1ros Parciales (Análisis Matemático A 66 (ex 28) - CBC) F(X) Maths

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F(X) Maths

Análisis Matemático A 66 (ex 28)

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estáticos, sino que son revisados y actualizados periódicamente para una versión más completa. Se permite su reproducción citando la fuente.

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Temas del Programa que entran para el Primer Parcial www.cbc.uba.ar/MateriasdelCBC.html 1)

2) 3)

4)

Números reales. Funciones: Números reales. Propiedades básicas. Representación sobre la recta. Supremo e ínfimo. Funciones. Definición. Funciones reales. Dominio e imagen. Gráfico. Funciones elementales algebraicas y trascendentes. Composición. Función inversa. Representación de curvas en forma paramétrica. Sucesiones: Sucesiones. Noción de límite. Propiedades. Sucesiones monótonas. El número e. Otros límites especiales. Límites y continuidad: Noción de límite funcional. Cálculo de límites. Álgebra de límites. Límites laterales. Límites infinitos y en infinito. Asíntotas. Continuidad. Propiedades. Funciones continuas en intervalos cerrados. Aplicaciones al cálculo de ceros de funciones. Ejemplos de métodos numéricos elementales. Derivadas: Noción de tangente a una curva. Velocidad. Definición de derivada. Derivada de funciones elementales. Reglas de derivación. Regla de la cadena. El teorema del valor medio y sus aplicaciones. Regla de L'Hôspital. Aproximación lineal. Diferencial. Estudio de funciones: crecimiento y decrecimiento, extremos, concavidad y convexidad, puntos de inflexión. Trazado de curvas. Problemas de máximos y mínimos. Polinomio de Taylor y Mac Laurin. Aproximación de funciones. Estudio del error. Aplicaciones al cálculo de ceros de funciones. Método de Newton-Rapson.

Régimen de Aprobación Hay dos parciales por materia. Si el promedio de las evaluaciones es menor a 4, se debe recursar la materia. Si el promedio es entre 4 y 6,49 se debe rendir final. Si el promedio es mayor a 6,49, se promociona la materia. Por el momento las únicas materias que ofrecen recuperatorios son Matemática, Álgebra y Análisis Matemático. Existe la opción de presentarse a exámenes libres en lugar de recursar, y hay una reglamentación específica al respecto que deberás consultar. Si tenés alguna duda sobre el CBC, podés consultar la sección de Preguntas Frecuentes para el CBC.

Bibliografía La bibliografía oficial mínima recomendada para la materia es:  

AYRES - MENDELSON: Cálculo Diferencia e Integral. (Colección Schaum Ed. Mc Graw Hill) SPIEGEL: Cálculo Superior. (Colección Schaum Ed. Mc. Graw Hill)

La bibliografía oficial general recomendada para la materia es:              

PISKUNOV: Cálculo Diferencial e Integral. (En varias editoriales) DEMIDOVICH: Ejercicios y problemas... (En varias editoriales) PURCELL: Cálculo... (Ed. Prentice Hall Hispanoamericana) LANG: Cálculo. (Ed. Addison Wesley Iberoamericana) KAREL de LEEW: Calculus. (Ed. EUDEBA) SADOSKY - GUBER: Cálculo Diferencial e Integral. (Ed. Alsina) SPIVAK: Calculus. (Ed. Reverte) BERS: Cálculo Diferencial e Integral. (Ed. Interamericana) COURANT - JONES: Introducción al Cálculo y al Análisis Matemático. (Ed. Limusa) APOSTOL: Cálculus. (Ed. Reverte) REY PASTOR - PI CALLEJA - TREJO: Análisis Matemático Vol. I. (Ed. Kapelusz) GUZMAN - RUBIO: Análisis Matemático Vol. I y II. (Ed. Anaya) GUZMAN - RUBIO: Matemática I y Matemática II. (Ed. Anaya) NORIEGA: Cálculo Diferencial e Integral. (Ed. Docencia)

Algunas Recomendaciones Hay una guía llamada Curso Previo de Matemáticas que está destinada para los ingresantes al CBC. La idea es repasar los temas del secundario, sin adelantar los contenidos de las cursadas. La guía tiene 3 prácticas, ejercicios adicionales y ejercicios para el colectivo. Podés descargarla haciendo clic en CPM.pdf. Hay otra guía llamada Guía del Ingresante CBC-Exactas que pretende darte una bienvenida a la Facultad y brinda información sobre el CBC, el Programas de Ingresantes y la carrera que elegiste entre otras cosas. Podés descargarla haciendo clic en GCBCE.pdf. Para más información ingresá a la página oficial: FCEN - Ingresantes CBC.

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1er PARCIAL

A ANÁLISIS (ING. Y EX.) (66)

CURSO DE VERANO 2018

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟐

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Hallar los 𝑎 ∈ ℝ tal que el lím

√9𝑛4−𝑛3 −3𝑛2 𝑎𝑛+5

𝑛→+∞

1

=− . 12

cos(𝑥−3)+3𝑥 2 −28

2. Hallar la recta tangente a 𝑓(𝑥 ) = {

𝑥−3

, 𝑥 ≠ 3 en 𝑥 = 3. 18, 𝑥 = 3

3. Calcular el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y asíntotas de 𝑓(𝑥 ) = 8𝑒 𝑥−3 (𝑒 𝑥−3 − 1). Hacer un gráfico aproximado. 4. Calcular los extremos absolutos de 𝑓(𝑥 ) = 𝑥√6 − 𝑥 en el intervalo [−1,6].

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1er PARCIAL

A ANÁLISIS (ING. Y EX.) (66)

CURSO DE VERANO 2017

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟐

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja. (𝑛+2)!

1. Calcular, si existe,

𝑛!+10 2(𝑛+5)2 ) lím ( . 𝑛! 𝑛→+∞ 3

(2 − 2𝑒 𝑥 )2 sen ( ) , 𝑥 > 0 𝑥

2. Sea 𝑓: ℝ → ℝ defina por 𝑓(𝑥 ) =

0, 𝑥 = 0. {

𝑥 sen(𝑥) √9+𝑥−3

, 𝑥2

𝑎 (𝑥 − 2), 𝑥 ≤ 2

. Hallar 𝑎 ∈ ℝ para que 𝑓 resulte derivable en 𝑥0 = 2. 2

3. Demostrar que para todo 𝑥 ∈ ℝ vale la desigualdad 𝑒 3(𝑥−2) ≥ 3𝑥 2 − 12𝑥 + 13. 4. Sea 𝑓: [0,11] → ℝ, 𝑓 (𝑥 ) = (4𝑥 − 12) 3√𝑥. Hallar los puntos 𝑥 ∈ [0,11] donde 𝑓 alcanza su máximo y su mínimo absoluto.

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1er PARCIAL

D ANÁLISIS (ING. Y EX.) (66)

1er CUATRIMESTRE de 2017

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟐

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Calcular el lím

𝑛→∞

√9𝑛3 +36𝑛2+5−3𝑛√𝑛

.

√𝑛+8

5𝑥

(2 + ) sen(4𝑥 ) , 𝑥 ≠ 0 3−𝑒 1/𝑥 2. Sea 𝑓: ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥 ) = { . 0, 𝑥 = 0 Mostrar que 𝑓 es continua y derivable en 𝑥 = 0. 3. Sea 𝑓(𝑥 ) = ln(2𝑥 − 𝑎 ) − 2𝑥. Hallar 𝑎 ∈ ℝ para que la imagen de 𝑓 sea el intervalo (−∞; −7]. 4. Sea 𝑓: [−5; −1] → ℝ, 𝑓 (𝑥 ) =

𝑥 2 +𝑥+4 𝑥

. Hallar el máximo y el mínimo absoluto de 𝑓.

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E ANÁLISIS (ING. Y EX.) (66)

1er PARCIAL

1er CUATRIMESTRE de 2017

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟐

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Calcular lím (

8𝑛 +5

𝑛→∞ 7𝑛 +𝑛!

+ 6). √2𝑥+6−4 , 𝑥−5

2. Hallar 𝑎 ∈ ℝ para que la función 𝑓 (𝑥 ) = {

𝑥 > 5 sea continua en 𝑥 = 5. Calcular, si 𝑎𝑥 + 1, 𝑥 ≤ 5

existe, 𝑓 ′ (5). 3. Determinar la cantidad de soluciones de la ecuación 2 ln(𝑥 ) − 5 1 = 6 2 𝑥 5 2

4. Sea la función 𝑓: [2; 5] → ℝ definida por 𝑓(𝑥 ) = 𝑒 −2(𝑥−2) . Entre los triángulos cuyos vértices son los puntos (2,0), (𝑥, 0) y (𝑥, 𝑓 (𝑥 )), encontrar el de área máxima.

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F ANÁLISIS (ING. Y EX.) (66)

1er PARCIAL

1er CUATRIMESTRE de 2017

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟒

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Hallar 𝑘 ∈ ℝ de manera que lím (1 + 𝑛→∞

𝑘 𝑛4

+

4 11 3𝑛

𝑛5

)

= 𝑒 −15 .

8𝑥 4 ln(𝑥)

2. Sea 𝑓: (0, +∞) → ℝ definida por 𝑓(𝑥 ) = {

𝑥−1

, 𝑥 ≠ 1. Hallar la ecuación de la recta 8, 𝑥 = 1

tangente al gráfico de 𝑓 en 𝑥0 = 1. 3. Sea 𝑓(𝑥 ) =

5√𝑥 2 −4𝑥 𝑥−6

. Hallar el dominio y la imagen de 𝑓. 𝑥

4. Sea 𝑓: [2,8] → ℝ definida por 𝑓(𝑥 ) = 𝑥 2 𝑒 −2. Hallar los extremos absolutos de 𝑓.

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G ANÁLISIS (ING. Y EX.) (66)

1er PARCIAL

1er CUATRIMESTRE de 2017

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟒

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Sea 𝑎𝑛 = (

4𝑛6 +7

𝑛

) . Calcular el lím

4𝑛4 +6

𝑥 sen(5𝑥)

2. Sea 𝑓(𝑥 ) = {

ln(1+6𝑥)

cos(𝑎𝑛 )+2𝑎𝑛 12𝑎𝑛

𝑛→∞

, 𝑥>0

3 sen(𝑎𝑥 ) , 𝑥 ≤ 0

.

. Hallar 𝑎 ∈ ℝ para que 𝑓 sea derivable en 𝑥 = 0.

3. Hallar la imagen de 𝑓(𝑥 ) = 4 −

3 𝑥5

+

15 𝑥8 1

.

4. Sea 𝑓: [0; 7] → ℝ dada por 𝑓(𝑥 ) = 𝑒 −18𝑥 (5𝑥, 0), encontrar el de área máxima.

2 +5

. Entre los triángulos de vértices (0,0), (𝑥, 𝑓(𝑥 )) y

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B ANÁLISIS (ING. Y EX.) (66)

1er PARCIAL

2do CUATRIMESTRE de 2017

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟐

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Calcular el lím

𝑛→+∞

5+cos(𝑛) 3+𝑛4

+ √𝑛2 − 6𝑛 − √𝑛2 + 11. 𝑒 𝑥−3 −1

2. Sea 𝑓(𝑥 ) = {

ln(𝑥−2)

, 𝑥>3

2𝑥 2 + 𝑎(𝑥 − 3) − 17, 𝑥 ≤ 3

. Hallar 𝑎 ∈ ℝ para que 𝑓 sea derivable en 𝑥0 = 3.

3. Hallar la cantidad de soluciones que tiene la ecuación (𝑥 2 − 4𝑥 + 4)𝑒 𝑥−2 =

3 𝑒2

.

