clase16-09. Inversa y determinante por cofactores
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Algebra Lineal 2020
Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires
16 de septiembre de 2020
16 de septiembre de 2020
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Determinante por cofactores Podemos calcular el determinante de una matriz recorriendola por una fila o una columna utilizando cofactores.
16 de septiembre de 2020
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Determinante por cofactores Podemos calcular el determinante de una matriz recorriendola por una fila o una columna utilizando cofactores. Dada A ∈ Rn×n podemos calcular det(A), por la i-´esima fila, como
16 de septiembre de 2020
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Determinante por cofactores Podemos calcular el determinante de una matriz recorriendola por una fila o una columna utilizando cofactores. Dada A ∈ Rn×n podemos calcular det(A), por la i-´esima fila, como det(A) =
n X
aij Cij
j=1
Donde Cij = (−1)i+j det(Mij ) y Mij es la submatriz que resulta de eliminar la fila i y la columna j.
16 de septiembre de 2020
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Determinante por cofactores Podemos calcular el determinante de una matriz recorriendola por una fila o una columna utilizando cofactores. Dada A ∈ Rn×n podemos calcular det(A), por la i-´esima fila, como det(A) =
n X
aij Cij
j=1
Donde Cij = (−1)i+j det(Mij ) y Mij es la submatriz que resulta de eliminar la fila i y la columna j. ¿Por qu´e fila o columna nos convendr´a recorrer la matriz?
16 de septiembre de 2020
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Ejemplo Calcular 1 2 3 4 2 1 4 0 0
16 de septiembre de 2020
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Ejemplo Calcular 1 2 3 4 2 1 4 0 0
Nos conviene recorrerla por la tercera fila, dado que tiene m´as cantidad de ceros. Quedar´a: 2 3 2 1
3+1
4.(−1)
+ 0.(−1)3+2 1 3 4 1
+ 0.(−1)3+3 1 2 4 2
= −16
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Observaciones B El m´etodo de cofactores simplifica el c´alculo de determinantes
16 de septiembre de 2020
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Observaciones B El m´etodo de cofactores simplifica el c´alculo de determinantes B Si logramos hacer ceros en una columna (o en una fila), utilizando operaciones elementales, podemos reducir la dimensi´on de la matriz en el c´alculo de determinante.
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Observaciones B El m´etodo de cofactores simplifica el c´alculo de determinantes B Si logramos hacer ceros en una columna (o en una fila), utilizando operaciones elementales, podemos reducir la dimensi´on de la matriz en el c´alculo de determinante. B Si logramos hacer triangular la matriz, entonces el m´etodo de cofactores nos permite ver que el determinante ser´a el producto de los elementos de la diagonal principal.
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Observaciones B El m´etodo de cofactores simplifica el c´alculo de determinantes B Si logramos hacer ceros en una columna (o en una fila), utilizando operaciones elementales, podemos reducir la dimensi´on de la matriz en el c´alculo de determinante. B Si logramos hacer triangular la matriz, entonces el m´etodo de cofactores nos permite ver que el determinante ser´a el producto de los elementos de la diagonal principal. B Si logramos hacer una fila (o columna) nula, entonces se observa que el determinante es 0 .
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Ejemplo Calcular
1 2 1 −1 2 1 0 1 1 −1 2 1 0 3 1 1
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Ejemplo Calcular
1 2 1 −1 2 1 0 1 1 −1 2 1 0 3 1 1
Hacemos operaciones entre filas 1 2 2 1 1 −1 0 3
1 −1 0 1 f2 → f2 − 2f1 2 1 f3 → f3 − f1 1 1
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Ejemplo Calcular
1 2 1 −1 2 1 0 1 1 −1 2 1 0 3 1 1
Hacemos operaciones entre filas 1 2 1 −1 2 1 0 1 f2 → f2 − 2f1 1 −1 2 1 f3 → f3 − f1 0 3 1 1 1 2 1 −1 0 −3 −2 3 0 −3 1 2 0 3 1 1 16 de septiembre de 2020
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−3 −2 3 1 2 (−1)1+1 −3 3 1 1
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−3 −2 3 1 2 (−1)1+1 −3 3 1 1 Seguimos operando −3 −2 3 f1 → f1 + f3 −3 1 2 f2 → f2 + f3 3 1 1 0 −1 4 0 2 3 3 1 1
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−3 −2 3 1 2 (−1)1+1 −3 3 1 1 Seguimos operando −3 −2 3 f1 → f1 + f3 −3 1 2 f2 → f2 + f3 3 1 1 0 −1 4 0 2 3 3 1 1 1+1
(−1)
3+1
.(−1)
−1 4 3 2 3
= −33 16 de septiembre de 2020
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Inversa por Cofactores Adem´as del m´etodo de Gauss, podemos hallar la inversa de una matriz utilizando cofactores.
