P 1 Cónicas Clase Teórico

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Unidad 7

Geometría Analítica Es una parte de la matemática que tiene por objeto el estudio y análisis de los lugares geométricos

considerando la deducción de ecuaciones y construcción de gráficas Pero ¿Qué son los lugares geométricos?

Son figuras cuyos puntos cumplen que ✓ Todo punto de la figura goza de una propiedad determinada ✓ Todo punto que goza de esa propiedad pertenece a la figura

Unidad 6

Geometría Analítica

Unidad 7

Geometría Analítica

Recta

Cuádricas

Plano

Cónicas

Unidad 7

Cónicas Definición

Es el lugar geométrico de las curvas que resultan de la intersección de un plano con una superficie cónica Eje

Directriz

Fijate Generatriz

Vértice

La superficie cónica se genera por la rotación de una recta llamada generatriz que pasa por una curva fija llamada directriz y por un punto llamado vértice de cono que intersecta al eje del cono

Cónicas Intersecciones del plano con la superficie cónica Elipse

Parábola

Hipérbola Circunferencia

https://drive.google.com/file/d/1IcA9qFKKGmfvZR-PPP0uyy1E7e_RGtV9/view?usp=sharing

Cónicas

Intersecciones del plano con la superficie cónica Circunferencia

Elipse Plano ⊥ al eje

Plano se inclina. No // a la generatriz ni al eje

Hipérbola

Parábola Plano // a la generatriz

Plano // al eje

Casos degenerados: si el plano pasa por el vértice y si el plano contiene a la generatriz.

Unidad 7

Cónicas Mirá estos videos como introducción al tema

Aplicaciones de las cónicas

https://youtu.be/Np7VX0gNL7o

Duración 7.47 minutos

Taller de cónicas y cuádricas

https://youtu.be/iX3ofAjGGjo

Duración 8.42 minutos

Ecuación General de las Cónicas

El término rectangular indica un giro

Término rectangular

Términos lineales

𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 Términos cuadráticos

Cónicas

Término independiente

Sin el término rectangular

𝑨𝒙𝟐 + 𝑪𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎 Es la que vamos a usar!

Es una ecuación de segundo grado con dos variables !!!

Cónicas

Circunferencia Es el lugar geométrico de un conjunto de puntos en un plano que conservan siempre una distancia constante de un punto fijo r: Radio

C: Centro

Es un video Dale play!

https://drive.google.com/open?id=0B_wWHzfwO_usM1BKalZtWXQtTXM

Cónicas

Circunferencia 𝑦 Del gráfico a la ecuación

𝑃(𝑥; 𝑦)

𝑦

C(ℎ; 𝑘)

Fijate

𝑘 𝑪𝑷 = 𝒓

0

ℎ

𝑥

𝒙−𝒉

𝟐

+ 𝒚−𝒌

𝟐

=𝒓

𝑥 𝒓𝟐 = 𝒙 − 𝒉

𝟐

+ 𝒚−𝒌

𝟐

Segunda ecuación ordinaria

Caso particular C 0; 0

→

𝒓𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 Primer ecuación ordinaria Forma Canónica

Circunferencia

Relación entre la ecuación ordinaria y la general 𝒙−𝒉

𝟐

+ 𝒚−𝒌

𝟐

= 𝒓𝟐

Partimos de la segunda ecuación ordinaria

𝑥 2 − 2ℎ𝑥 + ℎ2 + 𝑦 2 − 2𝑘𝑦 + 𝑘 2 − 𝑟 2 = 0 𝑥2 𝐴

+ 𝐶

𝑦2

− 2ℎ𝑥 − 2𝑘𝑦 𝐷

𝐸

+ ℎ2

+

𝑘2

−

𝑟2

=0

Desarrollando los cuadrados e igualando a cero Reacomodando la expresión

𝐹

Finalmente 𝑨𝒙𝟐 + 𝑪𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎 Forma general de la Circunferencia

donde

𝐴=𝐶

En forma análoga a la ecuación general que vimos antes!

Paso de la forma general a la ordinaria 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎 𝑥 2 + 𝐷𝑥 +

𝐷2 4

+ 𝑦 2 + 𝐸𝑦 +

𝐸2 4

𝑥

𝐷 2 +2

𝐷 𝑥+ 2 Finalmente

2

+ 𝑦

𝐸 2 +2

𝐸 + 𝑦+ 2

𝑫 𝒙+ 𝟐

𝟐

2

Partimos de la forma general de la ecuación de la circunferencia

= −𝐹 +

Con

= −𝐹

𝑫 𝟐 𝟐

𝐷2 + 4

+

𝐷2 4

𝟐

= 𝒓𝟐

+

𝐸2 4

𝑬 𝟐 𝟐

y

𝐸2 4

Completamos cuadrados para “x” y para “y” Sumamos a ambos miembros así

respectivamente

obtenemos una ecuación equivalente

Expresando los cuadrados de cada uno de los binomios

𝐷2 + 𝐸 2 − 4𝐹 = 4

𝑬 + 𝒚+ 𝟐

Circunferencia

O B S E R V A C I Ó N

Sacando denominador común en el segundo miembro 𝑆𝑖 𝑟 = 0 𝑆𝑖 𝑟 < 0 𝑆𝑖 𝑟 > 0

→ 𝑈𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 → 𝑁𝑜 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑢𝑛 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑒𝑛 𝑅 𝑫 𝑬 → 𝐶𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝐶 − 𝟐 ; − 𝟐 y radio