4. Sea 𝑓(𝑥 ) = 2𝑥 − 5 ln(𝑥 − 2). Hallar el máximo y el mínimo absoluto de 𝑓 en el intervalo 5

[ ; 7]. 7

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E ANÁLISIS (ING. Y EX.) (66)

1er PARCIAL

2do CUATRIMESTRE de 2017

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟐

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

SEDE: HORARIO: CORRECTOR ……………………………………………………………………...........

Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Calcular el lím

𝑛+5

.

𝑛→+∞ 7√4𝑛4 +9−14√𝑛4+12𝑛2 +11

ln(𝑥 2 −24)

2. Sea 𝑓: (√24; +∞) → ℝ definida como 𝑓(𝑥 ) = {

𝑥−5

, 𝑥 ≠ 5. Calcular, si existe, 𝑓 ′ (5).

10, 𝑥 = 5

3. Hallar todos los valores de 𝑘 ∈ ℝ para los que la ecuación

𝑒 −𝑥 𝑥−4

= 𝑘 no tiene solución.

4. Sea 𝑓: [0; 8] → ℝ dada por 𝑓(𝑥 ) = 80 − 5(𝑥 − 4)2 . Entre los triángulos de vértices (𝑥, 0), 𝑥

( , 0) y (𝑥, 𝑓(𝑥 )), encontrar el de área máxima. 2

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F ANÁLISIS (ING. Y EX.) (66)

1er PARCIAL

2do CUATRIMESTRE de 2017

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟏

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Sea (𝑎𝑛 )𝑛≥1 una sucesión de números reales que satisface, 5 + 𝑒 −2𝑛 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 1107, para todo 𝑛𝑎 𝑛 𝑛 ∈ ℕ. Calcular, si existe, el lím 3 𝑛 + 3 √5𝑛. 𝑛→+∞ 𝑛 +8𝑛+2

2. Sea 𝑓 una función derivable tal que 𝑓(1) = 3 y 𝑓 ′ (1) = 4 y sea 𝑔(𝑥 ) = √𝑥 3 + 9. Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de ℎ = 𝑔 ∘ 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥0 = 1. 3. Sea 𝑓(𝑥 ) =

𝑒 2𝑥+5 𝑥+4

. Hallar la imagen de 𝑓.

4. Sea 𝑓: [0,3] → ℝ definida por 𝑓(𝑥 ) = 𝑥 2 − 4 ln(𝑥 + 1). Determinar los valores de 𝑥 donde 𝑓 alcanza su valor mínimo y su valor máximo.

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G ANÁLISIS (ING. Y EX.) (66)

1er PARCIAL

2do CUATRIMESTRE de 2017

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟏

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

SEDE: HORARIO: CORRECTOR ……………………………………………………………………...........

Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Hallar 𝑎 ∈ ℝ para que lím (𝑛√𝑛2 + 2 − √𝑛4 + 𝑎𝑛2 + 2𝑛 + 1) = 5. 𝑛→+∞

2. Sea 𝑓(𝑥 ) = {

𝑥 2 ln(𝑥 ) sen(𝑥 ) , 𝑥 > 0 . Analizar si existe 𝑓 ′ (0). 3𝑥, 𝑥 ≤ 0 2

3. Hallar todos los valores de 𝑘 ∈ ℝ tales que la ecuación 𝑒1−𝑥 (2𝑥 − 1) = 𝑘 tiene una única solución y hallarla en cada caso. 4. Sea 𝑓: [3,11] → ℝ definida por 𝑓(𝑥 ) = 7 + 3𝑥√12 − 𝑥. Hallar el máximo y el mínimo absoluto de 𝑓 en ese intervalo.

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1er PARCIAL

H ANÁLISIS (ING. Y EX.) (66)

2do CUATRIMESTRE de 2017

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟏

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Hallar 𝑝 ∈ ℝ para que el lím (

𝑛2

𝑛→+∞ 𝑝𝑛−1

−

𝑛2

) sea finito. Para el valor de 𝑝 hallado, calcular

3𝑛+5

dicho límite. 2. Dada 𝑓(𝑥 ) = {4𝑥 +

ln(1+6𝑥 2) 2𝑥

, 𝑥 ≠ 0, calcular 𝑓 ′ (0). 0, 𝑥 = 0

3. Hallar el dominio y la imagen de la función 𝑓(𝑥 ) = 3𝑥√48 − 𝑥. 12

4. Dada 𝑓(𝑥 ) = 𝑥𝑒 − 𝑥 , para cada 𝑥 ∈ (0; 18), se considera el triángulo de vértices (18,0), (𝑥, 0) y (𝑥, 𝑓(𝑥 )). Hallar el valor de 𝑥 para que el área del triángulo considerado sea máxima.

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ANÁLISIS (ING. Y EX.) (66)

1er PARCIAL

𝐑𝐄𝐂𝐔𝐏. |𝐃𝐈𝐅𝐄𝐑𝐈𝐃𝐎

2do CUATR. de 2017

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟏

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… SEDE:

INSCRIPTO EN: 1

2

DIAS: 3

4

HORARIO:

AULA:

NOTA INSUFICIENTE

FINAL 01/12 ó 15/12 a las 10hs.

CORRECTOR …………………………………………………………………………………… Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Calcular lím 5 + √√9𝑛2 + 216𝑛 − 3𝑛

𝑛→∞

𝑎 cos(𝑥)+sen(5𝑥)−𝑎

2. Hallar 𝑎 ∈ ℝ para que la función 𝑓 (𝑥 ) = {

𝑥

, 𝑥≠0

5, 𝑥 = 0

satisfaga 𝑓 ′ (0) = 3.

3. Probar que, para todo 𝑥 > 0, vale que 2𝑥 − 2𝑥 2 < ln(2𝑥 + 1). 4. Dada 𝑓: [−1,1] → ℝ la función 𝑓(𝑥 ) = 𝑒 −2𝑥 alcanza su máximo y su mínimo absolutos.

3 +8𝑥 2 +6𝑥

, hallar los valores de 𝑥 ∈ [−1,1] donde 𝑓

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1er PARCIAL

A ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28)

CURSO DE VERANO 2016

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟏

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

SEDE: HORARIO: CORRECTOR ……………………………………………………………………...........

Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Calcular, si existe, lím √9𝑛4 + 2𝑛2 + 3 − √9𝑛4 + 3𝑛2 − 1. 𝑛→∞

ln(1+4𝑥)+3𝑥

, 𝑥≠0 . 𝑎, 𝑥 = 0 Hallar el valor de 𝑎 ∈ ℝ para que 𝑓(𝑥 ) resulte continua en 𝑥 = 0. Mediante el estudio del cociente incremental determinar si 𝑓 (𝑥 ) es derivable en 𝑥 = 0.

2. Sea 𝑓(𝑥 ) = {

𝑥

3. Sea 𝑓(𝑥 ) = 3 + 9𝑥 2 + (6𝑥 − 2)𝑒 3𝑥 . Calcular la imagen de 𝑓(𝑥 ). 4. Hallar el máximo y el mínimo absolutos de 𝑓(𝑥 ) = 𝑥 2 +

16 𝑥2

para 1 ≤ 𝑥 ≤ 4.

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A ANÁLISIS (ING. Y EX.) (66)

1er PARCIAL

1er CUATRIMESTRE de 2016

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟏

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Sea (𝑎𝑛 )𝑛≥1 una sucesión de términos positivos tal que lím

2𝑎𝑛

𝑎𝑛+1 𝑎𝑛

𝑛

=

𝑛

√2𝑛+ √𝑛2 +1 . 𝑛 √6𝑛+2

Calcular

.

𝑛→∞ 3𝑎𝑛 +5

2. Sea 𝑓(𝑥 ) = ln(𝑥 2 + 𝑥 + 4). Hallar todos los puntos del gráfico de 𝑓 que tienen recta tangente 1

de pendiente igual a . 2

3. Encontrar todos los valores de 𝑘 ∈ ℝ para los cuales la ecuación 5

2

5

𝑒 4𝑥 𝑥2

= 𝑘 tiene tres soluciones.

4. Sea 𝑓: [−1; 8] → ℝ definida por 𝑓(𝑥 ) = 𝑥 3 − 𝑥 3. Probar que 𝑓 no es derivable en 𝑥0 = 0 y 2

hallar todos los extremos absolutos y locales de 𝑓.

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B ANÁLISIS (ING. Y EX.) (66)

1er PARCIAL

1er CUATRIMESTRE de 2016

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟒

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Calcular lím ( 𝑛→∞

1+3𝑛2 2+𝑛2

+ √𝑛2 + 2𝑛 + 15 − √𝑛2 + 15).

2. Sea 𝑓(𝑥 ) = √4𝑥 − 11. Hallar 𝑥0 tal que la recta tangente al gráfico de 𝑓 por (𝑥0 ; 𝑓(𝑥0 )) pase también por el (0; 0). Hallar la ecuación de dicha recta. 3

3. Hallar todos los valores de 𝑘 ∈ ℝ para los cuales 4. Sea 𝑓: [−5; 8] → ℝ definida como 𝑓(𝑥 ) = absolutos de 𝑓.

𝑥

𝑒2

𝑥

𝑥3

= 𝑘 no tiene solución.

. Hallar los valores máximo y mínimo

𝑥 2 +36

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C ANÁLISIS (ING. Y EX.) (66)

1er PARCIAL

1er CUATRIMESTRE de 2016

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟏

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Calcular, si existe, el 3𝑛2

𝑛4 + 2𝑛2 ) lím [( 4 𝑛→∞ 𝑛 + 𝑛2 + 1

sen(𝑛4 + 2𝑛2 ) ] + 3𝑛2

1−cos(𝑎𝑥)

, 𝑥≠0 . 2, 𝑥 = 0 Hallar 𝑎 > 0 para que 𝑓 sea continua en 𝑥 = 0. Para el valor encontrado de 𝑎, analizar mediante cocientes incrementales si 𝑓 es derivable en 𝑥 = 0.

2. Sea 𝑓(𝑥 ) = {

4𝑥 2

3 2

3. Sea 𝑓(𝑥 ) = (𝑥 + 1)3 𝑒 4𝑥 −5 − 3. Demostrar que para todo 𝑘 ∈ ℝ la ecuación 𝑓 (𝑥 ) = 𝑘 tiene exactamente una solución. 4. Sea 𝑓(𝑥 ) =

729 4(𝑥−2)

+ (𝑥 − 2)2 con 𝑥 ∈ [3; 11]. Hallar los puntos en los que 𝑓 alcanza su

máximo y su mínimo absolutos.

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D ANÁLISIS (ING. Y EX.) (66)

1er PARCIAL

1er CUATRIMESTRE de 2016

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟑

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Hallar 𝑎 ∈ ℝ para que lím ( 𝑛→∞

𝑛4 +𝑎𝑛 𝑛4 +9

5𝑛3

)

= 𝑒. 2𝑥

, 𝑥≠0 𝑒 2. Sea 𝑓: (− ; +∞) → ℝ definida como 𝑓(𝑥 ) = {ln(3𝑥+𝑒)−1 . Calcular, si existe, 𝑓 ′ (0). 3 4𝑒, 𝑥 = 0 3. Determinar la cantidad de soluciones de la ecuación √𝑥 − 3𝑒 −4(𝑥−3) 8

28

𝑥

𝑥2

4. Sea 𝑓: [1; 8] → ℝ definida por 𝑓 (𝑥 ) = − 𝑓.

2 +1

= 1.

