Notas para un curso de Algebra AbstractaII_Sanabria

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´ Notas para un curso de Algebra Abstracta I Camilo Sanabria y Mario Valencia-Pabon Universidad de los Andes Departamento de Matem´aticas Bogot´a - Colombia.

II

´Indice general 1. Grupos 1.1. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Tabla de operaci´ on . . . . . . . . . . . 1.4. Grupos C´ıclicos . . . . . . . . . . . . . 1.5. Grupos generados y producto directo . 1.6. Grupos de permutaciones . . . . . . . 1.7. Coconjuntos y el Teorema de Lagrange

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2. Homomorfismos 2.1. Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Propiedades de Homomorfismos . . . . . . 2.3. Subgrupos normales . . . . . . . . . . . . 2.4. Isomorfismos y el Teorema de Cayley . . . 2.5. Grupo Factor . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Teorema Fundamental del Homomorfismo 2.7. C´ alculo de Grupo Factor . . . . . . . . . . 2.8. Grupos simples . . . . . . . . . . . . . . . 2.9. El centro y el conmutador . . . . . . . . . 2.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1 1 3 4 5 8 11 14

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17 17 18 20 21 23 23 25 27 28 30

3. Conjugaci´ on 33 3.1. Elementos y subgrupos conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2. An para n ≥ 5 es simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4. Acci´ on de grupo sobre un conjunto 4.1. G-conjuntos . . . . . . . . . . . . . 4.2. Subgrupo estabilizador y o ´rbitas . 4.3. La f´ ormula de Burnside . . . . . . 4.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . .

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37 37 39 40 42

IV

´ INDICE GENERAL

5. Teoremas de Isomorfismos y Series de Grupos 5.1. Teoremas de Isomorfismos . . . . . . . . . . . . 5.2. Series de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Cadena Central Ascendente . . . . . . . . . . . 5.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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43 43 45 51 52

6. Teoremas de Sylow y Grupos libres 6.1. Teoremas de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Aplicaciones de la teor´ıa de Sylow . . . . . . 6.3. Grupos abelianos libres . . . . . . . . . . . . 6.4. Teorema fundamental de los grupos abelianos 6.5. Grupos libres y representaciones . . . . . . . 6.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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53 53 56 57 59 63 66

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´Indice de figuras 1.1. Subgrupos de Z8 y de Z12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. transformaciones del cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. ret´ıculo de subgrupos de D4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 14 15

2.1. Fibras y Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Teorema Fundamental del Homomorfismo . . . . . . . . . . . . .

19 24

4.1. Rotaciones del cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

5.1. 5.2. 5.3. 5.4.

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43 45 46 47

6.1. Grupo abeliano libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Grupo libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57 63

Primer Teorema de Isomorfismo . Tercer Teorema de Isomorfismo . Lema de la Mariposa . . . . . . . Teorema de Schreier . . . . . . .

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VI

´ INDICE DE FIGURAS

Cap´ıtulo 1

Grupos 1.1.

Grupos

1.1 Definici´ on (Grupo): Una estructura < G, ·, e >, que consta de un conjunto G, una operaci´ on binaria ·, y un elemento distintivo e, es un grupo, si satisface los siguientes axiomas: G1: · es asociativa ∀x, y, z ∈ G(x · (y · z) = (x · y) · z) G2: e es neutro en · ∀x ∈ G(x · e = x ∧ e · x = x) G3: existencia de inversa ∀x ∈ G ∃y ∈ G(x · y = e ∧ y · x = e) Teorema 1.2 (Unicidad del neutro y de las inversas) Sea < G, ·, e > un grupo, entonces: i) Si e0 es tal que para todo x ∈ G, x · e0 = e0 · x = x, entonces e0 = e. ii) Dado un x ∈ G, si y, y 0 ∈ G son tales que x · y = y · x = e = x · y 0 = y 0 · x, entonces y 0 = y. Demostraci´ on: Por hip´ otesis e · e0 = e y por G2, e · e0 = e0 , luego e = e0 . 0 Por hip´ otesis x · y = e y por G2, y = y · e, luego y = y · (x · y 0 ), as´ı por G1, y = (y · x) · y 0 , pero y · x = e por hip´ otesis, entonces por G2 y = y 0 . F 1.3 Notaci´ on y observaci´ on. En general, a < G, ·, e >, la denotaremos simplemente G, excepto cuando se deba especificar para evitar confusiones. Si no especificamos un nombre diferente para el elemento distintivo, lo denotaremos

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Cap´ıtulo 1. Grupos

e. A x · y, lo denotaremos xy, cuando sea claro el contexto, adem´ as dado que la operaci´ on binaria es asociativa, x(yz) o ´ (xy)z lo denotaremos xyz. Por otro lado el teorema anterior, justifica la siguiente definici´ on. 1.4 Definici´ on (el neutro, la inversa) y notaci´ on: Sea < G, ·, e > un grupo, i) a e lo llamamos el elemento neutro o la identidad. ii) Dado g ∈ G, al elemento g 0 ∈ G tal que gg 0 = g 0 g = e, lo llamamos la inversa, o el inverso, de g,y lo notamos g −1 . 1.5 Ejemplos: Las siguientes estructuras son grupos, cuya demostraci´ on se deja al lector. i) < Z, +, 0 >, < Q, +, 0 >, < R, +, 0 >, < C, +, 0 >. ii) < Q∗ , ·, 1 >, < R∗ , ·, 1 >, < C∗ , ·, 1 >. iii) < Zn , +n , [0]=n >, donde a =n b si n|a − b y Zn = Z/ =n . iu) < GLn (R), ·, In >, donde GLn (R) es el conjunto de matrices invertibles de dimensi´ on n × n. u) < S 1 , ·, 1 >, donde S 1 = {z ∈ C : |z| = 1}. ui) Si V es un espacio vectorial, el conjunto de las transformaciones lineales uno a uno, con la composici´ on como la operaci´ on y la identidad como el neutro. Teorema 1.6 (ley cancelativa) Sea G un grupo. Si x, y, z ∈ G son tales que xz = yz, entonces x = y. Demostraci´ on: Si xz = yz, entonces x = xe = (xz)z −1 = (yz)z −1 = ye = y. F 1.7 Notaci´ on y observaci´ on. Si x ∈ G y n ∈ N, notamos:  e si n = 0 xn = x · xn−1 de lo contrario Dado que xn (x−1 )n = xn (xn )−1 = e, entonces extendemos la notaci´ on a todo Z con x−n = (x−1 )n . Cuando la operaci´ on se denote aditiva (ver ejemplo 1.5 i)), notaremos xn por nx, y x−1 por −x. Observe que xn xm = xn+m , para todo n, m ∈ Z, pero (xy)n no es necesariamente igual a xn y n , por ejemplo: Teorema 1.8 (xy)−1 = y −1 x−1 Demostraci´ on: (xy)(y −1 x−1 ) = e.

F

Subgrupos

3

1.9 Posiblemente ya se habr´ a dado cuenta de cual es la condici´ on para que (xy)n = xn y n para todo x, y ∈ G. En honor al noruego Niels Henrik Abel (1802-1829): 1.10 Definici´ on (Grupo abeliano): Un grupo G, en el cual la operaci´ on sea conmutativa (i.e. ∀a, b ∈ G(ab = ba)), se dice abeliano. 1.11 En el ejemplo 1.5, los grupo de i), ii), iii) y u) son abelianos, los de iu) y u) no lo son. Si V = Rn estos dos u ´ltimos grupos son bastante parecidos (ya formalizaremos eso). 1.12 Ejercicios: 1. Pruebe que si G es un grupo finito con identidad e y con un numero par de elementos, entonces existe un elemento a ∈ G, con a 6= e, tal que a2 = e. 2. Pruebe que todo grupo G con identidad e y tal que a2 = e para todo a ∈ G, es abeliano. 3. Sea G un grupo finito y sea x un elemento de G cuyo orden es n, donde n es impar. Pruebe que existe k ∈ N tal que x = (x2 )k .

1.2.

Subgrupos

1.13 Definici´ on (Subgrupo): Si < G, ·, e > es un grupo, diremos que < H, •, e0 > es un subgrupo de G, y lo notaremos H ≤ G, si: i) H ⊆ G ii) < H, •, e0 > es grupo iii) • = · H×H 1.14 Observaci´ on a la definici´ on 1.13. Sea H ≤ G y h ∈ H, como h = h • e0 = h · e0 , y h = h · e entonces por la ley cancelativa, e = e0 . As´ı un subgrupo esta un´ıvocamente determinado por el conjunto H, pues la identidad es la misma que en G y la operaci´ on es la restricci´ on. Esto justifica nuestra notaci´ on H ≤ G. Por otro lado < {e}, · {e}×{e} , e > es subgrupo de G. 1.15 Definici´ on (Grupo trivial, subgrupo propio) i) Al grupo < {e}, ·, e >, lo llamamos grupo trivial. ii) Si H ≤ G y H 6= G, decimos que H es subgrupo propio de G, y lo notamos H < G. 1.16 Cada grupo de 1.5 i) es subgrupo del siguiente. Lo mismo sucede en 1.5 ii). Demostrar que un grupo es subgrupo de otro puede ser bastante engorroso bajo nuestra definici´ on, afortunadamente existen caracterizaciones m´ as adecuadas para esto:

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Cap´ıtulo 1. Grupos

Teorema 1.17 Sea < G, ·, e > un grupo. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: i) H ≤ G ii) H no es vac´ıo, es cerrado mediante la operaci´ on de G, y mediante inversi´ on. Esto es: H 6= ∅, ∀x, y ∈ H(xy ∈ H), ∀x ∈ H(x−1 ∈ H) iii) H 6= ∅, ∀x, y ∈ H(xy −1 ∈ H) Demostraci´ on: i) ⇒ ii): Como H ≤ G, e ∈ H luego H no es vac´ıo. Las otras dos condiciones se siguen inmediatamente del hecho que H sea grupo y que la operaci´ on en H es la restricci´ on de la G. ii) ⇒ iii): Si x, y ∈ H, y −1 ∈ H luego xy −1 ∈ H. iii) ⇒ i): Tomemos • = · H×H , veamos que • es una operaci´ on binaria en H. Sea x ∈ H, el cual existe pues H no es vac´ıo. Entonces e = x · x−1 ∈ H, y as´ı x−1 = e·x−1 ∈ H. Luego si x, y ∈ H, y −1 ∈ H y x•y = x·y = x·(y −1 )−1 ∈ H, entonces • es una operaci´ on binaria en H, as´ı se cumple G1. Adem´ as, e ∈ H y tambi´en se cumple G2 pues • = · H×H . Por esto u ´ltimo vemos tambi´en que se cumple G3 pues dado x ∈ H, x−1 ∈ H. F

1.3.

Tabla de operaci´ on

1.18 Dado un grupo G finito podemos representar completamente la operaci´ on gracias a una tabla, al igual que sol´ıamos hacer tablas de multiplicaci´ on en los n´ umeros naturales. Esto es, en la primera entrada (la superior izquierda), ponemos el signo de la operaci´ on, en el resto de la primera columna de la tabla ponemos los elementos de G y hacemos lo mismo, y en el mismo orden, en la primera fila. Luego llenamos el resto de la tabla como indica la operaci´ on. Por el axioma G3 sabemos que en cada fila debe aparecer e una vez, y por la unicidad de la inversa, una u ´nica vez. Seg´ un la ley cancelativa, lo mismo sucede con cada elemento. Este mismo fen´ omeno se repite con las columnas. Si el grupo es abeliano la tabla ser´ a sim´etrica. Estas pautas nos permiten generar grupos nuevos (ver el cuadro 1.3).

Z4

+4 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

4-grupo de Klein V

· e a b c

e e a b c

Cuadro 1.1: Los dos u ´nicos grupos de cuatro elementos

a a e c b

b b c e a

c c b a e

Grupos C´ıclicos

1.4.

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Grupos C´ıclicos

1.19 Definici´ on (Orden de un grupo, orden de un elemento): i) el orden de un grupo G, que notamos ord(G) (o simplemente |G|), es el n´ umero de elementos de G, si G es infinito notamos ord(G) = +∞, ii) el orden de un elemento g ∈ G, que notamos ord(g), es el m´ınimo n ∈ N∗ tal que g n = e. Si dicho n no existe notamos ord(g) = +∞. Lema 1.20 Si am = e, ord(a) | m. Demostraci´ on: Sea n = ord(a). Por definici´ on, n es el menor entero positivo tal que an = e y por lo tanto m ≥ n. Usando el algoritmo de la divisi´ on, podemos escribir a m como m = qn + r, donde q ≥ 1 y 0 ≤ r < n. Ahora, e = am = aqn+r = (an )q ar = eq ar = ar . Si r 6= 0, entonces se tiene una contradicci´ on a la minimalidad de n. Luego r = 0 y as´ı n | m. F Teorema 1.21 Sea a ∈ G, y H = {an }n∈Z . Entonces H ≤ G y ord(H) = ord(a). Demostraci´ on: Como e = a0 ∈ H, an am = an+m ∈ H y (an )−1 = a−n , por el teorema 1.17, H ≤ G. Suponga que ord(a) = +∞. Si i, j ∈ Z con i ≤ j son tales que ai = aj , aj−i = e luego j − i = 0. Entonces si i 6= j, ai 6= aj , luego ord(H) = +∞. Ahora sea n = ord(a). Si i, j ∈ {0, 1, . . . , n − 1} con i ≤ j, son tales que ai = aj , por el lema anterior n|j − i, luego j − i = 0, esto es i = j. Entonces n ≤ |H|. Y si m ≥ n, y m = qn + r, con 0 ≤ r < n, am = ar , luego |H| = n. F 1.22 Definici´ on (Grupo generado por un elemento, grupo c´ıclico): Sea G un grupo. i) Dado a ∈ G, llamamos a {an }n∈Z , el grupo generado por a, y lo notamos < a >. ii) Decimos que G es c´ıclico si es un grupo generado por un elemento. 1.23 Ejemplos. i) Z =< 1 >, es un grupo c´ıclico de orden infinito. ii) Zn =< 1 >, es un grupo c´ıclico de orden n. Ya veremos que todo grupo c´ıclico tiene esta forma. 1.24 Ahora nos interesaremos en la estructura de los grupos c´ıclicos, esto es, estudiaremos como son sus subgrupos. Estos grupos, fuera de tener una estructura bastante visualisable e intuitiva, son supremamente importantes. Teorema 1.25 Todo grupo c´ıclico es abeliano.

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Cap´ıtulo 1. Grupos

Demostraci´ on: Sea G =< a >. As´ı dos elementos elementos arbitrarios en G, son de la forma am , y an , con m, n ∈ Z. Pero como vimos en 1.7, am an = am+n = an am . Luego G es abeliano. F Teorema 1.26 Un subgrupo de un grupo c´ıclico es c´ıclico. Demostraci´ on: Sea G =< a > y H ≤ G. Si H es el grupo trivial, H =< e >, es c´ıclico. Suponga que H no es trivial, es decir, H contiene al menos un elemento diferente de e. Como H ≤ G y G =< a >, entonces todos los elementos de H son potencias de a. Sea m el menor entero positivo tal que am ∈ H. Se probara entonces que b = am genera H, es decir, H =< b >. Para ello, tomemos un elemento arbitrario c ∈ H y probemos que c es una potencia de b. Como c ∈ H, H ≤ G y G =< a >, entonces c = an para alg´ un n entero positivo. Por la minimalidad de m, podemos usar el algoritmo de la divisi´ on, y escribir n como n = qm + r, donde q > 0 y 0 ≤ r < m. Entonces, an = aqm+r = (am )q ar . Por lo tanto, como an ∈ H y (am )−q ∈ H puesto que am ∈ H, entonces, ar = (am )−q an ∈ H, puesto que H es grupo. Si r 6= 0, entonces se tiene una contradicci´ on a la minimalidad de m. Por lo tanto, r = 0, y n = qm, obteniendo si que c = an = aqm = (am )q = bq , es decir, c es una potencia de b, lo cual implica que H =< b > y por lo tanto H es c´ıclico. F Corolario 1.27 Si G =< a > es de orden infinito todo subgrupo de G es de orden infinito. 1.28 Observaci´ on. Todo subgrupo de Z es de la forma < n >= nZ = {nk : k ∈ Z}, para alg´ un n. Aqu´ı usamos la notaci´ on aditiva. Teorema 1.29 Sea G =< a > de orden n. Entonces: i) Si s | n, entonces < as >= {e, as , a2s , . . . , a

n−1 s s

} tiene tama˜ no n/s.

ii) Todo subgrupo de G es de la forma < ar >, con r ∈ Z, | < ar > | =

n (n,r)

y < ar >=< a(n,r) >. iii) Todo subgrupo de G es de la forma < as > donde s | n. iu) El orden de todo subgrupo de G divide el orden de G. u) Por cada divisor s de n, existe exactamente un subgrupo de G de tama˜ no n s, que es < a s >. ui) si H, K ≤ G entonces, H ≤ K si y s´ olo si |H| | |K|. Demostraci´ on: Note que una vez probado ii); i), iii) y iu) son consecuencias inmediatas, tomando s = (n, r) y recordando el teorema 1.21. Probemos entonces ii). Ya vimos en el teorema 1.26 que todo subgrupo, de G es de la forma < ar >. Ahora sea s = (n, r), entonces existe q tal que r = qs. As´ı ar = (as )q , luego < ar >≤< as >. Por otro lado existen u, v ∈ Z tales que un + vr = s luego as = (an )u (ar )v = (ar )v , y as´ı < as >≤< ar >. Es claro que

Grupos C´ıclicos

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n enunciado de i) que | < a(n,r) > | = (n,r) Probemos ahora la unicidad que se afirma en u). Por lo que acabamos de ver n n si s | n, (n, n/s) = n/s y as´ı | < a s > | = n/s = s. Ahora, si < ar > es un subgrupo de G de orden s, entonces por ii) s = n/(n, r), luego (n, r) = n/s y n as´ı, < ar >=< a s >. Finalmente veamos ui). Suponga que K =< ak > y H =< ah > con k, h divisores de n, suponsici´ on valida en vista de u). As´ı si H ≤ K por iu), poniendo K como G, |H| | |K|. Ahora, si |H| | |K|. existe q tal que ord(ah )q = ord(ak ), pero por u), ord(ah ) = n/h y ord(ak ) = n/k, luego kq = h, as´ı (ak )q = ah , entonces < ah >≤< ak >. F

1.30 Observaci´ ones. i) Dado un grupo G, como todo grupo tiene por subgrupo el trivial, podemos representar sus cadenas de subgrupos por un ret´ıculo (i.e. lattice, en ingl´es). ii) El resultado 1.29 iu) se pueden generalizar a todos los grupos de orden finito como se vera en el Teorema de Lagrange. Con el teorema anterior quedan completamente caracterizados los grupos c´ıclicos (ver figura 1.1), en este momento el lector ya se puede hacer la idea de porque todo grupo c´ıclico es de la forma de Z, o de Zn . PSfrag replacements Z8

Z12













{0}

{0}

Figura 1.1: Subgrupos de Z8 y de Z12 1.31 Ejercicios: 1. Pruebe que si H y K son subgrupos de un grupo abeliano G, entonces HK = {hk : n ∈ H y k ∈ K} es un subgrupo de G. 2. Pruebe que un grupo c´ıclico con u ´nicamente un generador puede tener a los sumo dos elementos. 3. Pruebe que si G es un grupo abeliano con identidad e, entonces todos los elementos x ∈ G tales que x2 = e forman un subgrupo de G. Generalice al caso donde n ≥ 1 es un entero fijo y H = {x ∈ G : xn = e}.

