Aula4a - Contrastes e Comparacoes multiplas

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Em um experimento ao se comparar as médias de tratamentos ou dos níveis de um fator de tratamentos, inicialmente, formula-se a seguintes hipóteses:

H0: m1 = m2 = ... = mI = 0 Ha: pelo menos mu ≠ mk, para algum u ≠ k (u,k=1,2,...,I) Esta hipótese será testada por meio do teste F, aplicada à ANOVA: Aceitando H0 ao nível de significância α constata-se a evidência da não existência do efeito do fator, ou dos tratamentos sobre a variável observada.

Rejeitando H0 ao nível de significância α, aceita-se a hipótese alternativa, na qual pelo menos um par de médias de tratamentos ou dos níveis do fator diferem entre si. CONTUDO, não se tem a identificação destas médias. Para se investigar quais das médias dos tratamentos diferem entre si, há necessidade de continuar a análise estatística desses dados observados.

1

Assim, de acordo com o tipo de níveis atribuídos para o fator, a técnica apropriada será escolhida. Logo, temos o seguinte esquema:

Fator Qualitativo

Teste de comparações múltiplas

Rejeita H0 H0 H1

Fator Quantitativo

ANOVA

Regressão

Aceita H0 As pressuposições devem ser satisfeitas!

2

Teste de Comparações Múltiplas Prof.a Dr.a Simone Daniela Sartorio de Medeiros DTAiSeR-Ar 3

Os testes de comparações múltiplas, ou teste de comparações entre médias, servem como um complemento do teste F, para detectar diferenças de efeito entre os tratamentos. A técnica de comparações múltiplas permite testar as hipóteses do tipo: H0: Y = 0 Ha : Y ≠ 0 onde Y é um contraste.

Logo, vejamos o que é um contraste...

4

Contrastes O estudo de contrastes é muito importante na Estatística Experimental, principalmente quando o experimento em análise é composto por mais do que dois tratamentos. Com o uso de contrastes é possível ao pesquisador estabelecer comparações, entre tratamentos ou grupos de tratamentos, que sejam de interesse. Veremos os fundamentos para estabelecer grupos de contrastes, obter a estimativa para cada contraste estabelecido, bem com estimar a variabilidade associada a cada um destes contrastes.

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Definição Contraste de médias são funções lineares de médias, cuja soma dos coeficientes é nula. Matematicamente: Considere a seguinte função linear de médias populacionais de tratamentos Y  a1m1  a2 m2  ...  aI mI I

Y será um contraste entre médias se satisfizer a seguinte condição:

a

i

0

i 1

Exemplo: Verifique se as funções abaixo são contrastes.

Y1  m1  m2  m3  m4 Y2  m1  m2

Y3  m3  m4 Y4  3m1  m2  m3  m4 Y5  m1  m2  m3

OBS: Todo contraste é uma função linear, mas nem toda função linear é um contraste. 6

Na prática, geralmente não se conhece os valores das médias populacionais mi , mas suas estimativas. Daí, em Estatística Experimental, não se trabalha com o contraste Y mas com o seu estimador Yˆ , que também é uma função linear de médias obtidas por meio de experimentos ou amostras. Assim tem-se que o estimador para o contraste de médias é dado por:

Yˆ  a1mˆ 1  a2 mˆ 2  ...  aI mˆ I OBS: O pesquisador pode formular aqueles contrastes que sejam de maior interesse para ele. Exemplo: Obtenha a estimativa dos seguintes contraste considerando as médias do exemplo do DIC da aula anterior:

mˆ A  mˆ 1  23kg / m 2

Y1  3m1  m2  m3  m4

mˆ B  mˆ 2  27kg / m 2 mˆ C  mˆ 3  26kg / m 2 mˆ D  mˆ 4  31kg / m 2

Y2  m3  m4 7

A estimativa da variância de da estimativa de um contraste Y, admitindo independência entre as médias é dado por:

Vˆ (Yˆ1 )  a12Vˆ ( mˆ 1 )  a 22Vˆ ( mˆ 2 )  ...  a I2Vˆ ( mˆ I ) 2 2 2 s s s 2 2 Vˆ (Yˆ1 )  a 1  a 2 2  ...  a I I J1 J2 JI 2 1

em que, Ji é o número de repetições do tratamento i. 2 2 2 2  Se s1  s 2  ...  s I  s , teremos:

s 2  QM Re s

2 2 2   2 a a a 1 2 I  s Vˆ (Yˆ1 )     ...  JI   J1 J 2

 Se J 1  J 2  ...  J I  J , teremos:



Vˆ (Yˆ1 )  a12  a 22  ...  a I2



s2 J

Exemplo: Obtenha a estimativa da variância das estimativas dos contrastes do exemplo anterior. 8

Testes de Comparações Múltiplas Há um número elevado de testes para tais fins, apresentaremos alguns deles: a) b) c) d) e) f) g) h)

Duncan Tukey Dunnet Scott-Knott F t Scheffé Bonferroni 9

Exemplo: Para comparar a produtividade de quatro variedades de milho (kg/100m2), um agrônomo tomou 20 parcelas similares e distribuiu, inteiramente ao acaso, cada uma das 4 variedades (A, B, C, D) em 5 parcelas experimentais. A partir dos dados experimentais fornecidos abaixo, é possível concluir que existe diferença significativa entre as variedades com relação a produtividade, utilizando o nível de significância de 5%? Variedade

Variável resposta (Y): produção de milho (kg/m2) Fator: variedades de milho Tratamento: A, B, C, D Repetição: J = 5 Delineamento: DIC Objetivo: Estudar se há diferença entre as 4 variedades de milho segundo a sua produção.

Ao nível de 5% de significância rejeitamos H0, concluindo que existe efeito de tratamento. Como o fator “Variedade” é qualitativo  Teste de Comparações Múltiplas.

Repetições

A

B

C

D

1

25

31

22

33

2

26

25

26

29

3

20

28

28

31

4

23

27

25

34

5

21

24

29

28

Totais

115

135

130

155

Médias

23

27

26

31

535

10

a) Teste de Duncan (ou teste de amplitudes múltiplas) múltiplas)

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Teste de Duncan Desenvolvido por Duncan (1955), este teste também é conhecido como Teste de múltiplas amplitudes. É utilizado para testar todo e qualquer contraste entre duas (2) médias.

Limitação: Não permite comparar grupos de médias entre si.

Base: Várias diferenças mínimas significativas (Di). OBS: É o menos rigoroso que o de Tukey, pois enquanto o de Tukey mantém a mesma probabilidade α para todos os contrastes, o de Duncan considera a probabilidade (1 – α)n – 1 para cada contraste dependendo do número de n de médias abrangidas pelo contraste. 12

 Procedimento:

Teste de Duncan

1) Sua expressão é:  Se J k  J q , teremos:

Di  zi

1 ˆ ˆ V (Y )  zi 2

 1    1  QM Re s J  J 2 k q  

 Se J k  J q  J , teremos:

Di  zi

QM Re s J

em que:  Di é a d.m.s. = diferença mínima significativa.  zi é a amplitude total estudentizada, obtida em tabelas para o teste de Duncan com n (número de médias ordenadas envolvidas pelo contraste) e n’ (número de graus de liberdade do resíduo) a um nível α de probabilidade.  Vˆ (Yˆ ) é a estimativa da variância da estimativa do contraste entre duas médias de tratamentos.  Ji é o número de repetições das médias confrontadas no contraste. OBS: É um procedimento sequêncial baseado na amplitude total estudentizada, válido para a totalidade dos contrastes de médias duas a duas.13

Teste de Duncan

2) Na aplicação desse teste, deve-se ordenar as médias e o primeiro contraste, deve levar em conta a maior e menor média. Se ele não for significativo não se deve testar outros contrastes. 3) Compara-se Yˆ com Dk :  Se Yˆ  Dk , o contraste é significativo ao nível α de probabilidade, indicando que as duas médias envolvidas no teste diferem entre si. Em que Dk é a d.m.s., ao nível α de significância , para k médias abrangidas.  Caso contrário, as médias não diferem entre si. OBS1: Os resultados do método de Ducan, em geral, são os mesmos que os obtidos com Tukey, porém no Tukey mantém-se o nível  em todos os CI,2 contrastes, enquanto que o Duncan temos (1 – α)n – 1 , sendo n o número de médias abrangidas. Logo, para cada n tem-se um  diferente. OBS2: Nota-se também que  (de Tukey) é maior que qualquer um dos Di de Duncan o que o torna mais rigoroso.

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Teste de Duncan

Exemplo:

mˆ D  31 kg/100m2 a mˆ B  27 kg/100m2 b

mˆ C  26 kg/100m2 mˆ A  23 kg/100m2

b c c

As médias seguidas de mesma letra não diferem entre si pelo teste de Duncan a 5% de significância.