+ 23. Hallar el mínimo y el máximo absolutos de

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E ANÁLISIS (ING. Y EX.) (66)

1er PARCIAL

1er CUATRIMESTRE de 2016

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟐

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1

4 2𝑛

3

𝑛

1. Sea 𝑎𝑛 = ( + ) . Calcular, si existe, lím

𝑛→+∞

1 ) 𝑎𝑛

2+𝑎𝑛 sen( 7+3𝑎𝑛

.

ln(1+𝑎𝑥)+sen(3𝑥)

1

2. Sea 𝑓: (− ; +∞) → ℝ la función dada por 𝑓(𝑥 ) = {

, 𝑥≠0

. Hallar 𝑎 > 0 para 5, 𝑥 = 0 que 𝑓 resulte continua en 𝑥 = 0. Con el valor de 𝑎 hallado, calcular, si existe, 𝑓 ′ (0). 𝑎

𝑥

2

3. Sea 𝑓(𝑥 ) = 4. Sea 𝑓(𝑥 ) =

3𝑒 −𝑥

𝑥 2 −9 𝑥−3 𝑥2

. Calcular la imagen de 𝑓.

con 𝑥 ∈ [4; 9]. Hallar los valores de 𝑥 en los que 𝑓 alcanza su máximo y su

mínimo absolutos.

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N ANÁLISIS (ING. Y EX.) (66)

1er PARCIAL

1er CUATRIMESTRE de 2016

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟑

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

SEDE: HORARIO: CORRECTOR ……………………………………………………………………...........

Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Sea 𝑎𝑛 = (

𝑛+12 5𝑛 4𝑛

) . Calcular, si existe, lím

𝑛→∞

1 ) 𝑎𝑛

4+𝑎𝑛 cos( 9+5𝑎𝑛

.

ln(1+9𝑥)+cos(4𝑥)−1

, 𝑥≠0 . Hallar 𝑎 ∈ ℝ 𝑎, 𝑥 = 0 para que 𝑓 resulte continua en 𝑥 = 0. Con el valor de 𝑎 hallado, calcular, si existe, 𝑓 ′ (0). 1

2. Sea 𝑓: (− ; +∞) → ℝ la función dada por 𝑓(𝑥 ) = { 9

𝑥

1

3. Probar que la ecuación 5𝑥 4 (− + ln(𝑥 )) = 1 tiene una única solución en el intervalo 4

(1; +∞). 4. Sea 𝑓(𝑥 ) =

𝑥 2 −14 𝑒 4𝑥

con 𝑥 ∈ [1; 5]. Hallar los valores de 𝑥 en los que 𝑓 alcanza su máximo y su

mínimo absolutos.

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V ANÁLISIS (ING. Y EX.) (66)

1er PARCIAL

1er CUATRIMESTRE de 2016

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟏

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Calcular, si existe, el lím

5

𝑛→∞ √4𝑛 +3.2𝑛+1−2𝑛

.

𝜋 𝜋

cos(𝑎𝑥)−1

2. Hallar 𝑎 ∈ ℝ para que la función 𝑓: (− ; ) → ℝ definida por 𝑓(𝑥 ) = { 2 2

3 sen(𝑥)

, 𝑥≠0

0, 𝑥 = 0

′(

satisfaga 𝑓 0) = −6. 3. Sea 𝑓(𝑥 ) = 𝑥 3 − 12𝑥 + 1. Probar que 𝑓(𝑥 ) ≥ −15 para todo 𝑥 ≥ 0. 𝑥2

12

4. Sea 𝑓(𝑥 ) = (5 − 𝑥 )𝑒 12 −1 , con 𝑥 ∈ [0; ]. Hallar los valores de 𝑥 donde 𝑓 alcanza su máximo 5

y su mínimo absolutos.

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1er PARCIAL

W ANÁLISIS (ING. Y EX.) (66)

1er CUATRIMESTRE de 2016

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟏

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Calcular el lím

3𝑛3 (𝑛+5)𝑛

𝑛→∞

𝑛𝑛+3

. 𝑥 ln(𝑥)

, 𝑥≠1 2. Sea la función 𝑓: (0; +∞) → ℝ, definida por 𝑓(𝑥 ) = { 𝑥 2 −1 . 𝑎, 𝑥 = 1 Hallar 𝑎 ∈ ℝ de manera que 𝑓 sea continua en 𝑥0 = 1 y analizar mediante el estudio del cociente incremental si existe 𝑓 ′ (1). 1

3. Determinar la cantidad de soluciones de la ecuación 𝑥 2 − ln(1 + 10𝑥 2 ) = − . 2

4. Sea 𝑓(𝑥 ) = 4𝑥 +

108 𝑥3

mínimo absolutos.

con 𝑥 ∈ [1; 4]. Hallar los puntos en los que 𝑓 alcanza su máximo y su

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1er PARCIAL

Y ANÁLISIS (ING. Y EX.) (66)

1er CUATRIMESTRE de 2016

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟏

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

SEDE: HORARIO: CORRECTOR ……………………………………………………………………...........

Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Hallar 𝑎 ∈ ℝ para que lím

𝑛→∞

3𝑛+1 +4 sen(6𝑛) 2𝑛 +𝑎3𝑛

4𝑥 + 2. Sea 𝑓: ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥 ) = {

5

= . 2

2 ln(𝑥−2) 𝑥−3

, 𝑥>3

3𝑥 + 5, 𝑥 ≤ 3

.

Probar que 𝑓 es derivable en 𝑥0 = 3. 3. Determinar la cantidad de soluciones que tiene la ecuación

2 𝑥3

+ 486𝑥 = 225.

4. Sea 𝑓(𝑥 ) = 𝑥 √48 − 𝑥. Hallar el máximo y el mínimo absoluto de 𝑓 en el intervalo [0; 39].

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ANÁLISIS (ING. Y EX.) (66) 𝐑𝐄𝐂𝐔𝐏. |𝐃𝐈𝐅𝐄𝐑𝐈𝐃𝐎 1er PARCIAL 1er CUATRIMESTRE de 2016 𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟏 APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… SEDE:

INSCRIPTO EN: 1

2

DIAS: 3

4

HORARIO:

AULA:

NOTA INSUFICIENTE

FINAL 27/07 ó 08/08 a las 10hs.

CORRECTOR …………………………………………………………………………………… Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Hallar 𝑎 ∈ ℝ para que (3𝑛 + 1)2 − 6𝑛2 lím =5 𝑛→∞ 𝑎𝑛2 + 2𝑛 + 7 sen(3𝑥−6)

2. Sea 𝑓: ℝ → ℝ la función 𝑓(𝑥 ) = {

𝑒 𝑥−2 −1

, 𝑥≠2 . Calcular, si existe, 𝑓 ′ (2). 3, 𝑥 = 2 2

3. Determinar la cantidad de soluciones de la ecuación (4𝑥 − 7)𝑒 −𝑥 =

1 3𝑒 4

.

4. Dada la función 𝑓(𝑥 ) = 6√289 − 𝑥 2 , se considera el rectángulo de vértices (0,0), (𝑥, 0), (𝑥, 𝑓 (𝑥 )) y (0, 𝑓(𝑥 )) para 8 ≤ 𝑥 ≤ 15. Hallar 𝑥 para que el rectángulo tenga área máxima.

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A ANÁLISIS (ING. Y EX.) (66)

1er PARCIAL

2do CUATRIMESTRE de 2016

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟒

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Calcular el lím (√25𝑛2 + 12𝑛 − √25𝑛2 + 2𝑛 + ( 𝑛→∞

6𝑛−4 𝑛 6𝑛−5

) ).

𝑒 20𝑥 −1

2. Sea 𝑓(𝑥 ) = {

5𝑥

, 𝑥 ≠ 0. Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de 𝑓 (𝑥 ) en el 4, 𝑥 = 0

punto (0,4). 1

3. Sea 𝑓(𝑥 ) = 3𝑥 − (𝑥 − 3)3/2 . Determinar el dominio de 𝑓 y hallar todos los valores de 𝑘 ∈ ℝ 4

par los cuales la ecuación 𝑓 (𝑥 ) = 𝑘 tenga dos soluciones. 4. Sea 𝑓: [−3; 8] → ℝ definida por 𝑓(𝑥 ) = 9 ln(2𝑥 + 7) − 𝑥 2 . Hallar el mínimo y el máximo absolutos de 𝑓.

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B ANÁLISIS (ING. Y EX.) (66)

1er PARCIAL

2do CUATRIMESTRE de 2016

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟐

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Si la sucesión (𝑎𝑛 )𝑛∈ℕ satisface lím 𝑎𝑛 = 2 y 𝑎𝑛 > 2. Calcular 𝑛→∞

√12 + 2𝑎𝑛 − √8𝑎𝑛 𝑛→∞ 𝑎𝑛2 + 𝑎𝑛 − 6 lím

𝑒 sen(5𝜋𝑥)−1 −1

2. Sea 𝑓 la función dada por 𝑓(𝑥 ) = {

𝑥−1

, 𝑥 ≠ 1.

−5𝜋, 𝑥 = 1 Decidir mediante el estudio del cociente incremental, si 𝑓 es derivable en 𝑥 = 1. 3. Sea 𝑓(𝑥 ) = (𝑥 − 2)2 √9 − 2𝑥. Dar el dominio de 𝑓 y hallar todos los valores de 𝑘 ∈ ℝ de modo que 𝑓(𝑥 ) = 𝑘 tenga 3 soluciones. 1

4. Sea 𝑓: ( , 𝑒 2 ) → ℝ, 𝑓(𝑥 ) = 2 + 𝑥 5 ln(𝑥 ). Hallar los valores máximo y mínimo absolutos de 𝑓. 2

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1er PARCIAL

D ANÁLISIS (ING. Y EX.) (66)

2do CUATRIMESTRE de 2016

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟑

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2

3

4

NOTA

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

SEDE: HORARIO: CORRECTOR ……………………………………………………………………...........

Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Sea 𝑎𝑛 = (

4𝑛+6 𝑛 𝑛4 +1 4𝑛+2

) .

.

𝑛3 +1

Comprobar que lím 𝑎𝑛 = +∞ y calcular lím 𝑛→∞

ln(𝑥−3)+𝑥 2 −16

2. Sea 𝑓(𝑥 ) = {

𝑛→∞

cos(4𝑎𝑛 ) 𝑎𝑛

+𝑛

6

√4𝑛

.

, 𝑥>4

. 5𝑎(𝑥 − 4) + 9, 𝑥 ≤ 4 Hallar 𝑎 ∈ ℝ para que 𝑓 resulte derivable en 𝑥 = 4. 𝑥−4

3. Encontrar el dominio y la imagen de la función 𝑓(𝑥 ) = 2

81 𝑥

+ 6√𝑥.

4. Sea 𝑓: [−1,4] → ℝ, 𝑓(𝑥 ) = (10 − 𝑥 2 )𝑒 𝑥 . Hallar el máximo y el mínimo absoluto de 𝑓(𝑥 ) en ese intervalo.

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E ANÁLISIS (ING. Y EX.) (66)

1er PARCIAL

2do CUATRIMESTRE de 2016

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟐

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2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Si la sucesión (𝑎𝑛 )𝑛∈ℕ satisface lím

𝑎𝑛

𝑛→∞ 𝑛

= 10 calcular el lím (1 + 𝑛→∞

𝑎𝑛 6𝑛 3𝑛

) .