𝑟=

1 2

𝐷2 + 𝐸 2 − 4𝐹

Circunferencia

Ejemplo Dada

𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 + 2𝑦 − 5 = 0

queremos determinar el centro y el radio de la circunferencia

Siiiiip. Es lo que estás pensando. Seguimos el procedimiento anterior

𝑥 2 + 𝑦 2 − 4𝑥 + 2𝑦 − 5 = 0

Partimos de la forma general de la ecuación de la circunferencia

𝑥 2 − 4𝑥 + 4 + 𝑦 2 + 2𝑦 + 1 = 5 + 4 + 1

Completamos cuadrados para “x” y para “y”

Con

−𝟒 𝟐 𝟐

=𝟒 y

𝟐 𝟐 𝟐

= 𝟏 respectivamente

𝑥 2 − 4𝑥 + 4 + 𝑦 2 + 2𝑦 + 1 = 5 + 4 + 1 Finalmente

𝒙−𝟐

𝟐

+ 𝒚+𝟏

𝟐

= 𝟏𝟎

Ahora, podemos determinar lo solicitado

𝐶 2; −1

𝑦 𝒓𝟐 =10

entonces r = 10

Ver archivo: 2 Circunferencia.ggb https://drive.google.com/open?id=176gVM-YtOLM0yA2z2IrG9sci5-YKlHO0

Videos - Aplicaciones

Aplicación de la circunferencia. Duración 8,44 min https://www.youtube.com/watch?v=1oXkyQOH_YE Aplicación de la circunferencia. Duración 5,31 min https://www.youtube.com/watch?v=-vrgX5CA6Ds Aplicación de la circunferencia. Duración 9,13 min https://www.youtube.com/watch?v=dtsgiJRzcCY

Circunferencia

Dale play!

Elipse

Cónicas

Definición Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) de ese plano se mantiene constante y mayor que la distancia entre ellos (2a). El punto móvil no pertenece al segmento entre focos Elipse con centro en el origen de coordenadas y eje focal coincidente con el eje coordenado “x” https://drive.google.com/open?id=0B_wWHzfwO_usM1BKalZtWXQtTXM

Elipse

Elementos

Elipse con centro en el origen de coordenadas y eje focal coincidente con el eje coordenado “x” 𝑙: 𝐸𝑗𝑒 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙 𝐴(0; 𝑏)

𝐹 𝑦 𝐹 ´ ∶ 𝐹𝑜𝑐𝑜𝑠

𝑃(𝑥; 𝑦) 𝐿

𝑉 ´ (−𝑎; 0)

0

𝐹 ´ (−𝑐; 0)

x

𝐹𝐹 ´ : 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙 = 2𝑐 𝑉 𝑦 𝑉 ´ ∶ 𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠

𝑙 𝑉(𝑎; 0)

𝐹(𝑐; 0)

𝑉 ´ 𝑉: 𝐸𝑗𝑒 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 = 2𝑎 𝐿´ 𝐴´ (0; −𝑏)

𝐴𝐴´ : 𝐸𝑗𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 = 2𝑏 Relación Fundamental

Veamos como a partir de la definición y el gráfico podemos deducir la ecuación de la elipse, una de ellas.

𝑃𝐹 + 𝑃𝐹 ´ = 2𝑎 𝑐−𝑥

2

+ 𝑦2 +

𝑐+𝑥

2

+ 𝑦 2 = 2𝑎

𝑃 𝑥; 𝑦 : 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑔𝑒𝑛é𝑟𝑖𝑐𝑜

a

b c

𝑏2 + 𝑐 2 = 𝑎2

𝐿𝐿´ : 𝐿𝑎𝑑𝑜

2 𝑏2 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 = 𝑎

Elipse Con centro en el origen de coordenadas y eje focal coincidente con el eje x El punto 𝑃 𝑥; 𝑦 pertenece a la elipse, entonces, debe cumplir con la definición

𝑃𝐹 + 𝑃𝐹 ´ = 2𝑎

Considerando el Teorema de Pitágoras para el cálculo de 𝑐−𝑥 dichos segmentos, reemplazando nos queda …… … … … … … … Realizando una serie de pasos algebraicos, llegamos a Teniendo en cuenta la relación fundamental donde b2 + c 2 = a2 , despejando b2 = a2 − c 2 , luego 2

