de las oblicuas para la circunferencia). La distancia m´as corta de un punto distinto del centro a una circunferencia, es la parte del radio o su prolongaci´on, comprendida entre el punto y la circunferencia. Demostraci´ on. (Ver Figura 20.) Sea P ∈ / C(O, r), P 6= O, con el punto P pueden suceder dos casos: a.) P ∈ IntC(O, r), b.) P ∈ Ext(O, r).

CAP´ITULO 6. LA CIRCUNFERENCIA

168

P A

b

O

O

b

B

P A

i ca

s

B

at

em at

Figura 20.

,I

ns

tit

ut

o

de

M

a.) Si P ∈ IntC(O, r); sea OA el radio que contiene al punto P y sea B un punto distinto de A tal que B ∈ C(O, r), veamos que P A < P B. Con el punto B pueden suceder dos casos: a) B − O − P , b) B, O, P son no colineales. Caso a): se deja como ejercicio. Caso b): por el teorema de la desigualdad tri´angular en el △OP B se tiene que

An tio

qu

ia

OB < OP + P B,

PA < PB

ad

de

pero OB = OA = OP + P A, por lo tanto OP + P A < OP + P B, es decir, P A < P B o sea que

Un

iv er si d

b.) Si P ∈ Ext(O, r), sea OA el radio tal que su prolongaci´on contiene al −→ punto P , es decir que P ∈ OA y sea B un punto distinto de A tal que B ∈ C(O, r), veamos que P A < P B. Con el punto B pueden suceder dos casos: a) B − O − P , b) B, O, P son no colineales. Caso a): se deja como ejercicio. Caso b): en efecto, por el teorema de la desigualdad tri´angular en el △OP B se tiene que OP < OB + BP, pero OP = OA+AP , por lo tanto OA+AP < OB +BP , es decir, P A < P B o sea que PA < PB



6.4. RELACIONES ENTRE ARCOS Y CUERDAS

6.4.

169

RELACIONES ENTRE ARCOS Y CUERDAS

De acuerdo a las definiciones de arco principal, cuerda y ´angulo central en una circunferencia, podemos afirmar que existe una correspondencia biun´ıvoca entre ellas, es decir, a cada arco principal corresponde uno y solo un ´angulo central y una y solamente una cuerda.

em at

i ca

s

Definici´ on 49. a.) Circunferencias congruentes. Decimos que dos circunferencias son congruentes sii tienen el mismo radio y lo denotamos as´ı:

M

at

C(O, r) ∼ = C(O′ , r)

tit

ut

o

de

b.)Arcos principales congruentes. Decimos que dos arcos principales en una misma circunferencia o en circunferencias congruentes, son congruentes si sus ´angulos centrales son congruentes.

An tio

qu

ia

,I

ns

c.)Arcos no principales congruentes. Decimos que dos arcos no principales en una misma circunferencia o en circunferencias congruentes, son congruentes si sus respectivos arcos principales asociados son congruentes.

MEDIDA DE ARCOS

iv er si d

6.4.1.

ad

de

d.) Decimos que dos arcos son adyacentes, si el u ´nico punto en com´ un es uno de sus extremos.

Un

La unidad de medida para arcos, es el arco sub-tendido por un ´angulo central de un grado, a esta unidad de medida para arcos tambi´en la llamaremos grado. Si por el centro de una circunferencia trazamos dos rectas perpendiculares, entonces se forman cuatro ´angulos al centro congruentes y por lo tanto interceptan la circunferencia, formando cuatro arcos principales congruentes y en consecuencia su medida ser´a 90o¯ Por lo anterior podemos concluir que la medida de la semicircunferencia es 180o¯ y la medida de la circunferencia es 360o¯ . Nota: no se debe confundir el concepto de medida de arco con el de longitud de arco, el primero tiene por unidad de medida el grado y el segundo tiene por

CAP´ITULO 6. LA CIRCUNFERENCIA

170

unidad de medida la unidad de longitud (metros o cent´ımetros o pulgadas, etc.). ⌢

⌢

Definici´ on 50. La medida en grados de un arco ACB denotada por m(ACB)¯o se define as´ı(ver Figura 21.): ⌢

em at

i ca

s

[ 1. Si ACB es el arco principal sub-tendido por el ´angulo central AOB, ⌢ entonces m(ACB)¯o es num´ericamente igual a la medida del ´angulo [ Es decir: central AOB.

M

at

⌢ [ m(ACB)¯o = m(AOB) ⌢

de

2. Si ADB es el arco no principal determinado por A y B entonces

tit

ut

o

⌢ ⌢ m(ADB)¯o = 360¯o − m(ACB)¯o ,

ns

⌢

qu

ia

,I

donde ACB es el arco principal. C

An tio

B

de

A

b

iv er si d

ad

O

Un

D

Figura 21.

Postulado de adici´on para arcos adyacentes: ⌢

⌢

⌢

AM B ∪ BN C = ABC y

⌢

⌢

⌢

m(AM B) + m(BN C) = m(ABC)

6.4. RELACIONES ENTRE ARCOS Y CUERDAS

171

B A

O

D

s

b

C

at

em at

i ca

Figura 22.

o

de

M

Teorema 74. En una misma circunferencia el di´ametro es la mayor de las cuerdas.

An tio

qu

ia

,I

ns

tit

ut

Demostraci´ on. (Ver Figura 22.) Sea AB una cuerda que no contiene al centro O y sea CD un di´ametro. Por el teorema de la desigualdad triangular en el △OAB se tiene que AB < OA + OB, pero como OA, OB, OC, OD son radios, entonces OA + OB = OC + OD = CD, por tanto AB < CD, es decir, AB < CD 

ad

de

Teorema 75. En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes:

iv er si d

1. Cuerdas congruentes equidistan del centro.

Un

2. Dadas dos cuerdas, la mayor dista menos del centro. Demostraci´ on. (Ver Figura 23.) La parte 1.) se deja como ejercicio. 2.) Sea la C(O, r) y sean AB y CD cuerdas tales que AB < CD entonces por la definici´on de < existe un punto E ∈ Int(CD) tal que CE ∼ = AB. Como E es punto interior de la circunferencia, entonces OE < OB; en los △OAB y △OCE se tiene: OA ∼ = OC,

AB ∼ = CE,

OB > OE

[ > OCE. [ luego OAB Sea F el pie del segmento perpendicular desde O a AB y sea G el pie del

CAP´ITULO 6. LA CIRCUNFERENCIA

172

B F A

C

H

O

D

G

E

s

b

at

em at

i ca

Figura 23.

[ > OCH \ OAF

tit

AF ∼ = CH,

ns

OA ∼ = OC,

ut

o

de

M

segmento perpendicular desde O a CD y por tanto F, G son puntos medios de AB y CD respectivamente y sea H el punto medio de CE. En los △OAF y △OCH se tiene:

An tio

qu

ia

,I

luego OF > OH; por el teorema de las oblicuas OH > OG y por transitividad OF > OG. 

de

A continuaci´on se enuncia el rec´ıproco del anterior teorema, se deja como ejercicio.

iv er si d

ad

Teorema 76. En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes: 1. Cuerdas equidistantes del centro son congruentes.

Un

2. Dadas dos cuerdas, la que dista menos del centro es mayor. Teorema 77. En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes: 1. Dos ´angulos al centro son congruentes si y solo si sub-tienden arcos principales congruentes. 2. Si los ´angulos al centro no son congruentes, el arco principal subtendido por el ´angulo al centro mayor, es mayor. Rec´ıprocamente, si el arco principal es mayor entonces el ´angulo al centro es mayor.

6.4. RELACIONES ENTRE ARCOS Y CUERDAS

b

O

O’

173

b

C A’

A B

D

em at

i ca

s

Figura 24.

tit

ut

⌢



,I

tanto AB < CD. El rec´ıproco se deja como ejercicio.

ns

⌢

o

de

M

at

Demostraci´ on. (Ver Figura 24.) La parte 1. se deja como ejercicio. ′ D, entonces por la definici´ [ < CO \ 2. Supongamos que AOB on de CD; en los △AOB y △COD se tiene que OA ∼ = OC,

OB ∼ = OD,

AB > CD

[ > COD \ entonces, por el criterio L-L-L en desigualdades, AOB ⌢ ⌢ y por el teorema anterior, AB > CD, entendiend´ose que son los arcos principales.  El rec´ıproco se deja como ejercicio.

CAP´ITULO 6. LA CIRCUNFERENCIA

174

D C

b

O

B

s

A

at

em at

i ca

Figura 25.

tit

ut

o

de

M

Teorema 79. Todo radio perpendicular a una cuerda, biseca la cuerda y biseca al arco principal sub-tendido por la cuerda. Rec´ıprocamente, todo radio que biseca una cuerda o al arco principal sub-tendido, es perpendicular a la cuerda.

ia

,I

ns

Demostraci´ on. (Ver Figura 26.)

An tio

qu

O b

C

iv er si d

ad

de

A

B

D

Figura 26.

Un

Sea AB una cuerda y OD un radio perpendicular a la cuerda AB en C. Como OA ∼ = OB, entonces el △OAB es is´osceles; como OC es altura en dicho tri´angulo, entonces por el teorema de las propiedades del tri´angulo is´osceles, OC es bisectriz y mediana en ´este tri´angulo, luego C es punto medio de AB ⌢ ⌢ \∼ \ y ambos son ´angulos al centro, por tanto AD ∼ y AOD  = DOB = DB. Teorema 80 (Arcos entre paralelas). Los arcos principales de una misma circunferencia, comprendidos entre rectas paralelas, son congruentes.

6.4. RELACIONES ENTRE ARCOS Y CUERDAS

175

I E

C

F

D B

A b

O

G

H

s

M

at

em at

i ca

Figura 27.

←→

←→

o

de

M

Demostraci´ on. (Ver Figura 27.) Pueden suceder los siguientes casos: 1. que las dos rectas sean secantes. 2. que una recta sea secante y la otra sea tangente. 3. que las dos rectas sean tangentes.

←→

,I

ns

tit

ut

1. Para este caso, supongamos que AB y CD son secantes y paralelas; sean ⌢ ⌢ AC y BD los arcos principales comprendidos entre ´estas rectas. Sea OI un radio perpendicular a la cuerda AB y por tanto OI es perpendicular a la ←→

⌢

An tio

arco AIB y del arco CID, luego

qu

⌢

ia

cuerda CD, ya que AB || CD y por teorema anterior, I es punto medio del ⌢

⌢

⌢

⌢

⌢

m(CI) = m(ID)

de

m(AI) = m(IB), ⌢

⌢

⌢

ad

restando m(AC) = m(BD), o sea que AC ∼ = BD. ←→

←→

iv er si d

2. Para este caso, supongamos que CD es secante y EF es tangente en I ←→

Un

a la circunferencia, por lo tanto el radio OI es perpendicular a EF y como ←→ ←→ ⌢ ⌢ CD || EF entonces OI ⊥ CD y por tanto CI ∼ = ID. ←→

3. Para este caso, supongamos que EF es tangente en I a la circunferencia ←→

←→

←→

y GH es tangente en M a la circunferencia, luego OI ⊥EF y OM ⊥GH ←→

←→

←→

←→

como EF kGH entonces OI⊥GH y por el Teorema de la unicidad de la ←→

←→

perpendicular por un punto exterior a una recta, OI≡OM , luego I, O, M son colineales y por lo tanto IM es di´ametro, esto demuestra que ⌢

⌢

IAM ∼ = IBM . Veamos que los arcos entre rectas paralelas son principales, en efecto,

CAP´ITULO 6. LA CIRCUNFERENCIA

176 ←→

←→

Como EF es tangente a la circunferencia en I y GH es tangente a la circun←→

←→

ferencia en M y EF kGH, por lo tanto, IM es di´ametro o sea que los arcos ⌢

⌢

IBM y IAM son arcos principales, por lo tanto, cualquier arco comprendido ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ entre estos dos arcos, son arcos principales y de aqu´ı que AC, DB, IC, ID etc. son arcos principales. 

´ ´ ANGULO INSCRITO Y ARCO CAPAZ

em at

6.5.

i ca

s

Nota: se deja como ejercicio, mostrar que el rec´ıproco tambi´en es cierto.

tit

ut

o

de

M

at

´ Definici´ on 51 (Angulo Inscrito en un arco). Decimos que un ´angulo esta inscrito en un arco si: 1. cada extremo del arco esta respectivamente sobre cada lado del ´angulo. 2. el v´ertice del ´angulo es un punto del arco distinto de los extremos del arco.

An tio

qu

ia

,I

ns

Definici´ on 52 (Arco cap´ az). El arco que acompa˜ na el ´angulo inscrito, en la definici´on anterior, se le llama arco cap´az.

ad

de

A

b

O

Un

iv er si d

B

C

Figura 28. ⌢

[ esta inscrito en el arco cap´az ABC En la Figura 28. el ABC Teorema 81 (Teorema del ´ angulo inscrito). La medida de un ´angulo inscrito en un arco es igual a la mitad de la medida del arco interceptado.

´ ´ 6.5. ANGULO INSCRITO Y ARCO CAPAZ

177

Demostraci´ on. Pueden suceder tres casos, seg´ un la posici´on del centro: 1. El centro esta sobre uno de los lados del ´angulo. 2. El centro esta en el interior del ´angulo. 3. El centro esta en el exterior del ´angulo.

i ca

s

1. El centro esta sobre uno de los lados del ´angulo (Ver Figura 29.). Sea −→ [ inscrito en la C(O, r) y O ∈ − [ = 1 m(AC)o ABC BC. Veamos que m(ABC) ¯ 2 Tracemos el radio OA, por tanto el △AOB es is´osceles y por el Teorema del [ ∼ [ y como AOC [ es ´angulo exterior, entonces tri´angulo is´osceles, ABO = BAO

em at

γ = α + β = 2β

de

An tio

qu

ia

,I

ns

tit

ut

o

de

M

at

[ un ´angulo al centro cuya medida es γ entonces la medida del y siendo AOC ⌢ [ o=γ arco m(AC)o¯ = m(AOC) ¯ luego ⌢ [ = 1 γ = 1 m(AC)o¯ m(ABC) 2 2 [ (Ver Figura 30.). 2. Cuando O ∈ Int(ABC) −→ [ entonces la semirrecta − [ y por Como O ∈ Int(ABC) BO ⊂ Int(ABC) tanto [ = m(ABO) [ + m(OBC) \ =β+γ m(ABC) ⌢ −−→ \ = 1 m(AD) sea D ∈ BO ∩ C(O, r), por la parte 1. de este teorema, m(ABD) 2 ⌢ 1 \ y m(DBC) = m(DC) entonces 2

iv er si d

ad

⌢ ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ [ = β + γ = 1 m(AD) + 1 m(DC) = 1 (m(AD) + m(DC)) = m(AC) m(ABC) 2 2 2

Un

[ (Se deja como ejercicio). 3. Cuando O ∈ Ext(ABC) B β

A α O

b

γ

C

Figura 29.



CAP´ITULO 6. LA CIRCUNFERENCIA

178

B γ

A

β b

O

C

s

D

em at

i ca

Figura 30.

de

M

at

Corolario 26 (Arco cap´ az). Todos los ´angulos inscritos en el mismo arco cap´az son congruentes.

tit

ut

o

Corolario 27. Todos los ´angulos inscritos en una semicircunferencia son rectos.

An tio

qu

ia

,I

ns

´ Definici´ on 53 (Angulo semi-inscrito). El ´angulo cuyo v´ertice esta sobre la circunferencia, uno de los lados es tangente y el otro es secante a la circunferencia, se le llama ´angulo semi-inscrito.

iv er si d

ad

de

Teorema 82 (Del ´ angulo semi-inscrito). La medida del ´angulo semi-inscrito es igual a la mitad de la medida del arco cuyo interior esta en el interior del ´angulo. ←→

←→

Un

Demostraci´ on. Sea AC una recta tangente a la C(O, r) en A y AB una ⌢ [ = 1 m(AM B). secante con B ∈ C(O, r). Veamos que m(BAC) 2 [ es agudo. 2. BAC [ es obtuso. 3. BAC [ es Se pueden dar tres casos: 1. BAC recto. [ es agudo (Ver Figura 31.) 1. BAC ←→

Por Playfair, por B pasa l|| AC, sea D ∈ l ∩ C(O, r) y D 6= B, luego por ⌢ ⌢ el Teorema de arcos entre paralelas AM B ∼ = AN D y por el Teorema de los [ ∼ \ pero el ABD \ es un ´angulo alternos internos entre paralelas, CAB = ABD, ⌢ ⌢ [ = 1 m(AM B). \ = 1 m(AN D), por lo tanto m(CAB) inscrito y la m(ABD) 2

2

´ ´ 6.5. ANGULO INSCRITO Y ARCO CAPAZ

D

B

b

O

N

M

A

C

em at

i ca

Figura 31.

s

l

179

at

[ es obtuso (Ver Figura 32.) 2. BAC

M

←→

iv er si d

luego

−−→ [ AD ⊂ Int(BAC)

ad

de

An tio

qu

ia

,I

ns

tit

ut

o

de

Por Playfair, por B pasa l|| AC, sea D ∈ l ∩ C(O, r) y D 6= B, luego por ⌢ ⌢ el Teorema de arcos entre paralelas AN B ∼ = AM D, por lo tanto AB ∼ = AD de aqu´ı que el △BAD es is´osceles y por el Teorema del tri´angulo is´osceles \∼ \ Por otro lado, por el Teorema de los alternos internos entre ABD = ADB. \ y como el \ luego HAB \ ∼ \ y ADB \∼ \ ∼ paralelas, HAB = DAC = DAC, = ABD \ es agudo, concluimos que el DAC \ es agudo y como BAC [ es ´angulo HAB \ es agudo, tienen el mismo v´ertice, comparten un lado y est´an obtuso y DAC en el mismo semiplano entonces

Un

⌢ ⌢ ⌢ [ = m(BAD) \ + m(DAC) \ = 1 m(BLD) + 1 m(DM A) = 1 m(BDA) m(BAC) 2 2 2

[ es recto (Se deja como ejercicio). 3. BAC



Construcci´ on b´ asica: dado el ´angulo α b y el segmento de longitud a, construir el arco capaz de α b y a. Construcci´ on. (Ver Figura 33.)Para la construcci´on, haremos los siguientes pasos consecutivos. Sobre una recta l fijo un punto A. Con centro en A y radio a trazo arco que corta a l en B.

CAP´ITULO 6. LA CIRCUNFERENCIA

180

L

l

B

D

b

O

N

M

H C

em at

i ca

s

A

Figura 32.

M

at

M

de

m

o

Y b

,I ia

α b

l

B

N

qu

A

ns

tit

ut

O

An tio

X

ad

de

Figura 33.

Un

iv er si d

−→ Con v´ertice A y lado AB trazo el ´angulo α b, produciendo la semirrecta −−→ AX . −→ −−→ Por A trazo AY ⊥ AX.

−→ Hallo m mediatriz de AB, la cual corta a AY en O. ⌢

Con centro en O y radio OA trazo el arco AM B, de tal manera que M ⌢ y X queden en semiplanos opuestos con respecto a l, el arco AM B es el arco capaz de a y α b ⌢

\ Justificaci´ on. Como m(AM B) = 21 m(AN B) y por el teorema del ´angulo

´ ´ 6.5. ANGULO INSCRITO Y ARCO CAPAZ

181

⌢

\ = 1 m(AN B) entonces semi-inscrito α b = m(BAX) 2 \ m(AM B) = α b

em at

i ca

s

´ Teorema 83 (Angulo con el v´ ertice en el interior de la circunferencia). La medida de un ´angulo que tiene su v´ertice en el interior de la circunferencia es igual a la semisuma de las medidas de los arcos comprendidos entre sus lados y sus prolongaciones.

at

Demostraci´ on. (Ver Figura 34.)

M

E C

de

ǫ

α b

O

,I

ns

A

tit

ut

o

δ

qu

ia

B

An tio

D

de

Figura 34. ⌢

⌢

iv er si d

←→

ad

[ = α = 1 (m(BC) + m(DE)) Veamos que m(BAC) 2 ←→

Un

Sea D ∈AC ∩C(O, r) y E ∈AB ∩C(O, r). Unamos C con E, por el Teorema del ´angulo exterior en el △ACE se tiene que α = δ + ǫ y por el Teorema del ⌢ ⌢ ´angulo inscrito δ = 21 m(ED) y ǫ = 21 m(BC), luego ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ 1 1 1 α = m(ED) + m(BC) = (m(BC) + m(ED)) 2 2 2



´ Teorema 84 (Angulo con el v´ ertice en el exterior de la circunferencia). La medida del ´angulo formado por dos semirrectas con origen com´ un en un punto exterior a una circunferencia es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos cuyos interiores est´an en el interior del ´angulo.

CAP´ITULO 6. LA CIRCUNFERENCIA

182 B ǫ

E O

b

δ C D

α

s

A

em at

i ca

Figura 35.

ut

o

de

M

at

Demostraci´ on. (Ver Figura 35.) −→ −→ Sea α b el ´angulo formado por las semirrectas AB y AC. Unamos B con D, el ´angulo δb es exterior al △ABD, entonces por el teorema del ´angulo exterior ⌢ δ = α + ǫ, luego α = δ − ǫ y por el teorema del ´angulo inscrito, δ = 12 m(BC) ⌢

ns

tit

y ǫ = 12 m(ED), sustituyendo en la expresi´on anterior,



qu

ia

,I

⌢ ⌢ ⌢ ⌢ 1 1 1 α = m(BC) − m(ED) = (m(BC) − m(ED)) 2 2 2

ad

de

An tio

Corolario 28. La medida del ´angulo formado por dos semirrectas tangentes con origen com´ un en un punto exterior a una circunferencia, es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos cuyos interiores est´an en el interior del ´angulo.

Un

iv er si d

Corolario 29. La medida del ´angulo formado por dos semirrectas, una tangente y la otra secante, con origen com´ un en un punto exterior a una circunferencia, es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos cuyos interiores est´an en el interior del ´angulo.

6.6.

POL´IGONOS INSCRITOS EN UNA CIRCUNFERENCIA

Definici´ on 54. 1. Decimos que un pol´ıgono convexo esta inscrito en una circunferencia, si todos sus v´ertices est´an sobre la circunferencia; de la circunferencia decimos que esta circunscrita al pol´ıgono.

6.6. POL´IGONOS INSCRITOS EN UNA CIRCUNF.

183

2. Decimos que un pol´ıgono convexo est´a circunscrito a una circunferencia, si todos sus lados son tangentes a la circunferencia; de la circunferencia decimos que est´a inscrita en el pol´ıgono. Definici´ on 55 (Cuadril´ atero c´ıclico). Decimos que un cuadril´atero convexo es c´ıclico si est´a inscrito en una circunferencia.

i ca

s

Nota: el rect´angulo y el cuadrado son c´ıclicos, pues el punto de intersecci´on de sus diagonales equidista de sus v´ertices

\ \∼ ABD = ACD.

ut

o

de

M

at

\ \∼ CBD = CAD,

[ \∼ BDC = BAC,

\ [ ∼ ACB = ADB,

em at

Teorema 85. Un cuadril´atero convexo ABCD es c´ıclico si y solo si

ns

tit

Demostraci´ on. (⇒) La demostraci´on se deja como ejercicio.

iv er si d

ad

de

An tio

qu

ia

,I

[ ∼ \ o BDC \∼ [ o CBD \∼ \ o (⇐) Veamos que si: ACB = ADB, = BAC, = CAD, \∼ \ entonces ABCD es c´ıclico. ABD = ACD Como A, B, D son tres puntos no colineales, entonces por el Teorema de determinaci´on de la circunferencia (Teorema 65.), por A, B, D pasa una u ´nica circunferencia C(O, r); con respecto a ´esta circunferencia y con el punto C pueden suceder tres casos: a. C ∈ IntC(O, r), b. C ∈ ExtC(O, r), c. C ∈ C(O, r).

Un

Veamos que los casos a. y b. producen una contradicci´on (Ver Figura 36.). A B

O

b

D

C

Figura 36.

C1

CAP´ITULO 6. LA CIRCUNFERENCIA

184

←→

a. C ∈ IntC(O, r). Sea C1 ∈DC ∩C(O, r) y C1 6= D, luego por la parte ∼\ \ \∼ \ luego 1. de ´este teorema , AC otesis ABD = ACD, 1 D = ABD, pero por hip´ \∼ \ ACD = AC 1 D.

i ca

s

Por otro lado, como A, C1 , C son tres puntos no colineales, entonces el △AC1 C \ > AC \ existe y por el Teorema del ´angulo exterior, ACD 1 C, lo cual es absurdo. b. C ∈ ExtC(O, r). Se demuestra en forma similar a a. 

de

M

at

em at

Teorema 86 (Teorema de los cuadril´ ateros c´ıclicos). Un cuadril´atero convexo es c´ıclico si y solo si sus ´angulos opuestos son suplementarios.

B

ns

tit

ut

o

A

O

C

Figura 37.

iv er si d

ad

de

An tio

D

qu

ia

,I

b

Un

Demostraci´ on. (Ver Figura 37.) 1. Supongamos que el cuadril´atero es c´ıclico, entonces por el Teorema del ⌢ ⌢ \ = 1 m(BCD) y m(BCD) \ = 1 m(BAD), sumando ´angulo inscrito, m(BAD) 2 2 ´estas dos u ´ltimas expresiones, ⌢ ⌢ \ + m(BCD) \ = 1 m(BCD) + 1 m(BAD) = m(BAD) 2 2 ⌢ ⌢ 1 1 1 (m(BCD)+m(BAD)) = (medida de la circunf erencia) = 360o¯ = 180o¯ 2 2 2 Como la suma de los ´angulos interiores de un cuadril´atero es 360o¯ entonces

[ + m(ADC) \ = 180o¯ . m(ABC)

6.6. POL´IGONOS INSCRITOS EN UNA CIRCUNF.

185

i ca

s

\ \ = 180o o m(ABC)+m( [ \ = 180o 2. Veamos que si m(BAD)+m( BCD) ADC) ¯ ¯ entonces ABCD es c´ıclico. Como A, B, D son tres puntos no colineales, entonces por el Teorema de determinaci´on de la circunferencia (Teorema 65.), por A, B, D pasa una u ´nica circunferencia C(O, r); con respecto a ´esta circunferencia y con el punto C pueden suceder tres casos: a). C ∈ IntC(O, r), b). C ∈ ExtC(O, r), c). C ∈ C(O, r). Veamos que los casos a). y b). producen una contradicci´on (Ver Figura 38.).

em at

A

O

D

C1

ns

tit

ut

C

o

de

b

M

at

B

qu

ia

,I

Figura 38. ←→

de

An tio

a). C ∈ IntC(O, r). Sea C1 ∈DC ∩C(O, r) y C1 6= D, luego por la parte o \ \ 1. de ´este teorema , m(BC otesis, 1 D) + m(BAD) = 180¯ , pero por hip´

iv er si d

ad

\ + m(BAD) \ = 180o¯ , m(BCD)

Un

\ \ \ ∼\ por lo tanto m(BC 1 D) = m(BCD), es decir, BC1 D = BCD. Por otro lado, como B, C1 , C son tres puntos no colineales, entonces el △BC1 C existe y por \ > BC \ el Teorema del ´angulo exterior, BCD 1 C, lo cual es absurdo. b). C ∈ ExtC(O, r). Se demuestra en forma similar a a).  Teorema 87 (Recta de Simson). Las proyecciones desde un punto de la circunferencia circunscrita a un tri´angulo (distinto de los v´ertices del tri´angulo) a los lados o sus prolongaciones, son colineales. Demostraci´ on. (Ver Figura 39.) Sea P un punto de la circunferencia C(O, r) con P distinto de A, B, C y

CAP´ITULO 6. LA CIRCUNFERENCIA

186

Z A

P

Y b

O B

C

em at

i ca

s

X

M

at

Figura 39.

de

⌢

ia

←→

,I

ns

tit

ut

o

P ∈ AC, sean X, Y, Z las proyecciones de P sobre los lados AB, BC y AC respectivamente o sobre sus prolongaciones. Veamos que X, Y y Z son colineales. Primero veamos que si Z − A − B , entonces B − X − C. En efecto, como el cuadril´atero ZP XB es c´ıclico y Z y X est´an en semiplanos opuestos

Un

iv er si d

ad

de

An tio

qu

con respecto a la recta BP (donde BP es di´ametro y BP es menor que el di´ametro de C(O, r)) y Z es exterior a la C(O, r) entonces X es interior a la C(O, r), porque cuando dos circunferencias se interceptan un arco de una de ellas queda en el exterior y el otro arco queda en el interior de la otra circunferencia y por lo tanto X ∈ BC, es decir B − X − C. [ \ Segundo, veamos que AY Z∼ C. = XY Como el cuadril´atero AY P Z es c´ıclico, entonces [ [ AP Z∼ Z, = AY

(1)

y como los tri´angulos rect´angulos △P Y C y △P XC tienen hipotenusa com´ un, entonces el cuadril´atero P Y XC es c´ıclico, y por tanto \ \ CP X∼ X, = CY

(2)

[ Por otro lado, como el cuadril´atero ABCP es c´ıclico, entonces AP C es sub y tambi´en, como el cuadril´atero ZP XB es c´ıclico, entonces plemento de B b por lo tanto \ ZP X es suplemento de B, [ \ AP C∼ X, = ZP

(3)

6.6. POL´IGONOS INSCRITOS EN UNA CIRCUNF.

187

de (1), (2) y (3) y por resta de ´angulos congruentes, [ \ ZP A∼ X = CP luego [ \ C ZY A∼ = XY

←→

em at

i ca

s

como Z y X est´an en semiplanos opuestos con respecto a AC y A, Y, C son colineales, entonces por el axioma de construcci´on de ´angulo, Z, Y, X son colineales. 

ut

o

de

M

at

Teorema 88 (Teorema de Steiner-Lehmus). Si un tri´angulo tiene dos bisectrices congruentes entonces el tri´angulo es is´osceles.

ia

qu

β

iv er si d

ad

D

de

An tio

α α

,I

ns

tit

A

Un

β

B

γ

E

β

α

F

α

I β

G

γ

γ C

Figura 40.