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Cap´ıtulo 1. Grupos 4. Sea G un grupo y sea a un elemento de fijo de G. Pruebe que Ha = {x ∈ G : xa = ax} es un subgrupo de G. Sea S ⊆ G, y sea HS = {x ∈ G : xs = sx para todo s ∈ S}. Pruebe que HS ≤ G. Si S = G, entonces HG es llamado el centro de G. Pruebe que HG es un grupo abeliano. 5. Pruebe que un grupo sin subgrupos propios no triviales es c´ıclico. 6. Pruebe que un grupo que tiene un numero finito de subgrupos es finito. 7. Pruebe que Zp no tiene subgrupos propios no triviales si p es primo. 8. Sea G un grupo abeliano y sean H y K subgrupos c´ıclicos finitos con |H| = r y |K| = s. (a) Pruebe que si (r, s) = 1, entonces G contiene un subgrupo c´ıclico de orden rs. (b) Pruebe que G contiene un subgrupo c´ıclico de orden [r, s] (recuerde que [r, s] denota al m´ aximo com´ un m´ ultiplo de r y s).

1.5.

Grupos generados y producto directo

1.32 Dado que los subgrupos de un grupo forman un ret´ıculo, podemos buscar los m´ınimos subgrupos, en la relaci´ on ser subgrupo, que contienen un subconjunto de los elementos del grupo. Teorema 1.33 Sea {Hi }i∈J una colecci´ on indexada de subgrupos de G, entonces: \ Hi ≤ G i∈J

T Demostraci´ on: Como cada Hi contiene e, i∈J Hi 6= ∅. Ahora sean x, y ∈ T −1 ı xyT−1 ∈ Hi , para i∈J Hi , como y ∈ Hi , y T ∈ Hi , para cada i ∈ J. As´ −1 todo i ∈ J, esto es xy ∈ i∈J Hi , luego por el teorema 1.17 i∈J Hi ≤ G. F Corolario 1.34 Sea A ⊆ G, con A 6= ∅ y H = {H ≤ G : A ⊆ H}. Entonces T H∈H H ≤ G.

Teorema 1.35 Sea A ⊆ G, con A 6= ∅ y H = T {H ≤ G : A ⊆ H}. Si HA ∈ H es tal que, si H ∈ H, HA ≤ H entonces HA = H∈H H ≤ G. T Demostraci´ on: Esto T es trivial, puesTHA ∈ H, luego H∈H HT ⊆ HA . Por otro lado T como A ⊆ H∈H H, entonces H∈H H ∈ H as´ı HA ≤ H∈H H, y HA = F H∈H H ≤ G. 1.36 Observaci´ on. Los dos teoremas anteriores justifican nuestra pr´ oxima definici´ on, el teorema que le sigue la explica. Note como se extiende el concepto de 1.22 1.37 Definici´ on (grupo generado, grupo finitamente generado):

Grupos generados y producto directo

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i) Dado A ⊆ G, con A 6= ∅. Al m´ınimo subgrupo que contiene A lo llamamos el grupo generado por A, y lo notamos < A >. ii) Decimos que un grupo G es finitamente generado si G =< A > para alg´ un A ⊂ G finito. mn 1 m2 Teorema 1.38 Dado A ⊆ G, < A >= {am 1 a2 . . . an : ai ∈ A, mi ∈ Z}. mn 1 m2 Demostraci´ on: Sea HA = {am : ai ∈ A, mi ∈ Z}. Como A 6= 1 a2 . . . an p m1 m2 n ∅, HA 6= ∅. Si x, y ∈ HA , x = a1 a2 . . . am e y = bp11 bp22 . . . bq q , para n −p q q q 2 1 algunos ai , bj ∈ A y mi , pi ∈ Z. As´ı, y −1 = bq . . . b2 b1 , luego xy −1 = 2 −q1 mn −pq 1 m2 am ∈ HA . Entonces HA ≤ G. Ahora como A ⊆ HA , . . . b−q 1 a 2 . . . a n bq 2 b1 < A >≤ HA . Por otro lado un elemento arbitrario de HA es de la forma de x, pero cada ai ∈ A, luego como un subgrupo es cerrado por multiplicaci´ on, x ∈< A >. As´ı HA ⊆< A > y HA =< A >. F

Teorema 1.39 Sea {Gi }i∈{1,2,...,n} una colecci´ on de grupos. G1 ×G2 ×. . .×Gn bajo la operaci´ on ((x1 , x2 , . . . , xn ), (y1 , y2 , . . . , yn )) 7→ (x1 y1 , x2 y2 , . . . , xn yn ) es un grupo. Demostraci´ on: La operaci´ on es asociativa, pues la operaci´ on de cada G i lo es. Si ei es el neutro de Gi , (e1 , e2 , . . . , en ) es el neutro para nuestra operaci´ on. Fi−1 −1 , . . . , x ) = (e , e , . . . , e ), luego cada elenalmente (x1 , x2 , . . . , xn )(x−1 , x 1 2 n n 2 1 mento tiene inversa. Esto completa la demostraci´ on. F 1.40 Definici´ on (Producto directo): Dada {Gi }i∈{1,2,...,n} una colecci´ on de grupos. Al grupo G1 × G2 × . . . × Gn bajo la operaci´ on: ((x1 , x2 , . . . , xn ), (y1 , y2 , . . . , yn )) 7→ (x1 y1 , x2 y2 , . . . , xn yn ) lo llamamos el producto directo (externo) de G1 , G2 , . . . , Gn . 1.41 Cuando dec´ıamos que dos grupos tienen la misma forma, formalmente nos refer´ıamos a lo siguiente (a esto volveremos luego con m´ as detalle): 1.42 Definici´ on (Isomorfismo, isomorfo): Sean < G, ·, e >, < G0 , •, e0 > dos grupos dados. Una biyecci´ on φ : G → G0 es un isomorfismo si φ(x · y) = φ(x) • φ(y), para todo x, y ∈ G. Dos grupos se dicen isomorfos si existe un isomorfismo entre ellos. 1.43 Ejemplo: φ : R → R∗+ definida por φ(x) = ex , es un isomorfismo entre < R, +, 0 > y < R∗+ , ·, 1 > pues ex+y = ex ey . Teorema 1.44 Sea G =< a >. Si ord(G) = +∞, G es isomorfo a Z, si ord(G) = n, G es isomorfo a Zn . Demostraci´ on: Si ord(G) = +∞, defina φ : Z → G, por φ(k) = ak y si ord(G) = n, defina φ : Zn → G, por φ(k) = ak . Es claro que φ es sobreyectiva, ahora si φ(m1 ) = φ(m2 ), entonces am1 −m2 = e. As´ı si +∞ = ord(G) = ord(a), m1 − m 2 = 0 o ´ m1 = m2 . Si n = ord(a), por el lema 1.20, n | m1 − m2 luego m1 = m2 . De esto concluimos que φ es biyectiva. Finalmente como ak1 ak2 = ak1 +k2 , φ es isomorfismo. F

10

Cap´ıtulo 1. Grupos

Teorema 1.45 Sean m, n ∈ Z. Existe un isomorfismo entre Zm × Zn y Zmn si y solo si (m, n) = 1. Demostraci´ on: Por el teorema 1.44, basta ver que Zm × Zn es c´ıclico de orden mn si y s´ olo si (m, n) = 1. Suponga primero (m, n) = 1 y sea k = ord((1, 1)). As´ı (1, 1)k = (0, 0) luego m | k y n | k pero si k 0 ∈ Z es tal que m | k 0 y n | k 0 , 0 (1, 1)k = (0, 0) luego k es el m´ınimo com´ un m´ ultiplo de m y n, este es mn. Entonces Zm × Zn =< (1, 1) > Ahora suponga que Zm × Zn es c´ıclico de orden mn con Zm × Zn =< (a, b) >. Entonces en particular Zm =< a > y Zn =< b >. As´ı, si k es el m´ınimo com´ un m´ ultiplo de m y n, (a, b)k = (0, 0) luego por el lema 1.20, mn | k. As´ı k = mn y (m, n) = 1. F Corolario 1.46 Zm1 × Zm2 × . . . × Zmn es isomorfo a Zm1 m2 ...mn si y s´ olo si (m1 , m2 , . . . , mn ) = 1 1.47 Los grupos abelianos finitamente generados tienen una estructura particular. El siguiente teorema los caracteriza y nos dice que los Zpn , con p primo, son como los ladrillos para construirlos. Su demostraci´ on la pospondremos para cuando tengamos un poco m´ as de experiencia, y esta nos parezca m´ as natural. Dicho teorema se conoce como el Teorema Fundamental de los grupos abelianos finitamente generados, y al cual nos referiremos como al teorema TFGAFG por comodidad. Teorema 1.48 (TFGAFG) Todo grupo abeliano finitamente generado es isomorfo a un u ´nico grupo de la forma Zpr11 × Zpr22 × . . . × Zprnn × Z × . . . × Z, con los pi , para i ∈ {1, . . . , n}, primos tales que pi ≤ pi+1 , y los ri naturales no nulos tales que ri ≤ ri+1 si pi = pi+1 . 1.49 Ejemplos: Qn i) Si i=1 pri i es la expresi´ on de m en potencias de primos con pi < pi+1 , Q Zm es isomorfo a ni=1 Zpri . i

ii) El 4-grupo de Klein V es isomorfo a Z2 × Z2 .

1.50 Ejercicios: 1. Encuentre el orden del elemento (3, 10, 9) en el grupo Z4 × Z12 × Z15 . 2. Pruebe que un grupo abeliano finito no es c´ıclico si y solo si este contiene un subgrupo isomorfo a Zp × Zp para alg´ un primo p. 3. Pruebe que si un grupo abeliano finito tiene orden una potencia de un primo p, entonces el orden de cada elemento en el grupo es una potencia de p. 4. Sean G, H, y K grupos abelianos finitamente generados. Pruebe que si G × K es isomorfo a H × K, entonces G es isomorfo a H.

Grupos de permutaciones

1.6.

11

Grupos de permutaciones

1.51 Definici´ on (Permutaci´ on): Sea A un conjunto. Una permutaci´ on de A es una funci´ on biyectiva de A en A. Al conjunto de las permutaciones de A lo notamos SA . Si A = {1, 2, . . . , n}, SA lo notamos Sn . 1.52 Observaci´ ones. i) |Sn | = n! ii) La composici´ on de dos permutaciones es una permutaci´ on. La identidad es una permutaci´ on y la inversa de un permutaci´ on es una permutaci´ on. En resumen, se tiene lo siguiente: 1.53 Definici´ on (Grupo de Permutaci´ on). Sea A un conjunto. Al grupo < SA , ◦, id >, donde ◦ es la composici´ on, lo llamamos el grupo de permutaciones de A. Teorema 1.54 Si A = {ai }i∈{1,...,n} , SA y Sn son isomorfos. Demostraci´ on: Defina φ : Sn → SA por φ(τ ) : τ (i) 7→ aτ (i) . Sea α ∈ SA y defina σ : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} por σ(i) = j si α(ai ) = aj . Como α es una permutaci´ on σ tambi´en y φ(σ) = α, luego φ es sobreyectiva. Verificar que tambi´en es inyectiva es pura rutina, as´ı que se lo dejamos al lector. Ahora: φ(σ ◦ σ 0 )(ai ) = aσ◦σ0 (i) = φ(σ)(aσ0 (i) ) = φ(σ) ◦ φ(σ 0 )(ai ) as´ı φ(σ ◦ σ 0 ) = φ(σ) ◦ φ(σ). Luego φ es un isomorfismo. F   1 2 ... n . 1.55 Notaci´ on. A la permutaci´ on σ ∈ Sn , la notamos σ(1) σ(2) . . . σ(n)     123 123 1.56 Ejemplo: S3 = {id, ρ, ρ2 , σ, ρσ, ρ2 σ} con id = ,ρ= , 123 231         123 123 123 123 ρ2 = ,σ = , ρσ = , y ρ2 σ = . Note 312 213 321 132 que σρ = ρ2 σ. 1.57 Definici´ on (Orbita): Sea σ ∈ SA y sea a ∈ A. Al conjunto {σ k (a) : k ∈ Z} lo llamamos la o ´rbita de a seg´ un σ. Teorema 1.58 Sea σ ∈ SA . Las o ´rbitas de σ forman una partici´ on de A. Demostraci´ on: Defina en A la relaci´ on ∼ por: a ∼ b si existe k ∈ Z tal que σ k (a) = b. As´ı a ∼ b si y s´ olo si b esta en la o ´rbita de a seg´ un σ. Ahora σ 0 = id k −k luego ∼ es reflexiva. Si b = σ (a), entonces a = σ (b), luego ∼ es sim´etrica. Ahora bien si b = σ k1 (a) y c = σ k2 (b), c = σ k2 +k1 (a), luego ∼ es transitiva. Ahora como ∼ es relaci´ on de equivalencia, sus clases, que son las o ´rbitas de σ forman un partici´ on de A. F 1.59 Definici´ on (Ciclo, transposici´ on):

12

Cap´ıtulo 1. Grupos i) Una permutaci´ on con a lo m´ as una o ´rbita de m´ as de un elemento es un ciclo. Si σ ∈ SA es un ciclo tal que la o ´rbita con m´ as de un elemento es {σ i (a)}i∈{0,1,...,n−1} , notamos σ por (a σ(a) σ 2 (a) . . . σ n−1 (a)), y decimos que σ es un n-ciclo.

ii) Una transposici´ on es un 2-ciclo. iii) Dos ciclos se dicen disyuntos si sus o ´rbitas de m´ as de un elemento son disyuntas. 1.60 Ejemplo. Continuando con 1.56, en S3 , ρ = (1 2 3), ρ2 = (1 3 2), σ = (1 2), ρσ = (1 3) y ρ2 σ = (2 3). Lema 1.61 Todo n-ciclo se puede expresar como producto de n − 1 transposiciones. Demostraci´ on: Sea σ ∈ SA un n-ciclo, con σ = (a1 a2 . . . an ). Tenemos entonces σ = (a1 an )(a1 an−1 ) . . . (a1 a2 ). F Teorema 1.62 Toda permutaci´ on en Sn se puede escribir como producto ciclos disyuntos. Demostraci´ on: Sea σ ∈ Sn , y {Oi }i∈{1,...,m} la colecci´ on de sus o ´rbitas. Sea σi ∈ Sn tal que σi (a) =Qσ(a) si a ∈ Oi y σi (a) = a de lo contrario. As´ı los σi son ciclos disyuntos y σ = i∈{1,...,m} σi (observe que como los ciclos son disyuntos no importa el orden en que los multipliquemos, por eso tenemos el derecho de usar la productoria aunque el grupo no sea abeliano). F Corolario 1.63 Toda permutaci´ on en Sn , con n > 1, se puede expresar como producto de transposiciones. 1.64 Veamos ahora que Sn se divide en dos clases disyuntas, las permutaciones que son el producto de un n´ umero par de transposiciones, y las que son el producto de un n´ umero impar. 1.65 Definici´ on (Signo) Sea σ ∈ Sn , el signo de σ que notamos sg(σ), esta definido por: Y σ(i) − σ(j) sg(σ) = i−j 1≤i⊆ N K. Ahora, un elemento h ∈< N ∪ K > es un producto de la forma n1 k1 n2 k2 . . . nr kr , con ni ∈ N y ki ∈ K, para i ∈ {1, . . . , r}. Como N C G, entonces, como se vi´ o en la demostraci´ on de 2.14, si k ∈ K y n ∈ N , kn = n0 k para alg´ un n0 ∈ N . En t´erminos pr´ acticos esto es, podemos correr los ki s hacia la izquierda y as´ı h = n(k1 k2 . . . kr ), para alg´ un n ∈ N , luego h ∈ N K, de forma similar h ∈ KN . Y as´ı la inclusi´ on que faltaba es verificada. Suponga las hip´ otesis adicionales para iv), y sean k ∈ K y n ∈ N . Entonces nkn−1 ∈ K y kn−1 k −1 ∈ N , luego (nkn−1 )k −1 ∈ K y n(kn−1 k −1 ) ∈ N , pero N ∩ K = {e} luego nkn−1 k −1 = e o ´ nk = kn. F Teorema 2.22 Sean H, K ≤ G, entonces |HK| · |H ∩ K| = |H| · |K|, y as´ı (H : H ∩ K) = |HK|/|K| si H y K son finitos. Demostraci´ on: Defina la relaci´ on de equivalencia ∼ en H ×K por (h, k) ∼ (h 0 , k 0 ) 0 0 0 −1 si hk = h k , esto es si (h ) h = k 0 k −1 , o mas a´ un si (h0 , k 0 ) = (gh, gk −1 ) para alg´ un g ∈ H ∩ K. Entonces cada una de las |HK| clases de equivalencia es de tama˜ no |H ∩ K|. Ahora considere f : H × K/∼ → HK definida por f ([(h, k)]∼ ) = hk. As´ı, f es biyectiva y |HK| · |H ∩ K| = |H| · |K|. F

2.4.

Isomorfismos y el Teorema de Cayley

2.23 Definici´ on (Isomorfismo): Un isomorfismo es un homomorfismo biyectivo.

22

Cap´ıtulo 2. Homomorfismos

Teorema 2.24 Sea C una colecci´ on de grupos, y defina la relaci´ on ' en C por G ' G0 si existe un isomorfismo φ : G → G0 . Tenemos que ' es una relaci´ on de equivalencia sobre C. Demostraci´ on: La identidad es un isomorfismo, luego ' es reflexiva. Si φ : G → G0 es un isomorfismo, su inversa tambi´en, luego ' es sim´etrica. La composici´ on de dos isomorfismos es un isomorfismo, luego ' es transitiva.F 2.25 Observaci´ ones. i) Toda colecci´ on de grupos se puede particionar mediante la relaci´ on '. ii) La estructura de dos grupos isomorfos es la misma, luego podemos identificarlos como uno solo, pues su u ´nica diferencia es el nombre de los elementos. 2.26 Para probar que dos grupos G y G0 son isomorfos debemos: i. Definir una funci´ on φ : G → G0 ii. Probar que φ es un homomorfismo. iii. Probar que φ es biyectiva. Note lo u ´til que puede resultar el corolario 2.10 al teorema 2.9 para probar iii.. Teorema 2.27 Todo grupo c´ıclico infinito es isomorfo a < Z, + >. Demostraci´ on: Sea a un generador de G, as´ı G = {an : n ∈ Z}. Defina φ : G → Z por φ(an ) = n. Ahora φ(an am ) = φ(an+m ) = n + m = φ(an ) + φ(am ). Finalmente observe que φ(an ) = 0 si y s´ olo si n = 0, luego φ es inyectiva, y adem´ as dado n ∈ Z, φ(an ) = n, luego φ es sobreyectiva. F Teorema 2.28 (Teorema de Cayley) Todo grupo es isomorfo a un subgrupo de un grupo de permutaciones. Demostraci´ on: Sea G un grupo y SG es grupo sim´etrico sobre G. Si a ∈ G defina λa : G → G por λa (g) = ag. Ahora si λa (g) = λa (g 0 ) entonces ag = ag 0 luego g = g 0 , y λa (a−1 g) = g, as´ı vemos que λa es una permutaci´ on, pues es una biyecci´ on. Sea G0 = {λa : a ∈ G}, como λ−1 = λa−1 y λe = Id entonces G0 ≤ SG . Y a as´ı mismo vemos que g 7→ λg es un isomorfismo. F 2.29 Observaci´ on. El teorema de Cayley parece decir algo bastante general. Pero en la teor´ıa que estamos estudiando ac´ a no es de mucha utilidad.

Grupo Factor

2.5.