2

Dividiendo la ecuación por a b y simplificando Ecuación canónica o Primer ecuación ordinaria Observación: Si a>b → Eje mayor coincide con el eje x

2

+ 𝑦2 +

𝑐+𝑥

2

+ 𝑦 2 = 2𝑎

𝑥 2 𝑎2 − 𝑐 2 + 𝑎 2 𝑦 2 = 𝑎 2 𝑎 2 − 𝑐 2 𝑥 2 𝑏2 + 𝑎2 𝑦 2 = 𝑎2 𝑏2 𝑥 2 𝑏2 𝑎2 𝑦 2 𝑎2 𝑏2 + = 2 2 𝑎2 𝑏2 𝑎2 𝑏2 𝑎 𝑏 𝑥2 𝑦2 + 2 = 1 2 𝑎 𝑏 Si b>a → Eje mayor coincide con el eje y

Elipse

Análisis Los vemos en base a la ecuación anterior x2 y2 + 2 = 1 a2 b

Ecuación canónica o Primer ecuación ordinaria Las coordenadas de los vértices son 𝑉 ´ (−𝑎; 0) y 𝑉(𝑎; 0) pues

𝑆𝑖 𝑥 = −𝑎

A´ (0; −b) y A(0; b) pues

𝑆𝑖

𝑜

𝑥=𝑎

→

𝑦=0

Las coordenadas de A y A´ son

Centro de la elipse

→

𝑦 = ±𝑏

Simetría La elipse es simétrica respecto a ambos ejes coordenados y al origen Punto medio entre focos. C 0; 0 Límite de la elipse Es un rectángulo de lados x = ±a ; y = ±b

Si despejamos y → y = ± Ordenada del foco

b a

a2 − x 2

Si despejamos x → x = ± Si x = ±c

→

y=±

b a

a2 − c 2

Longitud del lado recto Excentricidad:

𝑥=0

Relación entre “c” y “a”

Como 0 < c < a Si “c” está más cerca de “0” entonces la elipse es más redondeada Si “c” está más cerca de “a” entonces la elipse se ve más aplastada¿Y si e = 0?

b 2 2 b2 ´ y=± b → LL = a a c e= < 1 pues c < a a

a b

b2 − y2

Excentricidad Se calcula

0 𝑎

Miremos con más detalle la Excentricidad Se calcula

𝑒>1

Hipérbola

𝒄 𝒆= 𝒂 𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑐 > 𝑎 e = 1.1

Cuando “e” se hace más grande → las ramas se abren más

Los focos se van alejando Cuando “e” se aproxima a uno → las ramas se cierran

e=2

e=3

Hipérbola Centro en el origen y eje coincidente con el eje coordenado “y” Los elementos son los mismos que en el caso anterior Fíjate cómo cambian las coordenadas! 𝐹(0; 𝑐) 𝑉(0; 𝑎)

𝐴(−𝑏; 0)

Se puede demostrar que la ecuación es Á(𝑏; 0)

𝑦2 𝑥2 − = 1 𝑎2 𝑏2

𝑉(0; −𝑎) 𝐹 ´ (0; −𝑐)

Ecuación canónica o Primer ecuación ordinaria El eje transverso se corresponde con la variable que tiene coeficiente positivo

Hipérbola Centro (h; k) y eje paralelo al eje coordenado “x” Trasladamos los ejes coordenados “x” e “y” de modo que coincidan con el nuevo centro (h; k) 𝑦 𝑦´

Entonces 𝑥 = 𝑥´ + ℎ → 𝑥´ = 𝑥 − ℎ 𝑦 = 𝑦´ + 𝑘 → 𝑦´ = 𝑦 − 𝑘 𝑥´

𝑘 0´

Reemplazando en la Primer Ecuación Ordinaria 2

2

𝑥´ 𝑦´ − = 1 𝑎2 𝑏2 Reemplazando nuevamente 𝑂

ℎ

0′ = 𝐶(ℎ; 𝑘)

Coordenadas: 𝑉 ´ (ℎ − 𝑎; 𝑘) y 𝑉(ℎ + 𝑎; 𝑘) ;

𝑥

𝑥−ℎ 2 𝑦−𝑘 2 − = 1 𝑎2 𝑏2 Segunda Ecuación Ordinaria 𝐹 ´ (ℎ − 𝑐; 𝑘) y 𝐹(ℎ + 𝑐; 𝑘)

;

𝐴´ (ℎ; 𝑘 − 𝑏) y 𝐴(ℎ; 𝑘 + 𝑏)

https://drive.google.com/open?id=1qJbIOv-tOoLtHbWqjPAKpdxqXoyMrEcn

Hipérbola Centro (h; k) y eje paralelo al eje coordenado “y” 𝑦´

𝑥´

𝑘

La traslación se realiza de la misma forma Y nos queda

0´

𝑦−𝑘 2 𝑥−ℎ 2 − −= 1 𝑎2 𝑏2 Segunda Ecuación Ordinaria ℎ

Coordenadas: 𝑉 ´ (ℎ; 𝑘 − 𝑎) y 𝑉(ℎ; 𝑘 + 𝑎) ;