Demostraci´ on. (Ver Figura 40.) b y CD es bisectriz del ´angulo C b Por hip´otesis, BE es bisectriz del ´angulo B y adem´as BE ∼ = CD.

CAP´ITULO 6. LA CIRCUNFERENCIA

188

−→ Por el axioma de construcci´on de ´angulo, existe una semirrecta CF contenida ←→ \∼ [ en el semiplano de borde CD y que contiene al punto A, tal que DCF = AEB −→ y por el axioma de construcci´on de segmento, existe un punto F ∈ CF tal que CF ∼ = AE, por lo tanto △DCF ∼ = △AEB (L-A-L), luego b \ [ = β, m(F DC) = m(ABE)

\ [ = 2b m(DF C) = m(BAE) α

b \) = m(CAF [ ) = β, m(CDF

\ \ =γ m(AF D) = m(ACD) b

at

em at

i ca

s

por esto y por el Teorema 85, el cuadril´atero ADCF es c´ıclico, sea S la circunferencia que circunscribe al cuadril´atero ADCF , luego por el Teorema del ´angulo inscrito

tit

ut

o

de

M

\ [ Sea F G la bisectriz del ´angulo DF C y sea AI la bisectriz del ´angulo BAC y como son bisectrices de los tri´angulos congruentes △DCF y △AEB, entonces [ = m(DF \ FG ∼ m(IAE) G) = α b = AI,

qu

ia

,I

ns

[ es exterior al △GDF , entonces por el Teorema del Como el ´angulo CGF ´angulo exterior

An tio

[ ) = βb + α [ + m(EAF [ ) = m(IAF [) m(CGF b = m(IAE)

Un

iv er si d

ad

de

[ y F[ Puesto que IGF GC forman par lineal (o sea que son suplementarios) [ y IGF [ son suplementarios, por lo tanto el cuadril´atero IGF A entonces IAF ′ es c´ıclico; sea S la circunferencia que circunscribe a ´este cuadril´atero y como ⌢ ⌢ las cuerdas AI y F G son congruentes, entonces AI ∼ = F G, por lo tanto AF ||IG y por lo tanto el cuadril´atero AIGF es un trapecio is´osceles, en consecuencia los ´angulos de la base son congruentes o sea βb + α b=γ b+α b

luego βb = γ b y por el teorema del tri´angulo is´osceles, el △ABC es is´osceles.  Definici´ on 56 (Pol´ıgono regular). Decimos que un pol´ıgono es regular si todos sus lados y todos sus ´angulos son congruentes. Teorema 89. Todo pol´ıgono regular es c´ıclico.

6.6. POL´IGONOS INSCRITOS EN UNA CIRCUNF. A1

189

A2

l

m

An

O

A3 b

s

A4

at

em at

i ca

Figura 41.

ut

o

de

M

Demostraci´ on. (Ver Figura 41.) Veamos que existe un punto O tal que OA1 ∼ = OA2 ∼ = OA3 ∼ = OA4 ∼ = ... ∼ = OAn

ia

,I

ns

tit

Sean l y m mediatrices de A1 A2 y A2 A3 respectivamente, luego, por el corolario 13 y las propiedades de la mediatriz, existe O ∈ l ∩ m tal que OA1 ∼ = OA2 ∼ = OA3

An tio

qu

y como A1 A2 ∼ = A2 A3 (por definici´on de pol´ıgono regular), entonces el △A1 OA2 ∼ = △A2 OA3 (por el criterio L-L-L),

iv er si d

ad

de

luego por la definici´on de tri´angulos congruentes y el Teorema del tri´angulo is´osceles, ∼ \ ∼ \ ∼ \ \ OA 1 A2 = OA2 A1 = OA2 A3 = OA3 A2 .

Un

Sea α la medida de todos los ´angulos congruentes del pol´ıgono regular, entonces α \ \ \ \ m(OA 1 A2 ) = m(OA2 A1 ) = m(OA2 A3 ) = m(OA3 A2 ) = 2 α α \ \ ∼ \ por lo tanto m(OA 3 A4 ) = α − 2 = 2 o sea que OA2 A3 = OA3 A4 y como OA2 ∼ = OA3 y A2 A3 ∼ = A3 A4 entonces, por el criterio L-A-L, △OA2 A3 ∼ = △OA3 A4 ,

luego OA3 ∼ = OA4 . Similarmente se demuestra que OA4 ∼ = OA5 , . . . , OAn−1 ∼ = OAn ,

OAn ∼ = OA1



CAP´ITULO 6. LA CIRCUNFERENCIA

190

Como en una circunferencia todas las cuerdas congruentes equidistan del centro, entonces este teorema garantiza la verdad de la siguiente definici´on para un pol´ıgono regular. Definici´ on 57 (Apotema). Se llama apotema de un pol´ıgono regular, a la distancia desde el centro de la circunferencia circunscrita a cada lado del pol´ıgono.

i ca

s

El siguiente corolario se deja como ejercicio.

em at

Corolario 30. Todo pol´ıgono regular circunscribe una circunferencia.

Un

iv er si d

ad

de

An tio

qu

ia

,I

ns

o

tit

ut

p n = n · ln

de

M

at

Nota: un pol´ıgono regular de n lados lo denotamos por Pn , su lado lo denotamos por ln , su apotema por an y su per´ımetro por pn , claramente

6.7. EJERC. Y PROBLEMAS DE LA CIRCUNFERENCIA

6.7.

191

Ejercicios y Problemas de la circunferencia

⌢

⌢

at

m(AB) = 800 ; m(BC) = 800 .

em at

i ca

2. Tres puntos A, B y C de una circunferencia son tales que:

s

1. En una circunferencia C(O, r), el di´ametro AB forma con la cuerda AC un ´angulo de 30o ; se traza una tangente en el punto C que intercepta la prolongaci´on del di´ametro AB en el punto D. Demostrar que el ∆ACD es is´osceles.

o

de

M

Se unen los puntos A, B y C al centro O. Calcular las medidas de los ´angulos en O y de los ´angulos del tri´angulo ABC.

An tio

qu

ia

,I

ns

tit

ut

3. En una circunferencia de centro O se trazan dos cuerdas AB ∼ = AC , 0 AB sub-tiende un arco de 120 . Desde el centro O se trazan ON ⊥ AB en N y OM ⊥ AC en M . [ a) Encontrar m(BAC −→ [ b) Mostrar que AO es bisectriz de BAC.

ad

de

4. Sean dos circunferencias de centros O y O′ tangentes en A. Trazar por el punto A, la tangente com´ un a esas dos circunferencias. Por un punto P (6= A) de esa tangente, trazar dos tangentes a las circunferencias O ←→

←→

iv er si d

y O′ . Sean B y C los respectivos puntos de tangencia. Las rectas BO

Un

y CO′ se cortan en un punto D. Demostrar: a) P B ∼ = P C. b) P, B, C y D est´an sobre una misma circunferencia. −−→ c) P D es mediatriz de BC. 5. Demostrar que un trapecio is´osceles es c´ıclico y que sus diagonales se cortan en el di´ametro perpendicular a las bases. 6. Dos circunferencias iguales de centros O y O′ se cortan en A y en B. Por el punto A, trazamos una secante que corta a la circunferencia de centro O en C y a la circunferencia de centro O′ en D. Probar que el tri´angulo CBD es is´osceles.

CAP´ITULO 6. LA CIRCUNFERENCIA

192

7. Si se tiene un paralelogramo inscrito en una circunferencia entonces este es un rect´angulo. 8. En una circunferencia con centro O se tienen dos radios OA y OB perpendiculares entre si. En sentido contrario a las manecillas del reloj se trazan dos cuerdas AM y BN congruentes. Probar que AM ⊥ BN .

i ca

s

9. Sea el ∆ABC con AB > AC, sea P ∈ BC y P M ⊥AB, P N ⊥AC, sea P M = x y P N = y. Demostrar que

at

em at

hb > x + y > hc

ns

tit

ut

o

de

M

10. Se tienen dos circunferencias O y O′ secantes, que se cortan en los puntos A y B. Por A se traza una recta secante a las dos circunferencias que corta la circunferencia O en M y la circunferencia O′ en M ′ . Por B se traza otra secante a las dos circunferencias que corta la circunferencia O en N y la circunferencia O’ en N ’. Pruebe que M N k M ′ N ′ .

An tio

qu

ia

,I

11. Sea AB di´ametro en la circunferencia C(O, r) y sea AD || OC, con ⌢ ⌢ D, C ∈ C(O, r). Demostrar que DC ∼ = CB y OC⊥DB.

Un

iv er si d

ad

de

12. En un cuadril´atero ABCD inscrito una circunferencia la cuerda AB sub-tiende un arco igual a 16 de la circunferencia; la cuerda DC un arco igual a 31 de la circunferencia y la diagonal BD, un arco DAB igual a 5 de la circunferencia: 12 a) Ind´ıcar la naturaleza del cuadril´atero ABCD. b) Calcular los ´angulos formados por las diagonales. c) Si se prolongan los lados AD y BC, calcular el ´angulo formado por ellos. 13. En una circunferencia se traza una cuerda diametral AB y una cuerda ←→

AC, tal que m∡BAC = 200 , se traza una recta ZZ ′ tangente a la circunferencia en D y paralela a AC. Hallar el valor de los ´angulos ∡ADZ y m∡BDZ ′ . (Rta.: 35o , 55o .) 14. Dos circunferencias C(O, r) y C(O′ , r′ ) son tangentes en el punto A, se trazan dos secantes por A que cortan a C(O, r) y C(O′ , r′ ) en los puntos

6.7. EJERC. Y PROBLEMAS DE LA CIRCUNFERENCIA

193

←→

←→

B, B ′ y C, C ′ respectivamente. Demostrar que BC y B ′ C ′ son paralelas. Hacer la demostraci´on para los dos casos: tangentes exteriormente y tangentes interiormente.

i ca

s

15. Sea ∆ABC un tri´angulo rect´angulo en A, I el centro de la circunferencia en la cual est´a circunscrito el tri´angulo. Demostrar que la hipotenusa es el lado del cuadrado inscrito en la circunferencia que pasa por los puntos B, C, I.

M

at

em at

16. Un tri´angulo ∆ABC est´a inscrito en una circunferencia C(O, r); se trazan las alturas AD y BF , que se cortan en H; se prolonga AD hasta que encuentre a C(O, r) en M . Demostrar que HD ∼ = DM .

qu

M

ia

,I

ns

tit

ut

B

o

de

17. Sea M el punto medio del lado AB en el △ABC y sean AH2 y BH1 alturas. Mostrar que △H1 M H2 es is´osceles.(Ver figura)

H1

C

iv er si d

ad

A

de

An tio

H2

Un

18. Por un punto A de la cuerda diametral DE de una circunferencia, se trazan dos cuerdas CC ′ y BB ′ igualmente inclinadas sobre la cuerda diametral, cort´andola en el punto A entre O y E, con B, C en un ←→

semiplano y B ′ , C ′ en el semiplano opuesto con respecto a DE. a) Indicar la naturaleza del cuadril´atero BCB ′ C ′ (Justificar). b) probar que el cuadril´atero CBOA es c´ıclico. 19. Demostrar que las tres alturas de un tri´angulo son las bisectrices de los ´angulos del tri´angulo determinado por los pies de dichas alturas. 20. Construir un trapecio is´osceles, dadas las bases y una diagonal.

CAP´ITULO 6. LA CIRCUNFERENCIA

194

21. Demostrar que en todo tri´angulo, la bisectriz se encuentra entre la mediana y la altura trazadas desde el mismo v´ertice. \∼ [ demuestre: 22. A, B, C, D est´an sobre una circunferencia, DAB = CBA, ABCD es un trapecio is´osceles.

s

23. C(O) circunferencia de centro O. D, C ∈ C(O), AB es di´ametro, ⌢ ⌢ OC k AD. Demostrar: DC ∼ =CB, OC ⊥ BD.

em at

i ca

24. AB es di´ametro de C(O), C, D ∈ C(O).OC ⊥ DB. Demostrar: ⌢ ⌢ DC ∼ =CB, OC k AD.

de

M

at

−→ \ I es el incentro del 25. A, B, C, D est´an en C(O). AC es bisectriz de BAD, ∼ ∼ tri´angulo ∆ABD. Demuestre: CB = CI = CD.

,I

ns

tit

ut

o

26. Demostrar que si dos circunferencias son secantes, la recta que une los centros es mediatriz de la cuerda determinada por los puntos de intersecci´on de las dos circunferencias.

An tio

qu

ia

27. Demostrar que todo trapecio, inscrito en una circunferencia, es is´osceles.

de

28. Demostrar que todo rombo, inscrito en una circunferencia, es un cuadrado.

iv er si d

ad

29. Demostrar que la medida del lado de un hex´agono regular inscrito, es igual al radio de la circunferencia.

Un

30. Demostrar que en un cuadril´atero circunscrito a una circunferencia, la suma de las medidas de dos lados opuestos, es igual a la suma de las medidas de los otros dos lados. 31. Se prolongan los lados opuestos de un cuadril´atero c´ıclico hasta cortarcyN b son sen en los puntos M y N . Demostrar que las bisectrices de M perpendiculares.

32. Desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos segmentos tangentes. Los puntos de tangencia determinan dos arcos cuyas medidas est´an en la relaci´on de 4 a 1. Calcular: a)la medida del ´angulo formado por las dos tangentes, b) la medida de los ´angulos semi-inscritos que se forman al trazar la cuerda que une los

6.7. EJERC. Y PROBLEMAS DE LA CIRCUNFERENCIA

195

puntos de tangencia, c) la medida de los arcos sub-tendidos por las dos tangentes y d) la medida del ´angulo central que se forma al trazar los segmentos radiales a los puntos de tangencia. (Rta.: a)108o , b) 36o , c) 72o y 288o , d) 72o )

i ca

s

33. Se inscribe un tri´angulo is´osceles ABC en un circunferencia. AB ∼ = AC, −−→ [ AX bisectriz de BAC; X pertenece a la circunferencia. Demostrar que −−→ \ es recto. AX pasa por el centro del circunferencia y que ABX

at

em at

34. El tri´angulo ∆ABC es is´osceles con AB ∼ = AC y esta inscrito en una ⌢ −−→ \ circunferencia. X ∈BC . Demuestre que XA es bisectriz de BXC.

,I

ns

tit

ut

o

de

M

35. Se tienen dos circunferencias exteriores y se trazan las tangentes interiores a ´estas. Demostrar que los segmentos de ´estas tangentes determinados por los puntos de tangencia son congruentes y que el punto de intersecci´on de dichas tangentes y los centros de las dos circunferencias son colineales.

ad

de

An tio

qu

ia

36. Se tienen dos circunferencias no congruentes. Si a dichas circunferencias se les trazan dos tangentes exteriores, demostrar que los segmentos determinados por los puntos de tangencia son congruentes y que si se prolongan dichas tangentes hasta que se intersecten en un punto P , este punto es colineal con los centros de las dos circunferencias.

Un

iv er si d

−→ −→ b − 37. AB k CD en el trapecio ABCD. AY es bisectriz de A. BY es bisectriz −→ −→ b − b − b de B. CX es bisectriz de C. DX es bisectriz de D. −−→ −→ −−→ −−→ DX ∩ AY = {M }, CX ∩ BY = {N }. Demostrar que M XN Y es c´ıclico y XY es di´ametro de la circunferencia circunscrita a M XN Y . 38. C(O, r) y C(O1 , r1 ) son dos circunferencias no congruentes, tangentes en T . A, C ∈ C(O, r) y B, D ∈ C(O1 , r1 ). AB ∩ CD = {T }. Demostrar que AC k BD. 39. Sean C(O, r), C(O′ , r′ ) secantes en A y B. Por B se traza el segmento M N , con M ∈ C(O, r) y N ∈ C(O′ , r′ ). Demostrar que el ´angulo \ M AN permanece constante cuando M y N se mueven sobre las circunferencias.

CAP´ITULO 6. LA CIRCUNFERENCIA

196

i ca

s

40. Demostrar que el radio de la circunferencia inscrita en un tri´angulo rect´angulo cuyos catetos miden X y Y y cuya hipotenusa mide Z, mide: 1 (X + Y − Z). 2 41. Un rect´angulo esta inscrito en una circunferencia. Por los v´ertices del rect´angulo se trazan tangentes a la circunferencia que se intersectan dos a dos. Demostrar que el cuadril´atero formado por las tangentes al intersectarse, forman un rombo. ⌢

M

at

em at

42. Desde el punto medio de un arco AB se trazan dos cuerdas M C y M D que intersectan a AB en los puntos H y K respectivamente. Demostrar que HKDC es c´ıclico o inscriptible.

tit

ut

o

de

43. Sean t, t′ y t′′ rectas tangentes a la circunferencia C(O, r) en los puntos P , Q y R respectivamente y sea {A} = t ∩ t′ y {B} = t′ ∩ t′′ , si t || t′′ , desmostrar que ∆AOB es rect´angulo.

ns

←→

qu

ia

,I

44. La recta AB es secante a una circunferencia en A y B. Por el punto B se traza la cuerda BC ⊥ AB. Demostrar que el di´ametro paralelo a AB biseca al segmento cuyas extremos son C y un punto cualquiera

An tio

←→

de la recta AB.

iv er si d

ad

de

45. El tri´angulo ∆ABC est´a inscrito en la circunferencia de centro O. AD es la altura correspondiente a BC y H es el ortocentro. N, Q, P son 1os puntos medios de AH, AB y AC respectivamente. Demostrar que OP N Q es un paralelogramo. (Trace BH, OP y OH).

Un

46. Sean dos circunferencias de centros O y O′ , secantes en A y B. Desde A se trazan los di´ametros AOC y AO′ D. Se une C con D. Demostrar que CD ⊥ AB y que C, B y D est´an alineados. 47. Por un punto A exterior a una circunferencia de centro O, se traza una tangente AB a la circunferencia en B y se traza AO. Sobre AO se toma AC ∼ = AB y se traza BC que corta la circunferencia en E. Probar que EO ⊥ OA. 48. Demostrar que si las cuerdas AB y BC, trazadas en una misma circunferencia de centro O son congruentes, entonces el radio OB divide ⌢ la cuerda AC y el arco ABC en partes iguales respectivamente.

6.7. EJERC. Y PROBLEMAS DE LA CIRCUNFERENCIA

197

49. Por los extremos A y B de un di´ametro de una circunferencia de centro O, se trazan dos cuerdas paralelas AC y BD. a) Mostrar que esas cuerdas equidistan del centro O y por consiguiente son congruentes. b) Mostrar que el segmento DC es un di´ametro. c) Cual es la naturaleza del cuadril´atero ABCD?

at

em at

i ca

s

50. Un tri´angulo is´osceles ABC (AB ∼ = AC) esta inscrito en una circunfe−−→ −→ rencia de centro O. Las bisectrices BD y CF de los ´angulos de la base cortan la circunferencia en D y F . Comparar los tri´angulos △ACF y △BAD.

ns

tit

ut

o

de

M

51. Sea el ∆ABC rect´angulo en B, sean M, N, L los puntos medios de la hipotenusa y los catetos respectivamente, por M, N, L se hace pasar una circunferencia. Mostrar que el arco exterior a la hipotenusa es igual a la diferencia de los arcos exteriores a los catetos.

An tio

qu

ia

,I

52. La recta l es secante a la C(O, r) en A y B. Por el punto B se traza la cuerda BC ⊥ AB. Demostrar que el di´ametro paralelo a AB biseca el segmento cuyos extremos son C y un punto cualquiera de la recta l.

ad

de

53. Hallar el lugar geom´etrico de los puntos medios de todas las cuerdas que concurren en un punto que esta sobre una circunferencia dada. Justifique.

Un

iv er si d

54. Hallar el lugar geom´etrico de los puntos medios de todas las cuerdas de una circunferencia, paralelas a una recta dada. Justifique. 55. Hallar los ´angulos de un cuadril´atero c´ıclico ABCD, sabiendo que la diagonal AC forma con los lados AB y AD ´angulos de 45o y con la diagonal BD un ´angulo de 70o 56. Sea ABCD un cuadril´atero circunscrito a la C(O, r), sea N el punto de tangencia de la circunferencia con el lado AB, R el punto de tangencia de la circunferencia con el lado BC, S el punto de tangencia de la circunferencia con el lado CD y M el punto de tangencia de la ⌢ ⌢ circunferencia con el lado DA, si m(M S) = 108o , m(SR) = 120o y ⌢

m(RN ) = 45o . Hallar:

CAP´ITULO 6. LA CIRCUNFERENCIA

198

b B, b C b y D. b a) las medidas de los ´angulos A, b) las medidas de los ´angulos del cuadril´atero inscrito M N RS. ←→

←→

57. Sean BA y BD rectas tangentes a la circunferencia C(O, r) en los ←→

puntos A, D, sea C ∈ BA, sea CE tangente a la circunferencia en E. \∼ \ Demostrar que BOC = DAE.

em at

i ca

s

58. Demostrar que una circunferencia es inscriptible en un cuadril´atero ABCD sii la suma de las medidas de los lados opuestos son iguales, es decir, sii AB + CD = BC + AD. (Ayuda: suponga que AB > BC)

at

Construcciones con regla y comp´ as.

o

de

M

59. Trazar una circunferencia que pase por dos puntos dados y su centro se encuentre sobre una recta dada.

ns

tit

ut

60. Trazar una circunferencia que tenga un radio dado, pase por un punto dado y sea tangente a una recta dada.

qu

ia

,I

61. Trazar una circunferencia que tenga un radio dado, pase por un punto dado y sea tangente a otra circunferencia dada.

An tio

62. Trazar una circunferencia que tenga un radio dado y sea tangente a dos rectas dadas que se interceptan.

iv er si d

ad

de

63. Trazar una circunferencia que pase por un punto y sea tangente a dos rectas paralelas dadas.

Un

64. Trazar una circunferencia que tenga un radio dado y sea tangente a una circunferencia y a una recta dadas. 65. Trazar una circunferencia que tenga un radio dado y sea tangente a dos circunferencias dadas. 66. Trazar una tangente a una circunferencia que sea paralela a una recta l dada. 67. Construir una circunferencia que sea tangente a una recta dada en un punto dado sobre esta recta y pase por otro punto dado. 68. Construir un tri´angulo rect´angulo, conociendo la hipotenusa y sobre ella, el pie de la bisectriz del ´angulo recto.

6.7. EJERC. Y PROBLEMAS DE LA CIRCUNFERENCIA

199

69. Trazar una circunferencia tangente a dos rectas no paralelas dadas y que tenga su centro sobre una recta dada secante a las dos primeras y que no pase por el punto de intersecci´on de ellas dos. 70. Construir un tri´angulo dados: a) a, α, ma . b) a, α, ha . c) ha , ma , α.

i ca

s

71. Trazar las tangentes exteriores y las interiores a dos circunferencias exteriores.

Un

iv er si d

ad

de

An tio

qu

ia

,I

ns

tit

ut

o

de

M

at

em at

72. Construir una circunferencia tangente a tres rectas dadas (dos casos: cuando las tres rectas son secantes y cuando dos de las rectas son paralelas).

Un iv er si d ad de An tio qu ia ,I ns o

ut

tit de

i ca

em at

at

M

s

200 CAP´ITULO 6. LA CIRCUNFERENCIA

i ca

s

CAP´ITULO 7

ut

o

de

M

at

em at

SEMEJANZA

ns

tit

´ INTRODUCCION

7.1.

An tio

qu

ia

,I

Definici´ on 58. a. Raz´ on: se llama raz´on, al cociente de dos cantidades, expresadas en la misma magnitud, por ejemplo ab .

Un

iv er si d

ad

de

b. Proporci´ on: se llama proporci´on a la igualdad de dos razones. Por ejemplo ab = dc , a los t´erminos a y d se les llama extremos y los t´erminos ¯ ¯ b y c se les llama medios, al t´ermino d se le llama cuarta proporcional ¯ ¯ ¯ entre a, b y c en este orden. ¯ ¯ ¯ En algunos textos de geometr´ıa se utiliza la notaci´on de proporci´on as´ı: a : b = c : d que se lee “a es a b como c es a d” ¯ ¯ ¯ ¯ Propiedades de las proporciones: 1. Si

a b

=

c d

entonces a · d = b · c

2. Si

a b

=

c d

y

3. Si

a b

=

c d

entonces

b a

4. Si

a b

=

c d

entonces

a±b b

5. Si

a b

=

c d

a b

=

c e

entonces d = e

entonces

=

d c

=

a+b c+d

o

a c

c±d d

=

=

b d

o

a±b a

a−b c−d

o

o

d b

=

a+b a−b

201

=

c a

c±d c

=

c+d c−d

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

202 6. Si

a1 b1

=

a2 b2

=

a3 b3

= ... =

an bn

entonces

a1 a2 a3 an a1 + a2 a1 + a2 + . . . + a n = = = ... = = = ... = b1 b2 b3 bn b1 + b2 b1 + b2 + . . . + bn

PARALELISMO Y PROPORCIONALIDAD

em at

7.2.

i ca

s

7. Si b es una magnitud tal que ab = db , entonces decimos que b es media ¯ ¯ proporcional entre a y d o lo que es lo mismo: b es media proporcional ¯ ¯2 ¯ entre a y d si y solo si b = a · d. ¯ ¯

←→

P b

B b

ns

tit

b

ut

A

o

de

M

at

Definici´ on 59. 1. Un punto P ∈AB divide al segmento AB en una raz´on PA r si P B = r. Si r = 1 entonces P es el punto medio de AB.

qu

ia

,I

Figura 1.