23

Grupo Factor

2.30 En el teorema 2.19 vimos que si H C G entonces el conjunto de los coconjuntos de H bajo la operaci´ on (aH, bH) 7→ abH es un grupo. Esto motiva la siguiente: 2.31 Definici´ on (Grupo factor): Sea G un grupo. Dado H C G el grupo de los coconjuntos de H bajo la operaci´ on (aH, bH) 7→ abH es el grupos factor de G m´ odulo H. Lo notaremos G/H. 2.32 Observaci´ on. Seg´ un el corolario 2.13 dado un homomorfismo con kernel H, podemos definir el grupo factor de G m´ odulo H. Este grupo factor jugar´ a un rol supremamente importante en el resto de la teor´ıa, como empezaremos vi´endolo en el teorema fundamental del homomorfismo (ver teorema 2.36). 2.33 Ejemplo: Z4 × Z2 es abeliano, luego todos sus subgrupos son normales, en particular {0} × Z2 . Entonces (Z4 × Z2 )/({0} × Z2 ), es un grupo y adem´ as es tambi´en abeliano, y as´ı lo podemos clasificar de acuerdo al teorema de los grupos abelianos finitamente generados (teorema 1.48). Ahora, Z4 × Z2 = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1), (3, 0), (3, 1)} y {0} × Z2 = {(0, 0), (0, 1)} si podemos G = Z4 × Z2 y H = {0} × Z2 H1 = H + (1, 0) = {(1, 0), (1, 1)} H2 = H + (2, 0) = {(2, 0), (2, 1)} H3 = H + (3, 0) = {(3, 0), (3, 1)} tenemos G/H = {H, H1 , H2 , H3 }, as´ı como G/H tiene cuatro elementos, solo hay dos alternativas: G/H ' Z2 × Z2 o ´ G/H ' Z4 . Pero G/H =< H1 > luego es c´ıclico, y as´ı es isomorfo Z4 .

2.6.

Teorema Fundamental del Homomorfismo

Lema 2.34 Si H C G, ρ : G → G/H definida por ρ(g) = gH es un homomorfismo con kernel H. Demostraci´ on: Es consecuencia directa del teorema 2.19.

F

2.35 Definici´ on (proyecci´ on can´ onica): Si H C G, a ρH : G → G/H definida por ρ(g) = gH la llamamos proyecci´ on can´ onica, o ´ homomorfismo can´ onico, de kernel H.

24

Cap´ıtulo 2. Homomorfismos

Teorema 2.36 (Teorema Fundamental del Homomorfismo) Sea φ : G → G0 un homomorfismo con kernel H. Entonces la funci´ on µ : G/H → φ[G] tal que φ = µ ◦ ρH , es un isomorfismo. Demostraci´ on Sean g, g 0 ∈ G tales que gH = g 0 H, as´ı g −1 g 0 ∈ H esto equivale −1 a φ(g) φ(g 0 ) = φ(g −1 g 0 ) = e0 . Esto es φ(g) = φ(g 0 ), entonces podemos definir µ por µ(gH) := φ(g). Pero ρH (g) = gH, luego φ = µ ◦ ρH . Ahora por el teorema 2.19 µ es un homomorfismo. Es evidente que µ es sobreyectivo, y la inyectividad la podemos deducir de la equivalencia entre gH = g 0 H y φ(g) = φ(g 0 ). As´ı µ es isomorfismo. Su unicidad es evidente, pues si µ : G/H → φ[G] es tal que φ = µ ◦ ρH , µ(gH) = φ(g). F Corolario 2.37 Si φ : G → G0 es un homomorfismo sobreyectivo con kernel H, G/H ' G0 . 2.38 Observaci´ on. El teorema fundamental del homomorfismo nos habla de la din´ amica del grupo G: si tenemos un homomorfismo sobreyectivo de G en G0 con kernel H, podemos descomponer la operaci´ on de G en dos partes una primera que tiene la din´ amica de H con consecuencias en otra despu´es que tiene la de G0 . Por ejemplo sea a, c ∈ G, b ∈ aH con b = ah0 y d ∈ cH con d = ch, entonces bd ∈ acH y si h00 ∈ H es tal que ch00 = h0 c, bd = ac(h00 h) (ver figura 2.2). Una visualizaci´ on de esto es la operaci´ on de suma en los reales que se puede descomponer en una parte decimal y en otra entera (1, 75 ∈ 0, 75 + Z, PSfrag replacements 2, 43 ∈ 0, 43 + Z, 4, 18 = 1, 75 + 2, 43 ∈ 1, 18 + Z = 0, 18 + Z). bd = ac(h00 h) acH

uv

. . .

b = ah0

aH

u

v

cH

d = ch . . .

e0

h00 h H

h00 h φ G

G0

Figura 2.2: Teorema Fundamental del Homomorfismo

C´ alculo de Grupo Factor

2.7.

25

C´ alculo de Grupo Factor

2.39 Ejemplos: i) El subgrupo trivial {0} de Z es un subgrupo normal. Calculemos Z/{0}. Como N = {0} tiene u ´nicamente un elemento, todo coconjunto de N tiene un solo elemento. Es decir, los coconjuntos son de la forma {m} para alg´ un m entero. As´ı Z/{0} ' Z ii) Sea n ∈ N∗ . El conjunto nR = {nr : r ∈ R} es un subgrupo de R con la adici´ on. nR es normal puesto que R es abeliano. Calculemos R/nR. Note que cada x ∈ R es de la forma n( nx ) con nx ∈ R. De ah´ı que para cualquier x ∈ R tenemos que x ∈ nR. Entonces nR = R y en consecuencia R/nR consta de un u ´nico elemento, a saber, nR. A nR/R no le queda mas alternativa que ser el grupo trivial. 2.40 Observaci´ on. Por el teorema fundamental del homomorfismo, podemos pensar en el grupo factor G/H como un grupo en el cual cada coconjunto de H colapsa a un s´ olo elemento. En particular H colapsa a un neutro. Como acabamos de ver el colapso puede variar de inexistente (cuando H = {e}), a “catastr´ ofico” (cuando H = G). Es claro que estos dos tipos de colapsos no nos proporcionan mayor informaci´ on sobre la din´ amica en G. 2.41 Ejemplos: i) Comencemos observando lo siguiente: Si G es un grupo finito y G/N tiene solo dos elementos, entonces |G| = 2|N |. Note adem´ as que cualquier subgrupo conteniendo la mitad de los elementos de G es forzosamente normal, puesto que dado a ∈ G, a esta en H o no esta en H. En el primer caso se tendr´ıa a ∈ H, aH = H = Ha, y en el segundo a ∈ / H, aH = Ha forzosamente. Ahora bien, como sabemos que |Sn | = 2|An |, entonces el grupo alternante An es un subgrupo normal de Sn y el grupo cociente tiene dos elementos. Sabiendo que cualquier grupo de orden dos es isomorfo a Z2 conocemos completamente la operaci´ on en Sn /An . Tomando σ ∈ / An una permutaci´ on impar y si renombramos σAn por “impar” y An por “par” verificamos la siguiente propiedad de la dinam´ amica de Sn : (par)(par) = par (impar)(par) = impar (par)(impar) = impar (impar)(impar) = par Vemos como conocimiento acerca de la operaci´ on en el grupo factor S n /An refleja una propiedad de la operaci´ on en Sn . ii) El rec´ıproco del teorema de Lagrange no es cierto. Veamos que no es cierto que k | |G| implique que exista alg´ un H ≤ G tal que |H| = k. Mostraremos que A4 no tiene subgrupos de orden seis. Suponga por contradicci´ on que H es un subgrupo de A4 de orden seis. Como |A4 | = 12, H es normal. As´ı A4 /H tiene solo dos elementos H y σH para alg´ un

26

Cap´ıtulo 2. Homomorfismos σ ∈ / H. Como en un grupo de orden dos el cuadrado de todo elemento es la identidad, entonces HH = H y σHσH = H. Ahora, el producto en el grupo factor se puede lograr mediante el producto de elementos representativos de los los coconjuntos, luego tenemos que para cualquier α ∈ A4 , α2 ∈ H. Pero en A4 se tiene (123) = (132)2 y (132) = (123)2 luego (123) y (132) est´ an en H. De la misma forma se verifica que (124), (142), (134), (143), (234) est´ an todos en H. Esto muestra que H tiene al menos ocho elementos, contradiciendo la hip´ otesis de que H tenia seis elementos.

iii) Calculemos el grupo factor Z4 × Z6 / < (0, 1) >. Sea H =< (0, 1) >, as´ı H = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5)} Como H tiene 6 elementos, todos los coconjuntos de H tambi´en deben tener 6 elementos y |(Z4 × Z6 )/H| = 4. Como Z4 × Z6 es abeliano, entonces Z4 × Z6 /H tambi´en. Los coconjuntos de H en Z4 × Z6 son: H = (0, 0) + H H1 = (1, 0) + H H2 = (2, 0) + H H3 = (3, 0) + H As´ı Z4 × Z6 / < (0, 1) > es c´ıclico, luego es isomorfo a Z4 . Teorema 2.42 Sea G = H × K el producto de dos grupos H y K. Entonces ¯ = {(h, e) : h ∈ H} es un subgrupo normal de G. Adem´ ¯ es isomorfo H as, G/H ¯ a K. Similarmente, G/K ' H Demostraci´ on: Considere el homomorfismo π2 : H × K → K, donde π2 (h, k) = ¯ y π2 es sobreyectiva, el teorema 2.36 nos dice que k. Como Ker(π2 ) = H ¯ H × K/H ' K. F Teorema 2.43 Un grupo factor de un grupo c´ıclico es c´ıclico. Demostraci´ on: Sea G =< a >, y N ≤ G. As´ı N C G, y c´ omo a genera todo G, aN genera todo G/N . Luego G/N =< aN > es c´ıclico. F 2.44 Observaci´ on. Ya vimos que un grupo factor de un grupo no c´ıclico bien podra ser c´ıclico (por ejemplo, Sn /An , para n ≥ 3). El teorema 2.42 nos muestra como algunos grupos factor colapsan separadamente, este no siempre es el caso como lo veremos ahora mismo. 2.45 Ejemplos: i) Calculemos Z4 ×Z6 / < (0, 2) >. Sea H =< (0, 2) >= {(0, 0), (0, 2), (0, 4)}. En primera instancia note que Z4 × Z6 es abeliano, luego el grupo factor tambi´en es abeliano, y como |H| = 3, es de orden 8. Usando el teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados, sabemos que

Grupos simples

27

el grupo factor debe ser isomorfo a uno de los siguientes grupos: Z8 , Z4 ×Z2 o ´ Z2 × Z2 × Z2 . Con un poco de paciencia calculamos los coconjuntos: H = (0, 0) + H = {(0, 0), (0, 2), (0, 4)} H1 = (0, 1) + H = {(0, 1), (0, 3), (0, 5)} H2 = (1, 0) + H = {(1, 0), (1, 2), (1, 4)} H3 = (1, 1) + H = {(1, 1), (1, 3), (1, 5)}

H4 H5 H6 H7

= (2, 0) + H = (2, 1) + H = (3, 0) + H = (3, 1) + H

= {(2, 0), (2, 2), (2, 4)} = {(2, 1), (2, 3), (2, 5)} = {(3, 0), (3, 2), (3, 4)} = {(3, 1), (3, 3), (3, 5)}

y los subgrupos generados son: < H1 < H2 < H3 < H4 < H5 < H6 < H7

>= {H, H1 } >= {H, H2 , H4 , H6 } >= {H, H3 , H4 , H7 } >= {H, H4 } >= {H, H5 } >=< H2 > >=< H3 >

Como no hay ning´ un elemento de orden 8, entonces no puede ser isomorfo a Z8 . Como no todo elemento tiene orden 2, entonces tampoco lo puede ser a Z2 ×Z2 ×Z2 . Entonces no quedendo m´ as alternativa, es isomorfo a Z4 ×Z2 . Este es un ejemplo de como los coconjuntos colapsan separadamente. ii) Calculemos el grupo factor (Z4 × Z6 )/ < (2, 3) >. Sea H =< (2, 3) >, entonces H = {(0, 0), (2, 3)}. Como H es de orden 2, entonces (Z4 × Z6 )/H es de orden 12. Se podr´ıa cometer el error de pensar que Z4 y Z6 separadamente colapsan en grupos isomorfos a Z2 y que y entonces el grupo factor ser´ıa isomorfo a Z2 × Z2 . De esta manera el grupo factor tendr´ıa orden 4 y no 12 como de hecho es. Tenga cuidado en no pensar que los factores siempre colapsan separadamente!! Ahora bien, los grupos abelianos de orden 12 son: Z4 × Z3 (que es isomorfo a Z12 ), Z6 × Z2 y Z2 × Z2 × Z3 . Adem´ as Z4 × Z3 es el u ´nico que tiene un elemento de orden 4. Probaremos que el coconjunto (1, 0) + H es un elemento de orden 4. Para encontrar la potencia mas peque˜ na de un coconjunto que de la identidad, basta escoger la potencia mas peque˜ na del representante que este en H. Ahora, 4(1, 0) = (1, 0) + (1, 0) + (1, 0) + (1, 0) = (0, 0). Por lo tanto (Z4 × Z6 )/H tiene un elemento de orden 4 y as´ı es isomorfo a Z4 × Z3 .

2.8.

Grupos simples

Teorema 2.46 Sea φ : G → G0 un homomorfismo. Si N C G, φ[N ] C φ[G]. Si N 0 C φ[G], φ−1 [N 0 ] C G. Demostraci´ on: Sean N C G y N 0 C φ[G]. φ[N ] ≤ φ[G] y φ−1 [N 0 ] ≤ G por el teorema 2.5. Ahora si (φ(g), φ(n)) ∈ φ[G] × φ[N ], gng −1 ∈ N y φ(gng −1 ) = φ(g)φ(n)φ(g)−1 ∈ φ[N ], luego φ[N ] C φ[G]. Por otro lado si g, n ∈ G × φ−1 [N 0 ], φ(gng −1 ) = φ(g)φ(n)φ(g)−1 ∈ N 0 y gng −1 ∈ φ−1 [N 0 ], luego φ−1 [N 0 ] C G. F

28

Cap´ıtulo 2. Homomorfismos

2.47 Ejemplo: En S3 considere µ = (2 3). Defina el homomorfismo φ : Z2 → S3 por φ(0) = 0 y φ(1) = µ. Ahora bien Z2 C Z2 , pero {id, µ} = φ[Z2 ] no es subgrupo normal de S3 , como ya se vio previamente. 2.48 Observaciones. i) Como lo muestra el ejemplo anterior, a´ un si N C G, φ[N ] puede no ser subgrupo normal de G0 . ii) Sabiendo que construir grupos factor nos ilustra sobre la din´ amica del grupo, podemos preguntarnos en que condiciones un grupo no admite sino colapsos triviales. 2.49 Definiciones (Grupo simple, subgrupo normal maximal): i) Un grupo G es llamado simple si su u ´nico subgrupo propio normal es {e}. ii) Un subgrupo propio normal M de G es llamado maximal, si: N CG∧M son subgrupos normales de G. Demostraci´ on: Comencemos con K, si g ∈ G, eg = ge, luego e ∈ K. Ahora si k1 , k2 ∈ K y g ∈ G, k1 g = gk1 , as´ı multiplicando a izquierda y derecha por k1−1 obtenemos, gk1−1 = k1−1 g, luego k1−1 ∈ K, y k1 k2 g = k1 gk2 = gk1 k2 , as´ı k1 k2 ∈ K. Entonces K ≤ G. Ahora sea (g, k) ∈ G × K. Entonces si g 0 ∈ G, (gkg −1 )g 0 = kg 0 = g 0 k = g 0 (gkg −1 ), luego gkg −1 ∈ K. As´ı K C G. Ahora preocupemonos por H. H ≤ G por definici´ on. Si a, b ∈ G, e = [a : a] ∈ H, [a : b]−1 = [b : a] ∈ H. Luego por el teorema 1.38, H consiste de todos los productos finitos de conmutadores. Si x, y, g ∈ G, gxyg −1 = (gxg −1 )(gyg −1 ), entonces concluiremos que H es normal si g[x : y]g −1 es un producto de conmutadores. Pero, g[x : y]g −1

= gxyx−1 y −1 g −1 = gxyx−1 (g −1 y −1 yg)y −1 g −1 = ((gx)y(gx)−1 y −1 )(ygy −1 g −1 ) = [gx : y][y : g]

luego H C G.

F

2.55 Definiciones (Centro y conmutador): i) El centro de G es el subgrupo Z(G) definido por: Z(G) := {z ∈ G : zg = gz, ∀g ∈ G} ii) El conmutador de G es el subgrupo C(G) definido por: [G : G] :=< {[a : b] : a, b ∈ G} > 2.56 Observaci´ on: En el caso en que G es abeliano, su centro es todo G y su conmutador es {e}. Bajos estas condiciones estos subgrupos, como se pod´ıa esperar, no son de mucha utilidad. 2.57 Ejemplo: Por verificaci´ on (continuando el ejemplo 1.56), vemos que Z(S3 ) = {id} Teorema 2.58 Sea G un grupo: i) G/[G : G] es abeliano. ii) G/N es abeliano si y s´ olo si [G : G] ≤ N

30

Cap´ıtulo 2. Homomorfismos

Demostraci´ on: Sean a, b ∈ G, como [a : b] ∈ [G : G], ab(ba)−1 [G : G] = [G : G], luego ab[G : G] = ba[G : G]. As´ı G/[G : G] es abeliano. Ahora suponga que G/N es abeliano, esto equivale a: para todo a, b ∈ G, abN = baN ; que sucede si y s´ olo si [a : b] = ab(ba)−1 ∈ N para todo a, b ∈ G, que es [G : G] ≤ N . F 2.59 Ejemplo: S3 /A3 es abeliano luego [G : G] ≤ A3 . Con la notaci´ on de 1.56, [ρ : σ] = ρσρ2 σ = ρσσρ = ρ2 y [ρ2 : σ] = ρ2 σρσ = σρ2 σ = σσρ = ρ. Luego A3 ≤ [G : G]. Concluimos que [G : G] = A3 .

2.10.

Ejercicios

1. Sea φ : G → G0 un homomorfismo de grupos. Pruebe que: (a) Si |G| es finito, entonces |φ[G]| es finito y es un divisor de |G|. (b) Si |G0 | es finito, entonces |φ[G]| es finito y es un divisor de |G0 |. 2. Pruebe que todo homomorfismo φ : G → G0 donde |G| es un primo debe ser o bien el homomorfismo trivial o bien un homomorfismo inyectivo. 3. Sea G un grupo y sea g un elemento fijo de G. Pruebe que la aplicaci´ on ig : G → G definida por ig (x) = gxg −1 es un isomorfismo de grupos. (Un isomorfismo de un grupo G en si mismo es llamado un automorfismo de G. El automorfismo ig es llamado el automorfismo interno de G por g). 4. Sea H un subgrupo de un grupo G. Pruebe que H C G si y solo si ig [H] = H, para todo g ∈ G. (Es decir, H es normal en G si y solo si H es invariante bajo todos los automorfismos internos de G). 5. Un subgrupo H es dicho conjugado con un subgrupo K de un grupo G si existe un automorfismo interno ig de G tal que ig [H] = K. Pruebe que la conjugaci´ on es una relaci´ on de equivalencia sobre la colecci´ on de subgrupos de G. 6. Sea H un subgrupo normal de un grupo G, y sea m = (G : H). Pruebe que am ∈ H para todo a ∈ G. 7. Pruebe que la intersecci´ on de subgrupos normales de un grupo G es un subgrupo normal de G. 8. Pruebe que si un grupo G tiene exactamente un solo subgrupo H de un orden dado, entonces H C G. 9. Pruebe que si H y N son subgrupos de un grupo G, donde N es normal en G, entonces H ∩ N es normal en H. Pruebe con un ejemplo que H ∩ N no es necesariamente normal en todo G.

