01 02 dominio funciones elementales

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 1

Domino – Funciones elementales

02

Para poder determinar si una relación es función o no, y además decidir si es inyectiva o sobreyectiva, es necesario conocer además de la relación, el conjunto de partida y el conjunto de llegada; por esta razón formalmente una función es una terna (𝑓; 𝐴; 𝐵), donde 𝑓 es el enunciado (en alguna de sus formas) de la relación, 𝐴 el conjunto de partida y 𝐵, el conjunto de llegada. Esta terna también se puede escribir con la expresión 𝑓: 𝐴 → 𝐵. Generalmente, no se explicita el conjunto de partida de una función y queda a cargo de quién la va a utilizar y para qué fin el determinarlo. Ejemplos: 1-

Consideremos la relación 𝑓(𝑥) = √𝑥; con esta información no se puede determinar si es función o no pues depende del conjunto de partida que se considere. Si 𝑓: ℝ → ℝ, no es función, en cambio 𝑓: ℂ → ℂ si lo es (si se considera la raíz principal); o si 𝑓: [0; +∞) → ℝ también es función

2-

Otro caso es cuando la relación corresponde a un contexto, como es el caso de las fórmulas de cinemática para posición o velocidad en función del tiempo, donde el dominio es [0; +∞), pues el tiempo es siempre no negativo.

Si no está explícito el conjunto de partida de una función, se considera el dominio natural o de definición, formado por el mayor subconjunto de números reales a los que se puede calcular la imagen utilizando la fórmula de la función, o el que establece el problema si surge de un planteo. Si la función está dada por una fórmula y no está contextualizada en un problema, solo se debe tener en cuenta qué tipo de operaciones y/o procedimientos plantea la misma y si restringen valores reales para la variable. Se puede confeccionar el siguiente cuadro: Operaciones/procedimientos e

Condición

Cálculo

Dominio

división

Denominador  0

Denominador = 0

ℝ-{solución}

Raíz de índice par

Radicando  0

Radicando  0

Solución

logaritmo

Argumento > 0

Argumento > 0

Solución

Exponente y base variable

Base > 0

Base > 0

Solución

1

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Domino – Funciones elementales

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ACTIVIDAD 1 Hallar el dominio de: 2𝑥−3

𝑎) 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 −2𝑥2 +𝑥−1 𝑏) 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 − 3𝑥 + 2 2𝑥 − 4 𝑐) 𝑓(𝑥) = log ( ) 𝑥+3 𝑑) 𝑓(𝑥) = (2 − 𝑥)3𝑥−1

FUNCIONES BÁSICAS O ELEMENTALES Al estudiar las fórmulas de las funciones numéricas de una variable real, se puede distinguir algunas expresiones básicas a partir de las cuales, a través de operaciones, se construyen nuevas. Un polinomio se construye a partir de multiplicar por constantes y sumar expresiones del tipo 𝑥 𝑛 , 𝑛 ∈ ℕ. ACTIVIDAD 2 Utilizando un graficador, estudiar las características de los gráficos 𝑎) 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 𝑛 𝑏) 𝑓(𝑥) = √𝑥 𝑐) 𝑓(𝑥) =

1 𝑥𝑛

para distintos valores de 𝑛 ∈ ℕ

La función constante es aquella que asigna el mismo valor numérico para cualquier valor de la variable: 𝑓(𝑥) = 𝑘 Si 𝑘 = 0, se llama función nula. Las funciones estudiadas en la actividad anterior son casos particulares de las llamadas funciones potenciales, que son de la forma: 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑎 , 𝑎 ∈ ℝ

2

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Domino – Funciones elementales

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Su fórmula es una potencia con base variable y exponente constante.1 Al no conocer específicamente el valor del parámetro 𝑎, en su forma general este tipo de funciones sólo están definidas para números positivos y sus gráficos varían según si dicho exponente es negativo, está entre 0 y 1 o es mayor que 1.