←→

An tio

←→

de

2. Sean AB y CD y sean X ∈AB y Y ∈CD, decimos que X e Y dividen a AB y CD en segmentos proporcionales si

iv er si d

ad

XA YC = XB YD

A

X

Un

b

C b

b

Y b

B b

D b

Figura 2.

El siguiente Lema, llamado el Teorema fundamental del paralelismo es en realidad una generalizaci´on del Teorema de la paralela media.

7.2. PARALELISMO Y PROPORCIONALIDAD

203

Lema 1 (Teorema fundamental del paralelismo). Si tres o m´as rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante entonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante.

E

F

m G

o

C

tit ,I

ns

D

n

ut

F’

G’

qu

ia

a

i ca

de

M

E’

em at

B

l

at

A

s

Demostraci´ on. (Ver Figura 3.)

H

r

b

de

An tio

Figura 3.

iv er si d

ad

Sean l, m, n, r cuatro rectas paralelas y a una secante que corta a estas paralelas en A, B, C, D tales que AB ∼ = BC ∼ = CD. Sea b otra secante que corta a las paralelas en E, F, G, H. Veamos que EF ∼ = FG ∼ = GH. ←→

←→

←→

Un

Por Playfair, por E, F, G pasan EE ′ , F F ′ , GG′ paralelas a a, donde E ′ ∈ m, F ′ ∈ n, G′ ∈ r. Por la proposici´on 2., AB ∼ = EE ′ , BC ∼ = F F ′ y CD ∼ = GG′ luego EE ′ ∼ = ′ ′ ′ ′ ′ ∼ ∼ ∼ \ \ \ F F = GG y como los ´angulos E EF = F F G = G GH por correspondientes ′H y ′F ∼ \ \ \ entre paralelas y por la proposici´on n´ umero 1, EE F ′G ∼ = F = GG por el criterio A-L-A, los siguientes tri´angulos son congruentes: △EE ′ F ∼ = △F F ′ G ∼ = △GG′ H, luego EF ∼ = FG ∼ = GH



CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

204

Teorema 90. Dado un n´ umero entero n y dado un segmento, existen puntos en el interior del segmento que lo dividen en n segmentos congruentes. Pn−1

b

b

A2 Figura 4.

l

b

An−1 An

s

b

A1

i ca

b

P2

M

at

A

b

em at

P1

Pn B

tit

ut

o

de

Demostraci´ on. (Ver Figura 4.) Sea AB un segmento y n un n´ umero entero, veamos que existen puntos P que dividen al segmento en n segmentos congruentes. Sea l una semirrecta ←→

qu

ia

,I

ns

cualesquiera, con origen en A tal que l no est´e contenida en la recta AB. Sobre la semirrecta l, por el Axioma de continuidad de Arqu´ımedes, existen puntos A1 , A2 , . . . , An−1 , An tales que

An tio

AA1 ∼ = A1 A2 ∼ = . . . An−1 An

iv er si d

ad

de

Por Playfair, por A1 , A2 , . . . , An−1 pasan paralelas a An B, las cuales se intersectan con AB en P1 , P2 , . . . , Pn−1 , entonces por el lema anterior AP1 ∼ = P1 P2 ∼ = . . . Pn−1 B



Un

Definici´ on 60 (Segmentos conmensurables e inconmensurables). Decimos que un segmento es conmensurable si su medida es un n´ umero racional y decimos que un segmento es inconmensurable si su medida es un n´ umero irracional. Teorema 91 (Teorema de Tales). Si tres o m´as paralelas cortan a dos o m´as secantes entonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales. Demostraci´ on. (Ver Figura 5.) ←→

←→

←→

Sean AD, BE y CF rectas paralelas que cortan las secantes a, b en los puntos A, D, B, E, C, F respectivamente.

7.2. PARALELISMO Y PROPORCIONALIDAD

A

205

D

A1

D1

A2

D2

A3

D3

An−1

Dn−1

B

E

B1

E1

B2

i ca

Em

C Bm+1

a

ut

ns

tit

Figura 5.

o

de

b

M

at

F Em+1

em at

Bm

s

E2

de

An tio

qu

ia

,I

AB EF Veamos que BC = DE o equivalentemente BC = DE EF AB EF Llamemos x = BC e y = DE y veamos que x = y AB Sea n un n´ umero entero cualesquiera, entonces por el Teorema 90., existen puntos A1 , A2 , . . . , An−1 que dividen al segmento AB en n segmentos congruentes:

iv er si d

ad

AA1 ∼ = A1 A2 ∼ = A2 A3 ∼ = ... ∼ = An−1 B,

AB = nAA1 . ←→

Un

Por Playfair, por A1 , A2 , . . . , An−1 pasan rectas paralelas a AD que cortan a b en D1 , D2 , . . . , Dn−1 , luego por el Lema 1. (Teorema fundamental del paralelismo), los segmentos: DD1 ∼ = D1 D2 ∼ = D2 D3 ∼ = ... ∼ = Dn−1 E,

DE = nDD1 .

Por el Axioma de Arqu´ımedes, existen puntos B1 , B2 , . . . , Bm , Bm+1 en la −−→ BC tales que BB1 ∼ = B1 B2 ∼ = B2 B3 ∼ = ... ∼ = AA1 , = Bm Bm+1 ∼ y C entre B, Bm+1 , por tanto BBm = mAA1 . Luego, BBm mAA1 m = = AB nAA1 n

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

206

←→

Por Playfair, por B1 , B2 , . . . , Bm , Bm+1 pasan paralelas a AD que cortan a −→ EF en los puntos E1 , E2 , . . . , Em , Em+1 y por el Lema 1. (Teorema fundamental del paralelismo), EE1 ∼ = E1 E2 ∼ = E2 E3 ∼ = ... ∼ = Em Em+1 ,

EEm = mDD1 .

i ca

s

y F entre E y Em+1 , ya que C esta entre B y Bm+1 luego

at

m n

(¿porque no ocurre el caso

M

o b.) x >

de

m n

ut

o

Dos casos pueden ocurrir: a.) x = x< m ?). n a.) Si x = m , entonces n

em at

mDD1 m EEm = = DE nDD1 n

,I

ns

tit

BC m mAA1 BBm =x= = = AB n nAA1 AB

An tio

qu

ia

y por lo tanto BC = BBm y como C y Bm est´an del mismo lado con respecto a B entonces por el axioma de construcci´on de segmento, C ≡ Bm , entonces EF m = EE = DE = y. F ≡ Em , luego m n DE

de

b.) Supongamos que x >

iv er si d

ad

m BC > nAA1 n

Un

y

m n

entonces x =

BC AB

>

m n

o sea que

y mAA1 < BC < (m + 1)AA1

mDD1 < EF < (m + 1)DD1

por lo tanto

EF mDD1 m EF = > = . DE nDD1 nDD1 n m En resumen, hemos demostrado que si x > n entonces y > m . n m De la misma manera se demuestra que si y > n entonces x > m . n Hasta aqu´ı, hemos demostrado que para todo n´ umero racional m , si n m m m x > m entonces y > y rec´ ıprocamente, si y > entonces x > . En n n n n otras palabras, todo n´ umero racional a la izquierda de x esta tambi´en a la izquierda de y y todo n´ umero racional a la izquierda de y esta a la izquierda de x. Todo esto significa que no hay un n´ umero racional entre x e y, ya y=

7.2. PARALELISMO Y PROPORCIONALIDAD

207

que si hubiera un n´ umero racional entre x e y entonces estar´ıa a la izquierda de uno de ellos y a la derecha del otro, lo cual contradice lo demostrado; por lo tanto x = y, es decir: DE AB =  BC EF

s

Corolario 31 (Teorema de Tales en el tri´ angulo). Toda recta paralela a un lado de un tri´angulo y que corte a los otros dos lados, divide a estos lados en segmentos proporcionales.

o

de

M

at

em at

i ca

A

tit

ut

E

C

,I

ns

B

F

An tio

qu

ia

Figura 6.

de

Lo que afirma este corolario es que si EF ||BC entonces las propiedades de las fracciones

luego

iv er si d

ad

EA + EB FA + FC = EB FC

y

Un

AB AC = y EB FC esto demuestra el siguiente corolario.

EA EB

=

FA ; FC

por

EA FA = AE + EB AF + F C AB AC = AE AF

Corolario 32. Dos lados de un tri´angulo son proporcionales a los segmentos que en ellos determina cualquier recta paralela al tercer lado. El siguiente teorema es el rec´ıproco del Corolario 31 Teorema 92 (Rec´ıproco del Teorema de Tales en el tri´ angulo). Si una recta intercepta dos lados de un tri´angulo en segmentos proporcionales entonces la recta es paralela al tercer lado del tri´angulo.

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

208

A

F l E

F’

C

s

B

l′

at

em at

i ca

Figura 7.

de

M

Demostraci´ on. (Ver Figura 7.) Sea el △ABC y l una recta tal que

o

AF AE = EB FC

ns

tit

ut

l ∩ AB = {E}, l ∩ AC = {F },

qu

ia

,I

Por Playfair, por E pasa l′ ||BC la cual intercepta a AC en F ′ , entonces por el Corolario 31 (Teorema de Tales en el tri´angulo), se tiene:

=

AF ′ F ′C

y por las propiedades de las fracciones

de

AF FC

iv er si d

ad

luego

An tio

AE AF ′ = ′ EB FC FC AF

=

F ′C AF ′

o sea que

F ′ C + AF ′ F C + AF = AF AF ′

que es lo mismo que

Un

AC AC = AF AF ′ luego AF = AF ′ y por tanto AF ∼ = AF ′ y como F, F ′ est´an del mismo lado con respecto a A entonces por el axioma de construcci´on de segmento F ′ ≡ F  y por lo tanto EF ||BC. En forma similar se demuestran los siguientes rec´ıprocos: Corolario 33 (Rec´ıproco del Corolario 32). Si dos lados de un tri´angulo son proporcionales a los segmentos que en ella determina una recta que intercepta los dos lados, entonces la recta es paralela al tercer lado del tri´angulo.

7.2. PARALELISMO Y PROPORCIONALIDAD

209

A

E

F C

s

B

at

em at

i ca

Figura 8.

M

Lo que afirma este corolario es que si en el △ABC (Ver Figura 8.)

de

AB AC = EB FC

o

´o

ut

AC AB = AE AF

,I

ns

tit

entonces EF ||BC

de

An tio

qu

ia

Teorema 93 (Propiedades m´ etricas de la bisectriz de un tri´ angulo). La bisectriz de un ´angulo de un tri´angulo divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos lados.

iv er si d

ad

Demostraci´ on. (Ver Figura 9.) b en el △ABC con V ∈ IntBC. Veamos que Sea AV bisectriz de A ←→

VB VC

=

AB . AC

Un

Por Playfair, por C pasa l||AV ; sea {D} = l∩ BA, luego por alternos \ y por correspondientes entre painternos entre paralelas, V[ AC ∼ = ACD [ ∼ \ pero como AV es bisectriz por hip´otesis, entonces ralelas, BAV = ADC, [ ∼ BAV AC, luego = V[ \∼ \ ADC = ACD y por el teorema del tri´angulo is´osceles, se tiene que △ADC es is´osceles y por lo tanto AD ∼ = AC.

Por el corolario 32 (Teorema de Tales en el tri´angulo), AB VB = , VC AD

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

210

l D

M

at

em at

i ca

s

A

o

de

C

,I

ns

tit

V Figura 9.

ut

B

ia

luego

qu

VB AB = . VC AC

An tio



iv er si d

ad

de

Teorema 94 (Rec´ıproco del teorema anterior). Si una recta que pasa por el v´ertice de un tri´angulo divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos lados, entonces esta recta es bisectriz del ´angulo ubicado en el v´ertice por donde pasa la recta.

Un

Demostraci´ on. (Ver Figura 10.)

←→

Supongamos que en el △ABC se tiene que AV con V ∈ IntBC, tal que VB b = AB . Veamos que AV es bisectriz de A. VC AC ←→

Por Playfair, por C pasa l||AV ; sea {D} = l∩ BA. AB = AD , pero por hip´otesis Como l||AV , entonces por el corolario 32, VV B C VB AB = , VC AC entonces

AB AB = AC AD

7.2. PARALELISMO Y PROPORCIONALIDAD

211

l D

B

C

qu

ia

,I

ns

tit

V Figura 10.

ut

o

de

M

at

em at

i ca

s

A

iv er si d

ad

de

An tio

y por las propiedades de las fracciones AD = AC o sea que AD ∼ = AC, por lo tanto el △ADC es is´osceles y por el Teorema del tri´angulo is´osceles, \∼ \ ADC = ACD. \ y por Por otro lado, por alternos internos entre paralelas, V[ AC ∼ = ACD [ ∼ \ correspondientes entre paralelas, BAV = ADC. b [ ∼ Luego BAV AC, luego AV es bisectriz de A.  = V[

Un

Teorema 95 (Propiedades m´ etricas de la bisectriz exterior de un tri´ angulo). La bisectriz de un ´angulo exterior de un tri´angulo, que no sea paralela al lado opuesto, divide exteriormente al lado opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos lados. Demostraci´ on. (Ver Figura 11.)

←→

[ en el △ABC con V ′ ∈BC y Sea AV ′ bisectriz del ´angulo exterior EAC V ′B AB ′ B − C − V . Veamos que V ′ C = AC . ←→

Por Playfair, por C pasa l||AV ′ ; sea {D} = l∩ BA, luego por alternos

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

212 E A

l

B

C

em at

i ca

s

D

V’

de

M

at

Figura 11.

ia

,I

ns

tit

ut

o

′ AC ∼ \ y por correspondientes entre painternos entre paralelas, V\ = ACD \′ ∼ \ pero como AV ′ es bisectriz por hip´otesis, entonces ralelas, EAV = ADC, ′ AE, luego \′ ∼ CAV = V\ \∼ \ ADC = ACD

An tio

qu

y por el teorema del tri´angulo is´osceles, se tiene que △ADC es is´osceles y por lo tanto AD ∼ = AC.

Un

luego

iv er si d

ad

de

Por el corolario 32 (Teorema de Tales en el tri´angulo), V ′B AB = , ′ V C AD V ′B AB = . V ′C AC



El rec´ıproco de este teorema se deja como ejercicio. Teorema 96 (Rec´ıproco del Teorema anterior). Una recta que pase por el v´ertice de un tri´angulo y divida la prolongaci´on del lado opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos lados del tri´angulo, es bisectriz del ´angulo exterior ubicado en este v´ertice.

7.3. SEMEJANZA DE POL´IGONOS

213

Definici´ on 61 (Divisi´ on arm´ onica). Si A y B son dos puntos distintos y ←→

/ AB, decimos que C, D dividen arm´onicaC ∈ IntAB y D ∈AB pero D ∈ mente a AB si CA DA = CB DB A C B D b

b

b

b

i ca

s

Figura 12.

,I

ns

tit

ut

o

de

M

at

em at

A los puntos C y D se les llama los conjugados arm´onicos con respecto a A y B. Los puntos A, B, C, D en este orden, se dice que forman una divisi´on arm´onica. Tambi´en, de acuerdo a la definici´on, podemos afirmar que A y B son conjugados arm´onicos con respecto a CD. Por los teoremas 93 y 95 y por la definici´on de conjugado arm´onico, podemos afirmar el siguiente teorema.

An tio

qu

ia

Teorema 97. La bisectriz de un ´angulo de un tri´angulo y la bisectriz del ´angulo exterior adyacente, dividen al lado opuesto arm´onicamente.

SEMEJANZA DE POL´IGONOS

Un

7.3.

iv er si d

ad

de

Nota: de acuerdo a los teoremas anteriores, el lugar geom´etrico de los puntos A tales que la raz´on de las distancias a dos puntos fijos B y C sea una constante k, es una circunferencia de di´ametro V V ′ , donde V, V ′ son los conjugado arm´onicos de BC con raz´on k.

Definici´ on 62 (Pol´ıgonos semejantes). Decimos que dos pol´ıgonos son semejantes con raz´on de semejanza r, si se puede establecer una correspondencia entre sus lados y sus ´angulos de tal manera que: 1. Los lados correspondientes son proporcionales. A estos lados tambi´en los llamaremos lados hom´ologos. La raz´on r entre los lados hom´ologos la llamamos raz´on de semejanza. 2. Los ´angulos correspondientes son congruentes. A los ´angulos correspondientes congruentes, tambi´en se les llama ´angulos hom´ologos.

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

214

Definici´ on 63 (Pol´ıgonos congruentes). Decimos que dos pol´ıgonos semejantes, son congruentes si su raz´on de semejanza r = 1. Teorema 98. Dos pol´ıgonos semejantes son congruentes si un lado de uno de ellos es congruente con su hom´ologo. En particular, para los tri´angulos tenemos la siguiente definici´on.

b∼ c′ (∗∗) C =C

de

A

b∼ c′ , B =B

at

b∼ b′ , A =A

(∗),

M

BC AC AB = = A′ B ′ B′C ′ A′ C ′

em at

i ca

s

Definici´ on 64 (Tri´ angulos semejantes). Decimos que el △ABC es semejante al △A′ B ′ C ′ , lo cual denotamos as´ı △ABC ∼ △A′ B ′ C ′ , si:

B

An tio

c′

ns

qu

ia

′

b

,I

b

c

tit

ut

o

A’

C

B’ a′

C’

Figura 13.

ad

de

a

Un

iv er si d

En este caso decimos que los v´ertices A y A′ , B y B ′ , C y C ′ , los lados byA b′ , B b yB c′ , C b yC c′ AB y A′ B ′ , AC y A′ C ′ , BC y B ′ C ′ y los ´angulos A son hom´ologos o correspondientes. Nota: 1. Con los teoremas que haremos m´as adelante, mostraremos que (*) implica (**) y rec´ıprocamente, (**) implica (*). 2. Por las propiedades de las fracciones, se puede demostrar que si dos tri´angulos son semejantes, entonces sus lados son entre si como sus per´ımetros, es decir, si △ABC ∼ △A′ B ′ C ′ entonces a b c p = = = =r a′ b′ c′ p′ donde p = a + b + c =per´ımetro del △ABC, p′ = a′ + b′ + c′ =per´ımetro del △A′ B ′ C ′ y r es la raz´on de semejanza.

7.3. SEMEJANZA DE POL´IGONOS

215

3. La relaci´on de semejanza entre pol´ıgonos es una relaci´on de equivalencia, es decir, es reflexiva, sim´etrica y transitiva (Ejercicio). A continuaci´on veremos tres criterios de semejanza de tri´angulos.

s

Teorema 99 (Primer criterio de semejanza: Angulo-Angulo (A-A)). Si dos ´angulos de un tri´angulo son congruentes con dos ´angulos de otro tri´angulo, entonces los dos tri´angulos son semejantes.

em at

i ca

A

M

at

A’

B’

C’

An tio

qu

ia

,I

C

tit

F

B

ut

E

ns

D

o

de

l

de

Figura 14.

Un

iv er si d

ad

Demostraci´ on. (Ver Figura 14.) Supongamos que en los tri´angulos △ABC ′ ′ ′ b∼ c′ , C b∼ c′ , entonces por el teorema de la suma y △A B C se tiene que B =B =C b∼ b′ . de los ´angulos interiores de un tri´angulo, A =A −→ Por el axioma de construcci´on de segmento, existe un punto D ∈ AB y −→ E ∈ AC tales que AD ∼ = A′ B ′ y AE ∼ = A′ C ′ ; unamos D con E, entonces ∼ por el criterio L-A-L, el △ADE = △A′ B ′ C ′ , por lo tanto DE ∼ = B′C ′, c′ , pero por hip´otesis B c′ ∼ b por lo tanto ADE b y por el \ ∼ \ ∼ ADE = B = B, = B teorema de alternos internos (Teorema 31), DE||BC y por el corolario 32, AC AB = , AD AE

o sea ←→

AB AC = ′ ′ ′ ′ AB AC

←→

(∗)

Por Playfair, por D pasa l|| AC, sea {F } = l∩ BC y por la proposici´on n´ umero 2, DE ∼ = F C y como DE ∼ = B ′ C ′ entonces F C ∼ = B ′ C ′ ; por otro

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

216 lado, por el corolario 32, BC AB = , AD FC

AB BC = ′ ′ ′ ′ AB BC

o sea

(∗∗)

de (*), (**) AB AC BC = ′ ′ = ′ ′, ′ ′ AB AC BC

em at

i ca

s

hemos mostrado que los tres pares de ´angulos son congruentes y los tres pares de lados respectivos son proporcionales, por lo tanto 

o

de

Se deja como ejercicio los siguientes corolarios.

M

at

△ABC ∼ △A′ B ′ C ′

ns

tit

ut

Corolario 34 (Paralela a un lado de un tri´ angulo). Una paralela a un lado de un tri´angulo determina otro tri´angulo semejante al primero.

An tio

qu

ia

,I

Corolario 35. Si dos tri´angulos rect´angulos tienen un par de ´angulos agudos respectivamente congruentes, entonces son semejantes.

de

Corolario 36. Si dos tri´angulos tienen sus lados respectivamente paralelos o respectivamente perpendiculares, entonces los dos tri´angulos son semejantes.

iv er si d

ad

Corolario 37. Las alturas y las bisectrices hom´ologas de dos tri´angulos semejantes est´an en la misma raz´on que sus lados hom´ologos.

Un

Corolario 38. Dos tri´angulos is´osceles son semejantes si tienen un par de ´angulos congruentes. Corolario 39. Todos los tri´angulos equil´ateros son semejantes. Teorema 100 (Segundo criterio de semejanza: P-A-P). Si un ´angulo de un tri´angulo es congruente con otro ´angulo de otro tri´angulo y los lados que comprenden al ´angulo en el primer tri´angulo son respectivamente proporcionales a los lados que comprende al ´angulo en el segundo tri´angulo, entonces los dos tri´angulos son semejantes.

7.3. SEMEJANZA DE POL´IGONOS

217

A A’

E

B

C

B’

C’

s

D

em at

i ca

Figura 15.

An tio

qu

ia

,I

ns

tit

ut

o

de

M

at

b∼ b′ y Demostraci´ on. (Ver figura 15.) Tomemos por hip´otesis que A =A AB ′ ′ ′ = AAC ′ C ′ . Veamos que △ABC ∼ △A B C . A′ B ′ −→ −→ Por el axioma de construcci´on de segmento, existen D ∈ AB y E ∈ AC tales que AD ∼ = A′ B ′ y AE ∼ = A′ C ′ , por lo tanto, por el criterio L-A-L, ′ ′ ′ ∼ △ADE = △A B C . AC AB AC Por otro lado, como AAB ′ B ′ = A′ C ′ entonces AD = AE y por el corolario 33 (rec´ıproco del corolario 32), DE||BC Por lo tanto, por el corolario 34, △ADE ∼ △ABC y por transitividad △ABC ∼ △A′ B ′ C ′

ad

de



iv er si d

Corolario 40. Dos tri´angulos rect´angulos son semejantes si sus catetos son respectivamente proporcionales.

Un

Corolario 41. Las medianas hom´ologas de dos tri´angulos semejantes, estan en la misma raz´on que sus lados hom´ologos. Teorema 101 (Tercer criterio de semejanza:P-P-P). Si los tres lados de un tri´angulo son respectivamente proporcionales a los tres lados de otro tri´angulo, entonces los dos tri´angulos son semejantes. Demostraci´ on. (Ver Figura 16.) Tomemos por hip´otesis que AC BC AB = ′ ′ = ′ ′ ′ ′ AB AC BC

(∗)

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

218 A

A’

E

B

C

B’

C’

s

D

em at

i ca

Figura 16.

o ut

tit

AC AB = AD AE

de

M

at

−→ −→ Por el axioma de construcci´on de segmento, existen D ∈ AB y E ∈ AC tales que AD ∼ = A′ B ′ y AE ∼ = A′ C ′ , sustituyendo en (*),

,I

ns

y por el corolario 33 (rec´ıproco del corolario 32),

qu

ia

DE||BC

An tio

Por lo tanto, por el corolario 34, △ADE ∼ △ABC, de esta semejanza se concluye que o sea que

AB BC = ′ ′ AB DE

(∗∗),

iv er si d

ad

de

AB BC = AD DE pero por hip´otesis

Un

BC AB = ′ ′ (∗ ∗ ∗) ′ ′ AB BC de (**) y (***) y por las propiedades de las fracciones: DE = B ′ C ′ o sea que DE ∼ = B′C ′

y por lo tanto, por el tercer criterio de congruencia de tri´angulos L-L-L: △ADE ∼ = △A′ B ′ C ′ y como △ADE ∼ △ABC, entonces por transitividad, △ABC ∼ △A′ B ′ C ′ .



Corolario 42. Si las bases de dos tri´angulos is´osceles son entre si como sus otros lados, entonces los tri´angulos son semejantes.

´ ´ 7.4. SEMEJANZA EN EL TRIANGULO RECTANGULO

7.4.

219

´ SEMEJANZA EN EL TRIANGULO ´ RECTANGULO

Los resultados de aplicar los conceptos de semejanza al tri´angulo rect´angulo son de mucha importancia, pues obtendremos el teorema de Pit´agoras y aplicaciones al tri´angulo y a los cuadril´ateros, a las ´areas, etc.

em at

i ca

s

Definici´ on 65. a. La proyecci´on ortogonal de un punto exterior a una recta, es el punto de intersecci´on de una recta perpendicular desde el punto a la recta.

o

de

M

at

b. La proyecci´on ortogonal de un segmento sobre una recta es el segmento determinado por las proyecciones ortogonales de los extremos del segmento sobre la recta. B

tit

ut

P

ia

l

A’

B’

qu

P’

Figura 17.

iv er si d

ad

de

An tio

b

,I

ns

A

Un

En la Figura 17., la proyecci´on ortogonal del punto P sobre la recta l es −−→ −−→ el punto P ′ , ya que l ⊥ P P ′ y {P ′ } = l ∩ P P ′ . La proyecci´on ortogonal del segmento AB sobre la recta l es el segmento donde A′ y B ′ son las proyecciones ortogonales sobre l de A y B respectivamente. A′ B ′ ,

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

220

Teorema 102 (Proporcionalidad en el tri´ angulo rect´ angulo). Si en un tri´angulo rect´angulo se traza la altura correspondiente a la hipotenusa, entonces: a. Los dos nuevos tri´angulos que resultan, son semejantes entre si y semejantes al tri´angulo original.

i ca

s

b. La altura es media proporcional entre los segmentos que ella determina sobre la hipotenusa.

M

at

em at

c. Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyecci´on del cateto sobre la hipotenusa.

,I

ns

tit

ut

o

de

C

ia

A

B

de

An tio

qu

D Figura 18.

ad

Demostraci´ on. (Ver Figura 18.)