Ejercicios

31

10. Pruebe que el conjunto de todos los automorfismos de un grupo G forman un grupo bajo la operaci´ on de composici´ on.( Dicho grupo se denota por AUT(G)). 11. Pruebe que los automorfismos internos de un grupo G forman un subgrupo normal de AUT(G). (Pruebe primero que el conjunto de los automorfismos internos de G es un subgrupo de AUT(G)). 12. Sean G y G0 dos grupos y sean H y H 0 subgrupos normales de G y G0 respectivamente. Sea φ un homomorfismo de G en G0 tal que φ[H] ⊆ H 0 . Pruebe que φ induce un homomorfismo natural φ∗ : G/H → G0 /H 0 . 13. Pruebe que si un grupo finito G contiene un subgrupo propio de ´ındice 2 en G, entonces G no es simple. 14. Pruebe que si un grupo G no es abeliano, entonces el grupo factor G/Z(G) no es c´ıclico. 15. Use el ejercicio anterior para probar que un grupo G no abeliano de orden pq, donde p y q son primos, tiene un centro trivial.

32

Cap´ıtulo 2. Homomorfismos

Cap´ıtulo 3

Conjugaci´ on 3.1.

Elementos y subgrupos conjugados

3.1 Definici´ on (Elementos conjugados): Dos elementos k, h de un mismo grupo G son conjugados si k = ghg −1 para alg´ un g ∈ G. 3.2 Observaciones a la definicici´ on 3.1. i) La relaci´ on ser conjugados es una relaci´ on de equivalencia en el grupo, la verificaci´ on de esta trivialidad se le deja al lector. Las clases de equivalencia de esta relaci´ on las denominaremos clases de conjugaci´ on y la ¯ notaremos [h]. ii) La clase de conjugaci´ on de la identidad contiene solamente a la identidad. Adem´ as es la u ´nica clase de conjugaci´ on que es un grupo, ya que las otras no contienen a la identidad. iii) Un grupo es abeliano si y s´ olo si todas sus clases de conjugaci´ on son conjuntos unipuntuales (ejercicio). 3.3 Definici´ on (Centralizador): Sea G un grupo y h ∈ G. El Centralizador de h, que notaremos C(h), esta definido por: C(h) := {g ∈ G : hg = gh} 3.4 Ejemplo: Considere S3 , el grupo de permutaciones sobre el conjunto {1, 2, 3}. Sea h = (1 2). Entonces, el centralizador de h es C(h) = {id, (1 2)}. Claramente C(h) ≤ S3 , pero C(h) no es subgrupo normal en S3 pues (1 3)(1 2)(1 3)−1 = (2 3). 3.5 Observaci´ on. El Centralizador de h son justamente los elementos de G que conmutan con h. Evidentemente e ∈ C(h), ahora si g, g 0 ∈ C(h) entonces hgg 0 = ghg 0 = gg 0 h, esto es gg 0 ∈ C(h). Lo anterior muestra que C(h) ≤ G. El

34

Cap´ıtulo 3. Conjugaci´ on

centralizador “tiene apariencia” de ser un subgrupo normal, aunque el ejemplo anterior muestra que no siempre es el caso. Pero, aunque C(h) no es subgrupo normal, si podemos definir las siguientes aplicaciones que ser´ an de gran utilidad en el futuro: 3.6 κh : G −→ G g 7−→ hgh−1 Note que si hgh−1 = hg 0 h−1 entonces g = g 0 y si g 0 = h−1 gh entonces hg 0 h−1 = g, luego κh es una biyecci´ on. Ademas para g, g 0 ∈ G arbitrarios hgg 0 h−1 = −1 0 −1 (hgh )(hg h ), luego κh es isomorfismo de G en G (es decir, κh es un automorfismo de G). Ahora bien, si b ∈ gC(h) entonces b = gk para alg´ un k ∈ C(h) as´ı bhb−1 = −1 −1 −1 −1 gkh(gk) = gkhk g = ghg . Luego: fh : G/C(h) −→ G gC(h) 7−→ κg (h) esto es fh (gC(h)) = ghg −1 , esta bien definida. Note que fh no es necesariamente un homomorfismo pues G/C(h) no tiene porque tener estructura de grupo, puesto que C(h) no es necesariamente normal en G. ¯ = (G : C(h)). Teorema 3.7 Sea G un grupo finito, y h ∈ G. Entonces: |[h]| Demostraci´ on: Es claro que para demostrar esto basta ver que la aplicaci´ on ¯ fh definida en 3.6 es biyectiva, ya que cuando g recorre G, fh (g) recorre [h]. Suponga que fh (aC(h)) = fh (bC(h)), esto es aha−1 = bhb−1 o ´ b−1 ah = hb−1 a, −1 ¯ as´ı a = luego b a ∈ C(h) lo que equivale a aC(h) = bC(h). Ahora sea a ∈ [h] ghg −1 para alg´ un g ∈ G, luego κg (h) = a o ´ fh (gC(h)) = a. F 3.8 El hecho que κg sea un isomorfismo, implica que si H ≤ G entonces gHg −1 ≤ G, lo que nos sugiere expandir nuestra relaci´ on de ser conjugados a la siguiente, que tambi´en es de equivalencia: 3.9 Definici´ on (Subgrupos conjugados): Dos subgrupos H, K de un mismo grupo G son conjugados si K = gHg −1 para alg´ un g ∈ G.

3.2.

An para n ≥ 5 es simple

3.10 Recordemos los siguientes resultados ya obtenidos: i) Toda permutaci´ on de un conjunto finito es la permutaci´ on identidad, un ciclo, o un producto de dos o m´ as ciclos disyuntos.

An para n ≥ 5 es simple

35

ii) Toda permutaci´ on de un conjunto finito con m´ as de un elemento puede expresarse como un producto finito de transposiciones. iii) Una permutaci´ on de un conjunto finito es un producto o bien de un n´ umero par de transposiciones o bien de un n´ umero impar de transposiciones, pero no las dos. iu) Un n-ciclo es, par si n − 1 es par; impar si n − 1 es impar. u) Toda permutaci´ on par de un conjunto finito con al menos tres elementos puede expresarse como un producto de 3-ciclos. ((a b)(a c) = (a b c), (a b)(c d) = (a c b)(a c d)) Lema 3.11 Si k ≤ n − 2 es impar, todos los k-ciclos en An pertenecen a una misma clase de conjugaci´ on. Demostraci´ on: Sea k como en las hip´ otesis. Demostraremos que todo k-ciclo es conjugado de h = (1 2 . . . k). Considere un ciclo k = (m1 m2 . . . mk ) en An . Sea g ∈ An tal que g(i) = mi (¿Por qu´e existe un tal elemento en An ?). As´ı g −1 (mi ) = i. Ahora si i ≤ k − 1, ghg −1 (mi ) = gh(i) = g(i + 1) = mi+1 y ghg −1 (mk ) = gh(k) = g(1) = m1 . Pero si d ∈ {1, . . . , n} es tal que d 6= mi , para todo i ∈ {1, . . . , k}, g −1 (d) ≥ k + 1, y as´ı hg −1 (d) = g −1 (d) entonces ghg −1 (d) = d. Luego ghg −1 = k, esto es k y h son conjugados. F 3.12 Observaci´ on: A4 no es simple. Considere V4 := {id, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)} Sea g ∈ A4 , entonces g(1 2)(3 4)g −1 = (g(1) g(2))(g(3) g(4)) es un elemento de V4 y algo similar sucede con las otras dos permutaciones de V4 diferentes a la identidad. Luego V4 C A4 . (Ejercicio: pruebe que V4 es el u ´nico subgrupo normal propio no trivial de A4 ). Lema 3.13 Sea n ≥ 5 y N C An no trivial. Entonces, existen g ∈ N \{id} y a ∈ {1, 2, . . . , n}, tales que g(a) = a. Demostraci´ on: Dividimos la prueba en dos casos: uno, todo elemento h ∈ N es tal que h2 = id; dos, el caso en que no. Suponga que primero que no, y sean h ∈ N y a ∈ {1, 2, . . . , n} tales que h2 (a) 6= a. Sea b = h(a), c = h(b), as´ı a, b y c son distintos. Ahora como n ≥ 5, existen otros dos elementos d, e distintos a los tres anteriores. Sea h0 = (c d e)h(c d e)−1 as´ı h0 ∈ N y h0 (a) = b, h0 (b) = d. Luego h0 6= h y si g = h−1 h0 , entonces g ∈ N , donde g no es la identidad y g(a) = a. Ahora suponga el otro caso, y sea h ∈ N \{id} y a ∈ {1, 2, . . . , n} tal que h(a) 6= a. Sea b = h(a). Ahora como h es par h 6= (a b) y as´ı existen dos elementos m´ as c y d, distintos, tales que h(c) = d. Sea e un quinto elemento distinto de a, b, c, y d, y sea h0 = (c d e)h(c d e)−1 . Entonces h0 ∈ N es tal que h0 (a) = b y h0 (d) = e luego h0 6= h y si g = h−1 h0 , entonces g ∈ N , donde g no es la identidad y g(a) = a. F

36

Cap´ıtulo 3. Conjugaci´ on

Lema 3.14 Sea n ≥ 5 y N C An . Si N contiene un 3-ciclo, N = An . Demostraci´ on: Por el lema 3.11 si N contiene un 3-ciclo, al ser normal tambi´en contiene los dem’as 3-ciclos. Ahora por 3.10 u), estos generan An . F Teorema 3.15 Si n ≥ 5, An es simple. Demostraci´ on: Procederemos por inducci´ on sobre n. Sea N C A5 no trivial. Por el lema 3.13, existen g ∈ N \ {id} y a ∈ {1, . . . , 5} tales que g(a) = a. Sea h ∈ A5 tal que h(a) = 5, y g 0 = hgh−1 , luego g 0 (5) = 5 y g 0 ∈ N \ {id}. Defina H = {g ∈ A5 : g(5) = 5}, as´ı H ≤ G y H ' A4 . Luego N ∩ H C H, y g 0 ∈ N ∩ H, y como el u ´nico subgrupo propio no trivial normal de A4 es V4 , {(1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)} ⊂ N ∩ H. Ahora (1 2)(4 5) = (3 4 5)(1 2)(3 4)(3 4 5)−1 , luego (1 2)(4 5) ∈ N . Adem´ as (3 4 5) = (1 2)(3 4)(1 2)(4 5), as´ı (3 4 5) ∈ N . Entonces por el lema 3.14, N = A5 . Sea n > 5. Suponga que An−1 es simple. Sea N C An no trivial y H = {g ∈ An : g(n) = n}. Por el lema 3.13, existen g ∈ N \ {id} y a ∈ {1, . . . , n} tales que g(a) = a. Sea h ∈ An tal que h(a) = n, y g 0 = hgh−1 , luego g 0 (n) = n y g 0 ∈ N \ {id}. Luego N ∩ H C H, y g 0 ∈ N ∩ H, entonces N ∩ H = H, pues H ' An−1 y An−1 es simple, as´ı N contiene un 3-ciclo y entonces por el lema 3.14, N = An . F 3.16 Observaciones. i) Actualmente debe ser claro para el lectorQlo elegante de la conjugaci´ on n −1 (a b ), entonces ghg = en los grupos de permutaciones. Si h = i i i=1 Qn (g(a ) g(b )). Es impreciso hablar de una productoria en un grupo i i i=1 no abeliano, para que la identidad sea cierta se requiere que se considere el mismo orden en el producto que expresa ghg −1 que el que se us´ o para h. Lo anterior, evidentemente, no es lo u ´nico impresionante en todo esto. ´ ii) Uno de los objetivos de los primeros cursos en Algebra Abstracta es demostrar la insolubilidad de los polinomios de grado mayor o igual a cinco (“la insolubilidad de la quintica”). Por extra˜ no que nos parezca actualmente, el hecho que An sea simple para n ≥ 5 es una de las razones para ello. Elegante, ¿no?. Sigamos entonces con nuestro estudio.

3.3.

Ejercicios

1. Pruebe que un grupo G es abeliano si y solo si todas sus clases de conjugaci´ on contienen exactamente un elemento de G. 2. Sea H un subgrupo de un grupo G. Para cada g ∈ G, el subconjunto gHg −1 es un conjugado de H. Probar que cada conjugado de H es un subgrupo de G y que la intersecci´ on de los conjugados de H es un subgrupo normal de G.

Cap´ıtulo 4

Acci´ on de grupo sobre un conjunto 4.1.

G-conjuntos

4.1 Definici´ on (Acci´ on de Grupo y G-conjunto): Sea X un conjunto y G un grupo. Una acci´ on de G sobre X es una aplicaci´ on ∗ : G × X → X tal que: i) e ∗ x = x, ∀x ∈ X ii) (g1 g2 ) ∗ x = g1 ∗ (g2 ∗ x), ∀x ∈ X, ∀g1 , g2 ∈ G Bajo estas condiciones, X es un G-conjunto. Cuando no halla lugar a confuci´ on notaremos g ∗ x por gx. 4.2 Nota. Aqu´ı definimos la acci´ on “actuando por la izquierda”, algunos libros la prefieren “actuando por la derecha”. Por lo general esto u ´ltimo se hace cuando tambi´en se prefiere la composici´ on por derecha (i.e. f ◦ g(x) = g(f (x))). 4.3 Ejemplo: Sea X un conjunto, y H un subgrupo de SX . Entonces X es un H-conjunto, donde la acci´ on de H sobre X es la definida por gx = g(x). La condici´ on ii) de la definici´ on 4.1, es una consecuencia inmediata de la definici´ on de multiplicaci´ on de permutaciones vista como composici´ on, y la condici´ on i), de la definici´ on de la permutaci´ on identidad como la funci´ on identidad. Note que en particular, {1, . . . , n} es un Sn -conjunto. 4.4 El siguiente teorema muestra que para cada G-conjunto X, dado un g ∈ G la aplicaci´ on σg : X → X definida por σg (x) = gx es una permutaci´ on de X, y que existe un homomorfismo Φ : G → SX tal que la acc´ıon de G sobre X es b´ asicamente la descrita en el ejemplo 4.3 con H = Φ[G]. Por lo tanto, las acciones de los subgrupos de SX sobre X describen todas las posibles acciones de un grupo G sobre X. As´ı al momento de estudiar el conjunto X, acciones usando

38

Cap´ıtulo 4. Acci´ on de grupo sobre un conjunto

subgrupos de SX ser´ an suficientes. Sin embargo, algunas veces, un conjunto X es usado para estudiar G v´ıa una acci´ on de grupo G sobre X. Teorema 4.5 Sea X un G-conjunto. Para cada g ∈ G, la funci´ on σg : X → X definida por σg (x) = gx es una permutaci´ on de X. Adem´ as, la aplicaci´ on Φ : G → SX definida por Φ(g) = σg es un homomorfismo. As´ı Φ(g)(x) = gx, esto es: Φ : G −→ SX g 7−→ σg : X → X x 7→ gx

Demostraci´ on: Dado g ∈ G, demostremos que x 7→ gx es una biyecci´ on. Sean x, y ∈ X, tales que gx = gy. As´ı por 4.1 ii), ex = g −1 gx = g −1 gy = ey, luego por 4.1 i), x=y. Ahora, sea x ∈ X, tome x0 = g −1 x, as´ı gx0 = gg −1 x = ex = x. Visto entonces que x 7→ gx es una biyecci´ on, tiene sentido nuestra funci´ on Φ, pues x 7→ gx es una permutaci´ on. Ahora, de la condici´ on ii) de la definici´ on 4.1 se sigue inmediatamente que Φ es un homomorfismo. F 4.6 Definiciones (Acci´ on fiel, acci´ on transitiva): Sea X un G-conjunto. i) Decimos que G act´ ua fielmente sobre X si: dado un g ∈ G tal que gx = x para todo x, implica g = e. ii) Decimos que G act´ ua transitivamente sobre X si: para cada x1 , x2 ∈ X, existe un g ∈ G tal que gx1 = x2 . 4.7 Observaci´ on. Sea X un G-conjunto. Seg´ un el teorema 4.5 y el corolario 2.13, el subconjunto N de G que deja todo elemento de X fijo es un subgrupo normal. Ahora, por el teorema fundamental del homomorfismo, a X lo podemos ver como un G/N -conjunto, donde gN x = gx. As´ı G/N act´ ua fielmente sobre X. 4.8 Ejemplos: i) Considere λg : G → G definida por λg (g 0 ) = gg 0 . Ahora λe = id y λg1 ◦ λg2 = λg1 g2 , luego si definimos g ∗ x = λg (x), G es un G-conjunto. Si H ≤ G, de misma forma podemos ver a G como un H-conjunto. Note que con las ρg : G → G, definidas por ρg (g 0 ) = g 0 g podemos definir un acci´ on a derecha pero no a izquierda. ii) Recuerde κg : G → G definida por κg (g 0 ) = gg 0 g −1 . Entonces, κe = id y κg1 ◦ κg2 = κg1 g2 , luego si definimos g ∗ x = λg (x), G es un G-conjunto. iii) Sea V un espacio vectorial sobre R, los axiomas 1~v y (rs)~v = r(s~v ), muestran que V se puede ver como un R∗ -conjunto, con el grupo < R∗ , ., 1 >.

Subgrupo estabilizador y o ´rbitas

39

iu) Sea S n = {x ∈ Rn+1 : kxk = 1} la esfera n-dimensional. Considere SOn+1 (R) = {U ∈ Mn+1×n+1 : det(U ) = 1 ∧ U U t = I} el conjunto de matrices ortonormales de dimensi´ on n + 1 × n + 1. As´ı bajo la acci´ on U ∗ x = U x, S n es un SOn+1 (R)-conjunto. u) Sea H ≤ G y LH el conjunto de los coconjuntos izquierdos de H en G. Bajo la acci´ on g ∗ xH = (gx)H, LH es un G-conjunto. Esta acci´ on ser´ a de gran utilidad (cf. Cap´ıtulo 6).

4.2.

Subgrupo estabilizador y o ´rbitas

4.9 Notaci´ on. Sea X un G-conjunto, notaremos: Xg := {x ∈ X : gx = x}, y Gx := {g ∈ G : gx = x} Teorema 4.10 Sea X un G-conjunto. Entonces, Gx ≤ G, para todo x ∈ X. Demostraci´ on Sea x ∈ X. ex = x luego e ∈ Gx , si g ∈ Gx , g −1 x = g −1 gx = x, −1 luego g ∈ Gx , y finalmente si g1 , g2 ∈ Gx , g1 g2 x = g1 x = x, entonces g1 g2 ∈ Gx . F 4.11 Definici´ on (Subgrupo estabilizador): Dado X un G-conjunto. A Gx lo llamamos el subgrupo estabilizador de x. Teorema 4.12 Sea X un G-conjunto. La relaci´ on ∼ definida por x1 ∼ x2 si existe un g ∈ X tal que gx1 = x2 , es de equivalencia. Demostraci´ on: ex = x, para todo x ∈ X, luego la relaci´ on es reflexiva.Sea x1 , x2 , x3 ∈ X. Si gx1 = x2 , x1 = g −1 x2 , entonces la relaci´ on es simetrica. Ahora si g1 x1 = x2 y g2 x2 = x3 , tenemos que g2 g1 x1 = x3 , luego la relaci´ on es tambi´en transitiva. F ´ 4.13 Definici´ on (Orbitas): A la clase de equivalencia de x de la relaci´ on definida en 4.12, la llamamos o ´rbita de x, y la notaremos Gx. As´ı: Gx := {a ∈ X| ∃g ∈ G : gx = a} 4.14 Aunque la notaci´ on de la o ´rbita y del estabilizador se parecen, no hay que confundirlos. Existen otras notaciones para estos conjuntos pero esta nos parece bastante descriptiva. Ahora bien, un lector prudente que ya se desenvuelva en esta teor´ıa, le parecer´ a el siguiente resultado muy natural. Teorema 4.15 |Gx| = (G : Gx ) Demostraci´ on: Si x0 ∈ Gx, con x0 = g1 x = g2 x entonces g1−1 g2 ∈ Gx , luego g1 Gx = g2 Gx . As´ı podemos definir ψ : Gx → {gGx }g∈G por ψ(gx) = gGx . Veamos que ψ es una biyecci´ on. Sea x1 , x2 ∈ Gx, tales que ψ(x1 ) = ψ(x2 ). Ahora, suponga que x1 = g1 x y x2 = g2 x, as´ı g1 Gx = g2 Gx luego existe un g ∈ Gx tal que g2 = g1 g, entonces x2 = g1 gx = g1 x = x1 . La sobreyectividad es evidente, dado g ∈ G, ψ(gx) = gGx . F

40

4.3.