2. Sea ℎ(𝑥 ) = 3 + sen(4𝑥 ) + 𝑓 (2𝑥 + 𝑒 7𝑥 ). Sabiendo que la recta tangente al gráfico de 𝑓 en 𝑥0 = 1 es 𝑦 = 5𝑥 + 1 calcular la ecuación de la recta tangente al gráfico de ℎ en 𝑥1 = 0. 4

3. Hallar un valor de 𝑘 ∈ ℝ para el cual la ecuación (8 + 9𝑥 2 )𝑒 𝑥+3 = 𝑘 tenga tres soluciones. 4. Sea 𝑓: [1,5] → ℝ definida por 𝑓(𝑥 ) =

6𝑥 16+9𝑥 2

. Hallar los extremos absolutos de 𝑓.

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A ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28)

1er PARCIAL

1er CUATRIMESTRE de 2015

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟏

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

SEDE: HORARIO: CORRECTOR ……………………………………………………………………...........

Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Hallar 𝑎 ∈ ℝ tal que lím (

𝑛2 +𝑎

𝑛→∞ 𝑛2 −3

2𝑛2 +1

)

= 𝑒2.

cos(2𝑥)−1

2. Sea 𝑓: ℝ → ℝ, definida por 𝑓(𝑥 ) = {

4𝑥 2 1

, 𝑥≠0

− , 𝑥=0

.

2

Estudiar la continuidad y derivabilidad de 𝑓 en 𝑥 = 0. 1

3. Demostrar que 4𝑥 2 − ln(4𝑥 + 1) > −1 para todo 𝑥 > − . 4

5

4. Hallar los valores máximo y mínimo absolutos de 𝑓(𝑥 ) = 𝑥 √6 − 𝑥 para 𝑥 ∈ [0,7].

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B ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28)

1er PARCIAL

1er CUATRIMESTRE de 2015

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟏

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Calcular lím

𝑛+3

𝑛→∞ √𝑛+4

(√𝑛 + 7 − √𝑛 + 1).

2. Dadas las funciones 𝑓(𝑥 ) = √𝑘𝑥 + 8 y 𝑔(𝑥 ) = ln(𝑥 ) hallar el valor de 𝑘 > 0 para las respectivas rectas tangentes a los gráficos de 𝑓 y 𝑔 sean paralelas. Escribir la ecuación tangente al gráfico de 𝑓 en el punto de abscisa 𝑥 = 5. 3. Sea 𝑓(𝑥 ) = 𝑒 𝑥

3 −27𝑥+28

. Hallar la cantidad de soluciones de la ecuación 𝑓(𝑥 ) = 𝑒 84 .

4. Hallar el máximo absoluto y el mínimo absoluto de la función 𝑓(𝑥 ) = 𝑥√𝑥(12 − 𝑥 ) para 6 ≤ 𝑥 ≤ 12.

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C ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28)

1er PARCIAL

1er CUATRIMESTRE de 2015

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟑

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2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Determinar 𝑎 ∈ ℝ para que lím (𝑛 − 8)(√25𝑛2 + 𝑎 − √25𝑛2 + 3) = 3. 𝑛→∞

𝑒 4𝑥−4 −1

2. Sea 𝑓: ℝ → ℝ, definida por 𝑓(𝑥 ) = {

, 𝑥>1

. −6 + 10𝑥, 𝑥 ≤ 1 Verificar que 𝑓 es continua en 𝑥0 = 1. Calcular, si existe, 𝑓 ′ (1). ln(𝑥)

3. Determinar la cantidad de soluciones de la ecuación 𝑒 5𝑥

6 −6𝑥 5 +1

= 7. 3

4. Hallar el máximo y el mínimo absolutos de la función 𝑔(𝑥 ) = √12𝑥 2 − 𝑥 3 en el intervalo [6,12].

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1er PARCIAL

D ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28)

1er CUATRIMESTRE de 2015

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟐

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2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Calcular lím

𝑛→∞

𝑛2 −𝑛√𝑛2 +4𝑛 5𝑛+1

. 𝑒 𝑥−3 −𝑎 cos(𝑥−3)−8

2. Sea 𝑓: ℝ → ℝ, definida por 𝑓(𝑥 ) = {

, 𝑥>3

. −3(𝑥 − 3) + 1, 𝑥 ≤ 3 Hallar 𝑎 ∈ ℝ para que 𝑓 sea continua en 𝑥 = 3. Para el valor de 𝑎 hallado determinar si 𝑓 es derivable en 𝑥 = 3.

3. Sea 𝑓: (5, +∞) → ℝ, dada por 𝑓 (𝑥 ) = 𝑒

𝑥−3

𝑥2 𝑥−5

. Hallar la imagen de 𝑓.

4. Dada la función 𝑓(𝑥 ) = 3 + √8𝑥 3 − 6𝑥 + 9. Hallar el máximo y el mínimo absolutos de 𝑓 en el intervalo [0,1].

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F ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28)

1er PARCIAL

1er CUATRIMESTRE de 2015

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟏

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2

3

4

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INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Calcular lím

2𝑛 (𝑛+1)𝑛

𝑛→∞

𝑛!7𝑛

sen(𝑥−3)

2. Sea 𝑓(𝑥 ) = {

𝑥−3

.

+ 𝑥 − 3, 𝑥 < 3

.

√2𝑥 − 5, 𝑥 ≥ 3 Verificar que 𝑓 es continua en 𝑥0 = 3 y decidir, mediante el estudio de los cocientes incrementales, si 𝑓 es derivable en 𝑥0 = 3. 3. Hallar todos los valores de 𝑘 > 0 tales que la ecuación

𝑒 𝑘𝑥 𝑥2

= 81 tenga más de una solución.

4. Hallar, si existen, el máximo absoluto y el mínimo absoluto de 𝑓(𝑥 ) =

6𝑥

.

16𝑥 2 +1

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G ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28)

1er PARCIAL

1er CUATRIMESTRE de 2015

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟏

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2

3

4

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INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

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1. Calcular lím (5𝑛 + 3)(𝑛 − √𝑛2 + 6). 𝑛→∞

2. Mediante el estudio de los cocientes incrementales, determinar 𝑎 > 0 para que 1 − cos(5𝑎𝑥) , 𝑥>0 𝑓(𝑥 ) = { 3(𝑒 𝑥 − 1) 11𝑥 2 + 150𝑥, 𝑥≤0 sea derivable en 𝑥0 = 0. 3. Demostrar que, para todo 𝑥 ≥ 5, −3 ≤ (𝑥 − 8)𝑒 −𝑥+5 ≤

1 𝑒4

.

4. Hallar, si existen, el máximo absoluto y el mínimo absoluto de 𝑓(𝑥 ) =

𝑥+2

.

𝑥 2 +21

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B ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28)

1er PARCIAL

2do CUATRIMESTRE de 2015

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟑

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2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

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CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Calcular, si existe, el lím (√𝑛2 + 22𝑛 + 4 sen(𝑛) − 𝑛). 𝑛→∞

ln(1+2𝑥)

, 𝑥≠0 . 2 1, 𝑥 = 0 Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de 𝑓 en 𝑥0 = 0. 1

2. Sea 𝑓: (− , +∞) → ℝ, definida por 𝑓(𝑥 ) = {

𝑒 2𝑥 −1

3. Determinar todos los 𝑘 ∈ ℝ de tal forma que la ecuación (𝑥 2 − 15)𝑒 𝑥+4 = 𝑘 tenga tres soluciones. 4. Un rectángulo tiene un lado sobre el eje positivo de las 𝑥, otro sobre el eje positivo de las 𝑦, un vértice en el origen y otro sobre el gráfico de la función 𝑓(𝑥 ) = 𝑒 −4𝑥 con 0 < 𝑥 ≤ 6. Encontrar el rectángulo de perímetro mínimo.

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F ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28)

1er PARCIAL

2do CUATRIMESTRE de 2015

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟑

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2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

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1. Calcular, si existe, el lím (5𝑛 + cos(𝑛))(√𝑛2 + 6 − 𝑛). 𝑛→∞

2

𝑒 16(𝑥−4) −1

, 𝑥 < 4. 16𝑥 − 64, 𝑥 ≥ 4 Mediante el estudio de los cocientes incrementales, determinar si 𝑓 es derivable en 𝑥0 = 4.

2. Sea 𝑓: ℝ → ℝ, definida por 𝑓(𝑥 ) = {

𝑥−4

3. Hallar todos los valores de 𝑘 > 0 para los cuales la función 𝑓 (𝑥 ) =

𝑥5 125

𝑘

+ tiene un extremo 𝑥

local en 𝑥0 = √𝑘. Para el valor de 𝑘 hallado, dar el dominio, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y todos los extremos locales de 𝑓. 4. Entre todos los números reales 𝑥 e 𝑦 que satisfacen 𝑥 + 𝑦 = 5, 0 ≤ 𝑥 ≤ 5 y 0 ≤ 𝑦 ≤ 5, hallar 4𝑥−19

los que hacen máxima y los que hacen mínima la expresión (𝑦+1)2.

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G ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28)

1er PARCIAL

2do CUATRIMESTRE de 2015

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟑

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2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

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1. Calcular, si existe, el lím

𝑛→∞

√9𝑛+7 √16𝑛3 +11−√16𝑛3 +12𝑛2

ln(𝑥 2 −24)+2𝑥−10

2. Dada 𝑓(𝑥 ) = {

𝑥−5

, 𝑥>5

𝑎(𝑥 − 5) + 12, 𝑥 ≤ 5

.

, hallar 𝑎 para que 𝑓 sea derivable en 𝑥0 = 5.

3. Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y las ecuaciones de las asíntotas horizontales al gráfico de 𝑓(𝑥 ) =

5𝑒 7𝑥 𝑒 7𝑥 +4𝑥 2

.

4. Hallar un número positivo 𝑥 tal que la suma del triple de su cuadrado más 384 veces su inverso multiplicativo sea mínima.

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¿X? ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28)

1er PARCIAL

2do CUATRIMESTRE de 2015

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟐

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2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

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CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Sea (𝑎𝑛 )𝑛∈ℕ una sucesión tal que 7𝑛 − 8𝑛2 − 9 < 6𝑛2 𝑎𝑛 <

𝑛3 +𝑛24𝑛 𝑛!

− 8𝑛2. Calcular si es

posible lím 𝑎𝑛 . 𝑛→∞

2. Sea 𝑓(𝑥 ) = ln(2𝑥 2 + 3𝑥). Hallar 𝐴 = Dom(𝑓 ) y determinar 𝑥0 ∈ 𝐴 tal que la recta tangente al gráfico de 𝑓 en (𝑥0 , 𝑓(𝑥0 )) tenga pendiente igual a 1. 3. Sea 𝑓(𝑥 ) =

1 − 𝑥2 +5 𝑒 6

𝑥 2 −25

. Hallar el dominio de 𝑓 y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

Señalar los extremos locales. 4. Hallar los valores máximo y mínimo absolutos de 𝑓(𝑥 ) = 𝑥√25 − 𝑥 para 𝑥 ∈ [0,24].

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A ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28)

1er PARCIAL

1er CUATRIMESTRE de 2014

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟏

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

SEDE: HORARIO: CORRECTOR ……………………………………………………………………...........

Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Sea (𝑎𝑛 ) la sucesión definida por 𝑎𝑛 = √𝑛6 + 5𝑛2 − 𝑛3 . Calcular lím (1 + 𝑎𝑛 )2𝑛 . 𝑛→∞

𝑒 𝑥−5 −1

2. Sea 𝑓: (4, +∞) → ℝ definida por 𝑓(𝑥 ) = {ln(𝑥−4)

+ 3, 𝑥 ≠ 5 . 4, 𝑥 = 5

Demostrar que 𝑓 es derivable en 𝑥 = 5. 4

3. Hallar todos los valores de 𝑎 ∈ ℝ para los cuales vale 𝑥 4 − 𝑥 3 − 𝑎 ≥ 0, para todo 𝑥 ∈ ℝ. 3

4. Entre todos los números positivos 𝑥 e 𝑦 tales que 𝑥 5 𝑦 = 8, hallar los que hacen mínimo 𝐴 = 5𝑥 + 8𝑦.

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B ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28)

1er PARCIAL

1er CUATRIMESTRE de 2014

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟏

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Sea 𝑎𝑛 = √𝑛3 + 2 − √𝑛3 − 𝑛2 + 1. Calcular lím ( 𝑛→∞

cos(𝑎𝑛 ) 3𝑎𝑛

+ 5).

sen(36𝑥)

, 𝑥>0 2. Sea 𝑓: ℝ → ℝ definida como 𝑓(𝑥 ) = { 𝑥 2 +3𝑥 . 𝑘𝑥 + 12, 𝑥 ≤ 0 Hallar 𝑘 ∈ ℝ para que 𝑓 resulte derivable en 𝑥 = 0. 3. Sea 𝑓(𝑥 ) =

𝑒 2𝑥+1 𝑥−2

. Demostrar que 𝑓 (𝑥 ) ≥ 2𝑒 6 si 𝑥 > 2.

3 4. Sea 𝑓: [1,5] → ℝ definida por 𝑓(𝑥 ) = √(𝑥 2 − 4𝑥 )2. Hallar todos los 𝑥 ∈ (1,5) donde 𝑓 no es derivable y determinar el valor máximo y mínimo absolutos de 𝑓 en [1,5].

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C ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28)

1er PARCIAL

1er CUATRIMESTRE de 2014

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟑

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

SEDE: HORARIO: CORRECTOR ……………………………………………………………………...........

Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Calcular, si existe, el lím (11𝑛 + 3)(√𝑛2 + 5 − √𝑛2 + 4). 𝑛→∞

cos(𝑎𝑥)−1

2. Hallar 𝑎 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0 de manera que la función 𝑓(𝑥 ) = {

, 𝑥 1. 𝑛→∞

12(1−𝑒 𝑥−1 )

2. Sea 𝑓: ℝ → ℝ continua, definida por 𝑓(𝑥 ) = {

, 𝑥>1

. −4(𝑥 + 2), 𝑥 ≤ 1 Mediante el estudio del cociente incremental analizar la derivabilidad de 𝑓(𝑥 ) en 𝑥 = 1. 𝑥−1

3. Sea 𝑓: (0, +∞) → ℝ definida por 𝑓(𝑥 ) = 𝑥𝑒 25⁄𝑥 . Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de 𝑓. Indicar para qué valores de 𝑘 ∈ ℝ la ecuación 𝑓(𝑥 ) = 𝑘 no tiene solución con 𝑥 > 0. 4. Sea 𝑓(𝑥 ) =

2 𝑥3

, con 𝑥 ∈ [5,8]. Entre los triángulos de vértices 𝑃 = (4,0), 𝑄 = (𝑥, 0) y 𝑅 =

(𝑥, 𝑓 (𝑥 )) encuentre el que tiene área máxima.

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¿X? ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28)

1er PARCIAL

1er CUATRIMESTRE de 2014

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟐

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Hallar 𝑘 ∈ ℝ para que lím (

2𝑛2 +3

𝑛→∞ 2𝑛2 −𝑛

4−𝑘𝑛

)

= 𝑒5. ln(4𝑥+1)

, 𝑥≠0 . 4 4, 𝑥 = 0 Mediante el estudio del cociente incremental, determinar si 𝑓 es derivable en 𝑥 = 0 y, en caso afirmativo, calcular 𝑓 ′ (0). 1

2. Sea 𝑓: (− , +∞) → ℝ la función 𝑓 (𝑥 ) = {

3. Probar que, si 𝑥 > −2, 4. Sea 𝑓(𝑥 ) =

44+40𝑥 𝑥

ln(3𝑥+6) 3𝑥+6

𝑒 𝑥 −1

≤ 𝑒 −1 .

. Para cada 𝑥 ∈ [1,9], sea 𝐴 el área del rectángulo de vértices (0,4𝑥 ), (𝑥, 4𝑥),

(𝑥, 𝑓 (𝑥 )) y (0, 𝑓(𝑥 )). Hallar los valores máximo y mínimo de 𝐴.

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ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28) 𝐑𝐄𝐂𝐔𝐏. |𝐃𝐈𝐅𝐄𝐑𝐈𝐃𝐎 1er PARCIAL 1er CUATRIMESTRE de 2014 𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟐 APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… INSCRIPTO EN: 1 2 3 4 NOTA SEDE: DÍAS: HORARIO: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………...........

PROMOCIONA INSUFICIENTE FINAL: 18 de julio 10hs

Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja. 3

1. Calcular, si existe, el lím

.

𝑛→∞ √𝑛2+8𝑛−√𝑛2 +5

2. Hallar el punto del gráfico de 𝑓(𝑡 ) = 2𝑒 4𝑡 cuya recta tangente por el punto pasa también por el (0,0). 3. Sea 𝑓(𝑥 ) =

125 2

𝑥+

2 𝑥2

−

35 2

. Determinar el dominio, los intervalos de crecimiento y de

decrecimiento y los extremos relativos. Además, calcular los límites en infinito y los límites laterales en los puntos de discontinuidad. Hallar todos los 𝑘 para los cuales la ecuación 𝑓(𝑥 ) = 𝑘 tiene exactamente una solución. 4. Para 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 se considera el triángulo de vértices 𝐴 = (𝑥 2 + 3𝑥 + 1,0), 𝐵 = (𝑥 2 , 0) y 𝐶 = (0,4𝑒 −2𝑥 ). Hallar el valor de 𝑥 que da los vértices del triángulo de área máxima.

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1er PARCIAL

A ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28)

2do CUATRIMESTRE de 2014

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟏

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja. √𝑛

1. Hallar 𝑘 ∈ ℝ>0 tal que lím (1 + √𝑘 2 𝑛 + 5 − 𝑘√𝑛) 𝑛→∞

𝑒 2𝑥−6 −1

2. Sea 𝑓: ℝ → ℝ, definida por 𝑓(𝑥 ) = {

3𝑥−9 2 3

, 𝑥≠3 , 𝑥=3

= 𝑒10 .

.

′(

Calcular, si existe, 𝑓 3). 3

3. Sea 𝑓(𝑥 ) = 2 + 𝑥 − 3√𝑥 2 . Determinar la cantidad de soluciones que tiene la ecuación 𝑓(𝑥 ) = 0. 4. Dada la función 𝑓(𝑥 ) =

1 𝑥 2 +2𝑥+9

, se consideran para 𝑥 ∈ [1,9], los rectángulos de vértices

(𝑥, 𝑓 (𝑥 )), (0, 𝑓(𝑥 )), (0,2𝑓(𝑥 )) y (𝑥, 2𝑓(𝑥 )). Hallar todos los valores de 𝑥 que corresponden a los rectángulos de área máxima y de área mínima.

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1er PARCIAL

B ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28)

2do CUATRIMESTRE de 2014

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟏

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

SEDE: HORARIO: CORRECTOR ……………………………………………………………………...........

Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Sea (𝑎𝑛 ) una sucesión que satisface que 𝑎𝑛 > ( Calcular lím

2 +3+2𝑎 √𝑎𝑛 𝑛

𝑛→∞

5𝑎𝑛 +7

3𝑛+1 𝑛 𝑛+2

) para todo 𝑛 ∈ ℕ.

. 1−cos(10𝑥)

2. Sea 𝑓: ℝ → ℝ, definida por 𝑓(𝑥 ) = {

, 𝑥≠0

. 25, 𝑥 = 0 Determinar si 𝑓 es derivable en 𝑥 = 0 y en ese caso calcular 𝑓 ′ (0).

3. Sea 𝑓(𝑥 ) =

𝑥3 27

2𝑥 2

− 3 ln(𝑘𝑥). Hallar todos los valores de 𝑘 > 0 tales que 𝑓(𝑥 ) = 0 tenga al menos

una solución. 4. Entre todos los números que satisfacen 4𝑥 + 𝑦 = 1, para 1

1

𝑥

𝑦

máxima y los que hacen mínima la expresión + .

1 8

1

≤ 𝑥 ≤ , hallar los que hacen 5

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E ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28)

1er PARCIAL

2do CUATRIMESTRE de 2014

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟏

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Hallar 𝑘 ∈ ℝ para que lím (1 + 𝑛→∞

𝑘 𝑛2

+

5 𝑛3

)

7𝑛2

= 3. 1

2. Sea 𝑓: ℝ → ℝ derivable tal que 𝑓(6) = 2 y 𝑓 ′ (6) = . Hallar la ecuación de la recta tangente 3

al gráfico de 𝑔(𝑥 ) =

√1 + 3𝑓 3 (𝑥) en 𝑥

= 6. 2

3. Si 𝑓(𝑥 ) = 𝑒 𝑥 (𝑥 2 − 3𝑥 + 9). Determinar la cantidad de soluciones de la ecuación 𝑓(𝑥 ) = . 5

4. Hallar los máximos y mínimos locales y absolutos de 𝑓 (𝑥 ) = 𝑥 3 − 9𝑥 2 + 15𝑥 + 25 para 𝑥 ∈ [−2,6].

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A ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28)

1er PARCIAL

1er CUATRIMESTRE de 2013

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟏

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Calcular, si existe, lím (3𝑛 + 1) ( 𝑛→∞

2 2𝑛−10 𝑛 +4𝑛+1

2𝑛−2

)

.

2𝑥−4+2√𝑥 𝑥−1

+ 2, 𝑥 ≠ 1. 3, 𝑥 = 1 Mediante el estudio del cociente incremental hallar 𝑓 ′ (1).

2. Sea 𝑓: (0, +∞) → ℝ definida como 𝑓(𝑥 ) = {

3. Sea 𝑓(𝑥 ) =

−3 𝑥+1

+

3 𝑥−3

+ 1. Para cada valor 𝑚 ∈ ℝ, determinar la cantidad de soluciones de

𝑓(𝑥 ) = 𝑚. 4. Sea 𝑓(𝑥 ) =

𝑥 2 +𝑥+9 𝑥2

. Para cada 𝑥 ∈ [1,10] considere el triángulo de vértices (0,0), (𝑥, 0) y

(𝑥, 𝑓 (𝑥 )). Encontrar los vértices del de área máxima y del de área mínima.

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1er PARCIAL

B ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28)

1er CUATRIMESTRE de 2013

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟐

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Hallar todos los 𝑎 ∈ ℝ tal que lím

𝑛→∞

3 cos(3𝑥)

√25𝑛+1

= 20.

sen(3𝑥)

, 𝑥≠0 . 0, 𝑥 = 0 Mediante el estudio del cociente incremental hallar 𝑓 ′ (0).

2. Sea 𝑓(𝑥 ) = {

𝑥

−

10𝑛(√𝑛+𝑎−√𝑛+3)

3. Dada la función 𝑓(𝑥 ) =

𝑥2

√𝑥

, calcular su dominio y su imagen.

𝑥 ) 16

ln(

4. Sea 𝑓(𝑥 ) = 𝑥 2 + 24𝑥. Entre todos los triángulos con vértices en (0,0), (𝑥, 0) y (𝑥, 𝑓(𝑥 )), con −18 ≤ 𝑥 ≤ −1, encontrar el de área máxima y el de área mínima.