𝐹 ´ (ℎ; 𝑘 − 𝑐) y 𝐹(ℎ; 𝑘 + 𝑐)

;

𝐴´ (ℎ − 𝑏; 𝑘)

y

𝐴(ℎ + 𝑏; 𝑘)

https://drive.google.com/open?id=1UvqD2w_tXcZjwt7azLpo00bxisVFGFpJ

Hipérbola Con término rectangular

https://drive.google.com/open?id=11a8SG2iIbb5fu_gwJxMY3dXl6J5cC6xF

Relación entre la ecuación ordinaria y la ecuación general Partimos de Multiplicamos la ecuación por

a2 b2

Simplificando Desarrollando los cuadrados

Hipérbola

𝒙−𝒉 𝟐 𝒚−𝒌 𝟐 − = 𝟏 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝑥 − ℎ 2 𝑎2 𝑏2 𝑦 − 𝑘 2 𝑎2𝑏2 − = 𝑎2𝑏2 2 2 𝑎 𝑏 𝑥−ℎ

2

𝑏2 −

𝑦−𝑘

2

𝑎2 = 𝑎2𝑏2

𝑥 2 − 2ℎ𝑥 + ℎ2 . 𝑏2 - 𝑦 2 − 2𝑘𝑦 + 𝑘 2 . 𝑎2 = 𝑎2 𝑏2

Distribuyendo e igualando a cero

𝑏2 𝑥 2 − 2𝑏2 ℎ𝑥 + 𝑏2 ℎ2 − 𝑎2 𝑦 2 + 2𝑎2 𝑘𝑦 − 𝑎2 𝑘 2 − 𝑎2 𝑏2 = 0

Reordenando la expresión según la ecuación general

𝑏2 𝑥 2 − 𝑎2 𝑦 2 − 2𝑏2 ℎ𝑥 + 2𝑎2 𝑘𝑦 + 𝑏2 ℎ2 − 𝑎2 𝑘 2 − 𝑎2 𝑏2 = 0

Ecuación General de la Hipérbola A y C de distinto signo

𝐀𝐱 𝟐 + 𝐂𝐲 𝟐 +𝐃𝐱 + 𝐄𝐲 + 𝐅 = 𝟎

Hipérbola

Paso de la ecuación general a la ecuación ordinaria −𝑥 2 + 3𝑦 2 + 4𝑥 − 6𝑦 − 13 = 0

Partimos del caso Agrupamos los términos según las variables e igualamos a 13 Sacamos factor común “-1” para la variable “x” y factor 3 para la variable “y” Determinamos los términos respectivos que van a formar los cuadrados perfectos Armamos teniendo en cuenta el factor que acompaña a cada uno de los términos. Formando los cuadrados de los binomios respectivos

3𝑦 2 − 6𝑦 −𝑥 2 +4𝑥 = 13 3. 𝑦 2 − 2𝑦 − 𝑥 2 − 4𝑥 = 13 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑦 →

−2 2

2

= 1

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 →

−4 2

2

= 4

3. 𝑦 2 − 2𝑦 + 1 − 𝑥 2 − 4𝑥 + 4 = 13 − 4 + 3 2

+3. 𝑦 − 1

Dividiendo por 12 la ecuación

3. 𝑦 − 1 12

2

Finalmente

𝑦−1 4

2

2

− 𝑥−2

𝑥−2 − 12

2

𝑥−2 − 12

2

= 12

=

12 12

=1

Casos particulares Hipérbola Equilátera o Rectangular

Las longitudes de los ejes transverso y conjugado son iguales.

Casos particulares Hipérbolas Conjugadas

Si la longitud del eje transverso de una hipérbola es igual a la longitud del eje conjugado de otra y viceversa.

Observemos que ambas hipérbolas tienen el centro común, ambas asíntotas también son comunes y los focos equidistan del centro.

Videos - Aplicaciones

Hipérbola

Aplicaciones. Duración 2,58 min https://www.youtube.com/watch?v=s-ZOIt9bKsQ Aplicaciones de la hipérbola. Radionavegación. Duración 5,06 min https://www.youtube.com/watch?v=iF1fhwqTiUo Ejercicio de aplicación de la hipérbola. Aplicación a sección transversal escultura Duración 5,32 min https://www.youtube.com/watch?v=8ImD5cHsPRY

Elipse

Listo!

