10. Guía de Profundización No 2 - Funciones Circulares - II Periodo

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GUÍA DE APRENDIZAJE No. 2

ÁREA DE MATEMÁTICAS – GRADO DÉCIMO Colegios Nombre del Estudiante:

Curso: 10º

Asignatura: Profundización Matemáticas

Período: II

Tema: Funciones Circulares

DD

MM

AA 2012

Administrador de Programa:  Giovanny J. García Moreno

TIEMPO (TIME): 6 UNIDADES RECURSOS (RESOURCES): Guía de Aprendizaje, Bibliografía sugerida, cuaderno de Profundización, calculadora científica. OBJETIVO (OBJECTIVE). Que el estudiante logre: Desarrollar habilidades superiores de pensamiento como el análisis, la síntesis, la abstracción y la transferencia a través de la elaboración de ejercicios de alto grado de dificultad y del planteamiento y la resolución de problemas no rutinarios. ESTRATEGIA DE APRENDIZAJE (LEARNING STRATEGY): El desarrollo de los procesos de aprendizaje mediante el planteamiento y la resolución de problemas aplicados a la matemática y a otras ciencias. INDICADORES DE DESEMPEÑO COMPETENCIA: INDICADOR DE DESEMPEÑO

DESEMPEÑOS 

201. Profundización en Matemáticas: Resuelve problemas de aplicación en diversos contextos, utilizando las funciones trigonométricas y sus características desde el análisis de su representación grafica y relación con el círculo trigonométrico.

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Interpreta correctamente el enunciado de un problema, elaborando una lista de datos e identificando claramente la(s) pregunta (s) Planteada (s). Elabora e interpreta gráficas de funciones trigonométricas incluyendo trasformaciones que tienen que ver con amplitud, desfase, periodo y desplazamiento vertical. Plantea y resuelve las ecuaciones inherentes a la situación problémica dada. Verifica la(s) respuesta(s) contrastándola(s) con las condiciones iniciales del problema.

1. INDUCCIÓN (INDUCTION) En este periodo hemos avanzado en el estudio de las funciones trigonométricas, analizando sus graficas desde la descripción de las características metamatemáticas de cada una y hemos explorado algunos contextos de aplicación. Con los retos propuestos en esta guía, esperamos los asumas con total decisión de llevarlos a buen término desde un proceso consiente de aprendizaje, pues para la solución de cada uno de ellos deberás hacer un uso recursivo de los conceptos trabajados. 1.1 ACTIVACIÓN DE SABERES PREVIOS (PREVIOUS KNOWLEDGE) (60 minutos) Contesta las siguientes preguntas y efectúa las indicaciones dadas. 1.1.1 1.1.2

Todo número complejo es real. ¿Por qué? ¿A qué se llama ángulo central, inscrito y semi-inscrito en una circunferencia?

Aprobado por: Coordinador de Área

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1.1.3 1.1.4 1.1.5 1.1.6 1.1.7

¿Que es una relación matemática? ¿A qué se llama dominio y rango de una relación? Escribe un ejemplo de una relación. ¿Qué es una función? Escribe un ejemplo. ¿Qué es una identidad? Escribe un ejemplo. ¿A qué se llama una ecuación? ¿En qué consiste resolver una ecuación? ¿Qué tipos de ecuaciones conoces? Con la ayuda de tu profesor y compañeros completa la siguiente tabla. y=senx

y=cosx

y=tanx

y=cotx

y=secx

Y=cscx

Dominio

Asíntotas Verticales

Rango

Intersecciones en X

Intersecciones en Y

Periodo

Par o Impar

Simetría

1.2 Meta de aprendizaje (learning goal) (15 minutos) De acuerdo con los indicadores de desempeño y los aprendizajes esperados, escribe en términos claros y sencillos, tu propia meta de aprendizaje. Ten en cuenta que sea alcanzable, la estrategia, el tiempo dedicado, el manejo de información y las ayudas a utilizar para que realmente puedas llevar a cabo la meta propuesta. 1.3 Información. (20 minutos) El docente realiza la explicación del tema: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE NÚMEROS REALES: El dominio de cada función trigonométrica que hemos analizado es un conjunto de ángulos. En cálculo y en muchas aplicaciones, los dominios de las funciones constan de números reales. Para considerar el dominio de una función trigonométrica como un subconjunto de R, podemos aplicar la siguiente definición:

Definición de las funciones trigonométricas de números reales.