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Inversa por Cofactores Adem´as del m´etodo de Gauss, podemos hallar la inversa de una matriz utilizando cofactores. Para calcular la inversa por cofactores es necesario conocer: A−1 =
adj(A) det(A)
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Inversa por Cofactores Adem´as del m´etodo de Gauss, podemos hallar la inversa de una matriz utilizando cofactores. Para calcular la inversa por cofactores es necesario conocer: A−1 =
adj(A) det(A)
Donde adj(A) = cof (A)t
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Inversa por Cofactores Adem´as del m´etodo de Gauss, podemos hallar la inversa de una matriz utilizando cofactores. Para calcular la inversa por cofactores es necesario conocer: A−1 =
adj(A) det(A)
Donde adj(A) = cof (A)t Recordemos que Cij = (−1)i+j det(Mij )
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Ejemplo Hallar la matriz inversa de
−1 2 −2 4 A = 1 −3 0 1 2
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Ejemplo Hallar la matriz inversa de
−1 2 −2 4 A = 1 −3 0 1 2 Se puede calcular que det(A) = 4. Por lo tanto A tiene inversa.
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Ejemplo Hallar la matriz inversa de
−1 2 −2 4 A = 1 −3 0 1 2 Se puede calcular que det(A) = 4. Por lo tanto A tiene inversa. Determinemos los cofactores:
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Ejemplo Hallar la matriz inversa de
−1 2 −2 4 A = 1 −3 0 1 2 Se puede calcular que det(A) = 4. Por lo tanto A tiene inversa. Determinemos los cofactores: 1+1 −3 4 C11 = (−1) = −10 1 2
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Ejemplo Hallar la matriz inversa de
−1 2 −2 4 A = 1 −3 0 1 2 Se puede calcular que det(A) = 4. Por lo tanto A tiene inversa. Determinemos los cofactores: 1+1 −3 4 C11 = (−1) = −10 1 2 1 4 = −2 C12 = (−1)1+2 0 2
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Ejemplo Hallar la matriz inversa de
−1 2 −2 4 A = 1 −3 0 1 2 Se puede calcular que det(A) = 4. Por lo tanto A tiene inversa. Determinemos los cofactores: 1+1 −3 4 C11 = (−1) = −10 1 2 1 4 = −2 C12 = (−1)1+2 0 2 1 −3 =1 C13 = (−1)1+3 0 1 16 de septiembre de 2020
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Hallar la matriz inversa de
C21
−1 2 −2 4 A = 1 −3 0 1 2 2 −2 = −6 = (−1)2+1 1 2
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Hallar la matriz inversa de
C21 C22
= (−1) 2+2 = (−1) 2+1
−1 2 −2 4 A = 1 −3 0 1 2 2 −2 = −6 1 2 −1 −2 = −2 0 2
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Hallar la matriz inversa de
C21 C22 C23
= (−1) 2+2 = (−1) 2+3 = (−1) 2+1
−1 2 −2 4 A = 1 −3 0 1 2 2 −2 = −6 1 2 −1 −2 = −2 0 2 −1 2 =1 0 1
16 de septiembre de 2020
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Hallar la matriz inversa de
C21 C22 C23 C31
= (−1) 2+2 = (−1) 2+3 = (−1) 3+1 = (−1) 2+1
−1 2 −2 4 A = 1 −3 0 1 2 2 −2 = −6 1 2 −1 −2 = −2 0 2 −1 2 =1 0 1 2 −2 =2 −3 4
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Hallar la matriz inversa de
C21 C22 C23 C31 C32
= (−1) 2+2 = (−1) 2+3 = (−1) 3+1 = (−1) 3+2 = (−1) 2+1
−1 2 −2 4 A = 1 −3 0 1 2 2 −2 = −6 1 2 −1 −2 = −2 0 2 −1 2 =1 0 1 2 −2 =2 −3 4 −1 −2 =2 1 4
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Hallar la matriz inversa de
C21 C22 C23 C31 C32 C33