Terminamos con la Hipérbola

Cónicas Comparemos las Excentricidades

Parábola

Elipses

Excentricidad “e”

Elipse → 𝑒 1

Hipérbolas

Observación: La circunferencia tiene excentricidad cero pues el centro coincide con el foco

Cuadro Cónicas comparativo Elipse e Hipérbola Curva

Constantes

Primer Ecuación Ordinaria Centros de la elipse e hipérbola en el origen

Segunda Ecuación Ordinaria Centros de la elipse e hipérbola en el punto (h; k)

Elipse

Hipérbola

2a: Longitud del eje mayor 2b: Longitud del eje menor 2c: Distancia entre los focos Relación fundamental: 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 F: Foco sobre eje mayor

2a: Longitud del eje transverso 2b: Longitud del eje conjugado 2c: Distancia entre los focos Relación fundamental: 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 F: Foco sobre eje transverso

Eje focal coincidente con el eje “x”

𝑥2 𝑦2 + 2 = 1 𝑎2 𝑏

𝑥2 𝑦2 − 2 = 1 𝑎2 𝑏

Eje focal coincidente con el eje “y”

𝑥2 𝑦2 + 2 = 1 𝑏2 𝑎

𝑦2 𝑥2 − = 1 𝑎2 𝑏2

Eje focal paralelo al eje “x”

𝑥−ℎ 𝑎2

2

Eje focal paralelo al eje “y”

𝑥−ℎ 𝑏2

2

Ecuación General 𝐀𝐱 + 𝐂𝐲 𝟐 + 𝐃𝐱 + 𝐄𝐲 + 𝐅 = 𝟎 𝟐

2

𝑦−𝑘 + 𝑎2

2

2

= 1

𝑥−ℎ 𝑎2

2

= 1

y−𝑘 𝑎2

2𝑏 2 𝑎

Longitud del lado recto Excentricidad

𝑦−𝑘 + 𝑏2

𝑒=

𝑐 1 𝑎

A y C de signo distinto

Elipse e Hipérbola

Reconocimiento Ejemplo 1

¿De qué cónica se trata? ¿Cuál es su eje?

Elipse

Eje coincidente con el eje “x”

¿Cuál es su centro?

Origen de coordenadas (0;0)

¿Cuál es el valor de “a”?

a=5

¿Cuál es el valor de “b”?

b=3

¿Cuál es el valor de “c”?

c=4

¿Cuál es su ecuación ordinaria ? 𝑥2 𝑦2 + =1 25 9

Elipse e Hipérbola

Reconocimiento Ejemplo 2

¿De qué cónica se trata? ¿Cuál es su eje?

Elipse

Eje paralelo al eje “x”

¿Cuál es su centro?

(h; k) = (-1;3/2)

¿Cuál es el valor de “a”?

a=2

¿Cuál es el valor de “b”?

b=1

¿Cuál es el valor de “c”?

c=1,73

¿Cuál es su ecuación ordinaria ? (𝑥 + 1)2 (𝑦 − 3/2)2 + =1 4 1

Elipse e Hipérbola

Reconocimiento Ejemplo 3

¿De qué cónica se trata? ¿Cuál es su eje?

Hipérbola

Eje coincidente con el eje “x”

¿Cuál es su centro?

Origen de coordenadas (0;0)

¿Cuál es el valor de “a”?

a=2

¿Cuál es el valor de “b”?

b=3,46

¿Cuál es el valor de “c”?

c=4

¿Cuál es su ecuación ordinaria ? 𝑥2 𝑦2 − =1 4 12

Elipse e Hipérbola

Reconocimiento Ejemplo 4

¿De qué cónica se trata? ¿Cuál es su eje?

Hipérbola

Eje paralelo al eje “x”

¿Cuál es su centro?

(h; k) = (1; 2)

¿Cuál es el valor de “a”?

a=2

¿Cuál es el valor de “b”?

b=3,46

¿Cuál es el valor de “c”?

c=4

¿Cuál es su ecuación ordinaria ? (𝑥 − 1)2 (𝑦 − 2)2 − =1 4 12

Elipse e Hipérbola

Reconocimiento Ejemplo 5

¿De qué cónica se trata? ¿Cuál es su eje?

Elipse

Eje paralelo al eje “y”

¿Cuál es su centro?

(h; k) = (-1/4;1/4)

¿Cuál es el valor de “a”?

a=1,79

¿Cuál es el valor de “b”?

b=1,26

¿Cuál es el valor de “c”?

c=1,26

¿Cuál es su ecuación ordinaria ? (𝑥 + 1/4)2 (𝑦 − 1/4)2 + =1 1,59 3,2

Elipse e Hipérbola

Reconocimiento Ejemplo 6

¿De qué cónica se trata? ¿Cuál es su eje?

Eje paralelo al eje “y”

¿Cuál es su centro? (𝑥 + 5/2)2 (𝑦 − 3/2)2 + =1 9 16

Elipse

(h; k) = (-5/2;3/2)

¿Cuál es el valor de “a”?

a=4

¿Cuál es el valor de “b”?

b=3

¿Cuál es el valor de “c”?

c=2,65

Relación fundamental 𝑏2 + 𝑐 2 = 𝑎2 → 𝑐 2 = 𝑎 2 −𝑏2 𝑐 2 = 42 −32 𝑐= 7

Elipse e Hipérbola

Reconocimiento Ejemplo 6

¿De qué cónica se trata? ¿Cuál es su eje?