Cap´ıtulo 4. Acci´ on de grupo sobre un conjunto

Aplicaciones de G-conjuntos en combinatoria: La f´ ormula de Burnside

4.16 Suponga que queremos saber de cuantas maneras se puede marcar un dado c´ ubico de forma que cada marcada sea distinguible de las otras, sin importarnos que lados opuestos sumen siete. Para marcar la primera cara disponemos de 6 n´ umeros, para la segunda de 5, y as´ı sucesivamente vemos que tenemos 6! = 720 formas de marcarlos, pero varias de estas marcadas no son distinguibles pues algunas se pueden obtener de otras mediante rotaci´ on. As´ı si consideramos las diferentes rotaciones del cubo como un grupo, y las 720 marcadas como un conjunto, dos de estas no son distinguibles si est´ an en la misma o ´rbita de la acci´ on “rotar el cubo”. Aqu´ı es donde el problema se une con nuestra teor´ıa, y para resolverlo usamos la f´ ormula de Burnside. Teorema 4.17 (La f´ ormula de Burnside) Sea G un grupo P finito y X un Gconjunto. Si r es el n´ umero de o ´rbitas en X, entonces: r|G| = g∈G |Xg |.

Demostraci´ on: Considere todos los pares (g, x) tales que gx = x, y sea N el n´ umero de dichos pares. Para cada g ∈ G, hay |Xg | pares teniendo a g como primer elemento. Entonces: X N= |Xg | (4.1) x∈X

Por otro lado, para cada x ∈ X, hay |Gx | pares teniendo a x como segundo elemento. Entonces: X |Gx | (4.2) N= x∈X

Ahora, por el teorema 4.15, |Gx| = (G : Gx ), y por el teorema de Lagrange (G : Gx ) = |G|/|Gx |, as´ı |Gx | = |G|/|Gx|, y remplazando en (4.2): N=

X 1 X |G| = |G| |Gx| |Gx|

x∈X

(4.3)

x∈X

P Ahora |Gx| es el mismo para todo x0 ∈ Gx, luego x0 ∈Gx 1/|Gx| = 1, as´ı de (4.3), N = |G|r, y combinando esto con (4.1) obtenemos el resultado buscado. F Corolario 4.18 Si G es un grupo finito y X un G-conjunto, entonces: (n´ umero de o ´rbitas en X bajo G) =

1 X |Xg | |G| g∈G

4.19 Ejemplo: Continuemos con el problema del dado. Est´ abamos en que dos marcadas son distinguibles si y s´ olo si pertenecen a o ´rbitas distintas, luego nuestro problema se reduce a contar el n´ umero de estas. Formalicemos la idea de actuar por “rotaci´ on del cubo”. Primero note que hay 24 posibles posiciones para el cubo mediante rotaci´ ones: cada cara se puede poner abajo (6 posibilidades),

La f´ ormula de Burnside

41

y despu´es, la posici´ on del cubo queda completamente determinada por la cara que se ponga al frente (4 posibilidades). Estas rotaciones, si etiquetamos cada v´ertice del cubo, se pueden identificar naturalmente con un subgrupo G de S8 de 24 elementos (ver figura 4.1). As´ı |G| = 24, y adem´ as, dado g ∈ G con g 6= e, se tiene |Xg | = 0, pues toda rotaci´ on diferente a la identidad cambia de posici´ on el dado. Sin embargo |Xe | = 720. Entonces por el corolario 4.18, el n´ umero de 1 720 = 30. Luego el n´ umero de marcadas distinguibles es 30. o ´rbitas es 24 5

8

PSfrag replacements6

7

4

8 5

3

1

2

id

7 6

3 4

„

7 8

2 1

12345678 23416785

6 5

2

„

7

1

3

«

6

4

12345678 34127856

8

1 2

«

„

4 3

12345678 41238567

Figura 4.1: Rotaciones del cubo Teorema 4.20 Sea G un grupo. Sea A un G-conjunto y B un conjunto, ambos finitos. B A es un G-conjunto bajo g ∗ f definida por gf (x) = f (g −1 x). Adem´ as, si dado un k ∈ N∗ , denotamos Ck (G) el conjunto de permutaciones en Φ[G], donde Φ es el homomorfismo del teorema 4.5, teniendo exactamente k ciclos en su descomposici´ on c´ıclica. Entonces: (n´ umero de o ´rbitas en B A bajo G) =

5

+∞ 1 X |Ck (G)||B|k |G| k=1

Demostraci´ on: Como ef (x) = f (e−1 x) = f (x) y (g1 g2 )f (x) = f ((g1 g2 )−1 x) = −1 −1 f (g2 g1 x) = g2 f (g1−1 x) entonces vemos que lo que se defini´ o en el enunciado del teorema es una acci´ on. Ahora bien, por la f´ ormula de Burnside, es suficiente demostrar que para un k ∈ N∗ dado: X |Ck (G)||B|k = |Xg | g∈Ck (G)

Note que si σ es una permutaci´ on en A, como en la descomposici´ on los c´ıclos son disyuntos, f (σ(a)) = f (a) para todo a ∈ A si y s´ olo si f es constante sobre cada c´ıclo de σ. Suponga que g ∈ Ck (g), entonces BgA = {f ∈ B A : gf = f }, y BgA esta compuesta por todas las aplicaciones que son constantes en cada uno de los k c´ıclos de Φ(g −1 ), y estas son |B|k . F 4.21 Ejemplo: Sean n c´ırculos iguales dispuestos en c´ırculo. Queremos ver cual es el n´ umero de coloraciones distinguibles que se logran con c colores. Note

«

42

Cap´ıtulo 4. Acci´ on de grupo sobre un conjunto

que si consideramos los n c´ırculos como los v´ertices de un pol´ıgono convexo regular con n lados, entonces podemos usar el grupo diedral Dn para representar las distintas configuraciones de los c´ırculos. Sean entonces A el conjunto de los n c´ırculos, G = Dn (|G| = 2n) y B el conjunto de los c colores. Ahora cada coloraci´ on se puede ver como un elemento de P B A , luego si el n´ umero de coloraciones distinguibles es N , tenemos N = n 1 k k=1 |Ck (G)|c . 2n umero de elementos en Zn El n´ umero de rotaciones que son k nk -ciclos es el n´ que generan un subgrupo de orden nk , esto es |Nk | donde Nk = {a ∈ {1, . . . , n} : (a, n) = k}. Ahora si n es impar, cada una de las n simetr´ıas pasa por un v´ertice, luego es n−1 ıas 2 2-ciclos y un 1-ciclo. Y si n es par, cada una de las n/2 simetr´ que pasan por un v´ertice es n−2 2 2-ciclos y dos 1-ciclos, y cada una de las n/2 simetr´ıas que no pasan por alg´ un v´ertice es n2 2-ciclos. Esto abarca todos los elementos de Dn . Entonces:  n+1 1 P  si n es impar ( k|n |Nk |ck + c 2 )  2n N=   1 (P |Nk |ck + n (c n2 + c n2 +1 )) si n es par. k|n 2n 2

4.4.

Ejercicios

1. Sea X un G-conjunto, y sean x1 , x2 ∈ X tales que x1 y x2 se encuentran en la misma o ´rbita. Probar que los estabilizadores Gx1 y Gx2 de x1 y x2 respectivamente, son subgrupos conjugados en G. Deducir que Gx1 y Gx2 tienen el mismo orden. 2. Sea X un G-conjunto, donde G es un grupo de permutaciones. Sea O una o ´rbita de X bajo la acci´ on de G. Si x, y ∈ O, entonces pruebe que el conjunto de permutaciones en G que env´ıan x a y (es decir, el conjunto {σ ∈ G : σ(x) = y}) es un coset derecho de Gx . Contrariamente, pruebe que todos los elementos de un coset derecho de Gx env´ıan x al mismo punto en O. 3. Sea G un grupo de permutaciones actuando transitivamente sobre un conjunto X. Entonces, G act´ ua sobre X × X, y una o ´rbita de X × X bajo la acci´ on de G es llamada un o ´rbital (para diferenciarla de una o ´rbita de X bajo G). Sea x ∈ X. Pruebe que existe una biyecci´ on entre los o ´rbitales de X × X bajo G y las o ´rbitas de X bajo la acci´ on del subgrupo estabilizador Gx .

Cap´ıtulo 5

Teoremas de Isomorfismos y Series de Grupos 5.1.

Teoremas de Isomorfismos

Teorema 5.1 (Primer Teorema de Isomorfismo) Sea φ : G → G0 un homomorfismo con kernel K, y sea ρK : G → G/K la proyecci´ on can´ onica (i.e. ρK (g) = gK). Entonces, hay un u ´nico isomorfismo ψ : G/K → φ[G] tal que φ = ψ ◦ ρK (ver figura 5.1). PSfrag replacements G

φ

φ[G] ≤ G0

ρK ψ

G/K

Figura 5.1: Primer Teorema de Isomorfismo 5.2 Definici´ on (join): Sean H, N ≤ G. Se define el join H ∨ N de H y de N por: H ∨ N :=< HN > 5.3 Observaci´ on. H ∨N es el subgrupo m´ as peque˜ no de G que contiene HN . Adem´ as H ∨ N es el subgrupo m´ as peque˜ no de G conteniendo tanto a H como a N , puesto que cada uno de tales subgrupos debe contener HN . En general, HN no es un subgrupo de G. Lema 5.4 Si N C G, y H ≤ G, entonces H ∨ N = HN = N H. Adem´ as, si H C G, entonces HN C G.

44

Cap´ıtulo 5. Teoremas de Isomorfismos y Series de Grupos

Demostraci´ on: La primera parte del lema no es sino una reformulaci´ on del teorema 2.21 iii). Ahora, supongamos adem´ as que H C G, y sea h ∈ H, n ∈ N y g ∈ G, luego ghng −1 = (ghg −1 )(gng −1 ) ∈ HN , y as´ı HN C G. F Teorema 5.5 (Segundo Teorema de Isomorfismo) Si H ≤ G y N C G, entonces HN/N ' H/(H ∩ N ). Demostraci´ on: Como N C G entonces H ∩ N C H. Sean h, h1 ∈ H y n, n1 ∈ N , y suponga que h1 n1 = hn. Eso es equivalente a h−1 h1 = nn−1 ı h−1 h1 esta en 1 , as´ H y en N , es decir, h−1 h1 ∈ H ∩ N que es lo mismo que h(H ∩ N ) = h1 (H ∩ N ) elemento de H/(H ∩ N ). Luego podemos definir φ : HN → H/(H ∩ N ) por φ(hn) = h(H ∩ N ). Veamos que φ es un homomorfismo. Sean n1 , n2 ∈ N y h1 , h2 ∈ H. Como en el lema 5.4, se puede escribir n1 h2 = h2 n3 para alg´ un n3 ∈ N , puesto que N C G. Entonces: φ((h1 n1 )(h2 n2 )) = φ((h1 h2 )(n3 n2 )) = h1 h2 (H ∩ N ) = h1 (H ∩ N )h2 (H ∩ N ) = φ(h1 n1 )φ(h2 n2 ). Luego φ es homomorfismo, y es evidente que es sobreyectivo. Ahora, si hn ∈ HN es tal φ(hn) = N , esto es hnN = N o ´ hN = N luego h ∈ H ∩ N . As´ı Ker(φ) = (H ∩ N )N = N , y adem´ as φ[HN ] = H/(H ∩ N ), luego por el teorema 5.1 HN/N ' H(H ∩ N ). F 5.6 Ejemplos: i) Sea G = Z × Z × Z, H = Z × Z × {0}, y N = {0} × Z × Z. As´ı HN = G y H ∩ N = {0} × Z × {0}. Se tiene entonces que (HN )/N ' Z y tambi´en que H/(H ∩ N ) ' Z. ii) Si H, K C G y K ≤ H, entonces H/K C G/K (compruebelo). Teorema 5.7 (Tercer Teorema de Isomorfismo) Sean H, K C G, con K ≤ H, entonces G/H ' (G/K)(H/K). Demostraci´ on: Sea φ : G → (G/K)(H/K) dada por φ(a) = (aK)(H/K), para a ∈ G. Claramente, φ es sobreyectiva, y para a, b ∈ G, se tiene que: φ(ab) = [(ab)K](H/K) = [(aK)(bK)](H/K) = [(aK)(H/K)][(bK)(H/K)] = φ(a)φ(b) Entonces φ es homomorfismo. Ahora, si x ∈ G es tal que φ(x) = H/K, x ∈ H, luego por el teorema 5.1 se tiene que G/H ' (G/K)(H/K). F 5.8 Nota. Una buena manera de ver el teorema 5.7 es mirando la aplicaci´ on can´ onica ρH : G → G/H siendo factorizada por un subgrupo normal K de G, obteni´endose ρH = ρH/K ◦ ρK , como se ilustra en 5.2

PSfrag replacements Series de Grupos

45 G

ρH

G/H Homomorfismo natural

ρK

G/K

ρH/K

(G/K)(H/K)

Figura 5.2: Tercer Teorema de Isomorfismo

5.2.

Series de Grupos

5.9 Definiciones (Series normales y subnormales): i) Una serie subnormal de un grupo G es una secuencia finita H0 , H1 , . . . , Hn de subgrupos de G tal que Hi < Hi+1 , para todo i ∈ {0, 1, . . . , n − 1}, y tal que {e} = H0 C H1 C H2 C · · · C Hn−1 C Hn = G ii) Una serie normal es una serie subnormal donde adem´ as: Hi C G, ∀i ∈ {0, 1, . . . , n}. 5.10 Observaciones. i) Para un grupo abeliano, las nociones de series subnormales y normales coincide, puesto que todo subgrupo es normal. ii) Una serie normal es siempre subnormal. Pero lo contrario no es cierto (ver 5.11). 5.11 Ejemplos: i) {0} C 8Z C 4Z C Z, y {0} C 9Z C Z, son series subnormales (y normales a la vez). ii) Considere D4 , el grupo de isometr´ıas del cuadrado (el grupo diedral). La serie {ρ0 } C {ρ0 , µ1 } C {ρ0 , ρ2 , µ1 , µ2 } C D4 es subnormal, pero no es normal, puesto que {ρ0 , µ1 } no es normal en D4 . 5.12 Definici´ on (Refinamiento): Una serie subnormal (normal) {Kj }j∈{0,1,...,m} es un refinamiento de una serie subnormal (normal) {Hi }i∈{0,1,...,n} de un grupo G si {Hi }i∈{0,1,...,n} ⊂ {Kj }j∈{0,1,...,m} (i.e. cada Hi es uno de los Kj ) 5.13 Ejemplo: La serie {0} C 72Z C 24Z C 8Z C 4Z C Z es un refinamiento de la serie {0} C 72Z C 8Z C Z (note que los subgrupos 4Z y 24Z han sido insertados). 5.14 Para estudiar le estructura de un grupo G, los grupos factor Hi+1 /Hi son de mucha utilidad.

46

Cap´ıtulo 5. Teoremas de Isomorfismos y Series de Grupos

5.15 Definici´ on (Series isomorfas): Dos series subnormales (normales) {Hi }i∈{0,1,...,n} y {Kj }j∈{0,1,...,n} de un mismo grupo G son isomorfas si existe una correspondencia biun´ıvoca entre las colecciones de grupos factores, esto es entre {Hi+1 /Hi }i∈{0,1,...,n−1} y {Kj+1 /Kj }j∈{0,1,...,n−1} tal que los grupos correspondientes son isomorfos 5.16 Observaci´ on. Claramente dos series subnormales (normales) isomorfas deben contener el mismo n´ umero de grupos. 5.17 Ejemplo: Las dos series de Z15 : {0} C< 5 >C Z15 y {0} C< 3 >C Z15 , son isomorfas. Tanto Z15 / < 5 > como < 3 > /{0} son isomorfos a Z5 , y Z15 / < 3 > es isomorfo a < 5 > /{0}, o a Z3 . Teorema 5.18 (Lema de Zassenhaus (mariposa)) Sean H y K dos subgrupos de un grupo G y sean H ∗ y K ∗ subgrupos normales de H y K respectivamente. Entonces (ver figura 5.3): i) H ∗ (H ∩ K ∗ ) C H ∗ (H ∩ K) ii) K ∗ (H ∗ ∩ K) C K ∗ (H ∩ K) iii)

H ∗ (H ∩ K)H ∗ (H ∩ K ∗ ) ' K ∗ (H ∩ K)/K ∗ (H ∗ ∩ K) ' (H ∩ K)/[(H ∩ K ∗ )(H ∗ ∩ K)]

H

PSfrag replacements

K ∗

∗

H (H ∩ K)

K (H ∩ K)

H∩K

H ∗ (H ∩ K ∗ )

K ∗ (H ∗ ∩ K)

H∗

K∗

H∗ ∩ K

H ∩ K∗ ∗

∗

(H ∩ K )(H ∩ K)

Figura 5.3: Lema de la Mariposa Demostraci´ on: H ∗ C H y H ∩ K es un subgrupo tanto de H como de K, luego por el lema 5.4 H ∗ (H ∩K) es grupo. De manera an´ aloga vemos que H ∗ (H ∩K ∗ ), ∗ ∗ ∗ K (H ∩ K), y K (H ∩ K) tambi´en lo son. Ahora si r∗ ∈ H ∗ ∩ K y s ∈ H ∩ K, entonces sr ∗ s−1 esta en H ∗ y en K, pero esto es sr∗ s−1 ∈ H ∗ ∩ K. Luego H ∗ ∩ K C H ∩ K. Con un mismo argumento

