Repaso de estadística

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COLEGIO MIXTO CIUDADANOS DEL FUTURO GUIA DE REPASO 9°GRADO - Estadística PRIMER PERIODO Temas vistos a lo largo del primer periodo Experimentos aleatorios Nociones básicas del espacio muestral Diagrama de árbol Eventos o sucesos Probabilidad de eventos simples

LECTURA DE REPASO ***Recuerde que esta guía de repaso reúne los temas vistos a lo largo del periodo, el examen que usted deberá presentar tiene como base esta guía***

¿Qué es la probabilidad? La teoría de la probabilidad es la parte de las matemáticas que se encarga del estudio de los fenómenos o experimentos aleatorios. Por experimento aleatorio entenderemos todo aquel experimento que cuando se le repite bajo las mismas condiciones iniciales, además el resultado que se obtiene no siempre es el mismo. El ejemplo más sencillo y cotidiano de un experimento aleatorio es el de lanzar una moneda o un dado, y aunque estos experimentos pueden parecer muy modestos, hay situaciones en donde se utilizan para tomar decisiones de cierta importancia.

En principio del experimento no sabemos cuál será el resultado, así que por lo menos conviene agrupar en un conjunto a todos los resultados posibles. El espacio muestral (o también llamado espacio muestra de un experimento aleatorio) es el conjunto de todos los posibles resultados del experimento, y se le denota generalmente por la letra g iega (omega).

Este conjunto no es necesariamente ´único y su determinación depende del interés del observador o persona que realiza el experimento aleatorio. En algunos textos se usa también la letra S para denotar al espacio muestral. Por otro lado, se conoce como evento a cualquier subconjunto del espacio muestral y denotaremos a los eventos por las primeras letras del alfabeto en mayúsculas: A, B, C, etc. Ejemplo #1. Si un experimento aleatorio consiste en lanzar un dado de 6 caras y se observar el número que aparece en la cara superior, entonces claramente el espacio muestral es el conj n o = 1, 2, 3, 4, 5, 6}. (todos los posibles resultados que puede tomar el experimento)

Como ejemplo de un evento para este experimento podemos definir el conjunto A = {2, 4, 6}, que corresponde al suceso de obtener como resultado un número par.

EVENTO: Un evento es el resultado posible o un grupo de resultados posibles de un experimento y es la mínima unidad de análisis para efectos de cálculos probabilísticos.

SUCESO: Suceso Un suceso aleatorio es aquel conjunto dentro de los resultados posibles (espacio muestral) de un experimento aleatorio.

Otro tipo de eventos dentro de este experimento puede ser el obtener un número mayor o igual a 5: B = {5, 6}; Otro evento o suceso será obtener un número impar: C = {1, 3, 5} Ahora bien, la relación o la razón que existe entre el número de veces en que ocurrió un evento determinado y el número de repeticiones del experimento, se le denomina frecuencia relativa.

Ejemplo: Un estudiante, desea saber cuál es la frecuencia relativa que tiene un evento A (Que caiga un número menor o igual que 3), A= {1, 2, 3}; al lanzar 100 veces un dad. Al realizar finalizar los lanzamiento obtiene los siguientes resultados

Cara del dado 1 2 3 4 5 6

Numero de veces que salió 17 15 23 20 15 10

Como el evento que se quiere analizar es que salga un numero menos o igual a 3 se toma la el número de veces que salió el numero 1= 17, el numero 2=15 y el numero 3=23, como el número de veces que ocurrió el evento indicado 17+15+23=55 Como el total de lanzamiento que se hizo fueron 100, simplemente es remplazar estos valores dentro de la formula frecuencia relativa 17

15 23 100

55 100

0.55

De acuerdo al valor de la frecuencia relativa podemos encontrar eventos seguros, posibles o probables e imposibles

Evento seguro Es aquel cuya probabilidad de ocurrencia es igual a 1. Ejemplo: la probabilidad de obtener un número menor que 7 al lanzar un dado. Supongamos que realizamos el experimento 10 veces 10 10

Numero de veces que se obtuvo como resultado un numero menor que 7 Número de veces que lanzamos el dado

1

Por lo que es seguro que obtendremos un número menor que 7, al lanzar un dado cuantas veces queramos.

Evento Imposible Es aquel cuya probabilidad de ocurrencia es igual a 0. Ejemplo: Obtengamos la probabilidad de obtener un 8 al lanzar un dado 12 veces 0 12

0

Por lo tanto, es imposible obtener un 8 al lanzar un dado, aunque repitamos el experimento infinitas veces.

