09_Aula 9 - Sistemas de Segunda Ordem

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SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM: ANÁLISE DA RESPOSTA TRANSITÓRIA NO DOMÍNIO DO TEMPO Engenharia Elétrica Prof. Reinaldo Squillante Júnior [email protected]

Objetivos

Controle de Sistemas Dinâmicos

1. Introduzir sistemas de segunda ordem 2. Exemplo de um sistema mecânico de 2ª ordem

3. Análise dos polos de sistemas de 2ª ordem 4. Especificações no transitório para sistemas de 2ª ordem 5. Exercício de aplicação

1. SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM

Controle de Sistemas Dinâmicos

Um sistema é dito ser de segunda ordem quando o grau do denominador da função de transferência do sistema for igual a 2. Seja a equação diferencial deste sistema a.y’’(t) + b.y’(t) + c.y(t) = k.e(t) A Transformada de Laplace (TL) desta equação é: a.[s2.Y(s) – s.y(0) – y’(0)] + b.[s.Y(s) – y(0)] + c.Y(s) = k.E(s) Donde:

Y=

k a.s2+bs+c

.E(s) +

as +b a.s2+bs+c

. y(0) +

a a.s2+bs+c

.y’(0)

1. SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM

Controle de Sistemas Dinâmicos

Assim, a função de transferência do sistema é dada por: G(s) =

k a.s2+bs+c

(1.1)

A equação 1.1 pode ser escrita da seguinte forma:

G(s) =

wn2 s2+2ξwns+wn2

(1.2)

Onde:

wn: frequência de oscilação natural do sistema ξ : coeficiente de amortecimento

2. EXEMPLO DE UM SISTEMA MECÂNICO DE 2ª ORDEM Controle de Sistemas

Dinâmicos

Exemplo: Seja o sistema de translação como mostrado na Figura 1.1 onde a massa do corpo é M = 1 kg, o coeficiente de atrito é D = 8 N.s/m e a constante da mola é k = 1/16 m/N. Considerando as condições iniciais nulas, obter como resposta, o deslocamento da carga (x) tendo como excitação a força externa (F) para os seguintes valores: a) Impulso unitário b) Degrau unitário c) Rampa unitária Figura 1.1 – Sistema massa-mola-amortecedor

2. EXEMPLO DE UM SISTEMA MECÂNICO DE 2ª ORDEM Controle de Sistemas

Dinâmicos

Solução: Aplicando as leis de Newton para o sistema, obtêmse a seguinte equação diferencial: M.(d2x/dt2) + D.(dx/dt) + k.x = f(t) cuja TL considerando C.I. nulas obtém-se: M.s2.X(s) + D.s.X(s) + k.X(s) = F(s) Substituindo os valores, a função de transferência do sistema é dada por: 1 X(s) = G(s) = F(s) s2+8s+16

2. EXEMPLO DE UM SISTEMA MECÂNICO DE 2ª ORDEM Controle de Sistemas

Dinâmicos

a) Entrada impulso unitário: f(t) = δ(t)  F(s) = 1 X(s) =

1 s2+8s+16

Cuja antitransformada de Laplace fica x(t) = t.e-4t para t≥0 Que é mostrado na Figura 1.2:

Figura 1.2 – Gráfico da resposta do sistema de 2ª ordem para sinal de entrada impulso unitário

2. EXEMPLO DE UM SISTEMA MECÂNICO DE 2ª ORDEM Controle de Sistemas

Dinâmicos

b) Entrada degrau unitário: f(t) = 1.H(t)  F(s) = 1/s

X(s) =

1 s.(s2+8s+16)

cuja antitransformada de Laplace fica x(t) = (1/16 – ¼.t.e-4t – 1/16.e-4t) para t≥0 Que é mostrado na Figura 1.3:

Figura 1.3 – Gráfico da resposta do sistema de 2ª ordem para sinal de entrada degrau unitário

2. EXEMPLO DE UM SISTEMA MECÂNICO DE 2ª ORDEM Controle de Sistemas

Dinâmicos

c) Entrada rampa unitária: f(t) = 1.t.H(t)  F(s) = 1/s2

X(s) =

1

s2.(s2+8s+16)

cuja antitransformada de Laplace fica x(t) = (1/16.t – 1/32 + 1/16.t.e-4t+ 1/32.e-4t) para t≥0 Que é mostrado na Figura 1.4:

Figura 1.4 – Gráfico da resposta do sistema de 2ª ordem para sinal de entrada rampa unitária

3. PÓLOS DE SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM

Controle de Sistemas Dinâmicos

Considerando que a função de transferência do sistema de 2ª ordem é dada por:

G(s) =

wn2

s2+2ξwns+wn2

Os polos de G(s) : s2+2ξwns+wn2 =0 s = -ξwn ± wn.√ (ξ2-1)

3. PÓLOS DE SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM

Controle de Sistemas Dinâmicos

Existem três casos possíveis: 1º Caso) Os polos são complexos e conjugados: ξ2-1 < 0  ξ2 < 1  ξ < 1  0 < ξ < 1

Definindo-se wd = wn.√(1- ξ2), onde: wd  frequência natural amortecida do sistema Portanto, os polos são iguais a: -ξwn ± wn.√ (-1)(1- ξ2) = -ξwn ± j.wn .√ (1- ξ2)  s1,2 = -σ ± j.wd

3. PÓLOS DE SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM

Controle de Sistemas Dinâmicos

s1,2 = -σ ± j.wd

Neste caso o sistema é dito ser “subamortecido” e apresenta a seguinte curva típica.

