5 - Razones Trigonométricas e Identidades

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Trigonometría Razones trigonométricas de un triángulo rectángulo En un triángulo rectángulo se cumple: • Que los ángulos agudos son complementarios • El Teorema de Pitágoras: 𝑯𝟐 = 𝑪𝟏 𝟐 + 𝑪𝟐 𝟐

1) Resuelvan los siguientes triángulos rectángulos

2) Calculen el perímetro de cada una de las siguientes figuras.

3) Indiquen el valor de los ángulos solicitados en cada caso.

4) Calculen los lados y los ángulos que faltan.

5) Planteen y resuelvan los siguientes problemas a) ¿Cuál es el ángulo de elevación del sol cuando un mástil de 24m proyecta una sombra de 16m? b) Un radar se encuentra a 80m de altura ¿A qué distancia de la base del radar se encuentra una persona que lo observa con un ángulo de elevación de 38°? c) Calcula la superficie de un campo rectangular sabiendo que un alambrado que lo atraviesa diagonalmente tiene una longitud de 649m y forma con una de los lados limítrofes un ángulo de 37°26 ' d) En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 5 cm y uno de sus catetos la mitad de ésta. Calcular sus ángulos agudos. e) ¿Cuál es el área de un triángulo equilátero cuyos lados miden 2√3 𝑐𝑚? f) En un triángulo isósceles los ángulos congruentes miden 50° y el lado distinto 12 cm ¿Cuál es el perímetro y el área del triángulo? g) Don Luis tiene una escalera de 3 m de longitud. La está utilizando para arreglar una grieta que está a 2,5 m del suelo. ¿Qué amplitud tiene el ángulo que forma la escalera con el piso? h) El perímetro de un triángulo isósceles es de 26 cm y su base mide 10 cm ¿Cuál es el valor de sus ángulos interiores? i) ¿Cuál es la altura de una antena si una persona que se encuentra a 250 m de su base, observa su punta bajo un ángulo de 22°? Respuestas: 𝒂) 𝟓𝟔° 𝟏𝟖 ′ 𝟑𝟔 ′′ 𝒃) 𝟏𝟎𝟐, 𝟑𝟗𝟓 𝒎 𝒄) 𝟐𝟎𝟑. 𝟐𝟗𝟕 𝒎𝟐 𝒅) 𝟑𝟎° 𝒚 𝟔𝟎° 𝒆) 𝟑√𝟑 𝒄𝒎𝟐 𝒇) 𝑷𝒆𝒓í𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 𝟑𝟎, 𝟔𝟔 𝒄𝒎 Á𝒓𝒆𝒂 𝟒𝟐, 𝟗 𝒄𝒎𝟐

𝒈) 𝟓𝟔° 𝟐𝟔 ′ 𝟑𝟒 ′′

𝒉) 𝟕𝟕° 𝟐𝟏 ′ 𝟓𝟐 ′′ 𝒚 𝟓𝟏° 𝟏𝟗 ′ 𝟒 ′′ 𝒊) 𝟏𝟎𝟏 𝒎

Relaciones entre las razones trigonométricas A partir de las razones trigonométricas definidas en un triángulo rectángulo, se definen sus recíprocas.

Relación pitagórica

6) Verifiquen las siguientes identidades trigonométricas 1) 1 + 𝑡𝑔2 ∝ = 𝑠𝑒𝑐 2 ∝

15) 𝑠𝑒𝑐𝛽 − 𝑐𝑜𝑠𝛽 = 𝑡𝑔𝛽 . 𝑠𝑒𝑛

2) 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑤 . 𝑡𝑔 𝑤 = sec 𝑤

16)

3) 𝑡𝑔 ∝ +𝑐𝑜𝑡𝑔 ∝ = 𝑠𝑒𝑐 ∝ . 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 ∝

17)

̂ + 𝑐𝑜𝑠 ∝ ̂ )2 − 1 = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑛 ∝ ̂ ∙ 𝑐𝑜𝑠 ∝ ̂ 4) (𝑠𝑒𝑛 ∝