= (−1) 2+2 = (−1) 2+3 = (−1) 3+1 = (−1) 3+2 = (−1) 3+3 = (−1) 2+1
−1 2 −2 4 A = 1 −3 0 1 2 2 −2 = −6 1 2 −1 −2 = −2 0 2 −1 2 =1 0 1 2 −2 =2 −3 4 −1 −2 =2 1 4 −1 2 =1 1 −3 16 de septiembre de 2020
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Por lo tanto la matriz de cofactores de A es −10 −2 1 cof (A) = −6 −2 1 . 2 2 1
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Por lo tanto la matriz de cofactores de A es −10 −2 1 cof (A) = −6 −2 1 . 2 2 1
−10 −2 adj(A) = cof (A)t = −6 −2 2 2
t 1 1 1
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Como
−10 −6 adj(A) = −2 −2 1 1
2 2 1
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Como
−10 −6 adj(A) = −2 −2 1 1
2 2 1
La inversa resulta: A−1 =
adj(A) cof (A)t = = det(A) det(A)
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Como
−10 −6 adj(A) = −2 −2 1 1
2 2 1
La inversa resulta: A−1
−10 −6 adj(A) cof (A) 1 −2 −2 = = = det(A) det(A) 4 1 1 t
2 2 = 1
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Como
−10 −6 adj(A) = −2 −2 1 1
2 2 1
La inversa resulta: A−1
−10 −6 adj(A) cof (A) 1 −2 −2 = = = det(A) det(A) 4 1 1 t
5 2 − 2 − 32 2 = − 12 − 12 1 1 1 4 4
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1 2 1 2 1 4
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Determinante por cofactores Podemos calcular el determinante de una matriz recorriendola por una fila o una columna utilizando cofactores.
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Determinante por cofactores Podemos calcular el determinante de una matriz recorriendola por una fila o una columna utilizando cofactores. Dada A ∈ Rn×n podemos calcular det(A), por la i-´esima fila, como
16 de septiembre de 2020
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Determinante por cofactores Podemos calcular el determinante de una matriz recorriendola por una fila o una columna utilizando cofactores. Dada A ∈ Rn×n podemos calcular det(A), por la i-´esima fila, como det(A) =
n X
aij Cij
j=1
Donde Cij = (−1)i+j det(Mij ) y Mij es la submatriz que resulta de eliminar la fila i y la columna j.
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Determinante por cofactores Podemos calcular el determinante de una matriz recorriendola por una fila o una columna utilizando cofactores. Dada A ∈ Rn×n podemos calcular det(A), por la i-´esima fila, como det(A) =
n X
aij Cij
j=1
Donde Cij = (−1)i+j det(Mij ) y Mij es la submatriz que resulta de eliminar la fila i y la columna j. ¿Por qu´e fila o columna nos convendr´a recorrer la matriz?
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Ejemplo Calcular 1 2 3 4 2 1 4 0 0
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Ejemplo Calcular 1 2 3 4 2 1 4 0 0
Nos conviene recorrerla por la tercera fila, dado que tiene m´as cantidad de ceros. Quedar´a: 2 3 2 1
3+1
4.(−1)
+ 0.(−1)3+2 1 3 4 1
+ 0.(−1)3+3 1 2 4 2
= −16
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Observaciones B El m´etodo de cofactores simplifica el c´alculo de determinantes
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Observaciones B El m´etodo de cofactores simplifica el c´alculo de determinantes B Si logramos hacer ceros en una columna (o en una fila), utilizando operaciones elementales, podemos reducir la dimensi´on de la matriz en el c´alculo de determinante.