Series de Grupos

47

vemos que H ∩ K ∗ C H ∩ K. Y as´ı por el lema 5.4 (H ∗ ∩ K)(H ∩ K ∗ ) = (H ∩ K ∗ )(H ∗ ∩ K) =: L C H ∩ K. Veamos ahora que las tres inclusiones marcadas con negrita en la figura 5.18 son normales y sus grupos factores isomorfos, con eso habremos probado el lema. Para eso nos valdremos de un homomorfismo adecuadamente definido y del primer teorema de isomorfismo. Sean h1 , h2 ∈ H ∗ y x1 , x2 ∈ H ∩ K tales que h1 x1 = h2 x2 , esto es h−1 2 h1 = ∗ ∗ x2 x−1 1 ∈ H ∩ (H ∩ K) = H ∩ L ⊂ L. Luego x1 L = x2 L. Luego podemos definir φ : H ∗ (H ∩ K) → (H ∩ K)/L por φ(h∗ x) = xL donde h∗ ∈ H ∗ y x ∈ H ∩ K. Sean h1 , h2 ∈ H ∗ y x1 , x2 ∈ H ∩ K, como H ∗ C H, entonces existe h ∈ H ∗ tal que x1 h2 = hx1 . As´ı φ((h1 x1 )(h2 x2 ) = φ((h1 h)(x1 x2 )) = (x1 x2 )L = x1 Lx2 L = φ(h1 x1 )φ(h2 x2 ). Entonces φ es homomorfismo. Claramente φ es sobreyectivo. Ahora si h ∈ H ∗ , y x ∈ H ∩ K, son tales que φ(hx) = L, la condici´ on es equivalente a x ∈ L o ´ a hx ∈ H ∗ L = H ∗ (H ∗ ∩ K)(H ∩ K ∗ ) = H ∗ (H ∩ K). Luego Ker(φ) = H ∗ (H ∩ K). Entonces como φ es sobreyectivo con kernel H ∗ (H ∩ K), por el teorema 5.1 H ∗ (H ∩ K)/H ∗ (H ∩ K) ' (H ∩ K)/L y adem´ as Ker(φ) C Dom(φ). Y con un homomorfismo similar de K ∗ (H ∩K) en (H ∩K)/L demostramos lo que falta de la prueba. F 5.19 Suponga que tiene dos cadenas de subgrupos de un mismo grupo G: Hi−1 C Hi C Hi+1 y Kj C Kj+1 . Teniendo en mente el lema 5.18, note Hm,n := Hm (Hm+1 ∩Kn ) y Km,n := Km (Km+1 ∩Hn ). As´ı, tendremos unas cadenas como las que se muestran en la figura 5.4 donde los grupos factor formados por los grupos unidos por lineas de mismo espesor son isomorfos. Vale la pena notar que en caso de tener series y no simples cadenas, las lineas en negrita de cada lado de la figura estar´ıan conectadas, ya que las series empiezan en {e} y terminan en G. Esto es lo que se explica formalmente en el Teorema 5.20. Teorema 5.20 (Teorema de Schreier) Dos series subnormales (normales) de un mismo grupo tienen refinamientos isomorfos. PSfrag replacements


    H    "!"!  "!"!  "!"!"! "!"!"! "!"!"! "!"!"! "!"! "!"! H          "!"! "!"! H           H       H H  Hi+1

i,j+1

i



Kj,i+1

Kj,i i,j

i−1,j+1

 K

j+1

 $#$# $#$##$

$# 

Kj,i−1

i−1

i−1,j

Figura 5.4: Teorema de Schreier



Kj

48

Cap´ıtulo 5. Teoremas de Isomorfismos y Series de Grupos

Demostraci´ on: Sea G un grupo y sean: {e} = H0 C H1 C . . . C Hn = G

(5.1)

{e} = K0 C K1 C . . . C Km = G

(5.2)

dos series subnormales para G. Para i ∈ {0, 1, . . . , n − 1} forme la cadena de grupos: Hi = Hi (Hi+1 ∩ K0 ) C Hi (Hi+1 ∩ K1 ) C Hi (Hi+1 ∩ K2 ) C . . . C Hi (Hi+1 ∩ Km ) = Hi+1 . Despu´es de hacer todas estas cadenas para cada i ∈ {0, 1, . . . , n − 1} y notando Hi,j := Hi (Hi+1 ∩ Kj ), se obtendr´ a la siguiente cadena de grupos: {e} = H0,0 C H0,1 C H0,2 C . . . C H0,m−1 C H1,0 C H1,1 C H1,2 C . . . C H1,m−1 C H2,0 C H2,1 C H2,2 C . . . C H2,m−1 C H3,0 .. . C Hn−1,1 C Hn−1,2 C . . . C Hn−1,m−1 C Hn−1,m = G (5.3) Esta cadena 5.3 contiene nm + 1 grupos, no necesariamente distintos, donde Hi,0 = Hi , para cada i ∈ {0, 1, . . . , n − 1}. Por el lema de Zassenhaus, la cadena 5.3 es una subnormal, es decir, cada grupo es normal en el siguiente grupo (lo que justifica el uso del signo C en lo que sabemos ahora que es una serie). Entonces la cadena 5.3 es un refinamiento de la cadena 5.1. En forma sim´etrica, si Kj,i = Kj (Kj+1 ∩ Ki ), para j ∈ {0, 1, . . . , , m − 1} e i ∈ {0, 1, . . . , , n}, tenemos la siguiente serie subnormal: {e} = K0,0 C K0,1 C K0,2 C . . . C K0,n−1 C K1,0 C K1,1 C K1,2 C . . . C K1,n−1 C K2,0 C K2,1 C K2,2 C . . . C K2,n−1 C K3,0 .. . C Km−1,1 C Km−1,2 C . . . C Km−1,n−1 C Km−1,n = G (5.4) La cadena 5.4 contiene tambi´en mn + 1 grupos, no necesariamente distintos, donde Kj,0 = Kj , para cada j ∈ {0, 1, . . . , m − 1}. Entonces por un argumento similar, la cadena 5.4 es un refinamiento de la cadena 5.2. Por el lema de Zassenhaus, se tiene que: Hi (Hi+1 ∩ Kj+1 )/Hi (Hi+1 ∩ Kj ) ' Kj (Kj+1 ∩ Hi+1 )/Kj (Kj+1 ∩ Hi ) o lo que es equivalente: Hi,j+1 /Hi,j ' Kj,i+1 /Kj,i , ∀(i; j) ∈ {0, . . . , n − 1} × {0, . . . , m − 1}

(5.5)

La relaci´ on 5.5 de isomorfismo, proporciona una correspondencia biun´ıvoca de grupos factor isomorfos entre las series subnormales 5.3 y 5.4. Para verificar esta

Series de Grupos

49

correspondencia note que Hi,0 = Hi y Hi,m = Hi+1 , mientras que Kj,0 = Kj y Kj,n = Kj+1 . Cada cadena en 5.3 y 5.4 contiene un arreglo rectangular de mn s´ımbolos C. Cada C produce un factor. Los grupos factor inducidos por C en la i-´esima fila en 5.3 corresponden a los grupos factor inducidos por C en la misma columna en 5.4. Eliminando subgrupos repetidos de las cadenas 5.3 y 5.4, se obtiene series subnormales de grupos distintos que son refinamientos isomorfos de las cadenas 5.1 y 5.2, con lo que se pruebe el teorema para series subnormales. Para series normales, donde los Hi ’s y los Kj ’s son normales en G, se tiene que todos los grupos Hi,j y Kj,i formados anteriormente son normales en G, por lo tanto, el teorema tambi´en se cumple para estas series. La normalidad de Hi,j y Kj,i se obtiene por el lema 5.4 y por el hecho que la intersecci´ on de subgrupos normales de un grupo, es tambi´en subgrupo normal. F 5.21 Definici´ on (Serie compuesta y serie principal) i) Una serie subnormal {Hi }i∈{0,1,...,n} de un grupo G es una serie compuesta si todos los grupos factor Hi+1 /Hi son simples. ii) Una series normal {Hi }i∈{0,1,...,n} de G es una serie principal si todos los grupos factor Hi+1 /Hi son simples 5.22 Observaciones. i) Hi+1 /Hi es simple si y solo si Hi es normal m´ aximal en Hi+1 . ii) En los grupos abelianos, los conceptos de serie compuesta y serie principal coinciden. iii) Como cada serie normal es subnormal, cada serie principal es una serie compuesta para todo grupo, abeliano o no. 5.23 Ejemplos: i) Z no tiene serie compuesta ni serie principal: Sea {0} = H0 C H1 C . . . C Hn−1 C Hn = Z una serie subnormal. H1 debe ser de la forma rZ para alg´ un r ∈ Z+ . Pero H1 /H0 ' Z, es un grupo c´ıclico infinito con muchos subgrupos normales no triviales, por ejemplo 2rZ. Entonces Z no contiene series compuestas, ni tampoco principales. ii) {id} C An C Sn , con n ≥ 5, es una serie compuesta y tambi´en principal de Sn , puesto que An /{id} ' An , es simple para n ≥ 5, y Sn /An ' Z2 tambi´en. 5.24 Observaciones. i) Como se observ´ o anteriormente, en una serie compuesta, cada Hi debe ser normal m´ aximal en Hi+1 . Entonces, para formar una serie compuesta de un grupo G, se debe tratar de encontrar un subgrupo normal m´ aximal

50

Cap´ıtulo 5. Teoremas de Isomorfismos y Series de Grupos Hn−1 de G, despu´es Hn−2 subgrupo normal m´ aximal de Hn−1 y as´ı sucesivamente. Si el proceso anterior termina en un n´ umero finito de pasos, se tiene una serie compuesta. De la misma forma, se puede construir una serie principal de G con la restricci´ on que cada i, Hi C G.

ii) Adem´ as, como “Hi es normal m´ aximal en Hi+1 si y solo si Hi+1 /Hi es simple” (ver teorema 2.51), una serie compuesta, no puede tener ning´ un refinamiento. Teorema 5.25 (Teorema de Jordan-H¨ older) Cualquier par de series compuestas (principales) de un grupo G son isomorfas. Demostraci´ on Sean {Hi }i∈{0,...,n} y {Ki }i∈{0,...,m} dos series compuestas (principales) de G. Por el Teorema de Schreier (5.20), estas series tienen refinamientos isomorfos. Pero como todos los grupos factor son simples, entonces por el teorema 2.51, estas series no pueden ser refinadas, lo cual implica que {Hi }i∈{0,...,n} y {Ki }i∈{0,...,m} son isomorfas (y por lo tanto n = m). F 5.26 En el caso de grupos finitos, se puede ver una serie compuesta como una factorizaci´ on de un grupos en grupos factor simples, an´ aloga a la factorizaci´ on de un entero positivo en primos. En ambos casos, la factorizaci´ on es u ´nica m´ odulo el orden de los factores. No hace entonces falta enfatizar m´ as en la importancia del teorema de Jordan-H¨ older. Teorema 5.27 Si G tiene una serie compuesta (principal), y si N es un subgrupo normal propio de G, entonces existe una serie compuesta (principal) conteniendo a N . Demostraci´ on: La serie {e} C N C G es una serie tanto subnormal como normal de G. Como G tiene una serie compuesta {Hi }i∈{0,...,n} , entonces por el teorema de Schreier (5.20), existe un refinamiento de {e} C N C G en una serie subnormal isomorfa al refinamiento de {Hi }i∈{0,...,n} . Pero como {Hi }i∈{0,...,n} es una serie compuesta esta no se puede refinar m´ as. Por lo tanto, la serie {e} C N C G puede refinarse a una serie subnormal donde todos sus grupos factores son simples, esto es a una serie compuesta. Un argumento similar se tiene en el caso en que {Hi }i∈{0,...,n} sea principal. F 5.28 Ejemplo: Una serie compuesta (tambi´en principal) de Z4 × Z9 conteniendo al subgrupo < (0, 1) > es: (0, 0) C< (0, 3) >C< (0, 1) >C< 2 > × < 1 >C< 1 > × < 1 >= Z4 × Z9 A continuaci´ on se define la solubilidad de un grupo. Se dar´ an dos definiciones de solubilidad: “solubilidad fuerte” usada por Fraleigh, y la “solubilidad cl´ asica” la cual llamaremos simplemente “solubilidad”. 5.29 Definici´ on (Grupo soluble fuerte): Un grupo se dice soluble fuerte si tiene una serie compuesta {Hi }i∈{0,...,n} tal que todos los grupos factor

Cadena Central Ascendente

51

Hi+1 /Hi son abelianos. Definici´ on (Grupo soluble): Un grupo se dice soluble si tiene una serie subnormal {Hi }i∈{0,...,n} tal que todos los grupos factor Hi+1 /Hi son abelianos.

5.30 Observaci´ on. Por el teorema de Jordan-H¨ older (5.25), se tiene que para un grupo soluble fuerte, toda serie compuesta {Hi }i∈{0,...,n} debe tener grupos factor Hi+1 /Hi abelianos. 5.31 Ejemplos: i) S3 es soluble fuerte, puesto que la serie compuesta {e} C A3 C S3 tiene grupos factor A3 /{e} ' Z3 y S3 /A3 ' Z2 , los cuales son abelianos. ii) S5 no es soluble fuerte, puesto que A5 es simple y la serie {e} C A5 C S5 es compuesta, pero A5 /{e} ' A5 no es abeliano.

5.3.

Cadena Central Ascendente

5.32 Recordemos que el centro de un grupo G es: Z(G) := {z ∈ G : zg = gz, ∀g ∈ G}. Sabemos que Z(G) C G, entonces G/Z(G) es un grupo factor. Ahora, se podr´ıa encontrar el centro del grupo factor G/Z(G), es decir, Z(G/Z(G)). Como Z(G/Z(G)) C G/Z(G), entonces si ρG/Z(G) : G → G/Z(G) es el homomorfismo can´ onico, ρ−1 G/Z(G) [Z(G/Z(G))] =: Z1 (G) es un subgrupo normal G. Se puede entonces formar el grupo factor G/Z1 (G) y encontrar su centro, y si ρG/Z1 (G) : G → G/Z1 (G) es el homomorfismo can´ onico, tomando −1 ρG/Z1 (G) de dicho centro obtener Z2 (G), y as´ı sucesivamente. 5.33 Definici´ on (Cadena central ascendente): Sean: Z0 := {e} Zn+1 := ρ−1 n [Z(G/(Zn (G)))], donde ρn : G → G/Zn (G) es el homomorfismo can´ onico La cadena {e} ≤ Z1 (G) ≤ Z2 (G) ≤ . . . es la cadena central ascendente.(Note que Z1 (G) = Z(G)) 5.34 Ejemplos: i) Z(S3 ) = {id}, entonces la cadena central ascendente de S3 es: {id} ≤ {id} ≤ . . . ii) Z(D4 ) = {id, (1 3)(2 4)}, entonces la cadena central ascendente de D4 es: {id} ≤ {id, (1 3)(2 4)} ≤ D4

52

Cap´ıtulo 5. Teoremas de Isomorfismos y Series de Grupos

5.4.

Ejercicios

1. Sea H C G y sea K = {a ∈ G : ax = xa, para todo x ∈ H}. Sea A el grupo de automorfismos de H y sea I el grupo de automorfismos internos de H. Para cada a ∈ G, sea ϕa el automorfismo de H tal que para todo x ∈ H, ϕa (x) = axa−1 . Denote por ϕ : G → A la aplicaci´ on definida por: a 7→ ϕa . a)

Determinar Ker(ϕ).

b)

Probar que HK es un subgrupo normal de G.

c) Probar que existe un homomorfismo inyectivo de G/HK en A/I. d ) Probar que HK/K ∼ = I. 2. Sean G1 y G2 dos grupos no isomorfos de centros Z(G1 ) y Z(G2 ) respectivamente. Pruebe que Z(G1 × G2 ) es isomorfo a Z(G1 ) × Z(G2 ). 3. Sea H un subgrupo de un grupo G. Sea Ω = {aH : a ∈ G} el conjunto de cosets izquierdos de H en G. Defina la acci´ on de G sobre Ω por traslaci´ on, es decir, para cada g ∈ G y para cada aH ∈ Ω, g(aH) = (ga)H. a)

Determine el subgrupo estabilizador GaH para el elemento fijo aH ∈ Ω.

b)

Sea ϕ la aplicaci´ on de G en el conjunto de permutaciones de Ω definida por: ∀g ∈ G, ∀a ∈ G, ϕ(g)(aH) = (ga)H. Entonces, (i) pruebe que \ ϕ es un homomorfismo de grupos; (ii) Pruebe que Ker(ϕ) = aHa−1 . a∈G

c) Sea N un subgrupo normal propio de \ de G tal que N es un subgrupo\ aHa−1 aHa−1 . Deduzca que el grupo H. Pruebe que N ⊂ a∈G

es el subgrupo normal m´ as grande de G contenido en H.

a∈G

Cap´ıtulo 6

Teoremas de Sylow y Grupos libres 6.1.

Teoremas de Sylow

6.1 Teniendo ya completamente caracterizados los grupos abelianos, podemos buscar un estudio m´ as general de los no-abelianos. Sabiendo que el rec´ıproco del teorema de Lagrange no es cierto, es natural preguntarnos de que orden tiene subgrupos (normales o no) un grupo dado , y que relaci´ on hay entre ellos. Nuestro objetivo inmediato es ver que por cada potencia de un primo que divida el orden de un grupo dado, ese grupo tiene un subgrupo de orden esa potencia. En toda esta secci´ on p es primo. 6.2 Observaci´ on. Sea X un G-conjunto finito. Sea r es el n´ umero de o ´rbitas en X y XG := ∩g∈G Xg el conjunto de los elementos de o ´rbitas unipuntuales. Si {xi }i∈{1,...,r} es un conjunto de representantes de las o ´rbitas de X con {xi }i∈{1,...,|XG |} = XG entonces: |X| = |XG | +

r X

|Gxi |

(6.1)

i=|XG |+1

Teorema 6.3 Si G es un grupo de orden pn y X un G-conjunto finito, |X| ≡ |XG |(mod p). Demostraci´ on: Por el teorema 4.15, |Gx| | P |G| = pn , luego |Gx| = pm , para r alg´ un m ∈ {0, 1, . . . , n}. As´ı en (6.1), p | i=|XG |+1 |Gxi |, de donde |X| ≡ |XG |(mod p). F 6.4 Definici´ on (p-grupo, p-subgrupo): Sea p primo. Un grupo en el cual todos los elementos tienen orden una potencia de p, es un p-grupo. Un subgrupo que es un p-grupo, lo llamamos p-subgrupo.