Eje paralelo al eje “y”

¿Cuál es su centro? (𝑦 − 5/2)2 (𝑥 + 3/2)2 − =1 4 36

Hipérbola

(h; k) = (5/2;+3/2)

¿Cuál es el valor de “a”?

a=2

¿Cuál es el valor de “b”?

b=6

¿Cuál es el valor de “c”?

c=6,32

Relación fundamental 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐 2 → 𝑐 2 = 4+36 𝑐 2 = 40 𝑐 = 40

Parábola

Cónicas

Definición Es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de manera que su distancia a una recta fija es siempre igual a su distancia a un punto fijo. El punto fijo no pertenece a la Dale play! recta. Fijate en “h” e “i”.

https://drive.google.com/open?id=0B_wWHzfwO_usM1BKalZtWXQtTXM

Elementos

𝐷

𝑙: 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑓𝑖𝑗𝑎. 𝐷𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑧

𝐿

𝑙 𝑦

Parábola

𝐹: 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑖𝑗𝑜. 𝐹𝑜𝑐𝑜 𝑎: 𝐸𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎.

𝑃(𝑥; 𝑦)

𝑃𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 "𝑙" 𝑦 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝐹 𝐴 𝐹(−𝑝; 0)

𝑉 𝑥 𝑥

𝑎 𝐹(𝑝; 0)

𝐴: 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 "𝑙" 𝑦 "𝑎" 𝑉 ∶ 𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐴 𝑦 𝐹

𝑃 𝑥; 𝑦 : 𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑔𝑒𝑛é𝑟𝑖𝑐𝑜 𝐿′ Foco en 𝑝 > 0 Las ramas se abren hacia la derecha

𝐿𝐿´ : 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜. Perpendicular al eje “x” y pasa por F

Veamos como a partir de la definición y el gráfico podemos deducir la ecuación de la parábola, una de ellas.

Parábola Con vértice en el origen de coordenadas y eje coincidente con el eje x El punto 𝑃 𝑥; 𝑦 pertenece a la parábola, entonces, debe cumplir con la definición 𝐿

𝑙 𝐷

𝐴

𝐹(−𝑝; 0)

𝑦

𝑃(𝑥; 𝑦)

𝑉 𝑥

𝑃𝐹 = 𝐷𝑃

Considerando el Teorema de Pitágoras para el cálculo de dichos segmentos, reemplazando nos queda

𝑝−𝑥

Elevando al cuadrado a ambos miembros

2

𝑝−𝑥

2

+

+ 𝑦2 𝑦2

= 𝑥+𝑝 2

=

𝑥+𝑝

2

𝑎 𝐹(𝑝; 0)

Simplificando y desarrollando el cuadrado del binomio Desarrollando el cuadrado del binomio Cancelando

𝑝−𝑥

2

+ 𝑦 2 = 𝑥 2 + 2𝑝𝑥 + 𝑝2

𝑝2 − 2𝑝𝑥 + 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑥 2 + 2𝑝𝑥 + 𝑝2 −2𝑝𝑥 + 𝑦 2 = +2𝑝𝑥

𝐿′

Primer ecuación ordinaria Forma canónica

𝒚𝟐 = 𝟒𝒑𝒙

o

𝑦 = ±2 𝑝𝑥

Elipse

Análisis Primer ecuación ordinaria Forma canónica Cuando 𝒑 > 𝟎 Cuando 𝒑 < 𝟎

Simetría

→ →

𝑦 2 = 4𝑝𝑥 o 𝑦 = ±2 𝑝𝑥

está definida para valores de R+ 𝑆𝑒 𝑒𝑥𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎 𝑎𝑙 ± ∞ está definida para valores de R− 𝑆𝑒 𝑒𝑥𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑎𝑙 ± ∞

La parábola es simétrica respecto al eje de la parábola. En este caso coincide con el eje x Si despejamos 𝑥 → 𝑥 = ±2 𝑝𝑦

Si despejamos 𝒚 → 𝑦 = ±2 𝑝𝑥 Ordenada del foco Longitud del lado recto Excentricidad:

𝑆𝑖 𝑥 = 𝑝

→

𝑦 = 2𝑝

𝐿𝐿´ = 4𝑝 La distancia a F y la distancia a A son iguales por lo que e = 1

Parábola Con vértice en el origen de coordenadas y eje coincidente con el eje x

Los elementos son los mismos que en el caso anterior Fíjate como cambiaron las coordenadas!

𝑙

𝑃(𝑥; 𝑦)

𝐷

𝑉 𝐹(−𝑝; 0)

Foco en 𝑝 < 0 Las ramas se abren hacia la izquierda

0

𝑎

Se puede demostrar que la ecuación es 𝑦 2 = 4𝑝𝑥 o 𝑦 2 = ±2 𝑝𝑥 Primer ecuación ordinaria Forma canónica Siiiiiiii, es igual que la anterior!

