7.- Derivada de la Inversa

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Derivada de la Inversa Luis Tapia Universidad de Concepci´ on Junio de 2014

Derivada de arctan Consideramos la funci´ on arctan : R −→ ] − π2 , π2 [ x 7−→ arctan x.

Derivada de arctan Consideramos la funci´ on arctan : R −→ ] − π2 , π2 [ x 7−→ arctan x. Sabemos que es la inversa de la restricci´ on tan :] −

π π , [−→ R, 2 2

Derivada de arctan Consideramos la funci´ on arctan : R −→ ] − π2 , π2 [ x 7−→ arctan x. Sabemos que es la inversa de la restricci´ on tan :] − luego, se tiene

π π , [−→ R, 2 2

Derivada de arctan Consideramos la funci´ on arctan : R −→ ] − π2 , π2 [ x 7−→ arctan x. Sabemos que es la inversa de la restricci´ on tan :] −

π π , [−→ R, 2 2

luego, se tiene ∀x ∈] −

π π , [, 2 2

y = arctan x ⇔ x = tan y

Derivada de arctan Derivamos impl´ıcitamente la relaci´ on x = tan y

Derivada de arctan Derivamos impl´ıcitamente la relaci´ on x = tan y obteniendo 1 = sec2 y

dy dy 1 ⇒ = dx dx sec2 y 1 = 2 tan y + 1 1 = 2 x +1

Derivada de arctan Derivamos impl´ıcitamente la relaci´ on x = tan y obteniendo 1 = sec2 y

Por tanto

d dx [arctan x]

=

dy dy 1 ⇒ = dx dx sec2 y 1 = 2 tan y + 1 1 = 2 x +1

1 , x 2 +1

∀x ∈ R.

Derivada de una Inversa

En general, podemos estudiar cu´ando una funci´ on inversa tiene derivada y establecer una relaci´ on entre (f −1 )0 y f 0 .

Derivada de una Inversa

En general, podemos estudiar cu´ando una funci´ on inversa tiene derivada y establecer una relaci´ on entre (f −1 )0 y f 0 . Sea f : I → J una biyecci´ on entre los intervalos I y J.

Derivada de una Inversa

En general, podemos estudiar cu´ando una funci´ on inversa tiene derivada y establecer una relaci´ on entre (f −1 )0 y f 0 . Sea f : I → J una biyecci´ on entre los intervalos I y J. Se puede probar que f es continua ⇒ f −1 es continua.

Derivada de una Inversa

En general, podemos estudiar cu´ando una funci´ on inversa tiene derivada y establecer una relaci´ on entre (f −1 )0 y f 0 . Sea f : I → J una biyecci´ on entre los intervalos I y J. Se puede probar que f es continua ⇒ f −1 es continua. Recordemos que (∀x ∈ I )(∀y ∈ J)(y = f (x) ⇔ x = f −1 (y ))

Derivada de la Inversa Para a ∈ I y c = f (a), con f 0 (a) 6= 0 se tiene que

Derivada de la Inversa Para a ∈ I y c = f (a), con f 0 (a) 6= 0 se tiene que f −1 (y ) − f −1 (c) y →c y −c −1 f (f (x)) − f −1 (f (a)) = l´ım x→a f (x) − f (a) x −a = l´ım x→a f (x) − f (a) 1 = l´ım f (x)−f (a)

(f −1 )0 (c) = l´ım

x→a

x−a

1 = 0 . f (a)

Derivaci´on de la Inversa Por lo tanto (f −1 )0 (y ) =

1 , f 0 (x)

∀y ∈ J.

Derivaci´on de la Inversa Por lo tanto (f −1 )0 (y ) =

1 , f 0 (x)

∀y ∈ J.

Observaci´on Cuando f 0 (x) 6= 0, f −1 tiene derivada en y = f (x).

Derivaci´on de la Inversa Por lo tanto (f −1 )0 (y ) =

1 , f 0 (x)

∀y ∈ J.