54

Cap´ıtulo 6. Teoremas de Sylow y Grupos libres

Teorema 6.5 (Teorema de Cauchy) Si G es un grupo finito y p | |G|, entonces G tiene un elemento de orden p y por lo tanto, un subgrupo de orden p. Demostraci´ on: Sea X = {(g1 , g2 , . . . , gp ) ∈ Gp | g1 g2 . . . gp = e}. Sean g1 , . . . , gp−1 , p − 1 elementos en G, as´ı (g1 , g2 , . . . , gp ) ∈ X si y s´ olo si gp = (g1 . . . gp−1 )−1 , p−1 vemos entonces que |X| = |G| , luego p tambi´en divide |X|. Sea σ el ciclo (1 2 . . . p) en Sp . Si (g1 , g2 , . . . , gp ) ∈ X, gσ(1) gσ(2) . . . gσ(p) = g2 . . . gp g1 = e, luego bajo la acci´ on σ k ∗ (g1 , g2 , . . . , gp ) = gσk (1) gσk (2) . . . gσk (p) , X es un < σ >conjunto. Ahora, | < σ > | = p y as´ı por el teorema 6.3, 0 ≡ |X| ≡ |X |(mod p), esto es p | |X |. Pero como los elementos de X son de la forma (g, g, . . . , g), y (e, e, . . . , e) ∈ X entonces |X | > 1 y as´ı existe a 6= e tal que ap = e. | < a > | = ord(a) = p. F Corolario 6.6 Sea G un grupo finito. G es p-grupo si y s´ olo si |G| = pn para alg´ un n ∈ N. Demostraci´ on: Suponga G p-grupo y pn q1r1 . . . qsrs una descomposici´ on de |G| en potencias de primos distintos. Suponga por contradicci´ on que ri > 0 para alg´ un i ∈ {1, . . . , s}, por el teorema de Cauchy, existe b ∈ G tal que ord(b) = q i , lo cual contradice la hip´ otesis de G p-grupo. El converso es una consecuencia inmediata del teorema de Lagrange. F 6.7 Definici´ on (Normalizador): Sea H ≤ G, el normalizador de H es el subgrupo N [H] definido por: N [H] := {g ∈ G| gHg −1 = H} 6.8 Observaci´ on: Es f´ acil ver que N [H] es el subgrupo de G m´ as grande en el cual H es normal. Lema 6.9 Si H un p-subgrupo de un grupo finito G, entonces (N [H] : H) ≡ (G : H)(mod p). Demostraci´ on: Considere (G/H) el conjunto de los coconjuntos izquierdos de H en G. Bajo h ∗ gH = (hg)H, G/H es un H-conjunto. Sea gH ∈ (G/H)H , esto es (hg)H = gH para todo h ∈ H, o ´ g −1 hg ∈ H. Entonces gH ∈ (G/H)H si y s´ olo si g ∈ N [H]. Luego |(G/H)H | = (N [H] : H). Ahora el orden de H, por ser p-subgrupo, es una potencia de p, luego por el teorema 6.3 |(G/H)H | ≡ |(G/H)|(mod p), que es lo que quer´ıamos establecer. F Corolario 6.10 Si H es un p-subgrupo de un grupo finito G tal que p | (G : H), entonces N [H] 6= H. Demostraci´ on: 0 ≡ (G : H) ≡ (N [H] : H)(mod p), luego (N [H] : H) 6= 1, de donde N [H] 6= H. F

Teoremas de Sylow

55

Teorema 6.11 (Primer teorema de Sylow) Sea G un grupo tal que |G| = pn m, donde n ≥ 1, p primo y p 6 | m. Tenemos que: i) G contiene un subgrupo de orden pi , para cada i ∈ {1, . . . , n}. ii) Todo subgrupo de G de orden pi es normal en un subgrupo de orden pi+1 , para i ∈ {1, . . . , n − 1}. Demostraci´ on: Haremos inducci´ on en i. Por el teorema de Cauchy, G contiene un subgrupo de orden p. Ahora suponga que H es un subgrupo de orden pi−1 , con i ≤ n, as´ı como |G| = pn m, p | (G : H), entonces por el lema 6.9, p | (N [H] : H) = |N [H]/H|. Luego N [H]/H contiene un subgrupo K de orden p. Considere ρH la proyecci´ on can´ onica con dominio N [H], as´ı ρ−1 H [K] es subgrupo de G de i orden p.ord(H) = p en el cual H es normal. F 6.12 Definici´ on (p-subgrupo de Sylow): Un p-subgrupo es de Sylow si es m´ aximal (i.e. Ning´ un otro p-subgrupo lo contiene). 6.13 Observaci´ on y nota. Por el teorema 6.11, todos los p-subgrupos de Sylow de un grupo dado, tienen el mismo cardinal. Esta teor´ıa fue desarrollada por el noruego Ludvig Mejdell Sylow (1832-1918). Teorema 6.14 (Segundo teorema de Sylow) Si P1 y P2 son dos p-subgrupos de Sylow de un grupo finito G, entonces P1 y P2 son conjugados. Demostraci´ on: Considere la acci´ on de P2 sobre (G/P1 ) definida por y ∗ xP1 = (yx)P1 . As´ı por el teorema 6.3, |(G/P1 )P2 | ≡ |(G/P1 )|(mod p). Ahora por el teorema 6.11, |G/P1 | = (G : P1 ) no es divisible por p, pues de lo contrario P1 no seria m´ aximal. Luego |(G/P1 )P2 | 6= 0. Si xP1 ∈ (G/P1 )P2 entonces yx ∈ P1 = x P1 , o ´ x−1 yx ∈ P1 , para todo y ∈ P2 , luego x−1 P2 x ⊆ P1 . Pero |P2 | = |P1 |, entonces x−1 P2 x = P1 . F Teorema 6.15 (Tercer teorema de Sylow) Si G es un grupo finito y p | |G|, entonces el n´ umero de p-subgrupos de Sylow es congruente con 1 m´ odulo p y divide |G|. Demostraci´ on: Sea P un p-subgrupo de Sylow y L el conjunto de p-subgrupos de Sylow en G. Considere P actuando por conjugaci´ on sobre L. As´ı |LP | ≡ |L|(mod p). Ahora si T ∈ LP , entonces xT x−1 = T , para todo x ∈ P , as´ı P ≤ N [T ] (ver observaci´ on 6.8). T ≤ N [T ], entonces T y P son p-subgrupos de Sylow, luego, por el segundo teorema de Sylow, son conjugados en N [T ]. Pero T C N [T ], entonces T = P . De donde, LP ={P }. Entonces 1 ≡ |LP | ≡ |L|(mod p). Si ponemos a G actuar por conjugaci´ on, como todos los p-subgrupos de Sylow son conjugados, bajo esta acci´ on hay una u ´nica o ´rbita en L. Para P ∈ L, su estabilizador es N [P ], luego por el teorema 4.15 |L| = (G : N [P ]), (G : N [P ]) | |G|, luego |L| | |G|. F

56

6.2.

Cap´ıtulo 6. Teoremas de Sylow y Grupos libres

Aplicaciones de la teor´ıa de Sylow

6.16 Ejemplo: Veamos que ning´ un grupo G de orden 15 = 3 · 5 es simple. Por el primer teorema de Sylow, G tiene un 5-subgrupo, ¿cuantos m´ as?, seg´ un el tercer teorema de Sylow estos son, 1, 6 o ´ 11, pero de estas opciones la u ´nica que divide 15 es 1. Luego G tiene un u ´nico 5-subgrupo, que es de Sylow. Su conjugado tambi´en es otro 5-subgrupo de Sylow, pero como hay uno solo, este es normal. Luego G no es simple. Teorema 6.17 Todo grupo G con orden potencia de un primo p, es fuertemente soluble. Demostraci´ on: Si |G| = pn , G es un p-grupo y entonces por el primer teorema de Sylow, tiene una serie normal con factores de orden p. As´ı los factores son abelianos y simples (¿por qu´e?). Luego la serie es compuesta y sus factores abelianos, esto es G es fuertemente soluble. F 6.18 Definici´ on (Ecuaci´ on de clase): Sea X el G-conjunto donde G esta actuando por conjugaci´ on sobre X = G. Si tomamos c = |Z(G)| = |XG | y ni = |Gxi | como en (6.1), tenemos: |G| = c + nc+1 + nc+2 + . . . + nr que es lo que llamamos la ecuaci´ on de clase de G. 6.19 Observaci´ on a la definici´ on 6.18. Como ni = (G : Gxi ) entonces por el teorema de Lagrange ni | |G|. La ecuaci´ on de clase nos dice algo muy natural: el cardinal de G es la suma de los cardinales de sus clases de conjugaci´ on. 6.20 Ejemplo: Las clases de conjugaci´ on de S3 son {ρ0 }, {ρ1 , ρ2 } y {µ1 , µ2 , µ3 }. Su ecuaci´ on de clase es entonces |S3 | = 1 + 2 + 3. Teorema 6.21 El centro de un p-grupo no trivial es no trivial. P on de Demostraci´ on: Sea G un p-grupo no trivial y |G| = c + i ni su ecuaci´ clase. Como cada ni | |G| y |G| = pn para alg´ un n ∈ N∗ entonces c ≡ 0(mod p). Ahora, e ∈ Z(G) luego c ≥ p pues |Z(G)| ≥ 1 y p | c. Como p ≥ 2, Z(G) es no trivial. F Lema 6.22 Sea G un grupo. Si G tiene dos subgrupos normales H y K tales que H ∩ K = {e} y H ∨ K = G entonces G ' H × K. Demostraci´ on: Defina φ : H × K → G por φ(h, k) = hk. Por el teorema 2.21 iu), φ((h, k)(h0 , k 0 )) = φ(hh0 , kk 0 ) = hh0 kk 0 = hkh0 k 0 = φ(h, k)φ(h0 , k 0 ). Ahora suponga que hk = e, luego h = k −1 ∈ H ∩K, as´ı h = k = e, luego φ es inyectivo. Y como HK = H ∨ K, φ es tambi´en sobreyectivo. F 6.23 Observaci´ on. Dadas las hip´ otesis del lema anterior, decimos que G es el producto interno de H y K. Aunque este concepto no lo usaremos mucho ac´ a, es v´ alido observar que algo semejante se tiene en el a ´lgebra lineal.

Grupos abelianos libres

57

Teorema 6.24 Sea p un primo. Todo grupo de orden p2 es abeliano. Demostraci´ on: Sea G un grupo de orden p2 . Suponga que G no es c´ıclico, as´ı todo elemento de G excepto la identidad tiene orden p. Luego, si a ∈ G es distinto de la identidad, < a > no es todo G, y si b ∈< / a >, < b > ∩ < a >= {e}. Por otro lado por el primer teorema de Sylow, < a > y < b > son subgrupos normales de G, adem´ as | < a > ∨ < b > | = p2 (¿Por qu´e?), entonces por el lema 6.22, G '< a > × < b >. Luego G es abeliano. F Teorema 6.25 Si p y q son primos con p < q, entonces todo grupo de orden pq tiene un u ´nico subgrupo de orden q. Mas a´ un el subgrupo de orden q es normal, luego G no es simple y si q 6≡ 1(mod p), G es c´ıclico. Demostraci´ on: Por los teoremas de Sylow, G contiene un n´ umero n de qsubgrupos de Sylow que es congruente a 1 m´ odulo q y que divide a pq. De esto u ´ltimo n|p, pero p < q luego n = 1. As´ı por el segundo teorema de Sylow, si Q es el q-subgrupo de Sylow de G, Q C G. De la misma forma, el n´ umero m de p-subgrupos de Sylow divide a q y es congruente a 1 m´ odulo p. As´ı m ∈ {1, q}. Entonces si q 6≡ 1(mod p), m = 1. As´ı si P es el p-subgrupo de Sylow de G, P C G, y Q ∩ P = {e}. As´ı G ' P × Q ' Zp × Zq ' Zpq . F

6.3.

Grupos abelianos libres

6.26 Imagin´emonos que quisieramos sumar entidades sin ninguna relaci´ on entre ellas, diga usted cuadrados y tri´ angulos. Probablemente no querr´ıamos que la suma de un cuadrado, un tri´ angulo, y otro cuadrado diera algo diferente a dos cuadrados y un tri´ angulo. Estamos sumando tri´ angulos y cuadrados formalmente, y algo as´ı es lo que ahora consideraremos. 6.27 Definici´ on (Grupo abeliano libre, base): Una terna (G, A, i) que consta de un grupo abeliano G, un conjunto A y un funci´ on i : A → G, se llama un grupo abeliano libre si para todo grupo abeliano H y toda funci´ on de f : A → H, existe un u ´nico homomorfismo fe : G → H tal que (ver figura 6.1): fe ◦ i = f El conjunto A es la base de G. PSfrag replacements G

fe

H

i f

A

Figura 6.1: Grupo abeliano libre

58

Cap´ıtulo 6. Teoremas de Sylow y Grupos libres

Teorema 6.28 Si (G, A, i) es un grupo abeliano libre, entonces: i) i es inyectiva. ii) G =< i[A] > iii) si (G0 , A, j) es grupo abeliano libre, G ' G0 iu) (G, i[A], j) es grupo abeliano libre, donde j es la inclusi´ on. Demostraci´ on: Suponga que i no es inyectiva, y sean a, b ∈ A tales que i(a) = i(b) pero a 6= b. Defina f : A → Z2 por f (a) = 0 y f (b) = 1, y sea fe : G → Z2 homomorfismo tal que fe ◦ i = f . Entonces f (a) = fe ◦ i(a) = fe ◦ i(b) = f (b). Contradicci´ on, i es inyectiva. Suponga que G 6=< i[A] >, luego G/ < i[A] > es un grupo abeliano no trivial. Ahora si define f : A → G/ < i[A] >, por f (a) = 0 para todo a ∈ A, el homomorfismo trivial, ¯ 0, y la proyecci´ on can´ onica con kernel < i[A] >, ρ son homomorfismos diferentes tales que ¯ 0 ◦ i = ρ ◦ i = f . Contradicci´ on, G =< i[A] >. Ahora, considere ei : G → G0 y e j : G0 → G tales que ei ◦ i = j y e j ◦ j = i. Entonces ei ◦ e j ◦ j = j, por un lado, y por otro, idG0 , la identidad en G0 , es el u ´nico homomorfismo tal que idG0 ◦ j = j, luego ei ◦ e j = idG0 . De la misma forma e j ◦ ei = idG , luego G ' G0 . Sean j : i[A] → G, la incluci´ on, H un grupo abeliano y f : i[A] → H una funci´ on. e Considere g : A → H definida por g = f ◦ i, y f : G → H homomorfismo tal −1 e que fe ◦ i = g. As´ı, como i es inyectiva, fe ◦ j = fe ◦ (i ◦ i −1 i[A] ) = g ◦ i i[A] = f . f es el homomorfismo buscado. F 6.29 Nota. En vista del teorema anterior, si (G, A, i) es grupo abeliano libre, podemos considerar A ⊆ G e i como la inclusi´ on. En este caso decimos que G es un grupo abeliano libre sobre A. Teorema 6.30 Sea G un grupo abeliano y A = {ai }i∈{1,...,n} subconjunto de G. Las siguientes aserciones son equivalentes: i) G es libre sobre A, con |A| < ∞. ii) Todo elemento g en G se puede expresar de forma u ´nica como g = con cada ni ∈ Z P iii) G =< A > y ni=1 ni ai = 0 si y s´ olo si cada ni = 0.

Pn

i=1

ni a i ,

Demostraci´ on: ii) ⇒ i) : Sean j : A → G la inclusi´ on y H grupo abeliano. Dada f : H → A Pn Pn defina fe : G → H por f ( i=1 ni ai ) = i=1 ni f (ai ), as´ı fe ◦ j = f . De donde G es abeliano libre sobre A. i) Pn⇒ iii) : en el teorema 6.28 ya vimos G =< A >. Ahora suponga que 0 = i=1 ni ai , defina para k ∈ {1, . . . , n}, fk : A → Z por fk (x) = 0 si x 6= ak y

Teorema fundamental de los grupos abelianos

59

fk (ak ) = 1 y considere fek : G → Z tal que fek ◦ j = f , donde j : A → G es la Pn inclusi´ on. Entonces 0 = fek (0) = i=1 ni fek (ai ) = nk . iii) ⇒ ii) : Como G =, lo u ´nico es la unicidad Pnque hace falta demostrar Pn n de la expresi´ on. Si g = i=1 ni ai = i=1 mi ai entonces i=1 (ni − mi )ai = 0 y as´ı ni = mi para cada i ∈ {1, . . . , n}. F 6.31 Ejemplo (existencia de grupos abelianos libres): Sea A un conjunto y defina G = ZA e i : A → G por i(a)(x) = 0 si x 6= a e i(a)(a) = 1. < G, +, ¯ 0 > donde la suma es la usual entre funciones y ¯ 0 es la funci´ on que env´ıa todo al 0, es un grupo abeliano. Ahora P si H es un grupo P abeliano, dada f : A → H, defina fe : G → H por f ( a∈A na i(a)) = a∈A na f (a), e as´ı f ◦ i = f . (G, A, i) es entonces grupo abeliano libre. Observe que si |A| < ∞, y A = {ai }i∈{1,...,n} , bajo el isomorfismo que env´ıa g ∈ G al elemento cuya k-´esima entrada es g(ak ), G ' Z × Z × . . . × Z. {z } | |A|

Teorema 6.32 Sea (G, A, i) grupo abeliano libre. Si (G, B, j) es grupo abeliano libre entonces |A| = |B|. Demostraci´ on: ZB y ZA son equipotentes si y s´ olo si |A| = |B|. Teniendo en mente lo que se acaba de decir en el ejemplo 6.31, el teorema se sigue entonces del teorema 6.28 iii). F 6.33 Definici´ on (Rango): Sea (G, A, i) un grupo abeliano libre. Definimos el rango de G como la cardinalidad de A. 6.34 Nota. En vista de lo u ´ltimo que se prob´ o, de ahora en adelante cuando hablamos de un grupo abeliano libre omitiremos la referencia a la base A y a la funci´ on i, que por lo general la tomaremos como la inclusi´ on. Para cualquier lector en este momento ya debe ser claro lo similar que es un grupo abeliano libre a un espacio vectorial. Teorema 6.35 Dos grupos abelianos libres son isomorfos si y s´ olo si tienen mismo rango. Demostraci´ on: Los mismos argumentos que se usaron para demostrar el teorema 6.32, sirven para este. F

6.4.

Teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados

6.36 Ya tenemos las herramientas necesarias para demostrar el teorema 1.48, lo que haremos en general es dado un grupo abeliano G finitamente generado, factorizaremos un grupo abeliano libre hasta obtener G. Comencemos.

60

Cap´ıtulo 6. Teoremas de Sylow y Grupos libres

6.37 Definici´ on (Subgrupo de torsi´ on, grupo libre de torsi´ on): Sea G un grupo abeliano. El subgrupo de torsi´ on de G, T , esta definido por: T := {g ∈ G : ord(g) < +∞} Decimos que G es libre de torsi´ on si T es trivial. 6.38 Nota. Para un grupo cualquiera, se acostumbra decir que es de torsi´ on (o peri´ odico) si todos sus elementos tienen orden finito, y libre de torsi´ on (o aperi´ odico) si todos sus elementos, menos la identidad, tienen orden infinito. Lema 6.39 Si G es un grupo abeliano, T su subgrupo de torsi´ on y T ⊥ =< c ⊥ ⊥ T ∪ {0} >, G ' T × T y as´ı G/T ' T es libre de torsi´ on. Demostraci´ on: Como T C G, T ⊥ C G, T ∩ T ⊥ = {0} y T ∨ T ⊥ = G, por el lema 6.22, G ' T × T ⊥ . Ahora si g ∈ / T , ng ∈ / T para todo n ∈ Z∗ , luego G/T es libre de torsi´ on. F Qn Lema 6.40 Sea G un grupo abeliano de torsi´ on. Entonces si |G| = i=1 pri i es una descomposici´ on en potencias de primos con pi < pi+1 para i ∈ {1, . . . , n−1}, G ' Tp1 × Tp2 × . . . × Tpn donde Tpi = {g ∈ G : ord(g) = pni , n ∈ N}. Demostraci´ on: Es claro que los Tpi son subgrupos de G, y que Tpi ∩ Tpj = {0}, Qn si si i 6= j. Ahora bien, si g ∈ G con ord(g) = i=1 psi i , tomando Pnmi = ord(g)/pi , como (m1 , m existen ki ∈ Z tales que 1 = i=1 ki mi , de esta 2 , . . . , mn ) = 1, P P n n k (m g) = forma g = i i=1 ki gi donde gi = mi g. De esta forma como i=1 i si ord(gi ) = pi , gi ∈ Tpi y G = Tp1 + Tp2 + . . . + Tpn . Luego, por el lema 6.22, G ' T p1 × T p2 × . . . × T pn . F Lema 6.41 Si G es un grupo abeliano libre sobre A = {ai }i∈{1,...,n} , i 6= j y t ∈ Z, B = {a1 , . . . , ai−1 , ai + taj , ai+1 , . . . , an }, tambi´en es base para G. Demostraci´ on: ai = (ai + taj ) − taj , luego < B >= G. Ahora si (n1 )a1 + . . . + ni−1 ai−1 + ni (ai + taj ) + ni+1 ai+1 + . . . + nn an = 0, entonces como A es base, nk = 0 si k 6= j y tni + nj = 0. De donde nj = 0 y por el teorema 6.30, B es base para G. F Teorema 6.42 Sea G un grupo abeliano libre de rango finito n. Si K ≤ G, K es tambi´en abeliano libre. Mas a´ un si K es de rango m, existen A = {a i }i∈{1,...,n} base para G y {di }i∈{1,...,m} ⊆ N∗ , tales que di | di+1 y {di ai }i∈{1,...,m} es una base para K. Demostraci´ on: Dada una base A = {ai }i∈{1,...,n} de G, y g ∈ G con g = Pn n a , ın{|ni | : i ∈ {1, . . . , n}, ni 6= 0}. Ahora si i=1 i i definimos |g|A := m´ K ≤ G, definimos |K|A := m´ın{|k|A : k ∈ K \ {0}}. Tome B1 = {bi,1 }i∈{1,...,n} base dePG tal que |K|B1 sea minimal, con k1 ∈ K n tal que |k1 |B1 = |K|B1 y k1 = i=1 ni,1 bi,1 donde |n1,1 | = |K|B1 . Ahora