Pelo teste de Duncan, concluímos ao nível de 5% de significância que a variedade D teve desempenho médio significativamente superior as variedades B, C e A, e que não houve diferença entre B e C e entre C e A.

OBS: Quando I =2 tratamentos, as amplitudes de Tukey e Duncan são iguais. 15

b) Teste de Tukey (ou DHS) DHS) A sigla DHS (Diferença Honestamente Significante) é a tradução original HSD, do inglês (Honestly Significant Difference).

História: Desenvolvido por J. W. Tukey (1955).

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Teste de Tukey Utilizado para testar todo e qualquer contraste entre duas médias. Limitação: Não permite comparar grupos de médias entre si.

Base: Uma diferença mínima significativa – d.m.s. ().

Procedimento: Para testar todos os I(I – 1)/2 = CI,2 contrastes do tipo Y = mk – mq , para 1≤ k < q ≤ I , cujas hipóteses são: H0: Y = 0 Ha: Y ≠ 0



H0 : mk = mq Ha : mk ≠ mq



H0 : mk – mq = 0 H0 : mk – mq ≠ 0

sendo k ≠ q e k, q = 1, 2, ..., I. 17

Teste de Tukey 1) Sua expressão é:

 Se J k  J q , teremos:

1   q Vˆ (Yˆ )  q 2

 1    1  QM Re s J  2  k Jq 

 Se J k  J q  J , teremos:

q

QM Re s J

Em que:   é a d.m.s. = diferença mínima significativa.  q é a amplitude total estudentizada, obtida em tabelas com n (número de tratamentos ou médias de tratamentos) e n’ (número de graus de liberdade do resíduo a um nível α de probabilidade).  Vˆ (Yˆ ) é a estimativa da variância da estimativa do contraste entre duas médias de tratamentos.

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Teste de Tukey

2) Calcular todas as estimativas dos contrastes entre duas médias, isto é, os C I ,2 

I! contrastes a serem testados da forma: 2! ( I  2)!

Yˆ  mˆ k  mˆ q , i  k 3) Compara-se Yˆ com :  Se Yˆ  , o contraste é significativo ao nível α de probabilidade, indicando que as duas médias envolvidas no teste diferem entre si.  Caso contrário, as médias não diferem entre si. 4) O modo usual de se apresentarem esses resultados é ordenando-se as médias e colocando-se letras ao lado, de tal forma que, médias seguidas de mesma letra não diferem entre si. OBS: É um teste conjunto, pois é feito com nível de significância conjunto, por isso se diz que ele é mais “exigente”.

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Exemplo:

Teste de Tukey

Considere o exemplo do DIC, considerando a variável resposta produção de milho.

mˆ D  31 kg/100m2 mˆ B  27 kg/100m2

mˆ C  26 kg/100m2 mˆ A  23 kg/100m2

a a b b b

As médias seguidas de mesma letra não diferem entre si pelo teste de Tukey a 5% de significância.

Pelo teste de Tukey, concluímos ao nível de 5% de significância que a variedade D teve desempenho médio significativamente superior as variedades C e A, e que não houve diferença entre D e B e entre B, C e A. OBS: Quando temos muitos tratamentos, o teste de comparações múltiplas fica mais trabalhoso e consequentemente a conclusão fica mais difícil. OBS: O teste F da ANOVA e os testes de comparação entre médias não são equivalentes! O F é um teste na média dos contrastes e não um contraste específico.

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Exemplo: Teste de Duncan

mˆ D  31 kg/100m2 a mˆ B  27 kg/100m2 b

mˆ C  26 kg/100m2 mˆ A  23 kg/100m2

b c c

As médias seguidas de mesma letra não diferem entre si pelo teste de Duncan a 5% de significância.