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Observaciones B El m´etodo de cofactores simplifica el c´alculo de determinantes B Si logramos hacer ceros en una columna (o en una fila), utilizando operaciones elementales, podemos reducir la dimensi´on de la matriz en el c´alculo de determinante. B Si logramos hacer triangular la matriz, entonces el m´etodo de cofactores nos permite ver que el determinante ser´a el producto de los elementos de la diagonal principal.
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Observaciones B El m´etodo de cofactores simplifica el c´alculo de determinantes B Si logramos hacer ceros en una columna (o en una fila), utilizando operaciones elementales, podemos reducir la dimensi´on de la matriz en el c´alculo de determinante. B Si logramos hacer triangular la matriz, entonces el m´etodo de cofactores nos permite ver que el determinante ser´a el producto de los elementos de la diagonal principal. B Si logramos hacer una fila (o columna) nula, entonces se observa que el determinante es 0 .
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Ejemplo Calcular
1 2 1 −1 2 1 0 1 1 −1 2 1 0 3 1 1
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Ejemplo Calcular
1 2 1 −1 2 1 0 1 1 −1 2 1 0 3 1 1
Hacemos operaciones entre filas 1 2 2 1 1 −1 0 3
1 −1 0 1 f2 → f2 − 2f1 2 1 f3 → f3 − f1 1 1
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Ejemplo Calcular
1 2 1 −1 2 1 0 1 1 −1 2 1 0 3 1 1
Hacemos operaciones entre filas 1 2 1 −1 2 1 0 1 f2 → f2 − 2f1 1 −1 2 1 f3 → f3 − f1 0 3 1 1 1 2 1 −1 0 −3 −2 3 0 −3 1 2 0 3 1 1 16 de septiembre de 2020
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−3 −2 3 1 2 (−1)1+1 −3 3 1 1
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−3 −2 3 1 2 (−1)1+1 −3 3 1 1 Seguimos operando −3 −2 3 f1 → f1 + f3 −3 1 2 f2 → f2 + f3 3 1 1 0 −1 4 0 2 3 3 1 1
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−3 −2 3 1 2 (−1)1+1 −3 3 1 1 Seguimos operando −3 −2 3 f1 → f1 + f3 −3 1 2 f2 → f2 + f3 3 1 1 0 −1 4 0 2 3 3 1 1 1+1
(−1)
3+1
.(−1)
−1 4 3 2 3
= −33 16 de septiembre de 2020
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Inversa por Cofactores Adem´as del m´etodo de Gauss, podemos hallar la inversa de una matriz utilizando cofactores.
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Inversa por Cofactores Adem´as del m´etodo de Gauss, podemos hallar la inversa de una matriz utilizando cofactores. Para calcular la inversa por cofactores es necesario conocer: A−1 =
adj(A) det(A)
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Inversa por Cofactores Adem´as del m´etodo de Gauss, podemos hallar la inversa de una matriz utilizando cofactores. Para calcular la inversa por cofactores es necesario conocer: A−1 =
adj(A) det(A)
Donde adj(A) = cof (A)t
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Inversa por Cofactores Adem´as del m´etodo de Gauss, podemos hallar la inversa de una matriz utilizando cofactores. Para calcular la inversa por cofactores es necesario conocer: A−1 =
adj(A) det(A)
Donde adj(A) = cof (A)t Recordemos que Cij = (−1)i+j det(Mij )
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Ejemplo Hallar la matriz inversa de
−1 2 −2 4 A = 1 −3 0 1 2
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Ejemplo Hallar la matriz inversa de
−1 2 −2 4 A = 1 −3 0 1 2 Se puede calcular que det(A) = 4. Por lo tanto A tiene inversa.