Teorema fundamental de los grupos abelianos

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si ni,1 = qi,1 n1,1 + ri,1 , P con 0 ≤ ri,1 < |n1,1 |, aplicando n − 1 veces el len ma 6.41, A1 = {b1,1 + P en base para G. i=2 qi,1 bi,1 , b2,1 , . . . , bn,1 } es tambi´ n 1 Entonces si aP 1 = b1,1 + i=2 qi,1 bi,1 , ai,1 = bi,1 para i ≥ 2, y d1 = n1 , n k1 = d1 a1 + i=2 ri,1 ai,1 donde ri,1 < |d1 |. As´ı como d1 = |k1 |P A1 , ri,1 = 0 n y k1 = d1 a1 ∈ K. Observe adem´ as que si k ∈ K con k = m1 a1 i=2 mi ai,1 , entonces d1 | m1 (¿Por qu´e?) Si < d1 a1 >= K terminamos, de lo contrario escoja B2 = {bi,2 }i∈{1,...,n} base para G tal que |K| PnB2 sea minimal entre las bases que contengan a1 . Puede suponer que k2 = i=2 ni,2 bi,2 es un elemento en el cual este m´ınimo se alcanza y que lo alcanza en el coeficiente d2 del segundo elemento de la base (el primero es a1 ), pues podemos restar (o sumar) cuantas veces sea necesario d1 a1 a fin de volver Pnnulo el coeficiente en a1 . As´ı se define, semejante a lo anterior, on de ni,2 por a2 = b2,2 + i=3 qi,2 bi,2 , donde qi,2 es el cociente de la divisi´ d2 , y as´ı k2 = d2 a2 . Entonces A2 = {a1 , a2 , b3,2 , . . . , bn,2 } es base para G. Pero adem´ as si d2 = qd1 + r, donde 0 ≤ r < |d1 |, Y = {a1 + qa2 , a2 , b3,2 , . . . , bn,2 }, es tambi´en base para G en la cual k = d1 a1 + d2 a2 = d1 (a1 + qa2 ) + ra2 ∈ K. Entonces si r 6= 0, |k|Y = r < |d1 | lo que llevar´ıa a una contradicci´ on con la elecci´ on de B1 . As´ı d1 | d2 . Si < d1 a1 , d2 a2 >= K terminamos, de lo contrario continuamos as´ı sucesivamente. Mostrando una base para K queda de paso demostrado que es abeliano libre por el teorema 6.30. F Lema 6.43 Si G es un grupo abeliano finitamente generado entonces: G ' Z m1 × Z m2 × . . . × Z mn × Z × . . . × Z con mi | mi+1 , para i ∈ {1, . . . , n − 1}. Demostraci´ on: Suponga que G =< A > donde A = {ai }i∈{1,...,n} . Considere un grupo abeliano libre (C, A, i) y tome φ : C → G el homomorfismo tal que φ ◦ i = idA , donde idA es la inclusi´ on de A en G. φ es sobreyectiva, luego por el teorema fundamental del homomorfismo C/Ker(φ) ' G. Entonces por el teorema 6.42, existe X = {xi }i∈{1,...,n} base para G con {mi }i∈{1,...,m} , tales que mi | mi+1 y {mi xi }i∈{1,...,m} es una base de Ker(φ). Ahora como C '< x1 > × . . . × < xn >, K '< d1 x1 > × . . . × < dm xm > y < di xi >C< xi >, entonces C/Ker(φ) ' Zm1 × Zm2 × . . . × Zmm × Z × . . . × Z. odulo isomorfismo. F Si mi = 1 podemos obviar el factor Zmi , m´ 6.44 Ahora s´ı probaremos el teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados. La existencia de la descomposici´ on es consecuencia inmediata de lo que ya hemos probado. Es frecuente en matem´ aticas que la unicidad se deba a una trivialidad una vez probada la existencia, pero en este teorema no es el caso, por intuitiva que sea. Teoremas que concluyan una clasificaci´ on tan exhaustiva son una rareza en matem´ aticas en general y en la teor´ıa de grupos en particular.

62

Cap´ıtulo 6. Teoremas de Sylow y Grupos libres

Teorema 6.45 (Teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados) Si G es un grupo abeliano finitamente generado: G ' Zpr11 × Zpr22 × . . . × Zprnn × Z × . . . × Z | {z } r

donde los pi , para i ∈ {1, . . . , n}, son primos tales que pi ≤ pi+1 , y los ri son naturales no nulos tales que ri ≤ ri+1 si pi = pi+1 . Mas a´ un los pi , los ri y r est´ an un´ıvocamente determinados. A r se le llama n´ umero de Betti de G. Demostraci´ on: Sea G un grupo abeliano finitamente generado. El subgrupo de torsi´ on T de G es finito pues si T =< {x1 , x2 , . . . , xm } >, y Ti =< xi >, cada Ti es finito y T = T1 + T2 + . . . + Tm . Ahora, por los lemas 6.39 y 6.40, G ' T p1 × T p2 × . . . × T pn × T ⊥

(6.2)

Qn donde |T | = i=1 psi i , con cada pi primo tal que pi < pi+1 , Tpi = {g ∈ G : ord(g) = pni , n ∈ N}, y T ⊥ es libre de torsi´ on. Cada Tpi es de torsi´ on, luego, como |Tpi | < +∞, por el lema 6.43, Tpi ' Zpri 1 × Zpri 2 × . . . × Zprki

(6.3)

i

con ri ≤ ri+1 . Ahora como T ⊥ es libre de torsi´ on, por el lema 6.43, si T ⊥ no es trivial, T⊥ ' Z × ... × Z (6.4) Luego T ⊥ es abeliano libre y por el teorema 6.35 el n´ umero de Zs en la productoria (6.4), es decir el n´ umero de Betti de G, esta un´ıvocamente determinado (si T ⊥ es trivial, r = 0). Cuando probemos la unicidad de la descomposici´ on en (6.3), habremos terminado la demostraci´ on. Defina para p primo, el pn -z´ ocalo Tpi [pn ] de Tpi , por n n n ocalo Tpi [p ] := {g ∈ Tpi : p g = 0}. As´ı Tpi [p ] ≤ Tpi y cada elemento del pi -z´ tiene orden pi o ´ 1. Entonces por el lema 6.43, Tpi [pi ] ' Zpi × . . . × Zpi donde el n´ umero de elementos en la productoria esta un´ıvocamente determinado por el orden del pi -z´ ocalo. Entonces como (Zpri 1 × Zpri 2 × . . . × Zprk )[pi ] es isomorfo i al producto directo de ki Zpi s, el n´ umero de elementos de la productoria (6.3) esta un´ıvocamente determinado. Ahora bien dado n ∈ N∗ , Tpi [pni ] ' Zpd1 , × . . . × Zpdk , con 0 ≤ di < ri y i i n = qi ri + di . De donde, Tpi /(Tpi [pni ]) ' Zpr1 −d1 × . . . × Zprk −dk i

(6.5)

i

As´ı el n´ umero de Zprj s en (6.3) para los cuales n ≡ 0(mod rj ) esta determinado i por el n´ umero de elementos en la productoria (6.5) que colapsaron en triviales, dado por el n´ umero de elementos no triviales, que ya vimos que es propio de todo grupo abeliano finitamente generado. De esta forma cada rj queda un´ıvocamente F determinado cuando se recorre n por {1, . . . , logpi (ord(Tpi ))}.

Grupos libres y representaciones

63

6.46 Con un estudio m´ as profundo de los grupos abelianos de torsi´ on, de los libres de torsi´ on y de los abelianos libres, se puede exponer una demostraci´ on mucho m´ as corta del teorema fundamental de los grupos abelianos. Pero el enfoque que se le da ac´ a ilustra bien, en un primer (y se espera que no u ´nico) acercamiento, el funcionamiento de los grupos abelianos finitamente generados.

6.5.

Grupos libres y representaciones

6.47 Definici´ on (Grupo libre): Una terna (F, X, i), que consta de un grupo F , un conjunto X y una funci´ on i : X → F , es un grupo libre si para todo grupo G y toda funci´ on f : X → G, existe un u ´nico homomorfismo fe : F → G tal que (ver figura 6.2): fe ◦ i = f PSfrag replacements F

fe

G

i f

X

Figura 6.2: Grupo libre Teorema 6.48 Si (F, X, i) es un grupo libre, entonces: i) i es inyectiva. ii) si (F 0 , X, j) es grupo libre entonces F 0 ' F . iii) (F, i[X], j) es grupo libre, donde j es la inclusi´ on. Demostraci´ on: Una demostraci´ on similar a la del teorema 6.28 verifica este. F 6.49 Observaci´ on. A diferencia del teorema 6.28, en el 6.48 no esta F =< i[X] >, en el caso de los grupos libres esto no es tan evidente “` a priori”. Por otro lado, nada en la definici´ on de grupo libre nos indica que existen. Con el siguiente teorema se visualizan los grupos libres, y estos problemas quedan resueltos. Teorema 6.50 Sea X un conjunto. Existe F grupo e i : X → F funci´ on, tales que (F, X, i) sea grupo libre con F =< i[X] >. Demostraci´ on: Considere otro conjunto equipotente a X, por ejemplo X −1 = −1 {x : x ∈ X}. El s´ımbolo −1 no tiene ning´ un significado, es s´ olo para distinguirlo de los elementos de X. Por letra enteremos un elemento de X ∪X −1 y por palabra entenderemos una sucesi´ on finita de letras o ´ la palabra vac´ıa que notaremos e (si en X est´ a ese s´ımbolo se le puede poner otro a la palabra vac´ıa). As´ı si

64

Cap´ıtulo 6. Teoremas de Sylow y Grupos libres

un s´ımbolo, w es una palabra tenemos w = xe11 xe22 . . . xenn , donde ei es o bien ning´ o bien el s´ımbolo −1. Sea W el conjunto de todas las palabras. Si w, v ∈ W , definimos wv como la palabra que se obtiene al concatenar w y v, esto es si em em . Tamw = xe11 xe22 . . . xenn y v = y1e1 y2e2 . . . ym , wv = xe11 xe22 . . . xenn y1e1 y2e2 . . . ym −e2 −e1 −1 −1 −en bi´en definimos w por w = xn . . . x2 x1 , donde −ei es −1 si ei no es s´ımbolo y ning´ un s´ımbolo si ei es −1. Ahora, en W defina la relaci´ on ∼, donde w ∼ v si de w puedo obtener v mediante las operaciones: (a) agregar entre dos letras xx−1 o ´ x−1 x donde x es una letra. (b) eliminar una ocurrencia de xx−1 o ´ x−1 x que suceda en la palabra. Es claro que ∼ es una relaci´ on de equivalencia. Definimos F = W/ ∼ y [w] = [w]∼ . F ser´ a nuestro grupo. Definimos la operaci´ on por [w][v] = [wv], y as´ı [e] es la identidad y [w −1 ] = [w]−1 . Tambi´en se puede verificar f´ acilmente que [wv][u] = [w][uv], con lo cual se comprueba que F es un grupo. Y mas a´ un si i : X → F es tal que i(x) = [x], vemos que F =< i[X] >. Ahora bien si < G, ·, eG > es un grupo y f : X → G es una funci´ on, defina φ : W → G por φ(xe11 xe22 . . . xenn ) = g1e1 · g2e2 · . . . · gnen donde gi = f (xi ) y φ(e) = eG . As´ı pues φ(xx− 1) = eG , luego podemos definir fe : F → G por e e1 xe2 . . . xen ]) = g e1 · g e2 · . . . · g en y f([e]) e f([x = eG . Por construcci´ on fe es n n 1 2 1 2 e homomorfismo y f ◦ i = f . Por otro lado si g es otro homomorfismo tal que g ◦ i = f , como g coincide con fe en i[X], y F =< i[X] >, fe = g. Luego (F, X, i) es grupo libre. F Teorema 6.51 Sea (F, X, i) un grupo libre. Si (F, X 0 , j) es grupo libre, |X| = |X 0 | Demostraci´ on: Considere el conjunto V compuesto por los homomorfismo de F en Z2 . V se puede ver can´ onicamente como un espacio vectorial sobre Z2 . Dado ξ ∈ X, defina fξ : X → Z por fξ (x) = 0 si x 6= ξ y fξ (ξ) = 1 y sea P BX = {feξ }ξ∈X donde feξ ◦ i = fξ . Dado f ∈ V , f = ξ∈X f (ξ)feξ , y adem´ as si P e φ = ξ∈X aξ fξ es tal que para todo x ∈ F , φ(x) = 0, entonces φ(ξ) = aξ = 0, luego BX es una base de V . Una base similar BX 0 , se puede definir con X 0 . F As´ı |BX | = |BX 0 |, pero |BX | = |X| y |BX 0 | = |X 0 |. 6.52 Definici´ on (rango): Si (F, X, i) es un grupo libre a |X| lo llamamos rango de F . Teorema 6.53 Dos grupos libres son isomorfos si y s´ olo si tienen mismo rango. Demostraci´ on: Es f´ acil ver que si dos grupos libres son isomorfos tienen mismo rango (¿Por qu´e?). Ahora bien considere (F1 , X1 , i1 ) y (F2 , X2 , i2 ) dos grupos libres tales que exista f : X1 → X2 biyecci´ on. As´ı existen dos u ´nicas f1 : F1 → F2 , y f2 : F2 → F1 tales que f1 ◦ i1 = i2 ◦ f y f2 ◦ i2 = i1 ◦ f −1 . As´ı (f2 ◦ f1 ) ◦ i1 = f2 ◦ i2 ◦ f = i1 ◦ f −1 ◦ f = i1 , pero idF1 ◦ i1 = i1 luego F idF1 = f2 ◦ f1 . De forma similar idF2 = f1 ◦ f2 . As´ı F1 ' F2 .

Grupos libres y representaciones

65

6.54 El gran inter´es que despierta los grupos libres esta resumido en el siguiente teorema. Teorema 6.55 Sea G un grupo tal que G =< X > y (F, Y, i) un grupo libre. Si f : Y → X es sobreyectiva, entonces existe un homomorfismo φ : F → G sobreyectivo tal que φ ◦ i = f . En particular todo grupo es imagen de un grupo libre. Demostraci´ on: Viendo f con codominio G, existe un u ´nico homomorfismo φ : F → G tal que φ ◦ i = f . Ahora bien G =< X >, luego φ es sobreyectiva, pues (F, Y, i) es libre. F 6.56 Observaci´ on. Dadas las condiciones del teorema anterior, G ' F/Ker(φ). As´ı todo grupo es de la forma F/K donde K C F . Para generar un grupo entonces consideremos un grupo libre (F, X, i), S ⊂ F , y R el m´ınimo subgrupo normal de F que contiene < i[S] > (la clausura normal de S), nuestro grupo es F/R que esta un´ıvocamente determinado u ´nicamente por X y S. En esto nos concentramos ahora. 6.57 Definici´ on (representaci´ on, relacionador): Sea < G, ·, 1 > un grupo. Un homomorfismo sobreyectivo π : F → G, donde (F, X, i) es grupo libre, es una representaci´ on de G. A los elementos de Ker(π) los llamamos relacionadores. Si S ⊆ F es tal que su clausura normal es Ker(π) decimos que (π, X, S) determina un conjunto generador y define los relacionadores para G, que notamos: G =< X|S > 6.58 Observaci´ ones a la definici´ on 6.57. i) Si X = {xg : e 6= g ∈ G}, (F, X, i) grupo libre, y π : F → G definida por π(xg ) = g, π es la representaci´ on est´ andar de G. ii) Ahora bajo el contexto de la definici´ on 6.57, A = i[X] es un conjunto generador de G, y π(s) = 1 para todo s ∈ S. Luego (6.57) tambi´en lo notamos: G =< A|s = 1, s ∈ S > 6.59 Ejemplos: i) Una representaci´ on de Zn es < a|an = 1 >. ii) Considere el D∞ =< x, y|x2 = 1, y 2 = 1 >, llamado diedral infinito. Si a = xy, D∞ =< a, x >, y x−1 ax = yx = a−1 , luego otra representaci´ on es < x, a|x2 = 1, x−1 ax = a−1 >, pues de x−1 ax = a−1 deducimos y 2 = (x−1 a)2 = 1. Por otro lado x−1 = x, ax = xa−1 y a−1 x = xa−1 luego un elemento t´ıpico de G es de la forma xr as . donde r ∈ {0, 1} y s ∈ Z.

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Cap´ıtulo 6. Teoremas de Sylow y Grupos libres

iii) Dos representaciones de Dn son < x, y|x2 = y 2 = (xy)n = 1 > y < x, a|x2 = an = 1, x−1 ax = a−1 >. Se debe sentir porque esto es una representaci´ on del grupo diedral, x representa una reflexi´ on y a la primera rotaci´ on. Los otras rotaciones son am y las otras reflexiones xam . La prueba formal requiere un poco m´ as de trabajo. 6.60 El tema de grupos libres y representaciones es bastante m´ as extenso. Por ejemplo en 6.59 mostramos que un grupo puede tener varias representaciones, eso lo llamamos representaciones isomorfas. Tambi´en podemos preguntarnos si dado S podemos determinar si un elemento de F es o no es un relacionador, en un n´ umero finito de pasos.

6.6.

Ejercicios

1. Sea S un Sylow p-subgrupo de un grupo finito G. Pruebe que todo subgrupo de NG (S) de orden una potencia de p es un subgrupo de S. (Recuerde que NG (S) es el normalizador de S en G, es decir, NG (S) = {g ∈ G : gSg −1 = S}) 2. Sea G un grupo de orden 12. Cuales son los valores posibles para los n´ umeros de 2-subgrupos y de 3-subgrupos de Sylow en G? Pruebe que existen exactamente 5 estructuras de grupos diferentes de orden 12. 3. Sea G un grupo finito y p un primo que divide |G|. Pruebe que si H es un p-subgrupo normal de G, entonces H esta contenido en todo p-subgrupo de Sylow de G. 4. Sea G un grupo finito y sea p un primo que divide |G|. Sea P un p-subgrupo de Sylow de G. Pruebe que N [N [P ]] = N [P ]. 5. Sea G un grupo finito y sea p un primo que divide |G|. Sea P un p-subgrupo de Sylow de G y sea H un p-subgrupo de G. Pruebe que existe g ∈ G tal que gHg −1 ≤ P . 6. Pruebe que todo grupo de orden (35)3 tiene un subgrupo normal de orden 125. 7. Pruebe que no hay grupos simples de orden 255 = (3)(5)(17). 8. Pruebe que un grupo finito de orden pn contiene subgrupos normales Hi , para 0 ≤ i ≤ n, tales que |Hi | = pi y Hi < Hi+1 para 0 ≤ i < n. (Ayuda: recuerde (o pruebe) que el centro de un p-grupo finito no trivial es no trivial, y use este hecho). 9. Pruebe que todo elemento diferente a la identidad de un grupo libre es de orden infinito. 10. Pruebe que si G y G0 son grupos abelianos libres, entonces G × G0 es abeliano libre.

Ejercicios

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11. Pruebe que Q bajo la adici´ on no es un grupo abeliano libre. (Ayuda: pruebe que ning´ un par de n´ umeros racionales distintos n/m y r/s pueden estar en un conjunto que cumpla con las condiciones de ser base.)

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Cap´ıtulo 6. Teoremas de Sylow y Grupos libres