Un

iv er si d

a. Sabemos por el corolario 35, que si dos tri´angulos rect´angulos tienen un ´angulo agudo congruente, entonces los dos tri´angulos son semejantes, por lo tanto △ADC ∼ △ABC,

△CDB ∼ △ABC

y por transitividad △ADC ∼ △ABC ∼ △CDB \∼ \ y ACD \∼ \ entonces la b. Como △ADC ∼ △CDB y CAD = DCB = CBD relaci´on entre los lados hom´ologos del △ADC con los lados hom´ologos del △CDB es △ADC AD AC DC : = = △CDB CD CB DB

´ ´ 7.4. SEMEJANZA EN EL TRIANGULO RECTANGULO

221

luego CD2 = AD · DB o sea que CD es media proporcional entre AD y DB. b es com´ \ ∼ [ y el ´angulo A c. Como △ADC ∼ △ABC y ACD un, = CBA entonces la relaci´on entre los lados hom´ologos del △ADC con los lados hom´ologos del △ABC es △ADC : △ABC

s

AD AC DC = = AC AB CB

de

CB 2 = AB · DB

M

at

em at

i ca

luego AC 2 = AD · AB o sea que AC es media proporcional entre AD y AB. b es com´ \ ∼ [ y el ´angulo B Como △CDB ∼ △ABC, BCD un, se = CAB demuestra en forma similar que

ut

o

o sea que CB es media proporcional entre AB y DB.



qu

ia

,I

ns

tit

Teorema 103 (Teorema de Pit´ agoras). El cuadrado de la medida de la hipotenusa en un tri´angulo rect´angulo es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos.

iv er si d

ad

de

An tio

C

Un

A

D Figura 19.

B

Demostraci´ on. (Ver Figura 19.) Sea △ABC un tri´angulo rect´angulo en C y sea CD la altura relativa a la hipotenusa, entonces por la parte c. del anterior teorema: AC 2 = AD · AB,

CB 2 = AB · DB

y sumando estas dos expresiones, tenemos AC 2 + CB 2 = AD · AB + AB · DB = AB(AD + DB) = AB · AB = AB 2 

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

222

Teorema 104 (Rec´ıproco del teorema de Pit´ agoras). Si en un tri´angulo el cuadrado de la medida de un lado es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los otros dos lados, entonces el tri´angulo es rect´angulo. m A

at

em at

i ca

s

A’

M

l

C

de

B’

C’

ns

tit

Figura 20.

ut

o

B

Un

iv er si d

ad

de

An tio

qu

ia

,I

Demostraci´ on. (Ver Figura 20.) Sea el △ABC tal que AC 2 = AB 2 + BC 2 . Veamos que el △ABC es rect´angulo en B. Para ello, construyamos un tri´angulo △A′ B ′ C ′ rect´angulo en B ′ , as´ı : en una recta l fijo un punto B ′ , por el axioma de construcci´on de segmento, existe un punto C ′ en una de las semirrectas determinadas por B ′ en l, tal que B ′ C ′ ∼ = BC; por el teorema de la perpendicular por un punto de una recta, por B ′ pasa m ⊥ l, por el axioma de construcci´on de segmento, existe un punto A′ en una de las semirrectas determinadas por B ′ en m, tal que B ′ A′ ∼ = BA, por lo tanto el △A′ B ′ C ′ es ′ rect´angulo en B . Por el teorema de Pit´agoras A′ C ′2 = A′ B ′2 + B ′ C ′2 .

Pero por hip´otesis AC 2 = AB 2 + BC 2 , luego A′ C ′2 = AC 2 y por tanto A′ C ′ = AC En los tri´angulos △ABC y △A′ B ′ C ′ se tiene: AC = A′ C ′ ,

AB = A′ B ′ ,

luego, por el criterio L-L-L, se tiene que △ABC ∼ = △A′ B ′ C ′

BC = B ′ C ′

´ 7.5. APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS

223

′ B ′ C ′ y como A ′ B ′ C ′ es recto, entonces △ABC es rect´ [ ∼ \ luego ABC angulo = A\ en B. 

7.5.

APLICACIONES DEL TEOREMA DE ´ PITAGORAS

em at

i ca

s

Con los siguientes teoremas se demuestra la ley de cosenos en trigonometr´ıa.

at

Teorema 105 (Ley de cosenos).

tit

ut

o

de

M

a. En un tri´angulo obtus´angulo, el cuadrado de la medida del lado opuesto al ´angulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los otros dos lados, m´as el doble producto de la medida de uno de estos lados por la proyecci´on del otro sobre ´el.

An tio

qu

ia

,I

ns

b. En un tri´angulo cualquiera, el cuadrado de la medida del lado opuesto al ´angulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los otros dos lados, menos el doble producto de la medida de uno de estos lados por la proyecci´on del otro sobre ´el.

iv er si d

ad

de

Demostraci´ on. a.) (Ver Figura 21.(a)) Supongamos que en el △ABC el ←→ [ es obtuso y sea BH la proyecci´on de AB sobre BC y sea BH1 ´angulo ABC ←→

Un

la proyecci´on de BC sobre AB, por el Teorema 36, H − B − C y A − B − H1 ; veamos que AC 2 = AB 2 + BC 2 + 2 · BC · BH

y AC 2 = AB 2 + BC 2 + 2 · AB · BH1

Demostremos la primera expresi´on, la otra se hace en forma similar. Por el teorema de Pit´agoras en el △AHB se tiene AB 2 = AH 2 + HB 2

(∗)

Por el teorema de Pit´agoras en el △AHC se tiene AC 2 = AH 2 + HC 2

(∗∗)

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

224 A

A

H1

H

B

em at

H1

C

H

s

C

i ca

B

(b)

at

(a)

ut

o

de

M

Figura 21.

,I

ns

tit

restando (**) y (*): AC 2 −AB 2 = HC 2 −HB 2 (∗∗∗), pero como H −B −C, entonces HC = HB + BC y sustituyendo en (***) y despejando

de

An tio

qu

ia

AC 2 = AB 2 + (HB + BC)2 − HB 2 = AB 2 + HB 2 + BC 2 + 2 · HB · BC − HB 2 = AB 2 + BC 2 + 2 · BC · HB [ es b.) (Ver Figura 21.(b)). Supongamos que en el △ABC el ´angulo ABC

ad

←→

iv er si d

agudo y sea BH la proyecci´on de AB sobre BC y sea BH1 la proyecci´on de ←→

Un

BC sobre AB, por el Teorema 36, B − H − C y B − H1 − A; veamos que AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2 · BC · BH

y AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2 · AB · BH1

Demostremos la primera expresi´on, la otra se hace en forma similar. Por el teorema de Pit´agoras en el △AHB se tiene AB 2 = AH 2 + HB 2

(∗)

Por el teorema de Pit´agoras en el △AHC se tiene AC 2 = AH 2 + HC 2

(∗∗)

´ 7.5. APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS

225

restando (**) y (*): AC 2 −AB 2 = HC 2 −HB 2 (∗∗∗), pero como B −H −C, entonces HC = BC − HB y sustituyendo en (***) y despejando AC 2 = AB 2 + (BC − HB)2 − HB 2 = AB 2 + BC 2 + HB 2 − 2 · BC · HB − HB 2 = AB 2 + BC 2 − 2 · BC · HB



s

Teorema 106 (Teorema de Stewart).

em at

i ca

En el △ABC, D ∈ IntBC. Si BD = m, DC = n, AD = d, entonces

M

at

d2 a = b2 m + c2 n − amn

b

qu a

H n

C

Figura 22.

iv er si d

ad

de

m

An tio

D

B

ia

,I

d

ns

c

tit

ut

o

de

A

Un

Demostraci´ on. (Ver Figura 22.) Sea D ∈ BC en el △ABC, sea DH la ←→ \ pueden suceder tres casos: i. que proyecci´on de AD sobre BC; con el ADB sea obtuso, ii. que sea recto, iii. que sea agudo. Mostremos el primer caso, los otros casos son similares. \ es obtuso, entonces por el Teorema 36 B − D − H y ADC \ es Como ADB agudo y BD + DC = BC; por el teorema anterior (ley de cosenos) en el △ADB y en el △ADC: AB 2 = AD2 + BD2 + 2 · BD · DH

(∗)

AC 2 = AD2 + DC 2 − 2 · DC · DH

(∗∗)

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

226

multiplicando (*) por DC y (**) por BD y luego sumando: AB 2 · DC + AC 2 · BD = AD2 · (DC + BD) + BD2 · DC + DC 2 · BD = AD2 · BC + BD · DC(DC + BD) = AD2 · BC + BD · DC · BC luego AD2 · BC = AB 2 · DC + AC 2 · BD − BD · DC · BC es decir, 

i ca

s

d2 a = b2 m + c2 n − amn.

ns

tit

ut

o

de

M

at

em at

Teorema 107. a.) La suma de los cuadrados de las medidas de dos lados de un tri´angulo es igual a dos veces el cuadrado de la medida de la mediana del tercer lado m´as la mitad del cuadrado de la medida del tercer lado. b.) La diferencia de los cuadrados de las medidas de dos lados de un tri´angulo es igual a dos veces el producto de la medida del tercer lado por la proyecci´on de la mediana correspondiente a este lado.

An tio

qu

ia

,I

A

Un

iv er si d

B

ad

de

c

b

ma

M

H

C

a Figura 23.

Demostraci´ on. (Ver Figura 23.) En el △ABC, sea M el punto medio de BC, ma la mediana relativa al lado BC y M H la proyecci´on de la mediana ←→ \ B AM = ma sobre BC, supongamos que AB > AC. Con el ´angulo AM pueden suceder tres casos: i. es obtuso, ii. es recto, iii. es agudo. Tomemos el caso i. y veamos que a.) c2 + b2 = 2 · m2a + 21 a2 b.) c2 − b2 = 2 · a · M H.

´ 7.5. APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS

227

\ \ En efecto, como AM B es obtuso entonces AM C es agudo, luego por el teorema de la ley de cosenos en el △AM B y en el △AM C: AB 2 = AM 2 + BM 2 + 2 · BM · M H

(∗)

AC 2 = AM 2 + M C 2 − 2 · M C · M H

(∗∗)

tit

ut

o

de

M

at

em at

i ca

AB 2 + AC 2 = 2 · AM 2 + BM 2 + M C 2  BC 2  BC 2 = 2 · AM 2 + + 2 2  BC 2 1 = 2 · AM 2 + 2 = 2 · AM 2 + BC 2 2 2 1 2 2 2 2 c + b = 2 · ma + · a 2

s

sumando (*) y (**) y teniendo en cuenta que M es punto medio, o sea que M B = M C, entonces

ia

,I

ns

restando (*) y (**) y teniendo en cuenta que M es punto medio, o sea que M B = M C,:



ad

de

An tio

qu

AB 2 − AC 2 = 4 · M B · M H  BC  =4 · M H = 2 · BC · M H 2 c 2 − b2 = 2 · a · M H

Un

iv er si d

Teorema 108 (Altura en funci´ on de los lados). En un △ABC cuyos lados miden: BC = a, AC = b, AB = c; las alturas miden: 2p p(p − a)(p − b)(p − c) ha = a 2p p(p − a)(p − b)(p − c) hb = b 2p p(p − a)(p − b)(p − c) hc = c donde p = a+b+c =semi-per´ımetro. 2 Demostraci´ on. (Ver Figura 24.)Sea ha = AH la altura relativa al lado BC, con H pueden ocurrir los siguientes casos i. B − H − C, ii. B − C − H o

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

228

A

c

b

ha H

B

C

s

a

at

em at

i ca

Figura 24.

tit

ut

o

de

M

H − B − C, iii. H ≡ B o H ≡ C. Mostremos el caso i. y supongamos que c > b (ver la Figura 24.), el caso c < b es similar, el caso c = b se deja como ejercicio; como los tri´angulos △AHB y △AHC son rect´angulos, entonces por el teorema de Pit´agoras: c2 = h2a + BH 2 b2 = h2a + CH 2

qu

ia

,I

ns

(7.1) (7.2)

An tio

Como B − H − C entonces HC = a − BH, sustituyendo en 7.2 (7.3)

ad

de

b2 = h2a + (a − BH)2 = h2a + a2 + BH 2 − 2aBH

iv er si d

y por 7.1 en la expresi´on anterior

Un

b2 = h2a + a2 + c2 − h2a − 2aBH = a2 + c2 − 2aBH

como a 6= 0, ya que A, B, C son tres puntos distintos no colineales, despejando BH en la expresi´on anterior BH =

a2 + c 2 − b 2 2a

y sustituyendo en 7.1 c2 = h2a +

a2 + c 2 − b 2 2a

!2

´ 7.5. APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS

229

despejando h2a h2a

2

2

=c −

2

a +c −b 2a

2

!2

(a2 + c2 − b2 )2 4a2 c2 − (a2 + c2 − b2 )2 =c − = 4a2 4a2 2

(2ac + a2 + c2 − b2 )(2ac − a2 − c2 + b2 ) ((a + c)2 − b2 )(b2 − (a − c)2 ) = 4a2 4a2 (a + c + b)(a + c − b)(b + a − c)(b − a + c) = 4a2 (a + b + c)(a + c − b)(a + b − c)(b + c − a) = (7.4) 4a2 a + b + c − 2a b+c−a a+b+c −a= = 2 2a 2

o

p−a=

at

entonces a + b + c = 2p y tambi´en

M

a+b+c 2

de

Como p =

em at

i ca

s

=

ns

tit

ut

por lo tanto b + c − a = 2(p − a) Similarmente a + b − c = 2(p − c) y a + c − b = 2(p − b), sustituyendo en 7.4 2p · 2(p − a) · 2(p − b) · 2(p − c) 4 = 2 · p · (p − a) · (p − b) · (p − c) 2 4a a por lo tanto 2p p · (p − a) · (p − b) · (p − c).  ha = a

ad

´ CONSTRUCCIONES BASICAS

iv er si d

7.5.1.

de

An tio

qu

ia

,I

h2a =

Un

1. Dividir un segmento en n segmentos congruentes, con n entero positivo. Construcci´ on. Para la construcci´on, haremos los siguientes pasos consecutivos (Ver Figura 25.). −−→ • Por A trazo una semirrecta AX cualesquiera, tal que A, B y X sean tres puntos distintos no colineales. −−→ • Con centro en A y radio cualesquiera, trazo arco que corta a AX en A1 . −−→ • Con centro en A1 y el mismo radio, trazo arco que corta a AX en A2 de tal manera que A − A1 − A2 ; similarmente se hallan los puntos A3 , . . . , An−1 , An .

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

230

X

An An−1 A2 A1 A

B

C2 Cn−1 Figura 25.

em at

i ca

s

C1

de

M

at

• Uno An con B y por An−1 , An−2 , . . . , A2 , A1 trazo paralelas a An B las cuales cortan a AB en Cn−1 , Cn−2 , . . . , C2 , C1 . • AC1 ∼ = C1 C2 ∼ = ··· ∼ = Cn−1 B

o

Justificaci´ on. Como

tit

ut

AA1 ∼ = A1 A2 ∼ = ··· ∼ = An−1 An

,I

ns

y

ia

BAn k Cn−1 An−1 k · · · k C1 A1

An tio

qu

entonces por el Teorema fundamental del paralelismo (Lema 1), AC1 ∼ = C1 C2 ∼ = ··· ∼ = Cn−1 B

iv er si d

ad

de

2. Dividir un segmento dado en una proporci´on dada pq , donde p, q son enteros positivos. X

Un

Q

P A

C

B Figura 26.

Construcci´ on. Para la construcci´on, haremos los siguientes pasos consecutivos (Ver Figura 26.).

´ 7.5. APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS

231

−−→ • Por A trazo una semirrecta AX cualesquiera, tal que A, B y X sean tres puntos distintos no colineales. −−→ • Con centro en A y radio cualesquiera, trazo arco que corta a AX en A1 , este procedimiento lo efect´ uo p veces hasta completar un segmento AP de longitud pAA1 , a continuaci´on de este segmento y utilizando la misma medida AA1 construyo el segmento P Q de longitud qAA1 .

em at

i ca

s

• Uno Q con B y por P trazo paralela a QB la cual corta a AB en C.

at

• el punto C es el punto pedido.

ns

tit

ut

o

CA pAA1 p = = CB qAA1 q

de

M

Justificaci´ on. Como QB k P C, entonces por el Corolario 31 (Teorema de Tales en el tri´angulo)

Y

Q

P

iv er si d

ad

de

An tio

qu

ia

,I

3. Hallar la cuarta proporcional de tres segmentos dados: a, b, c.

Un

A

C

Figura 27.

B

X

Construcci´ on. Para la construcci´on, haremos los siguientes pasos consecutivos (Ver Figura 27.). −−→ • Trazo una semirrecta AX cualesquiera, −→ • Trazo una semirrecta AY cualesquiera, que no este contenida en ←→

la recta AX

−→ • Con centro en A y radio a, trazo arco que corta a AY en P .

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

232

−→ • Con centro en P y radio b, trazo arco que corta a AY en Q, tal que A − P − Q. −−→ • Con centro en A y radio c, trazo arco que corta a AX en C. −−→ • Uno P con C y por Q trazo paralela a P C la cual corta a AX en B. • el segmento CB es el segmento pedido.

a c = b CB

de

M

o sea

at

AC AP = PQ CB

em at

i ca

s

Justificaci´ on. Como P C k QB, entonces por el Corolario 31 (Teorema de Tales en el tri´angulo)

tit

ut

o

4. Dado C ∈ AB, hallar el conjugado arm´onico de C con respecto a AB.

Q

qu

ia

,I

ns

P

An tio

b

C

b

B

D

Figura 28.

Un

iv er si d

ad

de

A

Construcci´ on. Para la construcci´on, haremos los siguientes pasos consecutivos (Ver Figura 28.). • Trazo circunferencia de centro A y radio AC.

• Trazo circunferencia de centro B y radio BC.

• En la circunferencia C(A, AC), trazo un radio cualesquiera AP no paralelo a AB.

• Por B trazo, en la circunferencia C(B, BC), el radio BQ tal que BQ k AP

´ 7.5. APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS

233

←→

• Uno P con Q y prolongo hasta cortar la recta AB en D . • el punto D es el conjugado de C con respecto a AB.

Justificaci´ on. Como BQ k AP entonces △ADP ∼ △BDQ entonces, teniendo en cuenta que AP y BQ son radios en las respectivas circunferencias, CA DA = CB DB

em at

i ca

o sea

s

AP DA = BQ DB

de

M

at

5. Dado AB y dada la proporci´on pq , donde p, q son enteros positivos. HaCA DA llar C, D conjugados arm´onicos de AB tal CB = DB = pq .

ut

o

X

ns

Y

tit

P

ia

,I

Q

qu

b

C

An tio

A

b

B

D

R

Figura 29.

iv er si d

ad

de

Z

Un

Construcci´ on. Para la construcci´on, haremos los siguientes pasos consecutivos (Ver Figura 29.). ←→ −−→ • Trazo una semirrecta cualquiera AX que no este contenida en AB. −−→ −−→ −−→ • En el mismo semiplano, trazo la semirrecta BY tal que BY k AX −→ −−→ y trazo tambi´en la semirrecta BZ opuesta a la semirrecta BY . −−→ • Sobre la semirrecta AX y con la misma unidad de medida α, trazo el segmento AP tal que AP = p · α. −−→ • Sobre la semirrecta BY y con la misma unidad de medida α, trazo el segmento BQ tal que BQ = q · α.

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

234

−→ • Sobre la semirrecta BZ y con la misma unidad de medida α, trazo el segmento BR tal que BR = q · α. ←→

• Uno P con Q y prolongo hasta cortar la recta AB en D . • Uno P con R el cual corta a AB en C .

• Los puntos C y D son conjugados arm´onicos con respecto a AB bajo la raz´on pq .

i ca

at

DA p·α p = = DB q·α q

AP CA = CB BR

o sea

CA p·α p = = CB q·α q

M

o sea

tit

ns ,I

luego

ut

o

y tambi´en

AP DA = DB BQ

de

entonces,

y △AP C ∼ △BRC

em at

△AP D ∼ △BQD

s

Justificaci´ on. Como AX k Y Z entonces

An tio

qu

ia

CA DA = CB DB

6. Hallar la media proporcional de dos segmentos a y b dados.

ad

de

X

Un

iv er si d

D

b

A

O B Figura 30.

C

l

Construcci´ on. Para la construcci´on, haremos los siguientes pasos consecutivos (Ver Figura 30.). • Sobre una recta l fijo un punto A.

7.6. APLIC. DE LA SEMEJANZA A LA CIRCUNFERENCIA

235

• Con centro en A y radio a trazo arco que corta a l en B.

• Con centro en B y radio b trazo arco que corta a l en C, tal que A − B − C. −−→ • Por B trazo BX ⊥ l. • Hallo O punto medio de AC.

i ca

em at

• El segmento BD es media proporcional entre a y b.

s

• Trazo semicircunferencia de centro O y radio OA, la cual corta a −−→ BX en D.

de

M

at

Justificaci´ on. Como AC es di´ametro, entonces △ACD es rect´angulo y como DB es altura relativa a la hipotenusa en dicho tri´angulo, entonces, por el Teorema 102 (Proporcionalidad en el tri´angulo rect´angulo)

ut

o

BD2 = BA · BC = a · b

ia

APLICACIONES DE LA SEMEJANZA A LA CIRCUNFERENCIA

An tio

qu

7.6.

,I

ns

tit

es decir BD es media proporcional entre a y b.

iv er si d

ad

de

Teorema 109 (Teorema de Tolomeo). En un cuadril´atero c´ıclico, el producto de las medidas de las diagonales es igual a la suma de los productos de las medidas de los lados opuestos.

Un

Demostraci´ on. (Ver Figura 31.) Por el axioma de construcci´on de ´angulo, −→ existe una semirrecta AF ⊂ ←→ con F sobre la circunferencia, tal que AB: C [ ∼ [ entonces por el \∼ [ , sea {E} = AF ∩ DB y como CAF DAC = CAF = BAF \∼ [ axioma de suma (o resta) de a´ngulos congruentes, DAF = BAC \ ∼ [ y DCA \ ∼ [ (por En los △ADC y △AEB se tiene: DAC = BAF = ABE Teorema del ´angulo inscrito), entonces por el criterio A-A:

π

△ADC ∼ △AEB luego

△ADC : △AEB

AD AC DC = = AE AB EB

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

236

A d a

D c

E

C

B

i ca

s

b

em at

F

luego

ut

AC · EB = DC · AB

o

de

M

at

Figura 31.

tit

(∗)

qu

ia

,I

ns

\ ∼ [ y ADE \ ∼ [ (por En los △DAE y △ABC se tiene: DAE = BAC = ACB Teorema del ´angulo inscrito), entonces por el criterio A-A:

An tio

△DAE ∼ △ABC

luego

iv er si d

luego

ad

de

△DAE : △ABC

DA DE AE = = AC BC AB

DA · BC = DE · AC

(∗∗)

Un

sumando (*) y (**):

DC · AB + DA · BC = AC · EB + DE · AC = AC(EB + DE) = AC · BD es decir, AC · BD = a · c + b · d.



Teorema 110. Si dos cuerdas se interceptan en el interior de una circunferencia entonces el producto de las medidas de los segmentos determinados por el punto de intersecci´on en una de las cuerdas es igual al producto de las medidas de los segmentos determinados en la otra cuerda.

7.6. APLIC. DE LA SEMEJANZA A LA CIRCUNFERENCIA

237

C A

b

X

O

D

s

B

at

em at

i ca

Figura 32.

tit

ut

o

de

M

Demostraci´ on. (Ver Figura 32.) Sean AB y CD cuerdas tales que {X} = AB ∩ CD y A − X − B y C − X − D. En los △AXC y △BXD se tiene \∼ \ y por el Teorema del ´angulo que: por opuestos por el v´ertice AXC = BXD \∼ \ luego por el criterio A-A, inscrito CAX = XDB,

,I

ns

△AXC ∼ = △BXD

ia

luego

Un

iv er si d

ad

de

An tio

qu

XA AC XC △AXC : = = △BXD XD BD XB o sea que XA · XB = XC · XD Nota: 1.) Obs´ervese que si por ejemplo el punto X ≡ A ≡ C, es decir, los dos segmentos se cortan sobre la circunferencia, entonces tambi´en se cumple que XA · XB = XC · XD = 0. 2.) El resultado de este teorema nos muestra que para cualquier cuerda que pase por el punto X se cumple que XA · XB permanece constante o sea que este producto no depende de la cuerda, sino del punto X.  El siguiente teorema se deja como ejercicio, es el rec´ıproco del teorema anterior. Teorema 111. Si dos segmentos se interceptan en un punto que esta en el interior de los dos segmentos y el producto de las medidas de los segmentos determinados por el punto de intersecci´on en el primer segmento es igual al producto de las medidas de los segmentos determinados por el punto en el segundo segmento, entonces los extremos de los segmentos est´an sobre una circunferencia.

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

238

Teorema 112. Si desde un punto X exterior a una circunferencia se trazan dos semirrectas secantes l y m que cortan a la circunferencia en A, B y C, D respectivamente, entonces XA · XB = XC · XD

em at

i ca

s

A

B b

M

at

O

de

C

X

tit

ut

o

D

An tio

qu

ia

,I

ns

Figura 33.

Un

luego

iv er si d

ad

de

\∼ Demostraci´ on. (Ver Figura 33.) Por el Teorema del ´angulo inscrito BAD = b \ BCD y el X es com´ un para los △XAD y △XBC entonces por el criterio A-A △XAD ∼ △XBC △XAD : △XBC

XA XD AD = = XC XB BC

luego XA · XB = XC · XD Nota: El resultado de este teorema nos muestra que para cualquier semirrecta que pase por el punto X se cumple que XA · XB permanece constante o sea que este producto no depende de la semirrecta, sino del punto X.  El rec´ıproco del anterior teorema tambi´en es cierto, se deja como ejercicio.

7.6. APLIC. DE LA SEMEJANZA A LA CIRCUNFERENCIA

239

Teorema 113 (Rec´ıproco). Si desde un punto X se trazan dos semirrectas l y m y A, B son puntos de l y C, D son puntos de m, tales que XA · XB = XC · XD, entonces los puntos A, B, C, D est´an sobre una circunferencia.

o

de

M

at

em at

i ca

s

Teorema 114. Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos semirrectas, una tangente y la otra secante, entonces el segmento entre el punto y el punto de tangencia es media proporcional entre los segmentos determinados entre el punto exterior y los puntos de intersecci´on de la secante con la circunferencia.

qu

b

An tio

O

ia

B

,I

ns

tit

ut

A

M

de

X

Figura 34.

Un

iv er si d

ad

C

Demostraci´ on. (Ver Figura 34.) Como por el teorema del ´angulo semi⌢ b es com´ \ = 1 CM B y X un para los △XAC y △XBC, entoninscrito el BCX 2 ces por el criterio A-A, △XAC ∼ △XBC, luego

luego

△XAC : △XBC

XA XC AC = = XC XB BC

XA · XB = XC · XC = XC 2 .



CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

240

7.7.

EJE RADICAL Y SUS PROPIEDADES

Definici´ on 66 (Potencia de un punto con respecto a una circunferencia). La potencia de un punto X con respecto a una circunferencia C(O, r) es el producto XA · XB, donde A y B son los puntos de intersecci´on de la circunferencia con una recta que pasa por X.

i ca

s

Notaci´ on: la potencia del punto X con respecto a la circunferencia C(O, r) se denota por pX;O , es decir,

em at

pX;O = XA · XB

tit

ut

o

de

M

at

Nota a.) De acuerdo a los teoremas 110 y 112, todas las rectas que pasan por el punto X tienen igual potencia, por lo tanto, la potencia depende solamente del punto y la circunferencia. b.) Si X es un punto exterior a la C(O, r) y d es la distancia del punto X al centro O de la circunferencia, entonces (ver la Figura 35.)