Evento posible o probable Es aquel cuya probabilidad de ocurrencia se encuentra entre 0 y 1. Cuanto menos probable sea el suceso, más cerca estará del 0 y cuanto más probable sea, más cerca estará del 1. Ejemplo: Calcular la probabilidad de obtener un 3 si suponemos que lanzamos un dado 12 veces y obtenemos los siguientes resultados:

Cara del dado 1 2 3 4 5 6

Cantidad de veces obtenido un numero 3 1 1 2 3 2 3

1 12

0.0833

Como el resultado obtenido es un numero próximo a cero, se entiende que el suceso o evento es poco probable en este experimento. Compruebe cuál de las caras del dado, del ejemplo anterior es más probable que suceda

Mientras más veces repitamos un experimento, mejor será la estimación de los resultados que obtendremos. TIPOS DE ESPACIO MUESTRAL Se conoce como espacio muestral asociado al experimento aleatorio como el conjunto de todos los posibles resultados que se pueden obtener en el experimento, se denota por (Omega) Se presentan diversos tipos de espacios muestrales: a) En el lan amien o de n dado e p ede oma como e pacio m e al: = {1, 2, 3, 4, 5, 6} b) En el experimento aleatorio que describe el número de automóviles que cruzan un peaje en n pe odo dado, el e pacio m e al e del ipo = 1, 2, 3...} c) En el caso de elegir al azar un número real en el intervalo [0,1], el espacio m e al a ociado e p eci amen e = [0, 1] Teniendo en cuenta el número de resultados posibles de un experimento aleatorio se pueden establecer los siguientes tipos de espacios muestrales:

Espacios muestrales finitos Son aquellos que tienen un número finito de elementos, como puede ser la tirada de un dado. E pacio m e ale infini o n me able Son a ello en lo e iene n n me o infini o de elementos y puede ponerse en correspondencia biunívoca con los números naturales, como pude ser el número de automóviles que pasan por un peaje. E pacio m e ale infini o no n me able Son a ello en lo e iene n n me o infinito de elementos y no puede ponerse en correspondencia con los números naturales, como puede ser la elección al azar de un número en el intervalo [0,1], ya que existe un numero infinito de numero entre el 0 y el 1

Ejemplo. Considere el experimento aleatorio de participar en un juego de lotería. Suponga que hay un millón de números en esta lotería y un jugador participa con un boleto. ¿Cuál es un posible espacio muestral para este experimento? Naturalmente al jugador le interesa conocer su suerte en este juego y puede proponer como e pacio m e al el conj n o = gana , pe de .

Sin embargo, puede también tomarse como espacio muestral el conjunto que contiene a todos los posibles números ganado e , e deci , = 1, 2, . . ., 1000000 . E e ejemplo sencillo muestra que el espacio muestral de un experimento aleatorio no es único y depende del interés del observador. Ejercicio#1. Encuentre un espacio muestral para el experimento aleatorio de observar el marcador final de un juego de futbol soccer. ¿Es un espacio muestral finito o infinito?

DIAGRAMA DE ÁRBOL Un diagrama de árbol o árbol de probabilidad es una herramienta que se utiliza para determinar si en realidad en el cálculo de muchas probabilidades, se requiere conocer el número de objetos que

forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción de un diagrama de árbol. El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados del experimento, el cual consta de una serie de pasos, donde cada uno de estos tiene un número infinito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.

Probabilidad de eventos simples La probabilidad de un evento simple A, es un número real en el intervalo [0, 1] que denotaremos por P(A) = Probabilidad del evento A, y representa una medida de la frecuencia con la que se observa la ocurrencia del evento A cuando se efectúa el experimento aleatorio en cuestión. Probabilidad clásica. Sea el evento A n bconj n o de n e pacio m e al probabilidad clásica del evento A como el cociente

de ca dinalidad fini a. Se define la

# Ω en donde el símbolo #A denota la cardinalidad o número de elementos del conjunto A. Esta definición es solo válida para espacios muestrales finitos, pues forzosamente necesitamos suponer que el número de elemen o en (el espacio muestral) es finito. Además, el espacio debe e e ip obable, esta definición de probabilidad presupone que todos los elementos de on ig almen e p obable o ienen el mi mo pe o. Por ejemplo un dado equilibrado. Pa a e e e pe imen o el e pacio m e al e el conj n o = 1, 2, 3, 4, 5, 6 , i de eamo calcular la probabilidad (clásica) del evento A correspondiente a obtener un número par, es decir, la probabilidad de A = {2, 4, 6}, entonces 2, 4, 6 1, 2, 3, 4, 5, 6

3 6

1 2

0.5

Ejemplo: Si yo tengo una canasta llena de uvas y fresas, de las cuales hay 20 uvas y 10 fresas. ¿Qué fruta es más probable que saque al azar de la canasta? Para este ejemplo tenemos que 30 es el total de frutas en la canasta; es decir los casos posibles. Para calcular la probabilidad de sacar una fresa mis casos favorables son 10 puesto que existen sólo 10 fresas. Así, aplicando la fórmula obtenemos que: P(Fresas) = 10/30 = 1/3 = 33.3% probable Calculando igual, la probabilidad de sacar uvas es: P(Uvas) = 20/30 = 2/3 = 66.7% probable Como 66.7 es mayor que 33.3 es más probable que saque una uva, pues hay más uvas que fresas en la canasta.