̂ ∙ 𝑠𝑒𝑛 ∝ ̂ = 𝑐𝑜𝑠 ∝ ̂ 18) 𝑐𝑜𝑡𝑔 ∝

5) 𝑠𝑒𝑐 2 ∝ . 𝑠𝑒𝑛2 ∝ . 𝑐𝑜𝑡𝑔2 ∝= 1

̂ ∙ 𝑡𝑔 ∝ ̂ ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 ∝ ̂= 19) sec ∝

̂ + 𝑡𝑔 ∝ ̂ = 𝑡𝑔 ∝ ̂ ∙ (𝑠𝑒𝑛2 ∝ ̂ )−1 6) 𝑐𝑜𝑡𝑔 ∝

̂ + 𝑐𝑜𝑠 ∝ ̂ ) ∙ (𝑠𝑒𝑛 ∝ ̂ )−1 = 𝑡𝑔 ∝ ̂ 20) (𝑠𝑒𝑐 ∝

1

𝑠𝑒𝑐 2 ∝ +2∙𝑡𝑔∝

= (𝑠𝑒𝑛 ∝ + 𝑐𝑜𝑠 ∝)2

𝑠𝑒𝑐 2 ∝ 𝑡𝑔2 ∝ − 𝑠𝑒𝑛2 ∝ 𝑠𝑒𝑐 2 ∝ −1

𝑠𝑒𝑛2 ∝

= 𝑠𝑒𝑛2 ∝

1 ̂ 𝑐𝑜𝑠 2∝

1

7) √(1 + 𝑠𝑒𝑛 ∝)(1 − 𝑠𝑒𝑛 ∝) = 𝑠𝑒𝑐∝

21)

8) 𝑠𝑒𝑛2 ∝ . 𝑐𝑜𝑠 2 ∝ + 𝑐𝑜𝑠 4 ∝ = 1 − 𝑠𝑒𝑛2 ∝

22)

̂ + 𝑐𝑜𝑠 ∝ ̂ ) ∙ 𝑡𝑔 ∝ ̂ − 𝑠𝑒𝑐 ∝ ̂ = 𝑠𝑒𝑛 ∝ ̂ − 𝑐𝑜𝑠 ∝ ̂ 9) (𝑠𝑒𝑛 ∝

23)

10) (𝑠𝑒𝑛 ∝ +𝑐𝑜𝑠 ∝)2 + (𝑠𝑒𝑛 ∝ − 𝑐𝑜𝑠 ∝)2 = 2

24)

11) 𝑠𝑒𝑛 ∝ . 𝑐𝑜𝑠 ∝ (𝑡𝑔 ∝ + 𝑐𝑜𝑡𝑔 ∝) = 1

25) 𝑠𝑒𝑛 ∝ − 𝑡𝑔 ∝ . 𝑐𝑜𝑠 ∝ = 0

12) (1 + 𝑠𝑒𝑛 ∝)2 = 2 + 2 ∙ 𝑡𝑔 ∝∙ 𝑐𝑜𝑠 ∝ −𝑐𝑜𝑠 2 ∝

26) 𝑠𝑒𝑛2 ∝ (1 + 𝑡𝑔2 ∝) = 𝑡𝑔2 ∝

13) (𝑠𝑒𝑛 ∝ +𝑐𝑜𝑠 ∝)2 = 2 𝑡𝑔 ∝ . 𝑐𝑜𝑠 2 ∝ +1

27) 𝑠𝑒𝑛 ∝ . 𝑠𝑒𝑐 ∝ + 1 =

1

14) (1 − 𝑠𝑒𝑛 ∝)(1 + 𝑠𝑒𝑛 ∝) − 𝑠𝑒𝑐 2 ∝ = 0

1−𝑐𝑜𝑠∝ 1

∙ 1+𝑐𝑜𝑠∝ = 1 1

1−𝑠𝑒𝑛∝ ̂ 𝑐𝑜𝑡𝑔∝ ̂ 𝑠𝑒𝑐∝

+ 1+𝑠𝑒𝑛∝ = 2𝑠𝑒𝑐 2 ∝ 1

= 𝑠𝑒𝑛∝̂

1 𝑠𝑒𝑛∝ . 𝑐𝑜𝑠∝

− 𝑐𝑜𝑡𝑔 ∝= 𝑡𝑔 ∝

𝑠𝑒𝑛∝ + cos∝ 𝑐𝑜𝑠∝

28) 𝑐𝑜𝑠 ∝ . 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 ∝ = 𝑐𝑜𝑡𝑔 ∝

La circunferencia trigonométrica Se denomina circunferencia trigonométrica a una circunferencia de radio 1 con centro en el origen de coordenadas.

Positividad y negatividad de las funciones trigonometricas Para determinar el signo de las funciones trigonométricas se debe conocer a qué cuadrante pertenecen el ángulo y los signos de las coordenadas del punto 𝑃 = (𝑥; 𝑦)

7) Calcula el valor de las restantes funciones teniendo en cuenta los siguientes datos: 5 𝜋 4 𝜋 ̂ = ̂< a) 𝑠𝑒𝑛 𝛽̂ = 𝑦 < 𝛽̂ < 𝜋 d) 𝑐𝑜𝑠 ∝ 𝑦 0