,I

ns

pX;O = XA · XB = (XO + OA)(XO − OB) = (d + r)(d − r) = d2 − r2

ia

←→

iv er si d

ad

de

An tio

qu

donde A, B son los puntos de intersecci´on de la recta XO con la C(O, r). En este caso pX;O > 0, ya que d > r

Un

b

O b

A

b

b

B

X

Figura 35.

c.) Con el punto X y la circunferencia C(O, r) pueden suceder tres casos: 1. X ∈ ExtC(O, r), en este caso vimos que pX;O > 0, ya que d > r 2. X ∈ IntC(O, r), en este caso pX;O = d2 − r2 < 0, ya que d < r

7.7. EJE RADICAL Y SUS PROPIEDADES

241

3. X ∈ C(O, r), en este caso pX;O = d2 − r2 = 0, ya que d = r En resumen, la potencia es positiva en el exterior de la circunferencia, negativa en el interior de la circunferencia y es cero cuando el punto esta sobre la circunferencia.

i ca

s

d.) Si X ≡ O, entonces d = 0 y por tanto pX;O = d2 − r2 = −r2 , este es el valor m´ınimo de la potencia, ya que d = 0 es el valor m´ınimo de d.

de

M

at

em at

e.) Por el teorema 114, la potencia de un punto exterior a una circunferencia es igual al cuadrado de la medida del segmento tangente desde el punto X a la circunferencia C(O, r), es decir, pX;O = XT 2 , donde T es el punto de tangencia.

tit

ut

o

f.) La potencia de un punto interior a una circunferencia es negativa e igual al cuadrado de la semi-cuerda perpendicular al di´ametro que pasa por el punto.

An tio

qu

ia

,I

ns

C

O b

X

B

D

Figura 36.

Un

iv er si d

ad

de

A

(Ver Figura 36.) En efecto, sea AB di´ametro y X ∈ AB y sea CD una cuerda tal que CD ∩ AB = {X} y AB⊥CD, por tanto X es punto medio de CD, entonces 2  CD 2 2 pX;O = −XA · XB = −XC · XD = −XC = −XD = − 2

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

242

Teorema 115 (Teorema del eje radical). El lugar geom´etrico de los puntos de igual potencia con respecto a dos circunferencias no conc´entricas, es una recta perpendicular a la recta que pasa por los centros. Demostraci´ on. (Ver Figura 37.) Sean las circunferencias C(O, r) y C(O′ , r′ ), sea M el punto medio de OO′ y sea X un punto tal que pX;O = pX;O′ (∗), sea ←→

←→

s

H la proyecci´ on de X sobre OO′ , veamos que cualquiera que sea el punto

em at

i ca

X con la propiedad (*), tendr´a como proyecci´on sobre OO′ el punto H.

M

b

O’

An tio

qu

ia

,I

O

H

tit

b

ns

b

ut

o

de

M

at

X

de

Figura 37.

iv er si d

ad

En efecto, por la hip´otesis, por la propiedad b.) hecha en la nota anterior y por el Teorema 107 b), se tiene pX;O = pX;O′

(XO) − (r)2 = (XO′ )2 − (r′ )2 por la propiedad b) (XO)2 − (XO′ )2 = (r)2 − (r′ )2 2 · OO′ · M H = (r)2 − (r′ )2 por el Teorema 107 b) (r)2 − (r′ )2 luego M H = 2 · OO′

Un

2

como r, r′ , OO′ son constantes y OO′ 6= 0, entonces M H es constante y como M es fijo entonces H es fijo, cualquiera sea el punto X, por lo tanto los puntos X que cumplen con la propiedad (*) est´an sobre una recta perpendicular a ←→

OO′ .



7.7. EJE RADICAL Y SUS PROPIEDADES

243

La recta cuya existencia esta garantizada por el anterior teorema, le damos el siguiente nombre: Definici´ on 67 (Eje Radical). La recta cuyos puntos tienen igual potencia con respecto a dos circunferencias, se le llama Eje Radical. Propiedades del Eje Radical.

at

em at

i ca

s

1. Si las dos circunferencias se interceptan, entonces el eje radical pasa por los puntos de intersecci´on, ya que cada punto de intersecci´on tiene potencia igual a cero con respecto a las dos circunferencias.

ia

,I

ns

tit

ut

o

de

M

2. Si las dos circunferencias son tangentes, entonces el eje radical es la tangente com´ un a ambas circunferencias, ya que la potencia en el punto de tangencia es cero con respecto a las dos circunferencias y la tangente com´ un es perpendicular a la recta que pasa por los centros de las dos circunferencias.

An tio

qu

3. Si las dos circunferencias son conc´entricas y distintas, entonces no hay eje radical, ya que d2 − r2 6= (d′ )2 − (r′ )2

de

Teorema 116 (Propiedades del Eje Radical).

iv er si d

ad

a.) Las tangentes desde un punto del Eje Radical a las dos circunferencias, son congruentes.

Un

b.) Los Ejes Radicales de tres circunferencias, cuyos centros son no colineales, tomados de dos en dos, son concurrentes, (este punto de concurrencia se le llama Centro Radical). Demostraci´ on. a.) (ver Figura 38.) Sea X un punto del Eje Radical y sean XT y XT1 tangentes a las circunferencias C(O, r) y C(O′ , r′ ) en T y T1 respectivamente, entonces por el Teorema 114 pX;O = XT 2 y pX;O′ = XT12 y como X pertenece al Eje Radical, entonces pX;O = pX;O′ luego XT 2 = XT12

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

244

X T b

T1 b

H b

b

O

em at

i ca

s

O’

M

at

Figura 38.

ut

o

de

luego XT = XT1 , o sea que XT ∼ = XT1 b.)(ver Figura 39.) Sea l el Eje Radical de C(O, r) y C(O′ , r′ ) y sea l′ el ←→

←→

b

O’ b

de

O

l

An tio

qu

ia

,I

ns

tit

Eje Radical de C(O′ , r′ ) y C(O′′ , r′′ ) por lo tanto l ⊥OO′ y l′ ⊥O′ O′′ .

Un

iv er si d

ad

X l′ l′′

b

O”

Figura 39. Como O, O′ , O′′ son no colineales, entonces l y l′ se interceptan, sea {X} = l ∩ l′ .

7.7. EJE RADICAL Y SUS PROPIEDADES

245

Veamos que X ∈ l′′ . En efecto, como X ∈ l entonces

y como X ∈ l′ entonces

pX;O = pX;O′

(∗)

pX;O′ = pX;O′′

(∗∗)

entonces de (*) y (**)

i ca

s

pX;O = pX;O′′

em at

luego X ∈ l′′ .



tit

ut

o

de

M

at

Observaci´ on. De la parte b.) del teorema anterior se concluye que: 1. Si las tres circunferencias son secantes dos a dos, entonces las cuerdas comunes son concurrentes.

ia

,I

ns

2. Si las tres circunferencias son tangentes dos a dos, entonces las tangentes comunes son concurrentes.

An tio

qu

Con el Eje Radical se pueden hacer construcciones de circunferencias.

de

Ejemplo. Construir una circunferencia que pase por dos puntos y sea tangente a una recta dada. Demos el problema por construido. Supongamos que los puntos dados son

ad

←→

iv er si d

A, B y la recta dada es l, se presentan dos situaciones: a) AB ∩l 6= ∅, ←→

b) AB ∩l = ∅. ←→

←→

Un

a) Si AB ∩l 6= ∅, sea {X} =AB ∩l 6= ∅, sea C(O, r) la circunferencia buscada y sea C(O′ , r′ ) una circunferencia cualesquiera que pase por A y B, ←→

entonces AB es el Eje Radical de estas dos circunferencias, por lo tanto las tangentes desde el punto X a las dos circunferencias son congruentes; si XT ′ es la tangente a la C(O′ , r′ ) y XT es la tangente a la circunferencia buscada C(O, r), entonces XT = XT ′ . Construcci´ on. Para la construcci´on, haremos los siguientes pasos consecutivos (Ver Figura 40.). Uno A con B y prolongo hasta cortar l en X.

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

246

m A

T’

O’

O

b

b

B

X b

b

T1

M

at

T

em at

i ca

s

b

b

ut

o

de

Figura 40.

ns

tit

Trazo m la mediatriz de AB.

An tio

qu

ia

,I

Por un punto cualesquiera O′ de m, trazo una circunferencia que pase por A, B. Desde X trazo XT ′ tangente a la circunferencia de centro O′

ad

de

Con centro en X y radio XT ′ trazo arcos que cortan a l en T y T1 .

Un

←→

iv er si d

Las circunferencias que pasan por A, B, T y por A, B, T1 son las circunferencias pedidas (dos soluciones). ←→

b) Si AB ∩l = ∅, luego ABk l. Sea C(O, r) la circunferencia buscada y sea T el punto de tangencia entre la C(O, r) y l, por lo tanto OT ⊥ l, pero como ←→

←→

←→

ABk l, entonces OT ⊥ AB, luego OT es mediatriz de AB

Construcci´ on. Para la construcci´on, haremos los siguientes pasos consecutivos. Uno A con B . Trazo m la mediatriz de AB que corta a l en T .

7.7. EJE RADICAL Y SUS PROPIEDADES

247

Trazo circunferencia que pasa por A, B, T , que es la circunferencia pedida.

i ca

s

Ejemplo. Construir una circunferencia que pase por dos puntos y sea tangente a una circunferencia dada. Demos el problema por construido. Supongamos que los puntos dados son A, B y la circunferencia dada es C(O′ , r′ ) y sea m la mediatriz de AB, se presentan dos casos: a) O′ ∈ / m, b) O′ ∈ m

em at

m A

b

B

tit

b

b

b

C

X

qu

b

An tio

l

ia

T

,I

ns

O”

ut

O

o

de

M

at

b

iv er si d

ad

de

O’

D

b

T1 Figura 41.

Un

a) O′ ∈ / m, sea C(O′′ , r′′ ) una circunferencia que pase por A, B e inter←→

cepte a la circunferencia dada C(O′ , r′ ) en los puntos C, D, por lo tanto CD es el Eje Radical de estas dos circunferencias, como la circunferencia buscada C(O, r) y la circunferencia dada C(O′ , r′ ) son tangentes, entonces la tangente l com´ un a estas dos circunferencias es el Eje Radical de ambas y ←→

como O′ ∈ / m, entonces l y CD se interceptan en un punto X; como los Ejes Radicales de tres circunferencias cuyos centros no son colineales son concurrentes, entonces X es el centro radical de las tres circunferencias, luego las tangentes desde X a las tres circunferencias son congruentes.

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

248

Construcci´ on. Para la construcci´on, haremos los siguientes pasos consecutivos (Ver Figura 41.). Uno A con B . Trazo m la mediatriz de AB .

s

Por un punto O′′ de m trazo circunferencia que pasa por A, B y que corte a la circunferencia dada C(O′ , r′ ) en los puntos C, D.

i ca

←→

em at

Uno C con D y prolongo hasta cortar AB en X.

M

at

Desde X trazo trazo XT y XT1 tangentes a la circunferencia dada C(O′ , r′ ).

ut

o

de

Las circunferencias que pasan por A, B, T y A, B, T1 son las circunferencias pedidas (dos soluciones).

ia

,I

ns

tit

b) Si O′ ∈ m. Sea {T } = m ∩ C(O′ , r′ ), en este caso, O, T, O′ son colineales y por tanto T es el punto de tangencia.

An tio

qu

Construcci´ on. Para la construcci´on, haremos los siguientes pasos consecutivos.

de

Uno A con B .

iv er si d

ad

Trazo m la mediatriz de AB, la cual intercepta a la circunferencia dada C(O′ , r′ ) en T .

Un

Trazo circunferencia que pase por los puntos A, B, T y esta es la circunferencia pedida.

7.8. EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE SEMEJANZA

7.8.

249

Ejercicios y Problemas de Semejanza

1. Sea M N P A un paralelogramo dado, entonces para cualquier semirrecta con origen en M y que corta a N P en B y a AP en C se cumple que N B · AC es constante. B

A

at

em at

i ca

s

\ ∼ 2. En la figura, si ABD = \ ∼ \ DBE EBC, entonces = AB·BD AD = . EC BE·BC

E

C

3. Si ABCD es un paralelogramo y M N k AB, AB = 12, DM = 4, DE = 6, KB = 2KH. Hallar: a) AM , b) DH, c) DC, d) KL, d) LM , e) M N .

ut

B

ns

tit

A

o

de

M

D

,I

L

M D

N

qu

ia

K

C

An tio

H

de

E

Un

iv er si d

ad

−−→ 4. Sea ∆ABC un tri´angulo rect´angulo en C y BD cualquier semirrecta con origen en B y D ∈ AC, probar que BD2 + AC 2 = AB 2 + DC 2

5. Demostrar que el cuadrado de la medida de la bisectriz AE de un ´angulo exterior de un ∆ABC es igual al producto de las medidas de los segmentos que la bisectriz determina sobre la recta que contiene al lado opuesto, menos el producto de las medidas de los otros dos lados. (Ayuda: siendo C(O, r) la circunferencia que circunscribe al tri´angulo ←→

y {D} = C(O, r)∩ AE, observar los ∆DAC y ∆ABE).

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

250

6. Se tiene un cuadrado ABCD de lado a. Se traza una circunferencia que pasa por el v´ertice A y por los puntos medios de los lados AB y AD. Probar que la medida de una tangente a dicha circunferencia trazada desde el punto C es igual a a. 7. Construir un tri´angulo dadas las raz´on entre los lados c y b (es decir, dado cb = pq ), la mediana ma y el lado a ( cb = pq , ma , a)

at

em at

i ca

s

8. Por un punto D del lado AB de un △ABC se traza DE k AC (E sobre BC), de tal manera que DB = e, CE = 2e, BE = 2AD. Calcular los lados AB y BC del tri´angulo.

o

de

M

9. Demostrar que en un mismo tri´angulo las alturas son inversamente proporcionales a sus respectivos lados.

ia

,I

ns

tit

ut

10. Considere la C(O, r). Sea AB un di´ametro. Se traza por B una tangente y por A una secante cualesquiera que corta a la C(O, r) en M y a la tangente en N . Probar que AM.AN = 4r2 .

iv er si d

ad

de

An tio

qu

11. Sea ∆ABC un tri´angulo rect´angulo en A, si desde B y C se trazan semirrectas n y m que bisectan los lados opuestos AC y AB en N y M respectivamente y si l||BC por A tal que n ∩ l = {D} y m ∩ l = {E} entonces BD2 + CE 2 = 5BC 2

Un

12. Sea C(O, r), se traza una cuerda CD, O′ el punto medio de CD, se traza la circunferencia de centro O′ y di´ametro CD, sea AB di´ametro de C(O, r) perpendicular a CD; se trazan AT y AT ′ tangentes a la C(O′ ), la cuerda T T ′ corta a AB en F . Demostrar que O′ es punto medio de BF . 13. En △ABC rect´angulo en A la hipotenusa mide a y la altura relativa a la hipotenusa mide h, se inscribe un cuadrado con un lado sobre la hipotenusa. Calcular el lado del cuadrado en t´erminos de a y h. 14. En una circunferencia de di´ametro 40cm. , hallar la medida de la mayor y la menor cuerda que puede trazarse por un punto situado a 12cm. del centro. Explicar porque es la mayor y la menor.

7.8. EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE SEMEJANZA

251

15. Desde el punto medio D del lado AB del △ABC, rect´angulo en A, se traza DE ⊥ BC, con E ∈ BC. Demostrar la relaci´on EC 2 − EB 2 = AC 2

em at

i ca

s

16. Demostrar que el cuadrado de la bisectriz de un ´angulo exterior de un tri´angulo es igual al producto de los segmentos que la bisectriz determina en el lado opuesto menos el producto de los otros dos lados (Ayuda: si CD es la bisectriz exterior en el △ABC y C(O, r) es la circunferenT ←→ cia que circunscribe al tri´angulo y F ∈ C(O, r) CD, demuestre que △ADC ∼ △F BC).

de

M

at

17. En un △ABC is´osceles con AB = AC, se traza CD ⊥ AB. Demostrar la relaci´on

ut

o

AB 2 + BC 2 + CA2 = BD2 + 2DA2 + 3CD2

de

An tio

qu

ia

,I

ns

tit

18. Si el tri´angulo del ejercicio anterior fuera un tri´angulo equil´atero, mostrar que las suma de los cuadrados de las medidas de los lados es igual a cuatro veces el cuadrado de la medida de la altura. −−→ b con 19. El △ABC esta inscrito en una C(O, r), sea AD la bisectriz de A −−→ D ∈ C(O, r) y sea E ∈ BC ∩ AD. Mostrar que: a) BD2 = AD.ED, b) △BED ∼ △AEC. ←→

←→

←→

←→

ad

20. LM N T es un paralelogramo, LT = 15, LM = 8, RN = 12, N R⊥LM ,

iv er si d

T H⊥M N , H ∈ M N . Hallar T H. ←→

←→

Un

21. Dado el △ABC, sea AN k BC y M punto medio de BC, sea P ∈N M ←→

←→

←→

∩ AB y Q ∈N M ∩ AC . Demostrar que

PN QN = PM QM

22. Dado un △ABC is´osceles con CA ∼ = CB y la circunferencia tangente a los lados congruentes en A y B. Desde un punto M del arco de la circunferencia en el interior del tri´angulo, se traza M D ⊥ AB, M F ⊥ CB y M E ⊥ CA. Mostrar que M D2 = M E.M F

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

252

23. Sean AA′ , BB ′ , CC ′ las alturas de un △ABC; estas alturas se cortan en el punto H. Demostrar que: AA′ .A′ H = A′ C.A′ B, BB ′ .B ′ H = B ′ A.B ′ C, CC ′ .C ′ H = C ′ B.C ′ A 24. Se d´a una circunferencia de centro O y di´ametro AB, por un punto M sobre la prolongaci´on de AB, se trazan las tangentes M N y M P a la circunferencia, la cuerda N P corta al di´ametro en C. Demostrar que:

em at

i ca

s

MA CA = CB MB

de

M

at

25. Demostrar que si dos tri´angulos tienen sus lados respectivamente paralelos o respectivamente perpendiculares, entonces dichos tri´angulos son semejantes.

tit

ut

o

26. Dado un paralelogramo ABCD, tal que: DC = 32, AD = 17, AC = 28. Hallar DB. AB =

qu

ia

,I

ns

27. Sea ∆ABC con CE, BD, AF bisectrices. Si CA = 32, 20, CB = 36. Hallar AE, CF, AD.

de

An tio

28. Demostrar que la suma de las longitudes de los catetos de un tri´angulo rect´angulo, no excede la longitud de la diagonal de un cuadrado construido sobre la hipotenusa del tri´angulo como lado.

iv er si d

ad

29. Demostrar que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales.

Un

30. Sea un tri´angulo rect´angulo ABC (recto en A), donde: AB = 8, AC = 15 . Calcular BC, la altura AH y los segmentos BH y HC. Se traza por B una paralela a AC que corta la altura AH en I. Evaluar AH, HI y BI. [ se toman dos puntos D y E y 31. Sobre el lado AB de un ´angulo BAC, por esos puntos se trazan dos paralelas que cortan al lado AC en F y G respectivamente; se trazan F E y por el punto G, una paralela a F E que corta a AB en H. Demostrar que AE 2 = AD.AH. 32. Dado un cuadril´atero ABCD, sea O el punto de intersecci´on de sus diagonales. Por el punto O se traza una paralela a BC que corta a AB en E; luego se traza por O una paralela a CD que corta a AD en F .

7.8. EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE SEMEJANZA AE = a. Mostrar que AB una misma raz´on).

AF AD

253

(comparar cada una de estas razones con

b. Mostrar que EF k BD.

c. Se traza OG k AB y cortando BC en G y OH k AD, corta a DC en H. Mostrar que CG.DH = BG.CH.

i ca

s

33. Demostrar que las paralelas a los lados de un tri´angulo ABC, trazadas por el punto G de concurrencia de las medianas, dividen cada lado en tres partes iguales. ←→

em at

←→

M

at

34. Sea ABCD un cuadril´atero, sea F sobre AC y E sobre DB tales que F B||DC y EC||AB. Mostrar que AD||F E.

tit

ut

o

de

35. El per´ımetro de un tri´angulo mide 90 cm.. Sabiendo que las medidas de los lados est´an en la relaci´on 1 : 2 : 3. Calcular la medida de cada lado.

ia

,I

ns

36. Demuestre que en tri´angulos semejantes las alturas hom´ologas, las medianas hom´ologas y las bisectrices hom´ologas son proporcionales a los lados hom´ologos.

qu

A

de

An tio

37. En la figura, la C(O, x) esta inscrita en el [ = 60o , hasector circular ABC. Si m(ABC) llar x en funci´on de r. (Rta.: 3r ) .

Un

iv er si d

ad

b

x

O

B

C r

38. Si en un tri´angulo rect´angulo, X y Y son las medidas de los catetos y Z es la medida de la altura correspondiente a la hipotenusa, demuestre que: 1 1 1 + = X2 Y 2 Z2 39. Los catetos AB y AC de un tri´angulo rect´angulo ∆ABC miden respectivamente 4a y 3a. Por el punto medio M de AB se traza hacia el exterior del tri´angulo, un segmento M N perpendicular a AB e igual a su mitad. Hallar la medida de N C.

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

254

40. Los lados de un tri´angulo miden 10, 12 y 18. Si el per´ımetro de un tri´angulo semejante a ´el mide 1,200, cuales son las medidas de los lados del segundo tri´angulo? Cu´anto miden las tres alturas, las tres medianas y las tres bisectrices del √ primer tri´ √ angulo?√ (Rta.: 300, 360, 540, 30 41, 30 176, 30 209) A B

\ = m(BF \ m(BEC) C) + m(BDC)

C

E

em at

F

at

D

i ca

s

41. Si ABCD es un rect´angulo de lados a y 3a. Demostrar que

de

M

42. a1 , b1 , c1 son puntos medios de los lados del tri´angulo ∆ABC. Demuestre: ∆ABC ∼ ∆a1 b1 c1 ∼ ∆Ac1 b1 ∼ ∆Bc1 a1 ∼ ∆Cb1 a1

ns

tit

ut

o

43. ABCD es un paralelogramo O ∈ AC, OX ⊥ AD, OY ⊥ AB. DemosAB = AD trar que OX OY

,I

44. Dos circunferencias son tangentes interiormente en el punto A. Del ←→

←→

An tio

qu

ia

punto A, se trazan las secantes AC y AE. B y D pertenecen a la circunferencia interior. C y E pertenecen a la circunferencia exterior. Demuestre que ∆ABD ∼ ∆ACE.

iv er si d

ad

de

45. Sea AB un di´ametro en la C(O, r), por B se traza una tangente a la circunferencia y por A se traza una secante cualquiera que intercepta la circunferencia en M y a la tangente en N . Demostrar que AM · AN = 4r2

Un

46. Demostrar que en un trapecio el segmento paralelo a las bases que pasa por el punto de intersecci´on de las diagonales, es bisecado por dicho punto. 47. Dos tri´angulos rect´angulos son semejantes. Si los catetos hom´ologos miden a y a′ , b y b′ y las hipotenusas hom´ologas miden c y c′ , demostrar que aa′ + bb′ = cc′ . 48. Sean AB y CD dos cuerdas perpendiculares de una circunferencia de radio r y sea {X} = AB ∩ CD. Demostar que XA2 + XB 2 + XC 2 + XD2 = 4r2

7.8. EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE SEMEJANZA

255

49. Las bases mayor y menor de un trapecio miden a y b respectivamente. Por un punto de uno de los lados no paralelos se traza un segmento paralelo a las bases. El segmento divide al lado en la relaci´on m : n. Calcular la longitud del segmento. 50. Dado el △ABC, se consideran los puntos D, E, F sobre las rectas ←→

←→

←→

←→

←→

←→

em at

i ca

s

BC, AC, AB respectivamente. Si las rectas AD, BE y CF pasan por el centro O de la circunferencia circunscrita del △ABC, cuyo radio es R, mostrar que 1 1 1 2 + + = AD BE CF R

de

M

at

51. En un tri´angulo el punto de concurrencia de: las alturas, el de las medianas y el de las mediatrices est´an alineados (Recta de Euler ).

tit

ut

o

52. Demostrar que en todo tri´angulo, la bisectriz se encuentra entre la mediana y la altura trazadas desde el mismo v´ertice.

qu

ia

,I

ns

53. Las bases de un trapecio miden 20 y 12 y los lados no paralelos miden 10 y 12. Calcular la medida de las diagonales y de las alturas y los lados del tri´angulo que se forma al prolongar los lados no paralelos.

de

An tio

54. ABCD es un cuadril´atero. AB = a, BC = b, CD = c, DA = d, CE = EA = m, BF = F D = n, EF = r. Demuestre: a2 + b2 + c2 + d2 = (2m)2 + (2n)2 + 4r2 .

iv er si d

ad

55. Sea P un punto cualesquiera en uno de los lados de un rect´angulo. Probar que la suma de las medidas de los segmentos perpendiculares desde P a las diagonales del rect´angulo es constante.

Un

56. Constru´ır un tri´angulo ABC, conociendo [ y BN que es la altura desde B, (a, β, hb ). a) BC, ABC b) BC, AM y AH que son la mediana y la altura correspondientes a BC, (a, ma , ha ). c) BC, y la altura y la bisectriz BH y CD, (a, hb , vc ). d ) BC y las alturas BH y CP , (a, hb , hc ). e) BC, AC y la altura BH, (a, b, hb ). [ y la mediana AM , (a, α, ma ). f ) BC, BAC

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

256

[ y la altura BH, (a, α, hb ). g) BC, BAC h) Los pies de las tres medianas. i ) Las tres medianas: ma , mb , mc . [ ACB [ y el per´ımetro , (β, γ, p; donde p = a + b + c). j ) ABC,

i ca

s

57. Construir un tri´angulo equil´atero, conociendo el radio de la circunferencia inscrita.

em at

58. Construir un tri´angulo equil´atero, conociendo su per´ımetro.

M

at

59. Construir un tri´angulo is´osceles conociendo el per´ımetro y la medida de la altura correspondiente a la base.

ut

o

de

60. Construir una circunferencia que pase por dos puntos A y B y que sea tangente a una recta l; con A y B del mismo lado con respecto a l.

ns

tit

a) AB k l , b)AB ∩ l = {P }.

qu

ia

,I

61. Construir una circunferencia que sea tangente a dos rectas paralelas dadas y que pase por un punto dado.

de

An tio

62. Construir una circunferencia que sea tangente a dos rectas que se cortan y pase por un punto en el interior del ´angulo entre las dos rectas.

iv er si d

ad

63. Dado un punto en el interior de una circunferencia, construir una cuerda tal que el punto dado sea punto medio de dicha cuerda.

Un

64. Sea AB di´ametro de una circunferencia, A, B, M colineales con B entre A y M , M N tangente en N y N C ⊥ AB, C entre A y B. Mostrar que MA CA = CB MB

−−→ \ con M ∈ DB y 65. Sea ABCD un paralelogramo, AM bisectriz de DAB −−→ \ con N ∈ AC. Probar que M N ||AD. DN bisectriz de ADC \ , trazar por 66. Dado un ´angulo XOY y un punto A en el interior de XOY −−→ −−→ A una recta que corte a OX en M y a OY en N , de tal forma que A sea punto medio de M N .