Parábola Con vértice en el origen de coordenadas y eje coincidente con el eje y 𝑎

𝐹(0; 𝑝)

𝐷 𝑃(𝑥; 𝑦)

𝑉 0 𝑙 𝐷 𝑎 Foco en 𝑝 > 0 Las ramas se abren hacia arriba

𝑙

Los elementos son los mismos que en los casos anteriores Fijate como cambiaron las coordenadas! Se puede demostrar que la ecuación es 𝑥 2 = 4𝑝𝑦 o 𝑥 2 = ±2 𝑝𝑦 Primer ecuación ordinaria Forma canónica

𝑉

0

𝑃(𝑥; 𝑦) 𝐹(0; −𝑝)

Foco en 𝑝 < 0 Las ramas se abren hacia abajo

Con vértice (ℎ; 𝑘) y eje paralelo al ejes “x”

Trasladamos los ejes coordenados “x” e “y” de modo que coincidan con el nuevo centro (h; k)

h−𝑝 𝑦′

Entonces 𝑥 = 𝑥´ + ℎ → 𝑥´ = 𝑥 − ℎ 𝑦 = 𝑦´ + 𝑘 → 𝑦´ = 𝑦 − 𝑘

𝐹′(ℎ + 𝑝; 𝑘)

𝑘

0´

Parábola

𝑥´

0

Reemplazando en la Primer Ecuación Ordinaria 𝑦 2 = 4𝑝𝑥 por 𝑥 ´ e 𝑦 ´ , tenemos

ℎ 𝑙´

𝑦 − 𝑘 2 = 4𝑝 𝑥 − ℎ Segunda Ecuación Ordinaria

Coordenadas: 𝑉 ´ ℎ; 𝑘

;

𝐹 ´ (ℎ + 𝑝; 𝑘)

y

𝑙´ → 𝑥 = ℎ − 𝑝

Con vértice (ℎ; 𝑘) y eje paralelo al ejes “y”

Trasladamos los ejes coordenados “x” e “y” de modo que coincidan con el nuevo centro (h; k)

𝑦′

Entonces 𝑥 = 𝑥´ + ℎ → 𝑥´ = 𝑥 − ℎ 𝑦 = 𝑦´ + 𝑘 → 𝑦´ = 𝑦 − 𝑘

𝐹′(ℎ; 𝑘 + 𝑝)

𝑘

´ 0´ 𝑉

𝑘−𝑝

Parábola

𝑥´ 𝑙´

Reemplazando en la Primer Ecuación Ordinaria 𝑥 2 = 4𝑝𝑦 por 𝑥 ´ e 𝑦 ´ , tenemos

0

ℎ

𝑥 − ℎ 2 = 4𝑝 𝑦 − 𝑘 Segunda Ecuación Ordinaria

Coordenadas: 𝑉 ´ ℎ; 𝑘

;

𝐹 ´ (ℎ; 𝑘 + 𝑝)

y

𝑙´ → 𝑦 = 𝑘 − 𝑝

Relación entre la ecuación ordinaria y la ecuación general Partimos de 𝑦 − 𝑘 2 = 4𝑝 𝑥 − ℎ 𝑦 2 − 2𝑘𝑦 + 𝑘 2 = 4𝑝𝑥 − 4𝑝ℎ 𝑦 2 − 4𝑝𝑥 − 2𝑘𝑦 + 𝑘 2 + 4𝑝ℎ = 0 𝐶𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 𝐴=0 𝐸𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙,

𝐴 = 0,

Parábola

Partimos de 𝑥 − ℎ 2 = 4𝑝 𝑦 − 𝑘 𝑥 2 − 2𝑘𝑥 + ℎ2 = 4𝑝𝑦 − 4𝑝𝑘 𝑥 2 − 2ℎ𝑥 − 4𝑝𝑦 + ℎ2 + 4𝑝𝑘 = 0 𝐴𝑥 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 𝐶=0

𝐶 ≠ 0; 𝐷 ≠ 0

𝐸𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙,

𝐶 = 0,

Una diapo más y terminamos con la Parábola

𝐴 ≠ 0; 𝐸 ≠ 0

Parábola

Paso de la ecuación general a la ecuación ordinaria

Recuerda que lo que vamos a hacer es completar cuadrados y que tenemos que llevar la ecuación general a la forma 𝑦 − 𝑘 2 = 4𝑝 𝑥 − ℎ pues 𝐴 = 0 4𝑦 2 + 8𝑥 − 12𝑦 + 13 = 0

Partimos de Agrupamos los términos según las variables “y” en un miembro y el resto de los términos los pasamos al segundo miembro.