Aprobado por: Coordinador de Área

El valor de una función trigonométrica de un numero real t es su valor en un ángulo de t radianes, en el supuesto de que ese valor existe.

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Con esta definición, una notación como sen 2 puede interpretarse como el seno del número real 2 o como el seno de un ángulo de 2 radianes. Si se usan grados, escribimos sen 2°. Así pues, Sen 2 ≠ sen 2°. Para hallar los valores de funciones trigonométricas de números reales con una calculadora, usamos el modo en radianes. Podemos interpretar las funciones trigonométricas de números reales geométricamente usando una circunferencia unitaria U; es decir, una circunferencia de radio 1, con centro en el origen O de un plano coordenado rectangular. La 2 2 circunferencia U es la grafica de la ecuación x + y = 1. Sea t un número real tal que 0 < t < 2π, y denotemos con Ѳ el ángulo (en posición estándar) de t radianes. Una posibilidad se ilustra en la figura 1, en donde P(x,y) es el punto de intersección del lado terminal de  y la circunferencia unitaria U, en donde s es la longitud del arco circular de A(1,0) a P(x,y). Dada la fórmulas = r  para la longitud de un arco de circunferencia, con  = t y r = 1, vemos que s = r  = 1(t) = t.

Figura 1 Por tanto, t se puede tomar como la medida en radianes del ángulo  o como la longitud del arco circular AP en U. Ahora tomemos cualquier número real t que no sea negativo. Si consideramos el ángulo Ѳ de t en radianes como producido al girar el segmento OA alrededor de O en sentido contrario de las manecillas del reloj, t es la distancia a lo largo de U que A recorre antes de llegar a su posición final P(x,y). En la figura 2 hemos ilustrado un caso para t 2π, entonces A puede viajar alrededor de U varias veces en sentido contrario a las manecillas del reloj antes de llegar a P(x,y). Figura 2 Si t0, entonces el periodo de F es 2π/b. En esta aplicación el periodo es de 5 segundos y, por lo tanto 2 2 5,o b  b 5 2 Puesto que el volumen máximo corresponde a la amplitud a de F, hacemos a= 0.6. Esto nos da la fórmula F(t) = sen t 5 Ejemplo B. Calcular el número de horas de luz solar en un día. Es posible estimar el número de horas de luz solar D(t) K  2  en una época especifica del año mediante la siguiente ecuación D( t )  sen  ( t  79)  12 para t en días y t = 0 2 365   correspondiente al 1 de enero. La constante k determina la variación total en duración del día y depende de la latitud del lugar. (a) Para Boston, K≈ 6. Traza la grafica de D para 0 ≤ t ≤ 365. (b) ¿Cuál es el día más largo y cuál es el más corto? Solución: (a) Si K = 6, entonces K/2 = 3, y se puede escribir D(t) en la forma D(t) = f(t) + 12  2  Donde f(t) = 3sen  ( t  79)  365  Trazamos la grafica de f y luego aplicamos el desplazamiento vertical a lo largo de una distancia de 12. Se puede obtener un intervalo t que contenga exactamente un ciclo al resolver la siguiente desigualdad: 2 0 ( t  79)  2 365 365 0  t  79  365 Multiplicar por 2 79  t  444 Sumar 79 Así pues, hay una onda senoidal en el intervalo [79, 444]. Este intervalo se divide en cuatro partes iguales y se obtiene la siguiente tabla de valores, que indica la conocida onda senoidal de amplitud 3.

Si t = 0.

 2  f(0 )=3 sen  (9)  3sen (1.36)  2.9 365   Dado que el periodo de f es 365, esto implica que f(365)  -2.9. En la figura 4 aparece la gráfica de f para el intervalo [0, 444], con escalas diferentes en los ejes y t redondeada al día más cercano. La aplicación de un desplazamiento vertical de 12 unidades proporciona la gráfica de D para 0  t  365 que se ilustra en la figura 4.