7.8. EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE SEMEJANZA

257

67. Dos circunferencias de centros O y O1 y de radios diferentes son secantes en A. Trazar por A una cuerda BC, de tal forma que A sea el punto medio de BC. (B ∈ C(O) y C ∈ C(O1 ) ). 68. Constru´ır un tri´angulo conociendo dos ´angulos y la suma de las medidas de dos de sus lados.

i ca

s

[ for69. Construir un rect´angulo ABCD conociendo AB y el ´angulo AOB mado por las diagonales.

at

em at

70. Construir un tri´angulo ABC, rect´angulo en A, conociendo la suma de b las medidas de los catetos y el ´angulo C.

M

71. Construir un rect´angulo conociendo su per´ımetro y su diagonal.

ut

o

de

72. Construir un trapecio conociendo sus bases y sus diagonales.

tit

73. Construir un cuadril´atero conociendo sus lados y una de sus diagonales.

qu

ia

,I

ns

74. Construir un cuadril´atero inscriptible conociendo BD, y AC que son b y el lado AB. sus diagonales, el ´angulo A

de

An tio

75. Dados dos segmentos de longitud a cm. y b cm., construir con regla y comp´as: a) un segmento de longitud ab cm., b) un segmento de longitud ab cm.

iv er si d

ad

76. Construir una circunferencia que sea tangente a dos rectas dadas y cuyo centro est´e sobre una recta dada.

Un

77. Trazar una recta tangente a una circunferencia dada y paralela a una recta dada. 78. Construir un tri´angulo conociendo: a) Los pies E, F, D de las tres alturas. b) Un lado BC, el ´angulo opuesto α , y la suma o la diferencia de los otros dos lados (a, α, c − b), (a, α, c + b). c) Un ´angulo β y las alturas opuestas AD y CF . (β, ha , hc ).

d ) Un ´angulo β , la altura BE y la altura AD, (β, hb , ha ). e) Un lado BC, un ´angulo β , y la mediana AD (a, β, ma ).

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

258

f ) El per´ımetro, un ´angulo y la altura bajada desde el v´ertice del ´angulo: (p, α, ha ). g) La altura y bisectriz bajadas del mismo v´ertice y el radio de la circunferencia inscrita (vc , hc , r). h) La altura y la mediana bajadas desde el mismo v´ertice y el radio de la circunferencia circunscrita (ma , ha , R).

i ca

s

79. Construir un tri´angulo conociendo:

em at

a) Dos lados y la longitud de la bisectriz del ´angulo comprendido (a, c, vb ).

de

M

at

b) La base AB , el ´angulo opuesto y la suma de las medidas de los lados que comprenden este ´angulo (c, γ, a + b).

Un

iv er si d

ad

de

An tio

qu

ia

,I

ns

tit

ut

o

80. Por un punto P exterior a una circunferencia trazar una secante P AB, PA tal que AB =m donde m, n son dos n´ umeros naturales dados. n

i ca

s

CAP´ITULO 8

ut tit

´ INTRODUCCION

ns

8.1.

o

de

M

at

em at

AREAS

A :P −→ R+ p 7→ A(p)

ad

de

An tio

qu

ia

,I

´ AXIOMAS DE AREAS Sea P = {p/p es un pol´ıgono simple en el plano π}. Definimos la funci´on ´area A, como la funci´on

iv er si d

con las siguientes propiedades (o axiomas): 1. El ´area de un cuadrado de lado l es l2 .

Un

2. Si un pol´ıgono simple se puede descomponer en n pol´ıgonos simples p1 , p2 , . . . , pn , tales que sus interiores no se intercepten, entonces A(p) = A(p1 ) + A(p2 ) + · · · + A(pn ) =

n X

A(pi )

i=1

a esta propiedad se le llama axioma de aditividad de ´areas. 3. Si dos pol´ıgonos son congruentes entonces sus ´areas son iguales. Notaci´ on: dado un pol´ıgono de v´ertices A1 , A2 , . . . , An , denotamos su ´area por A[A1 A2 · · · An ] 259

CAP´ITULO 8. AREAS

260

Definici´ on 68 (Area Unitaria). El ´area correspondiente a un cuadrado cuyo lado tiene por medida uno, se le llama ´area unitario y por tanto su ´area mide uno. Definici´ on 69 (Pol´ıgonos Equivalentes). Cuando dos pol´ıgonos tienen la misma ´area diremos que son equivalentes.

em at

i ca

s

Si p y p′ son pol´ıgonos equivalentes entonces lo denotamos as´ı: p ≡ p′ , es decir p ≡ p′ si y solo si A[p] = A[p′ ] Nota: p ∼ = p′ si y solo si p ∼ p′ y p ≡ p′

de

M

at

Teorema 117 (Area del rect´ angulo). El ´area de un rect´angulo, cuyos lados miden a y b es a · b

ut

o

Demostraci´ on. (Ver Figura 1.)

tit

a+b

Q

a

ad iv er si d Un

D

a+b

p4 p3

b C

p2 p5

B

de

A

p1

An tio

qu

ia

,I

ns

P

S

Figura 1.

R

Sea ABCD un rect´angulo tal que AB = a y BC = b y sea P QRS un cuadrado de lado a + b. Este cuadrado se puede partir en cuatro rect´angulos p1 , p2 , p3 , p4 de lados a y b y un cuadrado p5 de lado b − a, de tal manera que sus interiores no se intersecten, como se muestra en la figura, aplicando el axioma de aditividad de ´areas y el axioma del ´area del cuadrado, tenemos que A[P QRS] = (a+b)2 = A[p1 ]+A[p2 ]+A[p3 ]+A[p4 ]+A[p5 ] = 4A[p1 ]+(b−a)2

´ 8.1. INTRODUCCION

261

es decir (a + b)2 = 4A[p1 ] + (b − a)2

a2 + b2 + 2ab = 4A[p1 ] + a2 + b2 − 2ab

despejando A[p1 ] = ab



i ca

s

Teorema 118 (Area del paralelogramo). El ´area de un paralelogramo es igual al producto de la medida de uno de sus lados por la distancia de este lado al lado opuesto.

em at

Demostraci´ on. (Ver Figura 2.)

B

D

ns

tit

ut

o

de

M

at

A

,I

H

C

H’

An tio

qu

ia

Figura 2.

iv er si d

ad

de

Sea ABCD un paralelogramo y sea AH ⊥ DC, por B pasa BH ′ ⊥ DC. Como AD ∼ = BC y AH ∼ = BH ′ entonces por el criterio H-C △ADH ∼ = △BCH ′

Un

por lo tanto DH ∼ = CH ′ y A[△ADH] = A[△BCH ′ ], luego HH ′ = HC + CH ′ = HC + DH = DC.

Por lo tanto por los axiomas 2. y 3. de ´areas y por el Teorema 117: A[ABCD] = A[△ADH] + A[ABCH] = A[△BCH ′ ] + A[ABCH] = A[ABH ′ H] = HH ′ · HA = DC · HA



Nota: seg´ un el enunciado del teorema anterior, el ´area de un paralelogramo es igual al producto de la medida de uno de sus lados por la altura relativa a ese lado.

CAP´ITULO 8. AREAS

262

Corolario 43. Si dos paralelogramos tienen un par de lados respectivamente congruentes y las alturas respectivas a estos lados iguales entonces los dos paralelogramos son equivalentes.

Demostraci´ on. (Ver Figura 3.)

em at

i ca

m

s

Teorema 119 (Area del tri´ angulo). El ´area de un tri´angulo es igual al semi-producto de la medida de uno de los lados por la medida de la altura relativa a este lado.

A

l

B

,I

ns

tit

ut

o

de

M

at

D

C

An tio

qu

ia

H

de

Figura 3.

iv er si d

ad

Por Playfair, por A pasa l k BC y por C pasa m k AB. Sea {D} = l ∩ m y sea AH la altura relativa al lado BC. Por lo tanto ADCB es un paralelogramo, por lo tanto, por el criterio L-L-L,

Un

△ABC ∼ = △ADC

o sea que A[△ABC] = A[△ADC]. Pero, por el Teorema 118, A[ADCB] = BC · AH y por el axioma 2. de ´areas A[ADCB] = A[△ABC] + A[△ADC] = 2A[△ABC] luego A[△ABC] = 12 BC · AH. Los siguientes corolarios se dejan como ejercicio.



´ 8.1. INTRODUCCION

263

Corolario 44. Si dos tri´angulos tienen dos lados respectivamente congruentes y las alturas relativas a estos lados tambi´en congruentes entonces los dos tri´angulos son equivalentes. Corolario 45. Sea el △ABC y l una recta paralela a BC por A y sea X un punto cualquiera de la recta l, entonces A[△BXC] = A[△ABC]

em at

i ca

s

La Figura 4. ilustra este corolario. X

l

ns

tit

ut

o

de

M

at

A

C

ia

,I

B

de

An tio

qu

Figura 4.

iv er si d

ad

Corolario 46. El ´area de un tri´angulo rect´angulo es igual al semi-producto de las medidas de los catetos.

Un

Corolario 47. El ´area de un tri´angulo equil´atero cuyos lados miden a, es √ 3 2 igual 4 a . Teorema 120. Si dos tri´angulos tienen un par de ´angulos respectivamente congruentes o respectivamente suplementarios, entonces sus ´areas son entre si como como el producto de las medidas de los lados que comprenden el ´angulo. Demostraci´ on. (Ver Figura 5.) b ∼ c′ . Por el axioma de consSean los △ABC y △A′ B ′ C ′ tales que B =B −→ −−→ trucci´on de segmentos, existen D ∈ BA y E ∈ BC tales que BD ∼ = B ′ A′ y BE ∼ = B ′ C ′ , por lo tanto, por el criterio L-A-L, △ABC ∼ = △BDE. Sea DH

CAP´ITULO 8. AREAS

264 A

A’

D

H B

E

C

B’

C’

i ca

s

H’

at

em at

Figura 5.

ns

tit

ut

o

de

M

la altura relativa al lado BE en el △DBE y sea AH ′ la altura relativa al lado BC en el △ABC. Como los △DBH y △ABH ′ son rect´angulos y tienen un ´angulo com´ un, entonces △ABH ′ ∼ △DBH

,I

luego

An tio

qu

ia

AH ′ BA = BD DH

de

Pero

Un

iv er si d

ad

1 BC · AH ′ A[△ABC] BC · AH ′ = 21 = A[△DBE] BE · DH BE · DH 2 ′ BC AH BC BA = · = · BE DH BE BD BC · BA = ′ ′ B C · B ′ A′

Teorema 121 (F´ ormula de Her´ on). El ´area de un tri´angulo, cuyos lados miden a, b, c es p p(p − a)(p − b)(p − c) donde p =

a+b+c 2

se le llama el semi-per´ımetro.

Demostraci´ on. (Ver Figura 6.)



´ 8.1. INTRODUCCION

265 A

c

b

ha

B

a

C

i ca

s

H

em at

Figura 6.

at

p p(p − a)(p − b)(p − c), donde p =

M

2 a

a+b+c , 2

de

Por el Teorema 108, ha = entonces



,I

ns

tit

ut

o

1 1 a 2p p(p − a)(p − b)(p − c) A[△ABC] = BC · AH = a · ha = · 2 2 2 a p = p(p − a)(p − b)(p − c)

A

B

H’

Un

iv er si d

ad

de

An tio

qu

ia

Teorema 122 (Area del trapecio). El ´area de un trapecio es igual a la semisuma de sus bases por la altura, donde la altura es la distancia entre los lados paralelos.

B

C

H Figura 7.

←→

Demostraci´ on. Sea H la proyecci´on de A sobre DC y H ′ la proyecci´on de

CAP´ITULO 8. AREAS

266 ←→

C sobre AB; como AB k DC entonces AH ∼ = CH ′ , por el axioma 2. de ´areas

i ca

s

1 1 A[ABCD] = A[△ACD] + A[△ABC] = DC · AH + AB · CH ′ 2 2 1 = (DC + AB) · AH  2 Corolario 48. El ´area de un trapecio es igual al producto de la medida de la paralela media por la distancia entre los lados paralelos. Donde la paralela media es el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos.

em at

El siguiente teorema se deja como ejercicio.

de

M

at

Teorema 123. . El ´area de un rombo es igual al semi-producto de las medidas de las diagonales.

ns

tit

ut

o

Teorema 124. Si dos tri´angulos son semejantes entonces la raz´on entre sus ´areas es igual al cuadrado de su raz´on de semejanza.

qu

ia

,I

Demostraci´ on. (Ver Figura 8.) A

An tio

A’

de

c

b

c′

b′

Un

B

iv er si d

ad

ha

a

h a′ C H

B’

Figura 8.

a′

H’

C’

Por hip´otesis △ABC ∼ △A′ B ′ C ′ con raz´on de semejanza r, es decir,

a b c = = = r. a′ b′ c′ Sea ha la altura relativa al lado a en el △ABC y ha′ la altura relativa al lado a′ en el △A′ B ′ C ′ , entonces por el corolario 37, b c ha a = = = =r a′ b′ c′ h a′

´ 8.1. INTRODUCCION

267

luego A[△ABC] = A[△A′ B ′ C ′ ]

1 ·a 2 1 · a′ 2

· ha a · ha a ha = ′ = ′· = r · r = r2 . a · h a′ a h a′ · h a′



Teorema 125. El ´area de un pol´ıgono regular es igual al semi-producto del per´ımetro por la medida de la apotema.

M

at

em at

i ca

s

Demostraci´ on. Sea Pn = A1 A2 · · · An un pol´ıgono regular de n lados, sea an su apotema, ln su lado y C(O, r) la circunferencia que circunscribe al pol´ıgono, entonces los tri´angulos △A1 OA2 , △A2 OA3 , . . . , △An OA1 son is´osceles y congruentes, por lo tanto,

tit



ns

donde pn es el per´ımetro del pol´ıgono Pn .

ut

o

de

1 1 1 A[Pn ] = A[A1 A2 · · · An ] = n·A[△A1 OA2 ] = n· ·ln ·an = (nln )·an = pn an , 2 2 2

An tio

qu

ia

,I

Teorema 126 (Cuadratura de un pol´ıgono de n lados). Todo pol´ıgono es equivalente a un cuadrado.

de

A

B

iv er si d

ad

C

Un

E

l

C1 D Figura 9.

Demostraci´ on. La demostraci´on la haremos en dos etapas: 1.) Probaremos que todo pol´ıgono de n lados (n ≥ 4) es equivalente a un pol´ıgono de n − 1 lados y repitiendo este proceso n − 2 veces, llegaremos a

CAP´ITULO 8. AREAS

268

un tri´angulo equivalente al pol´ıgono inicial. 2.) Probaremos que todo tri´angulo es equivalente a un cuadrado. 1.) Sin p´erdida de generalidad, supondremos que n = 5 y sea ABCDE el pol´ıgono inicial. Eliminemos por ejemplo, el v´ertice D de la siguiente manera (Ver Figura 9.). Trazamos la diagonal cuyos extremos son los v´ertices adyacentes a D, es ←→

em at

i ca

s

decir, EC, por Playfair, por D pasa l k EC, sea {C1 } = l∩ BC, entonces por el corolario 45, A[△ECD] = A[△ECC1 ]

at

y por el axioma 2. de ´areas

tit

ut

B

o

de

M

A[ABCDE] = A[ABCE] + A[△ECD] = A[ABCE] + A[△ECC1 ] = A[ABC1 E]

ns

m

A1

ad

de

E

An tio

qu

ia

,I

A

H

C1

iv er si d

Figura 10.

Un

Ahora eliminemos, por ejemplo el v´ertice A (ver Figura 10.), de la siguiente manera. Trazamos la diagonal cuyos extremos son los v´ertices adyacentes ←→

a A, es decir, EB, por Playfair, por A pasa m k EB, sea {A1 } = m∩ C1 E, entonces por el corolario 45, A[△EBA] = A[△EBA1 ] y por el axioma 2. de ´areas A[ABC1 E] = A[△BC1 E] + A[△BEA] = A[△BC1 E] + A[△BEA1 ] = A[△BC1 A1 ]

´ 8.1. INTRODUCCION

269

Por lo tanto A[ABCDE] = A[△BC1 A1 ] 2.) Veamos que A[△BC1 A1 ] es equivalente a un cuadrado de la lado p, es decir, se debe cumplir que 1 p2 = A[△BC1 A1 ] = A1 C1 · BH, 2

ut

o

de

M

at

em at

i ca

s

donde BH es la altura relativa al lado A1 C1 , por lo tanto, p es media proporcional entre 12 A1 C1 y BH. Para hallar p efectuamos el siguiente procedimiento (ver Figura 11.): sobre una recta r fijamos un punto X, por el axioma de construcci´on de segmento, existe un punto Y ∈ r tal que XY ∼ = A1 C1 , y existe ∼ un punto Z tal que Y Z = BH y X − Y − Z. Sea M el punto medio de XY y sea O el punto medio de M Z y sea C(O, OZ), por Y pasa n ⊥ r, sea {W } = n ∩ C(O, OZ) y como M Z es di´ametro entonces el △M ZW es rect´angulo y por las relaciones m´etricas en el tri´angulo rect´angulo,

,I

ns

tit

1 Y W 2 = M Y · Y Z = A1 C1 · BH 2 

An tio

qu

ia

por lo tanto p = Y W .

n

Un

iv er si d

ad

de

W

X r

O

r

b

M

Figura 11.

Y

Z

CAP´ITULO 8. AREAS

270

8.2.

LONGITUD DE LA CIRCUNFEREN´ CIA Y EL NUMERO π

Como dos pol´ıgonos regulares del mismo n´ umero de lados tienen sus ´angulos congruentes y sus lados respectivos son proporcionales, entonces podemos enunciar el siguiente teorema.

Introducci´ on

at

8.2.1.

em at

i ca

s

Teorema 127. Dos pol´ıgonos regulares del mismo n´ umero de lados son semejantes.

ut

o

de

M

1.) Consideremos la circunferencia C(O, r) e inscribamos un pol´ıgono regular de n lados Pn = A1 A2 · · · An ,

,I

ns

tit

denotemos por ln su lado, an su apotema, pn su per´ımetro, A[Pn ] su ´area; por lo tanto A[Pn ] =

p n an nln an = 2 2

An tio

qu

ia

pn = nln ,

2.) Si duplicamos el n´ umero de lados obtenemos el pol´ıgono

ad

de

P2n = A1 A′1 A2 A′2 · · · An A′n ,

Un

iv er si d

cuyos elementos notables l2n , a2n , p2n , A[P2n ] guardan las siguientes relaciones con los elementos notables del pol´ıgono anterior Pn (Ver Figura 12.): i. como OA′1 es bisectriz de A1 OA2 entonces por el teorema 78, A1 A2 = ln > A1 A′1 = l2n . ii. como ln > l2n entonces por el teorema 75, an < a2n . iii. por el teorema de la desigualdad triangular A1 A2 < A1 A′1 + A′1 A2 o sea que ln < 2l2n luego nln < n(2l2n ) = 2nl2n , por lo tanto pn < p2n iv. por iii. se prueba que A[Pn ] < A[P2n ].

´ 8.2. LONG. DE LA CIRCUNFERENCIA Y EL NUMERO π 271 A′1

M A1

A2 T

a2n

A′2

an ln

An

A3 b

em at

A′3

i ca

s

O

M

at

A4

ut

o

de

Figura 12.

qu

ia

an < a2n < a22 n ,

pn < p2n < p22 n

An tio

ln > l2n > l22 n ,

,I

ns

tit

3. Si nuevamente duplicamos el n´ umero de lados, obtenemos el pol´ıgono P22 n con las siguientes relaciones:

A[Pn ] < A[P2n ] < A[P22 n ]

iv er si d

ad

de

4. Podemos seguir indefinidamente este proceso, obteni´endose una sucesi´on de pol´ıgonos Pn , P2n , P22 n , . . . , P2k n , . . .

Un

inscritos en la circunferencia C(O, r) con las siguientes sucesiones de sus elementos notables: ln > l2n > l22 n > · · · l2k n > · · · an < a2n < a22 n < · · · a2k n < · · · pn < p2n < p22 n < · · · p2k n < · · · A[Pn ] < A[P2n ] < A[P22 n ] < · · · A[P2k n ] < · · · Para los resultados que vamos analizar m´as adelante, nos interesan las sucesiones de las apotemas, los per´ımetros y las ´areas. Estas tres sucesiones son estrictamente crecientes. La primera es acotada superiormente por el radio

CAP´ITULO 8. AREAS

272

s

(el radio es la menor de las cotas superiores); la segunda es acotada superiormente por el per´ımetro de cualquier pol´ıgono que contenga en su interior la circunferencia C(O, r); la tercer es acotada superiormente por el ´area de cualquier pol´ıgono que contenga en su interior la circunferencia C(O, r). Para la conclusi´on que haremos a continuaci´on necesitamos el siguiente teorema del c´alculo: (Ver texto El C´alculo con Geometr´ıa Anal´ıtica de Louis Leithold) Sea {an } un sucesi´on estrictamente creciente de n´ umeros reales y sea B la m´ınima cota superior de {an }, entonces

i ca

l´ım an = B.

em at

n→∞

Por lo tanto para las apotemas tenemos el siguiente resultado

at

l´ım a2k n = r.

M

k→∞

de

Para los per´ımetros,

ia

k→∞

,I

ns

tit

existe, este l´ımite lo denotamos por L. Para las ´areas, l´ım A[P2k n ]

ut

o

l´ım p2k n

k→∞

1. Por definici´on al l´ımite

de

Definici´ on 70.

An tio

qu

existe.

l´ım p2k n

k→∞

iv er si d

ad

lo llamamos longitud de la circunferencia y lo denotamos por L, es decir L = l´ım p2k n k→∞

Un

2. Por definici´on al l´ımite l´ım A[P2k n ]

k→∞

lo llamamos el ´area del c´ırculo y lo denotamos por A[C(O, r)], es decir A[C(O, r)] = l´ım A[P2k n ] k→∞

Nota: el proceso anterior lo hicimos inscribiendo pol´ıgonos regulares en la circunferencia C(O, r), en forma similar podemos hacer un proceso circunscribiendo pol´ıgonos regulares a la circunferencia C(O, r), obteni´endose sucesiones estrictamente decrecientes para los per´ımetros y las ´areas. Los l´ımites ser´ıan L para los per´ımetros y A[C(O, r)] para las ´areas.

´ 8.2. LONG. DE LA CIRCUNFERENCIA Y EL NUMERO π 273

8.2.2.

El n´ umero π y la longitud de la circunferencia

El siguiente teorema garantiza la existencia del n´ umero π. Teorema 128. La raz´on entre la longitud de la circunferencia y su di´ametro es constante.

A2

A′2

de

M

A′1

at

A1

em at

i ca

s

Demostraci´ on. (Ver Figura 13.) Para la demostraci´on tomamos dos circunferencias C(O, r) y C(O′ , r′ ) y veamos que para ambas circunferencia, los cocientes entre la longitud de la circunferencia y su di´ametro son iguales, es decir, este cociente es el mismo, independiente de las circunferencias que se tomen.

o

ln

ut tit

r

ns

A3 b

O’

A′3

b

An tio

qu

ia

,I

O

l′n r′

A′4

Figura 13.

iv er si d

ad

de

A4

Un

Inscribimos en la C(O, r) un pol´ıgono regular Pn = A1 A2 · · · An y en la C(O′ , r′ ) un pol´ıgono regular Pn′ = A′1 A′2 · · · A′n , por lo tanto Pn ∼ Pn′ ,

en consecuencia △OA1 A2 ∼ △O′ A′1 A′2 , luego

A1 A2 A′ A′ ln l′ = 1 ′ 2 =⇒ = n′ r r r r multiplicando por n y dividiendo por dos a ambos lados de la u ´ltima proporci´on, obtenemos que n

ln l′ p′ pn = n n′ =⇒ = n′ . 2r 2r 2r 2r

CAP´ITULO 8. AREAS

274

Si duplicamos indefinidamente el n´ umero de lados, obtenemos de la misma manera en el paso k + 1 la siguiente proporci´on p′2k n p2k n = , 2r 2r′

at M

de

1 1 l´ım p2k n = ′ l´ım p′2k n k→∞ 2r 2r k→∞

em at

i ca

s

tomando l´ımites a ambos lados de la proporci´on, cuando k tiende a ∞, se tiene p′ k pk l´ım 2 n = l´ım 2 ′n k→∞ 2r k→∞ 2r y por las propiedades de los l´ımites

es decir,

An tio

qu

ia

,I

ns

tit

ut

o

L L′ = ′ 2r 2r donde L, L′ son las longitudes de las circunferencias C(O, r) y C(O′ , r′ ) respectivamente. L es constante, a En conclusi´on, para todas las circunferencias, el cociente 2r esta constante se le llama el n´ umero π. 

iv er si d

ad

de

Nota: el matem´atico alem´an Johan Lamber (1728-1777) demostr´o que el n´ umero π es un n´ umero irracional, es decir, el n´ umero π tiene infinitas cifras decimales que no se repiten peri´odicamente, aproximadamente π ≈ 3,14159 L 2r

= π, entonces tenemos el

Un

Como el resultado del teorema anterior fue siguiente corolario.

Corolario 49. La longitud de la circunferencia C(O, r) es L = 2πr.

8.2.3.

Area del c´ırculo

En el cap´ıtulo de la circunferencia, definimos el c´ırculo, denotado por C(O, r) como la uni´on de la circunferencia C(O, r) y su interior, es decir C(O, r) = C(O, r) ∪ IntC(O, r) Veamos el teorema del ´area del c´ırculo.

´ 8.2. LONG. DE LA CIRCUNFERENCIA Y EL NUMERO π 275 Teorema 129 (Area del c´ırculo). El ´area del c´ırculo C(O, r) es A[C(O, r)] = πr2

ns

El Radian

,I

8.2.4.

tit

ut

o

de

M

at

em at

i ca

s

Demostraci´ on. Como en los teoremas anteriores, inscribimos un pol´ıgono regular Pn en la circunferencia C(O, r) y luego hacemos el proceso de duplicaci´on de los lados, obteni´endose en el paso k + 1 el pol´ıgono regular P2k n y su ´area es 1 A[P2k n] = p2k n a2k n 2 tomado l´ımites a ambos lados y aplicando las propiedades de los l´ımites, se obtiene 1 A[C(O, r)] = l´ım A[P2k n] = l´ım p2k n a2k n k→∞ k→∞ 2 1 1 1 = · l´ım p2k n · l´ım a2k n = · L · r = · 2πr · r k→∞ 2 k→∞ 2 2 = πr2 

An tio

qu

ia

Utilizaremos a continuaci´on el n´ umero π para dar una nueva medida de ´angulo, que llamaremos radian.

de

Sea C(O, r) una circunferencia de radio r, por lo tanto su longitud es

ad

L = 2πr,

Un

iv er si d

a continuaci´on dividimos la circunferencia en cuatro arcos congruentes; la longitud de cada uno de ellos es ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ π l(AB) = l(BC) = l(CD) = l(DA) = · r 2 (ver Figura 14.), como los cocientes ⌢

⌢

⌢

⌢

l(BC) l(CD) l(DA) π l(AB) = = = = r r r r 2 y como los cuatro arcos son congruentes, entonces los cuatro ´angulos al centro son congruentes , entonces tomaremos como medida de los ´angulos al centro la constante π2 . Como los cuatro ´angulos al centro son rectos, entonces diremos que cada ´angulo recto tiene por medida π2 radianes. Por lo tanto el ´angulo [ mide π radianes y la circunferencia completa mide 2π radianes. llano AOC

CAP´ITULO 8. AREAS

276 B

O

C

A

i ca

s

b

M

at

em at

D Figura 14.

,I

ns

tit

ut

o

de

Definici´ on 71 ((Radian). La unidad de medida radian corresponde a un a´ngulo al centro que subtiende un arco cuya longitud es r, para cualquier C(O, r).

O

r

r 1

r

b

r

A

Un

iv er si d

ad

de

An tio

qu

ia

B

Figura 15.

[ = 1r En la Figura 15. m(AOB)

8.2.5.

Longitud de arco

Teorema 130. La longitud de un arco cuyo ´angulo al centro es θr en una circunferencia C(O, r) es θ · r.