Teste de Tukey

mˆ D  31 kg/100m2 mˆ B  27 kg/100m2

mˆ C  26 kg/100m2 mˆ A  23 kg/100m2

a a b b b

As médias seguidas de mesma letra não diferem entre si pelo teste de Tukey a 5% de significância. 21

Interpolação

22

Problema: Como determinar o n’ = 35, por exemplo??? 23

Interpolação Não sendo possível apresentar tabelas exaustivas, que cubram todos os valores possíveis de probabilidade ou dos parâmetros das distribuições, há muitas vezes necessidade de fazer interpolações para estimar os valores que nos interessam a partir de valores tabelados. A denominação interpolação linear assume que a função tabelada varia a uma taxa constante entre dois valores sucessivos da tabela. Embora haja outros métodos de interpolação (por exemplo, interpolação harmônica), este é o processo de interpolação mais vulgarmente utilizado para o efeito. Sejam y1 e y2 dois valores consecutivos do corpo de uma tabela, a que correspondem os antecendentes x1 e x2, respectivamente. Suponha-se que pretendemos estimar o valor ye correspondente ao argumento xe, sendo x1 < xe < x2. Calculamos primeiro a proporção :

xe  x1  x2  x1

e depois calculamos ye :

ye  y1   ( y2  y1 ) 24

Exemplo: Suponha que queremos o valor q(4, 35; 5%) da tabela de Tukey, contudo note que este valor não se encontra na tabela. Logo, precisamos fazer uma interpolação para estimar o valor. O valor anterior e posterior a este são q(4, 30; 5%) = 3,85 e q(4, 40; 5%) = 3,79. Assim:

25

x1 = 30 e xe = 35 e x2 = 40 e

y1 = 3,85 ye = ? y2 = 3,79

Calculamos primeiro a proporção :



xe  x1 35  30   0,5 x2  x1 40  30

ye  y1   ( y2  y1 ) ye  3,85  0,5(3,79  3,85) ye  3,82

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c) Teste de Dunnett

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Teste de Dunnett Utilizado se o interesse estiver na comparação de um determinado tratamento (controle ou padrão) com os demais, não havendo interesse na comparação dos tratamentos experimentais entre si. Limitação: Não permite comparar os tratamentos experimentais entre si e também grupos de tratamentos. Base: diferenças mínimas significativas (d.m.s.). Vantagem: Se fizer o mesmo com os outros testes (mesmo interesse) o poder é menor para detectar diferenças. Por isso que ele é usado, tem um podem maior. É mais sensível que o teste de Tukey e de Scheffé, pois detecta diferenças onde os dois últimos não detectam. Desvantagem: Despreza as outras comparações entre as médias. OBS: É um modificação do teste t para comparações múltiplas.

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Teste de Dunnett

OBS1: O método é exato, quando os dados são balanceados. No caso de dados desbalanceados, o método é aproximado.

 Procedimento: Um experimento com I tratamentos, um dos quais é o controle, permite a aplicação do teste a I –1 comparações.

1) Calcular a estimativa de cada contraste entre um tratamento regular e o controle.

Yˆ1  mˆ 1  mˆ controle Yˆ2  mˆ 2  mˆ controle ... Yˆ

I 1

 mˆ I 1  mˆ controle 29

Teste de Dunnett

2) Sua expressão é:

d '  d ( I 1, gl . Re s; ) em que:

1 1    QM Re s   J i J cont 

 Di é a d.m.s. = diferença mínima significativa.  zi é a amplitude total estudentizada, obtida em tabelas com n (número de médias ordenadas envolvidas pelo contraste) e n’ (número de graus de liberdade do resíduo a um nível α de probabilidade).  Vˆ (Yˆ ) é a estimativa da variância da estimativa do contraste entre duas médias de tratamentos.  Ji é o número de repetições das médias confrontadas no contraste.

3) Compara-se Yˆ com d’:  Se Yˆ  d ' , o contraste é significativo ao nível α de probabilidade, indicando que as duas médias testadas diferem entre si.  Caso contrário, as médias não diferem entre si.

30

d) Teste de Scott Scott--Knott

31

Tarefa 3. a) Como realizar o teste de Scott-Knott para 4 tratamentos? b) Aplique o teste para os dados do exemplo do experimento em DIC feito em aula sobre a produção de 4 variedades de milho. Conclua adequadamente e compare os resultados obtidos com o Teste de Tukey, Duncan e SNK. c) Qual é a vantagem e desvantagem de utilizar o teste de Scott-Knott?