3. PÓLOS DE SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM

Controle de Sistemas Dinâmicos

2º Caso) Os polos são reais e iguais: ξ2-1 = 0  ξ2 = 1  ξ = 1

Portanto, os polos do sistema são: s1,2 = -σ

Neste caso, o sistema é denominado de “criticamente amortecido”. A curva típica deste sistema é:

3. PÓLOS DE SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM

Controle de Sistemas Dinâmicos

3º Caso) Os polos são reais e diferentes entre si: ξ2-1 > 0  ξ2 > 1  ξ > 1

Neste caso, o sistema é denominado de “sobreamortecido”. A curva típica deste sistema é:

3. PÓLOS DE SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM

Controle de Sistemas Dinâmicos

3º Caso) Os polos são reais e diferentes entre si: ξ2-1 > 0  ξ2 > 1  ξ > 1

Os polos serão: s1 = -ξwn + wn.√ (ξ2-1)

e s2 = -ξwn - wn.√ (ξ2-1)

3. PÓLOS DE SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM

Resumo

Controle de Sistemas Dinâmicos

4. ESPECIFICAÇÕES NO TRANSITÓRIO PARA SISTEMAS DE 2ª ORDEM

Controle de Sistemas Dinâmicos

Função de transferência normalizada:

G(s) =

wn2 s2+2.ξ.wn.s+wn2

4. ESPECIFICAÇÕES NO TRANSITÓRIO PARA SISTEMAS DE 2ª ORDEM

Controle de Sistemas Dinâmicos

Parâmetros: Valor final (VF) – Valor para o qual tende, assimptoticamente a resposta. Este valor é na generalidade das situações de interesse prático, igual ao ganho estático do sistema. Tempo de subida (tr) – Tempo que a resposta leva entre a primeira vez que cruza um determinado limite inferior e a primeira vez que cruza um determinado limite superior. Estes limites são geralmente definidos em porcentagem do valor final. É vulgar usarem-se os tempos de subida 10% - 90%, 5% - 95% e 0 – 100%. Sobre-elevação (S) – Diferença entre o valor máximo e o valor final da resposta, geralmente medida como porcentagem ou fração do valor final. Tempo de pico (tp) – Tempo que a resposta leva para atingir o seu valor máximo.

4. ESPECIFICAÇÕES NO TRANSITÓRIO PARA SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM SEM ZEROS FINITOS

Controle de Sistemas Dinâmicos

Parâmetros: Frequência (wa ou fa) e período (Ta) das oscilações amortecidas – Frequências (angular ou linear) e período das oscilações amortecidas que a resposta apresenta em torno do valor final. Estes parâmetros só se definem no caso dessas oscilações existirem e serem periódicas aparte o amortecimento da amplitude. Tempo de estabilização (ts) – Tempo ao fim do qual a resposta se encontra definitivamente dentro de determinada margem em torno do valor final. É habitual definir-se a largura dessa margem em porcentagem do valor final, e é frequente a utilização duma margem de ±5%. Este tempo indica-se frequentemente na forma ts (±5%).

4. ESPECIFICAÇÕES NO TRANSITÓRIO PARA SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM SEM ZEROS FINITOS

Controle de Sistemas Dinâmicos

Caso subamortecido ( ξ < 1): a) Tempo de subida (tr)

tr = (1 / wd). tg-1( - wd/ξ.wn) = (1 / wd). tg-1( - √(1-ξ2) / ξ) tr (10%-90%) ≈ (0,8 + 2,5.ξ) / wn b) Tempo de estabilização (ts) PRECISÃO

Ts

1%

5.Ʈ

2%

4.Ʈ

5%

3.Ʈ

Ʈ 1 / (ξ.wn)

4. ESPECIFICAÇÕES NO TRANSITÓRIO PARA SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM SEM ZEROS FINITOS

Caso subamortecido ( ξ < 1): c) Tempo de pico (tp)

tp = π / wd b) Sobre-elevação (S)

S = e-ξ.π/√(1-ξ2)

Controle de Sistemas Dinâmicos

4. ESPECIFICAÇÕES NO TRANSITÓRIO PARA SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM SEM ZEROS FINITOS

Controle de Sistemas Dinâmicos

Caso criticamente amortecido ( ξ = 1):

Ʈ = 1 / ξ.wn = 1 / wn

5. EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO

Controle de Sistemas Dinâmicos

Calcular as especificações no transitório para o sistema descrito pela função de transferência ilustrada abaixo: 10 F(s) = 25s2+2s+1 Normalizando a função de transferência: 0,4 (10/25) F(s) = = 2 s2+ 0,08s + 0,04 s +(2/25)s+(1/25)

0,04 0,04 x = 10. 0,04 s2+ 0,08s + 0,04

5. EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO

Controle de Sistemas Dinâmicos

Função de transferência normalizada: F(s) = 10.

0,04 s2+ 0,08s + 0,04

wn2 = 0,04  wn = 0,2 2.ξ.wn = 0,08  ξ = 0,2, portanto o sistema é subamortecido a) Tempo de subida (tr) tr (10%-90%) ≈ (0,8 + 2,5.ξ) / wn ≈ (0,8 + 2.5.0,2) / 0,2 ≈ 6,5 s b) Tempo de estabilização (ts) PRECISÃO

Ts

1%

5.Ʈ = 5*25 = 125s

2%

4.Ʈ = 4*25 = 100s

5%

3.Ʈ = 3*25 = 75s

Ʈ

1 / (ξ.wn) = 1/(0,2*0,2) = 25s

5. EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO

Função de transferência normalizada: F(s) = 10.

Controle de Sistemas Dinâmicos

0,04 s2+ 0,08s + 0,04

wn2 = 0,04  wn = 0,2 2.ξ.wn = 0,08  ξ = 0,2, portanto o sistema é subamortecido c) Tempo de pico (tp) tp = π / wd = π / 0,196 = 16s d) Sobre-elevação (S)

S = e-ξ.π/√(1-ξ2) = 0,53