(b) El día más largo; esto es, el valor máximo de D(t) se presenta 170 días después del 1 de enero; exceptuando un año bisiesto, esto corresponde al 20 de junio. El día más corto ocurre 353 días después del 1 de enero, o sea el 20 de diciembre. Aprobado por: Coordinador de Área

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Resuelvan los siguientes ejercicios, acordando una estrategia de solución, luego coparen resultados e identifiquen errores procedimentales y/o conceptuales: 1. Hallen la amplitud, el periodo y tracen la gráfica de la ecuación: (a) y = sen

1 x 4

(b) y =

1 sen 4x 2

(c) y = 2 cos

1 x 3

(d) y =

1 cos 3x 2

2. En los siguientes ejercicios encuentren la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase y tracen la grafica de la ecuación. (a) y =

  3sen x   6 

  4 cos x   4    (d) y = 5sen 3x   2  (b) y =

(c) y = -2 sen (3x - π) (d) y = 5 cos (2x + 2 π)

3. Para cada una de las siguientes graficas: (a) Encuentren la amplitud, el periodo y el desplazamiento de fase. (b) Escriban la ecuación en la forma y = a sen (bx = c) para a >0, b > 0 y el mínimo número real positivo.

4. Electroencefalografía. En la figura se muestra un electroencefalograma de un cerebro humano durante un sueño profundo. Si se usa la expresión w = a sen (bt + c) para representar estas ondas, ¿cuál es el valor de b?

5. Intensidad de la luz diurna. En determinado día de primavera con 12 horas de luz diurna, la intensidad lumi2 nosa I alcanza su máximo valor de 510 calorías /cm al mediodía. Si t =0 corresponde a la salida del sol, hallen la fórmula I = a sen bt que se ajusta a esa información. 6. Funcionamiento del corazón. El bombeo cardiaco consta de una fase sistólica, en la cual la sangre sale del ventrículo izquierdo hacia la aorta, y de una fase diastólica, durante la que el corazón se relaja. En ocasiones, la función cuya gráfica se muestra a continuación sirve para hacer un modelo de un ciclo completo de este proceso. Para un individuo en particular, la fase sistólica dura

1 de segundo y 4

tiene un volumen máximo de 8 litros por minuto. Hallen a y b. Aprobado por: Coordinador de Área

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7. Componentes de las mareas. La altura de la marea, en un lugar en particular de una playa, se puede predecir si se usan siete funciones trigonométricas (llamadas componentes de mareas) de la forma f(t) = a cos   11   t,  , en donde t es en horas y t = 0 corresponde a la medianoche. Tracen la gráfica de f si a = 0.5 m.  6 12  8. Temperatura mínima en Fairbanks. Con base en datos de años respecto a las condiciones atmosféricas, la mínima temperatura T (en °F) esperada en Fairbanks, Alaska, se puede calcular con T = 36 sen  2   365 ( t  101)  14 , en donde t esta en días y t = 0 corresponde al 1 de enero.   (a) Tracen la grafica de T para 0 ≤ t ≤ 365. (b) Predigan cuál será el día más frio del año. 4. EVALUACIÓN (EVALUATION)(20 minutos) Durante el desarrollo de esta guía hemos estado haciendo un monitoreo personal y grupal del desempeño en cada uno de los ejercicios propuestos, también hemos estado identificando errores, para aprender de ellos y no seguir cometiéndolos de manera sistemática. Como finalización de este proceso escribe 5 aprendizajes logrados respecto del indicador de aprendizaje propuesto. Recuerda: cada error identificado y corregido es un aprendizaje logrado. Aprendizajes logrados: 1. __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ 2. __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ 3. __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ 4. __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ 5. __________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________ BIBLIOGRAFÍA (BIBLIOGRAPHY)    

CONTRERAS. LIZCANO. Logros matemáticos. McGraw-Hill. 1997. BÁEZ, Andrés D. Espiral 10. Norma. 2006. AUTORES VARIOS. Matemática 5. Colegio Cafam. 1992. SWOKOWSKI, Earl W. Álgebra y trigonometría con geometría analítica. Thomson. 11ªed. 2006.

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