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Ejemplo Hallar la matriz inversa de
−1 2 −2 4 A = 1 −3 0 1 2 Se puede calcular que det(A) = 4. Por lo tanto A tiene inversa. Determinemos los cofactores:
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Ejemplo Hallar la matriz inversa de
−1 2 −2 4 A = 1 −3 0 1 2 Se puede calcular que det(A) = 4. Por lo tanto A tiene inversa. Determinemos los cofactores: 1+1 −3 4 C11 = (−1) = −10 1 2
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Ejemplo Hallar la matriz inversa de
−1 2 −2 4 A = 1 −3 0 1 2 Se puede calcular que det(A) = 4. Por lo tanto A tiene inversa. Determinemos los cofactores: 1+1 −3 4 C11 = (−1) = −10 1 2 1 4 = −2 C12 = (−1)1+2 0 2
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Ejemplo Hallar la matriz inversa de
−1 2 −2 4 A = 1 −3 0 1 2 Se puede calcular que det(A) = 4. Por lo tanto A tiene inversa. Determinemos los cofactores: 1+1 −3 4 C11 = (−1) = −10 1 2 1 4 = −2 C12 = (−1)1+2 0 2 1 −3 =1 C13 = (−1)1+3 0 1 16 de septiembre de 2020
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Hallar la matriz inversa de
C21
−1 2 −2 4 A = 1 −3 0 1 2 2 −2 = −6 = (−1)2+1 1 2
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Hallar la matriz inversa de
C21 C22
= (−1) 2+2 = (−1) 2+1
−1 2 −2 4 A = 1 −3 0 1 2 2 −2 = −6 1 2 −1 −2 = −2 0 2
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Hallar la matriz inversa de
C21 C22 C23
= (−1) 2+2 = (−1) 2+3 = (−1) 2+1
−1 2 −2 4 A = 1 −3 0 1 2 2 −2 = −6 1 2 −1 −2 = −2 0 2 −1 2 =1 0 1
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Hallar la matriz inversa de
C21 C22 C23 C31
= (−1) 2+2 = (−1) 2+3 = (−1) 3+1 = (−1) 2+1
−1 2 −2 4 A = 1 −3 0 1 2 2 −2 = −6 1 2 −1 −2 = −2 0 2 −1 2 =1 0 1 2 −2 =2 −3 4
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9 / 11
Hallar la matriz inversa de
C21 C22 C23 C31 C32
= (−1) 2+2 = (−1) 2+3 = (−1) 3+1 = (−1) 3+2 = (−1) 2+1
−1 2 −2 4 A = 1 −3 0 1 2 2 −2 = −6 1 2 −1 −2 = −2 0 2 −1 2 =1 0 1 2 −2 =2 −3 4 −1 −2 =2 1 4
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Hallar la matriz inversa de
C21 C22 C23 C31 C32 C33
= (−1) 2+2 = (−1) 2+3 = (−1) 3+1 = (−1) 3+2 = (−1) 3+3 = (−1) 2+1
−1 2 −2 4 A = 1 −3 0 1 2 2 −2 = −6 1 2 −1 −2 = −2 0 2 −1 2 =1 0 1 2 −2 =2 −3 4 −1 −2 =2 1 4 −1 2 =1 1 −3 16 de septiembre de 2020
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Por lo tanto la matriz de cofactores de A es −10 −2 1 cof (A) = −6 −2 1 . 2 2 1
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Por lo tanto la matriz de cofactores de A es −10 −2 1 cof (A) = −6 −2 1 . 2 2 1
−10 −2 adj(A) = cof (A)t = −6 −2 2 2
t 1 1 1
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Como
−10 −6 adj(A) = −2 −2 1 1
2 2 1
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Como
−10 −6 adj(A) = −2 −2 1 1
2 2 1
La inversa resulta: A−1 =
adj(A) cof (A)t = = det(A) det(A)
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Como
−10 −6 adj(A) = −2 −2 1 1
2 2 1
La inversa resulta: A−1
−10 −6 adj(A) cof (A) 1 −2 −2 = = = det(A) det(A) 4 1 1 t
2 2 = 1
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Como
−10 −6 adj(A) = −2 −2 1 1
2 2 1
La inversa resulta: A−1
−10 −6 adj(A) cof (A) 1 −2 −2 = = = det(A) det(A) 4 1 1 t
5 2 − 2 − 32 2 = − 12 − 12 1 1 1 4 4
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