Observaci´on Cuando f 0 (x) 6= 0, f −1 tiene derivada en y = f (x).

Derivada de la Inversa M´as directamente, si suponemos que f −1 tiene derivada en y = f (x) podemos escribir f −1 (f (x)) = x ⇒ (f −1 )0 (f (x)) · f 0 (x) = 1 1 ⇒ (f −1 )0 (y ) = 0 , f (x) cuando f 0 (x) 6= 0.

Derivada de la Inversa M´as directamente, si suponemos que f −1 tiene derivada en y = f (x) podemos escribir f −1 (f (x)) = x ⇒ (f −1 )0 (f (x)) · f 0 (x) = 1 1 ⇒ (f −1 )0 (y ) = 0 , f (x) cuando f 0 (x) 6= 0.

Ejemplo 1. Obtener 2. Obtener

d √ dx [ x]. d dx [arcsin x].

Exponencial y Logaritmo Sea a > 0 y a 6= 1. Recordemos que la funci´ on exponencial en base a R −→ R+ , x 7−→ ax

Exponencial y Logaritmo Sea a > 0 y a 6= 1. Recordemos que la funci´ on exponencial en base a R −→ R+ , x 7−→ ax tiene por inversa la funci´ on R+ −→ R,

x 7−→ loga x,

Exponencial y Logaritmo Sea a > 0 y a 6= 1. Recordemos que la funci´ on exponencial en base a R −→ R+ , x 7−→ ax tiene por inversa la funci´ on R+ −→ R, con a fijo,

x 7−→ loga x,

Exponencial y Logaritmo Sea a > 0 y a 6= 1. Recordemos que la funci´ on exponencial en base a R −→ R+ , x 7−→ ax tiene por inversa la funci´ on R+ −→ R,

x 7−→ loga x,

con a fijo, cumpliendo con la relaci´ on (∀x ∈ R)(∀y > 0)(y = ax ⇔ x = loga y ).

Exponencial y Logaritmo Sea a > 0 y a 6= 1. Recordemos que la funci´ on exponencial en base a R −→ R+ , x 7−→ ax tiene por inversa la funci´ on R+ −→ R,

x 7−→ loga x,

con a fijo, cumpliendo con la relaci´ on (∀x ∈ R)(∀y > 0)(y = ax ⇔ x = loga y ). Por lo tanto, si una tiene derivada que no se anula, la otra tambi´en la tendr´a.

Exponencial y Logaritmo

Sabemos que

d x dx [e ]

= ex .

Exponencial y Logaritmo

Sabemos que

d x dx [e ]

= e x . Luego, d f (x) [e ] = e f (x) f 0 (x). dx

As´ı, d xlna d x [a ] = [e ] dx dx = e xlna lna = ax lna.

Exponencial y Logaritmo

Ahora, para la inversa f −1 (x) = lnx de f (x) = e x tenemos

Exponencial y Logaritmo

Ahora, para la inversa f −1 (x) = lnx de f (x) = e x tenemos (f −1 )0 (y ) =

1 f 0 (x)

=

1 1 = . x e y

Exponencial y Logaritmo

Ahora, para la inversa f −1 (x) = lnx de f (x) = e x tenemos (f −1 )0 (y ) =

Ejercicio Calcular

d dx [loga x]

1 f 0 (x)

=

1 1 = . x e y

Exponencial y Logaritmo

Ahora, para la inversa f −1 (x) = lnx de f (x) = e x tenemos (f −1 )0 (y ) =

1 f 0 (x)

Ejercicio d dx [loga x] d [loga (f (x))] general, dx

Calcular En

=

f 0 (x) lnax .

=

1 1 = . x e y

Exponencial y Logaritmo

Calcular las derivadas 1. 2. 3.

d x 2 +1 ]; dx [3 d cos(x)−x ]; dx [5e d arc cos(2x) ]. dx [7