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Contrastes ortogonais

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Contrastes Ortogonais Sejam os contrastes:

Yˆ1  a1mˆ 1  a2 mˆ 2  ...  a I mˆ I

Yˆ2  b1mˆ 1  b2 mˆ 2  ...  bI mˆ I ^

^

Dizemos que Y1 é ortogonal a Y2 se:

C ov( Yˆ1 , Yˆ2 )  0 . Portanto, I

Cov (Yˆ1 , Yˆ2 ) 

 i 1

a i bi 2 si  0 Ji

2 2 2 2  Se s1  s 2  ...  s I  s , teremos:

I

ai bi 0  i 1 J i  Se J 1  J 2  ...  J I  J , teremos: I

a b  0

A implicação imediata é que podemos decompor a soma de quadrados de tratamento (SQTrat) exatamente por contrastes ortogonais.

i i

i 1

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OBS1: Contrastes ortogonais significa que são independentes, ou seja, o valor de um independe do valor do outro que lhe é ortogonal.

OBS2: Três ou mais contrastes serão ortogonais entre si se eles forem ortogonais 2 a 2.

OBS3: Num experimento com I tratamentos, podemos formular vários grupos de contrastes ortogonais, porém cada grupo terá apenas (I – 1) contrastes ortogonais.

OBS4: O teste para comparações múltiplas t e F exigem ortogonalidade dos contrastes (o que significa independência) 35

Exemplo: Verifique se o conjunto de contrastes é ortogonal:

C1  m1  m2  m3  3m4 C2  m1  m2  2m3 C3  m1  m2

36

Como montar um conjunto de contrastes ortogonais? Regra prática para obter grupos de contrastes ortogonais:  Se um contraste tiver, como no nosso exemplo, 3 médias contra uma devese, no próximo contraste montá-lo com as médias que formam um grupo esquecendo-se o que ficou sozinha. E assim por diante.  Se o primeiro contraste contar 2 grupos de médias, nos próximos trabalhamse dentro de cada grupo.

Exemplos: # Número ímpar de médias de tratamentos 3 tratamentos: m1, m2 e m3

# Número par de médias de tratamentos 4 tratamentos: m1, m2, m3 e m4

C1  (m1  m2 )  2m3

C1  (m1  m2 )  (m3  m4 )

C2  m1  m2

C2  m1  m2 C3  m3  m4 37

e) Teste F

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Teste F Quando na ANOVA se tem 1 gl. para uma determinada causa de variação (que são os contrastes) o teste F é autosuficiente dispensando o uso de testes de comparações de médias. Nesses casos,

F(1,v )  t(2v )

Vejamos:

O estudo de contrastes ortogonais na ANOVA é uma técnica chamada de desdobramento de gl. de tratamentos, ou repartição da SQTrat, em que:

SQTrat  SQYˆ1  SQYˆ2  ...  SQYˆI 1 sendo

em que:

 I    J i ai mˆ i   SQYˆi   i 1 I  J iai2 i 1

2

2

 I   J  ai mˆ i   , J  J  ...  J  J SQYˆi   i 1 I 1 2 I 2 J  ai i 1

 Yˆi é a estimativa (valor) do contraste obtido com totais de tratamentos.  ai são os coeficientes dos totais no contraste.  J é o número de observações desses totais (repetição).

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Teste F

Logo, a ANOVA para testar as hipóteses do conjunto de contrastes ortogonais será: graus de liberdade (gl)

Yˆ2 ...

gl. Trat

Tratamento

Yˆ1

Soma de Quadrados (SQ)

Quadrado Médio (QM)

Fcalc

1

SQYˆ1

QMYˆ1

QMYˆ1 QM Re s

1

SQ Yˆ2

QMYˆ2

QMYˆ2 QM Re s

...

SQTrat

Fonte de Variação (FV)

...

...

QMYˆI 1 QM Re s

F[1, I ( J 1); ]  t[2I ( J 1)] F[1, I ( J 1); ]  t[2I ( J 1)]

...

YˆI 1

1

SQYˆI 1

Resíduo

I(J – 1)

SQRes

QMRes

-

-

IJ – 1

SQTotal

-

-

-

Total

QMYˆI 1

...

Ftab

F[1, I ( J 1); ]  t[2I ( J 1)]

OBS: Assim, a construção de (I–1) contrastes ortogonais decompõe a SQTrat na sua totalidade. Podemos construir vários grupos de (I–1) contrastes ortogonais e testá-los. Porém cada um deles deve decompor toda a SQ do fator em estudo. 40

Teste F

OBS: O coeficiente de confiança (1 – α) é válido para cada contraste, e não para o conjunto de todos os contrastes considerados. Logo, o nível conjunto de probabilidade é dado por:

[1 – (1 – α)n]  n α em que,  α é o nível de significância escolhido;  n é o número de contrastes ortogonais.

41