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1er PARCIAL

C ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28)

1er CUATRIMESTRE de 2013

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟑

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja. 𝑛 1. Sean (𝑎𝑛 )𝑛∈ℕ y (𝑏𝑛 )𝑛∈ℕ dos sucesiones dadas por 𝑎𝑛 = √6𝑛 + 4𝑛 y 𝑏𝑛 = √7𝑛 + 5 − √7𝑛.

5

Calcular lím ( )

2+𝑏𝑛

𝑛→∞ 𝑎𝑛

.

6𝑥+sen2 (𝑥)

2. Sea 𝑓(𝑥 ) = {

, 𝑥>0

. 𝑏𝑥 + 2, 𝑥 ≤ 0 Hallar el valor de 𝑏 ∈ ℝ para que exista 𝑓 ′ (0). 𝑒 3𝑥 −1

3. Hallar todos los 𝑘 ∈ ℝ de modo que 𝑓(𝑥 ) = (5𝑥 − 4) ln(5𝑥 − 4) − 5𝑥 + 𝑘 ≥ 0 para todo 𝑥 ∈ 4

( , +∞). 5

4. Sea 𝑓(𝑥 ) =

1

. Entre todos los triángulos con vértices en (0,0), (𝑥, 0) y (𝑥, 𝑓(𝑥 )), con 4 ≤

𝑥 2 +25

𝑥 ≤ 7, encontrar el de área máxima y el de área mínima.

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D ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28)

1er PARCIAL

1er CUATRIMESTRE de 2013

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟑

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

SEDE: HORARIO: CORRECTOR ……………………………………………………………………...........

Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Hallar todos los 𝑘 ∈ ℕ para que lím (

7𝑛𝑘 +7

−𝑛

)

𝑛→∞ 7𝑛3 +𝑛2 +2

= +∞. Mostrar que el resto de los 𝑘 ∈ ℕ

no cumplen lo pedido. 8 cos(𝑥)−sen(3𝑥)−8

, 𝑥≠0 . −3, 𝑥 = 0 Mediante el estudio del cociente incremental calcular 𝑓 ′ (0).

2. Sea 𝑓(𝑥 ) = {

𝑥

3. Hallar todos los valores de 𝑘 ∈ ℝ tales que la ecuación

2 ln(3𝑥)−9 𝑥2

= 𝑘 tenga exactamente dos

soluciones. 12 √128 ], 5 3

4. Para cada 𝑥 ∈ [ ,

considere el rectángulo de vértices (0,0), (𝑥, 0), (𝑥, 𝑦) y (0, 𝑦), con

𝑥 2 + 16𝑦 2 = 16 e 𝑦 positivo. Encontrar los vértices del de área máxima y del de área mínima.

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E ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28)

1er PARCIAL

1er CUATRIMESTRE de 2013

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟐

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Hallar 𝑎 > 0 y 𝑏 ∈ ℝ para que lím (

𝑛2 (𝑛−1)𝑎−5

)

3𝑛3

𝑛→∞

𝑛𝑏

= 𝑒 −7 .

6−6 cos(𝑥)−3𝑥 2

2. Sea 𝑓 definida por 𝑓(𝑥 ) = {

, 𝑥 ≠ 0. Mediante el estudio del cociente 0, 𝑥 = 0

𝑥3

incremental calcular 𝑓 ′ (0). 3. Sea 𝑓(𝑥 ) = 7𝑥 − 3 sen(2𝑥 ) + ln(𝑥 + 3) −

6

. Probar que 𝑓 (𝑥 ) > 0 para todo 𝑥 > 0.

𝑥+6

4

4. Sea 𝑓(𝑥 ) = 1 − . Para cada 𝑥 ∈ [6,14] considere el rectángulo de vértices (𝑥, 0), (16,0), 𝑥

(16, 𝑓(𝑥 )) y (𝑥, 𝑓 (𝑥 )). Encontrar los vértices del de área máxima y del de área mínima.

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ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28) 𝐑𝐄𝐂𝐔𝐏. |𝐃𝐈𝐅𝐄𝐑𝐈𝐃𝐎 1er PARCIAL 1er CUATRIMESTRE de 2013 𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟏 APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… INSCRIPTO EN: 1 2 3 4 NOTA SEDE: DÍAS: HORARIO: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………...........

PROMOCIONA INSUFICIENTE FINAL: 10 de julio 10hs

Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Sea (𝑎𝑛 )𝑛∈ℕ la sucesión 𝑎𝑛 = √16𝑛2 + 𝑘𝑛 − 4𝑛. Hallar todos los valores de 𝑘 ∈ ℝ para los cuales 1 < lím 𝑎𝑛 < 2. 𝑛→∞

3

√𝑥 2−6𝑥+10−1

, 𝑥 ≠ 3. 0, 𝑥 = 3 Verificar que es continua en 𝑥 = 3 y calcular, si es posible, 𝑓 ′ (3) mediante el estudio del cociente incremental.

2. Dada la función 𝑓(𝑥 ) = {

3𝑥−9

3. Sea 𝑓(𝑥 ) = (4 − 𝑥 )𝑒 −2𝑥 − 5. Determinar el dominio, las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos de 𝑓. 4. Sea 𝑓(𝑥 ) = −𝑥 2 + 48. Para cada 𝑥 ∈ [2,6] considere el triángulo de vértices (𝑥, 0), (𝑥, 𝑓 (𝑥 )) y (0, 𝑓(𝑥 )). Encontrar los vértices del área máxima y del área mínima.

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A ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28)

1er PARCIAL

2do CUATRIMESTRE de 2013

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟐

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

SEDE: HORARIO: CORRECTOR ……………………………………………………………………...........

Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Calcular, si existe, el lím (√9𝑛 + 4.3𝑛 + 7 − 3𝑛 ). 𝑛→∞

(𝑥−4) ln(𝑥−3)

2. Hallar 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ de manera que la función 𝑓(𝑥 ) = {

𝑒 𝑥−4 −1

+ 7, 𝑥 > 4

𝑎𝑥 2 + 𝑏, 𝑥 ≤ 4

sea continua y

derivable en 𝑥 = 4. 3. Demostrar que 1 2 2 − ≤ 𝑒 −𝑥 (2𝑥 + 1) ≤ 1⁄4 𝑒 𝑒 vale para todo 𝑥 ∈ ℝ. 4. Sean 𝑃 = (1,3) y 𝑓(𝑥 ) = 3 + del punto 𝑃.

4

. Hallar el punto del gráfico de 𝑓 que está a distancia mínima

√𝑥−1

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1er PARCIAL

B ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28)

2do CUATRIMESTRE de 2013

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟏

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Calcular el valor de 𝑘 ∈ ℝ para que lím (√𝑛2 + 𝑘𝑛 − √𝑛2 + 3𝑛 − 2) = 5. 𝑛→∞

5 ln(3𝑥+𝑒 2 )−10

2. Sea 𝑓(𝑥 ) = {

𝑥

𝑎𝑥 +

15 𝑒

, 𝑥>0

.

2, 𝑥 ≤ 0

Demostrar que 𝑓 es continua en 𝑥0 = 0 para todo valor de 𝑎 ∈ ℝ y mediante el estudio del cociente incremental hallar 𝑎 ∈ ℝ para que 𝑓 sea derivable en 𝑥0 = 0. 3. Sea 𝑓(𝑥 ) = 2𝑒 −2𝑥 − 4𝑒 −3𝑥 . Hallar la imagen de 𝑓. 4. Para cada 𝑥 ∈ [4,25] considere el triángulo de vértices (𝑥, los vértices del de área máxima y del de área mínima.

1 √𝑥

), (𝑥, 0) y (5𝑥 + 36,0). Encontrar

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C ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28)

1er PARCIAL

2do CUATRIMESTRE de 2013

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟏

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

SEDE: HORARIO: CORRECTOR ……………………………………………………………………...........

Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Hallar todos los valores de 𝑎 ∈ ℝ para que lím (1 + 𝑛→∞

4𝑎 1+3√𝑛

)

𝑎√𝑛

= 𝑒 27 .

2 𝑒 6𝑥 −18𝑥−1

si 𝑥 ≠ 0 y 𝑥 ≠ 3 . Determinar si 𝑓 es continua en 𝑥 = 0 y en 𝑥 = 3. 6 si 𝑥=0 1 si 𝑥=3 Mediante el estudio del cociente incremental determinar si 𝑓 es derivable en 𝑥 = 0 y en 𝑥 = 3.

2. Sea 𝑓(𝑥 ) = {

𝑥 2 −3𝑥

3. Determinar cuántas soluciones tiene la ecuación 𝑥

ln(𝑥)+4 𝑥

5

= . 3

4. Sea 𝑓(𝑥 ) = 𝑒 −3 . Para cada valor de 𝑥 > 0 considere el triángulo de vértices 𝐴 = (𝑥, 𝑓(𝑥 )), 𝐵 = (0,0) y 𝐶 = (4𝑥, 0). Para cada valor de 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 > 0, para que el triángulo 𝐴𝐵𝐶 tenga área máxima.

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D ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28)

1er PARCIAL

2do CUATRIMESTRE de 2013

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟒

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2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Calcular, si existe, lím [7 𝑛√𝑛 + 𝑛→∞

12𝑥+sen2 (𝑥)

2. Sea 𝑓(𝑥 ) = {

(−1)𝑛+1

].

𝑛(√𝑛+9−√𝑛+4)

, 𝑥>0

. Hallar 𝑎 ∈ ℝ para que 𝑓 sea continua en 𝑥0 = 0 y mediante 5𝑥 + 𝑎, 𝑥 ≤ 0 el uso del cociente incremental decidir si existe𝑓 ′ (0).

3. Sea 𝑓(𝑥 ) =

𝑒 3𝑥 −1

𝑒 −10𝑥 𝑥3

. Hallar el dominio, las ecuaciones de las asíntotas, los intervalos de

crecimiento y de decrecimiento. Indicar los extremos locales y hacer un gráfico aproximado que refleje la información obtenida. 4. Sea 𝑓(𝑥 ) = 6√𝑥 y 𝑔(𝑥 ) = 5√𝑥 con 4 ≤ 𝑥 ≤ 14. Entre los rectángulos de vértices (0, 𝑓(𝑥 )), (0, 𝑔(𝑥 )), (18 − 𝑥, 𝑔(𝑥 )) y (18 − 𝑥, 𝑓(𝑥 )) hallar el de área máxima y el de área mínima.

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A ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28)

1er PARCIAL

1er CUATRIMESTRE de 2012

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟏

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Calcular, si existe, lím

12√𝑛

.

𝑛→∞ 𝑛√𝑛2 +3√𝑛−√𝑛4 +√𝑛

ln(𝑥 2 +1)

2. Hallar 𝑎 ∈ ℝ para que la función 𝑓 (𝑥 ) = {𝑥+4 sen(𝑥)

+ 5, 𝑥 ≠ 0

sea continua en 𝑥 = 0. Para el

𝑎, 𝑥 = 0 valor hallado, decidir mediante el estudio del cociente incremental si existe 𝑓 ′ (0). 3. Sea 𝑓(𝑥 ) = 6𝑒

√𝑥−6 𝑥

. Hallar el dominio y la imagen de 𝑓.

4. Hallar el valor máximo y el valor mínimo de 𝑓(𝑥 ) = 2𝑥 2 − 25 ln(𝑥 ) para 𝑥 ∈ [1, 𝑒].

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1er PARCIAL

B ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28)

1er CUATRIMESTRE de 2012

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟐

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

SEDE: HORARIO: CORRECTOR ……………………………………………………………………...........

Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Calcular, si existe, lím

𝑛→∞

4𝑛 −2𝑛 𝑛!

+

sen(4𝑛)+16𝑛2 4𝑛2

. 3

7

𝑥 2 (ln(𝑥 2 ) + √𝑥 2 − 2 ) , 𝑥 ≠ 0 𝑥 2. Hallar 𝑎 ∈ ℝ para que la función 𝑓 (𝑥 ) = { sea continua en 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 0 0. Para el valor hallado, decidir mediante el estudio del cociente incremental si existe 𝑓 ′ (0). 3. Sea 𝑓(𝑥 ) = (𝑥 2 − 4𝑥 − 4)𝑒 𝑥 . Hallar los valores de 𝑘 ∈ ℝ para que la ecuación 𝑓(𝑥 ) = 𝑘 tenga exactamente una solución. 4. Hallar el valor máximo y el valor mínimo de 𝑓(𝑥 ) =

5𝑥−12 𝑥 2 +1

en el intervalo [0,6].

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1er PARCIAL

C ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28)

1er CUATRIMESTRE de 2012

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟒

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Calcular, si existe, lím

52𝑛 −42𝑛+2 sen(𝑛)

𝑛→∞ 52𝑛+3 −32𝑛+1 cos(𝑛)

. 3 sen(𝑥−9)

2. Sea 𝑓: [0, +∞) → ℝ definida por 𝑓(𝑥 ) = {

√𝑥−3

, 𝑥≠9

𝑎, 𝑥 = 9

. Demostrar que existe 𝑎 ∈ ℝ tal

que 𝑓 resulta continua y derivable en 𝑥 = 9. 2

3. Sea 𝑓(𝑥 ) = (4𝑥 + 2)𝑒 −𝑥 −2 . Hallar todos los valores de 𝑘 ∈ ℝ para que la ecuación 𝑓(𝑥 ) = 𝑘 tenga exactamente una solución. 4. Encontrar el máximo valor de 𝑥 2 √5𝑥 + 𝑦 si 𝑥 e 𝑦 son reales positivos que cumplen 7𝑥 + 𝑦 = 20.

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E ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28)

1er PARCIAL

1er CUATRIMESTRE de 2012

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟏

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja. 1

1. Calcular, si existe,

√𝑛+6+7 √𝑛+6−√𝑛 ) lím ( . √𝑛+6 𝑛→∞ ln(3𝑥+1)−3𝑥

1

2. Sea 𝑓: (− , +∞) → ℝ definida por 𝑓 (𝑥 ) = { 3

ln(3𝑥+1)

, 𝑥≠0

. Mediante el estudio del

0, 𝑥 = 0

cociente incremental, calcular, si existe, 𝑓 ′ (0). 3. Sea 𝑓(𝑥 ) =

𝑒 (√𝑥−3−4) 𝑥−3

. Hallar el dominio y la imagen de 𝑓.

4. Sea 𝑓(𝑥 ) = 2√4 − 𝑥 2 . Hallar el dominio de 𝑓 y los puntos de la curva 𝑦 = 2√4 − 𝑥 2, 𝑥 ∈ Dom(𝑓 ), que se encuentran a distancia mínima y máxima del punto (3,0).

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ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28) 𝐑𝐄𝐂𝐔𝐏. |𝐃𝐈𝐅𝐄𝐑𝐈𝐃𝐎 1er PARCIAL 1er CUATRIMESTRE de 2012 𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟐 APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… INSCRIPTO EN: 1 2 3 4 NOTA SEDE: DÍAS: HORARIO: AULA: PROMOCIONA INSUFICIENTE FINAL: 20 de julio 10hs

CORRECTOR ……………………………………………………………………...........

Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

√36𝑛+1+√𝑛 ) 7√𝑛 𝑛→∞

1. Calcular, si existe, el lím (

4𝑛

. sen(3𝑥)−3𝑥

2. Hallar 𝑚 y 𝑏 ∈ ℝ para que la función 𝑓(𝑥 ) = {

𝑥2

, 𝑥>0

𝑚𝑥 + 𝑏, 𝑥 ≤ 0

3. Hallar todos los valores de 𝑘 ∈ ℝ tales que la ecuación 2

2−2 ln(𝑥) 𝑥 5

sea derivable en 𝑥 = 0.

= 𝑘 tenga dos soluciones. 1

4. Hallar los extremos absolutos de la función 𝑓(𝑥 ) = 𝑥 3 + 𝑥 3 en el intervalo [− , 1]. 8

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A ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28)

1er PARCIAL

2do CUATRIMESTRE de 2012

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟑

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja. 2

1. Calcular lím (𝑛 − √sen(𝑛) + 10𝑛 + 𝑛2 ) . 𝑛→∞

2

𝑒 9(𝑥−3) −1 𝑥−3

2. Sea 𝑓(𝑥 ) =

0

(𝑥−3)2 (2𝑥+3)

{ existe 𝑓 ′ (3).

sen(𝑥−3)

si 𝑥 < 3 si 𝑥 = 3. Decidir, mediante el estudio del cociente incremental, si si 𝑥 > 3

3. Encontrar todos los 𝑘 ∈ ℝ para los que la ecuación

6 ln(𝑥−1) (𝑥−1)2

= 𝑘 tiene exactamente dos

soluciones. 2 4. Hallar los puntos del gráfico de 𝑓(𝑥 ) = −3 + √𝑒 4−𝑥 + 2𝑥, con −1 ≤ 𝑥 ≤ 3, que estén a distancia máxima y mínima del punto (1; 3).

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B ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28)

1er PARCIAL

2do CUATRIMESTRE de 2012

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟒

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Se sabe que lím

𝑎𝑛

𝑛→∞ 𝑛

= 4. Calcular lím (

𝑎𝑛 +1 𝑛

) .

𝑛→∞ 𝑎𝑛 +3

2. Sea 𝑔: ℝ → (0, +∞) una función con derivada continua y tal que 𝑔(1) = 4 y 𝑔′ (1) = 6. Probar 2(√𝑔(𝑥)−2)

que 𝑓(𝑥 ) = {

3. Sea 𝑓(𝑥 ) =

, 𝑥 < 1 es continua en 𝑥 = 1. 4𝑥 − 1, 𝑥 ≥ 1

𝑥−1

3𝑥 2 −4𝑥+12 𝑥 2 +4

. Hallar la imagen de 𝑓.

4. Hallar el máximo absoluto y el mínimo absoluto de 𝑓 (𝑥 ) =

2 𝑒 −8𝑥 +6𝑥 3

𝑒 2𝑥

para 𝑥 ∈ [−1,1].

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B ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28)

1er PARCIAL

1er CUATRIMESTRE de 2011

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟐

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Sea (𝑎𝑛 )𝑛∈ℕ la sucesión 𝑎𝑛 = 2𝑛 − √4𝑛2 + 𝑏𝑛. Hallar todos los 𝑏 > 0 para los cuales lím 𝑎𝑛 ≥ −1. 𝑛→∞

𝑎𝑥+3 ln(𝑥)−𝑎

2. Sea 𝑓: (0, +∞) → ℝ la función dada por 𝑓(𝑥 ) = {

, 𝑥≠1

. Hallar 𝑎 ∈ ℝ para que 𝑓 5, 𝑥 = 1 sea continua en 𝑥 = 1. Para el valor hallado decidir, mediante el estudio del cociente incremental, si existe 𝑓 ′ (1). 𝑥−1

2𝑥+1

3. Sea 𝑓(𝑥 ) = √𝑥 2 . Calcular lím 𝑓(𝑥 ) y lím 𝑓(𝑥 ). Hallar todos los valores de 𝑘 ∈ ℝ para los +1

𝑥→+∞

𝑥→−∞

cuales 𝑓(𝑥 ) = 𝑘 tiene exactamente una solución. 4. Sea 𝑓(𝑥 ) = 48 − 𝑥 2 . Se considera el rectángulo de vértices (−𝑥, 0), (−𝑥, 𝑓(𝑥 )), (𝑥, 𝑓(𝑥 )) y (𝑥, 0) con 1 ≤ 𝑥 ≤ 6. Hallar los valores de 𝑥 para que el área del rectángulo sea máxima y mínima respectivamente.

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E ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28)

1er PARCIAL

1er CUATRIMESTRE de 2011

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟑

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2

3

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1. Dada la sucesión (𝑎𝑛 )𝑛∈ℕ definida recursivamente por 𝑎1 = 1 y 𝑎𝑛+1 = existe, lím

4 −4𝑎2 √9𝑎𝑛 𝑛

2 𝑛→∞ 5𝑎𝑛 +2𝑎𝑛

𝑛2 4𝑛−3

. 𝑎𝑛 , calcular , si

. ln(1+𝐴𝑥)

, 𝑥>0 4𝑥 2. Sea 𝑓: ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥 ) = { . Encontrar, mediante el estudio del 𝐴 𝑥 3 − 8𝑥 + , 𝑥 ≤ 0 4

cociente incremental, 𝐴 > 0 para que 𝑓 sea derivable en 𝑥0 = 0. 3. Hallar los extremos de 𝑓(𝑥 ) = 𝑒 −𝑥 (𝑥 2 + 2𝑥 − 23) y determinar su imagen. 4. Considere el rectángulo de base 𝑥 y área 2 para cada 1 ≤ 𝑥 ≤ 3. Determinar los valores de 𝑥 para que el rectángulo tenga la diagonal más corta y la más larga respectivamente.

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F ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28)

1er PARCIAL

1er CUATRIMESTRE de 2011

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟏

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2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Sea (𝑎𝑛 )𝑛∈ℕ una sucesión de términos positivos que satisface 3. 4𝑛 ≤ (2𝑎𝑛 + 3)𝑛 ≤ 4𝑛 .

𝑛2 +5 𝑛+1

.

Calcular el lím 𝑎𝑛 . 𝑛→∞

9𝑒 𝑥 −𝑒 2𝑥 −8

, 𝑥 ≠ 0. Determinar 𝑎 ∈ ℝ para que 𝑓(𝑥 ) sea 𝑎, 𝑥 = 0 continua en 𝑥0 = 0 y para el valor hallado, decidir, mediante el estudio del cociente incremental, si existe 𝑓 ′ (0).

2. Sea 𝑓: ℝ → ℝ dada por 𝑓 (𝑥 ) = {

3. Sea 𝑓(𝑥 ) =

5−𝑥 3 +𝑥 8 𝑥8

𝑥

. Hallar todos los valores de 𝑘 ∈ ℝ para los cuales la ecuación 𝑓 (𝑥 ) = 𝑘

tiene exactamente una solución. 4. Entere todos los números 𝑥, 𝑦 positivos que satisfacen 𝑥 + 𝑦 = 12 encontrar los que hacen máximo el producto 𝑥 2 𝑦.

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G ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28)

1er PARCIAL

1er CUATRIMESTRE de 2011

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟏

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2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Sea (𝑎𝑛 )𝑛∈ℕ una sucesión de términos positivos que satisface

𝑎𝑛+1 𝑎𝑛

=(

2𝑛

2𝑛

) . Calcular

2𝑛+𝑘+4

todos los valores de 𝑘 ∈ ℝ (𝑘 ≠ 0) para los que lím 𝑎𝑛 = +∞. 𝑛→∞

𝑒 (𝑥−2) −1

2. Sea 𝑓: ℝ → ℝ dada por 𝑓 (𝑥 ) = {

1

10

, 𝑥>2 . Decidir, mediante el estudio del (𝑥 − 2) + , 𝑥 ≤ 2 5(𝑥−2) 1 5

cociente incremental, si 𝑓 es derivable en 𝑥0 = 2. 3. Sea 𝑓(𝑥 ) =

9

√𝑥 . Calcular el dominio de 𝑓 4−𝑥

y el de 𝑓 ′ . Hallar todos los valores de 𝑟 ∈ ℝ para los

cuales la ecuación 𝑓(𝑥 ) = 𝑟 tiene exactamente 3 soluciones. 4. Sea 𝑓(𝑥 ) =

125 𝑥

. Para cada 𝑥 > 0, se considera el rectángulo de vértices (𝑥, 0), (𝑥, 𝑓(𝑥 )),

(−4𝑥, 𝑓(𝑥 )) y (−4𝑥, 0). Determinar el valor de 𝑥 para el cual el perímetro del rectángulo es mínimo.