Si en una potencia se considera variable el exponente y constante la base, se tiene la función exponencial. Para no tener inconvenientes al calcular las imágenes, se considera que la base sea positiva; además debe ser distinta de 1, pues si es 1 sería una función constante. Su fórmula general es: 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 , 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1 ACTIVIDAD 3 Utilizando un graficador, estudiar las características del gráficos de : 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 , 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1 3

1

1

2

para los valores 𝑎 = 2, 𝑎 = 3, 𝑎 = 2 , 𝑎 = 2 , 𝑎 = 3 , 𝑎 = 3

La función logarítmica de base 𝑎es la que a cada valor de la variable 𝑥 le asigna el exponente al que hay que elevar la base para obtener ese valor 𝑥. Esta transformación se indica como: 𝑓(𝑥) = log 𝑎 𝑥 , 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1 ACTIVIDAD 4 a)

¿Cuál es el dominio de 𝑓?

1

Las constantes que aparecen en las fórmulas se denominan parámetro. Cada valor del parámetro determina una nueva función

3

ANÁLISIS MATEMÁTICO 1 b)

3

Domino – Funciones elementales 1

1

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2

Realizar la gráfica para 𝑎 = 2, 𝑎 = 3, 𝑎 = 2 , 𝑎 = 2 , 𝑎 = 3 , 𝑎 = 3 utilizando un graficador

Una de las relaciones de mayor uso en distintos contextos es la de un ángulo y cada una de sus razones trigonométricas. En este caso, en principio, la variable independiente es un ángulo que es un objeto geométrico2, para poder estudiarla es que se representa el ángulo por su medida. Los ángulos se pueden medir en distintos sistemas y como la razón trigonométrica transforma el ángulo en un número real, para que los sistemas de medición de ambas variables sea el mismo y se puedan comparar se utiliza el sistema circular que a cada ángulo le asigna la razón entre la longitud del arco que determina en una circunferencia y el radio de la misma, en sentido antihorario; y el opuesto de esta razón, en sentido horario. La función sin(𝑥) transforma el número 𝑥 en la ordenada del punto final del arco de la circunferencia unitaria3 que inicia en (1; 0) y mide 𝑥. La funcióncos(𝑥) transforma el número 𝑥 en la abscisa del punto final del arco de la circunferencia unitaria que inicia en (1; 0) y mide 𝑥

ACTIVIDAD 5 1-

Realizar, utilizando un graficador, el gráfico de 𝑦 = sin(𝑥) y de 𝑦 = cos(𝑥) y completar la tabla 𝝅 𝟑 Dominio 𝒇 𝒇(𝟎) 𝒇( ) 𝒇(𝝅) 𝒇(𝟐𝝅) 𝒇 ( 𝝅) 𝟐 𝟐 sin(𝑥) cos(𝑥) a) ¿Cuál es la imagen de cada una?

2 3

No es un número, sería como el caso de la mesa Es la circunferencia de centro (0; 0) y radio 1, también llamada circunferencia trigonométrica.

4

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b) ¿qué relación hay entre el sin(𝑥) y sin(𝑥 + 2𝜋)? ¿Por qué? ¿sucede lo mismo con 2-

4

cos(𝑥) y cos(𝑥 + 2𝜋) ? 4 Las restantes razones trigonométricas se pueden definir a partir del sin(𝑥) y del cos(𝑥) de la siguiente forma: sin(𝑥) cos(𝑥) tan(𝑥) = cot(𝑥) = cos(𝑥) sin(𝑥) 1 1 sec(𝑥) = csc(𝑥) = cos(𝑥) sin(𝑥) a) Utilizar un graficador para obtener el gráfico de cada una de ellas. b) Determina el dominio de cada una y si son periódicas y su período

Las funciones que cumplen que 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 𝑝) se llaman funciones periódicas de período 𝑝

5

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EJERCICIOS 1-

Hallar el dominio de las funciones que se dan a continuación: 𝑎) 𝑓(𝑥) = −3𝑥 2 + 5𝑥 − 1 𝑏) 𝑓(𝑥) =

3𝑥 − 1 𝑥+3

𝑐) 𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 4 𝑑) 𝑓(𝑥) = 3𝑥−1 − 3 𝜋 𝑒) 𝑓(𝑥) = 3𝑠𝑖𝑛 (𝑥 − ) + 1 2 𝑓)𝑓(𝑥) = log 2 (1 − 2𝑥)

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