5.b- Osciladores Sinusoidales Digitales_2020

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Aplicaciones de DSPs – Ing. en Telecomunicaciones

Osciladores Sinusoidales Digitales Basados en IIR •Material bibliográfico de referencia utilizados: Leland B. Jackson - Digital Filters and Signal Processing THIRD EDITION (Cap 13.3) Diseño de Filtros Sencillos – Apunte Procesamiento Digital de Señales UNS, 2011

Primer cuatrimestre 2020 - GMagallán - FAguilera

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Aplicaciones del Procesamiento Digital de Señales

Necesidad de osciladores sinusoidales • En los sistemas de comunicaciones tanto en las etapas de modulación como demodulación, es común contar con una fuente sinusoidal de frecuencia y amplitud constante con cierta exactitud. • Particularmente en sistemas de procesamiento digital de señales con DSPs y FPGAs, estos osciladores deben ser construidos o programados en forma digital, por lo que se busca que sean: eficientes, consuman pocos ciclos, consuman poca memoria y tengan la suficiente precisión para poder tratar las señales. • Es posible utilizar diferentes métodos dentro de un DSP para generar una sinusoide, entre los mas directos: utilizando la librería math.h con las funciones de punto flotante sinf() y cosf(), utilizar look up tables con valores predefinidos de las funciones en un vector. Pero.. en muchas ocaciones las funciones sinf() cosf() consumen varios ciclos del procesador, y las tablas lookup consumen mucha memoria, es por esto que se han utilizado otras formas como los osciladores sinusoidales de 2orden basados en filtros IIR. Ejemplo: FastRTS C67xx, sinf() 73 ciclos de reloj, sin() 150 ciclos de reloj. Osciladores sinusoidales digitales

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Aplicaciones del Procesamiento Digital de Señales

Osciladores Sinusoidales Digitales basados en IIR 1 z sin  0T  TransfZ sin  0 nT    1  2 z 1 cos  0T   z 2 TransfZ cos  0 nT   

1  z 1cos  0T 

1  2 z 1 cos  0T   z 2

Osciladores sinusoidales digitales

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Aplicaciones del Procesamiento Digital de Señales

Osciladores Sinusoidales Digitales basados en IIR 1 z sin  0T  TransfZ sin  0 nT    1  2 z 1 cos  0T   z 2 TransfZ cos  0 nT   

1  z 1cos  0T 

1  2 z 1 cos  0T   z 2

1 j0nT 1  j0 nT TZ  sin 0 nT   TZ ( e  e ) 2j 2j  1  1 j0 nT  n  e z  e  j0 nT z  n n 0 2 j n 0 2 j 1  j0T 1   e z 2 j n0





n

1   j0T 1  z  e 2 j n 0





n

sin 0T z 1 1 1 1 1    j0T 1  j0T 1 2 j 1 e z 2 j 1 e z 1  2 cos 0T z 1  z 2 Osciladores sinusoidales digitales

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Aplicaciones del Procesamiento Digital de Señales

Osciladores Sinusoidales Digitales basados en IIR

Cualquiera de las dos secuencias entonces se puede construir mediante la estructura general de un filtro IIR de segundo orden:

a0  a1 z 1 H  z  b0  b1 z 1  b2 z 2

Osciladores sinusoidales digitales

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Aplicaciones del Procesamiento Digital de Señales

Osciladores Sinusoidales Digitales basados en IIR

Cualquiera de las dos secuencias entonces se puede construir mediante la estructura general de un filtro IIR de segundo orden:

a0  a1 z 1 H  z  b0  b1 z 1  b2 z 2 z 1 sin  0T  sin  0 nT    1  2 z 1 cos  0T   z 2 TransfZ

1 1  z cos  0T  TransfZ cos  0 nT    1  2 z 1 cos  0T   z 2

Osciladores sinusoidales digitales

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Aplicaciones del Procesamiento Digital de Señales

Osciladores Sinusoidales Digitales basados en IIR Escribiendo las ecuaciones en diferencias:

ysin [n]  sin  0T  x[n  1]  2cos  0T  y[n  1]  y[n  2] ycos [n]  x[n]  cos  0T  x[n  1]  2cos  0T  y[n  1]  y[n  2]

Oscilador

y[n]

¿Y x[n]?

Osciladores sinusoidales digitales

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Aplicaciones del Procesamiento Digital de Señales

Osciladores Sinusoidales Digitales basados en IIR Escribiendo las ecuaciones en diferencias:

ysin [n]  sin  0T  x[n  1]  2cos  0T  y[n  1]  y[n  2] ycos [n]  x[n]  cos  0T  x[n  1]  2cos  0T  y[n  1]  y[n  2]

Oscilador

y[n]

En un oscilador, no tendremos una secuencia de entrada x[n]. ¿Es posible simplificarlo un poco más y ponerlo solo en función de la salida conservando los polos complejos conjugados? Osciladores sinusoidales digitales

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Aplicaciones del Procesamiento Digital de Señales

Osciladores Sinusoidales Digitales basados en IIR Particularmente esta estructura de IIR es un resonador digital, el cual tiene polos complejos conjugados (por ser una secuencia real) sobre el circulo unitario del plano Z. Es posible simplificar las funciones de transferencias anteriores a una con solo polos:

Cuya respuesta al impulso es dada por:

Si los polos se ubican en el circulo unitario(r=1) y b0=A sen(w0)

Osciladores sinusoidales digitales

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Aplicaciones del Procesamiento Digital de Señales La ecuación en diferencia queda simplificada a:

En donde la aplicación del impulso en el instante inicial tiene por objetivo excitar el sistema (perturbar) de manera de provocar la oscilación y que esta se mantenga en el tiempo. En la páctica se puede obviar este término de la delta de exitación si se colocan condiciones iniciales no nulas para y[-1], y[-2] (Ej. y[-1]=0, y[-2]= - A sen w0). En este caso con el coeficiente a1 se controla la frecuencia de la señal y con la condicion inicial de la ecuación su amplitud.

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Osciladores en cuadratura recursivos (Esquema I) Muchas veces, en los sistemas de comunicaciónes es necesario generar señales sinusoidales en cuadratura (sin/cos). Basado en el esquema anterior, una estructura posible es:

x  n

ycos  A cos  0 n 



 z 1  

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sin 0

cos 0

ysin  A sin  0 n 

z 1

Verificar = Y[z]/X[z]

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Aplicaciones del Procesamiento Digital de Señales

Osciladores en cuadratura recursivos (Esquema I) Como no tendremos una entrada, debe oscilar por si solo, es possible hacer x[n]=0 e introducir la señal de excitación a partir de poner una de las dos condiciones iniciales z-1 :

ycos  A cos  0 n 

 z 1  

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sin 0

cos 0

ysin  A sin  0 n 

z 1 Se deben establecer condiciones iniciales no nulas para que funcione, al menos una de ellas.

Osciladores sinusoidales digitales

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Aplicaciones del Procesamiento Digital de Señales

Osciladores en cuadratura recursivos (Esquema II) Partiendo de las identidades trigonométricas:

Se obtienen entonces las ecuaciones en diferencias acopladas:

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Osciladores en cuadratura recursivos (Esquema II)

condiciones iniciales yc [1]  A cos 0 , y s [1]   A sin 0

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