´ 8.2. LONG. DE LA CIRCUNFERENCIA Y EL NUMERO π 277 Demostraci´ on. En efecto, como existe una relaci´on directa entre longitud de arco y ´angulo al centro, entonces es cierta la siguiente relaci´on ⌢

l(AB) L = 2π θr ⌢

donde L es la longitud de la circunferencia C(O, r), es decir, es 2πr y l(AB) ⌢

⌢

i ca

L · θr 2π · r · θr = = r · θr . 2π 2π



em at

⌢

l(AB) =

s

es la longitud del arco AB en la C(O, r), luego

π·r·θ 180

M

at

Nota: cuando θ esta dado en grados entonces l(AB) =

de

Area del sector circular

o

8.2.6.

ns

tit

ut

Definici´ on 72 (Sector circular). Es una sub-regi´on del c´ırculo delimitada por dos radios y el arco (arco principal o no principal) entre los dos radios.

de

An tio

qu

ia

,I

Si dividimos el arco del sector circular en n (n n´ umero natural) arcos congruentes, la poligonal que se obtiene uniendo los extremos de estos arcos, se le llama poligonal regular y la denotamos por Pn′ , el lado lo denotamos por ln′ , las apotemas las denotamos por a′n y el per´ımetro los denotamos por p′n y el ´area entre los dos radios y la poligonal regular por A[OPn′ ].

iv er si d

ad

Teorema 131 (Area del sector circular). El ´area del sector circular es igual al semi-producto del radio por la longitud del arco.

Un

Demostraci´ on. (Ver Figura 16.) Sea AOB un sector circular delimitado por los radios OA, OB y el arco ⌢ ⌢ AB y sea Pn′ = AA1 · · · An−1 B una poligonal regular inscrita en el arco AB y sea A[OPn′ ] = A[OAA1 · · · An−1 B] el ´area entre los radios y la poligonal regular, luego 1 1 1 A[OPn′ ] = A[OAA1 · · · An−1 B] = n( · ln′ · a′n ) = (n · ln′ ) · a′n ) = · p′n · a′n . 2 2 2 Duplicando el n´ umero de lados indefinidamente, obtenemos en el paso k + 1 A[OP2′k n ] =

1 ′ · p k · a′ k . 2 2n 2n

CAP´ITULO 8. AREAS

278

An−1 B

l′n A1 r a′n

i ca

r Figura 16.

em at

A

b

M

at

O

s

θr

de

Tomando l´ımites

o

1 1 ′ ·p2k n ·a′2k n = · l´ım p′2k n · l´ım a′2k n =, k→∞ k→∞ 2 2 k→∞

tit

ns

k→∞

ut

A[sectorAOB] = l´ım A[OP2′k n ] = l´ım

,I

⌢ 1 · l(AB) · r, 2

qu

ia

A[sectorAOB] = ⌢

⌢

An tio

donde l(AB) es la longitud del arco AB.

de

Nota: si el ´angulo al centro es θr entonces A[sectorAOB] =

1 2

· θr · r2

ad

Area del Segmento Circular

iv er si d

8.2.7.



Un

Definici´ on 73 (Segmento Circular). El segmento circular es la parte del c´ırculo limitada por una cuerda y el arco principal correspondiente. En la Figura 17. la regi´on sombreada en el c´ırculo C(O, r), corresponde a ⌢

un segmento circular entre el arco ACB y la cuerda AB, el cual denotamos por segACB , donde h es la distancia del centro O a la cuerda AB y θr es ⌢ [ en radianes, llamando s = l(ACB) tenemos el la medida del ´angulo AOB siguiente teorema, que se deja como ejercicio.

´ 8.3. RELAC. METRICAS EN LOS POLIG. REGULARES

B

279

C

r

s i ca

A

b

r Figura 17.

de

M

at

O

θr

em at

h

ut

o

Teorema 132. El ´area del segmento circular segACB es

qu

ia

,I

ns

tit

p 1 A[segACB] = (2sr − AB 4r2 − (AB)2 ) 4

iv er si d

Relaciones M´ etricas en los Pol´ıgonos Regulares

Un

8.3.

ad

de

An tio

Nota: el ´area del segmento circular en funci´on del ´angulo al centro en radianes es p 1 A[segACB] = (2r2 θr − AB 4r2 − (AB)2 ). 4

Presentamos en esta secci´on las relaciones que existen en algunos pol´ıgonos regulares, entre sus lados y sus apotemas, en funci´on del radio de la circunferencia circunscrita. 1. El Cuadrado. Sea el cuadrado P4 = ABCD, con lado l4 y apotema a4 . Sea r el radio de la circunferencia circunscrita al pol´ıgono P4 = ABCD, en el △AOB rect´angulo se tiene AB 2 = OA2 + OB 2 o se que l42 = 2r2 , luego √ l4 = 2 · r

CAP´ITULO 8. AREAS

280

A H l4 D

a4 r b

B

em at

i ca

s

O

de

M

at

C Figura 18.

ia

,I

ns

tit

ut

o

En el △OHA rect´angulo, se tiene que OA2 = AH 2 + OH 2 o sea que √ 2 r2 = ( l24 )2 + (a4 )2 = ( 22r )2 + (a4 )2 = r2 + (a4 )2 ,luego √ 2 a4 = ·r 2

ad

de

An tio

qu

2. El Oct´ ogono Regular. Del cuadrado ABCD obtenemos el oct´ogono regular, duplicando el n´ umero de lados del cuadrado, es decir, uniendo los puntos medios de ⌢ ⌢ ⌢ ⌢ los arcos AB, BC, CD, DA con los extremos adyacentes en cada arco (ver Figura 19.). ⌢

⌢

Un

iv er si d

Como E es punto medio del AB y F es punto medio del CD entonces EF es di´ametro, luego el △AEF es rect´angulo y como AH ⊥ EF entonces √ 2 2 2 l8 = AE = EF · HE = 2r · (OE − OH) = 2r · (r − a4 ) = 2r · (r − r) 2 luego q √ l8 = r · 2 − 2

Como O es punto medio de EF y G es punto medio de AE entonces y como el △EAF es rect´angulo, entonces OG = a8 = AF 2 √ 2 AF 2 = EF · F H = 2r · (F O + OH) = 2r · (r + a4 ) = 2r · (r + · r) 2

´ 8.3. RELAC. METRICAS EN LOS POLIG. REGULARES

281

A E

G H b

D

B

s

O

em at

i ca

F C

de

√

2)

ut

o

AF 2 = r2 (2 +

M

at

Figura 19.

q √ 2+ 2

tit

luego

ia

,I

ns

AF r a8 = = 2 2

An tio

qu

3. El Hex´ agono . Sea P6 = A1 A2 A3 A4 A5 A6 un hex´agono regular A1

A2

ad

de

H

iv er si d

r

A6

A3 b

Un

O

l6

A5

A4

Figura 20. sea l6 = A1 A2 y OH = a6 . Como m(A\ 1 OA2 ) =

360 6

= 60 entonces el

CAP´ITULO 8. AREAS

282

△A1 OA2 es equil´atero, por lo tanto A1 A2 = OA1 = r luego l6 = r.

l6 A1 A2 2 ) = r 2 − ( )2 2 2 2 r r 3 = r 2 − ( )2 = r 2 − = r2 2 4 4

at

3 ·r 2

M

a6 = OH =

√

de

luego

em at

i ca

OH 2 = OA21 − A1 H 2 = r2 − (

s

En el △OHA1 rect´angulo, se tiene que

,I

ns

tit

ut

o

4. El Tri´ angulo Equil´ atero. En el Hex´agono uniendo cada dos v´ertices, pero dejando uno de por medio, se obtiene un tri´angulo equil´atero (ver Figura 21.) A2

An tio

qu

ia

A1

de

l6

ad

O

iv er si d

A6

b

l3

A3

a3

Un

H

A5

A4

Figura 21. en la Figura 21., como A2 A5 es di´ametro, entonces el △A2 A4 A5 es rect´angulo, por lo tanto, A2 A24 = A2 A25 − A4 A25 = (2r)2 − l62 = 4r2 − r2 = 3r2

´ 8.3. RELAC. METRICAS EN LOS POLIG. REGULARES luego l3 = A2 A4 =

√

283

3·r

Como OA4 A5 A6 es un rombo y H es punto medio de OA5 , entonces a3 = OH =

OA5 r = 2 2

em at

i ca

s

5. Dec´ agono y dec´ agono estrellado. Resolveremos el siguiente problema: dada una C(O, r), construir con regla y comp´as un dec´agono regular y una estrella de diez puntas (o dec´agono regular estrellado). Primero analicemos el problema y luego haremos la construcci´on.

de

M

at

Observemos que si dividimos la circunferencia en diez arcos congruentes y unimos estos puntos dejando dos de por medio, se obtiene una estrella de diez puntas, ver la Figura 22. A

ut

o

b

B b

tit

b

,I

ns

J

ia

I

b

C

An tio

qu

b

b

b

de

b

O

D

b

b

G

E b

F

Un

iv er si d

ad

H

Figura 22.

′ Sea AB = l10 el lado del dec´agono convexo y sea AD = l10 el lado de la estrella de diez puntas (ver Figura 23.), como ⌢

⌢

⌢

⌢

m(AB) = m(BC) = m(CD) = · · · = m(JA) = 360 entonces

⌢ \) = 1 m(DF ) = 1 · 720 = 360 , m(DAF 2 2

CAP´ITULO 8. AREAS

284 A b

J

B b

b

K I b

b

O

C

b

b

b

D

b

em at

i ca

s

H

b

G

E

at

b

M

F

tit

ut

o

de

Figura 23.

An tio

qu

luego el △ADO es is´osceles. Tambi´en

ia

,I

ns

⌢ [ = 1 m(AI) = 1 · 720 = 360 , m(ADI) 2 2

iv er si d

ad

de

⌢ [ = 1 m(AG) = 1 · 4 · 360 = 1 · 1440 = 720 , m(ABG) 2 2 2

Un

⌢ ⌢ \ = 1 [m(AB) + m(DG)] = 1 · [360 + 1080 ] = 1 · 1440 = 720 , m(AKB) 2 2 2

luego el △BAK es is´osceles. ⌢

\ = m(BD) = 720 y m(OKD) \ = m(AKB) \ = 720 , Tambi´en m(BOD) luego el △OKD es is´osceles. De lo anterior, se concluye que AK = AB = l10 y KD = OD = r, por ′ lo tanto l10 = AD = AK + KD = l10 + r, de aqu´ı sacamos la primera relaci´on: ′ l10 − l10 = r (primera condici´on) (8.1)

´ 8.3. RELAC. METRICAS EN LOS POLIG. REGULARES

285

[ = 360 = m(DAF \), por lo tanto el △AKO es por otro lado, m(AOB) is´osceles y por tanto OK = AK = l10 y por el criterio A-A, △OKA ∼ △AOD AD OD l′ r = =⇒ 10 = OA AK r l10 (segunda condici´on)

i ca

′ l10 · l10 = r2

s

luego (8.2)

at

em at

′ Para hallar l10 y l10 con regla y comp´as hacemos el siguiente procedimiento.

o

de

M

Con centro en un punto O y radio r trazamos una circunferencia (ver Figura 24.).

tit

ut

Por O trazamos dos di´ametros perpendiculares M N ⊥ AF .

ns

Hallamos O′ punto medio de OM .

qu

ia

,I

Con centro en O′ y radio O′ M (O′ M = O′ O = 2r ), trazo circunferencia. A

An tio

b

b

P

K

ad

I

B

b

de

J

b

iv er si d

b

O’

Un

M

O b

C N

b

b

H

D Q b

b

G

E b

F

Figura 24. Uno A con O′ y prolongo hasta corta la C(O′ , O′ M ) en P y Q. ′ Entonces AP = l10 y AQ = l10

CAP´ITULO 8. AREAS

286

Justificaci´ on: veamos que AP y AQ cumplen las propiedades 8.1 y 8.2. En efecto: AQ − AP = P Q = 2O′ M = r y como AO es tangente a la C(O′ , O′ M ) en O entonces por el teorema 114, AP · AQ = AO2 = r2

em at

i ca

s

′ Ahora hallemos l10 y l10 en funci´on del radio. ′ Como △AOO es rect´angulo, entonces por el teorema de Pit´agoras √ r √ r 2 5 ′ 2 ′2 2 AO = AO + OO = r + ( ) = · r, 2 2

M

5 r r √ · r − = ( 5 − 1) 2 2 2

ut

AB = l10 = AP = AO − O P =

√

de

′

o

′

at

pero como

es decir

,I

ns

tit

r √ l10 = ( 5 − 1). 2

ia

Tambi´en

An tio

qu

r √ r √ AQ = AP + P Q = l10 + r = ( 5 − 1) + r = ( 5 + 1) 2 2

Un

iv er si d

ad

de

6. El Pent´ agono y el Pent´ agono Regular Estrellado. Resolveremos el siguiente problema: dada una C(O, r), construir con regla y comp´as un pent´agono y un pent´agono regular estrellado y con esta construcci´on tambi´en podremos construir un dec´agono regular y una estrella de diez puntas (problema anterior). Primero analicemos el problema y luego haremos la construcci´on. Si la C(O, r) la dividimos en diez arcos congruentes y despu´es unimos los puntos de divisi´on, dejando uno de por medio, obtenemos un pent´agono regular y si unimos sus puntos dejando tres de por medio, obtenemos un pent´agono regular estrellado, (ver Figura 25.) ′ En la Figura 26. tenemos que AC = l5 , AE = l5′ , CF = l10 y EF = l10 . Como AF es di´ametro, entonces los tri´angulos △ACF y △AEF son tri´angulos rect´angulos, r q p √ r r2 √ ′ 2 2 2 l5 = 4r − l10 = 4r − ( 5 + 1) = 10 − 2 5 4 2

´ 8.3. RELAC. METRICAS EN LOS POLIG. REGULARES A b

B

J

I

b

b

b

b

O

C

b

b

b

D

b

em at

i ca

s

H

b

G

E

at

b

M

F

ut

o

de

Figura 25. q √ 10 − 2 5

ia

,I

ns

tit

r l5 = 2

A

qu

b

B

An tio

J

b

b

ad iv er si d

l5

de

I

Un

b

b

O

l′5 b

C

l′10

b

b

H

D

l10 b

G

b

E b

F

Figura 26.

y tambi´en l5′

q q √ r 2 2 10 + 2 5 = 4r − l10 = 2

287

CAP´ITULO 8. AREAS

288

l5′

r = 2

q √ 10 + 2 5

′ Ahora veamos las relaciones que deben cumplir l5 , l5′ y l10 , l10 en t´erminos del radio. Como los tri´angulos △ACF y △AEF son tri´angulos rect´angulos, entonces por el teorema de Pit´agoras

i ca

s

′ 2 2 (l5 )2 + (l10 ) = 4r2 (∗) y (l5′ )2 + l10 = 4r2 (∗∗)

M

de

′ pero l10 l10 = r2 (ver la condici´on 8.2), entonces

at

em at

′ y como l10 − l10 = r (ver la condici´on 8.1) y elevando al cuadrado esta u ´ltima expresi´on ′ 2 ′ (l10 ) + (l10 )2 − 2l10 l10 = r2 ,

ut

o

′ 2 ) + (l10 )2 = 3r2 (l10

qu

ia

,I

ns

tit

′ 2 despejando (l10 ) y sustituyendo en (*): l52 + 3r2 − (l10 )2 = 4r2 o sea que 2 = r2 (tercera condici´on) l52 − l10 (8.3)

de

An tio

′ 2 y despejando (l10 )2 y sustituyendo en (**): (l5′ )2 + 3r2 − (l10 ) = 4r2 o sea que ′ 2 (8.4) (l5′ )2 − (l10 ) = r2 (cuarta condici´on)

iv er si d

ad

′ Ahora construiremos simult´aneamente l5 , l5′ , l10 , l10 dada la circunferencia C(O, r).

Un

′ Para hallar l5 , l5′ , l10 , l10 con regla y comp´as hacemos el siguiente procedimiento.

Con centro en un punto O y radio r trazamos una circunferencia (ver Figura 27.). Por O trazamos el di´ametro M N perpendicular con el radio OA, es decir, M N ⊥ OA. Hallamos O′ punto medio de OM .

Con centro en O′ y radio O′ A , trazo circunferencia, la cual corta ←→

a M N en P y Q.

´ 8.3. RELAC. METRICAS EN LOS POLIG. REGULARES

289

A b

B

J b

b

l5 b

b

I

C

Q M

l′10

b

b

O’

O

N

P

l10

b

b

H

l10 b

b

G

em at

i ca

s

D

E

M

F

o

de

Figura 27.

at

b

ns

tit

ut

Uno P con A y Q con A. ′ Entonces OP = l10 , OQ = l10 , AP = l5 y AQ = l5′ .

qu

ia

,I

Justificaci´ on: veamos que OP , OQ, AP y AQ cumplen las condiciones 8.1, 8.2, 8.3 y 8.4.

iv er si d

ad

de

An tio

veamos que OP y OQ cumplen la condici´on 8.1. En efecto, como O′ es punto medio de OM y O′ es punto medio de P Q entonces OP ∼ = M Q, luego OQ − OP = OQ − M Q = r.

Un

veamos que OP y OQ cumplen la condici´on 8.2. En efecto, como QP es di´ametro, entonces el △QAP es rect´angulo y por tanto, por el teorema 102, OP · OQ = OA2 = r2

veamos que AP y OP cumplen la condici´on 8.3. En efecto, como el △OAP es rect´angulo, entonces AP 2 − OP 2 = OA2 = r2

veamos que OQ y AQ cumplen la condici´on 8.4. En efecto, como el △OAQ es rect´angulo, entonces AQ2 − OQ2 = OA2 = r2

CAP´ITULO 8. AREAS

290

8.4.

Ejercicios y Problemas de Areas.

1. El per´ımetro y las medidas de las diagonales de un rombo miden 34 y la relaci´on entre un lado y una diagonal es 65 . Hallar el ´area del rombo.

em at

i ca

3. Dado el △ABC, si CM y BN son medianas. Mostrar que

s

2. Las bases de un trapecio miden a y 3a, uno de los lados oblicuos es congruente con la base menor del trapecio y forma un ´angulo de 450 con la base mayor. Hallar el ´area del trapecio.

at

A[△BCM ] = A[△BCN ].

de

M

4. Sea ABCD un cuadril´atero tal que sus diagonales AC y BD se cortan en O y OD ∼ = OB. Mostrar que A[△ADC] = A[△ABC].

,I

ns

tit

ut

o

5. Sea △ABC un tri´angulo rect´angulo en B, BM mediana, BC = a, AC = 2a, CE k BM , BE k AC. Calcular las siguientes ´areas: A[BM CE], A[△AM B], A[△ABC].

An tio

qu

ia

6. Sea ABCD un rect´angulo cuyos lados miden 24 y 12, E es el punto medio de DC. Hallar la medida del segmento AF tal que A[△BEF ] = 13 A[ABED]; hallar el ´area del △BEC. 24

de

7. Sea ABCD un rect´angulo, E punto medio de AB, AB = 12, BC = 6

iv er si d

ad

a) Calcular el ´area del rect´angulo ABCD b) Calcular el ´area del trapecio AECD

Un

c) Sea F un punto entre C y D. Hallar AF tal que el ´area del △F CE 7 sea 12 del ´area del cuadril´atero F CBE 8. Dos circunferencias C(O, r), C(O′ , r) donde r = 1 y cada una de ellas pasando por el centro de la otra, se cortan en A y B, sea {C} = −−′→ T O O C(O, r). Hallar: ′ AB, BAC \′ , O \ [ a) Las medidas de los ´angulos BCO

b) La longitud del per´ımetro del rombo OAO′ B c) El ´area del rombo. d) La superficie com´ un a los dos c´ırculos.

8.4. EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE AREAS.

291

9. Las bases de un trapecio miden a y 3a, uno de los lados oblicuos es igual a la base menor y forma un ´angulo de 45o con la base mayor. Hallar el ´area del trapecio. b = 10. Dado un △ABC rect´angulo en A, cuya hipotenusa BC mide 2a, m(C) 30o . Se traza la mediana AM y por los puntos A y B se trazan paralelas a BC y AM respectivamente, estas paralelas se cortan en N . Hallar el ´area del cuadril´atero AM BN .

M

at

em at

i ca

s

11. Dado un rect´angulo ABCD con AB = 34 y BC = 20 y sobre AB un punto N tal que AN = 10. Determinar sobre CD un punto M tal que la diferencia de ´areas de los trapecios ADM N y BCM N sea 80 unidades cuadradas.

de

12. En un trapecio rect´angulo ABDC de altura AC = 20, de bases AB = ←→

←→

←→

←→

tit

←→

ut

o

27, CD = 45 se traza un recta EF k AC con E ∈AB y F ∈CD. Determinar sobre la base CD dos puntos F y G tales que el trapecio

,I

ns

quede dividido por las rectas EF y EG en tres partes equivalentes.

An tio

qu

ia

13. Las dos bases de un trapecio miden 15 y 27 cm. Se une uno de los extremos de la base menor con un punto M de la base mayor tal que el tri´angulo y el cuadril´atero que se forman tienen la misma ´area, encontrar el punto M.

iv er si d

ad

de

14. Mostrar que el tri´angulo determinado por las rectas que van del punto medio de uno de los lados no paralelos de un trapecio a los v´ertices opuestos es equivalente a la mitad del trapecio.

Un

15. Hallar una f´ormula para calcular el ´area comprendida entre tres circunferencias del mismo radio y tangentes exteriormente. 16. Se tiene un △ABC inscrito en una circunferencia de radio R. Sabiendo [ = 600 y m(ABC) [ = 450 . Encontrar el ´area del tri´angulo. que m(BAC) √ 2 (Rta.: R4 (3 + 3)) 17. Si los lados de un tri´angulo miden 84, 84 y 60, y el per´ımetro de un tri´angulo semejante a este es 285. a) Cuales son las medidas de los lados del segundo tri´angulo? b) Cual es el ´area del segundo tri´angulo?

CAP´ITULO 8. AREAS

292

c) Cual es la longitud de la altura del primer tri´angulo?. 18. Demostrar que en un tri´angulo, cualquiera de las medianas lo divide en dos tri´angulos equivalentes.

s

19. Dado el ∆ABC con medianas BN y CM relativas a AC y AB respectivamente, las cuales se cortan en O. Probar que las regiones determinadas por el cuadril´atero AN OM y el tri´angulo ∆BOC, son equivalentes.

M

at

em at

i ca

20. Demostrar que el ´area de un trapecio es igual al producto de la altura por la base media del trapecio. (la base media de un trapecio es el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos del trapecio)

tit

ut

o

de

21. Demostrar que la relaci´on de pol´ıgonos equivalentes es una relaci´on de equivalencia.

ia

,I

ns

22. Dado un tri´angulo equil´atero de √ lado x, probar que la longitud de cualx 3 quiera de sus alturas es: h = 2 .

An tio

qu

√ 23. El ´area de un hex´agono regular es 50 3 cent´ımetros cuadrados. Cuales son el per´ımetro y la apotema?

iv er si d

ad

de

24. Si un tri´angulo equil´atero y un hex´agono regular tienen el mismo per´ımetro. Hallar la raz´on de sus ´areas.

Un

25. La longitud de cada uno de los lados de un oct´ogono regular es 2 cent´ımetros. Cual es su ´area? 26. Sea ABCD un cuadrado de lado T a, sea E un punto entre D y A y F un punto entre A y B, H ∈ EC DF . Si DE = AF = 32 a, mostrar que: 4 2 a) DF ⊥ EC, b) [△DEH] = 39 a , c) [CHF B] = 17 a2 39 27. Si la apotema de un hex´agono regular es de 5 metros. Cuales son el per´ımetro y el ´area? 28. Sea el tri´angulo ∆ABC, con D entre A y C, AC ∼ = CB, AB ∼ = BD, 2 probar que: (mAB) = (mAC).(mAD)

8.4. EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE AREAS.

293

29. Sea el tri´angulo ∆ABC acut´angulo, con AD, BE, CF las alturas respectivas, las cuales se cortan en O, probar que: mAF .mBD.mCE = mAE.mBF .mCD 30. Sea el trapecio ABCD con lados paralelos AB y DC, sea E el punto de corte de las diagonales, probar que

em at

i ca

s

mAE.mDE = mBE.mCE

T

BE =

de

M

at

31. Sea el tri´angulo ∆ABC acut´angulo, con AD ⊥ BC, BE ⊥ AC, AD {F }, probar que: mAD mBC . =1 mAC mBE

ns

tit

ut

o

32. Sean D, E y F los puntos medios de los lados de un tri´angulo ∆ABC, probar que ∆DEF ∼ ∆ABC

qu

ia

,I

33. Sea el tri´angulo ∆ABC, con D entre B y C, E entre A y C, F entre [ ∼ [ probar que: A y B, DF ⊥ AB, DE ⊥ AC, ABC = ACB,

de

An tio

mBD mF D = mED mCD

iv er si d

ad

34. Sea el tri´angulo ∆ABC, con D entre B y C, E entre A y C, F entre A y B, AD ⊥ BC, AF DE rect´angulo, probar que:

Un

A(AF DE) =

p

mAE.mAF .mBF .mCE

[ recto, D punto medio de 35. Sea el tri´angulo ∆ABC is´osceles con ABC AB, E punto medio de BD sombrear el tri´angulo ∆CDE. Hallar: a) El ´area de la regi´on sombreada en funci´on del ´area del tri´angulo ∆ABC. b) El ´area de la regi´on no sombreada en funci´on del ´area del tri´angulo ∆ABC. c) La raz´on entre el ´area de la regi´on no sombreada y el tri´angulo ∆ABC.

CAP´ITULO 8. AREAS

294 (Rta.: a) 41 A[△ABC], b) 34 A[△ABC],

3 4

)

36. Sea ABCD un trapecio con AB k DC, E punto medio de AB. Mostrar que AECD ≡ EBCD. 37. Demostrar que las tres medianas de un tri´angulo determinan seis tri´angulos equivalentes.

at

A(ABCD) 2

M

A(ADE) =

em at

i ca

s

38. Sea ABCD un trapecio con AB k DC, sea E el punto medio de BC. Probar que:

tit

ut

o

de

39. Sea el tri´angulo ∆ABC equil´atero sea h la medida de cualquiera de las alturas del tri´angulo, sea D un punto cualquiera en el interior del tri´angulo, sean DE ⊥ AB, DF ⊥ AC, DG ⊥ BC. Probar que:

,I

ns

mDE + mDF + mDG = h.

de

An tio

qu

ia

40. Sea ABCD un cuadrado de lado 3 metros, si se cortan tri´angulos rect´angulos is´osceles en las esquinas, de longitud de cada cateto x, form´andose un oct´ogono regular, hallar el valor de x y el ´area del oct´ogono.

iv er si d

ad

41. Si la raz´on entre el apotema de un cuadrado y el apotema de un hex´agono regular es 34 y la medida del lado del cuadrado es 12 cent´ımetros. Hallar el ´area del hex´agono.