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C ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28)

1er PARCIAL

2do CUATRIMESTRE de 2011

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟑

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2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

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2+cos(𝑛)

1. Calcular lím (1 + √36𝑛2 𝑛→∞

2. Sea 𝑓(𝑡 ) =

+5𝑛−𝑛

35𝑛+1 2+cos(𝑛)

)

.

𝑡−5

. Hallar la ecuación de la recta que es tangente al gráfico de 𝑓 y que además

𝑡−6

pasa por el punto (6,0). 3. Sea 𝑓(𝑥 ) = (5 − 𝑥 )𝑒 −5𝑥 − 4. Estudiar asíntotas, intervalos de crecimiento y de decrecimiento y máximos y mínimos locales de 𝑓(𝑥 ). 4. Hallar los valores máximo y mínimo que alcanza la función 𝑓(𝑥 ) = 𝑥 1⁄3 (𝑥 + 20) en [−8,8].

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A ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28)

1er PARCIAL

1er CUATRIMESTRE de 2010

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟏

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja. 2

1. Dada la sucesión 𝑎𝑛 =

(√2𝑛+𝑛) −𝑛2 𝑛−3𝑛𝑝⁄3

. Hallar los valores de 𝑝 ∈ ℝ para que exista el límite de 𝑎𝑛

y sea finito. ln(4𝑥−3)

2. Sea 𝑓(𝑥 ) = {

, 𝑥>1

. 𝑘, 𝑥 ≤ 1 Hallar 𝑘 ∈ ℝ para que 𝑓 sea continua en 𝑥 = 1 y, para el valor hallado, analizar, mediante el estudio del cociente incremental, si 𝑓 es derivable en 𝑥 = 1. 𝑥−1

3. Sea 𝑓(𝑥 ) = 𝑥 − 3(𝑥 − 5)2⁄3 . Hallar el dominio de 𝑓 y de 𝑓 ′ . Hallar todos los valores de 𝑘 ∈ ℝ para los cuales la ecuación 𝑓(𝑥 ) = 𝑘 tiene exactamente 3 soluciones. 4. Sea 𝑓(𝑥 ) =

4 𝑥+4

1

− . Para cada 𝑥 ∈ (0,32), se considera el triángulo de vértices (0,0), (𝑥, 0) y 9

(𝑥, 𝑓 (𝑥 )). Determinar el valor de 𝑥 para el cual el área es máxima y calcular el valor de dicha área.

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B ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28)

1er PARCIAL

1er CUATRIMESTRE de 2010

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟏

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2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

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1. Sea 𝑎𝑛 =

12𝑛 (𝑛+1)𝑛 5𝑛 𝑛!

+ 2 y sea 𝑓: ℝ → ℝ una función tal que 1 ≤ 𝑓 (𝑥 ) ≤ 3 para todo 𝑥 ∈ ℝ.

Consideramos la sucesión 𝑏𝑛 =

𝑓(𝑎𝑛 ) 𝑎𝑛

+ 4, calcular lím 𝑏𝑛 . 𝑛→∞

3 − 𝑎𝑥 2 , 1 ≤ 𝑥 2. Hallar el valor de 𝑎 ∈ ℝ para que la función 𝑓 (𝑥 ) = { sea continua y 2 , 0 0 . 𝑥 3 + 3𝑏𝑥, 𝑥 ≤ 0 Mediante el estudio de los cocientes incrementales, hallar los valores de 𝑎 y 𝑏 para que la recta tangente al gráfico de 𝑓(𝑥 ) en 𝑥 = 0 tenga pendiente 6.

2. Sea 𝑓(𝑥 ) = {

3. Sea 𝑓(𝑥 ) =

𝑒 −3𝑥 17𝑥 4

. Hallar los valores de 𝑘 ∈ ℝ para los que la ecuación 𝑓(𝑥 ) = 𝑘 tiene

exactamente tres soluciones. 4. Sea 𝑓(𝑥 ) = 2√−𝑥 + 4 con 0 < 𝑥 < 4. De entre los rectángulos de lados paralelos a los ejes y que tienen a los puntos (0,0) y (𝑥0 , 𝑓(𝑥0 )) como dos de sus vértices, hallar el de perímetro máximo.

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D ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28)

1er PARCIAL

2do CUATRIMESTRE de 2010

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟑

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2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

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1. Sea 𝑎𝑛 =

√5𝑛+6𝑛4 +𝑏𝑛 . 1+𝑛4 +𝑏𝑛+4

Calcular lím 𝑎𝑛 para 0 < 𝑏 < 1 y calcular lím 𝑎𝑛 para cada 𝑏 > 1. 𝑛→∞

𝑛→∞

𝑎𝑥

+ 4, 𝑥 < 0 2. Sea 𝑓(𝑥 ) = {1+𝑒 1⁄𝑥 . Mediante el estudio del cociente incremental, determinar el 7𝑥 + 4, 𝑥 ≥ 0 valor de 𝑎 ∈ ℝ para que 𝑓 (𝑥 ) sea derivable en 𝑥 = 0. 3. Sea 𝑓(𝑥 ) = (𝑥 2 − 48)𝑒 −𝑥 4. Sea 𝑓(𝑥 ) =

𝑥−3

2 +54

. Calcular la imagen 𝑓(𝑥 ).

. Para cada 𝑥 > √12 se construye el triángulo rectángulo de vértices (3,0),

𝑥 2 −12

(𝑥, 0) y (𝑥, 𝑓 (𝑥 )). Encontrar los vértices del triángulo de área mínima.

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A ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28)

1er PARCIAL

1er CUATRIMESTRE de 2009

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟐

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2

3

4

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9𝑛

3𝑛

𝑛

5𝑛

1. Calcular lím √ 𝑛→∞

2 +

ln(5𝑥−24)

2. Sea 𝑓(𝑥 ) = {

+2−

3𝑛 𝑛

.

, 𝑥>5

. 𝑎 (2 − 𝑥 )2 , 𝑥 ≤ 5 Hallar 𝑎 ∈ ℝ para que 𝑓(𝑥 ) sea continua en 𝑥 = 5. Mediante el estudio de los cocientes incrementales, decidir si 𝑓(𝑥 ) es derivable en 𝑥 = 5. 𝑥−5

3. Encontrar todos los 𝑛 ∈ ℕ para los cuales la ecuación 3𝑥 𝑛 ln(𝑥 ) +

1 7𝑒

= 0, con 𝑥 > 0 tiene

exactamente dos soluciones. 6

4. Dados 𝑓 (𝑥 ) = y 𝑔(𝑥 ) = 𝑥 − 5. Determinar el valor de 𝑎, con 0 < 𝑎 ≤ 6, de forma tal que el 𝑥

rectángulo de vértices (𝑎, 𝑓 (𝑎)), (𝑎, 𝑔(𝑎 )), (0, 𝑔(𝑎 )) y (0, 𝑓(𝑎)) tenga área máxima.

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B ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28)

1er PARCIAL

1er CUATRIMESTRE de 2009

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟐

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2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

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1. Hallar 𝑎 y 𝑏 ∈ ℝ, para que lím (

𝑎𝑛2 +𝑏

4𝑛2 +13

)

𝑛→∞ 8𝑛2 +21

= 𝑒 −4 .

−3+𝑥+√cos(𝑥−2)

, 𝑥 ≠ 2. 1, 𝑥 = 2 Mediante el estudio del cociente incremental, calcular, si existe, 𝑓 ′ (2).

2. Sea 𝑓: [1,3] → ℝ dada por 𝑓(𝑥 ) = {

𝑥−2

3. Hallar todos los valores de 𝑘 ∈ ℝ para los cuales la ecuación

𝑥 2 −4𝑥+4 𝑒 𝑥−2

= 𝑘 tiene solución única.

4. Hallar dos números reales positivos 𝑥 e 𝑦, menores de 1, tales que su suma sea igual a 1 y tal 9

1

𝑥

𝑦

que + sea mínimo.

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E ANÁLISIS (ING. Y EX.) (28)

1er PARCIAL

1er CUATRIMESTRE de 2009

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟐

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2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

1. Sea 𝑎𝑛 = (

𝑘𝑛+2

𝑛

) . Si 0 < 𝑘 < 4, calcular lím 𝑎𝑛 .

3𝑛+√𝑛2 +2

𝑛→∞

ln(−𝑥) + 𝑎 si 𝑥 0 para que 𝑓(𝑥 ) sea continua en 𝑥 = 0 y mediante el estudio del cociente incremental encontrar decidir si existe 𝑓 ′ (0). 3. Calcular el dominio y la imagen de 𝑓(𝑥 ) = √𝑥 + 1 − 2 ln(𝑥 + 1). 3

4. Encontrar todos los 𝑘 ∈ ℝ tales que la ecuación

𝑒𝑥

𝑒 12𝑥

= 𝑘 tienen exactamente 3 soluciones.

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Y ANÁLISIS MATEMÁTICO 1er PARCIAL

1er CUATRIMESTRE de 1995

𝐓𝐄𝐌𝐀 𝟑

APELLIDO ……………………………………………. NOMBRES ……………………………………………. DNI ………………………………… 1

2

3

4

NOTA SEDE: HORARIO:

INSCRIPTO EN: DÍAS: AULA:

CORRECTOR ……………………………………………………………………........... Los razonamientos usados para la resolución de los problemas deben figurar en la hoja.

−5, 𝑥 ≠ −2 1. Sea 𝑓: ℝ → ℝ definida por 𝑓(𝑥 ) = { . 0, 𝑥 = −2 3𝑛 Calcula lím 𝑏𝑛 siendo 𝑏𝑛 = 𝑓(𝑎𝑛 ) y 𝑎𝑛 = 3 − 2. 2𝑛 +1

𝑛→∞

¿Se verifica lím 𝑓(𝑎𝑛 ) = 𝑓 ( lím 𝑎𝑛 )? ¿Por qué? 𝑛→∞

𝑛→∞

2. Sea 𝑓: ℝ − [0,1] → ℝ definida como 𝑓 (𝑥 ) = ln(𝑥 2 − 𝑥 ) + 4. Hallar todos los puntos (𝑝, 𝑓(𝑝)) de su gráfica en los cuales la recta tangente tiene pendiente 3

− . 2

2

, 𝑥≠0 3. Considerar la función 𝑓(𝑥 ) = {1+𝑒 3⁄𝑥 . 𝑎, 𝑥 = 0 a) Calcular, si existe, el valor de 𝑎 para que 𝑓 sea continua en 𝑥 = 0. b) JUSTIFICAR. 4. Se debe construir una canaleta horizontal con una plancha metálica de 16 cm de ancho y 3 m de largo, doblando verticalmente hacia arriba partes iguales de ambos costados. ¿Cuántos cm deben doblarse de cada lado para que la capacidad de la canaleta sea máxima?