4𝑦 2 − 12𝑦 = −8𝑥 − 13

Sacamos factor común 4 para la variable “y”

4 𝑦 2 − 3𝑦 = −8𝑥 − 13

Lo sumamos a ambos miembros Armamos del cuadrado del binomio. Sacamos factor común “-8”

Finalmente 9 Parábola con centro (h; k) p negativo eje paralelo al eje x

2

−3 2

Determinamos el término que va a formar el cuadrado perfecto 4

𝑦2

=

9 4

9 − 3𝑦 + = −8𝑥 − 13 + 9 4 2

3 4 𝑦− 2 3 4 𝑦− 2

3 𝑦− 2

= −8𝑥 − 4

2

= −8 𝑥 + 2

= −2 𝑥 +

1 2

1 2

Videos - Aplicaciones

Antenas parabólicas https://www.youtube.com/watch?v=YJ-cttC6aSM&ab_channel=Derivando Aplicación de la Parábola a temas cotidianos. Duración 4,09 minutos https://www.youtube.com/watch?v=D1GYBNR_9Z8&ab_channel=math2me Parábolas problemas. Duración 9,18 min https://www.youtube.com/watch?v=0ii9QrNL1hk

Parábola

Parábola

Identificamos Ecuaciones

De la variable “x”, sólo figura el término lineal

De la variable “y”, sólo figura el término lineal

𝐶𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0

𝐴𝑥 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 𝑥−ℎ

2

= 4𝑝 𝑦 − 𝑘

Eje de la Parábola paralelo al eje “y”

𝑦−𝑘

2

= 4𝑝 𝑥 − ℎ Eje de la parábola paralelo al eje “x”

Analicemos las siguientes ecuaciones Ejemplo 1

𝑥−2

2

= 12 𝑦 + 3

Ejemplo 2 𝑦−2

2

= 12 𝑥 − 3

Ejemplo 3 𝑥 + 10

2

= −8 𝑦 − 7

Ejemplo 4 𝑦 − 10

2

= −4 𝑥 + 6

Vértice en (2;-3)

Vértice en (3;2)

Vértice en (-10;7)

Vértice en (-6;10)

p=3

p=3

p=-2

p=-1

Eje paralelo al eje “y”

Eje paralelo al eje “x”

Eje paralelo al eje “y”

Eje paralelo al eje “x”

Las ramas se orientan hacia arriba

Las ramas se orientan hacia la derecha

Las ramas se orientan hacia abajo

Las ramas se orientan hacia la izquierda

Parábola

Listo!

Terminamos con la Parábola

Cuadro Cónicas Circunferencia

r: Radio

Curva

Parábola

Elipse

Hipérbola

Constantes

P: Distancia del vértice al foco y Distancia del vértice a la directriz F: Foco sobre eje

2a: Longitud del eje mayor 2b: Longitud del eje menor 2c: Distancia entre los focos Relación fundamental: 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 F: Foco sobre eje mayor

2a: Longitud del eje transverso 2b: Longitud del eje conjugado 2c: Distancia entre los focos Relación fundamental: 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 F: Foco sobre eje transverso

𝑦 2 = 4𝑝𝑥

𝑥2 𝑦2 + 2 = 1 𝑎2 𝑏

𝑥2 𝑦2 − 2 = 1 𝑎2 𝑏

𝑥 2 = 4𝑝𝑦

𝑥2 𝑦2 + = 1 𝑏2 𝑎2

𝑦2 𝑥2 − = 1 𝑎2 𝑏2

Primer Ecuación Ordinaria 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2

Vértice de la parábola y centros de la elipse e hipérbola en el Eje focal coincidente origen con el eje “y” Segunda Ecuación Ordinaria

𝑥−ℎ

2

+ 𝑦−𝑘

2

Eje focal coincidente con el eje “x”

= 𝑟2

Vértice de la parábola y centros de la elipse e hipérbola en el punto (h; k)

Eje focal paralelo al eje “x”

𝑦−𝑘

2

= 4𝑝 𝑥 − ℎ

𝑥−ℎ 𝑎2

2

Eje focal paralelo al eje “y”

𝑥−ℎ

2

= 4𝑝 𝑦 − 𝑘

𝑥−ℎ 𝑏2

2

Longitud del lado recto

4p

𝑒=0

Excentricidad

𝑒=1

𝐴=𝐶

Ecuación General de la Cónica 𝐴𝑥 2 + 𝐶𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0

A=0 o C=0 (no simultáneamente)

𝑦−𝑘 𝑏2

2

+

𝑦−𝑘 𝑎2

2

+

𝑥−ℎ 𝑎2

2

= 1

y−𝑘 𝑎2

2

= 1

2𝑏 2 𝑎 𝑒=

𝑐 1 𝑎

A y C de signo distinto

Ahora, hay que continuar con el práctico Pero primero,

un tiempo de descanso

Material desarrollado para las clases de Álgebra y Geometría Analítica con fines didácticos Bibliografía y webgrafía consultada: Material de Cátedra https://matematicaactual.wordpress.com/lecturas/aplicaciones-de-las-conicas/ Imágenes

Recopilado por Ing. Silvia Socolovsky