Un

42. Mostrar que el ´area de un tri´angulo de lados a, b, c es igual a donde R es el radio de la circunferencia circunscrita.

abc , 4R

43. Mostrar que el ´area de un tri´angulo es pr, donde r es el radio de la circunferencia inscrita y p es el semi-per´ımetro del tri´angulo. 44. Demostrar que la suma de las ´areas de las l´ unulas construidas sobre un tri´angulo rect´angulo es igual al ´area de dicho tri´angulo. (ver Figura)

8.4. EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE AREAS.

295

45. Sea P un punto en el interior del paralelogramo ABCD. Si se une P con los v´ertices del paralelogramo. Demostrar que A[△AP B] + A[△DP C] = A[△BP C] + A[△AP D]

s

46. Los dos segmentos en queda dividida la hipotenusa de un tri´angulo rect´angulo por el punto de contacto de la circunferencia inscrita, miden 3mt. y 2mt. Calcular el a´rea del tri´angulo.

em at

i ca

47. Construir un cuadrado que sea equivalente a la suma de dos cuadrados dados.

de

M

at

48. Construir un cuadrado que sea equivalente a la diferencia de dos cuadrado dados.

ut

o

49. Construir un cuadrado que sea la suma de tres cuadrados dados.

,I

ns

tit

50. Construir un pol´ıgono semejante a dos pol´ıgonos semejantes dados y sea equivalente a la suma de los dos pol´ıgonos dados.

qu

ia

51. Construir un cuadrado equivalente a un paralelogramo dado.

An tio

52. Construir un cuadrado equivalente a un tri´angulo dado.

de

53. Construir un cuadrado equivalente a un pol´ıgono dado.

ad

54. Construir un rect´angulo equivalente a un cuadrado dado, conociendo:

iv er si d

a) la suma de la base y la altura del rect´angulo;

Un

b) la diferencia entre la base y la altura del rect´angulo. M A

B

55. Si ABCD es un cuadrado de lado 2a y M es punto medio de AB y N es punto medio de AD. Hallar el a´rea sombreaN da. 16 2 a) (Rta. 15 D

C

CAP´ITULO 8. AREAS

296 A 56. Si ABCD es un cuadrado de lado 7a, DE = 2a, EF = 3a y F A = 2a. Hallar F el ´area sombreada. (Rta. 21 (π − 2)) 2

B

E

em at

M

A

C B

qu

ia

,I

ns

tit

ut

o

N

de

M

at

57. Si ABCD es un cuadrado de lado 2a y M es punto medio de AB . Hallar el ´area sombreada.

i ca

s

D

D A

C B

D

C

D

Un

A

iv er si d

ad

de

An tio

58. Si ABCD es un cuadrado de lado a. Hallar el ´area sombreada.

B

59. Si ABCD es un cuadrado de lado a. Hallar el ´area sombreada. √ (Rta.: a2 ( π3 + 1 − 3)

C

8.4. EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE AREAS.

297

60. Las tres circunferencias tienen radio a y son tangentes exteriormente dos a dos. Hallar el ´area sombreada.

A

B

ut

o

de

M

at

em at

i ca

s

61. Si ABCD es un cuadrado de lado a. Hallar el ´area sombreada.

C

ia

,I

ns

tit

D

An tio

qu

62. Hallar el ´area sombreada en la tuerca, en t´erminos√de a y b. (Rta.: 2a2 ( 2 − 1) − π4 b2 )

a

iv er si d

ad

de

b

Un

63. Las circunferencias C(O, a) y C(D, a) en la Figura son congruentes, OB = 2a, BC y BA son tangentes (porqu´e?), D ∈ C(O, a) y O ∈ C(D, a). Hallar el ´area de la √ regi´oπn sombreada. 2 (Rta.: a ( 3 − 3 ))

C

O

D

B

A

64. Erat´ostenes (275 A. C.) calcul´o la circunferencia de la Tierra con un m´etodo ingenioso. Supuso que los rayos del Sol eran paralelos y descubri´o que cuando el Sol se encontraba exactamente sobre Alejandr´ıa

CAP´ITULO 8. AREAS

298

em at at

,I

ns

tit

ut

o

A

O b

M

B α b r

de

α b

i ca

s

(punto A en la figura), sus rayos formaban un ´angulo de 7,2o¯ con un poste vertical situado a 500 millas, en Siena (Asu´an)(punto B en la figura). Adem´as, supuso que el ´angulo central α tambi´en med´ıa 7,2o¯ . Dedujo que la relaci´on del ´angulo central α a 500 millas ser´ıa igual a la relaci´on del total de grados de una circunferencia para completar la longitud de la circunferencia de la Tierra. Hallar la proporci´on y calcula la circunferencia de la Tierra. (Rta. 3979 millas, radio real:4183 millas)

66. 65. En la figura, el ∆ABC es equil´atero de lado 2a, sobre los lados AB, AC y BC se construyen cuadrados. Hallar el ´area de cada una de las regiones sombreadas. √ (Rta.: a2 3)

qu

An tio

C

ad

de

B

ia

A

Un

iv er si d

67. En el ∆ABC, sea M ∈ BC y N ∈ AC, sea O ∈ AM ∩ BN . Si el ´area del ∆ABO y el ´area del ∆AON es 7 y el ´area del ∆BOM es 3, hallar el ´area del cuadril´atero OM CN . (Rta.: 18) 68. (Teorema de Ceva) Sea X ∈ Int(BC), Y ∈ Int(AC) y Z ∈ Int(AB) en el ∆ABC. La condici´on necesaria y suficiente para que los segmentos AX, BY y CZ sean concurrentes es que BX · CY · AZ = 1 XC Y A ZB 69. (Teorema de Menelao) Sea el ∆ABC, sean X, Y y Z tres puntos dis←→

←→

←→

tintos de los puntos A, B y C y sea X ∈BC, Y ∈AC y Z ∈AB. La condici´on necesaria y suficiente para que los puntos X, Y y Z sean AZ colineales es que BX · CY · BZ =1 CX AY

i ca

s

´ APENDICE A

tit

Inversos de puntos en el plano

ns

A.1.

ut

o

de

M

at

em at

´ TEOR´IA DE INVERSION

An tio

qu

ia

,I

Las inversiones constituyen un tipo de trasformaciones geom´etricas que trasforman rectas en circunferencias y circunferencias en rectas y envian ´angulos en ´angulos congruentes.

de

Definici´ on 74. Dada una circunferencia C(O, r) y un punto P en el plano de la circunferencia, el inverso de P con respecto a la circunferencia es un −→

iv er si d

ad

punto P ′ en la semirecta OP tal que

Un

OP · OP ′ = r2 .

O

P b

b

A

Figura 1.

299

P’

´ ´ APENDICE A. TEOR´IA DE INVERSION

300

La circunferencia C(O, r) se le llama la circunferencia de inversi´on, al centro O se le llama centro de inversi´on y a r se le llama el radio de inversi´on. De la definici´on se observa que tambi´en P es el inverso de P ′ y que cada punto del plano, excepto O, tiene inverso respecto a la circunferencia y todos los puntos A ∈ C(O, r) se transforman en si mismo, a estos puntos los llamamos puntos dobles y a C(O, r) se le llama circunferencia de puntos dobles. Tambi´en decimos que P y P ′ son hom´ologos bajo la inversi´on.

em at

i ca

s

Teorema 133. Si P es un punto exterior a la circunferencia de inversi´on C(O, r), entonces su inverso P ′ es interior a la circunferencia y rec´ıprocamente.

o

de

M

at

Demostraci´ on. En efecto, como P es exterior a la circunferencia C(O, r), entonces OP > r, y como P ′ es el inverso de P , entonces OP · OP ′ = r2 , luego r · OP ′ < r2 y simplicando OP ′ < r. 

qu

ia

,I

ns

tit

ut

Teorema 134. Si A y B son puntos exteriores a la circunferencia de inversi´on C(O, r) y OA > OB, entonces sus inversos A′ y B ′ son interiores a la circunferencia de inversi´on y OA′ < OB ′ .

de

An tio

Demostraci´ on. Por el teorema anterior, como por hipot´esis A y B son exteriores, entonces sus inversos A′ y B ′ son interiores y por la definici´on de inverso OA · OA′ = r2 = OB · OB ′ y OB =

ad

r2 OA′

Un

iv er si d

luego OA =

r2 OB ′

y como por hip´otesis OA > OB, entonces r2 r2 > OA′ OB ′

luego OA′ < OB ′ .



El siguiente teorema nos permite hacer la construcci´on con regla y comp´as, del inverso de un punto en el interior de la circunferencia de inversi´on Teorema 135. Sea P un punto en el interior de la circunferencia de inversi´on C(O, r). Entonces la intercepci´on de las rectas tangentes a C(O, r) en los extremos −→

de la cuerda perpendicular a OP en P es el inverso P ′ de P respecto a C(O, r).

A.1. INVERSOS DE PUNTOS EN EL PLANO

301

A

O

b

P

P’

s

B

at

em at

i ca

Figura 2.

−→

qu

ia

,I

ns

tit

ut

o

de

M

Demostraci´ on. (Ver Figura 2.). Sea AB la cuerda perpendicular a OP en P ′ y sea P el punto de intersecci´on de las tangentes a C(O, r) en A y B. Luego P es punto medio de AB y como AP ′ ∼ = BP ′ entonces el ∆ABP ′ es is´osceles y por tanto P P ′ ⊥AB, luego O, P, P ′ son colineales. Como OA⊥AP ′ entonces el ∆OAP ′ es rect´angulo con P A⊥OP ′ y por el teorema de las propiedades m´etricas del tri´angulo rect´angulo: OB 2 = OP · OP ′ = r2 , luego P ′ es el inverso de P con respecto a C(O, r). 

ad

de

An tio

Teorema 136. Sea P un punto en el exterior de la circunferencia de inversi´on C(O, r). Entonces el punto medio de la cuerda com´ un a las circunferencias C(O, r) y la de di´ametro OP es el inverso del punto P con respecto a la circunferencia C(O, r).

Un

iv er si d

Demostraci´ on. (Ver Figura 3.). Sea C(O, r) la circunferencia de inversi´on y sea P un punto en el exterior de la circunferencia de inversi´on, luego OP > r y por tanto la circunferencia de di´ametro OP intercepta la C(O, r), sean A y B los punto de intercepci´on. Sea P ′ el punto medio de AB. Veamos que P ′ es el inverso de P con respecto a C(O, r). En efecto, como P ′ es punto medio de AB entonces OP ′ ⊥AB y como OP es di´ametro, entonces OA⊥AP y OB⊥BP luego AP y BP son tangentes a la C(O, r) en A y B respectivamente, por lo tanto el ∆ABP es is´osceles y por el teorema de las propiedades del tri´angulo is´osceles, P ′ P ⊥AB, luego O, P ′ , P son colineales y por el teorema de las propiedades m´etricas del tri´angulo rect´angulo: OP · OP ′ = OA2 = r2 , por tanto P ′ es el inverso de P con respecto a la C(O, r).



´ ´ APENDICE A. TEOR´IA DE INVERSION

302

A

b

P

P’

i ca

s

O

em at

B

de

M

at

Figura 3.

ut

o

Inverso de circunferencias y rectas

tit

A.2.

qu

ia

,I

ns

Veremos a continuaci´on varios teoremas que nos dicen cuando una circunferencia se transforma en una circunferencia, cuando una circunferencia se transforma en una recta y cuando una recta se transforma en una recta.

iv er si d

ad

de

An tio

Teorema 137. Sea C(O, r) una circunferencia de inversi´on y sea C(O, R) una circunferencia conc´entrica con la circunferencia de inversi´on. Entonces el lugar geom´etrico de los puntos inversos de la C(O, R) es otra circunferencia conc´entrica de 2 radio rR .

Un

Demostraci´ on. Probemos primero que para todo punto P ∈ C(O, R), su 2 ′ inverso P esta sobre una circunferencia de centro O y radio rR . Supongamos que R < r, entonces como P ′ es el inverso de P , se debe cumplir que OP · OP ′ = r2 , pero OP = R, luego para todo P ′ inverso de P se cumple que 2 OP ′ = rR y OP ′ > r, por lo tanto P ′ pertenece a una circunferencia de centro 2 O y radio rR > r. Rec´ıprocamente, veamos que si P ′ es un punto de la circunferencia de centro 2 O y radio rR entonces su inverso es un punto P ∈ C(O, R). En efecto, como P ′ es exterior a la circunferencia de inversi´on entonces su inverso P esta en el interior de dicha circunferencia y se debe cumplir que OP · OP ′ = r2 , 2 2 r2 ′ = rR , entonces, OP = rr2 = R , luego luego OP = OP ′ , pero como OP R

P ∈ C(O, R).



A.2. INVERSO DE CIRCUNFERENCIAS Y RECTAS

303

Teorema 138. ′ Sea C(O, r) una circunferencia de inversi´on y sean l y l las dos semirrectas en que O divide a l. Entonces el lugar geom´etrico de los puntos inversos de ′ ′ las semirrectas l y l son l y l respectivamente. Demostraci´ on. (Ver Figura 4.) Si P ∈ IntC(O, r) entonces su inverso P ′ ∈ −→

ExtC(O, r) y P ′ ∈OP ≡ l. Rec´ıprocamente, si P ′ ∈ ExtC(O, r) entonces su −→

inverso P ∈ IntC(O, r) y P ∈OP ′ ≡ l.

O

′

b

P b

b

A

l

de

P’

,I

ns

tit

ut

o

l

M

at

em at

i ca

s



An tio

qu

ia

Figura 4.

ad

de

Este teorema muestra que toda recta que pase por el centro de inversi´on se trasforma en si misma, en este caso decimos que esta figura es doble, aunque sus puntos no son dobles.

Un

iv er si d

Teorema 139. Toda circunferencia que pase por dos puntos hom´ologos en la inversi´on es doble y es ortogonal a la circunferencia de inversi´on. Rec´ıprocamente, si una circunferencia es ortogonal a la circunferencia de inversi´on entonces es doble. Corolario 50. Dos pares de puntos hom´ologos bajo la inversi´on, no alineados, son c´ıclicos. Teorema 140. Sean A, B puntos exteriores a la circunferencia de inversi´on C(O, r) y sean A′ , B ′ los inversos de A, B respectivamente. Entonces los tri´angulos ∆OAB y ∆OA′ B ′ son semejantes.

´ ´ APENDICE A. TEOR´IA DE INVERSION

304

B b

B’ b

b

b

O

A’

b

A

em at

i ca

s

Figura 5.

de

M

at

Demostraci´ on. (Ver Figura 5.) Sean A, B puntos exteriores a la circunferencia de inversi´on C(O, r) y sean A′ , B ′ sus respectivos inversos, entonces por la definici´on de punto inverso, se cumple que

tit

ut

o

OA · OA′ = r2 = OB · OB ′ y por lo tanto

ia

,I

ns

OA OB = OB ′ OA′

An tio

qu

′ OA′ , entonces por el criterio de semejanza P-A-P: [ ∼ \ y como AOB =B

de

∆OAB ∼ ∆OA′ B ′ .

ad

Nota: de la demostraci´on anterior se concluye que

iv er si d

′ A′ O, [ ∼ \ ABO =B

′ B ′ O. [ ∼ \ BAO =A



Un

Teorema 141. Sea C(O, r) la circunferencia de inversi´on y sea l una recta que no pasa por el centro de inversi´on O. Entonces el inverso de l respecto de C(O, r), es una circunferencia que pasa por O. Rec´ıprocamente, la figura inversa de una circunferencia que pasa por el centro de inversi´on O es una recta que no pasa por O. Demostraci´ on. (Ver Figura 6.) Sea C(O, r) la circunferencia de inversi´on y sea l una recta tal que O ∈ / l. Sea A ∈ l tal que OA⊥l, sea A′ el inverso de A respecto C(O, r), por tanto OA · OA′ = r2 . Veamos que todos los puntos de la circunferencia C ′ de di´ametro OA′ , excepto O son los inversos de la recta

A.2. INVERSO DE CIRCUNFERENCIAS Y RECTAS l

305

B’

B b

A’

A

s

O

em at

i ca

Figura 6.

at

−→

M

l. Sea B ∈ l y sea B ′ ∈OB tal que B ′ esta en la intersecci´on de la semirrecta −→

,I

ns

tit

OA OB = ′ OA OB ′

ut

o

de

OB con la circunferencia C ′ , entonces por el teorema anterior los tri´angulos rect´angulos ∆OB ′ A′ y ∆OAB son semejantes, por lo tanto

An tio

qu

ia

luego OB · OB ′ = OA · OA′ = r2 , luego B ′ que pertenece a la circunferencia C ′ , es el inverso de B, con B ∈ l. Rec´ıprocamente, si B ′ 6= O es un punto de la circunferencia C ′ , veamos que −→

OB ′ OA′ = , OA OB

Un

iv er si d

ad

de

su inverso esta en la recta l. Sea {B} = l∩ OB ′ , veamos que B es el inverso de B ′ respecto de C(O, r). En efecto, como los tri´angulos ∆OB ′ A′ y ∆OAB son rect´angulos y tienen un ´angulo com´ un, entonces son semejantes, por tanto:

es decir, OB · OB ′ = OA · OA′ = r2 , luego B es el inverso de B ′ con respecto a C(O; r).  Teorema 142. Si una recta es exterior a la circunferencia de inversi´on C(O, r), entonces su inversa es una circunferencia que pasa por O y es interior a la circunferencia de inversi´on. Demostraci´ on. Sea l una recta exterior a la circunferencia de inversi´on C(O, r), por tanto, todos los puntos de l son exteriores a la circunferencia de inversi´on C(O, r) y por teorema anterior, sus inversos son interiores a

´ ´ APENDICE A. TEOR´IA DE INVERSION

306

Un

iv er si d

ad

de

An tio

qu

ia

,I

ns

tit

ut

o

de

M

at

em at

i ca

s

la circunferencia de inversi´on y como el inverso de una recta que no pasa por O es una circunferencia que pasa por O, entonces la inversa de l es una circunferencia que esta en el interior de la circunferencia de inversi´on C(O, r). 

de

M

at

em at

i ca

s

BIBLIOGRAF´IA

ia

,I

Geometr´ıa, Primera edici´on. Addison-Wesley Longman,

qu

[2] Clemens, S.R. M´exico 1998.

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de

An tio

[3] Alvarez E. Elementos de Geometr´ıa con numerosos ejercicios y geometr´ıa del comp´as, primera edici´on. Universidad de Medell´ın. Medell´ın 2000.

iv er si d

ad

[4] Moise, Edwin E Elementos de Geometr´ıa Superior , Centro Regional de Ayuda T´ecnica (A.I.D.). Geometr´ıa Euclidiana, Universidad

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[5] Villegas, Celia y Valencia, Santiago Nacional.1988 [6] Adan P., Puig Madrid. 1958.

Curso de Geometr´ıa M´etrica,dos tomos, sexta edici´on.

[7] Hemerling, Edwin

Geometr´ıa Elemental , Limusa Wiley.

307

M

´ Angulo exterior , 86 inscrito , 176 semiinscrito, 178 ´ Angulos adyacentes, 36 alternos internos, 82 complementarios, 81 correspondientes, 82 interiores, 83 opuestos por el v´ertice, 36 suplementarios, 81

at

em at

i ca

s

´INDICE ALFABETICO ´

Un

iv er si d

ad

de

An tio

qu

ia

,I

ns

tit

ut

o

de

de segmento, 25 de continuidad, 75 de las paralelas, 96 de paralelismo, 75 de Playfair, 97 de separaci´on de la recta, 13 del espacio, 17 del plano, 14 quinto postulado de Euclides, 95 Axiomas de areas, 259 de congruencia, 25 Altura, 60 de incidencia, 6 Aplicaciones del Teorema de Pit´agode orden, 9 ras, 223 Arco capaz, 176 Bibliograf´ıa, 307 Axiom´atica Bisectriz, 60 formal, 2 Circunferencias gen´etica, 2 tangentes exteriores, 163 Axioma tangentes interiores, 164 de Arqu´ımedes, 75 Clases de axiomas, 6 de Cantor, 75 Condiciones de congruencia A-L-A, 32 de los axiomas, 3 de construcci´on de ´angulo, 27 Construcci´on 308

´INDICE ALFABETICO ´

309

Un

iv er si d

ad

de

An tio

qu

ia

,I

ns

tit

ut

o

de

M

at

em at

i ca

s

Cuerdas y arcos, 169 de la circunferencia, 156 con regla y comp´as, 26 Definici´on conjugado arm´onico, 232 ´angulo de un pol´ıgono, 130 conjugados arm´onicos, 233 cuadril´atero c´ıclico , 183 cuarta proporcional de > para a´ngulos, 44 de tres segmentos, 231 de > para segmentos, 44 de ´angulo, 42 de ´angulo, 17 de la bisectriz, 63 de ´angulo de la perpendicular llano, 17 en un punto de una recta, 64 nulo, 17 por un punto exterior de una semiinscrito, 178 recta, 65 de ´angulo agudo, 50 de la tangente, 160 de ´angulo al centro, 155 de las tangentes de ´angulo exterior por un punto exterior, 166 de un pol´ıgono, 130 de paralela de ´angulo inscrito, 176 por un punto exterior, 84 de ´angulo obtuso, 50 de segmento, 26 de ´angulo recto, 48 de un tri´angulo, 65, 66 de ´area unitaria, 260 del arco capaz, 179 de altura, 60 del dec´agono, 283 de apotema, 190 del dec´agono estrellado, 283 de arco, 153 del pent´agono, 286 de arco capaz, 176 del pent´agono estrellado, 286 de arco no principal, 154 del punto medio, 62 de arco principal, 154 dividir un segmento de arcos adyacentes, 169 en segmentos congruentes, 229 de arcos principales en una proporci´on dada, 230 congruentes, 169 media proporcionalidad, 234 de axioma, 2 simult´anea de de bisectriz, 54, 60 pent´agono, pent´agono estrellade c´ırculo, 153 do, dec´agono, dec´agono estrede circunferencia, 151 llado , 288 de circunferencias congruentes, 169 Criterio de cuadrado, 133 L-A-L en desigualdades, 115 de cuarta proporcional, 201 L-L-L en desigualdades, 117 de cuerda, 153 Cuadril´atero c´ıclico, 183 de di´ametro, 153

´INDICE ALFABETICO ´

310

diagonal, 130 de raz´on, 201 divisi´on arm´onica, 212 de raz´on en un segmento, 202 eje radical, 243 de rect´angulo, 133 exterior de la circunferencia, de rombo, 133 152 de secante a una circunferencia, de extremos de una proporci´on, 153 201 de sector circular, 277 de figura, 11 de segmento, 10 de figura convexa, 11 de segmento circular, 278 de grado, 80 de segmento nulo, 10 de interior de la circunferencia, 151 de segmentos conmensurables , 204 de interior de segmento, 10 de segmentos inconmensurables , de interior de un pol´ıgono C-simple, 204 128 de semejanza de pol´ıgonos, 213 de Lugar Geom´etrico, 104 de semejanza de tri´angulos, 214 de media proporcional, 202 de semiplano, 15 de mediana, 60 de semirrecta, 13 de mediatriz, 60 de semirrectas opuestas, 14 de medida de arcos, 169 de tangente, 153 de medios de una proporci´on, 201 de trapecio, 133 de paralelogramo, 133 de tri´angulo, 30 de per´ımetro del pol´ıgono, 127 de tri´angulo acut´angulo, 133 de Pol´ıgono, 127 de tri´angulo equi´angulo, 133 de pol´ıgono concavo, 128 de tri´angulo equil´atero, 40 de pol´ıgono convexo, 128 de tri´angulo escaleno, 133 de pol´ıgono irregular, 129 de tri´angulo is´osceles, 35 de pol´ıgono regular, 129 de tri´angulo obtus´angulo, 133 de Pol´ıgono Simple , 128 de tri´angulo rect´angulo, 51 de pol´ıgonos congruentes, 214 de tri´angulos comgruentes, 31 de pol´ıgonos equivalentes, 260 exterior de un pol´ıgono, 130 de Poligonal, 127 pol´ıgono regular, 188 de potencia de un punto, 240 Desigualdades, 43 de proporci´on, 201 de proyecci´on ortogonal, 90, 219 Desigualdades en el tri´angulo , 110 de punto medio, 53 Distancia de radian, 276 de un punto a una recta, 90 de radio entre paralelas, 104 de la circunferencia, 151

Un

iv er si d

ad

de

An tio

qu

ia

,I

ns

tit

ut

o

de

M

at

em at

i ca

s

de de de de

´INDICE ALFABETICO ´

311

Lado del dec´agono, 286 del dec´agono estrellado, 286 del pent´agono, 287 del pent´agono estrellado, 288 Lado y apotema del cuadrado, 279 del hex´agono, 281 del oct´ogono, 280 del tri´angulo equil´atero, 282 Lema fundamental del paralelismo, 203 Lugar Geom´etrico la bisectriz, 94 la mediatriz, 94

at

em at

Rectas paralelas, 81 Relaciones primitivas, 5

i ca

s

de Playfair, 97 Punto exterior de un pol´ıgono, 129 interior de un pol´ıgono C-simple, 128 Puntos colineales, 6 coplanares, 6 sim´etricos, 161

de

M

Sistema axiom´atico, 1

Un

iv er si d

ad

de

An tio

qu

ia

,I

ns

tit

ut

o

T´erminos primitivos, 2, 5 Teor´ıa deductiva, 2 M´etodos de demostraci´on, 3 Teorema Mediana, 60 ´area del c´ırculo, 275 Mediatriz, 60 ´area del paralelogramo, 261 Medida ´area del pol´ıgono regular, 267 de ´angulos, 79 ´area del rect´angulo, 260 de arcos, 169 ´area del rombo, 266 de segmentos, 78 ´area del sector circular, 277 Medida de arcos, 169 ´area del segmento circular, 279 ´area del tri´angulo, 262 N´ umero π, 273 congruencia Nota Hist´orica de los ´angulos rectos , 49 quinto postulado de Euclides, 96 cuadratura de un pol´ıgono, 267 de congruencia A-L-A, 34 Par lineal, 36 de congruencia L-A-A, 91 Perpendicularidad, 48 de congruencia L-L-L, 41 Pol´ıgono de congruencias circunscrito a una circunferencia, de tri´angulos rect´angulos, 93 183 de existencia inscrito en una circunferencia, 182 de la perpendicular, 57 Pol´ıgono regular, 188 de las rectas paralelas, 91 Pol´ıgonos del ´angulo recto, 48 equivalentes , 260 del eje radical, 242 Postulado

´INDICE ALFABETICO ´

312

Un

iv er si d

ad

de

An tio

qu

ia

,I

ns

tit

ut

o

de

M

at

em at

i ca

s

del punto medio, 51 de Tales, 204 de Tales en el tri´angulo, 207 de existencia y unicidad de Tolomeo, 235 de la circunferencia , 155 de unicidad de la perpendicular por un punde la bisectriz, 55 to exterior, 87 de la perpendicular, 57 de la barra transversal, 22 del punto medio, 53 de la bisectriz, 94 del ´angulo de la mediatriz, 94 semi-inscrito, 178 de la paralela media del ´angulo exterior , 86 en el tri´angulo, 106 del ´angulo inscrito, 176 de la propiedades del baricentro, 138 del paralelogramo , 136 del circuncentro, 109 del rect´angulo, 140 del incentro, 109 del rombo, 141 del ortocentro, 109 del trapecio, 142 del par lineal, 37 de la proporcionalidad del tri´angulo is´osceles, 40 en el tri´angulo rect´angulo, 220 desigualdad triangular, 114 de la suma de los ´angulos existencia de un tri´angulo, 105 de la bisectriz, 54 de las oblicuas, 113 f´ormula de Her´on, 264 de las propiedades ley de cosenos, 223 del tri´angulo is´osceles , 60 ley de tricotom´ıa de las tangentes para segmentos , 45 por un punto exterior, 164 longitud de arco, 276 de los ´angulos longitud de la circunferencia, 274 alternos internos, 83, 102 propiedad de la tangente, 159 correspondientes, 84 propiedad transitiva de los cuadril´ateros c´ıclicos, 183, para segmentos, 46 184 propiedades del eje radical, 243 de Pit´agoras, 221 recta de Simson, 185 de proporcionalidad sucesiones crecientes y decreciende la bisectriz, 209 tes, 272 de la bisectriz exterior, 211 de semejanza A-A, 215 Unidad de semejanza P-A-P, 216 de ´area, 260 de semejanza P-P-P, 217 Unidad de medida de Steiner-Lehmus, 187 grado, 80 de Stewart, 225